Estudo de Eletromagnetismo

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ELETROMAGNETISMO
Física
ELETROMAGNETISMO
Física
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1ª Edição 
Atualizada em: 
Agosto de 2021
Prezado estudante,
A equipe da EaD La Salle sente-se honrada em entregar a você este material didático. Ele 
foi produzido com muito cuidado para que cada Unidade de estudos possa contribuir com seu 
aprendizado da maneira mais adequada possível à modalidade que você escolheu para estudar: a 
modalidade a distância. Temos certeza de que o conteúdo apresentado será uma excelente base 
para o seu conhecimento e para sua formação. Por isso, indicamos que, conforme as orientações de 
seus professores e tutores, você reserve tempo semanalmente para realizar a leitura detalhada dos 
textos deste livro, buscando sempre realizar as atividades com esmero a fim de alcançar o melhor 
resultado possível em seus estudos. Destacamos também a importância de questionar, de participar 
de todas as atividades propostas no ambiente virtual e de buscar, para além de todo o conteúdo aqui 
disponibilizado, o conhecimento relacionado a esta disciplina que está disponível por meio de outras 
bibliografias e por meio da navegação online.
Desejamos a você um excelente módulo e um produtivo ano letivo. Bons estudos!
APRESENTAÇÃO
Sumário
UNIDADE 1
Eletrostática I ..............................................................................................................................................................7
Objetivo Geral ............................................................................................................................................................7
Parte 1
Conceitos Fundamentais da Eletrostática............................................................................................................................9
Parte 2
Cargas Elétricas e Forças .................................................................................................................................................25
Parte 3
Lei de Coulomb ................................................................................................................................................................45
Parte 4
Campo Elétrico .................................................................................................................................................................59
Parte 5
Lei de Gauss ....................................................................................................................................................................83
UNIDADE 2
Eletrostática II ...........................................................................................................................................................91
Objetivo Geral ..........................................................................................................................................................91
Parte 1
Potencial Elétrico ..............................................................................................................................................................93
Parte 2
Capacitores ....................................................................................................................................................................101
Parte 3
Capacitância e Capacitores ............................................................................................................................................119
UNIDADE 3
Eletrodinâmica ........................................................................................................................................................133
Objetivo Geral ........................................................................................................................................................133
Parte 1
Corrente Elétrica e Resistência Elétrica ...........................................................................................................................135
Parte 2
Leis de Ohm, Potência Elétrica e Energia Elétrica ............................................................................................................147
Parte 3
Circuitos Resistivos ........................................................................................................................................................165
Parte 4
Circuitos RC ...................................................................................................................................................................183
UNIDADE 4
Eletromagnetismo ..................................................................................................................................................189
Objetivo Geral ........................................................................................................................................................189
Parte 1
Campo Magnético ..........................................................................................................................................................191
Parte 2
A Lei de Ampère e os Solenóides ....................................................................................................................................205
Parte 3
Forças Magnéticas e Torques .........................................................................................................................................223
Parte 4
A Lei de Lenz e a Lei de Faraday ....................................................................................................................................235
Parte 5
Motores e Transformadores ............................................................................................................................................253
Eletrostática I
Prezado estudante,
Estamos começando uma unidade desta disciplina. Os textos que a compõem foram 
organizados com cuidado e atenção, para que você tenha contato com um conteúdo 
completo e atualizado tanto quanto possível. Leia com dedicação, realize as atividades e 
tire suas dúvidas com os tutores. Dessa forma, você, com certeza, alcançará os objetivos 
propostos para essa disciplina.
Objetivo Geral 
Compreender as propriedades das cargas elétricas em repouso, em relação a um sistema inicial de 
referência.
unidade 
1
V.1 | 2021
8 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Parte 1
Conceitos Fundamentais da Eletrostática
 
O conteúdo deste livro 
é disponibilizado
por SAGAH.
unidade 
1
V.1 | 2021
10 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Conceitos fundamentais 
da Eletrostática
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Compreender a natureza elétrica damatéria.
  Diferenciar as propriedades entre condutores e isolantes.
  Conhecer os processos de eletrização.
Introdução
A carga elétrica é a propriedade fundamental da matéria, disponível em 
todos os corpos, tornando-os sensíveis a interações. Para iniciarmos nossos 
estudos, vamos analisar as cargas elétricas em repouso. Porque as cargas 
elétricas exercem forças umas sobre as outras? Como podemos quantificar 
e aplicar estes conceitos de carga elétrica e força elétrica? Dois tipos de 
materiais, como o cobre e a madeira, possuem propriedades diferentes, 
o primeiro é um material condutor e o segundo é um material isolante, 
mas o que define isso?
Por fim, é possível alterarmos a quantidade de carga elétrica de um 
corpo através de diferentes processos, por exemplo por contato, quais 
outros processos podem ser utilizados e como funcionam? A partir dos 
conceitos apresentados neste capítulo, você será capaz de responder a 
estas e outras perguntas. 
Natureza elétrica da matéria
Desde o século XIX, cientistas investigam e propõem explicações sobre a 
constituição da matéria, ou seja, desenvolvem um modelo atômico.
Um desses modelos atômicos muito utilizados para compreender a natureza 
elétrica da matéria é o desenvolvido no decorrer do século XX, por Ernest 
Rutherford (1871-1937), e aperfeiçoado por Niels Bohr (1885-1962). Nesse 
Eletrostática I | UNIDADE 1
Conceitos Fundamentais da Eletrostática | PARTE 1 11
modelo, o átomo é formado por partículas menores, como elétrons, prótons 
e nêutrons. 
Na visão de Rutherford e Bohr, os elétrons orbitam o núcleo atômico, no 
qual dispõem-se os prótons e os nêutrons, formando um agrupamento surpre-
endentemente coeso. Tal modelo é bastante semelhantemente à representação 
planetária, onde os astros orbitam o Sol, que analogamente é o núcleo, e os 
elétrons comportam-se como os astros. A região onde os elétrons encontram-se 
é definida por eletrosfera. 
Esse modelo atômico está representado na Figura 1.
Figura 1. Modelo atômico proposto por Rutherford.
Fonte: Blog do ENEM (c2017).
Eletrón
Próton
Nêutron
Por meio de estudos sobre os fenômenos elétricos, foi possível verificar 
experimentalmente que prótons e elétrons têm comportamentos elétricos 
opostos. Por exemplo, se confrontarmos um corpo carregado com alguma 
dessas cargas, e em determinada circunstância um for atraído, o outro será 
repelido. Se um for desviado para a direita, o outro será para a esquerda. 
Essas propriedades estão associadas ao poder de atração ou repulsão que 
essas partículas apresentam.
Conceitos fundamentais da Eletrostática2
12 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Por isso, define-se carga elétrica como uma propriedade intrínseca das 
partículas fundamentais de que é feita a matéria. Em outras palavras, é uma 
propriedade associada à própria existência das partículas (HALLIDAY; RES-
NICK, 2012).
A Eletricidade é baseada nos conceitos de carga elétrica e, assim, ela torna-
-se tão importante quanto o conceito de massa para a Mecânica. 
Em todos os objetos, existe uma imensa quantidade de cargas elétricas, 
todavia raramente observamos essas propriedades, pois a maioria dos corpos 
contém quantidades iguais de dois tipos de cargas: as cargas positivas e as 
negativas. 
Quando ocorre essa igualdade, ou esse equilíbrio, de cargas, dizemos 
que o objeto está eletricamente neutro. Sendo assim, a carga total do corpo é 
zero. Utilizando o mesmo raciocínio, quando a quantidade de cargas positivas 
e negativas de um objeto for diferente, a carga total será diferente de zero. 
Dizemos, assim, que o corpo está eletricamente carregado. 
É valido notar que a diferença entre as quantidades de cargas negativas e 
positivas é sempre muito menor do que as quantidades absolutas dessas cargas 
em qualquer objeto.
Os corpos eletricamente carregados interagem, exercendo uma força sobre 
outros corpos. 
Você provavelmente já deve ter tomado um choque ao descer do carro. 
Isso ocorre porque o carro em movimento atrita-se com as moléculas de ar, 
carregando-se eletricamente. Quando você encosta nele, as cargas elétricas 
acumuladas são transferidas a você, produzindo a sensação de choque. 
Observando esses fenômenos, foi possível determinar a Lei de Atração e 
Repulsão, ou Lei das Cargas Elétricas, onde partículas com cargas de mesmo 
sinal repelem-se, e partículas com cargas de sinais diferentes atraem-se.
Essas forças são geralmente observadas quando as partículas estão pró-
ximas, tendo em vista que a força diminui com o aumento da distância entre 
as cargas. 
Vamos considerar as seguintes situações:
  Dois corpos neutros estão próximos o suficiente para haver atração 
ou repulsão; não haverá interação entre eles, pois os dois corpos são 
eletricamente neutros.
  Dois corpos são eletrizados com cargas de sinais opostos e colocados 
próximos o suficiente para haver atração ou repulsão; nesse caso, haverá 
uma atração mútua. 
3Conceitos fundamentais da Eletrostática
Eletrostática I | UNIDADE 1
Conceitos Fundamentais da Eletrostática | PARTE 1 13
  Dois corpos eletrizados com cargas de sinais iguais e próximos o su-
ficiente para haver atração ou repulsão repelem-se reciprocamente. 
  Um corpo eletrizado e um outro neutro são colocados próximos o sufi-
ciente para haver atração ou repulsão; o corpo eletrizado atrai o neutro. 
Tais situações são expressas na Figura 2. 
Figura 2. Atração e repulsão de cargas 
elétricas. 
Segundo o modelo de Rutherford-Bohr, elétrons e prótons são as menores 
partículas integrantes do átomo, e suas cargas elétricas são as menores exis-
tentes na natureza.
O próton possui uma massa quase 2 mil vezes maior que a do elétron. 
Apesar disso, a quantidade de carga elétrica dos dois é igual, em valor absoluto. 
Este valor absoluto foi definido como carga elétrica elementar, simbolizado 
por “e”, cujo valor foi encontrado de forma experimental, pela primeira vez, 
pelo físico estadunidense Robert Andrews Millikan (1868-1953), por meio da 
experiência que levou seu nome, a Experiência de Millikan.
Conceitos fundamentais da Eletrostática4
14 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
A Experiência de Millikan
A fim de determinar o valor da carga do elétron, Robert Millikan avaliou o comporta-
mento de gotículas de água eletrizadas submetidas à força peso e força elétrica, que 
atuavam simultaneamente. 
Millikan borrifou gotículas eletrizadas entre duas placas carregadas com sinais con-
trários (+ e -), localizadas no interior de um recipiente com vácuo. Consequentemente, 
as gotículas foram submetidas à força peso e à elétrica. As cargas da placa estavam 
reguladas de modo que as gotículas ficassem em equilíbrio. Nessa situação, a força 
elétrica e a força peso são iguais em módulo. Com esse procedimento, pode-se igualar 
as forças e, assim, calcular a quantidade de carga presente em uma gotícula (VÁLIO 
et. al., 2016).
Um elétron tem uma carga que vale -e, e um próton tem carga +e, ou seja, 
ambos possuem cargas iguais à carga elétrica elementar, porém com sinais 
opostos. 
A quantidade de carga Q de qualquer corpo ou objeto corresponde à quan-
tidade total de elétrons que esse corpo recebeu ou doou em relação ao seu 
estado eletricamente neutro. Para calculá-la, multiplicamos a quantidade de 
elétrons em ganhados ou cedidos pelo valor absoluto da carga elementar:
Q = ±n ∙ e (n ∈Z)
O sinal da carga elétrica indicará o estado de eletrização do corpo e, a 
partir dele, obtemos as seguintes conclusões:
  Se o corpo tiver carga positiva (+), quer dizer que o número de prótons 
será maior que o de elétrons; portanto, o corpo perdeu elétrons em 
relação ao estado eletricamente neutro.
  Se o corpo tiver carga negativa (-), significa que o número de elétrons 
é maior que o número de prótons; portanto, o corpo ganhou elétrons 
em relação ao estado eletricamente neutro.
Vamos considerar um corpo neutro: se este perder elétrons, ele ficará 
carregado positivamente; e se ganhar elétrons, ficará eletrizado negativamente.5Conceitos fundamentais da Eletrostática
Eletrostática I | UNIDADE 1
Conceitos Fundamentais da Eletrostática | PARTE 1 15
Observe que tratamos a eletrização como o acúmulo ou a falta de elétrons, 
pois eles são partículas eletrizadas presentes em todos os átomos e que podem 
mover-se pela eletrosfera com maior facilidade que os prótons presos ao núcleo. 
Contudo, não há impedimento para ocorrer a eletrização por recebimento 
ou doações de partículas elétricas positivas, como, por exemplo, no acréscimo 
de íons de prata (Ag+) em uma solução iônica, sob condições específicas.
A Figura 3 representa corpos eletricamente neutro, eletrizado negativamente 
e eletrizado positivamente.
Figura 3. Corpo a) eletricamente neutro, b) eletrizado negativamente e c) eletrizado 
positivamente.
A soma algébrica das quantidades de carga elétrica contidas em um sistema 
eletricamente isolado (que não realiza trocas de carga) é uma constante. Isso 
constitui o princípio de conservação de cargas elétricas.
Vamos considerar inicialmente três objetos, A,B e C, eletrizados e com 
cargas elétricas de QA, QB e QC, respectivamente. Após terem realizado trans-
ferências de cargas entre si, em um sistema eletricamente isolado, adquirem 
os seguintes valores de cargas: Q’A, Q’B e Q’C.
Segundo o princípio de conservação de cargas, temos:
QA + QB + QC= Q’A+ Q’B +Q’C → ∑Qantes = ∑Qdepois
Note que, no decorrer dos processos de eletrização, os elétrons não são 
criados e nem destruídos; eles são apenas trocados entre um corpo e outro, 
conforme estabelece o princípio de conservação de cargas. 
Conceitos fundamentais da Eletrostática6
16 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Três corpos carregados com Q1
 = 2µC, Q2
 = -4µC e Q3
 = 6µC, encontram-se em um 
sistema eletricamente isolado. Depois de algumas trocas de cargas entre eles, os corpos 
2 e 3 ficaram com cargas Q’2 = -2µC e Q’3 = 3µC. Pede-se o seguinte:
1. Determine a carga final do corpo 1 (Q’1).
2. O corpo 1 cedeu ou recebeu elétrons? Calcule o número de elétrons do corpo 1 
após as transferências. 
3. Após a troca de cargas, haverá atração ou repulsão entre os corpos 1 e 3? Explique. 
Resolução:
1. Pelo princípio de conservação de cargas elétricas, temos:
∑Qantes = ∑Qdepois
Q1 + Q2 + Q3 = Q’1 + Q’2 + Q’3
2µC + (-4µC) + 6µC = Q’1 + (-2µC) + 3µC
4µC = Q’1+ 1µC
Q’1 = 3µC
2. A quantidade de carga transferida pelo corpo 1 é dada por:
∆Q1 = Q’1 - Q1
∆Q1 = 3µC - 2µC
∆Q1 = 1µC
Para calcular o número de elétrons envolvidos nessas trocas, temos:
∆Q1 = n ∙ e
1µC = n ∙ 1,6 ∙ 10-19 C
n = 6,25 ∙ 1012 elétrons
3. Após as trocas de cargas, Q’1 = +3µC e Q’3 = +3µC, portanto, segundo o princípio 
de atração e repulsão de cargas elétricas, cargas de mesmo sinal repelem-se.
Propriedades de condutores e isolantes
As características dos condutores e dos isolantes (não condutores) devem-se 
à estrutura e às propriedades elétricas dos átomos. 
7Conceitos fundamentais da Eletrostática
Eletrostática I | UNIDADE 1
Conceitos Fundamentais da Eletrostática | PARTE 1 17
Os materiais podem ser classificados conforme a facilidade com a qual as 
cargas elétricas deslocam-se no seu interior. Temos, então:
  Nos condutores — como os metais, o grafite, as soluções eletrolíticas, os 
gazes ionizados, o corpo humano, a superfície da Terra, entre outros —, 
as cargas elétricas movem-se com facilidade. 
  Nos não condutores, ou isolantes ou dielétricos — como o ar seco, 
a água pura, o vidro, o plástico, a seda, a lã, o enxofre, a parafina, a 
madeira, a cortiça, a borracha, entre outros —, as cargas não se movem. 
  Os semicondutores — como o germânio, o silício, entre outros — têm 
propriedades elétricas ora iguais aos dos condutores e ora iguais aos 
dos isolantes. 
  Os supercondutores são condutores perfeitos, ou seja, materiais nos 
quais as cargas deslocam-se sem qualquer resistência.
Durante a formação de um sólido de material condutor, elétrons que estão 
mais afastados do núcleo — estando, portanto, mais fracamente atraídos — 
tornam-se livres e vagam pelo material. Esse processo gera átomos positiva-
mente carregados, íons positivos. A facilidade de ceder ou receber elétrons 
livres uns dos outros faz com que conduzam eletricidade. Esses elétrons livres 
recebem o nome de elétrons de condução. Os materiais isolantes possuem um 
número muito reduzido, ou mesmo nulo, de elétrons de condução. 
Os materiais condutores são assim chamados por conduzirem eletricidade — 
e mesmo que os materiais dielétricos não conduzam eletricidade, eles podem 
ser eletrizados. Geralmente isso ocorrerá em duas situações:
1. Um material isolante permanece com a carga elétrica localizada na 
região em que recebeu ou doou elétrons. Essa região atuará como um 
polo positivo ou negativo e exercerá atração ou repulsão sobre corpos 
com os quais interagir.
2. Ao submeter-se a forças elétricas externas, substâncias não condutoras 
formadas de moléculas polares podem orientar-se no interior do dielé-
trico. Dessa maneira, o objeto ainda permanece eletricamente neutro, 
tendo em vista que sua carga total permanece nula, porém agora estará 
polarizado e poderá atrair ou repelir outros objetos devido às polaridades 
que o corpo apresentará (Figura 4).
Conceitos fundamentais da Eletrostática8
18 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Figura 4. Isolante eletricamente neutro a) antes da polarização e b) polarizado.
Processos de eletrização
Um corpo é eletricamente neutro quando as quantidades de prótons e elétrons 
contidas nele forem iguais. Um corpo onde há excesso de uma dessas partículas, 
dizemos que está eletrizado. 
Existem diferentes processos para eletrizar corpos neutros, que são: eletri-
zação por contato, eletrização por atrito e eletrização por indução.
Na eletrização por contato, no mínimo, um dos corpos deve estar pre-
viamente eletrizado. Os corpos são aproximados, fazendo com que ocorra o 
contato entre eles, acarretando, assim, na transferência de carga. É importante 
entender que, na eletrização por contato, os corpos ficam com cargas do mesmo 
sinal que o objeto previamente eletrizado.
Esse processo de eletrização por contato está representado na Figura 5.
9Conceitos fundamentais da Eletrostática
Eletrostática I | UNIDADE 1
Conceitos Fundamentais da Eletrostática | PARTE 1 19
Figura 5. Eletrização por contato, onde a) os corpos atraem-se antes do contato e b) os 
corpos repelem-se depois do contato. 
Se o objeto eletrizador A e o eletrizado B forem esféricos e de mesmo material, com raios 
RA e RB diferentes, parte da carga do corpo A é transferida para o corpo B, obedecendo 
à proporcionalidade dos raios das esferas. Dessa forma, a relação entre as quantidades 
de cargas dos corpos (Q’A e Q’B) após o contato será proporcional aos seus raios, ou seja:
Q’A =
Q’B
RA
RB
Particularmente quando temos duas esferas iguais, de mesmo material e mesmo 
raio, depois de realizado o contato, cada uma delas terá metade da quantidade de 
carga total que havia antes do contato. 
A eletrização por atrito dá-se quando atritamos dois corpos de materiais 
diferentes, podendo ocasionar trocas de elétrons entre os objetos envolvidos. 
Após o atrito, um dos corpos estará carregado negativamente, pois recebeu 
elétrons do outro objeto. Consequentemente, o segundo corpo, que cedeu os 
elétrons, ficará eletrizado positivamente. 
Esse tipo de eletrização pode ser facilmente demonstrado da seguinte 
maneira: atrite uma régua plástica em uma folha de caderno repetidamente e 
em um único sentido; separe pequenos pedaços de papel picado (eletricamente 
neutros) e aproxime a régua deles; você verá que os pedaços de papel são 
atraídos para a régua, comprovando que o objeto está carregado e eletrizado 
pelo processo de atrito. 
Conceitos fundamentais da Eletrostática10
20 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Nesse tipo de eletrização, ao final do processo, os corpos adquirem cargas 
de sinais opostos. A fim de determinar qual dos corpos cederá e qual receberá 
elétrons,devemos consultar a Série Triboelétrica, conforme a Figura 6.
Figura 6. Série Triboelétrica.
A Série Triboelétrica informa o material que ficará eletrizado negativamente 
e o que será carregado positivamente. 
Os materiais à esquerda ficaram carregados negativamente e os mais à 
direita eletrizaram-se positivamente. 
Assim, se atritarmos um isopor contra nossa pele, supondo que os dois 
corpos estão eletricamente neutros, a pele humana cederá elétrons ao isopor. 
Sendo assim, o isopor ficará carregado negativamente e a pele, positivamente. 
11Conceitos fundamentais da Eletrostática
Eletrostática I | UNIDADE 1
Conceitos Fundamentais da Eletrostática | PARTE 1 21
A eletrização por atrito acontece devido aos elétrons dos materiais, que 
estão mais fracamente ligados aos núcleos — elétrons mais afastados —, 
serem transferidos para o outro material. Sobre a eletrização por atrito, ainda 
é importante considerar os seguintes fatos:
  Nem sempre é possível eletrizar dois corpos por atrito. Por exemplo, 
quando atritamos dois corpos de mesmo material, poderá não acontecer 
a troca de elétrons entre eles. 
  Na eletrização por atrito de corpos não condutores ou isolantes, o excesso 
de cargas permanecerá localizado na região do corpo onde ocorreu o 
atrito, semelhante ao ocorrido na eletrização por contato. 
  Na eletrização por atrito de materiais condutores, as cargas distribuir-
-se-ão por toda a sua superfície. Tal fenômeno ocorre devido à repulsão 
das cargas elétricas no interior do material, fazendo, assim, com que as 
cargas fiquem o mais distante possível umas das outras.
  Para manter um corpo eletrizado, é necessário isolá-lo, utilizando, por 
exemplo, um material dielétrico como apoio.
Na eletrização por indução, é possível eletrizar um corpo neutro sem a 
necessidade de encostar dois corpos, seja por atrito ou contato. 
Quando um condutor eletrizado, chamado de indutor, é aproximado de um 
condutor neutro, denominado “induzido”, ocorre uma indução eletrostática, 
ou seja, a separação de cargas no corpo neutro. Aproximando os corpos sem 
contato, ocorrerá uma movimentação de cargas no induzido. 
A eletrização por indução está representada na Figura 7.
Figura 7. Eletrização por indução a) antes da indução e b) durante a indução. 
Indutor
Indutor
Induzido Induzido
Carga induzida
a) b)
Conceitos fundamentais da Eletrostática12
22 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
A seguir, na Figura 8, está apresentada uma situação específica com indução 
eletrostática, em que é colocado um fio no condutor induzido, ligando-o ao 
solo. A essa ligação dá-se o nome de “aterramento”, pois possibilita o des-
locamento de cargas através do fio condutor à Terra. Quando a carga de um 
objeto é neutralizada pela retirada do excesso de cargas negativas ou positivas 
através do solo, dizemos que o objeto foi descarregado. 
O solo, por ser um corpo muito extenso, geralmente pode ser tratado 
como um corpo infinito em relação à maioria dos objetos, o que significa 
que a distribuição não altera em nada as propriedades dele, e, portanto, pode 
comportar-se doando ou recebendo elétrons. Sendo assim, a carga no induzido 
depende somente do indutor e tem sinal contrário à sua carga.
A eletrização por indução é temporária, ocorrendo enquanto o indutor 
estiver suficientemente próximo ao induzido. Para que o corpo permaneça 
eletrizado após a retirada do indutor, é necessário que ocorra o aterramento. 
Assim, ao final de uma eletrização por indução, os corpos envolvidos adquirem 
cargas de sinais opostos, assim como no processo de eletrização por atrito. 
Note ainda que esse processo de eletrização dá-se em condutores, pois, em 
isolantes, as cargas elétricas movimentam-se pouco ou não no interior do objeto. 
Figura 8. Eletrização por indução com aterramento, a) antes da indução, b) durante a 
indução e c) após a indução. 
Indutor Indutor Indutor
Induzido Induzido Induzido
Aterramento
e-
a) b) c)
13Conceitos fundamentais da Eletrostática
Eletrostática I | UNIDADE 1
Conceitos Fundamentais da Eletrostática | PARTE 1 23
BLOG DO ENEM. Modelos atômicos e partículas: a estrutura do átomo – química ENEM. 
[S.l.]: Blog do ENEM, [c2017]. Disponível em: <https://blogdoenem.com.br/modelos-
-atomicos-particulas-quimica-enem/>. Acesso em: 19 jan. 2018.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R. Fundamentos de física. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012. (Ele-
tromagnetismo, v. 3).
VÁLIO, A. B. M. et al. Ser protagonista: Física. 3. ed. São Paulo: Edições SM, 2016. v. 3.
Leituras recomendadas
BAUER, W.; WESTFALL, G.; DIAS, H. Física para universitários. Porto Alegre: AMGH, 2012. 
(Eletricidade e Magnetismo, v. 3).
FERRARO, N. G.; SOARES, P. A. T.; FOGO, R. Física básica. 3. ed. São Paulo: Atual, 2009.
YAMAMOTO, K.; FUKE, L. F. Física para o ensino médio. 4. ed. São Paulo: Saraiva, 2017. 
(Eletricidade e Física Moderna, v. 3).
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física III: eletromagnetismo. 12. ed. São Paulo: Pearson, 
2012.
Conceitos fundamentais da Eletrostática14
ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO 
PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.
PREZADO ESTUDANTE
24 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Parte 2
Cargas Elétricas e Forças
 
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é disponibilizado
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unidade 
1
V.1 | 2021
26 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Cargas elétricas e forças
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Construir um modelo de carga e explicar fenômenos elétricos básicos.
 � Diferenciar os processos de eletrização.
 � Identificar as propriedades elétricas de materiais isolantes e condutores.
Introdução
O desenvolvimento da eletricidade, assim como a descoberta do fogo, 
revolucionou completamente o rumo do Homo sapiens no planeta. Seria 
impossível imaginar o mundo atual sem as premissas de pensadores e 
os estudos sobre os átomos e as cargas nos últimos séculos. Neste exato 
momento, no ambiente em que você se encontra, há provavelmente 
centenas de materiais conduzindo a eletricidade e distribuindo cargas por 
átomos e moléculas. A consequência disso é o mundo em que vivemos 
— desde a praticidade que a energia elétrica trouxe até os prazeres que 
as novas tecnologias possibilitam. 
Neste capítulo, você vai conhecer um pouco mais sobre eletricidade. 
Em essência, vai estudar cargas e forças elétricas, bem como os processos 
de eletrização, que formam o conteúdo base para entender a eletricidade 
de modo geral. Você vai ler também sobre como alguns materiais se 
comportam conduzindo eletricidade e classificá-los como isolantes ou 
condutores. 
Eletrostática I | UNIDADE 1
Cargas Elétricas e Forças | PARTE 2 27
1 Carga elétrica
Para compreender o universo da eletricidade, você precisa conhecer como 
os materiais que podem ser encontrados no dia a dia são estruturados. 
Basicamente, toda matéria é formada por elementos fundamentais, conhecidos 
como átomos, que, quando agrupados, formam moléculas. Veja, por exemplo, 
que a conhecida molécula da água (H2O), é composta por dois átomos de 
hidrogênio e um de oxigênio. Sabemos, investigando a tabela periódica, que 
o número atômico do oxigênio é 8. Isso geralmente significa que ele tem oito 
prótons e oito nêutrons no seu núcleo, assim como possui oito elétrons, sendo 
considerado um elemento neutro. Perceba na Figura 1 (fora de escala) como 
um átomo genérico é estruturado. 
Figura 1. Estrutura de um átomo genérico.
Na Grécia Antiga, os filósofos se deparavam com alguns fenômenos até 
então inexplicáveis. Por exemplo, quando friccionavam um pedaço de âmbar 
e o aproximavam de pedaços de palhas, estes eram atraídos. A partir dessas 
observações e da curiosidade de alguns pensadores, a eletricidade começou a 
ser desenvolvida independentemente, em diversos lugares, por muitos séculos. 
Hoje sabemos que essa atração é consequência de uma propriedade elétrica 
intrínseca à matéria, conhecida como carga elétrica.
Cargas elétricas e forças2
28 FÍSICA - ELETROMAGNETISMOExistem dois tipos de carga elétrica: as positivas e as negativas. Os seus 
valores absolutos são iguais e de sinais contrários, anulando-se quando são 
somados. Portanto, um sistema composto pela mesma quantidade de cargas 
positivas e negativas é chamado de carga nula. 
Segundo Alexander e Sadiku (2013), a carga de um único elétron foi definida 
como o valor negativo de aproximadamente 1,602 × 10−19. O valor absoluto desse 
número normalmente é representado pela letra “e” e é medido em Coulomb 
(C), em homenagem a Charles-Augustin de Coulomb (1736–1806). Portanto,
e = 1,602 × 10–19 C
qe = –e
qp = +e
qe + qp = 0
onde qe e qp é o valor da carga de um elétron e um próton, respectivamente, 
em Coulomb.
A escolha convencional dos sinais das cargas se deve ao cientista e inventor 
Benjamin Franklin (1706–1790), um dos pioneiros no estudo da eletricidade. 
Veio dele também o princípio de conservação da carga, que diz que a carga 
elétrica total de um sistema isolado é conservada. Em outras palavras, a carga 
não é criada ou destruída: é simplesmente movida de um objeto para outro.
Você viu que um átomo consiste, internamente, de um núcleo contendo 
prótons e nêutrons e, externamente, de elétrons. Cada próton possui uma 
carga positiva de valor “e”, que é anulada pela carga negativa de cada elétron. 
Os nêutrons possuem carga nula e estão fortemente ligados aos prótons, com 
uma interação que até hoje gera dúvidas aos cientistas. Todos os materiais 
possuem carga, uma vez que os átomos e as moléculas são formados por 
partículas carregadas. Contudo, dificilmente notamos os efeitos da carga 
elétrica, porque a maioria dos objetos é eletricamente neutra, ou seja, possui 
a mesma quantidade de cargas positivas e negativas.
3Cargas elétricas e forças
Eletrostática I | UNIDADE 1
Cargas Elétricas e Forças | PARTE 2 29
Portanto, quando um material é dito carregado negativamente, é porque 
ele possui mais cargas negativas do que positivas, ou seja, mais elétrons do 
que prótons. De forma análoga, um material carregado positivamente possui 
mais cargas positivas do que negativas, ou seja, mais prótons do que elétrons. 
O carregamento (ou descarregamento) de um material é geralmente ocasio-
nado por um processo de eletrização, em que não ocorre a modificação da 
estrutura nuclear do átomo. Isso significa que um átomo nunca perde prótons 
nesse processo, apenas recebe (ou perde) elétrons. Veja a representação desse 
fenômeno na Figura 2.
Figura 2. Cargas elétricas.
Conforme Bauer, Westfall e Dias (2012), o elétron é uma partícula elementar, e o valor da 
sua carga é a menor quantidade de carga elétrica já observada. As medições mostram 
que podem ser encontrados apenas múltiplos inteiros dessa quantidade mínima de 
carga elementar, e por isso dizemos que a carga elétrica é quantizada. 
Esses conceitos e as observações dos fenômenos elétricos já haviam sido 
vistos pelos gregos e pelos mais antigos Homo sapiens, que observavam con-
fusamente raios partindo o céu. A partir disso, foi fundamentado o princípio 
mais crucial da eletricidade: a lei das cargas elétricas. Essa lei diz que cargas 
de mesmo sinal se repelem, e as de sinais oposto se atraem (Figura 3).
Cargas elétricas e forças4
30 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Figura 3. Lei das cargas elétricas: cargas de sinais opostos se 
atraem e as de sinais iguais se repelem.
Ao aproximar um material carregado (tanto positivo quanto negativo) 
de um objeto neutro, esse material polariza o material neutro, afastando as 
cargas iguais e atraindo as cargas diferentes da superfície do material. Essa 
polarização resulta em uma separação das cargas do material neutro, com 
uma pequena separação entre si, formando um dipolo elétrico. A Figura 4 
apresenta a formação do dipolo ao aproximar uma carga externa carregada 
positivamente de um átomo neutro. 
Figura 4. Formação do dipolo elétrico.
Fonte: Adaptada de Knight (2009).
Força resultante sobre o átomo
Força sobre
os elétrons
Força sobre
o núcleo
Carga
externa
Centro de
carga negativa
Centro de
carga positiva
O átomo é polarizado por cargas
externas, gerando um dipolo elétrico.
Em um átomo isolado, a nuvem
eletrônica está centrada no núcleo.
5Cargas elétricas e forças
Eletrostática I | UNIDADE 1
Cargas Elétricas e Forças | PARTE 2 31
A partir dessa separação, foi possível explicar o que acontece com os ma-
teriais nos quais os fenômenos elétricos ocorrem. Por exemplo, ao aproximar 
um balão eletrizado do seu cabelo eletricamente neutro, as cargas do balão vão 
atrair as cargas opostas do seu cabelo, criando uma força de atração entre os 
materiais e fazendo o seu cabelo “grudar” no balão, como mostra a Figura 5.
Figura 5. Atração do cabelo com o balão eletrizado.
Fonte: Livi (2014, documento on-line).
Nesta seção, você viu o conceito primordial da eletricidade — a carga 
elétrica — e como essas cargas se comportam. Viu também que, devido às 
investigações dos fenômenos elétricos mais básicos, foi possível aos pensado-
res concluírem como as forças elétricas se comportavam, bem como as suas 
consequências para o ambiente. A seguir, você lerá sobre o que ocorre para 
que os materiais se tornem carregados e como isso ocorre, além de ver outros 
exemplos de fenômenos elétricos.
Cargas elétricas e forças6
32 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
2 Processos de eletrização
Na prática, os átomos dos objetos adquirem carga positiva não por ganharem 
prótons, mas por perderem elétrons. Os prótons estão extremamente firmes e 
ligados ao interior do núcleo, e não podem ser adicionados ou removidos do 
átomo. Por outro lado, os elétrons estão ligados mais frouxamente ao núcleo 
e podem ser removidos com maior facilidade. O processo de remoção de um 
elétron do átomo é chamado de ionização e, quando isso acontece, o átomo é 
chamado de íon positivo, com carga líquida de q = +e. Alguns átomos podem 
acomodar um elétron extra e, assim, tornarem-se um íon negativo, com uma 
carga líquida q = –e. 
Conforme Knight (2009), as forças de atrito geradas pela fricção de dois 
materiais quebram as ligações moleculares das suas superfícies. As moléculas 
desses materiais, que até então eram eletricamente neutras por natureza, 
tornam-se um montante de íons positivos e negativos. Dessa forma, íons 
positivos permanecem em um material, e íons negativos no outro, de modo 
que um dos objetos friccionados fica com uma carga líquida positiva e o outro, 
com uma carga líquida negativa (Figura 6).
Figura 6. Processo de eletrização por atrito.
Fonte: Adaptada de Knight (2009).
Molécula eletricamente
neutra
Átomos
Íon
molecular
positivo
Esta metade da
molécula perdeu
um elétron na
quebra da ligação.
Esta metade da
molécula ganhou
um elétron extra na
quebra da ligação.
Íon
molecular
negativo
Estas ligações foram
quebradas pela fricção.
Ligação
Fricção
Assim, explica-se o fenômeno elétrico resultante da ação de esfregar o pano 
em um pedaço de âmbar. Com a fricção, são acumulados íons negativos na 
superfície do âmbar e íons positivos na do pano. Esse processo é denominado de 
eletrização por atrito e funciona melhor para grandes moléculas orgânicas. Os 
metais geralmente não podem ser carregados por atrito, apesar de serem ótimos 
condutores de eletricidade, pois possuem elétrons fracamente ligados aos seus 
núcleos. A Figura 7 mostra mais detalhadamente esse processo de eletrização.
7Cargas elétricas e forças
Eletrostática I | UNIDADE 1
Cargas Elétricas e Forças | PARTE 2 33
Figura 7. Processo de eletrização por atrito.
O processo de eletrização por atrito pode acontecer entre diversos tipos 
de materiais, mas há materiais com maior facilidade em fornecer elétrons 
(resultando em um corpo positivamente carregado), e outros que são melhores 
receptores de elétrons (tornando-se corpos negativamente carregado). Para 
descobrir, entre dois materiais friccionados, qual será o receptor e qual será 
o doador de elétrons, utiliza-se a tabela da série triboelétrica (Quadro1), 
que lista materiais de forma ordenada, conforme a sua tendência em doar ou 
receber elétrons.
Por exemplo, no caso da fricção entre um bastão de vidro e pelo de gato, 
sabemos que o vidro ficará carregado positivamente e o pelo do gato, carre-
gado negativamente. Isso se dá porque o vidro está posicionado mais acima 
da tabela e, portanto, é um material com maior capacidade de liberar elétrons 
do que o pelo de gato. 
Existem outros processos de eletrização de materiais, como a eletrização 
por indução. Essa eletrização ocorre, por exemplo, ao aproximar um bastão 
de âmbar negativamente carregado a um material condutor neutro, como uma 
esfera metálica. Nesse caso, essa aproximação gera um movimento dos elétrons 
da esfera, devido à lei das cargas elétricas, os quais buscam um distanciamento 
do pedaço de âmbar — mesmo que não ocorra o contato nenhum entre os 
materiais. Quando isso ocorre, diz-se que a esfera sofreu uma polarização 
de cargas, como você pode ver na Figura 8. Esse é um estado momentâneo do 
material neutro e, conforme o bastão é afastado, as suas cargas se distribuem 
como eram originalmente, e o material continua eletricamente neutro. 
Cargas elétricas e forças8
34 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Fonte: Adaptado de Netto (2013).
+
Cabelo
Vidro liso
Pele humana
Poliamida sintética
Algodão
Seda
Papel ou papelão
Couro
Porcelana
Papel de alumínio
Madeira
Cortiça
Pano de acrílico
Isopor
Saco plástico
Canudo plástico
Acrílico rígido
Tubo de PVC
Borracha dura
–
Quadro 1. Tabela triboelétrica
9Cargas elétricas e forças
Eletrostática I | UNIDADE 1
Cargas Elétricas e Forças | PARTE 2 35
Figura 8. Eletrização por indução: polarização do 
material neutro. 
Agora, analise o exemplo mostrado na Figura 9.
Figura 9. Processo de eletrização por indução.
Fonte: Hewitt (2015, p. 414).
Segundo Hewitt (2015), em (a) são apresentadas duas esferas metálicas em 
contato, ambas suspensas necessariamente por um material isolante, formando 
um único condutor inicialmente neutro. Em (b), ao aproximar um bastão 
negativamente carregado da esfera A, as cargas negativas das duas esferas, 
seguindo a lei das cargas elétricas, movem-se para a esfera B, na tentativa de 
se distanciarem do bastão. As duas esferas de metal estão agora polarizadas.
Em seguida, as esferas em (c) são separadas, e ainda há a presença do 
bastão. As cargas que estavam polarizadas permanecem nas suas respectivas 
esferas, ou seja, a esfera A está carregada positivamente, e a esfera B, nega-
tivamente. Por fim, em (d), ao distanciar o bastão das esferas, as suas cargas 
permanecem como em (c), e é dito que as esferas sofreram um processo de 
eletrização por indução. 
Cargas elétricas e forças10
36 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Caso o bastão negativamente carregado entre em contato com uma esfera 
metálica inicialmente neutra, como mostra a Figura 10, os elétrons carregados 
do bastão serão divididos entre os dois materiais, buscando um equilíbrio 
eletrostático. Assim, ambos tornam-se energizados negativamente. Diz-se, 
nesse caso, que a esfera sofreu um processo de eletrização por contato.
Figura 10. Processo de eletrização por contato.
De forma análoga, é possível também que um material carregado positi-
vamente entre em contato com um material neutro. Este, então, perde alguns 
elétrons para que haja um equilíbrio eletrostático entre ambos.
Nosso planeta possui uma enorme massa e dimensão e, por isso, funciona como um 
gigante corpo neutro. Quando qualquer corpo carregado, seja positiva ou negativa-
mente, entra em contato com a Terra, essa carga excedente é transferida e distribuída 
por toda a superfície do planeta (Figura 11). 
Figura 11. Descarregamento por contato com a Terra.
11Cargas elétricas e forças
Eletrostática I | UNIDADE 1
Cargas Elétricas e Forças | PARTE 2 37
O termo aterramento se refere ao descarregamento por contato com a Terra. 
Ao dizer que o corpo está “aterrado”, queremos dizer que pelo menos uma parte desse 
corpo está conectado à Terra por meio de um material condutor. 
A cada instante, incontáveis descargas elétricas ocorrem com o planeta. Porém, 
devido à sua dimensão, elas se tornam insignificantes, e a sua carga líquida permanece 
praticamente nula. Podemos dizer que a Terra é considerada eletricamente neutra.
Nesta seção, você estudou as formas de se eletrizar um material e o que 
ocorre, estruturalmente, com os seus átomos. Na seção seguinte, verá como 
as propriedades estruturais dos átomos influenciam na sua capacidade de 
conduzir a eletricidade — e, a partir disso, como classificá-los.
3 Propriedades elétricas dos materiais
Historicamente, a evolução da humanidade anda lado a lado com a evolução 
e a descoberta dos materiais. Na Pré-História, os homens eram sujeitos a usar 
o que a natureza disponibilizava, e as suas descobertas marcaram as etapas 
da história, como na Idade da Pedra, na Idade do Ferro e na Idade do Cobre 
ou do Bronze (SMITH; HASHEMI, 2012). Apesar de não ser nomeada dessa 
forma, a atualidade poderia ser chamada como a Idade do Silício, um material 
semicondutor que permitiu o grande desenvolvimento da eletrônica, sendo o 
principal responsável por todo o avanço tecnológico existente na humanidade. 
Para compreender realmente a eletricidade e o seu vasto universo, não se 
pode deixar de lado a importância das propriedades elétricas dos materiais 
utilizados tanto para o seu transporte quanto para a sua proteção e geração. 
O comportamento físico de um material diante de uma carga elétrica pode 
classificá-lo em quatro famílias: condutores, isolantes, semicondutores e 
supercondutores.
Condutores e isolantes
Os condutores e isolantes são as duas grandes famílias de materiais elétricos e 
possuem propriedades elétricas, em certo sentido, opostas. Essa classificação é 
dada em relação à resistência que o material oferece ao movimentar um fluxo 
de cargas pela sua estrutura.
Cargas elétricas e forças12
38 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
A massa de um elétron é muito menor do que a de um próton ou de um 
nêutron. Portanto, a maior parte da massa de um átomo reside no seu núcleo. 
Assim, os elétrons podem ser removidos dos átomos com relativa facilidade 
em certos materiais. Por isso, geralmente os elétrons são os portadores da 
eletricidade. Uma representação microscópica de um isolante e de um condutor 
é mostrada na Figura 12. De acordo com Knight (2009), no material isolante, 
os elétrons estão fortemente conectados ao núcleo atômico, não conseguindo 
se desprender dele, o que impossibilita que se movimentem livremente. 
Já no caso dos condutores, os elétrons da camada de valência da eletros-
fera (camada mais afastada do núcleo) estão fracamente ligados ao núcleo. 
A junção de vários átomos de um material condutor faz com que esses elétrons 
fracamente conectados ao núcleo se desprendam do átomo, movimentando-se 
livremente pelo material (elétrons livres). Apesar de esses materiais apresen-
tarem elétrons se movimentando livremente — criando um “mar de elétrons” 
—, eles permanecem eletricamente neutros, porque nenhum elétron foi adi-
cionado ou removido durante esse processo: eles apenas foram desacoplados 
do átomo. Assim, os condutores têm uma grande facilidade em movimentar 
elétrons quando forças elétricas são submetidas ao material. Esse fluxo de 
cargas é denominado de corrente.
Figura 12. Uma visão microscópica dos isolantes e condutores.
Fonte: Adaptada de Knight (2009).
MetalIsolante
Núcleo
Elétrons do caroço
Elétrons de valência
Os elétrons de valência
estão fortemente ligados.
Os elétrons de valência
formam um “mar de elétrons”.
Íons
positivos
do caroço
13Cargas elétricas e forças
Eletrostática I | UNIDADE 1
Cargas Elétricas e Forças | PARTE 2 39
Os condutores mais utilizados são os metais, sendo o ouro, a prata e 
a platina os melhores condutores. No entanto, em função do seu custo alto, são 
pouco utilizados na transmissão de energia elétrica. Por outrolado, o cobre 
e o alumínio são muito utilizados, porque apresentam boa condutividade e 
baixo custo. 
Como exemplos de bons isolantes, temos a borracha, o vidro, os plásticos, 
os materiais cerâmicos, a madeira seca, entre outros. Na prática, os isolantes 
são muito utilizados para isolar os materiais condutores transmissores de 
grandes quantidades de carga, como no caso dos cabos utilizados para conectar 
qualquer aparelho elétrico. Internamente, esses materiais são compostos por 
condutores — na grande maioria, por fios de cobre — e, externamente, esses 
fios são encapados por um isolante (Figura 13). Este impede que qualquer 
usuário ou objeto entre em contato com o condutor, sofrendo a descarga da carga 
que passa pelo fio, o que pode resultar em grandes choques ou até em morte.
Figura 13. Fios elétricos compostos por materiais isolantes e condutores.
Fonte: Adaptada de Andraplan Consultoria (2010).
Cargas elétricas e forças14
40 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Semicondutores
As propriedades elétricas dos materiais semicondutores são intermediárias às 
propriedades dos condutores e isolantes. Esses materiais são compostos por 
propriedades únicas, capazes de desempenhar funções que revolucionaram 
a história da eletrônica, possibilitando todo o desenvolvimento tecnológico 
existente hoje.
São exemplos de semicondutores o germânio (Ge) e o silício (Si), que são 
os materiais semicondutores mais utilizados, em função das suas excelentes 
propriedades elétricas, bem como da sua abundância na natureza. Esses com-
ponentes, na sua forma pura, não são bons condutores nem isolantes; porém, 
quando se adicionam mínimas impurezas na sua estrutura cristalinas, são 
capazes de operar ora como condutores, ora como isolantes. 
Com a descoberta desses semicondutores, nos anos 1970, desenvolveram-se 
os transistores, que são dispositivos eletrônicos responsáveis pelo desenvolvi-
mento de todos os demais dispositivos eletrônicos existentes. A partir da sua 
criação, foi possível a construção de processadores, computadores, celulares 
e todas as tecnologias indispensáveis atualmente. 
Uma forma simples de explicar como funcionam os transistores é compará-
-los a um interruptor de luz que controla o fluxo de carga em um sistema. 
Ao receber um comando elétrico, o transistor se comporta como um condutor; 
ao receber novamente esse comando, comporta-se como um isolante, contro-
lando o momento exato de um fluxo de carga. 
O Vale do Silício, localizado na costa oeste dos Estados Unidos, é o maior polo de 
inovação do mundo. Nessa região, estão situadas as maiores empresas de tecnologia 
nas áreas da eletrônica e da informática, como Facebook, Apple, Google, eBay, San-
Disk, Asus, entre outras. Esse polo de inovação recebeu esse apelido em função do 
semicondutor silício, responsável pela produção e evolução de todas as tecnologias 
de circuitos integrados e eletrônicos. 
15Cargas elétricas e forças
Eletrostática I | UNIDADE 1
Cargas Elétricas e Forças | PARTE 2 41
Supercondutores 
Os condutores, apesar de apresentarem facilidade no transporte de carga 
elétrica, têm uma pequena resistência, que é responsável por transformar 
a energia elétrica transmitida em calor — denominado de perda elétrica. 
Em linhas de transmissão de energia com mais de 400 km de extensão, isso 
pode resultar em perdas de mais de 10% da energia transferida.
Devido a esse e a outros fatores, muitos cientistas tentaram encontrar 
materiais capazes de realizar o transporte de carga com uma resistência nula. 
Com isso, em 1911, o físico holandês Heike Kamerlingh-Onnes observou que, 
ao resfriar um condutor de mercúrio a –269,15°C, a sua resistência elétrica se 
anulava, o que o tornava um material supercondutor. 
A utilização de supercondutores ainda está muito limitada aos ramos 
de transmissão de energia, principalmente porque o material precisa estar 
operando em temperaturas extremamente baixas. Porém, com o desenvol-
vimento de novas tecnologia e o avanço das pesquisas na área, futuramente 
esses materiais talvez possam ser implementados mais facilmente à realidade. 
Em função das suas propriedades elétricas, os supercondutores também são 
capazes de gerar campos magnéticos poderosos. Esses supercampos magnéticos 
são aplicados, na prática, em trens de levitação magnética, capazes de atingir 
velocidades de até 600 km/h.
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. 5. ed. Porto 
Alegre: AMGH, 2013.
ANDRAPLAN CONSULTORIA. Consultoria para certificação de condutores elétricos. 2010. 
Disponível em: https://andraplan.com.br/servicos/condutores-eletricos.html. Acesso 
em: 08 jun. 2020.
BAUER, W.; WESTFALL, G. D.; DIAS, H. Física para universitários: eletricidade e magnetismo. 
Porto Alegre: AMGH, 2012.
HEWITT, P. G. Física conceitual. 12. ed. Porto Alegre: Bookman, 2015.
KNIGHT, R. D. Física: uma abordagem estratégica. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2009. 
(Eletricidade e Magnetismo, v. 3).
Cargas elétricas e forças16
42 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
LIVI. Ciência em casa: brincando com a eletricidade estática. 2014. Disponível em: 
http://baianosnopolonorte.com/coisas-de-mae/ciencia-em-casa-brincando-com-a-
-eletricidade-estatica/. Acesso em: 08 jun. 2020.
NETTO, L. F. Série triboelétrica dos materiais. 2013. Disponível em: https://pa-rumao.
blogspot.com/2013/02/serie-triboeletrica-dos-materiais.html. Acesso em> 08 jun. 2020.
SMITH, W. F.; HASHEMI, J. Fundamentos de engenharia e ciência dos materiais. 5. ed. 
Porto Alegre: AMGH, 2012.
Leituras recomendadas
ALUNOS ONLINE. Levitação magnética (princípio do Maglev). 2020. Disponível em: https://
alunosonline.uol.com.br/fisica/levitacao-magnetica-principio-maglev.html. Acesso 
em: 08 jun. 2020.
ASSIS, A. K. T. Os fundamentos experimentais e históricos da eletricidade. Quebec: Apeiron. 
2018. v. 2. Disponível em: https://www.ifi.unicamp.br/~assis/Eletricidade-Vol-2.pdf. 
Acesso em: 08 jun. 2020.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: eletromagnetismo. 8. ed. 
Rio de Janeiro: LTC, 2009.
Os links para sites da web fornecidos neste capítulo foram todos testados, e seu fun-
cionamento foi comprovado no momento da publicação do material. No entanto, a 
rede é extremamente dinâmica; suas páginas estão constantemente mudando de 
local e conteúdo. Assim, os editores declaram não ter qualquer responsabilidade 
sobre qualidade, precisão ou integralidade das informações referidas em tais links.
17Cargas elétricas e forças
ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO 
PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.
PREZADO ESTUDANTE
44 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Parte 3
Lei de Coulomb
 
