Modelos de Viga: Euler-Bernoulli e Timoshenko

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1 Contribuciones a Las Ciencias Sociales, São José dos Pinhais, v.17, n.6, p. 01-29, 2024 
 
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Aproximações em diferenças finitas dos modelos de viga de Euler-Bernoulli e 
Timoshenko usando grid não uniforme 
 
Finite difference approximations of the Euler-Bernoulli and Timoshenko 
beam models using nonuniform grid 
 
Aproximaciones em diferencias finitas de los modelos de vigas de Euler-
Bernoulli y Timoshenko utilizando rejilla no uniforme 
 
DOI: 10.55905/revconv.17n.6-122 
 
Originals received: 05/10/2024 
Acceptance for publication: 05/31/2024 
 
Ana Paula Freitas Borges 
Mestre em Engenharia Civil e Ambiental 
Instituição: Universidade Estadual de Feira de Santana (UEFS) 
Endereço: Feira de Santana - Bahia, Brasil 
E-mail: a_paulaborges@hotmail.com 
Orcid: https://orcid.org/0009-0007-8495-4889 
 
Itajair Carvalho da Silva Junior 
Graduado em Engenharia Civil 
Instituição: Universidade Estadual de Feira de Santana (UEFS) 
Endereço: Feira de Santana - Bahia, Brasil 
E-mail: itajairc@gmail.com 
 
Geraldo José Belmonte dos Santos 
Doutor em Modelagem Computacional 
Instituição: Universidade Estadual de Feira de Santana (UEFS) 
Endereço: Feira de Santana - Bahia, Brasil 
E-mail: belmonte@uefs.br 
Orcid: https://orcid.org/0000-0001-6726-7330 
 
José Mário Feitosa Lima 
Doutor em Engenharia Civil 
Instituição: Universidade Estadual de Feira de Santana (UEFS) 
Endereço: Feira de Santana - Bahia, Brasil 
E-mail: lima.jmf@gmail.com 
Orcid: https://orcid.org/0000-0002-2294-3304 
 
RESUMO 
As vigas são importantes elementos estruturais sujeitos ao comportamento de flexão devido a 
carregamentos transversais, sendo representadas pelos modelos matemáticos de Euler-Bernoulli 
e Timoshenko. As aproximações em diferenças finitas, usadas para discretizar os modelos, são 
construídas normalmente sobre grid de pontos regulares (ou uniformes), os quais limitam a 
 
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aplicação do método a condições de apoio e carregamentos específicos. No presente estudo, são 
desenvolvidas aproximações de diferenças finitas para grid de pontos irregulares (ou não 
uniformes) para ambos os modelos de viga, considerando a avaliação da taxa de convergência, a 
análise da influência da esbeltez na acurácia dos resultados, bem como o uso de adaptabilidade 
da malha de pontos às regiões de maior interesse. Os resultados demonstram que o uso de grids 
não uniformes não interferem na taxa de convergência da discretização, porém são fundamentais 
para generalizar o método de diferenças finitas para condições de apoio e carregamentos 
quaisquer. As aproximações em diferenças finitas para a viga de Timoshenko permitem usar o 
modelo para vigas curtas e esbeltas. Tais resultados mostram que o método de diferenças finitas 
pode ser usado, sem restrições, para a discretização de elementos de barra, facilitando a 
introdução de estudantes de graduação e pós-graduação em modelagem computacional. 
 
Palavras-chave: diferenças finitas, viga de Euler-Bernoulli, viga de Timoshenko, grid irregular. 
 
ABSTRACT 
The beams are important structural elements subject to bending behavior due to transverse 
loading, being represented by the mathematical models of Euler-Bernoulli and Timoshenko. The 
approximations in finite differences, used to discrete the models, are normally performed on 
regular grid of points, which restricts the application of the method to specific support conditions 
and loading. In the present study, approximations of finite differences for irregular (or 
nonuniform) grid of points are developed for both beam models, considering the evaluation of 
the convergence rate, the analysis of the influence of slenderness in the accuracy of results, as 
well as the use of adaptivity of the points to the regions of greater interest. The results show that 
the use of nonuniform grids do not affect with the convergence rate of discretization but are 
fundamental to generalize the method of finite differences for any support conditions and 
loading. The approximations in finite differences used for the Timoshenko beam allow to use the 
model for short and slender beams. These results show that the finite difference method can be 
used without restrictions as a method of discretization of frame elements, thus facilitating the 
introduction of undergraduate and postgraduate students into computational modeling. 
 
Keywords: finite difference, Euler-Bernoulli beam, Timoshenko beam, irregular grid. 
 
RESUMEN 
Las vigas son importantes elementos estructurales sujetos a comportamiento de flexión debido a 
cargas transversales, estando representadas por los modelos matemáticos de Euler-Bernoulli y 
Timoshenko. Las aproximaciones en diferencias finitas, utilizadas para discretizar los modelos, 
normalmente se construyen sobre una cuadrícula de puntos regulares (o uniformes), que limitan 
la aplicación del método a cargas y condiciones de soporte específicas. En el presente estudio, se 
desarrollan aproximaciones en diferencias finitas para una grilla de puntos irregulares (o no 
uniformes) para ambos modelos de vigas, considerando la evaluación de la tasa de convergencia, 
el análisis de la influencia de la esbeltez en la precisión de los resultados, así como el uso de 
adaptabilidad de la malla de puntos a las regiones de mayor interés. Los resultados demuestran 
que el uso de mallas no uniformes no interfiere con la tasa de convergencia de la discretización, 
pero son esenciales para generalizar el método de diferencias finitas para cualquier condición de 
soporte y carga. Las aproximaciones en diferencias finitas para la viga de Timoshenko permiten 
que el modelo se utilice para vigas cortas y delgadas. Estos resultados muestran que el método 
de diferencias finitas puede utilizarse, sin restricciones, para la discretización de elementos de 
 
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barras, facilitando la introducción de estudiantes de pregrado y posgrado al modelado 
computacional. 
 
Palabras clave: diferencias finitas, viga de Euler-Bernoulli, viga de Timoshenko, rejilla 
irregular. 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
Para a análise de problemas em engenharia estrutural utiliza-se modelos matemáticos que 
representem o comportamento real do elemento ou sistema, considerando o grau de acurácia 
desejado em relação à quantidade de interesse. No caso de vigas, os modelos matemáticos 
normalmente utilizados são os de Euler-Bernoulli, que despreza o efeito do cisalhamento, e de 
Timoshenko, que considera tal efeito em uma primeira aproximação. No primeiro caso, tem-se 
uma equação diferencial de quarta ordem dada em função do deslocamento transversal, enquanto 
no segundo caso, duas equações diferenciais de segunda ordem dada em função deslocamento 
transversal e da rotação da seção. Embora o modelo de Euler-Bernoulli seja o mais utilizado na 
prática, muito em função de sua simplicidade e por representar adequadamente os elementos 
esbeltos normalmente encontrados na prática, o modelo de Timoshenko, por considerar a 
contribuição do cisalhamento, é mais completo e conseguiria representar tanto vigas curtas 
quanto as esbeltas. 
Embora seja possível resolver analiticamente as equações diferenciais dos modelos 
elastoestáticos lineares de viga para os casos mais simples, para a solução de sistemas de 
reticulados mais complexos (e.g. vigas contínuas, pórticos planos, grelhas e pórticos espaciais), 
é necessário o uso de métodos numéricos, tais como: Método dos Elementos Finitos (MEF), 
método da rigidez e Método das Diferenças Finitas (MDF). Até a primeira metade do século XX, 
o MDF era o método mais usado para a solução de equações diferenciais, tendo perdido espaço, 
a partir da década de 1960, com o surgimento do MEF e a ascensão dos computadores (Bathe,2006). 
Os métodos dos elementos finitos são de uso geral, mas exigem do usuário um 
conhecimento matemático mais sofisticado, alguns dos quais não vistos normalmente nos cursos 
de graduação em engenharia. Resumidamente, pode-se dizer que a aplicação do método na sua 
forma clássica depende de três componentes: um princípio variacional (e.g. princípio da energia 
 
