PROVAS DE MATEMÁTICA - IME - 1990 A 2020 - OBJETIVO

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CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 1 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA 
1989/1990 – ÁLGEBRA 
 
1a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Calcule o determinante da matriz n x n que possui zeros na diagonal principal e 
todos os outros elementos iguais a 1. 
 
2a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Ligando as cidades A e B, existem duas estradas principais. Dez estradas 
secundárias de mão dupla ligam as duas estradas principais, como mostra a figura. 
Quantos caminhos, sem auto interseções, existem de A até B? 
 
Obs.: Caminho sem autointerseções é um caminho que não passa por um ponto 
duas ou mais vezes. 
 
 
 
 
 
 
3a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere a família de retas representada pela equação 
( )2
1
2
p m
y mx
m
 +
= − , onde 
p é uma constante positiva dada e m, um número real variável. 
A) Determine a condição para que num ponto M = (x0, y0) do plano cartesiano 
passem duas retas dessa família. 
B) Determine o lugar geométrico dos pontos M para os quais as retas que por eles 
passem sejam perpendiculares. 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 2 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
4a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere as funções: 
( ) x
f x a= , onde a > 1 
( ) 2g x px= , onde p > 0 
Mostre que uma condição necessária e suficiente para que seus gráficos se 
tangenciem é 
p
ea e= . 
Neste caso, determine, em função de p, a equação da tangente comum. 
 
 
5a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Na elipse de excentricidade 1/2, foco na origem e reta diretriz dada por 3x + 4y = 25, 
determine: 
 
A) Um dos focos da elipse. 
 
B) O outro foco. 
 
C) A equação da outra reta diretriz. 
 
 
6a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere a função 
1
1
( ) lim
n
n
nn
f x x
x→
 
= + 
 
 definida em 0 x   . Calcule o valor de f 
em cada ponto e esboce o seu gráfico. 
 
 
 
7a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Resolva a equação 5
z z= , onde z é o conjugado do número complexo z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 3 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
8a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja f uma função definida nos inteiros positivos satisfazendo: 
i) ( )1 1f = . 
ii) ( ) ( )2 2 1f n f n= + . 
iii) ( )( ) 4 3f f n n= − . 
Calcule ( )1990f . 
 
 
9a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
IMEBOL é um jogo de três jogadores. Em cada partida o vencedor marca a pontos, o 
segundo colocado marca b pontos e o terceiro colocado marca c pontos, onde a > b 
> c são inteiros positivos. Certo dia, Marcos, Flávio e Ralph resolvem jogar IMEBOL 
e após algumas partidas a soma dos pontos foi: Marcos: 20, Flávio: 10, Ralph: 9. 
Sabe-se que Flávio venceu a segunda partida. Encontre quantos pontos cada um 
marcou em cada partida disputada. 
 
 
10a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Para que valores de p a equação x4 + px + 3 = 0 tem raiz dupla? Determine, em 
cada caso, as raízes a equação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 4 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 5 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
 
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA 
1989/1990 – GEOMETRIA 
 
1a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Determine o valor de 
5 7 11
sen
24 24 24 24
p sen sen sen
   
= . 
 
 
2a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja AB um diâmetro de um círculo de centro O e raio R. Sobre o prolongamento 
de AB escolhemos um ponto ( )P PB PA . Partindo de P, tomamos uma secante 
que corta o círculo nos pontos M e ( )N PM PN , de modo que PM AN R= = . 
 
A) Mostre que a corda MB é um lado de um polígono regular inscrito de dezoito 
lados. 
 
B) Encontre uma equação (do 3o grau) que determina a distância de P ao centro do 
círculo em função de R. 
 
 
3a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere uma esfera de raio R. Determine a figura geométrica à qual pertence o 
lugar geométrico dos vértices dos triedros nos quais as três arestas são tangentes a 
essa esfera e formam, duas a duas, ângulos de 60o. 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 6 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
4a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Dois círculos de raios R e r são, ao mesmo tempo, bases de um tronco de cone e 
bases de dois cones opostos de mesmo vértice e mesmo eixo. Seja k a razão entre 
o volume do tronco e a soma dos volumes dos dois cones opostos e seja m a razão 
R
r
. Determine m em função de k. 
 
 
5a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja P um ponto no interior de um triângulo ABC, dividindo-o em seis triângulos, 
quatro dos quais têm áreas 40, 30, 35 e 84, como mostra a figura. Calcule a área do 
triângulo ABC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja um segmento fixo OA de comprimento a e uma semirreta variável Ox tal que 
AÔx = ,  ângulo agudo, pertencente a um plano fixo . Seja a perpendicular ao 
plano  em A e seja B pertencente a esta perpendicular tal que AB = a. Seja C o pé 
da perpendicular traçada de B sobre Ox. Pedidos: 
 
A) Qual a propriedade comum a todas as faces do tetraedro OABC? 
 
B) Calcule o comprimento das seis arestas de OABC em função de a e . 
 
C) Calcule o volume v do tetraedro em função de a e . 
 
D) Determine  de modo que 
3
a 3
v
24
= (existem dois valores). 
 
E) Determine o volume comum aos dois sólidos encontrados no item anterior. 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 7 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
7a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
A) Obtenha a expressão para 3tg  em função de tg x = . 
 
B) Utilize o item anterior para determinar as soluções da equação 
3 2
3 3 0x x x m− − + = , onde m é um número real dado. 
 
 
8a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Os lados de um triângulo estão em progressão aritmética e o lado intermediário mede . 
Sabendo-se que o maior ângulo excede o menor em 90o, calcule a razão entre os 
lados. 
 
 
9a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Prove que as tangentes ao círculo circunscrito a um triângulo, passando nos seus 
vértices, interceptam os lados opostos em três pontos colineares. 
 
 
10a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja um triângulo ABC cujos lados são tangentes a uma parábola. Prove que o 
círculo circunscrito ao triângulo passa pelo foco. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 8 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 9 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA 
1990/1991 – ÁLGEBRA 
 
1a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Determine todas as matrizes X reais, de dimensões 2 2 , tais que AX XA= , para 
toda matriz A real 2 2 . 
 
 
2a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Dado o conjunto  1, 2, 3, ... , 102A = , pede-se o número de subconjuntos de A, com 
três elementos, tais que a soma destes seja um múltiplo de três. 
 
 
3a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
A coleção de selos de Roberto está dividida em três volumes. Dois décimos do total 
de selos estão no primeiro volume, alguns sétimos do total estão no segundo volume 
e 303 selos estão no terceiro volume. Quantos selos Roberto tem? 
 
 
4a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Mostre que o número 3 3
125 125
3 9 3 9
27 27
+ + − − + + é racional. 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 10 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
5a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
A) Sendo dada a equação 3
0x px q+ + = , p, q , que relação deverá existir entre p 
e q para que uma das raízes seja igual ao produto das outras duas? 
 
 
B) Mostre que a equação 3
6 4 0x x− − = satisfaz a relação encontrada e, em seguida, 
encontre suas raízes. 
 
6a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja 2
{( , ) | 0 1 e 0 1}D x y x y=      e 2
:F D → uma função tal que 
( , )x y D  associa 2
( , ) ,x y  onde: 
(1 )
x y
y y x
=

= −
 
A) Sendo ( ) , | 0, 0, 1T xy x y x y=   +  , mostre que F é uma bijeção de D sobre 
T. 
 
B) Esboce a imagem dos conjuntos da forma {( , ) | }x y D y x =   para os seguintes 
valores de 0 1 2
1 1
: ; ; 1
4 2
  =  =  = . 
 
7a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Mostre que 
( )2 1
sen
1 2cos cos 2 ... cos
2
2sen
2
n x
x x nx
x
+
+ + + + = . 
 
8a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Dada a função racional 
3 2
2
( )
x ax bx c
f x
mx nx p
+ + +
=
+ +
 e sabendo que a, b, c, m, n, p  e 
que: 
i) ( )2 0f = . 
ii) Para 1x = − tem-se uma indeterminação do tipo 
0
0
. 
iii) 
1
lim ( ) 6
x
f x
→−
= − . 
iv) 1x = é raiz do polinômio 2
mx nx p+ + . 
v) 
1
(3)
(4)
f
f
= . 
Determine os coeficientes a, b, c, m, n e p. 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 11 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
9a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Determine o quadrado OABC cujos vértices são a origem e os pontos A(1, 1), B(0, 2) 
e C(-1, 1). Seja F(0, 1) o centro desse quadrado e P a parábola de foco F e cuja 
diretriz é o eixo das abscissas. Pede-se: 
 
A) Mostre que P passa por A e C. 
 
B) Determine a equação dessa parábola. 
 
C) Calcule as coordenadas do ponto D, segundo ponto de interseção da reta BC 
com P. 
 
D) Seja M um ponto qualquer de P cuja abscissa é x. Mostre que a potência de M 
em relação ao círculo (c) de diâmetro CD é ( ) ( )
31
1 3
4
x x+  − . 
 
E) A partir do resultado anterior, encontre o conjunto dos pontos de P interiores a (c). 
 
 
10a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
A) A partir do estudo da variação do sinal das funções ( ) ( )1f x n x x= + − e 
( ) ( )
2
1
2
x
g x n x x= + − + , deduza a relação 
2
(1 )
2
x
x n x x−  +  ,  0,x  +  . 
 
B) Sendo n
+
 , seja 
2 2 2
1 2 1
( ) 1 1 ... 1
n
P n
n n n
−     
= +  +   +     
     
. 
Mostre que se n →  , ( )P n admite um limite e calcule esse limite. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 12 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 13 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA 
1990/1991 – GEOMETRIA 
 
1a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Sejam um círculo, com centro O e raio R, e um ponto P tal que OP = 3R. 
A) Determine o diâmetro MN de modo que o triângulo PMN seja retângulo com 
ângulo reto em M. 
 
B) Calcule, em função de R, os lados e a área do triângulo PMN. 
 
C) PN intercepta a circunferência em um segundo ponto K. Calcule PK . 
 
D) O diâmetro MN gira em torno de O. Qual o lugar geométrico dos pés das 
perpendiculares traçadas de P sobre MN ? 
 
E) Determine a posição do diâmetro MN para que a área do triângulo PMN seja 
máxima. 
 
 
2a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere um círculo e uma reta que não se interceptam, ambos contidos num 
plano. Determine o lugar geométrico dos centros dos círculos que são tangentes ao 
círculo dado (exteriormente) e à reta dada. 
 
 
3a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Sejam dois quadrados ABCD e ABEF, tendo um lado comum AB, mas não situados 
num mesmo plano. Sejam M e N pertencentes, respectivamente, às diagonais AC e 
BF tais que 
1
3
AM BN
AC BF
= = . Mostre que MN é paralelo a DE. 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 14 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
4a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Sejam A, B e C os ângulos de um triângulo. Mostre que: 
sen2 sen2 sen2 4sen sen senA B C A B C+ + =   
 
5a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Mostre que se num triângulo ABC vale a relação 
cos( )
sen sen( )
B C
tg B
A C B
−
=
+ −
 então o 
triângulo é retângulo com ângulo reto em A. 
 
6a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja um cone reto de base circular, vértice V, altura h e raio de base r e seja ABC um 
triângulo equilátero circunscrito à base do cone. Pede-se: 
 
A) Determinar a relação entre h e r para que o tetraedro, com vértices VABC, seja 
regular. 
 
B) Satisfeitas essas condições, calcule, em função de r, o volume limitado pela 
superfície do cone, pelo plano de sua base e pelos dois planos tangentes que 
passam pela aresta VA. 
 
7a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Resolver o sistema: 
2 2
6
6
tg x tg y
tg x tg y
tg y tg x
 + =


+ = −

 
sabendo que x e y pertencem ao intervalo ;
2 2
  
− 
 
. 
 
 
8a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja, sobre uma esfera, um círculo máximo (C) com diâmetro AB = 2R. Traçam-se 
uma corda MN do círculo (C), paralela a AB, e duas retas x e y perpendiculares ao 
plano do círculo de diâmetro AB e passando, respectivamente, por M e N. Os planos 
definidos pelo ponto A e a reta x e o definido pelo ponto A e a reta y cortam a esfera 
segundo dois círculos. Mostre que quando MN varia, mantendo-se paralela a AB, a 
soma dos quadrados de seus raios é constante. 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 15 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
9a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Num triângulo ABC traçamos a altura AH e do pé H dessa altura construímos as 
perpendiculares HD e HE sobre os lados AB e AC. Seja P o ponto de interseção DE 
com BC. Construindo as alturas relativas aos vértices B e C determinam-se também, 
de modo análogo, Q e R sobre os lados AC e AB. Demonstre que os pontos P, Q e R 
são colineares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
 
No plano, considere um disco de raio R, chame este conjunto de A0. Divida um raio 
de A0 em três segmentos congruentes e retire de A0 a coroa circular de raios 
1
3
R e 
2
3
R chame este conjunto de A1. O conjunto A1 contém um disco de raio 1
1
3
R R= . 
Divida um raio deste disco em três segmentos e, mais uma vez, retire de A1 a coroa 
circular de raios 1
1
3
R e 1
2
3
R , chame este conjunto de A2. Continue este processo 
indefinidamente e seja A o conjunto resultante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) Calcule a área do conjunto An obtido após a n-ésima etapa do processo descrito 
acima. 
 
B) Calcule a área do conjunto resultante A. 
 
 
 
 
 
 
 
A1 A2 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 16 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 17 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA 
1991/1992 
 
1a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Prove que 
1 2 1 2
Z Z Z Z ,+ = + onde Z1 e 2
Z  . 
 
2a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Encontre todas as soluções de sec 2 cos 1x x− = em  0, 2 . 
 
