Conjuntos e Opiniões

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1 Conjuntos
UPESQUISA ELETRÔNICA"
Uma emissora de TV,durante a transmissão de um evento esportivo, propõe uma enquete aos telespectadores "internautas" a respeito de
dois jogadores A e B convocados para a seleção brasileira de futebol. Depois de 30 minutos, obteve-se o seguinte resultado:
Preferem o jogador A: 5 000 pessoas
Preferem o jogador B: 7 000 pessoas
Preferem ambos os jogadores: 2 000 pessoas
Não preferem nenhum deles: 1 000 pessoas
Responda: Quantas pessoas deram sua opinião?
Para podermos resolver esta questão, devemos inicialmente entender as principais idéias sobre conjuntos. Vejamos os exemplos:
Exemplos:
1. Os números naturais que são divisíveis por 2, como O, 10, 12 etc., formam um conjunto conhecido como múltiplos de 2. Veja como
representá-lo: .
M(2) = {O, 2, 4, 6, 8, ... }.> ~
"Eme de dois" é o nome
dado ao conjunto'.
As reticências mostram que
o çonjunto é infinito.
Os elementos de M(2) são os números O, 2, 4, 6, 8, 10 etc. E esses elementos pertencem ao conjunto.
Usando a simbologia, veja como podemos afirmar que 4 pertence a M(2):
4 E M(2)
L Símbolo de pertence
5 ti M(2)
L Sí~b~lo de não pertence
E que 5 não pertence a M(2):
2. Vamos, agora, pensar nos múltiplos de 6:
M(6) = {O, 6, 12, 18, 24, ... }
Perceba que todo múltiplo de 6 é também múltiplo de 2. Isso implica em que M(6) é subconjunto de M(2), ou seja, M(6) está contido
em M(2). Usando a simbologia, tem-se:
M(6) C M(2), ou ainda:
Símbolo de está contido J
M(2) ~ M(6)
L Simbolo de contêm
Usando diagramas, temos:
M(6)
M(6) c M(2)
7
3. Vamos comparar os conjuntos:
M(2) = {O, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ... } e
M(3) = {O, 3, 6, 9, 12, 15, 18, ... }
Percebemos, agora, que M(2) não está contido em M(3) e que M(3) não contém M(2), ou seja:
M(2) a. M(3) e M(3) 1J M(2)
/ '"
Símbolo de
não está contido
Símbolo de
não contém
No entanto, os dois conjuntos têm elementos em comum: 0, 6, 12, 18 etc., ou seja, ° E M(2) e ° E M(3); 6 E M(2) e 6 E M(3); assim
por diante, o que nos permite dizer que esses elementos formam o conjunto dos múltiplos de 6. Voltando aos diagramas, temos:
~
M(2)
~
M(3)
M(6): aqui estão os elementos comuns aos dois conjuntos M(2) e M(3).
Portanto, há um conjunto intersecção entre M(2) e M(3). Este conjunto é o M(6). Simbolicamente, temos:
M(2) n M(3) = M(6)
i
Símbolo da intersecção
4. Vamos analisar os seguintes conjuntos:
M(l) = {O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... } é o conjunto dos múltiplos de 1.
P = {O, 2, 4, 6, ... } é o conjunto dos números pares.
I = {1, 3, 5, ... } é o conjunto dos números ímpares.
Se reunirmos os elementos do conjunto P com os elementos do conjunto 1, formaremos o conjunto união entre P e I que resulta no
conjunto M(l).
Simbolicamente, temos:
I U P = M(l)
i
Símbolo da união
Utilizando os diagramas, temos o seguinte esquema:
M (1) = PU I
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Como o conjunto P e o conjunto I não têm elementos em comum, ou seja, a intersecção é vazia, representamos:
I n P = 0 ou I n P = { }
i i
Símbolos de conjunto vazio
Como acabamos de conhecer as idéias principais sobre conjuntos (elemento, pertence/não-pertence, está contido/não está contido,
contém/não contém, subconjunto, intersecção, união e conjunto vazio), voltemos ao problema proposto no início deste capítulo,
esquematizando-o através de diagramas:
1000
• Comece sempre colocando os elementos da intersecção.
• Ao colocar os elementos de um conjunto, não se esqueça de descon-
tar os da intersecção.
Resposta: Deram sua opinião, 3000 + 2000 + 5000 + 1000 = 11000 "internautas",
EXERCíCIOS
1. Observe o diagrama abaixo:
Sendo:
A: conjunto dos losangos
B: conjunto dos retângulos
A n B: conjunto dos quadrados
C' conjunto dos paralelogramos
De acordo com o exposto, classifique cada afirmação a seguir em
Verdadeira (V) ou Falsa (F).
a) Todo paralelogramo é retângulo. ( )
b) Alguns paralelogramos são retângulos. (
c) Todo quadrado é losango. ( )
d) Todo quadrado é retângulo. ( )
e) Todo quadrado é paralelogramo. (
f) Alguns losangos são retângulos. (
g) Alguns retângulos são losangos. (
h) Nenhum losango é retângulo. (
i) Nenhum retângulo é losango. (
2. Observe o diagrama abaixo:
Sabe-se que:
n(A) = 10 elementos (quantidade de elementos de A é igual a 10);
n(B) = 5 elementos;
n(A n B) = 3 elementos.
a) Quantos elementos pertencem exclusivamente ao conjunto A?
b) Quantos elementos pertencem exclusivamante ao conjunto B?
c) Quantos elementos tem o conjunto A U B?
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