4 Palestra - Descontos

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UCM – Extensão de Maputo - Curso de Economia e Gestão
Maputo, Março de 2023
Cálculo Financeiro
Palestra 4: Desconto Bancário
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No sistema financeiro, as operações de empréstimo são muito
utilizadas pelas pessoas. Essas movimentações geram ao credor
um título de crédito, que é a justificativa da dívida.
Os títulos possuem datas de vencimento, mas o devedor tem o
direito de antecipar o pagamento. Este abatimento é chamado
de desconto. Assim, os descontos, como o próprio nome diz, é
um desconto cedido a alguém ou uma instituição, por quitar sua
dívida antecipadamente.
O conceito de desconto é o antónimo de juro, enquanto o juro é
dado para estender o prazo para pagamento, o desconto é dado
por antecipação desse prazo.
Desconto
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Existem vários produtos utilizados nas operações financeiras.
Exemplos:
Nota promissória: é um tipo de documento que formaliza a
existência de uma dívida e o comprometimento do devedor em pagá-
la ao credor. Com assinatura e preenchida correctamente, tem valor
legal e pode ser cobrada na Justiça.
Duplicata: papel emitido por pessoas jurídicas contra clientes físicos
ou jurídicos, especificando vendas de mercadorias com prazo ou
prestação de serviços a serem pagos mediante contrato firmado entre
as partes.
Letra de câmbio: como a promissória, é um título que comprova
uma aplicação com estabelecimento prévio do vencimento. No caso
da letra, o título ao portador somente é emitido por uma instituição
financeira credenciada.
Desconto
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Desconto
A operação de desconto normalmente é realizada quando se
conhece o valor futuro de um título (valor nominal, valor de
face ou valor de resgate) e se quer determinar o seu valor actual.
O Desconto é uma compensação recebida pelo tomador do
empréstimo, pelo pagamento adiantado da dívida.
Tomador é quem contrata o serviço, ou seja, a quem se destina o
que foi adquirido.
O termo "desconto" também se aplica a antecipação de
recebíveis (operação de crédito). Por exemplo o "desconto de
cheques pré-datados", é comum no sistema bancário.
Desconto
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O valor nominal (ou futuro) de um compromisso é quanto ele
vale na data de vencimento, enquanto valor descontado (ou
actual) é o valor que ele adquire numa data que antecede o seu
vencimento.
O intervalo de tempo entre a data em que o título é negociado e a
data de vencimento do mesmo é o prazo de antecipação.
Designações:
• VF: Valor Nominal ou Futuro;
• VP: Valor Descontado ou Actual;
• n: Prazo de Antecipação e
• D: Desconto.
Desconto
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O desconto é a diferença entre o valor de resgate de um título
e o seu valor presente na data da operação, ou seja:
D = VF - VP, em que
D é o valor monetário do desconto,
VF é valor futuro (valor assumido pelo título na data do seu
vencimento) e
VP o valor creditado ou pago ao seu titular.
Assim como no caso dos juros, o valor do desconto também
está associado a uma taxa e a determinado período de tempo.
Desconto (Cont.)
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Atenção:
Existem diferenças entre juros e descontos:
• No cálculo dos juros a taxa referente ao período da
operação incide sobre o capital inicial ou valor presente e
• No desconto à taxa do período incide sobre o seu montante
ou valor futuro (VF).
Desconto (Cont.)
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Existem basicamente dois tipos de desconto: o desconto racional
e o desconto comercial. Os dois tipos podem ser aplicados em
operações de juros simples (desconto simples) e de juros
compostos (desconto composto).
Existem 2 Tipos de desconto
a) Desconto Racional (por dentro).
b) Desconto Comercial (por fora).
Desconto (Cont.)