3a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Dado o quadrilátero ABCD, inscrito num círculo de raio r, conforme a figura abaixo, 
prove que: 
AC AB.AD BC.CD
BD AB.BC CD.AD
+
=
+
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Calcule quantos números naturais de 3 algarismos distintos existem no sistema de 
base 7. 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 18 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
5a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Determine a equação da reta que passa por um dos vértices da curva definida 
por 2 2
4 8 4y y x+ − = , formando um ângulo de 45º com o eixo horizontal. 
 
6a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Dados: 
(1) Um cone de revolução com vértice S e cuja base circular está situada num plano 
. 
(2) Um ponto P exterior ao cone e não pertencente a . 
Pede-se: determinar, pelo ponto P, os planos tangentes ao cone. 
 
 
7a QUESTÃO Valor: 1,0 
A partir da função ( ) ( )
At At BtA
R t e e e
B A
− − −
= +  −
−
, onde t é a variável (tempo) e A e 
B são constantes reais, encontre a expressão de R(t), para o caso em que A tende a 
B de modo que ( )R t seja uma função contínua. 
 
8a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja  : 0 ,f  → uma função contínua tal que: 
(1) ( )0 0f = . 
(2) ( )
( )
2
2
2
1
'
1
x
f x
x
−
=
+
,  0,x   . 
(3) ( )lim 0
x
f x
→
= 
 
Pedem-se: 
 
A) Os intervalos onde f é crescente (respectivamente, decrescente). 
 
B) Os intervalos onde o gráfico de f é côncavo para cima (respectivamente, para 
baixo). 
 
C) Onde ocorrem os pontos de máximo e mínimo absolutos e de inflexão?Defina :g → por: 
( )
( )
( )
, 0
, 0
f x x
g x
f x x
 
= 
− 
 
Esboce o gráfico de g. 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 19 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
9a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Calcule o valor do determinante abaixo: 
...
...
...
...
n
m x m m m m
m m x m m m
m m m x m m
D
m m m m x m
m m m m m x
+
+
+
=
+
+
 
 
 
10a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Sejam  0
0, 1E = e 1 2 0 0
, :f f E E→ funções definidas por ( )1
1
f x x
3
= e 
( )2
1 2
f x x
3 3
= + . Se ( )0
P E é o conjunto das partes de 
0
E , seja 
( ) ( )0 0
:F P E P E→ a função definida por ( ) ( ) ( )1 2
F A f A f A=  , onde ( )i
f A é a 
imagem de A por 
i
f , 1, 2i = . Agora, para cada 1n  definimos ( )1n n
E F E
−
= . 
 
A) Esboce graficamente E0, E1, E2 e E3. Mostre que 1n n
E E
−
 . 
 
B) Calcule 
n
n
lim| E |,
→
 onde |En| é a soma dos comprimentos dos intervalos que 
formam En. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 20 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 21 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA 
1992/1993 
 
1a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere a função ( ) 3 2
f x x ax bx c= + + + , onde a, b e c são inteiros positivos. 
Sabendo-se que uma das raízes dessa função é igual a 2i, calcular os menores 
valores de a, b e c para que exista um ponto máximo e um ponto mínimo de reais. 
 
 
2a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Numa escola há 15 comissões, todas com igual número de alunos. Cada aluno 
pertence a duas comissões e cada duas comissões possui exatamente um membro 
em comum. Todos os alunos participam. 
A) Quantos alunos tem a escola? 
B) Quantos alunos participam de cada comissão? 
 
 
3a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Prove, por indução, que: 
( ) 0 1 1
...
n n n n n
n n n
a b C a C a b C b
−
+ = + + + , para n  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 22 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
4a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Indique se é verdadeiro (V) ou falso (F) o que se segue e justifique sua resposta. 
A) O conjunto dos números reais não tem pontos extremos reais. 
B) Existe um número em  (racionais) cujo quadrado é 2. 
C) O ponto correspondente a 
66
77
 na escala dos números reais  está situado entre 
os pontos 
55
66
 e 
77
.
88
 
 
5a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Determine os valores de x para que: 
2
x 2 4 6
x x 2 0 10
0
x 0 4x 4
x 4 10 x 2
+
=
−
 
 
6a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Faça o que se pede: 
A) Calcule o argumento do seguinte número complexo ( )1i i+ . 
B) Escreva sob forma trigonométrica o número complexo Z 1 i 3.= + 
 
7a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere uma função :L
+
→ que satisfaz: 
1. L é crescente, isto é, para quaisquer 0 x y  tem-se ( ) ( )L x L y . 
2. ( ) ( ) ( ),L x y L x L y= + para quaisquer , 0x y  . 
Mostre que: 
A) ( )1 0L = . 
B) ( )
1
L L x
x
 
= − 
 
 para todo 0x  . 
C) ( ) ( )
x
L L x L y
y
 
= − 
 
 para quaisquer , 0x y  . 
D) ( ) ( )n
L x n L x=  para todo 0x  e natural n. 
E) ( ) ( )
1nL x L x
n
=  para todo 0x  e natural n. 
F) ( ) ( )0L x L y  sempre que 0 1x y   . 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 23 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
8a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Demonstrar analiticamente que se uma reta, perpendicular a uma corda de uma 
circunferência, passa pelo seu centro, então ela divide a corda no seu ponto médio. 
 
 
9a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Provar que a soma das distâncias de um ponto qualquer interior a um triângulo 
equilátero aos lados é constante. 
 
 
10a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Resolva a equação: 
sen cos sen 2 cos 2 1x x x x− = − − 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 24 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 25 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA 
1993/1994 
 
1a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Determine o termo independente de x de 
10
1
x .
x
 
− 
 
 
 
 
2a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja :f → uma função quadrática tal que ( ) 2
f x ax bx c= + + , 0a  , x .  
Sabendo que 1
1x = − e 2
5x = são raízes e que ( )1 8f = − , pede-se: 
A) Determinar a, b, c. 
 
B) Calcular ( )0f . 
 
C) Verificar se ( )f x apresenta máximo ou mínimo, justificando a resposta. 
 
D) As coordenadas do ponto extremo. 
 
E) O esboço do gráfico. 
 
 
3a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja um octógono convexo. Suponha que quando todas as suas diagonais são 
traçadas, não há mais de duas diagonais se interceptando no mesmo ponto. 
Quantos pontos de interseção (de diagonais) existem neste octógono? 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 26 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
4a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere os números complexos z x y i= +  e w y x i= −  , cujos módulos são tais 
que 
3
| |
| |
w
xz e

= e 
1
| |.
| |
z
yw e= , onde e é base dos logaritmos neperianos. Obter a forma 
polar de 2
z 
 
 
5a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Um aluno, ao inverter a matriz 
1
0
4
ij
a b
A c d a
e f
 
   = =   
  
, 1 , 3i j  , cometeu um 
engano, e considerou o elemento 13
a igual a 3, de forma que acabou invertendo a 
matriz 
1
0
3
ij
a b
B c d b
e f
 
   = =   
  
. 
Com esse engano o aluno encontrou 1
5 / 2 0 1 / 2
3 1 1
5 / 2 0 1 / 2
B
−
− 
 
= −
 
 − 
. Determinar A–1. 
Obs.: O elemento (3,1) de 1
B
− deve ser 
3
2
− . 
 
 
6a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja 
2
x
y
2
= uma parábola com foco F e diretriz d. Uma reta, cujo coeficiente 
angular é 0m  , passa por F e corta a parábola em dois pontos M1 e M2, 
respectivamente. Seja G o conjugado harmônico de F em relação a M1 e M2. Pedem-
se: 
 
A) As coordenadas de G em função de m. 
B) O lugar geométrico do ponto G quando m varia. 
 
 
7a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Sabendo que ˆ ˆA, B e Ĉ são os ângulos internos de um triângulo, escreva as 
restrições que devem ser satisfeitas por este triângulo para que se verifique a 
igualdade abaixo. 
ˆ ˆˆ
ˆ ˆˆsen sen sen 4 cos · cos · cos
2 2 2
A B C
A B C+ + = 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 27 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
8a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja ABCD um quadrilátero convexo inscrito num círculo e seja I o ponto de 
interseção de suas diagonais. As projeções ortogonais de I sobre os lados AB, BC, 
CD e DA são, respectivamente, M, N, P e Q. Prove que o quadrilátero MNPQ é 
circunscritível a um círculo com centro em I. 
 
 
9a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja C um semicírculo com centro O e diâmetro 2PQ r= . Sobre o segmento OP, 
toma-se um ponto N tal que ON x= , 0 x r  . Por N traça-se uma reta perpendicular 
a PQ que encontre o semicírculo em M. A reta tangente ao semicírculo em M corta a 
reta PQ em um ponto T: 
 
A) Calcule, em função de r e x, o volume V1 gerado pela rotação do triângulo MPQ 
em torno de PQ. 
 
B) Calcule, em função de r e x, o volume V2 gerado pela rotação do triângulo MPT 
em torno de PQ. 
 
C) Considerando a razão 2
1
V
y
V
= , quando x varia no intervalo  0, r , faça o esboço 
do respectivo gráfico. 
 
 
10a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Na exploração de uma mina foi feito o corte indicado na figura abaixo. Para calcular 
o volume do minério extraído do corte, foram medidos: 10 3CD dm= . CD é 
perpendicular ao plano ABC, ˆ ˆ 60ºADC ADB= = e ˆ 30ºBDC = . 
Calcule este volume. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 28 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 29 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA 
1994/1995 
 
1a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Determine a condição que o inteiro m deve satisfazerpara que exista termo 
independente de x no desenvolvimento de 4
8
1
m
x
x
 
− 
 
. 
 
2a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja ABC um triângulo qualquer no qual os vértices B e C são fixos. Determine o 
lugar geométrico descrito pelo ponto A, variável, sabendo que os ângulos B e C 
satisfazem a relação tg B tg C k = , k constante real. Discuta a solução para os 
diversos valores de k. 
 
Obs.: Considere como eixos coordenados as retas BC e a mediatriz do segmento 
BC. 
 
3a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Dado 
1
7 24
Z
i
=
+
, calcule as partes real e imaginária de Z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 30 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
4a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Sabendo-se que a função h(x) possui a seguinte propriedade ( ) ( )
d
h x h x
dx
= − , 
pedem-se: 
 
A) A solução da equação: ( ) ( ) ( )t f t x h x h x 1 =  + + 
B) Os valores de c e h(x), de tal forma que: ( )
c
0
2 e
t f t
e
−
 = . 
 
 
5a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Resolva a equação trigonométrica: 
sen cos 2 2sen cos 0x x x x+ + = 
 
 
6a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Use o teorema do valor médio para derivadas e prove que a equação: 
( ) ( ) ( )
5 3
1 3 1 2 1 2 0n x n x n x+ + + + + − = 
tem uma única raiz real no intervalo ( )0, 1 . 
Obs.: A notação ln significa logaritmo neperiano. 
 
7a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Três círculos de raio R se interceptam dois a dois, como é mostrado na figura abaixo, 
constituindo três áreas comuns que formam um trevo. Determine o perímetro do 
trevo e sua área em função de R e da área S do triângulo IJK. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 31 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
8a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja ABC um triângulo qualquer. Por B’ e C’ pontos médios dos lados AB e AC, 
respectivamente, traçam-se duas retas que se cortam em um ponto M, situado sobre 
o lado BC, e que fazem com esse lado ângulos iguais  conforme a figura abaixo. 
Demonstre que: 
( )
1
cotg cotg cotg
2
B C =  + 
 
 
 
 
 
 
 
 
9a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seis esferas idênticas de raio R encontram-se posicionadas no espaço de tal forma 
que cada uma delas seja tangente a quatro esferas. Dessa forma, determine a 
aresta do cubo que tangencie todas as esferas. 
 
 
10a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Prove que o polinômio ( ) 999 888 777 111
... 1P x x x x x= + + + + + é divisível por 
9 8 7
... 1x x x x+ + + + + . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 32 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 33 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA 
1995/1996 
 
1a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considerando log 2 a= e log 3 b= , encontre, em função de a e b, o logaritmo do 
número 5 11, 25 no sistema de base 15. 
 
 
2a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Encontre todas as soluções reais da equação apresentada abaixo, onde n é um 
número natural. 
cos sen 1
n n
x x− = 
 
 
3a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Um triângulo ABC tem base AB fixa sobre uma reta r. O vértice C desloca-se ao 
longo de uma reta s, paralela a r e a uma distância h da mesma. Determine a 
equação da curva descrita pelo ortocentro do triângulo ABC. 
 
 
4a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja f uma função real tal ( ) ( ) ( )
21
, :
2
x a f x a f x f x   + = + −   . f é periódica? 
Justifique. 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 34 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
5a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Calcule a soma abaixo: 
1 1 1 1
...
1 4 4 7 7 10 2998 3001x x x x
+ + + + 
 
 
6a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
É dado um tabuleiro quadrado 4 x 4. Deseja-se atingir o quadrado inferior direito a 
partir do quadrado superior esquerdo. Os movimentos permitidos são os 
representados pelas setas: 
 
 
 
 
 
 
 
De quantas maneiras isto é possível? 
 
 
7a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Sejam 5 (cinco) pontos AOBO’A’, nesta ordem, pertencentes a uma reta 
genérica r tal que AO = OB = 3a; BO’ = O’A’ = 2a, onde a é um comprimento dado. 
Traçam-se os círculos (O), com diâmetro AB, e (O’), com diâmetro BA’. Sejam C e D 
dois pontos quaisquer do círculo (O); as retas BC e BD cortam o círculo (O’) 
respectivamente em C’ e D’. 
A) Calcule 
BC'
.
BC
 
B) Calcule 
C' D'
.
CD
 
C) Seja o ângulo ˆCBD igual a 30o. Calcule, em função de a, a razão entre as áreas 
dos segmentos circulares S, no círculo (O) limitado pela corda CD, e S’, no círculo 
(O’) limitado pela corda C’D’. 
 
