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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE – UFCG 
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA – CCT 
UNIDADE ACADÊMICA DE ENGENHARIA MECÂNICA – UAEM 
APOSTILA DE CURSO ELABORADA PELO
 PROF. DR. ANTONIO ALMEIDA SILVA
DISCIPLINA: CINEMÁTICA DAS MÁQUINAS (CÓDIGO: 1105414)
Professor atual da disciplina: Fernando Almeida da Silva
Campina Grande – PB 
Apostila elaborada em 2012 
pelo Prof. Antonio Almeida 
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Capítulo 1. CINEMÁTICA E DINÂMICA DOS MECANISMOS 
1.1. Introdução 
O estudo de cinemática e dinâmica de mecanismos é muito importante na engenharia 
mecânica. Com o enorme avanço realizado no projeto de instrumentos, controles automáticos e 
equipamentos automatizados, o estudo de mecanismos tomou novo significado. Mecanismos pode 
ser definido como a parte de projeto de máquinas relacionadas com o projeto cinemático de 
sistemas articulados, cames, engrenagens, etc.. O projeto cinemático se baseia nos requisitos 
relativos ao movimento (posições, velocidades e acelerações), diferindo do projeto baseado em 
requisitos de resistência (Mabie & Ocvirk, 1980). 
A análise cinemática, ao lado da síntese, ocupa uma posição central no desenvolvimento de 
projeto de um mecanismo com elevado conteúdo cinemático, conforme ilustra a Fig. 1.1. Nesta 
etapa de projeto, o movimento não pode mais ser considerado de ordem exclusivamente geométrica, 
pois, há necessidade de se introduzir o tempo como parâmetro aditivo. Deste parâmetro resultam 
duas novas grandezas cinemáticas: a velocidade, como a razão de variação do deslocamento com o 
tempo, e a aceleração, como a razão de variação da velocidade com o tempo. 
Fig. 1.1 - Fases de desenvolvimento de projeto de um mecanismo. (Skarski, 1980) 
De um modo geral, a análise cinemática trata através de verificações e determinações da 
resolução dos seguintes problemas (Skarski, 1980): 
1.1.1 Posição e deslocamento 
Num mecanismo torna-se indispensável o controle da extensão de movimento das peças 
para evitar sua colisão durante o ciclo completo de movimento e, ao mesmo tempo, para verificar a 
compatibilidade dimensional com o espaço disponível (ex. robótica, Fig. 1.2); 
Formulação do Problema 
Seleção Tipológica 
Síntese Cinemática 
Análise Cinemática 
Análise Cinética 
(Balanceamento, Vibrações) 
Síntese e Análise Estrutural 
Projeto Físico 
(Dimensionamento) 
Elementos 
Construtivos 
3 
1.1.2 Velocidade 
Cada mecanismo não é apenas um transformador de movimento, mas também, 
transformador de potência, definido como produto de força e velocidade, ou, para o movimento de 
rotação, como produto de momento das forças (externas) para velocidade angular. A partir da 
velocidade conhecida e da potência desenvolvida pode-se determinar as forças atuantes necessárias 
para o dimensionamento das peças de um mecanismo. 
1.1.3 Aceleração 
O dimensionamento dos mecanismos depende, também, das forças de inércia, as quais, 
mediante a segunda lei de Newton são expressas em termos de aceleração das partes móveis. Deve-
se ressaltar que as forças de inércia são freqüentemente maiores do que as forças de tração, ou 
forças de natureza estática. Elas determinam, em última análise, a máxima rotação e o rendimento 
de um mecanismo e, portanto, de uma máquina. 
Fig. 1.2 - Robô típico e espaço de trabalho com coordenadas cartesianas. 
Já a cinética ou dinâmica é a parte da mecânica responsável pelo estudo dos movimentos, 
focalizando suas causas e origem, ou seja, forças (Santos, 2001). A análise dos diagramas de corpo 
livre (ação e reação) associada à equação de equilíbrio dinâmico conduz a um conjunto de equações 
responsáveis por descrever a posição da partícula ao longo do tempo e as forças de reação 
envolvidas durante seu movimento. Na Fig. 1.3 são apresentadas as várias subáreas da Dinâmica. 
Fig. 1.3 - Subáreas da dinâmica de sistemas mecânicos. (Santos, 2001) 
Dinâmica de 
Mecanismos 
Dinâmica de 
Rotores 
Dinâmica 
de Robôs 
Dinâmica 
de Satélites 
Dinâmica 
de Veículos 
Biomecânica 
Dinâmica de 
Sistemas Mecânicos 
4 
1.2. Definições de Máquinas e Mecanismos 
1.2.1 Mecanismos 
Combinação de corpos rígidos ligados que se movem entre si com movimento relativo 
definido (ex. sistema cursor-manivela de um motor de combustão interna, Fig. 1.4a). 
1.2.2 Máquina 
É um mecanismo, ou conjunto de mecanismos, que transmite força de uma fonte de potência 
para a resistência a ser superada (ex. motor de combustão interna, Fig. 1.4b). 
 Fig. 1.4 – (a) Mecanismo de cursor-manivela; 
 (b) Aplicação em motor de combustão interna. 
1.3. Breve História da Cinemática 
Mecanismos e máquinas vêm sendo criados pelas pessoas desde os primórdios da história. 
Há indícios de que a origem da roda e da polia tenha sido na Mesopotâmia, entre 3000 e 4000 a.C. 
Os primeiros desenvolvimentos de máquinas foram direcionados às aplicações militares como 
artefatos de guerra (catapultas, equipamentos para escalar muros, etc.). Uma evidente antecipação 
da ciência moderna pode ser encontrada nos trabalhos de Arquimedes (287-212 a.C.). Engenheiro e 
um dos maiores matemáticos da história, foi o único grego da antigüidade a ter dado contribuições 
duradouras, significativas e diretas à mecânica. Seu particular interesse para a ciência nos dias de 
hoje se prende ao fato de ter usado a experiência, ou a invenção, para testar a teoria e ter 
reconhecido que os princípios básicos, que podem ser descritos matematicamente, devem ser bem 
conhecidos antes de se analisar fenômenos físicos. Uma de suas invenções mais famosa é, sem 
dúvida, o parafuso sem fim, também conhecido como parafuso de Arquimedes (Fig. 1.5a). 
A engenharia mecânica teve início com o projeto de máquinas, uma vez que a revolução 
industrial necessitava de soluções mais sofisticadas e complexas para problemas de controle de 
movimentos. James Watt (1736-1819) provavelmente merece o título de primeiro estudioso da 
cinemática pela criação de mecanismos que proporcionavam movimentos em linha reta para guiar 
os pistões de longo curso nos seus motores a vapor (Fig. 1.5b). 
Outra importante contribuição à mecânica foi dada pelo matemático suíço Leohnard Euler 
(1707-1783), que apresentou um tratamento analítico de mecanismos em 1742, na publicação 
Mechanica sive motus scienta analytice exposita, que incluiu o conceito de que o movimento plano 
é composto de dois diferentes componentes, nomeados translação de um ponto e rotação de um 
corpo em torno deste ponto. 
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Fig. 1.5 – Máquinas desenvolvidas: (a) Parafuso de Arquimedes; (b) Mecanismo de Watt. 
Em meados de 1800, a Escola Politécnica de Paris, França, era o centro de excelência em 
engenharia. Um de seus fundadores Gaspard Monge (1746-1818), inventor da geometria descritiva, 
criou um curso sobre elementos de máquinas e iniciou uma classificação de todos os mecanismos e 
máquinas conhecidos pela humanidade. Seu amigo Hachette finalizou o trabalho em 1806 e o 
publicou em 1811, como sendo o primeiro artigo sobre mecanismos. 
Robert Willis (1800-1875) produziu o artigo Principles of mechanism, em 1841, quando era 
professor de filosofia natural da Universidade de Cambridge, Inglaterra. Ele tentou sistematizar a 
tarefa de sínteses de mecanismos e enumerou cinco maneiras de obter movimento relativo entre as 
conexões de entrada e de saída: contatos rolantes e deslizantes, mecanismos, conectores envolvidos 
(correntes e correias) e talhas (cordas ou corrente de guindastes). 
Franz Reuleaux (1829-1905) tornou-se professor de desenho de máquinas em 1856, e depois 
ocupou vários cargos docentes e administrativos em várias escolas técnicas superiores de Berlim. 
Publicou em 1875, sua obra Theoertische kinematik, e é considerado o pai da cinemática. Seu texto 
foi traduzido para o inglês em 1876 por Alexander Kennedy, e se tornou a base da cinemática 
moderna. Ele nos forneceu o conceito de par cinemático (junta) e definiu pares de elementos 
superiores e inferiores. Ainda hojeexistem coleções de modelos de mecanismos de Reuleaux, 
relacionados com os princípios de cinemática, conforme ilustra a Fig. 1.6. 
Fig. 1.6 – Coleção de Modelos Reuleaux: www.http//:kmoddl.library.cornell.edu 
No século XX, antes da segunda guerra mundial, a maior parte dos trabalhos teóricos sobre 
cinemática foi feita na Europa, especialmente na Alemanha. Nos Estados Unidos, porém, só após a 
década de 1940 novos estudos foram desenvolvidos, especialmente na área de síntese cinemática, 
por engenheiros e pesquisadores como J. Denavit, A. Erdman, F. Freudenstein, A. S. Hall, R. 
Hartenberg, R. Kaufman, B. Routh, G. Sandor e A. Soni. Muitos destes pesquisadores recorreram 
ao computador para resolver problemas que até então não tinham solução. 
http://www.http/:kmoddl.library.cornell.edu
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1.4. Aplicações de Mecanismos 
Um dos primeiros passos para resolver qualquer problema de projeto de máquinas é definir a 
configuração cinemática necessária para fornecer os movimentos desejados. Em geral a análise de 
forças não pode ser feita até que as questões sobre cinemática sejam solucionadas (Norton, 2010). 
Qualquer máquina ou dispositivo mecânico contém um ou mais elementos cinemáticos tais 
como juntas, conexões, cames, engrenagens, correias ou correntes. A bicicleta, por exemplo, é um 
sistema cinemático que contém uma transmissão por corrente que fornece variação do torque e um 
sistema simples de freios acionados por cabos de aço. Um automóvel apresenta muito mais 
exemplos de dispositivos cinemáticos. Os sistemas de direção, suspensão e motor a pistão contêm 
conexões; as válvulas do motor são abertas por sistemas de cames; e a transmissão possui um 
grande número de engrenagens. Até mesmo os limpadores de para-brisa são movidos por 
mecanismos de barras. Outros exemplos de equipamentos de construção como tratores, guindastes e 
retroescavadeiras usam extensivamente mecanismos em seus projetos. Também devem ser citados 
os equipamentos de exercícios físicos como o mostrado na Fig. 1.7. 
Fig. 1.7 – Mecanismo de levantamento de peso e seu diagrama cinemático. 
Outros exemplos de dispositivos cinemáticos podem ser encontrados em fábricas e oficinas 
mecânicas, como as máquinas usadas para cortar metais, conhecida como serra mecânica (Fig. 1.8). 
Será menos provável que você encontre esses equipamentos fora de um ambiente fabril. Uma vez 
que você se familiarizar com esses termos e com os princípios de cinemática, não conseguirá olhar 
para qualquer máquina ou produto sem deixar de observar os aspectos cinemáticos. 
Fig. 1.8 – Serra mecânica com mecanismo biela-manivela. 
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1.5 Métodos de Análise Cinemática 
A determinação de velocidades e acelerações nos mecanismos planos pode ser realizada por 
intermédio de métodos gráficos (geométricos) ou analíticos (algébricos). Segundo Shigley & Uicker 
(1995), tanto os métodos gráficos como os algébricos podem ser utilizados para calcular 
deslocamentos, velocidades e acelerações. Métodos gráficos são mais rápidos e permitem boa 
visualização para uma determinada posição do mecanismo, mas tornam-se tediosas se muitas 
posições são solicitadas para se obter um desenho da performance do mecanismo durante um ciclo 
completo de operação; sua precisão também é limitada. Métodos algébricos expressam 
deslocamento, velocidade e aceleração por meio de equações que permitem serem manuseadas por 
computadores com alto grau de precisão em todas as possíveis posições (Santos, 2001). 
1.5.1 Métodos gráficos 
Entre os métodos gráficos citam-se os de maior aplicação prática: método de polígonos 
vetoriais, método das velocidades rebatidas (composição e decomposição), método dos centros 
instantâneos de rotação e método de pólos de velocidade e de aceleração. Em casos de 
disponibilidade de dados experimentais, os quais frequentemente tornam difícil ou impossível a 
obtenção da expressão analítica, o método da diferenciação gráfica da curva deslocamento-tempo 
permite a determinação do estado de velocidade (primeira derivada) e de aceleração (segunda 
derivada) em todo o ciclo de movimento. 
1.5.2 Métodos analíticos 
Dos métodos analíticos destacam-se: método trigonométrico, método vetorial, método 
matricial e método de elementos finitos. Entre os métodos citados, a simulação do movimento 
cinemático de mecanismos através do computador ocupa uma posição muito especial, pois este 
permite realizar mudanças de parâmetros e ajustes com grande rapidez e precisão. Além disso, 
disponibiliza em banco de dados as variáveis cinemáticas para um ponto qualquer do mecanismo 
analisado durante um ciclo completo e permite estudar o efeito de cada parâmetro nestas variáveis 
de forma interativa com recursos de visualização através da computação gráfica (Santos, 2001). 
Deve-se ressaltar que os métodos computacionais apresentam várias vantagens das quais, 
pela sua pertinência se destacam: simulação de mecanismos sem necessidade de recurso a 
protótipos físicos (modelos virtuais); possibilidade de testar diferentes configurações em ambiente 
real; observação da operacionalidade e funcionalidade dos mecanismos; maior flexibilidade e 
facilidade do processamento de informação; menor perda de informação no ciclo de projeto; maior 
economia de tempo, de materiais e, consequentemente, de dinheiro; obtenção de projetos mais 
cuidados e eficientes. 
Bibliografia Consultada 
BEZERRA, J. M. Mecanismos Articulados, Editora Universitária da UFPE, 2010. 
GROSJEAN, J. Kinematics and Dynamics of Mechanisms, McGraw-Hill Intl. Ed., 1991. 
MABIE, H. H.; OCVIRK, F. W. Mecanismos, LTC Editora, Rio de Janeiro, 1980. 
MABIE, H. H.; OCVIRK, F. W. Dinâmica das Máquinas, LTC Editora, Rio de Janeiro, 1980. 