O conteúdo deste livro 
é disponibilizado
por SAGAH.
unidade 
1
V.1 | 2021
46 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Lei de Coulomb
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Determinar as características da força de interação entre cargas elé-
tricas e como ela pode ser encontrada.
 � Definir o princípio da superposição por meio da aplicação de conceitos 
vetoriais.
 � Reconhecer a semelhança entre a Lei de Coulomb e a Lei da Gravi-
tação Universal.
Introdução
Eletrostática, ramo da física que estuda cargas elétricas em repouso, é um 
tema bastante presente no nosso dia a dia. Por exemplo, quando você 
remove alguma embalagem plástica e esta parece grudar em sua mão, ou 
em outras aplicações, como impressoras a laser e alguns tipos de pinturas. 
Neste capítulo, você aprenderá sobre a Lei de Coulomb, que trata da 
força eletrostática entre duas partículas carregadas, e, posteriormente, 
como tratar problemas com diversas partículas. Você verá também um 
ponto curioso, que seria as semelhanças e as diferenças entre a Lei de 
Coulomb e a Lei de Gravitação. 
A Lei de Coulomb
Antes de falar sobre a Lei de Coulomb, vamos relembrar rapidamente alguns 
conceitos sobre carga elétrica. Todos os objetos que conhecemos, incluindo nós 
mesmos, armazenam cargas elétricas (HALLIDAY,RESNICK, WALKER, 
1996a). Podemos dizer que as cargas dividem-se em dois tipos: positivas e 
negativas (HALLIDAY, RESNICK, WALKER, 1996a; TEIXEIRA, 2017). Se 
um objeto possui a mesma quantidade de cargas positivas e negativas, ele está 
em equilíbrio de cargas, e o chamamos de neutro (HALLIDAY, RESNICK, 
WALKER, 1996a).
Eletrostática I | UNIDADE 1
Lei de Coulomb | PARTE 3 47
Os objetos que apresentam carga elétrica interagem entre si, exercendo 
forças sobre os outros. Os que contêm carga com mesmo sinal elétrico repelem-
-se, enquanto os que contêm sinais opostos atraem-se, conforme Figura 1. 
Esse fenômeno também é conhecido como “princípio de atração e repulsão 
de cargas elétricas”.
Figura 1. Princípio de atração e repulsão entre cargas elétricas.
Fonte: Menezes e Veras (2016).
repulsão
repulsão
atração
Eu
ni
ce
 To
yo
ta
A Lei de Coulomb foi introduzida por Charles Augustus Coulomb, em 
1785 (HALLIDAY, RESNICK, WALKER, 1996a). Ela diz respeito à força 
eletrostática entre duas partículas carregadas. Assim, o módulo da força ele-
trostática entre duas cargas carregadas é proporcional ao módulo das cargas 
e inversamente proporcional à distância entre elas ao quadrado. Ou seja:
F = k
q1q2
r2
Lei de Coulomb2
48 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Onde k é a constante eletrostática, q1 e q2 são os módulos das cargas em 
Coulomb (C), r é o módulo da distância entre as cargas em metros (m) e F é 
o módulo da força em Newtons (N). A constante eletrostática k é equivalente 
a 1
4πƐ0
≅ 9,0 · 109N · m2/C2, e a grandeza ε0 é chamada de constante de per-
missividade, e seu valor é 8,85 ∙ 10-12 C2/N ∙ m2.
A equação acima nos dá o módulo da força. A direção de F dá-se ao longo 
da linha que liga as duas cargas, e o sentido depende do sinal das cargas 
eletrostáticas. As forças apontarão para fora se as cargas forem iguais, ou 
apontarão para dentro se as cargas forem opostas, como mostrado na Figura 2.
Figura 2. Direção e sentido da força eletrostática para duas cargas com os 
mesmos sinais ou com sinais opostos.
-F
-F
-FF
F
F
q1 q2
3Lei de Coulomb
Eletrostática I | UNIDADE 1
Lei de Coulomb | PARTE 3 49
A Balança de Torção de Coulomb
Charles Augustin Coulomb, em junho de 1785, anunciou para a Academia de Ciências 
de Paris que tinha desenvolvido um aparato experimental altamente sensível para o 
estudo das forças eletrostáticas (MARTÍNEZ, 2006), que ficou conhecido posteriormente 
como a Balança de Torção de Coulomb.
A balança era composta por uma haste metálica, contendo uma esfera metálica 
em cada extremidade, suspensa por um fio, os quais poderiam girar livremente. Outra 
esfera estática ficava posiciona próxima a uma das presas na haste, e todo o aparato 
era envolto por um cilindro de vidro, conforme representado na figura a seguir.
Coulomb, então, carregava eletricamente a esfera estática, que dividia sua carga com a 
esfera da haste. Consequentemente, devido à força elétrica entre elas, estas se repeliam, 
provocando uma torção no fio. Medindo o ângulo de torsão, Coulomb foi capaz de 
determinar a força entre as esferas. Após diversas medidas, Coulomb desenvolveu e 
formalizou a Lei de Coulomb, a qual estabelece que a força é proporcional ao produto 
do módulo das cargas e inversamente proporcional à distância entre elas ao quadrado.
q2
q1
�o de torção
Fontes: Mundo Educação (c2018) e Miranda e Lima (2009).
Lei de Coulomb4
50 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Princípio da superposição
Imagine agora que temos não apenas 2, mas 3 cargas, como mostrado na 
Figura 3a. Como poderíamos obter a força resultante em uma dessas partí-
culas? A força eletroestática obedece ao princípio da superposição. Ou seja, 
elas interagem aos pares de maneira independente, como mostrado na Figura 
3b, onde F12 é a força que atua na partícula 1 devido à partícula 2, e assim por 
diante. Então, para sabermos a força resultante, por exemplo, na partícula 1, 
fazemos uma soma vetorial:
FR1 = F12 + F13
Como representado na Figura 3c.
Figura 3. Representação do princípio da superposição. a) Sistema com 3 cargas positivas 
estáticas. b) Forças eletroestáticas entre as três cargas. c) Força eletrostática resultante na 
carga 1 devido às forças provocadas pelas cargas 2 e 3.
F13 F12
++
+
+ +
2
F21
F13
FR cba
F23 F32
F12
F31
22
3
33
111
+ +
+ +
Assim, se tivermos n partículas, a força resultante em cada uma delas é a 
soma das forças produzidas por todas as outras n ̶ 1 nesta mesma partícula:
FR1 = F12 + F13 + ... + F1n = ∑
n
i = 2
F1i
Para resolvermos problemas com sistema de cargas, teremos, então, que 
muitas vezes utilizar de decomposição vetorial das forças. Veja o exemplo 
a seguir.
5Lei de Coulomb
Eletrostática I | UNIDADE 1
Lei de Coulomb | PARTE 3 51
Dado o seguinte sistema de cargas, encontre a força resultante na carga 1. Considere 
que os módulos das cargas são iguais, ou seja, q1 = q2 = q3 = q4 = q, e as distâncias 
entre cada uma delas à carga 1 seja d e θ=30°.
Pelo princípio da superposição, sabemos que a força resultante na carga 1 é a soma 
vetorial das forças devido às outras cargas do sistema:
FR1 = F12 + F13 + F14 
Vamos iniciar calculando os módulos das forças:
F12 = k 
q1q2
d2 = k = k
qq
d2
q2
d2
F13 = k 
q1q3
d2 = k = k
qq
d2
q2
d2
F14 = k 
q1q4
d2 = k = k
qq
d2
q2
d2
Note que os módulos de todas as forças são iguais. Assim F12 = F13 = F14 = F.
Os módulos são iguais, mas as direções não. Observe o esquema das forças a seguir:
Lei de Coulomb6
52 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Agora, vamos usar de decomposição das forças para encontrar a resultante. Note 
que os módulos das componentes em y das forças F12 e F13 são iguais:
F12 = F12cosθ = Fcosθ
y
F13 = F13cosθ = Fcosθ
y
Assim, essas se cancelam, pois têm sentido contrário:
F1R = F13 - F12 = Fcosθ - Fcosθ = 0
y y y
Agora, vamos olhar as componentes em x.
F12 = F12senθ = Fsenθ
x
F13 = F13senθ = Fsenθ
x
F14 = F14 = F
x
Calculando a resultante em x:
F1R = F14 - F12 - F13 = F - Fsenθ - Fsenθ = F - 2Fsenθ = F - 2F = F - F = 0
x x x x 1
2
Assim, a força resultante na carga 1 é zero.
Ao resolver problemas com sistema de cargas, fique atento às simetrias. Como visto 
no exemplo acima, componentes das forças podem cancelar-se, evitando cálculos 
desnecessários.
Cargas em equilíbrio
O equilíbrio estático ocorre quando a soma vetorial das forças atuantes no 
objeto em questão é nula. Dessa maneira, podemos imaginar que existem con-
figurações onde cargas estejam em equilíbrio. Suponha duas cargas positivas, 
q1 e q2, posicionadas ao longo do eixo x, especificamente em x1 e x2, como 
mostrado na Figura 4a (Bauer). Se inserirmos uma carga negativa q3 entre as 
duas primeiras (Figura 4b), podemos perguntar-nos qual seria a posição x3 
7Lei de Coulomb
Eletrostática I | UNIDADE 1
Lei de Coulomb | PARTE 3 53
para que essa carga esteja em equilíbrio. Ou seja, onde deveríamos posicionar 
q3 para que o módulo da força F31 seja igual ao da força F32?
Figura 4. Configuração possível para carga em equilíbrio. a) Cargas positivas, q1 e q2, 
posicionadas no eixo x em x1 e x2. b) Uma terceira carga é colocada entre as duas primeiras. 
Essa sofre ação das forças F31 e F32.
Fonte: Bauer, Westfall e Dias (2012).
q2
x2
q2
x2x3
q1 q1
x1 x1
x x
y
a) b)
y
q3
F2→3F1→3
Para responder a essa questão, basta igualar o módulo das forças, ou seja:
F31 = F32
Os módulos das forças são dados pela Lei de Coulomb, substituindo:
k
q1q3
(x3 - x1)
2
q2q3
(x2 - x3)
2= k
q1
(x3 - x1)
2
q2
(x2 - x3)
2=
q1 (x2 - x3)
2 = q2 (x3 - x1)
2
√q1(x2 - x3) = √q2(x3 - x1)
√q1x3 + √q2x3 = √q1x2 + √q2x1
x3 = 
√q1x2 + √q2x1
√q1 + √q2
Assim, encontramos o valor de x3 para quaisquer valores de q1, q2, x1 e x2. 
Podemos testar alguns valores. Por exemplo, suponha que q1 = q2 = 4 C, 
x1 = 0 m e x2 = 10 m. Para esses valores, encontramos que x3 = 5 m, o que é 
esperado devido à simetria do problema, pois, se as cargas são iguais, os 
Leide Coulomb8
54 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
módulos das forças que agem na terceira carga serão iguais caso a distância 
entre elas e a terceira carga também forem iguais. Caso o módulo de uma das 
cargas seja maior, como, por exemplo, q1 = 4 C e q2 = 16 C, e mantendo as 
mesmas posições, a posição da terceira carga será mais próxima à carga com 
menor valor, x3 = 3,3 m.
A Lei de Coulomb e a Lei da Gravitação 
Universal 
Vamos relembrar brevemente a Lei da Gravitação Universal. Isaac Newton, 
em 1665, propôs que todas as partículas atraem qualquer outra com uma força 
gravitacional com módulo dado por (HALLIDAY, RESNICK, WALKER, 
1996b):
F = G
m1m2
r2
Onde m1 e m2 são as massas das partículas, r é a distância entre elas e G é 
a constante de gravitação universal, G = 6,67 ∙ 10-11N ∙ m2/kg2.
A Figura 5 mostra um esquema com duas partículas de massa m1 e m2. A 
partícula de massa m2 atrai a partícula de massa m1 com força de módulo F e 
direção de m1 para m2. E a partícula de massa m1 atrai a de massa m2, também 
com módulo F, mas com sentido oposto.
Figura 5. Representação da força de atração sentida por duas partículas.
m1
m2
F
-F
r
9Lei de Coulomb
Eletrostática I | UNIDADE 1
Lei de Coulomb | PARTE 3 55
Se voltarmos para a expressão da Lei de Coulomb, podemos ver que ambas 
têm a mesma forma: as forças são proporcionais à multiplicação do módulo 
das cargas, ou a multiplicação das massas, e são inversamente proporcionais 
à distância ao quadrado. Note que, se a distância entre as cargas ou massas for 
dobrada, ambas as forças diminuirão por um fator de 4. Assim, para cargas 
ou massas muito distantes, essas forças serão insignificantes.
Outra semelhança que podemos citar é que ambas obedecem ao princípio 
da superposição. A principal diferença entre as duas forças é que as forças 
gravitacionais são sempre atrativas, enquanto que as forças eletroestáticas 
podem ser tanto atrativas como repulsivas, dependendo do sinal das cargas 
elétricas.
Podemos comparar as duas forças para partículas que conhecemos. Vamos 
tentar? A Tabela 1 mostra as características de prótons e elétrons. Se posicionar 
um próton e um elétron a uma distância de 1 metro, qual você acha que é 
maior: a força eletrostática ou a gravitacional? 
Massa (kg) Carga (C)
Próton 1,7 ∙ 10-27 1,6 ∙ 10-19
Elétron 9,1 ∙ 10-31 –1,6 ∙ 10-19
Tabela 1. Massa e carga aproximadas de prótons e elétrons (Halliday 2, 3).
Usando a Lei da Gravitação, encontramos que:
Fg = G
m1m2
r2
Fg = 6,7 ∙ 10-11 1.7 ∙ 10-27 ∙ 9,1 ∙ 10-31
12
≅ 1,0 10-67N
Lei de Coulomb10
56 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Agora, usando a Lei de Coulomb, encontramos:
q1q2
d2Fel = k
Fel = 9,0 ∙ 109 1.6 ∙ 10-19 ∙ 1,6 ∙ 10-19
12
= 2.3 ∙ 10-28 N
As duas forças são pequenas, mas comparando as duas:
Fel
Fg
=
2.3 ∙ 10-28
1,0 ∙ 10-67
~2 ∙ 1039
Vemos que a força eletrostática é 2 ∙ 1039 vezes maior que a força gravita-
cional. Ou seja, para partículas como prótons e elétrons, a força gravitacional 
entre elas é insignificante, diferentemente de corpos que possuem massas muito 
grandes, como planetas. No caso da Terra e da Lua, a força gravitacional é 
aproximadamente 2,0 ∙ 1020N. Já a força eletrostática é insignificante, pois 
eles podem ser considerados quase neutros.
1. O gráfico a seguir mostra a variação 
do módulo da força eletrostática 
entre duas cargas com a distância 
entre elas. Quando o módulo da 
distância entre elas é d, o módulo da 
força eletrostática é F. 
Quais os valores, em função 
de F, dos módulos das forças 
para as distâncias d /2 e 2d? 
F
F
?
?
0 d
2
d 2d
d
11Lei de Coulomb
Eletrostática I | UNIDADE 1
Lei de Coulomb | PARTE 3 57
BAUER, W.; WESTFALL, G.; DIAS, H. Física para universitários: eletricidade e magnetismo. 
Porto Alegre: AMGH, 2012.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: eletromagnetismo. 4. ed. 
Rio de Janeiro: LTC, 1996a.
______; ______; ______. Fundamentos de física: gravitação, ondas e termodinâmica. 
4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996b.
MARTÍNEZ, A. A. Replication of Coulomb’s torsion balance. Archive for History of Exact 
Sciences, v. 60, p. 517-563, 2006.
MENEZES, G.; VERAS R. Física no Leonor. Salvador: Física no Leonor, 2016. Disponível em: 
<http://fisicanoleonor.blogspot.com.br/2016/03/3-ano-principios-da-eletrostatica.
html>. Acesso em: 30 jan. 2018.
MIRANDA, P. H. R.; LIMA, W. S. Balança de torção. [S.l.]: Eletromagnetismo, 2009. Dispo-
nível em: <http://eletromagnetismoifes.blogspot.com.br/2009/03/balanca-de-torcao.
html>. Acesso em: 30 jan. 2018.
MUNDO EDUCAÇÃO. Charles Coulomb. [S.l.]: Mundo Educação, c2018. Disponível 
em: <http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/charles-coulomb.htm>. Acesso 
em: 30 jan. 2018.
TEIXEIRA, M. M. O que é carga elétrica? [S.l.]: Brasil Escola, 2017. Disponível em: <http://
brasilescola.uol.com.br/o-que-e/fisica/o-que-e-carga-eletrica.htm>. Acesso em: 30 
jan. 2018.
Leituras recomendadas
DICKMAN, S. Could Coulomb’s experiment result in Coulomb’s law? Science, v. 22, n. 
5133, p. 500-501, 1993.
EDUCABRAS. Lei de Coulomb. [S.l.]: Educabras, c2018. Disponível em: <https://www.
educabras.com/ensino_medio/materia/fisica/corrente_eletrica/aulas/lei_de_cou-
lomb>. Acesso em: 30 jan. 2018.
GRIFFITHS, D. J. Introduction to electrodynamics. 3rd ed. New Jersey: Prentice Hall, 1999.
PORTAL SÃO FRANCISCO. Balança de Coulomb. [S.l.]: Portal São Francisco, c2018. Dis-
ponível em: <http://www.portalsaofrancisco.com.br/fisica/balanca-de-coulomb>. 
Acesso em: 30 jan. 2018.
SANTOS, M. A. S. A balança de torção de Coulomb. [S.l.]: Brasil Escola, 2017. Disponível 
em: <http://brasilescola.uol.com.br/fisica/a-balanca-torcao-coulomb.htm>. Acesso 
em: 30 jan. 2018.
SILVA, D. C. M. Carga elétrica. [S.l.]: Brasil Escola, 2017. Disponível em: <http://brasilescola.
uol.com.br/fisica/carga-eletrica.htm>. Acesso em: 30 jan. 2018.
13Lei de Coulomb
ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO 
PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.
PREZADO ESTUDANTE
Parte 4
Campo Elétrico
 
O conteúdo deste livro 
é disponibilizado
por SAGAH.
unidade 
1
V.1 | 2021
60 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Campos elétricos 
criados por anéis, 
discos, planos e esferas
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Construir linhas de força para esquematizar os campos elétricos ge-
rados por anéis, discos, planos e esferas.
 � Identificar as simetrias e utilizar o princípio da superposição para 
simplificar os cálculos de campo elétrico.
 � Calcular o campo elétrico gerado por anéis, discos, planos e esferas 
em um determinado ponto do espaço.
Introdução
O desenvolvimento de toda a tecnologia utilizada atualmente só foi 
possível graças à compreensão e ao domínio da energia elétrica. Desse 
modo, a compreensão do campo elétrico e dos seus efeitos transformou 
todo o sistema de energia, bem como colaborou com várias outras áreas 
de estudos. Além disso, o campo elétrico é essencial para a sobrevivência 
de vários seres vivos, como os tubarões, que encontram suas presas a 
enormes distâncias, ou até mesmo em processos de polinização de flores, 
o que ajuda a garantir a reprodução de várias espécies do meio ambiente. 
Neste capítulo, você conhecerá o conceito de campo elétrico e 
verá como calculá-lo e visualizá-lo. Além disso, conhecerá o conceito 
de simetria, que é de grande importância para compreender como as 
cargas são distribuídas em um material. Por fim, verá como utilizar o 
princípio da superposição para facilitar os cálculos de um campo elétrico. 
Anéis, discos, planos e esferas carregadas serão o foco deste capítulo, 
por serem materiais utilizados como base para descrever o campo elétrico 
em materiais mais complexos.
Eletrostática I | UNIDADE 1
Campo Elétrico | PARTE 4 61
1 Campo elétrico
Até onde sabemos, os materiais dispostos no nosso universo, em certa di-
mensão, são compostos basicamente de elétrons, prótons e nêutrons, os quais 
carregam cargaelétrica. A diferença de cargas entre os materiais gera uma 
força elétrica entre eles, com intensidade, direção e sentido. De acordo com 
uma das leis primordiais da eletricidade — a lei das cargas elétricas —, 
as cargas de sinais opostos se atraem, ao passo que as de sinais iguais se 
repelem (Figura 1).
Figura 1. Lei das cargas elétricas.
Fonte: Adaptada de Knight (2009).
Duas
cargas
positivas
2 sobre 1
1 sobre 2
Duas
cargas
negativas
2 sobre 1
1 sobre 2
Cargas
opostas
2 sobre 1
1 sobre 2
Campos elétricos criados por anéis, discos, planos e esferas2
62 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Segundo Knight (2009), em 1785, Charles Coulomb enunciou que a força 
elétrica entre os corpos obedecia à lei do inverso do quadrado, análoga à lei de 
Newton da gravitação. De acordo com a lei de Coulomb, se duas partículas 
eletrizadas com cargas q1 e q2 (como na Figura 1) estão à uma distância r, 
o módulo das forças entre si é dado por: 
(Equação 1)
onde k é a constante eletrostática,
arredondado, na maioria das vezes, para
Observe que a Equação 1 fornece apenas o módulo da intensidade. 
No caso da Figura 1, as forças estão orientadas ao longo de um eixo que 
passa pelas duas partículas. Primeiramente, tem-se dois exemplos de cargas 
de sinais iguais, com forças repulsivas, e, então, cargas de sinais contrários, 
com forças atrativas.
A lei de coulomb é geralmente descrita com o uso da constante eletrostática 
k, porém, em cálculos de campo elétrico — foco deste capítulo —, é utilizada 
a constante de permissividade, cuja relação com k é a seguinte:
Portanto, reescrevendo a lei de Coulomb em termos da constante de per-
missividade ∈o, tem-se que:
(Equação 2)
3Campos elétricos criados por anéis, discos, planos e esferas
Eletrostática I | UNIDADE 1
Campo Elétrico | PARTE 4 63
Na segunda seção deste capítulo, será descrito com mais detalhes como 
encontrar o sentido e a direção da força elétrica pela lei de Coulomb. Agora, 
faz-se necessário apenas conhecer superficialmente a existência dessa força 
para ser construído o conceito de campo elétrico. Quanto à força elétrica, 
faz-se a seguinte pergunta: como as partículas afetadas por essa força sabem 
da existência uma da outra? Em outras palavras, se essas partículas não se 
encostam, por que são afetadas uma pela presença da outra? Como explicar 
uma ação a distância, já que não existe interação visível entre as partículas?
Michael Faraday, nascido em 1791, ilustrou pela primeira vez a ideia de campo 
elétrico, com base em estudos sobre as forças de ação a distância, isto é, em que 
não é necessário haver contato, como a gravidade e as forças elétricas e magnéticas, 
já estudadas anteriormente por Newton. Segundo Faraday, uma partícula carregada 
não exerce força sobre outras, e sim causa uma alteração no espaço em sua volta, 
o qual gera forças em outras cargas. Essa alteração no espaço em torno de si é 
chamada de campo elétrico, e a partícula causadora da alteração é dita como a 
carga-fonte desse campo elétrico. De forma análoga, a alteração do espaço em 
torno de um objeto de massa é chamada de campo gravitacional.
A Figura 2, a seguir, apresenta duas cargas puntiformes e seus respectivos 
diagramas de campo. Observe que as cargas-fonte estão isoladas, ou seja, 
não existem cargas sofrendo forças em seu campo elétrico. Portanto, a figura 
apenas exemplifica o conceito do campo elétrico e apresenta a visualização 
de seus vetores de forças.
Figura 2. Diagrama de forças de um campo elétrico: (a) campo elétrico de uma carga 
positiva; (b) campo elétrico de uma carga negativa.
Fonte: Adaptada de Knight (2009).
Campos elétricos criados por anéis, discos, planos e esferas4
64 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Para a criação desses vetores, são utilizadas cargas de provas (os pontinhos 
pretos que geram os vetores), que são cargas positivas utilizadas apenas para 
indicar a orientação da força neste ponto, suficientemente pequenas a ponto 
de não afetarem o campo elétrico da carga-fonte. Como o nome diz, elas são 
cargas com o propósito apenas de verificar como seria nestes pontos o sentido 
da força elétrica, caso exista ali uma carga positiva. É importante deixar claro 
que, em todos os pontos do espaço, existe a ação do campo elétrico em questão 
(e não apenas onde passam os vetores), porém, para uma melhor visualização, 
é suficiente ilustrar apenas alguns pontos.
Em alguns diagramas de campo, a seta indica, além da orientação, a in-
tensidade do campo elétrico no ponto da carga de prova. O comprimento dos 
vetores é relevante somente em comparação aos comprimentos dos outros 
vetores do diagrama em questão. Observe que, na Figura 2, o comprimento 
dos vetores é maior nas proximidades da carga-fonte, onde a intensidade do 
campo é maior.
Além dos diagramas de campo, outra forma de se representar um campo 
elétrico com maior clareza visual é utilizando as chamadas linhas de força 
do campo elétrico, isto é, curvas contínuas desenhadas tangencialmente aos 
vetores do campo elétrico (Figura 3). 
Figura 3. (a) Diagrama de Forças de um Campo; (b) linhas de forças de um campo.
Fonte: Adaptada de Knight (2009).
5Campos elétricos criados por anéis, discos, planos e esferas
Eletrostática I | UNIDADE 1
Campo Elétrico | PARTE 4 65
Observe que as duas imagens da Figura 3 representam o mesmo campo 
elétrico, porém é possível ter um entendimento muito melhor com as linhas 
de forças, em (b).
Por convenção, as cargas positivas geram linhas de forças que se distan-
ciam da fonte, ao passo que as cargas negativas geram linhas de forças que 
convergem para a fonte, como mostrado na Figura 2. Por esse motivo, uma 
carga positiva em um ponto de um campo elétrico sofrerá uma força conforme 
o sentido de suas linhas de força, ao passo que uma carga negativa sofrerá 
essa força no sentido contrário.
Como visto, o campo elétrico é apenas uma alteração no espaço que causará 
uma força elétrica na carga que estiver presente. Essa alteração do espaço 
existe independentemente das cargas que sofrem seus efeitos, pois ela depende 
apenas da existência da carga-fonte.
A Figura 4, a seguir, apresenta uma carga-fonte negativa e suas linhas de 
campo elétrico. Observe que há a presença de uma carga sofrendo uma força 
no sentido das linhas de campo, o que indica que essa carga é de sinal positivo. 
O vetor intensidade desse campo elétrico, E(r), é dado pela seguinte equação:
(Equação 3)
Figura 4. Vetor campo elétrico.
Fonte: Adaptada de Halliday, Resnick e Walker (2009).
Campos elétricos criados por anéis, discos, planos e esferas6
66 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Observe que o campo elétrico, E(r), é definido e depende de um ponto 
vetorial r do espaço — ou seja, dada uma carga-fonte, para cada ponto do 
espaço neste campo é gerado um campo elétrico com intensidade, direção e 
sentido —, sendo calculado dividindo-se a força elétrica resultante sobre a 
carga de prova neste ponto pela própria carga de prova. Portanto, sua unidade 
é N/C, sua orientação segue a da força elétrica e seu sentido depende do sinal 
da carga-fonte.
Na próxima seção, serão descritos com mais detalhes os cálculos de campo 
elétrico. Por ora, é suficiente saber que o campo elétrico, por ser uma gran-
deza vetorial, sofre o princípio da superposição, ou seja, se diversas fontes 
de um campo elétrico estiverem juntas, o campo elétrico resultante em um 
ponto qualquer será determinado pela soma dos vetores dos campos elétricos 
gerados por cada carga individualmente. A Figura 5, a seguir, mostra o campo 
elétrico resultante Eres = E1 + E2.
Figura 5. Campo elétrico resultante.
Fonte: Adaptada de Knight (2009).
7Campos elétricos criados por anéis, discos, planos e esferas
Eletrostática I | UNIDADE 1
Campo Elétrico | PARTE 4 67
A partir do princípio de superposição, são construídas as linhas de um 
campo elétrico com múltiplas cargas (Figura 6).
Figura 6. Linhas de forças.
Fonte: Adaptada Bauer, Westfall e Dias (2012).
Observeque, na Figura 6 (à esquerda), o vetor resultante do campo elétrico 
na carga de prova em questão é calculado por meio da soma vetorial das 
forças dos campos atuantes nela, causadas tanto pela carga positiva quanto 
pela negativa. Com essa técnica, é possível definir que as linhas de forças 
seguem sempre o sentido da carga de maior intensidade para a carga de menor 
intensidade, portanto, é dito que as linhas saem das cargas positivas e chegam 
às cargas negativas.
Além disso, pode-se perceber, na Figura 6 (à direita), que não existem 
linhas de campo elétrico no ponto médio entre as duas cargas positivas, devido 
à anulação vetorial neste ponto, isso se for considerado que as duas cargas 
positivas são de mesma intensidade. É importante ressaltar que é apenas neste 
ponto que há a anulação do campo elétrico, visto que, embora existam forças 
de atuação nas proximidades do ponto médio, elas são de baixas intensidades.
Os campos elétricos estudados na engenharia e na ciência são, em grande 
parte, compostos de distribuições complexas de cargas, o que requer cálculos 
bastante complexos. Todavia, em vários casos, é possível compreender a 
física envolvida apenas por meio de comparações de modelos simplificados 
de campos elétricos. A Figura 7, a seguir, apresenta diagramas de campos 
gerados por modelos de cargas essenciais para a compreensão geral desse 
fenômeno, sendo estes materiais utilizados como modelos que facilitam os 
cálculos mais estruturados.
Campos elétricos criados por anéis, discos, planos e esferas8
68 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Figura 7. Campo elétrico em: (a) anéis; (b) discos; (c) planos infinitos; e (d) esferas. 
Observe que os materiais da Figura 7 são considerados com cargas posi-
tivas e, dessa forma, possuem linhas de campo que saem das cargas-fonte. 
Na Figura 7a, é representado o diagrama de campo de um anel carregado, 
no qual as linhas se anulam no centro do anel, pois há o cancelamento das 
cargas diametralmente opostas. As Figuras 7b e c representam o diagrama 
de campo de um disco e de um plano infinito, respectivamente. Observe que, 
no diagrama de campo do plano infinito, as linhas saem ortogonais ao plano, 
o que também ocorre no disco, exceto próximo às bordas, onde também deve 
ser considerado o campo gerado pela lateral da borda para encontrar o campo 
resultante, tornando as linhas curvas nessas regiões. Na Figura 7d, é apre-
sentada uma esfera carregada, que gera um diagrama de campo equivalente 
a uma carga puntiforme.
9Campos elétricos criados por anéis, discos, planos e esferas
Eletrostática I | UNIDADE 1
Campo Elétrico | PARTE 4 69
2 O princípio da superposição e da simetria
Visando a deixar claro o conhecimento apresentado na seção anterior, serão 
expostos alguns exemplos mais detalhados de cálculos que abordam a maior 
parte dos conceitos citados.
O conceito de força elétrica é a premissa fundamental para o entendimento 
do campo elétrico, e é pela lei de Coulomb que se descreve a intensidade dessa 
força. A lei de Coulomb diz que a força elétrica entre dois corpos é diretamente 
proporcional ao produto de suas cargas e inversamente proporcional ao qua-
drado de sua distância. Em outras palavras, se um corpo A causa uma força 
F em um corpo B, separados por uma distância d, ao triplicar a sua distância 
para 3d, sua força será 9 vezes menor, ou seja, F/9. De modo análogo, se os 
dois corpos forem aproximados de forma que permaneçam a uma distância 
três vezes menor (d/3), sua força se tornará 9 vezes maior, ou seja, 9F. Contudo, 
se as cargas permanecerem à mesma distância, porém uma delas tiver a sua 
carga triplicada, a força, consequentemente, também será triplicada.
Observe que a Equação 1 descreve apenas o módulo da intensidade da força 
e ignora os sinais das cargas, já que estão em módulo. Assim, o sentido será 
definido sem o uso da equação, apenas de acordo com o sinal das cargas, e a 
direção será a do eixo entre as cargas. Mas, então, como é calculada a força 
entre três ou mais cargas? Como se sabe a direção da força em cada uma 
dessas cargas se não estiverem no mesmo eixo?
Para responder a essas perguntas, utiliza-se o princípio da superposição, 
e é essencial o uso de uma forma vetorial da lei de Coulomb:
(Equação 4)
A Figura 8, a seguir, descreve com mais detalhes como a Equação 4 é 
construída.
Campos elétricos criados por anéis, discos, planos e esferas10
70 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Figura 8. Equação vetorial da lei de Coulomb. 
Fonte: Adaptada de Bauer, Westfall e Dias (2012).
Para que haja uma melhor compreensão desse assunto, faz-se necessária 
uma revisão do conteúdo de álgebra linear ou geometria analítica. A Equação 4 
descreve a força que a carga q2 causa em q1, portanto, o vetor gerado por essa 
equação terá origem na carga q1. O vetor r21 é um vetor unitário, apontando 
de q1 para q2, o qual é calculado como e tem o propósito de descrever 
o sinal do vetor resultante.
É importante destacar que, se as cargas forem de sinais iguais, seu produto 
(q1 · q2) terá sinal positivo, e a força resultante será de repulsão. De forma 
análoga, se forem de sinais diferentes, o produto entre as cargas terá sinal 
negativo, e a força resultante será de atração. É por esse motivo que há um 
sinal negativo no numerador da equação, pois, conforme o sinal do produto 
das cargas, define-se o sentido da força resultante, utilizando como referência 
o vetor r21. Por exemplo, na Figura 8a, o produto das cargas tem sinal positivo, 
portanto, como há o sinal negativo no numerador da equação, a força resultante 
tem sentido contrário ao vetor r21. Já na Figura 8b, como as cargas têm sinais 
contrários, o produto das cargas é negativo, e, como há o sinal negativo no 
numerador da equação, a força resultante tem o mesmo sinal e sentido de r21. 
Portanto, essa equação descreve de forma vetorial a força resultante de duas 
cargas. No caso de várias cargas, faz-se necessário, primeiro, definir em qual 
carga se deseja saber a força resultante, para então calcular todas as forças 
atuantes nessa carga em questão. Em seguida, deve-se calcular a soma vetorial 
das forças atuantes no ponto para se obter a força resultante.
11Campos elétricos criados por anéis, discos, planos e esferas
Eletrostática I | UNIDADE 1
Campo Elétrico | PARTE 4 71
É importante ressaltar que as duas formas de equações da lei de Coulomb 
são corretas, de modo que decidir qual utilizar é uma escolha do leitor. Apesar 
de a forma vetorial descrever exatamente o sentido e a direção da força, faz-se 
necessário um maior número de cálculos. No entanto, existem certas situações 
em que basta apenas o cálculo da intensidade e um pouco de geometria para 
resolver o que se deseja, conforme o Exemplo 1.
Exemplo 1
Considere as quatro partículas carregadas a seguir: q1 = –1C, q2 = +5C, 
q3 = +1C, q4 = –8C. 
– –++
q1 q2 q3 q4
d d d
2d
Qual é a força resultante na partícula q2?
Resolução 
Observe que existem três forças elétricas atuando em q2. A primeira, a terceira 
e a quarta cargas causam na partícula q2, respectivamente, as forças F12, F32 
e F42. Pode-se perceber que F12 está orientada de q2 para q1, devido ao fato de 
possuírem sinais contrários e a força gerada por q1 em q2 ser de atração. De 
forma análoga, F32 é uma força de repulsão gerada por q3, ao passo que F42 é 
uma força de atração gerada por q4. 
+
F32
q2
F42
F12
Campos elétricos criados por anéis, discos, planos e esferas12
72 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Agora, como as quatro partículas estão no mesmo eixo, é possível utilizar 
a equação da lei de Coulomb, que trata apenas do módulo da intensidade da 
força, para encontrar a força resultante analisando geometricamente a situação. 
Portanto, F12, F32 e F42 são calculadas da seguinte forma:
Conforme observado, F12 e F32 estão orientadas para o mesmo sentido 
(esquerda), levando à somas das forças F12 = e F32 = , de modo que a força 
gerada na partícula q2 no sentido da esquerda é de . Em contrapartida,para 
o sentido da direita, há apenas a força F42 = . 
Portanto, tanto a força para a esquerda quanto a para a direita são iguais, 
o que torna a força resultante em q2 nula. Observe que, para esse cálculo, 
utilizou-se apenas a lei de Coulomb, que fornece o módulo da intensidade, 
bem como uma análise geométrica para encontrar a força resultante em q2. 
Confira, no Exemplo 2, o cálculo do campo elétrico em uma situação 
similar ao exemplo 1, porém utilizando a forma vetorial. 
Exemplo 2
Considere as três partículas mostradas no exemplo anterior, carregadas conforme: 
q1 = –1C, q2 = +5C, q3 = +1C. Calcule o campo elétrico resultante na carga q2.
q1 q2
d 2d
q3
y
x– + –
13Campos elétricos criados por anéis, discos, planos e esferas
Eletrostática I | UNIDADE 1
Campo Elétrico | PARTE 4 73
Resolução
Sabe-se que a partícula q2 sofre o efeito dos campos elétricos causados pelas 
partículas q1 e q4, portanto, o campo elétrico resultante em q2é descrito como
As, para calcular F12 e F32, será necessário o auxílio dos vetores unitários 
r12 e r42, criados da seguinte forma:
Assim,
Logo,
Portanto, o campo elétrico resultante tem uma componente em x, o que 
indica que, conforme a orientação estipulada do eixo x, o campo é orientado 
para a esquerda da carga q2, com intensidade de aproximadamente N/C. 
Dessa forma, ao considerar
e a distância d = 1 m, a intensidade terá aproximadamente 2,7 × 1010 N/C.
Campos elétricos criados por anéis, discos, planos e esferas14
74 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Formas simétricas
Muitas vezes, diversos materiais com formas geométricas distintas possuem 
estruturas simétricas. Essa simetria está relacionada à semelhança das par-
tes que compõem o corpo do material em relação à sua altura, largura ou 
comprimento.
Para o estudo de campos elétricos, a simetria em materiais carregados 
facilita a identificação de suas linhas de força, que podem ser deduzidas de 
forma mais simples de acordo com a sua distribuição de cargas. Confira, 
a seguir, algumas definições sobre campo elétrico:
 � todo campo elétrico interage com qualquer partícula carregada loca-
lizada em sua área; 
 � campos elétricos gerados por cargas positivas apontam para fora da 
carga-fonte;
 � campos elétricos gerados por cargas negativas são direcionados para 
a própria carga-fonte. 
 Essas afirmações serão suficientes para definir as linhas de campo de um 
material simétrico, ou melhor, não é necessário ter conhecimento de alguma 
equação ou fazer o cálculo do campo resultante para se calcular o diagrama de 
campo, pois a simetria do campo elétrico deve refletir a simetria da distribuição 
de carga (KNIGHT, 2009).
Portanto, ao rotacionar uma esfera em qualquer ângulo em torno de algum 
eixo, ela continuará apresentando o mesmo formato em relação ao espaço, 
por isso é dito que ela possui uma forma simétrica. Se a distribuição de carga 
da esfera for considerada regular, ou melhor, se não existem acúmulos de 
cargas em certos pontos, a esfera pode ser dividida em N fragmentos de cargas 
iguais, que geram campos elétricos equivalentes, de modo que se torna simples 
descrever as suas linhas de campo.
Dentre os objetos simétricos, três formas geométricas podem ser consi-
deradas fundamentais para o entendimento desse conceito: o plano infinito, 
o cilindro infinito e a esfera. A compreensão da simetria das formas geométri-
cas é fundamental para o entendimento de campos elétricos mais complexos. 
Em um estudo mais aprofundado de física elétrica, a dedução de campos 
elétricos complexos utilizando as equações da lei de Coulomb para a construção 
dos campos resultantes em cada ponto é de extrema dificuldade, entretanto, 
esse cálculo é realizado facilmente se for utilizada a lei de Gauss, que fornece 
uma perspectiva diferenciada baseada na simetria dos materiais.
15Campos elétricos criados por anéis, discos, planos e esferas
Eletrostática I | UNIDADE 1
Campo Elétrico | PARTE 4 75
3 Cálculo do campo elétrico em anéis, 
discos, planos e esferas
A maior parte dos materiais carregados encontrados no nosso dia a dia, seja na 
área de engenharia, medicina ou até mesmo em eletrodomésticos, são fontes 
de campos elétricos bastante complexos. Para facilitar a compreensão desses 
campos elétricos, são estabelecidas distribuições de cargas padrões de alguns 
materiais que podem ser relacionados com boas aproximações desses campos 
complexos, como anéis, discos, planos e esferas carregadas.
Campo elétrico em anéis
O anel carregado é uma das principais distribuições de cargas, pois é a base 
para a determinação de um disco e de um plano infinito. Para compreender o 
cálculo do campo elétrico de um anel carregado de carga Q e raio R, observe 
a Figura 9, a seguir.
Figura 9. Campo elétrico de um anel carregado. 
Fonte: Adaptada de Knight (2009).
Campos elétricos criados por anéis, discos, planos e esferas16
76 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
É importante ressaltar que o anel da Figura 9 está uniformemente carregado 
pela carga total, ou seja, supõe-se que a distribuição de cargas é regular em 
todo o corpo do material. Além disso, supõe-se que o anel seja fino o suficiente 
para que seja considerado como uma linha de carga de comprimento 2πR e 
que sua densidade linear de carga seja λ = Q/2πR.
Para encontrar uma equação que descreve o campo elétrico gerado por 
um anel, é considerado que este tenha centro na origem do plano x ⊥ y. Além 
disso, faz-se necessário que a carga onde se estipulará o valor do campo esteja 
em um eixo ortogonal (z) ao centro do anel, referenciado como o ponto P na 
Figura 9. Em virtude do princípio da superposição, isso é essencial para que 
haja um cancelamento das componentes x e y dos campos dos fragmentos 
diametralmente opostos do anel, facilitando, assim, o cálculo do campo elétrico 
resultante no ponto P.
Para a construção da equação, divide-se o anel em N pequenos segmentos, 
de forma que estes sejam considerados como cargas puntiformes de carga 
∆Q. Como para cada par de segmentos diametralmente opostos do anel há 
o cancelamento das componentes de campo perpendiculares ao eixo, faz-se 
necessário calcular apenas a componente do eixo z de cada segmento i, que 
é descrita da seguinte forma:
Segue da Figura 9 que, para qualquer segmento do anel, tem-se que 
. Portanto, o campo gerado por cada segmento do anel é dado por:
Agora, para o campo elétrico resultante no ponto P, somando o campo 
elétrico de todos os N segmentos do anel, tem-se que: 
17Campos elétricos criados por anéis, discos, planos e esferas
Eletrostática I | UNIDADE 1
Campo Elétrico | PARTE 4 77
Observe que, como z e R são constantes, foi possível tirá-los da somatória. 
Além disso, como a soma sobre todos os ∆Q dos fragmentos é a carga total 
Q, tem-se que: 
Campo elétrico em discos
Com a equação do campo elétrico de um anel carregado estabelecida, é possível 
expandir o seu conceito para a construção da equação do campo elétrico de 
um disco carregado. Por exemplo, a Figura 10, a seguir, apresenta um disco 
de raio R uniformemente carregado com uma carga Q, sem espessura e com 
densidade superficial de carga:
Figura 10. Campo elétrico em um disco carregado.
Fonte: Adaptada de Knight (2009).
Disco de 
raio R e 
carga Q
A carga do 
anel é
Campo 
devido 
ao anel i
Anel i com raio r
i
 e área A
i
. 
Se desenrolarmos o anel, ele se 
parecerá como mostrado abaixo.
Área
Campos elétricos criados por anéis, discos, planos e esferas18
78 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Lembre-se de que, para a construção da equação do campo elétrico do anel carregado, 
foi utilizada a técnica de dividir o anel em fragmentos de cargas, pois nestes já se 
sabia como calcular o campo elétrico. Uma vez que o disco pode ser fragmentado 
em N anéis, é possível utilizar uma estratégia similar para a descrição da sua equação 
de campo elétrico. 
Observe, na Figura 10, um desses anéis, com raio ri, carga ΔQi e área 
∆Ai. Ao contrário do anel, em que o raio e a cargade cada fragmento eram 
constantes, agora, tem-se que o campo elétrico criado pelo i-ésimo anel é:
E o campo elétrico sobre todo o disco é a soma dos campos elétricos 
criados por todos N anéis:
Segundo Knight (2009), o passo crítico é relacionar ∆Q a uma coordenada, 
pois, como se trata de uma superfície, a carga do i-ésimo anel é ∆Q = η∆Ai. 
Como apresentado na Figura 10, para determinar a área do i-ésimo anel basta 
calcular ∆Ai = 2πri∆r, de modo que o elemento de carga é ∆Qi = 2πηri∆r. 
Fazendo essa substituição, tem-se que:
19Campos elétricos criados por anéis, discos, planos e esferas
Eletrostática I | UNIDADE 1
Campo Elétrico | PARTE 4 79
Com o uso do cálculo integral, quando N → ∞ e ∆r → dr, a soma se torna 
uma integral. Assim, resolver a somatória de todos os anéis significa integrar 
de r = 0 até r = R, ou melhor:
Com um pouco da manipulação de técnicas do cálculo integral, pode-se 
simplificar essa integral para a equação a seguir, que descreve o campo elétrico 
resultante em um ponto z, do eixo ortogonal ao centro do disco: 
É importante ressaltar que essa equação vale para z > 0. Se z < 0, o cálculo 
é feito da mesma forma, porém o vetor do campo aponta para o sentido oposto.
Campo elétrico em planos
Os planos de cargas são uma das distribuições de cargas padrões mais uti-
lizados na eletrônica, pois constituem os eletrodos. Apesar de os eletrodos 
serem de extensão finita, eles são tratados como um plano de carga infinita, 
devido ao fato de a distância entre o ponto a se calcular o campo até o ele-
trodo ser pequena em relação à distância do ponto às extremidades do plano, 
de modo que as extremidades podem ser consideradas como se estivessem 
infinitamente distantes. 
Portanto, o campo elétrico gerado por um plano de carga é determinado 
partindo-se do cálculo de um campo gerado por um disco carregado de raio 
infinito, R → ∞. Em outras palavras, um disco de raio infinito é um plano 
infinito. 
Agora, ao considerar que: 
com R → ∞, tem-se que: 
Campos elétricos criados por anéis, discos, planos e esferas20
80 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Portanto, a intensidade de campo de um plano é diretamente proporcional 
à sua densidade de carga η. Agora, cabem os seguintes questionamentos: por 
que a intensidade de campo não depende do ponto onde se deseja calcular 
o campo? Como a intensidade do campo pode ser igual em todos os pontos 
do espaço, independentemente da sua distância? A resposta é que, quanto 
mais distante do plano, menor a intensidade de campo. Entretanto, estamos 
considerando um plano de carga infinito e, dessa forma, não possuímos uma 
escala que diferencia algo próximo ou distante. Em outras palavras, qualquer 
ponto do espaço está próximo de um plano infinito. 
Campo elétrico em esferas
A descrição do cálculo do campo elétrico em uma esfera de carga passa por 
procedimentos semelhantes aos das linhas e planos de cargas, porém envolve 
integrações significativamente mais complexas. Sem o conhecimento da lei 
de Gauss, aceita-se, por ora, o resultado sem demonstrá-lo:
onde Q é a carga da esfera de raio R; e r é a distância do ponto onde se deseja 
calcular o campo até o centro da esfera. Observe que é necessário que r > R 
para que o ponto esteja externo à esfera. Além disso, a equação é independente 
do raio da esfera e equivalente ao cálculo de uma carga puntiforme (Figura 11).
Figura 11. Campo elétrico em um disco carregado.
Fonte: Adaptada de Knight (2009).
21Campos elétricos criados por anéis, discos, planos e esferas
Eletrostática I | UNIDADE 1
Campo Elétrico | PARTE 4 81
BAUER, W.; WESTFALL, G. D.; DIAS, H. Física para universitários: eletricidade e magnetismo. 
Porto Alegre: AMGH, 2012.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: eletromagnetismo. 8. ed. 
Rio de Janeiro: LTC, 2009.
KNIGHT, R. D. Física: uma abordagem estratégica. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2009. 
(Eletricidade e Magnetismo, v. 3).
Leituras recomendadas
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. Fundamentos de circuitos elétricos. 5. ed. Porto Alegre: 
AMGH, 2013.
HELERBROCK, R. Levitação magnética (princípio do Maglev). Disponível em: https://
alunosonline.uol.com.br/fisica/levitacao-magnetica-principio-maglev.html. Acesso 
em: 11 jul. 2020.
HEWITT, P. G. Física conceitual. 12. ed. Porto Alegre: Bookman, 2015.
NETTO, L. F. Eletrização por atrito. 2013. Disponível em: https://pa-rumao.blogspot.
com/2013/02/serie-triboeletrica-dos-materiais.html. Acesso em: 11 jul. 2020.
SMITH, W. F.; HASHEMI, J. Fundamentos de engenharia e ciência dos materiais. 5. ed. Porto 
Alegre: AMGH, 2012.
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cionamento foi comprovado no momento da publicação do material. No entanto, a 
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Campos elétricos criados por anéis, discos, planos e esferas22
ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO 
PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.
PREZADO ESTUDANTE
Parte 5
Lei de Gauss
 
