Matemática Interligada Estatística, Análise e Probabilidade (66)

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Permutação com elementos repetidos
Vimos que a quantidade total de permutações de n elementos distintos é dada por n ! , ou 
seja, P 
n
 5 n ! .
A quantidade de anagramas que podemos formar com as letras da palavra LIVRO, por 
exemplo, é igual a 5 ! 5 120 . Nesse caso, note que todas as letras são distintas entre si.
Agora, veja outro exemplo.
• Com a palavra CORPO, quantos anagramas podemos formar?
Caso todas as letras dessa palavra fossem distintas, teríamos 5 ! anagramas. No entanto, 
ao permutarmos letras iguais, não obtemos um novo anagrama. Por exemplo, se tomarmos 
o anagrama PORCO e trocarmos de posição as duas letras O, obteremos o mesmo anagrama:
 PO 1 RCO 2 ‡ PO 2 RCO 1 
Dessa maneira, como a letra O se repete 2 vezes, há outro anagrama igual em cada um 
dos 5 ! anagramas com a letra O nas mesmas posições.
Assim, para obtermos o total de anagramas, calculamos 
5 !
 ― 
2 !
 .
 
5 !
 ― 
2 !
 5 
5 ?? 4 ?? 3 ?? 2 ! 
 ― 
 2 ! 
 5 60 
Com a palavra CORPO é possível formar 60 anagramas.
Agora, vamos obter a quantidade de anagramas da palavra PANTANAL. Nesse caso, te-
mos duas letras que se repetem, A e N.
Se todas as letras dessa palavra fossem distintas, teríamos 8 ! anagramas. No entanto, 
como a letra A se repete 3 vezes, há outros anagramas iguais em cada um dos 8 ! anagramas 
com a letra A nas mesmas posições.
Assim, temos uma quantidade de anagramas igual 
8 !
 ― 
3 !
 .
Para cada um desses anagramas, a letra N se repete 2 vezes nas mesmas posições, num 
total de 2 ! . Com isso, o total de anagramas da palavra PANTANAL será:
 
8 !
 ― 
3 !2 !
 5 
8 ?? 7 ?? 6 ?? 5 ?? 4 ?? 3 ! 
 ― 
 3 ! ?? 2!
 5 3 360 
Portanto, é possível formar 3 360 anagramas com a palavra PANTANAL.
De modo geral:
No caso da palavra PANTANAL há oito letras, 
sendo 3 letras iguais a A e 2 letras iguais a N.
Logo:
 P 8 
 ( 3, 2 ) 5 
8 !
 ― 
3 !2 !
 5 
8 ?? 7 ?? 6 ?? 5 ?? 4 ?? 3 ! 
 ― 
 3 ! ?? 2
 5 3 360 
A quantidade de permutações de n elementos com repetições dos quais n 
1
 , n 
2
 , … , n 
r
 
são as quantidades dos r elementos diferentes entre si com r , n é dada por:
 P 
n
 
 ( n 1 , n 2 , …, n 
r
 ) 5 
n !
 ― 
 n 1 ! n 2 !… n 
r
 !
 , com n 1 1 n 2 1 … 1 n 
r
 5 n 
No exemplo ao lado, foi considerada apenas a quantidade 
dos r elementos que se repetem na palavra PANTANAL, ou 
seja, a letra A, que se repete 3 vezes ( 3 ! ), e a letra N, que se 
repete 2 vezes ( 2 ! ). Para todas as outras letras que não 
apresentam repetição, no caso, P, T e L, o produto por 
1 ! 5 1 não altera o resultado dos cálculos.
Proponha aos alunos a 
situação apresentada 
antes de abordá-la 
no livro, a fim de 
que, em duplas, eles 
busquem resolvê-la. 
Depois, considerando 
as estratégias e 
resoluções propostas 
e desenvolvidas 
por eles, apresente 
as explicações 
encontradas nesta 
página.
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 R15. Determine a quantidade de anagramas da palavra BANANA.
Resolução
Na palavra BANANA há 6 letras, sendo 3 letras iguais a A e 2 letras iguais a N.
P6
( 3, 2 ) 
5 
6 !
―
3 !2 !
5 
6 ?? 5 ?? 4 ?? 3 !
―
 3 ! ?? 2
 5 60 
Portanto, a palavra BANANA possui 60 anagramas.
 R16. Quantos números pares podem ser obtidos ao permutarmos os algarismos que formam o 
número 2 423 327?
Resolução
Para que uma permutação do número 2 423 327 seja par, o algarismo da unidade simples deve-
rá ser 2 ou 4.
• Com o algarismo 2 na unidade simples.
Fixando um dos algarismos 2 na unidade 
simples, a quantidade de números pares 
é obtida pelas permutações dos algaris-
mos 2, 2, 3, 3, 4 e 7.
P6
( 2, 2 ) 
5 
6 !
―
2 !2 !
5 180 
• Com o algarismo 4 na unidade simples.
Fixando o algarismo 4 na unidade sim-
ples, a quantidade de números pares é 
obtida pelas permutações dos algarismos 
2, 2, 2, 3, 3 e 7.
P6
( 3, 2 ) 
5 
6 !
―
3 !2 !
5 60 
 Portanto, a quantidade de números pares que podem ser obtidos é dada por 180 1 60 5 240 .
 60. Calcule a quantidade de anagramas formados a 
partir das palavras a seguir.
• PORTO
• CACAU
• PRATELEIRA 
a ) Escreva duas palavras com letras repetidas, di-
ferentes das que estão acima, e peça a um cole-
ga que calcule a quantidade de anagramas for-
mados a partir delas. Em seguida, verifique se 
as resoluções estão corretas.
b ) Escreva um algoritmo que possibilite calcular a 
quantidade de anagramas de palavras com le-
tras repetidas.
 61. Considerando as permutações dos algarismos do 
número 326 312, determine quantos:
a ) são os números pares.
b ) são os números ímpares.
c ) números têm os algarismos 6 e 1 juntos.
Não escreva no livro.
 62. Considere uma lista com todas as permuta-
ções da palavra MACACO, dispostas em or-
dem alfabética, assim como em um dicioná-
rio. Determine o 151o anagrama dessa lista.
63. Em um jogo, cada participante deve lançar 
dois dados simultaneamente. A soma dos nú-
meros que correspondem às faces voltadas 
para cima será a quantidade de fichas que o 
jogador deve retirar de um monte no centro 
da mesa: cada ficha corresponde a uma letra 
e ganha o jogo quem conseguir formar a maior 
quantidade de anagramas com as fichas. Certo 
participante retirou do monte fichas com três 
letras diferentes, sendo duas fichas com a 
letra A, uma com a letra B e n fichas com a le-
tra J, conseguindo formar 26 1
n
3
―
2
 anagramas. 
Quantas fichas com a letra J ele retirou?
60 anagramas
30 anagramas
453 600 anagramas OAACCM
duas fichas
90
90
60
Resposta pessoal. Possível resposta: PRAIA e TINTA.
Veja uma possível resposta na Resolução 
dos problemas e exercícios na Assessoria pedagógica. 
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