O ensino-aprendizagem de Geometria e a BNCC

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O ensino-aprendizagem de Geometria e a BNCC
Prof. Antonio Mauricio Medeiros
Descrição
As unidades temáticas “Geometria” e “Grandezas e Medidas” e a BNCC.
A importância delas nos processos de ensino e aprendizagem da
Matemática escolar e nos diferentes níveis da educação básica.
Propósito
Para que um profissional compreenda o processo de ensino-
aprendizagem da Matemática, é fundamental o contato com as áreas de
Geometria e as Grandezas e Medidas. Como conteúdo matemático com
grande aplicação no cotidiano, é necessário que tal profissional perceba
a importância do seu estudo e o impacto que pode trazer ao cotidiano
dos alunos.
Objetivos
Módulo 1
Competências especí�cas da Geometria
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Identificar a presença da Geometria e das Grandezas e Medidas nas
competências específicas da Matemática na BNCC.
Módulo 2
Objetivos de conhecimento e habilidades na
BNCC
Relacionar os objetos de conhecimento e as habilidades propostas
na BNCC para a Geometria com metodologias e materiais para o seu
ensino.
Módulo 3
Habilidades de Grandezas e Medidas na BNCC
Relacionar os objetos de conhecimento e habilidades propostas na
BNCC para Grandezas e Medidas com metodologias e materiais para
o seu ensino.
Introdução
A importância da Geometria já foi destacada por diferentes
estudiosos ao longo do tempo, entretanto pode-se afirmar que
ninguém o fez de forma tão bela quanto Galileu Galilei. Para esse
filósofo, a “leitura” do universo não é possível àqueles que
desconhecem a linguagem e os caracteres nos quais ele foi
escrito, sendo essa linguagem, segundo ele, a linguagem
matemática, cujos caracteres são os triângulos, os círculos e
outras figuras geométricas.
A aprendizagem da Geometria desenvolve a compreensão do
espaço, tanto plano quanto espacial. Por meio dela, o homem

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pode se localizar, calcular distâncias e estimar tempos de
deslocamento entre dois lugares. A Geometria Espacial contribui
diretamente para a produção de objetos diversos, tanto aqueles
de pequenas dimensões, presentes no dia a dia (embalagens de
produtos, móveis, decorações etc.) quanto de grandes
dimensões, como os silos de armazenagem de grãos, usados na
agricultura.
A Geometria na Base Nacional Comum Curricular - BNCC tem
como objetivo o desenvolvimento do pensamento geométrico, ou
seja, da capacidade mental de construir conhecimentos
geométricos para aplicá-los de modo coerente à resolução de
problemas. Complementado o estudo da Geometria, é
fundamental o domínio das Grandezas e Medidas, outra unidade
importante da Matemática, prevista na BNCC.
1 - Competências especí�cas da Geometria
Ao �nal deste módulo, você será capaz de identi�car a presença da Geometria e das
Grandezas e Medidas nas competências especí�cas da Matemática na BNCC.
Geometria e história da Matemática
Desenvolvimento da Geometria na história da
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Matemáticax
Qual a origem da Geometria?
Definir um ponto histórico preciso para a origem da Geometria é algo
impossível de ser feito, visto que suas origens são anteriores ao
desenvolvimento da escrita. Boyer (2012) conta que dois personagens
gregos, o historiador Heródoto e o filósofo Aristóteles, não ousaram
demarcar o início da Geometria como anterior à civilização egípcia, mas,
certamente, reconheciam o fato de que seu início precedia essa
civilização.
A versão de Heródoto fazia referência às origens da Geometria no Egito,
acreditando que seu primeiro uso foi decorrente da necessidade de
remarcar as terras férteis às margens do rio Nilo, após cada inundação
anual do rio, relacionando o surgimento da Geometria à resolução de
problemas práticos cotidianos dessa civilização.
Para Aristóteles, a existência de uma classe sacerdotal destinada ao
lazer é que promoveu o estudo da Geometria.
Essas teorias contraditórias, uma apontando para uma necessidade
prática e outra para uma origem relacionada ao lazer sacerdotal, são os
primeiros registros escritos a que o homem teve acesso, sobre a gênese
da Geometria. Talvez ambas estejam relacionadas ao fato de que os
egípcios eram eventualmente conhecidos como “estiradores de cordas”,
visto que as “cordas” eram utilizadas tanto na marcação de terras
quanto para traçar as bases de templos religiosos. Entretanto a História
mostra que ambos subestimaram a idade do assunto, visto que o
homem neolítico, apesar de, possivelmente, não ter necessidade de
medir suas terras, deixou desenhos e figuras que sugerem relações
espaciais, que podem ser a gênese real da Geometria.
Comentário
Se os registros históricos relacionam as origens da Geometria àquela
praticada no Egito, voltada à resolução de problemas do cotidiano, como
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a marcação de terras ou mesmo a medição do volume de grãos
originários da agricultura, corretamente pode-se afirmar que os egípcios
não foram os únicos a contribuir para o desenvolvimento desse ramo da
Matemática.
Outras tantas civilizações, a exemplo dos povos da Mesopotâmia,
contribuíram para o desenvolvimento da Geometria, porém nenhuma
outra deixou um legado tão significativo quanto a grega, podendo-se
citar, dentre seus representantes, Pitágoras e Tales, que dão nomes a
importantes teoremas, ainda hoje vastamente utilizados. Cabe também
registrar, mesmo que pouco valorizadas, as contribuições da filósofa
grega Hipátia de Alexandria, a primeira mulher matemática registrada
pela história.
Porém, sem dúvidas, o maior expoente grego no que se refere ao
registro do desenvolvimento da Geometria foi Euclides de Alexandria,
matemático grego considerado até os dias atuais o “pai da Geometria”.
Isso porque foi ele quem organizou e registrou todo o conhecimento
matemático até então conhecido, tendo sua obra nomeada como “Os
Elementos” impressa e em circulação até a atualidade.
A Geometria na atualidade é fortemente baseada na obra de Euclides,
cuja importância é tanta que, na Matemática, o estudo da Geometria
sobre planos ou objetos em três dimensões é baseada nos seus
postulados, presentes na obra “Os Elementos”, e é chamada de
Geometria Euclidiana.
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A Geometria Euclidiana reinou soberana na história da Matemática até
que outros estudos, que se opõem aos postulados e axiomas presentes
na obra de Euclides, deram origem ao que hoje é identificado como
Geometrias não euclidianas, a exemplo da:
Geometria Projetiva
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Geometria Esférica
Geometria dos Fractais
Entretanto, pode-se afirmar que a Geometria Euclidiana ainda é,
atualmente, preponderante nos currículos escolares, com foco no
estudo da Geometria Plana e Espacial, como se observa no texto da
BNCC.
Geometria e cotidiano
Confira agora, através de exemplos concretos, a presença e a
importância da Geometria em nosso cotidiano.

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Geometria e competências: ensino
fundamental
Competências na BNCC para o ensino
fundamental: a presença daGeometria
A BNCC é estruturada a partir de competências (gerais e específicas) e
habilidades, as quais devem garantir o conjunto das aprendizagens
essenciais e seu desenvolvimento junto aos estudantes. No texto da
BNCC, é apresentado o conceito de competência como:
A mobilização de conhecimentos
(conceitos e procedimentos),
habilidades (práticas, cognitivas e
socioemocionais), atitudes e valores
para resolver demandas complexas
da vida cotidiana, do pleno exercício
da cidadania e do mundo do
trabalho.
(BRASIL, 2018, p. 8)
O documento apresenta dez competências gerais para a educação
básica, as quais definem, pedagogicamente, os direitos de
aprendizagem e desenvolvimento dos estudantes e competências
específicas para as áreas de conhecimento.
A Matemática figura como uma das cinco áreas do conhecimento que
compõem o Ensino Fundamental e se estrutura, para esse nível de
ensino, a partir de oito competências específicas. Para o
desenvolvimento dessas competências, a BNCC propõe cinco unidades
temáticas correlacionadas, dentre as quais destaca-se a Geometria.
Cada unidade temática é organizada no documento do ensino
fundamental em objetos de conhecimento, com suas respectivas
habilidades.
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Apresentaremos a seguir as oito competências específicas da
Matemática:
Reconhecer a Matemática como ciência produzida pelo homem,
ao longo da história, para resolver problemas tanto do campo
científico quanto tecnológico, inclusive do mundo do trabalho.
