Enem Seriado - Função Afim Gráfico e estudo de sinal-7a755536d3d44edb702db8b02045c1c0

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Matemática 
 
Função Afim: Gráfico e estudo de sinal 
 
Objetivos 
Esta aula tem por objetivo aprender as características gráficas de uma função afim, ler e traçar o gráfico de 
uma função afim e entender a relação dos sinais das coordenadas de uma função afim. 
 
Se liga 
Para entender melhor essa aula, é importante que você tenha em mente a introdução ao estudo de funções. 
Caso você queira rever os conceitos, temos uma aulinha com um resumo lindo. Confira clicando aqui. 
 
Curiosidade 
Você sabia que função afim e função linear não são necessariamente a mesma coisa? Isso mesmo, toda 
função linear é uma função afim mas nem toda função afim é uma função linear. Quer entender melhor o 
conceito de cada uma e aprender a diferenciá-las? Vem com a gente que esse material tem tudo que você 
precisa saber bem explicadinho 😉 
 
 
Teoria 
 
Função Afim 
Chama-se de função afim, ou função polinomial do 1°grau, toda função 𝑓 de ℝ em ℝ dada pela lei de 
formação: 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 
em que a e b são números reais, tal que 𝑎 ≠ 0, chamados de coeficientes numéricos, sendo a chamado de 
coeficiente angular e b, de coeficiente linear. 
 
Exemplo: Na função definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2, obtemos 𝑎 = 1 e 𝑏 = 2. 
Vejamos outros exemplos: 
 
𝑓(𝑥) = 8𝑥 − 1 
𝑎 = 8 
𝑏 = −1 
 
𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 4 
𝑎 = −3 
𝑏 = 4 
 
𝑓(𝑥) = 10𝑥 
𝑎 = 10 
𝑏 = 0 
 
𝑓(𝑥) =
𝑥
2
− 5 
𝑎 =
1
2
 
𝑏 = −5 
 
𝑓(𝑥) = −0,3 + √2𝑥 
𝑎 = √2 
𝑏 = −0,3 
https://descomplica.com.br/cursos/descomplica-top-turma-de-fevereiro-2021/aulas/introducao-ao-estudo-das-funcoes./videos/definicao-x/
 
 
 
 
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Matemática 
 
Função Linear 
Há um caso particular de função afim que é definido quando b = 0. Assim, a função afim 𝑓 de ℝ em ℝ, 
definida pela lei 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 , 𝑎 ∈ ℝ , é chamada de função linear. Dos exemplos tratados anteriormente, é 
linear a função dada por: 
 
𝑓(𝑥) = 10𝑥 
𝑎 = 10 𝑒 𝑏 = 0 
 
Taxa de Variação 
 
Uma das características de uma função afim está relacionada à sua taxa de variação, que é constante; 
vejamos como identificar essa taxa de variação e como ela se relaciona com os valores das variáveis x e y, 
bem como com seus coeficientes numéricos. Para entendermos melhor, vejamos um exemplo: 
 
“Uma empresa, ao calcular seus custos, separa-os em custos fixos e custos variáveis. Os custos como 
aluguel, encargos fiscais, impostos e salários são considerados fixos, enquanto custos com matéria-prima, 
comissões pagas aos funcionários e custos com fretes são exemplos de custos variáveis. 
Vamos supor que uma empresa que produz certo material tem custo fixo de R$ 5.000,00 mensais e um custo 
variável, que depende do número de peças produzidas, de R$ 30,00 por unidade fabricada. 
Como podemos representar o custo mensal dessa empresa?” 
 
Reparem que o custo inicial é de R$5000,00, uma que, caso nenhuma unidade seja produzida, ainda assim 
esse seria o gasto da empresa. Além disso, a cada unidade fabricada, temos um aumento de R$30,00 no 
gasto total. Assim, podemos escrever a função do custo mensal da empresa em função do número de 
quantidades produzidas: 
𝑓(𝑥) = 5000 + 30𝑥 
Em que 𝑓(𝑥) é o gasto da empresa e 𝑥 é a quantidade de unidades produzidas. 
Assim, propomos a seguinte pergunta: “O que acontece com o custo mensal da produção quando a 
quantidade de peças produzidas aumenta?” 
Para responder a ela, vamos construir uma tabela de valores em que os valores de x aumentam uma unidade 
a cada linha. 
 