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potencial total estacionária, princípio dos resíduos ponderados, princípio dos trabalhos virtuais 
etc) que impõem as condições de equilíbrio do problema na sua forma fraca; a discretização do 
domínio do problema em subdomínios convexos de topologias específicas, chamados elementos; 
e a interpolação das funções incógnitas do problema, dentro de cada elemento, em função dos 
valores das variáveis incógnitas em pontos específicos (graus de liberdade), principalmente nas 
fronteira dos elementos, chamados de nós, de forma a garantir a continuidade do campo. Já o 
método das diferenças finitas, na sua versão clássica, consiste em substituir o domínio contínuo 
do problema por pontos discretos distribuídos e aproximar a equação governante do problema na 
sua forma forte, em cada ponto discreto do domínio e contorno, por uma expressão algébrica que 
substitui as derivadas por uma combinação linear das variáveis incógnitas dos pontos da 
vizinhança, obtida via série de Taylor truncada. Tal procedimento é mais simples para ensinar e 
introduzir os conceitos relacionados à modelagem numérico-computacional em cursos de 
graduação e pós-graduação (Deus et al., 2010; Ern, Guermond, 2004). 
Inicialmente, o MDF era aplicado para a solução aproximada de equações diferenciais de 
problemas estruturais em que o domínio permitia gerar malhas regulares de pontos, normalmente 
alinhados com o sistema de coordenadas ou contorno. Tal condição limitava seu uso, gerando 
dificuldades em situações com geometria, carregamento e condições de contorno mais complexas 
presentes em situações reais (Borges, 2023). Devido a essa necessidade de abranger os casos 
mais gerais, foram implementadas malhas de pontos não uniformes (ou irregulares), o que levou 
a uma liberdade na modelagem de quase todos os tipos de domínios de sistemas estruturais. Nesse 
sentido, vários trabalhos foram desenvolvidos a partir da década de 1970 (Jensen, 1972; Perrone, 
Liszka, Orkisz, 1980; Kao, 1975), ainda baseando-se na expansão de Taylor, os quais ficaram 
posteriormente conhecidos como Método das Diferenças Finitas Generalizada (MDFG), sendo 
classificados como um método meshless, que são métodos baseados em grid de pontos e não em 
malha de elementos, como o Método Clássico de Elementos Finitos (Borges, 2023). 
Dentro da Engenharia Estrutural esses métodos podem ser aplicados para solucionar 
vários modelos que apresentam equações diferenciais. No caso dos modelos de viga, o uso do 
MDFG permite a generalização do método de diferenças finitas, tal qual o MEF, facilitando a 
introdução dos conceitos envolvidos na modelagem, tal como discretização não uniforme, erro 
da solução aproximada, taxa de convergência etc. Nesse sentido, usando problemas de vigas, os 
quais possuem o comportamento mais complexo de estruturas de reticulados, o presente trabalho 
 
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objetiva demonstrar que é possível utilizar o MDFG em modelos de vigas de Euler-Bernoulli e 
Timoshenko para qualquer condição de contorno e de carregamento, além de introduzir 
importantes conceitos de modelagem numérico-computacional, normalmente encontrado no 
MEF, porém usando conceitos aprendidos nos primeiros anos de cursos de engenharia, tais como 
equações diferenciais e séries. Além disso, considerando que o modelo de Euler-Bernoulli não 
representa adequadamente vigas curtas, pretende-se demonstrar que o modelo de Timoshenko 
pode ser aplicado aos casos de vigas curtas e esbeltas, sem gerar problemas de locking por 
cisalhamento, como acontece em MEF para elementos de baixa ordem. Adicionalmente, na viga 
de Timoshenko tem-se que discretizar derivadas de ordem dois no máximo, reduzindo o número 
de pontos mínimos envolvidos na representação, o que facilita na aplicação em variadas 
condições de contorno natural e cinemática. 
 
2 MODELOS MATEMÁTICOS DE VIGAS 
 
A seguir serão descritos os modelos matemáticos de viga de Euler-Bernoulli e 
Timoshenko. 
 
2.1 MODELO MATEMÁTICO DE VIGA DE EULER-BERNOULLI 
 
A mais simples teoria aplicada a uma viga reta prismática, como proposto por Euler-
Bernoulli, impõe uma restrição no campo de deslocamento de tal forma que toda seção 
transversal plana na configuração indeformada permanece plana e normal ao eixo longitudinal 
da viga na configuração deformada, após a flexão, conforme mostrado na Figura 1. 
Em função dessa hipótese cinemática, a deformação cisalhante não é levada em 
consideração nessa teoria, restando apenas a tensão normal na seção transversal. Além disso, o 
efeito de Poisson sobre a deformação transversal é também descartado. Em vigas esbeltas (i.e. 
relação entre altura e comprimento ℎ/𝐿 ≤ 1/10), a energia devido ao cisalhamento é considerada 
desprezável em relação à energia de flexão e, por isso, o modelo de viga de Euler-Bernoulli pode 
ser usado nesse caso, não gerando, inclusive, qualquer inconveniente no processo de solução 
numérica. Com a hipótese cinemática, tem-se que o deslocamento axial 𝑢𝑥 = (𝑥, 𝑦) e transversal 
 
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𝑢𝑦 = (𝑥, 𝑦) de um ponto qualquer da viga sob flexão no plano 𝑥𝑂𝑦 é dado pelas Equações 1 e 
2. 
 
Figura 1. Hipótese cinemática da viga de Euler-Bernoulli. 
 
Fonte: Reddy, 1997. 
 
 
𝑢𝑥(𝑥, 𝑦) = −𝑦
𝑑𝑣(𝑥)
𝑑𝑥
 (1) 
 
𝑢𝑦(𝑥, 𝑦) = 𝑣(𝑥) (2) 
 
Onde: 
 
 𝑣(𝑥) é o deslocamento transversal do ponto (𝑥, 𝑦 = 0) no plano médio da viga, ou seja 𝑣(𝑥) =
𝑢𝑦(𝑥, 𝑦 = 0). O eixo de coordenada 𝑥 está ao longo do comprimento da viga e passando pelo centróide das 
seções transversais, já o eixo de coordenada 𝑦 está localizado ao longo da altura da viga, conforme mostrado 
na Figura 2. 
 
 
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Figura 2. Sistema de coordenadas da viga. 
 
Fonte: Elaboradas pelos próprios autores. 
 
A partir das equações de equilíbrio do elemento infinitesimal de comprimento 𝑑𝑥 (ver 
Figura 3(a)), temos que 
 
𝑑𝑉
𝑑𝑥
= 𝑞(𝑥) 
 
 
(3) 
𝑑𝑀
𝑑𝑥
= 𝑉 (4) 
 
Onde: 
 
 𝑀 é o momento fletor e 𝑉 é o esforço cortante na seção transversal, sendo o momento fletor dado por 
 
𝑀 = 𝐸𝐼𝑧
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
 (5) 
 
em que: 
 
 𝐸 é o módulo de elasticidade longitudinal do material e 𝐼𝑧 é o momento de segunda ordem da seção 
transversal em relação ao eixo coordenado 𝑧. 
 
 
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Figura 3. Elementos infinitesimais de equilíbrio de uma viga. (a) carga distribuída, (b) carga concentrada, (c) 
momento concentrado. 
 
Fonte: Reddy, 1997. 
 
Com isso, a equação governante do problema de Euler-Bernoulli é obtida substituindo a 
Eq. (4) na (3) e a Eq. (5) na resultante delas, obtendo-se a Eq. (6). 
 