Desenvolver do raciocínio lógico a partir da investigação e da
produção de argumentos matemáticos, para compreender e
atuar no mundo.
Compreender as relações entre os conceitos e procedimentos
dos campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria,
Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento,
em busca de soluções com aplicação dos conhecimentos
matemáticos.
Observar de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas
práticas sociais a fim de produzir argumentos convincentes.
Utilizar processos e ferramentas matemáticas para modelar e
resolver problemas distintos do cotidiano, com a validação de
estratégias e resultados.
Primeira competência 
Segunda competência 
Terceira competência 
Quarta competência 
Quinta competência 
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Enfrentar situações problema em diferentes contextos, não
necessariamente relacionadas ao aspecto prático-utilitário da
Matemática, expressando as respostas e sintetizando as
conclusões com o uso de diferentes registros como gráficos,
tabelas, esquemas, entre outros.
Desenvolver ou discutir projetos que abordem questões sociais,
valorizando as diferentes opiniões sem qualquer tipo de
preconceito.
Interagir coletivamente com cooperação, planejando e
desenvolvendo pesquisas para resolver determinadas questões
pela solução de problemas, respeitando o pensamento dos
colegas, numa relação de aprendizagem.
Cabe destacar que a Geometria não aparece explicitamente dentre as
competências específicas, visto que a Base destaca que essas
competências não se limitam ao desenvolvimento de determinados
conteúdos, devendo ser desenvolvidas a partir da mobilização dos
distintos saberes que compõem cada área. Entretanto, é possível
identificar, mesmo que implicitamente, a presença da Geometria em
qualquer das oito competências apresentadas, com maior evidência na
primeira, terceira e quinta competências.
Geometria e competências: ensino
médio
Sexta competência 
Sétima competência 
Oitava competência 
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Competências na BNCC para o ensino médio: a
presença da Geometria
Para o caso do ensino médio, a área da Matemática, uma das quatro
nas quais se organiza esse nível de ensino, caracteriza-se como
Matemática e suas Tecnologias e se encontra estruturada em torno de
cinco competências específicas. Juntamente a cada uma dessas
competências, são apresentadas suas respectivas habilidades, as quais
também são organizadas, na sequência do documento, em unidades
temáticas, que, por sua vez, apresentam-se agrupadas em relação às
unidades do ensino fundamental. Vamos conferi-las!

Números e Álgebra

Geometria e Medidas

Probabilidade e Estatística
Também, diferentemente do ensino fundamental, para o caso das
unidades temáticas do ensino médio, dentre as quais figura Geometria e
Medidas, são apresentadas as habilidades necessárias para o seu
desenvolvimento sem a indicação de objetos de conhecimento.
Vejamos cada uma das cinco competências específicas da Matemática
e suas Tecnologias para o ensino médio:

Primeira competência
Prevê a utilização de estratégias, conceitos e
procedimentos matemáticos para a interpretação
de situações diversas, cotidianas, científicas,
socioeconômicas ou tecnológicas, como
contribuição para a formação geral dos estudantes.
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
Segunda competência
Indica que os estudantes proponham ou participem
de ações investigativas acerca do mundo
contemporâneo que levem à tomada de decisões
éticas e responsáveis, pela análise de problemas
sociais em suas múltiplas situações, como no
campo da saúde, da sustentabilidade, dos impactos
da tecnologia no mundo do trabalho, entre outros, a
fim de que mobilizem e articulem conceitos,
procedimentos e linguagem matemática.

Terceira competência
Caracteriza-se pela utilização de estratégias,
conceitos, definições e procedimentos
matemáticos, visando à interpretação, à construção
e à resolução de problemas em contextos diversos,
com a análise dos resultados e das soluções, de
modo a construir argumentação consistente.

Quarta competência
Refere-se a compreender e utilizar registros
diversos de representações matemáticas em busca
de solucionar e comunicar os resultados de
problemas de variadas naturezas.

Quinta competência
Prevê investigar e estabelecer conjecturas a
respeito de conceitos e propriedades matemáticas,
lé d t té i t i
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Igualmente ao ensino fundamental, as competências específicas da
Matemática para o ensino médio não explicitam os conteúdos que
contemplam, assim, é compreensível que a Geometria não apareça
explicitamente dentre elas. Entretanto, é possível identificar, mesmo que
implicitamente, sua presença, com maior ênfase nas competências três
e cinco, conforme veremos posteriormente no estudo das habilidades.
Unidades temática na BNCC
O trabalho com a unidade temática Geometria
previsto na BNCC
O desenvolvimento da Geometria na escola deve ter início desde muito
cedo, desde a educação infantil, etapa estruturada na BNCC a partir de:
Cinco campos de
experiências, no âmbito dos
quais são de�nidos os
objetivos de aprendizagem e
desenvolvimento.
(BRASIL, 2018, p. 40)
Embora a educação infantil na Base não seja caracterizada por unidades
temáticas, pela organização dos campos de experiências, é possível
encontrar indícios do trabalho com a Geometria, podendo-se destacar:
além de empregar estratégias e recursos, tais como
observação de padrões, experimentações e
diferentes tecnologias, visando à necessidade, ou
não, de demonstração formal na validação dessas
conjecturas.
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Como é possível observar, a Geometria pode ser desenvolvida a partirde
diversos campos de experiências com as crianças, desde o início da
escolarização. Nesse período, o trabalho com o corpo e o espaço é
fundamental, pois as crianças estão em pleno desenvolvimento de
importantes habilidades, como lateralidade, visão espacial, noções de
tamanho e distância, temporalidade e uso de diversas formas de
representação, as quais são fundamentais para o aprendizado
matemático ao longo da escolaridade. Referindo-se diretamente ao
ensino e à aprendizagem de Geometria, a BNCC indica que essa unidade
temática:
 Explorar o mundo, o espaço e os objetos do seu
entorno (campo corpo, gestos e movimentos).
 Vivenciar diversas formas de expressão e
linguagens, como as artes visuais (pintura,
modelagem, colagem, fotografia etc.).
 Criar produções artísticas ou culturais exercitando
a autoria (coletiva e individual) com traços,
desenhos, modelagens, manipulação de diversos
materiais (campo traços, sons, cores e formas).
 Explorar dimensões, medidas, comparação de
pesos e de comprimentos, avaliação de distâncias,
reconhecimento de formas geométricas (campo
espaços, tempos, quantidades, relações e
transformações).
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Envolve o estudo de um
amplo conjunto de conceitos
e procedimentos necessários
para resolver problemas do
mundo físico e de diferentes
áreas do conhecimento.
(BRASIL, 2018, p. 271)
Com isso, pode-se compreender que o trabalho com a unidade temática
Geometria não pode se restringir, por exemplo, ao estudo das figuras
planas e à aplicação de fórmulas para o cálculo de áreas ou volumes. O
trabalho com essa unidade temática precisa envolver o conhecimento
do espaço, das posições, em vistas ao desenvolvimento do pensamento
geométrico dos alunos.
Geometria e Medidas: ensino
fundamental e médio
A BNCC diferencia a caracterização da unidade temática Geometria dos
anos iniciais daquela dos anos finais do ensino fundamental,
considerando-se os objetivos de cada etapa, bem como o
desenvolvimento cognitivo e emocional dos estudantes.
Para os anos iniciais, encontramos na Base que o trabalho terá foco na
promoção da identificação e do estabelecimento de pontos de
referência para a localização dos alunos e seus deslocamentos, o que
será promovido pela construção de representações de espaços
conhecidos, por meio de croquis ou outras representações (sala de
aula, escola, sua casa) e pela estimativa de distâncias e trajetos, como
por exemplo: percurso de casa para escola e vice-versa, brincadeiras
com mapas do “tesouro” em espaços conhecidos da escola, entre
outros).
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O documento ainda prevê o trabalho com as formas geométricas tri e
bidimensionais, pela associação de figuras espaciais às suas
planificações e vice-versa. Cabe destacar que o trabalho nessa fase da
escolarização deve respeitar o desenvolvimento cognitivo das crianças,
partindo do espacial ao plano, do concreto ao abstrato.
É também nos anos iniciais que o trabalho com os polígonos deve ter
início, a partir do reconhecimento de suas propriedades, como número
de lados e ângulos e de seus elementos, como vértices, sempre que
possível a partir do reconhecimento dessas figuras em objetos do
cotidiano. Finalmente, deve haver investimento no trabalho com o
estudo das simetrias.
