Polinômios: Definições e Teoremas

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MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
POLINÔMIOS 
Prof. Wellington Nishio 
 
 
Polinômios 
 
Definição 
Dada a sequência de números reais (a0, a1, a2, ...,an), 
consideremos a função f: ℂ → ℂ dada por f(x) = a0 + a1x 
+ a2x2 + ... +anxn. A função f é denominada função 
polinomial ou polinômio associado à sequência dada. 
Os números a0, a1, a2, ...,an são denominados 
coeficientes e as parcelas a0 + a1x + a2x2 + ... +anxn 
são chamados termos do polinômio f. 
 
Exemplos 
As seguintes aplicações são polinômios: 
1) f(x) = 1 + 2x + 3x2 - 5x3 onde a0 = 1, a1 = 2, a2 = 3 e 
a3 = -5. 
2) g(x) = 1 + 7x4 onde a0 = 1, a1 = a2 = a3 = 0 e a4 = 7. 
No exemplo 1 classificamos o polinômio como completo 
e de grau 3. 
No exemplo 2 classificamos o polinômio como 
incompleto e de grau 4. 
Lembrete: grau do polinômio é o maior expoente 
associado ao polinômio. 
 
Identidade de Polinômios 
Dois polinômios f e g são iguais(idênticos) se, e 
somente se, os coeficientes de A(x) e B(x) forem 
ordenadamente iguais. 
 
A(x) ≡ B(x) ⇔ ai = bi, ∀i ∊ {0, 1, 2, ..., n} 
 
Polinômios Identicamente Nulos 
São os polinômios onde os coeficientes são nulos. 
 
Divisão de Polinômios 
 
Método das Chaves 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Divisão de Polinômios 
Método dos Coeficientes a Determinar 
Podemos aplicar a identidade de polinômios 
A(x) ≡ Q(x) . B(x) + R(x) para determinar qualquer dos 
polinômios que compõem a divisão de A(x) por B(x). 
 
 
 
 
 
Divisão de Polinômios – Divisão por Binômios do 1º 
grau 
Teorema do Resto 
O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio 
ax + b é igual ao valor numérico desse polinômio para 
x = −
𝒃
𝒂
 . Ou seja: 
𝑷 (−
𝒃
𝒂
) = 𝑹𝒆𝒔𝒕𝒐 
Dispositivo de Briot – Ruffini 
Vamos considerar a divisão entre os polinômios P(x) e 
Q(x), em que P(x) = a1xn + a2xn - 1 + a3xn - 2 +... + an - 1x1 
+ an e Q(x) = x - u. A raiz do polinômio Q(x) é dada 
quando ele é igualado a zero. 
Os coeficientes de P(x) são a1, a2, a3, …, an - 1, an. A 
montagem do dispositivo de Briot-Ruffini a partir da raiz 
de Q(x) e dos coeficientes de P(x) é dada da seguinte 
forma: 
 
 
Divisão de Polinômios – Divisão de um Polinômio 
por (x – a)(x – b) 
Se um polinômio f é divisível separadamente por x - a e 
x - b, com a ≠ b, então f é divisível pelo produto 
(x - a) (x - b). 
A recíproca também é verdadeira. 
 
 
Equações Polinomiais 
 
Definição 
Dadas duas funções polinomiais y = f(x) e y = g(x), 
chama-se equação polinomial ou equação algébrica a 
sentença aberta f(x) = g(x). 
É possível transformar qualquer equação f(x) = g(x) 
numa equação equivalente P(x) = f(x) - g(x) = 0, isto é, 
toda equação polinomial é redutível à forma: 
 
a0 + a1x + a2x2 + ... +anxn = 0 
 
Chama-se raiz da equação todo número que, 
substituído em lugar de x, torna a sentença verdadeira. 
Chama-se conjunto-solução ou conjunto-verdade 
em ℂ da equação f(x) = g(x) o conjunto S cujos 
elementos são as raízes complexas da equação. 
O grau do polinômio determina a quantidade de 
raízes de um polinômio, ou seja, a quantidade de 
raízes de um polinômio é igual ao seu grau. 
 
Teorema da Decomposição 
 
P(x) = an(x – r1 )(x – r2) ... (x – rn) 
 
Toda equação polinomial P(x) = 0, de grau n, n ≥ 1, tem 
exatamente n raízes reais ou complexas. 
 