MYSZKA, D. H. Machines & Mechanisms - Applied Kinematic Analysis, 3ª Ed., Prentice Hall, 2005. 
NORTON, R. L. Cinemática e Dinâmica dos Mecanismos, McGraw-Hill, 2010. 
SANTOS, I. F. Dinâmica de Sistemas Mecânicos, Makron Books, 2001. 
SHIGLEY, J. E.; UICKER, J. J. Theory of Machines and Mechanisms, 3th Edition, McGraw-Hill, 1995. 
SKARSKI, B. Análise Cinemática dos Mecanismos, Publicação CT-N° 9, Unicamp, 1980. 
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Capítulo 2. FUNDAMENTOS DA CINEMÁTICA 
2.1 Introdução 
Analisar a cinemática de mecanismos requer que desenhemos de forma simplificada o 
diagrama esquemático dos elos e juntas que o compõem. As Figs. 2.1 e 2.2 mostram as notações 
esquemáticas recomendadas para elos binários, terciários, e de ordem superior, e para juntas móveis 
e fixas de liberdade rotacional e translacional, junto com um exemplo de suas combinações. 
Fig. 2.1 – Notação esquemática para diagramas cinemáticos. (Norton, 2010) 
Fig. 2.2 – Juntas ou pares cinemáticos de vários tipos. (Norton, 2010) 
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Note que no projeto de mecanismos cinemáticos, esses podem ser representados através de 
blocos básicos interligados por elos ou barras e juntas. As juntas ou pares cinemáticos podem ser 
classificados de diferentes maneiras: Em função do tipo de contato (linha, ponto ou superfície), 
número de graus de liberdade (ex. rotação pura ou translação pura, M=1 e a união de rotação e 
translação, M=2). 
2.2. Graus de Liberdade ou Mobilidade (M) 
A mobilidade de um sistema mecânico pode ser classificada de acordo com o número de 
graus de liberdade do mesmo. Os GDL do sistema são iguais ao número de parâmetros 
independentes necessários para definir uma única posição no espaço em qualquer instante de 
tempo (Norton, 2010). 
Para determinar o GDL geral de qualquer mecanismo, devemos considerar o número de elos 
e juntas, bem como as interações entre eles. Qualquer elo em um plano possui 3 GDL. Entretanto, 
um sistema de L elos desconectados em um mesmo plano terá 3L GDL, como na Fig. 2.3a, na qual 
os dois elos desconectados têm 6 GDL. Quando esses elos são unidos por uma junta completa na 
Fig. 2.3b, são removidos 2 GDL, deixando 4 GDL. Além disso, quando um elo é fixado a estrutura 
de referência, todos os 3 GDL serão removidos. Esseraciocínio leva a equação de Gruebler: 
GJLM 323  (2.1) 
onde: 
M= graus de liberdade 
L = número de elos 
J = número de juntas 
G= número de elos fixados 
Fig. 2.3 – Graus de liberdade em elos e juntas. 
Considerando que em qualquer mecanismo real, mesmo se mais de um elo da cadeia 
cinemática estiver fixado, o efeito líquido será criar um elo fixo maior, de ordem superior, por 
poder ter somente um plano fixo. Assim, G será sempre igual a 1, e a equação de Gruebler fica: 
JLM 2)1(3  (2.2) 
O valor de J nas Eqs. (2.1) e (2.2) deve indicar o valor de todas as juntas. Isto é, meias juntas 
contam como ½ porque removem apenas 1 GDL. Então podemos utilizar a modificação de 
Kutzbach na equação de Grueber, como: 
212)1(3 JJLM  (2.3) 
10 
onde, J1= número de juntas com 1 GDL (completa); 
J2= número de juntas com 2 GDL (meia junta). 
Exemplo de cálculo de GDL de mecanismo 
O exemplo a seguir ilustra um caso de um mecanismo de 8 elos, e de apenas um grau de 
liberdade (Fig. 2.4), devido ao número total de 10 juntas, onde se observa que existe uma junta 
múltipla que liga 3 elos no mesmo ponto. Substituindo os valores na Eq. (2.3), obtemos 
GDLM 1)0()10(2)18(3  
Fig. 2.4 – Mecanismo com juntas completas e múltiplas. 
2.3. Tipos de Movimentos e Cadeia Cinemática 
Um corpo rígido livre para se mover dentro de uma estrutura de referência terá, em geral, 
movimento complexo, que é a combinação de rotação e translação. Em um plano, ou espaço 
bidimensional, temos: 
2.3.1 Translação pura 
Um corpo tem movimento de translação quando numa reta, definida por dois pontos 
quaisquer desse corpo, fica constantemente paralela a si mesma. Neste caso, este movimento pode 
ser ainda ser dividido em: 
 Translação retilínea - Todos os pontos do corpo têm como trajetórias, retas paralelas do tipo
movimento alternativo (ex. cursor de plaina limadora, pinhão-cremalheira, Fig. 2.5a);
 Translação curvilínea – As trajetórias dos pontos são curvas idênticas, paralelas a um plano
fixo (ex. rodas motrizes de uma locomotiva).
2.3.2 Rotação pura 
Se cada ponto de um corpo rígido, em movimento plano, permanece a uma distância 
constante de um eixo fixo, normal ao plano de movimento, diz-se que esse corpo tem movimento de 
rotação (Fig. 2.5b). Se o corpo gira de um lado para outro dentro de um determinado ângulo, o 
movimento é oscilação (ex. mecanismo manivela-balancim de uma serra, Fig. 2.5c). 
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2.3.3 Movimento complexo 
Muitos corpos têm movimento que é uma combinação de rotação e translação (ex. a biela do 
mecanismo do tipo manivela-balancim). Outros tipos de movimentos são: 
 Movimento helicoidal – Quando um corpo rígido se move de modo que todos os seus pontos
tenham movimento de rotação em torno de um eixo e ao mesmo tempo possua translação
paralela a esse eixo (ex. movimento de coroa-parafuso sem fim, Fig. 2.5b);
 Movimento esférico - Quando um corpo rígido se move de modo que todos os seus pontos
girem em torno de um ponto fixo, mantendo uma distância constante desse ponto.
Fig. 2.5 - Mecanismos típicos com movimentos combinados. 
2.3.4 Movimento intermitente 
É uma sequência de movimentos e tempos de espera. Um tempo de espera é um período no 
qual o elo de saída se mantém em estado estacionário, enquanto o elo de entrada continua se 
movendo. Existem muitas aplicações que exigem esse movimento (Fig. 2.6). 
Fig. 2.6 - Mecanismos de movimentos intermitentes: (a) Genebra; (b) Catraca. 
2.3.5 Ciclo, período e fase do movimento 
Quando as peças de um mecanismo, partindo de uma posição inicial, tiverem passado por 
todas as posições intermediárias e retornarem à mesma posição inicial, essas peças terão 
completado um ciclo do movimento. O tempo necessário para completar um ciclo é chamado de 
período ( 21  fT ). As posições relativas de um mecanismo em um determinado instante, 
durante um ciclo, constituem uma fase do movimento. 
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2.3.6 Elo, junta e cadeia cinemática 
Uma peça ou elo é um corpo rígido que possui dois ou mais pares de elementos e pode ser 
articulado a outros corpos para transmitir força ou movimento. Junta é uma conexão entre dois ou 
mais elos que permite o mesmo movimento entre os elos conectados. O sistema resultante é 
chamado cadeia cinemática. 
2.3.7 Pares de elementos 
São formas geométricas pelas quais dois membros de um mecanismo são articulados de 
modo que o movimento relativo entre estes dois membros seja coerente. 
 Par inferior - Se o contato entre os dois membros for uma superfície tal como eixo-mancal
ou através de guias de deslizamento (Fig. 2.7a);
 Par superior - Se o contato for realizado segundo uma linha ou através de um ponto tal
como entre dentes de engrenagens ou em rolamentos de esferas (Fig. 2.7b).
Fig. 2.7 - Representações de pares de elementos: (a) inferior; (b) superior. 
2.4. Inversão de Mecanismos 
Uma inversão é criada pelo fato de fixar um elo diferente na cadeia cinemática. Assim, 
existem tantas inversões quanto o número de peças do mecanismo. A partir do mecanismo cursor-
manivela (Fig. 2.8a), que possui a peça 1 fixa e a peça 4 em translação pura, pode-se obter outras 
inversões como na Fig. 2.8b, onde fixa-se a manivela e todas as demais peças podem se mover, 
obtendo-se um movimento complexo. Uma aplicação desta inversão é no mecanismo Whitworth 
que apresenta retorno rápido. A Fig. 2.8c mostra outra inversão onde a biela é a peça fixa, dando um 
movimento de rotação pura. A inversão é base do mecanismo plaina limadora. A terceira inversão, 
onde o cursor é a peça fixa, é usada em operações manuais, como em bombas de poço (Fig. 2.8d). 
Fig. 2.8 - Inversões do mecanismo cursor-manivela. (Shigley & Uicker, 1995) 
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2.5. Classificação Geral de Mecanismos 
Levando-se em conta os mecanismos em sua totalidade, estes podem ser divididos conforme 
representado na Fig. 2.9. Uma descrição dos principais tipos de mecanismos de acionamento 
mecânico é feita logo em seguida. 
Fig. 2.9 - Classificação dos mecanismos. (Skarski, 1980) 
2.5.1. Mecanismos came-seguidor 
Vários são os critérios que possibilitam a classificação do mecanismo came-seguidor. 
Assim, se o critério for a forma da came, consideram-se três grupos principais, a saber: cames de 
translação, cames de disco e cames cilíndricas (Fig. 2.10). 
MECANISMOS 
Mecanismos 
HIDRÁULICOS 
Mecanismos 
PNEUMÁTICOS 
Mecanismos 
ELÉTRICOS 
Mecanismos 
COMBINADOS 
Mecanismos 
MECÂNICOS 
Movimento 
Uniforme 
Movimento 
Periódico 
Mecanismos 
Compostos 
Engrenagens
Rodas de fricção
Mecanismos de rosca
Elementos flexíveis (correias, 
correntes, cabos) 
Mecanismos de barras
Mecanismos de came
Engrenagens não-circulares
Mecanismos intermitentes
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Fig. 2.10 - Classificação do mecanismo came-seguidor quanto à forma da came: 
a) Came de translação; b) Came de disco; c) Came cilíndrica.
Outra forma de agrupamento do mecanismo came-seguidor é o que se baseia no tipo do 
seguidor, o qual pode classificar-se segundo três critérios básicos: quanto ao movimento, quanto à 
trajetória e quanto ao contato. Deste modo, relativamente ao movimento permitido pode haver 
seguidores translacionais ou seguidores oscilantes (Fig. 2.11). 
Fig. 2.11 - Classificação do mecanismo came-seguidor quanto ao movimento do seguidor: 
a) Seguidor translacional; b) Seguidor oscilante.
Se classificarmos a trajetória do seguidor em relação ao eixo da came pode ter-se seguidores 
radiais ou seguidores transversais ou axiais (Fig. 2.12). 
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Fig. 2.12 - Classificação do mecanismo came-seguidor segundo a trajetória do seguidor: 
a) Seguidor radial; b) Seguidor transversal ou axial.
Se classificarmos o seguidor pela forma como este faz contato com a superfície da came, 
pode haver seguidores de faca, de rolete, de prato ou pé plano e esférico (Fig. 2.13). Neste caso, as 
escolhas serão em função da área de contato e restrições de lubrificação. 
Fig. 2.13 - Classificação do mecanismo came-seguidorquanto ao contacto entre o seguidor e a came: 
a) Seguidor de faca; b) Seguidor de rolete; c) Seguidor de prato; d) Seguidor esférico.
2.5.2. Mecanismos cursor-manivela 
Estes mecanismos são amplamente utilizados e encontra sua maior aplicação no motor de 
combustão interna. A Fig. 2.14 mostra uma representação clássica em que a peça 1 é o bloco do 
motor, a peça 2 é a manivela (virabrequim), a peça 3 a biela e a peça 4 o cursor (pistão). 
Analisando o seu funcionamento, haverá dois pontos mortos durante o ciclo, um em cada 
posição extrema do curso do pistão. Para evitar o travamento do mecanismo é necessário o emprego 
de um volante solidário à manivela. Este mecanismo também é usado em compressores de ar onde 
um motor elétrico aciona a manivela que por sua vez impulsiona o pistão que comprime o ar. Como 
já discutido anteriormente, a inversão desse mecanismo pode gerar pelo menos outros quatro 
modelos com movimentos resultantes completamente diferentes. 
16 
Fig. 2.14 - Mecanismo básico cursor-manivela. 
2.5.3. Mecanismo garfo escocês 
Este mecanismo conhecido como garfo escocês é capaz de gerar movimento harmônico 
simples (MHS). Inicialmente era empregado em bombas a vapor, mas atualmente é usado como 
mecanismo de mesas vibratórias e gerador de seno e co-seno para mecanismos de computadores. 
A Fig. 2.15a apresenta um esboço desse mecanismo e a Fig. 2.15b mostra como é gerado o 
MHS. O raio da manivela r girando a uma velocidade angular constante r e a projeção do ponto
P sobre o eixo x (ou eixo y) se deslocam com movimento harmônico simples. 
Fig. 2.15 - Mecanismo gerador de MHS (garfo escocês). 
2.5.4. Mecanismos de quatro barras 
Um dos mecanismos mais simples e de aplicação variada em máquinas e equipamentos é o 
mecanismo de quatro barras ou quadrilátero articulado, conforme ilustrado na Fig. 2.16. A peça 1 
representa o suporte ou estrutura, geralmente estacionária. A manivela 2 é a peça acionadora que 
pode girar ou apenas oscilar. Em ambos os casos, a peça 4 (balancim) irá oscilar. Se a peça 2 gira, o 
mecanismo transforma movimento de rotação em oscilação. Se a manivela oscila, o mecanismo 
então multiplica o movimento de oscilação, através da peça 3 (biela). 
1 – Suporte 
2 – Manivela 
3 – Biela 
4 – Balancim 
Fig. 2.16 - Mecanismo de quatro barras (manivela-balancim). 
17 
Enquanto a manivela 2 gira, não há perigo de travamento do mecanismo. Entretanto, se esta 
oscila, deve-se tomar cuidado no dimensionamento dos comprimentos das peças para evitar pontos 
mortos de modo que o mecanismo não pare em suas posições extremas (travamento). Estes pontos 
mortos ocorrerão quando a linha de ação da força acionadora tiver a mesma direção da peça 4, 
conforme indicado na linha tracejada A’B’ (Fig. 2.16). 
Ângulos de transmissão 
Além dos possíveis pontos mortos em um mecanismo de quatro barras, é necessário verificar 
se o ângulo de transmissão entre as peças 3 e 4, representado por  (Fig. 2.17a), atende as 
recomendações de projeto. 
Fig. 2.17 - Mecanismo de quatro barras e ângulos de transmissão . 
Uma equação para o cálculo do ângulo de transmissão  pode ser deduzida aplicando a Lei 
dos co-senos aos triângulos semelhantes AO2O4 e ABO4: 
221
2
2
2
1
2 cos2 rrrrz  ou cos2 43
2
4
2
3
2 rrrrz  (2.5) 
Portanto,  cos2cos2 43
2
4
2
3221
2
2
2
1 rrrrrrrr  , donde obtém-se: 
43
221
2
4
2
3
2
2
2
1
2
cos2
cos
rr
rrrrrr