 
 
8a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Determine os números naturais n para os quais existem poliedros convexos de n 
arestas. 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 35 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
9a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Sejam 0
1w = , 1
w j= , 2
2
w j= as raízes cúbicas da unidade no plano complexo 
(considere 1
w o número complexo de módulo 1 e argumento 
2
3

). Sabendo-se que 
se c  , a rotação R em torno do ponto c e amplitude igual a 
3

 é dada por 
( ) 2
R z j z jc= − − , { }z c  − pede-se: 
 
A) Determinar as relações existentes entre a, b, c, j, j2, onde a, b  , de modo que o 
triângulo a, b, c seja equilátero. 
 
B) Determinar z para que o triângulo i, z, iz seja equilátero. 
Obs.: Dado: i 1.= − 
 
 
10a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Dados dois trinômios do segundo grau: 
2
y ax bx c= + + (I) 
2
' ' 'y a x b x c= + + (II) 
Considere, sobre o eixo Ox, os pontos A e B cujas abscissas são as raízes do 
trinômio (I) e A’ e B’ os pontos cujas abscissas são as raízes do trinômio (II). 
Determine a relação que deve existir entre os coeficientes a, b, c, a’, b’, c’ de modo 
que A’B’ divida o segmento AB harmonicamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 36 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 37 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA 
1996/1997 
 
1a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Resolva o sistema abaixo: 
y x
x y
y ax
 =

=
, onde 1a  e 0a  . 
 
2a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Determine o termo máximo do desenvolvimento da expressão: 
65
1
1
3
 
+ 
 
 
 
3a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Dados os pontos A e B do plano, determine a equação do lugar geométrico dos 
pontos P do plano, de tal modo que a razão entre as distâncias de P a A e de P a B 
seja dada por uma constante k. Justifique a sua resposta analiticamente, discutindo 
todas as possibilidades para k. 
 
 
 
4a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Em cada uma das 6 (seis) faces de um cubo, construiu-se uma circunferência, onde 
foram marcados n pontos. Considerando que 4 (quatro) pontos não pertencentes à 
mesma face não sejam coplanares, quantas retas e triângulos, não contidos nas 
faces desse cubo, são determinados pelos pontos? 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 38 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
5a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere a função ( ) ( )2
1y f x n x x= = + + onde n denota o logaritmo neperiano. 
Responder aos itens a seguir, justificando sua resposta. 
 
A) Se ( ) ( )2g x n x= , que relação existe entre os gráficos das curvas f e g? 
 
B) Pode-se afirmar que a função definida por ( )
( )f x
H x
2
= é uma primitiva para a 
função ( )
( )
2
f x
T x
x 1
=
+
? 
 
6a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Se tg a e tg b são raízes da equação 2
0x px q+ + = , calcule, em função de p e q, o 
valor simplificado da expressão: ( ) ( ) ( ) ( )2 2
sen sen cos cosy a b p a b a b q a b= + +  + + + + . 
Considere p; q  com q  1. 
 
 
7a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere os números ímpares escritos sucessivamente, como mostra a figura 
abaixo, onde a n-ésima linha compreende n números. Encontre em função de n, 
nesta linha, a soma de todos os números escritos, bem como o primeiroe o último. 
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
21 23 25 27 29
 
 
 
8a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Determine o resto da divisão do polinômio (cos )
n
x sen +  por ( )2
1x + , onde n é um 
número natural. 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 39 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
9a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere uma esfera inscrita e tangente à base de um cone de revolução. Um 
cilindro está circunscrito à esfera de tal forma que uma de suas bases está apoiada 
na base do cone. Seja V1 o volume do cone e V2 o volume do cilindro. Encontre o 
menor valor da constante k para o qual 1 2
V k V=  . 
 
Obs.: Considere o ângulo formado pelo diâmetro da base e a geratriz do cone em 
uma das extremidades deste diâmetro. 
 
 
10a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Em uma parábola (P), com foco F e parâmetro p, considere uma corda MM ' normal 
à parábola em M. Sabendo que o ângulo ˆM' 90ºMF = , calcule os segmentos FM e 
'FM . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 40 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 41 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA 
1997/1998 
 
1a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Determine a solução da equação trigonométrica, 3 cos 1,sen x x x+ =  . 
 
 
2a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Resolva e interprete, geometricamente, o sistema matricial abaixo, em função de  e 
. 
1 2 3 4
5 6 7 8
6 8
x
y
z
− −     
     
− = −
     
           
 
 
3a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Determine os valores de  que satisfaçam a inequação, 2 14
27 ·27 27 0
9
  −
− +  , e 
represente, graficamente, a função 2 14
27 ·27 27
9
x x
y
−
= − + . 
 
4a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Determine os parâmetros , ,  e  da transformação complexa, 
Z
W
Z
 + 
=
 + 
, que 
leva os pontos 0; ; 1Z i= − − para ; 1; 0W i= , respectivamente, bem como Z para 
2W i= − − , onde 1i = − . 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 42 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
5a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere uma elipse e uma hipérbole centradas na origem, O, de um sistema 
cartesiano, com eixo focal coincidente com o eixo OX. Os focos da elipse são 
vértices da hipérbole e os focos da hipérbole são vértices da elipse. Dados os eixos 
da elipse como 10 cm e 
20
3
 cm, determine as equações das parábolas, que passam 
pelas interseções da elipse e da hipérbole e são tangentes ao eixo OY na origem. 
 
 
 
6a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Uma embarcação deve ser tripulada por oito homens, dois dos quais só remam do 
lado direito e apenas um, do lado esquerdo. Determine de quantos modos esta 
tripulação pode ser formada, se de cada lado deve haver quatro homens. 
 
 
Obs.: A ordem dos homens de cada lado distingue a tripulação. 
 
 
7a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Determine ,  e  de modo que o polinômio, 1
1x x
+ 
  +   + , racional inteiro em x, 
seja divisível por ( )
2
1x − e que o valor numérico do quociente seja igual a 120 para 
1x = . 
 
 
8a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Uma soma finita de números inteiros consecutivos, ímpares, positivos ou negativos, 
é igual a 73. Determine os termos desta soma. 
 
 
 
9a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere o cubo de faces ABCD e EFGH, e arestas AE, BF , CG e DH . Sejam as 
arestas iguais a 3 m e os pontos M, N e P marcados de forma que: 
M AD , tal que AM = 2 m, 
N AB , tal que AN = 2 m, e 
P BF , tal que BP = 0,5 m. 
Calcule o perímetro da seção que o plano MNP determina no cubo. 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 43 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
10a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Quatro retas se interceptam formando quatro triângulos conforme figura abaixo. 
Prove que os círculos circunscritos aos quatro triângulos possuem um ponto em 
comum. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 44 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 45 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA 
1998/1999 
 
1a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Determine as raízes de 2
2 2 4 0z iz i+ + − = e localize-as no plano complexo, sendo 
1i = − . 
 
2a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Sejam as funções ( )g x e ( )h x assim definidas: 
( ) 3 4g x x= − ; ( ) ( )( ) 2
9 6 1h x f g x x x= = − + 
Determine a função ( )f x e faça seu gráfico. 
 
3a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Calcule o valor de (1,02)–10, com dois algarismos significativos, empregando a 
expansão do binômio de Newton. 
 
 
4a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Determine  sabendo-se que: 
i)
4 2
4 2
1 1 cotg 2
·
1 1 + tg 3
cos
sen
−  + 
=
−  
. 
ii) 0 2    radianos. 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 46 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
5a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Determine  para que seja impossível o sistema: 
2
2 3 4
3 5 2
4 ( 14) 2
x y z
x y z
x y z
+ − =

− + =
 + +  −  =  +
 
 
 
6a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Determine as possíveis progressões aritméticas para as quais o resultado da divisão 
da soma dos seus n primeiros termos pela soma dos seus 2n primeiros termos seja 
independente do valor de n. 
 
 
7a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Determine uma matriz não singular P que satisfaça a equação matricial 
1
6 0
0 1
P A
−  
=  
− 
, onde 
1 2
5 4
A
 
=  
 
. 
 
 
8a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja o polinômio P(x) de grau (2n + 1) com todos os seus coeficientes positivos e 
unitários. Dividindo-se P(x) por D(x), de grau 3, obtém-se o resto R(x). Determine 
R(x), sabendo-se que as raízes de D(x) são raízes de ( ) 4
1A x x= − e que ( )1 0D  . 
 
 
9a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Uma piscina de base retangular tem, em metros, as seguintes dimensões: base, 5 x 
6 e altura, 3. Dois terços do volume da piscina são ocupados por água. Na superfície 
superior da água, forma-se uma pequena bolha de ar. A bolha de ar está 
equidistante das paredes de 5 m da base. Em relação às paredes de 6 m de base, 
sua posição é tal que a distância a uma das paredes é o dobro da distância à outra. 
Estabeleça um sistema de coordenadas retangulares que tenha como origem um 
dos cantos interiores da piscina e como um dos planos coordenados a parede de 
base de 6 m mais próxima da bolha. Em relação a este sistema, determine as 
coordenadas retangulares do ponto onde se encontra a bolha de ar. 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 47 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
10a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
ABCD é um quadrado de lado , conforme figura abaixo. Sabendo-se que K é a 
soma dos quadrados das distâncias de um ponto P do plano definido por ABCD aos 
vértices de ABCD, determine: 
 
A) O valor mínimo de K e a posição do ponto P na qual ocorre este mínimo. 
 
B) O lugar geométrico do ponto P para K = 42. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D C 
B A 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 48 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 49 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA 
1999/2000 
 
1a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Calcule o determinante: 
1 1 1 1 1 1 1
1 3 1 1 1 1 1
1 1 5 1 1 1 1
1 1 1 7 1 1 1
1 1 1 1 9 1 1
1 1 1 1 1 11 1
1 1 1 1 1 1 13
D = 
 
 
2a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere a, b, e c números reais tais que a < b < c. Prove que a equação abaixo 
possui exatamente duas raízes, x1 e x2, que satisfazem a condição: 1 2
a x b x c    . 
1 1 1
0
x a x b x c
+ + =
− − −
 
 
 
3a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Represente graficamente a função: 
2 2 2 2
1 1 1 1
( )
1 sen 1 cos 1 sen 1 cossec
F  = + + +
+  +  +  + 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 50 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
4a QUESTÃOValor: 1,0 
 
Calcule as coordenadas dos pontos de interseção da elipse com a hipérbole, 
representadas na figura abaixo, sabendo-se que: 
i) Os pontos C e C’ são os focos da elipse e os pontos A e A’ são os focos da 
hipérbole. 
ii) BB’ é o eixo conjugado da hipérbole. 
iii) ' 3OB OB m= = e ' 4OC OC m= = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Determine o polinômio em n, com no máximo 4 termos, que representa o somatório 
dos quadrados dos n primeiros números naturais 
n
2
k 1
k .
=
 
 
 
 
 
 
6a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja o conjunto:  1 2 1 2 1 2
( , ) |1 13; 1 4; ,D k k k k k k=      . Determine quantos 
subconjuntos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
, ; , ; , ; , ; ,L x x y y z z t t r r= , L D , existem com 5 
(cinco) elementos distintos, que satisfazem simultaneamente as seguintes 
condições: 
i) 1 1 1
x y z= = . 
ii) 1 1
x t , 1 1
x r , 1 1
t r . 
 
 
7a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
As arestas laterais de uma pirâmide regular com n faces têm medida . Determine: 
 
A) A expressão do raio do círculo circunscrito à base, em função de , de modo que 
o produto do volume da pirâmide pela sua altura seja máximo. 
 
B) A expressão desse produto máximo, em função de e n. 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 51 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
8a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
As medianas BE e CF de um triângulo ABC se cortam em G. Demonstre que 
2 2 2
12ˆ
5
S
tg BGC
b c a
=
+ +
, onde S é a área do triângulo ABC ; AC b= ; AB c= e 
BC a.= 
 
 
 
9a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Três jogadores, cada um com um dado, fizeram lançamentos simultâneos. Essa 
operação foi repetida cinquenta vezes. Os dados contêm três faces brancas e três 
faces pretas. Dessas 50 vezes: 
i) Em 28 saiu uma face preta para o jogador I. 
ii) Em 25 saiu uma face branca para o jogador II. 
iii) Em 27 saiu uma face branca para o jogador III. 
iv) Em 8 saíram faces pretas para os jogadores I e III e branca para o jogador II. 
v) Em 7 saíram faces brancas para os jogadores II e III e preta para o jogador I. 
vi) Em 4 saíram faces pretas para os três jogadores. 
vii) Em 11 saíram faces pretas para os jogadores II e III. 
Determine quantas vezes saiu uma face preta para pelo menos um jogador. 
 
 
 
10a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere quatro números inteiros a, b, c e d. Prove que o produto: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b c a d a d c d b c b− − − − − − 
 é divisível por 12. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 52 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 53 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA 
2000/2001 
 
1a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere a figura abaixo, onde 1AB AD= − , BC x= , AC y= , DE z= e AE w= . 
Os ângulos ˆˆDEA, BCA e ˆBFA são retos. 
 
A) Determine o comprimento de AF e de BF em função de x, y, z e w. 
 
B) Determine a tangente do ângulo  em função de x, y, z e w. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere o polinômio de grau mínimo, cuja representação gráfica passa pelos 
pontos ( )1
2, 11P − − , ( )2
1, 0P − , ( )3
1, 4P e ( )4
2, 9P . 
 
