Análise de Sistemas Elétricos

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Análise de Sistemas Elétricos 
de Potência
2023
1
Sumário
• Conteúdo
• Bibliografia
• Datas
2
Conteúdo – Parte 1
• Análise de Circuitos Elétricos e 
Eletromagnetismo
• Linhas de Transmissão CA
• Transformadores em Sistemas de 
Potência
3
Conteúdo – Parte 2
• Geradores Síncronos
• Cálculo de Redes
• Fluxo de Potência
• Sistemas de transmissão em 
corrente contínua 
4
Conteúdo – Parte 3
• Despacho Econômico
• Componentes Simétricas
• Faltas Simétricas
• Faltas Assimétricas
• Estabilidade de sistemas de 
potência
• Sobretensões, proteções e 
coordenação
5
Bibliografia
• W. D. Stevenson, Elements of Power System Analysis, 4th edition, 
McGraw-Hill, 1982. 
• N. Mohan. Sistemas Elétricos de Potência, 1ª ed, LTC, 2016.
• C.C.B. Oliveira. Introdução a Sistemas Elétricos de Potência: 
Componentes Simétricas, 2ª ed, Blucher, 2000.
6
Datas e Conteúdos
• Provas (Avaliações): 
• 1ª AP – 22/03/2023 – Parte 1 – Stevenson – caps. 2, 3, 4, 5 e 6
• 2ª AP – 12/04/2023 – Parte 2 - Stevenson – caps. 6, 7 e 8
• VF – 26/04/2022 – Parte 3 - Stevenson – caps. 9 a 14
• As notas serão a média: 
• 40% * Trabalhos + 60% * Provas.
• Feriados: 
• 01/05/2023 – Dia do Trabalho
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Cap.2 – Conceitos básicos
Cap.3 – Indutância em série de LT
Cap.4 – Capacitância de LT
Cap.5 – Relações de tensão e corrente em LT
Cap.6 – Simulação de Sistemas
Cap.7 – Cálculo de redes
Cap. 8 – Soluções e controle 
de fluxo de carga
Cap. 9 – Operação econômica em SEP
Cap. 10 – Faltas Trifásicas Simétricas
Cap. 11 – Componentes Simétricos
Cap. 12 – Faltas Assimétricas
Cap. 13 – Proteção de Sistemas
Cap. 14 – Estabilidade em SEP
Fundamentos de Circuitos Elétricos e 
Eletromagnetismo
8
Representação Fasorial em Regime 
Permanente Senoidal
• Em circuitos lineares com tensões e correntes senoidais, de frequências f, aplicadas por um longo tempo até 
alcançar o regime permanente, todas as correntes e tensões do circuito estão em frequência f (= w/2π).
• No domínio fasorial, as variáveis temporais v(t) e i(t) são transformados em fasores, que são representados 
pelas variáveis complexas V e I. 
• Observe que esses fasores são expressos por letras maiúsculas com uma barra "-" na parte superior. 
• No plano complexo (real e imaginário), esses fasores podem ser desenhados com uma magnitude e um 
ângulo.
em que V e I são os valores RMS (root mean square) -
valor eficaz - da tensão e da corrente.
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Representação Fasorial em Regime 
Permanente Senoidal
• Para calcular a corrente nesse circuito, no domínio do 
tempo, é necessário resolver a seguinte equação 
diferencial:
• No circuito domínio fasorial, a impedância Z dos 
elementos conectados em série é obtida pelo 
triângulo de impedâncias: 
10
Exemplo 1
• Calcule a impedância e a admitância vistas dos terminais do circuito abaixo em regime 
permanente senoidal na frequência f = 60 Hz.
11
Exemplo 2
• Calcule a corrente 𝐼1 e i(t) no circuito abaixo se a tensão aplicada tiver um valor RMS de 120 V e 
frequência de 60 Hz. Assuma que 𝑉1 é o fasor de referência. 
12
Potência, Potência Reativa e Fator de 
Potência
• Cada subcircuito, na figura ao lado, 
pode consistir de elementos passivos 
(R-L-C) e fontes ativas de tensão e corrente. 
• Com base na escolha arbitrária da polaridade da tensão e da direção da corrente, a potência instantânea p(t) 
= v(t)*l(t) é entregue pelo subcircuito I e absorvida pelo subcircuito 2.
• No subcircuito 1, a corrente definida como positiva sai pelo terminal de polaridade positiva (igual a um 
gerador). 
• Por outro lado a corrente definida positiva entra no terminal positivo no subcircuito 2 (igual a uma carga). 
Um valor negativo de p(t) inverte as regras dos subcircuitos 1 e 2. 
13
Potência, Potência Reativa e Fator de 
Potência
• Sob condição de regime permanente senoidal em 
frequência f, a potência complexa S, a potência 
reativa Q e o fator de potência expressam quão 
"efetivamente" a potência ativa (média) P é 
transferida de um subcircuito para o outro. 
• Se v(t) e i(t) estão em fase, a potência instantânea 
p(t) = v(i)*i(t) pulsa com o dobro da frequência do 
regime permanente:
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Potência, Potência Reativa e Fator de 
Potência
• Nesse caso, em qualquer tempo, p(t) > 0, por conseguinte a potência sempre flui 
em uma mesma direção: do subcircuito 1 para o subcircuito 2. 
• O valor médio em um ciclo do segundo termo no lado direito da equação acima é 
zero e, portanto, a potência média é P = VI
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Potência, Potência Reativa e Fator de 
Potência
• Considere agora as formas de onda da 
figura b, em que a forma de onda de i(t) 
está atrasada em relação à forma de onda 
de v(t) por um ângulo de fase 𝜑(t). 
• Aqui, p(t) chega a ser negativa durante um 
intervalo de tempo de (𝜑 / w) durante cada 
meio-ciclo, conforme equação abaixo:
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Potência, Potência Reativa e Fator de 
Potência
• Uma potência instantânea negativa implica um fluxo de potência na direção oposta. 
• Esse fluxo de potência em ambas as direções indica que a potência ativa (média) não é 
transferida otimamente de um subcircuito para o outro como no caso da Figura a. 
• Portanto, a potência média P(= VI cos 𝝋) na Figura b é menor que na Figura a.
17
Potência, Potência 
Reativa e Fator de 
Potência
• Os fasores da tensão e corrente são definidos 
por suas magnitudes e ângulos de fase como:
• A potencia complexa S é definida como:
• Icos é a componente da corrente que está em fase com o fasor da tensão e resulta na 
potência ativa transferida P
• Isen é a componente da corrente que está a um ângulo de 90° do fasor da tensão e 
resulta na potência reativa Q, mas sem potência ativa média. 18
Potência, Potência 
Reativa e 
Fator de Potência
As quantidades acima têm as 
seguintes unidades: P: W (Watts); 
Q: VAR (Volt-Ampere Reativo);
lSl: Ve (Volt-Amperes);
O fator de potência é uma medida de quão 
efetivamente a carga absorve potência ativa:
• Uma carga indutiva absorve potência com fator de potência atrasado em que a corrente fica atrasada em 
relação à tensão. 
• Contrariamente, uma carga capacitiva absorve potência com fator de potência adiantado, em que a corrente 
fica adiantada em relação à tensão da carga. 19
Soma das Potências Ativa e Reativa em um 
Circuito 
• Em um circuito, a potência ativa total fornecida é igual à soma de todas as potências 
ativas fornecidas aos vários componentes:
• De forma similar, a potência reativa total fornecida é igual à soma de todas as potências 
reativas fornecida aos vários componentes:
• em que Xk é negativa e, assim, Qk, é negativa se é um componente capacitivo.
20
Exemplo 3
• Calcule P, Q, S e o fator de 
potência de funcionamento nos 
terminais do circuito ao lado.
• A tensão aplicada possui um 
valor RMS de 120 V e 
frequência de 60 Hz 
• No circuito ao lado, calcule P e 
Q associados a cada elemento e 
as potências totais ativa e 
reativa fornecida aos terminais. 
21
Exemplo: Correção do FP
• No circuito ao lado, a potência 
complexa absorvida pela impedância da 
carga foi calculada como;
• Calcule a capacitância reativa em 
paralelo que resultará em um fator de 
potência global unitário.
• A tensão aplicada possui um valor RMS 
de 120 V e frequência de 60 Hz 
22
Tabela – Ação motora e Geradora
23
Circuitos Trifásicos
• Os circuitos trifásicos CA 
estão conectados em 
estrela ou triângulo. 
24
Análise por Fase em Circuitos Trifásicos 
Balanceados
• Um circuito trifásico pode ser analisado com base em uma das fases, desde que 
esse circuito tenha um conjunto balanceado de fontes de tensão e impedâncias 
iguais em cada fase.
25
Análise por Fase em Circuitos Trifásicos 
Balanceados
• Nesse circuito, o neutro da fonte n e o 
neutro da carga N estão no mesmo 
potencial. 
• Portanto, conectando hipoteticamente 
esses neutros com um cabo de impedância 
zero, como mostrado abaixo, não muda o 
circuito original trifásico, que agora pode 
ser analisado em forma monofásica. 
26
Exercício
27
Em um circuitotrifásico equilibrado, a tensão 𝑉𝑎𝑏 é 173∟0° V. Determine todas as 
tensões e as correntes numa carga em conexão Y tendo 𝑍𝐿 = 10∟20° Ω. Suponha 
que a sequência de fase é abc.
Exercício
28
A tensão terminal de uma carga conectada em Y consistindo de três impedâncias 
iguais de 20∟30° é 4,4 kV linha a linha. 
A impedância em cada uma das três linhas que conectam a carga ao barramento 
numa subestação é 𝑍𝐿 = 1,4∟75°. Achar a tensão entre linhas na barra da 
subestação.
Potência, Potência Reativa e Fator de 
Potência em Circuitos Trifásicos 
• A análise por fase é válida para circuitos trifásicos balanceados em regime 
permanente senoidal. Isto implica que as potências absorvidas ativa e reativa por 
cada fase são as mesmas que se a carga fosse monofásica. 
• Portanto, a potência ativa média total e a potência reativa em circuitos trifásicos 
são:
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Transferência de Potência Ativa e Reativa 
entre Sistemas CA
• Sistemas CA simplificados podem ser representados 
por duas fontes de tensão CA de mesma frequência 
conectados por uma reatância X em série, como 
mostrado na figura abaixo, em que a resistência série 
foi negligenciada por simplificação.