Já para os anos finais do ensino fundamental, a BNCC no ensino de
Geometria deverá visar à consolidação e ampliação das aprendizagens
já realizadas. Além disso, devem ser propostas tarefas que envolvam
transformações geométricas (como ampliações e reduções de figuras
geométricas planas), com vistas ao desenvolvimento dos conceitos de
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congruência e semelhança, em busca da construção do raciocínio
hipotético-dedutivo. Será nesse período que a escola irá promover a
aproximação da Geometria à Álgebra, favorecendo o uso de registros
diversos, como expressões e fórmulas matemáticas.
No Ensino Médio, as unidades temáticas apresentam uma organização
diferenciada do Ensino Fundamental; assim, para esse nível de ensino,
temos a unidade temática Geometria e Medidas. Além disso, nesse nível
de ensino, as unidades temáticas estão estreitamente ligadas às
competências específicas da área da Matemática e suas Tecnologias,
por meio das habilidades.
Resumindo
Assim, pode-se compreender que o trabalho com essa unidade temática
no ensino médio está intrinsicamente relacionado à interpretação, à
resolução e à formulação de problemas matemáticos envolvendo
noções, conceitos e procedimentos diversos, inclusive os geométricos.
Segundo a Base, considerando que nesse nível de ensino os estudantes
devem desenvolver e mobilizar habilidades que servirão para resolver
problemas ao longo de sua vida, as situações propostas devem ter
significado real, não se limitando apenas ao seu cotidiano, mas também
às questões da comunidade mais ampla, as quais podem envolver, por
exemplo, cálculos de áreas e perímetros, de espaços comuns a essa
comunidade.
A BNCC prevê, também, o trabalho investigativo a partir do estudo do
volume de distintas figuras espaciais; o aprofundamento das relações
da geometria com a Álgebra, por exemplo, por meio das representações
dos objetos geométricos no plano cartesiano; bem como o estudo das
propriedades dos polígonos, envolvendo área, perímetro e medidas dos
ângulos.
A Base chama atenção para os fractais, o que promove a objeto de
atenção dessa unidade temática outras Geometrias não euclidianas,
como a Geometria Fractal, presente em diversas produções humanas, a
exemplo de obras de arte, da construção civil e, também, em diferentes
elementos da natureza.
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Exemplo de fractal.
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
No que se refere ao “nascimento” da Geometria, não é possível
definir um momento preciso ao longo da história, tampouco definir
determinado personagem histórico como o primeiro responsável
pelo uso dos conceitos geométricos. Entretanto, os historiadores
afirmam que a história se baseia nos fatos escritos, encontrados
nos vestígios das antigas civilizações.
Assim, é correto afirmar que a primeira pessoa que se tem notícia a
compilar em uma obra escrita o conhecimento sobre Geometria,
cuja obra é ainda hoje publicada, foi:
Parabéns! A alternativa C está correta.
Euclides de Alexandria foi o primeiro a organizar por meio da escrita
todo o conhecimento matemático disponível à sua época; sua obra,
intitulada “Os Elementos”, é publicada ainda hoje. Praticamente
metade dessa obra é dedicada à Geometria e, por conta disso,
Euclides é conhecido como “pai da Geometria”. Além disso, a
Geometria preponderantemente utilizada atualmente e estudada
A Hipátia.
B Heródoto.
C Euclides.
D Pitágoras.
E Tales.
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nas escolas é nomeada como Geometria Euclidiana, em sua
homenagem.
Questão 2
Na Base Nacional Comum Curricular, o conceito de competência
ocupa uma posição central, sendo esse documento organizado em
torno de competências gerais para a educação básica e
competências específicas para cada área do conhecimento. Sobre
esse conceito, é correto afirmar que se refere à
Parabéns! A alternativa A está correta.A
mobilização de conhecimentos, habilidades,
atitudes e valores para resolver demandas
complexas da vida cotidiana, do pleno exercício da
cidadania e do mundo do trabalho.
B
utilização de conceitos e procedimentos para
resolver os problemas do cotidiano, mobilizando os
objetos de conhecimento de cada área estudada.
C
mobilização de práticas cognitivas que são
desenvolvidas por meio dos conteúdos escolares,
visando a resolução de problemas característicos
da escola.
D
utilização de atitudes e valores especificamente
aplicadas às áreas do conhecimento previstas na
Base, buscando a melhoria do rendimento escolar,
principalmente nas avaliações externas.
E
mobilização de práticas cognitivas e valores na
tomada de decisão consciente, que permite ao
estudante exercer sua cidadania, e se desenvolve
por meio das habilidades da Base.
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Conforme o texto da Base, o conceito de competência é definido
como “a mobilização de conhecimentos (conceitos e
procedimentos), habilidades (práticas, cognitivas e
socioemocionais), atitudes e valores para resolver demandas
complexas da vida cotidiana, do pleno exercício da cidadania e do
mundo do trabalho” (BRASIL, 2018, p. 8).
2 - Objetivos de conhecimento e habilidades na BNCC
Ao �nal deste módulo, você será capaz de relacionar os objetos de conhecimento e as
habilidades propostas na BNCC para a Geometria com metodologias e materiais para o seu
ensino.
Objetos de conhecimento e
habilidades nos anos iniciais
Objetos de conhecimento de Geometria para os
anos iniciais
A BNCC prevê que, nos anos iniciais do ensino fundamental, é
necessária a retomada das vivências cotidianas das crianças com as
formas e o espaço, bem como com as experiências desenvolvidas na
educação infantil, para iniciar uma sistematização dessas noções.
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Para a unidade temática Geometria, a Base prevê nos anos iniciais um
conjunto de objetos de conhecimento que deverão promover distintas
habilidades, dentre as quais destaca-se a localização de objetos e de
pessoas no espaço, utilizando diversos pontos de referência e
vocabulário apropriado, com indicação de mudanças de direção e
sentido.
O trabalho com retas e segmentos é proposto, por meio da exploração
dos conceitos de paralelismo e perpendicularismo, o que levará ao
desenvolvimento de esboços de roteiros e de plantas simples.
Também são objetos de conhecimento dos anos iniciais que serão
apresentados a partir do reconhecimento e relações com objetos
familiares do mundo físico, levando à exploração de suas planificações:
Figuras geométricas espaciais
Cubo, bloco retangular, pirâmide, cone, cilindro e esfera.
Figuras geométricas planas
Círculo, quadrado, retângulo, triângulo, trapézio e paralelogramo.
Deve ser iniciado ao final dessa etapa (5º ano) o trabalho com o Plano
Cartesiano, a partir do estudo das coordenadas cartesianas (1 e 2º
quadrantes) e da representação de deslocamentos nesse plano.
Finalmente, a Base prevê, ainda, o trabalho com congruência de figuras
geométricas planas, na ampliação e redução de figuras poligonais em
malhas quadriculadas, visando ao reconhecimento da congruência e
proporcionalidade dos ângulos.
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Todos esses objetos de conhecimentos estão distribuídos e são
retomados ao longo dos cinco anos iniciais do ensino fundamental, de
modo a se promover a progressão do conhecimento, que ocorre pela
consolidação das aprendizagens anteriores.
Habilidades matemáticas para anos iniciais
A Matemática dos anos iniciais tem como compromisso o
desenvolvimento do letramento matemático, como prevê o texto da
BNCC. Em nosso caso, o conhecimento relativo à Geometria, por meio
de atividades desenvolvidas pelos movimentos e interação espacial
com os objetos no mundo físico, as quais permitirão ao aluno
compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo
em que vive. Por isso, é fundamental garantir que a leitura dessas
habilidades não seja feita de maneira fragmentada.
Para tanto, a Base propõe, para os anos iniciais, o desenvolvimento de
habilidades para a unidade temática Geometria, que envolvem
descrever, após o reconhecimento e a explicitação de um padrão (ou
regularidade), os elementos ausentes em sequências recursivas,
podendo ser objetos ou figuras geométricas.
Habilidades relacionadas às noções topológicas envolvem a localização
e o deslocamento de pessoas e de objetos no espaço, em relação à sua
própria posição, bem como em relação a um dado ponto de referência,
utilizando termos como: à direita, à esquerda, em frente, atrás, em cima,
embaixo, compreendendo a necessidade, para isso, de explicitar-se um
referencial. O estudante deve, também, fazer uso de registros verbais e
não verbais (como croquis ou esquemas) para indicar a localização e os
deslocamentos.