A) Determine os coeficientes do polinômio. 
 
B) Calcule todas as raízes do polinômio. 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 54 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
3a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Determine todos os números inteiros m e n para os quais o polinômio 
3 3
2
m n m n m
x a x a
−
+ − é divisível por x a+ . 
 
 
4a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Sejam a e b números reais positivos e diferentes de 1. 
Dado o sistema abaixo: 
1/
1/
.
2.log log log
x y
a b a
a b ab
x y b
 =

= 
 
determine os valores de x e y. 
 
5a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Dois números complexos são ortogonais se suas representações gráficas forem 
perpendiculares entre si. Prove que dois números complexos Z1 e Z2 são ortogonais 
se e somente se: 
1 2 1 2
0Z Z Z Z +  = 
Obs.: Z indica o conjugado de um número complexo Z. 
 
6a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere a matrix ( )kj
A a= , onde: 
akj = k-ésimo termo do desenvolvimento de ( )
54
1 ji+ , com 1, ... ,55;k = 1, ... , 55;j = e 
i 1.= − 
 
A) Calcule 
3,2 54,1
a a+ . 
 
B) Determine o somatório dos elementos da coluna 55. 
 
C) Obtenha uma fórmula geral para os elementos da diagonal principal. 
 
 
7a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Um comandante de companhia convocou voluntários para a constituição de 11 
patrulhas. Todas elas são formadas pelo mesmo número de homens. Cada homem 
participa de exatamente duas patrulhas. Cada duas patrulhas têm somente um 
homem em comum. Determine o número de voluntários e o de integrantes de uma 
patrulha. 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 55 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
8a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Calcule o valor exato de: 
4 5
sen 2arc cotg cos 2 arc cossec
3 4
      
+      
      
 
 
 
 
 
9a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Prove que para qualquer número inteiro k, os números k e k5 terminam sempre com 
o mesmo algarismo (algarismo das unidades). 
 
 
 
 
10a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Sejam r, s e t três retas paralelas não coplanares. São marcados sobre r dois pontos 
A e A’, sobre s os pontos B e B’ e sobre t os pontos C e C’ de modo que os 
segmentos AA' a= , BB' b= e CC' c= tenham o mesmo sentido. 
 
 
A) Mostre que se G e G’ são os baricentros dos triângulos ABC e A’B’C’, 
respectivamente, então GG' é paralelo às três retas. 
 
B) Determine GG' em função de a, b e c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 56 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 57 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA 
2001/2002 
 
1a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Calcule a soma dos números entre 200 e 500 que são múltiplos de 6 ou de 14, mas 
não simultaneamente múltiplos de ambos. 
 
 
2a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Uma matriz quadrada é denominada ortogonal quando a sua transposta é igual a 
sua inversa. Considerando esta definição, determine se a matriz [R], abaixo, é uma 
matriz ortogonal, sabendo-se que n é um número inteiro e  é um ângulo qualquer. 
Justifique a sua resposta. 
 
cos( ) ( ) 0
( ) cos( ) 0
0 0 1
n sen n
R sen n n
 −  
 
=  
 
  
 
 
3a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere uma parábola de eixo focal OX que passe pelo ponto (0, 0). Define-se a 
subnormal em um ponto P da parábola como o segmento de reta ortogonal à 
tangente da curva, limitado pelo ponto P e o eixo focal. Determine a equação e 
identifique o lugar geométrico dos pontos médios das subnormais dessa parábola. 
 
4a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Sabe-se que log
a
b X= , log
q
b Y= e 0n  , onde n é um número natural. Sendo c o 
produto dos n termos de uma progressão geométrica de primeiro termo a e razão q, 
calcule o valor de log
c
b em função de X, Y e n. 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 58 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
5a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
A) Encontre as condições a que devem satisfazer os coeficientes de um polinômio 
P(x) de quarto grau para que ( ) ( )1P x P x= − . 
 
B) Considere o polinômio ( ) 4 3 2
16 32 56 72 77P x x x x x= − − + + . Determine todas as 
suas raízes sabendo-se que o mesmo satisfaz a condição do item acima. 
 
 
6a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Um cone e um cilindro circulares retos têm uma base comum e o vértice do cone se 
encontra no centro da outra base do cilindro. Determine o ângulo formado pelo eixo 
do cone e sua geratriz, sabendo-se que a razão entre a área total do cilindro e a 
área total do cone é 7/4. 
 
7a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Quatro cidades, A, B, C e D, são conectadas por estradas conforme a figura ao lado. 
Quantos percursos diferentes começam e terminam na cidade A, e possuem: 
 
A) Exatamente 50 km?B) n x 10 km? 
 A
B
D
C 10 km 
10 km 
10 km 
10 km 10 km 
10 km 
 
 
8a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
A) Sejam x, y e z números reais positivos. Prove que: 3 . .
3
x y z
x y z
+ +
 
Em que condições a igualdade se verifica? 
 
B) Considere um paralelepípedo de lados a, b, c, e área total S0. Determine o 
volume máximo desse paralelepípedo em função de S0. Qual a relação entre a, b e 
c para que esse volume seja máximo? Demonstre seu resultado. 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 59 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
9a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Resolva a equação 5 5 x x,− − = sabendo-se que x > 0. 
 
 
10a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere um quadrado XYZW de lado a. Dividindo-se cada ângulo desse quadrado 
em quatro partes iguais, obtém-se o octógono regular representado na figura ao 
lado. Determine o lado e área desse octógono em função de a. As respostas finais 
não podem conter expressões trigonométricas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Y 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 60 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 61 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA 
2002/2003 
 
1a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja z um número complexo de módulo unitário que satisfaz a condição 2
1
n
z  − , 
onde n é um número inteiro positivo. Demonstre que 
2
1
n
n
z
z+
 é um número real. 
 
2a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Determine todos os valores reais de x que satisfazem a equação: 
( ) ( )3 2 3 2
log 12 19 8 log 12 19 8x x x x x x− + = − + , onde ( )log y e y representam, 
respectivamente, o logaritmo na base 10 e o módulo de y. 
 
3a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Dada numa circunferência de raio R, inscreve-se nela um quadrado. A seguir, 
inscreve-se uma circunferência neste quadrado. Este processo se repete 
indefinidamente para o interior da figura de maneira que cada quadrado estará 
sempre inscrito em uma circunferência e simultaneamente circunscrito por outra. 
Calcule, em função de R, a soma das áreas delimitadas pelos lados dos quadrados e 
pelas circunferências que os circunscrevem, conforme mostra a figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 62 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
4a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Resolva a equação ( ) ( )2 2 3tg tg tg +  =  , sabendo-se que 0 ,
2
 
 
 
. 
 
 
5a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Sobre uma reta r são marcados os pontos A, B, C e D. São construídos os triângulos 
equiláteros ABE, BCF e CDG, de forma que os pontos E e G se encontram do mesmo 
lado da reta r, enquanto que o ponto F se encontra do lado oposto, conforme mostra 
a figura. Calcule a área do triângulo formado pelos baricentros de ABE, BCF e CDG 
em função dos comprimentos dos segmentos AB, BC e CD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere um hexágono regular de 6 cm de lado. Determine o valor máximo da área 
de um triângulo XYZ, sabendo-se que: 
 
A) Os pontos X, Y e Z estão situados sobre lados do hexágono. 
 
B) A reta que une os pontos X e Y é paralela a um dos lados do hexágono. 
 
 
7a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Sejam A e B dois subconjuntos de . Por definição, uma função :f A B→ é 
crescente se ( ) ( )1 2 1 2
a a f a f a   , para quaisquer 1
a e 2
a A . 
 
A) Para   2 ,1 =A e   4 3, ,2 ,1 =B , quantas funções de A para B são crescentes? 
 
B) Para   3 ,2 ,1 =A e   , ... ,2 ,1 nB = , quantas funções de A para B são crescentes, 
onde n é um número inteiro maior que zero? 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 63 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
8a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja uma pirâmide regular de vértice V e base quadrangular ABCD. O lado da base 
da pirâmide mede e a aresta lateral 2 . Corta-se essa pirâmide por um plano 
que contém o vértice A, é paralelo à reta BD, e contém o ponto médio da aresta VC. 
Calcule a área da seção determinada pela interseção do plano com a pirâmide. 
 
 
9a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Demonstre que 3 320 14 2 20 14 2+ + − é um número inteiro múltiplo de quatro. 
 
 
 
10a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere uma matriz A, n x n, de coeficientes reais, e k um número real diferente de 1. 
Sabendo-se que 3
A k A=  , prove que a matriz A I+ é invertível, onde I é a matriz 
identidade n x n. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 64 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 65 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA 
2003/2004 
 
1a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Calcule o número natural n que torna o determinante abaixo igual a 5. 
 
2 2 2 2
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
log ( 1) log ( 1) log ( 1) log ( 1)n n n n
−
−
−
− + − −
 
 
 
2a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere o polinômio ( ) 3
P x x ax b= + + de coeficientes reais, com 0b  . Sabendo 
que suas raízes são reais, demonstre que 0a  . 
 
 
3a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere uma pirâmide regular de altura h, cuja base é um hexágono ABCDEF de 
lado a. Um plano perpendicular à base e contendo os pontos médios das arestas AB 
e BC divide a pirâmide em dois poliedros. Calcule a razão entre os volumes destes 
dois poliedros. 
 
 
4a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Calcule ( )sen x y+ em função de a e b, sabendo que o produto 0ab  , que 
sen senx y a+ = e que cos cosx y b+ = . 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 66 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
5a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja uma função : {0}f − → onde representa o conjunto dos números 
reais, tal que ( ) ( )
a
f f a f b
b
 
= − 
 
 para a e b pertencentes ao domínio de f. 
Demonstre que f é uma função par. 
 
 
6a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Sendo a, b e c números naturais em progressão aritmética e z um número complexo 
de módulo unitário, determine um valor para cada um dos números a, b, c e z de 
forma que eles satisfaçam a igualdade: 
91 1 1
a b c
z
z z z
+ + = 
 
 
7a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere a parábola P de equação 2
y ax= , com 0a  e um ponto A de 
coordenadas ( )0 0
,x y satisfazendo a 2
0 0
y ax . Seja S a área do triângulo ATT’, onde 
T e T’ são os pontos de contato das tangentes a P passando por A. 
 
A) Calcule o valor da área S em função de a, x0 e y0. 
 
B) Calcule a equação do lugar geométrico do ponto A, admitindo que a área S seja 
constante. 
 
C) Identifique a cônica representada pela equação obtida no item anterior. 
 
 
8a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Demonstre que o número
( )1
111...11222...225
n vezesn vezes−
 é um quadrado perfeito. 
 
9a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Ao final de um campeonato de futebol, somaram-se as pontuações das equipes, 
obtendo-se um total de 35 pontos. Cada equipe jogou com todos os outros 
adversários apenas uma vez. Determine quantos empates houve no campeonato, 
sabendo que cada vitória valia 3 pontos, cada empate valia 1 ponto e que derrotas 
não pontuavam. 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 67 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
10a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Um quadrilátero convexo ABCD está inscrito em um círculo de diâmetro d. Sabe-se 
que AB BC a= = , AD d= e CD b= com a, b e d diferentes de zero. 
 
A) Demonstre que 2 2
2d bd a= + . 
 
B) Se a, b e d são números inteiros e a é diferente de b, mostre que d não pode ser 
primo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 68 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 69 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA 
2004/2005 
 
 
1a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Dada a função 
(156 156 )
( )
2
x x
f x
−
+
= , demonstre que: 
( ) ( ) ( ) ( )2f x y f x y f xf y+ + − =  
 
 
2a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
O sistema de segurança de uma casa utiliza um teclado numérico, conforme 
ilustrado na figura. Um ladrão observa de longe e percebe que: 
• A senha utilizada possui 4 dígitos. 
• O primeiro e o último dígitos encontram-se numa mesma linha. 
• O segundo e o terceiro dígitos encontram-se na linha imediatamente superior. 
Calcule o número de senhas que deverão ser experimentadas pelo ladrão para que 
com certeza ele consiga entrar na casa. 
1 2 3
4 5 6
7 8 9
0
 
Teclado numérico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 70 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
3a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Sejam a, b, c, e d números reais positivos e diferentes de 1. Sabendo que log
a
d , 
log
b
d e log
c
d são termos consecutivos de uma progressão aritmética, demonstre 
que: 
( )
log2 a d
c ac= 
 
 
4a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Determine o valor das raízes comuns das equações 
4 3 2
2 11 18 18 0x x x x− − + + = e 4 3 2
12 44 32 52 0x x x x− − − − = 
 
 
5a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Resolva a equação 2sen11 cos3 3 sen 3 0x x x+ + = . 
 
6a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere um triângulo ABC de área S. Marca-se o ponto P sobre o lado AC tal que 
/PA PC q= , e o ponto Q sobre o lado BC de maneira que /QB QC r= . As cevianas 
AQ e BP encontram-se em T, conforme ilustrado na figura. Determine a área do 
triângulo ATP em função de S, q e r. 
 
 
 
 
 
 
 
7a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere uma elipse de focos F e F’, e M um ponto qualquer dessa curva. Traça-se 
por M duas secantes MF e 'MF , que interceptam a elipse em P e P’, 
respectivamente. Demonstre que a soma 
'
' '
MF MF
FP F P
+ é constante. 
 
Obs.: Calcule inicialmente a soma 
1 1
MF FP
+ . 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 71 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
8a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Sejam a, b, e c as raízes do polinômio ( ) 3
p x x rx t= + − , onde r e t são números reais 
não nulos. 
 