O conteúdo deste livro 
é disponibilizado
por SAGAH.
unidade 
1
V.1 | 2021
84 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
852 Física: Uma Abordagem Estratégica
Entretanto o campo proposto na figura falha em um teste. Suponha que refletíssemos 
o campo em relação a um plano perpendicular ao eixo longitudinal do cilindro, uma re-
flexão que troca o lado direito pelo esquerdo e vice-versa. Tal reflexão, que não ocasiona 
qualquer alteração na própria distribuição de carga, produziria o campo mostrado na 
FIGURA 28.3b. Esta alteração no campo seria detectável, pois uma partícula positivamente 
carregada teria agora um componente de movimento para a esquerda, ao invés de para 
a direita.
O campo da Figura 28.3a, que permite uma distinção entre esquerda e direita, não é 
cilindricamente simétrico e, portanto, não é um campo fisicamente possível. Em geral, 
o campo elétrico criado por uma distribuição de carga com simetria cilíndrica não 
pode possuir um componente paralelo ao eixo do cilindro.
Bem, então que tal o campo elétrico mostrado na FIGURA 28.4a? Aqui supostamente 
estamos olhando o cilindro transversalmente. Os vetores do campo elétrico estão restri-
tos a planos perpendiculares ao cilindro e, portanto, não possuem componentes paralelos 
ao eixo do cilindro. Este campo é simétrico frente a rotações em torno do eixo de sime-
tria, mas não é simétrico em relação a uma reflexão em um plano que contenha o eixo.
Após uma reflexão, o campo na FIGURA 28.4b é facilmente distinguível do campo da 
Figura 28.4a. Portanto, o campo elétrico criado por uma distribuição de carga com 
simetria cilíndrica não pode possuir um componente tangente à secção transversal 
circular do cilindro.
A FIGURA 28.5 mostra a única forma possível de campo restante. O campo elétrico é 
radial, apontando diretamente para fora do cilindro, como as cerdas de uma escova cilín-
drica Esta é a forma do campo elétrico que se ajusta à forma da distribuição de carga.
Vista lateral Vista transversal
FIGURA 28.5 Esta é a única configuração de campo elétrico que se ajusta à simetria da 
distribuição de carga.
Quão boa é a simetria?
Em vista do pouco que assumimos a respeito da Figura 28.1 – que a distribuição de carga 
tem simetria cilíndrica e que o campo elétrico aponta para fora de cargas positivas – fo-
mos capazes de chegar a conclusões importantes acerca do campo elétrico. Em particu-
lar, deduzimos a forma da configuração que o campo elétrico deve ter.
Entretanto, a forma da configuração não é tudo. Não descobrimos coisa alguma ain-
da a respeito da intensidade do campo ou sobre como a intensidade varia com a distân-
cia. Será E constante? Será que o campo diminui proporcionalmente a 1/r ou a 1/r2? Não 
dispomos ainda de uma descrição completa do campo, todavia conhecer a forma que 
este campodeve ter certamente facilitará a tarefa de obter sua intensidade.
Esta é a coisa boa a respeito das simetrias. Argumentos de simetria nos permitem 
eliminar possíveis formas de campo simplesmente por causa da incompatibilidade de 
tais campos com a simetria da distribuição de carga. Saber o que não acontece, ou o que 
não pode acontecer, geralmente é tão útil quanto saber o que pode ocorrer. Pelo processo 
de eliminação, somos levados para uma, e possivelmente a única, configuração que o 
campo pode assumir. A argumentação baseada em simetrias é, algumas vezes, um tanto 
sutil, mas sempre constitui um método poderoso de raciocínio.
As três simetrias fundamentais
Três simetrias fundamentais aparecem com freqüência na eletrostática. A primeira linha 
da FIGURA 28.6 mostra a forma mais simples de cada uma dessas simetrias. A segunda 
linha ilustra uma situação mais complexa, porém mais realista, com a mesma simetria. 
Vista
transversal
do cilindro
Plano de reflexão
A distribuição de carga
não sofre alteração pela
reflexão em um plano
que contém o eixo.
Reflexão
Este campo sofreu
alteração. Ele não se
ajusta à simetria do
cilindro, portanto o
campo real não pode se
parecer com este.
FIGURA 28.4 Ou o campo criado por uma 
distribuição cilíndrica de carga deveria se 
parecer com este?
Eletrostática I | UNIDADE 1
Lei de Gauss | PARTE 5 85
CAPÍTULO 28 ■ Lei de Gauss 853
Podemos não conhecer a intensidade, mas a forma do campo nessas situações mais com-
plexas deve se ajustar à simetria da distribuição de carga.
NOTA � As figuras devem ter tamanho finito, mas consideramos os planos e cilin-
dros da Figura 28.6 infinitos. �
Simetria Planar
Simetria
Básica:
O campo é
perpendicular
ao plano.
Exemplo
mais
complexo:
Capacitor de placas paralelas infinitas
Simetria cilíndrica
O campo aponta
radialmente para fora
ou para dentro do eixo.
Cilindros coaxiais
Simetria Esférica
O campo aponta
radialmente para
fora ou para
dentro do centro.
Esferas concêntricas
FIGURA 28.6 As três simetrias fundamentais.
De fato existem objetos que são muito parecidos com esferas perfeitas, mas cilindros 
ou planos reais não podem ser de extensão infinita. Mesmo assim, os campos que seriam 
criados por planos e cilindros carregados infinitos constituem bons modelos para os 
campos criados por cilindros e planos carregados finitos naqueles pontos não tão próxi-
mos de uma das extremidades do objeto. Eletrodos planos ou cilíndricos são comuns em 
um grande número de dispositivos práticos, portanto os campos que estudaremos neste 
capítulo, mesmo que idealizados, possuem aplicações importantes.
PARE E PENSE 28.1 Um bastão uniformemente carregado tem um compri-
mento finito L. O bastão é simétrico frente a rotações em torno do eixo 
e sob reflexão em relação a qualquer plano que contenha o eixo. Ele 
não é simétrico frente a translações ou reflexões em relação a um plano 
perpendicular ao eixo, a menos que tal plano divida o bastão em duas 
partes iguais. Que configuração ou configurações de campo identificam 
a simetria do bastão?
86 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
854 Física: Uma Abordagem Estratégica
28.2 O conceito de fluxo
A FIGURA 28.7a mostra uma caixa opaca que encerra uma região do espaço. Não podemos 
ver o que há dentro da caixa, mas existe um vetor campo elétrico que sai de cada face da 
caixa. Você pode adivinhar o que há dentro da caixa?
(a) O campo sai de cada
 face da caixa. Deve
 haver uma carga
 positiva dentro dela.
Caixa
opaca
(b) O campo entra em
 cada face da caixa.
 Deve haver uma carga
 negativa dentro dela.
(c) Um campo que atravesse
 toda caixa significa
 que não há carga
 líquida dentro
 dela.
FIGURA 28.7 Embora não possamos ver o interior das caixas, os campos elétricos que 
atravessam suas faces nos dizem algo sobre o que elas contêm.
Claro que pode. Devido ao fato de os campos elétricos apontarem para fora de cargas 
positivas e de o campo elétrico sair de cada uma das faces da caixa, parece claro que a 
caixa contém carga positiva ou várias cargas positivas. Analogamente, a caixa da FIGURA 
28.7b deve conter uma carga negativa.
O que podemos afirmar sobre a caixa da FIGURA 28.7c? O campo elétrico aponta para 
dentro da caixa, a partir da esquerda. Um campo elétrico igual aponta para fora, à direita. 
Este campo poderia ser o campo elétrico criado por um grande eletrodo positivo posi-
cionado em algum lugar fora do campo de visão, à esquerda, e por um grande eletrodo 
negativo, também não visível, à direita. Um campo atravessa a caixa, mas não vemos 
evidência de qualquer carga (pelo menos uma carga líquida) dentro dela.
Estes exemplos sugerem que o campo elétrico, quando passa para dentro de uma 
caixa, para fora dela ou através da mesma está, de alguma maneira, relacionado à carga 
existente dentro da caixa. Entretanto essas simples descrições não nos dizem qual é a 
quantidade de carga existente dentro da caixa, ou onde, dentro dela, localiza-se a carga. 
Talvez a escolha de uma caixa melhor seja mais informativa.
Suponha que delimitemos uma região do espaço por uma superfície fechada, uma 
superfície que divida o espaço em duas regiões distintas, o interior e o exterior. No con-
texto da eletrostática, uma superfície fechada atravessada por um campo elétrico é cha-
mada de superfície gaussiana, assim denominada em homenagem ao matemático do 
século XIX Karl Gauss, que estabeleceu as fundações matemáticas da geometria. Trata-
se de uma superfície matemática imaginária, e não, de uma superfície material, embora 
ela possa, em certas situações, coincidir com uma superfície material. Por exemplo, a 
FIGURA 28.8 mostra uma superfície gaussiana esférica que envolve uma carga.
Uma superfície fechada deve, necessariamente, ser uma superfície tridimensional. 
Mas figuras tridimensionais são geralmente difíceis de desenhar, portanto nós desenha-
remos secções transversais bidimensionais de superfícies gaussianas, tal como a mos-
trada na FIGURA 28.8b. Agora, uma escolha melhor da caixa torna mais claro o que há no 
interior. Podemos afirmar, a partir dos vetores campo elétrico que saem da superfície 
com simetria esférica, que a carga positiva interna deve ter uma simetria esférica e estar 
posicionada no centro de uma esfera. Note duas propriedades que logo serão importan-
tes: o campo elétrico é perpendicular à superfície da esfera em qualquer ponto da mesma 
e possui o mesmo módulo em cada ponto da superfície.
A FIGURA 28.9 mostra outro exemplo. Um campo elétrico emerge dos quatro lados do 
cubo da FIGURA 28.9a, mas não da face superior nem da inferior. Deveríamos ser capazes 
de adivinhar o que existe dentro da caixa, mas não podemos ter certeza. A FIGURA 28.9b 
usa uma superfície gaussiana diferente, um cilindro fechado (i.e., paredes cilíndricas e 
extremidades “tampas” planas), e a FIGURA 28.9c simplifica o desenho, mostrando uma 
visão bidimensional das tampas e da lateral. Agora, com uma escolha melhor da super-
fície imaginária, podemos dizer que a superfície gaussiana cilíndrica encerra algum tipo 
de distribuição de carga cilíndrica, tal como um fio reto carregado. Novamente, o campo 
elétrico é perpendicular em qualquer ponto da superfície cilíndrica e tem o mesmo mó-
dulo em cada ponto da mesma.
Toda superfície
gaussiana é uma
superfície fechada.
É geralmente mais fácil
de desenhar uma secção
transversal bidimensi-
onal de uma superfície
gaussiana esférica.
FIGURA 28.8 Uma superfície gaussiana 
envolve uma carga. Geralmente é 
fácil desenhar uma secção transversal 
bidimensional da mesma.
Eletrostática I | UNIDADE 1
Lei de Gauss | PARTE 5 87
CAPÍTULO 28 ■ Lei de Gauss 855
Superfície gaussiana
cúbica
Superfície gaussiana
cilíndrica
Secções transversais bidimensionais
de uma superfície gaussiana
Lateral Superior
FIGURA 28.9 A superfície gaussiana é mais útil quando se ajusta à forma do campo.
Para contrastar, considere a superfície esférica na FIGURA 28.10a. Esta tambémé uma 
superfície gaussiana, e o campo elétrico projetando-se para fora nos diz que há uma 
carga positiva no seu interior. Poderia ser uma carga puntiforme localizada no lado es-
querdo, mas realmente não sabemos. Uma superfície gaussiana que não se ajusta à sime-
tria da distribuição de carga não é muito útil.
A superfície aberta da FIGURA 28.10b também não é de grande auxílio. O que parece 
ser um campo elétrico uniforme orientado para a direita poderia ter sido criado por uma 
grande placa positiva posicionada à esquerda ou por uma grande placa negativa à direita, 
ou ambos. Uma superfície aberta não fornece informação suficiente.
Esses exemplos nos levam a duas conclusões:
 1. O campo elétrico, de alguma forma, “flui” para fora de uma superfície fecha-
da que delimita uma região do espaço que contém uma carga líquida positiva, e 
“flui” para dentro de uma superfície fechada que encerra uma carga líquida ne-
gativa. O campo elétrico pode atravessar uma superfície fechada onde não exista 
uma carga líquida, mas, neste caso, o fluxo resultante é nulo.
 2. A configuração do campo elétrico através de uma superfície é relativamente sim-
ples se a superfície fechada se ajusta à simetria da distribuição de carga interior.
O campo elétrico realmente não escoa como um fluido, mas a metáfora é útil. A 
palavra em latim para fluir é fluxo, e a quantidade de campo elétrico que atravessa uma 
superfície qualquer é denominada fluxo elétrico. Nossa primeira conclusão, obtida em 
termos do fluxo elétrico, é
Existe um fluxo para fora através de uma superfície fechada em torno de uma carga ■
líquida positiva.
Existe um fluxo para dentro através de uma superfície fechada em torno de uma ■
carga líquida negativa.
Não existe um fluxo resultante através de uma superfície fechada em torno de uma ■
região do espaço na qual a carga líquida seja nula.
Este capítulo tem sido inteiramente qualitativo até onde estabelecemos descritiva-
mente o que queremos dizer por simetria, a idéia de fluxo e o fato de que o fluxo elétrico 
através de uma superfície fechada tem algo a ver com a carga em seu interior. A com-
preensão dessas idéias qualitativas é essencial; todavia, para irmos além, precisaremos 
tornar quantitativas e precisas essas idéias qualitativas. Na próxima seção, você apren-
derá como calcular o fluxo elétrico através de uma superfície. Então, na seção seguinte, 
estabeleceremos uma relação precisa entre o fluxo total através de uma superfície gaus-
siana e a carga encerrada por ela. Essa relação, a lei de Gauss, nos permitirá determinar 
os campos elétricos criados por algumas distribuições de carga interessantes e úteis.
PARE E PENSE 28.2 Esta caixa
 a. Contém uma carga positiva.
 b. Contém uma carga negativa.
 c. Não contém carga.
 d. Contém uma carga líquida positiva.
 e. Contém uma carga líquida negativa.
 f. Não contém uma carga líquida.
(a)
Uma superfície
gaussiana que não
se ajuste à simetria
do campo elétrico
não é muito útil.
(b)
Uma superfície aberta não
fornece informação suficiente
sobre a carga.
FIGURA 28.10 Nem todas as superfícies são 
úteis para conhecermos a carga.
88 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
856 Física: Uma Abordagem Estratégica
28.3 O cálculo do fluxo elétrico
Vamos começar com uma breve visão panorâmica do caminho pelo qual esta seção vai 
nos levar. Iniciaremos com uma definição de fluxo que é fácil de compreender e, depois, 
transformaremos esta definição simples em uma integral de aparência impressionante. 
Precisaremos da integral porque a definição simples se aplica apenas a campos elétricos 
uniformes e a superfícies planas. Embora sejam bons pontos de partida, necessitaremos 
calcular o fluxo de campos não-uniformes através de superfícies curvas.
Matematicamente, o fluxo de um campo não-uniforme através de uma superfície 
curva é descrito por um tipo especial de integral chamada de integral de superfície. É 
bem provável que você ainda não tenha se deparado com integrais de superfície no seu 
curso de cálculo, e o “fator novidade” contribui para fazer com que essa integral pareça 
mais complicada do que ela realmente é. Enfatizaremos cada vez mais que uma integral 
é apenas uma maneira cheia de estilo de efetuar uma soma, neste caso a soma de peque-
nas parcelas de fluxo através de várias pequenas partes de uma superfície.
A boa notícia é que toda a integral de superfície que precisaremos calcular neste capí-
tulo ou que você precisará calcular nos exercícios propostos, ou é nula ou é tão fácil de efe-
tuar que você poderá até fazê-lo de cabeça. Isto pode parecer surpreendente, mas você logo 
verificará que é verdadeiro. O segredo é fazer uso efetivo da simetria do campo elétrico.
Agora que você já foi alertado, não há necessidade de pânico ao ver a notação mate-
mática que será introduzida. Avançaremos passo a passo, e você verá que, pelo menos no 
que concerne à eletrostática, calcular o fluxo elétrico não é difícil.
Definição básica de fluxo
Imagine-se segurando uma espira retangular de área A em frente a um ventilador. Con-
forme mostra a FIGURA 28.11, o volume de fluxo de ar que passa através da espira a cada 
segundo depende do ângulo entre o plano da espira e a direção do fluxo. O fluxo será 
máximo através de uma espira que seja perpendicular ao fluxo de ar; e não passará ar 
através da espira se ela estiver com seu plano paralelo ao fluxo.
 é o componente da velocidade
 do ar perpendicular ao plano da espira.
Espira
Fluxo
de ar
A quantidade de ar que atravessa
a espira é máxima quando
Vetor unitário
normal ao plano
da espira
Não há fluxo de ar através
da espira quando
A espira está inclinada
em um ângulo .
FIGURA 28.11 A quantidade de ar que passa através de uma espira depende do ângulo 
formado entre e .
A orientação do fluxo é identificada pelo vetor velocidade . Podemos identificar a 
orientação da espira definindo um vetor unitário normal ao plano da espira. O ângulo 
�, então, é o ângulo formado entre e . A espira perpendicular ao fluxo da FIGURA 28.11a 
corresponde a � � 0°; a espira paralela ao fluxo da FIGURA 28.11b corresponde a � � 90°. 
Você pode pensar em � como o ângulo pelo qual a espira está desviada em relação à 
perpendicular.
NOTA � Toda superfície possui dois lados, portanto pode apontar para qualquer um 
dos dois. Escolhemos o lado em que � � 90°. �
Da FIGURA 28.11C você nota que o vetor velocidade pode ser decomposto em um 
componente , perpendicular ao plano da espira, e , paralela ao 
mesmo. Somente o componente perpendicular carrega ar através da espira. Conse-
qüentemente, o volume de ar que flui através da espira a cada segundo é
 Volume de ar por segundo (m3/s) � (28.1)
11.7
Eletrostática I | UNIDADE 1
Lei de Gauss | PARTE 5 89
CAPÍTULO 28 ■ Lei de Gauss 857
O valor � � 0° corresponde à orientação do fluxo para um fluxo máximo através da es-
pira, como esperado, e não há fluxo de ar através da mesma se ela estiver com inclinação 
de � � 90°.
Um campo elétrico realmente não flui no sentido literal do termo, entretanto pode-
mos aplicar a mesma idéia para um campo elétrico que atravesse uma superfície. A FIGU-
RA 28.12 mostra uma superfície de área A em um campo elétrico uniforme . O vetor 
unitário é normal ao plano da espira e � é o ângulo formado entre e . Somente o 
componente atravessa a superfície.
Com isso em mente, e usando a Equação 28.1 como analogia, definimos o fluxo 
elétrico �e, como
 (28.2)
O fluxo elétrico mede a quantidade de campo elétrico que atravessa uma superfície de área 
A quando a normal à superfície está inclinada em relação ao campo em um ângulo �.
A Equação 28.2 se parece muito com um produto escalar de dois vetores: 
. Para essa idéia funcionar, precisamos definir um vetor área com a 
direção de – ou seja, perpendicular à superfície – e com módulo igual à área A da su-
perfície. A unidade do vetor é o m2. A FIGURA 28.13a mostra dois vetores área.
O vetor área 
é perpendicular à
superfície.
O módulo de é
aárea A da superfície.
Área A Área A
O fluxo elétrico
através da superfície
é 
FIGURA 28.13 O fluxo elétrico pode ser definido em termos do vetor área .
A FIGURA 28.13b mostra um campo elétrico que atravessa uma superfície de área A. O 
ângulo formado entre os vetores e é o mesmo ângulo usado na Equação 28.2 para 
definir o fluxo elétrico, portanto a Equação 28.2 é, de fato, um produto escalar. Podemos 
definir o fluxo elétrico mais precisamente como
 
 (fluxo elétrico de um campo elétrico constante (uniforme))
 
(28.3)
Escrever o fluxo como um produto escalar ajuda a tornar claro como o ângulo � é definido: 
� é o ângulo entre o campo elétrico e uma linha perpendicular ao plano da superfície.
NOTA � A Figura 28.13b mostra uma área circular, mas a forma da superfície não 
é relevante. Entretanto, a validade da Equação 28.3 está restrita a campos elétricos 
uniformes que atravessem alguma superfície plana. �
EXEMPLO 28.1 Fluxo elétrico no interior de um capacitor 
de placas paralelas
Dois eletrodos paralelos, cada qual com área de 100 cm2, estão espa-
çados por 2,0 cm. Um deles está carregado com �5,0 nC, e o outro, 
com �5,0 nC. A normal a uma superfície de 1,0 cm � 1,0 cm, entre 
os eletrodos, faz um ângulo de 45° com o campo elétrico. Qual é o 
fluxo elétrico através da superfície?
MODELO Considere que a superfície esteja localizada próxima ao cen-
tro do capacitor, onde o campo elétrico é uniforme. O fluxo elétrico 
não depende da forma da superfície.
VISUALIZAÇÃO A superfície é quadrada, e não, circular; de outra for-
ma, a situação seria parecida com a da Figura 28.13b.
RESOLUÇÃO No Capítulo 27 aprendemos que o campo elétrico no inte-
rior de um capacitor de placas paralelas é dado por
Uma superfície de 1,0 cm � 1,0 cm possui área A � 1,0 � 10�4 m2. O 
fluxo elétrico através dessa superfície é
AVALIAÇÃO A unidade de fluxo elétrico é o produto da unidade de 
campo elétrico pela unidade de área: Nm2/C.
 é o ângulo
formado
entre e .
 � Ecos é o componente
do campo elétrico que atravessa
a superfície.
Normal
ao plano
da espira
Superfície
de área A
FIGURA 28.12 Um campo elétrico atravessa 
uma superfície.
ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO 
PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.
PREZADO ESTUDANTE
Eletrostática II
Prezado estudante,
Estamos começando uma unidade desta disciplina. Os textos que a compõem foram 
organizados com cuidado e atenção, para que você tenha contato com um conteúdo 
completo e atualizado tanto quanto possível. Leia com dedicação, realize as atividades e 
tire suas dúvidas com os tutores. Dessa forma, você, com certeza, alcançará os objetivos 
propostos para essa disciplina.
Objetivo Geral 
Compreender potencial elétrico e identificar as funções do capacitor em um circuito elétrico.
unidade 
2
V.1 | 2021
92 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Parte 1
Potencial Elétrico
 
O conteúdo deste livro 
é disponibilizado
por SAGAH.
unidade 
2
V.1 | 2021
94 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
890 Física: Uma Abordagem Estratégica
RESOLUÇÃO A molécula inicia a �i � 0o e termina a �f � 90o. O au-
mento da energia potencial é
�Udipolo � Uf � Ui � � pE cos 90o � (� pE cos 0o) 
� pE � 6,2 � 10�23 J
Essa é a energia necessária para girar a molécula em 90o.
AVALIAÇÃO Na temperatura ambiente, �Udipolo é significantemente me-
nor do que kBT. Portanto, as colisões com outras moléculas podem, 
facilmente, suprir as moléculas da água com energia para girarem, 
impedindo-as de manterem um constante alinhamento com o campo 
elétrico.
29.4 Potencial elétrico
Introduzimos o conceito de campo elétrico, no Capítulo 26, por causa das forças de ação 
a distância, que originaram preocupações e dificuldades conceituais. O campo desem-
penha o papel de um agente intermediário através do qual duas cargas exercem forças 
a distância uma sobre a outra. A carga q1 de algum modo altera o espaço ao redor de si 
com a criação de um campo elétrico . A carga q2, então, responde ao campo, experi-
mentando uma força .
Enfrentamos o mesmo tipo de dificuldade quando tentamos compreender a energia 
potencial elétrica. Para uma massa sobre uma mola, podemos conceber como a energia é 
armazenada na mola distendida ou comprimida. Mas quando dizemos que duas partícu-
las carregadas possuem uma energia potencial, uma energia que pode ser convertida em 
energia cinética de movimento perceptível, onde se encontra a energia? É incontestável 
que duas cargas positivas se afastam quando você as solta, ganhando energia cinética, 
mas não há um lugar óbvio no qual a energia esteja armazenada.
Na definição do campo elétrico, fizemos distinção entre as cargas que constituem as 
fontes do campo e as cargas que sofrem ação por parte do campo. A força sobre a carga 
q está relacionada ao campo elétrico criado pelas cargas-fonte por
força sobre q � [carga q] � [alteração do espaço produzida pelas cargas-fonte]
Vamos tentar um procedimento similar para o caso da energia potencial elétrica. A ener-
gia potencial elétrica deve-se às interações da carga q com outras cargas, portanto vamos 
dividir a energia potencial do sistema de modo que
energia potencial de q � fontes 
� [carga q] � [potencial de interação das cargas-fonte]
A FIGURA 29.17 mostra essa idéia esquematicamente.
Em analogia com o campo elétrico, definiremos o potencial elétrico V (ou apenas, 
para ser breve, o potencial) como
 
(29.20)
A carga q é usada como carga de prova para determinar o potencial elétrico, mas o valor 
de V é independente de q. O potencial elétrico, como o campo elétrico, é uma pro-
priedade das cargas-fonte.
Na prática, geralmente estaremos mais interessados em conhecer a energia potencial 
de uma carga q quando ela se encontrar em um ponto do espaço onde o potencial elétrico 
das cargas-fonte é V. Invertendo a Equação 29.20, vemos que a energia potencial é
 
Uq�fontes � qV
 
(29.21)
Uma vez que o potencial tenha sido determinado, é muito fácil determinar a energia 
potencial correspondente.
A unidade de potencial elétrico é o joule por coulomb, que é chamado de volt, sím-
bolo V:
1 volt � 1 V � 1 J/C
O nome dessa unidade é uma homenagem a Alessandro Volta, que inventou a pilha elé-
trica no ano de 1800. Microvolts (�V), milivolts (mV) e quilovolts (kV) são unidades 
também comumente usadas, pois os potenciais elétricos usados em aplicações práticas 
diferem significantemente em valor.
11.11
O potencial nesse 
ponto é igual a V.
As cargas-fonte alteram o 
espaço em volta delas através 
da criação de um potencial 
elétrico.
Cargas-fonte
Se a carga q encontra-se 
sob a ação do potencial, sua 
energia potencial elétrica é 
igual a U
q�fontes
 � qV.
FIGURA 29.17 As cargas-fonte alteram o 
espaço ao seu redor através da criação de 
um potencial elétrico.
Eletrostática II | UNIDADE 2
Potencial Elétrico | PARTE 1 95
CAPÍTULO 29 ■ O Potencial Elétrico 891
NOTA � Mais uma vez, os símbolos comumente usados estão em conflito. O símbo-
lo V é amplamente usado para representar volume e, agora, estamos introduzindo o 
mesmo símbolo para representar potencial. Para tornar a coisa mais confusa ainda, V 
também é a abreviatura para volts. Em texto impresso, V para potencial está em itá-
lico, e V para volts não está, todavia você não pode fazer tal distinção em trabalhos 
escritos à mão. Trata-se de uma situação desconfortável, mas esses são os símbolos 
comumente aceitos. Você está incumbido de ficar especialmente alerta para o con-
texto no qual um determinado símbolo é usado. �
Para que serve o potencial elétrico?
O potencial elétrico é uma idéia abstrata e demandará alguma prática você entender 
exatamente o que ele significa e como ele é útil. Usaremos múltiplas representações – 
palavras, desenhos, gráficos e analogias – para explicar e descrever o potencial elétrico.
Começamos com duas idéias essenciais:
O potencial elétrico depende apenas das cargas-fonte e de sua geometria. O potencial ■
é a “capacidade” das cargas-fonte em interagir se uma carga qaparecer. Essa capa-
cidade, ou potencial, está presente em todo o espaço independentemente de haver 
uma carga q lá, ou não, para experimentá-la.
Se conhecermos o potencial elétrico ■ V em qualquer lugar de uma região do espa-
ço, conheceremos imediatamente a energia de interação correspondente U � qV de 
qualquer carga naquela região com as cargas-fonte.
NOTA � É uma infelicidade que os termos potencial e energia potencial sejam tão 
parecidos. É fácil confundir um com o outro. Apesar dos nomes parecidos, eles são 
conceitos muito diferentes e não são intercambiáveis. A Tabela 29.1 o ajudará a dis-
tinguir entre os dois. �
As cargas-fonte exercem influência através do potencial elétrico que elas estabe-
lecem em qualquer ponto do espaço. Uma vez que conheçamos o potencial – e o resto 
deste capítulo discute como calcular o potencial –, podemos ignorar as cargas-fonte e 
trabalhar apenas com o potencial. As cargas-fonte permanecem nos bastidores.
A energia potencial de uma partícula carregada é determinada pelo potencial elétri-
co: U � qV. Conseqüentemente, partículas carregadas aceleram ou desaceleram enquan-
to se movem através de uma região onde o potencial é variável. A FIGURA 29.18 ilustra 
essa idéia. Vale a pena mencionar que a partícula se move através de uma diferença de 
potencial, a diferença �V � Vf � Vi entre o potencial em um ponto inicial i e em um 
ponto final f. A diferença de potencial entre dois pontos normalmente será chamada de 
voltagem. Nas ilustrações, a diferença de potencial entre dois pontos será representada 
por uma seta azul com duas pontas.
Uma carga positiva acelera à medida
que se move através de uma diferença 
de potencial negativa. A energia potencial 
é transformada em energia cinética.
Sentido em que há aumento V
Uma carga positiva desacelera 
ao se mover através de uma 
diferença de potencial positiva. 
Sua energia cinética diminui e 
é transformada em energia 
potencial.
FIGURA 29.18 Uma partícula carregada acelera ou desacelera enquanto se move através de 
uma diferença de potencial.
Se uma partícula se move através de uma diferença de potencial �V, sua energia 
potencial varia em �U � q�V. Podemos escrever a conservação da energia, em função 
do potencial elétrico, na forma �K � �U � �K � q�V � 0 ou, como é geralmente mais 
prático, na forma
 Kf � qVf � Ki � qVi (29.22)
A conservação da energia é a base de uma eficiente estratégia para resolução de pro-
blemas.
Esta bateria está especificada como de 
1,5 volt. Como veremos logo adiante, toda 
bateria é uma fonte de potencial elétrico.
TABELA 29.1 Distinguindo o potencial 
elétrico da energia potencial
O potencial elétrico é uma propriedade das 
cargas-fonte e, como você logo verá, está 
relacionado ao campo elétrico. O potencial 
elétrico estará presente havendo ou não uma 
carga q em um ponto para experimentá-lo. O 
potencial é medido em J/C ou V.
A energia potencial elétrica é a energia de 
interação de uma partícula carregada com as 
cargas-fonte. A energia potencial é medida 
em J.
96 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
892 Física: Uma Abordagem Estratégica
ESTRATÉGIA PARA RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS 29.1 
Conservação da energia em 
interações entre cargas 
MODELO Verifique se existem quaisquer forças dissipativas presentes que poderiam 
fazer variar a energia mecânica.
VISUALIZAÇÃO Desenhe uma representação pictórica do tipo antes-e-após da situa-
ção. Defina os símbolos que serão usados no problema, liste os valores conhecidos 
e identifique o que você deve determinar.
RESOLUÇÃO A representação matemática é baseada no princípio de conservação da 
energia mecânica: 
Kf � qVf � Ki � qVi
O potencial elétrico é fornecido no enunciado do problema? Se não, você preci- ■
sará usar um potencial conhecido, como o de uma carga puntiforme, ou calcular 
o potencial usando um procedimento que será visto mais tarde, na Estratégia 
para Resolução de Problemas 29.2.
K ■ i e Kf representam, respectivamente, a soma das energias cinéticas iniciais e 
finais de todas as partículas em movimento.
Em alguns problemas, serão necessários princípios de conservação adicionais, ■
como o de conservação da carga ou o de conservação do momentum.
AVALIAÇÃO Verifique se o seu resultado está expresso nas unidades corretas, se é 
plausível e se responde à questão.
EXEMPLO 29.6 Movimento através de uma diferença de 
potencial
Um próton com velocidade inicial de 2,0 � 105 m/s entra em uma 
região do espaço onde as cargas-fonte criaram um potencial elétrico. 
Qual é o módulo da velocidade do próton após ter se movido através 
de uma diferença de potencial de 100 V? Qual será a velocidade final 
se o próton for substituído por um elétron?
MODELO A energia é conservada. O potencial elétrico determina a 
energia potencial.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 29.19 é uma representação do tipo antes-e-
após do movimento de uma partícula carregada através de uma di-
ferença de potencial. Uma carga positiva desacelerará enquanto se 
move para dentro de uma região onde o potencial é mais alto (K → 
U). Na mesma situação, uma carga negativa acelerará (U → K).
Antes: Após:
Diferença de potencial
FIGURA 29.19 Uma partícula carregada move-se através de uma 
diferença de potencial.
RESOLUÇÃO A energia potencial da carga q é U � qV. A conservação 
da energia, agora expressa em termos do potencial elétrico V, é Kf � 
qVf � Ki � qVi, ou
Kf � Ki � q�V
onde �V � Vf � Vi é a diferença de potencial através da qual a partí-
cula se move. Em termos de velocidade, a conservação de energia é
Isolando a velocidade final, obtemos:
Para um próton, com q � e, a velocidade final é
De qualquer forma, um elétron com q � � e e com massa diferente 
acelera e atinge (vf)e � 5,9 � 106 m/s.
AVALIAÇÃO O potencial elétrico sempre existiu no espaço devido às ou-
tras cargas que não são explicitamente vistas no problema. O elétron e 
o próton não estão relacionados à produção do potencial. Ao contrário, 
eles respondem ao potencial adquirindo uma energia potencial U � qV.
Eletrostática II | UNIDADE 2
Potencial Elétrico | PARTE 1 97
CAPÍTULO 29 ■ O Potencial Elétrico 893
PARE E PENSE 29.3 Um próton parte do repouso no ponto B, onde o potencial é de 0 V. De-
pois disso, o próton
 a. Permanece em repouso em B.
 b. Move-se em direção a A com velocidade constante.
 c. Move-se em direção a A com velocidade crescente.
 d. Move-se em direção a C com velocidade constante.
 e. Move-se em direção a C com velocidade crescente.
29.5 Potencial elétrico no interior de um 
capacitor de placas paralelas
Começamos esse capítulo discutindo a energia potencial de uma carga no interior de um 
capacitor de placas paralelas. Agora vamos investigar o potencial elétrico. A FIGURA 29.20 
mostra dois eletrodos paralelos, separados por uma distância d, com densidade superfi-
cial de carga ��. Como um exemplo específico, consideraremos que d � 3,00 mm e que 
� � 4,42 � 10�9 C/m2. O campo elétrico dentro do capacitor, como você aprendeu no 
Capítulo 27, é
 (29.23)
Esse campo elétrico é criado pelas cargas-fonte sobre as placas do capacitor.
Na Seção 29.1, encontramos que a energia potencial elétrica da carga q no campo 
elétrico uniforme de um capacitor de placas paralelas é
 Uelet � Uq�fontes � qEs (29.24)
Escolheremos o termo constante U0 igual a zero. Uelet é a energia de q devida às suas 
interações com as cargas-fonte sobre as placas do capacitor.
Nossa nova abordagem da interação é separar o papel desempenhado pela carga q do 
papel desempenhado pelas cargas-fonte através da definição do potencial elétrico V � 
Uq�fontes /q. Portanto o potencial elétrico dentro do capacitor de placas paralelas é
 