 (2.6) 
Em geral, o ângulo de transmissão máximo não deve ser maior do que 140° e o mínimo não 
deve ser inferior a 40°, se o mecanismo for empregado para transmitir grandes forças. A Fig. 2.17b 
mostra os ângulos de transmissão mínimo e máximo   e   , respectivamente. 
Configurações de montagem 
O mecanismo de quatro barras pode assumir várias formas de montagem. Na Fig. 2.18a o 
mecanismo está cruzado, isto é, quando as peças 2 e 4 giram, o fazem em sentido opostos. Este 
mecanismo conhecido como manivela-balancim tem o mesmo tipo de movimento que o da Fig. 
2.16. Na Fig. 2.18b as peças opostas têm o mesmo comprimento e, portanto, sempre permanecem 
paralelas; as peças 2 e 4 têm o mesmo movimento de rotação. Este tipo de mecanismo é 
característico das rodas motrizes de uma locomotiva a vapor. 
A Fig. 2.18c mostra outro arranjo no qual a peça motriz e a conduzida giram continuamente. 
Esta forma de quadrilátero articulado é a base para o mecanismo de manivela dupla e corrediça. Se 
 
 
18 
a peça 2 girar a uma rotação constante, a peça 4 terá uma velocidade angular não uniforme. A Fig. 
2.18d mostra um arranjo onde a peça 4 da Fig. 2.16 foi substituída por um bloco deslizante. O 
movimento dos dois mecanismos é idêntico e é conhecido como balancim duplo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 2.18 - Configurações de sistemas de quatro barras. (Mabie & Ocvirk, 1980) 
 
Aplicação da Lei de Grashoff 
 
Pode-se aplicar a lei de Grashoff como uma maneira de determinar se o mecanismo irá 
operar como manivela-balancim, manivela-dupla ou balancim-duplo. Esta lei estabelece que se a 
soma dos comprimentos da maior e da menor peça for menor do que a soma dos comprimentos das 
outras duas, o mecanismo formará: 
 
1. Dois mecanismos manivela-balancim, diferentes, quando a menor peça for a manivela e 
qualquer das peças adjacentes for a peça fixa (Fig. 2.18a); 
2. Um mecanismo manivela-dupla quando a menor peça for a fixa (Fig. 2.18c); 
3. Um balancim-duplo quando a peça oposta à menor for a peça fixa (Fig. 2.18d). 
 
Se a soma dos comprimentos da maior e da menor peça for maior do que a soma dos 
comprimentos das outras duas, somente resultarão balancins-duplos. Também, se a soma da maior 
e da menor peça for igual à soma das outras duas, os quatro mecanismos possíveis são similares aos 
dos casos 1, 2 e 3 acima. Entretanto, neste último caso a linha de centro do mecanismo pode ficar 
alinhada com as peças de modo que a manivela conduzida possa mudar o sentido de rotação a não 
ser que algo seja feito para evitá-lo. Tal mecanismo foi apresentado na Fig. (2.18b) onde as peças 
podem ficar alinhadas com a linha de centros O2O4. 
 
2.5.5. Mecanismos de retorno rápido 
 
Estes mecanismos são usados em máquinas operatrizes para lhes dar um curso de corte lento 
e um curso de retorno rápido para uma dada velocidade angular constante da manivela motriz. No 
projeto de mecanismos de retorno rápido, a razão entre os ângulos descritos pela manivela motriz 
durante o curso de corte e o curso de retorno é conhecido como razão de tempos. Esta razão deve 
ser maior que a unidade e esse valor deve ser o maior possível para que haja um retorno rápido da 
ferramenta de corte. Há diversos tipos de mecanismos de retorno rápido. Três configurações típicas 
serão apresentadas e descritas a seguir. 
 
 
(a) (b) 
(c) (d) 
 
 
19 
Mecanismo de plaina limadora 
 
A Fig. 2.19 ilustra este mecanismo onde a peça 2 gira e a peça 4 oscila. Também é possível 
observar a razão de tempos, onde  é o ângulo descrito pela manivela durante o curso de corte e  é 
o correspondente ao curso de retorno. Supondo-se que a manivela opera a uma rotação constante, a 
razão de tempos / é maior do que a unidade. 
 
Mecanismo de manivela-dupla e cursor 
 
Este mecanismo é derivado do mecanismo de quatro barras e está mostrado na Fig. 2.20. 
Para uma velocidade angular constante da peça 2, a peça 4 girará com velocidade de rotação não 
uniforme. O cursor 6 irá subir com velocidade quase constante durante a maior parte do avanço 
lento e descerá em retorno rápido quando a manivela girar no sentido anti-horário. 
 
Mecanismo de Whitworth 
 
É uma variação da primeira inversão do mecanismo cursor-manivela em que a manivela é a 
peça fixa. A Fig. 2.21 mostra um esboço do mecanismo onde as peças 2 e 4 fazem voltas completas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.5.6. Mecanismo de alavanca articulada 
 
Este mecanismo tem muitasaplicações onde se necessita vencer uma grande resistência com 
uma pequena força motriz, como no caso das prensas mecânicas. A Fig. 2.22 mostra um esboço 
onde as peças 4 e 5 têm o mesmo comprimento. À medida que os ângulos  diminuem e estas se 
tornam quase alinhadas, a força F necessária para vencer uma dada resistência P decresce conforme 
a relação: tgPF 2 . Um britador utiliza este mecanismo para vencer uma grande resistência 
com uma pequena força. Também pode ser usado em dispositivos de fixação de peças e de prensas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 2.19 
 
Fig. 2.20 
 
 
Fig. 2.21 
 
Fig. 2.22 
 
 
 
20 
 
2.5.7. Mecanismos traçadores de retas 
 
São mecanismos projetados de modo que um ponto de uma das peças se mova em linha 
reta. Dependendo do mecanismo, esta linha reta poderá ser aproximada ou teoricamente exata. 
Um exemplo de um mecanismo traçador de retas aproximadas é o mecanismo de Watt, 
mostrado na Fig. 2.23. O ponto P está localizado de tal modo que os segmentos AP e BP são 
inversamente proporcionais aos comprimentos O2A e O4B. Portanto, se as peças 2 e 4 tiverem o 
mesmo comprimento, o ponto P deverá estar no meio da peça 3. O ponto P descreverá uma 
trajetória em forma de 8. Parte desta trajetória se aproximará muito de uma linha reta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 2.23 - Mecanismo de Watt. 
 
O mecanismo Peaucellier é um que pode gerar uma linha reta exata. A Fig. 2.24 mostra um 
esboço onde as peças 3 e 4 são iguais. As peças 5, 6, 7 e 8 são iguais e a peça 2 tem seu 
comprimento igual à distância O2O4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 2.24 – Mecanismo de Peaucellier. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
Capítulo 3. POSIÇÕES E VELOCIDADES (Métodos Algébricos e Gráficos) 
 
 
3.1 Introdução 
 
Os princípios de projeto e soluções da engenharia devem assegurar que o mecanismo 
proposto ou a máquina não falhará sob as condições operacionais previstas. Para isso, as tensões no 
material devem ser mantidas em um nível bem inferior às tensões admissíveis. Para calcular as 
tensões, precisamos conhecer as forças estáticas e dinâmicas dos componentes utilizados. Para 
calcular as forças dinâmicas, precisamos conhecer as acelerações. Para calcular as acelerações 
devemos, primeiro, encontrar a posição de todos os elos ou elementos no mecanismo para cada 
movimento de entrada; depois, derivar as equações de posição em relação ao tempo a fim de 
encontrarmos as velocidades; e em seguida, derivar novamente e obter as equações de aceleração. 
Isso pode ser feito por muitos métodos. Podemos usar a aproximação gráfica ou podemos 
derivar as equações gerais para o movimento em qualquer posição. Se escolhermos a solução 
gráfica para análise, devemos gerar uma solução gráfica independente para cada uma das posições 
de interesse, o que torna o processo bastante longo. Em contrapartida, caso a solução algébrica ou 
analítica seja obtida para um mecanismo particular, será rapidamente resolvida por um computador 
para todas as posições, e ainda será possível visualizar o seu desempenho em tempo real. 
 
 
3.2 Métodos Algébricos para Análise da Posição, Velocidade e Aceleração 
 
 Para qualquer mecanismo com um GDL, somente um parâmetro é necessário para definir a 
posição de todos os elos. O parâmetro usualmente escolhido é o ângulo do elo de entrada. Esse é 
mostrado como θ2 na Figura 3.1. Queremos encontrar θ3 e a posição do cursor 4. Os comprimentos 
dos elos são conhecidos. 
A análise gráfica desse problema é um exercício bastante trivial e pode ser feita usando 
apenas trigonometria básica, pois só exige o desenho em escala e medição dos ângulos numa dada 
posição, enquanto a análise de posição por equações algébricas é muito mais complicada. Mas o 
contrário é verdadeiro para velocidade e especialmente para a análise de aceleração. A análise 
gráfica de velocidade e de aceleração se torna muito mais complexa e difícil nos casos de diagramas 
vetoriais gráficos que devem ser refeitos para cada uma das posições de interesse (Norton, 2010). 
 
3.2.1 Análise algébrica da posição 
 
 A Fig. 3.1 mostra um mecanismo composto de manivela (2), biela (3) e cursor (4), onde d 
representa a posição do cursor em relação ao eixo x. As relações dos comprimentos a e b são 
conhecidos e representam o raio da manivela e comprimento da biela que completam o laço. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.1 – Representação de mecanismo biela-manivela. 
 
O2 
1 x 
3 
2 
y 
A 
B 
2 
4 Ax 
Ay 
Φ d 
a 
b θ3 
 
 
22 
Para uma dada posição angular θ2 da manivela, a posição linear do cursor B é: 
 
 coscos 2 badXB  (3.1) 
 
 Observando-se que o segmento AAx é o cateto oposto comum aos dois triângulos retângulos, 
tem-se a relação:  sinsin 2 ba  , donde pode-se obter os ângulos Φ e θ3 por 
 
 





 322 ;sinarcsinsinsin
b
a
b
a
 (3.2) 
 
Se desejamos obter a posição do cursor B, em função do ângulo de entrada θ2 deve-se fazer 
uso da relação trigonométrica: 2
2
2
2 sin1sin1cos  






b
a
. 
 
Assim, a equação da posição do cursor B pode ser descrita na forma: 
 
2
2
2
2 sin1cos  






b
a
badX B (3.3) 
 
Ou ainda, a fim de simplificar o lado direito da Eq. (3.3), o radical pode ser aproximado pela 
série infinita dada por: 
 
 
8.6.4.2
.5.3.1
6.4.2
.3.1
4.2
.1
2
1
11
864
22 
 (3.4) 
 
O uso dos dois primeiros termos da série já fornece uma precisão suficiente para fins de 
cálculo de engenharia. Assim, podemos adotar a relação aproximada, 
 
2
2
2
2
2
2
sin
2
1
1sin1  












b
a
b
a
 (3.5) 
 
Portanto, substituindo a Eq. (3.5) no segundo termo da Eq. (3.3), obtém-se a equação 
aproximada da posição do cursor B: 
 
2
2
2
2 sin
2
cos 
b
a
badX B  (3.6) 
 
3.2.2 Análise algébrica da velocidade 
 
 Considerando que a manivela gira com velocidade angular constante ω2, e que t22   , 
derivando-se a Eq. (3.6) em relação ao tempo, obtém-se a equação aproximada de velocidade do 
cursor B, dada por: 
 
 
 
23 






 222 2sin
2
sin 
b
a
adVB

 (3.7) 
 
3.2.3 Análise algébrica da aceleração 
 
 Derivando-se a Eq. (3.7) em relação ao tempo, obtém-se a equação aproximada de 
aceleração do cursor B, dada por: 
 






 22
2
2 2coscos 
b
a
adAB

 (3.8) 
 
 No exemplo a seguir, será mostrado que as equações aproximadas e exatas de posição e 
velocidade do cursor B dão resultados muito próximos em termos de simulação computacional. Para 
isso, foi deduzido um procedimento analítico e codificado num algoritmo Matlab. 
 
Exemplo_01: Mecanismo biela-manivela (Prob. 2.7, Livro: Mabie & Ockvirk) 
 
Desenvolver uma rotina de computador para calcular os parâmetros de posição e velocidade 
do cursor B do mecanismo mostrado na Fig. 3.1. Use as equações exatas e aproximadas. Faça a=50 
mm; b=100 mm; n2=100 rpm. (a) Calcule estes parâmetros para uma volta completa da manivela, 
com intervalos de 15° para o ângulo θ2. (b) Compare os gráficos resultantes. 
 
Solução: 
 
 Assumindo as equações deduzidas acima e implementando uma rotina computacional no 
ambiente Matlab, tem-se os gráficos a seguir. 
 
0 50 100 150 200 250 300 350
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
Gráfico de Deslocamento do Cursor
Ângulo teta2 (graus) 
 D
e
s
lo
c
a
m
e
n
to
 (
m
m
) 
 
 
Curva exata
Aproximada
 
 
 
 
 
24 
0 50 100 150 200 250 300 350
-600
-400
-200
0
200
400
600
Gráfico de Velocidade do Cursor
Ângulo teta2 (graus) 
 V
e
lo
ci
d
a
d
e
 (
m
m
/s
) 
 
 
Curva exata
Aproximada
 
 
 
0 50 100 150 200 250 300 350
-8000
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
Gráfico de Aceleração do Cursor
Ângulo teta2 (graus) 
A
ce
le
ra
ç
ã
o
 (
m
m
/s
2
) 
 
 
Curvaexata
Aproximada
 
 
Observações: 
 
Analisando os gráficos de velocidades, observa-se que o segundo termo da equação exata se 
diferencia um pouco da aproximada (Eq. 3.6), o que provoca uma pequena distorção das curvas nas 
regiões próximas do máximo e mínimo da curva. 
Porém, esse fato se torna ainda mais crítico quando se analisa os gráficos de acelerações, 
especialmente para relações (R/L)>0,3, que segundo especialistas em motores, causa maiores 
vibrações nos pistões (ver rotina e artigo em anexo). 
 