A) Determine o valor da expressão 3 3 3
a b c+ + em função de r e t. 
 
B) Demonstre que 1 1 2
0
n n n
S r S t S
+ − −
+  −  = para todo número natural 2n  , onde 
k k k
k
S a b c= + + , para qualquer número natural k. 
 
 
9a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Calcule o determinante da matriz n x n em função de b, onde b é um número real tal que 
b2  1. 
2
2
2
2
2
2
n colunas
b 1 b 0 0 0 0
b b 1 b 0 0 0
0 b b 1 b 0 0
0 0 b b 1 0 0
0 0 0 0 b 1 b
0 0 0 0 b b 1
+
+
+
+
+
+
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n linhas 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 72 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
10a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere os pontos P e Q sobre as faces adjacentes de um cubo. Uma formiga 
percorre, sobre a superfície do cubo, a menor distância entre P e Q, cruzando a 
aresta BC em M e a aresta CD em N, conforme ilustrado na figura abaixo. É dado 
que os pontos P, Q, M e N são coplanares. 
 
A) Demonstre que MN é perpendicular a AC. 
 
B) Calcule a área da seção do cubo determinada pelo plano que contém P, Q e M 
em função de BC a= e BM b.= 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 73 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA 
2005/2006 
 
1a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Sejam 1
1a i= − , n
a r si= + e ( ) ( )1n
a r s r s i
+
= − + + ( )1n  termos de uma sequência. 
Determine, em função de n, os valores de r e s que tornam esta sequência uma 
progressão aritmética, sabendo que r e s são números reais e 1i = − . 
 
2a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere o polinômio 
( ) 5 4 3 2
3 3 27 44 30p x x x x x x= − − + − + 
Sabendo que o produto de duas de suas raízes complexas é igual a 3 i− e que as 
partes reais e imaginárias de todas as suas raízes complexas são inteiras e não 
nulas, calcule todas as raízes do polinômio. 
 
 
3a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Um trapézio ABCD, de base menor AB e base maior CD, possui base média MN. Os 
pontos M’ e N’ dividem a base média em três segmentos iguais, na ordem MM’N’N. 
Ao se traçar as retas AM’ e BN’, verificou-se que as mesmas se encontraram sobre 
o lado CD no ponto P. Calcule a área do trapézio M’N’CD em função da área de 
ABCD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 74 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
4a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja ( )det
n n
D A= , onde 
2 1 0 0 0 0
1 2 1 0 0 0
0 1 2 1 0 0
0 0 0 0 2 1
0 0 0 0 1 2
n
n x n
A
− 
 
− −
 
 − −
=  
 
 −
 
− 
 
Determine Dn em função de ( , 1)n n n  . 
 
 
5a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Determine os valores de x, y, z e r que satisfazem o sistema 
log
log 4 log
log log
r
r y y
y x
y
r y x z
C r
z z
C z z
+
+
=
= +
= +
 
onde p
m
C representa a combinação de m elementos tomados p a p e log
c
B 
representa o logaritmo de B na base c. 
 
 
 
6a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Os ângulos de um triângulo estão em progressão aritmética e um deles é solução da 
equação trigonométrica 
( ) ( )2 2
sen cos sen sen cos cos 1x x x x x x+  − + = . 
Determine os valores destes ângulos (em radianos). 
 
 
 
7a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere os pontos ( )1, 0A − e ( )2, 0B e seja C uma circunferência de raio R 
tangente ao eixo das abscissas na origem. A reta 1
r é tangente a C e contém o 
ponto A e a reta 2
r também é tangente a C e contém o ponto B. Sabendo que a 
origem não pertence às retas 1
r e 2
r , determine a equação do lugar geométrico 
descrito pelo ponto de interseção de 1
r e 2
r ao se variar R no intervalo ( )0, + . 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 75 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
8a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere um tetraedro regular de arestas de comprimento a e uma esfera de raio R 
tangente a todas as arestas do tetraedro. Em função de a, calcule: 
 
A) O volume total da esfera. 
 
B) O volume da parte da esfera situada no interior do tetraedro. 
 
 
9a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Determine o conjunto solução ( ) , |S x y x y=   da equação ( )x y k xy+ = 
sabendo que k é um número primo. 
 
 
10a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Sejam as somas 0
S e 1
S definidas por 
0 3 6 9 3[ /3]
0
1 4 7 10 3[( 1) / 3] 1
1
...
...
n
n n n n n
n
n n n n n
S C C C C C
S C C C C C
− +
= + + + + +
= + + + + +
 
Calcule os valores de 0
S e 1
S em função de n, sabendo que  r representa o maior 
inteiro menor ou igual ao número r. 
 
Obs.: Utilize o desenvolvimento em binômio de Newton de 1
3
n
cis
 
+ 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 76 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 77 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA 
2006/2007 
 
1a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere as matrizes 
3 1
4 4
A
1 3
4 4
 
 
=  
 
  
 e 
1 0
B ,1
0
2
 
 =
 
 
 e seja P uma matriz inversível 
tal que 1
B P AP
−
= . Sendo n um número natural, calcule o determinante da matriz An. 
 
 
2a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere uma sequência de triângulos retângulos cuja lei de formação é dada por 
1
1
2
3
4
5
K K
K K
a a
b b
+
+
=
=
 
Onde K
a e K
b , para 1K  , são os comprimentos dos catetos do K-ésimo triângulo 
retângulo. Se 1
30a cm= e 1
42b cm= , determine o valor da soma das áreas de todos 
os triângulos quando K → . 
 
 
3a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere o sistema de equações dado por 
3 9
9 3
3log log 10
log 2 log 10
 +  =

 −  =
 
onde  e  são números reais positivos. Determine o valor de P =   
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 78 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
4a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Sejam C e C* dois círculos tangentes exteriores de raios r e r* e centros O e O*, 
respectivamente, e seja t uma reta tangente comum a C e C* nos pontos não 
coincidentesA e A*. Considere o sólido de revolução gerado a partir da rotação do 
segmento AA* em torno do eixo OO*, e seja S a sua correspondente área lateral. 
Determine S em função de r e r*. 
 
 
5a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Resolva a equação 
( ) ( )cos
log 1 2 2
sen x x
sen x
+
+ = , ,
2 2
x
  
 − 
 
. 
 
 
 
6a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
O quadrilátero BRAS, de coordenadas A(1, 0), B(-2, 0), R(x1, y1) e S(x2, y2) é 
construído tal que ˆ ˆ 90ºRAS RBS= = . Sabendo que o ponto R pertence à reta t de 
equação 1y x= + , determine a equação algébrica do lugar geométrico descrito pelo 
ponto S ao se deslocar R sobre t. 
 
 
 
7a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Sejam x1 e x2 as raízes da equação ( )2
15 0x m x m+ − + = . Sabendo que x1 e x2 são 
números inteiros, determine o conjunto de valores possíveis para m. 
 
 
 
8a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere o conjunto formado por m bolas pretas e n bolas brancas. Determine o 
número de sequências simétricas que podem ser formadas utilizando-se todas as 
m n+ bolas. 
 
Obs.: Uma sequência é dita simétrica quando ela possui a mesma ordem de cores 
ao ser percorrida da direita para a esquerda e da esquerda para a direita. 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 79 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
9a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Sejam a, b e c números reais não nulos. Sabendo que 
a b b c a c
c a b
+ + +
= = , 
determine o valor numérico de 
a b
c
+
. 
 
 
10a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja :f → uma função tal que 
0
( 1)
( ) 2008
( 2)
n
k
n
f k
n=
+
= 
+
 , onde e são, 
respectivamente, o conjunto dos números naturais e o dos números reais. Determine 
o valor numérico de 
1
(2006)f
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 80 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 81 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA 
2007/2008 
 
1a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Determine o conjunto-solução da equação 3 3 2 2
sen cos 1 sen cosx x x x+ = −  . 
 
 
2a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Encontre o polinômio ( )P x tal que ( ) ( ) ( )
3
1 1Q x x P x+ = −  e ( ) 2Q x + é divisível por 
4
x , onde Q(x) é um polinômio do 6o grau. 
 
 
3a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Os elementos da matriz dos coeficientes de um sistema de quatro equações lineares 
e quatro incógnitas (x, y, z e w) são função de quatro constantes a, b, c e d. 
Determine as relações entre a, b, c e d para que o referido sistema admita uma 
solução não trivial, sabendo que CD = - DC, onde 
a b
C
c d
 
=  
 
e 
x y
D
z w
 
=  
 
. 
 
4a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Uma sequência de quatro termos forma uma PG. Subtraindo-se 2 do primeiro termo 
e k do quarto termo, transforma-se a sequência original em uma PA. Uma terceira 
sequência é obtida somando-se os termos correspondentes da PG e da PA. 
Finalmente, uma quarta sequência, uma nova PA, é obtida a partir da terceira 
sequência, subtraindo-se 2 do terceiro termo e sete do quarto. Determine os termos 
da PG original. 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 82 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
5a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Cinco equipes concorrem numa competição automobilística, em que cada equipe 
possui dois carros. Para a largada são formadas duas colunas de carros lado a lado, 
de tal forma que cada carro da coluna da direita tenha ao seu lado, na coluna da 
esquerda, um carro de outra equipe. Determine o número de formações possíveis 
para a largada. 
 
 
 
6a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Determine a expressão da soma a seguir, onde n é um inteiro múltiplo de 4. 
( )2
1 2 3 ... 1
n
i i n i+ + + + + 
 
 
7a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
A área de uma calota esférica é o dobro da área do seu círculo base. Determine o 
raio do círculo base da calota em função do raio R da esfera. 
 
 
 
8a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Em um quadrado ABCD o segmento AB’, com comprimento igual ao lado do 
quadrado, descreve um arco de círculo, conforme indicado na figura. Determine o 
ângulo BÂB’ correspondente à posição em que a razão entre o comprimento do 
segmento B’C e o lado do quadrado vale 3 6 .− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B’ 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 83 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
9a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere os números complexos 1
sen cosZ i=  +  e 2
cos senZ i=  −  , onde a é 
um número real. Mostre que, se 1 2
Z Z Z=  , então ( )1 Re 1Z−   e ( )1 Im 1Z−   , 
onde ( )Re Z e ( )Im Z indicam, respectivamente, as partes real e imaginária de Z. 
 
 
 
 
 
10a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere todos os pontos de coordenadas (x, y) que pertençam à circunferência 
de equação 2 2
6 6 14 0x y y x+ − − + = . Determine o maior valor possível de 
y
x
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 84 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 85 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA 
2008/2009 
 
1a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Sabe-se que:    a a a= + , a  onde  a é a parte inteira de a. 
[ ] { } 4, 2
[ ] { } 3,6
[ ] { } 2
x y z
y z x
z x y
+ + =

+ + =
 + + =
, com x, y e z  
Determine o valor de x – y + z. 
 
2a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Um triângulo isósceles possui seus vértices da base sobre o eixo das abscissas e o 
terceiro vértice, B, sobre o eixo positivo das ordenadas. Sabe-se que a base mede b 
e seu ângulo oposto ˆ 120ºB = . Considere o lugar geométrico dos pontos cujo 
quadrado da distância à reta suporte da base do triângulo é igual ao produto das 
distâncias às outras duas retas que suportam os dois outros lados. Determine a(s) 
equação(ões) do lugar geométrico e identifique a(s) curva(s) descrita(s). 
 
 
 
3a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Sabe-se que 3
1 2
4
z
z z
z
 = e 3 4 3 4
| | | | 0z z z z+ − − = , sendo 1
z , 2
z , 3
z e 4
z números 
complexos diferentes de zero. Prove que 1
z e 2
z são ortogonais. 
 
Obs.: Números complexos ortogonais são aqueles cujas representações gráficas 
são perpendiculares entre si e z é o número complexo conjugado de z. 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 86 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
4a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Dada a função 2
:F → , com as seguintes características: 
( )0,0 1F = ; 
( ) ( ), 1 ,F n m q F n m+ =  , onde q é um número real diferente de zero. 
( ) ( )1, 0 , 0F n r F n+ = + , onde r é um número real diferente de zero. 
Determine o valor de 
2009
0
( , )
i
F i i
=
 , i . 
 
 
5a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja G o ponto de interseção das medianas de um triângulo ABC com área S. 
Considere os pontos A’, B’ e C’ obtidos por uma rotação de 180o dos pontos A, B e 
C, respectivamente, em torno de G. Determine, em função de S, a área formada pela 
união das regiões delimitadas pelos triângulos ABC e A’B’C’. 
 
 
 
 
6a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Resolva a seguinte inequação, para 0 2x   : 
2 2
3sen 2 cos 4sen (1 4 2)sen cos 4 cos (2 2 2)
2
2sen 2 2 sen cos 2 cos 2
x x x x x x
x x x x
+ + − +  + − +

−  + −
 
 
 
 
7a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja um cubo de base ABCD com aresta a. No interior do cubo, sobre a diagonal 
principal, marca-se o ponto V, formando-se a pirâmide V ABCD. Determine os 
possíveis valores da altura da pirâmide V ABCD, em função de a, sabendo que a 
soma dos quadrados das arestas laterais da pirâmide é igual a ka2, sendo k um 
número primo. 
 
Obs.: As arestas laterais da pirâmide são VA, VB, VC e VD. 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 87 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
8a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Dada uma matriz quadrada A de ordem n, definida da seguinte forma: 
 
• os elementos da linha i da coluna n são da forma 
in
n
a
n i 1
 
= − 
− + 
;• os elementos imediatamente abaixo da diagonal principal são unitários, isto é, 1
ij
a = 
para 1i j− = ; 
 
• todos os demais elementos são nulos. 
 