- Simples
- Composto
- Simples
- Composto
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a) DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO)
Desconto racional (Dr)
No desconto racional, que também é chamado de desconto “por
dentro”, o cálculo é realizado com os mesmos critérios do cálculo
de juros. A diferença é que o desconto corresponde a uma
operação de descapitalização, ou seja, é necessário retroceder a
capitalização calculada para o período de antecipação. Nele, o
valor de referência para o cálculo percentual do desconto é o
valor actual.
Dr é aquele aplicado no valor actual do título n períodos antes do
vencimento, ou seja, é o mesmo que juro simples. Não será dada
muita importância a menos de comparação, pois raramente tem
sido aplicado.
Desconto (Cont.)
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Onde:
- Dr = Desconto Racional
- VF= Valor Futuro
- VP=Valor Presente
Desconto (Cont.)
Dr= VF*i*n 
(1+i*n)
VP= VF 
(1+i*n)
VF=VP(1+i*n)
Dr= VF-VP
Formulas
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b) DESCONTO COMERCIAL OU BANCÁRIO (POR FORA)
Desconto comercial
O desconto comercial, também chamado “desconto por fora”, 
difere do desconto racional principalmente por que se trata de 
uma taxa aplicada ao valor nominal do título. Em seu cálculo, 
não ocorre uma descapitalização, como no caso do desconto 
racional.
Desconto (Cont.)
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Como a base do desconto comercial é o valor nominal FV, 
considerando a taxa de desconto (i), o prazo de antecipação (n) e 
utilizando a Capitalização Simples, temos que o desconto (D) 
será dado por: 
Formulas
Dc = VF*i*n
VP = VF – Dc logo VP=VF - VF*i*n => VP = VF(1 – i*n)
Desconto (Cont.)
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Dc é aquele em que a taxa de desconto incide sempre sobre o
montante ou valor futuro (VF).
É utilizado de maneira ampla e generalizado, principalmente nas
chamadas operações de “desconto de duplicatas” realizadas pelos
bancos, sendo, por essa razão, também conhecido por desconto
bancário ou comercial. É obtido multiplicando-se o valor de
resgate do título pela taxa de desconto e pelo prazo a decorrer até
o seu vencimento, ou seja:
Dc = VF*i*n
Duplicata é um título de crédito, pelo qual o comprador se obriga
a pagar dentro do prazo a importância representada na fatura
Desconto (Cont.)
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Exemplo:
De acordo com Belo (2008), do ponto de vista da instituição
financeira, foi feito um investimento na operação de desconto
comercial simples.
Ela antecipa o pagamento do título mediante um desconto, para
recebr no vencimento o seu valor nominal. Isto quer dizer que o
desconto dado é o juro recebido pela instituição financeira na
operação. Assim, a taxa de juros efectiva da operação será dada
por:
i = D 
VP
Desconto (Cont.)
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• A taxa efectiva de juros inside sobre o valor creditado ao
cliente (VP),
• Enquanto que a taxa de desconto é encontrada a partir do
valor do título no seu vencimento (VF).
Portanto, numa operação de desconto comercial, a taxa de
desconto é sempre menor que a taxa efectiva de juros,
considerando o mesmo prazo.
Desconto (Cont.)
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Uma letra de valor nominal igual a 2.400 Mts sofre um Desconto
Comercial Simples à taxa de 6% ao mês, cem dias antes do seu
vencimento. Determine o desconto, o valor descontado e a taxa
efectiva da operação.
Dados Pedido
𝑉F = 2.400 Mts VP=?
n=100 dias 100/30=3.333 ao mês
i=6% ao mês
VP=VF(1-i*n) 
VP =2.400[1-0,06*(100/30)]
VP=1.920 Mts 
Dc=VF-VP
Dc=2.400-1.920
Dc=480 Mts
i=D/VP 
i=480/1920 i=0,25*100
i=25% em 100 dias
Taxa efectiva
25% --- 100 dias
ief ao mês --- 30 dias
ief=7,50% ao mês
Desconto (Cont.)