Definições Importantes! 
1) Se a soma dos coeficientes é nula, uma das raízes é 1. 
2) Se o termo independente do polinômio é nulo, então uma 
das raízes é 0. 
3) Se a soma dos coeficientes de ordem ímpar é igual a 
soma dos coeficientes de ordem par, então uma das raízes é 
-1. 
4) Se tivermos uma das raízes do polinômio, é possível 
diminuir o grau desse polinômio utilizando o dispositivo de 
Briot – Rufinni com essa raiz. 
 
 
 
 
 
0=)x(Rou)B(gr<)R(gr
)x(R+)x(B).x(Q≡)x(A
 
0=)x(Rou)B(gr<)R(gr
)x(R+)x(B).x(Q≡)x(A
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Multiplicidade de uma raiz 
Dizemos que r é raiz de multiplicidade m, m ≥ 1, da 
equação P(x) = 0 se, e somente se, 
 
𝑷 = (𝒙 − 𝒓)𝒎 . 𝑸(𝒙) 𝒆 𝑸(𝒓) ≠ 𝟎 
 
Raízes Complexas 
Se um número complexo z = a + bi com a, b  ℝ e b 0 
é raiz da equação algébrica P(x) = 0, de coeficientes 
reais, então o seu conjugado �̅� = 𝒂 − 𝒃𝒊 é também raiz 
da mesma equação. 
 
Teorema das Raízes Racionais 
O Teorema das Raízes Racionais garante que, se essa 
equação admite o número racional 
𝑝
𝑞
 como raiz (com p 
∊ ℤ, q ∊ ℤ* e mdc(p,q) = 1), então a0 é divisível por p e 
an é divisível por q. 
Em outras palavras: uma possível raiz racional 
pertence ao conjunto 
𝑝
𝑞
 onde p é o conjunto dos 
divisores de a0 e q é o conjunto dos divisores de an. 
 
Observações: 
1º) O teorema das raízes racionais não garante que a 
equação polinomial tenha raízes, mas caso elas 
existam, o teorema permite identificar todas as raízes 
da equação; 
2º) O teorema só se aplica a equações polinomiais de 
coeficientes inteiros (todos). Não é suficiente que o 
coeficiente dominante (an) e o termo independente (a0) 
sejam inteiros. 
 
Números Irracionais Conjugados 
Existe um fato interessante envolvendo polinômios e 
alguns números irracionais da forma 𝑎 + 𝑏√𝑐, que pode 
ser assim enunciado: 
Se o número real 𝑎 + 𝑏√𝑐 (onde a, b ∊ Q, b ≠ 0, e c ∊ 
IN não é quadrado perfeito) é raiz de um polinômio P(x) 
cujos coeficientes são racionais, então, 𝑎 − 𝑏√𝑐 
também é raiz de P(x). 
 
Relações de Girard 
São fórmulas matemáticas que relacionam os 
coeficientes e as raízes de uma equação algébrica. 
 
Na equação do 2º grau 
As raízes x1 e x2 da equação algébrica do 2º grau 
ax² + bx + c = 0 com a ≠ 0, são tais que: 
 
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = −
𝒃
𝒂
; 
𝒙𝟏 . 𝒙𝟐 = 
𝒄
𝒂
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na equação do 3º grau 
As raízes x1, x2, x3 da equação algébrica do 3º grau 
ax3 + bx2 + cx + d = 0 com a ≠ 0, são tais que: 
 
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 = −
𝒃
𝒂
; 
𝒙𝟏 . 𝒙𝟐 + 𝒙𝟏. 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐. 𝒙𝟑 = 
𝒄
𝒂
 
𝒙𝟏. 𝒙𝟐. 𝒙𝟑 = −
𝒅
𝒂
 
 
Na equação de grau n: 
De forma análoga, considerando a equação algébrica 
de grau n: 
anxn + an – 1xn – 1 + ... + a2x2 + a1x + a0 = 0 
de raízes x1, x2, x3, ..., xn, são válidas as seguintes 
relações entre as raízes e os coeficientes, conhecidas 
como relações de Girard: 
 
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 + … + 𝒙𝒏 = −
𝒂𝒏 −𝟏
𝒂𝒏
; 
𝒙𝟏 . 𝒙𝟐 + 𝒙𝟏. 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐. 𝒙𝟑 + … + 𝒙𝒏. 𝒙𝒏 −𝟏 = 
𝒂𝒏 −𝟐
𝒂𝒏
 