𝑑2
𝑑𝑥2
(𝐸𝐼𝑧 
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
) = 𝑞(𝑥) (6) 
 
2.2 MODELO MATEMÁTICO DE VIGA DE TIMOSHENKO 
 
Para vigas pouco esbeltas, ou quando o cisalhamento é importante no comportamento do 
fenômeno modelado (e.g. fissuração próximo do apoio de vigas de concreto armado, vigas 
laminadas), um modelo mais completo, o qual leva em consideração o efeito da deformação 
cisalhante, é a teoria de viga de Timoshenko (ou de primeira ordem), tendo como variáveis 
primais (ou cinemáticas) o deslocamento transversal𝑣(𝑥) e a rotação da seção 𝜃𝑧, que é positiva 
no sentido anti-horário. Neste caso, a hipótese cinemática utilizada é que toda seção transversal 
plana e normal ao eixo longitudinal, na configuração indeformada, permanece plana, porém não 
mais normal ao eixo longitudinal da viga na configuração deformada após a flexão. Na realidade, 
com a presença da tensão cisalhante, a seção transversal deixa de ser plana, exibindo um 
empenamento tão significativo quanto maior for o esforço cortante da seção. Nesse modelo a 
deformação cisalhante 𝛾𝑥𝑦 é considerada constante ao longo da altura da viga, representando, 
portanto, um valor médio da deformação cisalhante variável ao longo da seção transversal 
considerada, a qual é dada pela diferença entre a declividade e a rotação da seção. Como há uma 
dependência desse valor com a forma da seção transversal, e sendo parabólica a distribuição real 
 
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da tensão cisalhante na altura da seção transversal, há necessidade de se introduzir uma constante 
de correção do cisalhamento 𝐾𝑠, que varia conforme o tipo de seção. A partir da hipótese 
cinemática de Timoshenko, pode-se descrever os seguintes campos de deslocamentos: 
 
𝑢𝑥 = −𝑦𝜃𝑧(𝑥) 
 
(7) 
𝑢𝑦 = 𝑣(𝑥) (8) 
 
Onde: 
 
 𝜃𝑧 é a rotação média da seção transversal, que é em geral distinta da declividade 
𝑑𝑣
𝑑𝑥
 (ver Figura 4) e as 
deformações são 
 
𝜀𝑥 =
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑥
= −𝑦
𝑑𝜃𝑧
𝑑𝑥
 
 
(9) 
𝛾𝑥𝑦 =
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑦
+
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑥
=
𝑑𝑣
𝑑𝑥
− 𝜃𝑧 (10) 
 
Figura 4. Hipótese cinemática da viga Timoshenko. 
 
Fonte: Reddy, 1997. 
 
Na teoria de viga de Timoshenko a hipótese de ortogonalidade entre o eixo longitudinal 
centroidal e a seção transversal da viga é relaxada. Tal hipótese faz com que a deformação 
cisalhante 𝛾𝑥𝑦, dada por 
𝑑𝑣
𝑑𝑥
− 𝜃𝑧, não seja nula, exceto no caso de flexão pura. Com isso, as 
expressões do cortante 𝑉 e momento fletor 𝑀 são dadas por: 
 
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𝑉 = −𝐺𝐴 𝐾𝑠𝛾𝑥𝑦 = −𝐺𝐴𝐾𝑠 (
𝑑𝑣
𝑑𝑥
− 𝜃𝑧) 
 
(11) 
𝑀 = 𝐸𝐼𝑧
𝑑𝜃𝑧
𝑑𝑥
 (12) 
 
Onde: 
 
o sinal negativo na expressão do cortante é para compatibilizar a convenção de sinais, pois quando a tensão 
cisalhante é negativa, o cortante é positivo e vice-versa. Com isso, substituindo as Eqs. (11) e (12) nas Eqs. 
(3) e (4), obtém-se as equações governantes Eq. (13) e (14) do problema de Timoshenko, as quais são dadas 
não apenas em função do deslocamento transversal 𝑣(𝑥), mas também pela rotação da seção transversal 𝜃𝑧. 
 
−
𝑑
𝑑𝑥
[𝐺𝐴𝐾𝑠 (
𝑑𝑣
𝑑𝑥
− 𝜃𝑧)] = 𝑞(𝑥) 
 
(13) 
−
𝑑
𝑑𝑥
[𝐸𝐼𝑧
𝑑𝜃𝑧
𝑑𝑥
] − 𝐺𝐴𝐾𝑠 (
𝑑𝑣
𝑑𝑥
− 𝜃𝑧) = 0 (14) 
 
Onde: 
 
 𝐺 é o módulo de elasticidade transversal, 𝐴 é a área da seção transversal e 𝐾𝑠, o coeficiente de correção do 
cisalhamento. 
 
Vale salientar que a viga de Timoshenko é considerada importante porque, dentre outras 
coisas, além de representar um modelo de comportamento mais completo desse elemento 
estrutural do que o dado pela teoria de Euler-Bernoulli, o estudo e a análise de novos métodos 
numéricos para a solução de flexão de placas semiespessas de Mindlin-Reissner, quando 
possível, é precedido pela aplicação na viga de Timoshenko, por ser um modelo unidimensional 
com vínculos internos cinemáticos que geram dificuldades numéricas de mesma natureza. Além 
disso, quando se usa o Método de Elementos Finitos (MEF) para a solução discreta do problema 
de viga, o requerimento de continuidade interelemento exigido é apenas de continuidade 𝐶0 (i.e., 
função contínua) para a viga de Timoshenko, enquanto para a viga de Euler-Bernoulli é 𝐶1 (i.e., 
função e primeira derivada contínuas). 
É bastante conhecido na literatura de mecânica computacional que a formulação de 
deslocamento (primal) do método de elementos finitos de baixa ordem, aplicada ao problema da 
 
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viga de Timoshenko, apresenta problema numérico conhecido como travamento por 
cisalhamento (shear locking) quando a esbeltez da viga (i.e., 𝐿/ℎ) cresce. Para superar tal 
dificuldade, diversas são as formulações de viga de Timoshenko, as quais diferenciam uma da 
outra na escolha das funções de interpolação. No método das diferenças finitas, como 
apresentado no presente trabalho, o problema de travamento é superado aumentando a ordem de 
aproximação e consequentemente o número de pontos da representação das derivadas (Reddy, 
1997). 
 
3 APROXIMAÇÕES DE DIFERENÇAS FINITAS DE MODELOS DE VIGA 
 
3.1 APROXIMAÇÕES DAS DERIVADAS EM DIFERENÇAS FINITAS PARA GRID DE 
PONTOS NÃO UNIFORME 
 
Considere uma viga reta com o domínio Ω = (0, 𝐿), onde 𝐿 é considerado o comprimento 
da viga. Para aplicação do método das diferenças finitas é necessário substituir o domínio por 
um conjunto arbitrário de pontos N envolvendo pontos do domínio e contorno da viga, tal que 
 
𝑁 = {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘−2, 𝑥𝑘−1, 𝑥𝑘, 𝑥𝑘+1, 𝑥𝑘+2, … , 𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛} (15) 
 
Onde: 
 
 𝑥1 = 0 e 𝑥𝑛 = 𝐿. A seguir, tem-se o desenvolvimento das aproximações de diferenças finitas para malha 
de pontos não uniforme para o modelo de Euler-Bernoulli, o qual deve-se aproximar a derivada de 4a ordem 
e, por isso, usa-se o mínimo de 5 pontos. 
 
Seja a expansão em série de Taylor da função genérica 𝑓(𝑥), em torno do ponto 𝑥𝑘 do 
grid de pontos não uniforme 𝑁, tem-se que 
 
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥𝑘) + 𝑓
′(𝑥𝑘)𝛥𝑥 +
𝑓′′(𝑥𝑘)
2!
𝛥𝑥2 +
𝑓′′′(𝑥𝑘)
3!
𝛥𝑥3 +
𝑓′′′′(𝑥𝑘)
4!
𝛥𝑥4 + 
𝑓′′′′′(𝜉)
5!
𝛥𝑥5 
(16) 
 
 
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Onde: 
 
 Δ𝑥 = 𝑥 − 𝑥𝑘, o último termo é o resíduo da expansão em série e 𝑓′ e 𝑓′′ são a primeira e segunda derivadas 
da função, respectivamente. 
 