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Outra forma de determinar a taxa efectiva:
No exemplo anterior, a instituição financeira aplicou 1.920 Mts
em 100 dias e recebeu um montante 2.400 Mts. Portanto, a taxa
linear idessa operação será dada por:
VF=VP(1+n*i)
2.400 = 1.920(1+100i)
(2.400/1920)-1=100i
0,25=100i => 0,25/100=i => i = 0,0025 ao dia
im = i*30 dias
Im = 0,0025*30 dias
im = 0,075 
im=0,075*100
im = 7,5% ao mês.
Desconto (Cont.)
Page 18
E x e r c í c i o s
Desconto (Cont.)
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Exercicios
1. Qual o valor do desconto comercial simples de um título de 
2.000 Mts, com vencimento para 90 dias, á taxa de 2,5% ao mês? 
Dados: 
VF = 2.000 Mts 
n=90 dias/30 = 3 meses (como a taxa está em mês, devemos 
transformar o período para essa unidade). 
i = 2,5% ao mês 
Dc=? 
Solução: 
D = VF*i*n => D=2.000*0,025*3=150Mts.
Desconto (Cont.)
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2. Qual a taxa mensal de desconto comercial utilizada numa
operação a 120 dias, cujo valor de resgate é de 1.000 Mts e cujo
valor actual é de 880 Mts?
Dados: Pedido
VF = 1.000 Mts i=? 
VP = 880 Mts
n = 120 dias = 4 meses
Solução:
Dc = VF – VP = 1.000 – 880 = 120 Mts
Isolando a taxa (i) na fórmula do desconto temos:
i= Dc/(VF*n) => i= 0,03 ou seja, i= 3% ao mês
Desconto (Cont.)
Dc=VF*i*n 
i= Dc 
VF*n
i= 120
1000*4
i=3% ao mês
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3. Uma duplicata no valor de 6.800 Mts é descontada por fora, por um
banco, gerando um crédito de 6.000 Mts na conta do cliente. Sabendo-
se que a taxa cobrada pelo banco é de 3,2% ao mês, determine o prazo
de vencimento da duplicata.
Dados:
VF = 6.800 Mts i = 3,2% ao mês n =?
VP = 6.000 Mts 
Solução:
D = VF – VP
D = 6.800 Mts – 6.000 Mts = 800 Mts
Isolando o prazo (n) na equação Dc = VF*i*n, temos n=Dc/(VF*i) 
substituindo os valores resulta que:
n = 3,676 meses, ou seja 110 dias
Desconto (Cont.)
Dc=VF*i*n 
n= Dc 
VF*i
n= 800
6.800*0,032
n= 3,676 meses
n=3,676*30=110 dias
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4. Calcular o valor líquido creditado na conta de um cliente,
correspondente ao desconto por fora de uma duplicata no valor
34.000 Mts, com prazo de 41 dias, sabendo-se que o Banco está
cobrando nessa operação uma taxa de desconto de 4,7% ao mês.
Dados: VF = 34.000 Mts i=4,7% ao mês n=41 dia
Solução:
Como nesse problema a taxa e o prazo não estão na mesma
unidade de tempo (a taxa é mensal e o prazo está expresso em
número de dias), basta, para compatibilizá-los, dividir um dos
dois por 30, como segue:
Dc = VF*i*n D=34.000*0,047*41/30 D=2.183,93
Como VP=VF–D, tem-se:
VP=34.000,00 – 2.183,93=31.816,07 Mts.
Desconto (Cont.)
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5. Um título no valor nominal de 6.500 Mts foi descontado 45
dias antes de seu vencimento a uma taxa mensal de 1,3%.
Encontre o valor descontado e o desconto utilizando no
Desconto Racional Simples.
𝐹𝑉 = 6.500 Mts
n=45 dias=1,5 meses
i=1,3%
VF=VP(1+i*n) 
VP = VF 
1+i*n
VP = 6.500
1+0,013*1,5
VP= 6.375,67
Dr=VF-VP
Dr=6.500-6.375,67
Dr=124,33 Mts
Desconto (Cont.)