V � Es (potencial elétrico dentro do capacitor de placas paralelas)
 
(29.25)
onde s é a distância em relação ao eletrodo negativo. O potencial elétrico, como o 
campo elétrico, existe em todos os pontos internos ao capacitor. O potencial elétrico é 
criado pelas cargas-fonte distribuídas sobre as placas do capacitor e existe quer a carga 
q estejalá ou não.
A FIGURA 29.21 ilustra um aspecto importante: o potencial elétrico aumenta linear-
mente, da placa negativa, onde V� � 0, para a placa positiva, onde V� � Ed. Vamos de-
finir a diferença de potencial �VC entre as duas placas do capacitor como
 �VC � V� � V� � Ed (29.26)
Em nosso exemplo específico, �VC � (500 N/C) (0,0030 m) � 1,5 V. A unidade está 
correta, pois 1,5 (Nm)/C � 1,5 J/C � 1,5 V.
NOTA � Pessoas que trabalham com circuitos chamariam �VC de “a voltagem atra-
vés do capacitor” ou simplesmente de “a voltagem do capacitor”. �
A Equação 29.26 tem uma implicação interessante. Até aqui, determinamos o campo 
elétrico dentro de um capacitor a partir da especificação da densidade superficial de 
carga � sobre as placas.
,
,
FIGURA 29.20 Um capacitor de placas 
paralelas.
FIGURA 29.21 O potencial elétrico de um 
capacitor de placas paralelas aumenta 
linearmente da placa negativa para a placa 
positiva.
98 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
894 Física: Uma Abordagem Estratégica
Alternativamente, poderíamos especificar a voltagem do capacitor �VC (isto é, a di-
ferença de potencial entre suas placas) e, então, determinar a intensidade do campo 
elétrico como
 
(29.27)
De fato, esta é a maneira pela qual o campo E é determinado em aplicações práticas, pois 
é fácil medir �VC com um voltímetro, mas é difícil, na prática, conhecer o valor de �.
A Equação 29.27 implica que a unidade de campo elétrico é o volt por metro, ou 
V/m. Estamos usando como unidade de campo elétrico o newton por coulomb. De fato, 
você pode mostrar, como tarefa para casa, que essas unidades se equivalem, ou seja,
1 N/C � 1 V/m
NOTA � O volt por metro é a unidade de campo elétrico usada na prática por cien-
tistas e engenheiros. Vamos adotá-la agora como nossa unidade padrão de campo 
elétrico. �
Retornando ao potencial elétrico, podemos substituir E, da Equação 29.27, por V, 
dado pela Equação 29.25. Com isso, o potencial elétrico dentro do capacitor assume a 
forma
 
(29.28)
O potencial aumenta linearmente de V� � 0 V na placa negativa (s � 0) para V� � �VC 
na placa positiva (s � d).
Vamos explorar o potencial elétrico no interior de um capacitor observando-o por 
vários meios diferentes, mas relacionados, através dos quais o potencial pode ser repre-
sentado graficamente.
Gráfico do potencial Superfícies equipotenciais Mapa de contorno Gráfico de elevação
placa
placa
pl
ac
a
pl
ac
a
placa
Representações gráficas do potencial elétrico dentro de um capacitor
Gráfico do potencial versus s. 
Você pode verificar que o 
potencial aumenta de 0,0 V na 
placa negativa para 1,5 V na 
placa positiva.
Vista tridimensional mostrando 
as superfícies equipotenciais. 
Essas são superfícies matemáticas, 
e não, superfícies físicas, em que o 
potencial V é igual em todos os 
pontos da mesma. No caso de um 
capacitor de placas paralelas, as 
superfícies equipotenciais são 
planos paralelos às placas do 
capacitor. As placas do capacitor 
também constituem superfícies 
equipotenciais.
Mapa de contorno bidimen-
sional. As placas do capacitor e 
as superfícies equipotenciais são 
vistas de cima, portanto você 
deve imaginá-las estendendo-se 
acima e abaixo do plano da 
página.
Gráfico de elevação tridimen-
sional. O potencial é desenhado 
verticalmente em função da 
coordenada s sobre um eixo de e 
uma coordenada yz geral sobre 
outro eixo. A vista a partir do 
lado direito do gráfico de 
elevação fornece o valor do 
gráfico do potencial.
,
,
,
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,
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,
placa
ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO 
PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.
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100 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Parte 2
Capacitores
 
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V.1 | 2021
102 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Capacitores
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir capacitância e funcionamento de um capacitor, relacionando-
-os mutuamente.
 � Descrever o raio como quebra de um dielétrico – o ar – e relacionar 
a sua alta letalidade.
 � Criar circuitos capacitivos, como armazenadores de carga e energia.
Introdução
Capacitores são altamente usados em circuitos eletrônicos e suas princi-
pais funções são armazenar cargas e energia potencial elétrica, opor-se 
a mudanças de tensão e discriminar frequências, útil em circuitos de 
corrente alternada (ALEXANDER; SADIKU, 2013). Muitos equipamentos 
utilizam capacitores, como desfibriladores, nobreaks e estabilizadores 
de tensão, sendo essenciais para seu funcionamento.
Neste capítulo, você entenderá como um capacitor funciona e qual 
é o conceito de capacitância. Aprenderá a calcular a capacitância de 
capacitores de placas paralelas, entendendo do que ela depende. Verá, 
também, como encontrar a energia potencial acumulada nos capacitores 
e qual a função dos dielétricos.
Capacitância
A capacitância é uma propriedade dos condutores (BAUER; WESTFALL; 
DIAS, 2012). Os capacitores são basicamente formados por dois condutores 
isolados, que, independentemente de sua forma, são chamados de placas. A 
Figura 1a mostra um exemplo genérico de capacitor, e a Figura 1b mostra 
alguns tipos de capacitores encontrados, com diversos tamanhos e formas.
103
Eletrostática II | UNIDADE 2
Capacitores | PARTE 2
Figura 1. Capacitores: a) dois condutores isolados sem geometria específica formando 
um capacitor; b) exemplos de condutores encontrados, com diversos tamanhos e formas.
Fonte: Halliday, Resnick e Walker (1996, p. 92) e Bauer, Westfall e Dias (2012, p. 98).
(a) (b)
Nos capacitores, as placas são carregadas com cargas opostas, +q e –q. 
Como elas são condutoras, cada uma delas constitui uma superfície equipoten-
cial, com uma diferença de potencial V entre elas. Essa diferença de potencial 
V em um capacitor é proporcional à carga q, ou seja:
q = CV
cuja constante de proporcionalidade C é chamada de capacitância do ca-
pacitor, e depende da geometria das placas. A unidade em SI da capacitância 
é C/V, que é equivalente ao farad (F), ou seja:
1 F = C/V
O capacitor pode ser carregado ligando-o a uma bateria ou alguma outra 
fonte de energia que tenha tensão constante. O capacitor, então, carregará 
até atingir uma diferença de potencial entre as placas igual à tensão da fonte.
Capacitores2
104 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Garrafa de Leyden
Fonte: Queiroz (2000).
A garrafa de Leyden é considerada o primeiro modelo de capacitor. Ela foi inventada por 
Pieter van Musschenbroeck (1692-1761), docente na Universidade de Leyden na Holanda, 
no ano de 1745. Inicialmente, ela consistia apenas em uma garrafa preenchida com água 
e um fio, como terminal interior, e a mão do experimentador, como terminal exterior.
Existem algumas versões da garrafa de Leyden, mas os principais componentes são: 
1) garrafa de vidro com dois eletrodos, que podem ser lâminas tipo papel alumínio, 
uma forrando o interior da garrafa e outra o exterior; 2) o vidro é o dielétrico que separa 
as duas placas metálicas; 3) haste metálica com contato com o eletrodo interno, com 
rolha ou borracha isolante; 4) esfera na haste. A garrafa é carregada por contato, via 
esfera na haste. 
Esse tipo de garrafa alcança altas tensões, sendo visíveis faíscas ao se descarregarem.
Fonte: Allain (2017). Fonte: Fouad A. Saad/Shutterstock.com.
3Capacitores
105
Eletrostática II | UNIDADE 2
Capacitores | PARTE 2
Calculando a capacitância: capacitor de placas 
paralelas
Nesta seção, vamos calcular a capacitância de um capacitor, escolhendo a 
geometria de placas paralelas. Lembre-se que existem outras geometrias, 
como cilíndricas, esféricas, dentre outras. A Figura 2a mostra um esquema 
de um capacitor de placas paralelas, carregado com carga.
Figura 2. Esquemas de capacitores de placas paralelas: a) capacitor 
com placas de área A e carregado com carga +q e –q. Pode-se 
notar que as linhas de campo centrais são uniformes, e as da borda 
destorcem-se;b) representação ignorando a distorção das bordas, 
com as placas separadas por uma distância d. A região pontilhada 
em vermelho representa a superfície Gaussiana e a flecha em azul 
representa o caminho de integração, usados para o cálculo da 
capacitância.
Fonte: Halliday, Resnick e Walker (1996, p. 92) e Bauer, Westfall e Dias (2012, 
p. 101).
(a)
(b)
Capacitores4
106 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Para calcularmos a capacitância das placas paralelas, vamos inicialmente 
encontrar a carga q. A carga está relacionada com o campo elétrico E via lei 
de Gauss. A lei de Gauss é expressa como:
∫E · dA =
q
ϵ0
ou seja, a integral de E · dA sobre uma superfície Gaussiana é igual à 
carga interna a essa região q dividida pela constante de permissividade ∈0. 
A Figura 2b mostra a seção transversal da superfície Gaussiana em vermelho 
pontilhado. Para os cálculos, iremos ignorar o efeito de borda e considerar o 
campo uniforme dentro do capacitor.
Para resolvermos a lei de Gauss, devemos considerar as contribuições de 
todas as faces da superfície Gaussiana. As faces laterais não contribuem para 
a integral, pois são muito pequenas e podem ser desprezadas. A face superior 
encontra-se dentro do condutor e, pelo fato de o campo elétrico ser nulo, não 
há contribuição para a integral. Resta-se, então, a superfície inferior. Nesta, o 
campo elétrico aponta para baixo, e o vetor normal à superfície dA também. 
Assim, ficamos com:
∫E · dA = ∫∫ E dA cos (0º)
Borda inferior
= E ∫∫ dA = EA
Portanto:
q
ϵ0
EA =
q = ϵ0EA
Dessa maneira, encontramos a carga em função do campo elétrico e da área 
da placa. A diferença de potencial entre as placas pode ser encontrada como:
ΔV = – ∫ E ∙ ds
f
i
5Capacitores
107
Eletrostática II | UNIDADE 2
Capacitores | PARTE 2
Os pontos i e f são os pontos iniciais e finais de uma trajetória escolhida, 
no caso da placa negativa para a positiva marcada pela flecha em azul na 
Figura 2b. Resolvendo a integral, obtemos:
ΔV = – ∫ E ds cos(180º) = E ∫ ds = Ed
f
i
f
i
Tínhamos que:
q = CV
Ou seja:
C =
q
V =
ϵ0EA
Ed
ϵ0A
d=
Essa é a capacitância de um capacitor de placas paralelas. Note que a 
capacitância só depende da geometria do capacitor, ou seja, de sua área e 
distância entre as placas. A capacitância não é influenciada pela diferença de 
potencial entre as placas, e nem pela quantidade de carga presente.
Outras geometrias afetam a capacitância de maneira diferente. Veja a tabela a seguir.
Tipo de Capacitor Capacitância Observações
Placas paralelas ϵ0
A
d
A: área das placas
d: distância entre as placas
Cilíndrico 2�ϵ0
L
ln(b/a)
L: comprimento do cilindro
a: raio do cilindro interno
b: raio do cilindro externo
Esférico 4�ϵ0
ab
b – a
a: raio da esfera interna
b: raio da esfera externa
Esfera isolada 4�ϵ0R R: raio da esfera
Capacitores6
108 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Capacitores em paralelo e em série
Os capacitores podem ser distribuídos em série ou paralelo em circuitos 
eletrônicos. Assim, um grupo de capacitores em série ou em paralelo pode 
ser substituído por um capacitor equivalente, ou seja, um único capacitor que 
tenha capacitância igual ao do grupo em questão.
A Figura 3a mostra um exemplo de circuito com três capacitores de ca-
pacitâncias C1, C2 e C3, ligados em paralelo, e uma bateria, responsável por 
manter uma diferença de potencial V. Dizemos que os capacitores estão ligados 
em paralelo quando a mesma diferença de potencial fornecida pela bateria é 
mantida em todos eles. Assim, temos que:
q1 = C1V
q2 = C2V
q3 = C3V
Figura 3. Figura representativa de capacitores em paralelo: a) esquema de três 
capacitores com capacitâncias C1, C2 e C3, ligados em paralelo, e uma bateria, 
cuja diferença de potencial é V; b) esquema equivalente à Figura 3a, mas com 
o capacitor equivalente substituindo os outros três.
Fonte: Bauer, Westfall e Dias (2012, p. 104-105).
A carga total dos capacitores será dada por:
q = q1 + q2 + q3
Substituindo cada uma das cargas por q = CV, encontramos que:
q = q1 + q2 + q3 = C1V + C2V + C3V = (C1 + C2 + C3)V = CeqV
7Capacitores
109
Eletrostática II | UNIDADE 2
Capacitores | PARTE 2
Portanto, a capacitância equivalente para o circuito em paralelo com carga 
total q e diferença de potencial V, como mostrado na Figura 3b, é dada por:
Ceq = C1 + C2 + C3
Assim, se tivermos n capacitores em paralelo, teremos:
Ceq = ∑
n
i = 1
Ci
Ou seja, a capacitância equivalente de capacitores ligados em paralelo é a 
soma de cada uma das capacitâncias.
Mas se os capacitores estiverem ligados em série? A Figura 4 mostra um 
esquema de três capacitores com capacitâncias C1, C2 e C3, ligados em série 
e a uma bateria, que mantém uma diferença de potencial V. A bateria produz 
uma carga +q na placa ligada ao terminal positivo, e uma carga –q à placa 
ligada ao terminal negativo. Essas placas carregadas induzem cargas de sinais 
opostos nas placas mais próximas, como o que ocorre nos capacitores C1 e 
C3. As cargas das placas do capacitor C2 são induzidas pelas placas mais 
próximas de C1 e C3, cuja carga líquida entre as placas mantém-se zero, como 
mostrado na Figura 4.
Figura 4. Esquema de circuito com três capacitores. 
Fonte: Bauer, Westfall e Dias (2012, p. 105).
Capacitores8
110 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Após os capacitores estarem carregados, a diferença de potencial mantida 
pela bateria será igual à soma das diferenças em cada capacitor:
V = V1 + V2 + V3
Mas, para cada um deles, temos que:
V1 =
q
C1
V2 =
q
C2
V3 =
q
C3
Substituindo, ficamos com:
V = V1 + V2 + V3 = 
q
C1
q
C3
q
C2
+ + = q ( )1
C1
1
C2
1
C3
+ +
Ou seja, Ceq =
q
v , então:
1
C1
1
C2
1
C3
1
Ceq
= + +
Se tivermos n capacitores em série, ficamos com:
1
Ceq
∑
n
i = 1
1
Ci
=
Ou seja, o inverso da capacitância equivalente para capacitores em série 
é igual à soma do inverso das capacitâncias.
Falamos, nesta seção, de capacitores associados em paralelo ou em série, 
mas podemos encontrar combinações mais complicadas. Estas combinações 
podem ser subdivididas em partes com combinações em série ou paralelo, 
facilitando os cálculos para se encontrar um capacitor equivalente.
9Capacitores
111
Eletrostática II | UNIDADE 2
Capacitores | PARTE 2
Suponha o circuito mostrado na figura a seguir:
Qual a capacitância equivalente? Considere C1 = C2 = 1μF e C3 = 2μF.
Podemos resolver essa questão por partes. Primeiramente, podemos ver que 
os capacitores 1 e 2 estão em paralelo. Assim, a capacitância equivalente C12 será: 
C12 = C1 + C2 = 1 + 1 = 2μF.
O resultado está mostrado na figura a seguir. Como podemos ver, agora ficamos 
com dois capacitores em série. Assim, a capacitância equivalente C123 será:
1
C123
1
C12
1
C3
1
2
1
2
2
2
= + = + = = 1
C123 = 1 μF
Assim, a capacitância equivalente para o circuito inicial é 1μF.
Fonte: Halliday, Resnick e Walker (1996, p. 98).
Capacitores10
112 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Armazenamento de energia em um capacitor
Os capacitores são muito importantes para o armazenamento de energia po-
tencial elétrica. Para o seu carregamento, a bateria tem que realizar trabalho. A 
carga tem que se mover contra o potencial existente entre as placas do capacitor. 
Assim, o trabalho realizado pela bateria para o carregamento é armazenado 
sob a forma de energia potencial elétrica U no campo elétrico entre as placas. 
Essa energia pode ser recuperada quando o capacitor for usado e descarregar.
Suponha que uma carga q’ tenha sido transferida de uma placa para a 
outra. Neste momento, a diferença de potencial é igual a V’ = q’/C. O trabalho 
infinitesimal dW necessário para transferir mais carga infinitesimal dq’ será:
dW = V´dq´ =
q´
C dq´
Assim, o trabalho necessário para carregar totalmente o capacitor até uma 
carga q é dado por:
W = ∫ dW = 1
C ∫
q
0 q´dq´ =
q2
2C
Trabalho que é armazenado como energia potencial elétrica, ou seja:
U =
q2
2C
Usando a relação q = CV, encontramos que:
U = = =
q2
2C
CV2
2
qV
2
Portanto, temos três relações para a energia armazenada em um capacitor. 
Essas equações são válidas para qualquer tipo de geometria de capacitores.
11Capacitores
113
Eletrostática II | UNIDADE 2
Capacitores | PARTE 2
Como foi visto ao longo deste capítulo, os capacitores podem armazenar carga e 
energia potencial elétrica. Para isso, o circuito básico necessário é ligar o capacitor 
a uma fonte constante de tensão constante, como uma bateria, como mostrado no 
esquema a seguir.
Assim, dado dV = 160,0 V, e C = 80,0μF, qual a carga e energia potencial elétrica 
acumuladas no capacitor?
Sabemos que q = CdV. Então:
q = 80,0 ∙ 10–6 160,0 = 12,8 ∙ 10–3 C
A energia acumulada é dada por U = q² / 2C. Então:
U = = = 1,0 J
(12,8 ∙ 10–3 )2
2 × 80,0 ∙ 10–6
163,8 ∙ 10–6
160,0 ∙ 10–6
Dielétricos
Os capacitores que foram mostrados e discutidos até esta seção teriam ar ou 
vácuo entre as suas placas. Mas os capacitores usados na prática são preen-
chidos por um tipo de material chamado dielétrico. Dielétricos são materiais 
isolantes, como, por exemplo, o plástico. Há várias finalidades para a presença 
dos dielétricos em capacitores, dentre elas: garantir a separação entre as placas 
e isolá-las eletricamente, manter uma diferença de potencial maior do que 
quando preenchido por ar ou vácuo, e aumentar a capacitância do capacitor 
(BAUER; WESTFALL; DIAS, 2012).
O capacitor que é preenchido por um dielétrico tem sua capacitância igual 
a: C = kCar, onde Car é a capacitância do dielétrico quando preenchido com ar, 
e k é a constante dielétrica do material de preenchimento. A Tabela 1 mostra 
a constante k para alguns materiais comumente encontrados. Note que a 
Capacitores12
114 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
constante do vácuo é considerada exatamente 1, por definição, e a constante 
do ar é aproximadamente 1.
Fonte: Bauer, Westfall e Dias (2012).
Material Constante dielétrica Rigidez dielétrica 
(kV/mm)
Vácuo 1
Ar (1atm) 1,00059 2,5
Nitrogênio líquido 1,454
Teflon 2,1 60
Polietileno 2,25 50
Benzeno 2,28
Isopor 2,6 24
Lexan 2,96 16
Mica 3-6 150-220
Papel 3 16
Mylar 3,1 280
Plexiglas 3,4 30
Policloreto de 
vinila (PVC)
3,4 29
Vidro 5 14
Neoprene 16 12
Germânio 16
Glicerina 42,5
Água 80,4 65
Titanato de estrôncio 310 8
Tabela 1. Valores das constantes dielétricas k e rigidez dielétrica de materiais comumente 
encontrados (valores aproximados para temperatura ambiente).
13Capacitores
115
Eletrostática II | UNIDADE 2
Capacitores | PARTE 2
O campo elétrico no capacitor preenchido com um dielétrico diminui, 
permitindo que mais cargas sejam armazenadas nas placas. Para um capacitor 
de placas paralelas, temos que:
E =
Ear
k
q
kϵ0A
q
ϵA= =
onde tivermos ∈0 será substituído por k∈0, que é igual a ∈, permissividade 
elétrica do dielétrico: ∈ = k∈0.
Dessa maneira, usando ∈, podemos encontrar a diferença de potencial 
entre as placas de um capacitor de placas paralelas:
ΔV = Ed =
qd
ϵA
Assim, a capacitância será dada por:
C = 
q
ΔV = = =ϵA
d
kϵ0A
d
kCar
como havíamos comentado anteriormente.
Os materiais dielétricos possuem uma rigidez dielétrica, que é a capacidade 
do material em resistir a uma diferença de potencial aplicada (Bauer). Assim, 
se a intensidade do campo elétrico ultrapassar esse limite, ele é rompido, 
podendo ser destruído. A Tabela 1 mostra os valores da rigidez dielétrica para 
diversos materiais dielétricos comumente encontrados.
Capacitores14
116 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Considere um capacitor de placas paralelas, preenchido por ar, com capacitância 
de C = 10,0μF. Esse capacitor é ligado a uma bateria que mantém uma diferença de 
potencial de V = 20,0 V, como mostrado na figura a seguir. Qual é a carga armazenada 
nesse capacitor? 
Agora, suponha que esse mesmo capacitor seja preenchido por um material dielétrico 
de constante dielétrica k = 3,0. Qual a carga armazenada nessa nova configuração?
Sabemos que:
C =
q
V
Assim,
q = CV = 10,0 × 20,0=200,0 μC =2,0 ∙ 10–4 C
Na nova configuração, temos que a constante dielétrica é: C = kCar = 3,0 ∙ 10,0 = 30,0μF.
Usando novamente que q = CV, encontramos que:
q = 30,0 × 20,0 = 600,0 μC = 6,0 ∙ 10–4 C
Ou seja, a carga do capacitor aumenta. Mantendo ∆V constante e aumentando C, 
a carga q aumenta. A bateria fornece carga extra até carregar o capacitor totalmente.
Fonte: Bauer, Westfall e Dias (2012, p. 114).
O raio que vimos durante as tempestades é um exemplo de ruptura da rigidez 
dielétrica. As cargas, ao se acumularem nas nuvens, geram uma diferença de 
potencial muito alta entre ela e a superfície da Terra. Assim, há uma ruptura 
da rigidez dielétrica do ar, e uma corrente elétrica é conduzida, formando os 
relâmpagos que vemos. A elevada corrente provoca aquecimento, podendo 
levar a consequências explosivas e incendiárias.
15Capacitores
117
Eletrostática II | UNIDADE 2
Capacitores | PARTE 2
Para saber mais sobre correntes elétricas de raios, acesse 
o link ou o código a seguir:
https://goo.gl/FJkQzb
Aplicações
Os capacitores são muito utilizados em circuitos eletrônicos. Eles têm três 
características relevantes que os fazem tão úteis (ALEXANDER; SADIKU, 
2013):
 � A capacidade de armazenar energia e, por consequência, podem ser 
fontes de tensão ou corrente por um dado período de tempo, como já 
visto neste capítulo. O segundo exemplo mostra um esquema de circuito 
para armazenamento de energia em um capacitor.
 � Capacitores opõem-se a variações de tensão e, assim, podem ser utili-
zados em conversores de tensão pulsante para uma tensão mais suave.
 � Capacitores também são sensíveis a frequências, sendo úteis para de-
terminadores de frequências.
As duas primeiras características são utilizadas em circuitos de corrente 
contínua, enquanto que a última é utilizada em circuitos com corrente alternada.
Portanto, pelas características acima citadas, os capacitores são encontrados 
em diversos equipamentos, como nobreaks, estabilizadores de tensão, antenas, 
desfibriladores, flash de máquina fotográfica, dentre outros, sendo essenciais 
para seu funcionamento.
Capacitores16
118 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. 5. ed. Porto 
Alegre: AMGH, 2013.
ALLAIN, R. Let’s geek out on the physics of leyden jars. 24 jan. 2017. Disponível em: <ht-
tps://www.wired.com/2017/01/the-physics-of-leyden-jars/>. Acesso em: 15 fev. 2018.
BAUER, W.; WESTFALL, G.; DIAS, H. Física para universitários: eletricidade e magnetismo. 
Porto Alegre: AMGH, 2012. v. 3.
GARRAFA de Leyden. [200-?]. Disponível em: <http://www.rc.unesp.br/showde-
fisica/99_Explor_Eletrizacao/paginas%20htmls/Garrafa%20de%20Leyden.htm>. 
Acesso em: 15 fev. 2018.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física 3: eletromagnetismo. 4. 
ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996.
QUEIROZ, A. C. M. A garrafa de Leyden. 2000. Disponível em: <http://www.coe.ufrj.
br/~acmq/leydenpt.html>. Acesso em: 15 fev. 2018.
Leitura recomendada
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física 2: gravitação, ondas e 
termodinâmica. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996.
17Capacitores
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Parte 3
Capacitância e Capacitores
 
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2
V.1 | 2021
120 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Capacitância e capacitores
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Descrever as propriedades de um capacitor.
 � Determinar a capacitância na associação de capacitores em circuitos 
elétricos.
 � Investigar as propriedades físicas de um capacitor.
Introdução
Os capacitores são elementos armazenadores de energia amplamente 
utilizados em circuitos eletrônicos, transmissão de sinais, correção de 
fator de potência em sistemas de alimentação elétricas, sistemas de 
potência, entre outros. Embora eles não dissipem energia,os capacitores 
são elementos passivos nos circuitos elétricos. Ao conhecer as suas pro-
priedades, é possível analisar como as grandezas elétricas se relacionam 
nesse elemento. Além disso, os capacitores podem ser associados, a fim 
de obter diferentes valores de tensão ou corrente. Portanto, são elementos 
muito úteis na aplicação de circuitos elétricos.
Neste capítulo, você conhecerá as propriedades de um capacitor. 
Além disso, verá como ocorre a capacitância na associação de capacitores 
em circuitos elétricos.
1 Propriedades dos capacitores
Os capacitores são elementos passivos que armazenam energia na forma de 
campo elétrico. Eles são formados por duas placas paralelas de materiais con-
dutores, sem contato físico entre elas, pois uma camada de material dielétrico 
é posicionada entre as placas (ALEXANDER; SADIKU , 2013). A Figura 1, 
a seguir, apresenta a configuração de um capacitor de placas paralelas típico.
121
Eletrostática II | UNIDADE 2
Capacitância e Capacitores | PARTE 3
Figura 1. Capacitor de placas paralelas e suas dimensões.
Fonte: Adaptada de Knight (2009).
Placa de área A do capacitor
d
ε
Em elementos passivos, a capacitância depende das dimensões físicas 
do capacitor. Para um capacitor de placas paralelas, a capacitância pode ser 
escrita como:
onde ε é a permissividade do material dielétrico entre as placas; A é a área das 
placas; e d é a distância entre as placas condutoras, conforme as indicações 
na Figura 1. 
Quando as placas de material condutor são conectadas em uma fonte de 
tensão, cargas positivas e negativas depositam-se em cada lado dessas placas 
(Figura 2). Por essa razão, o capacitor armazena uma carga elétrica que, 
quando necessária ao circuito, pode ser descarregada, realizando algum tipo 
de trabalho onde está acoplado. A quantidade de carga elétrica acumulada 
dependerá proporcionalmente da tensão aplicada:
q = Cv
Capacitância e capacitores2
122 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
A proporcionalidade entre carga e tensão é determinada pela capacitância 
do capacitor, com unidade de medida Farad (F), em homenagem ao físico inglês 
Michael Faraday (1791–1867) (ALEXANDER; SADIKU, 2013).
Figura 2. Tensão aplicada em um capa-
citor de placas paralelas.
Fonte: Adaptada de Alexander e Sadiku (2013).
+
+
+
+
+
+
+
+q q
v
Quando um capacitor é conectado a uma fonte de tensão, inicia-se o pro-
cesso de carregamento do elemento, que estará completo quando a diferença 
de potencial entre as placas do capacitor for igual à diferença de potencial da 
fonte (HEWITT, 2015; KNIGHT, 2009).
A Figura 3, a seguir, apresenta alguns tipos de capacitores encontrados 
no mercado. Comercialmente, os capacitores possuem valores da ordem de 
picofarads (pF) até microfarads (µF) (ALEXANDER; SADIKU, 2013).
3Capacitância e capacitores
123
Eletrostática II | UNIDADE 2
Capacitância e Capacitores | PARTE 3
Figura 3. Capacitores.
Fonte: Helerbrock (2020, documento on-line).
A Figura 4, a seguir, apresenta uma representação dos elementos capacitivos 
nos circuitos elétricos.
Figura 4. Símbolos gráficos de capacitores: (a) capacitor 
polarizado; (b) capacitor não polarizado. 
Fonte: Adaptada de Igoe e Feddersen (2020).
Capacitor
polarizado
Capacitor
não polarizado
a) b)
Capacitância e capacitores4
124 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Além da relação de carga e tensão nos capacitores, é possível escrever a 
relação de corrente e tensão nesses elementos. Como a corrente é descrita 
como a derivada primeira da carga, no tempo:
A relação q = Cv, pode ser derivada nos dois lados da igualdade. Como C 
é um valor constante, ele pode multiplicar a derivada que aparecerá no lado 
direito dessa equação. Assim, tem-se que:
Substituindo a derivada da carga pela corrente elétrica, tem-se que:
1. Um capacitor de 5μF recebe 12 V em seus terminais. Determine a carga armazenada 
no capacitor. Como:
q = Cv
q = 5× 10–6 ∙ 12
Logo,
q = 6 × 10–5 C ou q = 60μC
2. Um capacitor de 9nF é submetido a uma tensão de v(t) = 5cos(2t)V. Determine a 
corrente através do capacitor. Como:
Logo,
i = –90 sen 2t nA
5Capacitância e capacitores
125
Eletrostática II | UNIDADE 2
Capacitância e Capacitores | PARTE 3
Dependendo da capacitância (ou da carga ou tensão) necessária para de-
terminada aplicação, os capacitores podem ser associados, de modo a obter 
as grandezas pretendidas. Assim como os circuitos resistivos, os capacitores 
podem ser associados em série e em paralelo. A seguir, será explicado como 
ocorrem as associações de capacitores.
2 Associação de capacitores
Em circuitos elétricos, os capacitores podem ser associados de diversas formas. 
Qualquer forma de associação é baseada em duas formas diferentes: associação 
em série e associação em paralelo. Na associação em série, os capacitores 
estão conectados por apenas um terminal em comum. Já na associação em 
paralelo, dois capacitores, por exemplo, compartilham a ligação dos dois 
terminais simultaneamente.
A Figura 5, a seguir, apresenta três capacitores conectados em paralelo, 
mantendo-se a diferença de potencial (tensão) da bateria a que estão igualmente 
ligados (BAUER; WESTFALL; DIAS, 2012).
Figura 5. Capacitores conectados em paralelo.
Fonte: Adaptada de Bauer, Westfall e Dias (2012).
+
V
C1 C2 C3
Observando-se que a tensão é a mesma em cada um dos capacitores, 
a carga em cada um deles pode ser descrita por:
q1 = C1V
q2 = C2V
q3 = C3V
Capacitância e capacitores6
126 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
onde q1, q2 e q3 são as cargas dos capacitores C1, C2 e C3, respectivamente. A 
carga total (qT) que esse circuito é capaz de armazenar é dada pela seguinte 
relação:
qT = q1 + q2 + q3
Logo, 
qT = C1V + C2V + C3V
qT = (C1 + C2 + C3)V
Os três capacitores em paralelo podem ser considerados como se fossem 
um único capacitor equivalente (Ceq). Sendo assim,
Ceq = C1 + C2 + C3
Esse resultado pode ser estendido para qualquer quantidade de capacitores 
em paralelo, para fins de cálculo da capacitância equivalente:
Já para os capacitores associados em série, conforme o circuito mostrado 
na Figura 6, a soma de todas as quedas de tensões ocorridas em cada um dos 
capacitores deve ser idêntica à tensão fornecida pela fonte.
Figura 6. Capacitores conectados em série.
Fonte: Adaptada de Bauer, Westfall e Dias (2012).
V
+
C1 C2 C3
V3V2V1
7Capacitância e capacitores
127
Eletrostática II | UNIDADE 2
Capacitância e Capacitores | PARTE 3
Assim, 
V = V1 + V2 + V3
Substituindo a tensão em cada um dos capacitores pela relação que a carga 
tem com a diferença de potencial e levando em consideração que a carga está 
uniformemente distribuída entre os elementos que estão em série, tem-se que:
Assim,
Em termos de capacitância equivalente, a relação de tensão e carga em um 
circuito em série pode ser escrita da seguinte forma:
De modo que,
Ou, de forma mais genérica, para n capacitores em paralelo:
Capacitância e capacitores8
128 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
A associação de capacitores é importante para a obtenção de capacitâncias que talvez 
não estejam disponíveis comercialmente. Qualquer associação parte do princípio 
básico das associações em série e em paralelo. Se houver uma associação mista, 
deve-se verificar por partes como simplificar a associação, a fim de obter o equivalente.
Na prática, os capacitores possuem diversas configurações, e não somente 
as de placas paralelas. Cada tipo de capacitor é utilizado com uma finalidade 
diferente, mas sempre com o mesmo princípio de funcionamento: acumular 
cargas elétricas na parte condutora do elemento.
3 Propriedades físicas dos capacitores
Os capacitores de placas paralelas possuem um material dielétrico entre as 
placas condutoras, conforme apresentado na Figura 7. Esse material isola as 
placas, de modo que não haja contato físico entre elas. Sendo assim, não há 
passagem de carga elétrica de uma placa para outra. 
Figura 7. Característica construtiva de um ca-
pacitor de placasparalelas.
Fonte: Adaptada de Knight (2009). 
Dielétrico
Q0+
9Capacitância e capacitores
129
Eletrostática II | UNIDADE 2
Capacitância e Capacitores | PARTE 3
Os materiais dielétricos utilizados entre as placas permitem que os ca-
pacitores mantenham certa diferença de potencial, dependendo do material 
utilizado, o que pode aumentar ou diminuir a sua capacitância. Como visto, 
a permissividade dielétrica (Ɛ) tem relação direta com a capacitância dos 
capacitores:
A permissividade dos materiais é relacionada por meio da constante dielé-
trica (k) em relação à constante dielétrica do vácuo, que é igual a ε0 = 8,85 × 
10–12 C2/Nm2 (KNIGHT, 2009). Assim, à temperatura ambiente, a constante 
dielétrica, ou permissividade relativa, é dada por:
onde εr é a permissividade relativa do material, ou constante dielétrica (k); ε é 
a permissividade do meio; e ε0 é a permissividade dielétrica do vácuo.
O Quadro 1, a seguir, apresenta a constante e a rigidez dielétricas de alguns 
materiais à temperatura ambiente (25℃).
Material 
Constante 
dielétrica (k)
Rigidez dielétrica 
(kv/mm)
Vácuo 1
Ar (1 atm) 1,00059 25
Nitrogênio líquido 1,454
Teflon 2,1 60
Polietileno 2,25 50 
Benzeno 2,28
Isopor 2,6 24
Lexan 2,96 16
Quadro 1. Constante e rigidez dielétricas de alguns materiais
(Continua)
Capacitância e capacitores10
130 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Ao preencher o espaço entre as placas com um material dielétrico, é pos-
sível conseguir diminuir o campo elétrico entre as placas, o que permite que 
o capacitor seja capaz de armazenar uma maior quantidade de carga elétrica 
(BAUER; WESTFALL; DIAS, 2012). O campo elétrico (E) entre as placas 
de um capacitor de placas paralelas é descrito por:
onde E é o campo elétrico entre as placas; q é a carga armazenada; ε é a 
permissividade do material dielétrico; e A é a área, com todas as unidades no 
Sistema Internacional de Unidades (SI).
Fonte: Adaptado de Bauer, Westfall e Dias (2012).
Material 
Constante 
dielétrica (k)
Rigidez dielétrica 
(kv/mm)
Mica 3–6 150–220 
Papel 3 16
Mylar 3,1 280
Plexiglas 3,4 30
Policloreto de vinila (PVC) 3,4 29 
Vidro 5 14
Neoprene 16 12
Germânio 16
Glicerina 42,5
Água 80,4 65
Titanato de estrôncio 310 8
Observe que esses valores são aproximados e para temperatura ambiente. 
Quadro 1. Constante e rigidez dielétricas de alguns materiais
(Continuação)
11Capacitância e capacitores
131
Eletrostática II | UNIDADE 2
Capacitância e Capacitores | PARTE 3
Existem diversos tipos de capacitores, como os capacitores cerâmicos, eletrolíticos, 
de Mica, variáveis, de poliéster. A aplicação de cada um deles é o que lhes torna 
diferentes. Por exemplo, o capacitor eletrolítico torna os níveis de tensões em fontes 
mais estáveis, funcionando como filtros de ruídos. Já os capacitores cerâmicos são 
os mais utilizados em circuitos CC. Assim, antes de utilizá-los, deve-se conhecer as 
suas aplicações.
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. Fundamentos de circuitos elétricos. 5. ed. Porto Alegre: 
AMGH, 2013.
BAUER, W.; WESTFALL, G. D.; DIAS, H. Física para universitários: eletricidade e magnetismo. 
Porto Alegre: AMGH, 2012.
HELERBROCK, R. O que é capacitor? 2020. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.
br/o-que-e/fisica/o-que-e-capacitor.htm. Acesso em: 13 jul. 2020.
HEWITT, P. G. Física conceitual. 12. ed. Porto Alegre: Bookman, 2015.
IGOE, T.; FEDDERSEN, J. Electricity: the basics. 2020. Disponível em: https://itp.nyu.edu/
physcomp/lessons/electronics/electricity-the-basics/. Acesso em: 13 jul. 2020.
KNIGHT, R. D. Física: uma abordagem estratégica. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2009. 
(Eletricidade e Magnetismo, v. 3).
Os links para sites da web fornecidos neste capítulo foram todos testados, e seu fun-
cionamento foi comprovado no momento da publicação do material. No entanto, a 
rede é extremamente dinâmica; suas páginas estão constantemente mudando de 
local e conteúdo. Assim, os editores declaram não ter qualquer responsabilidade 
sobre qualidade, precisão ou integralidade das informações referidas em tais links.
Capacitância e capacitores12
ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO 
PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.
PREZADO ESTUDANTE
Eletrodinâmica
Prezado estudante,
Estamos começando uma unidade desta disciplina. Os textos que a compõem foram 
organizados com cuidado e atenção, para que você tenha contato com um conteúdo 
completo e atualizado tanto quanto possível. Leia com dedicação, realize as atividades e 
tire suas dúvidas com os tutores. Dessa forma, você, com certeza, alcançará os objetivos 
propostos para essa disciplina.
Objetivo Geral 
Verificar os efeitos das cargas elétricas em movimento, compreender os circuitos elétricos e suas aplicações 
no cotidiano.
unidade 
3
V.1 | 2021
134 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Parte 1
Corrente Elétrica e Resistência Elétrica
 
