Medida de Arcos e Ângulos

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10.	Escreva a expressão geral dos arcos côngruos a 
cada arco de medida angular dada.
	a) 45°
	b) 
3
4
p
 rad
Resolução
	a) A medida angular do arco é dada em graus 
(a 5 45°), então a expressão geral é:
a 1 k ? 360° ~ 45° 1 k ? 360°, com k é Z
	b) A medida angular do arco é dada em radianos 
¯a 5 
3
4
p
 rad˘, então a expressão geral é:
a 1 2kp ~ 3
4
p
 1 2kp, com k é Z
	11.	Qual é o menor arco não negativo que é côngruo 
ao arco de medida angular 1 320°, ou seja, qual é a 
primeira determinação positiva do arco de medida 
angular 1 320°?
Qual é o significado de um número não negativo? 
Então, como deve ser a primeira determinação 
positiva de um arco?
Um número positivo ou zero. Deve ter medida angular 
positiva ou zero.
Reflita
Resolução
Devemos obter o menor valor não negativo de a tal 
que a 1 k ? 360° 5 1 320°, com k é Z.
Então:
1 320 360
240 3
ka
 1 320° 5 240° 1 3 ? 360°
Logo, o menor arco não negativo, côngruo ao arco 
dado, tem medida angular 240°.
Nesta atividade, dizemos que 240° é a primeira 
determinação positiva de 1 320° ou que 1 320° foi 
reduzido à 1a volta.
Fique atento
Resolvida passo a passo
	12.	(Unifor-CE) O dispositivo de segurança de um 
cofre tem o formato da figura a seguir, onde as 
12 letras A, B, », L estão igualmente espaçadas (o 
ângulo central entre duas letras vizinhas é o mes-
mo) e a posição inicial da seta, quando o cofre se 
encontra fechado, é a indicada.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
Para abrir o cofre, são necessárias três operações 
(o segredo), girando o disco menor (onde a seta 
está gravada), de acordo com as seguintes instru-
ções, a partir da posição indicada:
1) 
2
3
p no sentido anti-horário.
2) 
3
2
p no sentido horário.
3) 
3
4
p no sentido anti-horário.
Pode-se, então, afirmar corretamente que o cofre 
será aberto quando a seta estiver:
	a) no ponto médio entre L e A.
	b) na posição B.
	c) na posição K.
	d) em algum ponto entre J e K.
	e) na posição H.
Resolução
1. Lendo e compreendendo
	a) O que é dado no problema?
São dadas as informações sobre o funcionamen-
to do dispositivo de segurança e as instruções 
para abrir o cofre.
	b) O que se pede?
Pede-se a posição da seta no momento em que se 
abre o cofre.
2. Planejando a solução
Conhecemos as operações a serem realizadas com 
o disco menor e o sentido a ser tomado (horário 
ou anti-horário). Então podemos adicionar os va-
lores das operações no sentido anti-horário e sub-
trair o valor da operação no sentido horário e, as-
sim, identificar a posição em que a seta deve ficar.
3. Executando o que foi planejado
2
3
3
4
3
2
8 9 18
12 12
p 1 p 2 p 5 p 1 p 2 p 5 2 p
Assim, ao final do movimento, a seta estará na posi-
ção 
12
2 p
 rad 5 215°, no sentido anti-horário a partir 
de A. Como o arco entre cada letra do dispositivo tem 
medida angular 
360
12
°
 5 30° ¯ou 
2 rad
12 6
p 5 p
 rad˘, a 
seta estará no ponto médio entre A e L.
Atividades resolvidas
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
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 d
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Exemplo de resposta: Girar 30° no sentido horário, girar mais 120° no sentido horário e, por fim, 120° no sentido anti-horário.
Atividades Não escreva no livro.
	74.	Escreva no caderno a expressão geral dos arcos con-
gruentes a cada arco de medida angular dada.
	a) 60°
	b) 120°
	c)
5
4
p
 rad
	d)
11
6
p
 rad
	75.	Escreva no caderno a expressão geral, em radianos, de 
cada arco »AP representado na circunferência trigono-
métrica.
	a) y
x
O A
P
30¡
	b) y
x
O A
P
45¡
c) y
O
120¡
P
x
A
d) y
x
O A
P
260¡
60° 1 k ? 360°, com k é Z.
120° 1 k ? 360°, com k é Z.
p5
4
1 2kp, com 
k é Z.
p11
6
1 2kp, 
com k é Z.
p
6
1 2kp, com k é Z.
p
4
1 2kp, com k é Z.
p2
3
1 2kp, com k é Z.
2
p
3
1 2kp, com k é Z.
	76.	Calcule no caderno a primeira determinação positiva 
de cada arco.
	a) 780°
	b) 1 140°
	c) 2400°
	d)
15
2
p
 rad
	e)
10
3
p
 rad
	 f)
9
2
p
 rad
	77.	Faça esta atividade com um colega.
	a) Converta 
7
4
p
 rad para graus. 315°
	b) Qual é a medida de comprimento de um arco cor-
respondente a um ângulo central de medida de 
abertura 60°, contido em uma circunferência com 
r 5 1,5 cm?
	c) Calcule a medida angular do menor arco não nega-
tivo côngruo de 2 650°. 130°
	d) Qual é a expressão geral dos arcos côngruos de 
14
3
p
?
	78.	Em 2019, durante um importante evento de espor-
tes radicais, o norte-americano Mitchie Brusco (1997-) 
conquistou a façanha de se tornar o primeiro atleta a 
fazer uma manobra de 1 260° com o skate. 
Fazer diferentes 
manobras com 
o skate, e cada 
vez mais difíceis 
ou com mais 
voltas ao redor 
de si mesmo, é 
uma das metas 
dos participantes 
de competições 
profissionais, pois 
elas dão maiores 
pontuações.
A manobra de 1 260° consiste em dar quantas voltas 
no ar em torno de si mesmo?
60°
60°
320°
p3
2
 rad
p4
3
 rad
p
2
 rad
p
2
 cm
p2
3
1 2kp, com k é Z.
3 voltas e meia.
Il
u
s
tr
a
ç
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B
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c
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n
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a
 e
d
it
o
ra
4. Emitindo a resposta
A resposta é a alternativa a.
5. Ampliando o problema
	a) Um casal comprou um dispositivo de segurança idêntico ao citado na atividade e determinou que o segredo 
seria composto das letras iniciais dos nomes deles e do nome do filho, formando a sequência L, H e L de códigos. 
Sendo assim, quais operações são necessárias para abrir o cofre, com a seta partindo de A?
	b) Junte-se com dois ou três colegas e, juntos, criem segredos em um dispositivo similar ao da atividade, se-
guindo os mesmos modelos de instrução. Depois de criarem os segredos, troquem-nos com outro grupo e o 
desafiem a abrir o cofre. Resposta pessoal.
D
a
v
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 B
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