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https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03866/index.html?brand=estacio# 24/57
A percepção da presença da Geometria no mundo físico é outra
habilidade a ser desenvolvida.
Para tanto, o aluno deve relacionar figuras geométricas espaciais
(cubos, cones, cilindros, pirâmides, esferas e blocos retangulares) a
objetos familiares do mundo físico.
Deve, ainda, identificar e nomear figuras planas (círculo, quadrado,
retângulo e triângulo) em desenhos apresentados em diferentes
disposições ou em contornos de faces de sólidos geométricos.
Descrever características de algumas figuras geométricas espaciais,
relacionando-as com suas planificações e classificar e comparar figuras
planas em relação a seus lados (quantidade, posições relativas e
comprimento) e vértices é outra habilidade a ser desenvolvida.
Dentre as habilidades para os anos iniciais, ainda se
encontra reconhecer figuras congruentes, usando
sobreposição e desenhos, tanto em malhas
quadriculadas ou triangulares quanto com o uso de
tecnologias digitais.
O trabalho com a Geometria também contempla os ângulos, envolvendo
o desenvolvimento de habilidades, como reconhecer ângulos retos e
não retos em figuras poligonais, bem como reconhecer a congruência
dos ângulos e a proporcionalidade entre os lados correspondentes de
figuras poligonais em situações de ampliação e de redução em malhas
quadriculadas e usando tecnologias digitais.
04/07/2024, 16:39 O ensino-aprendizagem de Geometria e a BNCC
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03866/index.html?brand=estacio# 25/57
Finalmente, as habilidades para os anos iniciais, contemplam
reconhecer simetria de reflexão em figuras e em pares de figuras
geométricas planas e utilizá-la na construção de figuras congruentes,
com o uso de malhas quadriculadas e de softwares de Geometria.
Objetos de conhecimento e
habilidades nos anos �nais
Objetos de conhecimento de Geometria para os
anos �nais
Dentre os objetos de conhecimento para os anos finais do Ensino
Fundamental, encontra-se o aprofundamento do estudo do plano
cartesiano. Isso é feito por meio da associação dos vértices de um
polígono a pares ordenados, pelo estudo da distância entre pontos
nesse plano e pelas transformações geométricas de polígonos por meio
da multiplicação das coordenadas por um número inteiro e obtenção de
simétricos em relação aos eixos e à origem.
As relações entre as construções geométricas dos
ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e os polígonos regulares,
bem como as possíveis transformações geométricas
de simetrias de translação, reflexão e rotação, fazem
parte desse nível de ensino.
Ainda sobre os polígonos regulares, eles visam às classificações quanto
ao númerode vértices, às medidas de lados e ângulos e ao paralelismo
e perpendicularismo dos lados; às propriedades de polígonos, como o
quadrado e triângulo equilátero e, finalmente, à construção e problemas
considerando a mediatriz e a bissetriz como lugares geométricos.
Sobre o estudo dos triângulos, a BNCC propõe como objetos de
conhecimento a construção, a condição de existência e a soma das
medidas dos ângulos internos; a congruência e semelhança de
triângulos, bem como as relações métricas no triângulo retângulo e o
estudo do Teorema de Pitágoras, com verificações experimentais e
demonstração.
Atenção!
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Destaca-se também o trabalho com a construção de retas paralelas e
perpendiculares, fazendo uso de réguas, esquadros e softwares, as
relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas
por uma transversal e as demonstrações dessas relações, bem como o
estudo dos teoremas de proporcionalidade e verificações experimentais.
Da mesma forma, a construção de figuras semelhantes a partir da
ampliação e redução de figuras planas em malhas quadriculadas, as
vistas ortogonais de figuras espaciais e as planificações e relações
entre os elementos dos prismas e das pirâmides (vértices, faces e
arestas). E ainda o estudo da circunferência, compreendendo-a como
lugar geométrico e explorando as relações entre arcos e ângulos na
circunferência de um círculo.
Habilidades matemáticas para anos �nais
Diferentes habilidades contemplam o plano cartesiano, remetendo ao
estudo da Geometria Analítica. Dentre elas estão incluídas associar
pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano do 1º
quadrante, em situações como:
 Localizar vértices de um polígono.
 Realizar transformações de polígonos
representados no plano cartesiano, decorrentes da
multiplicação das coordenadas de seus vértices por
um número inteiro.
 Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o
simétrico de figuras em relação aos eixos e à
origem.
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Outras habilidades se relacionam à Geometria Plana. Conforme indica a
Base, uma das habilidades refere-se a reconhecer, nomear e comparar
polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, e classificá-los em
regulares e não regulares, tanto em suas representações no plano como
em faces de poliedros. Também reconhecer e construir figuras obtidas
por transformações; calcular medidas de ângulos internos de polígonos
regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos
internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à
construção de mosaicos e de ladrilhamentos; aplicar os conceitos de
mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução de
problemas.
Em relação aos triângulos, destacam-se as seguintes habilidades:
 Determinar o ponto médio de um segmento de reta
e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as
coordenadas desses pontos no plano cartesiano,
sem o uso de fórmulas, e utilizar esse
conhecimento para calcular, por exemplo, medidas
de perímetros e áreas de figuras planas construídas
no plano.
 Identificar suas características e classificá-los em
relação às medidas dos lados e dos ângulos.
 Construir triângulos usando régua e compasso,
reconhecendo a condição de existência do triângulo
quanto à medida dos lados e verificando que a
soma das medidas dos ângulos internos de um
triângulo é 180°.
 Reconhecer sua rigidez geométrica como
propriedade intrínseca a essa forma e suas
aplicações, por exemplo, na construção de
t t it tô i (t lh d t t
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A Geometria Espacial é contemplada no estudo de prismas e pirâmides,
cujas habilidades compreendem quantificar e estabelecer relações entre
o número de seus vértices, faces e arestas, em função do seu polígono
da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial e,
também, reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar
esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.
Destaca-se ainda o estudo da circunferência, dos ângulos e de retas
paralelas cortadas por transversal, entre outras.
Competências e habilidades no
ensino médio
Competências especí�cas da Matemática para
o ensino médio
A BNCC indica que a etapa do ensino médio prevê a continuidade das
aprendizagens desenvolvidas nas etapas anteriores, com foco na
construção de uma visão integrada da Matemática, relacionada à
realidade, em diferentes contextos.
Isso posto, faz-se necessário considerar as vivências cotidianas dos
estudantes desse nível de ensino, diretamente afetados pelos avanços
tecnológicos, pelo mercado de trabalho, pelas mídias sociais, o que
evidencia a importância do domínio das tecnologias digitais e dos
aplicativos, para promoção, tanto da investigação em matemática
quanto do pensamento computacional.
A resolução de problemas que envolvem conhecimentos geométricos
promove o desenvolvimento do pensamento geométrico, sobre o qual a
Base explicita que os estudantes:
estruturas arquitetônicas (telhados, estruturas
metálicas e outras) ou nas artes plásticas.
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Desenvolvem habilidades para
interpretar e representar a
localização e o deslocamento de
uma figura no plano cartesiano,
identificar transformações
isométricas e produzir ampliações e
reduções de figuras. Além disso, são
solicitados a formular e resolver
problemas em contextos diversos,
aplicando os conceitos de
congruência e semelhança.
(BRASIL, 2018, p. 527)
Para a área de Matemática e suas Tecnologias, a BNCC apresenta cinco
competências específicas para o ensino médio, em uma organização
que difere daquela utilizada no ensino fundamental, no tocante às
unidades temáticas. Nessa etapa, são apresentadas apenas três
unidades temáticas agrupadas, dentre as quais Geometria e Medidas é
uma delas, ou seja, o texto da Base reúne as habilidades de Geometria
às de grandezas e medidas.
Assim, é importante também identificar o que a Base informa sobre
essa unidade, anteriormente apresentada separadamente da Geometria:
No que se refere a grandezas e
medidas, os estudantes constroem
e ampliam a noção de medida, pelo
estudo de diferentes grandezas, e
obtêm expressões para o cálculo da
medida da área de superfícies
planas e da medida do volume de
alguns sólidos geométricos.