Quantidade de peças produzidas (x) Custo mensal de produção (y) 
𝑥 = 0 𝑦 = 30 ∙ 0 + 5000 = 5000 
𝑥 = 1 𝑦 = 30 ∙ 1 + 5000 = 5030 
𝑥 = 2 𝑦 = 30 ∙ 2 + 5000 = 5060 
𝑥 = 3 𝑦 = 30 ∙ 3 + 5000 = 5090 
𝑥 = 4 𝑦 = 30 ∙ 4 + 5000 = 5120 
 
 
Observando os valores de y, podemos concluir que, quando os valores da variável x sofrem um aumento de 1 
unidade, os valores de y aumentam 30 unidades. Assim, podemos dizer que os valores de y sofrem um 
aumento constante a uma taxa de 30 unidades para cada unidade que aumentamos em x. Comparando o 
valor da taxa constante de aumento com os valores dos coeficientes a e b, concluímos que o valor da taxa de 
aumento é dado pelo valor do coeficiente numérico a, ou seja, o valor de a representa a taxa de variação da 
função afim 𝑓(𝑥) = 5000 + 30𝑥. 
 
 
 
 
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Matemática 
 
Agora que já sabemos a importância do coeficiente a, podemos aprender a calculá-lo. Dessa maneira, temos 
que a taxa de variação de uma função afim é dada pela razão entre a variação das ordenadas e a variação 
das abscissas de dois pontos quaisquer pertencentes à função. Logo, concluímos que a variação da função 
afim é dada por 
𝑎 =
∆𝑦
∆𝑥
 
Em que, dados dois pontos A(xa, ya) e B(xb, yb), obtemos ∆𝑥 = 𝑥𝑎 − 𝑥𝑏 e ∆𝑦 = 𝑦𝑎 − 𝑦𝑏 ; É importante saber: 
→ Se 𝑎 > 0, temos uma função afim crescente. 
→ Se 𝑎 < 0, temos uma função afim decrescente. 
 
Representação Gráfica 
Agora que já estudamos algumas propriedades e relações entre as variáveis x e y da função afim, devemos 
estabelecer qual é o comportamento dessa função em um plano cartesiano. Quando colocamos os pontos 
de uma função em um mesmo plano, determinamos uma curva que é chamada de gráfico da função. Para 
uma função afim 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, com 𝑎 ≠ 0, o gráfico é uma reta oblíqua aos eixos 0x e 0y, ou seja, uma reta 
não paralela a nenhum dos eixos coordenados. Dessa maneira, para que possamos desenhar a reta que 
representa uma função afim, precisamos de apenas dois de seus pontos. Observe o exemplo abaixo: 
 
Exemplo: Desenhar o gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2. 
 Vimos que precisamos de apenas dois pontos pertencentes à função 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2. Como podemos 
escolher quais pontos usar, é conveniente escolhermos os pontos de fácil cálculo, como os da tabela 
abaixo: 
 
x y Par ordenado 
0 𝑓(0) = 𝑎 + 2 = 2 𝐴(0,2) 
-2 𝑓(−2) = −2 + 2 = 0 𝐵(−2,0) 
 
Agora, podemos, através dos pontos A e B, desenhar o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑎 + 2: 
 
 
 
 
 
 
 
Aprenderemos abaixo algumas maneiras de facilitar a representação gráfica de uma função afim. 
 
 
 
 
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Matemática 
 
Coeficiente angular no gráfico 
Dada uma função afim 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, com𝑎 ≠ 0, com, seu coeficiente angular é dado por 𝑎 =
∆𝑦
∆𝑥
. 
Graficamente, tomando dois pontos quaisquer de uma função afim, obtemos: 
 
Note que, no triângulo retângulo ABC, temos os catetos 𝐴𝐶 = ∆𝑥 = 𝑥𝑏 − 𝑥𝑎 e 𝐵𝐶 = ∆𝑦 = 𝑦𝑏 − 𝑦𝑎. Pela 
relação de tangente, temos: 
𝑡𝑔𝜃 =
𝐵𝐶
𝐴𝐶
=
∆𝑦
∆𝑥
= 𝑎 
Ou seja, o coeficiente angular a de uma função afim também pode ser expresso como a tangente do ângulo 
que a função faz com o eixo no sentido anti-horário. 
 
Coeficiente linear no gráfico 
Seja uma função afim 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, com 𝑎 ≠ 0. Chamamos o coeficiente numérico b de coeficiente linear. 
O coeficiente linear é o valor de y encontrado quando 𝑥 = 0. 
Calculamos 𝑓(0): 
𝑓(0) = 𝑎(0) + 𝑏 = 𝑏 → 𝑓(0) = 𝑏 
 
Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto (0,b). No plano cartesiano, esse ponto representa a 
intersecção da reta com o eixo das ordenadas, ou seja, do eixo 0y. 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
Raiz ou zero da função 
Por fim, devemos saber reconhecer um elemento importante do gráfico de uma função afim, que é chamado 
de raiz ou zero da função. 
Em uma função afim 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, a raiz é o valor de x quando 𝑦 = 0. Isto é, para obter a raiz da função 
devemos igualar a zero o polinômio do 1° grau. 
“ 𝑥1 é raiz da função afim se, e somente se, 𝑓(𝑥1) = 0.” 
Na forma de um par ordenado, a raiz da função é a abscissa do ponto (𝑥1, 0) que pertence ao eixo 0x do plano 
cartesiano. 
 
