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Tecnologias digitais
Não escreva no livro.
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Cálculo das raízes de uma equação de 2o grau 
no GeoGebra
Vamos utilizar o GeoGebra Calculadora CAS para analisar a fórmula que calcula as 
raízes de uma equação de 2o grau, que pode ser associada a uma função quadrática. 
Você pode usar a versão on-line, disponível em https://www.geogebra.org/?lang=pt. 
Acesso em: 5 maio 2020.
Vamos resolver a equação de 2o grau ax2 1 bx 1 c 5 0. Para isso, siga os passos 
abaixo.
1o passo: Na tela inicial da versão on-line, na lista “Powerful Math Apps”, clique em 
“Calculadora CAS”. Deve abrir uma nova janela.
2o passo: Na primeira linha do campo Entrada, escreva a equação 
de 2o grau na forma geral. Para isso, digite eq1: a*x^2+b*x+c=0 e 
tecle “Enter”. Observe que “^” indica a operação de potenciação e 
“*” indica a operação de multiplicação.
3o passo: Na segunda linha do campo Entrada, digite 
Soluções(eq1) e tecle “Enter”. Dessa maneira, o GeoGebra apre-
senta duas raízes possíveis, que geralmente chamamos de x8 e x9 
ou de x1 e x2.
Professor, as sugestões para o desenvolvimento desta seção encontram-se nas Orientações específicas deste Manual.
Detalhe da tela do GeoGebra após o 
2o passo.
	 1.	Responda às perguntas a seguir, considerando a equação ax2 1 bx 1 c 5 0.
	a) O valor do coeficiente a em uma equação de 2o grau pode ser igual a zero? Por 
quê?
	b) Observe o termo dentro da raiz quadrada nas raízes da equação apresentadas 
pelo GeoGebra. A equação tem raízes reais para quaisquer valores de a, b e c? 
Justifique.
	 2.	Salve sua construção, abra um novo documento, repita os passos no GeoGebra e 
indique no caderno quais são as raízes da equação x² 2 5x 1 4 5 0.
	 3.	Quais são as raízes apresentadas pelo GeoGebra para a equação x2 1 1 5 0? Jus-
tifique esse resultado de acordo com sua resposta ao item b da questão 1.
Não. Se a 5 0, deixaríamos de ter uma equação de 2o grau.
1. b) Não. Caso o termo 
b2 2 4ac seja negativo, 
a expressão 2b ac4
2 
não estaria definida e, 
por isso, não haveria 
raízes reais para a 
equação.x1 5 1 e x2 5 4.
O GeoGebra indica que essa equação não tem raiz real. Isso ocorre porque, para essa equação, em 
que a 5 1, b 5 0 e c 5 1, temos b2 2 4ac 5 24 < 0. Dessa maneira, a equação não tem raízes reais.
Detalhe da tela do GeoGebra após o 3o passo.
R
e
p
ro
d
u
ç
ã
o
/w
w
w
.g
e
o
g
e
b
ra
.o
rg
R
e
p
ro
d
u
ç
ã
o
/w
w
w
.g
e
o
g
e
b
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.o
rg
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Formalizando o conceito de zeros 
de uma função quadrática
O valor de x para o qual a função quadrática dada pela lei F(x) 5 ax2 1 bx 1 c, a = 0, se anula, ou seja, 
para o qual F(x) 5 0, é chamado zero da função quadrática. Assim, para determinar o zero de uma 
função quadrática, basta determinar as raízes da equação de 2o grau ax2 1 bx 1 c 5 0.
A seguir vamos apresentar algumas maneiras de determinar as raízes de uma equação de 2o grau.
Determinação das raízes de uma equação de 2o grau
Analisando a equação ax2 1 bx 1 c 5 0, a = 0
Para resolver uma equação, podemos isolar o x em um dos membros. Vejamos como resolver a equação ax2 1 bx 1 c 5 0, 
a = 0. Siga os passos para encontrar uma fórmula que indica o valor de x.
1o passo: Deixe os termos que têm x no primeiro membro e o restante no segundo membro da equação.
2o passo: Divida todos os termos da equação pelo coeficiente a.
3o passo: Divida 
b
a
 por 2 e eleve o resultado ao quadrado para descobrir o valor a ser somado aos dois membros da 
equação.
4o passo: Some o valor obtido no passo anterior aos dois membros da equação.
5o passo: Fatore o lado esquerdo da equação utilizando o trinômio do quadrado perfeito.
6o passo: Some as frações que estão no segundo membro da equação utilizando o mmc.
7o passo: Extraia a raiz quadrada nos dois membros da equação.
8o passo: Isole x no primeiro membro da equação.
9o passo: Considerando D 5 b2 2 4ac, faça essa substituição e reescreva a equação.
ax
2
 1 bx 5 2c
1 5 2 ~ 1 5 2
ax
a
bx
a
c
a
x
b
a
x
c
a
 
2
2
1 1 5 2 1x
b
a
x
b
a
c
a
b
a
 
4
 
4
2
2
2
2
2
2 1 5
2ac
a
b
a
b ac
a
4
4
 
4
 
 4
4
2
2
2
2
2
52 6
2
~ 5
2 6 2
x
b
a
b ac
a
x
b b ac
a
 
2
 
 4
2
 
 4
2
2 2
5
2 6 D
x
b
a
 
 
2
 
Explore para descobrir
Não escreva no livro.
A fórmula x
b
a2
5
2 6 D
, que você obteve no Explore para descobrir, pode ser utilizada para calcular as 
raízes de equações de 2o grau. O número D 5 b2 2 4ac é chamado discriminante da equação relacionada 
à função quadrática dada por F(x) 5 ax2 1 bx 1 c. Ele tem um papel muito importante na determinação das 
raízes da equação.
7 o passo: 





6 1 5 6
2
~ 1 5 6
2
x
b
a
b ac
a
x
b
a
b ac
a
 
2
 
 4
4
 
2
 
 4
2
2
2
2
2
3 o passo: 5 ? 5
b
a b
a
b
a2
 
1
2
 
4
2
2
2
2












5 o passo: 1 5 2 1x
b
a
c
a
b
a
 
2
 
4
2
2
2




O valor do discriminante (D) de uma equação ax2 1 bx 1 c 5 0, a = 0, influencia na quantidade de raízes da equação e, 
consequentemente, na quantidade dos zeros da função quadrática dada por F(x) 5 ax2 1 bx 1 c.
•	Quando D > 0, a equação ax2 1 bx 1 c 5 0 tem duas raízes reais diferentes (consequentemente, a função F tem dois zeros 
reais diferentes) dadas por: x
b
a2
8 5
2 1 D
 e x
b
a2
9 5
2 2 D
 
•	Quando D 5 0, a equação ax2 1 bx 1 c 5 0 tem duas raízes reais iguais (consequentemente, a função F tem dois zeros 
reais iguais) dadas por: x8 5 x95 
b
a2
2 1 D
 5 
b
a2
2 2 D
 5 
b
a2
2
•	Quando D < 0, a equação ax2 1 bx 1 c 5 0 não tem raízes reais (consequentemente, a função F não tem zeros reais).
Fique atento
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