(BRASIL, 2018, p. 527)
No texto da BNCC, a etapa do ensino médio apresenta um quadro
síntese com as cinco competências específicas e, na sequência,
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comenta cada competência, indicando em um quadro as respectivas
habilidades a ela relacionadas, sem referência aos objetos de
conhecimento como no nível anterior. As habilidades da unidade
temática Geometria e Medidas (BRASIL, 2018, p. 532-541) estão
relacionadas às competências específicas um, dois, três e cinco, com
maior ênfase nas duas últimas.
Habilidades para o ensino de Geometria e
medidas no ensino médio
As habilidades apresentadas para a unidade temática Geometria e
Medidas na BNCC para a etapa do Ensino Médio são em número de 12.
Dessas habilidades, duas estão relacionadas à competência específica
1, apenas uma habilidade é relacionada à competência 2, e cinco e
quatro habilidades se relacionam às competências específicas 3 e 5,
respectivamente.
As habilidades que se referem à interpretação e compreensão de textos
científicos ou divulgados pelas mídias, com o empregode unidades de
medida de diferentes grandezas e as conversões possíveis entre elas,
bem como à utilização de noções de transformações isométricas e
transformações homotéticas para construir figuras e analisar elementos
da natureza e diferentes produções humanas, são relacionadas à
competência específica 1.
A única habilidade dessa unidade temática que se relaciona à
competência específica 2 é propor ou participar de ações adequadas às
demandas da região, em particular de sua comunidade, envolvendo
medições e cálculos diversos (perímetro, área, volume, capacidade ou
massa).
Cinco habilidades estão relacionadas à competência específica 3 para o
Ensino Médio; essas habilidades referem-se à:
Primeira habilidade da Competência 3
Cálculos de áreas em situações reais.
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Segunda habilidade da Competência 3
Aplicação de relações métricas na resolução e elaboração de
problemas diversos envolvendo triângulos.
Terceira habilidade da Competência 3
Resolução e elaboração de problemas que envolvem o cálculo
de áreas totais e de volumes de sólidos geométricos em
situações reais.
Quarta habilidade da Competência 3
Utilização da notação científica para expressar uma medida,
reconhecendo que toda medida é inevitavelmente
acompanhada de erro.
Quinta habilidade da Competência 3
Resolução e elaboração de problemas que envolvem grandezas
determinadas pela razão ou pelo produto de outras grandezas.
As últimas quatro habilidades da unidade temática Geometria e
Medidas para o ensino médio estão relacionadas à competência
específica 5 e se referem à:
Primeira habilidade da Competência 5
Investigação de processos de cálculo da medida do volume de
prismas, pirâmides, cilindros e cones, incluindo o princípio de
Cavalieri, para a obtenção das fórmulas para esse cálculo.
Segunda habilidade da Competência 5
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Resolução de problemas de ladrilhamentos de planos.
Terceira habilidade da Competência 5
Representação gráfica da variação de área e perímetro de
polígonos cujos comprimentos dos lados variam.
Quarta habilidade da Competência 5
Investigação da deformação de ângulos e áreas provocada
pelas diferentes projeções usadas em cartografia, todas com
apoio ou não de tecnologia digital.
Metodologias e materiais para
educação básica
Metodologias e material no ensino da
Geometria
Confira agora os recursos possíveis no âmbito de metodologias e
material no ensino da Geometria na educação básica.
Metodologias para o ensino de Geometria
Para o caso do ensino da Geometria na educação infantil e nos anos
iniciais do ensino fundamental, a Base deixa evidente a exploração de
situações vinculadas à realidade das crianças, contemplando inclusive

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as relações a serem estabelecidas com o próprio corpo (acima, abaixo,
esquerda, direita), bem como com objetos e representações que
remetam às aplicações da geometria, tais como pintura, colagem, obras
de arte, objetos variados. Tais situações permitem reconhecer a
presença das formas geométricas, contribuindo assim para a
apropriação das crianças de suas características e propriedades.
Da mesma forma, é fundamental desenvolver o senso de localização
espacial dos estudantes da educação infantil, o que pode ser facilitado
pela promoção de atividades, como caça ao tesouro, produção de
mapas de trajetos externos ou internos à escola, bem como pela
problematização temporal, com exploração dos conceitos de dia
(ontem, hoje, amanhã) ou ainda dos tempos de um mesmo dia (manhã,
tarde, noite).
Para os anos finais do ensino fundamental, momento de consolidação e
ampliação das aprendizagens realizadas, a resolução de problemas, de
investigação e o desenvolvimento de projetos e modelagem podem ser
citados como estratégias privilegiadas da atividade matemática:
A Geometria não pode ficar reduzida
a mera aplicação de fórmulas de
cálculo de área e de volume... A
equivalência de áreas, por exemplo,
já praticada há milhares de anos,
permite transformar qualquer região
poligonal plana em um quadrado
com mesma área. Isso permite,
inclusive, resolver geometricamente
problemas que podem ser
traduzidos por uma equação do 2º
grau.
(BRASIL, 2018, p.271-272)
Se na educação infantil e no ensino fundamental é preciso ir além dos
cálculos no caderno e utilizar-se de propostas que envolvam o aluno
com o uso de materiais variados, no ensino médio, o ensino da
Geometria deve contemplar metodologias que privilegiem o uso de
malhas quadriculadas, do plano cartesiano, de materiais concretos que
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permitam a visualização das propriedades dos sólidos geométricos,
instrumentos de desenho variados (compassos, transferidor, réguas) e,
sobretudo, de softwares ou aplicativos de Álgebra e Geometria
Dinâmica.
Materiais didáticos para o ensino de Geometria
O uso de materiais, como malhas quadriculadas, favorecem as
representações e sobretudo permitem ao aluno visualizar as
transformações geométricas previstas entre as habilidades
contempladas no ensino de Geometria, porém outros recursos podem
ser valiosos, ampliando as possibilidades das malhas em papel.
Um exemplo disé o uso do geoplano, que normalmente se constitui por
uma superfície plana de madeira ou outro material, que permita a
fixação de hastes (comumente pregos) com igual afastamento e em
determinada disposição (em geral quadrangular) que servirão de
vértices para a representação de polígonos. Isso facilita a visualização
das transformações geométricas, o estudo da simetria e, também, de
cálculos de áreas e perímetros.
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Modelos de obras de arte e de figuras diversas podem ser excelentes
materiais para a promoção de releituras com o uso de figuras
geométricas, bem como para exercícios de redução ou ampliação, com
o uso de malhas quadriculadas.
O uso de sólidos geométricos de madeira, acrílico ou mesmo
produzidos com papel ou com embalagens recicladas contribui para a
construção das relações espaciais nas figuras, para melhor visualização
de suas propriedades, facilitando a compreensão de conceitos como
arestas, vértices, altura, apótema, diagonal etc.
Além disso, as figuras espaciais desmontáveis (como embalagens em
papel) contribuem nos processos de planificação e suas
representações.
As dobraduras podem ser utilizadas no desenvolvimento de conceitos
geométricos, bem como na elaboração de fluxogramas para a
construção de polígonos e, ainda, na confecção de sólidos geométricos.
Também o uso de jogos ou quebra-cabeças industrializados ou
produzidos na escola podem ser grandes aliados para o ensino da
Geometria, a exemplo do tangram.
Jogo semelhante a tangram.
Finalmente, destaca-se o importante papel das tecnologias, seja pelo
uso de aplicativos ou de programas mais elaborados, a exemplo do
GeoGebra, especialmente produzido para uso nas aulas de Matemática
ou das planilhas eletrônicas, que podem contribuir, também, no ensino
da Geometria.
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
A Matemática do ensino fundamental na BNCC é organizada em
unidades temáticas, que são divididas em objetos do conhecimento
com suas respectivas habilidades.Sobre a unidade temática
Geometria, considerando a fase dos anos iniciais desse nível de
ensino, é correto afirmar que:
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Parabéns! A alternativa E está correta.
Nos anos iniciais do ensino fundamental, a Base prevê o
desenvolvimento da Geometria, incluindo o estudo dos padrões ou
regularidades, de modo que as crianças percebam os elementos
faltantes, sejam objetos ou figuras, em determinadas sequências.
Questão 2
O ensino médio, segundo a BNCC, tem por compromisso a
continuidade das aprendizagens desenvolvidas nas demais etapas
da Educação Básica, buscando uma visão integrada da Matemática
à realidade, visando à resolução de problemas que envolvem, entre
outros, o conhecimento geométrico. Para resolver problemas dessa
natureza, é fundamental o desenvolvimento do pensamento
A
Uma das habilidades destaca a utilização de figuras
geométricas para ladrilhamentos, a partir do estudo
das áreas das figuras planas.