De acordo com Liszka e Orkisz (1980), assumindo 𝑥 igual a 𝑥𝑘−2, 𝑥𝑘−1, 𝑥𝑘+1 e 𝑥𝑘+2, e 
desprezando o resíduo, tem-se 
 
𝑓𝑘−2 = 𝑓𝑘 + ∆𝑘−2𝑓𝑘
′ +
∆𝑘−2
2
2!
𝑓𝑘
′′ +
∆𝑘−2
3
3!
𝑓𝑘
′′′ +
∆𝑘−2
4
4!
 𝑓𝑘
′′′′ 
 
 
(17) 
𝑓𝑘−1 = 𝑓𝑘 + ∆𝑘−1𝑓𝑘
′ +
∆𝑘−1
2
2!
𝑓𝑘
′′ +
∆𝑘−1
3
3!
𝑓𝑘
′′′ +
∆𝑘−1
4
4!
 𝑓𝑘
′′′′ 
 
(18) 
𝑓𝑘+1 = 𝑓𝑘 + ∆𝑘+1𝑓𝑘
′ +
∆𝑘+1
2
2!
𝑓𝑘
′′ +
∆𝑘+1
3
3!
𝑓𝑘
′′′ +
∆𝑘+1
4
4!
 𝑓𝑘
′′′′ 
 
(19) 
𝑓𝑘+2 = 𝑓𝑘 + ∆𝑘+2𝑓𝑘
′ +
∆𝑘+2
2
2!
𝑓𝑘
′′ +
∆𝑘+2
3
3!
𝑓𝑘
′′′ +
∆𝑘+2
4
4!
 𝑓𝑘
′′′′ (20) 
 
Onde: 
 
 ∆𝑘+2= 𝑥𝑘+2 − 𝑥𝑘, ∆𝑘+1= 𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘, ∆𝑘−1= 𝑥𝑘−1 − 𝑥𝑘, ∆𝑘−2= 𝑥𝑘−2 − 𝑥𝑘 e 𝑓𝑗 ≈ 𝑓(𝑥𝑗). 
 
Reescrevendo de forma matricial, tem-se [𝐷] ∙ {𝑑𝐹} = {𝐹}, em que 
 
{𝐹} = {
𝑓𝑘−2 − 𝑓𝑘
𝑓𝑘−1 − 𝑓𝑘
𝑓𝑘+1 − 𝑓𝑘
𝑓𝑘+2 − 𝑓𝑘
} 
 
(21) 
 
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[𝐷] =
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∆𝑘−2
∆𝑘−2
2
2!
∆𝑘−2
3
3!
∆𝑘−2
4
4!
∆𝑘−1
∆𝑘−1
2
2!
∆𝑘−1
3
3!
∆𝑘−1
4
4!
∆𝑘+1
∆𝑘+1
2
2!
∆𝑘+1
3
3!
∆𝑘+1
4
4!
∆𝑘+2
∆𝑘+2
2
2!
∆𝑘+2
3
3!
∆𝑘+2
4
4! ]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(22) 
{𝑑𝐹} =
{
 
 
𝑓′
𝑓′′
𝑓′′′
𝑓′′′′}
 
 
 (23) 
 
Portanto, pode-se calcular as derivadas até a quarta ordem, usando 5 pontos não 
uniformes, de tal forma que 
 
{𝑑𝐹} = [𝐶] ∙ {𝐹} (24) 
 
Onde: 
 
 [𝐶] = [𝐷]−1. Ou 
 
 
Com isso, as aproximações das derivadas em diferenças finitas para grid de pontos não 
uniformes são 
 
{
 
 
𝑓′
𝑓′′
𝑓′′′
𝑓′′′′}
 
 
=
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∆𝑘−2
∆𝑘−2
2
2!
∆𝑘−2
3
3!
∆𝑘−2
4
4!
∆𝑘−1
∆𝑘−1
2
2!
∆𝑘−1
3
3!
∆𝑘−1
4
4!
∆𝑘+1
∆𝑘+1
2
2!
∆𝑘+1
3
3!
∆𝑘+1
4
4!
∆𝑘+2
∆𝑘+2
2
2!
∆𝑘+2
3
3!
∆𝑘+2
4
4! ]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
−1
∙ {
𝑓𝑘−2 − 𝑓𝑘
𝑓𝑘−1 − 𝑓𝑘
𝑓𝑘+1 − 𝑓𝑘
𝑓𝑘+2 − 𝑓𝑘
} (25) 
 
14 Contribuciones a LasCiencias Sociales, São José dos Pinhais, v.17, n.6, p. 01-29, 2024 
 
 jan. 2021 
𝑓𝑘
′ = 𝐶(1,1) ∙ 𝑓𝑘−2 + 𝐶(1,2) ∙ 𝑓𝑘−1 + 𝐶(1,3) ∙ 𝑓𝑘+1 + 𝐶(1,4) ∙ 𝑓𝑘+2 − 
[𝐶(1,1) + 𝐶(1,2) + 𝐶(1,3) + 𝐶(1,4)] ∙ 𝑓𝑘 
 
(26) 
𝑓𝑘
′′ = 𝐶(2,1) ∙ 𝑓𝑘−2 + 𝐶(2,2) ∙ 𝑓𝑘−1 + 𝐶(2,3) ∙ 𝑓𝑘+1 + 𝐶(2,4) ∙ 𝑓𝑘+2 − 
[𝐶(2,1) + 𝐶(2,2) + 𝐶(2,3) + 𝐶(2,4)] ∙ 𝑓𝑘 
 
(27) 
𝑓𝑘
′′′ = 𝐶(3,1) ∙ 𝑓𝑘−2 + 𝐶(3,2) ∙ 𝑓𝑘−1 + 𝐶(3,3) ∙ 𝑓𝑘+1 + 𝐶(3,4) ∙ 𝑓𝑘+2 − 
[𝐶(3,1) + 𝐶(3,2) + 𝐶(3,3) + 𝐶(3,4)] ∙ 𝑓𝑘 
 
(28) 
𝑓𝑘
′′′′ = 𝐶(4,1) ∙ 𝑓𝑘−2 + 𝐶(4,2) ∙ 𝑓𝑘−1 + 𝐶(4,3) ∙ 𝑓𝑘+1 + 𝐶(4,4) ∙ 𝑓𝑘+2 − 
[𝐶(4,1) + 𝐶(4,2) + 𝐶(4,3) + 𝐶(4,4)] ∙ 𝑓𝑘 
(29) 
 
Para simplificar o desenvolvimento das equações de equilíbrio em diferenças finitas a 
seguir, pode-se considerar 
 
𝑓𝑘
𝑖 = 𝐶𝑖(1) ∙ 𝑓𝑘−2 + 𝐶𝑖(2) ∙ 𝑓𝑘−1 + 𝐶𝑖(3) ∙ 𝑓𝑘+1 + 𝐶𝑖(4) ∙ 𝑓𝑘+2 + 𝐶𝑖(5) ∙ 𝑓𝑘 (30) 
 
Onde: 
 
 𝑖 = 1, 2, 3 𝑒 4 é a ordem da derivada e os coeficientes de aproximação das derivadas são 𝐶𝑖(𝑗) = 𝐶(𝑖, 𝑗), 
para 𝑗 = 1, 2, 3 𝑒 4, e 𝐶𝑖(5) = −[𝐶(𝑖, 1) + 𝐶(𝑖, 2) + 𝐶(𝑖, 3) + 𝐶(𝑖, 4)]. 
 
As aproximações em diferenças finitas para a primeira e segunda derivadas da função 
genérica 𝑓(𝑥) no ponto 𝑥𝑘, usando 3 pontos não uniformes na série de Taylor, como mostrado 
na Figura 5, são 
 
Figura 5. Discretização com 3 pontos não uniformes. 
 
Fonte: Elaboradas pelos próprios autores. 
 
