Conjuntos e Elementos

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Conjuntos 
 
 
*Definição: 
Conjunto é uma coleção qualquer de objetos que são os seus ELEMENTOS. 
Ex: 
a - conjunto dos números naturais pares: {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...}; 
b - conjunto dos divisores de 6: {1, 2, 3, 6}; 
c- conjunto dos dias da semana: { domingo, segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado}; 
d- conjunto dos múltiplos de 5: {0, 5, 10, 15, 20, 25, ...}. 
 
*Representação: 
Existem várias formas de apresentar um conjunto, geralmente usamos letras maiúsculas do nosso 
alfabeto para dar nomes aos conjuntos, porém isto não é uma regra e sim um costume. 
- Representação Tabular: Os elementos são enumerados (citados). 
Ex: 
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}; S = {Maranhão, Bahia, Ceará}; D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
- Representação por propriedade ou lei de formação: É descrita a característica do conjunto, 
geralmente em linguagem matemática. 
Ex: 
A = {x | x é cor da bandeira do Brasil}; (lemos: conjunto A dos elementos X, tal que X é a cor da bandeira do Brasil) 
B = {x | x é capital da França}; (lemos: conjunto B dos elementos X, tal que X é a capital da França) 
C = conjunto dos estados brasileiros banhados pelo Oceano Pacífico; 
B = {z | z < 1} (lemos: conjunto B dos elementos Z, tal que Z é menor que 1). 
- Representação por Diagrama de Venn: Os elementos são indicados dentro de uma curva 
fechada simples. 
Ex: 
 
 
Exercício de fixação: 
 
1º) Escreva os conjuntos expressos pelas propriedades: 
a) A: conjunto dos divisores inteiros de 8. 
b) B: conjunto dos lados do triângulo ABC.
c) C: conjunto dos números maiores que 100.
 
2º) Escreva uma propriedade que defina cada conjunto a seguir: 
a) D = {0, 12, 24, 36} 
b) E = (nova, crescente, cheia, minguante) 
c) F = {7, 9, 11, 13, 15, 17, 19} 
 
3º) Reescreva cada conjunto na forma tabular e por diagrama de Venn: 
a) A = { x | x é um número natural menor que 10} 
b) B = { x | x é natural primo menor que 20} 
c) C = { x | x é mês de 30 dias} 
d) D = { x | x é satélite natural da Terra} 
e) E = { x | x é que faz fronteira com EUA } 
f) F = { x | x é mês que tem a letra R no nome} 
 
* Classificação de conjuntos: 
- Conjunto finito: Apresenta uma quantidade limitada de elementos. 
Ex: 
A = {x | x é capital do Brasil}; B = conjunto dos números 
compreendidos entre 1 e 10; 
C = {1,2,3,4, ... ,120}.
- Conjunto infinito: Apresenta uma quantidade ilimitada de elementos. 
Ex: 
D = {x | x > 1}; 
 
E = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}, 
 
F = conjunto dos múltiplos de 3. 
- Conjunto vazio: Não possui nenhum elemento, é representado por { } ou Ø. O conjunto vazio 
está contido em todo e qualquer conjunto e está contido nele mesmo. 
Ex: 
G = conjunto dos números primos 
pares maiores que 5; 
E= {x | 1 < x < 1}; 
 
I = { }. 
- Conjunto unitário: Possui apenas um único elemento. 
Ex: 
J = conjunto dos números 
primos pares; 
K = {x | X = 10}; 
 
L = {0}. 
- Conjunto Universo: É o conjunto considerado para estudar determinada situação. Indicamos o 
conjunto universo por: U. 
Ex: 
Se vamos estudar a faixa salarial de uma empresa A, o conjunto universo é o conjunto dos valores dos 
salários de todos os funcionários dessa empresa. 
- Subconjunto: Apresenta todos os seus elementos incluídos em outro conjunto. 
Ex: 
 
A e C são subconjuntos de B 
B = {{A}, {C}, 4}; 
 
A é subconjunto de B 
B = {{A}, 7, 9, 8, 1, 5, 10, 3}; 
 
R é subconjunto de F 
F = {maçã verde, pera, {R}}. 
 