30
Transferência de Potência Ativa e Reativa 
entre Sistemas CA
𝛿 = 0
31
Valores de Base e Valores por Unidade 
• Os parâmetros de um equipamento são especificados em "por unidade" como uma fração
dos valores de base apropriados. 
• Geralmente, a tensão nominal e a corrente nominal são escolhidas como valores de base. 
• Há varias razões para especificar os parâmetros dos equipamentos em "por unidade":
• Independentemente do tamanho do equipamento, os valores por unidade baseados nos 
valores nominais da tensão e corrente do equipamento ficam restritos a uma faixa estreita e 
por isso são fáceis de serem verificados ou estimados, e
• Os sistemas de potência envolvem vários transformadores e por isso um sistema apresenta 
várias tensões e correntes nominais. Em tal sistema, um conjunto de valores de base é 
escolhido de modo que seja comum para o sistema inteiro. Utilizando os parâmetros em "por 
unidade" calculados por meio das bases em comum, as análises tornam-se profundamente 
simplificadas, já que as transformações de tensão e corrente devido à relação de espiras dos 
transformadores são eliminadas dos cálculos.
32
Valores de Base e Valores por Unidade –
Sistemas Monofásicos 
33
Valores de Base e Valores por Unidade –
Sistemas Trifásicos
34
Lei de Ampère
• Quando uma corrente i passa através de um condutor um campo magnético é produzido. 
• A direção do campo magnético depende da direção da corrente. 
• Como mostrado na Fig. a, a corrente através do condutor, perpendicular e "entrando" no plano 
do papel, é representada por "X"; esta corrente produz um campo magnético em sentido horário. 
• Contrariamente, a corrente "saindo" do plano do papel, representada por um ponto, produz um 
campo magnético em sentido anti-horário, como mostrado na Fig. b.
35
Lei de Ampère
• A intensidade de campo magnético H produzida por condutores conduzindo uma corrente pode 
ser obtida por meio da Lei de Ampère, a qual, em sua forma mais simples, enuncia que, em 
qualquer tempo, a integral de linha (contorno) da intensidade de campo magnético ao longo de 
qualquer trajetória fechada é igual à corrente total delimitada por essa trajetória.
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A Densidade de Fluxo
• Em qualquer instante t, para um dado campo H, a densidade de 
linhas de fluxo, chamada densidade de fluxo B (unidades [T], de Tesla) 
depende da permeabilidade µ do material no qual H está atuando. 
• No ar:
• Em que 𝜇0 é a permeabilidade do ar no espaço livre.
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Materiais Ferromagnéticos
• Os materiais magnéticos orientam campos magnéticos e, devido a sua alta 
permeabilidade, requerem valores baixos de ampère-espiras (pouca corrente para 
um determinado número de espiras) para produzir certo valor de densidade de 
fluxo. 
38
Materiais Ferromagnéticos
• Esses materiais apresentam comportamento não linear de múltiplos valores, como 
mostrado na curva característica B-H na Fig. a.
• A consequente perda de potência é chamada perda por histerese.
39
Materiais Ferromagnéticos
• Pala valores baixos de campo magnético, a característica a B-H é considerada 
linear, com uma inclinação constante, tal que:
• em 𝜇𝑚 que é a permeabilidade do material magnético. Tipicamente, o de um 
material é expresso em termos de uma permeabilidade 𝜇0 relativa à 
permeabilidade do ar:
• Em materiais ferromagnéticos o valor de 𝜇𝑚 pode ser milhares de vezes maior 
que 𝜇0 .
40
O Fluxo Ø
• As linhas de fluxo formam trajetórias fechadas, conforme 
apresentado no núcleo magnético toroidal da figura ao lado, 
que é cercado pelo enrolamento que conduz a corrente. 
• O fluxo no toróide pode ser calculado selecionando-se uma 
área Am em um plano perpendicular à direção das linhas de 
fluxo. 
• em que Bm é a densidade das linhas do fluxo no núcleo.
• Assim, supondo que Bm, é uniforme o fluxo Øm pode ser 
calculado como:
• em que a unidade do fluxo é o Weber (Wb). 41
O Fluxo Ø
• em que Ni é igual às ampère-espiras (ou força magneto motriz F) 
aplicada ao núcleo e o termo entre parêntesis no lado direito é 
denominado relutância R do núcleo magnético. 
42
Fluxo Concatenado
• Se todas as espiras de uma bobina, por exemplo, são enlaçadas pelo mesmo fluxo Ø logo 
a bobina tem um fluxo concatenado λ, em que:
• Em qualquer instante, o fluxo de enlace da bobina (devido a linhas do fluxo inteiramente 
no núcleo) é relacionado à corrente i por um parâmetro definido como a indutância Lm:
• em que a indutância Lm (= λm/i) é constante se o material do núcleo está operando na 
legião linear. 
43
Fluxo Concatenado
• A indutância da bobina na região linear magnética do material pode 
ser calculada como:
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Lei de Faraday: a Tensão Induzida em uma Bobina 
Devido à Variação Temporal do Fluxo de Enlace
• A Lei de Faraday estabelece que a variação temporal do fluxo do enlance é igual à tensão na 
bobina em qualquer instante:
• Pode-se estabelecer a polaridade da tensão e a direção do fluxo , a fim de aplicar a Lei de 
Faraday. 
• Se a direção do fluxo é dada pode-se definir a polaridade da tensão como se segue: 
Primeiro, determine a direção de uma corrente hipotética que produzirá fluxo na mesma 
direção que a dada. Em seguida, a polaridade positiva para a tensão é a do terminal em 
que essa corrente hipotética está entrando. 
• Ao contrário, no entanto, se a polaridade da tensão é dada, imagine uma corrente 
hipotética entrando no terminal de polaridade positiva.
45
Indutâncias de Magnetização e de Dispersão
• Nos circuitos elétricos, a condutividade do cobre é aproximadamente 10^20 vezes maior que do ar, 
garantindo que as correntes de dispersão sejam desprezíveis em CC ou em baixas frequências, tais como 6O 
Hz. 
• Em circuitos magnéticos, entretanto, a permeabilidade dos materiais magnéticos é apenas cerca de 10^4 vezes 
maior que do ar. 
• Por causa dessa baixa relação, nem todo o fluxo é confinado ao núcleo na estrutura da Fig. abaixo, e a "janela" 
do núcleo também tem linhas de fluxo que são chamadas de dispersão.
• Na prática, a bobina consiste em múltiplas camadas e o núcleo é projetado para encaixar o enrolamento da
bobina do modo mais perfeito possível e assim minimizar a área da “janela” não utilizada.
46
Indutâncias de Magnetização e de Dispersão
• Pode-se dividir o fluxo total Ø em duas partes: 
• o fluxo magnético Øm, que é completamente confinado ao núcleo e enlaça todas as N espiras, e 
• o fluxo de dispersão que está parcialmente ou inteiramente fechado no ar e é representado pelo fluxo disperso Øl, que também enlaça 
todas as espiras da bobina, mas não segue a trajetória magnética inteira, conforme mostrado na Fig. b. 
• Assim:
• em que Ø é o fluxo equivalente que enlaça todas as N espiras. Portanto, o fluxo total de enlace da bobina é:
• A indutância total (denominada autoindutância) pode ser obtida pela divisãoda Eq. Anterior pela corrente i:
• em que Lm é frequentemente denominada 
indutância de magnetização devido ao fluxo Øm
no núcleo magnético e Ll é denominada 
indutância de dispersão devido ao fluxo Øl.
47
Indutâncias de Magnetização e de Dispersão
• O fluxo total de enlace da bobina pode ser reescrito como:
48
• a queda de tensão devido à indutância de 
dispersão pode ser mostrada separadamente, 
assim a tensão induzida na bobina dá-se somente 
devido ao fluxo de magnetização. 
• A resistência da bobina R pode ser adicionada em 
série para completar a representação da bobina.
Correntes de linha e fase em carga conectada 
em triângulo sob condições balanceadas
• A Figura abaixo mostra uma carga balanceada conectada em triângulo sendo alimentada por
uma fonte trifásica balanceada. Da Lei das Correntes de Kirchhoff:
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Transformações entre impedâncias 
conectadas em estrela e triângulo
• Para chegar à transformação apropriada, considere que o nó c seja desconectado do resto do circuito, isto é 
Ic = 0. 
• Como ambas as configurações são equivalentes, no que se refere ao circuito externo, a impedância entre os 
nós a e b deve ser a mesma. Assim,
50
• De forma similar, considerando abertos 
os nós a e b, respectivamente.
Transformações entre impedâncias 
conectadas em estrela e triângulo
• Resolvendo as equações anteriores simultaneamente:
51
Transformações entre impedâncias 
conectadas em estrela e triângulo
52
• Somando as três equações de anteriores:
53
Impedância em Série de Linhas de 
Transmissão
2022
Sumário
• Introdução;
• Tipos de condutores;
• Resistência;
• Indutância;
• Indutância de um condutor devido ao fluxo interno;
• Indutância de uma linha monofásica a 2 fios;
• Indutância de linhas com condutores compostos;
• Indutância de linhas trifásicas com espaçamento equilátero e assimétrico;
• Linhas trifásicas com circuitos em paralelo;
Introdução
• Parâmetros de uma Linha de Transmissão: 
• resistência, 
• indutância, 
• capacitância e 
• condutância
• A condutância entre condutores ou entre condutor e terra -> a corrente de fuga nos isoladores das linhas 
aéreas de transmissão. 
• A condutância entre condutores de uma linha aérea = 0
• A fuga nos seus isoladores é desprezível.
Introdução
• Uma variação de corrente nos condutores induz uma variação do número de linhas de fluxo magnético 
concatenadas com o circuito. 
• Variação do fluxo concatenado induz uma tensão que é proporcional à taxa de variação do fluxo. 
• A indutância relaciona a tensão induzida por variação de fluxo com a taxa de variação da corrente.
• Já a capacitância entre condutores é a carga nos condutores por unidade de diferença de potencial.
• A impedância em série é formada pela resistência e pela indutância uniformemente distribuídas ao longo da 
linha.
• A admitância em derivação é formada pela capacitância existentes entre condutores de uma linha 
monofásica ou entre o condutor e o neutro de uma linha trifásica.