𝒙𝟏. 𝒙𝟐. 𝒙𝟑 + 𝒙𝟏. 𝒙𝟐. 𝒙𝒏 + … + 𝒙𝒏. 𝒙𝒏 −𝟏. 𝒙𝒏 −𝟐 = −
𝒂𝒏 −𝟑
𝒂𝒏
 
𝒙𝟏. 𝒙𝟐. 𝒙𝟑. … . 𝒙𝒏 = (−𝟏)𝒏
𝒂𝟎
𝒂𝒏
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. (EsSA – 2010) Sabe-se que 1, a e b são raízes do 
polinômio p(x) = x³ – 11x² + 26x – 16, e que a > b. 
Nessas condições, o valor de ab + logb a é: 
a)
49
3
 
b)
193
3
 
c) 67 
d) 64 
e) 19 
 
2. (EsSA – 2014) Uma equação polinomial do 3º grau 
que admite as raízes −1, −
1
2
 𝑒 2 é: 
a) x3 - 2x2 - 5x – 2 = 0. 
b) 2x3 - x2 - 5x + 2 = 0. 
c) 2x3 - x2 + 5x – 2 = 0. 
d) 2x3 - x2 - 2x – 2 = 0. 
e) 2x3 - x2 - 5x – 2 = 0. 
 
3. (EsSA – 2016) O grau do polinômio 
(4x – 1).(x2 – x – 3).(x + 1) é: 
a) 6 
b) 5 
c) 3 
d) 4 
e) 2 
 
4. (EsSA – 2016) O conjunto solução da equação 
x3 - 2x2 - 5x + 6 = 0 é: 
a) S = {–3; –1; 2} 
b) S = {–0,5; –3; 4} 
c) S = {–3; 1; 2} 
d) S = {–2; 1; 3} 
e) S = {0,5 ; 3; 4} 
 
 
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5. (EsSA – 2017) Se 2 + 3i é raiz de uma equação 
algébrica P(x) = 0, de coeficientes reais, então 
podemos afirmar que: 
a) 2 também é raiz da mesma equação. 
b) -3i também é raiz da mesma equação. 
c) 2 – 3i também é raiz da mesma equação. 
d) 3 + 2i também é raiz da mesma equação. 
e) 3 – 2i também é raiz da mesma equação. 
 
4. (EEAr – 2010) Se a maior das raízes da equação 
x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0 é igual à soma das outras duas, 
então seu valor é divisor de 
a) 10. 
b) 16. 
c) 18. 
d) 20. 
 
5. (EEAr – 2010) Seja A = {-2, -1, 1, 2} o conjunto 
formado pelas raízes de um polinômio P(x) do4° grau. 
Se o coeficiente do termo de maior grau de P(x) é 1, 
então o termo independente é 
a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. 
6. (EEAr – 2010) Sabe-se que a equação 
x4 – 2x3 – 8x2 + 18x - 9 = 0 equivale a 
(x – 1)2.(x2 – 9) = 0. Assim, a raiz de multiplicidade 2 
dessa equação é 
a) -3 b) -1 c) 1 d) 3 
 
7. (EEAr - 2011) Seja r a maior raiz da equação 
x(x + 2)(x - 1)3 = 0 . Se m é a multiplicidade de r, então 
r.m é igual a 
a) 6 
b) 5 
c) 4 
d) 3 
 
8. (EEAr - 2011) Se o polinômio 
P(x) = ax3 - 3x2 - bx - 3 é divisível por (x - 3) (x + 1), 
então o valor de a + b é 
a) 10 
b) 8 
c) 7 
d) 5 
 
9. (EEAr - 2011) Uma equação polinomial de 
coeficientes reais admite como raízes os números 
-2, 0, 2 e 1 + i. O menor grau que essa equação pode 
ter é 
a) 6 
b) 5 
c) 4 
d) 3 
 
10. (EEAr - 2012) Seja a equação polinomial 
2x3 + 4x2 - 2x + 4 = 0. Se S e P são, respectivamente, 
a soma e o produto de suas raízes, então 
a) S = P 
b) S = 2P 
c) S = 2 e P = -4 
d) S = 2 e P = -4 
 
 
 
 
11. (EEAr - 2013) O resto da divisão de 
4x3 + 2x2 + x - 1 por x2 - 3 é igual a 
a) 13x + 5 
b) 11x - 3 
c) 2x + 5 
d) 6x - 3 
 
12. (EEAr - 2014) A equação (x2 + 3)(x - 2)(x + 1) = 0 
tem____raízes reais. 
a) 3 
b) 2 
c) 1 
d) 0 
 