B
Dentre os objetos de conhecimento, a Base indica a
resolução de problemas envolvendo áreas e
perímetros das figuras planas, com o uso de
fórmulas.
C
Cálculo de volume (de prismas e pirâmides) e de
áreas (de polígonos quaisquer) figuram entre os
objetos do conhecimento previstos na Base.
D
Uma das habilidades a ser desenvolvida refere-se ao
uso de nomenclatura correta e unidades de medida
padrão para a medição de comprimentos.
E
As habilidades contemplam descrever, seguido ao
reconhecimento de determinada regularidade, os
elementos ausentes em sequências discursivas,
como objetos ou figuras.
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geométrico.
Sobre esse pensamento, em consonância com a Base, é correto
afirmar que:
Parabéns! A alternativa B está correta.
A BNCC indica que, em relação ao pensamento geométrico, os
estudantes desenvolvem habilidades para interpretar e representar
a localização e o deslocamento de uma figura no plano cartesiano,
identificar transformações isométricas e produzir ampliações e
reduções de figuras.
A
Desenvolve-se prioritariamente com o uso de
metodologias que envolvem a elaboração de
problemas de Geometria.
B
Tem relação com habilidades de interpretação e
representação da localização e do deslocamento de
figuras no plano cartesiano.
C
Está intimamente relacionado ao uso de materiais
concretos e manipuláveis, como embalagens vazias
em formato de figuras geométricas.
D
É um tipo especial de pensamento que se
desenvolve a partir do uso das tecnologias digitais,
tais como aplicativos para celular, entre outros.
E
O seu desenvolvimento permite identificar a relação
de dependência entre duas grandezas em contextos
diversos.
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3 - Habilidades de Grandezas e Medidas na BNCC
Ao �nal deste módulo, você será capaz de relacionar os objetos de conhecimento e
habilidades propostas na BNCC para Grandezas e Medidas com metodologias e materiais para
o seu ensino.
As séries iniciais do ensino
fundamental
Objetos de conhecimento de Grandezas e
Medidas: anos iniciais
A unidade Grandezas e Medidas, presente na BNCC para o ensino
fundamental, tem entre seus objetivos o estudo das medidas e das
relações entre elas - ou seja, das relações métricas - e o uso correto de
instrumentos diversos a serem usados para a medição de grandezas de
diferentes naturezas.
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No mundo físico, praticamente tudo pode ser mensurado, e as medidas
têm como papel quantificar as grandezas, sendo fundamentais para a
compreensão da realidade. Conforme o texto da Base, essa unidade
temática favorece a integração da Matemática a outras áreas de
conhecimento, tais como Ciências ou Geografia.
Ciências
Em atividades que envolvam densidade, grandezas e escalas do sistema
solar, energia elétrica etc.
Geogra�a
Em atividades que envolvam coordenadas geográficas, densidade
demográfica, escalas de mapas e guias etc.
Essa unidade permite também a aplicação e contextualização de
distintas noções geométricas, visto que, por exemplo, o conceito de área
fará mais sentido aos estudantes à medida que a área das figuras possa
ser mensurada.
Para os anos iniciais, o trabalho deve priorizar o reconhecimento de que
medir é comparar uma grandeza com uma unidade e expressar o
resultado da comparação por meio de um número. É fundamental o
trabalho com a resolução de problemas envolvendo situações de
compra e venda que desenvolvam, por exemplo, atitudes éticas e
responsáveis em relação ao consumo.
Também se deve explorar as medidas de comprimento, massa e
capacidade (comparações e unidades de medida não convencionais), de
modo que se encaminhe o trabalho para a exploração das unidades
padronizadas ou convencionais de comprimento (metro, centímetro e
milímetro), de capacidade e de massa (litro, mililitro, cm3, grama e
quilograma). O uso de instrumentos de medidas, bem como registro,
estimativas e comparações, também figuram entre os objetos de
conhecimento.
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Destaca-se também o estudo das medidas de tempo (unidades de
medida de tempo, suas relações e o uso do calendário, leitura de horas
em relógios digitais e analógicos, duração de eventos e intervalos e
ordenação de datas) e do sistema monetário brasileiro (estabelecimento
de equivalências de um mesmo valor na utilização de diferentes cédulas
e moedas), a partir da resolução de problemas.
Sistema monetário brasileiro
Estabelecimento de equivalências de um mesmo valor na utilização de
diferentes cédulas e moedas.
Além disso, podemos citar o cálculo de áreas de figuras construídas em
malhas quadriculadas e a comparação por sobreposição, bem como o
cálculo de perímetro de figuras poligonais e, também, o trabalho com a
noção de volume. E, ainda, as medidas de temperatura em graus
Celsius, visando à construção de gráficos para indicar a variação da
temperatura (mínima e máxima) medida em dado dia ou semana.
Habilidades para ensino de Grandezas e
Medidas: anos iniciais
O foco é o desenvolvimento de habilidades relacionadas à medição de
comprimento, capacidade e massa, bem como ao cálculo de perímetros,
áreas e volumes. Também a medição de tempo e temperatura figuram
entre as habilidades, bem como aquelas relativas ao sistema monetário.
Em linhas gerais, essas habilidades incluem os processos de medidas
em geral, contemplando comparar comprimentos, capacidades ou
massas, para ordenar objetos de uso cotidiano, utilizando estratégias
pessoais e unidades de medida não padronizadas ou padronizadas e
instrumentos adequados.
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Incluem ainda reconhecer que o resultado de uma medida depende da
unidade de medida utilizada e que essa, assim como o instrumento,
precisa ser o mais apropriado para medições de comprimento, tempo e
capacidade. Estimar e medir capacidade e massa, reconhecendo-as em
leitura de rótulos e embalagens, entre outros.
Outras habilidades são medir, comparar e estimar área de figuras planas
desenhadas em malha quadriculada, reconhecendo que duas figuras
com formatos diferentes podem ter a mesma medida de área, bem
como concluir, por meio de investigações, que figuras de perímetros
iguais podem ter áreas diferentes, ou o contrário.Além disso, resolver e
elaborar problemas envolvendo medidas diversas,recorrendo a
transformações entre as unidades mais usuais em contextos
socioculturais, respeitando a cultura local. Reconhecer volume como
grandeza coligada a sólidos geométricos e medir volumes.
Também estão contempladas as medidas de tempo como relatar
sequências de acontecimentos relativos a um dia, relacionando os
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horários dos eventos, a partir do reconhecimento dos períodos do dia,
bem como dos dias da semana e meses do ano, com utilização ou não
de calendários. Produzir registros de datas diversas, indicando
intervalos de tempos entre elas, visando a gestão e organização do
tempo. Medir, ler e registrar intervalos de tempo, utilizando relógios
(analógico e digital). Aqui espera-se elaboração de gráficos e planilhas,
inclusive no formato digital.
Acerca do sistema monetário, destaca-se reconhecer e relacionar
valores de moedas e cédulas brasileiras para resolver situações simples
do cotidiano do estudante, bem como para resolver e elaborar
problemas envolvendo compra e venda. Estabelecer a equivalência e
comparação de valores entre moedas e cédulas, dentre outras
possibilidades em situações de compra e venda e formas de
pagamento, utilizando termos como troco e desconto.
As séries �nais do ensino
fundamental
Objetos de conhecimento de Grandezas e
Medidas: anos �nais
Aqui, espera-se que os alunos reconheçam comprimento, área, volume e
abertura de ângulo como grandezas associadas a figuras geométricas,
conseguindo resolver problemas envolvendo essas grandezas,
utilizando unidades de medida padronizadas. Espera-se também que
compreendam e utilizem as relações entre essas grandezas, bem como
entre elas e as grandezas não geométricas, contribuindo assim para o
estudo das grandezas derivadas (densidade, velocidade, energia,
potência, entre outras). A Base ainda define que:
Os alunos devem determinar
expressões de cálculo de áreas de
quadriláteros, triângulos e círculos, e
as de volumes de prismas e de
cilindros. Outro ponto a ser
destacado refere-se à introdução de
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medidas de capacidade de
armazenamento de computadores
como grandeza associada a
demandas da sociedade moderna.
Nesse caso, é importante destacar o
fato de que os prefixos utilizados
para byte (quilo, mega, giga) não
estão associados ao sistema de
numeração decimal, de base 10...