Tipos de Condutores
• Antigamente os condutores de cobre eram usados na transmissão, devido ao custo e ao peso o 
cobre foi substituído pelo alumínio. 
• O condutor de alumínio custa e pesa menos do que o de cobre, considerando um valor fixo de 
resistência. 
• O condutor de alumínio também apresenta um diâmetro maior do que um condutor de cobre 
equivalente. Isto favorece que o condutor de alumínio tenha uma densidade de fluxo elétrico 
superfície do condutor de alumínio menor do que um condutor de cobre para a mesma tensão. 
• Desta forma, o condutor de alumínio possui um gradiente de potencial na superfície menor e 
tende menos à ionização do ar em volta do condutor.
• A ionização do ar pode produzir o efeito corona.
Tipos de Condutores
• Os símbolos identificando os tipos de condutores de alumínio são:
CA condutores de alumínio puro
AAAC condutores de liga de alumínio pura
CAA condutores de alumínio com alma de aço
ACAR condutores de alumínio com alma de liga de alumínio
• Os condutores formados por liga de alumínio possuem maior resistência à tração do que os condutores 
constituídos apenas por alumínio. 
• O CAA é constituído por um núcleo central (alma) de fios de aço, envolvido por coroas de fios de alumínio. 
• O ACAR possui um núcleo central de fios de liga de alumínio de maior resistência mecânica, envolvido por 
coroas de fios de alumínio para fins elétricos.
Resistência 
• A resistência em corrente contínua é dada pela fórmula :
• onde
𝜌 = resistividade do condutor
𝑙 = comprimento
A = área da seção transversal
𝑅 =
𝜌𝑙
𝐴
Ω
Indutância
• A tensão induzida numa espira:
• A variação de corrente num circuito influi na variação de campo magnético causado por esta corrente.
• Caso a permeabilidade do meio seja constante, ou seja, a o fluxo concatenado varia de maneira linear com a 
corrente:
• Indutância mútua entre 2 circuitos:
𝑒 =
𝑑𝜏
𝑑𝑡
= 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
𝐿 =
𝑑𝜏
𝑑𝑖
𝐿 =
𝜏
𝑖
𝑀12 =
𝜓12
𝐼2
A corrente 𝐼2 produz no circuito 1 o fluxo concatenado 𝜓12
Indutância de um condutor devido ao Fluxo 
Interno
𝐹𝑀𝑀 = ර𝐻 ∙ 𝑑𝑠 = 𝐼𝑒𝑛𝑣
ර𝐻𝑋 ⋅ 𝑑𝑆 = 𝐼𝑋
𝐻𝑋 ⋅ 2𝜋𝑥 = 𝐼𝑋 𝐼𝑋 =
𝜋𝑥2
𝜋𝑟2
∙ 𝐼
𝐻𝑋 =
𝑥
2𝜋𝑟2
∙ 𝐼 𝐵𝑋 = 𝜇𝐻𝑋 =
𝜇𝑥
2𝜋𝑟2
∙ 𝐼
𝑑∅ =
𝜇𝑥𝐼
2𝜋𝑟2
𝑑𝑥𝑑∅ = 𝐵𝑋 ∙ 𝑑𝑥
𝐻𝑋 -> intensidade de campo a uma distância de x metros do 
centro do condutor;
𝐼𝑋 -> corrente envolvida;
Wb/m
Wb/m²
Indutância de um condutor devido ao Fluxo 
Interno
𝐹𝑀𝑀 = ර𝐻 ∙ 𝑑𝑠 = 𝐼𝑒𝑛𝑣
ර𝐻𝑋 ⋅ 𝑑𝑆 = 𝐼𝑋
𝑑𝜓 =
𝜋𝑥2
𝜋𝑟2
𝑑∅
𝑑𝜓 =
𝜇𝐼𝑥3
2𝜋𝑟4
∙ dx 𝜓𝑖𝑛𝑡 = න
0
𝑟
𝑑𝜓 =
𝜇𝐼
8𝜋
𝐿𝑖𝑛𝑡 =
𝜓𝑖𝑛𝑡
𝐼
𝐿𝑖𝑛𝑡 =
4𝜋 ∙ 10−7
8𝜋
𝐿𝑖𝑛𝑡 =
1
2
∙ 10−7 𝐻/𝑚
Fluxo concatenado, por metro de comprimento, 
causando pelo elemento tubular.
Para uma 
permeabilidade relativa 
unitária.
Fluxo 
concatenado total
no interior do 
condutor
[Wb/m]
Indutância por 
unidade de 
comprimento 
devida apenas ao 
fluxo magnético 
interno ao 
condutor.
Fluxo concatenado entre dois pontos 
externos de um condutor isolado
2𝜋𝑥𝐻𝑋 = 𝐼
𝐻𝑋 =
𝐼
2𝜋𝑥
𝐵𝑋 =
𝜇𝐼
2𝜋𝑥
𝑑∅ =
𝜇𝐼
2𝜋𝑥
𝑑𝑥
𝜓12 = න
𝐷1
𝐷2 𝜇𝐼
2𝜋𝑥
𝑑𝑥
𝜓12 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝐼 ∙ ln
𝐷2
𝐷1
[Wb/m]
𝐿12 = 2 ∙ 10−7 ∙ ln
𝐷2
𝐷1
[H/m]
[Wb/m²]
[Wb/m]
Indutância de uma Linha Monofásica a 2 fios
𝐿1,𝑒𝑥𝑡 = 2 ∙ 10−7 ∙ ln
𝐷
𝑟1
H/m 𝐿𝑖𝑛𝑡 =
1
2
∙ 10−7 𝐻/𝑚
𝐿1,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = (0,5 + 2 ∙ ln
𝐷
𝑟1
) ∙ 10−7 H/m
𝐿1,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2 ∙ (ln(𝑒1/4) + ln
𝐷
𝑟1
) ∙ 10−7 𝐿1,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
𝐷
𝑟1𝑒−1/4
𝐿1,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
𝐷
𝑟1
′
𝐿𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐿1 + 𝐿2 = 4 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
𝐷
√𝑟1
′𝑟2
′ [H/m] 
𝐷 ≫ 𝑟1
𝐷 ≫ 𝑟2 𝐿2,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
𝐷
𝑟2
′
O fluxo produzido 
pelo condutor 1 
enlaça toda a 
corrente I
I -I
O raio r1’ corresponde a um condutor fictício, 
sem fluxo interno, porém com a mesma indutância 
do condutor real, de raio r1.
Fluxo Concatenado com um Condutor em um 
Grupo de Condutores
𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 +⋯+ 𝐼𝑛 = 0
𝜓1𝑃1 =
𝐼1
2
+ 2𝐼1 ln
𝐷1𝑃
𝑟1
∙ 10−7 = 2 ∙ 10−7𝐼1 ln
𝐷1𝑃
𝑟1
𝜓1𝑃2 =
𝐼2
2
+ 2𝐼2 ln
𝐷2𝑃
𝐷12
∙ 10−7 = 2 ∙ 10−7𝐼2 ln
𝐷2𝑃
𝐷12
• Fluxo concatenado com o condutor 1 devido à corrente I1, 
incluindo o fluxo interno e excluindo todo o fluxo além do ponto P:
• Fluxo concatenado com o condutor 1 devido à corrente I2, 
incluindo o fluxo interno e excluindo todo o fluxo além do ponto P:
Fluxo Concatenado com um Condutor em um 
Grupo de Condutores
𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 +⋯+ 𝐼𝑛 = 0
𝜓1𝑃 = 2 ∙ 10−7(𝐼1 ln
𝐷1𝑃
𝑟1
′ + 𝐼2 ln
𝐷2𝑃
𝐷12
+ 𝐼3 ln
𝐷3𝑃
𝐷13
+⋯+ 𝐼𝑛 ln
𝐷𝑛𝑝
𝐷1𝑛
)
= 2 ∙ 10−7(𝐼1 ln
1
𝑟1
′ + 𝐼2 ln
1
𝐷12
+⋯+ 𝐼𝑛 ln
𝐷𝑛𝑝
𝐷1𝑛
+
• Fluxo concatenado com o condutor 1 devido a todos os 
condutores do grupo, excluindo todo o fluxo além do ponto P:
+𝐼1 ln 𝐷1𝑃 + 𝐼2 ln 𝐷2𝑃 +⋯++𝐼𝑛 ln 𝐷𝑛𝑃 )
𝐼𝑛 = −(𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 +⋯+ 𝐼𝑛−1)
𝜓1𝑃 = 2 ∙ 10−7 𝐼1 ln
1
𝑟1
′ + 𝐼2 ln
1
𝐷12
+⋯+ 𝐼𝑛 ln
1
𝐷1𝑛
+ 𝐼1 ln
𝐷1𝑃
𝐷𝑛𝑝
+ 𝐼2 ln
𝐷2𝑃
𝐷𝑛𝑝
+⋯+ 𝐼𝑛−1 ln𝐷 𝑛−1 𝑃
𝐷𝑛𝑝
𝜓1 = 2 ∙ 10−7 𝐼1 ln
1
𝑟1
′ + 𝐼2 ln
1
𝐷12
+⋯+ 𝐼𝑛 ln
1
𝐷1𝑛
Fluxo Concatenado com um Condutor em um 
Grupo de Condutores
= 2 ∙ 10−7(𝐼1 ln
1
𝑟1
′ + 𝐼2 ln
1
𝐷12
+⋯+ 𝐼𝑛 ln
𝐷𝑛𝑝
𝐷1𝑛
+
+𝐼1 ln 𝐷1𝑃 + 𝐼2 ln 𝐷2𝑃 +⋯++𝐼𝑛 ln 𝐷𝑛𝑃 )
Admitindo o ponto P longe dos condutores:
1 1 1
Indutância de Linhas com Condutores 
Compostos
𝑛 𝑓𝑖𝑜𝑠 𝑚 𝑓𝑖𝑜𝑠
I/n −𝐼/𝑚
𝑟𝑎
′ = 𝑟𝑎𝑒
−1/4
𝜓𝑎 = 2 ∙ 10−7 ∙
𝐼
𝑛
(ln
1
𝑟𝑎
′ + ln
1
𝐷𝑎𝑏
+ ln
1
𝐷𝑎𝑐
+ ... + ln
1
𝐷𝑎𝑛
)
− 2 ∙ 10−7 ∙
𝐼
𝑚
(ln
1
𝐷𝑎𝑎′
+ ln
1
𝐷𝑎𝑏′
+ ... + ln
1
𝐷𝑎𝑚
)
𝜓𝑎 = 2 ∙ 10−7𝐼 ∙ ln
𝑚 𝐷𝑎𝑎′𝐷𝑎𝑏′ …𝐷𝑎𝑚
𝑛 𝑟′𝑎𝐷𝑎𝑏 …𝐷𝑎𝑛
Wb/m
• Fluxo concatenado do fio A do condutor X:
𝐿𝑎 =
𝜓𝑎
Τ𝐼 𝑚
= 2𝑛 ∙ 10−7 ∙ ln
𝑚 𝐷𝑎𝑎′𝐷𝑎𝑏′ …𝐷𝑎𝑚
𝑛 𝑟′𝑎𝐷𝑎𝑏 …𝐷𝑎𝑛
𝐿𝑏 =
𝜓𝑏
Τ𝐼 𝑛
= 2𝑛 ∙ 10−7 ∙ ln
𝑚 𝐷𝑏𝑎′𝐷𝑏𝑏′ …𝐷𝑏𝑚
𝑛 𝑟′𝑏𝐷𝑏𝑏 …𝐷𝑏𝑛
...