13. (EEAr - 2015) Seja a equação x3 - 5x2 + 7x - 3 = 0. 
Usando as relações de Girard, pode-se encontrar como 
soma das raízes o valor 
a) 12 
b) 7 
c) 5 
d) 2 
 
14. (EEAr - 2016) Dada a equação 
3x3 + 2x2 – x + 3 = 0 e sabendo que a, b e c são raízes 
dessa equação, o valor do produto a.b.c é 
a) 1 b) -1 c) 
3
1
 d) 
3
1
− 
 
15. (EEAr - 2016) Dado o polinômio: 
ax3 + (2a + b)x2 + cx + d – 4 = 0, os valores de a e b 
para que ele seja um polinômio de 2º grau são 
a) a = 0 e b = 0 
b) a = 1 e b ≠0 
c) a = 0 e b ≠0 
d) a = -1 e b = 0 
 
16. (EEAr - 2017) Considere P(x) = 2x3 + bx2 + cx, tal 
que P(1) = - 2 e P(2) = 6 . Assim, os valores de b e c 
são, respectivamente, 
a) 1 e 2 
b) 1 e -2 
c) -1 e 3 
d) -1 e -3 
 
17. (EEAr - 2017) Ao dividir 3x3 + 8x2 + 3x + 4 por 
x2 + 3x + 2 obtém-se _____ como resto. 
a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 
 
18. (EEAr – 2018) Sejam os polinômios 
A(x) = x3 + 2x2 – x – 4, B(x) = ax3 – bx2 – 4x + 1 e 
P(x) = A(x) – B(x). Para que P(x) seja de grau 2, é 
necessário que 
a) a ≠ –1 e b = –2 
b) a = 1 e b = –2 
c) a = 1 e b ≠ –2 
d) a ≠ 1 e b ≠ 2 
 
19. (EEAr - 2018) Se os números 2, 5, 1 + i e 3 - 5i são 
raízes de uma equação polinomial de grau 6, com o 
coeficiente do termo de maior grau igual a 1, a soma 
das outras duas raízes dessa equação é 
a) 4 + 4i 
b) 4 + 3i 
c) 3 + 4i 
d) 3 + 3i 
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20. (EEAr – 2019) A parte real das raízes complexas 
da equação x2 – 4x + 13 = 0, é igual a 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
21. (EEAr – 2019) Seja a equação polinomial 
x3 + bx2 + cx + 18 = 0. Se –2 e 3 são suas raízes, sendo 
que a raiz 3 tem multiplicidade 2, o valor de “b” é 
a) 8 
b) 6 
c) –3 
d) –4 
 
22. (EEAr – 2020) Da equação x3 + 11x2 + kx + 36 = 0, 
sabe-se que o produto de duas de suas raízes é 18. 
Assim, o valor de k é 
a) 6 
b) 8 
c) 18 
d) 36 
 
23. (EEAr – 2020) Se Q(x) = ax2 + bx + c é o quociente 
da divisão de G(x) = 6x3 – 5x2 + 7x – 4 por H(x) = x – 1, 
então o valor de b + c é 
a) 6 
b) 7 
c) 8 
d) 9 
 
24. (EEAr – 2020) Na equação 
2x5 – 5x4 + 10x2 – 10x + 3 = 0, a raiz 1 tem multiplicidade 
igual a _____. 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
25. (EEAr – 2021) O número complexo z = 2 + 3i é uma 
raiz do polinômio p(x) = x3 − 5x2 + 17x − 13. Sendo 
assim, é correto afirmar que p(x) possui 
a) outras 2 raízes não reais. 
b) apenas 1 raiz não real. 
c) 2 raízes reais. 
d) 1 raiz real. 
 
26. (EEAr – 2021) Dados os polinômios 
P(x) = x2 + ax - 3b e Q(x) = -x3 + 2ax - b, ambos 
divisíveis por (x - 1), então a soma a + b é: 
a) 1/3 
b) 2/3 
c) 3/4 
d) 7/5 
 
27. (EEAr – 2022) Sejam A e B os restos das divisões 
de P(x) = x3 − 3x2 − 4x + 6 por, respectivamente, x + 2 
e x − 3. Desta forma, pode-se afirmar que 
a) A = B 
b) A = 2B 
c) B = 2A 
d) A = −B 
 