O conteúdo deste livro 
é disponibilizado
por SAGAH.
unidade 
3
V.1 | 2021
136 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Corrente elétrica 
e resistência
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir o conceito de corrente elétrica.
 � Reconhecer o conceito de resistência elétrica.
 � Identificar as consequências da resistividade elétrica, com destaque 
para a condutividade e o efeito Joule.
Introdução
Corrente elétrica e resistores estão corriqueiramente presentes em nossas 
vidas. Quer ver como? Usamos corrente elétrica todos os dias, ao acender 
uma luz em casa, ao ligar um equipamento doméstico, ou ao trabalhar 
em nosso computador para as tarefas diárias. Os resistores também fazem 
parte de nossa vida cotidiana. Além de estarem presentes em circuitos 
de nossos equipamentos eletrônicos, são os elementos-chaves para o 
funcionamento de chuveiros elétricos, aquecedores, ferro de passar, 
dentre outros.
Neste capítulo, você vai estudar corrente elétrica e algumas pro-
priedades de materiais condutores — dentre elas, a resistência elétrica, 
a resistividade e a condutividade. Entenderá, também, o conceito de 
velocidade de deriva e o que é o efeito Joule.
Corrente elétrica
Corrente elétrica nada mais é do que cargas em movimento. Provavelmente, o 
primeiro exemplo que virá em sua mente é a corrente elétrica usada em nosso 
dia a dia e empregada para acender lâmpadas e ligar equipamentos eletrônicos 
e domésticos. Mas, na realidade, correntes elétricas estão presentes em diversos 
Identificação interna do documento 81GBRFQ7MA-LBBFVD1
Eletrodinâmica | UNIDADE 3
Corrente Elétrica e Resistência Elétrica | PARTE 1 137
fenômenos, como raios, vento solar e até dentro de nossas células, como as 
correntes responsáveis pelas atividades neuronais e contrações musculares.
Podemos definir a corrente elétrica
i =
dq
dt
A carga líquida total que passa em um determinado ponto durante um 
intervalo de tempo de 0 a t é dada pela integral de dq, ou seja:
q = ∫ dq = ∫0 i dtt
onde i pode ser uma função do tempo.
Se a corrente for estacionária, isto é, uma corrente que não é função do 
tempo, a corrente será a mesma em qualquer ponto do condutor em questão. 
Outro fato importante é que a carga é conservada. Assim, cada carga que 
entrar em um condutor, por uma extremidade, sairá pela outra extremidade.
A unidade do SI para corrente é o Ampère (A). Assim:
1 A = 1 C/s
Embora correntes sejam representadas por uma seta em circuitos ou fios, 
elas são grandezas escalares. As setas não representam vetores, mas apenas 
o sentido do fluxo ao longo do condutor.
A Figura 1 mostra um exemplo de esquema com as setas de corrente. No 
esquema, um fio condutor é conectado a uma bateria, e as setas vão do polo 
positivo para o negativo. Mas as cargas que se movem no condutor são os 
elétrons, que circulam no sentido oposto ao da seta. Embora as cargas que 
se movam sejam negativas, a seta da corrente sempre é desenhada como se 
as cargas fossem positivas. Isso ocorre por uma convenção histórica, pois, 
quando foi definidaa direção da seta na segunda metade do século XIX, não 
Em um fio condutor, passa uma corrente de i = 50,0 mA. Em um minuto, quantas 
cargas passam pelo fio?
Sabemos que 1 A é igual a 1 C/s. Convertendo o valor da corrente dada para o Sistema 
Internacional de Unidades, temos que 50 mA = 0,05 A, logo i = 0,05 C/s.
A relação entre carga e corrente é dada por:
i =
dq
dt
Dessa maneira, podemos escrever que:
dq = i dt = 0,05 ∙ 1 min = 0,05 ∙ 60s = 3 C
C
s
C
s
Assim, em um minuto, passam 3 C de carga no fio condutor.
Corrente elétrica e resistência2
Identificação interna do documento 81GBRFQ7MA-LBBFVD1
138 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
se sabia que os elétrons eram os responsáveis pela corrente nos condutores 
(BAUER; WESTFALL; DIAS, 2012).
Figura 1. Exemplo de um fio condutor ligado a uma bateria e 
setas indicativas da corrente elétrica.
+ –
i i
i
i i
A Figura 2 traz uma representação de diversas situações onde existem 
correntes e suas ordens de grandeza. As representações vão desde pA, como 
no caso de correntes em neurônios, a GA, no caso das correntes heliosféricas 
no vento solar.
3Corrente elétrica e resistência
Identificação interna do documento 81GBRFQ7MA-LBBFVD1
Eletrodinâmica | UNIDADE 3
Corrente Elétrica e Resistência Elétrica | PARTE 1 139
Figura 2. Ordem de grandeza de correntes presentes em diversas situações, como em 
ativação de neurônios, marca-passos e leds. Os exemplos vão desde pA até GA.
Fonte: Bauer, Westfall e Dias (2012, p. 131).
Densidade de corrente e velocidade de deriva
Em um condutor, as cargas irão se movimentar seguindo o sentido do campo 
elétrico, quando, por exemplo, estiver ligado a uma bateria. Cargas positivas 
fluirão no sentido do campo e cargas negativas fluirão no sentido oposto. A 
densidade de corrente J
→
 é uma grandeza vetorial, que aponta na direção do 
campo, e foi introduzida para descrever o fluxo. O módulo da densidade de 
corrente é o valor da corrente i dividida pela área da seção transversal A do 
ponto no condutor em questão:
J = i
A
A unidade no SI é Ampère por metro quadrado (A/m2).
A corrente i, então, que passa por uma seção transversal de um condutor, 
está relacionada com a densidade de corrente por:
i = ∫ J � dA
onde dA é o vetor perpendicular ao elemento de área dA. A multiplicação 
escalar significa que apenas o fluxo que chega à direção de dA será contabi-
lizado para a corrente que passa naquela área do condutor.
Corrente elétrica e resistência4
Identificação interna do documento 81GBRFQ7MA-LBBFVD1
140 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Se pudéssemos olhar um condutor bem de perto, veríamos que os elétrons 
não se movem todos no sentido da corrente. Na verdade, eles movem-se em 
sentidos aleatórios. Mas, quando se considera todo o conjunto de elétrons, 
em uma dada região, verá que eles apresentam uma velocidade resultante no 
sentido oposto do campo elétrico, formando a corrente i, muito menor que a 
velocidade individual de cada elétron. Essa é a chamada velocidade de deriva 
vd. A Figura 3 mostra um esquema dos elétrons movendo-se em um fio condutor 
de corrente i, campo elétrico E , densidade de corrente J
→
 e velocidade de deriva 
vd. De fato, os elétrons em um condutor de cobre têm módulo de velocidade 
da ordem de 106 m/s, enquanto que a corrente em uma casa tem velocidade de 
deriva da ordem de 10-3 m/s (HALLIDAY; RESNICK, R.; WALKER, 2016).
Figura 3. Esquema de uma corrente de elétrons i em um fio condutor com campo elétrico 
E , densidade de corrente J e velocidade de deriva vd.
Fonte: Bauer, Westfall e Dias (2012, p. 133).
i
JE vd
A velocidade de deriva relaciona-se com a densidade da seguinte forma:
J = (ne)vd
→ →
onde n é o número de cargas, ou portadores de carga, por unidade de volume, 
e e é o valor da carga. Assim, ne é a densidade volumétrica de carga, cuja 
unidade no SI é Coulomb por metro cúbico (C/m3). Para cargas positivas, J
→
 e 
vd apontam para a mesma direção; já, para cargas negativas, J
→
 e vd apontam 
para direções opostas. 
5Corrente elétrica e resistência
Identificação interna do documento 81GBRFQ7MA-LBBFVD1
Eletrodinâmica | UNIDADE 3
Corrente Elétrica e Resistência Elétrica | PARTE 1 141
Em um condutor de largura a = 3,0 mm e espessura b = 200,0μm, passa uma corrente 
i de 12,0 mA. Sabendo que o número de portadores de carga é n = 2,0 ∙ 1024 m-3, qual 
é a densidade de corrente no condutor e a velocidade de deriva?
A densidade de corrente é J = i ÷ A. A área da seção transversal do condutor é dada 
pela largura multiplicada pela espessura. Substituindo os valores, temos que:
J = 12,0 ∙ 10–3
3,0 ∙ 10–3 200,0 ∙ 10–6 = 2,0 ∙ 104 A/m2
A velocidade de deriva é dada por vd = J ÷ ne. Substituindo os valores, encontramos:
vd =
2,0 ∙ 104
2,0 ∙ 1024 1,6 ∙10-19 = 6,2 ∙ 10–2 = 6,2 cm/s
Resistência e resistividade
Se, em condutores de materiais diferentes, for aplicada a mesma diferença 
de potencial, a corrente resultante em cada um deles será diferente. Esse fato 
ocorre devido à resistência do material, ou seja, quanto o material resiste à 
passagem da corrente. Podemos definir a resistência R de um condutor como 
a Voltagem V aplicada entre dois pontos, dividida pela corrente
R = Vi
A unidade no SI para a resistência é Volt por Ampère, o que é chamado 
de Ohm (Ω). Ou seja:
1 Ω = 1V/A
Um condutor pode ser utilizado para fornecer uma resistência específica 
em um circuito. Tal condutor é chamado de resistor. Quanto maior o resistor, 
menor será a corrente elétrica, o que pode ser visto reescrevendo a equação 
anterior como i = V ÷ R. Assim como, quanto menor a resistência, maior será 
a corrente elétrica.
Outra maneira de interpretar essa questão da resistência seria olhando para o 
campo elétrico e a densidade e corrente, ao invés da voltagem e corrente — ou 
Corrente elétrica e resistência6
Identificação interna do documento 81GBRFQ7MA-LBBFVD1
142 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
seja, pensando nas propriedades elétricas do material. Podemos daí, definir a 
resistividade do material ρ como:
ρ = EJ
A unidade da resistividade no SI seria a unidade de E dividida pela unidade 
de J, o que nos leva à unidade de Ohm-metro (Ωm). Ou seja:
V/m
A/m2 = = =
V
m
V
A
m2
A
m Ωm
Lembremos que o campo elétrico e a densidade de corrente são grandezas 
vetoriais. Ou seja, a equação da resistividade pode ser reescrita na forma 
vetorial como:
E = ρJ
Uma observação importante a ser feita é que as equações da resistividade 
só são válidas para materiais considerados como isotrópicos, ou seja, materiais 
cujas propriedades elétricas são iguais em todas as direções.
Outra grandeza bastante utilizada é a condutividade σ. A condutividade 
de algum material é o inverso da resistividade. Assim:
σ =
1
ρ
E sua unidade no SI é (Ωm)-1.
A resistência de um fio condutor, por exemplo, pode ser obtida a partir 
do conhecimento da resistividade do material. Suponha um fio condutor de 
comprimento L, área de seção transversal A, e diferença de potencial entre 
suas extremidades é V. Se as linhas de corrente forem uniformes nesse fio, 
podemos dizer que o campo elétrico e a densidade de corrente serão constantes, 
e dados por:
E = VL 
e
J = i
A
7Corrente elétrica e resistência
Identificação interna do documento 81GBRFQ7MA-LBBFVD1
Eletrodinâmica | UNIDADE 3
Corrente Elétrica e Resistência Elétrica | PARTE 1 143
Como a resistividade é dada por ρ = E/J, substituindo as equações de E e 
J, encontramos que:
V/L
i/A =
V
i
A
Lρ =
Sabemos que R = V ÷ i, então:
ρ = R A
L
R = ρ L
A
Um fio condutor de cobre tem área de seção transversal A = 2,0 ∙ 10-4 m2 e comprimento 
L = 0,5 m. Qual a sua resistência? Use ρ = 1,7 ∙ 10-8 Ωm.
A
L
Sabemos que a relação entre a resistividade e a resistência é dada por:
R =
ρL
A
Assim, substituindo os valores:
R = 1,7 ∙ 10–8 0,5
2,0 ∙ 10–4 = 42,5 ∙ 10–6 = 42,5μΩ
Efeito Joule
Quando uma corrente elétrica flui por um condutor, este transforma energia elé-
trica em energia térmica,esquentando o material. Olhando microscopicamente 
o fenômeno, os elétrons da corrente elétrica, ao passarem por um condutor, 
Corrente elétrica e resistência8
Identificação interna do documento 81GBRFQ7MA-LBBFVD1
144 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
chocam-se com os átomos do mesmo. Por causa dos choques existentes, parte 
da energia cinética é transferida para os átomos do material, aumentando a 
agitação e consequentemente, a temperatura. Esse efeito é conhecido como 
efeito Joule.
Esse fenômeno foi essencial para a criação de diversos equipamentos que 
precisam de aquecimento, utilizados por nós. Como exemplo, podemos citar 
ferros de passar, aquecedores, fornos elétricos, chuveiro, dentre outros.
As desvantagens estariam no aquecimento indesejado, como fios e toma-
das que aquecem demais e podem derreter. O próprio condutor pode sofrer 
alterações devido a altas temperaturas. De fato, a resistividade do material 
tem uma dependência com a temperatura. Quanto maior a temperatura, maior 
a resistividade, ou seja, a altas temperaturas, a resistência à passagem da 
corrente aumenta. A Figura 4 mostra a variação da resistividade do cobre em 
função da temperatura.
Figura 4. Dependência da resistividade ρ do cobre com a temperatura T. 
A linha vertical marca o ponto referente à temperatura ambiente, T0 = 293 K 
e ρ0 = 1,69 ∙ 10-8Ωm.
Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2016, p. 120).
Te
m
pe
ra
tu
ra
 a
m
bi
en
te
Temperatura (K)
Re
si
st
iv
id
ad
e 
(1
0–8
 Ω
.m
)
0
2
4
6
8
10
0 200
T0 , ρ0
400 600 800 1000 1200
9Corrente elétrica e resistência
Identificação interna do documento 81GBRFQ7MA-LBBFVD1
Eletrodinâmica | UNIDADE 3
Corrente Elétrica e Resistência Elétrica | PARTE 1 145
BAUER, W.; WESTFALL, G. D.; DIAS, H. Física para universitários: eletricidade e magne-
tismo. Porto Alegre: AMGH, 2012.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: eletromagnetismo. 10. 
ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. v. 3.
Leitura recomendada
EFEITO JOULE. O efeito Joule. [S.l.]: Efeito Joule, 2008. Disponível em: <https://www.
efeitojoule.com/2008/04/efeito-joule.html>. Acesso em: 19 fev. 2018.
Corrente elétrica e resistência10
Identificação interna do documento 81GBRFQ7MA-LBBFVD1
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PREZADO ESTUDANTE
146 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Parte 2
Leis de Ohm, Potência 
Elétrica e Energia Elétrica
 
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V.1 | 2021
148 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Leis de Ohm, potência 
e energia
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Calcular a resistência elétrica de resistores e materiais condutores.
 � Definir a potência elétrica e a energia elétrica dissipada por resistores 
elétricos. 
 � Identificar o consumo de energia elétrica em equipamentos elétricos.
Introdução
Em 1827, o físico alemão, Georg Ohm, desenvolveu trabalhos envolvendo 
materiais condutores e seu comportamento elétrico, encontrando a 
relação, válida para materiais ôhmicos, entre a corrente elétrica, tensão 
e resistência. Ela, por sua vez, diz que a corrente elétrica que percorre 
um condutor é inversamente proporcional à resistência deste material e 
diretamente proporcional à diferença de potencial aplicada.
A taxa de transferência de energia em um determinado tempo, de-
nominada potência elétrica, também pode ser calculada por meio das 
grandezas elétricas de tensão, corrente e resistência.
Quando conhecemos a potência de um equipamento e a tensão de 
alimentação, como é o caso dos eletroeletrônicos domésticos, podemos 
calcular a quantidade de energia consumida por eles.
A partir das relações de potência e de corrente elétrica, comumente chama-
das de Primeira Lei de Ohm, é possível determinar a potência dissipada por um 
resistor em forma de energia térmica, processo que se denomina efeito Joule.
Neste capítulo, você vai compreender os conceitos de resistência e re-
sistividade e será capaz de calcular esses valores para materiais condutores; 
entenderá, também, os conceitos de potência elétrica e energia elétrica, 
verá o efeito Joule presente nos condutores submetidos à passagem de 
corrente e, por fim, você aprenderá a calcular o consumo de energia elétrica 
em equipamentos elétricos.
149
Eletrodinâmica | UNIDADE 3
Leis de Ohm, Potência Elétrica e Energia Elétrica | PARTE 2
Resistência elétrica e resistividade 
de um material
Materiais condutores e isolantes são classificados assim conforme a sua afini-
dade em conduzir ou não corrente elétrica. Os materiais isolantes necessitam 
de um campo elétrico muito intenso para que o material se torne condutor. 
Já o material condutor conduz corrente elétrica, mesmo que para campos 
elétricos menos intensos. 
Se aplicarmos uma mesma diferença de potencial em um material condutor 
e em um isolante, supondo que os mesmos possuam as mesmas características 
geométricas, teremos resultados distintos. A propriedade dos objetos que 
determinam tais discrepâncias é a resistência elétrica. Esta pode ser definida 
como a característica de um corpo opor-se à passagem de corrente. 
Podemos determinar a resistência entre dois pontos de um condutor, apli-
cando-se uma diferença de potencial V nesses pontos e medindo a corrente i 
que resulta. A resistência R é dada por:
V
iR =
Como pode ser observada pela equação, a unidade de resistência é Volt por 
Ampère no sistema internacional. Para homenagear o cientista que estudou e 
realizou diversas descobertas na área, criou-se uma unidade especial para a 
resistência elétrica, o Ohm (Ω). Dessa maneira, temos que:
V
A11 ohm = 1 volt por ampère = 1 Ω =
Condutores que possuem a única função de introduzir certa resistência a 
um circuito são chamados de resistores. A Figura 1 apresenta um resistor e 
a sua representação em circuitos elétricos. 
Leis de Ohm, potência e energia2
150 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Figura 1. Resistor (a) e sua representação em circuitos (b).
Fonte: Sergiy Kuzmin/Shutterstock.com.
A resistência de um condutor depende do modo como a diferença de po-
tencial é aplicada (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2012).
A resistividade ρ é a relação entre o campo elétrico E
→
 existente em um ponto 
do material e a densidade de corrente J
→
 neste mesmo ponto. A resistividade 
nos dá uma visão melhor sobre o material e é dada pela equação a seguir:
E
Jρ =
Dessa maneira, teremos a unidade de ρ como:
= = m = Ω • munidade [E]
unidade [J]
V/m
A/m2
V
A
A partir da resistividade, podemos reescrever sua equação em termos 
vetoriais, assim:
E = ρ J
→ →
A resistência é uma propriedade de um dispositivo; a resistividade é uma propriedade 
de um material (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2012).
3Leis de Ohm, potência e energia
151
Eletrodinâmica | UNIDADE 3
Leis de Ohm, Potência Elétrica e Energia Elétrica | PARTE 2
A densidade J
→
 de corrente em um condutor depende do campo elétrico 
E
→
 e das propriedades do material. Essa dependência, em geral, é muito com-
plexa. Porém, para certos materiais, especialmente para os metais, em uma 
dada temperatura, J
→
 é quase diretamente proporcional a E
→
, e a razão entre os 
módulos E e J permanece constante. Essa relação, chamada de Lei de Ohm, 
foi descoberta em 1826, pelo físico alemão, Georg Simon Ohm (1787-1854). A 
palavra “lei” deveria, na verdade, estar entre aspas, porque a Lei de Ohm, assim 
como a Lei dos Gases Ideais e a Lei de Hooke, fornece um modelo idealizado 
que descreve muito bem o comportamento de alguns materiais, porém não 
fornece uma descrição geral para todos eles (YOUNG; FREEDMAN, 2012).
A Lei de Ohm é a afirmação de que a corrente que atravessa um disposi-
tivo é sempre diretamente proporcional à diferença de potencial aplicada ao 
dispositivo, porém isso ocorre em apenas alguns materiais e a certas condições 
controladas, como a temperatura.
Dessa maneira, um dispositivo obedeceà Lei de Ohm se a resistência dele não 
depende do valor absoluto, nem da polaridade da diferença de potencial aplicada.
Para os componentes que obedecem à Lei de Ohm, damos o nome de 
dispositivos ôhmicos ou lineares. Por sua vez, os que não obedecem são 
denominados de dispositivos não lineares ou não ôhmicos. 
Georg Ohm verificou que, em certos materiais condutores, a relação entre 
a diferença de potencial aplicado e a corrente que percorria o elemento eram 
sempre iguais (Tabela 1).
Tensão (V) Corrente (mA) Razão V/I
1 5 200
2 10 200
3 15 200
... ... 200
10 50 200
11 55 200
12 60 200
13 65 200
Tabela 1. Experimentos de Georg Ohm.
Leis de Ohm, potência e energia4
152 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Com esse experimento, podemos verificar a equação que, por muitas vezes, 
é denominada Primeira Lei de Ohm, que é:
U = R • i
Nesta equação, podemos concluir que a corrente de um determinado compo-
nente será diretamente proporcional à tensão aplicada sobre ele e inversamente 
proporcional à resistência. A equação é válida para qualquer componente, em 
determinadas condições, porém, para que as proporcionalidades sejam válidas, 
o material deve ser condutor e definido em uma gama limitada de temperaturas. 
A Lei de Ohm refere-se mais à característica dos componentes, diferente 
do que muitos definem como a Primeira Lei de Ohm, sendo a relação entre 
a tensão, corrente e resistência. 
Na Figura 2, podem ser observadas duas curvas comportamentais de dois 
componentes distintos. 
Figura 2. Curva característica de um dispositivo (a) ôhmico e (b) não ôhmico.
Na curva (a), é possível observar um comportamento linear, a tensão e a 
corrente crescem proporcionalmente, a relação entre o crescimento das duas 
nos dá a resistência do componente. Esse é um dispositivo ôhmico, que, no 
caso, é um resistor de 100 Ω. 
Na curva (b), é possível observar que, antes de uma tensão limite, a corrente 
praticamente não cresce; após esse valor limite, a corrente cresce em ritmo 
5Leis de Ohm, potência e energia
153
Eletrodinâmica | UNIDADE 3
Leis de Ohm, Potência Elétrica e Energia Elétrica | PARTE 2
muito acelerado para cada incremento de tensão. O comportamento observado 
é não linear, portanto podemos dizer que esse é um dispositivo não ôhmico. 
O dispositivo, no caso, é um diodo retificador. 
Para os dispositivos ôhmicos, uma observação da curva característica, 
extremamente importante, pode ser feita: a inclinação da reta apresenta o valor 
da resistência do componente. Observe o detalhe da curva a seguir.
Figura 3. Detalhe da curva característica de um com-
ponente ôhmico.
Temos, então, que:
∆V
∆itgα = 
de onde é possível concluir que a inclinação da curva, tgα, é numericamente 
igual à resistência elétrica do componente. 
tgα = R 
A resistividade é uma propriedade do material. Se conhecermos o seu 
valor para o material aplicado e, também, as características geométricas do 
dispositivo, podemos calcular sua resistência de maneira simples. 
Considere o corpo da Figura 4 para determinarmos sua resistência: seja A 
a área da seção transversal, L o comprimento do dispositivo e V a diferença de 
potencial entre as extremidades do corpo. Supondo que a densidade de corrente 
Leis de Ohm, potência e energia6
154 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
seja uniforme ao longo de toda a seção reta, e o campo elétrico uniforme em 
todos os pontos, temos que:
V
LE = e i
AJ =
Aplicando esses valores na equação de resistividade, teremos:
V/L
i/A
V A
i Lρ = =
Desta equação, podemos destacar que o termo V/i é a resistência elétrica 
do corpo e, portanto, teremos que:
L
AR = ρ
Note que esta equação se aplica apenas a condutores isotrópicos, materiais 
com as mesmas características em todas as direções, como é o caso dos metais 
e de seção reta uniforme. Para configurações geométricas diferentes, onde o 
campo elétrico e/ou a densidade de corrente são variáveis, faz-se necessário 
calcular a resistência para cada seção, assim como apresentado acima, e, en-
tão, somá-los na forma de uma integral no comprimento do dispositivo. Essa 
equação, por muitas vezes, é apresentada como a Segunda Lei de Ohm, ou 
seja, a lei que determinaria a resistência elétrica de um condutor isotrópico 
de seção reta.
Se analisarmos os conceitos de resistividade e resistência, entenderemos 
que todo condutor apresentará certa resistência, podendo ser ela mais elevada 
ou com valores praticamente desprezíveis. 
Em circuitos eletrônicos, por exemplo, a resistência dos fios que conectam 
os elementos do circuito é considerada desprezível. Já em instalações elétricas, 
a queda de tensão que ocorre devido à resistência dos condutores deve ser 
considerada. Dessa maneira, os fios devem ser dimensionados para ter uma 
queda de tensão máxima, e, conforme observamos na equação de resistência e 
resistividade, as duas relacionam-se com o inverso da área da seção. Portanto, 
para maiores seções, teremos menores resistências e, consequentemente, 
menores quedas de tensão. 
A resistividade, assim como a maioria das grandezas físicas, sofre varia-
ção com a temperatura. A relação entre temperatura e resistividade para os 
metais em geral é quase linear para uma larga faixa de temperaturas. Como 
a resistividade de um material varia com a temperatura, a resistência de um 
condutor específico também varia com a temperatura.
7Leis de Ohm, potência e energia
155
Eletrodinâmica | UNIDADE 3
Leis de Ohm, Potência Elétrica e Energia Elétrica | PARTE 2
Na Tabela 2, é possível observar valores de resistividade para materiais 
condutores, isolantes e semicondutores.
Material Resistividade ρ (Ω ∙ m)
Prata 1,62 × 10-8
Cobre 1,69 × 10-8
Ouro 2,35 × 10-8
Alumínio 2,75 × 10-8
Manganin 4,82 × 10-8
Tungstênio 5,25 × 10-8
Ferro 9,68 × 10-8
Platina 10,6 × 10-8
Silício puro 2,5 × 103
Silício tipo n 8,7 × 10-4
Silício tipo p 2,8 × 10-3
Vidro 1010 - 1014
Quartzo fundido ~1016
Tabela 2. Resistividade de alguns materiais à temperatura ambiente (20ºC).
Dentro da família de materiais que se comportam como condutores, temos 
os semicondutores, que apresentam características de condutores e isolantes, 
dependendo da aplicação, e os supercondutores, que são condutores perfeitos, 
encontrados em situações especificas. 
Os semicondutores são os principais responsáveis pela revolução da mi-
croeletrônica, que nos trouxe a era da informação. O silício possui um número 
muito menor de portadores de carga, uma resistividade muito maior e um 
coeficiente de temperatura da resistividade que é, ao mesmo tempo, elevado 
e negativo. Assim, enquanto a resistividade do cobre aumenta quando a tem-
peratura aumenta, a resistividade do silício diminui (HALLIDAY; RESNICK; 
WALKER, 2012).
Leis de Ohm, potência e energia8
156 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
O silício puro tem uma resistividade tão alta que se comporta quase como 
um isolante e, portanto, não tem muita utilidade em circuitos eletrônicos. 
Todavia, ao receber impurezas, essa resistividade pode ser reduzida — o 
processo de adicionar impurezas ao material chama-se dopagem.
Em condutores, existem alguns elétrons fracamente presos aos átomos 
da rede cristalina. Com pouca energia, é possível libertá-los e criar corrente 
elétrica. Essa energia geralmente é proveniente de energia térmica ou de um 
campo elétrico aplicado ao corpo. 
Nos isolantes, os elétrons estão fortemente ligados aos átomos da rede 
cristalina, sendo necessária muita energia para libertá-los e colocá-los em 
movimento. A energia térmica não é suficiente para que isso ocorra, e seria 
necessário um campo elétrico muito intenso para tornar esse material condutor. 
Para os semicondutores, alguns dos elétrons conseguem desprender-se dos 
átomos da rede cristalina com menos energia que nos isolantes. Ainda para 
melhorar a condutibilidade desses materiais, são realizadas dopagens com 
impurezas que possam ceder elétrons ou criar buracos que funcionam como 
portadores de carga positiva. Dessa maneira, conseguimoscaracterísticas 
muito interessantes para esses componentes semicondutores. 
Em 1911, o físico holandês Kamerlingh Onnes descobriu que a resistivi-
dade do mercúrio desaparece totalmente quando o metal é resfriado abaixo 
de 4 K. Esse fenômeno, conhecido como supercondutividade, é de grande 
interesse tecnológico, porque significa que as cargas podem circular em um 
supercondutor sem perder energia na forma de calor. Correntes criadas em 
anéis supercondutores, por exemplo, persistiram durante vários anos sem 
perdas; é preciso uma fonte de energia para produzir a corrente inicial, mas, 
depois disso, mesmo que a fonte seja removida, a corrente continua a circular 
indefinidamente (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2012).
As aplicações tecnológicas para materiais supercondutores eram muito 
restritas antes de 1986 devido ao alto custo para atingir baixas temperaturas. 
Em 1986, porém, foram descobertos materiais cerâmicos que atingiam a 
supercondutividade com temperaturas mais altas que as anteriores, mas ainda 
menores que a temperatura ambiente. 
A supercondutividade pode ser explicada segundo a hipótese de que, em 
um supercondutor, os elétrons responsáveis pela corrente movem-se em pares. 
Um dos elétrons do par distorce a estrutura cristalina do material, criando, 
nas proximidades, uma concentração temporária de cargas positivas; o outro 
elétron do par é atraído por essas cargas. Por meio dessa teoria, a coordenação 
de movimentos dos pares de elétrons impede que se choquem com os átomos 
da rede cristalina, eliminando, assim, a resistência elétrica. Essa teoria é capaz 
9Leis de Ohm, potência e energia
157
Eletrodinâmica | UNIDADE 3
Leis de Ohm, Potência Elétrica e Energia Elétrica | PARTE 2
de explicar bem os supercondutores descobertos antes de 1986, porém será 
necessária uma nova teoria ou inserções na antiga, para explicar o compor-
tamento dos novos supercondutores cerâmicos.
Potência elétrica e energia elétrica dissipada
Observe a Figura 4, onde temos o circuito de um bipolo, que é todo elemento 
de um circuito elétrico que possui dois terminais. 
Figura 4. Bipolo submetido a uma diferença de potencial.
Os fios que ligam o circuito possuem resistência desprezível, e é aplicado 
um potencial Va no ponto a e um potencial Vb no ponto b. Portanto, a diferença 
de potencial sobre o bipolo é dada por:
Vab = (Va – Vb)
Leis de Ohm, potência e energia10
158 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
O trabalho realizado por uma partícula que se desloca do ponto a para o 
ponto b é dado por:
τab = Q ∙ (Va – Vb)
A variação de energia potencial elétrica dU entre os pontos a e b é igual 
ao trabalho realizado pela carga entre esses potenciais. A variação de ener-
gia potencial elétrica nos dá o valor de energia dissipada pelo componente. 
A equação que nos dá a energia dissipada pelo componente é:
dU = dQ • Vab
Então, a potência P associada a essa conversão de energia é a taxa de 
transferência de energia dU/dt, da seguinte maneira:
dU
dt
dQ
dt= • Vab
Se verificarmos que o termo dU/dt é a nossa potência P e o termo dQ/dt 
nada mais é que a corrente elétrica i. Substituindo estes termos, temos que a 
potência elétrica dissipada por este elemento é:
P = i • Vab
A unidade de i é o Ampère, ou Coulomb por segundo, e a unidade de Vab 
é o Volt, ou um Joule por Coulomb. Portanto, a unidade de P é o Watt (W), 
como era de esperar:
J
c1 1 = 1 = 1W
c
s
J
s( ( )) •
Pelo princípio fundamental de conservação da energia, a energia elétrica 
dissipada pelo elemento deve ser convertida em outra forma de energia. No 
caso de condutores, esta energia é transformada em energia térmica, gerando 
calor e fazendo com que o condutor eleve sua temperatura. 
A transformação específica de energia elétrica em energia térmica, motivada 
pela passagem de corrente elétrica em um dispositivo, é o que se chama Efeito 
Joule. Uma explicação para o fenômeno: os elétrons livres, impulsionados 
pelo campo elétrico, percorrem o condutor de uma extremidade à outra. Os 
átomos da rede cristalina, que compõem o metal, já possuem energia associada, 
11Leis de Ohm, potência e energia
159
Eletrodinâmica | UNIDADE 3
Leis de Ohm, Potência Elétrica e Energia Elétrica | PARTE 2
por exemplo, à sua própria agitação térmica. Com a passagem dos elétrons 
livres, ocorrem inúmeras colisões entre os elétrons e os átomos do material 
condutor. A cada colisão, há uma transferência de energia dos elétrons para a 
rede, aumentando ainda mais a oscilação da rede e da energia de vibração dos 
átomos. Esse aumento contínuo da energia de vibração dos átomos manifesta-
-se como um aumento da temperatura do condutor, ou seja, seu aquecimento 
(VÁLIO et al., 2016).
A partir da equação que define a resistência, podemos encontrar a potência 
dissipada por um resistor, ou condutor ôhmico, ou, ainda, a taxa de transferência 
de energia para o resistor, ou, por fim, a mensuração do Efeito Joule. Considere:
V
RV = R • i e i =
Substituindo na equação de potência, temos que:
)(V
RP = i • (R • i) e P = • V
Por fim:
V2
RP = i2 • R e P =
O Efeito Joule e seu consequente aumento de temperatura são responsáveis 
por fundir o material condutor em níveis intensos de corrente elétrica. Por 
isso, os condutores de qualquer instalação, como os fios de alimentação de 
uma tomada, devem ser dimensionados pela mínima seção transversal que 
pode ser utilizada, visto que um condutor mais fino (menor seção), utilizado 
para levar grandes correntes, aquecerá tanto que levará o condutor à fusão. 
Leis de Ohm, potência e energia12
160 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Um aquecedor elétrico de água tem seu funcionamento baseado na dissipação da 
potência em forma de calor, o que causa o aumento de temperatura da água no 
compartimento. Quando o aquecedor é ligado, a corrente elétrica percorre a resistência 
e, devido ao Efeito Joule, ocorre o aumento da temperatura no condutor, que, por 
sua vez, está imerso em água, transferindo, então, o calor para a água. Sabe-se que 
certo aquecedor tem resistência de 12,1 Ω e é conectado a uma tensão de 110 V. O 
compartimento de água do aparelho tem 1L de volume e está completo de água. 
Desprezando perdas, ou seja, considerando que toda a energia elétrica é convertida 
em calor cedido para a água, determine quanto tempo será necessário para elevar a 
temperatura da água em 50°C.
Resposta:
Para determinarmos o tempo necessário para aquecer essa quantidade de água, 
devemos, então, calcular a quantidade de calor absorvido pela água e, em seguida, a 
potência do equipamento e, só então, poderemos calcular o tempo.
Da termodinâmica, temos que a quantidade de calor absorvida é dada por:
Q = m ∙ c ∙ ∆T
onde m é a massa de água (para a água, 1kg =1L), c é o calor específico da água, e 
vale 4200 J/kg ∙ ºC , e ∆T é a variação de temperatura.
Então, para o exemplo, temos:
Q = 1kg • 4200 • 50 = 210.000J
A potência dissipada pela resistência é dada por:
U2
R = 1.000W=P =
1102
12,1
Assim, podemos, então, relacionar a potência dissipada pela resistência, que, por 
Efeito Joule, se dissipa na forma de calor, sendo que, por definição, a potência é dada 
pela variação e energia, pela variação do tempo. Assim temos:
∆E
∆tP = 
No caso, a potência é a potência dissipada pela resistência, e a variação de energia 
é o calor absorvido pela água, então:
t = 210 segundos ou 3,5 minutos
210.000
t1.000 = 
Sendo assim, a água desse aquecedor elétrico eleva a sua temperatura em 50ºC 
em 3,5 minutos.
13Leis de Ohm, potência e energia
161
Eletrodinâmica | UNIDADE 3
Leis de Ohm, Potência Elétrica e Energia Elétrica | PARTE 2
Consumo de energia elétrica
Todo aparelho movido à eletricidade consome certa quantidade de energia 
elétrica. Veja que isso é a aplicação do princípio de conservação de energia, 
pois esta que é gerada para nosso uso em forma de calor, luz, movimento, 
entre outros, deve ser originária de alguma fonte. 
Essa energia elétrica pode vir de diferentes fontes,como de uma usina 
hidrelétrica, que gera energia elétrica a partir da conversão da energia potencial 
da água represada; de sistemas fotovoltaicos, que produzem energia elétrica por 
meio da energia solar; de usinas eólicas, que são capazes de produzir energias 
elétricas a partir da energia mecânica dos ventos, entre outras fontes de energia.
A energia elétrica é um meio muito eficaz de transmitir energia de um 
lugar a outro, com menos perdas e com equipamentos relativamente menores 
e menos complexos. Imagine transmitir a energia mecânica de Itaipu até São 
Paulo, por meio de engrenagens e eixos. 
Para calcular o consumo de energia, ou a energia potencial elétrica U 
fornecida ao sistema, podemos utilizar a definição da potência elétrica. Sendo 
conhecida a potência em W de cada equipamento, basta multiplicarmos ela 
pelo tempo de funcionamento do aparelho em segundos, da seguinte forma:
U = P • ∆t
Utilizando a potência em W, o tempo em s, a unidade da energia é o Joule. 
Esse valor em Joule não é muito usual, pois, para pequenos valores de 
potência e consumos em tempo moderado, geram valores numericamente 
grandes. Para solucionar esse problema, foi criada uma unidade de medida, 
que não está no SI, a fim de atender aos níveis de consumo de energia elétrica. 
Essa unidade é o Quilowatt-Hora (kWh). 
Para o cálculo do consumo em kWh, a potência deve estar em kW (quilowatt 
= 103 W), e o tempo de utilização deve estar em h (hora = 3600s). A equação 
deve ser a mesma utilizada para calcular a energia em J, apenas deve-se utilizar 
as unidades de forma correta. 
Por esse consumo, em kWh, que pagamos à concessionária de luz de nossa 
região, para calcular o custo mensal de um aparelho, precisamos saber a 
energia que ele consome em kWh e o preço da tarifa de luz. Esse valor é dado 
em reais/kWh. Sendo assim:
Customensal (reais) = preço do kWh • energia kWh • 30
Leis de Ohm, potência e energia14
162 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
A multiplicação por 30 é referente a um mês médio de 30 dias. 
Portanto, resumidamente, para calcular o consumo de energia de um equi-
pamento elétrico, devemos saber a sua potência, em W ou kWh, e multiplicar 
pelo tempo em que ele fica ligado, em s ou em h. Assim, teremos a energia 
consumida pelo aparelho em J ou kWh (conforme a unidade utilizada para 
o cálculo).
A Tabela 3 apresenta alguns aparelhos de uma residência com suas respectivas potências 
e o tempo de utilização diário deles. 
Equipamento Tempo médio de 
uso diário (h)
Potência do 
equipamento (W)
Ar-condicionado 8 1000
Chuveiro elétrico 0,5 5800
Geladeira 24 50
Secador de cabelo 0,2 1400
Tabela 3. Dados para o exemplo.
 
a) Calcule a energia elétrica consumida em um mês (30 dias), em J, com todos os 
aparelhos funcionando conforme a tabela. 
U = P ∙ ∆t
Uar-condicionado = 1.000 ∙ 8 ∙ 3.600 = 28.800.000 J [energia consumida em um dia]
Uchuveiro = 5800 ∙ 0,5 ∙ 3.600 = 10.440.000 J [energia consumida em um dia]
Ugeladeira = 50 ∙ 24 ∙ 3.600 = 4.320.000 J [energia consumida em um dia]
Usecador = 1.400 ∙ 0,2 ∙ 3.600 = 1.008.000 J [energia consumida em um dia]
Utotal = 28.800.000 + 10.440.000 + 4.320.000 + 1.008.000 = 44.568.000 J
b) Calcule a energia elétrica consumida em um mês (30 dias), em kWh, com todos os 
aparelhos funcionando conforme a tabela. 
15Leis de Ohm, potência e energia
163
Eletrodinâmica | UNIDADE 3
Leis de Ohm, Potência Elétrica e Energia Elétrica | PARTE 2
U = ∙ ∆t ∙ 30
Uar-condicionado = 1.000 ∙ 8 ∙ = 240 kWh [energia em kWh no mês]
Uchuveiro = 5800 ∙ 0,5 ∙ = 87 kWh [energia em kWh no mês]
Ugeladeira = 50 ∙ 24 ∙ = 36 kWh [energia em kWh no mês]
Usecador = 1.400 ∙ 0,2 ∙ = 8,4 kWh [energia em kWh no mês]
Utotal = 240 + 87 + 36 + 8,4 = 371,4 kWh [energia em kWh no mês]
30
1.000
P( W)
1.000
30
1.000
30
1.000
30
1.000
c) Calcule o custo mensal em reais, com todos os aparelhos funcionando conforme 
a tabela; a tarifa kWh é R$ 0,6613.
Customensal (reais) = preço do kWh ∙ energia kWh
Custoar-condicionado = 0,6613 ∙ 240 = R$ 158,72
Custochuveiro = 0,6613 ∙ 87 = R$ 57,53
Custogeladeira = 0,6613 ∙ 36 = R$ 23,81
Custosecador = 0,6613 ∙ 8,4 = R$ 5,55
Custototal = 0,6613 ∙ 240 = R$ 245,61
O custo mensal dessa casa, utilizando esses aparelhos, será de R$ 245,61.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: eletromagnetismo. 9. ed. 
Rio de Janeiro: LTC, 2012. v. 3.
VÁLIO, A. B. M. et al. Ser protagonista: física 3. 3. ed. São Paulo: Edições SM, 2016.
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física III: eletromagnetismo. 12. ed. São Paulo: Pearson, 
2012.
Leis de Ohm, potência e energia16
164 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Leituras recomendadas
BAUER, W.; WESTFALL, G. D.; DIAS, H. Física para universitários: eletricidade e magnetismo. 
Porto Alegre: AMGH, 2012.
FERRARO, N. G.; SOARES, P. A. T.; FOGO, R. Física básica. 3. ed. São Paulo: Atual, 2009.
YAMAMOTO, K.; FUKE, L. F. Física para o ensino médio 3: eletricidade e física moderna. 4. 
ed. São Paulo: Saraiva, 2017.
17Leis de Ohm, potência e energia
ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO 
PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.
PREZADO ESTUDANTE
Parte 3
Circuitos Resistivos
 