 
Sendo I a matriz identidade de ordem n e det (M) o determinante de uma matriz M, 
encontre as raízes da equação ( )det 0x I A − = . 
 
 
 
9a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
A figura abaixo é composta de 16 quadrados menores. De quantas formas é 
possível preencher estes quadrados com os números 1, 2, 3 e 4, de modo que um 
número não pode aparecer 2 vezes em: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• uma mesma linha. 
• uma mesma coluna. 
cada um dos quatro quadrados demarcados pelas linhas contínuas. 
 
 
 
 
10a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja a uma constante real positiva. Resolva a equação 
 
2 2 2 2
3 2 2a a a x a a a x x + − +  − − = , para x e 0 x a  . 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 88 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 89 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA 
2009/2010 
 
 
1a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Sejam os conjuntos P1, P2, S1 e S2 tais ( )2 1 1
P S P  , ( )1 2 2
P S P  e 
( ) ( )1 2 1 2
S S P P   . Demonstre que ( ) ( )1 2 1 2
S S P P   . 
 
 
2a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Três dados iguais, honestos e com seis faces numeradas de um a seis são lançados 
simultaneamente. Determine a probabilidade de que a soma dos resultados de dois 
quaisquer deles ser igual ao resultado do terceiro dado. 
 
 
3a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere as hipérboles que passam pelos pontos (-4, 2) e (-1, -1) e apresentam 
diretriz na reta y = - 4. Determine a equação do lugar geométrico formado pelos 
focos dessas hipérboles, associados a esta diretriz, e represente o mesmo no plano 
cartesiano. 
 
 
4a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja x o valor do maior lado de um paralelogramo ABCD. A diagonal AC divide  em 
dois ângulos iguais a 30º e 15º. A projeção de cada um dos quatro vértices sobre a 
reta suporte da diagonal que não o contém forma o quadrilátero A’B’C’D’. Calcule o 
perímetro de A’B’C’D’. 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 90 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
5a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
A área da superfície lateral de uma pirâmide quadrangular regular SABCD é duas 
vezes maior do que a área de sua base ABCD. Nas faces SAD e SDC traçam-se as 
medianas AQ e DP. Calcule o ângulo entre estas medianas. 
 
 
 
6a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Demonstre que a matriz 
2 2
2 2
2 2
y z xy xz
xy x z yz ,
xz yz x y
 +
 
+ 
 + 
 
onde x, y, z, , pode ser escrita como o quadrado de uma matriz simétrica, com 
traço igual a zero, cujos elementos pertencem ao conjunto dos números naturais. 
 
Obs.: Traço de uma matriz é a soma dos elementos de sua diagonal principal. 
 
 
 
7a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere o conjunto de números complexos ( )E a b= + , onde a e b são inteiros e 
2
3
cis


 
=  
 
. Seja o subconjunto  / no qual =1U E E E  =   . Determine: 
 
A) Os elementos do conjunto U. 
 
B) Dois elementos pertencentes ao conjunto Y E U= − , tais que o produto seja um 
número primo. 
 
 
 
8a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja a equação pn + 144 = q2, onde n e q são números inteiros positivos e p é um 
número primo. Determine os possíveis valores de n, p e q. 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 91 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
9a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja o sistema
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
tg x tg y z a
tg y tg z x b
tg z tg x y c
  − =

 − =

 − =
, onde a, b, c, x, y, z  . Determine as condições 
que a, b e c devem satisfazer para que o sistema admita pelo menos uma solução. 
 
 
 
 
 
 
10a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere a sequência: 
1
1 1 1
a ,
2 2 2
= + 
2
1 1 1 1 1
a ,
2 2 2 2 2
= + + 
3
1 1 1 1 1 1 1
a
2 2 2 2 2 2 2
= + + + , ... 
Determine o produto dos 20 primeiros termos desta sequência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 92 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 93 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA 
2010/2011 
 
1a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
A base de um prisma reto ABCA1B1C1 é um triângulo com o lado AB igual ao lado 
AC. O valor do segmento CD vale x, onde D é o ponto médio da aresta lateral AA1. 
Sabendo que  é o ângulo ACB e  é o ângulo DCA, determine a área lateral do 
prisma em função de x,  e . 
 
2a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Determine o valor da excentricidade da cônica dada pela equação 
2 2
10 3 11 16 0x xy y− + + = 
 
3a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Sejam z1 = 10 + 6i e z2 = 4 + 6i, onde i é a unidade imaginária, e z um número 
complexo tal que 1
2
arg
4
z z
z z
 − 
= 
− 
, determine o módulo do número complexo 
( )7 9z i− − . 
 
Obs.: ( )arg w é o argumento do número complexo w. 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 94 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
4a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Os números m, 22.680 e n fazem parte, nessa ordem, de uma progressão 
geométrica crescente com razão dada por q. Sabe-se que: 
 
• existem, pelo menos, dois elementos entre m e 22.680; 
• n é o sexto termo dessa progressão geométrica; 
• n  180.000. 
Determine os possíveis valores de m e n, sabendo que m, n e q são números 
naturais positivos. 
 
 
5a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja ABC um triângulo onde ,  e  são os ângulos internos dos vértices A, B e C, 
respectivamente. Esse triângulo está inscrito em um círculo de raio unitário. As 
bissetrizes internas desses ângulos interceptam esse círculo nos pontos A1, B1 e C1, 
respectivamente. Determine o valor da expressão 
1 1 1
cos cos cos
2 2 2
sen sen sen
AA BB CC
  
 +  + 
 +  + 
 
 
 
6a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Resolva a equação 
( )
2
2
2
9
5
3
z
z
z
+ = −
+
, onde z pertence ao conjunto dos números 
complexos. 
 
 
7a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja x um número inteiro positivo menor ou igual a 20.000. Sabe-se que 2
2
x
x− é 
divisível por 7. Determine o número de possíveis valores de x. 
 
 
 
8a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Uma pessoa lança um dado n vezes. Determine, em função de n, a probabilidade de 
que a sequência de resultados obtidos pelos lançamentos dos dados se inicie por 4 
e que, em todos eles, a partir do segundo, o resultado seja maior ou igual ao 
lançamento anterior. 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 95 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
9a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Sejam o polinômio ( ) 3 2
2 3 2p x x x= − + e os conjuntos 
( ) / e 1999A p k k k=   ,  2
1 /B r r= +  e  2
2 /C q q= +  . Sabe-se que 
( ) ( )y n A B n A C=  −  , onde n(E) é o número de elementos do conjunto E. 
Determine o valor de y. 
 
Obs.:  é o conjunto dos números naturais. 
 
 
10a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Mostre que o determinante abaixo apresenta valor menor ou igual a 16 para todos 
valores de a, b e c, pertencentes ao conjunto dos números reais, que satisfazem a 
equação 2 2 2
4a b c+ + = . 
 
a b b c c a
c a a b b c
b c c a a b
+ + +
+ + +
+ + +
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 96 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 97 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA 
2011/2012 
 
1a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
O segundo, o sétimo e o vigésimo sétimo termos de uma Progressão Aritmética (PA) 
de números inteiros, de razão r, formam, nesta ordem, uma Progressão Geométrica 
(PG), de razão q, com q e r   (natural diferente de zero). Determine: 
 
a) o menor valor possível para a razãor ; 
 
b) o valor do décimo oitavo termo da PA, para a condição do item a. 
 
2a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Os números reais positivos 
1
x , 
2
x e 
3
x são as raízes da equação 3 2
2
b b
x ax a x− = −  , 
sendo b (natural), a  (real) e 1a  . Determine, em função de a e b, o valor de 
( )
2 2 2
1 2 3
1 2 3 1 2 3
log
b
x x x
a
x x x x x x
+ +  + +
  
. 
 
 
3a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Os ângulos de um triângulo obtusângulo são 105º, α e β. Sabendo que m  (real), 
determine: 
 
a) as raízes da equação ( )3sec 3 cos 3sen 3cos 3 sen x m x x x x+  − = +  , em função 
de m; 
 
b) o valor de m para que α e β sejam raízes dessa equação. 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 98 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
4a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja o número complexo z a bi= + , com ,a b  (real) e 1i = − . Determine o 
módulo de z sabendo que 
( )
( )
3 2
3 2
3 1
3 1
a ab
b a b
 = +

= −
 
 
 
5a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Uma pirâmide regular triangular apresenta um volume V. Determine o raio da 
circunferência circunscrita a uma das faces laterais da pirâmide em função de V, 
sabendo que o ângulo do vértice vale 30º. 
 
 
6a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
É dada uma parábola de parâmetro p. Traça-se a corda focal MN, que possui uma 
inclinação de 60 em relação ao eixo de simetria da parábola. A projeção do ponto M 
sobre a diretriz é o ponto Q, e o prolongamento da corda MN intercepta a diretriz no 
ponto R. Determine o perímetro do triângulo MQR em função de p, sabendo que N 
encontra-se no interior do segmento MR. 
 
 
7a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Sejam r e s  (inteiro). Prove que (2r + 3s) é múltiplo de 17 se e somente se 
(9r + 5s) é múltiplo de 17. 
 
 
8a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Calcule as raízes de ( )f x em função de a, b e c, sendo a, b, c e x  (real) e 
( )
x a b c
a x c b
f x
b c x a
c b a x
= . 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 99 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
9a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere uma reta r que passa pelo ponto P(2, 3). A reta r intercepta a curva 
2 2
2 0x xy y− − = nos pontos A e B. Determine: 
 
A) o lugar geométrico definido pela curva; 
 
B) a(s) possível(is) equação(ões) da reta r, sabendo que 17PA PB = . 
 
 
10a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Os nove elementos de uma matriz M quadrada de ordem 3 são preenchidos 
aleatoriamente com os números 1 ou –1, com a mesma probabilidade de ocorrência. 
Determine: 
 
A) o maior valor possível para o determinante de M; 
 
B) a probabilidade de que o determinante de M tenha este valor máximo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 100 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 101 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA 
2012/2013 
 
1a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere ( )
2
log 4
b
a = , com a e b números reais positivos. Determine o valor de m, 
número real, para que a equação ( ) ( )
23 2
18 log 8 log 0
m m
b b
x x ab m x a − + + − − =
 
 tenha 
três raízes reais em progressão aritmética. 
 
2a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere a, b e c números inteiros e 2 a b c   . Determine o(s) valor(es) de x, y e 
z, que satisfaçam o sistema de equações 
2
2 3 2
3 4
0
2013
ax by cz abc
ax by abc
by cz
xyz
− + =

− = −

− + =
 =
 
 
 
3a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere a matriz 
2 1
0 2
A
 
=  
 
. Seja a matriz 
1
n
k
k
B A
=
=  , com k e n números inteiros. 
Determine a soma, em função de n, dos quatro elementos da matriz B. 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 102 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
4a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere 
45
0
1
180k
k
P tg

=
  
= +   
  
 , com 
0
n
k =
 representando o produto dos termos desde 
0k = até k n= , sendo k e n números inteiros. Determine o(s) valor(es) de m, 
números reais, que satisfaça(m) a equação P = 2m. 
 
 
 
5a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere, 
1
z e 
2
z , complexos que satisfazem a equação 2
0x px q+ + = , onde p e q 
são números reais diferentes de zero. Sabe-se que os módulos de 
1
z e 
2
z são iguais 
e que a diferença entre os seus argumentos vale  , onde  é diferente de zero. 
Determine o valor de 2
cos
2
 
 
 
 em função de p e q. 
 
 
6a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere um triângulo ABC com lado BC igual a L. São dados um ponto D sobre o 
lado AB e um ponto E sobre lado AC, de modo que sejam válidas as relações 
DA EC
m
DB EA
= = , com m > 1. Pelo ponto médio do segmento DE, denominado M, traça-
se uma reta paralela ao lado BC, interceptando o lado AB no ponto F e o lado AC no 
ponto H. Calcule o comprimento do segmento MH, em função de m e L. 
 
 
 
7a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere um círculo com centro C, na origem, e raio 2. Esse círculo intercepta o 
eixo das abscissas nos pontos A e B, sendo a abscissa de A menor do que a 
abscissa de B. Considere P e Q, dois pontos desse círculo, com ordenadas maiores 
ou iguais a zero. O ângulo formado entre o segmento CP e CQ vale 
3
rd

. Determine 
a equação do lugar geométrico descrito pelo ponto de interseção dos segmentos AP 
e BQ internos ao círculo. 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 103 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
8a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
São dadas duas matrizes A e B tais que 
5 11
11 25
AB
 
=  
 
 e 
14
14
x
BA
y
 
=  
 
, com x e y 
reais e x y . Determine: 
 
A) o(s) valore(s) de x e y; 
 
B) as matrizes A e B que satisfazem as equações apresentadas. 
 
 
9a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere um tetraedro regular ABCD e um plano  , oblíquo à base ABC. As 
arestas DA, DB e DC, desse tetraedro são seccionadas, por este plano, nos pontos 
E, F e G, respectivamente. O ponto T é a interseção da altura do tetraedro, 
correspondente ao vértice D, com o plano  . Determine o valor de DT sabendo que 
1 1 1 1
6DE DF DG
+ + = . 
 
 
10a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere a seguinte definição: 
 
“dois pontos P e Q, de coordenadas (xP, yP) e (xQ, yQ), respectivamente, 
possuem coordenadas em comum se e somente se xP = xQ e yP = yQ”. 
 