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6. Um título com valor nominal de 8.800 Mts foi resgatado dois
meses antes do seu vencimento, sendo-lhe por isso concedido
um Desconto Racional Simples à taxa de ao 60% mês. Nesse
caso, qual foi o valor pago pelo título e qual o desconto?
Dados
VF=8.800 Mts
i=60%
n=2 meses
VF=VP(1+i*n) 
VP = VF 
1+i*n
VP = 8.800
1+0,6*2
VP= 4.000 Mts
Dr=VF-VP
Dr=8.800-4.000
Dr=4.800 Mts
Desconto (Cont.)
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7. Determine o valor nominal de uma letra, descontada por
dentro, à taxa linear de 8% ao mês, um mês e quinze dias antes
de seu vencimento, e que apresentou o desconto de 400 Mts.
Dados 
n=1 mês e 15 dias = 1+(15/30)=1,5 meses 
i=8% ao mês
D=400 Mts
D=VP*i*n 
VP*i*n = D
VP=D
i*n
VP = 400
0,08*1,5
VP= 3.333,33 Mts
Dr=VF-VP
400=VF-3.333,33
VF=3.733,33 Mts
Desconto (Cont.)
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8. Uma duplicata no valor de 6.800 Mts é descontada por fora, por
um banco, gerando um crédito de 6.000 Mts na conta do cliente.
Sabendo-se que a taxa cobrada pelo banco é de 3,2% ao mês,
determine o prazo de vencimento em dias da duplicata.
Dados Pedido
𝐹𝑉 = 6.800 Mts n=?
𝑃𝑉 = 6.000 Mts
i = 0,032 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠
D = VF-VP
𝐷 = 6.800 − 6.000
𝐷 = 800
𝐷 = 𝐹𝑉*i*𝑛
800 = 6.800(0,032)*𝑛
𝑛 = 3,676471 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
1 𝑚ê𝑠 --- 30 𝑑𝑖𝑎𝑠
3,676471 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 --- 𝑥
𝑑𝑖𝑎𝑠
𝑥 ≈ 110 𝑑𝑖𝑎𝑠
Desconto (Cont.)
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Observação: Se consideradas as mesmas condições, isto é, o
mesmo valor nominal FV, o mesmo prazo de antecipação n e a
mesma taxa de desconto i, o desconto comercial é sempre maior
do que o desconto racional, ou seja, o valor actual racional é
sempre maior do que o valor actual comercial.
Desconto (Cont.)
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Desconto Comercial Bancário
Segundo Assaf Neto,
[...] em operações de desconto com bancos comerciais são
geralmente cobradas taxas adicionais de desconto a pretexto de
cobrir certas despesas administrativas e operacionais incorridas
pela instituição financeira. Estas taxas são geralmente
prefixadas e incidem sobre o valor nominal do título uma única
vez no momento do desconto (2000, p. 41).
Desconto Comercial Bancário
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Assim, no Desconto Comercial, o banco cobra uma taxa de
serviços (taxa administrativa ou bancária) que incide sobre o valor
nominal. Denotaremos esta taxa por h. Assim,
Dc=FV*i*n+FV*h
Substituindo em Dc = FV -PV, obtemos
VF*i*n + VF*h = VF -VP
VP = VF(1 – i*n - h)
Este desconto é chamado de Desconto Comercial Bancário. 
Além disso, o IOF(Imposto sobre Operações Financeiras) é 
repassado e calculado sobre o valor nominal FV. Então,
PV = FV(1 –i*n -h –IOF*n)
Desconto Comercial Bancário (Cont.)
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Um título de 100.000 Mt é descontado em um banco, seis meses
antes do vencimento, à taxa de desconto comercial de 5% ao
mês. O banco cobra uma taxa de 2% sobre o valor nominal do
título com despesas administrativas de 1,5% ao ano de IOF.