O conteúdo deste livro 
é disponibilizado
por SAGAH.
unidade 
3
V.1 | 2021
166 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Circuitos resistivos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Compreender como funcionam as associações em série, em paralelo 
e mista.
  Analisar a função dos geradores e receptores em circuitos elétricos.
  Verificar como se fazem as medidas elétricas.
Introdução
Os circuitos elétricos, indubitavelmente, mudaram o mundo. A eletrônica 
moderna continua mudando a sociedade humana, a um ritmo cada vez 
mais rápido. Por isso, estudar os circuitos resistivos é muito importante.
Os circuitos resistivos são circuitos elétricos específicos, onde só há 
elementos resistivos, como resistores, geradores, baterias e receptores. As 
resistências podem ser conectadas de diferentes formas — dessa maneira, 
é possível conseguir valores de resistências equivalentes diversas. Quais 
tipos de conexões podemos realizar com resistências? Como se calcula 
a resistência equivalente em um circuito elétrico? Em circuitos, temos 
componentes como fontes, fios de conexão e resistores, sendo que 
alguns deles comportam-se como geradores e outros como receptores. 
Como verificar se um equipamento é receptor ou gerador? Em circuitos 
elétricos, como medimos grandezas elétricas? Que equipamentos e 
cuidados devemos ter para obter tais medidas?
A partir dos conceitos apresentados neste capítulo, você será capaz 
de responder essas e outras perguntas.
Aqui, você vai aprender a identificar associações de resistores dos tipos 
série, paralela e mista, vai aprender a encontrar a resistência equivalente 
em associações de resistores e a identificar geradores e receptores em 
circuitos elétricos. Por fim, você será capaz de identificar os aparelhos 
utilizados para medir grandezas elétricas e saberá os cuidados que devem 
ser tomados na manipulação de cada equipamento.
167
Eletrodinâmica | UNIDADE 3
Circuitos Resistivos | PARTE 3
Associações de resistores em série, 
em paralelo e mista
Os circuitos elétricos estão em praticamente tudo que observamos no carro que 
nos movimentamos, na geladeira onde guardamos nossos alimentos, e até no 
forno elétrico, onde preparamos algumas refeições. Os circuitos resistivos têm 
apenas fontes de alimentação, elementos que fornecem uma força eletromotriz 
ao circuito, e resistores, elementos condutores que possuam a única função 
de introduzir certa resistência a um circuito. 
É importante salientar que, neste texto, vamos nos atentar a circuitos de 
corrente contínua, ou seja, qualquer corrente que flui em um mesmo sentido 
durante o tempo todo.
Para analisar circuitos elétricos de modo geral, devemoster em mente a 
diferença entre o sentido das correntes real e convencional, assim, esta última 
sempre deve ser adotada. 
Na corrente convencional, supõe-se o movimento das cargas positivas, ou 
seja, nesse sentido, a corrente flui do polo positivo para o polo negativo da 
fonte. A corrente real, por sua vez, considera que somente as cargas negativas 
deslocam-se no circuito, do polo negativo para o polo positivo. 
Para que uma corrente flua por um resistor, é preciso que uma diferença 
de potencial seja estabelecida entre as extremidades dele. Tal diferencia de 
potencial, fornecida por uma bateria ou outro dispositivo análogo, é denomi-
nada força eletromotriz (fem). Um dispositivo que mantém uma diferença de 
potencial é chamado de fonte de fem e realiza trabalhos sobre os portadores 
de carga. Exemplos de fontes de fem são as baterias, as pilhas, os geradores 
elétricos e as células solares (BAUER; WESTFALL; DIAS, 2012).
Um circuito elétrico sempre começa e termina na fonte de fem, a qual 
provoca diferenças de potencial a um circuito, e as quedas de potencial nos 
resistores reduzem esse potencial ao longo do circuito. Todavia, a ddp total ao 
longo de qualquer caminho condutor fechado é zero. Esse fato é uma consequ-
ência direta do princípio de conservação de energia e pode ser observado da 
seguinte maneira: cada ponto de uma montanha possui apenas uma altitude 
em relação ao nível do mar; se partirmos de um ponto qualquer e voltarmos 
ao mesmo ponto depois de passear pela montanha, a soma algébrica das mu-
danças de altitude durante a caminhada é necessariamente zero (HALLIDAY; 
RESNICK; WALKER, 2012).
Circuitos resistivos2
168 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
A partir dessas observações, foi proposta a Lei de Kirchhoff das malhas, 
que estabelece que a soma algébrica das variações de potencial ao longo de 
qualquer malha fechada de um circuito deve ser igual a zero.
Um circuito pode conter mais de um resistor e/ou mais de uma fonte de fem. 
A análise de um circuito com múltiplos resistores requer diferentes técnicas.
Associação em série
No circuito mostrado na Figura 1, dois resistores, R1 e R2, são conectados em 
série, ou seja, um em seguida do outro, com uma fonte de fem ε.
Figura 1. Associação de resistores em série.
Quando uma diferença de potencial V é aplicada a resistências em série, a 
corrente I é a mesma em todas as resistências. Num circuito sem ramificação, 
a corrente deve fluir por todo ele, de maneira que a corrente que entra é a 
mesma que sai.
Uma analogia com o fluxo de água em um cano pode ajudar: não importa 
quão longo seja o tubo, toda a água que fluir para dentro dele por uma das 
extremidades fluirá para fora pela outra (BAUER; WESTFALL; DIAS, 2012).
3Circuitos resistivos
169
Eletrodinâmica | UNIDADE 3
Circuitos Resistivos | PARTE 3
A diferença de potencial em cada resistor é dada por V1 e V2, sendo:
V1 = R1 · I e V2 = R2 · I
Como visto, a soma das diferenças de potencial em um caminho condutor 
fechado deve ser igual a zero. Dessa maneira, para o circuito em série, a soma 
das tensões nos resistores deve ser igual à força eletromotriz:
ε = V1 + V2
Combinando as duas equações, poderemos encontrar a corrente I que 
percorre o circuito, sendo:
ε = R1 ∙ I + R2 ∙ I
ε = I (R1 + R2)
I = ε
(R1 + R2)
Para podermos encontrar uma resistência equivalente para o circuito, 
devemos encontrar uma resistência que, quando submetida a ddpε, produza 
uma corrente equivalente ao circuito anterior. Então, temos:
ε = R1 · I + R2 · I = Req · I
Comparando as duas igualdades, temos que:
Req = R1 + R2
Desse modo, dois resistores associados em série podem ser substituídos por 
um único resistor de resistência equivalente igual à soma das duas resistências.
Podemos estender esse pensamento e expandir a expressão para resistência 
equivalente de n resistores associados em série, de tal modo que:
Req = ∑
n
i = 1
Ri
Circuitos resistivos4
170 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Sendo assim, em resistores conectados formando um único caminho, sem 
ramificações, a resistência equivalente total do conjunto será exatamente a 
soma de suas resistências individuais.
Associação em paralelo
Dois resistores podem ser conectados de outra forma diferente, como pode 
ser visto na Figura 2. Nesse tipo de conexão, colocamos os componentes em 
paralelo, ou seja, lado a lado, de tal forma que os pontos de conexão sejam 
coincidentes.
Figura 2. Associação de resistores em paralelo.
Nesse tipo de conexão, os elementos resistivos ficam todos submetidos à 
mesma ddp. Assim, temos que:
ε = V1 = V2 = R1 · I1 = R2 · I2
Este circuito possui ramificações, ou seja, a corrente ramifica-se, indo uma 
parte para o resistor 1 e outra para o resistor 2. A Lei de Kirchhoff dos nó s 
estabelece que a soma algébrica das correntes em qualquer nó de um circuito 
5Circuitos resistivos
171
Eletrodinâmica | UNIDADE 3
Circuitos Resistivos | PARTE 3
deve ser igual a zero (BAUER; WESTFALL; DIAS, 2012). Dessa forma, en-
contramos que a corrente total do circuito é a soma das correntes nos resistores:
I = I1 + I2
Utilizando a mesma lógica de encontrar uma resistência equivalente que 
produza a mesma corrente, temos:
ε
Req
ε
R1
ε
R2
= +
Sendo assim, a resistência equivalente de uma associação em paralelo 
para dois resistores é:
1
Req
1
R1
1
R2
= +
Ou então:
Req =
R1 · R2
R1 + R2
Generalizando essa expressão para n resistores ligados em paralelo uns 
com os outros, temos a resistência equivalente dada por:
1
Req
∑
n
i = 1
1
Ri
=
Associação mista
Uma associação mista é composta quando são associados resistores em série 
e paralelo em um mesmo circuito. Para caracterizar uma associação mista, 
devemos ter, no mínimo, três resistências. Na Figura 3, é possível observar 
uma associação mista.
Circuitos resistivos6
172 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Figura 3. Associação mista de resistores.
Para realizarmos a resolução desse circuito e encontrar a resistência equiva-
lente, por exemplo, precisamos entender como os resistores estão conectados. 
Na Figura 3, vemos que os resistores R2 e R3 estão conectados em paralelo, 
em seguida, essa ligação é conectada em série a um resistor R1. 
Para esse circuito, a resistência equivalente é dada por:
Req = R1 +
1
R2
1
R3
+( )
–1
O termo em parênteses é a resistência equivalente da associação paralelo 
entre os resistores R2 e R3. 
Veja agora a Figura 4, com os mesmos três resistores e outra conexão foi 
realizada. Temos também, nesse caso, uma associação mista, onde os resistores 
R2 e R3 encontram-se, agora, em série e, depois, conectados em paralelo com 
o resistor R1.
7Circuitos resistivos
173
Eletrodinâmica | UNIDADE 3
Circuitos Resistivos | PARTE 3
Figura 4. Associação mista de resistores, segunda configuração.
Sendo assim, podemos calcular a resistência equivalente do circuito como:
Req = 
1
R1
1
R2 + R3
+( )
–1
O termo R2 + R3 é a resistência equivalente da associação série, que, em 
seguida, é colocada em paralelo com o resistor R1.
Para cada caso de associação mista, devemos observar as conexões entre os 
resistores. Dessa forma, cada associação produz uma resistência equivalente 
diferente e deve ser observada individualmente.
Geradores e receptores em circuitos elétricos
O gerador é um componente que transforma outra forma de energia em energia 
elétrica. Como exemplo, temos: baterias, que transformam energia química em 
energia elétrica; placas fotovoltaicas, que transformam energia solar em energia 
elétrica; geradores de corrente continua, que transformam energia mecânica 
em energia elétrica; entre outros dispositivos. O gerador é o componente que 
fornece energia elétrica ao circuito. Ao ser atravessado por esta corrente, o 
Circuitos resistivos8
174 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
gerador apresenta uma resistência à passagem dos portadores de carga — essa 
resistência é conhecida como resistência interna do gerador (r).
A corrente nos geradoresé sempre percorrida no sentido do potencial 
menor (polo negativo) para o potencial maior (polo positivo). A diferença de 
potencial no gerador é chamada de força eletromotriz (fem.), representada por ε. 
Um gerador ideal é aquele que não apresenta resistência à passagem da 
corrente elétrica. A resistência interna dele é nula (r = 0), portanto toda energia 
gerada é fornecida ao circuito, ou seja, o gerador ideal tem um rendimento, 
ɳ, de 100%. 
A representação de um gerador ideal é exatamente igual à representação 
de uma fonte fem, como pode ser visto na Figura 5a. 
Figura 5. Representação de um gerador: a) gerador ideal, b) gerador real; c) curva carac-
terística do gerador.
Um gerador real é aquele que apresenta resistência à passagem da corrente 
elétrica, o seu rendimento é menor que 100% e, portanto, a sua resistência 
interna é diferente de zero (r ≠ 0).
A representação de um gerador real é a associação de uma fonte de fem 
ε em série com a sua resistência interna r, como pode ser visto na Figura 5b. 
A tensão nos polos de um gerador, U, é sempre menor ou igual à força 
eletromotriz, ε. A tensão nos polos pode ser determinada em função da corrente 
I, a tensão nos polos é igual a fem menos a queda de tensão na resistência 
interna, ou seja:
U = ε – rI
9Circuitos resistivos
175
Eletrodinâmica | UNIDADE 3
Circuitos Resistivos | PARTE 3
Quando um gerador não está conectado, dizemos que está em aberto, isto 
é, não há passagem de corrente elétrica, portanto:
I = 0 e U = ε
Quando conectamos os dois polos de um gerador, dizemos que está em 
curto-circuito, logo a diferença de potencial entre seus polos é zero. Sendo 
assim:
U = 0 e I = ICC = 
ε
r
Onde Icc é denominada corrente de curto-circuito. 
Com estas duas condições, gerador em aberto e em curto-circuito, podemos 
traçar a curva característica do gerador real, sendo o eixo vertical a tensão e 
o eixo horizontal a corrente. A curva é caracterizada, dada na Figura 5c, por 
uma reta descendente, onde a sua inclinação é dada pela resistência interna 
do gerador.
O rendimento ɳ de um gerador pode ser determinado por meio da razão 
entre a potência fornecida Pf ao sistema e a gerada pela fem Pg.
Desse modo, temos que a potência dissipada pela resistência interna Pd do 
gerador, em W, é dada por:
Pd = r · I2
A potência fornecida ao circuito, em W, é:
Pf = U · I
A potência gerada pela fem, em W, é:
Pg = ε · I
O rendimento elétrico, em %, é dado por:
η =
Pf
Pg
× 100% = × 100% 
U
ε
Um receptor é um componente que transforma energia elétrica em outra 
forma de energia. Por exemplo, temos: um motor elétrico de corrente contínua 
transforma energia elétrica em energia mecânica; uma bateria sendo recarre-
Circuitos resistivos10
176 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
gada transforma energia elétrica em energia química; entre outros. O receptor 
é um componente que consome energia elétrica. 
A corrente nos receptores é sempre percorrida no sentido do potencial 
maior (polo positivo) para o potencial menor (polo negativo). A diferença de 
potencial interna no receptor é chamada de força contra-eletromotriz (fcem), 
representada também por ε. 
A representação de um receptor é a associação de uma fonte de fem ε em 
série com uma resistência interna r, semelhante ao gerador, como pode ser 
visto na Figura 6a.
Figura 6. Representação de um receptor: a) circuito equivalente de um receptor; b) curva 
característica de um receptor.
A tensão nos polos de um receptor, U, é sempre maior ou igual à força 
contra-eletromotriz, ε. A tensão nos polos pode ser determinada em função 
da corrente I, a tensão nos polos é igual a fcem mais a queda de tensão na 
resistência interna, ou seja:
U = ε + rI
A curva característica de um receptor pode ser encontrada plotando-se a 
tensão no eixo vertical e a corrente no eixo horizontal. A curva é caracterizada 
por uma reta ascendente e pode ser vista na Figura 6b. 
11Circuitos resistivos
177
Eletrodinâmica | UNIDADE 3
Circuitos Resistivos | PARTE 3
O rendimento ɳ de um receptor pode ser determinado por meio da razão 
entre a potência útil na fecm Pu, e a potência consumida Pc.
Desse modo, temos que a potência dissipada pela resistência interna Pd do 
receptor, em W, é dada por:
Pd = r · I2
A potência consumida, em W, é:
Pc = U · I
A potência útil na fcem, em W, é:
Pu = ε · I
O rendimento elétrico, em %, é dado por:
η =
Pu
Pc
× 100% = × 100% ε
U
Para identificar se um elemento do circuito está atuando como gerador 
ou receptor, temos que analisar o circuito elétrico, verificando se ele está 
consumindo ou cedendo energia.
Aparelhos e medidas elétricas
Os dispositivos que medem corrente, diferença de potencial e resistência são 
chamados de amperímetros, voltímetros e ohmímetros, respectivamente. 
Muitas vezes, os três medidores estão incluídos em um único instrumento 
denominado multímetro, que pode ser selecionado para ser utilizado em 
alguma dessas funções.
Circuitos resistivos12
178 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Figura 7. Multímetro digital.
Fonte: Volodymyr Krasyuk/Shutterstock.com.
O amperímetro tem seu funcionamento baseado na indução magnética 
que a passagem de corrente gera sobre determinado elemento, denominado 
galvanômetro. 
Nos amperímetros analógicos, o elemento sensor, galvanômetro, pode ser 
composto por uma bobina sob a influência de um imã permanente. Com a 
bonina livre para girar sobre um eixo, medindo-se a deflexão angular que ela 
sofre, é possível determinar a corrente que atravessa o circuito. 
Nos amperímetros digitais, o galvanômetro é um circuito eletrônico que 
funciona comparando o valor de corrente medido com um valor gerado pelo 
próprio aparelho. 
A Figura 8 mostra a configuração básica de um amperímetro. Os galva-
nômetros possuem um valor máximo limite de corrente elétrica para que não 
sejam danificados ou inutilizados. Dessa maneira, a resistência RA tem como 
função limitar a corrente que vai para o galvanômetro. Com esse pensamento, 
quando se objetiva medir valores de correntes cada vez mais elevados, o valor 
de RA deve ser cada vez menor.
Para medir a corrente em um resistor de um circuito simples, você deve 
colocar o amperímetro em série com o resistor, para que a corrente seja a 
mesma no amperímetro e no resistor.
13Circuitos resistivos
179
Eletrodinâmica | UNIDADE 3
Circuitos Resistivos | PARTE 3
Figura 8. Configuração de amperímetro: a) configuração básica de um amperímetro; b) para 
medir a corrente em um resistor R, um amperímetro A é colocado em série com o resistor.
A configuração básica de um voltímetro é mostrada na Figura 9a. Com o 
galvanômetro, é possível determinar a corrente que passa no ramo. Sabendo-
-se a resistência equivalente do voltímetro, é possível calcular a diferença de 
potencial medida. Quando se objetiva medir valores de tensão cada vez mais 
elevados, o valor de RV deve ser cada vez maior.
A diferença de potencial em um resistor é medida colocando-se um voltí-
metro no resistor, em paralelo com ele, como mostrado na Figura 9b, para que 
a queda de potencial seja a mesma no voltímetro e no resistor. O voltímetro 
deve ter uma resistência extremamente elevada para que seu efeito na corrente 
do circuito seja desprezível.
Figura 9. Configuração básica de um voltímetro. Para medir a queda de potencial em um 
resistor, um voltímetro V é colocado em paralelo com o resistor.
Circuitos resistivos14
180 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
O princípio de funcionamento de um ohmímetro é mostrado na Figura 
10a. Uma fonte de tensão interna gera uma corrente elétrica medida por meio 
do galvanômetro. Conhecendo os valores de εi e r, podemos determinar a 
resistência elétrica do elemento resistivo a partir da Lei de Ohm. Quanto 
maior o valor da resistência medida, maior deverá ser a tensão εi para produzir 
alterações sentidas pelo galvanômetro. 
Para efetuar uma medida com ohmímetro, deve-se desconectar o elemento 
que se deseja mediar do restante do circuito. O aparelhodeve ser ligado em 
paralelo com o componente que se deseja medir, conforme a Figura 10b. 
Figura 10. a) princípio de funcionamento do ohmímetro; b) para medir a resistência de 
um resistor, deve-se desconectá-lo do circuito em questão.
O wattímetro é o instrumento utilizado para medir potência elétrica em 
Watts. Seu funcionamento é a combinação de um voltímetro e um amperímetro. 
A corrente medida é multiplicada pela tensão também medida, e o resultado 
é a potência do circuito.
15Circuitos resistivos
181
Eletrodinâmica | UNIDADE 3
Circuitos Resistivos | PARTE 3
Um amperímetro ideal possui uma resistência interna nula. Porém, em um amperímetro 
real, sua resistência é finita. Observe o circuito da Figura 11, onde a resistência interna 
do amperímetro é de 1 Ω, a tensão ε vale 10 V e o resistor R vale 10 Ω, e determine:
Figura 11. Circuito com fonte, resistor e amperímetro.
1. Qual a corrente que circularia no sistema se o amperímetro fosse ideal?
2. Qual o valor de corrente que o amperímetro vai medir?
3. Se o amperímetro fosse ligado em paralelo com o resistor, qual seria o valor de 
corrente medido?
Resposta
a) Se o amperímetro for ideal, os elementos que sobram no circuito são apenas 
a fonte e o resistor; dessa forma, a corrente no circuito pode ser dada por:
I =
ε
R =
10
10
= 1A
b) Com o amperímetro no circuito, a corrente é calculada a 
partir da associação em série das resistências, sendo:
I = ε
r + R
10
1 + 10
= = 0,909 A
c) Se o amperímetro for ligado em paralelo com o resistor, a corrente medida é 
igual à corrente que passa pela resistência interna do amperímetro, dada por:
I =
ε
r =
10
1
= 10 A
Circuitos resistivos16
182 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
BAUER, W.; WESTFALL, G. D.; DIAS, H. Física para universitários: eletricidade e magne-
tismo. Porto Alegre: AMGH, 2012.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: eletromagnetismo. 9. ed. 
Rio de Janeiro: LTC, 2012. v. 3.
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física III: eletromagnetismo. 12. ed. São Paulo: Pearson, 
2012.
Leituras recomendadas
BARIATTO, M. Laboratório de circuitos elétricos: experiência nº. 2: associação de resistores. 
São Paulo: FATEC-SP, [2010?]. Disponível em: <http://www.lsi.usp.br/~bariatto/fatec/
labcir/Exp-2_Assoc_Resistores.pdf >. Acesso em: 14 dez. 2017.
FERRARO, N. G.; SOARES, P. A. T.; FOGO, R. Física básica. 3. ed. São Paulo: Atual, 2009.
VÁLIO, A. B. M. et al. Ser protagonista: física 3. 3. ed. São Paulo: Edições SM, 2016.
17Circuitos resistivos
ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO 
PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.
PREZADO ESTUDANTE
Parte 4
Circuitos RC
 
O conteúdo deste livro 
é disponibilizado
por SAGAH.
unidade 
3
V.1 | 2021
184 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
CAPÍTULO 32 ■ Fundamentos de Circuitos 987
EXEMPLO 32.13 Um circuito aterrado
Suponha que o circuito da Figura 32.33 seja aterrado no nó entre os 
dois resistores em vez de na base. Encontre o potencial em cada canto 
do circuito.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 32.34 mostra o novo circuito. (É costumeiro de-
senhar o símbolo terra de modo que ele “aponte” sempre para baixo.)
,
FIGURA 32.34 Circuito da Figura 32.33 aterrado no nó entre os 
resistores.
RESOLUÇÃO Trocar o ponto de aterramento não afetará o comporta-
mento do circuito. A corrente será ainda 0,50 A, e as diferenças de 
potencial sobre os dois resistores, 4 V e 6 V. Tudo o que aconteceu 
foi que movemos o ponto de referência correspondente a V � 0 V. 
Devido à Terra corresponder a VTerra � 0 V, o próprio nó encontra-se 
no potencial de 0 V. O potencial diminui em 4 V enquanto as cargas 
fluem através do resistor de 8 �. Uma vez que ele termina em 0 V, o 
potencial acima do resistor de 8 � deve ser de � 4 V. Analogamente, 
o potencial diminui em 6 V através do resistor de 12 �. Uma vez 
que ele inicia em 0 V, o potencial abaixo do resistor de 12 � deve 
ser de � 6 V. O terminal negativo da bateria encontra-se no mesmo 
potencial que o abaixo do resistor de 12 �, pois eles estão conectados 
por um fio. Logo, Vneg � � 6 V. Finalmente, o potencial aumenta em 
10 V quando que as cargas fluem através da bateria, portanto Vpos � 
�4 V, em concordância, como deveria ser, com o potencial acima do 
resistor de 8 �.
Talvez você queira saber a respeito de voltagens negativas. Uma voltagem negativa 
significa apenas que o potencial naquele ponto é menor do que o potencial em algum 
outro ponto que escolhemos como correspondente a V � 0 V. Somente diferenças de 
potencial são fisicamente significativas, e apenas diferenças de potencial entram na lei 
de Ohm: I � �V/R. A diferença de potencial através do resistor de 12 � deste exemplo 
é de 6 V, diminuido do topo à base, independentemente de qual ponto escolhamos como 
correspondente a V � 0 V.
32.9 Circuitos RC
Até agora temos considerado somente os circuitos nos quais a corrente é estável e contí-
nua. Existem muitos circuitos nos quais a dependência da corrente com o tempo é uma 
característica crucial. O carregamento e o descarregamento de um capacitor constitui um 
exemplo importante.
A FIGURA 32.35a mostra um capacitor carregado, um interruptor e um resistor. O capa-
citor possui uma carga Q0 e está sob uma diferença de potencial �VC � Q0/C. Não há 
corrente, assim a diferença de potencial sobre o resistor é zero. Então, em t � 0, o inter-
ruptor é fechado e o capacitor começa a descarregar através do resistor. Um circuito 
desse tipo, com resistores e capacitores, é chamado de circuito RC.
Quanto tempo leva o capacitor para descarregar? Como a corrente através do resistor 
varia em função do tempo? Para responder a essas questões, a FIGURA 32.35b mostra o 
circuito depois que o interruptor foi fechado. Agora, a diferença de potencial através do 
resistor é �VC � �IR, onde I é a corrente de descarga do capacitor.
A lei de Kirchhoff das malhas é válida para qualquer circuito, e não, apenas para 
circuitos com baterias. A lei das malhas, aplicada ao circuito da Figura 32.25b, percor-
rendo-se a malha em sentido horário, é
 
(32.28)
Nesta equação, Q e I são, respectivamente, os valores instantâneos da carga do capacitor 
e da corrente do resistor.
A corrente I é a taxa segundo a qual as cargas fluem através do resistor: I � dq/dt. 
Mas as cargas que fluem pelo resistor são aquelas que foram removidas do capacitor, 
ou seja, uma carga infinitesimal dq flui através do resistor quando a carga do capacitor 
diminui em dQ. Portanto, dq � � dQ, e a corrente no resistor está relacionada à carga 
instantânea do capacitor por
 
(32.29)
12.6–12.8
Antes do interruptor ser fechado
O interruptor é
fechado em t � 0.
Carga Q
0
Após o interruptor ter sido fechado
Carga Q A corrente reduz a
carga do capacitor.
FIGURA 32.35 Um circuito RC.
185
Eletrodinâmica | UNIDADE 3
Circuitos RC | PARTE 4
988 Física: Uma Abordagem Estratégica
Agora, I é positivo quando Q está diminuindo, como se espera. O raciocínio que levou à 
Equação 32.29 é bastante sutil, mas muito importante. Mais tarde, você o verá sendo 
usado em outros contextos.
Substituindo a Equação 32.29 na Equação 32.28 e, depois, dividindo o resultado por 
R, a lei das malhas para o circuito RC assume a forma
 
(32.30)
A Equação 32.30 é uma equação diferencial de primeira ordem para a carga Q do capa-
citor, mas uma das que podemos resolver por integração direta. Primeiro rearranjamos 
a Equação 32.20 para que todos os termos que contenham a carga fiquem de um mesmo 
lado da equação:
 
O produto RC é uma constante para qualquer circuito particular.
A carga do capacitor era Q0 em t � 0, quando o interruptor foi fechado. Desejamos 
integrar desta condição inicial até uma carga Q em um instante t posterior, ou seja,
 
(32.31)
Ambas são integrais bem-conhecidas, resultando em
Podemos isolar a carga Q do capacitor obtendo a função exponencial de cada lado da 
equação e, depois, multiplicando a equação obtida por Q0. Ao final, obtemos
 (32.32)
Note que Q � Q0 em t � 0, como deve ser.O argumento de uma função exponencial deve ser adimensional; assim, a grandeza 
RC deve ter dimensões de tempo. É útil difinir a constante de tempo � de um circuito 
RC como
 (32.33)
Podemos, então, escrever a Equação 32.32 na forma
 
(32.34)
O significado da Equação 32.34 é mais fácil de compreender quando se representa a 
equação graficamente. A FIGURA 32.36a mostra a carga do capacitor em função do tempo. 
A carga decai exponencialmente, iniciando com Q0, em t � 0, e se aproximando assinto-
ticamente de zero quando t → �. A constante de tempo � é o tempo decorrido para que o 
valor da carga decresça para e�1 (cerca de 37%) de seu valor inicial. No tempo t � 2�, a 
carga decrescerá para e�2 (cerca de 13%) de seu valor inicial.
NOTA � A forma do gráfico de Q é sempre a mesma, independentemente do valor 
específico da constante de tempo t. �
Obtemos a corrente do resistor usando a Equação 32.29:
 
(32.35)
onde I0 � Q0/� é a corrente inicial, imediatamente após o interruptor ter sido fechado. 
A FIGURA 32.36b é o gráfico da corrente do resistor versus t. Você pode ver que a corrente 
sofre o mesmo decaimento que a carga do capacitor, com a mesma constante de tempo.
O pisca-pisca traseiro de um capacete de 
ciclista liga e desliga intermitantemente. O 
sincronismo é controlado por um circuito RC.
Carga Q Curva de decaimento
exponencial
Em t � , a carga
decresceu para 37%
do seu valor inicial.
Em t � 2 , a carga
decresceu para 13%
do seu valor inicial.
Corrente I
Em t � , a corrente decresceu
para 37% de seu valor inicial.
,
,
,
FIGURA 32.36 A curva de decaimento 
da carga do capacitor e da corrente no 
resistor.
186 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
CAPÍTULO 32 ■ Fundamentos de Circuitos 989
NOTA � Não existe um valor bem-definido de tempo decorrido no qual o capacitor 
se descarregue completamente, pois Q se aproxima de zero assintoticamente, todavia 
em t � 5� a carga e a corrente caíram para menos de 1% de seus valores iniciais. As-
sim, 5� constitui uma resposta prática razoável para a questão “quanto tempo decorre 
para o capacitor descarregar?” �
EXEMPLO 32.14 Decaimento exponencial em um circuito RC
O interruptor da FIGURA 32.37 encontra-se na posição a há um longo 
tempo. Em t � 0 s, ele é trocado para a posição b. Qual será a carga 
do capacitor e a corrente através do resistor em t � 5,0 �s?
FIGURA 32.37 Um circuito RC.
MODELO A bateria carrega o capacitor a 9,0 V. Então, quando o inter-
ruptor é trocado para a posição b, o capacitor se descarrega através do 
resistor de 10 �. Considere os fios como ideais.
RESOLUÇÃO A constante de tempo do circuito RC é
O capacitor está inicialmente carregado a 9,0 V, portanto Q0 � C�VC 
� 9,0 �C. Em t � 5,0 �s, a carga do capacitor é
A corrente inicial, imediatamente após o interruptor ser fechado, é I0 
� Q0/� � 0,90 A. Em t � 5,0 �s, a corrente no resistor é
AVALIAÇÃO Esse capacitor estará quase inteiramente descarregado em 
5� � 50 �s após o interruptor ter sido fechado.
Carregando um capacitor
A FIGURA 32.38a mostra um circuito para carregar um capacitor. Depois que o interruptor 
é fechado, a escada rolante de carga da bateria move as cargas da placa inferior do capa-
citor para sua placa superior. Pela limitação à corrente que o resistor produz, ele atrasa o 
processo, mas não o detém. O capacitor carrega até que �VC � �; e então a corrente de 
carregamento cessa. A carga completa do capacitor é Qmax � C(�VC)max � C�.
O interruptor fecha em t � 0 s.
Carga Q
FIGURA 32.38 Um circuito para carregar um capacitor.
Como tema para casa, você pode mostrar que a carga do capacitor, no instante t, é 
dada por
 (32.36)
onde, outra vez, � � RC. Este “decaimento invertido” para Qmax é mostrado grafica-
mente na FIGURA 32.38b. Circuitos RC que, alternadamente, carregam e descarregam um 
capacitor estão no cerne dos circuitos de registro de tempo em computadores e diversos 
aparelhos eletrônicos digitais.
PARE E PENSE 32.6 A constante de tempo do descargamento deste capacitor é
 a. 5 s
 b. 4 s
 c. 2 s
 d. 1 s
 e. O capacitor não descarrega, pois os 
resitores se cancelam.
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PREZADO ESTUDANTE
188 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Eletromagnetismo
Prezado estudante,
Estamos começando uma unidade desta disciplina. Os textos que a compõem foram 
organizados com cuidado e atenção, para que você tenha contato com um conteúdo 
completo e atualizado tanto quanto possível. Leia com dedicação, realize as atividades e 
tire suas dúvidas com os tutores. Dessa forma, você, com certeza, alcançará os objetivos 
propostos para essa disciplina.
Objetivo Geral 
Reconhecer os fenômenos magnéticos , suas interações com os fenômenos elétricos e aplicações.
unidade 
4
V.1 | 2021
190 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Parte 1
Campo Magnético
 
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V.1 | 2021
192 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Campo magnético e fontes 
de campo magnético
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Explicar o conceito de campo magnético e suas propriedades.
 � Exemplificar as diferentes fontes de campo magnético.
 � Relacionar a forma funcional do campo magnético em regiões do 
espaço dependente da geometria da fonte que gera o campo.
Introdução
O magnetismo está presente em muitas situações cotidianas, seja de forma 
explicita — como no caso dos ímãs de geladeira, no uso de bússolas, 
etc. — seja de forma menos evidente — como no funcionamento de 
aparelhos de alto-falantes, televisões, telefones, entre outras (Válio, 2016).
Desde as primeiras descobertas do material magnetita, na Grécia, 
capaz de atrair certos metais, até o desenvolvimento da teoria do eletro-
magnetismo, passou-se um grande período. Hoje, somos capazes de criar 
eletroímãs, dispositivos que utilizam corrente elétrica para gerar campos 
magnéticos, capazes de elevar toneladas de metais por vez. 
Dos ímãs permanentes, como a magnetita, até os eletroímãs, compor-
tam-se segundo algumas leis, como a de atração e repulsão magnética, 
lei de Ampère e outras que serão discutidas aqui. 
Neste capítulo, você vai entender o que é o campo elétrico, quais as 
propriedades do campo que é possível gerar campos magnéticos de 
diferentes fontes e, por fim, como traçar as linhas de campo magnético 
e encontrar a intensidade dele em algumas configurações geométricas 
definidas. 
Eletromagnetismo | UNIDADE 4
Campo Magnético | PARTE 1 193
Campo magnético
Em uma região da Magnésia (na Grécia central), os gregos antigos encontraram 
diversos tipos de minerais naturais capazes de atrair e repelir uns aos outros 
e certos tipos de metal, como o ferro (BAUER, 2012).
Aos materiais que, em seu estado natural, produzem campo magnético, 
damos o nome de “ímãs permanentes”. 
As interações entre ímãs permanentes e agulhas de bússolas podem ser 
explicadas por meio do conceito de polos magnéticos. Dessa maneira, quando 
suspenso pelo centro de gravidade, um ímã permanente tende a se orientar 
com os polos terrestres. Assim, definimos polo norte como a parte do ímã que 
aponta próximo ao norte geográfico da Terra; utilizando o mesmo raciocínio, 
a parte que aponta ao sul geográfico é denominada polo sul. Esse é o princípio 
de funcionamento de uma bússola, que aponta sempre ao norte geográfico da 
Terra. Observe a Figura 1.
Agora, vamos analisar as forças de atração e repulsão magnéticas que 
ocorrem entre os polos e, depois, aprofundaremos o estudo do campo magnético 
terrestre e suas orientações geográficas.
Figura 1. Definição de polo norte e polo sul. 
Campo magnético e fontes de campo magnético2
194 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
A partir desses ímãs permanentes, e semelhante ao observado com as 
cargas elétricas, podemos definir a Lei de Atração e Repulsão Magnética. 
Desta maneira, os polos diferentes atraem-se, e polos iguais repelem-se. Ainda 
sobre a atração e repulsão magnética,um material ferromagnético é atraído 
por um ímã permanente ou temporário, independentemente da polaridade em 
que o ímã é posicionado. Veja a representação na Figura 2.
Figura 2. (a) Polos opostos atraem-se; (b) Polos iguais repelem-se; e (c) Qualquer polo de 
um ímã atrai um objeto não imantado.
No século 18, o físico dinamarquês, Hans Christian Orsted, fez as primeiras 
observações de campos magnéticos gerados por corrente elétrica. Em uma 
demonstração aos seus alunos, Oersted mostrou que uma bússola variava sua 
indicação quando um condutor, próximo a ela, era percorrido por corrente 
elétrica.
Mas foi somente o físico francês André-Marie Ampère que propôs que 
toda partícula carregada em movimento gera um campo magnético próprio. 
Ou seja, cargas elétricas em movimento geram campos magnéticos. 
O campo magnético B pode ser definido como a região em volta de um ímã, 
onde ocorrem interações magnéticas. O campo magnético, similar ao campo 
elétrico, consegue produzir forças magnéticas em um corpo a distância, ou 
seja, existe uma força de interação mesmo sem o contato dos corpos. 
Cargas elétricas em movimento geram campos magnéticos. Portanto, 
correntes elétricas, percorrendo condutores, são capazes de gerar campo 
3Campo magnético e fontes de campo magnético
Eletromagnetismo | UNIDADE 4
Campo Magnético | PARTE 1 195
magnético. Aos componentes que produzem campo magnético a partir de 
corrente elétrica dá-se o nome de eletroímã. 
O conceito de polo magnético pode parecer semelhante ao de carga elétrica. O polo 
norte e o polo sul podem parecer análogos a uma carga positiva e uma negativa. 
Porém, essa analogia é capaz de causar confusão. Embora existam cargas negativas 
e positivas isoladas, não existe nenhuma evidência experimental da existência de 
um polo magnético isolado. Os polos magnéticos sempre existem formando pares. 
Quando uma barra imantada é partida ao meio, cada extremidade de cada pedaço 
constitui um polo (YOUNG, 2012).
Fontes de campo magnético
A Terra possui um campo magnético próprio. Dessa maneira, as agulhas das 
bússolas são imantadas e alinham-se com as posições geográficas da Terra. 
Conforme já mencionado, os polos iguais repelem-se e polos diferentes 
atraem-se. Dessa maneira, quando definimos a parte da agulha da bússola 
que aponta para o norte geográfico como sendo o polo norte, temos que os 
polos magnéticos na Terra são contrários aos polos geográficos. Assim, o polo 
norte geográfico é o polo sul magnético da Terra, e o polo sul geográfico é o 
polo norte magnético. 
Campo magnético e fontes de campo magnético4
196 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
O campo magnético da Terra já é conhecido há muitos séculos, porém, a expli-
cação dele não é conhecida precisamente e constitui um tema de pesquisa corrente. 
Com maior probabilidade, ele é causado por correntes elétricas intensas 
no interior da Terra, devido à rotação do núcleo líquido de ferro e níquel. A 
rotação é chamada com frequência de efeito geodínamo (BAUER, 2012).
Esse campo magnético é importantíssimo, pois nos protege de um tipo 
de energia radiante de alta energia oriunda do espaço. Essa energia radiante 
é constituída principalmente de partículas eletrizadas que são desviadas da 
superfície terrestre devido ao seu campo magnético. 
O campo magnético da Terra é distorcido por vento solar, um fluxo de partículas 
ionizadas, principalmente prótons, emitidas pelo Sol a cerca de 400 km/s. Duas faixas 
dessas partículas carregadas que foram capturadas do vento solar circulam em volta 
da Terra. Elas são denominadas cinturões de radiação de Van Allen, em homenagem 
a James A. Van Allen (1914-2006). Os cinturões de radiação de Van Allen são mais 
próximos da superfície da Terra ao redor dos polos magnéticos norte e sul, onde as 
partículas carregadas mantidas dentro dos cinturões colidem com frequência com os 
átomos da atmosfera do planeta, excitando-os. Esses átomos excitados emitem luz 
de cores diferentes e perdem energia; o resultado é a fabulosa Aurora Boreal (“luzes 
do Norte”), em altas latitudes norte, e Aurora Austral (“luzes do Sul”), em altas latitudes 
sul. As auroras não são exclusivas da Terra; elas também têm sido observadas em 
planetas externos dotados de campos magnéticos intensos, como Júpiter e Saturno.
Fonte: Euro Dicas, c2018 (texto) e Simone Gramegna/Shutterstock.com (imagem).
5Campo magnético e fontes de campo magnético
Eletromagnetismo | UNIDADE 4
Campo Magnético | PARTE 1 197
Temos, então, as fontes de campo magnético, os ímãs permanentes, como 
a magnetita, os eletroímãs, como sendo qualquer condutor percorrido por 
corrente elétrica, os astros e planetas, com os ventos solares e o campo mag-
nético terrestre. 
Assim, para calcular o campo magnético resultante, causado por mais de 
uma fonte de campo magnético, ou, então, pelo movimento de conjuntos de 
cargas elétricas, devemos entender o princípio de superposição dos campos 
magnéticos. 
Analogamente ao campo elétrico, o campo magnético total produzido por 
diversas fontes de campo magnético é a soma vetorial dos campos produzidos 
pelas fontes individuais. Dessa maneira, temos:
B = B1 + B2 + ... + Bn
As semelhanças entre o campo elétrico e o campo magnético não se restrin-
gem apenas a isso. Vamos relembrar que o campo elétrico total, associado a 
uma distribuição genérica de cargas, pode ser encontrado calculando o campo 
elétrico elementar produzido por cada elemento de carga, sendo em geometrias 
complexas, mas com distribuições simétricas podem ser encontradas pelo uso 
da lei de Gauss.
O campo magnético produzido por uma distribuição de elementos com 
simetria pode ser calculado pela lei de Ampère, análoga à lei de Gauss, que 
diz o seguinte:
∫B ∙ ds = μ0ienv
Sendo assim, é possível encontrar o campo magnético em distribuições 
de corrente, necessitando conhecer a geometria de invólucro das cargas e a 
intensidade da corrente envolvida. 
Campo magnético e fontes de campo magnético6
198 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
A Figura 3 mostra um fio longo retilíneo percorrido por uma corrente i. O campo 
magnético produzido pela corrente tem o mesmo módulo em todos os pontos situados 
a uma distância do fio, com uma simetria cilíndrica em relação a este. 
Figura 3. Corrente elétrica e campo magnético em um fio. 
Aplicando as devidas simetrias, vemos que a integral do campo magnético dá-se por:
∫ B ∙ ds = ∫ B ∙ cos θ ds = B ∫ ds = B(2πr)
Sendo a corrente envolvida pela curva igual a i, temos o lado direito da lei de Ampère 
dado por:
B(2πr) = μ0 ∙ i
Então, o campo magnético, produzido por uma corrente elétrica em um fio condutor 
retilíneo a uma distância r, é dado por:
B =
μ0i
2πr
7Campo magnético e fontes de campo magnético
Eletromagnetismo | UNIDADE 4
Campo Magnético | PARTE 1 199
Linhas de campo magnético e campo magnético 
em geometria definidas
Assim como no caso do campo elétrico, podemos representar o campo mag-
nético por meio de linhas de campo. As regras são as mesmas: (1) a direção 
da tangente a uma linha de campo magnético em qualquer ponto fornece a 
direção de B neste ponto; (2) o espaçamento das linhas representa o módulo 
de B — quanto mais intenso o campo, mais próximas estão as linhas e vice-
-versa (HALLIDAY, 2012).
Observe as Figuras 4 e 5, que representam, respectivamente, a direção 
do campo magnético, que é tangente às linhas de campo, e a relação entre a 
quantidade de linhas de campo e a intensidade do campo magnético.
Figura 4. Campo magnético e linhas de campo. 
Figura 5. Distribuição de linhas de campo. 
Campo magnético e fontes de campo magnético8
200 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
As linhas de campo magnético são sempre fechadas. O sentido das linhas 
de campo é saindo dos polos norte e entrando nos polos sul. Dessa maneira, é 
simples fazer uma analogia entre as linhas de campo elétrico e as polaridades 
das cargas elétricas envolvidas. 
Observe as linhas de campo em um ímã permanente do tipo barra: as 
linhassão fechadas e saem do polo norte do ímã e entram no polo sul, como 
visto na Figura 6, a seguir. 
Figura 6. Linhas de campo em um ímã da barra.
Para um ímã do tipo U, os mesmos princípios devem ser seguidos. Dessa 
maneira, podemos verificar que o campo magnético produzido por um ímã 
permanente do tipo U é dado conforme representação da Figura 7.
Figura 7. Linhas de campo em um ímã do tipo U.
9Campo magnético e fontes de campo magnético
Eletromagnetismo | UNIDADE 4
Campo Magnético | PARTE 1 201
Um condutor elétrico percorrido por corrente elétrica possui um campo 
magnético circular a ele e que pode ter sua direção e seu sentido determinados 
pela regra da mão direita. Se apontarmos o dedo polegar na direção da corrente 
e fecharmos os demais dedos, teremos que o campo magnético é circular 
ao condutor e tem o mesmo sentido que apontam os dedos fechados. Veja a 
representação da Figura 8.
Figura 8. Linhas de campo em um condutor retilíneo.
A intensidade do campo magnético em um ponto que dista r do condutor 
pode ser determinada por:
B =
μ0 ∙ i
2� ∙ r
As linhas de campo em uma espira condutora podem ser determinadas 
também pela regra da mão direita, sendo que o campo magnético resultante 
é a soma dos campos magnéticos de cada segmento do fio condutor. Assim, o 
campo magnético no centro de uma espira tem a direção do seu eixo central, 
e sentido saindo para cima, quando a espira é percorrida por uma corrente 
elétrica no sentido anti-horário. Veja na Figura 9. 
Campo magnético e fontes de campo magnético10
202 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Figura 9. Linhas de campo em uma espira. 
A intensidade do campo magnético no centro da espira geralmente é o 
valor mais importante para um projeto com esse dispositivo. Sendo assim, a 
intensidade do campo magnético no centro da espira circular é:
B =
μ0 ∙ i
2� ∙ r
Ao unirmos várias espiras, criamos um dispositivo chamado solenoide. 
O campo magnético produzido por este componente é de grande aplicação. 
No interior do dispositivo, o campo magnético tem intensidade praticamente 
constante e pode ser determinado por:
B = μ0 ∙ i ∙
N
L
Esse dispositivo é muito utilizado, pois o seu intenso campo magnético 
é capaz de produzir forças magnéticas também muito intensas, sendo apli-
cadas em relés eletromecânicos, disjuntores termomagnéticos, entre outras 
aplicações. A Figura 10, a seguir, apresenta um exemplo de linhas de campo 
em um solenóide.
11Campo magnético e fontes de campo magnético
Eletromagnetismo | UNIDADE 4
Campo Magnético | PARTE 1 203
Figura 10. Linhas de campo em um solenoide. 
BAUER, W.; WESTFALL, G.; DIAS, H. Física para universitários: eletricidade e magnetismo. 
Porto Alegre: McGraw-Hill, 2012.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R. Fundamentos de física, volume 3:eEletromagnetismo. 9. ed.Rio 
de Janeiro: LTC, 2012.
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. FÍSICA II : eletromagnetismo. São Paulo: Pearson, 2012.
Leituras recomendadas
FERRARO, N. G.; SOARES, P. A. T.; FOGO, R. FÍSICA básica. São Paulo: Atual, 2009.
VÁLIO, A. B. M.; FUKUI, A.; FERDINIAN, B.; OLVIVEIRA, G. A. ; MOLINA, M. M.; VENÊ. Ser 
protagonista: fíica – 3. São Paulo: Edições SM, 2016.
Campo magnético e fontes de campo magnético12
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Parte 2
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V.1 | 2021
206 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
A lei de Ampère e 
os solenoides
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Analisar a lei de Ampère, identificando os termos que compõem a 
equação.
 � Resolver o campo magnético de uma distribuição de corrente que 
apresenta simetria.
 � Determinar o campo magnético de um solenoide.
Introdução
Tão importante quanto compreender os efeitos dos campos magnéticos 
em partículas e materiais é entender o que produz campo magnético 
e como calculá-lo. Os estudos e as experiências de Ampère levaram ao 
desenvolvimento de uma lei que relaciona o campo magnético com 
correntes elétricas, proporcionando uma maneira simples de determinar 
esse campo e explorando as simetrias do problema.
Neste capítulo, você estudará a lei de Ampère e os termos que com-
põem a equação. Por meio de exemplos, você aprenderá a aplicar essa 
importante lei em inúmeras situações e presenciará todo o seu poder 
matemático ao explorar simetrias. Por fim, você conhecerá o solenoide 
e o toroide, que são arranjos de enrolamentos de fios de corrente muito 
utilizados em equipamentos industriais, circuitos elétricos e outras apli-
cações, e calculará o campo magnético em seu interior.
207
Eletromagnetismo | UNIDADE 4
A Lei de Ampère e os Solenóides | PARTE 2
1 A lei de Ampère
Um dos objetivos dos cientistas no século XIX era encontrar a relação entre a 
eletricidade e o magnetismo. Em 1819, o físico Hans Oersted fez um experi-
mento simples, mas que revelou uma fonte de campo magnético diferente do 
ímã: a corrente elétrica. Ao colocar uma bússola próxima a um fio retilíneo 
conduzindo corrente, ele percebeu que a agulha indicava um campo magné-
tico circulando ao redor desse fio em um plano perpendicular ao sentido da 
corrente, conforme representação da Figura 1. Ampère estava presente na 
reunião em que Oersted apresentou seus resultados à comunidade científica, 
em um congresso em Paris. A partir desse evento, Ampère deu sequência a 
uma série de experimentos relevantes para o eletromagnetismo (Figura 1) 
(HAYT; KEMMERLY; DURBIN, 2014).
Figura 1. Representação do experimento realizado por Oersted, mostrando que há campo 
magnético circulando ao redor de um fio de corrente.
Fonte: Adaptada de Knight (2009).
Como pode ser visto no experimento, a corrente elétrica é fonte de 
circulação de campo magnético, sempre ao longo de uma curva fechada. 
Os trabalhos e as experiências levaram Ampère a chegar à conclusão de que 
essa circulação ao longo de um caminho fechado é proporcional à intensidade 
de corrente englobada por essa curva, e a constante de proporcionalidade é μ0, 
a permeabilidade magnética do vácuo, onde μ0 = 4π × 10–7 H/m. A maneira 
que essa descoberta se equaciona é a chamada lei de Ampère, definida como:
A lei de Ampère e os solenoides2
208 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Essa equação integral, aparentemente complicada, pode ser utilizada para 
calcular o campo magnético de maneira bastante simples em sistemas de 
distribuição de corrente com algum tipo de simetria.
A grandeza permeabilidade magnética (μ) não possui uma unidade de medida es-
pecífica. No SI, pode ser representada por H/m (Henrys por metro), N/A2 (Newton por 
Ampère ao quadrado) ou, ainda, em Tm/A (Tesla metro por Ampère), sendo as três 
unidades de medida equivalentes. Use a que achar conveniente.
Termos que compõem a equação
No primeiro termo da lei de Ampère, você deve calcular uma integral de linha 
do produto escalar do campo vetorial B⃗ — o campo magnético — com o ele-
mento de linha dl⃗ . O que isso significa geometricamente? Para cada pequeno 
elemento diferencial de comprimento da linha escolhida, você multiplicará 
apenas pela componente do campo magnético perpendicular a ela. No exemplo 
a seguir, você encontrará quatro curvas tomadas em uma região de campo 
magnético uniforme e linear — duas abertas e duas fechadas — e verá como 
o cálculo de ∮ΓB⃗ ⋅ dl⃗ é feito.
Como você viu, os dois primeiros exemplos mostraram integrais de linhas 
abertas, e os dois posteriores, integrais de linhas fechadas, que iniciam e 
terminam no mesmo ponto. É esse último tipo de integral que você usará nos 
cálculos deste capítulo.
Ampère descobriu que, quando uma curva fechada — também chamada 
ampèriana — envolve uma quantidade de corrente i, o resultado do integral 
de linha é proporcional à quantidade de corrente envolvida. No exemplo 
anterior, tínhamos um campo constante e uniforme B⃗ = Bî, onde qualquer 
curva fechada levariaao mesmo resultado — ∮B⃗ ⋅ dl⃗ = 0 —, pois não há 
distribuição líquida de corrente que, envolvida pela curva, seja capaz de gerar 
esse tipo de campo magnético. 
3A lei de Ampère e os solenoides
209
Eletromagnetismo | UNIDADE 4
A Lei de Ampère e os Solenóides | PARTE 2
Para cada uma das curvas escolhidas, calcule a integral de linha ∮ΓB⃗ ⋅ dl⃗ .
Resposta:
Para o caso (a), a linha de integração é aberta e, em todo o trajeto, é paralela às linhas 
de campo. Dessa forma:
Para o caso (b), a linha de integração é aberta e composta por duas seções retas, 
fazendo um ângulo φ e α, respectivamente, com o campo magnético. 
Para o caso (c), a linha de integração é fechada, em formado retangular. Podemos 
dividir a curva em quatro trechos, analisá-los individualmente e somá-los em seguida. 
Nos trechos 1 e 3, o campo magnético é paralelo à curva, sendo o primeiro no mesmo 
sentido, e o terceiro em sentido oposto. Já nos trechos 2 e 4, o campo magnético é 
perpendicular à curva. Logo:
A lei de Ampère e os solenoides4
210 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Por fim, no caso (d), a linha de integração é fechada e tem formato circular. O campo 
magnético aponta sempre no mesmo sentido: B⃗ = Bî. Já o elemento de linha muda 
de sentido dependendo do ângulo φ, ou seja, dl⃗ = dl · âφ = rdφ · âφ = rdφ(–sen φ î + 
cos φ j ̂). Logo:
Portanto: 
O segundo ponto importante que você deve compreender para aplicar essa 
lei de forma correta é: o que é e como calcular a corrente envolvida (ienv)? 
A seguir, você verá alguns exemplos de ampèrianas enlaçando fios de corrente 
e, em seguida, como determinar a corrente envolvida. Para que esse cálculo 
seja possível, é importante que você saiba que o sentido da curva ampèriana 
determina o sentido positivo das correntes.
Com os dedos da sua mão direita, acompanhe o sentido da curva de 
integração:
 � se a curva for no sentido anti-horário, seu polegar apontará para cima 
— nesse caso, correntes que saem da página são positivas, e as que 
entram, negativas;
 � se a curva for no sentido horário, seu polegar apontará para baixo — 
logo, as correntes positivas são aquelas que entram no plano da página, 
enquanto as que saem são negativas.
5A lei de Ampère e os solenoides
211
Eletromagnetismo | UNIDADE 4
A Lei de Ampère e os Solenóides | PARTE 2
Aplicando a lei de Ampère, calcule a integral de linha ∮ΓB⃗ ⋅ dl⃗ para cara uma das 
ampèrianas a seguir em função das correntes envolvidas.
Resposta:
Primeiramente, você deve definir o sentido positivo de corrente para cada ampèriana. 
Para as curvas C1 e C2, ambas no sentido anti-horário, o sentido positivo da corrente é 
quando ela “sai” da página, enquanto para a curva C3, no sentido horário, a corrente 
positiva é aquela que “entra” na página. Com o sentido positivo bem definido, podemos 
calcular ∮ΓB⃗ ⋅ dl⃗ para cada curva.
 � Curva C1:
 � Curva C2:
 � Curva C3:
A lei de Ampère e os solenoides6
212 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Certamente você deve ter percebido que é bastante simples determinar 
a corrente envolvida por qualquer curva escolhida. No entanto, no exemplo 
anterior, as curvas englobam todo o condutor. Como você deve proceder quando 
a curva envolve apenas uma parte dele? Nesse caso, é importante que você 
tenha em mente o conceito de densidade superficial de corrente.
Vetor densidade superficial de corrente – J⃗
Quando um condutor transporta determinada quantidade de corrente i, não 
sabemos, em princípio, por onde os elétrons (ou outros portadores de carga) 
fluem com relação à seção transversal do fio. O vetor densidade superficial 
de corrente é que traz essa informação.
Se um condutor circular de raio R, como o da Figura 2, transporta corrente 
de forma uniformemente distribuída, então o módulo da densidade de corrente 
é constante e definido como:
Sua unidade de medida, no SI, é A/m2.
Figura 2. Fio de seção transversal circular, transportando cor-
rente uniformemente distribuída. 
7A lei de Ampère e os solenoides
213
Eletromagnetismo | UNIDADE 4
A Lei de Ampère e os Solenóides | PARTE 2
A corrente envolvida por uma curva ampèriana Γ interna ao condutor é 
o fluxo da densidade de corrente que atravessa a superfície delimitada por 
essa curva. Ou seja:
onde dS é o elemento diferencial de área. Se J⃗ é constante e perpendicular à 
superfície, então:
Dependendo do condutor, essa distribuição de fluxo de cargas pode não 
ser uniforme. É bastante comum que a corrente elétrica seja conduzida com 
mais intensidade quando mais próxima das bordas do condutor — efeito que 
acontece principalmente em condutores de corrente alternada.
Nas linhas de transmissão CA de energia elétrica e nos condutores de corrente alternada 
de alta frequência, a corrente elétrica não flui de forma uniforme. Ela se concentra nas 
bordas do condutor, a uma “profundidade de penetração”. Por conta do efeito pelicular 
(do inglês skin effect), o centro do condutor de alumínio em linhas de transmissão é 
substituído por uma alma de aço, aumentando a resistência mecânica e diminuindo 
custos, sem influenciar na resistência elétrica. Saiba mais em Fundamentos de Eletricidade 
(FOWLER, 2013, v. 2, p. 300).
A lei de Ampère e os solenoides8
214 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Em um condutor circular de raio R, a densidade superficial de corrente varia com o 
quadrado do raio. Ou seja, J = cr2, onde c é uma constante. Qual é a corrente total que 
percorre o condutor?
Resposta:
Para encontrar a corrente total, basta calcular a integral: i = ∫Γ J · dS, de r = 0 até r = R. 
O elemento de superfície em coordenadas polares é dS = rdθdr = 2πrdr. Substituindo 
na integral, temos:
Na próxima seção, você verá como aplicar essa equação e verá que ela é 
especialmente útil por facilitar o cálculo do campo magnético em sistemas 
que apresentam simetrias.
2 Campo magnético de uma distribuição 
de corrente simétrica
Como você já deve saber, correntes elétricas são fontes de campo magnético, 
que circulam ao seu redor no sentido dado pela regra da mão direita. A lei de 
Ampère proporciona uma maneira fácil e eficaz de calcular uma expressão 
para esse campo magnético quando o sistema apresenta simetrias que podem 
ser exploradas. Um fio reto, longo, de seção reta circular e corrente i é um 
exemplo, como mostrado na Figura 3, a seguir. 
9A lei de Ampère e os solenoides
215
Eletromagnetismo | UNIDADE 4
A Lei de Ampère e os Solenóides | PARTE 2
Figura 3. Fio de seção transversal circular, transportando corrente uni-
formemente distribuída. Em qualquer ampèriana de simetria cilíndrica 
tomada, centrada no eixo, seja ela externa ou interna ao condutor, as 
linhas de campo magnético têm a mesma direção que o elemento de 
linha e o módulo constante.
O fio possui simetria cilíndrica, e o campo magnético gerado pela corrente 
tem mesmo módulo em todos os pontos ao redor do condutor à mesma distância 
r. Logo, é conveniente que você escolha uma ampèriana de mesma simetria — 
no caso, uma curva fechada circular — e se aproveite de o campo magnético 
ser constante em todos os pontos e ter mesma direção de dl⃗ . Quando r > R, 
ampèriana na região externa do condutor, temos que:
Logo, o campo magnético externo a um condutor reto e longo é:
onde r é a distância radial calculada a partir do centro do fio. 
A lei de Ampère e os solenoides10
216 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Para a região interna ao fio, ou seja, quando r < R, você precisa determinar 
a corrente envolvida. Considerando um condutor maciço com distribuição 
uniforme de corrente, temos que:
Ao isolar B na equação, você obterá o campo magnético em um condutor 
reto, longo e de distribuição uniforme de corrente:
Quando r = R, na borda do fio condutor, ambos os resultados devem levar 
à mesma resposta, o que ocorre nesse caso e garante a continuidade do campo 
magnético. Podemos representar esse campo em um gráfico. Na Figura 4, 
você pode observar que, na região interna do fio, o campo magnético cresce 
linearmentecom r. Ao atravessar a borda, o campo começa a decrescer com 
o inverso do quadrado da distância, como já era esperado.
Figura 4. Gráfico do campo magnético de um fio de seção transversal 
circular, transportando corrente uniformemente distribuída, em função 
da distância radial a partir de seu eixo de simetria.
11A lei de Ampère e os solenoides
217
Eletromagnetismo | UNIDADE 4
A Lei de Ampère e os Solenóides | PARTE 2
Na próxima seção, você explorará mais simetrias e determinará o campo 
magnético de solenoides e toroides — enrolamentos típicos em muitas apli-
cações práticas.
3 Campo magnético de solenoides
Quando você observar um circuito eletrônico, um transformador, indutores, 
motores elétricos, dentre outros dispositivos, é muito provável que você en-
contre um enrolamento de fios em formato helicoidal, como várias espiras 
circulares muito próximas. Em alguns casos, você verá esses enrolamen-
tos, também conhecidos como bobinas, com eixo retilíneo — os solenoides. 
Em outros casos, você verá enrolamentos em formato de rosquinha ou pneu, 
com eixo circular. Este último tipo de enrolamento é chamado de toroide, pois, 
matematicamente, essa geometria é conhecida como “toro” ou torus. Essas 
geometrias são interessantes para se gerar campo magnético uniforme no seu 
interior — você aprenderá como calculá-lo.
Solenoides
Quando queremos gerar um campo magnético uniforme, com mesmo módulo 
e mesma orientação em qualquer ponto de determinada região do espaço, 
utilizamos os solenoides — bobinas de fios enrolados de forma helicoidal 
transportando uma corrente i, que circula por cada espira do enrolamento. 
Quando maior for o número de voltas e camadas, mais intenso será o campo 
magnético em seu interior.
Quando as espiras de um solenoide estão muito próximas, e seu compri-
mento é muito maior que o diâmetro, você poderá considerá-lo como ideal. 
Nesse caso, o campo magnético pode ser considerado uniforme em sua região 
interna e nulo na região externa. Ao aplicar a lei de Ampère, você encontrará de 
forma simples uma expressão para o campo magnético dentro desse dispositivo.
A lei de Ampère e os solenoides12
218 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Figura 5. Representação gráfica de um solenoide ideal, onde o campo é uniforme em seu 
interior e nulo no exterior.
A Figura 5 mostra uma seção transversal de um solenoide ideal, onde a 
corrente elétrica que circula nos fios “sai” da página na região superior e 
“entra” na parte inferior. Pela regra da mão direita, você deve recordar que 
o sentido da corrente proverá o sentido do momento de dipolo magnético de 
cada espira e, como consequência, o sentido do vetor campo magnético. Para 
calcular o campo magnético, você pode desenhar uma ampèriana como a 
da figura, retangular e orientada no sentido anti-horário, e analisar o campo 
magnético em cada trecho:
Como na região dos trechos 4 → 1 o campo é nulo, as integrais também 
se anularão. Os elementos de linha das integrais de 1 → 2 e 3 → 4 são per-
pendiculares às linhas de campo magnético, fazendo com que as integrais 
também se anulem, já que se trata de um produto escalar. Resta apenas a 
integral entre 2 → 3:
13A lei de Ampère e os solenoides
219
Eletromagnetismo | UNIDADE 4
A Lei de Ampère e os Solenóides | PARTE 2
onde N é o número de espiras envolvidas pela ampèriana. Portanto, o campo 
magnético em um solenoide ideal é dado por:
onde n = N/l é a densidade linear de espiras, informadas usualmente por 
voltas/espiras por metro, no SI.
Apesar de ser um resultado idealizado, ele continua válido para as regiões 
mais próximas ao eixo central de um solenoide real e longe das extremidades. 
A Figura 6, a seguir, mostra como se comportam as linhas de campo magnético 
em um solenoide real, semelhante ao ímã permanente em barra. 
Figura 6. Linhas de campo de um solenoide real de 600 espiras. A corrente no topo é dirigida 
para fora da página, enquanto na parte de baixo está orientada para dentro da página. Veja 
que, no centro do solenoide, as linhas de campo são bem mais intensas e praticamente 
uniformes, com distorções nas regiões próximas às extremidades.
Fonte: Adaptada de Bauer, Westfall e Dias (2012). 
A lei de Ampère e os solenoides14
220 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Por esse motivo, solenoides são muito utilizados para a construção de ele-
troímãs, substituindo a função dos ímãs em motores elétricos, geradores de 
energia, relés, fechaduras eletrônicas, cabeças de leitura e gravação de discos 
rígidos, válvulas eletromecânicas, dentre diversas outras aplicações. Os cálculos 
aqui apresentados consideram que, no interior do solenoide, há ar, e, por isso, 
a constante utilizada é a permeabilidade magnética do vácuo (μ0). Caso haja um 
núcleo ferromagnético em seu interior, muito comum em várias das aplicações 
citadas, é necessário substituir a constante original pela permeabilidade mag-
nética do material (μ) que, em geral, é bem maior que a do vácuo. 
Toroides
Se você pegar as extremidades de um solenoide e uni-las, formará o que 
conhecemos como toroide, muito utilizado como transformador em circuitos 
elétricos. Calcular o campo magnético em um toroide é bastante simples, pois 
você pode explorar a simetria do problema escolhendo uma curva ampèriana 
adequada. O exemplo a seguir mostra o cálculo do campo magnético no eixo 
central de simetria do dispositivo.
Um toroide de raio médio rm = 2 cm é montado utilizando 1000 voltas de um condutor 
transportando uma corrente i = 200 mA. Qual é o campo magnético no centro do toro?
15A lei de Ampère e os solenoides
221
Eletromagnetismo | UNIDADE 4
A Lei de Ampère e os Solenóides | PARTE 2
Neste capítulo, você conheceu a lei de Ampère e aprendeu a utilizá-la, 
compreendendo com detalhes o significado de cada um de seus termos. 
A aplicação dessa lei facilita o cálculo do campo magnético de configurações 
que apresentam simetria. Com ela, você pode calcular o campo produzido 
por um fio longo e retilíneo de corrente, além de determinar a expressão do 
campo no interior de solenoides e toroides, que são configurações utilizadas 
em diversas aplicações práticas. Com esse conhecimento, você será capaz de 
projetar equipamentos que necessitem de fontes de campo magnético — como 
as grandes bobinas em equipamentos de ressonância magnética —, calcular o 
campo gerado por outros tipos de geometria e compreender o funcionamento 
de diversos dispositivos que fazem uso dos conceitos aqui estudados.
Resposta:
Para calcular o campo magnético no interior de um toroide, você pode aproveitar 
a simetria e utilizar uma ampèriana circular que passe por qualquer ponto interno, 
concêntrico a ele. A curva enlaçará todos as voltas do condutor, mas apenas em um 
sentido. Definindo corretamente o sentido positivo da corrente com base na sua escolha 
de ampèriana e, em seguida, utilizando a lei de Ampère, você terá:
Portanto: 
onde r é a distância entre o eixo que passa pelo centro da curva de integração e o 
ponto de interesse até o limite do interior do dispositivo. Na região externa, o campo 
magnético é nulo, pois a corrente total envolvida também é nula.
Substituindo os valores, temos que:
A lei de Ampère e os solenoides16
222 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
BAUER, W.; WESTFALL, G. D.; DIAS, H. Física para universitários: eletricidade e magnetismo. 
Porto Alegre: AMGH, 2012.
HAYT JR., W. H.; KEMMERLY, J. E.; DURBIN, S. M. Análise de circuitos em engenharia. 8. ed. 
Porto Alegre: AMGH, 2014.
KNIGHT, R. D. Física: uma abordagem estratégica. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2009. 
(Eletricidade e Magnetismo, v. 3).
Leituras recomendadas
FEYNMAN, R. B.; LEIGHTON, R. B.; SANDS, M. Lições de física de Feynman: a nova edição 
do milênio. Porto Alegre: Bookman, 2019. 3 v.
FOWLER, R. Fundamentos de eletricidade. 7. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013. (Corrente 
Alternada e Instrumentos de Medição, v. 2).
WENTWORTH, S. M. Eletromagnetismo aplicado: abordagem antecipada das linhas de 
transmissão. PortoAlegre: Bookman, 2008.
17A lei de Ampère e os solenoides
ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO 
PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.
PREZADO ESTUDANTE
Parte 3
Forças Magnéticas e Torques
 