* Igualdade de conjuntos: 
Dois conjuntos A e B são iguais se todo elemento de A pertence a B e todo elemento de B pertence 
a A. 
Ex: 
A = {a, b, c} e B = {b, c, a}, temos que A = B; 
C = {x | x - 2 = 5} e D = {7}, temos que C = D; 
F é o conjunto das letras da palavra “garra“ e H é conjunto das letras da palavra “agarrar“, temos F = H; 
(OBS: Note que, dentro de um mesmo conjunto, não precisamos repetir elementos. Apesar de a palavra “garra” ter 
cinco letras e a palavra “agarrar” ter sete, temos {g, a, r, r, a} = {a, g, a, r, r, a, r} = {a, g, r}) 
J = {a, m, o, r} e K = {r, o, m, a}, temos que J = K; 
E = {a, m, a, r} e F = {a, m, a, r, r, a, r}, temos que E = F = {a, m, r}. (OBS: Não precisamos repetir elemento 
dentro de um mesmo conjunto, basta indicar cada elemento uma só vez) 
 
Exercício de fixação: 
 
4º) Identifique os conjuntos unitários e os vazios: 
a) A = { x | x é oceano que banha o Brasil} 
b) B = { x | x é mulher que já foi presidente dos EUA} 
c) C = { x | x é mês cujo nome começa com o} 
d) A = {x | x = 1 e x = 3} 
e) E = {x | x é um mês cuja letra inicial do nome é p} 
f) B = {x | x é um número primo positivo e par} 
 
5º) Classifique os conjuntos como finito ou infinito. 
a) A: conjunto dos números pares maiores que 15. 
b) B: {x | 1 ≤ x ≤ 30} 
c) C: conjunto dos países no mundo. 
d) D: {p, e, n, d, u, l, o} 
 
6º) Dados os conjuntos abaixo, quais são os 
conjuntos iguais? 
A = {x I x é um número natural não nulo e x ≤ 1}; 
B = {x I x é um número impar e -1 < x < 1}; 
C = (x I x é um número natural e X2 = 1}. 
7º) Escreva 3 subconjuntos de W, Z e N, 
sendo W = (x I x é planeta do nosso sistema 
solar}, Z = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...} e N 
 
 
* Relação de pertinência: 
Usamos a relação de pertinência para indicar que um elemento pertence a um conjunto, ou seja, 
quando estamos comparando (relacionando) um elemento e um conjunto. 
- Pertence a ou é elemento de (∈): Indica que o elemento faz parte do conjunto. 
Ex: 
A = {3, 4, 5, 6, ...} 
3 ∈ A 
4 ∈ A 
10 ∈ A 
 
B = {1, 3, 5, 7, ...} 
1 ∈ B 
3 ∈ B 
11 ∈ B 
 
C = {2, 4, 6, 8, 10} 
2 ∈ C 
6 ∈ C 
8 ∈ C 
- Não pertence a ou não é elemento de (∉): Indica que o elemento não faz parte do conjunto. 
Ex: 
A = {3, 4, 5, 6, ...} 
0 ∉ A 
1 ∉ A 
2 ∉ A 
 
B = {1, 3, 5, 7, ...} 
0 ∉ B 
2 ∉ B 
10 ∉ B 
 
C = {2, 4, 6, 8, 10} 
0 ∉ C 
1 ∉ C 
12 ∉ C 
* Relação de inclusão: 
Usamos a relação de inclusão quando estamos comparando (relacionando) dois conjuntos. 
- Está contido (⊂): Indica que o primeiro conjunto está dentro do segundo conjunto. Ou seja, se A 
⊂ B significa que A é subconjunto de B. 
Ex: 
A = {1, 2, 3, 4,...} 
B = {1, 3, 4} 
C = (2, 4, 6, ...} 
B ⊂ A 
C ⊂ A 
 
D = {0, 8, 16, 24, 32} 
E = {0, 24, 8} 
F = {8, 24} 
E ⊂ D 
F ⊂ D 
F ⊂ E 
- Não está contido (⊄): Indica que o primeiro conjunto não está dentro do segundo conjunto. Ou 
seja, se A ⊄ B significa que A não é subconjunto de B. 
Ex: 
A = {1, 2, 3, 4,...} 
B = {1, 3, 0} 
C = (4, 3, 2, 1, ...} 
B ⊄ A 
C ⊄ A 
 
D = {0, 8, 16, 24, 32} 
E = {0, 4, 8} 
F = {8, 20} 
E ⊄ D 
F ⊄ D 
F ⊄ E 
- Contém (⊃): Indica que o primeiro conjunto abrange (contém em si) o segundo conjunto. Ou seja, 
se A ⊃ B significa que B é subconjunto de A. 
Ex: 
A = {1, 2, 3, 4,...} 
B = {1, 3, 4} 
C = (2, 4, 6, ...} 
A ⊃ B 
A ⊃ C 
 
D = {0, 8, 16, 24, 32} 
E = {0, 24, 8} 
F = {8, 24} 
D ⊃ E 
D ⊃ F 
E ⊃ F 
- Não contém (⊅): Indica que o primeiro conjunto não abrange (não contém em si) o segundo 
conjunto. Ou seja, se A ⊅ B significa que B não é subconjunto de A. 
Ex: 
A = {1, 2, 3, 4,...} 
B = {1, 3, 0} 
C = (4, 3, 2, 1, ...} 
A ⊅ B 
A ⊅ C 
 
D = {0, 8, 16, 24, 32} 
E = {0, 4, 8} 
F = {8, 20} 
D ⊅ E 
D ⊅ F 
E ⊅ F 
 
Obs: Se A ⊂ B, então B ⊃ A e vice-versa; se A ⊄ B, então B ⊅ A e vice-versa. 
 