Dado o conjunto S = {(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2)}. 
Determine quantas funções bijetoras f: S → S existem, tais que para todos os pontos 
P e Q pertencentes ao conjunto S, f(P) e f(Q) possuem coordenadas em comum se e 
somente se P e Q possuem coordenadas em comum. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 104 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 105 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA 
2013/2014 
 
1a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
O polinômio ( ) 5 4 3 2
3 10 30 81 243P x x x x x x= − + − + − possui raízes complexas 
simétricas e uma raiz com valor igual ao módulo das raízes complexas. Determine 
todas as raízes do polinômio. 
 
 
2a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Calcule o determinante abaixo, no qual 
2
3
cis

 = e 1i = − . 
 
2
1 0
1
1 1 1
0 1
i
i i
i i
i




−
− −
 
 
3a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Determine o(s) valor(es) de 𝑥, inteiro(s) e positivo(s), que satisfaz(em) a equação 
( )
1
2
1 0
yx
y z
x y z
−
= =
 
= − 
 
  
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 106 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
4a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Resolva a equação 
 ( ) ( )2
2
cos cos
log sen log sen 4
x x
x x = 
 
 
 
5a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴’𝐵’𝐶’𝐷 um prisma reto de base retangular 𝐴𝐵𝐶𝐷. Projeta-seo ponto médio 𝑀 da 
maior aresta da base sobre a diagonal 𝐴𝐶, obtendo-se o ponto 𝑃. Em seguida projeta-se o 
ponto 𝑃 na face oposta, obtendo-se o ponto 𝑁. Sabe-se que 
2 2
NA NA k− = . Determine o 
comprimento da menor aresta da base. 
 
 
 
6a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Calcular o valor da expressão abaixo 
3
89 30 s ''1" 30 ''0"
370370...037 11111...1100000...00
algarismos alg algs
− 
Obs.: algs = algarismos 
 
 
 
7a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
O lado BC de um triângulo 𝐴𝐵𝐶 é fixo e tem comprimento 𝑎. O ortocentro 𝐻 do 
triângulo percorre uma reta paralela à reta suporte de BC e distante a/4 da mesma. 
 
A) Determine o lugar geométrico do ponto 𝐴 quando 𝐻 varia. 
 
B) Determine o valor mínimo da área do triângulo 𝐴𝐵𝐶 quando 𝐴 e 𝐻 estão no 
mesmo semi-plano definido pela reta suporte de BC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 107 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
8a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Um professor dá um teste surpresa para uma turma de 9 alunos, e diz que o teste 
pode ser feito sozinho ou em grupos de 2 alunos. De quantas formas a turma pode 
ser organizar para fazer o teste? 
 
(Por exemplo, uma turma de 3 alunos pode ser organizar de 4 formas e uma 
turma de 4 alunos pode se organizar de 10 formas) 
 
9a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Resolver o sistema de equações 
3
2
log
2 8 5 4
x x y
y
x y
x
+

− =

 + = 
 
 
 
 
10a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Sejam 𝑝 o semiperímetro de um triângulo, 𝑆 sua área, 𝑟 e 𝑅 os raios de suas 
circunferências inscrita e circunscrita, respectivamente. Demonstre que vale a 
seguinte desigualdade 
2
2 3 2
9 27
p
S r R   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 108 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 109 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA 
2014/2015 
 
1a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Determine os valores reais de x que satisfazem a inequação: 
2
3
4 1
log 1
log 2 9
x
x
+ 
−
 
 
2a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Encontre as soluções reais da equação 
4 4 4 4 3x x x x x+ − + − − = + 
 
 
3a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
 Descreva o lugar geométrico do número complexo z que atende à equação 
( ) ( ) ( )1 2 3
arg z z arg z z arg z z k− − − − − = 
em que 1
z é real, 2
z e 3
z são complexos conjugados com parte imaginária não nula 
e k é um número inteiro. 
 
Obs: arg(z) é o argumento do número complexo z. 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 110 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
4a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja n um número inteiro positivo cuja representação decimal é 
1 0
...
m
a a a e f a 
função que troca a posição dos dígitos 
2i
a e 
2 1i
a
+
, de forma que 
( )2 1 2 1 0 2 2 1 0 1
... ...
k k k k
f a a a a a a a a
+ +
= . Por exemplo 
( )123456 214365f = 
( )1034 143f = 
( )123 1032f = 
( )10 1f = 
Determine o menor número maior que 99 que satisfaça à equação 
( ) ( )( )
22
9 9x x f x f x= + + 
 
 
5a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Um tetraedro regular, com arestas de comprimento igual a d, é cortado por 2 planos 
paralelos entre si e a uma das bases, dividindo-o em 3 sólidos de volumes iguais. 
Determine a altura de cada um destes 3 sólidos em função de d. 
 
 
6a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Pelo ponto P de coordenadas (-1, 0) traçam-se as tangentes t e s à parábola y2 = 2x. 
A reta t intercepta a parábola em A e a reta s intercepta a parábola em B. Pelos 
pontos A e B traçam-se paralelas às tangentes encontrando a parábola em outros 
pontos C e D, respectivamente. Calcule o valor da razão AB/CD. 
 
 
7a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Num triângulo ABC isósceles, com ângulos iguais em B e C, o seu incentro I se 
encontra no ponto médio do segmento de reta que une o seu ortocentro H a seu 
baricentro G. O segmento de reta AG é menor que o segmento de reta AH. Os 
comprimentos dos segmentos de reta HI e IG são iguais a d. Determine o perímetro 
e a área desse triângulo em função de d. 
 
8a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
De quantas maneiras podemos decompor um eneágono convexo em triângulos 
traçando suas diagonais, de forma que essas diagonais não se cortem. 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 111 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
9a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Sejam S a b c= + + e P abc= . Calcule o determinante abaixo unicamente em função 
de S e P. 
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 22 2 2
2 22 2 2
22 2
2
2
a b c b a b c
a a c b a b c
a b a b
+ + + +
+ + + +
+
 
 
 
10a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Os coeficientes 
0
a , ... , 
2014
a do polinômio ( ) 2015 2014
2014 1 0
...P x x a x a x a= + + + + são 
tais que  0, 1
i
a  , para 0 2014i  . 
 
A) Quais são as possíveis raízes inteiras de P(x)? 
 
B) Quantos polinômios da forma acima têm duas raízes inteiras distintas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 112 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 113 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA 
2015/2016 
 
1a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Os inteiros 
1
a , 
2
a , 
3
a , ... , 
25
a estão em PA com razão não nula. Os termos 
1
a , 
2
a e 
10
a estão em PG, assim como 
6
a , 
j
a e 
25
a . Determine j . 
 
2a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Sejam as funções 
n
f , para 0, 1, 2, 3, ...n , tais que: 
0
1
1
f x
x
 e 
0 1n n
f x f f x , para 1n . 
Calcule 
2016
2016f . 
 
3a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja z um número complexo tal que 
2z
z i
 possui argumento igual a 
3
4
π
 e 
3
log 2 2 1 2z z . Determine o número complexo z . 
 
 
4a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Define-se A como a matriz 2016 2016 , cujos elementos satisfazem a igualdade: 
,
2
1
i j
i j
a
j
, para , 1, 2, ... , 2016i j 
Calcule o determinante de A 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 114 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
5a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Determine o conjunto solução da equação: 
sen 1 tg tg 4 cotg
2
x
x x x 
 
6a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja a equação 
22 2
7 5 2 49n m m n . Determine todos os pares inteiros (m, n) 
que satisfazem a esta equação. 
 
7a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Três jogadores sentam ao redor de uma mesa e jogam, alternadamente, um dado 
não viciado de seis faces. O primeiro jogador lança o dado, seguido pelo que está 
sentado à sua esquerda, continuando neste sentido até o jogo acabar. Aquele que 
jogar o dado e o resultado for 6, ganha e o jogo acaba. Se um jogador obtiver o 
resultado 1, o jogador seguinte perderá a vez, isto é, a vez passará ao jogador 
sentado à direita de quem obteve 1. O jogo seguirá até que um jogador ganhe ao 
tirar um 6. Qual é a probabilidade de vitória do primeiro jogador a jogar? 
 
 
8a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
A circunferência C tem equação 2 2
16x y . Seja C’ uma circunferência de raio 1 
que se desloca tangenciando internamente a circunferência C, sem escorregamento 
entre os pontos de contato, ou seja, C’ rola internamente sobre C. 
 
Define-se o ponto P sobre C’ de forma que no início do movimento de C’ o ponto P 
coincide com o ponto de tangência (4, 0), conforme figura a. Após certo 
deslocamento, o ângulo de entre o eixo x e a reta que une o centro das 
circunferências é α, conforme figura b. 
 
 Determine as coordenadas do ponto P marcado sobre C’ em função do ângulo α. 
 Determine a equação em coordenadas cartesianas do lugar geométrico do ponto 
P quando α varia no intervalo 0, 2π . 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 115 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
9a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Uma corda intercepta o diâmetro de um círculo decentro O no ponto C’ segundo um 
ângulo de 45º. Sejam A e B os pontos extremos desta corda, e a distância AC’ igual 
a 3 1 cm . O raio do círculo mede 2 cm, e C é a extremidade do diâmetro mais 
distante de C’. O prolongamento do segmento AO intercepta BC em A’. Calcule a 
razão em que A’ divide BC. 
 
 
10a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Um cone é inscrito em um cubo ABCDEFGH de forma que a base do cone é o 
círculo inscrito na base ABCD. O vértice do cone é o centro da face oposta do cubo. 
A projeção do vértice H na base ABCD coincide com o vértice D. Determine a área 
da seção do cone pelo plano ABH em função de a , a medida da aresta do cubo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 116 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 117 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA 
2016/2017 
 
1a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja M uma matriz real 2x2. Defina uma função f na qual cada elemento da matriz se 
desloca para a posição seguinte no sentido horário, ou seja, se 
a b
M
c d
 
=  
 
, implica 
que ( )
c a
f M
d b
 
=  
 
. Encontre todas as matrizes simétricas 2 2 reais na qual 
2
( )M f M= . 
 
2a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Resolva a inequação, onde x  
2
2
9
4
(1 3 1)
x
x

− +
 
 
 
3a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Resolva o sistema de equações, onde x  e y  . 
3 33 3
2 1433
log (log ) log (log ) 1
( ) 3
x y
y x
− =

=
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 118 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
4a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Classifique o sistema abaixo como determinado, possível indeterminado e 
impossível de acordo com os valores reais de m. 
2
3
( 2) 2 1
2 2 2
2 2( 1) ( 1) 3
m x y z m
x my z m
mx m y m z m
− + − = +

+ + = +
 + + + + = +
 
 
 
5a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Sejam os complexos z a bi= + e 47w ci= + , tais que 3
0z w+ = . Determine o valor 
de a, b e c, sabendo que esses números são inteiros e positivos. 
 
 
6a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Um triângulo ABC tem o seu vértice A na origem do sistema cartesiano, seu 
baricentro é o ponto D(3,2) e seu circuncentro é o ponto E(55/18,5/6). Determine: 
 
• A equação da circunferência circunscrita ao triângulo ABC; 
 
• As coordenadas dos vértices B e C. 
 
 
7a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Se 
cos sen
1
cos sen
x x
y y
+ = − , calcule o valor de S. 
3cos cos 3 3sen sen 3
.
cos sen
y y y y
S
x x
+ −
= + 
 
 
8a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja A = { 1, 2 , 3, 4 }. 
 
• Quantas funções de A para A têm exatamente 2 elementos em seu conjunto 
imagem? 
 
• Entre as 256 funções de A para A, sorteiam-se as funções f e g , podendo haver 
repetição. Qual a probabilidade da função composta f g ser uma função 
constante? 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 119 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
9a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Em um triângulo ABC, a medida da bissetriz interna AD é a média geométrica entre 
as medidas dos segmentos BD e DC, e a medida da mediana AM é a média 
geométrica entre os lados AB e AC. Os pontos D e M estão sobre o lado BC de 
medida a. Pede-se determinar os lados AB e AC do triângulo ABC em função de a. 
 
 
10a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Em um cone equilátero são inscritas duas esferas de raios
3 1
3 1
R
−
+
 e R , conforme a 
figura abaixo. Um plano secante ao cone é traçado de forma que este seja tangente 
às duas esferas. Determine em termos de R o maior segmento possível que une 
dois pontos da curva formada pela interseção do referido plano com o cone. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 120 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA 
2017/2018 
 
1a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja o número complexo z que satisfaz a relação ( ) ( ) ( )
2017 2017
2 3 1z i i iz− = +  − . 
Determine z , sabendo-se que 
3
3
z = . 
 
2a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Resolva a inequação abaixo, onde x é uma variável real. 
2 |x3| - 6x2 + 3 |x| + 2 < 0 
 
 
3a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Sabendo que 
6
x

 e que x satisfaz a equação abaixo 
( )
2
3 cos 4 cos sen 1
10sen 8sen cos 2
x x x
x x x
− +
=
−
 
 
Determine os possíveis valores de x . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 121 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
4a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Sejam a, b, c e d números reais positivos diferentes de 1. Temos que log
a
d , log
b
d 
e log
c
d são termos consecutivos de uma progressão geométrica e que a, b e c 
formam uma progressão aritmética em que a < b < c. Sabendo-se que loga b
b b a= − , 
determine: 
 
A) Os valores de a, b e c; 
 
B) As razões das progressões aritmética e geométrica, r e q, respectivamente. 
 
 
 
5a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Um ônibus escolar transporta n crianças. Sejam A o evento em que dentro do ônibus 
tenham crianças de ambos os sexos e B o evento em que há no máximo uma 
menina dentro do ônibus. Determine o valor de n para que os eventos A e B sejam 
independentes. 
 