 
15 Contribuciones a Las Ciencias Sociales, São José dos Pinhais, v.17, n.6, p. 01-29, 2024 
 
 jan. 2021 
𝑓𝑘
′ = −
𝑓𝑘−1
ℎ𝑘+1 + ℎ𝑘−1
+
𝑓𝑘+1
ℎ𝑘+1 + ℎ𝑘−1
 
 
(31) 
𝑓𝑘
′′ =
2𝑓𝑘−1
ℎ𝑘+1 ∙ ℎ𝑘−1 + ℎ𝑘−1
2 −
2𝑓𝑘
ℎ𝑘+1 ∙ ℎ𝑘−1
+
2𝑓𝑘+1
ℎ𝑘+1 ∙ ℎ𝑘−1 + ℎ𝑘+1
2 (32) 
 
3.2 APROXIMAÇÃO EM DIFERENÇAS FINITAS DO MODELO DE VIGA DE EULER-
BERNOULLI PARA MALHA NÃO UNIFORME 
 
O modelo de viga de Euler-Bernoulli mostrado na Eq. (6), com rigidez flexional 𝐸𝐼𝑧 
constante e domínio fechado Ω = (0, 𝐿), é aproximado por diferenças finitas pela Eq. (30), 
gerando a Eq. (33). 
 
𝐶4(1) ∙ 𝑣𝑘−2 + 𝐶4(2) ∙ 𝑣𝑘−1 + 𝐶4(3) ∙ 𝑣𝑘+1 + 𝐶4(4) ∙ 𝑣𝑘+2 + 𝐶4(5) ∙ 𝑣𝑘
=
𝑞
𝐸𝐼𝑧
|
𝑥=𝑥𝑘
 
(33) 
 
Onde: 
 
 𝑥𝑘 ∈ 𝑁, sendo 𝑁 dado pela expressão (15), e 𝑣𝑘 o deslocamento transversal da viga no ponto 𝑥𝑘, com 
2 < 𝑘 < 𝑛 − 1. As equações para os pontos 1, 2, 𝑛 − 1 e 𝑛 e apoios intermediários irão ser dadas pelas 
condições de contorno, impondo os valores das variáveis ou aproximando as derivadas relacionadas à 
rotação, momento fletor e esforço cortante. Quando a malha de pontos é uniforme, com ℎ = 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1, a 
Eq. (33) torna-se 
 
1
ℎ4
[𝑣𝑘−2 − 4𝑣𝑘−1 + 6𝑣𝑘 − 4𝑣𝑘+1 + 𝑣𝑘+2] =
𝑞
𝐸𝐼𝑧
|
𝑥=𝑥𝑘
 (34) 
 
Independente do grid de pontos, o sistema global de equações algébricas é dado por 
 
[𝐾]{𝑈} = {𝑅} (35) 
 
Onde: 
 
 
16 Contribuciones a Las Ciencias Sociales, São José dos Pinhais, v.17, n.6, p. 01-29, 2024 
 
 jan. 2021 
 [𝐾] é a matriz dos coeficientes, {𝑅} o vetor de forças e {𝑈} o vetor de incógnitas nos pontos nodais, 
conforme Eq. (36). 
 
{𝑈} = {𝑣1 𝑣2 ⋯ 𝑣𝑘−2 𝑣𝑘−1 𝑣𝑘 𝑣𝑘+1 𝑣𝑘+2 ⋯ 𝑣𝑛−1 𝑣𝑛}𝑇 (36) 
 
3.3 APROXIMAÇÃO EM DIFERENÇAS FINITAS DO MODELO DE VIGA DE 
TIMOSHENKO PARA MALHA NÃO UNIFORME 
 
Considere o domínio Ω = (0, 𝐿) do problema de flexão da viga de Timoshenko 
governado pelas Eq. (13) e (14), as quais são discretizadas por 𝑛 pontos não uniformes 
pertencentes ao conjunto 𝑁 dado pela expressão (15). Usando as aproximações centradas para a 
primeira e segunda derivadas no ponto 𝑥𝑘 ∈ 𝑁 (ver Figura 5) e 3 pontos na expansão da série 
de Taylor truncada, as equações discretas em diferenças finitas do modelo de Timoshenko são 
dadas por: 
 
𝐶𝑘−1
1 𝑣𝑘−1 + 𝐷𝑘−1
1 𝜃𝑘−1 + 𝐶𝑘
1𝑣𝑘 + 𝐷𝑘
1𝜃𝑘 + 𝐶𝑘+1
1 𝑣𝑘+1 + 𝐷𝑘+1
1 𝜃𝑘+1 = 𝑞𝑘 
 
(37) 
𝐶𝑘−1
2 𝑣𝑘−1 + 𝐷𝑘−1
2 𝜃𝑘−1 + 𝐶𝑘
2𝑣𝑘 + 𝐷𝑘
2𝜃𝑘 + 𝐶𝑘+1
2 𝑣𝑘+1 + 𝐷𝑘+1
2 𝜃𝑘+1 = 0 (38) 
 
Em que os coeficientes das equações são 
 
𝐶𝑘−1
1 = −
2 𝐺 𝐴𝑠
ℎ𝑘+1 ∙ ℎ𝑘−1 + ℎ𝑘−1
2 
 
 
(39) 
𝐶𝑘
1 =
2 𝐺 𝐴𝑠
ℎ𝑘+1 ∙ ℎ𝑘−1
 
 
 
(40) 
𝐶𝑘+1
1 = −
2 𝐺 𝐴𝑠
ℎ𝑘+1 ∙ ℎ𝑘−1 + ℎ𝑘+1
2 
 
 
(41) 
 
17 Contribuciones a Las Ciencias Sociales, São José dos Pinhais, v.17, n.6, p. 01-29, 2024 
 
 jan. 2021 
𝐷𝑘−1
1 = −
2 𝐺 𝐴𝑠
𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘−1
 
 
 
(42) 
𝐷𝑘
1 = 0 
 
 
(43) 
𝐷𝑘+1
1 =
𝐺 𝐴𝑠
𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘−1
 
 
 
(44) 
𝐶𝑘−1
2 =
𝐺 𝐴𝑠
𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘−1
 
 
 
(45) 
𝐶𝑘
2 = 0 
 
 
(46) 
𝐶𝑘+1
2 = −
𝐺 𝐴𝑠
𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘−1
 
 
 
(47) 
𝐷𝑘−1
2 = −
2 𝐸 𝐼𝑧
ℎ𝑘+1 ∙ ℎ𝑘−1 + ℎ𝑘−1
2 
 
(48) 
𝐷𝑘
2 = −
2 𝐸 𝐼
ℎ𝑘+1 ∙ ℎ𝑘−1
+ 𝐺 𝐴𝑠 
 
(49) 
𝐷𝑘+1
2 = −
2 𝐸 𝐼
ℎ𝑘+1 ∙ ℎ𝑘−1 + ℎ𝑘−1
2 
 
(50) 
𝐴𝑠 = 𝐴 𝐾𝑠 (51) 
 
18 Contribuciones a Las Ciencias Sociales, São José dos Pinhais, v.17, n.6, p. 01-29, 2024 
 
 jan. 2021 
As aproximações em diferenças finitas das Eq. (37) e (38) com 5 pontos não uniformes 
são desenvolvidas a partir das Eq. (30), obtendo-se 
 
−𝐺𝐴𝐾𝑠[𝐶2(1)𝑣𝑘−2 + 𝐶1(1)𝜃𝑘−2 + 𝐶2(2)𝑣𝑘−1 + 𝐶1(2)𝜃𝑘−1 + 𝐶2(3)𝑣𝑘+1
+ 𝐶1(3)𝜃𝑘+1 + 
𝐶2(4)𝑣𝑘+2 + 𝐶1(4)𝜃𝑘+2 + 𝐶2(5)𝑣𝑘 + 𝐶1(5)𝜃𝑘] = 𝑞|𝑥=𝑥𝑘 
 
