Queda Livre: Equações e Experimento

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Atividade 8
Queda Livre
Introdução
Considere um corpo em queda livre nas vizinhanças da superfície da Terra. Orientando-
se o eixo y para baixo e desprezando-se a resistência do ar, a equação de movimento no eixo
vertical é dada por:
y = yo + vot+
1
2
gt2 (8.1)
em que yo é a posição do objeto em queda livre no instante inicial, vo é velocidade inicial e g é
a aceleração da gravidade.
Para simplificar a equação acima, considere que, no instante inicial, o corpo parte do re-
pouso a partir da origem do eixo y. Portanto:
y =
1
2
gt2 (8.2)
Se escrevermos τ = t2, a equação acima fica:
y =
1
2
gτ (8.3)
Que é uma equação de reta com coeficiente linear nulo e coeficiente angular igual a g/2.
Objetivo
• Caracterizar um Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado;
• Traçar o gráfico posição versus tempo ao quadrado;
• Determinar a aceleração da gravidade experimentalmente utilizando o método dos mí-
nimos quadrados para um ajuste linear;
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Materias Utilizados
• Conjunto para queda de corpos;
• Corpos esféricos
• Fotogate e cronômetro
• Bobina de largada
Procedimentos
Oexperimento consiste em determinar diversos deslocamentos parciais e o respectivo tempo
decorrido após a queda de um corpo esférico em queda livre. Amedida que acionamos a bobina
e liberamos a queda do corpo, o cronômetro inicia a contagem e é interrompido após o corpo
ultrapassar o fotogate.
1. Com o conjunto de queda já previamente montado, ligar o cronômetro e posicionar o
corpo esférico.
Atenção: Evitar manter a bobina ligada por mais de 30 segundos.
2. Posicionar o fotogate no primeiro deslocamento parcial e acionar o botão no cronômetro
para liberar a queda do corpo. Registrar na Tabela 1 a posição e o instante de tempo
respectivo.
3. Avançar para o próximo deslocamento.
4. Repetir até finalizar o número total de deslocamentos parciais.
5. Numa folha de papel milimetrado, fazer um gráfico posição versus tempo ao quadrado.
Análise de Resultados
1. Qual o comportamento obtido no gráfico posição versus tempo ao quadrado?
2. Considerando o erro, o valor obtido para a aceleração da gravidade se aproxima do valor
esperado (Referência: Cidade do Rio de Janeiro, g = 9, 78 m/s2)?
8.1 O método dos mínimos quadrados
Sempre que fazemos um experimento estamos sujeitos a obter dados dentro de um in-
tervalo de reprodutibilidade, ou seja, com uma certa dispersão. Usualmente, a repetição do
experimento minimiza as incertezas, porém não as elimina. Caso os dados em estudo tenha
um comportamento linear, é possível obter uma reta que melhor se ajusta a eles, pelo chamado
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40 50 60 70 80 90
0
0.4
0.8
1.2
1.6
2
2.4
tempo ( ×10−2 s)
D
ist
ân
ci
a
(m
)
Dados Experimentais
Regressão linear: s = 3.73 · 10−2 · t− 1.05
Figura 8.1: Caption
Método dos MínimosQuadrados (MMQ) ouMínimosQuadrados Ordinários (MQO), sem o viés
do observador. Este modelo matemático tenta minimizar a soma dos quadrados das diferenças
entre o valor estimado e os dados observados.
Consideremos que os dados estejam dispersos conforme a Figura 8.1, que consiste em um
gráfico x, y de alguns pontos dados por {(xi, yi); i = 1, 2, 3, · · · , N}. Pretende-se construir
uma reta y = a+bx que melhor se ajusta aos pontos dados, de forma que a soma dos quadrados
dos desvios verticais a partir dos pontos até a linha sejam minimizados.
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Tabela 8.1: Resultados das medidas do corpo em queda livre
y (cm) t(s) τ (s2)