O conteúdo deste livro 
é disponibilizado
por SAGAH.
unidade 
4
V.1 | 2021
224 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
1018 Física: Uma Abordagem Estratégica
33.7 Força magnética sobre uma carga em 
movimento
É hora de mudarmos nosso foco de como os campos magnéticos são gerados para como 
os campos magnéticos exercem forças e torques. Oersted descobriu que uma corrente 
em um fio causa um torque magnético exercido sobre uma agulha de bússola posicio-
nada próxima. Tendo ouvido sobre a descoberta de Oersted, Andrè-Marie Ampère, de 
quem é tirado o nome da unidade de corrente do SI, argumentou que a corrente atuava 
como um ímã. Se isso fosse verdadeiro, os dois fios condutores de corrente deveriam 
exercer forças magnéticas um sobre o outro.
Para descobrir a verdade, Ampère confeccionou dois fios paralelos que podiam con-
duzir grandes correntes, no mesmo sentido ou em sentidos opostos (“correntes antipara-
lelas”). A FIGURA 33.32 mostra o resultado de seu experimento. Note que as correntes 
“iguais” atraem os fios, e as “opostas”, os repelem. Isto corresponde ao oposto do que 
esperávamos de dois fios eletricamente carregados quanto a exercerem forças magnéti-
cas um sobre o outro. O experimento de Ampère mostrou que todo campo magnético 
exerce força sobre uma corrente.
Força magnética
Toda corrente consiste de cargas em movimento. O experimento de Ampère implica que 
um campo magnético exerce força sobre uma carga em movimento. Isto é verdadeiro, 
embora a forma exata da lei de força não fosse descoberta até fins do século XIX. A for-
ça magnética revela-se dependente não apenas das cargas envolvidas e de suas velcida-
des, mas também da orientação do vetor velocidade em relação ao campo magnético. A 
FIGURA 33.33 mostra o resultado de três experimentos para observar a força magnética.
Não há força sobre uma 
carga que se move 
paralelamente a 
A força magnética é 
perpendicular a e 
Seu módulo é qvBsen�.
A força magnética é máxima 
quando a carga se move 
perpendicularmente a
Plano que 
contém 
e 
FIGURA 33.33 A relação entre , e .
Se você comparar o experimento da direita na Figura 33.33 com o da Figura 33.9, 
verá que a relação entre , e é exatamente a mesma relação geométrica entre , 
e . A força magnética sobre uma carga q enquanto ela se move através do campo 
magnético com uma velocidade depende do produto vetorial entre e . A força 
magnética sobre uma partícula carregada em movimento pode ser escrita
 
 (qvBsen�, orientação dada pela regra da mão direita)
 
(33.17)
onde � é o ângulo formado entre e .
A regra da mão direita é a do produto vetorial, ilustrada na FIGURA 33.34. Note que a 
força magnética sobre uma partícula carregada em movimento é simultaneamente 
perpendicular a e a .
A força magnética possui diversas propriedades importantes:
 1. Somente uma carga em movimento experimenta uma força magnética. Não existe 
força magnética exercida sobre cargas em repouso (v � 0) na presença de um 
campo magnético.
 2. Não há força sobre uma carga em movimento paralelo (� � 0�) ou antiparalelo (� 
� 180�) a um campo magnético.
 3. Quando existir uma força, ela será perpendicular a e simultaneamente.
 4. A força exercida sobre uma carga negativa tem sentido oposto ao de .
 5. Para uma carga em movimento perpendicular a (� � 90�), o módulo da força 
magnética é F � |q|vB.
Correntes de mesmo sentido se atraem
Correntes de sentidos opostos se repelem
FIGURA 33.32 O experimento de 
Ampère para estudar as forças entre fios 
condutores de corrente.
13.4
FIGURA 33.34 A regra da mão direita para 
forças magnéticas.
225
Eletromagnetismo | UNIDADE 4
Forças Magnéticas e Torques | PARTE 3
CAPÍTULO 33 ■ O Campo Magnético 1019
A FIGURA 33.35 mostra a relação entre , e para cinco cargas em movimento. (A 
fonte do campo magnético não é mostrada na figura, somente o próprio campo.) Você 
pode verificar a inerente tridimensionalidade do magnetismo, com a força perpendicular 
a e simultaneamente. A força magnética é muito diferente da força elétrica, que é 
sempre paralela ao campo elétrico.
aponta para dentro da página
FIGURA 33.35 Forças magnéticas sobre cargas em movimento.
EXEMPLO 33.10 A força magnética sobre um elétron
Um fio longo conduz uma corrente de 10 A no sentido da esquerda 
para a direita. Um elétron desloca-se para a direita 1,0 cm acima do 
fio, com velocidade de 1,0 � 107 m�s. Quais são o módulo, a direção 
e o sentido da força magnética exercida sobre o elétron?
MODELO O campo magnético é o gerado por um fio longo e reto.
Elétron Campo magnético
criado pela corrente IF
B
B
v
I
-
FIGURA 33.36 Um elétron em movimento paralelo a um fio 
condutor de corrente.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 33.36 mostra a corrente e um elétron que se 
move para a direita. A regra da mão direita nos diz que o campo mag-
nético criado pelo fio está orientado para fora da página e, portanto, o 
elétron está se movendo perpendicularmente ao campo.
RESOLUÇÃO A carga do elétron é negativa; assim, a direção da força é 
oposta a . A regra da mão direita mostra que aponta para 
baixo, em direção ao fio e, assim, aponta para cima, para longe do 
fio. O módulo da força é |q|vB � evB. O campo é o de um fio longo 
e reto:
Assim, o módulo da força exercida sobre o elétron é
A força sobre o elétron é � (3,2 � 10�16 N, para cima)
AVALIAÇÃO Esta força desviará o elétron para longe do fio.
Neste ponto, podemos chegar a uma interessante e importante conclusão. Você viu 
que o campo magnético é criado por cargas em movimento. Agora você também sabe 
que as forças magnéticas são exercidas sobre cargas em movimento. Assim, parece que 
o magnetismo é uma interação entre cargas em movimento. Quaisquer duas cargas, 
em movimento ou estacionárias, interagem uma com a outra através do campo elétrico. 
Além disso, duas cargas em movimento também interagem entre si através do campo 
magnético. Esta observação fundamental é facilmente esquecida à medida que falamos 
sobre correntes, ímãs, torques e outros fenômenos do magnetismo. Mas a característica 
mais básica subjacente a todos estes fenômenos é que eles envolvem uma interação entre 
as cargas em movimento.
Movimento ciclotron
Muitas aplicações importantes do magnetismo envolvem o movimento de partículas car-
regadas em um campo magnético. Todo tubo de imagem de televisão funciona através do 
emprego de campos magnéticos para direcionar os elétrons enquanto eles se movem atra-
vés do vácuo, dentro do canhão de elétrons, até chegar à tela. Geradores de microondas, 
usados em aplicações que vão desde fornos a radares, empregam um dispositivo denomi-
nado magnetron, no qual elétrons oscilam rapidamente em um campo magnético.
Você acabou de ver que não existe força exercida sobre uma partícula que tenha ve-
locidade paralela ou antiparelela a um campo magnético. Conseqüentemente, nenhum 
campo magnético tem efeito sobre uma carga que se movimente paralela ou anti-
paralelamente ao campo. Para compreender o movimento de partículas carregadas na 
presença de campos magnéticos, basta considerar apenas seu movimento perpendicular 
ao campo.
Um feixe de elétrons descreve um 
movimento circular na presença de um 
campo magnético.
226 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
1020 Física: Uma Abordagem Estratégica
A FIGURA 33.37 mostra uma carga positiva q movendo-se com velocidade em um 
plano perpendicular a um campo magnético uniforme . De acordo com a regra da mão 
direita, a força magnética sobre essa partícula é perpendicular à sua velocidade . Uma 
força que é sempre perpendicular a faz variar a orientação de movimento, desviando a 
partícula lateralmente, mas não é capaz de fazer variar a velocidade da partícula. Assim, 
toda partícula em movimento perpendicular a um campo magnético uniforme des-
creve a um movimentocircular uniforme. Esse movimento é chamado de movimento 
ciclotron da partícula carregada em um campo magnético.
NOTA � Se a carga for negativa, ela orbitará em sentido oposto àquele mostrado na 
Figura 33.37 para o caso de uma carga positiva. �
Você já viu muitas analogias para o movimento ciclotron neste texto. Para uma mas-
sa em movimento na extremidade de uma corda, a tensão é sempre perpendicular a . 
Para um satélite em uma órbita circular, a força gravitacional é sempre perpendicular a 
. Agora, para uma partícula carregada se movendo em um campo magnético, é a força 
magnética de intensidade F � qvB que aponta em direção ao centro do círculo e faz com 
que a partícula tenha uma aceleração centrípeta.
A segunda lei de Newton para o movimento circular, que você aprendeu no Ca-
pítulo 8, é
 
(33.18)
Assim, o raio da órbita ciclotron é
 
(33.19)
A dependência inversamente proporcional a B indica que o tamanho da órbita pode ser 
diminuído por meio do aumento da intensidade do campo magnético.
Podemos também determinar a freqüência do movimento ciclotron. De seu recente 
estudo sobre o movimento circular, lembre-se de que a freqüência de revolução f está 
relacionada à velocidade e ao raio por f � v�2�r. Um rearranjo da Equação 33.19 nos 
fornece a freqüência ciclotron:
 
(33.20)
onde a razão q�m é a razão carga-massa da partícula. Note que a freqüência ciclotron 
depende da razão carga-massa e da intensidade do campo magnético, mas não, da velo-
cidade da carga.
EXEMPLO 33.11 O raio do movimento ciclotron
Na FIGURA 33.38, um elétron é acelerado, desde o repouso, por meio de 
uma diferença de potencial de 500 V e, a seguir, é injetado em um cam-
po magnético uniforme. Uma vez na presença do campo magnético, ele 
completa meia revolução em 2,0 ns. Qual é o raio de sua órbita?
FIGURA 33.38 Um elétron é acelerado e, depois, é injetado em um 
campo magnético.
MODELO A energia é conservada enquanto o elétron é acelerado 
pela diferença de potencial. Na presença do campo magnético, o 
elétron, então, passa a descrever o movimento ciclotron, embora 
complete apenas meia revolução até colidir com o eletrodo de ace-
leração.
RESOLUÇÃO O elétron acelera desde o repouso (vi � 0 m�s), onde Vi � 
0 V, para vf, onde Vf � 500 V. Podemos usar a conservação da energia, 
Kf � qVf � Ki � qVi, para determinar a velocidade vf com a qual ele 
entra no campo magnético:
 é perpendicular a
entra na página
A força magnética é sempre perpendicular
a v, fazendo com que a partícula se
mova em um círculo.
FIGURA 33.37 O movimento ciclotron de 
uma partícula carregada em um campo 
magnético.
13.7, 13.8
227
Eletromagnetismo | UNIDADE 4
Forças Magnéticas e Torques | PARTE 3
CAPÍTULO 33 ■ O Campo Magnético 1021
O raio ciclotron no campo magnético é rcic � mv�eB, mas primeiro 
precisamos determinar a intensidade do campo. Se não fosse o ele-
trodo, o elétron completaria o movimento circular com período T � 
4,0 ns. Portanto, a freqüência ciclotron é f � 1�T � 2,5 � 108 Hz. 
Podemos usar a freqüência ciclotron para determinar a intensidade do 
campo magnético como Assim, o raio da órbita do elétron é
A FIGURA 33.39a mostra uma situação mais geral, em que a velocidade da partícula 
carregada não é paralela nem perpendicular a . O componente de paralelo a não 
é afetada pelo campo, portanto a partícula carregada gira ao redor das linhas de campo 
magnético em uma trajetória helicoidal. O raio da hélice é determinado por , o compo-
nente de perpendicular a .
As partículas carregadas
espiralam ao redor das
linhas de campo magnético.
Próximo aos pólos, o campo magnético
da Terra conduz as partículas para dentro
da atmosfera, produzindo a aurora.
A aurora vista do espaço
FIGURA 33.39 Em geral, partículas carregadas giram em trajetórias helicoidais ao redor das 
linhas de campo magnético. Este movimento é responsável pela aurora da Terra.
O movimento de partículas carregadas em um campo magnético é responsável 
pela aurora da Terra. Partículas de alta energia e radiação que jorram para fora do Sol, 
formando o que se chama de vento solar, criam íons e elétrons ao se chocarem com 
as moléculas da alta atmosfera. Algumas dessas partículas carregadas ficam presas no 
campo magnético da Terra, criando o que é conhecido como o cinturão de radiação 
de Van Allen.
Como mostra a FIGURA 33.39b, os elétrons giram ao longo das linhas do campo mag-
nético até que o campo os conduza para dentro da atmosfera. A forma do campo magné-
tico da Terra é tal que a maioria dos elétrons adentra na atmosfera em uma região circu-
lar ao redor do pólo norte magnético e em outra equivalente, ao redor do pólo sul 
magnético. Lá, eles colidem com os átomos de oxigênio e nitrogênio, excitando-os e 
fazendo com que emitam a luz da aurora. A FIGURA 33.39c mostra uma imagem obtida do 
espaço, em cores falsas, da luz ultravioleta emitida pela aurora.
PARE E PENSE 33.5 Um elétron se move perpendicularmente a um 
campo magnético. Qual é o sentido de ?
 a. Para a esquerda b. Para cima c. Para dentro da página
 d. Para a direita e. Para baixo f. Para fora da página
A bonita aurora boreal, ou luzes do norte, 
deve-se ao campo magnético da Terra.
228 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
1024 Física: Uma Abordagem Estratégica
condutores pobres, com menores densidades de portadores de carga. Um teste de labo-
ratório para medição de intensidades de campo magnético, chamado de teste Hall, mede 
�VH para um condutor pobre cuja densidade de portadores de carga seja conhecida. O 
campo magnético, então, é determinado a partir da Equação 33.24.
EXEMPLO 33.12 Medindo o campo magnético
Um teste Hall é realizado com uma tira do metal bismuto com es-
pessura de 0,15 mm e largura de 5,0 mm. O bismuto é um condutor 
pobre, com densidade de portadores de carga de 1,35 � 1025 m�3. 
A voltagem Hall no teste é de 2,5 mV quando a corrente através da 
amostra é de 1,5 A. Qual é a intensidade do campo magnético e qual é 
a intensidade do campo elétrico no interior do bismuto?
VISUALIZAÇÃO A tira de bismuto se parece com a da Figura 33.42a. A 
espessura é t � 1,5 � 10�4 m e a largura é w � 5,0 � 10�3 m.
RESOLUÇÃO A Equação 33.24 fornece a voltagem Hall. Rearranjando 
a equação, obtemos que o campo magnético é
O campo elétrico criado no interior do bismuto pelo excesso de carga 
sobre sua superfície é
AVALIAÇÃO Uma intensidade de 0,54 T é típica de um ímã de labora-
tório.
33.8 Forças magnéticas sobre fios condutores 
de corrente
A observação de Ampère sobre as forças magnéticas entre fios condutores de corrente 
motivou-nos a examinar as forças sobre cargas em movimento. Agora estamos prontos 
para aplicar este conhecimento ao experimento de Ampère. Como primeiro passo, va-
mos encontrar a força exercida por um campo magnético uniforme sobre um longo fio 
reto pelo qual flui uma corrente I em presença do campo. Como mostra a FIGURA 33.43a, 
não existe força sobre um fio condutor de corrente paralelo ao campo magnético. Isso 
não deveria constituir uma surpresa, pois vem do fato de que não existe força sobre uma 
partícula carregada que se move paralelamente a .
A FIGURA 33.43b mostra um fio perpendicular ao campo magnético. Pela regra da mão 
direita, cada carga da corrente experimenta uma força de módulo igual a qvB, direciona-
da para a esquerda. Conseqüentemente, todo o comprimento do fio no interior do campo 
magnético experimenta uma força orientada para a esquerda que é simultaneamente per-
pendicular à direção da corrente e à direção do campo.
Para determinar o módulo da força, devemos relacionar a corrente I no fio à carga q 
que se move pelo mesmo. A FIGURA 33.44 mostra um segmento de um fio, de comprimen-
to l, que conduz uma corrente I. Esta corrente, por definição, é a quantidade de carga q 
em movimento neste segmento dividida pelo tempo �t decorrido para que ela flua atra-
vés do segmento: I � q��t. O tempo requerido é �t � l�v, resultando em
Assim, Il � qv. Se definirmos o vetor com módulo igual al e com a orientação de , a da 
corrente, temos então . Substituindo isto por na equação da força ,
obtemos que a força magnética sobre um fio condutor de corrente é dada por
 
 (IlBsen�, orientação dada pela regra da mão direita)
 
(33.25)
onde � é o ângulo formado entre (com a orientação da corrente) e . Como aparte, 
você pode verificar na Equação 33.25 que o campo magnético B deve ter como unidade 
o N�A. Isto se deve ao que definimos na Seção 33.3, ou seja, 1 T � 1 N�A.
NOTA � A familiar regra da mão direita se aplica ao fio condutor de corrente. Orien-
te seu polegar na direção e sentido da corrente (paralelo a ) e seu dedo indicador 
na direção de . Seu dedo médio, então, apontará na direção e no sentido da força 
exercida sobre o fio. �
Não existe força
sobre uma corrente
paralela ao campo
magnético.
Uma corrente perpendi-
cular ao campo experi-
menta uma força com a
orientação dada pela
regra da mão direita.
FIGURA 33.43 Força magnética sobre um fio 
condutor de corrente.
Carga q
Uma corrente é formada por portadores
de carga q que se movem com velocidade v.
FIGURA 33.44 Duas maneiras de conceber 
uma corrente.
229
Eletromagnetismo | UNIDADE 4
Forças Magnéticas e Torques | PARTE 3
CAPÍTULO 33 ■ O Campo Magnético 1025
EXEMPLO 33.13 Levitação magnética
O campo magnético uniforme de 0,10 T da FIGURA 33.45 é horizontal, 
paralelo ao chão. Um segmento reto de fio de cobre, com diâmetro de 
1,0 mm e também paralelo ao chão, é perpendicular ao campo mag-
nético. Que corrente fluindo através do fio, e em que sentido, fará o 
mesmo “flutuar” no campo magnético?
FIGURA 33.45 Levitação magnética.
MODELO O fio flutuará no campo magnético se a força magnética 
exercida sobre o fio apontar para cima e tiver módulo igual a mg, 
permitindo-lhe equilibrar a força gravitacional orientada para baixo.
RESOLUÇÃO Podemos usar a regra da mão direita para determinar qual 
orientação da corrente resultará em uma força orientada para cima. 
Com apontando para longe de nós, o sentido da corrente deve ser da 
esquerda para a direita. As forças se equilibrarão quando
onde � � 8.920 kg�m3 é a densidade do cobre. O comprimento l do fio 
é simplificado, levando-nos a
Uma corrente de 0,69 A orientada da esquerda para a direita levitará 
o fio no campo magnético.
AVALIAÇÃO Uma corrente de 0,69 A é bastante plausível, mas esta 
idéia será útil apenas se pudermos ter a corrente dentro e fora deste 
segmento de fio. Na prática, o faríamos com fios que viessem por 
baixo da página. Os fios de entrada e de saída seriam paralelos a 
e não experimentariam uma força magnética. Embora este exemplo 
seja muito simples, ele constitui a base para aplicações como a levita-
ção magnética de trens.
Força entre dois fios paralelos
Agora consideremos o arranjo experimental de Ampère, com dois fios paralelos de com-
primento l distanciados por d. A FIGURA 33.46a mostra as correntes I1 e I2 no mesmo sen-
tido; a FIGURA 33.46b mostra as correntes em sentidos opostos. Assumiremos que os fios 
sejam suficientemente longos para nos permitir o uso do resultado anterior para o campo 
magnético criado por um longo fio reto: B � �0I�2�d.
Correntes no mesmo sentido
Campo magnético B
2
 criado pela corrente I
2
2 sobre 1 2 sobre 1
1 sobre 2 1 sobre 2
2 sobre 1 2 sobre 1
1 sobre 2 1 sobre 2Campo magnético B
1
 criado pela corrente I
1
Correntes em sentidos opostos
FIGURA 33.46 Forças magnéticas entre fios condutores de corrente paralelos.
Como mostra a Figura 33.46a, a corrente I2 no fio inferior cria um campo magnético 
 na posição do fio superior. O campo aponta para fora da página, perpendicular-
mente à corrente I1. É o campo , criado pelo fio inferior, que exerce uma força 
magnética sobre o fio superior.
Usando a regra da mão direita, você pode verificar que a força exercida sobre o fio 
superior está orientada para baixo, atraindo-o, deste modo, em direção ao fio inferior. O 
campo criado pela corrente inferior não é uniforme, mas é igual em todos os pontos ao 
longo do fio superior, pois entre si os dois fios são paralelos. Conseqüentemente, pode-
mos usar o campo criado por um fio longo e reto para determinar a força magnética exer-
cida pelo fio inferior sobre o superior quando eles estão separados por uma distância d:
 
(força entre dois fios paralelos)
 
(33.26)
13.5
230 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
1026 Física: Uma Abordagem Estratégica
Como exercício, tente convencer-se de que a corrente no fio superior exerce uma 
força magnética orientada para cima sobre o fio inferior, com exatamente o mesmo mó-
dulo. Você pode também convencer-se, por meio do uso da regra da mão direita, de que 
as forças são repulsivas e tendem a afastar os fios um do outro quando as duas correntes 
tiverem sentidos opostos.
Assim, dois fios paralelos exercem forças de mesma intensidade e opostas, um sobre 
o outro, como requerido pela terceira lei de Newton. Fios paralelos que conduzem 
correntes no mesmo sentido se atraem; fios paralelos conduzindo correntes em sen-
tidos opostos se repelem.
EXEMPLO 33.14 Uma balança de corrente
Dois fios rígidos e paralelos, com 50 cm de comprimento cada, estão co-
nectados a molas em suas extremidades. Cada mola tem 5,0 cm de com-
primento, quando não estão esticadas, e uma constante de mola igual a 
0,025 N�m. Os fios se empurram para longe um do outro quando uma 
corrente flui ao longo do caminho fechado. Que intensidade de corrente 
será necessária para esticar as molas até um comprimento de 6,0 cm?
Fsp Fsp
Fmola
I
FIGURA 33.47 Os fios condutores de corrente do Exemplo 33.14.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 33.47 mostra o “circuito”. As molas são condu-
toras, permitindo que uma corrente flua ao longo do caminho fechado. 
Em equilíbrio, as forças magnéticas repulsivas entre os fios são com-
pensadas pelas forças restauradoras Fmola � k�y exercidas pelas molas.
RESOLUÇÃO A Figura 33.47 representa as forças exercidas sobre o fio 
inferior. A força resultante é nula, portanto Fm � 2Fmola. A força repul-
siva entre os fios é dada pela Equação 33.26, com I1 � I2 � I:
onde k é a constante da mola e �y � 1,0 cm é a quantidade pela qual 
cada mola é esticada. Isolando a corrente, obtemos
AVALIAÇÃO Dispositivos em que uma força magnética equilibra uma 
força mecânica são chamados de balanças de corrente. Eles podem 
ser usados para medir correntes com muita precisão.
33.9 Forças e torques sobre espiras de corrente
Você já viu que uma espira de corrente possui um dipolo associado, assim como um ímã 
permanente. Examinemos agora algumas características importantes da maneira como 
as espiras de corrente se comportam em presença de campos magnéticos. A discussão 
será amplamente qualitativa, mas realçará algumas das importantes propriedades dos 
ímãs e dos campos magnéticos. Na próxima seção usaremos essas idéias para fazer a 
conexão entre eletroímãs e ímãs permanentes.
A FIGURA 33.48a mostra duas espiras de corrente. Usando o que aprendemos sobre 
forças entre correntes paralelas ou antiparalelas, você pode notar que espiras paralelas 
exercem forças magnéticas atrativas entre si, se as correntes circularem no mesmo 
sentido, e forças repulsivas, se as correntes forem antiparalelas.
Correntes paralelas se atraem,
correntes antiparalelas se repelem.
Pólos opostos se atraem,
pólos iguais se repelem.
FIGURA 33.48 Duas maneiras alternativas, mas equivalentes, de considerar as forças 
magnéticas.
13.6
231
Eletromagnetismo | UNIDADE 4
Forças Magnéticas e Torques | PARTE 3
CAPÍTULO 33 ■ O Campo Magnético 1027
É conveniente refletir sobre essas forças em termos de pólos magnéticos. A FIGURA 
33.48b mostra os pólos magnéticos norte e sul de uma espira de corrente. Se as correntes 
circularem no mesmo sentido, um pólo norte e outro pólo sul, face a face, exercerão 
forças atrativas entre si. Se as correntes circularem em sentidos opostos, os dois pólos 
iguais se repelirão.
Aqui, afinal, temos a conexão real sobre o comportamento dos ímãs que abriunossa discussão sobre o magnetismo – a saber, que pólos iguais se repelem e pólos 
opostos se atraem. Agora dispomos de uma explicação para tal comportamento, ao 
menos no caso dos eletroímãs. Pólos magnéticos se atraem ou se repelem devido 
ao movimento de cargas em correntes, que exercem forças magnéticas atrativas 
ou repulsivas sobre as cargas em movimento de outra corrente. Nosso caminho 
através da interação das cargas em movimento está finalmente começando a revelar 
alguns resultados práticos!
Agora consideremos as forças sobre uma espira de corrente em presença de um cam-
po magnético uniforme. A FIGURA 33.49 mostra uma espira de corrente quadrada em um 
campo magnético uniforme. A corrente em cada um dos quatro lados experimenta uma 
força magnética exercida pelo campo . As forças frontal e posterior são opostas uma à 
outra e se anulam. As forças topo e base também se adicionam, dando uma força resul-
tante nula, mas, visto que não atuam ao longo da mesma linha, elas farão a espira girar 
por exercerem um torque sobre ela.
As forças exercidas sobre os segmentos do topo e da base formam o que chamamos, 
no Capítulo 12, de um binário. O torque devido ao binário é igual ao módulo da força 
multiplicado pela distância d entre as linhas de ação das duas forças. Note que d � l 
sen�; portanto, o torque sobre a espira – exercido pelo campo magnético – é
 (33.27)
onde � � Il2 � IA é o módulo do momento de dipolo magnético da espira.
Embora tenhamos derivado a Equação 33.27 para o caso de uma espira quadrada, 
o resultado obtido é válido para uma espira de corrente com qualquer formato. Note 
que a Equação 33.27 se parece com outro exemplo de produto vetorial. Anteriormente, 
definimos o vetor momento de dipolo magnético como um vetor perpendicular à 
espira de corrente com sentido determinado pela regra da mão direita. A Figura 33.49 
mostra que � é o ângulo formado entre e ; portanto, o torque exercido sobre o dipolo 
magnético é
 (33.28)
O torque é nulo quando o momento de dipolo magnético é paralelo ou antiparalelo 
ao campo magnético e é máximo quando é perpendicular ao campo. Este é o torque 
magnético que causa a rotação da agulha de uma bússola – que constitui um momento 
magnético – até que ela se alinhe com o campo magnético.
Um motor elétrico
O torque exercido sobre uma espira de corrente ao redor de um campo magnético cons-
titui o príncípio de funcionamento de um motor elétrico. Como mostra a FIGURA 33.50, 
a armadura do motor é uma bobina de fio enrolada em torno de um eixo. Quando uma 
corrente flui pela bobina, o campo magnético exerce um torque sobre a armadura e a faz 
girar. Se a corrente fosse estável, a armadura oscilaria para trás e para a frente, em torno 
de sua posição de equilíbrio, até (supondo que exista algum atrito ou amortecimento) 
parar por completo, com o plano da bobina perpendicular ao campo. A fim de manter o 
motor em rotação, um dispositivo chamado comutador inverte o sentido da corrente na 
bobina a cada 180� de giro da mesma. (Note que o comutador é dividido em duas partes, 
de modo que o terminal positivo da bateria envia uma corrente para qualquer fio que 
toque a metade direita do comutador.) A corrente invertida impede que a armadura atinja 
a posição de equilíbrio, e assim o torque magnético mantém o motor girando enquanto 
houver uma corrente.
F
topo
 e F
base
 exercem um torque que
faz a espira girar em torno do eixo x.
topo
frontal
posterior
baseLinhas
de ação
sen
FIGURA 33.49 Um campo magnético 
uniforme exerce um torque sobre uma 
espira de corrente.
232 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
1028 Física: Uma Abordagem Estratégica
Ímã Rotação
Força magnética orientada
para cima, sobre o lado
esquerdo da espira
Armadura
Força magnética orientada para baixo,
sobre o lado direito da espira
O comutador inverte a corrente na espira a cada meio ciclo, de modo
que a força está sempre orientada para cima sobre o lado esquerdo da espira.
FIGURA 33.50 Um motor elétrico simples.
PARE E PENSE 33.6 Qual é o sentido da corrente na espira?
 a. Para fora da página no topo da espira, para dentro da 
página na base.
 b. Para fora da página na base da espira, para dentro da 
página no topo.
33.10 Propriedades magnéticas da matéria
Nossa teoria concentrou-se, principalmente, nas propriedades magnéticas das corren-
tes, ainda que nossa experiência diária seja, em grande parte, com ímãs permanentes. 
Vimos que as espiras de corrente e os solenóides possuem pólos magnéticos e exibem 
comportamentos parecidos com o de ímãs permanentes, todavia ainda falta uma conexão 
específica entre eletroímãs e ímãs permanentes. A meta desta seção é completar nossa 
compreensão por meio de desenvolvimento de uma perspectiva em nivel atômico das 
propriedades magnéticas da matéria.
Ímãs atômicos
Uma explicação plausível para as propriedades magnéticas exibidas pelos materiais é 
baseada no movimento orbital dos elétrons atômicos. A FIGURA 33.51 mostra um modelo 
atômico clássico simples em que um elétron negativamente carregado orbita um núcleo 
positivamente carregado. Nesta figura do átomo, o movimento do elétron equivale a uma 
espira de corrente! Trata-se de uma espira de corrente microscópica, com certeza, mas 
uma espira de corrente, mesmo assim. Conseqüentemente, um elétron em órbita se com-
porta como um minúsculo dipolo magnético, dotado de um pólo norte e de um pólo sul. 
Você pode imaginar o dipolo magnético como um ímã do tamanho característico de um 
átomo. Experimentos realizados com átomos individuais de hidrogênio mostram que 
eles são, realmente, minúsculos ímãs.
Entretanto, os átomos da maioria dos elementos contêm muitos elétrons. Diferen-
temente do Sistema Solar, em que todos os planetas orbitam em um mesmo sentido, as 
órbitas dos elétrons estão arranjadas de modo a se oporem umas às outras: para cada 
elétron que se move em sentido anti-horário existe outro elétron que se move em sentido 
horário. Dessa maneira os momentos magnéticos das órbitas individuais tendem a se 
cancelar, e o momento magnético resultante é nulo ou muito pequeno.
Repulsão
O momento magnético deve-se
ao movimento orbital dos elétrons
Núcleo
Elétron
FIGURA 33.51 Um elétron clássico em 
órbita constitui um minúsculo dipolo 
magnético.
ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO 
PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.
PREZADO ESTUDANTE
234 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Parte 4
A Lei de Lenz e a Lei de Faraday
 