 
 
25 
3.3 Métodos Gráficos para Análise de Velocidade 
 
3.3.1 Método da composição e decomposição 
 
Os princípios a seguir são aplicáveis a sistemas articulados consistindo de combinações de 
rotores, barras, cursores, cames, engrenagens e elementos rolantes. Considera-se corpos rígidos os 
elos de mecanismos em que a distância entre dois pontos em movimento permanece invariável. 
Uma peça do tipo manivela que dá voltas ou oscila em torno de um ponto Q, conforme a 
Fig. 3.2, possui magnitude da velocidade linear Va proporcional à distância que separa o ponto em 
questão A ao eixo de rotação Q. A direção da velocidade é perpendicular à linha QA e o sentido 
concorda com o da velocidade angular do corpo m. As magnitudes das velocidades lineares dos 
pontos B e C guardam com Va a mesma proporção de suas respectivas distâncias a Q. 
Quando se conhece a velocidade de um ponto de um corpo rígido m, pode-se obter a 
velocidade de outro ponto do mesmo corpo, procedendo-se conforme mostrado na Fig. 3.3. A 
velocidade no ponto A, chamada Va, é completamente conhecida, e da velocidade em B sabe-se 
apenas a direção na linha BM. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como se trata de um corpo rígido a distância AB é invariável, decompõe-se Va e se encontra 
Aa que será transmitida para B, tal que Bb=Aa. O vetor Bb é uma componente de Vb que pode ser 
obtida pela composição de Bb na direção perpendicular à reta AB e que cruza com a direção de BM 
no ponto b1. Portanto, Vb será dada pelo vetor Bb1. 
Na Fig. 3.4 consideram-se três pontos A, B e C pertencentes a um mesmo corpo rígido m, 
onde se conhece Va completamente e apenas a direção de Vb. Pretende-se encontrar a magnitude da 
velocidade Vb e Vc que é totalmente desconhecida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seguindo o mesmo procedimento da Fig. 3.3, encontra-se Vb. Em seguida, decompõe-se Va 
na direção de AC e Vb na direção de BC, representados respectivamente pelos vetores Aa e Bb. 
Deslocando-se estes vetores para o ponto C, obtém-se Cc e Cc1, que compondo nas direções 
perpendiculares às retas AC e BC, obtém-se o ponto c2 que representa Vc. 
Fig. 3.2 Fig. 3.3 
Fig. 3.4 
 
 
26 
Na Fig. 3.5 conhece-se por completo Va, a direção de Vb na linha BM e se pretende 
encontrar Vc, que não se conhece nada. Por estarem A, B e C em linha reta, não é possível aplicar o 
mesmo procedimento anterior da Fig. 3.4. Porém pode-se obter rapidamente Vc considerando que o 
corpo m tem um movimento angular instantâneo ao redor de um eixo, e que os vetores 
representativos das velocidades de A, B e C perpendiculares a AB devem ser proporcionais às 
distâncias de cada um destes pontos ao eixo instantâneo de rotação. Obtém-se Vb conforme já 
mostrado na Fig. 3.3. Em seguida, traça-se Cc=Aa, e teremos a componente de Vc na direção ACB. 
Por c passa-se uma perpendicular que intercepta a linha que passa pelos pontos a1 e b1. O vetor Cc1 
é a representação da velocidade linear Vc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo_02: Mecanismo de quatro barras (Composição e decomposição de velocidades) 
 
Seja o mecanismo de quatro barras articuladas ilustrado na Fig. 3.6, onde a velocidade 
angular da manivela 2 é de 100 rpm, no sentido anti-horário, e a 75° com a horizontal. Dados os 
comprimentos das barras (cm): O2A=4,8; AB=7,7; BD=4,3; AC=3,7; BC=5,6; O2O4=12,0; O4B=9,2; 
O4E=4,6. Pede-se determinar as velocidades lineares VB, VC, VD, VE e ω4: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3.5 
A 
O2 
C 
2 =75 
o 
B 
2 
3 
4 
O4 
 
Fig. 3.6 - Mecanismo de quatro barras (balancim duplo). 
E 
D 
 
 
27 
a) Solução: Calculando a velocidade angular da barra 2 e velocidade linear no ponto A, 
 
scmAOVsrad
n
A /26,50./47,10
60
)100(2
60
2
22
2
2  

 
 
Escolhendo uma escala de velocidades apropriada e desenhando o vetor VA em módulo, 
numa direção perpendicular à barra O2A e sentido de ω2, inicia-se o processo de decomposição 
desse vetor na direção AB, considerando que VA’=VB’. 
Em seguida compõe-se o vetor resultante, traçando-se uma perpendicular ao segmento AB 
até encontrar VB, que se encontra na direção perpendicular ao balancim O4B. 
 
 
 
 
Medindo no desenho, obtém-se VB = 36,60 cm/s. 
 
 Após a determinação de VB, segue-se encontrando a velocidade angular da barra 4, dada por 
 
 srad
BO
VB /98,3
60
36,60
4
4  
 
Em seguida, obtém-se VC, VD e VE seguindo o procedimento descrito acima. Os resultados 
finais estão resumidos na tabela abaixo. 
 
Tabela de resultados (ϴ2=75°) 
 
VA (cm/s) 30,26 
VB (cm/s) 36,60 
VC (cm/s) 53,20 
VD (cm/s) 40,55 
VE (cm/s) 18,30 
ω4 (rad/s) 3,98 
 
 
 
 
 
 
28 
3.3.2 Método dos centros instantâneos de rotação 
 
Conceito de eixos instantâneos de rotação 
 
 O conceito de eixos instantâneos de rotação está associado à idéia de que, num determinado 
instante, cada uma das partes ou elos da máquina gira ao redor de um eixo, que pode ser fixo ou 
móvel. No caso do eixo móvel este pode ser considerado fixo por um instante. 
A Fig. 3.7 representa uma peça oscilante de forma qualquer. A velocidade linear do ponto A 
é completamente conhecida, enquanto num outro ponto B do mesmo corpo se conhece apenas a 
direção-sentido da velocidade BX. O eixo instantâneo de rotação Q pode ser determinado pela 
interseção das perpendiculares às direções das velocidades de ambos os pontos A e B. No instante 
considerado, todos os pontos do corpo em questão tendem a girar ao redor de Q. A magnitude da 
velocidade de B se obtém partindo da magnitude de A, empregando a semelhança de triângulos, por 
que as velocidades lineares instantâneas de cada um dos pontos do corpo são proporcionais às 
distâncias dos pontos ao eixo Q. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notação de centros instantâneos de rotação 
 
 A Fig. 3.8 mostra um sistema de notação aplicado a um mecanismo de quatro barras, onde o 
centro instantâneo de rotação da peça 3 em relação à peça fixa 1 é denominado 31 ou 13. Assim o 
centro instantâneo de rotação da peça 2 em relação à peça 1 é designado de 12 ou 21 e o da peça 4 
em relação à peça 1 é designado de 14 ou 41 conforme mostrado. 
 O centro instantâneo de rotação de uma peça em relação a outra, quando ambas as peças são 
móveis, também é de interesse. Tais centros são os pontos A e B, onde A2 e A3 têm uma velocidade 
absoluta em comum VA (centro móvel 32 ou 23) e de modo semelhante B3 e B4 têm uma velocidade 
absoluta em comum VB (centro móvel 43 ou 34). O centro instantâneo 42 ou 24 também está 
mostrado, e será discutido na seção seguinte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3.7 
Fig. 3.8 
 
 
29 
 
Determinação de centros pelo teorema de Kennedy 
 
 Para três corpos independentes em movimento plano geral, o teorema de Kennedy estabelece 
que os três centros instantâneos de rotação estão em uma linha reta comum. Na Fig. 3.9 as três 
peças 1, 2 e 3 estão em movimento uma em relação à outra. Há três centros instantâneos de rotação 
(12, 13 e 23), cujas posições instantâneas devem ser determinadas. 
Se a peça 1 for considerada fixa, as velocidades das partículas A2 e B2 da peça 2 e as 
velocidades de D3 e E3 da peça 3 podem ser consideradas como velocidades absolutas em relação à 
peça 1. O centro instantâneo 12 pode ser localizado pela interseção das normais às direções das 
velocidades de A2 e B2.De modo semelhante localiza-se o centro 13, por intermédio de D3 e E3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resta determinar o terceiro centro instantâneo 23. Sobre uma reta traçada pelos centros 12 e 
13, existe uma partícula C2 da peça 2 a uma velocidade absoluta Vc2 e que tem a mesma direção que 
a da velocidade Vc3, da partícula C3 da peça 3. Como Vc2 é proporcional à distância de C2 a 12, 
determina-se o módulo de Vc2 de um modo semelhante. Na interseção das retas de construção em k, 
determina-se uma posição comum C2 e C3 de tal modo que as velocidades absolutas Vc2=Vc3 são 
idênticas. Esta posição é o centro instantâneo 23, porque as velocidades absolutas das partículas 
coincidentes são comuns e porque o centro 23 está sobre uma linha reta que une 12 e 13. 
O teorema de Kennedy é bastante útil na determinação das posições dos centros instantâneos 
em mecanismos que têm um grande número de peças. Em relação a um número n de peças, há um 
total de n(n-1) centros instantâneos de rotação. Entretanto, como em cada posição dos centros 
instantâneos há dois centros comuns, o número total N de posições é dado por 2)1(  nnN . 
 
Exemplo_03: Mecanismo de quatro barras (Centros instantâneos de rotação) 
 
Seja o mecanismo de quatro barras mostrado na seção anterior (Fig. 3.6), onde a velocidade 
angular da barra 2 é de 100 rpm, no sentido anti-horário, e a 75° com a horizontal. Dados os 
comprimentos das barras (cm): O2A=4,8; AB=7,7; BD=4,3; AC=3,7; BC=5,6; O2O4=12,0; O4B=9,2; 
O4E=4,6. Pede-se determinar as velocidades lineares VB, VC, VD, VE e angulares ω3 e ω4: 
 
a) Solução: Método dos centros instantâneos (usando o centro 13) 
 
Iniciamos calculando o número total de centros, 
 
centros
nn
N 6
2
)14(4
2
)1(




 
Fig. 3.9 
 
 
30 
 
 Em seguida, após a construção do desenho do mecanismo em escala (Fig. 3.10a), e sabendo 
as direções das velocidades VA e VB por observação direta, determinamos o centro 13, que servirá de 
base para determinação das velocidades VB, VC e VD. 
 Note que uma vez medidas essas velocidades (em módulo), podemos calcular as velocidades 
angulares através dos centros 13 e 14: 
 
scm
CO
V
BO
V
AO
V CBA 40,4
333
3  ; srad
BO
VB /98,3
4
4  ; 
 
 Em seguida, usando o centro 14, obtém-se a velocidade: scmEOVB /30,18. 44  . 
 
 
 
 
 
b) Solução: Método dos centros instantâneos (usando o centro 24) 
 
Nesse caso vamos utilizar o teorema de Kennedy, para a determinação do centro 24, 
relacionando-o com os demais centros, conforme ilustra a Fig. 3.10b. 
 Inicialmente, marcamos por observação direta os dois centros fixos O2 e O4, que 
representam na notação os centros 12 e 14, bem como os dois centros móveis A e B, que 
representam na notação os centros 23 e 34, respectivamente. 
Em seguida, desenhamos a figura de um círculo dividido em 4 partes (ou número 
elementos), e fechamos as ligações com os centros já conhecidos 12, 14, 23, 34. 
Depois, encontramos os demais centros 13 e 24, usando as relações de triângulos 
semelhantes, conforme o procedimento proposto da existência de 3 centros alinhados: 
 
)3414()2312(13 Centro ; 
Fig. 3.10a - Mecanismo de quatro barras (usando o centro 13). 
 
 
31 
 )3423()1412(24 Centro . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, usando o centro 24, também podemos determinar VB e ω4 (ver desenho) 
 
2412V
2312
V
224
A
2 

 . ; srad983
2414
V24
4 /,

 ; 
 
Portanto, determina-se VB 
 
s2414V 4B /cm 36,6.  . 
 
Conforme ilustrado anteriormente, obtém-se as demais velocidades VC, VD e VE. 
 
 
 
 
Fig. 3.10b - Mecanismo de quatro barras (usando o centro 24). 
2 
1 
3 
4 
 
 
32 
3.3.3 Método dos polígonos de velocidade 
 
Este método utiliza o conceito de movimento relativo entre partículas aplicado a corpos 
rígidos em geral. Seja a Fig. 3.11a onde P e Q são duas partículas que se movem em relação a um 
plano de referência fixo, com velocidades VP e VQ, respectivamente. Deseja-se determinar a 
velocidade relativa VPQ entre as duas partículas. Será considerado o fato de que a soma de duas 
velocidades iguais e opostas a cada partícula não altera a velocidade relativa das duas partículas. 
 
Figura 3.11 – (a) Vetores no plano; (b) e (c) Polígonos de velocidades. 
 
Portanto, se somarmos, às partículas P e Q, duas velocidades uma igual e outra oposta a VQ, 
a partícula Q ficará estacionária e P ganhará uma componente adicional de velocidade - VQ relativa 
ao plano fixo. Assim, a nova velocidade relativa VPQ, como ilustrado na Fig. 3.11b, é dada por: 
 
QPPQ VVV  (3.8) 
 
De modo semelhante VQP pode ser obtida através da soma vetorial de -VP a cada partícula, 
conforme mostrado na Fig. 3.11c. VQP é dado pela equação 
 
PQQP VVV  (3.9) 
 
Velocidade relativa de partículas em uma peça comum 
 
 De acordo com a Eq. (3.8), pode-se determinar a velocidade relativa VPQ de uma partícula 
em relação à outra, a partir da diferença vetorial das velocidades absolutas VP e VQ desde que estas 
sejam conhecidas. Entretanto, em sistemas articulados, conhece-se somente uma das velocidades 
absolutas e a outra deve ser determinada. 
 A velocidade absoluta desconhecida, VP , pode-se determinar da seguinte forma: 
 
PQQP VVV  (3.10) 
 
Embora VQ seja conhecida, é necessário que a velocidade relativa VPQ também o seja. Em 
sistemas articulados, os movimentos das partículas P e Q não são independentes, mas são obrigadas 
a se deslocarem uma em relação à outra de modo que seus movimentos são controlados. 
Considerando o corpo rígido na Fig. 3.12a, qualquer partícula tal como Q pode estar à 
velocidade absoluta VQ e a peça a uma velocidade angular absoluta ω3. Se a observação do 
movimento for feita em relação a Q, então Q estará em repouso, conforme indicado na Fig. 
3.12b. Entretanto, desde que cada partícula Q não tenha movimento angular, a velocidade 
 
 
33 
angular ω3 da peça em relação a Q ficará inalterada. Conforme a Fig. 3.12b, em relação a Q, a 
peça gira com velocidade angular ω3 em torno de Q como se Q fosse um centro fixo. 
 
Figura 3.12 – Velocidade relativa de partículas em uma peça comum. 
 
A velocidade relativa VPQ de P em relação a Q é tangente à trajetória relativa como na 
Fig. 3.12c. Como o raio de curvatura R da trajetória relativa é igual a PQ e a velocidade 
angular ωr do raio de curvatura é igual a ω3, o módulo de VPQ pode ser determinado por: 
 
3(PQ)= PQV (3.11) 
 
 Na Fig. 3.12c, a direção de VPQ é tangente à trajetória circular relativa e é indicada por 
um vetor atuando em P. O sentido de VPQ é determinado pela rotação de P em torno de Q no 
mesmo sentido de ω3. Mostra-se na Fig. 3.12d o vetor VQP representando a velocidade de Q em 
relação a P. Pode-se ver que em relação a P a velocidade ω3 da peça 3 tem o mesmo módulo e 
sentido que no movimento em relação a Q. Portanto, os módulos de VQP e VPQ são os mesmos. 
Suas direções também são as mesmas já que ambas são perpendiculares à linha PQ. Entretanto, o 
sentido de VQP é oposto ao de VPQ. 
 