 
(52) 
𝐸𝐼𝑧[𝐶2(1)𝜃𝑘−2 + 𝐶2(2)𝜃𝑘−1 + 𝐶2(3)𝜃𝑘+1 + 𝐶2(4)𝜃𝑘+2 + 𝐶2(5)𝜃𝑘] + 
𝐺𝐴𝐾𝑠[𝐶1(1)𝑣𝑘−2 + 𝐶1(2)𝑣𝑘−1 + 𝐶1(3)𝑣𝑘+1 + 𝐶1(4)𝑣𝑘+2 + 𝐶1(5)𝑣𝑘 − 𝜃𝑘] = 0 
(53) 
 
Cada ponto 𝑥𝑘 possui dois graus de liberdade − o deslocamento transversal 𝑣𝑘 e a rotação 
da seção 𝜃𝑘. O problema global montado para todos os graus de liberdade é dado pela Eq. (35) a 
partir das Eq. (37) e (38), no caso de 3 pontos, e das Eq. (52) e (53), para 5 pontos. Nesse caso, 
[𝐾] é a matriz dos coeficientes de diferenças finitas de ordem 2𝑛 × 2𝑛, {𝑅} o vetor carga externa 
e {𝑈} o vetor de incógnitas, ambos de ordem 2𝑛, sendo o último dado por 
 
{𝑈} = {𝑣1 𝜃1 ⋯ 𝑣𝑘−1 𝜃𝑘−1 𝑣𝑘 𝜃𝑘 𝑣𝑘+1 𝜃𝑘+1 ⋯ 𝑣𝑛 𝜃𝑛}𝑇 (54) 
 
4 RESULTADOS 
 
Para avaliar as aproximações em diferenças finitas dos modelos de vigas com relação à 
taxa de convergência e erros de aproximação para grid de pontos uniformes e não uniformes, a 
adaptabilidade da malha aos carregamentos e vínculos, e as condições de esbeltez da viga de 
Timoshenko, serão apresentados exemplos numéricos a seguir. 
Caso 1 − Neste primeiro exemplo, é resolvida uma viga reta e prismática, de seção 
retangular, engastada e apoiada, com carga uniformemente distribuída 𝑞 = 20 𝑘𝑁/𝑚, conforme 
Figura 6. O elemento estrutural possui um comprimento 𝐿 = 4 𝑚 e altura 
 ℎ = 30 𝑐𝑚, módulo de elasticidade longitudinal 𝐸 = 20 𝐺𝑃𝑎, área da seção transversal 𝐴 =
0,030 𝑚2 e momento de área de segunda ordem 𝐼𝑧 = 225 × 10−6 𝑚4. A finalidade é avaliar 
o erro com discretização uniforme, usando modelo de Euler-Bernoulli. 
 
 
19 Contribuciones a Las Ciencias Sociales, São José dos Pinhais, v.17, n.6, p. 01-29, 2024 
 
 jan. 2021 
Figura 6. Viga engastada e apoiada com carga distribuída q=20 kN/m e comprimento L=4m. 
 
Fonte: Elaboradas pelos próprios autores. 
 
Os resultados aproximados em diferenças finitas, usando 21 pontos internos uniformes, 
são comparados com as soluções analíticas de deflexão, rotação, momento fletor e esforço 
cortante do modelo de viga de Euler-Bernoulli, conforme mostrado na Figura 7. 
 
Figura 7. Gráfico dos resultados de deslocamento (a), rotação (b), momento fletor (c) e esforço cortante (V) da 
viga engastada e apoiada com carga distribuída q=20 kN/m, comprimento L=4m e discretização com 21 pontos 
internos. 
 
Fonte: Elaboradas pelos próprios autores. 
 
Caso 2 − Nesse segundo exemplo, é resolvida uma viga biapoiada reta e prismática, de 
seção retangular, com carga uniformemente distribuída 𝑞 = 10 𝑘𝑁/𝑚. O elemento estrutural 
possui um comprimento 𝐿 = 6 𝑚, altura ℎ = 30𝑐𝑚, módulo de elasticidade longitudinal 𝐸 =
20 𝐺𝑃𝑎, área da seção transversal 𝐴 = 0,030 𝑚2 e momento de área de segunda ordem 𝐼𝑧 =
 225 × 10−6 𝑚4. A finalidadeé avaliar a taxa de convergência e o erro com discretização 
uniforme e não-uniforme, usando modelo de Euler-Bernoulli, para aproximação de diferenças 
finitas usando 5 pontos. 
 
20 Contribuciones a Las Ciencias Sociales, São José dos Pinhais, v.17, n.6, p. 01-29, 2024 
 
 jan. 2021 
Para o exemplo do caso 2, são usadas malhas uniformes e não uniformes com 8, 16, 32 e 
64 pontos internos. A malha não uniforme é obtida gerando uma malha uniforme e, em seguida, 
as coordenadas dos nós internos são perturbadas de forma pseudoaleatória por um valor de até 
40% da distância uniforme entre os pontos. Os resultados são mostrados na Figura 8. 
 
Figura 8. Gráfico da taxa de convergência do deslocamento transversal, rotação, momento fletor e esforço cortante 
de (a) viga biapoiada e carga distribuída para malha uniforme (b) viga biapoiada e carga distribuída para malha 
não uniforme. 
 
Fonte: Elaboradas pelos próprios autores. 
 
Caso 3 – Neste terceiro exemplo, é resolvida a viga biapoiada com balanço e carga 
distribuída, conforme Figura 9. A carga distribuída 𝑞 = 10 𝑘𝑁/𝑚, altura ℎ = 30𝑐𝑚, módulo 
de elasticidade longitudinal 𝐸 = 20 𝐺𝑃𝑎, área da seção transversal 𝐴 = 0,030 𝑚2 e momento 
de área de segunda ordem 𝐼𝑧 = 225 × 10−6 𝑚4. O objetivo é refinar de forma adaptativa o grid 
de pontos em torno do apoio do balanço. Os resultados para malha uniforme e não uniforme com 
malha adaptativa são mostrados nas Figuras 10 e 11. 
 
 
 
21 Contribuciones a Las Ciencias Sociales, São José dos Pinhais, v.17, n.6, p. 01-29, 2024 
 
 jan. 2021 
Figura 9. Viga biapoiada com balanço e carga distribuída. 
 
Fonte: Elaboradas pelos próprios autores. 
 
Figura 10. Gráficos com resultados da viga biapoiada com balanço e carga distribuída, usando malha uniforme. 
 
Fonte: Elaboradas pelos próprios autores. 
 
O grid de pontos não uniforme pode ser usado para concentrar mais pontos próximo do 
apoio do balanço, permitindo com isso uma melhor representação dos resultados nessa região 
sem aumento do número de graus de liberdade, conforme mostrado na Figura 12. 
 
 
 
22 Contribuciones a Las Ciencias Sociales, São José dos Pinhais, v.17, n.6, p. 01-29, 2024 
 
 jan. 2021 
Figura 11. Gráficos com resultados da viga biapoiada com balanço e carga distribuída, usando malha não 
uniforme. 
Fonte: Elaboradas pelos próprios autores. 
 
Caso 4 – Neste quarto exemplo, é resolvida uma viga hiperestática reta e prismática, de 
seção retangular, com apoios, engaste e balanço, submetida a carregamento linear, uniforme, 
carga e momento pontuais. A viga possui uma esbeltez ℎ/𝐿 igual a 1/30. 
 
Figura 12. Viga hiperestática com apoios, engaste e balanço, submetida a carregamento linear, uniforme, carga 
pontual e momento. 
 
Fonte: Elaboradas pelos próprios autores. 
 
Na Tabela 1 são mostrados os valores e os erros percentuais nos pontos central e borda 
livre da viga, considerando a aproximação em diferenças finitas e a solução obtida no software 
Ftool (ver Figura 13). A discretização com 10 pontos e deflexão correspondente são mostradas 
na Figura 14. 
 