 
6a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja a matriz 
3
4 2
k
A
− 
=  
 
, onde k real. Determine a faixa de valores de k para que 
exista uma matriz de números reais P tal que as condições abaixo sejam atendidas 
simultaneamente: 
 
A) T
A P PA I+ = , em que AT é a transposta da matriz A e I é a matriz identidade; 
B) P seja simétrica; 
C) 11
0p  , em que p11 é o elemento da linha 1 e coluna 1 de P; e 
D) |P| > 0, em que |P| é o determinante da matriz P. 
 
 
7a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Determine todos os números primos p, q e r tais que 
 
35 p + 11 pq + qr = pqr 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 122 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
8a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere a elipse abaixo, onde DD’ é uma corda passando pelo seu centro, MM’ 
uma corda focal e o eixo maior da elipse é 2a. Prove que: 
( ) ( )
2
' ' 2DD MM a=  
 
 
 
9a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere um triângulo ABC onde BC = a, AB = c, AC = b, c > b. O círculo inscrito a 
esse triângulo tangencia BC em D e DE é um diâmetro desse círculo. A reta que 
tangencia o círculo e que passa por E intercepta AB em P e AC em Q. A reta AE 
intercepta BC no ponto R. Determine os segmentos de reta EQ e DR em função dos 
lados do triângulo ABC. 
 
 
10a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja um cubo regular, onde os centros de suas faces são vértices de um octaedro. 
Por sua vez, os centros das faces desse octaedro formado são vértices de outro 
cubo. Obtendo consecutivamente octaedros e cubos infinitamente, determine a 
razão da soma dos volumes de todos os poliedros inscritos pelo volume do cubo 
inicial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 123 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA 
2018/2019 
 
1a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Um jogo de dominó possui 28 peças com duas pontas numeradas de zero a seis, 
independentemente, de modo que cada peça seja única, conforme ilustra a Figura 1. 
 
O jogo se desenrola da seguinte forma: 
 
1 – Quatro jogadores se posicionam nos lados de uma mesa quadrada. 
2 – No início do jogo, cada jogador recebe um conjunto de 7 peças, de forma 
aleatória, de modo que somente o detentor das peças possa ver seu conteúdo. 
3 – As ações ocorrem por turnos no sentido anti-horário. 
4 – O jogador com a peça 6|6 coloca-a sobre a mesa e em seguida cada jogador, na 
sua vez, executa uma de duas ações possíveis: 
 
a. Adiciona uma de suas peças de forma adjacente a uma das duas extremidades 
livres do jogo na mesa, de modo que as peças sejam encaixadas com pontas de 
mesmo valor. 
 
b. Passa a vez, caso não possuanenhuma peça com ponta igual a uma das 
extremidades livres da mesa. 
 
5 – Vence o jogo o primeiro jogador que ficar sem peças na mão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 124 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
No jogo da Figura 2, é a sua vez de jogar e você constatou que o jogador à sua 
direita não possui peças com ponta 5 e o jogador à sua frente não possui peças com 
ponta 0. Você analisou todas as possíveis configurações de peças que os jogadores 
podem ter em suas mãos e decidiu jogar de modo a garantir que uma das pontas 
livres da mesa só possa ser usada por uma peça de sua posse, e que esta será a 
sua última peça em mão. Ao utilizar essa estratégia: 
 
 
A) Quantas configurações de peças nas mãos dos jogadores garantem a vitória do 
jogo a você? 
B) Esta quantidade corresponde a qual percentual do total de configurações 
possíveis? 
 
Observação: 
• A ordem das peças na mão de um jogador não importa. 
 
2a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Definimos a função :f → da seguinte forma: 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) 2log
0 0
1 1
2 , 1
2 1 2 , 1
n
f
f
f n f n n
f n f n n
  
 =

=

= 

 + = + 
 
Determine ( )( )2019f f 
 
Observação: k   é o maior inteiro menor ou igual a k. 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 125 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
3a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Dadas as funções definidas nos reais : 
 
( )1
x
f x e= , ( ) ( )2
senf x x= , ( ) ( )3
cosf x x= , ( ) ( )4
sen 2f x x= e ( )5
x
f x e
−
= 
 
Mostre que existe uma única solução 
1
a , 
2
a , 
3
a , 
4
a , 
5
a , tal que: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
a f x a f x a f x a f x a f x +  +  +  +  
 
seja a função constante nula, onde 
1
a , 
2
a ,
3
a ,
4
a ,
5
a  . 
 
 
4a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja Z um número complexo tal que 
2Z
Z i
 possui argumento igual a 
3
4

 e 
( )3
log 2 2 1 2Z Z+ + = . Determine o número complexo Z. 
 
 
5a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Mostre que os números 16, 24 e 81 podem pertencer a uma PG e obtenha a 
quantidade de termos dessa PG, sabendo que seus elementos são números 
naturais. 
 
 
6a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja o polinômio q(x) = x4 – 8x3 + 6x2 + 40x + 25 + k que possui valor mínimo igual a 
– 64 
onde k é uma constante real. Determine as raízes de q(x). 
 
 
7a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Determine todas as soluções da equação 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
4sen 7 cos 2 2sen 9 8sen 5cos 2 2sen 5 4x x x x x x + + + + = 
 
no intervalo 
3
, 2
2


 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 126 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
8a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
A reta r é normal à cônica 𝐶, de equação 2 2
9 4 36x y− = , no ponto 
3 5
A 3,
2
 
=   
 
 e 
intercepta o eixo das abscissas no ponto B. Sabendo que F é o foco da cônica 𝐶 
mais próximo ao ponto A, determine a área do triângulo 𝐴𝐵𝐹. 
 
 
9a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Uma corda CD corta o diâmetro AB de um círculo de raio R no ponto E. Sabendo 
que o ângulo ABC = 30º e que 2EC R= , calcule a medida do segmento ED. 
 
 
 
10a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Um cubo com diagonal principal AG é interceptado pelo plano α, perpendicular à AG, 
formando uma seção hexagonal regular. Calcule, em função da aresta a do cubo: 
 
a) o apótema dessa seção hexagonal; 
b) o raio da esfera que é tangente a essa seção e às faces do cubo que contém o 
vértice A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 127 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA 
2019/2020 
 
1a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Sejam a e b raízes da equação x2 – 4x + M = 0, c e d raízes da equação x2 – 36x + N 
= 0. Sabendo-se que a, b, c e d formam uma progressão geométrica crescente, 
determine o valor de M + N. 
 
2a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja uma região S no plano complexo que consiste em todos os pontos Z tais que 
20
Z
 e 
20
Z
 possuem partes real e imaginária entre 0 e 1, inclusive. Determine a área 
da região S. 
Obs: Z é o conjugado do número complexo Z. 
 
 
3a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Os modelos de placas de identificação de automóveis adotadas no Brasil estão 
sendo atualizados. Atualmente, o modelo antigo ABC1234 (três letras seguidas de 
quatro algarismos) está sendo gradativamente substituído pelo modelo novo 
ABC1D23 (três letras seguidas de um algarismo, uma letra e dois algarismos). 
Placas de modelos distintos podem apresentar sequências de caracteres 
alfanuméricos iguais. Por exemplo, a sequência de caracteres “20” aparece nas 
combinações IME2020 e BRA5P20, enquanto a sequência “A12” aparece nas 
combinações BRA1234 e IME4A12. 
Considere a placa do modelo antigo IME2019. Seja P o conjunto de placas do 
modelo novo que podem ser formadas com alguma sequência de três caracteres em 
comum com a placa IME2019. Determine o número de elementos de P. 
Por exemplo, IME4A12 e BRA5E20 pertencem ao conjunto P. IMP5E19 não 
pertence ao conjunto P. 
Obs: considere o alfabeto com 26 letras. 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 128 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
4a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Em um jogo, João e Maria possuem cada um três dados não viciados com seis faces 
numeradas de 1 a 6. Cada um lançará os seus dados, sendo João o primeiro a 
lançar. O vencedor será aquele que obtiver o maior número de dados com 
resultados iguais. Em caso de empate, vencerá aquele que tiver o maior número nos 
dados de igual resultado. Se ainda houver empate, não haverá vencedor. Suponha 
que João obteve apenas dois dados com mesmo resultado. Qual é a probabilidade 
de Maria vencer o jogo? 
 
 
5a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Uma matriz A é semelhante a uma matriz B se e somente se existe uma matriz invertível P 
tal que A = PBP – 1. 
 
A) Se A e B forem semelhantes, mostre que det (A) = det (B). 
 
B) Dadas 
4 2
3 5
C
 
=  
 
 e 
8 2
3 1
D
− 
=  
 
, verifique se essas matrizes são semelhantes. 
 
 
 
6a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Sabendo que 2
1i = − , encontre todos os valores reais de x que satisfazem a seguinte 
inequação: 
( )
( )( )
2
2 2
2 log sen 1
Re 0
2 cos 1
ix
x
i e x
 + 
 
− +  
 
onde  Re Z é a parte real do número complexo Z . 
 
 
 
7a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja 
1 3 5
sen sen sen
14 14 14b
  
=   . Determine b, onde b pertence ao conjunto dos 
números inteiros não nulos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 129 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
8a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Os pontos A (-5, 0) e B (5, 0) definem um dos lados do triângulo ABC. A bissetriz 
interna do ângulo correspondente ao vértice C é paralela à reta de equação 
14 2 1 0x y− + = . Determine o valor da excentricidade do lugar geométrico definido 
pelo vértice C deste triângulo. 
 
 
 
9a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Sobre uma reta r são marcados três pontos distintos A, B e C, sendo que C é um 
ponto externo ao segmento de reta AB. Determine o lugar geométrico das 
interseções das retas tangentes a partir de A e B a qualquer circunferência tangente 
à reta r no ponto C. Justifique sua resposta. 
 
 
 
10a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Um determinado material radioativo, com volume inicial Q0, é manipulado numa 
usina nuclear. A cada dia o resíduo impuro da substância é descartado, através de 
uma ligação por um pequeno orifício, num invólucro lacrado em formato de 
paralelepípedo retângulo. No primeiro dia, a quantidade D1 descartada corresponde 
a 1/3 do volume inicial do material e, de um modo geral, a quantidade Dn descartada 
no n-ésimo dia é dada pela relação: 
 
1
1
3
n n
D D
−
=  , para 2n  
 
Determine as dimensões do invólucro (altura, largura e profundidade) onde se 
armazena o material descartado de modo que o custo de fabricação seja mínimo 
(isto é, a superfície lateral tenha área mínima) e tenha capacidade prevista de 
armazenamento por tempo indeterminado.CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 130 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA 
2020/2021 
 
1a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Calcule o(s) valor (es) de k real (is) para que o determinante da matriz abaixo seja 
igual a 24. 
 
1 3 1 2
1 0 2
2 1 0 3
4 1 1 3
k
 
 
 
 
 
− 
 
 
 
2a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Calcule os valores reais de x que satisfaçam a inequação 
( ) ( )2
3 1
3
1 7
log 1 log 0
3 3
x x+ +  +  
 
 
3a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere uma progressão aritmética (PA) de números inteiros com razão p > 2, seu 
primeiro termo maior do que 2 e seu último termo menor do que 47. Retirando-se 
uma determinada quantidade de elementos da PA, recai-se em uma PG de 3 
elementos e razão q > 2. Para p e q inteiros, p diferente de q, determine a PA cuja 
soma de seus elementos seja a maior possível. 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 131 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
4a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja o polinômio 1 – y + y2 – y3 + ... – y19 + y20 que pode ser escrito da seguinte 
forma 
 
x + x
2 + x
3 + x
4 + ... + x
19 + x
20 
 
onde x = y + 1 e i são constantes reais. Calcule o valor numérico de . 
 
 
5a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Determine o lugar geométrico dos pontos h do plano complexo 
4 2
2
w i
h
w i
+ +
=
− 
, em que 
w  e 2
1i = − . 
 
 
6a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Suponha que cada pacote de cereal CROK contenha um cupom com uma das letras 
da palavra CROK. Um consumidor que tenha todas as letras dessse cereal ganha 
um pacote. Considere que todas as letras tenham a mesma probabilidade de 
aparecer no pacote. Determine a probabilidade de que um consumidor que comprou 
10 pacotes desse cereal ganhe pelo menos um pacote. 
 
 
7a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Seja ABC uma triângulo tal que 2sen(A) – sen (B) – sen(C) = 0. Prove que o valor de 
cotg(B/2).cotg(C/2) é um número inteiro e o determine. 
 
Observação: cotg (Â) é a cotangente do ângulo Â. 
 
 
8a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere as retas que contêm o ponto C (3, 3) e interceptam os eixos coordenados 
x e y nos pontos A e B, respectivamente. O ponto P pertence à reta AB e sua 
distância ao ponto A é a terça parte do comprimento do segmento AB. Identifique o 
lugar geométrico do ponto P e escreva a sua equação. 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO CFG 
 
 
 
 
 
MAX PAIVA 132 
PROVAS DO IME – MAX PAIVA 
 
9a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Sejam os pontos D, E e F pertencentes, respectivamente, aos lados AB, BC e AC do 
triângulo ABC, tais que BD = 3AD, AF = 3CF e CE = 3BE. Sendo P = AE  CD, Q = 
AE  BF e R = BF CD, calcule 
 
 
PQR
ABC
. 
Observação: [XYZ] é a área do triângulo XYZ. 
 
 
10a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Um paralelepípedo oblíquo ABCD – EFGH possui todas as arestas com 
comprimento a. O plano que contém ABFE forma um ângulo de 60º com o plano que 
contém ABCD. O ângulo do vértice E da face ABFE é 120º. Se  for o ângulo do 
vértice E do paralelogramo contido na base superior EFGH do paralelepípedo, 
determine o volume do paralelepípedo em função da aresta a e do ângulo  .