(BRASIL, 2018, p. 273-274)
Dentre os objetos de conhecimento, destacam-se problemas sobre
medidas envolvendo grandezas como comprimento, massa, tempo,
temperatura, área, capacidade e volume (incluindo prismas e cilindros),
utilizando unidades de medida convencionais mais usuais. Apontamos
ainda a equivalência de área de figuras planas e cálculo da área do
círculo e comprimento de sua circunferência.
O estudo dos ângulos também é contemplado nos objetos de
conhecimento para os anos finais:
Noção, usos e medida de plantas baixas e vistas aéreas;
perímetro de um quadrado como grandeza proporcional à
medida do lado.
A BNCC considera, ainda, entre os objetos de conhecimento da unidade
temática Grandezas e Medidas, as unidades de medida para medir
distâncias muito grandes e muito pequenas e, considerando a
importância das tecnologias digitais, também figuram as unidades de
medida utilizadas na informática como elemento a ser trabalhado nos
anos finais do ensino fundamental.
Habilidades matemáticas para o ensino de
Grandezas e Medidas: anos �nais
As habilidades previstas na BNCC para os anos finais do ensino
fundamental na unidade temática Grandezas e Medidas dão
continuidade àquelas desenvolvidas nos anos iniciais e contemplam
resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas comprimento,
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massa, tempo, temperatura, área (triângulos e retângulos), capacidade e
volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de
fórmulas, inseridos, sempre que possível, em contextos oriundos de
situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento.
Cabe destacar que outra habilidade a ser contemplada
prevê o reconhecimento de que toda medida empírica é
aproximada.
Complementando os cálculos sem o uso de fórmulas, a Base prevê
entre as habilidades estabelecer expressões de cálculo de área de
triângulos e de quadriláteros e também resolver e elaborar problemas de
cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser
decompostas por quadrados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a
equivalência entre áreas.
As habilidades também contemplam analisar e descrever mudanças
que ocorrem no perímetro e na área de um quadrado ao se ampliarem
ou reduzirem, igualmente, as medidas de seus lados, para compreender
que o perímetro é proporcional à medida do lado, o que não ocorre com
a área.
Conhecimentos da realidade também �guram na
habilidade de interpretar, descrever e desenhar plantas
baixas simples de residências e vistas aéreas.
Os ângulos figuram entre as habilidades de reconhecer a sua abertura
como grandeza associada às figuras geométricas, resolver problemas
que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos e em
situações reais, como ângulo de visão e, também, determinar medidas
da abertura de ângulos, por meio de transferidor e/ou tecnologias
digitais.
O trabalho com os números irracionais também é contemplado dentre
as habilidades da unidade temática Grandezas e Medidas e prevê
estabelecer o número pi como a razão entre a medida do comprimento
de uma circunferência e seu diâmetro.
Finalmente, a Base prevê o trabalho com grandezas de diferentes áreas
de conhecimento, em habilidades de reconhecer e empregar unidades
usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas, tais
como distância entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou
de células, capacidade de armazenamento de computadores, entre
outros e, também, resolver e elaborar problemas que envolvam medidas
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de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de
expressões de cálculo, em situações cotidianas.
Metodologias e materiais no ensino
de Grandezas e Medidas
Confira agora os recursos possíveis no âmbito da metodologias e
materiais no ensino de Grandezas e Medidas.
O trabalho com Grandezas e Medidas:
metodologias
Assim como no caso da Geometria, o trabalho com Grandezas e
Medidas deve ser iniciado ainda na etapa referente à educação infantil.
É importante compreender sua presença no cotidiano das crianças, pois
diversas atividades e brincadeiras envolvem comparações que
carregam a ideia de medida como, por exemplo, no tamanho dos
objetos, pesos, volumes, diferenças de temperatura, entre outras. Além
disso, o trabalho com as noções de temporalidade são fundamentais
nessa fase da educação básica.
Essa unidade temática, no que se refere à grandeza tempo, precisa ser
objeto de trabalho do professor, inicialmente pela exploração de
conceitos básicos como de antes, depois, agora, evoluindo para ideias
que envolvem as partes do dia (manhã, tarde, noite) e até mesmo os
dias da semana.

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A compreensão de que há tempos determinados e diferentes para a
realização das atividades na educação infantil promove o
estabelecimento de rotinas, importante para o desenvolvimento das
crianças. Para o desenvolvimento da ideia de sequências, o trabalho
com figuras que demonstram determinada atividade realizada em
etapas podeser uma opção metodológica para o professor.
Questões como as que envolvem áreas e volumes, por exemplo, podem
ser exploradas indiretamente pelo professor por meio de atividades
físicas em que o “lugar” seja limitado, tanto no plano (metro quadrado)
quanto no espaço (metro cúbico). Apesar de não ser um objeto de
trabalho da educação infantil, as crianças, certamente, já ouviram essas
expressões em seu dia a dia.
Por isso, há de se considerar os contextos do cotidiano, que devem
estar presentes na tomada de decisão sobre as metodologias, visto que
o texto da Base se orienta pelo pressuposto de que a aprendizagem em
Matemática se relaciona diretamente à compreensão, à apreensão de
significados dos objetos matemáticos, sem deixar de lado suas
aplicações:
Os signi�cados desses
objetos resultam das
conexões que os alunos
estabelecem entre eles e os
demais componentes, entre
eles e seu cotidiano e entre
os diferentes temas
matemáticos.
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(BRASIL, 2018, p. 276)
O trabalho com medidas, de acordo com a Base, deve preferencialmente
ser iniciado pelo uso de unidades não convencionais. Assim, o
comprimento do tampo da classe pode ser medido com palitos ou
pedaços de cordões.
Além dos diferentes materiais é importante incluir a história da
Matemática como recurso que pode despertar interesse nos alunos e
representar um contexto com significado para aprender e ensinar
Matemática, entre outros recursos como a literatura infantil para os
anos iniciais, em que conhecimentos de grandezas e medidas podem
ser mobilizados.
Atenção!
Se nos anos iniciais o uso de unidades de medidas não padronizadas
deve ser o ponto de partida do trabalho, nos anos finais é o momento de
formalizar as unidades, com o emprego de unidades padrão para medir
áreas e volumes. Além disso, grandezas não geométricas, para estudar
grandezas derivadas como densidade, velocidade, energia, potência,
entre outras, precisam ser exploradas nos anos finais.
Cabe registrar que, nessa fase da escolarização, os cálculos de áreas e
volumes já devem explorar as expressões e fórmulas matemáticas
próprias da Geometria, a partir da investigação dos estudantes das
regularidades presentes nessas grandezas.
Finalmente, as metodologias a serem utilizadas, principalmente nos
anos finais, explorando as unidades padrão de medida, não podem
dispensar o uso das tecnologias digitais, desde as bem simples, como
calculadoras, até as mais complexas, como o uso de trenas eletrônicas
e softwares, dialogando com o avanço tecnológico, nem sempre
presente nas escolas.
O ensino de Grandezas e Medidas: os
recursos didáticos
Considerando as possibilidades metodológicas anunciadas, destacam-
se alguns materiais que poderão contribuir para o desenvolvimento de
aulas mais dinâmicas em que a aprendizagem seja, de fato, interessante
ao aluno.
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Materiais diversos como palitos e cordões de diferentes tamanhos são
importantes para a introdução de conceitos como comprimento e
perímetro.
Já para o tratamento das áreas, é interessante o uso de tampas de
caixas, almofadas ou outros materiais que permitam ser distribuídos na
superfície a ser medida.
O uso de unidades não convencionais de medida é indicado para os
anos iniciais, para que os alunos percebam que medir é comparar e que
existe a necessidade de uma padronização.
Também nessa fase o uso da literatura infantil e de materiais como
Tangram, balanças de equilíbrio, potes de tamanhos diversos, entre
outros materiais, são importantes para o desenvolvimento das
habilidades da unidade temática Grandezas e Medidas.
Nos anos finais, os alunos precisam dar continuidade à elaboração das
ideias matemáticas e, para tanto, faz-se necessário o uso de materiais
oficiais de medição, como metros, trenas, trenas eletrônicas, réguas,
além de compassos e transferidores, para o estudo dos ângulos e suas
medidas.