 
Estudo do sinal de uma função afim 
Assim como para as equações, no estudo das inequações devemos, primeiramente, definir uma inequação 
para que, em seguida, possamos trabalhar com um tipo de inequação chamada de inequação do 1º grau. 
Para analisarmos o sinal de uma função afim, precisamos separar em doiscasos: 
 
→ Se 𝑎 > 0, sendo 𝑥1 a raiz da função, temos: 
 
𝑓(𝑥) < 0, 𝑠𝑒 𝑥 < 𝑥1 
𝑓(𝑥) = 0, 𝑠𝑒 𝑥 = 𝑥1 
𝑓(𝑥) > 0, 𝑠𝑒 𝑥 > 𝑥1 ` 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
→ Se 𝑎 < 0, sendo 𝑥1 a raiz da função, temos: 
 
𝑓(𝑥) < 0, 𝑠𝑒 𝑥 > 𝑥1 
𝑓(𝑥) = 0, 𝑠𝑒 𝑥 = 𝑥1 
𝑓(𝑥) > 0, 𝑠𝑒 𝑥 < 𝑥1 
` 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
Exercícios de fixação 
 
1. Seja 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3. O coeficiente angular e o coeficiente linear de 𝑓(𝑥) são, respectivamente: 
a) 3 e 2 
b) 2 e 6 
c) 2 e 3 
d) 3 e 6 
e) 3 e 5 
 
 
2. Qual das funções abaixo é uma função linear? 
a) 𝑓(𝑥) =
5
2
𝑥 
b) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1 
c) 𝑓(𝑥) = 5 
d) 𝑓(𝑥) = 5𝑥 +
3
2
 
e) 𝑓(𝑥) = √2 
 
 
3. Sejam os pontos A(0, 1) e B(2, 5) pertencentes ao gráfico de uma função afim. O coeficiente angular 
desta função é dado por: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
 
4. Assinale a alternativa que contem a raiz da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 – 10. 
a) -2 
b) 2 
c) -10 
d) -5 
e) 5 
 
 
5. Seja a função 𝑓(𝑥) = 12 – 3𝑥. Podemos afirmar que f(x) é menor que zero para todo x maior que 
a) 2 
b) -2 
c) 4 
d) -4 
e) 12 
 
 
 
 
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Matemática 
 
Exercícios de vestibulares 
 
 
1. A função que corresponde ao gráfico a seguir é 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, em que o valor de 𝒂 é: 
 
 
 
 
 
 
a) 3 
b) 2 
c) -2 
d) -1 
e) 0 
 
 
2. Os veículos para transporte de passageiros em determinado município têm vida útil que varia entre 4 e 
6 anos, dependendo do tipo de veículo. Nos gráficos está representada a desvalorização de quatro 
desses veículos ao longo dos anos, a partir de sua compra na fábrica. 
 
Com base nos gráficos, o veículo que mais desvalorizou por ano foi: 
a) I 
b) II 
c) III 
d) IV 
e) n.d.a. 
 
 
 
 
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Matemática 
 
 
3. A raiva é uma doença viral e infecciosa, transmitida por mamíferos. A campanha nacional de vacinação 
antirrábica tem o objetivo de controlar a circulação do vírus da raiva canina e felina, prevenindo a raiva 
humana. O gráfico mostra a cobertura (porcentagem de vacinados) da campanha, em cães, nos anos 
de 2013,2015 e 2017, no município de Belo Horizonte, em Minas Gerais. Os valores das coberturas dos 
anos de 2014 e 2016 não estão informados no gráfico e deseja-se estimá-Ios. Para tal, levou-se em 
consideração que a variação na cobertura de vacinação da campanha antirrábica, nos períodos de 
2013 a 2015 e de 2015 a 2017, deu-se de forma linear. 
 