𝐿𝑛 = ⋯
𝐿𝑚𝑒𝑑 =
𝐿𝑎 + 𝐿𝑏 +⋯+ 𝐿𝑛
𝑛
𝐿𝑒𝑞,𝑥 =
𝐿𝑎 + 𝐿𝑏 +⋯+ 𝐿𝑛
𝑛2
Indutância de Linhas com Condutores 
Compostos
𝐿𝑥 = 2 ∙ 10−7 ∙ ln
𝑚𝑥𝑛
𝐷𝑎𝑎′𝐷𝑎𝑏′ …𝐷𝑎𝑚 … 𝐷𝑛𝑎′𝐷𝑛𝑏′ …𝐷𝑛𝑚
𝑛2
𝐷𝑎𝑎𝐷𝑎𝑏 …𝐷𝑎𝑛 … 𝐷𝑛𝑎𝐷𝑛𝑏 …𝐷𝑛𝑛
𝐷𝑀𝐺 = 𝐷𝑚 = 𝐷𝑎𝑎′𝐷𝑎𝑏′ …𝐷𝑎𝑚 …(𝐷𝑛𝑎′𝐷𝑛𝑏′ …𝐷𝑛𝑚)
𝑅𝑀𝐺 = 𝐷𝑠 = 𝐷𝑎𝑎𝐷𝑎𝑏 …𝐷𝑎𝑛 …(𝐷𝑛𝑎𝐷𝑛𝑏 …𝐷𝑛𝑛)
𝐷𝑎𝑎 = 𝑟𝑎
′ = 𝑟𝑎 ∙ 𝑒
−1/4
X -> n fios
Y -> m fios
𝐿𝑥 = 2 ∙ 10−7 ∙ ln
𝐷𝑚
𝐷𝑠
𝐿𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = 𝐿𝑥 + 𝐿𝑦
Indutância de Linhas com Condutores 
Compostos
Exemplo 1
Uso de Tabelas
• Os valores de RMG são disponíveis para 
certos tipos de condutores.
• Reatância Indutiva para 1 pé de 
espaçamento ou Xa
• Fator de espaçamento da reatância 
indutiva ou Xd.
ln
𝑎
𝑏
= ln 𝑎 − ln 𝑏 = ln 𝑎 + ln(1/𝑏)
𝑋𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = 𝑋𝑎 + 𝑋𝑑
𝑋 = 𝑊𝐿 = 2π𝑓𝐿
𝑋
Ω
𝑚
= 2π𝑓 ∙ 2 ∙ 10−7 ln
𝐷𝑚
𝐷𝑠
𝑋𝐿
Ω
𝑚𝑖
= 2,022 ∙ 10−7 ∙ 𝑓 ∙ ln
1
𝐷𝑠
+
+2,022 ∙ 10−3𝑓𝑙𝑛(𝐷𝑚)
𝐷𝑚 → 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
Uso de Tabelas
74
𝑋𝐿
Ω
𝑚𝑖
= 2,022 ∙ 10−7 ∙ 𝑓 ∙ ln
1
𝐷𝑠
+2,022 ∙ 10−3𝑓𝑙𝑛(𝐷𝑚)
Xd – Fator de espaçamento 
da reatância indutiva.
Xa – Fator de espaçamento 
para 1 pé de espaçamento.
𝑋𝐿 = 𝑋𝑑 + 𝑋𝑎 [Ω/m]
75
Exemplo
• Determine a reatância indutiva por milha de uma linha monofásica, que opera na frequência de 
60 Hz. 
• Os cabos são do tipo Patridge e a distância entre os centros dos cabos é de 25 pés.
Indutância de Linha Trifásica com 
Espaçamento Equilátero 
r
r r
𝐼𝑎 + 𝐼𝑏 + 𝐼𝑐 = 0 𝐼𝑏 + 𝐼𝑐 = −𝐼𝑎
𝜓𝑎 = 2 ∙ 10−7 𝐼𝑎 ln
1
𝐷𝑠
+ 𝐼𝑏 ln
1
𝐷
+ 𝐼𝑐 ln
1
𝐷
𝜓𝑎 = 2 ∙ 10−7∙ 𝐼𝑎 ∙ ln
𝐷
𝐷𝑆
𝐿𝑎 = 2 ∙ 10−7∙ ln
𝐷
𝐷𝑆
[𝐻/𝑚]
Indutância de uma Linha Trifásica com 
Espaçamento Assimétrico
1
2
3
a -> 1
B
c
a -> 2
B
c
a -> 3
B
c
𝜓𝑎1 = 2 ∙ 10−7 𝐼𝑎 ln
1
𝐷𝑠
+ 𝐼𝑏 ln
1
𝐷12
+ 𝐼𝑐 ln
1
𝐷31
𝜓𝑎2 = 2 ∙ 10−7 𝐼𝑎 ln
1
𝐷𝑠
+ 𝐼𝑏 ln
1
𝐷23
+ 𝐼𝑐 ln
1
𝐷12
𝜓𝑎3 = 2 ∙ 10−7 𝐼𝑎 ln
1
𝐷𝑠
+ 𝐼𝑏 ln
1
𝐷31
+ 𝐼𝑐 ln
1
𝐷23
𝐿𝑎 =
𝜓𝑎
𝐼𝑎
= 2 ∙ 10−7 ln
𝐷𝑒𝑞
𝐷𝑠
[𝐻/𝑚]
𝜓𝑎 =
𝜓𝑎1 +𝜓𝑎2 + 𝜓𝑎3
3
𝜓𝑎 = 2 ∙ 10−7𝐼𝑎 ln
3
𝐷𝑒𝑞
𝐷𝑆
𝐷𝑒𝑞 = 𝐷12𝐷23𝐷31
𝐿𝑎 = 2 ∙ 10−7∙ ln
3 𝐷𝑒𝑞
𝐷𝑆
Exemplo
• A figura abaixo mostra uma linha trifásica de circuito simples para operação em 60 Hz. 
• Os condutores são do tipo CAA tipo Drake. 
• Determine a reatância indutiva por milha por fase.
79
Cabos Múltiplos
• As perdas nas linhas de transmissão aumentam consideravelmente nas tensões acima de 230 kV 
devido ao efeito corona.
• Condutores em paralelo por fase podem reduzir as consequências do efeito corona. Além disso, a 
redução da resistência também reduz as perdas.
• Devido a distância dos condutores, o valor de DMG não é significativamente alterado. Mas o 
aumento no número de condutores aumenta o valor do RMG. 
• O cálculo é realizado da mesma forma que condutores encordoados.
• Cada condutor de um cabo duplo é tratado como um fio de condutor a dois fios.
80
𝐷𝑠
𝑏 =
4
𝐷𝑠 × 𝑑 2 = 𝐷𝑠 × 𝑑
𝐷𝑠
𝑏 =
9
𝐷𝑠 × 𝑑 × 𝑑 3 =
3
𝐷𝑠 × 𝑑2
𝐷𝑠
𝑏 =
16
𝐷𝑠 × 𝑑 × 𝑑 × 𝑑 × 21/2 4 =
1,09×
4
𝐷𝑠 × 𝑑3
𝐷𝑠
𝑏 − 𝑅𝑀𝐺 𝑑𝑒 𝑢𝑚 𝑐𝑎𝑏𝑜 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜
𝐷𝑠 − RMG dos condutores individuais do cabo
Exemplo 1 
• Cada condutor da linha múltipla da figura abaixo é CAA do tipo Pheasant. 
• Determine a reatância indutiva em ohms por km (e por milha) por fase para d = 45 cm. 
• Determine a reatância em série em p.u. se a linha tem 160 km e uma base de 100 MVA, 345 kV.
81
Capacitância de Linhas 
de Transmissão
82
Capacitância de LT’s
• A diferença de potencial entre os condutores é modelada por uma capacitância;
• A capacitância entre os condutores em paralelo é a carga por unidade de 
diferença de potencial entre os mesmos;
• A capacitância entre os condutores em paralelo é uma constante que depende 
das dimensões e do afastamento dos condutores.
• O efeito da capacitância é mais pronunciado para linhas maiores do que 80 km.
• A corrente de carregamento de uma linha é o movimento de cargas devido a uma 
corrente alternada na linha e existe mesmo a linha estando em vazio.
83
Campo Elétrico de um Condutor Linear
84
K -> permissividade elétrica
𝐷 =
𝑞
2𝜋𝑥
[𝑐/𝑚²]
𝐸 =
𝐷
𝐾
=
𝑞
2𝜋𝐾𝑥
[𝑉/𝑚]
𝐾0 = 8,85 ∙ 10−12 𝐹/𝑚
𝐾 = 𝐾𝑟𝐾0Equipotenciais
Densidade de fluxo elétrico.
Campo Elétrico.
Permissividade elétrica do vácuo.