Exercício de fixação: 
 
8º) Dados os conjuntos A = {a, b} e B = {{a}, {b}}, classifique como verdadeiro (V) ou falso (F): 
a) ( ) a ∈ A 
b) ( ) a ∈ B 
c) ( ) b ∉ A 
d) ( ) b ∉ B 
e) ( ) {a} ∈ A 
f) ( ) {a} ∈ B 
g) ( ) {b} ∉ A 
h) ( ) {b} ∉ B 
i) ( ) A = B 
j) ( ) A e B tem a 
mesma quantidade 
de elementos.
 
9º) Considere os conjuntos abaixo e classifique cada sentença em verdadeira ou falsa. 
A: conjunto dos números ímpares; 
B: conjunto dos números primos; 
C: conjunto dos números naturais múltiplos de 3. 
a) 0 ∈ A 
b) 0 ∉ B 
c) 1 ∉ B 
d) 1 ∈ C 
e) 3 ∈ A 
f) 3 ∈ C
 
10º) Sendo A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {3, 4, 5, 6, 7} e D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, classifique 
em verdadeira ou falsa cada sentença. 
a) A ⊂ B 
b) B ⊂ C 
c) C ⊂ D 
d) D ⊂ A 
e) D ⊃ B 
f) C ⊃ A 
g) C ⊃ Bh) B ⊃ A 
i) B ⊄ D 
j) C ⊄ B 
k) A ⊄ C 
l) D ⊄ A 
 
11º) Classifique como verdadeiro ou falso. 
a) {a, b} ⊂ {a, b, {a}, {b}} 
b) {a} ⊂ {a, b, {a}, {b}} 
c) {a} ∈ {a, b, {a}, {b}} 
d) {a, b} ∈ {a, b, {a}, {b}} 
e) {a, {a}} ⊂ {a, b, {a}, {b}} 
 
12º) Sendo M = {0, 3, 5}, classifique as sentenças seguintes em verdadeiras ou falsas. 
a) 5 ∈ M 
b) 3 ⊂ M 
c) Ø ∈ M 
d) 0 ∈ M 
e) Ø ⊂ M 
f) 0 = Ø 
g) 0 ∈ Ø 
h) 0 ⊂ M 
 
Exercício de revisão: 
 
13º) Represente o conjunto composto pelos 
meses do ano, nas várias formas possíveis. 
14º) Determine x para que {1, 1, 2, 3} = {1, x, 3}. 
 
15º) Considere os conjuntos 
A = {1, 4, 7} B = {1, 3, 4, 5, 7, 8} 
É correto afirmar que: 
a) A ⊂ B b) A ⊃ B c) B ⊅ A d) B ∈ A 
 
16º) Observe os conjuntos a seguir e marque a alternativa correta. 
A = {x|x é um múltiplo positivo de 4} 
B = {x|x é um número par e 4 ≤ x ˂16} 
a) 145 pertence A b) 26 pertence A e B c) 11 pertence B d) 12 pertence A e B 
 
17º) Qual a possível lei de formação do conjunto A = {2, 3, 5, 7, 11}? 
a) A = {x|x é um divisor de 66 e 2 < x < 15} 
b) A = {x|x é um número primo e 1 < x < 13} 
c) A = {x|x é um número ímpar positivo e 1 < x < 14} 
d) A = {x|x é um número natural menor que 10} 
 
18º) Com base nos conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {5, 6, 7} e C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, preencha o 
campo abaixo com a simbologia adequada: 
a) 3___A b) 7___C c) A___B d) B___C e) C___A f) C___B 
 
19º) Se A e B são dois conjuntos tais que A ⊂ B e A ≠ Ø, então 
a) sempre existe x ∈ A tal que x não pertence a B. 
b) sempre existe x ∈ B tal que x não pertence a A 
c) se x ∈ B então x ∈ A 
d) se x não pertence a B então x não pertence a A. 
 
20º) Nos conjuntos (A e B) abaixo, qual alternativa representa uma relação de inclusão? 
 
Respostas do exercício de revisão: 
 
13º) A = {x|x é mês do ano}; A = {janeiro, 
fevereiro, março, abril, maio, junho, julho, 
agosto, setembro. Outubro, novembro, 
dezembro}; para representar em diagrama 
basta colocar os elementos dentro de uma 
curva fechada simples. 
14º) x=2 15º) A 
16º) D 17º) B 
18º) a-∈; b-∉; c- ⊄ ou ⊅; d-⊄; e-⊃, f-⊅ 
19º) D 20º) A