Qual teria sido a cobertura dessa campanha no ano de 2014? 
a) 62,3% 
b) 63,0% 
c) 63,5% 
d) 64,0% 
e) 65,5% 
 
 
4. Na intenção de ampliar suas fatias de mercado, as operadoras de telefonia apresentam diferentes 
planos e promoções. Uma operadora oferece três diferentes planos baseados na quantidade de 
minutos utilizados mensalmente, apresentados no gráfico. Um casal foi à loja dessa operadora para 
comprar dois celulares, um para a esposa e outro para o marido. Ela utiliza o telefone, em média, 
minutos por mês, enquanto ele, em média, utiliza minutos por mês. 
 
 
 
Com base nas informações do gráfico, qual é o plano de menor custo mensal para cada um deles? 
a) O plano A para ambos. 
b) O plano B para ambos. 
c) O plano C para ambos. 
d) O plano B para a esposa e o plano C para o marido. 
e) O plano C para a esposa e o plano B para o marido. 
 
 
 
 
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Matemática 
 
5. Uma empresa presta serviço de abastecimento de água em uma cidade. O valor mensal a pagar por 
esse serviço é determinado pela aplicação de tarifas, por faixas de consumo de água, sendo obtido pela 
adição dos valores correspondentes a cada faixa. 
• Faixa 1: para consumo de até 6 m3, valor fixo de R$ 12,00; 
• Faixa 2: para consumo superior a 6 m3 e até 10 m3, tarifa de R$ 3,00 por metro cúbico ao que 
exceder a 6 m3; 
• Faixa 3: para consumo superior a 10 m3, tarifa de R$ 6,00 por metro cúbico ao que exceder a 10 
m3. 
Sabe-se que nessa cidade o consumo máximo de água por residência é de 15 m3 por mês. O gráfico 
que melhor descreve o valor P, em real, a ser pago por mês, em função do volume V de água 
consumido, em metro cúbico, é 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
 
6. A quantidade x de peças, em milhar, produzidas e o faturamento y, em milhar de real, de uma empresa 
estão representados nos gráficos, ambos em função do número t de horas trabalhadas por seus 
funcionários. 
 
O número de peças que devem ser produzidas para se obter um faturamento de R$ 10 000,00 é 
a) 2 000. 
b) 2 500. 
c) 40 000. 
d) 50 000. 
e) 200 000. 
 
 
7. Uma indústria automobilística está testando um novo modelo de carro. Cinquenta litros de combustível 
são colocados no tanque desse carro, que é dirigido em uma pista de testes até que todo o combustível 
tenha sido consumido. O segmento de reta no gráfico mostra o resultado desse teste, no qual a 
quantidade de combustível no tanque é indicada no eixo (vertical), e a distância percorrida pelo 
automóvel é indicada no eixo (horizontal). 
 
A expressão algébrica que relaciona a quantidade de combustível no tanque e a distância percorrida 
pelo automóvel é 
a) 𝑦 = −10𝑥 + 500 
b) 𝑦 =
−𝑥
10
+ 50 
c) 𝑦 = −
𝑥
10
+ 500 
d) 𝑦 =
𝑥
10
+ 50 
e) 𝑦 =
𝑥
10
+ 500 
 
 
 
 
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Matemática 
 
 
8. O gráfico mostra o número de favelas no município do Rio de Janeiro entre 1980 e 2004, considerando 
que a variação nesse número entre os anos considerados é linear. 
 
Se o padrão na variação do período 2004/2010 se mantiver nos próximos 6 anos, e sabendo que o 
número de favelas em 2010 é 968, então o número de favelas em 2016 será 
a) menor que 1150. 
b) 218 unidades maior que em 2004. 
c) maior que 1150 e menor que 1200. 
d) 177 unidades maior que em 2010. 
e) maior que 1200. 
 
 
9. Uma cisterna de 6 000 L foi esvaziada em um período de 3 h. Na primeira hora foi utilizada apenas uma 
bomba, mas nas duas horas seguintes, a fim de reduzir o tempo de esvaziamento, outra bomba foi 
ligada junto com a primeira. O gráfico, formado por dois segmentos de reta, mostra o volume de água 
presente na cisterna, em função do tempo. 
 
Qual é a vazão, em litro por hora, da bomba que foi ligada no início da segunda hora? 
a) 1 000 
b) 1 250 
c) 1 500 
d) 2 000 
e) 2 500 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
10. Um dos grandes desafios do Brasil é o gerenciamento dos seus recursos naturais, sobretudo os 
recursos hídricos. Existe uma demanda crescente por água e o risco de racionamento não pode ser 
descartado. O nível de água de um reservatório foi monitorado por um período, sendo o resultado 
mostrado no gráfico. Suponha que essa tendência linear observada no monitoramento se prolongue 
pelos próximos meses. 
 