Diferença de potencial entre 2 pontos devido 
a uma carga
85
𝑉12 = න
𝐷1
𝐷2
𝐸𝑑𝑥 = න
𝐷1
𝐷2 𝑞
2𝜋𝐾𝑥
𝑑𝑥 =
𝑞
2𝜋𝐾
ln
𝐷2
𝐷1
[𝑉]
- Queda de tensão entre as duas equipotenciais contendo P1 e P2:
Capacitância de uma linha a 2 fios
86
a
𝑞𝑎
b
𝑞𝑏
𝐶 =
𝑞
𝑉
[𝐹/𝑚]
𝑉𝑎𝑏 =
𝑞𝑎
2𝜋𝐾
ln
𝐷
𝑟𝑎
+
𝑞𝑏
2𝜋𝐾
ln
𝑟𝑏
𝐷
𝑑𝑒𝑣𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑞𝑎 𝑑𝑒𝑣𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑞𝑏
𝑉𝑎𝑏 =
𝑞𝑎
2𝜋𝐾
ln
𝐷2
𝑟𝑎𝑟𝑏
𝐶𝑎𝑏 =
𝑞𝑎
𝑉𝑎𝑏
=
2𝜋𝐾
ln
𝐷2
𝑟𝑎𝑟𝑏
𝑠𝑒 𝑟 = 𝑟𝑎 = 𝑟𝑏 𝐶𝑎𝑏 =
𝜋𝐾
ln( Τ𝐷 𝑟)
[F/m]
Capacitância por unidade de comprimento da linha.
q -> carga sobre a linha, em Coulombs
V -> diferença de potencial entre os condutores, em V.
𝑞𝑎 = −𝑞𝑏
Capacitância 
entre os 
condutores, 
em F/m.
Capacitância ao Neutro
87
𝑉𝑎𝑛 =
𝑉𝑎𝑏
2
𝐶𝑎𝑛 =
𝑞𝑎
𝑉𝑎𝑛
= 2 ∙ 𝐶𝑎𝑏
𝑋𝑐𝑛 =
1
2𝜋𝑓𝐶
=
2,862
𝑓
∙ 109 ∙ ln
𝐷
𝑟
[Ω𝑚]
𝑋𝑐𝑛 =
1,779
𝑓
∙ 106 ∙ ln
𝐷
𝑟
[Ω ∙ 𝑚𝑖]
=
1,779
𝑓
∙ 106 ∙ ln
1
𝑟
+
1,779
𝑓
∙ 106 ∙ ln 𝐷
𝑋′𝑎 𝑋′𝑑
Reatância 
Capacitiva para
1 pé de 
espaçamento
Fator de 
espaçamento 
de reatância 
capacitiva
- Reatância capacitiva entre um condutor e o neutro:
Exemplo
• Determine a susceptância capacitiva por milha de uma linha monofásica que opera a 60 Hz. 
• O condutor é o Partridge, e o espaçamento entre centros é de 20 pés. 
88
89
90
Capacitância de uma linha trifásica com 
espaçamento equilátero
91
𝑉𝑎𝑏 = 3 ∙ 𝑉𝑎𝑛 ∙ (0,866 + 0,5𝑗)
𝑉𝑎𝑐 = −𝑉𝑐𝑎= 3 ∙ 𝑉𝑎𝑛 ∙ (0,866 − 0,5𝑗)
𝑉𝑎𝑏 + 𝑉𝑎𝑐 = 3 ∙ 𝑉𝑎𝑛
Capacitância de uma linha trifásica com 
espaçamento equilátero
92
𝑉𝑎𝑏 =
1
2π𝐾
𝑞𝑎 ln
𝐷
𝑟
+ 𝑞𝑏 ln
𝑟
𝐷
𝑉𝑎𝑏 =
𝑞𝑐
2π𝐾
ln
𝐷
𝐷
𝑉𝑎𝑐 =
1
2𝜋𝐾
𝑞𝑎 ln
𝐷
𝑟
+ 𝑞𝑐 ln
𝑟
𝐷
𝑉𝑎𝑏 + 𝑉𝑎𝑐 =
1
2𝜋𝐾
2𝑞𝑎 ln
𝐷
𝑟
+ 𝑞𝑏 + 𝑞𝑐 ln
𝑟
𝐷
𝑞𝑎 + 𝑞𝑏 + 𝑞𝑐 = 0
= 3𝑉𝑎𝑛
𝑉𝑎𝑛 =
𝑞𝑎
2𝜋𝐾
ln
𝐷
𝑟
[𝑉]
𝐶𝑛 =
𝑞𝑎
𝑉𝑎𝑛
=
2𝜋𝐾
ln( Τ𝐷 𝑟)
[𝐹/𝑚]
Devido a qa e qb
Devido a qc
Capacitância de uma trifásica com 
espaçamento assimétrico
93
𝑉𝑎𝑏 =
1
2𝜋𝐾
𝑞𝑎 ln
𝐷𝑒𝑞
𝑟
+ 𝑞𝑏 ln
𝑟
𝐷𝑒𝑞
𝐷𝑒𝑞 =
3 𝐷12𝐷23𝐷31
r
rr
a – 1
b – 2
c – 3 
a – 2
b – 3
c – 1
a – 3
b – 1
c – 2
𝑉𝑎𝑏 =
1
2𝜋𝐾
𝑞𝑎 ln
𝐷12
𝑟
+ 𝑞𝑏 ln
𝑟
𝐷12
+ 𝑞𝑐 ln
𝐷23
𝐷31
𝑉𝑎𝑏 =
1
2𝜋𝐾
𝑞𝑎 ln
𝐷23
𝑟
+ 𝑞𝑏 ln
𝑟
𝐷23
+ 𝑞𝑐 ln
𝐷31
𝐷12
𝑉𝑎𝑏 =
1
2𝜋𝐾
𝑞𝑎 ln
𝐷31
𝑟
+ 𝑞𝑏 ln
𝑟
𝐷31
+ 𝑞𝑐 ln
𝐷12
𝐷23
𝐶𝑛 =
𝑞𝑎
𝑉𝑎𝑛
=
2𝜋𝐾
ln( Τ𝐷𝑒𝑞 𝑟)
[𝐹/𝑚]
𝑉𝑎𝑐 =
1
2𝜋𝐾
𝑞𝑎 ln
𝐷𝑒𝑞
𝑟
+ 𝑞𝑐 ln
𝑟
𝐷𝑒𝑞
Exemplo 
• Determine a capacitância e a reatância capacitiva por milha de umalinha trifásica de circuito 
simples, 60 Hz, mostrada abaixo. 
• Os condutores são de CAA do tipo Drake. 
• Se o comprimento da linha for de 175 milhas e a tensão nominal de operação de linha for de 220 
kV, determine a reatância capacitiva ao neutro para toda a linha.
94
Efeito da terra sobre a capacitância de linhas 
de transmissão trifásicas
95
𝑉𝑎𝑏 =
1
2𝜋𝐾
[𝑞𝑎 ln
𝐷12
𝑟
− ln
𝐻12
𝐻1
+𝑞𝑏 ln
𝑟
𝐷12
− ln
𝐻2
𝐻12
+𝑞𝑐 ln
𝐷23
𝐷31
− ln
𝐻23
𝐻31
]
𝑉𝑎𝑛 =
𝑉𝑎𝑏 + 𝑉𝑎𝑐
3
𝐶𝑛 =
2𝜋𝐾
ln
𝐷𝑒𝑞
𝑟 − ln
3 𝐻12𝐻23𝐻31
𝐻1𝐻2𝐻3
96
Relações de Tensão e Corrente 
em Linhas de Transmissão
97
Tipos de Linhas
• Linhas Curtas;
• Até 80 km
• Linhas Médias;
• De 80 até 240 km
• Linhas Longas;
• Acima de 240 km
98
• Normalmente, as linhas de transmissão funcionam com 
cargas trifásicas equilibradas. 
• Embora as linhas não possuam espaçamento equilátero e 
não sejam transpostas, a assimetria resultante é pequena e 
as fases podem ser consideradas equilibradas.
Tipos de Linhas – Linha Média –
Parâmetros Concentrados
99
Linha de Transmissão Curta
100
Vazio Plena carga
Barra transmissora Barra receptora
Linha de Transmissão Média
101
R XL
I1 I2
𝐼𝑆 = 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼𝑅
𝑉𝑆𝑌
2
𝑉𝑅𝑌
2
𝐼𝑆 = 𝑉𝑅𝑌 1 +
𝑍𝑌
4
+ 1 +
𝑍𝑌
4
𝐼𝑅
𝑉𝑆
𝐼𝑆
=
𝐴 𝐵
𝐶 𝐷
𝑉𝑅
𝐼𝑅
Entrada Const.
Generaliz.
Do Circuito
Recep.
