Matemática em Contexto Análise, Probabilidade e computação (61)

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O algarismo das
unidades de x é
0, 2, 4, 6 ou 8?
Não
Sim
Início Fim
Nomeie de x o
número natural 
não nulo 
que será testado
x é um número
par
x é um número
ímpar
Algoritmos em problemas de Matemática
Diversos algoritmos são usados na Matemática, inclusive de maneira implícita. Um exemplo são os crité-
rios de divisibilidade estudados nos Anos Finais do Ensino Fundamental. Por exemplo, quando aplicamos o 
critério de divisibilidade por 2, verificamos se o algarismo das unidades de determinado número é 0, 2, 4, 6 
ou 8. Caso seja, o número é divisível por 2.
No algoritmo ao lado, a linha que começa com “Se” 
estabelece uma condição e, embaixo dela, há linhas 
indentadas (isto é, que apresentam recuo em relação 
às outras linhas). Caso a resposta seja positiva (sim), o 
algoritmo deve proceder para o conteúdo indentado 
abaixo da linha que começa com “Se”. Caso a 
resposta seja negativa (não), o algoritmo deve 
proceder para o conteúdo indentado abaixo da linha 
que começa com “Senão”.
Fique atento
Observe a seguir um algoritmo e o respectivo fluxograma que representa esse critério.
Início
	 Nomeie de x o número natural não nulo que será testado
	 Se o algarismo das unidades de x for 0, 2, 4, 6 ou 8, então
	 x é um número par
	 Senão
	 x é um número ímpar
Fim
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	 2.	O critério de divisibilidade por 3 afirma que um núme-
ro natural não nulo é divisível por 3 se, e somente se, 
a soma de todos os algarismos dele é divisível por 3.
Por exemplo, para saber se o número 728 167 é 
divisível por 3, basta adicionar os algarismos dele: 
7 1 2 1 8 1 1 1 6 1 7 5 31. Sabemos que 31 não 
é divisível por 3, mas, caso queiramos, podemos re-
petir esse procedimento até obter um número de 
um algarismo: 3 1 1 5 4 e 4 não é divisível por 3. 
Portanto, 728 167 não é divisível por 3.
	a) Utilize esse critério de divisibilidade para com-
provar que o número 9 663 459 é divisível por 3.
	b) No caderno, escreva um fluxograma que utilize 
esse método para identificar se um número é di-
visível por 3, repetindo-o até obter um número 
de 1 algarismo.
Resolução
	a) A soma dos algarismos de 9 663 459 é: 
9 1 6 1 6 1 3 1 4 1 5 1 9 5 42
Sabemos que 42 é divisível por 3, pois 42 5 14 ? 3. 
No entanto, podemos continuar esse proce-
dimento até obter um número de 1 algarismo. 
Nesse caso, teríamos que a soma dos algarismos 
de 42 é 4 1 2 5 6. Como 6 é divisível por 3, o 
número 9 663 459 é divisível por 3.
	b) Veja um exemplo de fluxograma.
Início
Fim
Nomeie de x o número natural 
não nulo que será testado
x tem só 1
algarismo?
Sim
Sim
Não
Nãox é igual a 
3, a 6 ou a 9?
Calcule a 
soma dos 
algarismos 
de x e atribua
 esse
valor a x
O número dado
não é divisível 
por 3
O número dado
é divisível por 3
 
Atividades resolvidas
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	10.	Junto a um colega, pesquisem os critérios de divisibili-
dade indicados em cada um dos itens a seguir. Em se-
guida, escrevam no caderno um algoritmo e o fluxo-
grama correspondente a cada um deles.
	a) Divisibilidade por 4.
	b) Divisibilidade por 5.
	c) Divisibilidade por 8.
	11.	Pesquise o critério de divisibilidade por 9. Em seguida, 
no caderno, crie um fluxograma correspondente a um 
algoritmo para identificar se um número natural não 
nulo é divisível por 9 utilizando como referência o flu-
xograma para o critério de divisibilidade por 3 apre-
sentado anteriormente.