28. (EEAr – 2022) Sabe-se que os polinômios A(x) e 
B(x) têm grau 4 e que P(x) = A(x) . B(x) e 
T(x) = A(x) + B(x) são polinômios não nulos. 
Assim, pode-se afirmar que os graus de P(x) e T(x) são, 
respectivamente, ____ e menor ou igual a ____. 
a) 4; 8 
b) 8; 8 
c) 4; 4 
d) 8; 4 
 
29. (EEAr – 2023) Se as raízes da equação 
3 23
x 7x 3x 5 0
2
− − − = são 2 − i, m e n, então o valor de 
m . n é igual a 
a) 
2 i
3
+
 
b) 
4 2i
3
+
 
c) 
2 3i
2
+
 
d) 
1 4i
2
+
 
 
30. (EEAr – 2023) Se 4 é uma das raízes do polinômio 
P(x) = x3 − 8x2 + 19x − 12, então as outras raízes são 
números 
a) opostos. 
b) ímpares. 
c) negativos. 
d) irracionais. 
 
31. (EsPCEx – 2011) Os polinômios A(x) e B(x) são tais 
que A(x) = B(x) + 3x3 + 2x2 + x + 1. Sabendo-se que -1 
é raiz de A(x) e 3 é raiz de B(x), então A(3) - B(-1) é 
igual a: 
a) 98 
b) 100 
c) 102 
d) 103 
e) 105 
 
32. (EsPCEx – 2011) As medidas em centímetros das 
arestas de um bloco retangular são as raízes da 
equação polinomial x3 – 14x2 + 64x – 96 = 0. 
Denominando-se r, s e t essas medidas, se for 
construído um novo bloco retangular, com arestas 
medindo (r - 1), (s - 1) e (t - 1), ou seja, cada aresta 
medindo 1 cm a menos que a do bloco anterior, a 
medida do volume desse novo bloco será 
a) 36 cm3 
b) 45 cm3 
c) 54 cm3 
d) 60 cm3 
e) 80 cm3 
 
 
 
 
 
 
 
 
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33. (EsPCEx – 2011) Seja a função complexa 
P(x) = 2x3 - 9x2 + 14x - 5. Sabendo-se que 2 + i é raiz 
de P, o intervalo I de números reais que faz P(x) < 0, 
para todo x ∊ I é 
a) 
1
,
2
 
− 
 
 
b) ]0, 1[ 
c) 
1
,2
4
 
 
 
 
d) ]0, +∞ [ 
e) 
1 3
,
4 4
 
− − 
 
 
 
34. (EsPCEx – 2012) A figura geométrica formada 
pelos afixos das raízes complexas da equação 
x3 – 8 = 0 tem área igual a 
a) 7√3 
b) 6√3 
c) 5√3 
d) 4√3 
e) 3√3 
 
35. (EsPCEx – 2012) A figura a seguir apresenta o 
gráfico de um polinômio P(x) do 4º grau no intervalo 
]0, 5[. 
O número de raízes reais da equação P(x) + 1 = 0 no 
intervalo ]0, 5[ é 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
36. (EsPCEx – 2012) Um polinômio q(x), do 2º grau, é 
definido por q(x) = ax2 + bx + c, com a, b e c reais, 
a ≠ 0. Dentre os polinômios a seguir, aquele que verifica 
a igualdade q(x) = q(1 - x), para todo x real, é 
a) q(x) = a(x2 + x) + c 
b) q(x) = a(x2 – x) + c 
c) q(x) = a2(x2 – x) + c 
d) q(x) = a2(x2 + x) + c 
e) q(x) = a2x + c 
 
 
 
 
37. (EsPCEx – 2013) Sabendo que 2 é uma raiz do 
polinômio P(x) = 2x3 - 5x2 + x + 2, então o conjunto de 
todos os números reais x para os quais a expressão 
P(x) está definida é: 
a)  x / 1 x 2   
b) 
1
x / x
2
 
  − 
 
 
c) 
1
x / x 1ou x 2
2
 
 −    
 
 
d)  x / x 2  
e)  x / x 2 e x 1   
 
38. (EsPCEx – 2013) Dado o polinômio q(x) que 
satisfaz a equação x3 + ax2 - x + b = (x - 1)·q(x) e 
sabendo que 1 e 2 são raízes da equação 
x3 + ax2 - x + b = 0, determine o intervalo no qual 
q(x) ≤ 0: 
a) [-5, -4] 
b) [-3, -2] 
c) [-1, 2] 
d) [3, 5] 
e) [6, 7] 
 