PI- NOMINAL:
𝑉𝑆 = 𝑉𝑅
𝑌
2
+ 𝐼𝑅 𝑍 + 𝑉𝑅
𝑉𝑆 =
𝑍𝑌
2
+ 1 𝑉𝑅 + 𝑍𝐼𝑅
Linha de Transmissão Longa (> 240 km)
102
𝑥 = 0 → ቊ
𝑉 0 = 𝑉𝑅
𝐼 0 = 𝐼𝑅
𝑉 𝑥 = 𝐴1 exp 𝛾𝑍𝑥 + 𝐴2exp(− 𝛾𝑍𝑥)
𝛾𝑍 → 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑎𝑔𝑎çã𝑜
ref
ቊ
𝑧Δ𝑥
𝛾Δ𝑥
Δ𝑉 = 𝐼𝑧Δ𝑥 → 𝐼𝑧 =
Δ𝑉
Δ𝑥
=
𝑑𝑉
𝑑𝑥
Δ𝐼 = 𝑉𝛾Δ𝑥 → 𝑉𝛾 =
Δ𝐼
Δ𝑥
=
𝑑𝐼
𝑑𝑥
𝑑2𝑉
𝑑𝑥²
= 𝑧
𝑑𝐼
𝑑𝑥
= 𝑧𝑉𝛾
𝑑2𝐼
𝑑𝑥²
= 𝛾
𝑑𝑉
𝑑𝑥
= 𝛾𝐼𝑧
𝑉 𝑥 = 𝐴1 exp 𝑘𝑥 + 𝐴2exp(−𝑘𝑥)
103
𝐼 𝑥 =
1
Τ𝑧 𝛾
𝐴1 exp 𝛾𝑧𝑥 −
1
Τ𝑧 𝛾
𝐴2 exp 𝛾𝑧𝑥
𝑍𝐶 → 𝐼𝑚𝑝𝑒𝑑â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑎 𝑙𝑖𝑛𝑎
Υ → 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑔𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑙𝑖𝑛𝑎
𝐴1 + 𝐴2 = 𝑉𝑅
𝐴1
𝑍𝐶
−
𝐴2
𝑍𝐶
= 𝐼𝑅
𝐴1 =
𝑉𝑅 + 𝐼𝑅𝑍𝐶
2
𝐴2 =
𝑉𝑅 − 𝐼𝑅𝑍𝐶
2
Υ = 𝛼 + 𝑗𝛽
Υ– Const. de propagação
𝛼 – Const. de atenuação
𝛽 – Const. de fase
𝑒𝑗𝛽𝑥 = cos(𝛽𝑥) + 𝑗 sin(𝛽𝑥)
𝑉 𝑥 =
𝑉𝑅 + 𝐼𝑅𝑍𝐶
2
𝑒𝛼𝑥𝑒𝑗𝛽𝑥 +
𝑉𝑅 − 𝐼𝑅𝑍𝐶
2
𝑒−𝛼𝑥𝑒−𝑗𝛽𝑥
𝑒Υ𝑥 𝑒−Υ𝑥
Incidente Refletida
𝐼 𝑥 =
Τ𝑉𝑅 𝑍𝐶 + 𝐼𝑅
2
𝑒𝛼𝑥𝑒𝑗𝛽𝑥 +
Τ𝑉𝑅 𝑍𝐶 − 𝐼𝑅
2
𝑒−𝛼𝑥𝑒−𝑗𝛽𝑥
Linha de Transmissão Longa (> 240 km)
104
𝑉𝑆
𝐼𝑆
=
𝐴
𝐶
𝐵
𝐷
𝑉𝑅
𝐼𝑅
sinh𝜃 =
𝑒𝜃 − 𝑒−𝜃
2
cosh 𝜃 =
𝑒𝜃 + 𝑒−𝜃
2
Const. Generalizadas
𝑉 𝑥 = 𝑉𝑅 cosh Υ𝑥 + 𝐼𝑅𝑍𝐶 sinh(Υ𝑥)
𝐼 𝑥 = 𝐼𝑅 cosh Υ𝑥 +
𝑉𝑅
𝑍𝐶
sinh(Υ𝑥)
𝑥 = 𝑙
𝑣 𝑙 = 𝑉𝑆
𝑖 𝑙 = 𝐼𝑆
𝑉𝑆 = 𝑉𝑅 cosh Υ𝑥 + 𝐼𝑅𝑍𝐶 sinh(Υ𝑥)
𝐼𝑆 = 𝐼𝑅 cosh Υ𝑥 +
𝑉𝑅
𝑍𝐶
sinh(Υ𝑥)
LinhaFase cosh(Υ𝑙) = cosh(𝛼𝑙 + 𝑗𝛽𝑙) = cosh(𝛼𝑙) cos(𝛽𝑙) + 𝑗 sinh(𝛼𝑙) sin(𝛽𝑙)
rad
sinh(Υ𝑙) = sinh(𝛼𝑙 + 𝑗𝛽𝑙) = sinh(𝛼𝑙) cos(𝛽𝑙) − 𝑗 cosh(𝛼𝑙) sin(𝛽𝑙)
Linha de Transmissão Longa (> 240 km)
105
106
107
Exemplo
108
• Uma linha de transmissão de 60 Hz de circuito simples tem um comprimento de 370 km (230 milhas). 
• Os condutores são do tipo Rook com espaçamento horizontal plano de 7,25 m (23,8 pés) entre os 
condutores. 
• A carga na linha é de 125 MW, a 215 kV, com fator de potência de 100%. 
• Determine a tensão, a corrente e a potência na barra transmissora e a regulação de tensão da linha. 
• Determine também o comprimento de onda e a velocidade de propagação da linha.
Circuito π - equivalente
109
𝐼𝑆 = 𝑉𝑅𝑌′ 1 +
𝑍′𝑌′
4
+ 1 +
𝑍′𝑌′
4
𝐼𝑅
𝑉𝑆
𝐼𝑆
=
𝐴 𝐵
𝐶 𝐷
𝑉𝑅
𝐼𝑅
𝑉𝑆 =
𝑍′𝑌′
2
+ 1 𝑉𝑅 + 𝑍′𝐼𝑅
Y’ Z’
cosh(Υ𝑙) 𝑍𝑐senh(Υ𝑙)
𝑍′ = 𝑍𝑐𝑠𝑒𝑛ℎ Υ𝑙 = 𝑧𝑙
𝑠𝑒𝑛ℎ Υ𝑙
Υ𝑙
= 𝑍
𝑠𝑒𝑛ℎ Υ𝑙
Υ𝑙
𝑧
𝑦
=
𝑧
𝑧𝑦
Υ
𝑍′𝑌′
2
+ 1 = cosh(Υ𝑙)
𝑍𝑐𝑠𝑒𝑛ℎ Υ𝑙 𝑌′
2
+ 1 = cosh(Υ𝑙)
𝑌′
2
=
1
𝑍𝑐
cosh Υ𝑙 − 1
𝑠𝑒𝑛ℎ(Υ𝑙)
𝑡𝑎𝑛𝑔ℎ
Υ𝑙
2
=
cosh Υ𝑙 − 1
𝑠𝑒𝑛ℎ(Υ𝑙)
𝑌′
2
=
1
𝑍𝑐
cosh Υ𝑙 − 1
𝑠𝑒𝑛ℎ(Υ𝑙)
=
𝑌
2
tanh(Υ𝑙/2)
Υ𝑙/2
Exemplo
• Determine o circuito π equivalente para a linha descrita no exemplo 
anterior:
110
111
112
113
Exercício 2
• Uma linha trifásica de circuito simples a 60 Hz, com 18 km é composta de condutores Partridge com 
espaçamento equilátero com 1,6 m entre centros. 
• A linha fornece 2500 kW a 11 kV para uma carga equilibrada. 
• Determine a impedância série da linha.
• Qual deve ser a tensão na barra transmissora quando o fator de potencia for de (a) 80% atrasado; (b) 
unitário; (c) 90% avançado. 
• Admita uma temperatura de 50° nos condutores.
• Determine a regulação de tensão para as 3 situações anteriores e desenhe os digramas fasoriais.
114
Exercício 3
• Determine as constantes ABCD de um circuito pi com um resistor de 600 Ω no ramo em paralelo 
junto à barra transmissora, um resistor de 1 kΩ no ramo em derivação junto à barra receptora, e 
um resistor de 80 Ω no ramo em série.
115
Exercício 4
• Uma linha de transmissão trifásica de 100 milhas fornece 55 MVA com fator de 
potência 0,8 atrasado com tensão de 132 kV na carga. 
• A linha é composta de condutores Drake com espaçamento horizontal tendo 11,9 
pés entre condutores adjacentes. 
• Determine a tensão, a corrente e a potência na barra transmissora. 
• Admita uma temperatura de 50°C nos condutores.
116
117
Transformadores
Introdução
• Um transformador é um dispositivo que converte, por meio da ação de um 
campo magnético, a energia elétrica CA de uma dada frequência e nível de 
tensão em energia elétrica CA de mesma frequência, mas outro nível de tensão. 
• Ele consiste em duas ou mais bobinas de fio enroladas em torno de um núcleo 
ferromagnético comum. 
• Essas bobinas (usualmente) não estão conectadas diretamente entre si. 
• A única conexão entre as bobinas é o fluxo magnético comum presente dentro do 
núcleo. 
119
Introdução
• Um dos enrolamentos do transformador é ligado a uma fonte de energia elétrica CA 
e o segundo (e possivelmente um terceiro) enrolamento do transformador fornece 
energia às cargas. 
• O enrolamento do transformador ligado à fonte de energia é denominado 
enrolamento primário ou enrolamento de entrada e o enrolamento conectado às 
cargas é denominado enrolamento secundário ou enrolamento de saída. 
• Se houver um terceiro enrolamento, ele será denominado enrolamento terciário. 
120
História
• O primeiro sistema de distribuição de energia elétrica dos 
Estados Unidos foi um sistema CC de 120 V inventado por 
Thomas A. Edison para fornecer energia a lâmpadas 
incandescentes. 
• A primeira estação geradora de energia elétrica de Edison 
entrou em operação na cidade de Nova York em setembro 
de 1882. 
• Na década de 1880, as usinas geradoras estavam localizadas 
a poucos quarteirões umas das outras para superar esse 
problema. 
• O fato de que, usando sistemas de energia CC de baixa 
tensão, a energia não podia ser transmitida para longe 
significava que as usinas geradoras deveriam ser pequenas e 
localizadas pontualmente sendo, portanto, relativamente 
ineficientes. 
121
História
• A invenção do transformador e o desenvolvimento simultâneo de estações geradoras de 
energia CA eliminaram para sempre essas restrições de alcance e de capacidade dos 
sistemas de energia elétrica. 
• Idealmente, um transformador converte um nível de tensão CA em outro nível de tensão 
sem afetar a potência elétrica real fornecida. 
122
Tipos e construção de transformadores
• Os transformadores de potência são construídos com um 
núcleo que pode ser de dois tipos. 
• Um deles consiste em um bloco retangular laminado 
simples de aço com os enrolamentos do transformador 
envolvendo dois lados do retângulo. 
• O outro tipo consiste em um núcleo laminado de três 
pernas com os enrolamentos envolvendo a perna central. 
Esse tipo de construção é conhecido como núcleo 
envolvente 
123
O Transformador Ideal
• Um transformadorideal é um dispositivo sem perdas com um 
enrolamento de entrada e um enrolamento de saída. 
124
O Transformador Ideal
125
Polaridade
• Se fosse dado que a tensão do circuito primário é positiva em um terminal 
específico da bobina, qual seria a polaridade da tensão do circuito secundário? 
Resp: a convenção do ponto ou da marca. 
126
Potência em um transformador ideal
127
• A potência ativa de entrada Pentrada fornecida ao transformador pelo circuito primário é dada pela equação
• em que P é o ângulo entre a tensão primária e a corrente primária. 
• A potência ativa Psaída fornecida pelo circuito secundário do transformador à sua carga é dada pela equação
• em que θs é o ângulo entre a tensão secundária e a corrente secundária. 
