111_APOSTILA_MECÂNICA_GERAL_II (v11_22022021)-55

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Prof.: Carlos Arthur Cavalcante 55 
2.8.1 Exemplo-Ilustrativo 14 
Problema-Resolvido 11.12 (Beer, Johnston; 9ª Edição). 
 
A rotação do braço 𝑂𝐴 de 0,9 𝑚 de comprimento em torno de 𝑂 é definida pela 
relação 𝜃 = 0,15𝑡2, onde 𝜃 está em radianos e 𝑡 em segundos. O cursor 𝐵 desliza 
ao longo do braço 𝑂𝐴 de tal maneira que sua distância em relação ao ponto fixo 𝑂 
é dada por 𝑟 = 0,90 − 0,12𝑡2, onde 𝑟 é expresso em metros. Após o braço ter 
girado 30°, determine: 
a) A velocidade do cursor 𝐵; 
b) A aceleração do cursor 𝐵; e; 
c) A aceleração do cursor 𝐵 em relação ao braço 𝑂𝐴. 
 
SOLUÇÃO: 
 
Para descrever o movimento do cursor 𝐵 adotamos o sistema de coordenadas 
polares com polo no ponto 𝑂 e linha de referência horizontal, conforme ilustrado 
na figura ao lado. 
 
As coordenadas polares de posição do cursor 𝐵 foram dadas e são, 
 
𝑟 = 0,90 − 0,12𝑡2 (𝑚) 𝜃 = 0,15𝑡2 (𝑟𝑎𝑑) 
 
Logo, 
 
𝑣𝑟 = �̇� 𝑣𝑟 = −0,24𝑡 
 
𝑣𝜃 = 𝑟�̇� 𝑣𝜃 = 0,27𝑡 − 0,036𝑡3 
 
𝑎𝑟 = �̈� − 𝑟�̇�
2 𝑎𝑟 = −0,24 − 0,081𝑡2 + 0,0108𝑡4 
 
𝑎𝜃 = 2�̇��̇� + 𝑟�̈� 𝑎𝜃 = −0,18𝑡2 + 0,27 
 
 
Quando 𝜃 = 30° =
30°∙𝜋
180° 
=
𝜋
6
 𝑟𝑎𝑑, teremos, 
 
0,15𝑡2 =
𝜋
6
 𝑡2 =
10𝜋
9
 𝑡 =
√10𝜋
3
= 1,8683 𝑠 
 
 
a) A velocidade do cursor 𝐵; 
 
𝑣𝑟 = −0,24 (
√10𝜋
3
) 𝑣𝑟 = −0,44840 𝑚 𝑠⁄ 
 
𝑣𝜃 = 0,27 (
√10𝜋
3
) − 0,036 (
√10𝜋
3
)
3
 𝑣𝜃 = 0,26967 𝑚 𝑠⁄ 
 
�⃗� = 𝑣𝑟𝑒𝑟 + 𝑣𝜃𝑒𝜃 �⃗� = −0,44840𝑒𝑟 + 0,26967𝑒𝜃 
 
Ou, conforme a figura ao lado. 
 
𝑣 = √𝑣𝑟
2 + 𝑣𝜃
2 = √(−0,44840)2 + (0,26967)2 𝑣 = 0,52324 𝑚 𝑠⁄ 
 
𝛽 = tan−1 (
0,26967
0,44840
) 𝛽 = 31,0° 
 
 
 
 
Observando que: 
�̇� = −0,24𝑡 (𝑚 𝑠⁄ ) 
�̈� = −0,24 (𝑚 𝑠2⁄ ) 
�̇� = 0,30𝑡 (𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ ) 
�̈� = 0,30 (𝑟𝑎𝑑 𝑠2⁄ )