 
 
23 Contribuciones a Las Ciencias Sociales, São José dos Pinhais, v.17, n.6, p. 01-29, 2024 
 
 jan. 2021 
Figura 13. Gráfico do deslocamento transversal v (mm), obtido no software Ftool, da viga hiperestática com 
apoios, engaste e balanço, submetida a carregamento linear, uniforme, carga pontual e momento (ver Figura 12). 
 
Fonte: Elaboradas pelos próprios autores. 
 
Figura 14. Gráfico do deslocamento transversal aproximado da viga hiperestática com apoios, engaste e balanço, 
submetida a carregamento linear, uniforme, carga pontual e momento. São usados na discretização, dez pontos em 
cada vão de 3 m. 
 
Fonte: Elaboradas pelos próprios autores. 
 
Tabela 1: Erro de aproximação no ponto central e extremidade livre. 
N° de pontos/por 
vão de 3m 
Deslocamento transversal [mm] Erro [%] 
Meio do vão Borda livre Meio do vão Borda livre 
5 -19,14 4,39 3,5 5,2 
10 -18,75 4,56 1,4 1,5 
50 -18,48 4,63 0,0 0,1 
100 -18,48 4,63 0,0 0,0 
Fonte: Elaboradas pelos próprios autores. 
 
Caso 5 – Neste quinto e último exemplo, são avaliadas representações para o modelo de 
viga de Timoshenko, considerando a esbeltez da viga biapoiada com carregamento uniforme 𝑞 =
1 e comprimento 𝐿. Baseado no estudo realizado por Reddy (1997), busca-se verificar qual 
representação não é afetada pelo efeito de shear locking. Os demais dados adimensionais são: 
área da seção transversal quadrada 𝐴 = 1, momento de área de segunda ordem 𝐼𝑧 =
8,33 × 10−2, coeficiente de Poisson 𝜈 = 0,25, fator de correção do cisalhamento 𝐾𝑠 = 0,833, 
módulos de elasticidade longitudinal e transversal, respectivamente, 𝐸 = 1 × 106 e 𝐺 =
4 × 105. Foram simuladas três situações: 𝐿 = 5, 𝐿 = 10 e 𝐿 = 100, considerando, 
 
24 Contribuciones a Las Ciencias Sociales, São José dos Pinhais, v.17, n.6, p. 01-29, 2024 
 
 jan. 2021 
respectivamente, as esbeltezes ℎ/𝐿 = 1/5, ℎ/𝐿 = 1/10 e ℎ/𝐿 = 100, variando de viga curta a 
viga muito esbelta. Foi avaliado o deslocamento transversal em 𝑥 = 𝐿/2 e rotação da seção em 
𝑥 = 0. 
Nas Tabelas 2, 3 e 4, tem-se o método MDF 2-2 que representa a aproximação do 
deslocamento com 3 pontos e da rotação com 3 pontos (ou precisão de segunda ordem); MDF 4-
2, a aproximação do deslocamento com 5 pontos e rotação com 3 pontos; e, por fim, MDF 4-4, 
a aproximação em MDF com 5 pontos para deslocamento e rotação. 
 
Tabela 2: Erro de aproximação de deslocamento no ponto central e de rotação na extremidade de viga biapoiada 
com carga uniforme e esbeltez ℎ/𝐿 = 1/5. 
Programa Ponto 
Número de Subdivisões 
4 8 16 32 64 
MDF 2-2 
𝑣(𝐿/2) 
3,80 E-05 7,52 E-05 9,70 E-05 1,04 E-04 1,06 E-04 
65% 30% 9% 3% 0,6% 
𝜃(0) 
1,83 E-05 4,21 E-05 5,60 E-05 6,08 E-05 6,21 E-05 
71% 33% 10% 3% 0,7% 
MDF 4-2 
𝑣(𝐿/2) 
4,29 E-05 8,10 E-05 9,93 E-05 1,05 E-04 1,07 E-04 
60% 24% 7% 2% 0,5% 
𝜃(0) 
2,30 E-05 4,65 E-05 5,78 E-05 6,13 E-05 6,22 E-05 
63% 26% 8% 2% 0,5% 
MDF 4-4 
𝑣(𝐿/2) 
1,07 E-04 1,07 E-04 1,07 E-04 1,07 E-04 1,07 E-04 
0% 0% 0% 0% 0% 
𝜃(0) 
6,25 E-05 6,25 E-05 6,25 E-05 6,25 E-05 6,25 E-05 
0% 0% 0% 0% 0% 
Fonte: Elaboradas pelos próprios autores. 
 
Tabela 3: Erro de aproximação de deslocamento no ponto central e de rotação na extremidade de viga biapoiada 
com carga uniforme e esbeltez ℎ/𝐿 = 1/10. 
Programa Ponto 
Número de Subdivisões 
4 8 16 32 64 
MDF 2-2 
𝑣(𝐿/2) 
1,99 E-04 6,09 E-04 1,14 E-03 1,46 E-03 1,56 E-03 
88% 62% 29% 9% 2,4% 
𝜃(0) 
5,17 E-05 1,83 E-04 3,54 E-04 4,54 E-04 4,88 E-04 
90% 63% 29% 9% 2,5% 
MDF 4-2 
𝑣(𝐿/2) 
2,49 E-04 7,45 E-04 1,25 E-03 1,50 E-03 1,57 E-03 
84% 53% 22% 6% 1,7% 
𝜃(0) 
7,26 E-05 2,30 E-04 3,90 E-04 4,68 E-04 4,92 E-04 
85% 54% 22% 6% 1,7% 
MDF 4-4 
𝑣(𝐿/2) 
1,60 E-03 1,60 E-03 1,60 E-03 1,60 E-03 1,60 E-03 
0% 0% 0% 0% 0% 
𝜃(0) 
5,00 E-04 5,00 E-04 5,00 E-04 5,00 E-04 5,00 E-04 
0% 0% 0% 0% 0% 
Fonte: Elaboradas pelos próprios autores. 
 
 
 
25 Contribuciones a Las Ciencias Sociales, São José dos Pinhais, v.17, n.6, p. 01-29, 2024 
 
 jan. 2021 
Tabela 4: Erro de aproximação de deslocamento no ponto central e de rotação na extremidade de viga biapoiada 
com carga uniforme e esbeltez ℎ/𝐿 = 1/100. 
Programa Ponto 
Número de Subdivisões 
4 8 16 32 64 
MDF 2-2 
𝑣(𝐿/2) 
2,52 E-02 9,69 E-02 3,88 E-01 1,45 E+00 4,54 E+00 
100% 99% 98% 91% 71% 
𝜃(0) 
5,99 E-04 2,98 E-03 1,23 E-02 4,63 E-02 1,45 E-01 
100% 99% 98% 91% 71% 
MDF 4-2 
𝑣(𝐿/2) 
2,99 E-02 1,14 E-01 5,71 E-01 2,07 E+00 5,94 E+00 
100% 99% 96% 87% 62% 
𝜃(0) 
8,98 E-04 4,46 E-03 1,82 E-02 6,63 E-02 1,90 E-01 
100% 99% 96% 87% 62% 
MDF 4-4 
𝑣(𝐿/2) 
1,56 E+01 1,56 E+01 1,56 E+01 1,56 E+01 1,56 E+01 
0% 0% 0% 0% 0% 
𝜃(0) 
5,00 E-01 5,00 E-01 5,00 E-01 5,00 E-01 5,00 E-01 
0% 0% 0% 0% 0% 
Fonte: Elaboradas pelos próprios autores. 
 