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é disponibilizado
por SAGAH.
unidade 
4
V.1 | 2021
236 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
A lei de Lenz e 
a lei de Faraday
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Relacionar a lei de Faraday à força eletromotriz fem induzida em uma 
espira e à variação do fluxo magnético através de uma espira.
 � Determinar o sentido de uma fem induzida.
 � Calcular a fem induzida em um condutor que se move através de um 
campo magnético.
Introdução
A energia elétrica é, para todos nós, não apenas uma realidade, mas 
uma necessidade. Ela nos garante melhores condições de tratamento de 
saúde, trabalho, segurança alimentar e tantos outros aspectos da nossa 
sociedade, sem os quais não conseguiríamos viver. 
Neste capítulo, você estudará as leis de Faraday e de Lenz, que des-
crevem matematicamente o fenômeno da indução eletromagnética. 
Elas revelam que a variação de fluxo de campo magnético através de 
um condutor induz força eletromotriz fem, ou seja, uma tensão entre os 
terminais de um condutor que pode gerar corrente elétrica, que é o 
princípio de funcionamento de geradores de energia e motores elétricos 
de corrente alternada. Você também saberá identificar o sentido de uma 
fem induzida e calculá-la em um condutor que se move através de um 
campo magnético.
237
Eletromagnetismo | UNIDADE 4
A Lei de Lenz e a Lei de Faraday | PARTE 4
1 A indução eletromagnética
Você deve lembrar-se de que o campo magnético afeta a trajetória de partículascarregadas em movimento, por meio da força de Lorentz. Certamente, você 
também se recorda que cargas em movimento, ou corrente elétrica, são fontes 
de campo magnético. No entanto, como podemos gerar corrente elétrica com 
o campo magnético? Era isso que Michael Faraday, físico britânico, tentava 
descobrir no início do século XIX.
Faraday realizou uma série de experimentos na tentativa de mostrar que 
campo magnético poderia gerar corrente elétrica, mas sem sucesso. No en-
tanto, ele percebeu que, durante a abertura e o fechamento do interruptor 
de uma bobina primária, como mostrado na Figura 1a, uma corrente surgia 
em um curtíssimo intervalo de tempo na bobina secundária, percebida por 
um galvanômetro. Quando ele fechava o interruptor, a corrente elétrica era 
induzida em um sentido e, quando abria a chave, ela era induzida no sentido 
oposto, de forma praticamente instantânea. Ele intuiu que a causa daquele 
pico de corrente pudesse ser a variação do campo magnético. Para testar a 
hipótese, Faraday propôs outros experimentos, como os representados nas 
Figuras 1b, 1c e 1d. Em todos eles, a corrente elétrica foi observada. Isso 
explicava o porquê de seus experimentos anteriores não terem dado resultados 
promissores, pois, enquanto ele tentava produzir correntes a partir de campos 
magnéticos uniformes e constantes, era necessário que houvesse variação de 
campo magnético (BAUER; WESTFALL; DIAS, 2012).
O cientista americano John Henry também fez as mesmas descobertas de 
forma independente e na mesma época de Faraday, mas foi este que publicou 
e formalizou seus achados. Para compreender como o processo de indução 
eletromagnética acontece, é necessário entender o conceito de fluxo magnético, 
que será visto a seguir.
A lei de Lenz e a lei de Faraday2
238 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Figura 1. Ilustração dos experimentos realizados por Faraday para demonstrar o fenômeno 
de indução eletromagnética. (a) Ao manter o interruptor fechado, a corrente elétrica na 
primeira bobina gera campo magnético no anel de ferro, mas nenhuma corrente é medida 
no enrolamento secundário. No entanto, no instante em que fecha e abre o interruptor, 
uma corrente momentânea é observada. O mesmo efeito é observado sem o anel de 
ferro, como em (b); movendo um ímã, como em (c); ou movendo a bobina, como em (d).
Fonte: Adaptada de Knight (2009).
Fechar o interruptor
do circuito esquerdo...
Abre ou fecha
o interruptor.
Medidor
de corrente
b)a)
c) d)
Anel de ferro
S
N
S
N
Interruptor
Empurra ou puxa o ímã. Empurra ou puxa a bobina.
produz uma corrente
momentânea no
circuito direito.
Fluxo magnético
Quando você pensa em fluxo, o que vem à sua mente? Fluxo de ar, fluxo de 
água? Quando falamos em fluxo, do ponto de vista físico, estamos analisando 
um campo vetorial que atravessa determinada área de superfície. Podemos 
pensar em um fluido em uma tubulação, no ar em uma turbina, ou mesmo no 
campo elétrico através de uma superfície gaussiana. Quando você estudou a 
lei de Gauss, era necessário que calculasse o fluxo de campo elétrico através 
de uma superfície escolhida e igualasse a carga envolvida dividindo pela 
permissividade elétrica do vácuo. 
3A lei de Lenz e a lei de Faraday
239
Eletromagnetismo | UNIDADE 4
A Lei de Lenz e a Lei de Faraday | PARTE 4
Para definir o fluxo de campo elétrico, denotado por ΦB, devemos calcular:
ou seja, o fluxo de campo magnético que atravessa uma superfície S delimitada 
por um condutor é dado pela integral do campo magnético com respeito ao 
diferencial de superfície dS⃗. A unidade de medida de fluxo magnético no SI 
é o Weber: 1 weber = 1 Wb = 1 Tm2. 
Se o campo magnético é uniforme, o fluxo magnético é simplesmente 
definido por:
ΦB = B⃗ ⋅ A⃗ = BA cos θ,
onde |A⃗ | = A é a área da superfície, apontando na direção perpendicular ao 
ponto do plano formado pela espira ou pelo circuito, com sentido definido 
seguindo a regra da mão direita para corrente positiva, e θ é o ângulo entre 
esses vetores. Parece complicado, mas a discussão a seguir ajudará a com-
preender esse conceito.
Na Figura 2, você pode observar um campo uniforme e constante sendo 
aplicado em uma região do espaço, onde há uma espira retangular de lados 
a e b. Como o vetor dS⃗ = dA n̂ aponta na direção perpendicular à superfície, 
quando o campo magnético também é perpendicular ao plano da espira, te-
mos que o fluxo magnético é máximo: ΦB = B⃗ ⋅ A⃗ = Bab. Já, quando a espira 
está inclinada de um ângulo θ com relação à direção do campo magnético, 
o produto escalar é dado por: ΦB = B⃗ ⋅ A⃗ = Bab cos θ. Isso significa que a área 
efetiva da espira é a que é vista segundo a direção do campo. Finalmente, 
se o campo magnético estiver aplicado na mesma direção do plano da espira, 
sendo paralelos, não há linhas de campo que atravessem a superfície, e o fluxo 
magnético é nulo. Portanto, sempre que o campo magnético for uniforme em 
todos os elementos de área da superfície, não é necessário realizar nenhuma 
integral, apenas multiplicar o campo pela área efetiva.
A lei de Lenz e a lei de Faraday4
240 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Figura 2. Linhas de campo magnético que atravessam uma espira em diferentes ângulos.
Fonte: Knight (2009, p. 1049).
Existem situações simples em que o campo magnético não uniforme dobre 
uma espira, como o campo magnético gerado por um fio condutor próximo. 
Veja o exemplo a seguir e compreenda como efetuar o cálculo do fluxo mag-
nético para esse caso. 
No exemplo anterior, o campo magnético não era uniforme com relação à 
superfície, mas era constante, ou seja, não variava no tempo. Como a espira 
também estava fixa, o fluxo magnético encontrado é constante. Faraday 
conclui – e como você viu – que apenas a variação do fluxo magnético é capaz 
de produzir uma corrente na espira. Veja, a seguir, como a variação do fluxo 
relaciona-se com a força eletromotriz e a corrente.
Um fio condutor longo transporta uma corrente I = 1ª, conforme ilustrado na figura 
a seguir. Uma espira quadrada é colocada a seu lado, com dimensões a = 15 cm e 
b = 20 cm e a uma distância c = 5 cm do centro do condutor. Qual é o fluxo magnético 
que atravessa essa espira?
5A lei de Lenz e a lei de Faraday
241
Eletromagnetismo | UNIDADE 4
A Lei de Lenz e a Lei de Faraday | PARTE 4
Resposta: O campo magnético gerado por um fio condutor pode ser calculado pela 
lei circuital de Ampère: ∮B⃗ ⋅ dl⃗ = μ0ienv. Logo:
O sentido do campo Bfio é para dentro da página, como podemos concluir usando 
a regra da mão direita no fio condutor.
Veja que o campo magnético não é uniforme dentro da espira; ele depende da 
distância r que o elemento de área de encontro do eixo do condutor. O elemento de 
superfície em coordenadas cartesianas é dS = dydx, e o sentido é definido por quem 
está resolvendo o problema. Nesse caso, você pode escolher que o sentido de fluxo 
positivo é saindo da página, no sentido contrário ao campo. Por conta da simetria do 
problema, o campo não depende da coordenada y da espira, apenas da coordenada 
x. Dessa forma:
A lei de Lenz e a lei de Faraday6
242 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Portanto, o fluxo magnético concatenado pela espira retangular é:
ΦB = –0,55 × 10–7 Wb,
e o sinal negativo diz que o fluxo é contrário àquele que você havia definido como 
positivo.
Lei de Faraday e força eletromotriz 
Como você observou nos experimentos de Faraday, a variação do fluxo 
magnético através de uma espira gerou uma corrente induzida. De alguma 
forma, forças eletromagnéticas atuam sobre as partículas portadoras de carga, 
induzindo corrente elétrica em um ou outro sentido do circuito fechado. Ape-
sar de ainda não compreender muito bem qual é o mecanismo que produz 
essas forças, podemos relacioná-las ao que chamamos de força eletromotriz. 
A força eletromotriz fem, geralmente denotada pela letra grega ε, é uma grandeza 
escalar medida em Volts (V), no SI. 
Apesar de ser chamada de força eletromotriz, a unidade de medida da fem é Volts(V). 
Por apresentar a mesma unidade de medida que uma diferença de potencial (U), é 
muito comum achar que se trata do mesmo conceito, mas seus significados físicos 
são distintos. A força eletromotriz é o trabalho que uma força eletromagnética realiza 
quando transporta uma carga de um ponto a outro por um caminho específico, por 
unidade de carga. Já a diferença de potencial elétrico é independente de caminho.
A lei de Faraday oferece a relação matemática entre a fem induzida (εind) e 
a variação do fluxo magnético por meio da expressão:
7A lei de Lenz e a lei de Faraday
243
Eletromagnetismo | UNIDADE 4
A Lei de Lenz e a Lei de Faraday | PARTE 4
Ou seja, a taxa de variação do fluxo magnético no tempo é igual ao módulo 
da fem induzida no circuito. Se o circuito é composto por um condutor de resis-
tência R, podemos determinar a intensidade de corrente Iind que o circula como:
Nesta seção, você observou os experimentos de Faraday e compreendeu 
como o cientista chegou à conclusão de que a variação do fluxo de campo 
magnético através de uma espira, ou um conjunto delas, é capaz de gerar 
uma fem e induzir corrente elétrica. No entanto, ainda não sabe como definir 
o sentido da corrente elétrica induzida. Na próxima seção, você conhecerá 
a lei de Lenz e as regras que determinam o sentido da indução de corrente.
Sentido de uma fem induzida
Um pouco depois de Faraday propor a lei da indução, o cientista Heinrich 
Lenz desenvolveu uma regra, conhecida como lei de Lenz, para determinar o 
sentido da corrente induzida em uma espira pela variação do fluxo de campo 
magnético. De forma conceitual, significa que a corrente gerada pela fem 
induzida circula no sentido necessário para produzir campo magnético que 
se oponha ao sentido de variação dele. De forma matemática, ela pode ser 
representada pelo sinal negativo na lei de Faraday, como:
Essa lei também é, por vezes, chamada de lei de Faraday-Lenz.
Quando o campo magnético está aumentando com relação ao tempo, e a 
área da espira é mantida fixa, a taxa de variação do fluxo magnético é positiva 
na direção do campo. Logo, a corrente induzida provoca um campo induzido 
em sentido oposto. Já, quando o campo magnético está diminuindo ao longo 
do tempo, e a área é mantida fixa, o campo magnético produzido pela corrente 
induzida tem o mesmo sentido do campo magnético externo. A Figura 3, 
a seguir, ilustra esse conceito, onde o campo produzido pela corrente no sole-
noide no instante em que o interruptor é fechado aumenta momentaneamente, 
até atingir seu valor máximo, e induz corrente elétrica no sentido contrário.
A lei de Lenz e a lei de Faraday8
244 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Figura 3. Quando o interruptor da bobina primária é fechado, há um aumento do 
campo magnético induzido até alcançar o limite máximo. Enquanto o campo está 
aumento, um campo magnético e uma corrente são induzidos na bobina secundária, 
em sentido contrário. Quando o campo na primeira bobina atinge o limite e não mais 
varia, o campo induzido desaparece.
bobina 1 bobina 2
Interruptor aberto
Interruptor recém-fechado
Campo magnético
aumentando
Corrente
induzida
Campo
induzido
A variação do campo magnético no tempo não é a única maneira de se 
variar o fluxo magnético através de uma espira. A outra maneira é alterar a 
área efetiva pela qual as linhas de campo fluem. No início do capítulo, quando 
você estudou o conceito de fluxo magnético, você viu que, dependendo da 
posição da espira com relação ao campo, o fluxo magnético pode variar. 
Desse modo, se uma força externa produz um torque em uma espira e faz com 
que ela obtenha um movimento de rotação em meio a um campo magnético 
uniforme, também há corrente induzida. Sendo o fluxo magnético dado por 
ΦB = BA cos θ, onde θ = ωt + ϕ, sendo ω a frequência angular de rotação da 
espira e ϕ uma fase arbitrária, a força eletromotriz é dada por:
9A lei de Lenz e a lei de Faraday
245
Eletromagnetismo | UNIDADE 4
A Lei de Lenz e a Lei de Faraday | PARTE 4
Esse é o princípio de funcionamento dos geradores elétricos de energia, 
como os utilizados em usinas hidrelétricas, termoelétricas, nucleares e eólicas 
(CHAPMAN, 2013). 
Em usinas hidrelétricas, a energia da água é responsável por fornecer potência me-
cânica ao gerador, que a converte em potência elétrica. Em usinas termoelétricas e 
nucleares, o fluido responsável também é a água, mas em forma de vapor. A queima 
de combustíveis fósseis, biomassa ou liberação de calor pelo processo de fissão nuclear 
fazem com que a água receba energia em uma caldeira e se transforme em vapor à 
alta pressão, movendo uma turbina presa ao rotor do gerador, produzindo energia 
elétrica da mesma maneira. Outro fluido que também é utilizado para a geração de 
energia elétrica é o ar, nas usinas eólicas. Em regiões próximas às áreas litorâneas (ou 
offshore), em corredores entre montanhas e outras regiões, sujeitas a ventos de alta 
velocidade, podem ser aproveitadas para geração de energia elétrica (CHAPMAN, 2013).
Ainda sobre as maneiras possíveis de variação de fluxo de campo mag-
nético, não só a posição da espira com relação ao campo pode variar, mas 
também a área do circuito, por meio do movimento de uma haste, por dilatação, 
dentre outras possibilidades. Para que não fique muito abstrato para você, veja 
os exemplos mostrados na Figura 4, a seguir. Eles ilustram três maneiras de 
variar o fluxo de campo magnético e o sentido da corrente induzida.
Para que você fixe bem os conceitos na mente, veja e analise o exemplo 
a seguir. Perceba que apenas a componente do campo perpendicular a ela 
contribui para o fluxo magnético sobre uma superfície, na direção do vetor 
normal. Quando o campo é variável no tempo, mas não há dependência com 
a posição da espira, o cálculo da fem induzida é simples, e você não terá difi-
culdades em desenvolvê-lo. 
A lei de Lenz e a lei de Faraday10
246 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Figura 4. A indução eletromagnética ocorre: a) porque o campo magnético está variando 
no tempo; b) porque a espira está se movendo em torno do eixo; c) porque a espira está 
transladando no espaço.
Uma espira circular de corrente, de raio 10 cm, é inserida em uma região de campo mag-
nético variável B⃗ = (t2 + 5)î – (2t + 2)k ̂T. A espira é posicionada no plano xy, mantendo-se 
fixa. Em seus terminais, é colocado um medidor de tensão para obter a força eletromotriz 
produzida. Qual é a leitura da fem induzida em t = 30s? Supondo que o circuito como 
um todo tenha uma resistência R = 100Ω, qual é a corrente que circula nele?
11A lei de Lenz e a lei de Faraday
247
Eletromagnetismo | UNIDADE 4
A Lei de Lenz e a Lei de Faraday | PARTE 4
Resposta:
Como o campo magnético não varia com a posição, o fluxo magnético é simplesmente 
ΦB = B⃗(t) ⋅ S⃗ . Primeiramente, você deve observar a posição da espira e identificar qual é 
o vetor S⃗ . Como a espira está no plano xy, o vetor de superfície aponta para a direção 
perpendicular ao plano da espira. Considerando uma corrente positiva no sentido 
anti-horário, o vetor S⃗ pode ser definido como:
Portanto:
Para determinar a fem induzida, basta aplicar a lei de Faraday-Lenz:
Como você definiu que o sentido positivo da corrente é anti-horário, e o sinal obtido 
para a fem é positivo, a corrente circulará no sentido definido. De fato, o sentido está 
de acordo com o esperado pela Lei de Lenz. Para calcular a corrente elétrica, basta 
dividir a fem pela resistência do circuito:
Nesta seção, você se aprofundou na lei de Faraday e, por meio da lei de Lenz, 
determinou o sentido da fem induzida e da corrente elétrica numa espira. Você 
compreendeu que não é apenas a variação temporal do campo magnético que 
é capaz de induzir correntes, mas também a variação da posição do circuito 
com relação às linhas de campo. Agora que você já sabe como calcular a fem em 
uma espira imersa em uma região de campo magnético variável, na próxima 
seção, estudaremos problemas em que a femé induzida pelo movimento de uma 
haste condutora em meio ao campo, variando a área do circuito.
A lei de Lenz e a lei de Faraday12
248 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
2 Força eletromotriz de movimento
Como você viu, a indução eletromagnética ocorre quando há variação do fluxo 
magnético, o que pode ocorrer quando há variação do campo magnético ou 
da área que ele atravessa. Você verá um caso em que uma barra condutora 
que desliza sobre um circuito, sob ação de uma força externa, provoca uma 
variação da área atravessada pelo campo magnético, gerando uma fem e uma 
corrente induzida.
Considere o aparato magnético da figura a seguir. A barra que se encontra sobre os 
trilhos é condutora e desloca-se à velocidade constante v, devido à ação de uma força 
externa F⃗ ext. O aparato está imerso em uma região de campo magnético constante e 
perpendicular ao plano da página, conforme orientação da figura.
a) Determine a queda de tensão e no resistor R.
b) Qual deve ser a força externa para que a barra se desloque à velocidade constante?
Resposta: Para resolver o exercício, primeiramente devemos definir o sentido da 
corrente positiva e, consequentemente, do fluxo positivo. Mantendo a polaridade da 
queda de tensão e no resistor, supomos que a corrente positiva está no sentido anti-
-horário, o que leva a S⃗ = A k .̂ O campo magnético também é perpendicular ao plano 
13A lei de Lenz e a lei de Faraday
249
Eletromagnetismo | UNIDADE 4
A Lei de Lenz e a Lei de Faraday | PARTE 4
da página, logo: B⃗ = B k .̂ Veja que o comprimento do circuito varia com a velocidade. 
Como v = Δx/Δt, Δx = x – x0 = vt, tomando t0 = 0, a área do circuito é, portanto: 
Para calcular o fluxo magnético ΦB, basta fazer:
Por meio da lei de Faraday-Lenz, podemos calcular a fem induzida:
O sinal negativo para a fem significa que o sentido da corrente é contrário ao que 
havíamos considerado positivo, o que está de acordo com o esperado pela lei de Lenz.
a) Como a fem é, para este circuito, igual à queda de tensão (e) no resistor R, concluímos 
que e = –Bhv [V ].
b) Para calcularmos a força externa necessária para que a barra se movimente com 
velocidade constante, é necessário que a resultante das forças nessa posição seja 
nula. Por conta da corrente no condutor imerso em um campo magnético, haverá 
força magnética dada por:
Como concluímos que a corrente está circulando no sentido horário na barra des-
lizante l⃗ = h(–ĵ), portanto: 
– resultado que está de acordo com a regra da mão direita.
Como a corrente I pode ser calculada por:
e a força externa é o oposto da força magnética (Fext = –Fm), temos que:
A lei de Lenz e a lei de Faraday14
250 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Outra maneira de compreendermos a força eletromotriz em um fio con-
dutor movimentando-se em um campo magnético é pensar na dinâmica das 
cargas em seu interior. Observe o movimento da barra do exemplo anterior. 
Quando a barra se desloca para a direita com velocidade v em meio ao campo 
magnético, cada um dos portadores de carga também estará à velocidade v, 
sentindo a ação da força magnética:
Fm = qv⃗ × B⃗
Para o caso do exemplo, a força magnética apontaria no sentido negativo do 
eixo y, fazendo com que as cargas positivas se acumulassem na parte inferior 
da barra, e as negativas na parte superior. As cargas se movimentariam até o 
limite em que a força elétrica, gerada justamente por essa separação de cargas, 
anulasse a força magnética. Ou seja, quando:
Fel = qE = qvB
O campo elétrico E⃗ = vB(–ĵ ) [N/C] provoca uma diferença de potencial entre 
as extremidades da barra condutora. Como V = Ed, onde d é a distância — na 
mesma direção do campo elétrico — entre os pontos em que se quer medir 
a diferença de potencial, você poderá concluir que, para uma distância h da 
barra em movimento, a diferença de potencial induzida é:
V = –Bhv
– resultado idêntico ao calculado no exemplo anterior, utilizando a lei de 
Faraday-Lenz para o cálculo de ε. 
A barra condutora em movimento produz uma diferença de potencial 
devido ao trabalho realizado pelas forças magnéticas para separar as cargas. 
Você pode imaginar que, enquanto o condutor se mantém em movimento, ele 
atua como uma bateria carregada, que se descarrega imediatamente assim que 
ele para. Enquanto, em uma bateria, a fem representa o trabalho realizado, por 
unidade de carga, para separar as cargas por meio de reações químicas, a fem 
no condutor deve-se a seu movimento. Por isso, é também chamada de fem de 
movimento (KNIGHT, 2009).
15A lei de Lenz e a lei de Faraday
251
Eletromagnetismo | UNIDADE 4
A Lei de Lenz e a Lei de Faraday | PARTE 4
Neste capítulo, você estudou os princípios da indução eletromagnética, 
conheceu os experimentos que levaram Faraday a concluir que a variação de 
fluxo magnético no tempo provoca o surgimento de uma força eletromotriz. 
Você também aprendeu que, para determinar o sentido da fem e da corrente 
induzida em um circuito, basta utilizar a regra definida por Lenz, em que 
a corrente elétrica circula no sentido de produzir campo magnético que se 
contrapõe ao sentido de variação do fluxo magnético. Com exemplos visuais 
e problemas práticos, você é capaz de aplicar os conceitos aqui solidificados 
para compreender os princípios de funcionamento de geradores de energia 
elétrica em corrente alternada e de motores de indução, fundamentais para 
qualquer carreira profissional.
BAUER, W.; WESTFALL, G. D.; DIAS, H. Física para universitários: eletricidade e magnetismo. 
Porto Alegre: AMGH, 2012. 
CHAPMAN, S. J. Fundamentos de máquinas elétricas. 5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013. 
KNIGHT, R. D. Física: uma abordagem estratégica. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2009. 
(Eletricidade e Magnetismo, v. 3).
Leituras recomendadas
HAYT JR., W. H.; KEMMERLY, J. E.; DURBIN, S. M. Análise de circuitos em engenharia. 8. ed. 
Porto Alegre: AMGH, 2014.
PETRUZELLA, F. D. Motores elétricos e acionamentos. Porto Alegre: AMGH, 2013.
WENTWORTH, S. M. Eletromagnetismo aplicado. Porto Alegre: Bookman, 2008.
A lei de Lenz e a lei de Faraday16
252 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO 
PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.
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Parte 5
Motores e Transformadores
 
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unidade 
4
V.1 | 2021
254 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Motores e transformadores
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Apontar os circuitos ou equipamentos que operam com corrente 
alternada.
  Explicar o funcionamento de transformadores e motores.
  Identificar situações que envolvem aumento/diminuição da tensão 
em transformadores.
Introdução
Os motores elétricos são de grande utilidade no nosso dia a dia. Os mes-
mos podem ser encontrados nos mais diversos equipamentos eletrônicos, 
como, por exemplo, em máquina de lavar roupas, forno de micro-ondas 
(fazendo o prato girar), ventiladores, motor de geladeira, entre vários 
outros. Para eles funcionarem, precisam ser alimentados com uma cor-
rente alternada, proveniente da geração de energia. No Brasil, a grande 
parte da geração de energia acontece por meio de usinas hidrelétricas. 
A partir da geração, a energia precisa ser transmitida a altas tensões e, 
posteriormente, transformada em uma tensão menor, para enfim chegar 
à sua residência. Essa transformação de tensão acontece por meio dos 
transformadores de energia elétrica.
Neste capítulo, você vai aprender o que é uma corrente alternada 
e como ela pode ser transformada em valores mais altos ou baixos de 
tensão, por meio do uso de transformadores. Também, será discutida 
a relação de potência que existe em um transformador e como essa 
corrente alternada é usada para fazer um motor elétrico funcionar.
255
Eletromagnetismo | UNIDADE 4
Motores e Transformadores | PARTE 5
Corrente alternada
Hoje, quase a totalidade da energia elétrica é produzida por geradores elétricosna forma de corrente alternada (AC – alternating current), que tem uma grande 
vantagem frente aos geradores de corrente contínua (DC – direct current). A 
corrente alternada varia sua tensão e corrente de maneira senoidal, ou seja, 
ora a corrente está em uma direção, ora em outra. Dessa forma, a energia 
elétrica pode ser distribuída para diferentes regiões com altos valores de 
tensões e baixas correntes, de modo a diminuir as perdas energéticas por meio 
do efeito Joule (dissipação de calor em um condutor). A distribuição por meio 
de AC permite, também, que ela seja transformada, praticamente sem perdas 
energéticas, para valores maiores e menores de tensões. Esse princípio é muito 
importante quando se gera energia a tensões relativamente baixas (digamos 
em uma usina hidrelétrica), depois, se aumenta a tensão para transmissão a 
longas distâncias, e, por fi m, ser novamente transformada em baixa tensão para 
ser usada nos equipamentos eletrodomésticos de sua casa. Essa mudança nos 
valores de tensões é promovida por meio dos conhecidos transformadores de 
energia elétrica, que funcionam com base nos princípios de indução da lei de 
Faraday-Lenz. Mas, por que a corrente alternada parece ser mais interessante 
do ponto de vista de sua geração, distribuição e uso frente à corrente contínua?
A resposta para essa pergunta já foi dada, em parte, no parágrafo anterior. 
O fato de que, com AC, se consegue transformar um valor de tensão em outro 
é de grande praticidade, uma vez que esse efeito não é conseguido a partir 
de uma fonte DC. Nesta, a corrente flui somente em um sentido, ou seja, se 
uma fonte geradora de energia DC fosse usada para iluminar uma cidade, a 
tensão, praticada desde a sua geração até o seu uso, permaneceria constante. 
Como veremos mais adiante, a potência dissipada na forma de calor pelos fios 
condutores, quando a tensão é baixa, é maior do que quando a transmissão 
acontece por meio de altas tensões. Isso ficará mais claro quando tratarmos do 
funcionamento dos transformadores. Por ora, vamos entender como a corrente 
alternada comporta-se a partir de uma visão atômica.
Você já deve ter ouvido dizer que a energia elétrica da sua casa funciona com 
uma frequência de 60 Hz. Isso quer dizer que, internamente ao fio condutor, 
os elétrons livres mudam de sentido 120 vezes por segundo. Isso porque o 
valor de 60 Hz faz jus ao movimento de um ciclo completo de vai e vem dos 
elétrons no fio condutor. Ou seja, os elétrons mudam de sentido duas vezes 
em um ciclo completo: uma vez de ida e outra de volta. Se você tivesse uma 
câmera que filmasse mais de 120 quadros por segundos, você seria capaz 
Motores e transformadores2
256 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
de ver uma lâmpada incandescente brilhando e apagando numa taxa de 120 
vezes por segundos. 
Essa frequência de operação AC faz com que os elétrons em um metal se 
movam ora em um sentido, ora em outro. Experimentalmente, sabe-se que os 
elétrons que se movem em um metal têm uma velocidade típica de 4 × 10-5 m/s. 
Caso, considerarmos que os elétrons mudam de direção a cada 1/120 segun-
dos, descobrimos que os mesmos se deslocam em torno de 3 × 10-7 m em um 
meio ciclo. Isso quer dizer que os elétrons não se movem muito mais do que 
algumas centenas de átomos ao longo do fio condutor antes de começarem a 
sua trajetória de volta. Isso parece estranho: como, então, os elétrons podem 
chegar a algum lugar, se essa frequência faz com que eles vão e voltem em 
torno de um ponto médio dentro de sua trajetória? Ainda, como podemos dizer 
que está passando uma corrente elétrica em um fio condutor?
A resposta é: os elétrons não chegam a lugar algum! Quando dizemos que 
uma corrente em um fio é de 1A, queremos dizer que cargas passam por uma 
secção transversal em um fio, em um determinado tempo. Por exemplo: 1A 
de corrente quer dizer que 1 Coulomb de carga passa por uma área transversal 
em um período de 1 segundo. A velocidade com que os elétrons se movem 
pouco quer dizer, podendo ela ser de algumas cargas a uma velocidade alta 
ou, ainda, muitas cargas a uma velocidade menor. Além do mais, o gerador 
de corrente alternada, na verdade, gera uma força eletromotriz, que, por sua 
vez, é responsável por induzir uma corrente elétrica em um circuito. Essa força 
eletromotriz é uma onda eletromagnética propagando-se em um fio condutor 
com uma velocidade próxima da luz. Todos os elétrons do fio recebem sua 
instrução para mudar de direção praticamente no mesmo instante. 
O trabalho útil com o uso de corrente alternada é aquele referente ao des-
locamento dos elétrons ao longo da atuação de uma força eletromotriz, que, 
por sua vez, é criada a partir dos geradores de corrente alternada. Portanto, 
os elétrons, tanto na ida como na volta, realizam trabalho.
Um gerador de corrente alternada nada mais é que do que um conjunto de 
espiras girando em meio a um campo magnético uniforme, conforme ilustrado 
na Figura 1 (para o caso de uma espira). A força eletromotriz (fem) induzida 
é proporcional à variação do fluxo magnético no interior da espira. Para uma 
área e um campo magnético constantes, a lei de Faraday nos dá a equação 
para a fem induzida Vind:
Vind = BAsenθ 
dθ
dt (1)
3Motores e transformadores
257
Eletromagnetismo | UNIDADE 4
Motores e Transformadores | PARTE 5
Figura 1. Representação de um gerador de corrente alternada, constituído 
de uma espira imersa em um campo magnético uniforme E = Vind. 
Fonte: Adaptado de Walker, Halliday e Resnick (2014, p. 913)
Espira
Sendo θ o ângulo que o vetor campo magnético faz com o vetor elemento 
de área dA (perpendicular ao plano da espira). Como dθ/dt = ω é a velocidade 
angular de rotação do gerador, e θ = ωt, podemos reescrever a equação acima 
como:
Vind = �BAsen (�t) (2)
Quando a espira encontra-se em uma posição em que ωt é π/2, 3π/2, 5π/2... 
(ou seja, quando θ é múltiplo de 90°), a fem induzida é máxima e tem valor 
de Vm = ωBA. E, assim, podemos reescrever novamente a equação, de modo 
que representamos a fem induzida como sendo:
Vind = Vm
 · sen (�t) (3)
Note que a função é senoidal e tem a fem induzida máxima quando a 
espira (ou o conjunto delas) está alinhada com o campo magnético (θ = 90°). 
Esse é o princípio básico de funcionamento de um gerador de corrente 
alternada. A partir daí, a fem gerada pode ser aumentada ou diminuída, 
conforme a necessidade. Na geração da energia elétrica proveniente de uma 
usina hidrelétrica, ela é aumentada para algumas dezenas de kV e, depois, 
diminuía, em geral, para 110 V ou 220 V. Essa transformação acontece a partir 
dos transformadores.
Motores e transformadores4
258 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Como os transformadores funcionam?
A transmissão de energia elétrica por meio de fi os de alta tensão só é possível 
graças aos transformadores. Estes equipamentos convertem uma tensão baixa 
em uma alta, ou vice-versa. Por questões de segurança e efi ciência, é inte-
ressante que tanto a geração como o uso da energia elétrica aconteçam com 
baixas tensões de operação. Se já é um perigo trabalhar com essas tensões 
relativamente baixas em sua residência (110 ou 220 V), imagine se ela fosse 
alimentada por uma tensão ainda mais alta. Ninguém gostaria de passar a 
sua roupa utilizando uma tensão de 10 kV, por exemplo. Porém, no caminho 
intermediário da fonte de geração de energia e sua casa, a energia elétrica é 
transmitida com a menor corrente possível, diminuindo as perdas por aque-
cimento resistivo (I2R, sendo I a corrente elétrica, e R a resistência da linha 
de transmissão). Apesar da baixa corrente elétrica, na prática, tem-se um alto 
valor de tensão na linha. A regra para linhas de transmissão é a seguinte: 
quanto maior a tensão e menor a corrente, menor é a perda energética na 
linha de transmissão. 
Vamos a um exemplo para que isso fique mais claro para você. Digamos 
que a transmissão de uma usina hidrelétrica aconteça com uma tensão gerada 
de 500 kV, a 1000 km de distância de sua residência.Supomos que, pela linha 
de transmissão, passe uma corrente de 400. Nesse caso, a energia fornecida na 
usina hidrelétrica tem uma taxa média (potência média) de Pmédia = VI = (5x105 
V) . (400 A) = 200 MW (megawatts). Esta é a capacidade da usina em produzir 
energia. Se os cabos da linha de transmissão têm uma resistividade em torno de 
0,3 Ω/km, a resistência total na linha é de 300 Ω. A potência média dissipada 
pela linha de transmissão é de Pdissipada = I2R = 4002 . 300 = 48 MW. Ou seja, 
24% da energia é dissipada na forma de aquecimento resistivo na linha. Vamos 
supor, agora, que a corrente na linha de transmissão seja aumentada para 
800 A, mantendo a mesma potência média de geração de energia (a produção 
de energia não muda, o que muda é como essa energia é injetada nas linhas 
de transmissão). Para 800 A na linha de transmissão, a potência dissipada é 
de Pdissipada = 192 MW. Ou seja, dobrando-se a corrente elétrica, a potência 
dissipada corresponde a 96% da potência total fornecida pela usina. Esses 
resultados são impraticáveis na realidade, devido à imensa perda de energia. 
Dessa forma, é desejável que as linhas de transmissão conduzam a energia 
elétrica com a maior tensão e a menor corrente elétrica possíveis. Assim, 
diminuímos a potência dissipada e aumentamos a eficiência na transmissão 
de energia elétrica para o caso de grandes distâncias.
5Motores e transformadores
259
Eletromagnetismo | UNIDADE 4
Motores e Transformadores | PARTE 5
Um transformador é constituído de um núcleo de ferro com formato igual 
ao ilustrado na Figura 2a. Em um lado do núcleo de ferro, são enroladas espiras 
para formar um indutor. No outro lado, também são enroladas espiras, porém 
em menor ou maior número de voltas, dependendo se é desejado aumentar ou 
diminuir a tensão transmitida. O núcleo de ferro é importante porque serve 
como guia do fluxo magnético de um indutor para o outro. Ou seja, ele conduz 
o campo magnético induzido pelo indutor primário (da esquerda) para o indutor 
secundário (da direita). Na situação ideal, todo o campo magnético gerado pelo 
indutor primário passa pelo interior do indutor secundário. Na figura, o indutor 
primário é alimentado por uma fonte de corrente alternada (~). Enquanto essa 
fonte de AC varia a corrente no indutor, este, por sua vez, induz uma fem no 
indutor secundário. Note que isso não seria possível com uma fonte de corrente 
DC, uma vez que não existiria variação no fluxo magnético e, portanto, não 
induziria uma fem no indutor secundário. Um exemplo de um transformador 
comumente utilizado em subestações de energia está ilustrado na Figura 2b.
Figura 2. a) Princípio de funcionamento de um transformador. b) Fotografia de uma 
subestação de energia elétrica, na qual o transformador aparece na esquerda da imagem. 
Fonte: a) Adaptada de Walker, Halliday e Resnick (2014, p. 931) e b) Paolo Diani/Shutterstock.com.
Primária Secundária
Vind =
Como o fluxo magnético no indutor primário varia com o tempo, induz 
uma fem em cada uma das voltas do indutor secundário. Como a variação do 
fluxo magnético é a mesma em cada um dos indutores, a fem total induzida 
também deve ser a mesma para os dois. Dessa forma, a tensão Vp no primeiro 
indutor é dada por Vp = Np.Vind, e é Vs = Ns.Vind no segundo, onde Np e Ns são o 
número de espiras nos indutores primário e secundário, respectivamente. Por 
fim, podemos igualar o Vind de ambas as equações e escrever:
Motores e transformadores6
260 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
Vind = (4)
Vp
Np
VS
NS
=
Ou, ainda:
VS = Vp ∙ (5)
Ns
Np
Assim, obtemos a equação que relaciona a transformação da tensão em 
um transformador. Um transformador pode ser utilizado tanto para aumentar 
uma tensão (Ns > Np) ou diminuí-la (Ns < Np). 
Tensão e potência em um transformador
A saída de um transformador é usada para ligar algum eletrodoméstico ou 
aparelho que necessite de uma tensão diferente daquela oriunda da alta tensão, 
para o caso onde temos uma diminuição da tensão entre a entrada e saída 
do transformador. Nessa situação, uma resistência (ou um conjunto delas) é 
ligada com a saída do transformador. Quando isso acontece, uma corrente Is 
começa a fl uir pelo circuito secundário. Essa é a situação da Figura 2a para o 
segundo indutor. Quando a chave S é fechada, uma resistência R é ligada ao 
indutor secundário. A corrente que fl ui por esse circuito é correspondente à 
taxa de energia dissipada pela resistência. Essa corrente, por sua vez, produz 
sua própria variação do fl uxo magnético no núcleo de ferro, que se opõe à 
variação do fl uxo magnético produzido pela fem do primeiro indutor.
Como VP é proporcional ao número de espiras e da fem proveniente do 
gerador, esta permanece inalterada. O fato de a chave S ser fechada e um 
resistor ser adicionado ao circuito secundário não muda a resposta da fem 
fornecida pelo gerador. Mas o fluxo magnético produzido pelo segundo cir-
cuito, em uma primeira análise, mudaria o fluxo magnético passando pelo 
primeiro circuito. Para, então, manter Vp, o primeiro circuito precisa produzir 
uma corrente alternada Ip. Esta corrente é somada à de Imag que passa pelo 
indutor, proveniente da fem produzida pelo gerador. Dessa maneira, Ip produz 
uma variação no fluxo magnético, que acaba cancelando a variação deste 
proveniente da corrente Is, fazendo com que Vp permaneça constante (também 
a variação do fluxo magnético proveniente da fem do gerador).
7Motores e transformadores
261
Eletromagnetismo | UNIDADE 4
Motores e Transformadores | PARTE 5
Pelo princípio da conservação da energia, você pode notar que, quando 
uma resistência R é adicionada ao segundo circuito, surge tanto uma corrente 
Is no segundo circuito como também uma Ip no primeiro circuito. A taxa com 
que o gerador transfere energia para o primeiro indutor é igual a IpVp, a mesma 
com que o primeiro indutor transfere energia para o segundo indutor, por 
meio do campo magnético variado, interligando os dois indutores. O segundo 
indutor transfere IsVs de energia para o circuito que contém uma resistência. 
Logo a potência (ou taxa de energia transferida no tempo) gerada entre os dois 
indutores obedece a seguinte relação:
IpVp = ISVS (6)
Ou, ainda:
IS = Ip · (7)
Np
NS
Essa última equação nos diz que a corrente Is no indutor secundário pode 
diferir da corrente Ip do primário, dependendo da razão entre Np/Ns.
Como os motores elétricos funcionam 
Os motores elétricos são muito parecidos com um gerador de energia, tipo 
um rotor de uma turbina em uma usina hidrelétrica. A utilidade de motores 
elétricos é imensurável, sendo encontrados exemplos nos mais diversos equi-
pamentos elétricos e úteis do seu dia a dia. O que é importante destacar aqui é 
o princípio de funcionamento deles. Ao contrário dos geradores elétricos, que 
transformam energia mecânica em elétrica, os motores elétricos transformam 
energia elétrica em mecânica.
Suponha que você dobre um fio em um formato quadrado tipo um U, de 
modo que haja dois fios paralelos que atravessam um campo magnético. Se 
uma fonte de corrente contínua é ligada à espira, um lado dela leva a corrente 
elétrica em uma direção, e o outro a traz no sentido contrário, conforme já 
ilustrado na Figura 1. Como a corrente flui em direções opostas nos fios, a 
regra da mão direita nos diz que os dois fios mover-se-ão em direções opostas, 
devido à força magnética de interação entre o campo magnético uniforme e 
o sentido da corrente. Você pode notar a força magnética de interação por 
meio da regra da mão direita, direcionando o polegar no sentido da corrente, 
Motores e transformadores8
262 FÍSICA - ELETROMAGNETISMO 
o indicador no sentido do campo magnético e, por fim, o dedo médio indicará 
a força magnética atuante sobre cada um dos lados do fio condutor. Final-
mente, teremos uma força atuando em cada um dos fios, conforme ilustrado 
na Figura 3a.
No caso de uma corrente contínua, o resultado é a espira posicionando-se 
na vertical.A força resultante, nesta posição, é nula. A partir de então, o mo-
vimento cessa. Para que o movimento continue, a corrente pelo fio condutor 
precisa mudar de direção. Dessa forma, novamente uma força magnética atuará 
em cada parte do fio, porém com o fio posicionado na parte superior do motor 
— agora com uma força magnética atuando para baixo e no fio posicionado 
na parte inferior, com uma força atuando para cima. Para o caso de fontes 
de tensão contínua, a utilização de um comutador é requerida. O comutador 
é um objeto rígido metálico com o formato de meia-lua, ligado ao final de 
cada um dos fios que compõem a espira. A Figura 3b indica a posição dos 
comutadores em uma espira. Assim que a espira é rotacionada na vertical, o 
comutador é responsável por mudar a direção da sua corrente, mesmo que ela 
seja alimentada por uma fonte de corrente contínua. Dessa maneira, novamente 
uma força magnética atua sobre cada um dos fios que compõem o U, de modo 
a rotacionar a espira novamente, até que uma volta seja completada. A partir 
de então, novamente a polaridade na espira é trocada por meio do comutador, 
fazendo fluir corrente na direção contrária. E, assim, a espira gira, tendo sua 
corrente trocada de direção a cada meia volta.
Figura 3. a) a força magnética F atuando sobre cada lado do fio de uma 
espira imersa em um campo magnético uniforme; b) a representação da 
espira com comutadores ligados em seus terminais. 
Fonte: NAVE (2016).
9Motores e transformadores
263
Eletromagnetismo | UNIDADE 4
Motores e Transformadores | PARTE 5
Em um motor de corrente alternada, os ímãs permanentes são substituídos 
por eletroímãs. A utilização de comutadores não é mais necessária, somente 
os contatos metálicos arredondados, que possibilitem o contato de cada final 
da espira com a fonte AC. Nesse tipo de motor, tanto as espiras como os ele-
troímãs são ligados à fonte AC, de modo que a corrente fluindo pelas espiras 
esteja sempre em fase com a mudança de polaridade dos eletroímãs. Dessa 
maneira, uma força magnética atuando na espira sempre estará direcionada 
corretamente, fazendo com que as espiras do motor AC girem sob a influência 
da força magnética atuante em cada um dos lados das espiras.
Motor elétrico trifásico
Quando o torque necessário de um motor elétrico para realizar uma determinada tarefa 
é maior, os motores trifásicos são comumente utilizados. Esse tipo de motor é como 
se fosse a soma da força gerada por três motores elétricos monofásicos. Para entender 
um pouco melhor sobre este tipo de motor, você pode consultar o link a seguir.
https://goo.gl/iFPDGu
ATHOSELECTRONICS.COM. Como funcionam os motores elétricos trifásicos. [201?]. 
Disponível em: <https://athoselectronics.com/motores-eletricos-trifasicos/>. Acesso 
em: 25 fev. 2018.
BAUER, W.; WESTFALL, G.; DIAS, H. Física para universitários: eletricidade e magnetismo. 
Porto Alegre: McGraw-Hill, 2012.
NAVE, R. How does an eletric motor work? 2016. Disponível em: <http://hyperphysics.
phy-astr.gsu.edu/hbase/magnetic/mothow.html>. Acesso em: 3 mar. 2018
WALKER, J.; HALLIDAY, D.; RESNICK, R. Fundamentals of physics. New Jersey: Wiley, 2014.
Leitura recomendada
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Physics for scientists and engineers. W. H. Freeman and Com-
pany, 2008.
Motores e transformadores10
ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO 
PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.
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