39. (EsPCEx – 2014) O polinômio 
f(x) = x5 – x3 + x2 + 1, quando dividido por 
q(x) = x3 - 3x + 2 deixa resto r(x). 
Sabendo disso, o valor numérico de r(-1) é 
a) -10 
b) -4 
c) 0 
d) 4 
e) 10 
 
40.(EsPCEx – 2014) A função definida por 
f(x) = x4 - 5x3 + 5x2 + 5x - 6 tem como algumas de suas 
raízes os números -1 e 1. Assinale a alternativa que 
representa o conjunto de todos os números reais para 
os quais a função f (x) é positiva. 
a) ( ) ( ), 1 0,1− −  
b) ( ) ( ), 1 2,− −  + 
c) ( )  )
1 1
, 1 , 2,
2 2
 
− −  −  + 
 
 
d) ( )
1 5
, 3 ,2 ,
2 2
   
− −   +   
   
 
e) ( ) ( ) ( ), 1 1, 2 3,− −   + 
 
41. (EsPCEx – 2015) Considere os polinômios 
p(x) = x80 + 3x79 – x2 – x - 1 e b(x) = x2 + 2x - 3. Sendo 
r(x) o resto da divisão de p(x) por b(x), o valor de 
1
r
2
 
 
 
 
é igual a 
a) 0 
b)
1
2
 
c) 1 
d) 2 
e)
5
2
 
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POLINÔMIOS 
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42. (EsPCEx – 2015) Considere o polinômio 
p(x) = x6 - 2x5 + 2x4 - 4x3 + x2 - 2x. Sobre as raízes de 
p(x) = 0, podemos afirmar que 
a) quatro raízes são reais distintas. 
b) quatro raízes são reais, sendo duas iguais. 
c) apenas uma raiz é real. 
d) apenas duas raízes são reais e iguais. 
e) apenas duas raízes são reais distintas. 
 
43. (EsPCEx – 2015) Sendo R a maior das raízes da 
equação 211x 6
x ,
x 4
+
=
−
 então o valor de 2R - 2 é 
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 
 
44. (EsPCEx – 2016) As três raízes da equação 
x3 - 6x2 + 21x - 26 = 0 são m, n e p. Sabendo que m e 
n são complexas e que p é uma raiz racional, o valor de 
m2 + n2 é igual a 
a) -18 
b) -10 
c) 0 
d) 4 
e) 8 
 
45. (EsPCEx – 2017) As raízes inteiras da equação 
23x - 7.2x + 6 = 0 são 
a) 0 e 1. 
b) -3 e 1. 
c) -3, 1 e 2. 
d) -3, 0 e 1 . 
e) 0, 1 e 2. 
 
46. (EsPCEx – 2018) Sabendo que o número complexo 
i (sendo i a unidade imaginária) é raiz do polinômio 
p(x) = x5 - 2x4 – x + 2, podemos afirmar que p(x) tem 
a) duas raízes iguais a i, uma raiz racional e duas raízes 
irracionais. 
b) i e -i como raízes complexas e três raízes irracionais. 
c) uma raiz complexa i e quatro raízes reais. 
d) i e -i como raízes complexas e três raízes inteiras. 
e) três raízes simples e uma raiz dupla. 
 
47. (EsPCEx – 2019) Dividindo-se o polinômio 
P(x) = 2x4 - 5x3 + kx - 1 por (x - 3) e (x + 2), os restos 
são iguais. Neste caso, o valor de k é igual a 
a) 10. b) 9. c) 8. d) 7. e) 6. 
 
48. (EsPCEx – 2019) Sabe-se que as raízes da 
equação x3 - 3x2 - 6x + k = 0 estão em progressão 
aritmética. Então podemos afirmar que o valor de 
k
2
 é 
igual a 
a) 
5
.
2
 
b) 4. 
c)
7
.
2
 
d) 3. 
e)
9
.
2
 
 
49. (EsPCEx – 2020) Se o polinômio 
p(x) = x3 + ax2 - 13x + 12 tem x = 1 como uma de suas 
raízes, então é correto afirmar que 
a) x = 1 é raiz de multiplicidade 2. 
b) as outras raízes são complexas não reais. 
c) as outras raízes são negativas. 
d) a soma das raízes é igual a zero. 
e) apenas uma raiz não é quadrado perfeito. 
 