• Como em um transformador ideal os ângulos entre tensão e corrente não são afetados, então temos θp=
θs= θ. 
• Os enrolamentos primário e secundário de um transformador ideal têm o mesmo fator de potência.
Potência em um transformador ideal
128
Transformação de impedância em um 
transformador
• A impedância de um dispositivo 
ou de um elemento de circuito é 
definida como a razão
entre a tensão fasorial no 
dispositivo e a corrente fasorial
que está através dele: 
129
Transformação de impedância em um 
transformador
• Uma das propriedades interessantes de um transformador é que, como ele altera 
os níveis de tensão e corrente, ele altera também a razão entre a tensão e a 
corrente e, portanto, a impedância aparente de um elemento. 
• Se a corrente secundária for denominada IS e a tensão secundária, VS, então a 
impedância da carga é dada por:
130
Transformação de impedância em um 
transformador
131
Teoria de operação dos transformadores
132
Teoria de operação dos transformadores
133
Relação de tensão num transformador
134
Relação de tensão num transformador
135
Relação de tensão num transformador
136
A corrente de magnetização em um 
transformador real 
• Quando uma fonte CA é conectada a um transformador, uma 
corrente circula no primário, mesmo quando secundário está 
aberto. 
• Essa é a corrente requerida para produzir fluxo em um núcleo 
ferromagnético real. Ela consiste em duas componentes:
- A corrente de magnetização iM, que é a corrente necessária 
para produzir o fluxo no núcleo do transformador e
- A corrente de perdas no núcleo ih+p, que é a corrente 
responsável pelas perdas por histerese e por corrente parasita 
no núcleo. 
137
Observe os pontos considerando a corrente de magnetização:
1. A corrente de magnetização no transformador não é senoidal. As componentes
de frequência mais elevadas da corrente de magnetização se devem à saturação 
magnética do núcleo do transformador.
2. Uma vez que o fluxo de pico tenha atingido o ponto de saturação do núcleo, um
pequeno aumento no fluxo de pico exigirá um aumento muito grande na corrente de 
magnetização de pico.
3. A componente fundamental da corrente de magnetização está atrasada em 
relação à tensão aplicada em 90°.
138
A corrente de perdas
• A outra componente da corrente sem carga, ou a 
vazio, do transformador é a corrente requerida 
para fornecer potência para a histerese e as 
perdas por corrente parasita no núcleo. 
• Essa é a corrente de perdas no núcleo. 
• Assuma que o fluxo no núcleo é senoidal. 
• Como as correntes parasitas no núcleo são 
proporcionais a dΦ/dt, as correntes parasitas 
são máximas quando o fluxo no núcleo está 
passando por 0 Wb. 
• Portanto, a corrente de perdas no núcleo é 
máxima quando o fluxo passa por zero. 
139
Está em fase com Vp (t) - proporcionais a dΦ/dt
A corrente de excitação
• A corrente total sem carga no núcleo é 
denominada corrente de excitação do 
transformador. 
• É dada pela soma da corrente de 
magnetização e a corrente de perdas no 
núcleo: 
• Em um transformador de potência bem 
projetado, a corrente de excitação é muito 
menor do que a corrente a plena carga do 
transformador.
140
O CIRCUITO EQUIVALENTE DE UM 
TRANSFORMADOR
• Os principais itens que devem ser considerados na construção do 
modelo de um transformador são :
1. Perdas no cobre (I2R). As perdas no cobre são as perdas devido ao aquecimento resistivo nos 
enrolamentos primário e secundário do transformador. Elas são proporcionais ao quadrado da corrente 
nos enrolamentos.
2. Perdas por corrente parasita. As perdas por corrente parasita são perdas devidas ao aquecimento 
resistivo no núcleo do transformador. Elas são proporcionais ao quadrado da tensão aplicada ao 
transformador. 
3. Perdas por histerese. As perdas por histerese estão associadas à alteração da configuração dos 
domínios magnéticos no núcleo durante cada semi-ciclo. Elas são uma função não linear, complexa, da 
tensão aplicada ao transformador.
4. Fluxo de dispersão. Os fluxos que escapam do núcleo e passam através de apenas um dos 
enrolamentos do transformador são fluxos de dispersão. Esses fluxos que se dispersaram produzem 
uma indutância de dispersão nas bobinas primária e secundária. Seus efeitos devem ser levados em 
consideração. 
141
O circuito equivalente exato de um 
transformador real
• A corrente de magnetização im é uma corrente proporcional (na região não saturada) à tensão aplicada ao 
núcleo e está atrasada em relação à tensão aplicada em 90°, de modo que ela pode ser modelada por 
uma reatância XM conectada à fonte de tensão do primário. 
• A corrente de perdas no núcleo ih+p é uma corrente proporcional à tensão aplicada ao núcleo que está em 
fase com a tensão aplicada. Desse modo, ela pode ser modelada por uma resistência RC conectada à fonte 
de tensão do primário.
142
O circuito equivalente exato de um 
transformador real
143
Circuitos 
equivalentes 
aproximados 
de um 
transformador
144
Determinação dos valores dos componentes do
modelo de transformador 
• É possível determinar 
experimentalmente os valores das 
indutâncias e resistências do modelo 
de transformador. 
• Uma aproximação adequada desses 
valores pode ser obtida com apenas 
dois testes ou ensaios, o ensaio a vazio 
e o ensaio de curto-circuito. 
145
Regulação de tensão e eficiência nos 
transformadores
Regulação de tensão a plena carga é uma variável que 
compara a tensão de saída do transformador a vazio (vz) 
com a tensão de saída a plena carga (pc). Ela é definida 
pela equação:
146
Regulação de tensão e eficiência nos 
transformadores
147
Regulação de tensão e eficiência nos 
transformadores
148
Regulação de tensão e eficiência nos 
transformadores
149
Eficiência de um transformador 
150
O autotransformador –
Relações de V e I
151
𝑉𝐶
𝑉𝑆𝐸
=
𝑁𝐶
𝑁𝑆𝐸
𝑁𝐶𝐼𝐶 = 𝑁𝑆𝐸𝐼𝑆𝐸
𝑉𝐵 = 𝑉𝐶
𝑉𝐴 = 𝑉𝐶 + 𝑉𝑆𝐸
𝐼𝐵 = 𝐼𝐶 + 𝐼𝑆𝐸
𝐼𝐴 = 𝐼𝑆𝐸
𝑉𝐴 = 𝑉𝐶 + 𝑉𝑆𝐸
𝑉𝐴 = 𝑉𝐶 +
𝑁𝑆𝐸
𝑁𝐶
𝑉𝐶
𝑉𝐵 = 𝑉𝐶
𝑉𝐴 = 𝑉𝐵 +
𝑁𝑆𝐸
𝑁𝐶
𝑉𝐵
𝑉𝐵
𝑉𝐴
=
𝑁𝐶
𝑁𝑆𝐸 + 𝑁𝐶
𝐼𝐵 = 𝐼𝐶 + 𝐼𝑆𝐸
𝐼𝐶 =
𝑁𝑆𝐸
𝑁𝐶
𝐼𝑆𝐸 𝐼𝐵 =
𝑁𝑆𝐸
𝑁𝐶
𝐼𝑆𝐸 + 𝐼𝑆𝐸
𝐼𝐴 = 𝐼𝑆𝐸 𝐼𝐵 =
𝑁𝑆𝐸
𝑁𝐶
𝐼𝐴 + 𝐼𝐴
𝐼𝐵
𝐼𝐴
=
𝑁𝑆𝐸 + 𝑁𝐶
𝑁𝐶
O autotransformador –
Vantagem de potência
152
𝑆𝐸𝑁𝑇𝑅𝐴𝐷𝐴 = 𝑉𝐵𝐼𝐵
𝑆𝑆𝐴Í𝐷𝐴 = 𝑉𝐴𝐼𝐴
𝑆𝐸𝑁𝑇𝑅𝐴𝐷𝐴 = 𝑆𝑆𝐴Í𝐷𝐴 = 𝑆𝐸𝑆
𝑆𝐸𝑁𝑅 = 𝑉𝐶𝐼𝐶 = 𝑉𝑆𝐸𝐼𝑆𝐸
𝑆𝐸𝑁𝑅 = 𝑉𝐶𝐼𝐶 = 𝑉𝐵 𝐼𝐵 − 𝐼𝐴 = 𝑉𝐵𝐼𝐵 − 𝑉𝐵𝐼𝐴
𝑆𝐸𝑁𝑅 = 𝑉𝐵𝐼𝐵 − 𝑉𝐵𝐼𝐵
𝑁𝐶
𝑁𝑆𝐸 + 𝑁𝐶
𝑆𝐸𝑁𝑅 = 𝑆𝐸𝑆
𝑁𝑆𝐸
𝑁𝑆𝐸 + 𝑁𝐶
𝑆𝐸𝑆
𝑆𝐸𝑁𝑅
=
𝑁𝑆𝐸 + 𝑁𝐶
𝑁𝑆𝐸
Exemplo
• Um transformador de 100 VA e 120/12 V deve ser conectado de forma que opere como um autotransformador 
elevador. Uma tensão primária de 120 V é aplicada ao transformador.
(a) Qual é a tensão secundária do transformador?
(b) Qual é a máxima especificação nominal de volts-ampères nesse modo de operação?
(c) Calcule qual é a vantagem de potência aparente nominal dessa conexão como autotransformador sobre a 
potência aparente nominal do transformador quando está operando de forma convencional em 120/12 V.
153
Transformadores Trifásicos
154
Ligações em um transformador trifásico155
• Um transformador trifásico consiste em três transformadores, separados ou combinados 
em um núcleo. 
• Os primários e os secundários de qualquer transformador trifásico podem ser ligados de 
forma independente nas configurações estrela (Y) ou triângulo (Δ). 
• Um banco de transformadores trifásicos pode ser montado em quatro configurações 
possíveis de ligação:
1. Estrela-estrela (Y-Y)
2. Estrela-triângulo (Y-Δ )
3. Triângulo-estrela (Δ-Y)
4. Triângulo-triângulo (Δ-Δ)
A ligação estrela-estrela
156
• A ligação Y–Y tem 2 problemas:
1. Se as cargas no circuito do transformador 
estiverem desequilibradas, as tensões
nas fases do transformador podem se tornar 
gravemente desequilibradas.
