Licoes-de-Matematica-Basica--Sebastiao-Firmo-121

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Lição 16 : Exerćıcios resolvidos
Solução A série dada é a série geométrica associada a progressão geométrica de
primeiro termo : 1 +
1
x
e razão : 1 +
1
x
.
(a) Já vimos que uma tal série converge se, e somente se, sua razão satisfaz a condição:
−1 < 1 +
1
x
< 1 .
Assim, para garantir a convergência, devemos ter:
• 1 +
1
x
< 1 ⇐⇒ 1
x
< 0 ⇐⇒ x < 0 ;
• Além disso, para x ̸= 0 temos:
1 +
1
x
> −1 ⇐⇒ 1
x
> −2 ⇐⇒ x2
x
> −2x2
⇐⇒ 2x2 + x > 0 ⇐⇒ x(2x+ 1) > 0 .
Lembramos que o trinômio do segundo grau x(2x+ 1) é positivo fora do intervalo definido pelas
suas ráızes que são 0 e −1/2. Isto é, x(2x+1) > 0 se, e somente se, x ∈ (−∞ ,−1/2 )∪( 0 ,∞).
Combinando as soluções das duas inequações acima resolvidas, conclúımos:
−1 < 1 +
1
x
< 1 ⇐⇒ x ∈ (−∞ ,−1/2 ).
Assim, a resposta do item (a) é a seguinte:
∞∑
n=1
(
1 +
1
x
)n
converge ⇐⇒ x ∈ (−∞ ,−1/2 ).
(b) No item anterior determinamos o doḿınio de convergência da série. Agora, podemos concluir que:
∞∑
n=1
(
1 +
1
x
)n
=
1 +
1
x
1−
(
1 +
1
x
) =
1 +
1
x
− 1
x
= −(x+ 1) quando x ∈ (−∞ ,−1/2 ).
Assim, no intervalo (−∞ ,−1/2 ) a inequação
∞∑
n=1
(
1 +
1
x
)n
≤ 2x toma a forma − (x+ 1) ≤ 2x .
Donde conclúımos:
−(x+ 1) ≤ 2x ⇐⇒ 2x ≥ −x− 1 ⇐⇒ 3x ≥ −1 ⇐⇒ x ≥ −1/3.
Portanto, as soluções para a inequação proposta são os pontos do intervalo [−1/3 ,−1/2 ) e a solução
da questão está terminada.
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Lição 16 : Exerćıcios resolvidos
16. Admitindo que o limite
1
1 +
2
1 +
2
1 +
2
1 + · · ·
existe, pergunta-se: quanto vale ?
Solução Admitamos então que o limite em questão existe e denotemo-lo por z. Assim, explorando
a periodicidade da expressão, obtemos a seguinte relação
z =
1
1 + 2z
.
Para z ̸= −1/2 temos:
z =
1
1 + 2z
⇐⇒ z(1 + 2z) = 1 ⇐⇒ 2z2 + z − 1 = 0
⇐⇒ z =
−1±
√
1− 4× 2× (−1)
4
=
−1± 3
4
.
Como o limite acima não pode ser negativo, conclúımos que o seu valor é
−1 + 3
4
= 1/2 .
17. Considere a série
∞∑
n=0
(
1 −
1
2x
)n
= 1 +
(
1 −
1
2x
)
+
(
1 −
1
2x
)2
+
(
1 −
1
2x
)3
+
(
1 −
1
2x
)4
+ · · ·
(a) Para quais valores de x essa série converge ?
(b) Resolva a inequação
∞∑
n=0
(
1 −
1
2x
)n
≤ 4x2−1 .
Solução A série dada é a série geométrica associada a progressão geométrica de
primeiro termo : 1 e razão : 1− 1
2x
.
(a) Já vimos que uma tal série converge se, e somente se, sua razão satisfaz a condição:
−1 < 1− 1
2x
< 1 .
Assim, para garantir a convergência, devemos ter:
• 1− 1
2x
< 1 ⇐⇒ − 1
2x
< 0 ⇐⇒ 1
2x
> 0 que é verdadeira para todo x ∈ R.
Consequentemente, essa primeira desigualdade é satisfeita por todos os números reais.
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Lição 16 : Exerćıcios resolvidos
• Além disso, será necessário que:
1− 1
2x
> −1 ⇐⇒ 2 >
1
2x
⇐⇒ 2 > 2−x ⇐⇒ 1 > −x ⇐⇒ x > −1.
Combinando as soluções das duas inequações acima resolvidas, conclúımos:
−1 < 1− 1
2x
< 1 ⇐⇒ x ∈ (−1 ,∞).
Assim, a resposta do item (a) é a seguinte:
∞∑
n=0
(
1− 1
2x
)n
converge ⇐⇒ x ∈ (−1 ,∞).
(b) No item anterior determinamos o intervalo de convergência da série. Agora, podemos concluir que:
∞∑
n=0
(
1− 1
2x
)n
=
1
1−
(
1− 1
2x
) =
1
1
2x
= 2x quando x ∈ (−1 ,∞).
Portanto, no intervalo (−1 ,∞) a inequação
∞∑
n=0
(
1 +
1
x
)n
≤ 4x
2−1 toma a forma 2x ≤ 4x
2−1 .
Donde conclúımos:
2x ≤ 4x
2−1 ⇐⇒ 2x ≤
(
22
)x2−1 ⇐⇒ 2x ≤ 22x
2−2
⇐⇒ x ≤ 2x2 − 2 ⇐⇒ 2x2 − x− 2 ≥ 0 .
Sabemos que o trinômio 2x2 − x− 2 é positivo fora do intervalo das ráızes que, nesse caso, valem:
1±
√
1− 4× 2× (−2)
2× 2
=
1±
√
17
4
.
Isto é,
2x2 − x− 2 ≥ 0 ⇐⇒ x ∈
(
−∞ ,
1−
√
17
4
)
∪
(
1 +
√
17
4
,∞
)
.
Agora, precisamos saber quais desses valores de x estão no intervalo (−1 ,∞). Para isso, observamos:
• Evidentemente,
1 +
√
17
4
> −1 ou seja,
1 +
√
17
4
∈ (−1 ,∞)
• Além disso,
1−
√
17
4
> −1 ⇐⇒ 1−
√
17 > −4 ⇐⇒ 1 + 4 >
√
17 ⇐⇒ 25 > 17
o que mostra que
1−
√
17
4
∈ (−1 ,∞).
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