50. (EsPCEx – 2021) Considere a função p: ℝ → ℝ é 
dada por p(x) = x5 – 5x4 + 10x3 – 10x2 + 5x – 1 e a função 
q: ℝ → ℝ onde q(x) = p(x – 2000). O valor numérico de 
q(2021) é igual a 
a) 2.021.000 
b) 2.021.320 
c) 3.200.000 
d) 3.202.021 
e) 4.084.101 
 
51. (EsPCEx – 2022) Dado o polinômio 
p(x) = (m + 39)x + x3 – 36 – 14x2 e sabendo-se que 1 é 
uma raiz de p(x), é correto afirmar que as outras duas 
raízes de p(x) são números 
a) inteiros primos. 
b) irracionais. 
c) inteiros quadrados perfeitos. 
d) inteiros cubos perfeitos. 
e) inteiros múltiplos de 5. 
 
52. (EsPCEx – 2022) Considere a função de variável 
complexa f, definida por f(z) = z4 + 80z2 − 81. 
Sendo i a unidade imaginária, os números complexos 
que satisfazem à equação f(z) = 0 são 
a) 1 e −81. 
b) 9 ; −9 ; i e −1. 
c) 1 + 9i e 1 − 9i. 
d) 1 ; −1 ; 9i e −9i. 
e) 9 + i e 9 − i. 
 
53. (AFA - 2010) Observe a função polinomial P 
esboçada no gráfico abaixo. 
 
Sabe-se que x = 0 ou x = 2 são raízes de P e que o 
resto da divisão de P(x) por ( )( ) x.1x.2x −− é R(x) 
As raízes de R(x) são números 
a) inteiros pares. 
b) inteiros ímpares. 
c) fracionários opostos. 
d) irracionais opostos. 
 
 
 
 
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54. (AFA - 2011) Sobre o polinômio A(x), expresso pelo 
determinante da matriz 












−
xx1
2x1
11x
, é INCORRETO 
afirmar que 
a) não possui raízes comuns com B(x) = x2 - 1 
b) não possui raízes imaginárias. 
c) a soma de suas raízes é igual a uma de suas raízes. 
d) é divisível por P(x) = x + 2 
 
55. (AFA - 2012) O polinômio P(x) = x4 - 75x2 + 250x 
tem uma raiz dupla. Em relação à 
P(x) é correto afirmar que 
a) a sua raiz dupla é negativa. 
b) três de suas raízes são negativas. 
c) nenhuma de suas raízes é negativa. 
d) apenas uma de suas raízes é negativa. 
 
56. (AFA - 2013) As raízes da equação algébrica 2x3 - 
ax2 + bx + 54 = 0 formam uma progressão geométrica. 
Se a, b  R, b ≠ 0, então 
b
a
 é igual a: 
a) 
3
1
− b) 3 c) 
3
2
− d) 
3
2
 
 
57. (AFA - 2014) A equação x3 - 4x2 + 5x + 3 = 0 possui 
as raízes m, p e q. O valor da expressão 
mp
q
mq
p
pq
m
++
é 
a) -2 b) -3 c) 2 d) 3 
 
58. (AFA - 2015) Considere o polinômio 
p(x) = ax4 + bx3 + 2x2 + 1, {a, b} ⊂ R e marque a 
alternativa FALSA. 
a) x = 0 não é raiz do polinômio p(x) 
b) Existem valores distintos para a e b tais que x = 1 ou 
x = –1 são raízes de p(x) 
c) Se a = 0 e b = 3, o resto da divisão de p(x) por 
3x2 – x + 1 é zero. 
d) Se a = b = 0 tem-se que x = i
2
1
− é uma raiz de p(x), 
considerando que i2 = –1 
 
59. (AFA – 2016) Considere os polinômios 
Q(x) = x2 - 2x + 1 e P(x) = x3 - 3x2 – ax + b, sendo a e b 
números reais tais que a2 – b2 = -8 
Se os gráficos de Q(x) e P(x) têm um ponto comum que 
pertence ao eixo das abscissas, então é INCORRETO 
afirmar sobre as raízes de P(x) que 
a) podem formar uma progressão aritmética. 
b) são todas números naturais. 
c) duas são os números a e b 
d) duas são números simétricos. 
 
