Matemática em Contexto Função exponencial, logaritmica e sequências (5)

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1. Providencie uma folha de papel.
	a) Dobre a folha ao meio de modo a obter 2 regiões retangulares iguais. Dobre a folha outra vez ao meio formando 
4 regiões retangulares iguais. 
Considerando sempre as menores regiões retangulares iguais obtidas com as dobras da folha, continue 
dobrando-a ao meio pela terceira, quarta, quinta e sexta vez. Quantas regiões retangulares iguais você obteve? 
Copie a tabela no caderno e complete-a.
Dobras na folha de papel
Quantidade de vezes em que a 
folha foi dobrada
Quantidade de regiões 
retangulares iguais obtidas
1 21 5 2
2 22 5 4
3 23 5 8
4
5
6
Tabela elaborada para fins didáticos.
	b) Observe os números e as operações que você registrou na tabela. O que ocorre com a quantidade de regiões 
retangulares iguais obtidas a cada nova dobra da folha ao meio?
	c) Sem fazer as dobraduras, descubra quantas regiões retangulares iguais você obteria ao fazer a sétima dobra na folha.
	d) Quantas dobras seriam necessárias para obter 512 regiões retangulares iguais?
	e) Qual é o número máximo de vezes que você conseguiu dobrar a folha ao meio?
2. Analise a sequência a seguir, representada de duas maneiras diferentes. 
25, 24, 23, 22, 21, 20
32, 16, 8, 4, ,
	a) Na segunda representação dessa sequência, qual é a relação entre cada termo e o termo anterior?
	b) Copie no caderno as representações dessa sequência e complete a segunda.
	c) Pense em outras sequências como a anterior, escolhendo a base natural não nula para as potências e reduzindo 
os expoentes de um em um até o expoente 0, e responda: Qual é o valor de cada base que você escolheu 
elevada a 0?
3. Veja um exemplo de como podemos escrever a expressão 72 ? 75 como uma única potência.
72 ? 75 5 7 ? 7 ? 7 ? 7 ? 7 ? 7 ? 7 5 77
Agora, converse com um colega e descubra como podemos escrever cada expressão como uma única potência. 
	a) 23 ? 22
	b) 34 ? 35 
	c) 54 : 52
	d) 68 : 63
	e) (2 ? 3)2
	 f) (3 ? 4)2
	g) (8 : 4)2
	h) (12 : 3)3
	 i) (72)3
	 j) (33)4
	k) 32 ? 32 ? 32 ? 32
	 l) 53 ? 53 ? 53 
Professor, oriente o uso de uma folha de tamanho A4 
ou maior, para facilitar as primeiras dobras.
24 5 16
25 5 32
26 5 64
A quantidade de regiões retangulares iguais 
obtidas dobra em relação à quantidade obtida com a dobra anterior.
128 regiões retangulares iguais. (2 ? 64 5 128 ou 27 5 128)
9 dobras. (29 5 512)
Professor, os estudantes podem começar a ter dificuldades a partir da 6a dobra da folha.
Resposta pessoal.
Exemplo de resposta: Cada termo é a metade do termo anterior, ou cada termo corresponde ao anterior dividido por 2.
2; 1.
Resposta esperada: 1.
25
39
52
65
62
122
22
43
76
312
38
59
Explore para descobrir
Não escreva no livro.
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A definição indutiva 
de an é dada por:
•	a
1 5 a
•	a
n 1 1 5 an ? a
Por exemplo:
•	a2 5 a1 ? a 5 a ? a
•	a3 5 a2 ? a 5 
5 a ? a ? a
Fique atento
Represente no 
caderno a potência 
(am)n como um 
produto de fatores 
iguais e demonstre 
a propriedade da 
potência de potência.
A resposta encontra-se 
nas Orientações 
específicas deste 
Manual.
Reflita
Dados um número real positivo a e um número natural n, com n . 2, chamamos 
potência de base a e expoente n o número real an, que é igual ao produto de n 
fatores iguais a a:
an 5 ? ? ? » ?a a a a
n fatores
E F5555555555
Para n 5 1 consideramos, por definição, que a1 5 a, pois não há produto com 
um único fator.
Acompanhe alguns exemplos.
	a) 25 5 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 5 32
	b) 14 5 1 ? 1 ? 1 ? 1 5 1
	c) 103 5 10 ? 10 ? 10 5 1 000
	d) 
3
4
3
4
3
4
9
16
2
5 ? 5



Retome os cálculos que você e um colega fizeram na atividade 3 do Explore para 
descobrir da página anterior.
Dados os números reais positivos a e b e os números naturais não nulos m e n, 
valem as propriedades a seguir.
•	 Propriedade fundamental: am ? an 5 am 1 n
Essa igualdade é verdadeira, pois em ambos os membros da igualdade temos o 
produto de m 1 n fatores iguais a a.
am ? an 5 a a a a a a a a a a a a
m n m nfatores fatores fatores
E F5555555555 E F5555555555 E F5555555555
? ? ? » ? ? ? ? ? » ? 5 ? ? ? » ?
1
 5 am 1 n
Veja um exemplo numérico.
23 ? 22 5 (2 ? 2 ? 2) ? (2 ? 2) 5 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 5 25 5 23 1 2
Essa propriedade continua válida para qualquer quantidade de fatores. Para quais-
quer números naturais m1, m2, », mp, temos:
? ? » ? 5 1 1 » 1a a a am m m
n
m m mn n
fatores
1 2 1 2
E F555555555555
Exemplo: 22 ? 23 ? 25 5 22 1 3 1 5 5 210
•	 Potência de potência: (am)n 5 amn
Exemplo: (32)7 5 3 3 32 2 2
7 fatores
E F5555555555
? ? » ? 5 37 ? 2 5 314
Na propriedade fundamental, se todos os expoentes forem iguais (m1 5 m2 5 » 5 mp 5 m), 
obtemos a propriedade da potência de potência. Logo, essa propriedade é consequência direta 
da propriedade fundamental.
Fique atento
Formalizando a operação de 
potenciação
Potência com expoente natural
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