Velocidade relativa de partículas coincidentes em peças separadas 
 
 Em muitos mecanismos tais como na Fig. 3.13, obtém-se a limitação do movimento relativo 
guiando-se a partícula P de uma peça ao longo de uma trajetória predeterminada, em relação à 
outra peça, através de uma superfície-guia. Tal restrição é encontrada em cames e nas inversões 
do mecanismo cursor manivela, onde a superfície de uma peça controla o movimento de uma 
partícula sobre outra peça através de deslizamento ou rolamento. 
Na Fig. 3.13, a partícula P3 da peça 3 está em movimento ao longo de uma trajetória 
curvilínea traçada sobre a peça 2 devido à ranhura-guia existente nessa peça. Essa trajetória está 
mostrada na figura assim como a tangente t-t e a normal n-n que passam pelo ponto P3. A 
partícula Q2 da peça 2 coincide em posição com a partícula P3 da peça3. Pode-se ver que apesar 
das velocidades angulares absolutas ω2 e ω3 das peças 2 e 3, a guia restringe o movimento de P3 
de modo que essa partícula não pode se deslocar em relação a Q2 na direção normal n-n e, 
portanto, não pode haver velocidade relativa entre as duas peças nessa direção. 
 
 
34 
Entretanto, a guia permite, à partícula P3, liberdade para se deslocar em relação a Q2 na 
direção tangente t-t e, portanto, a velocidade relativa VP3Q2 somente poderá estar na direção 
tangente à guia. Em mecanismos onde a restrição é feita através de guias, basta saber que a 
velocidade relativa de partículas coincidentes somente pode estar na direção tangente à guia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.13 – Velocidade relativa de partículas em peças separadas. 
 
Velocidade relativa de partículas coincidentes em pontos de contato 
 
 Um terceiro tipo de restrição em mecanismos é aquele que ocorre quando se obriga uma 
peça a rolar sobre outra sem deslizamento no ponto de contato. Na Fig. 3.14, mostram-se as 
circunferências primitivas de um par de engrenagens acopladas com as partículas coincidentes no 
ponto de contato, P3 da engrenagem 3 e P2 da engrenagem 2. Como as circunferências estão em 
contato de rolamento, essas partículas têm velocidades iguais de modo que VP3= VP2 e a 
velocidade relativa entre as duas partículas é zero. 
 
Figura 3.14 – Velocidade relativa de partículas em pontos de contato. 
 
Exemplo_04: Mecanismo 4 barras com guia (Polígonos de velocidade) 
 
Considerando o mecanismo de retorno rápido (Fig. 3.15). A peça 2 se encontra na posição 
θ2=60°, girando com uma velocidade angular ω2=30 rad/s na direção indicada. Determine as 
velocidades lineares VB e VC e angulares ω3 e ω4 das peças 3 e 4. 
Dados: O2A =102; R =203; AB =203; O2X =203; AC =102; CB =152 mm. 
 
 
 
 
35 
Solução: Método dos polígonos de velocidades 
 
Realizando alguns cálculos e escrevendo as equações das velocidades relativas no ponto B: 
 
cm/s306AO=V 22A . 
 














cm/s230V
cm/s366V
ABV
AOV
BOV
VV=V
BA
B
BA
2A
4B
BAAB medindoonde ; 
 
Fig. 3.15 – Mecanismo de quatro barras com guia. 
 
Medindo no polígono e calculando então as velocidades angulares: 
 
srad
BO
V
srad
AB
V BBA /03,18
3,20
366
;/33,11
3,20
230
4
 43  
 
 
 
Em seguida, encontram-se as velocidades relativas ao ponto C: 
 
 
 
36 






















cm/s175V
cm/s113V
cm/s226V
CBV
BOV
V
VV=V
CAV
AOV
V
VV=V
CB
CA
C
CB
4B
C
CBBC
CA
2A
C
CAAC
medindoonde
onde
?
;
?
;
 
 
Exemplo_05: Mecanismo composto (Centros instantâneos e polígonos de velocidades) 
 
A Figura 3.16 representa um mecanismo composto do tipo Whitworth (Plaina limadora). A 
manivela 2, articulada ao cursor 3, gira no sentido horário com velocidade de rotação de 500 rpm. 
Encontrar as velocidades lineares nos pontos A, B e C e angular da barra-guia 4. 
Dados: 0204= 3,0 cm; 02A= 5,5 cm; 04B= 3,5 cm; BC= 11,0 cm; 2= 55
o
. 
 
 
Fig. 3.16 – Mecanismo Whitworth. 
 
Solução: a) Método dos centros 
 
 Cálculo do numero de centros: 15
2
)16(6
2
)1n(n
N 
--
 
 
 Identificando os centros por observação direta: (12, 23, 34, 45, 56, 14 e 16) 
 
 Usando o teorema de Kennedy, determinamos os demais centros, conforme a Fig. 3.17: 
 
 Exemplo: 13 =>(12-23;14-34); 15 =>(16-56;14-45); 24 =>(12-14;23-34); 
 25 =>(12-15;24-45); 26 =>(12-16;25-56); ... 
 
 
 
37 
 
 
Fig. 3.17 – Método dos centros. 
 
 Em seguida, resolvemos para acharmos as velocidades VA, VB, VC e ω4. 
 
scmVA /288)5,5(
30
)500(
2


; 
 
Usando o centro 24, e V24 obtém-se scmVB /0,125 
 
Usando BV , obtém-se scm
BO
VB /7,35
5,3
0,125
4
4  
 
Usando o centro 26, e V26 diretamente, obtém-se scmVC /5,120 , pois as mesmas são paralelas 
e possuem o mesmo módulo e direção. 
 
 
38 
 
Solução: b) Método dos polígonos 
 
 Aplicando as equações a partir da velocidade VA: cm/s;288AO=V 22A2  








BOV
AOV
BOV
VV=V
4A4A2
2A2
4A4
A4A2A2A4
//
onde; 
 
Medindo-se no Polígono (Fig. 3.18), VA4 = 272,65 cm/s 
 
 
Fig. 3.18 – Método dos polígonos. 
 
Logo, obtém-se VB da relação: 
 
scm
AOBO
/0,125
63,7
65,272
5,344
 B
BA4B V
VVV
 
 
Temos então a relação: srad
BO
VB /7,35
5,3
125,0
4
4  
 
Sendo assim, medindo-se no polígono, encontra-se VC = 120,50 cm/s. 







BCV
BOV
V
VV=V
CB
4B
C
CBBC
horizontal
onde
//
; 
 
Tabela de Resultados 
Velocidades lineares (cm/s) 
VA2 288,00 
VA4 272,65 
VA4A2 93,78 
VB 125,00 
VC 120,50 
VCB 75,60 
Velocidade angular ω4 35,7 rad/s 
 
 
 
39 
Capítulo 4 – POSIÇÕES E VELOCIDADES (Métodos Vetoriais) 
 
 
4.1 Sistemas de Coordenadas 
 
Os sistemas de coordenadas e de referência existem por conveniência do engenheiro. O 
sistema de coordenadas global geralmente é fixado a uma estrutura ou suporte (ex. chassi do 
automóvel). Se o objetivo é analisar a movimentação do limpador de para-brisas, podemos não 
levar em conta o movimento geral do automóvel na análise. O termo sistema de referência inercial 
é usado para denotar um sistema que não tem aceleração. 
Sistemas de coordenadas locais são normalmente anexados a um elo ou a algum ponto de 
interesse, que deve ser uma junta pinada, o centro de gravidade ou as linhas de centro de um elo. 
Esse sistema pode ou não ser rotacionado, como desejarmos. Se quisermos medir o ângulo do elo 
rotacionado no sistema global, provavelmente iremos anexar um sistema de coordenadas local não 
rotacionável (x,y) num certo ponto do elo ou junta. 
 
4.1.1 Posição de ponto 
 
 A posição de um ponto no plano pode ser definida por meio de um vetor de posição cuja 
escolha dos eixos de referência é arbitrária, para satisfazer o observador. A Fig. 4.1a mostra um 
ponto A no plano, definido no sistema de coordenadas global, e a Fig. 4.1b mostra esse ponto num 
sistema de coordenadas local cuja origem coincide com a do sistema global. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.1 – Vetor de posição no plano. (a) Sistema global XY; (b) Sistema local xy. 
 
 Um vetor bi-dimensional tem dois atributos, que podem ser expressos tanto na forma polar 
quanto em coordenadas cartesianas. A forma polar fornece o módulo e o ângulo do vetor. A forma 
cartesiana fornece os componentes X e Y do vetor. Cada forma é conversível à outra por: 
 







X
Y
YXA
R
R
RRR arctan;22  (4.1) 
 
4.1.2 Transformação de coordenadas 
 
 Muitas vezes, é necessário transformar as coordenadas de um sistema para outro. Se os 
sistemas têm origens coincidentes, como na Fig. 4.1b, e a transformação desejada for uma rotação, 
isso pode ser expresso pela coordenada original e o ângulo δ entre os sistemas coordenados. 
Se a posição do ponto A na Fig. 4.1b for expressa no sistema local como Rx e Ry, e deseja-se 
transformar as coordenadas para RX, RY no sistema global, as equações serão: 
 
 
 
40 
 cossen;sencos yxYyxX RRRRRR  (4.2) 
 
4.1.3 Deslocamentos 
 
 Deslocamento de um ponto é a mudança da sua posição e pode ser definido como a 
distância em linha reta entre a posição inicial e a final do ponto que se moveu no sistema de 
referência. Note que deslocamento não é necessariamente o mesmo comprimento do caminho que o 
ponto pode ter percorrido para sair da posição inicial até a posição final. A Fig. 4.2a mostra o ponto 
nas duas posições, A e B. A linha curva descreve a trajetória que o ponto percorreu. O vetor de 
posição RBA define o deslocamento do ponto B relativo ao ponto A. 
A Fig. 4.2b define a situação mais rigorosamente e a relaciona com os eixos no sistema 
global de referência XY. Os vetores RA e RB definem, respectivamente, a posição absoluta dos 
pontos A e B no sistema global. A Fig. 4.2c mostra a solução gráficapara análise. O vetor RBA 
descreve a diferença na posição, ou no deslocamento, entre A e B. Ele pode ser expresso pela 
equação de diferença de posição, 
 
AOBOBAABBA RRRou;RRR  (4.3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.2 – Diferença de posição e posição relativa. 
 
4.1.4 Vetores como números complexos 
 
 Existem muitas formas de representar vetores. Eles podem ser definidos por coordenadas 
polares, tendo seu módulo e ângulo, ou por coordenadas cartesianas, com componentes x e y. 
Essas formas são conversíveis entre si usando as equações 4.1. 
A Fig. 4.3a mostra um vetor posição. Usando a notação de números complexos, a 
componente do vetor posição RA na direção X é chamada de parte real e a componente da direção Y 
é chamada de parte imaginária. 
 Note que na Fig. 4.3b cada multiplicação do vetor RA pelo operador j resulta numa rotação 
anti-horária de 90 graus do vetor. Uma vantagem de usar a notação dos números complexos para 
representar vetores planos é obter a identidade de Euler:  sencos je j 
, onde 1j . 
 
 
41 
Usaremos essa notação de número complexo nos vetores para desenvolver as equações para 
posição, velocidade e aceleração dos mecanismos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.3 – (a) Representação de vetor no plano complexo; (b) Vetores rotacionados. 
 
 
4.2 Equação Vetorial da Posição e Velocidade (Mecanismo biela-manivela) 
 
4.2.1 Equação vetorial da posição 
 
 Seja o mecanismo biela-manivela composto de três vetores R1, R2 e R3, onde as direções e 
sentidos dos vetores foram escolhidos em função dos ângulos θ2 e θ3, conforme ilustra a Fig. 4.4. 
Para uma dada posição θ2 da manivela, o laço de vetores leva a equação: 
 
0132  RRR

 (4.4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.4 – Mecanismo biela-manivela e sua representação vetorial. 
 
Usando a representação dos vetores na forma complexa, e considerando as suas magnitudes 
132 , RdeRbRa  , a Eq. (4.4) assume a forma 
 
 0132 
 jjj
edebea (4.5) 
 
 Usando a relação de Euler, a Eq. (4.5) fica 
 
O2 
R1 X 
R3 
R2 
Y 
A 
B 
2 
3 
d 
a b 
 
 
42 
0)sen(cos)sen(cos)sen(cos 113322   jdjbja (4.5a) 
 
 Observando a Fig. 4.4, nota-se que como 1cos0sen0 111   e
, e separando a 
Eq. (4.5a) em suas partes reais e imaginárias obtém-se um sistema de equações com duas 
incógnitas: 
 
0sensen
0coscos
32
32




ba
dba
 (4.5b) 
 
Aqui, nota-se que através da segunda relação da Eq. (4.5b), obtém-se diretamente θ3 
 
 





 2323 sensensen 
b
a
arcsen
b
a
 (4.5c) 
 
e substituindo θ3 na primeira relação da Eq. (4.5b), encontra-se a posição do cursor B, dada por 
 
32 coscos  badBx  (4.5d) 
 
Obs: Note que a Eq. (4.5d) é idêntica à Eq. (3.1) obtida analiticamente, quando substituímos no 
lugar da última relação vetorial com θ3, o ângulo complementar 3  . 
 
4.2.2 Equação vetorial da velocidade 
 
Derivando a Eq. (4.5) original em relação ao tempo, considerando como constantes a, b e θ1, 
porém o comprimento d, variando com o tempo, e lembrando que a derivada de uma função 
exponencial complexa é: 
 
 





jj
j
ej
dt
d
ej
d
ed






. , logo,  132 

jjj
edebea
d
d
 , fica: 
 
 032
32  debjeaj
jj   (4.6) 
 
 Onde d é a velocidade linear do cursor B. Substituindo a relação de Euler, e re-arrumando a 
Eq. (4.6), essa assume a forma 
 
0)cossen()cossen( 333222  djbja  (4.6a) 
 
Separando a Eq. (4.6a) em suas partes real e imaginária, tem-se o sistema de equações, 
 
0coscos
0sensen
3322
3322




ba
dba 
 (4.6b) 
 
onde, pela segunda relação da Eq. (4.6b), pode-se obter diretamente a velocidade angular ω3 
 
 
 
43 
2
3
2
3
cos
cos




b
a
 (4.6c) 
 
Logo, substituindo ω3 na primeira relação da Eq. (4.6b), obtém a velocidade linear do cursor 
 
3322 sinsin  badVB   (4.6d) 
 
 
4.3 Análise Algébrica da Posição (Mecanismo de quatro barras) 
 
4.3.1 Análise gráfica da posição 
 
 A análise gráfica desse problema é trivial e pode ser feita usando apenas trigonometria 
básica. Após desenhar o mecanismo em escala com régua, compasso e transferidor em uma posição 
particular (dada por θ2), será preciso somente medir os ângulos dos elos 3 e 4 com transferidor. 
Note que todos os ângulos dos elos são medidos do eixo X no sentido anti-horário. Na Fig. 4.5a, um 
sistema local de eixos xy, paralelo ao sistema global XY, deve ser criado no ponto A para medir θ3. 
A Fig. 4.5b mostra a construção gráfica de um mecanismo de quatro barras do tipo 
manivela-balancim, onde nota-se que pode assumir duas configurações: aberta e cruzada. O ponto B 
pode ser obtido, traçando-se um arco com origem no ponto A e raio AB, e depois com centro na 
origem O4 e raio O4B traça-se o novo arco cujos traçados terão dois pontos de interseção em B e B’. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.5 – Mecanismo de quatro barras e sua representação gráfica. 
 