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Portadores numéricos como calendários e agendas são necessários
desde a educação infantil e podem ser usados até mesmo ao longo dos
anos finais, visto que, muitas vezes, os alunos ainda apresentam
dificuldades não superadas nos anos iniciais, principalmente quando
nos referimos à Matemática.
O uso de malhas quadriculadas para o estudo das áreas de figuras
planas, a ser determinada pela contagem dos quadradinhos ou de
metades de quadradinho, bem como o uso do Geoplano, contribui para a
compreensão desse conceito. Já para o caso das medidas de volumes,
a Base aconselha o uso de empilhamento de cubos, utilizando,
preferencialmente, objetos concretos.
Recortes em papel ou E.V.A. de figuras que podem ser decompostas por
outras, cujas áreas podem ser facilmente determinadas como triângulos
e quadriláteros, contribuem para o estudo futuro das áreas de polígonos
na Geometria Analítica.
Retalhos de E.V.A.
A BNCC, entretanto, destaca que, além dos diferentes recursos didáticos
e materiais, como malhas quadriculadas, ábacos, jogos, calculadoras,
planilhas eletrônicas e softwares de Geometria Dinâmica, outros
recursos podem ser utilizados, como a já anunciada história da
Matemática, que não deve se restringir à apresentação de personagens
famosos ou fatos pitorescos da história. Deve, sim, evidenciar a
matemática como uma construção humana e, portanto, sujeita ao erro e,
principalmente, como uma ciência viva, produzida em distintos
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contextos, por diferentes civilizações, em busca da resolução de
problemas do cotidiano e, também, como passatempo em
determinados contextos, como para os pitagóricos, por exemplo.
Para finalizar, cabe destacar que todos os materiais precisam estar
integrados a situações que levem à reflexão e à sistematização e,
quando possível, remetam a situações cotidianas, para que, ao mesmo
tempo em que se inicie um processo de formalização, evidenciem-se
suas aplicações na vida dos estudantes.
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
A unidade temática Grandezas e Medidas apresenta distintos
objetos de conhecimento para os anos finais do ensino
fundamental.
Considerando tais objetos de conhecimento, avalie as afirmações a
seguir:
I - Resolução de problemas sobre medidas envolvendo diferentes
grandezas: comprimento, massa, tempo, temperatura, área, com
uso de unidades de medida convencionais mais usuais.
II - Unidades de medidas muito grandes e muito pequenas tais
como as utilizadas na informática, dada a importância das
tecnologias digitais.
III - Estudo das medidas de tempo com leitura de horas em relógios
digitais e analógicos, identificação da duração de eventos e
intervalos e ordenação de datas.
IV - Investigação de processos de cálculo da medida do volume de
prismas, pirâmides, cilindros e cones, incluindo o princípio de
Cavalieri.
Marque a alternativa que apresenta as afirmações corretas sobre os
objetos de conhecimento da unidade Grandezas e Medidas para os
anos finais do Ensino Fundamental:
A I e II.
B I, III e IV.
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Parabéns! A alternativa A está correta.
A BNCC apresenta, entre os objetos de conhecimento de Grandezas
e Medidas para os anos finais do Ensino Fundamental,que os
estudantes devem resolver problemas sobre medidas envolvendo
grandezas como comprimento, massa, tempo, temperatura, área,
capacidade e volume (incluindo prismas e cilindros), utilizando
unidades de medida convencionais mais usuais. Equivalência de
área de figuras planas e cálculo da área do círculo e comprimento
de sua circunferência.
Considera, ainda, entre os objetos de conhecimento da unidade
temática Grandezas e Medidas, as unidades de medida para medir
distâncias muito grandes e muito pequenas e, considerando a
importância das tecnologias digitais, também figuram as unidades
de medida utilizadas na informática, como elemento a ser
trabalhado nos anos finais do Ensino Fundamental. Já o estudo das
medidas de tempo refere-se aos anos iniciais, e a investigação de
processos de cálculo de volumes com o princípio de Cavalieri, ao
Ensino Médio.
Questão 2
A BNCC defende que a aprendizagem de Matemática está
relacionada à compreensão de significados dos objetos
matemáticos, sem desconsiderar suas aplicações. Levando em
conta as possíveis metodologias para o trabalho com a unidade
temática Grandezas e Medidas para o ensino fundamental, marque
a resposta correta.
C III e IV.
D I, II e III.
E II e IV.
A
O uso de atividades e brincadeiras que envolvem
comparações com a ideia de medida é uma
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Parabéns! A alternativa D está correta.
A BNCC defende que o desenvolvimento das unidades temáticas da
Matemática deve estar conectado ao uso de tecnologias digitais,
nas diversas unidades temáticas, inclusive no que se refere a
grandezas e medidas, considerando o trabalho com os anos finais
do Ensino Fundamental.
Considerações �nais
alternativa metodológica indicada para os anos
finais do ensino fundamental.
B
O trabalho com os anos iniciais do ensino
fundamental deve partir das unidades
convencionais de medida para assegurar que as
crianças usem corretamente a linguagem
matemática.
C
Uma possível metodologia é a resolução de
problemas relacionados ao cotidiano, pois dispensa
o uso de materiais concretos para o trabalho com
medidas no ensino fundamental.
D
A metodologia a ser usada nos anos finais do
ensino fundamental no trabalho com a unidade
Grandezas e Medidas deve contemplar as
tecnologias digitais como calculadoras, trenas
eletrônicas e softwares.
E
As tecnologias, enquanto metodologia de ensino,
devem se pautar exclusivamente no uso de
computadores de última geração, para que se
proponha um ensino atualizado aos estudantes.
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O ensino-aprendizagem da Geometria é apresentado na BNCC de
formas distintas nas etapas que compõem a educação básica:
educação infantil, ensino fundamental e ensino médio. Para o caso da
educação infantil, encontramos referências a conhecimentos da
Geometria dentre os elementos que compõem os campos de
experiências, sem qualquer relação direta com a Matemática, visto a
organização própria a essa fase da escolarização.
Já para o ensino fundamental, a Base apresenta a Geometria como uma
das cinco unidades temáticas que compõem a área de Matemática,
sendo essa unidade caracterizada por objetos de conhecimento e suas
respectivas habilidades. Da mesma forma, também se organizam os
conhecimentos da unidade temática Grandezas e Medidas para esse
nível de ensino.
Para o ensino médio, a BNCC reúne duas unidades de conhecimento do
ensino fundamental (Geometria e Grandezas e Medidas) e apresenta a
unidade Geometria e Medidas, a qual irá contemplar as habilidades que
darão continuidades às trabalhadas nessas duas unidades do ensino
fundamental.
É importante registrar que o trabalho com a Geometria e com as
Grandezas e Medidas na educação básica tem por objetivo maior
contribuir para o desenvolvimento do pensamento geométrico, o qual irá
definir o ser e estar no mundo físico e as relações que os estudantes
estabelecem com os objetos de seu cotidiano.
Podcast
Ouça agora alguns aspectos tratados ao longo do conteúdo e sobre a
receptividade da BNCC pelos profissionais da educação.

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Confira agora as indicações que separamos especialmente para você!
No livro Laboratório de Ensino de Geometria, os autores Rogéria do
Rêgo, Rômulo do Rêgo e Kleber Vieira fazem sugestões, numa
linguagem clara e objetiva, sobre diversas atividades de Geometria a
serem desenvolvidas com os estudantes, com utilização de materiais
didáticos variados de baixo ou nenhum custo.
A autora Anne Rooney explora aspectos históricos do desenvolvimento
da Geometria, apresentando fatos relevantes sobre a Geometria
Euclidiana e seu principal autor, Euclides de Alexandria, no livro A
História da Matemática.
O filme Alexandria, uma produção espanhola de 2009, conta a história
de uma mulher grega à frente de seu tempo, a matemática, filósofa e
astrônoma Hipátia de Alexandria, que ousou lecionar na Academia
Neoplatônica, em uma época que mulheres não podiam ter acesso ao
conhecimento.
O Canal Base Nacional Comum Curricular - BNCC, na plataforma
YouTube, apresenta não somente conteúdo de formação, mas também
propostas metodológicas em diversas áreas do conhecimento.
Da mesma forma, o Portal Material de apoio, da própria BNCC, tem o
objetivo de inspirar e partilhar metodologias (planos de aula, tutoriais)
para o ensino das diversas áreas do conhecimento.
Referências
BOYER, C. História da Matemática. São Paulo: Blucher, 2012.
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular.
Brasília: MEC, 2018.
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