Nas condições dadas, qual o tempo mínimo, após o sexto mês, para que o reservatório atinja o nível 
zero de sua capacidade? 
a) 2 meses e meio. 
b) 3 meses e meio. 
c) 1 mês e meio. 
d) 4 meses. 
e) 1 mês. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
Gabaritos 
 
Exercícios de fixação 
 
1. C 
O coeficiente ângular é aquele que multiplica a variável x. Dada 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3. O coeficiente angular é 
o 2 e o coeficiente linear é o 3. 
 
2. A 
A função linear é aquela que possui b = 0. A unica alternativa que possui b = 0 é a alternativa a. 
 
3. B 
O coeficiente ângular de uma função afim pode ser calculado através das variações de x e y da 
seguinte forma: 𝑎 =
𝛥𝑦
𝛥𝑥
=
5−1
2−0
=
𝑦
2
= 2 
Logo, o coeficiente ângular desta função é igual a 2. 
 
4. E 
A raíz de uma função torna 𝑓(𝑥) = 0, logo, para encontrar a raiz de uma função, precisamos iguala-la a 
zero: 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 10 
2𝑥 − 10 = 0 
2𝑥 = 10 
𝑥 =
10
2
 
𝑥 = 5 
 
5. C 
A função dada f(x) = 12 – 3x é uma função decrescente. Logo f(x) é negativo para todo x maior que a a 
raíz. Precisamos, apenas, calcular a raiz. 
𝑓(𝑥) = 12 − 3𝑥 
12 − 3𝑥= 0 
3𝑥 = 12 
𝑥 =
12
3
 
𝑥 = 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
Exercícios de vestibulares 
 
1. C 
Do gráfico, b = 6 e f(3) = 0. 
Daí, 0 = a * 3 + 6 
3a = -6 
a = -2 
 
2. B 
As taxas de desvalorização anual dos veículos I, II, III e IV foram, repectivamente, iguais a 
25 − 75
5 − 0
= −10 
10 − 60
4 − 0
= −12,5 
14 − 50
6
= −6 
16 − 36
4
= −5 
Portanto, segue que o veículo que mais desvalorizou por ano foi o II. 
 
3. B 
Sendo 2014 o ponto médio do intervalo [2013, 2015] e sabendo que a cobertura da campanha raviou de 
forma linear, podemos concluir que a resposta é 
67% + 59%
2
= 63% 
 
4. E 
O plano de menor custo mensal é o que permite falar o mesmo tempo pelo menor preço. Logo, para a 
esposa, o plano C é o melhor, e, para o marido, o plano B é o mais indicado. 
 
5. A 
Considerando os gráficos o único que apresenta a partir do 10m³ um crescimento maior (ou seja, uma 
reta mais inclinada) é a letra A. 
 
6. D 
Tem-se que 𝑦 =
8
2
𝑡 = 𝑦𝑡 e 𝑥 =
60
3
𝑡 = 20𝑡. Logo, se y = 10 milhares de reais, então 
10 = 4𝑡 ⇔ 𝑡 =
5
2
ℎ 
Portanto, segue que 𝑥 = 20 ⋅
5
2
= 50 
A resposta é 50000 peças. 
 
7. B 
A equação que descreve a relação entre a quantidade de combustível no tanque e a distância 
percorrida pelo automóvel é dada por 
𝑥
500
+
𝑦
50
= 1 ⇔ 𝑦 = −
𝑥
10
+ 50 
8. C 
De acordo com o enunciado, sendo x o número de favelas em 2016, temos: 
x – 750 = 2 . 218 ⇔ x = 1186. 
 
 
 
 
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Matemática 
 
9. C 
A vazão total entre 1h e 3h é dada por |
0−5000
3−1
| = 2500𝐿 ∕ ℎ, enquanto que a vazão na primeira hora é 
|
5000−6000
1−0
| = 1.000𝐿 ∕ ℎ. Potanto, a vazão da segunda bomba é igual a 2500 – 1000 = 1500 L/h 
 
10. A 
Seja p: ℝ+ → ℝ a função dada por p(t) = at + b em que P(t) é a porcentagem relativa à capacidade 
máxima do reservatório após t meses. Logo, tomando os pontos (6, 10) e (1, 30), segue que a taca de 
variação é dada por 
𝑎 =
10 − 30
6 − 1
= −4 
Em consequência, vem 
𝑝(1) = 30 ⇔ −4 ⋅ 1 + 6 = 30 ⇔ 𝑏 = 34 
Portanto, temos −4𝑡 + 34 = 0, implicando em 𝑡 = 8,5 
A resposta é 8,5 – 6 = 2,5 meses, ou seja, 2 meses e meio.