4.3.2 Análise algébrica da posição 
 
O mesmo procedimento usado na Fig. 4.5 para resolver geometricamente pelas interseções 
em B e B’ e ângulos θ3 e θ4 pode ser codificado para um algoritmo algébrico. Para uma dada 
posição angular θ2 da manivela, as coordenadas do ponto A são obtidas de: 
 
22 sen;cos  aAaA yx  (4.7) 
 
 As coordenadas locais do ponto B são obtidas usando-se as equações dos dois círculos sobre 
os centros A e O4: 
 
222222 )(;)()( yxyyxx BdBcABABb  (4.8) 
 
 
 
44 
que fornecem um par de equações simultâneas em termos de Bx e By. Da Eq. (4.8) e subtraindo a 
segunda relação da primeira e após algumas arrumações, temos a expressão para Bx: 
 
dA
BA
S
dA
BA
dA
dcba
B
x
yy
x
yy
x
x







)(2
2
)(2
2222
 (4.9) 
 
 Substituindo a Eq. (4.9) na segunda relação da Eq. (4.8), teremos uma equação quadrática de 
By, que tem duas raízes ou soluções correspondentes, conforme já ilustrado na Fig. 4.5. 
 
02
2
2 









 cd
dA
BA
SB
x
yy
y (4.10) 
 
 Isso pode se resolvido com uma expressão familiar para as raízes da equação quadrática 
 
)(2
;)(;
)(2
;1
)(
,
2
4
2222
22
2
22
dA
dcba
ScSdR
dA
SdA
Q
dA
A
Ponde
P
PRQQ
B
xx
y
x
y
y











 (4.11) 
 
 Note que as raízes podem ser reais ou imaginárias. No último caso, indicará que os elos não 
se conectam com o dado ângulo de entrada θ2 ou não satisfaz a lei de Grashoff. Se reais, quando os 
dois valores de By forem encontrados (cadeia aberta ou cruzada), eles podem ser substituídos na Eq. 
(4.9) para se obter os componentes de Bx. Os respectivos ângulos para essas posições são: 
 




















dB
B
AB
AB
x
y
xx
yy
arctan;arctan 43  (4.12) 
 
 
4.4 Análise Vetorial da Posição e Velocidade (Mecanismo de quatro barras) 
 
4.4.1 Equação vetorial da posição 
 
 Seja o mecanismo de quatro barras composto pelos vetores R1, R2, R3 e R4, onde as direções 
e sentidos dos vetores foram escolhidos em função dos ângulos θ2, θ3 e θ4, conforme a Fig. 4.6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.6 – Mecanismo de quatro barras e sua representação vetorial. 
 
 
45 
 
Para uma dada posição θ2 da manivela, o laço de vetores leva a equação: 
 
01432  RRRR

 (4.13) 
 
Substituindo a notação de número complexo para cada vetor posição e representando a 
magnitude dos vetores na forma: 1432 ,, RdeRcRbRa  , a Eq. (4.13) assume a forma, 
 
 01432 
 jjjj
edecebea (4.14) 
 
 Usando a relação de Euler, a Eq. (4.14) fica 
 
0)sen(cos)sen(cos)sen(cos)sen(cos 11443322   jdjcjbja (4.14a) 
 
 Observando a Fig. 4.6, nota-seque para 1cos0sen0 111   e
, e separando a Eq. 
(4.14a) em suas partes reais e imaginárias obtém-se um sistema de equações com duas incógnitas: 
 
0sensensen
0coscoscos
432
432




cba
dcba
 (4.14b) 
 
Para resolver esse sistema de equações simultâneas, podemos isolar θ3 e resolvemos θ4: 
 
423
423
sensensen
coscoscos


cab
dcab


 (4.14c) 
 
Agora, elevando os dois lados das equações acima ao quadrado e somando-os, obtém-se: 
 
2
42
2
423
2
3
22 )coscos()sensen()cossen( dcacab   (4.14d) 
 
Note que o valor resultante no lado esquerdo (entre parênteses) é igual a 1, eliminando θ3 da 
equação. O lado direito dessa expressão deve agora expandir por: 
 
)coscossensen(2cos2cos2 424242
2222   accdaddcab (4.14e) 
 
 Para simplificar essa expressão, são introduzidas as constantes K1, K2 e K3 dadas por 
 
ca2
dcba
K;
c
d
K;
a
d
K
2222
321

 (4.15) 
 
 Se substituirmos na Eq. (4.14e) a identidade: 424242 sensencoscos)cos(   , e 
incluindo as constantes acima teremos a forma conhecida como Equação de Freudenstein*: 
 
)cos(coscos 4232241   KKK (4.16) 
 
 
 
46 
 Para reduzir a Eq. (4.16) para uma forma mais amigável, pode ser útil substituir a meia 
identidade dos ângulos que serão convertidos em 
 
)(tan1
)(tan1
cos;
)(tan1
)tan(2
2
2
2
2
4
2
2
2
4
4
4
4
4









sen (4.17) 
 
 Isso resulta, na forma simplificada, em que os comprimentos dos elos e a entrada conhecida 
θ2 foram reagrupadas em termos das constantes A, B e C, 
 
0
2
tan
2
tan 442 











CBA

 (4.18) 
 
onde: 3221232212 cos)1(;sen2;coscos KKKCBKKKA   
 
 Note que a Eq. (4.18) é quadrática, e a solução é: 
A
ACBB
2
4
2
tan
2
4 






 
 
Donde podemos encontrar o ângulo θ4 para as condições cruzada ou aberta: 
 







 

A
ACBB
2
4
arctan2
2
2,14 (4.18a) 
 
 A solução para o ângulo θ3 é essencialmente similar à solução para θ4, onde agora novas 
constantes são adotadas, 
 
ba
badc
K
b
d
K
a
d
K
2
;;
2222
541

 (4.19) 
 
 Isso também reduz à forma quadrática: 
 
0
2
tan
2
tan 332 











FED

 (4.20) 
 
onde: 5241252412 cos)1(;sen2;coscos KKKFEKKKD   
 
E a solução para as condições cruzada ou aberta do ângulo θ3 é 
 







 

D
DFEE
2
4
arctan2
2
2,13 (4.20a) 
 
4.5.2 Equação vetorial da velocidade 
 
 Retomando ao mecanismo de quatro barras manivela-balancim, porém incluindo a 
velocidade angular de entrada ω2, conforme mostrado na Fig. 4.7. 
 
 
47 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.7 – Polígonos dos vetores posição e velocidade (mecanismo de quatro barras). 
 
A equação vetorial de malha fechada é repetida aqui para melhor compreensão: 
 
01432 
 jjjj
edecebea (4.14) 
 
Para conseguir a expressão da velocidade, derivamos a Eq. (4.14) em relação ao tempo, e 
considerando que 01 dtd , essa assume a forma, 
 
0432
432 
  jjj
ejcejbeja (4.21) 
 
 Note que o termo θ1 foi cancelado, pois seu ângulo é constante e, portanto, sua derivada é 
nula. Note ainda que a Eq. (4.21) é, na verdade, uma forma da equação da velocidade relativa, 
conforme ilustrado no polígono de velocidades da Fig. 4.7b. 
 
432
432 ;;
,
  j
B
j
BA
j
A
BBAA
ejcVejbVejaV
ondeVVV


 (4.22) 
 
 Agora precisamos resolver a Eq. (4.21) para encontrar ω3 e ω4, conhecendo a velocidade de 
entrada ω2, os comprimentos dos elos e todos os ângulos dos elos. A estratégia de solução será a 
mesma feita para a análise de posição. Primeiro, substituir a identidade de Euler em cada termo, 
 
0)sen(cos)sen(cos)sen(cos 444333222   jjcjjbjja (4.23) 
 
 Multiplicando tudo pelo operador j, e notando que os termos em cosseno se tornaram 
imaginários, ou termos com direção y, e por causa de 12 j , os termos em seno se tornam reais 
ou com direção x negativa, 
 
0)cossen()cossen()cossen( 444333222   jcjbja (4.23a) 
 
 Separando agora nas componentes reais e imaginárias, 
 
 
 
48 
0coscoscos
0sensensen
443322
443322




cba
cba
 (4.23b) 
 
 Podemos resolver essas duas equações acima, por substituição direta, encontrando, 
 
)(sen
)(sen
;
)(sen
)(sen
34
322
4
43
242
3












c
a
b
a
 (4.24) 
 
 Uma vez que já foram encontrados ω3 e ω4, podemos então resolver as velocidades lineares 
substituindo as identidades de Euler nas Eqs. (4.22), 
 
)cossen()sen(cos 222222  jajjaVA  
 
)cossen()sen(cos 333333  jbjjbVBA  (4.25) 
 
)cossen()sen(cos 444444  jcjjcVB  
 
 As Eqs. (4.24) e (4.25) fornecem uma solução completa para as velocidades lineares dos 
elos e das velocidades angulares das juntas em um mecanismo de quatro barras. 
 
Exemplo_06: Mecanismo de quatro barras (P-4.6, Norton) 
 
 Uma configuração mais geral de um mecanismo manivela-balancim é mostrada na figura 
abaixo. Os comprimentos dos elos, a posição do ponto acoplador P e os valores de θ2 e ω2 são 
conhecidos. Desenhar o mecanismo em escala e encontrar as posições e velocidades nos pontos B e 
P, usando um método gráfico e comparar com o método vetorial. 
 
Dados: O2O4=152,4; O2A=50,8; AB=177,8; AP=152,4; O4B=228,6 (mm); 
 θ2=10°, 20°,..., 360°; δ3=30°; ω2=10 (rad/s) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
(a) Método gráfico (a ser desenvolvido em sala de aula, θ2=60°) 
 
*Resultados: θ3=74°; θ4=110°; (Bx, By)=( 74.4, 214.9) mm; (Px, Py)=( -17.6, 216.5) mm. 
 
ω3= -3.72 rad/s; ω4= -0.92 rad/s; VB= -209.2 mm/s; VP= -716.0 mm/s. 
 
 
49 
 
(b) Equações vetoriais (ver gráficos utilizando uma Rotina no Matlab) 
 
 
0 50 100 150 200 250 300 350 400
105
110
115
120
125
130
135
140
145
150
Ângulo teta2 (graus) 
 Â
n
g
u
lo
 t
e
ta
4
 (
g
ra
u
s
)
Gráfico de Deslocamento angular teta4 x teta2
 
 
 
 
0 50 100 150 200 250 300 350 400
-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
Gráfico de Velocidade, Vp 
Ângulo teta2 (graus) 
 V
e
lo
c
id
a
d
e
 V
p
 (
m
m
/s
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
Capítulo 5 – ANÁLISE DE VELOCIDADES E ACELERAÇÕES 
(Métodos Gráficos e Vetoriais) 
 
 
5.1 Introdução 
 
 Considerando que a análise de posição já foi realizada, os próximos passos serão determinar 
as velocidades e acelerações de todos os elos e pontos de interesse no mecanismo. A Fig. 5.1a 
mostra o elo PA que possui rotação pura, pivotado no ponto A do plano XY. Sua posição é definida 
pelo vetor de posição RPA. Nos interessa a velocidade do ponto P quando o elo gira com velocidade 
angular ω. A velocidade VPA pode ser referida como uma velocidade absoluta, e poderíamos ter nos 
referido a ela como VP, sem o segundo subscrito, já que A é origem global desse sistema de 
coordenadas. 
 Já a Fig. 5.1b mostra um sistema diferente, em que o pivô A se movimenta. Ele tem 
velocidade linear VA conhecida, que é a translação do bloco 3. Se ω permanece o mesmo, a 
velocidade do ponto P em relação a A será a mesma que antes, mas VPA não poderá mais ser 
considerada uma velocidade absoluta. Agora ela é uma diferença de velocidade e deve ser obtida 
por meio da equação da diferença de posição, cuja solução gráfica é mostrada no polígono abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.1 – (a) Elo em rotação pura; (b) Diferença de velocidades e polígono. 
 
 
5.2 Método dos Polígonos de Velocidades (revisão) 
 
Este método utiliza o conceito de movimento relativo entre partículas aplicado a corpos 
rígidos em geral. Deseja-se determinar a velocidade relativa VPQ entre as duas partículas. 
 
Figura 5.2 – (a) Vetores no plano; (b) e (c) Polígonosde velocidades. 
 
 
51 
 
Pela Fig. 5.2a, se somarmos, às partículas P e Q duas velocidades, uma igual e outra oposta 
a VQ, a partícula Q ficará estacionária e P ganhará uma componente adicional de velocidade - VQ 
relativa ao plano fixo. A velocidade relativa VPQ, como ilustrado na Fig. 5.2b, é dada por: 
 
QPPQ VVV  (5.1) 
 
De modo semelhante VQP pode ser obtida através da soma vetorial de -VP a cada partícula, 
conforme mostrado na Fig. 5.2c. VQP é dado pela equação 
 
PQQP VVV  (5.2) 
 
5.2.1 Velocidade relativa de partículas em uma peça comum 
 
 De acordo com a Eq. (5.1), pode-se determinar a velocidade relativa VPQ de uma partícula 
em relação à outra, a partir da diferença vetorial das velocidades absolutas VP e VQ desde que estas 
sejam conhecidas. A velocidade absoluta desconhecida, VP, pode-se determinar da seguinte forma: 
 
PQQP VVV  (5.3) 
 
Embora VQ seja conhecida, é necessário que a velocidade relativa VPQ também o seja. Em 
sistemas articulados, os movimentos das partículas P e Q não são independentes, mas são obrigadas 
a se deslocarem uma em relação à outra de modo que seus movimentos são controlados. 
Considerando o corpo rígido na Fig. 5.3a, qualquer partícula tal como Q pode estar à 
velocidade absoluta VQ e a peça a uma velocidade angular absoluta ω3. Se a observação do 
movimento for feita em relação a Q, então Q estará em repouso, conforme indicado na Fig. 5.3b. 
Entretanto, desde que cada partícula Q não tenha movimento angular, a velocidade angular ω3 
da peça em relação a Q ficará inalterada. Conforme a Fig. 5.3b, em relação a Q, a peça gira 
com velocidade angular ω3 em torno de Q como se Q fosse um centro fixo. 
 
