Matemática Interligada Estatística, Análise e Probabilidade (57)

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 Cite outras situações, parecidas com a apresentada na página anterior, em que é ne-
cessário realizar escolhas entre várias opções. 
 O que você entende por Análise combinatória?
 Explique para um colega sua estratégia para responder à questão da página anterior. 
 Em sua opinião, qual é a importância de calcular a quantidade de possibilidades dife-
rentes acerca de uma situação?
 Vamos supor que Carolina optasse pelo processador de 3.8 GHz. De quantas maneiras 
distintas ela ainda poderia montar um computador nessa loja, sabendo que ela tam-
bém pode escolher uma memória RAM, um HD e uma das opções de acessórios?
Princípio fundamental da contagem
Dois dos principais conceitos estudados em Análise combinatória são o princípio aditivo e o 
princípio multiplicativo da contagem.
Analise a seguinte situação.
• Saulo pretende comprar um único par de calçados em uma loja que disponibiliza 6 modelos 
de pares de tênis, 4 modelos de pares de sapato e 3 modelos de pares de chinelo. Quantas 
possibilidades Saulo tem se escolher apenas um par de calçados nessa loja?
Para determinar quantos são os calçados disponíveis para a escolha de Saulo, podemos anali-
sar o esquema representado a seguir.
6 tênis 4 sapatos 10 calçados1 5
tênis sapato
Portanto, Saulo tem 10 possibilidades para escolher um par de calçados nessa loja.
Sejam A e B dois conjuntos disjuntos, ou seja, não 
possuem elementos comuns. Se o conjunto A tem m ele-
mentos e o conjunto B tem n elementos, então A < B 
possui m 1 n elementos.
Esse princípio é conhecido como princípio aditivo da 
contagem.
Agora, para resolver problemas como o apresentado no tó-
pico anterior, utilizamos o chamado princípio fundamental da 
contagem ou princípio multiplicativo. Com esse princípio, é 
possível obter a solução de certos problemas sem a necessi-
dade de listar todas as possibilidades e contar os elementos 
envolvidos.
Chamamos conjunto uma coleção formada 
por objetos classificados de acordo com 
determinado critério.
O conjunto união de A e B, que indicamos por 
A < B , é o conjunto formado por todos os 
elementos que pertencem a A ou a B. Já o 
conjunto interseção de A e B, que indicamos 
por A > B , é o conjunto formado pelos 
elementos comuns a A e a B. Considerando os 
conjuntos A 5 {2 1,0,3,5,6 } e B 5 {2 1,1,3,5,7 } , 
temos:
 A < B 5 {2 1,0,1,3,5,6,7 } 
 A > B 5 {2 1,3,5 } 
Resposta pessoal. Possíveis respostas: 
Resposta pessoal.
48 maneiras
Resposta pessoal.
Proponha aos 
alunos a situação 
apresentada antes 
de abordá-la no 
livro, a fim de que, 
em duplas, tentem 
resolvê-la. Depois, 
considerando 
as estratégias 
e resoluções 
propostas e 
desenvolvidas por 
eles, apresente 
as explicações 
encontradas nesta 
página.
escolha de saladas com sucos; escolha de modelo de bicicleta, cores e acessórios.
c) Resposta pessoal. Espera-se que os alunos respondam que para cada tipo de processador há três opções 
de memória, com quatro opções de HD e quatro opções de acessórios. Ao combinar as opções entre si, 
obtém-se o total 
de maneiras 
distintas para 
montar o 
computador. Para 
isso, multiplica-se 
o número de 
processadores 
pelo de opções de 
memória, opções 
de HD e opções de 
acessórios, isto é, 
5 ?? 3 ?? 4 ?? 4 5 240 . 
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Outra maneira de representar es-
sas possibilidades é por meio de um 
quadro de dupla entrada.
De acordo com a árvore de possi-
bilidades e o quadro de dupla entra-
da, podemos obter o total de opções 
da seguinte maneira.
Motor
Cor 1.0 1.6
Prata prata, 1.0 prata, 1.6
Preta preta, 1.0 preta, 1.6
Vermelha vermelha, 1.0 vermelha, 1.6
total de cores total de motores total de possibilidades
 3 ?? 2 5 6 
Note que a escolha 
do carro pode ser 
realizada em duas 
etapas, isto é, a 
escolha da cor, com 
3 possibilidades, e 
a escolha do 
motor, com 
2 possibilidades.
Assim, Simone teria 6 possibilidades diferentes para escolher o carro nessa concessionária.
De modo geral:
Se uma decisão A pode ser tomada de m maneiras distintas e, para cada uma dessas 
maneiras, uma outra decisão B pode ser tomada de n maneiras distintas, então o núme-
ro de maneiras distintas de serem tomadas as decisões A e B é m ?? n . Esse princípio é 
conhecido como princípio multiplicativo ou princípio fundamental da contagem (PFC).
1. Uma loja oferece 2 modelos de telefone celular, 2 planos de tarifa e 3 condições de paga-
mento. Quantas possibilidades diferentes uma pessoa tem para comprar um telefone 
celular nessa loja?
Representando os modelos dos telefones celulares por M 1 e M 2 , os planos de tarifa por 
O PFC também pode ser estendido para ações com mais de duas etapas sucessivas e 
independentes. Veja os exemplos a seguir.
Para determinar todas as opções de Simone, podemos utilizar o seguinte esquema, co-
nhecido como diagrama de árvore ou árvore de possibilidades.
prata
preta
vermelha
motor 1.0 preta, motor 1.0
preta, motor 1.6motor 1.6
motor 1.0 prata, motor 1.0
prata, motor 1.6motor 1.6
motor 1.0 vermelha, motor 1.0
vermelha, motor 1.6motor 1.6
cor
(3 possibilidades)
motor
(2 possibilidades)
possíveis escolhas
(6 possibilidades)
Veja, por exemplo, a resolução da seguinte situação.
• Simone foi a uma concessionária comprar um carro. Para determinado modelo, ela po-
deria escolher entre as cores prata, preta e vermelha, além de dois tipos de motor, 1.0 e 
1.6. Quantas possibilidades diferentes Simone teria para escolher esse modelo de carro 
nessa concessionária, sabendo que ela pode optar por uma cor e um tipo de motor?
Verifique a 
possibilidade de 
propor aos alunos 
as situações 
apresentadas nos 
exemplos 1 e 2, antes 
de abordá-las no 
livro, a fim de que, 
em duplas, eles 
tentem resolvê-las. 
Depois, considerando 
as estratégias de 
resoluções propostas 
e desenvolvidas 
por eles, apresente 
as explicações 
encontradas na 
página 15.
Proponha a situação 
apresentada aos 
alunos sem que eles 
olhem no livro, a fim 
de que, em duplas, 
tentem resolvê-la. 
Depois, considerando 
as estratégias e as 
resoluções propostas 
e desenvolvidas por 
eles, apresente as 
explicações
encontradas no livro.
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