2. As tensões das terceiras harmônicas podem 
ser elevadas.
A ligação estrela-estrela
157
• Se um conjunto de tensões trifásicas for aplicado a um 
transformador Y–Y, a tensão de cada fase está 
distanciada 120° das tensões das demais fases. 
• Nos transformadores, o surgimento das componentes 
de terceira harmônica se deve a não linearidade do 
núcleo.
A ligação estrela-estrela
158
• Os problemas de desequilíbrio e de terceira harmônica 
podem ser resolvidos utilizando uma das técnicas 
seguintes:
• Aterrar solidamente os neutros dos transformadores, 
especialmente o neutro do enrolamento primário.
• Acrescentar um terceiro enrolamento (terciário) 
ligado em ao banco de transformadores. 
A ligação estrela-triângulo
• A ligação Y– Δ não apresenta problemas com as componentes 
de terceira harmônica em suas tensões, porque elas são 
suprimidas por uma corrente que circula no lado Δ.
• Essa ligação também é mais estável em relação a cargas 
desequilibradas, porque o lado Δ redistribui parcialmente 
qualquer desequilíbrio que possa ocorrer.
• A tensão secundária é deslocada de 30° em relação à tensão 
primária do transformador.
159
A ligação triângulo-estrela
• Essa ligação tem as mesmas vantagens e o mesmo 
deslocamento de fase que o transformador Δ-Y . 
160
A ligação triângulo-triângulo
161
• Esse transformador não apresenta nenhum 
deslocamento de fase e não tem problemas 
de cargas desequilibradas ou harmônicas.
O sistema por unidade para transformadores 
trifásicos
• O sistema por unidade de medidas aplica-se igualmente bem aos transformadores trifásicos como aos 
trifásicos monofásicos. 
162
163
	Slide 1: Análise de Sistemas Elétricos de Potência
	Slide 2: Sumário
	Slide 3: Conteúdo – Parte 1
	Slide 4: Conteúdo – Parte 2
	Slide 5: Conteúdo – Parte 3
	Slide 6: Bibliografia
	Slide 7: Datas e Conteúdos
	Slide 8
	Slide 9: Representação Fasorial em Regime Permanente Senoidal 
	Slide 10: Representação Fasorial em Regime Permanente Senoidal 
	Slide 11: Exemplo 1
	Slide 12: Exemplo 2
	Slide 13: Potência, Potência Reativa e Fator de Potência
	Slide 14: Potência, Potência Reativa e Fator de Potência
	Slide 15: Potência, Potência Reativa e Fator de Potência
	Slide 16: Potência, Potência Reativa e Fator de Potência
	Slide 17: Potência, Potência Reativa e Fator de Potência
	Slide 18: Potência, Potência Reativa e Fator de Potência
	Slide 19: Potência, Potência Reativa e Fator de Potência
	Slide 20: Soma das Potências Ativa e Reativa em um Circuito 
	Slide 21: Exemplo 3
	Slide 22: Exemplo: Correção do FP
	Slide 23: Tabela – Ação motora e Geradora
	Slide 24: Circuitos Trifásicos
	Slide 25: Análise por Fase em Circuitos Trifásicos Balanceados
	Slide 26: Análise por Fase em Circuitos Trifásicos Balanceados
	Slide 27: Exercício
	Slide 28: Exercício
	Slide 29: Potência, Potência Reativa e Fator de Potência em Circuitos Trifásicos 
	Slide 30: Transferência de Potência Ativa e Reativa entre Sistemas CA
	Slide 31: Transferência de Potência Ativa e Reativa entre Sistemas CA
	Slide 32: Valores de Base e Valores por Unidade 
	Slide 33: Valores de Base e Valores por Unidade – Sistemas Monofásicos 
	Slide 34: Valores de Base e Valores por Unidade – Sistemas Trifásicos
	Slide 35: Lei de Ampère
	Slide 36: Lei de Ampère
	Slide 37: A Densidade de Fluxo 
	Slide 38: Materiais Ferromagnéticos
	Slide 39: Materiais Ferromagnéticos
	Slide 40: Materiais Ferromagnéticos
	Slide 41: O Fluxo Ø
	Slide 42: O Fluxo Ø
	Slide 43: Fluxo Concatenado 
	Slide 44: Fluxo Concatenado 
	Slide 45: Lei de Faraday: a Tensão Induzida em uma Bobina Devido à Variação Temporal do Fluxo de Enlace 
	Slide 46: Indutâncias de Magnetização e de Dispersão 
	Slide 47: Indutâncias de Magnetização e de Dispersão 
	Slide 48: Indutâncias de Magnetização e de Dispersão 
	Slide 49: Correntes de linha e fase em carga conectada em triângulo sob condições balanceadas 
	Slide 50: Transformações entre impedâncias conectadas em estrela e triângulo 
	Slide 51: Transformações entre impedâncias conectadas em estrela e triângulo 
	Slide 52: Transformações entre impedâncias conectadas em estrela e triângulo 
	Slide 53
	Slide 54: Impedância em Série de Linhas de Transmissão
	Slide 55: Sumário
	Slide 56: Introdução
	Slide 57: Introdução
	Slide 58: Tipos de Condutores
	Slide 59: Tipos de Condutores
	Slide 60: Resistência 
	Slide 61: Indutância
	Slide 62: Indutância de um condutor devido ao Fluxo Interno
	Slide 63: Indutância de um condutor devido ao Fluxo Interno
	Slide 64: Fluxo concatenado entre dois pontos externos de um condutor isolado
	Slide 65: Indutância de uma Linha Monofásica a 2 fios
	Slide 66: Fluxo Concatenado com um Condutor em um Grupo de Condutores
	Slide 67: Fluxo Concatenado com um Condutor em um Grupo de Condutores
	Slide 68: Fluxo Concatenado com um Condutor em um Grupo de Condutores
	Slide 69: Indutância de Linhas com Condutores Compostos
	Slide 70: Indutância de Linhas com Condutores Compostos
	Slide 71: Indutância de Linhas com Condutores Compostos
	Slide 72: Exemplo 1
	Slide 73: Uso de Tabelas
	Slide 74: Uso de Tabelas
	Slide 75
	Slide 76: Exemplo
	Slide 77: Indutância de Linha Trifásica com Espaçamento Equilátero 
	Slide 78: Indutância de uma Linha Trifásica com Espaçamento Assimétrico
	Slide 79: Exemplo
	Slide 80: Cabos Múltiplos
	Slide 81: Exemplo 1 
	Slide 82
	Slide 83: Capacitância de LT’s
	Slide 84: Campo Elétrico de um Condutor Linear
	Slide 85: Diferença de potencial entre 2 pontos devido a uma carga
	Slide 86: Capacitância de uma linha a 2 fios
	Slide 87: Capacitância ao Neutro
	Slide 88: Exemplo
	Slide 89
	Slide 90
	Slide 91: Capacitância de uma linha trifásica com espaçamento equilátero
	Slide 92: Capacitância de uma linha trifásica com espaçamento equilátero
	Slide 93: Capacitância de uma trifásica com espaçamento assimétrico
	Slide 94: Exemplo 
	Slide 95: Efeito da terra sobre a capacitância de linhas de transmissão trifásicas
	Slide 96
	Slide 97
	Slide 98: Tipos de Linhas
	Slide 99: Tipos de Linhas – Linha Média – Parâmetros Concentrados
	Slide 100: Linha de Transmissão Curta
	Slide 101: Linha de Transmissão Média
	Slide 102: Linha de Transmissão Longa (> 240 km)
	Slide 103: Linha de Transmissão Longa (> 240 km)
	Slide 104: Linha de Transmissão Longa (> 240 km)
	Slide 105
	Slide 106
	Slide 107
	Slide 108: Exemplo
	Slide 109: Circuito π - equivalente
	Slide 110: Exemplo
	Slide 111
	Slide 112
	Slide 113
	Slide 114: Exercício 2
	Slide 115: Exercício 3
	Slide 116: Exercício 4
	Slide 117
	Slide 118: Transformadores
	Slide 119: Introdução
	Slide 120: Introdução
	Slide 121: História
	Slide 122: História
	Slide 123: Tipos e construção de transformadores
	Slide 124: O Transformador Ideal
	Slide 125: O Transformador Ideal
	Slide 126: Polaridade
	Slide 127: Potência em um transformador ideal 
	Slide 128: Potência em um transformador ideal 
	Slide 129: Transformação de impedância em um transformador 
	Slide 130: Transformação de impedância em um transformador 
	Slide 131: Transformação de impedância em um transformador 
	Slide 132: Teoria de operação dos transformadores
	Slide 133: Teoria de operação dos transformadores
	Slide 134: Relação de tensão num transformador
	Slide 135: Relação de tensão num transformador
	Slide 136: Relação de tensão num transformador
	Slide 137: A corrente de magnetização em um transformadorreal 
	Slide 138
	Slide 139: A corrente de perdas
	Slide 140: A corrente de excitação
	Slide 141: O CIRCUITO EQUIVALENTE DE UM TRANSFORMADOR 
	Slide 142: O circuito equivalente exato de um transformador real 
	Slide 143: O circuito equivalente exato de um transformador real 
	Slide 144: Circuitos equivalentes aproximados de um transformador 
	Slide 145: Determinação dos valores dos componentes do modelo de transformador 
	Slide 146: Regulação de tensão e eficiência nos transformadores
	Slide 147: Regulação de tensão e eficiência nos transformadores
	Slide 148: Regulação de tensão e eficiência nos transformadores
	Slide 149: Regulação de tensão e eficiência nos transformadores
	Slide 150: Eficiência de um transformador 
	Slide 151: O autotransformador – Relações de V e I
	Slide 152: O autotransformador – Vantagem de potência
	Slide 153: Exemplo
	Slide 154: Transformadores Trifásicos
	Slide 155: Ligações em um transformador trifásico 
	Slide 156: A ligação estrela-estrela
	Slide 157: A ligação estrela-estrela
	Slide 158: A ligação estrela-estrela
	Slide 159: A ligação estrela-triângulo
	Slide 160: A ligação triângulo-estrela
	Slide 161: A ligação triângulo-triângulo
	Slide 162: O sistema por unidade para transformadores trifásicos 
	Slide 163