Problemas de Matemática

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Universidade Estadual do Maranhão 
Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - PROFMAT 
 
Disciplina: Matemática Discreta Professor: Geilson Reis 
 
 
 
 
2ª Lista 
 
1) Determine o maior valor que pode ter a razão de uma progressão geométrica que 
admita os números 32, 227 e 942 como termos da progressão. 
 
2) Quais são os inteiros compreendidos entre 100 e 500, que não são divisíveis nem por 
2, nem por 3 e nem por 5? Quanto vale a soma desses números? 
 
3) Sejam 𝑎 = 111⋯1 (𝑛 dígitos iguais a 1) e 𝑏 = 100⋯05 (𝑛 − 1 dígitos iguais a 0). 
Mostre que 𝑎. 𝑏 + 1 é um quadrado perfeito e determine sua raiz quadrada. 
 
4) Se (𝑎𝑛) é uma progressão geométrica de termos positivos, mostre que (𝑏𝑛) definida 
por 𝑏𝑛 = log 𝑎𝑛 é uma progressão aritmética. 
 
5) Número perfeito é aquele que é igual a metade dos seus divisores positivos. Por 
exemplo, 6 é perfeito pois a soma dos seus divisores é 1 + 2 + 3 + 6. Prove que se, 
2𝑝 − 1 é um número primo, então 2𝑝−1. (2𝑝 − 1) é um número perfeito. 
 
6) Calcule o valor da soma de 𝑛 parcelas 1 + 11 + 111 +⋯+ 1111⋯1. 
 
7) Se (𝑎𝑖) é uma P.A. de termos não nulos de termos não nulos, mostre que 
 
1
𝑎1. 𝑎2
+
1
𝑎2. 𝑎3
+
1
𝑎3. 𝑎4
+⋯+
1
𝑎𝑛−1. 𝑎𝑛
=
𝑛 − 1
𝑎1. 𝑎𝑛
 
 
8) Uma soma finita de números inteiros consecutivos, ímpares, positivos ou negativos, é 
igual a 73. Determine os termos dessa sequência. 
 
9) Determine em função de 𝑛 o valor da soma 𝑆 = 13 + 23 + 33 +⋯+ 𝑛3. 
 
10) A soma dos 𝑛 primeiros termos de uma P.G. de razão diferente de 1 é dada, para todo 
𝑛, por 𝑆𝑛 =
𝑎𝑛−4+𝑎𝑛−3−𝑎−4−𝑎−3
𝑎2−1
 onde 𝑎2 ≠ 1. Determine a razão da P.G. e o 1º termo. 
 
11) Calcule o produto dos 𝑛 primeiros termos de uma P.G. conhecendo-se a sua soma 𝑆 e 
a soma 𝑆′ dos seus inversos. 
 
12) Os inteiros 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, ⋯ , 𝑎25 estão em P.A. com razão não nula. Os termos 𝑎1, 𝑎2 e 𝑎10 
estão em P.G., assim como 𝑎6, 𝑎𝑗 e 𝑎25. Determine 𝑗. 
 
 
 
 
13) A progressão geométrica infinita (𝑎1, 𝑎2, ⋯ , 𝑎𝑛, ⋯ ) tem razão 𝑟 < 0. Sabe-se que a 
progressão infinita (𝑎1, 𝑎6, ⋯ , 𝑎5𝑛+1,⋯ ) tem soma 8 e a progressão infinita 
(𝑎5, 𝑎10,⋯ , 𝑎5𝑛, ⋯ ) tem soma 2. Determine a soma da progressão infinita 
(𝑎1, 𝑎2, ⋯ , 𝑎𝑛, ⋯ ). 
 
14) Subtraindo um dos elementos do conjunto {1,2,⋯ , 𝑛}, a média aritmética dos elementos 
restantes é 16,1. Determine o valor de 𝑛 e qual foi o elemento suprimido.