	12.	Um quadrilátero é um quadrado se todos os lados têm 
a mesma medida de comprimento e se a medida de 
abertura de cada um dos ângulos internos é igual a 90°.
Reúna-se com um colega e, juntos, criem um fluxogra-
ma que identifique se um quadrilátero é um quadrado.
	13.	Leonardo de Pisa (c. 1170-c. 1240), mais conhecido 
como Fibonacci, foi um matemático italiano, autor da 
obra Liber abaci [Livro do ábaco], repleta de Aritmética e 
Geometria. Nessa obra, há uma grande coleção de pro-
blemas, e um deles ficou muito conhecido, dando ori-
gem à famosa sequência de Fibonacci. Esse problema 
pode ser expresso, atualmente, da seguinte maneira:
Suponha que em um viveiro, no mês 1, há 1 casal de 
coelhos jovens, e sabe-se que:
•	 um casal de coelhos jovens leva 1 mês para amadu-
recer e se tornar um casal de coelhos adultos;
•	 em cada mês, um casal de coelhos adultos dá à luz 
um casal de coelhos jovens.
Pergunta-se então quantos casais de coelhos existirão 
no viveiro nos próximos meses.
Fonte de consulta: LUCHETTA, V. O. J. Leonardo de Pisa 
(Fibonacci). IMÁTICA, 29 jan. 2003. Disponível em: 
https://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/fibonacci.html. 
Acesso em: 14 jul. 2020.
O diagrama a seguir ilustra esse problema até o 5o mês.
mês
1
2
3
4
5
Os exemplos de resposta 
encontram-se nas 
Orientações específicas deste 
Manual.
Um exemplo de resposta 
encontra-se nas Orientações específicas deste Manual.
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Y
M
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n
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 d
a
 e
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o
ra
Atividades Não escreva no livro.
	a) Qual é o número de casais de coelhos em cada um 
dos 5 primeiros meses?
	b) Qual é o número de casais de coelhos no 6o mês? E 
no 7o mês?
	c) A sequência de Fibonacci é formada pelo número 
de casais de coelhos a cada mês. Nela, cada termo, 
a partir do 3o, é determinado por um padrão rela-
cionado aos 2 termos anteriores.
Considerando as respostas que você identificou nos 
itens a e b desta atividade, escreva os 7 primeiros 
termos dessa sequência e identifique esse padrão.
	d) O fluxograma a seguir apresenta um algoritmo para 
identificar os n primeiros termos da sequência de 
Fibonacci. No caderno, copie esse fluxograma, 
substituindo a parte hachurada pela palavra que 
torna o algoritmo correto.
Em seguida, utilize-o para escrever os 14 primeiros 
termos dessa sequência no caderno.
Início
Fim
Nomeie de n a quantidade de
termos da sequência
Escreva o número 1
Não Sim
Escreva o número 1
novamente
Crie k 
e atribua a k o valor 2
Atribua a k o
valor de k 1 1
Escreva a 
dos 2 números 
escritos
anteriormente
k 5 n?
 e) Agora vamos construir uma sequência de números 
de acordo com o padrão da sequência de Fibonacci, 
mas escolhendo valores diferentes para os 2 termos 
iniciais da sequência. Para isso, crie um fluxograma 
no caderno de acordo com o fluxograma anterior, 
apenas trocando os 2 valores iniciais por 2 números 
naturais quaisquer de sua preferência. Em seguida, 
escreva no caderno os 6 primeiros termos dessa se-
quência.
1 casal; 1 casal; 2 casais; 
3 casais; 5 casais.
8 casais. 13 casais.
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377)
soma
Professor, a resposta dependerá dos 
valores iniciais escolhidos pelo estudante.
12. Um exemplo de resposta encontra-se nas Orientações 
específicas deste Manual.
13. c) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, »). Cada termo da sequência 
de Fibonacci, a partir do 3o, é determinado pela soma dos 
2 termos imediatamente anteriores.
Neste diagrama, 
os casais de 
coelhos são 
representados 
por círculos: azuis, 
se for um casal de 
coelhos jovens; 
vermelhos, se for 
um casal de 
coelhos adultos.
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