exercicios 1 matematica (112)

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- **Explicação**: Elevando ambos os lados ao quadrado e resolvendo a equação 
quadrática resultante. 
 
115. **Problema**: Fatorize completamente \( x^4 - 16z^4 \). 
 - **Resposta**: \( (x^2 + 4z^2)(x^2 - 4z^2) \). 
 - **Explicação**: Fatorizando como diferença de quadrados e reconhecendo um 
quadrado de binômio. 
 
116. **Problema**: Resolva a equação \( \log_7(x) - \log_7(x+1) = 1 \). 
 - **Resposta**: \( x = 6 \). 
 - **Explicação**: Combinando os logaritmos e resolvendo a equação resultante. 
 
117. **Problema**: Simplifique a expressão \( \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1} \). 
 - **Resposta**: \( x \). 
 - **Explicação**: Fatorando o numerador como diferença de cubos e o denominador 
como diferença de quadrados, e então cancelando os fatores comuns. 
 
118. **Problema**: Determine os valores de \( x \) que satisfazem a desigualdade \( |x^2 - 
3x - 10| \leq 1 \). 
 - **Resposta**: \( 2 \leq x \leq 5 \). 
 - **Explicação**: Resolvendo as desigualdades quadráticas resultantes de \( x^2 - 3x - 
10 \leq 1 \) e \( x^2 - 3x - 10 \geq -1 \). 
 
119. **Problema**: Resolva o sistema de equações \( \begin{cases} 3x + y = 8 \\ 2x - y = 1 
\end{cases} \). 
 - **Resposta**: \( x = 3, \; y = 2 \). 
 - **Explicação**: Usando substituição ou eliminação para encontrar os valores de \( x \) 
e \( y \). 
 
120. **Problema**: Determine a equação da reta que passa pelos pontos \( (-2, 5) \) e \( 
(1, -2) \). 
 - **Resposta**: \( y = -3x - 1 \). 
 - **Explicação**: Calculando o coeficiente angular usando os pontos dados e então 
escrevendo a equação da reta na forma padrão. 
 
121. **Problema**: Resolva a equação \( \frac{6}{x-1} - \frac{5}{x-2} = \frac{4}{(x-1)(x-2)} \). 
 - **Resposta**: \( x = 3 \). 
 - **Explicação**: Multiplicando ambos os lados por \( (x-1)(x-2) \) para eliminar os 
denominadores e resolver a equação resultante. 
 
122. **Problema**: Encontre os valores de \( x \) que satisfazem a equação \( \sqrt{6x+7} = 
8 - \sqrt{x-1} \). 
 - **Resposta**: \( x = 9 \). 
 - **Explicação**: Elevando ambos os lados ao quadrado e resolvendo a equação 
quadrática resultante. 
 
123. **Problema**: Fatorize completamente \( x^4 - 625 \). 
 - **Resposta**: \( (x^2 - 25)(x^2 + 25) \). 
 - **Explicação**: Fatorizando como diferença de quadrados e reconhecendo um 
quadrado de binômio. 
 
124. **Problema**: Resolva a equação \( \log_8(x) + \log_8(x+1) = 2 \). 
 - **Resposta**: \( x = 7 \). 
 - **Explicação**: Combinando os logaritmos e resolvendo a equação resultante. 
 
125. **Problema**: Simplifique a expressão \( \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1} \). 
 - **Resposta**: \( x \). 
 - **Explicação**: Fatorando o numerador como diferença de cubos e o denominador 
como diferença de quadrados, e então cancelando os fatores comuns. 
 
126. **Problema**: Determine os valores de \( x \) que satisfazem a desigualdade \( |4x^2 
- 6x - 2| < 3 \). 
 - **Resposta**: \( -1 < x < 2 \) ou \( \frac{1}{2} < x < 1 \). 
 - **Explicação**: Resolvendo as desigualdades quadráticas resultantes de \( 4x^2 - 6x - 
2 < 3 \) e \( 4x^2 - 6x - 2 > -3 \). 
 
127. **Problema**: Resolva o sistema de equações \( \begin{cases} 2x + y = 4 \\ 3x - 2y = 5 
\end{cases} \).