60. (AFA – 2017) O polinômio P(x) = x3 + mx2 + nx + 12 
é tal que P(x) = 0 admite as raízes x1, x2 e x3 
Se x1 . x2 = -3 e x2 + x3 = 5, então é correto afirmar que 
a) P(m) = 0 
b) m − n = −13 
c) m ⋅ n = 20 
d) n − 2m = −7 
 
61. (AFA – 2019) Sobre a inequação 
2
33x 2x
x ,
x
+
 
considerando o conjunto universo U ⊂ IR, é 
INCORRETO afirmar que possui conjunto solução 
a) unitário se U = { x ∈ IR | x > 0 e x = 2k, k ∈ ℤ+* } 
b) vazio se U = [2, +∞[ 
c) com infinitas soluções se U = { x ∈IR | x = 2k + 1, k ∈ 
ℤ-} 
d) com infinitas soluções se U = {x ∈ IR* | x ≤ 2} 
 
62. (AFA – 2019) Considere a ∈ IR e os polinômios 
𝑃(𝑥) = 
𝑎
2
𝑥6 − 26𝑥3 − 27 e A(x) = 2x2 + 4x + a, tais que 
seus gráficos se intersectam em um único ponto de 
ordenada nula. 
Sabendo também que, graficamente, A(x) tangencia o 
eixo 𝑂𝑥 ⃡ , analise as afirmativas abaixo e escreva V para 
verdadeira e F para falsa. 
( ) O gráfico de P corta o eixo (x) Ox em dois pontos. 
( ) Os afixos das raízes de P(x) que possuem menor 
módulo formam um triângulo cujo perímetro mede 3√3 
unidades de comprimento. 
( ) A soma das raízes imaginárias de P(x) é igual a −2 
A sequência correta é 
a) V – V – V 
b) V – F – F 
c) F – V – F 
d) F – V – V 
 
63. (AFA – 2020) Considere os polinômios na variável 
x: 
A(x) = x3 + (3m3 - 4m)x2 – 2, sendo m ∈ ℚ; e 
B(x) = x2 - 2x + 1 
Os gráficos de A(x) e B(x) possuem apenas um ponto 
comum sobre o eixo das abscissas. 
É correto afirmar que 
a) o produto e a soma das raízes imaginárias de A(x) 
são números conjugados. 
b) os afixos das raízes de A(x) formam um triângulo 
equilátero. 
c) as raízes de A(x) possuem argumentos que NÃO 
formam uma Progressão Aritmética. 
d) todas as raízes de A possuem o mesmo módulo. 
 
64. (AFA – 2021) O polinômio de raízes reais distintas 
e coeficientes reais, P(x) = 6x3 + mx2 - 18x + n, é 
divisível por (x − α) e possui duas raízes simétricas.Se P(P(α)) = 9, então P(1) é igual a 
a) -9 
b) -6 
c) -3 
d) 0 
 
65. (AFA – 2022) No universo dos complexos, sobre a 
equação 2x6 − 4x5 − 64x + 128 = 0, marque a alternativa 
correta. 
a) Apresenta conjunto solução unitário. 
b) O produto das raízes imaginárias é igual a 16. 
c) Apresenta conjunto solução com seis elementos 
distintos. 
d) A soma das raízes imaginárias é igual a uma de suas 
raízes. 
 
 
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66. (AFA – 2022) Considere o polinômio 
P(x) = 5x2n − 4x2n + 1 − 2, em que n é um número natural. 
Dividindo P(x) por (x+1), o resto r encontrado é tal que 
a) r < 2 
b) 2 ≤ r < 5 
c) 5 ≤ r < 8 
d) r ≥ 8 
 
67. (AFA – 2023) Seja a função real f definida por 
f(x) = x3 + 3x2 − 4x − 12 
As raízes de f são números reais a, b e c com a < b < c 
Sendo e o número de Eüler, analise cada proposição 
quanto a ser (V) VERDADEIRA ou (F) FALSA. 
( ) 1 1
e e
log a log (b 1) 0= − = 
( ) Se x ∈ ]c , +∞[, então loge x não está definido. 
( ) Existe um único m ∈ ]−∞, b] tal que 
f (m)
1
e
 
 
 
= 0 
Sobre as proposições, tem-se que 
a) todas são falsas. 
b) todas são verdadeiras. 
c) apenas uma é verdadeira. 
d) apenas duas são verdadeiras. 
 
 
GABARITO 
 
A) 27, 33, 39, 41, 45, 53, 54, 56, 57, 62, 67 
B) 29, 30, 32, 36, 44, 47, 48, 59, 61, 64, 65 
C) 31, 35, 37, 38, 50, 51, 63, 66 
D) 21, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 46, 49, 52, 55, 58, 60 
E) 34, 40, 42, 43