 
Figura 5.3 – Velocidade relativa de partículas em uma peça comum. 
 
 
 
52 
A velocidade relativa VPQ de P em relação a Q é tangente à trajetória relativa como na 
Fig. 5.3c. Como o raio de curvatura R da trajetória relativa é igual a PQ e a velocidade angular 
ωr do raio de curvatura é igual a ω3, o módulo de VPQ pode ser determinado por: 
 
3(PQ)= PQV (5.4) 
 
 Na Fig. 5.3c, a direção de VPQ é tangente à trajetória circular relativa e é indicada por um 
vetor atuando em P. O sentido de VPQ é determinado pela rotação de P em torno de Q no 
mesmo sentido de ω3. Mostra-se na Fig. 5.3d o vetor VQP representando a velocidade de Q em 
relação a P. Pode-se ver que em relação a P a velocidade ω3 da peça 3 tem o mesmo módulo e 
sentido que no movimento em relação a Q. Portanto, os módulos de VQP e VPQ são os mesmos. 
Suas direções também são as mesmas já que ambas são perpendiculares à linha PQ. Entretanto, o 
sentido de VQP é oposto ao de VPQ. 
 
5.2.2 Velocidade relativa de partículas coincidentes em peças separadas 
 
 Em muitos mecanismos tais como na Fig. 5.4, obtém-se a limitação do movimento relativo 
guiando-se a partícula P de uma peça ao longo de uma trajetória predeterminada, em relação à 
outra peça, através de uma superfície-guia. Tal restrição é encontrada em cames e nas inversões 
do mecanismo cursor manivela, onde a superfície de uma peça controla o movimento de uma 
partícula sobre outra peça através de deslizamento ou rolamento. 
Na Fig. 5.4, a partícula P3 da peça 3 está em movimento ao longo de uma trajetória 
curvilínea traçada sobre a peça 2 devido à ranhura-guia existente nessa peça. Essa trajetória está 
mostrada na figura assim como a tangente t-t e a normal n-n que passam pelo ponto P3. A 
partícula Q2 da peça 2 coincide em posição com a partícula P3 da peça 3. Pode-se ver que apesar 
das velocidades angulares absolutas ω2 e ω3 das peças 2 e 3, a guia restringe o movimento de P3 
de modo que essa partícula não pode se deslocar em relação a Q2 na direção normal n-n e, 
portanto, não pode haver velocidade relativa entre as duas peças nessa direção. 
Entretanto, a guia permite, à partícula P3, liberdade para se deslocar em relação a Q2 na 
direção tangente t-t e, portanto, a velocidade relativa VP3Q2 somente poderá estar na direção 
tangente à guia. Em mecanismos onde a restrição é feita através de guias, basta saber que a 
velocidade relativa de partículas coincidentes somente pode estar na direção tangente à guia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.4 – Velocidade relativa de partículas em peças separadas. 
 
 
 
53 
 
5.3 Método dos Polígonos de Acelerações 
 
Da mesma maneira que o conceito de movimento relativo foi aplicado na análise de 
velocidades de partículas em mecanismos, pode-se determinar as acelerações lineares de partículas 
através da construção gráfica de polígonos de aceleração. 
Seja a Fig. 5.5a onde P e Q são duas partículas que se movem em relação a um plano de 
referência fixo. Se for conhecida a aceleração AQ de uma partícula Q, pode-se determinar a 
aceleração AP de outra partícula P adicionando-se o vetor aceleração relativa APQ conforme 
indicado na equação vetorial: 
 
PQQP AAA  (5.5) 
 
Conforme discutiu-se na seção anterior, mostrou-se que a velocidade relativa de um par de 
partículas depende do tipo de restrição em um dado mecanismo. De modo semelhante, a aceleração 
relativa APQ em mecanismos depende do tipo dos vínculos entre as peças. 
 
5.3.1 Aceleração relativa de partículas em uma peça comum 
 
De acordo com a Fig. 5.5a, quando se consideram duas partículas P e Q na mesma peça 
rígida, a distância fixa PQ obriga a partícula P a mover-se ao longo de um arco de circunferência 
em relação a Q independendo do movimento linear absoluto de Q. Portanto, como a trajetória de P 
em relação a Q é circunferencial, pode-se representar o vetor aceleração APQ pelos componentes 
ortogonais da aceleração t
PQ
n
PQ AA , , respectivamente normal e tangente à trajetória relativa em P. 
Na Fig. 5.5b mostram-se os vetores acelerações relativas t
QP
n
QP AA , de Q em relação a P 
onde os módulos e sentidos de ω3 e α3 são os mesmos que os da Fig. 5.5a. 
 
 
Figura 5.5 – Aceleração relativa de partículas em uma peça comum. 
 
Pode-se determinar o módulo da aceleração normal relativa usando-se a equação: 
 
PQ
V
PQA
PQn
PQ
2
2
3).(   (5.6) 
 
O módulo da aceleração tangencial relativa pode ser determinado pela equação: 
 
 
 
54 
3).( PQAt
PQ  (5.7) 
 
Deve-se observar que a direção de n
PQA é normal à trajetória relativa e que o seu sentido é 
em direção ao centro de curvatura Q de modo que o vetor é dirigido de P para Q conforme 
mostrado na Fig. (5.5a). A direção de 
t
PQA é tangente à trajetória relativa (normal à linha PQ), e o 
sentido do vetor depende do sentido de α. 
 
Exemplo_07: Mecanismo de 4 barras com guia (Polígonos de velocidade e aceleração) 
 
Considerando o mecanismo de retorno rápido da Fig. 5.6. A peça 2 com θ2=60°, girando 
com uma velocidade angular ω2 de 30 rad/s e uma aceleração angular de α2 de 240 rad/s
2
 nas 
direções indicadas. Determine a aceleração AB do ponto B, a aceleração Ac do ponto C, a aceleração 
angular α3 da peça 3, a aceleração angular α4 da peça 4. 
 
Dados: O2A =102; R =203; AB =203; O2X =203; AC =102; CB =152 mm. 
 
Solução: 
a) Polígonos de velocidades 
 
Realizando alguns cálculos iniciais e escrevendo as equações vetoriais das velocidades 
relativas no ponto B: 
cm/s;306AO=V 22A . 














cm/s230V
cm/s366V
ABV
AOV
BOV
VV=V
BA
B
BA
2A
4B
BAAB
polígononomedindo
onde ;
 
 
 
 
Figura 5.6 – Mecanismo de retorno rápido (quatro barras com guia). 
 
 
55 
 
Medindo no polígono e calculando então as velocidades angulares: 
 
srad
BO
V
srad
AB
V BBA /03,18
3,20
366
;/33,11
3,20
230
4
 43  
 
 
Em seguida, encontram-se as velocidades relativas ao ponto C: 
 






















cm/s175V
cm/s113V
cm/s226V
CBV
BOV
V
VV=V
CAV
AOV
V
VV=V
CB
CA
C
CB
4B
C
CBBC
CA
2A
C
CAAC
medindoonde
onde?
;
?
;
 
 
Solução: b) Polígonos de acelerações (determinação de AB) 
 
Realizando alguns cálculos preliminares e escrevendo as equações das acelerações relativas: 
 
 
t
BA
n
BA
t
A
n
A
t
B
n
BBAAB A+A+A+A=A+AA+A=A  
 
onde: 
;;.;//,
;;.;//,
;;.;//,
3
2
2222
2
2
4444
4
2
ABAA
AA
AA
t
BA
n
BA
t
A
n
A
t
B
n
B



ABBA
AB
V
AOAOAO
AO
V
BOBOBO
BO
V
BA
A
B



 
 
Calculando com os valores já obtidos do polígono de velocidades, 
 
 
 
56 
 
ABAonde?,=A
cm/s2
20,3
230
BA
V
=A
cm/s2448=10,2240.=A.Oα=A
cm/s9180
10,2
306
AO
V
=A
BOAonde?,=A
cm/s6598
20,3
366
BO
V
=A
t
BA
t
BA
2
22
BAn
BA
2
22
t
A
2
2
2
2
An
A
4
t
B
t
B
2
2
4
2
Bn
B





;
605
;
 
 
Medindo no polígono, acima, tem-se: 
 
2
4
t
B
4
2
t
BA
3
2t
BA
2t
B
2
B
rad/s122=
20,3
2470
=
BO
A
=α
rad/s635=
20,3
12900
=
BA
A
=α
cm/s12900=Acm/s2470=Acm/s7040=A ;;
 
 
Solução: 
 
c) Polígonos de acelerações (determinação de AC) 
 
Realizando alguns cálculos iniciais e escrevendo as equações das acelerações relativas: 
 
t
CA
n
CA
t
A
n
A
t
C
n
CCAAC A+AA+AA+AA+A=A  
 
t
CB
n
CB
t
B
n
B
t
C
n
CCBBC A+AA+AA+AA+A=A  
 
 
 
 
57 
C;
;
;
?
BAonde?;=A
//CBAcm/s2014
15,2
175
BC
V
=A
ACA?;=A
//CAAcm/s1252
10,2
113
CA
V
=A
A
t
CB
t
CB
n
CB
2
22
CBn
CB
t
CA
t
CA
n
CA
2
22
CAn
CA
C





onde 
 
Medindo no polígono acima, tem-se: 2
C cm/s10400=A . Outros resultados obtidos para 
outros ângulos são listados na Tabela abaixo. 
 
Tabela de resultados (Método dos polígonos – velocidades e acelerações) 
 
θ2 ( º ) VB (cm/s) VC (cm/s) ω3 (rad/s) ω4 (rad/s) AB (cm/s
2
) AC (cm/s
2
) α3 (rad/s
2
) α 4 (rad/s
2
) 
30 237 126 18,3 11,7 16750 12200 152,7 820,2 
35 272 122 17,8 13,4 15600 12600 32,0 746,3 
40 310 130 17,6 14,8 14200 13000 105,0 660,0 
45 330 150 16,7 16,5 12200 12600 253,0 537,0 
50 354 174 15,4 17,2 10200 12200 408,8 399,0 
55 360 198 13,3 17,7 8100 11200 527,0 248,8 
60 366 226 11,3 18,0 7040 10400 635,0 122,0 
 
 
5.3.2 Aceleração relativa de partículas de peças separadas - componente de Coriolis 
 
O próximo mecanismo a ser considerado é aquele em que há deslizamento relativo entre 
duas peças, como entre as peças 3 e 4 conforme mostrado na Fig. 5.7 e deseja-se determinar ω4 e 
α4 sendo dadas ω2 e α2. Neste mecanismo os pontos A2 e A3 são os mesmos e o ponto é a 
projeção de A2 e A3 sobre a peça 4. 
A fim de se determinar ω4 e α4, devem ser analisadas a velocidade e a aceleração de dois 
pontos coincidentes A2 e A4 cada um em peças separadas. 
 
 
 
 
58 
 
 
Fig. 5.7 
 
Pode-se escrever a equação da velocidade do ponto A4 como se segue: 
 
2424 AAAA
V+V=V (5.8) 
 
Nesta equação VA2 é conhecido em módulo, sentido e direção e VA4 e VA4A2 são 
conhecidos em direção. Pode-se traçar o polígono de velocidades facilmente e determinar VA4 
do qual pode-se calcular ω4. 
As acelerações dos pontos A4 e A2 podem ser determinadas a partir das seguintes equações: 
 
42422424 AAAAAAAA A+A=AA+A=A ou (5.9) 
 
que podem ser desenvolvidas em 
 
A4A22
t
A4A2
n
A4A2
t
A2
n
A2
t
A4
n
A4 V×2ω+A+A+A+A=A+A (5.10) 
 
A2A44
t
A2A4
n
A2A4
t
A4
n
A4
t
A2
n
A2 V×2ω+A+A+A+A=A+A (5.11) 
 
onde, entre as Eqs. (5.9), (5.10) e (5.11), fez-se a seguinte substituição: 
 
A2A44
t
A2A4
n
A2A4A2A4
A4A22
t
A4A2
n
A4A2A4A2
V×2ω+A+A=A
V×2ω+A+A=A
 (5.12) 
 
 Para se determinar a aceleração relativa entre dois pontos coincidentes em movimento, 
necessita-se adicionar um terceiro componente conforme indicado. Este componente é conhecido 
por componente de Coriolis o qual será deduzido adiante, usando-se cálculo vetorial. Também 
como os pontos A4 e A2 são coincidentes, os termos t
A2A4
n
A2A4 A A e não representam os 
componentes usuais normal e tangencial de dois pontos de um mesmo corpo rígido como 
previamente considerado. Por esta razão o módulo de n
A2A4A é obtido através da relação: 
 
R
V AA
2
42n
A2A4A (5.13) 
 
onde R é o raio de curvatura da trajetória do ponto A2 em relação ao ponto A4. Este componente é 
dirigido dos pontos coincidentes para o centro de curvatura, ao longo do raio de curvatura. O 
componente tangencial t
A2A4A é conhecido em direção e é tangente à trajetória de A2 em relação a 
 
 
59 
A4 nos pontos coincidentes. Calcula-se facilmente a intensidade do componente da aceleração de 
Coriolis A2A44 V×2ω porque ω4 já é conhecida e pode-se determinar VA2A4 do polígono de 
velocidade. A direção deste componente é normal à trajetória de A2 relativa a A4 e o seu sentido 
é o mesmo de VA2A4 girado de 90° em torno de sua origem, no mesmo sentido de ω4. 
Com a Eq. (5.13) escrita nesta forma, e considerando o mecanismo da Fig. 5.7 pode-se 
concluir facilmente que n
A2A4A é zero porque a trajetória de A2 em relação a A4 é uma linha reta e 
R é infinito. Pode-se traçar agora o polígono de aceleração e determinar t
A4
A e através deste, 
calcular α4. 
Consideremos a seguir o caso onde a peça-guia 4 da Fig. 5.7 tenha sido substituída por 
uma peça-guia curva de forma circular conforme mostrado na Fig. 5.8. Neste mecanismo a 
trajetória de A2 relativa a A4 é um arco de circunferência de raio e centro de curvatura 
conhecida R. A intensidade de n
A2A4A não é zero portanto, e o vetor que representa este 
componente estará dirigido do ponto A para o centro de curvatura C. 
 
 
 
Fig. 5.8 
 
 
O componente de Coriolis está sempre na mesma direção de n
A2A4A caso exista, mas o 
seu sentido pode ou não ser o mesmo. Considerando o termo A2A44 V×2ω para o mecanismo da 
Fig. 5.9, pode-se determinar a direção e o sentido do componente de Coriolis. Trace o vetor que 
representa a velocidade relativa VA2A4 com direção e sentido corretos. Gire este vetor de 90°, em 
torno de sua origem, no mesmo sentido de ω4. Isto dará a direção e o sentido do componente da 
aceleração de Coriolis conforme mostrado na Fig. 5.9. Como se pode ver, os termos n
A2A4
A e 
A2A44 V×2ω têm o mesmo sentido neste caso e se somarão. Obviamente, este método de 
determinação da direção e sentido do componente de Coriolis se aplica mesmo se n
A2A4
A for zero. 
 