5 DISCUSSÕES DOS RESULTADOS 
 
Conforme expostona seção anterior, os exemplos apresentados têm o objetivo de 
apresentar e avaliar aproximações em diferenças finitas para os modelos de viga de Euler-
Bernoulli e Timoshenko em relação à taxa de convergência e erros de aproximação para grid de 
pontos uniformes e não uniformes, a adaptabilidade da malha aos carregamentos e vínculos, e o 
comportamento de aproximações para o modelo de Timoshenko com esbeltezes variando de viga 
curta a muito esbeltada. 
No primeiro exemplo, tem-se a viga esbelta engastada e apoiada com carga distribuída, 
sendo representada pelo modelo de Euler-Bernoulli, o qual é discretizado por vinte e um pontos 
internos uniformes pelo método de diferenças finitas, o qual usa molécula de cinco pontos. Na 
Figura 7, pode-se perceber que a aproximação e discretização propostas aproximam com acurácia 
adequada os deslocamentos transversais, a rotação da seção transversal, o momento fletor e o 
esforço cortante da viga. O erro na norma 𝐿2 discreta, dada pela Eq. (54), é da ordem de 10−3. 
 
‖𝐸‖ = {∑ℎ ∙ (𝑣(𝑥𝑘)
(𝑒𝑥𝑎𝑡𝑜) − 𝑣𝑘
(𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥)
)
2
𝑛𝑃𝑡
𝑘=1
}
1/2
 (55) 
 
Onde: 
 
 
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 ℎ é a distância média entre os pontos da malha e 𝑛𝑃𝑡 é o número total de pontos de discretização. 
 
O segundo exemplo apresenta a viga biapoiada e carga distribuída, tendo o propósito de 
avaliar a taxa de convergência com malha uniforme e não uniforme da aproximação de 5 pontos 
para o modelo de Euler-Bernoulli. Para isso, foram rodadas situações com 8, 16, 32 e 64 pontos 
internos uniformes não uniformes. Na Figura 8 tem-se que a taxa de convergência, para malha 
uniforme, do deslocamento, rotação e momento fletor é a mesma e aproximadamente 2,2. Já a 
taxa de convergência do cortante é aproximadamente 1,5. As representações dos pontos internos 
geram uma taxa de convergência maior, porém na aplicação das condições de contorno 
envolvendo derivadas, o erro local aproximado é da ordem de 2, limitando a taxa de convergência 
do problema global. Na Figura 9 tem-se o mesmo caso com malha não uniforme, quando se 
percebe a mesma taxa de convergência quando a malha é refinada, demonstrando que em média 
a convergência não é afetada pela não uniformidade da malha. 
A adaptabilidade da malha de pontos é explorada no terceiro exemplo apresentado. Nele, 
a viga biapoiada com balanço e carga distribuída é avaliada em relação a malha não uniforme 
para melhor representar regiões de interesse, da mesma forma que já se faz no método dos 
elementos finitos. A Figura 11 apresenta os resultados de deslocamento, rotação, momento fletor 
e esforço cortante, os quais se mostram satisfatórios, exceto que o salto do cortante não fica bem 
representado. Para melhor representar os resultados na região do apoio do balanço, mantendo-se 
o número de pontos, a malha foi adaptada para se concentrar mais pontos próximo dessa região, 
usando-se uma progressão geométrica de tal forma que as distâncias próximas de um apoio era 
10% das distâncias próximas do outro apoio (ver Figura 12). Nesse caso, vê-se pela Figura 12 
que o salto do gráfico do cortante fica mais bem caracterizado, porém, como esperado, com 
redução de exatidão nas regiões onde a distância entre os pontos aumentou. Demonstrando o 
benefício no uso de malhas irregulares, portanto, para solucionar o problema, deve-se aumentar 
a densidade de pontos na região desejada. 
No exemplo 4 busca-se mostrar a versatilidade do método de diferenças para o modelo 
de Euler-Bernoulli em relação a representação de carregamentos e condições de apoio quaisquer 
em uma viga. Nas Figuras 13 e 14 tem-se os gráficos de deslocamento transversal gerados, 
respectivamente, com o software Ftool e com o programa de diferenças finitas implementado. 
Na Tabela 1 pode-se avaliar o erro de discretização no deslocamento dos pontos central, 𝑥 =
6 𝑚, e na extremidade em balanço, 𝑥 = 12 𝑚, usando a discretização de 5, 10, 50 e 100 pontos 
 
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internos em cada vão de 3𝑚. Para o caso de 10 pontos tem-se um erro relativo da ordem 1,5% 
do valor obtido com o software Ftool. Com 50 e 100 pontos, tem-se erro na terceira casa decimal 
do resultado em mm, o que demonstra que o método, como esperado, é convergente. O resultado 
será tão preciso quanto desejarmos, bastando refinar a discretização. 
Por fim, tem-se o quinto exemplo, no qual são simuladas vigas biapoiadas com carga 
distribuída e esbeltezes (ℎ/𝐿) de 1/5, 1/10 e 1/100. São usadas três aproximações em 
diferenças finitas para o modelo de Timoshenko: MDF 2-2, que usa aproximações de 3 pontos 
para o deslocamento e rotação; MDF 4-2, aproximações de 5 pontos e 3 pontos para o 
deslocamento e rotação, respectivamente; e MDF 4-4, aproximações de 5 pontos para 
deslocamento e rotação. Na Tabela 2 pode-se notar que para as vigas não esbeltas, ℎ/𝐿 = 1/5, 
as aproximações são convergentes com o refinamento da malha, porém o MDF 4-4 apresenta alta 
acurácia para malha pouco refinada. Para o caso de viga esbelta, ℎ/𝐿 = 1/10, o desempenho 
das aproximações MDF 2-2 e MDF 4-2 continua convergente, porém necessitando de maior 
refinamento da malha para atingir o mesmo grau de acurácia. Enquanto a aproximação MDF 4-
4 continua apresentando alta acurácia para malha pouco refinada, conforme mostrado na Tabela 
3. Para o caso de vigas altamente esbeltas, ℎ/𝐿 = 1/100, tem-se que as aproximações MDF 2-
2 e MDF 4-2 apresentam efeito de travamento (shear locking), gerando rigidez artificial 
excessiva, enquanto o MDF 4-4 continua com elevada acurácia mesmo para malhas pouco 
refinadas, demonstrando insensibilidade ao travamento por cisalhamento (free-locking). Tal 
situação, demonstra que o modelo de Timoshenko com aproximações de diferenças finitas de 5 
pontos pode ser usado em toda faixa de esbeltez, demonstrando alta acurácia nos resultados. 
O estêncil de 5 pontos é obtido a partir do truncamento da série de Taylor, advindo de um 
polinômio de quarta ordem, enquanto o estêncil de 3 pontos advém de um polinômio quadrático. 
Por isso, considerando que a solução analítica que se deseja aproximar é um polinômio, cujo grau 
é regido pela parcela da flexão, que é a mesma para o modelo de Euler-Bernoulli e Timoshenko, 
e é dependente do tipo de carregamento da estrutura, o polinômio da solução analítica do exemplo 
também é de quarto grau e por isso a elevada precisão do MDF 4-4 (Borges, 2023). 
 
6 CONCLUSÕES 
 
Considerando os resultados apresentados nas seções anteriores, conclui-se que o método 
 
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de diferenças finitas pode ser usado de forma satisfatória para aproximação dos modelos de viga 
de Euler-Bernoulli e Timoshenko, permitindo a introdução de conceitos de modelagem 
matemática e computacional de problemas da engenharia, incluindo discretização, malha não 
uniforme, generalização de carregamento e restrições, refinamento adaptativo, erro de 
aproximação e taxa de convergência. Além disso, ficou demonstrado que a aproximação de 
diferenças finitas de 5 pontos, para o modelo de Timoshenko, gera aproximações com alto grau 
de acurácia para malha pouco refinada e resultados insensíveis à esbeltez da viga, permitindo o 
uso de tal aproximação de forma geral para as diversas situações, incluindo esbeltez variada e 
malha não uniforme. 
 
 
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REFERÊNCIAS 
 
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Placas com a Consideração do Cisalhamento. 2023. 147 fl. Tese (Mestrado em EngenhariaCivil e Ambiental), Universidade Estadual de Feira de Santana, Feira de Santana, BA, Brasil, 
2023. 
 
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In: SIMPÓSIO DE MECÂNICA COMPUTACIONAL, n° 9, 2010, Belo Horizonte. Belo 
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