Exemplo_08: Mecanismo de retorno rápido (Método do polígono de acelerações) 
 
No mecanismo de plaina limadora, mostrado na Fig. 5.10 a peça 2 gira a uma 
velocidade angular constante, ω2=10 rad/s. Determine a aceleração AA4 do ponto A4 da peça 4 e a 
aceleração angular α4 para a fase mostrada na figura. 
 
Dados: O2O4 = 300; O2A = 100; AO4 = 250 mm. 
 
Solução: As equações de velocidade e aceleração são as seguintes: 
 
 I. A4A2A2A4 V+V=V 
 
onde: 
Fig. 5.9 
 
 
60 
 
22A222A2 AOcm/s100=VAO=V  ; 
 
(SAH)rad/s1,3
25
32,5
AO
V
ω
cm/s95V
cm/s32,5V
AO//V
AO100cm/sV
AOV
VV=V
44
A4
4
A4A2
A4
44A4A2
2A2
44A4
A4A2A2A4























 
 
 
 
Fig. 5.10 – Mecanismo de retorno rápido (plaina). 
 
Ampliando mais, temos o polígono das velocidades: 
 
 
 
 
61 
 
II. A4A2A2A4 A+A=A 
 
III. A2A4A4A A+A=A 2 
 
A2A44
t
A2A4
n
A2A4
t
A4
n
A4
t
A2
n
A2 V2ωA+A+A+A=A+A  
 
onde: 
 
 
 
 
 
   
 A2A44
t
A2A4
t
A2A4
A2A4A2A44
2
A2A44
2
A2A4n
A2A4
n
A4
t
A4
t
A4
44
n
A4
2
2
44
2
A4n
A4
2
t
A2
22
n
A2
2
2
22
2
A2n
A2
V2ωA?;=A
VV2ω247cm/s951,32V2ω
R0;
R
V
=A
AA=A
O//AA42,2cm/s
25
32,5
AO
V
=A
0α0;=A
O//AA1000cm/s
10
100
AO
V
=A







;
?;
;
;
 
 
 
Medindo no polígono, 
 
2
4
t
A4
4
2t
A4
2
A4
47,4rad/s=25
1185
=
BO
A
=α
1185cm/s=A1188cm/s=A e
 
 
 
 
62 
 
 
Ampliando mais, temos o polígono das acelerações: 
 
 
 
Detalhes da Solução 
 
A peça 4 é uma peça-guia que obriga os pontos A2 e A3 a seguirem uma trajetória retilínea 
sobre a guia. Para este exemplo, escolhem-se A2 e A4 e a guia retilínea é a trajetória relativa de A2 
sobre a peça 4. Assim, envolve-se os vetores VA2A4 e 
A2A4A e pode-se determinar facilmente o 
componente n
A2A4A de 
A2A4A , porque R=∞. 
O polígono de velocidades mostra a determinação de VA4 e VA4A2 a partir da Eq. (I). 
Mostra-se também o cálculo de ω4. 
 
 
63 
A Eq. (II) expressa A4 em função de AA2 e AA4A2 . Entretanto, como a trajetória do ponto A4 
em relação ao ponto A2 não é determinada facilmente, reescreve-se esta na forma da Eq. (III) de 
modo a usar o componente AA2A4 conforme mencionado anteriormente. 
Todos os componentes da Eq. (III) são conhecidos, conforme está indicado, em 
intensidade, sentido e direção ou em direção. Na construção do polígono de aceleração 
iniciando pelo lado da esquerda da Eq. (III), traça-se primeiro o vetor n
A4A e a seguir a direção de 
t
A4A . Considere agora o membro da direita da Eq. (III) e trace o vetor AA2. A seguir, desenhe o 
vetor A2A44 V×2ω de modo que sua extremidade encontre a extremidade do vetor AA2. Trace 
t
A2A4A na perpendicular ao componente de Coriolis até cruzar com a direção do vetor que 
representa t
A4A ; isto completa o polígono. Marcam-se os sentidos dos vetores t
A4A e t
A2A4A de modo 
que a soma dos vetores do polígono concorde com a soma dos termos da Eq. (III). Finalmente, 
pode-se determinar a intensidade e o sentido de α4, usando-se t
A4A , conforme está indicado. 
Lembrando-se que a componente de Coriolis do mecanismo está indicada no polígono. 
 
 
5.4 Formulação Geral das Equações Vetoriais 
 
5.4.1 Sistema de referência e equações vetoriais de posição 
 
Na Fig. (5.11) o movimento do ponto P é conhecido em relação ao sistema móvel de 
coordenadas xyz, o qual por sua vez move-se em relação ao sistema fixo ou de referência XYZ. 
 
 
 
Fig. 5.11 - Sistemas de referencias e vetores no plano. 
 
A posição do ponto P em relação ao sistema XYZ pode ser determinada por 
 
R+R=R 0P (5.14) 
 
Se os vetores unitários i, j e k são fixos aos eixos x, y e z, respectivamente, o vetor R fica 
 
 kjiR zy+x=  (5.15) 
 
5.4.2 Equações vetoriais de velocidade 
 
A velocidade do ponto P relativa ao sistema XYZ pode ser obtida diferenciado a Eq. (5.14), 
em relação ao tempo, para dar 
 
R+R=R=V 0PP
 (5.16) 
 
 
64 
 
Diferenciando-se a Eq. (5.15) em relação ao tempo, vem 
 
)zy+(x+)zy+x(= kjikjiR   (5.17) 
 
O termo k)ji( zyx   é a velocidade do ponto P em relação ao sistema móvel de 
coordenadas. Por conveniência seja 
 
Vkji =)z+y+x(  (5.18) 
 
Considerando os termos no segundo parêntesis da Eq. (5.17), pode-se demonstrar que a 
velocidade da extremidade do vetor r, que passa por um ponto fixo e gira em torno desse ponto com 
uma velocidade angular ω é r×ω=V . Também as velocidades das extremidades dos vetores 
unitários i, j, k podem ser expressos por 
 
i×ω=i 
j×ω=j 
k×ω=k 
 
onde ω é a velocidade angular do sistema móvel de coordenadas xyz em relação ao sistema fixo 
XYZ. Fazendo as substituições, este segundo termo da Eq. (5.17) fica 
 
k)+j+i(×ω=k)×z(ω+j)×y(ω+i)×x(ω=k+j+i zyxzyx  
 
e considerando a Eq. (5.15), temos que 
 
R×ω=kj+i  zyx + (5.19) 
 
A equação (5.17) então torna-se 
 
R×ω+V=R (5.20) 
 
A equação (5.16) pode agora ser escrita fazendo V0 = R0 e substituindo R obtido da Eq. (5.20) 
 
R×ω+V+V=V
0P
 (5.21) 
 
onde: V0 = velocidade da origem do sistema xyz em relação ao sistema XYZ. 
V = velocidade do ponto P em relação ao sistema xyz. 
ω = velocidade angular do sistema xyz em relação ao sistema XYZ. 
R = distância da origem do sistema xyz ao ponto P. 
 
5.4. 3 Equações vetoriais de aceleração 
 
A aceleração do ponto P em relação ao sistema XYZ agora pode ser determinada 
diferenciando-se a Eq. (5.21) 
 
R×ω+R×ω+V+V=V=A
0PP
 (5.22) 
 
 
65 
 
Obtém-se V diferenciando a Eq. (5.18) 
 
)kj+i(+k)+j+i(=V  zyxzyx  (5.23) 
 
O termo k)+j+i( zyx  é a aceleração do ponto P em relação ao sistema móvel de 
coordenadas xyz. Assim, 
 
A=k)+j+i( zyx  (5.24) 
 
Considerando os termos do segundo parêntesis da Eq. (5.23), 
 
k)j+i(×ω=k)×(ωz+j)×(ωy+i)×(ωx=kj+i zyxzyx   
 
e da Eq. (5.18) 
 
V=k)+j+i( zyx  
 
Portanto, 
 
V×ω=k+j+i  zyx (5.25) 
 
A equação (5.23) torna-se então 
 
V×ω+A=V (5.26) 
 
Também da Eq. (5.20) 
 
R)×(ω×ω+V×ω=R×ω  (5.27) 
 
Substituindo V da Eq. (5.26) e Rω  da Eq. (5.27) na Eq. (5.22) e fazendo 00 VA  , a 
equação da aceleração do ponto P em relação ao sistema XYZ torna-se 
 
R)×(ω×ω+R×ω+V×ω+A+A=A
0P
2 (5.28) 
 
onde: V2ω = componente de Coriolis da aceleração; 
 A0 = aceleração da origem do sistema xyz em relação ao sistema XYZ; 
 A = aceleração do ponto P em relação ao sistema xyz; 
 ω = velocidade angular do sistema xyz em relação ao sistema XYZ; 
 V = velocidade do ponto P em relação ao sistema xyz; 
 R = distância da origem do sistema xyz ao ponto P. 
 
Exemplo_09: Mecanismo de 4 barras com guia (Método do Cálculo Vetorial) 
 
Consideremos o mecanismo mostrado na Fig. 5.6, repetida abaixo. A velocidade e a 
aceleração do ponto A, são conhecidas e deve-se determinar as velocidades e a acelerações dos 
pontos B e C. Consideremos o ponto O2 como origem do sistema de coordenadas XYZ e o 
ponto A como origem do sistema xyz. 
 
 
66 
Dados: 
O2A=0,102 m 
AB=0,203 m 
AC=0,102 m 
BC=0,152 m 
ω2 =30 rad/s 
α2=240 rad/s
2
 
 
 
 
Fig.5.12 – Mecanismo de retorno rápido (quatro barras com guia). 
 
2n
2t
A
m/s91,80A
m/s24,48=A
m/s3,06=V
A
A
==
=
=
AO
V
AO×α
AO×ω
2
A
22
22
2
 
 
Equações vetoriais: 
 
R×ωVV=V
OB
++ (I) 
( )R×ω×ω+R×ω+V×2ω+A+A=A
OB
 (II) 
 
i) Na forma de componentes vetoriais para velocidades, Eq. (I): 
?=
 
 
R×ω
R×ω
0=V
V=V
Ao
AB)=Rω=(ω dodesconheci módulo AB
xy sistemano constante vetor um é R porque
;3
 
 
 
67 
 
    
    
jR)(ω
j0,266-i3,047=j0,087V-iVV
j0,559V+iVV
.3
AAA
BBB
= R×ω
0,996=j5°sen-i5°cos=
0,829=j34°sen+i34°cos=





A
B
V
V
 
 
Substituindo as componentes na Eq. (I), obtém-se: 
 
jR)(ω+j0,266-i3,047=j0,559V+iV .3BB0,829

 (Ia) 
 
Separando-se as componentes, nas direções i e j: 
 
3,67m/s=V3,047= B0,829 BV 
 
(SAH)rad/s18,07=
0,203
3,67
==ω
(SAH) rad/s11,41=
0,203
2,317
=0,203ω+-0,266=3,670,559
4
3.3
BO
V
4
B

 
 
ii) Analisando a Eq. das Acelerações (II): 
 
 
A para B de sentido
dodesconheci módulo AB
0 = V porque
0V cte;R porque
 i.Rω= -R)×(ω×ω
j.Rω=R×ω
= R×ω
0 =V×2ω
0=A
R)×(ω×ω+R×ω+V×2ω+A+A=A
2
 .Rα 
 
3
0B







 
 
AO
O
V
 AOAO×α
BO
O
V
BOBO×α
2
A
2
2
A
222
4
B
4
2
B
444
//m/s91,80 ==A
 2m/s 24,48==A
//m/s66,35 ==A
? =A
2n
A
2n
B
t
B
t
A


 
 
Resolvendo em termos de componentes a Eq. (II): 
 
 
 
68 
    
    
    
    
  n
BA
2
3
t
BA
t
A
n
A
n
B
t
B
Ai-26,428i-R×ω×ω
A=)j(=R×ω
j2,133+i24,38-=j5°sen+i5°cos-A
j91,45-i8,00=j5°cos-i5°sen-A
j55,00+i37,10=j34°cos+i34°sen-A
j0,559+i0,829=j34°sen+i34°cosA
=
=
=
=
=






 Rω
R
A
A
A
AAA
t
A
n
An
B
t
B
t
B
t
B
.
.
-
-

 
 
 
Substituindo na Eq. (II) em termos de i e j: 
 
 
(SH)rad/s128,98==
(SAH)rad/s638,8=ω=
(j)rad/s638,8=ω 129,68;=R×ωR×ω+2,133+-91,45=0,559+55,00
(i)m/s26,185=
0,829
21,708-
=26,428-24,38--8,00=0,829+37,10-
2
2
2
2
BO
A-
α
α
 Portanto,
A
AA
4
t
B
4
3
t
B
t
B
t
B

 
 -
 
 
Achando por fim, as Acelerações em módulo (AA, AB e ABA): 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 22t
BA
2n
BA
22t
B
2n
B
22t
A
2n
A
m/s132,36=A+A=
m/s71,32=A+A=
m/s95,00=A+A=
BA
B
A
A
A
A
 
 
iii) Determinação de R×ω
'
V=V AC CV (novo x’y’) 
 
 
 
69 
    
    2,26m/s=1,248-+1,884=
= R×ω
0,616=j52°sen-i52°cos=
22
3
A
A
-33,5°=
1,884
1,248-
=θ j1,248-i1,884=j+i
j1,163=j
j2,411-i1,884=V
j0,777+iV
C
CC
3
AAA
V
arctgVV
)R(ω
VVV
×












 
 
iv) Determinação de  R×ω×ω+R×ω+
'
A=A AC  CA 
 
    
    
    
    
    i-13,28iR×ω×ω
j65,15=j)(=R×ω
j19,29+i15,07-=j52°sen+i52°cos-=A
j56,52-i72,34-=j52°cos-i52°sen-=A
j0,833+i0,550=j33,5°cos+i33,5°sen=A
j0,550+i0,833=j33,5°sen-i33,5°cos=A
2
3
t
A
n
A
n
C
t
C









Rω-
R'×α
A
A
AAA
AAA
3
t
A
n
A
n
C
n
C
n
C
t
C
t
C
t
C
 
 
Resolvendo nas direções das componentes i e j: 
 
 
    222
3
m/s104,6=99,53+32,2
99,53=27,92=0,550-32,80-0,833 (j)
m0,158==CO
-32,80-38,531,196
27,92=0,550-0,833(j)
-66,45=0,550+0,363(i)×0,660
(j) 27,92=65,15+19,29+-56,520,550-0,833
(i) -100,6913,28-15,07--72,340,833+0,550





















C
t
C
t
C
n
C
2
C
n
C
n
C
t
C
n
C
t
C
n
C
t
C
n
C
t
C
n
C
A
AA
A
V
AA
AA
AA
AA
AA
 
 
 
 
70