Calcule o valor líquido a ser recebido pelo proprietário do título
e a taxa de juros efectiva mensal da operação.
Dados
𝐹𝑉 = 100.000 Mts
i = 0,05 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠
ℎ = 0,02 
N = 6 meses
IOF = 0,015 a.a. = 0,015 a.m.
12
Desconto Comercial Bancário
VP=𝐹𝑉(1 − i*𝑛 − ℎ − 𝐼𝑂𝐹*𝑛)
VP=100.000[1-0,005*6-0,02- 0,0015*6
12 
VP = 100.000*0,6725
𝑃𝑉 = 67.250 Mts
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𝑛 = 6 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
𝑃𝑉 = ?
𝑖 = ?
Desconto Comercial Bancário
i= D
VP
i=32.750
67.250
i=0,486988847 
i=48,7% em 6 meses 
6 6 mê𝑠 − 0,486989
1 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 − 𝑥 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠
𝑥 = 0,081165
𝑥 = 8,12% 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠
NB: 
Observe que a taxa de juros 
efectiva da operação é muito 
superior à taxa de desconto, o
que é amplamente favorável ao 
banco.
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Uma duplicata de valor nominal de 60.000 Mts foi descontada num
banco dois meses antes do vencimento. A taxa de desconto
comercial simples usada na operação foi de 2,8% ao mês. Sabe-se
ainda que o banco cobra uma taxa de 1,5% sobre o valor nominal
do título para cobrir despesas administrativas, descontadas e pagas
integralmente no momento da liberação dos recursos
administrativos. Determine o desconto, o valor descontado e a taxa
efectiva da operação.
𝑉P = 𝑉F(1−i*𝑛−ℎ)
𝑉P = 60.000(1 − 0,028*2 − 0,015)
𝑉P = 60.000(0,929)
𝑉P = 55.740 Mts
𝐷 = 𝐹𝑉 − 𝑃𝑉
𝐷 = 60.000 − 55.740
𝐷 = 4.260 Mts
𝑉F = 60.000
𝑑𝑐 = 0,028 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠
ℎ = 0,015
𝑛 = 2 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
𝐷 = ?
𝑃𝑉 = ?
𝑖 = ?
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Do ponto de vista do banco, esta foi uma operação de um
empréstimo de 55.740 Mts que renderá, com juros simples em
dois meses, um montante de 60.000 Mts, isto é, um juro de
4.260 Mts. Logo, a taxa de juros simples mensal idessa operação
será obtida por:
D=VP*n*i
4.260 = 55.740*2*i
i = 0,038213*100
i = 3,82% ao mês
Desconto Comercial Bancário
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Desconto na Capitalização Composta
Desconto Racional Composto
Como a base do desconto racional é o valor actual VP,
considerando a taxa de desconto (i), o prazo de antecipação (n) e
usando a Capitalização Composta, temos que:
Formulas
VF = VP(1+i)n 
e
D = VF – VP
D = PV[(1+i)n – 1] 
VP= ___D_____ 
(1+i)n – 1] 
Desconto Comercial Bancário
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Exemplo:
Antecipando em dois meses o pagamento de um título, obtive
um desconto racional composto que foi calculado com base na
taxa de 4% ao mês. Sendo 5.408 Mts o valor nominal do título,
quanto pagarei por ele?
𝐹𝑉 = 5.408 Mts
i = 0,04 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠
𝑛 = 2 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
𝑉P = ?
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉(1+i)n 
5.408 = 𝑉P(1 + 0,04)2
VP = 5.408 
(1 + 0,04)2 
𝑃𝑉 = 5.000 Mts
Desconto Comercial Bancário
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Desconto Comercial Composto
Como a base do desconto comercial é o valor nominal VF,
considerando a taxa de desconto (i), o prazo de antecipação (n) e
utilizando a Capitalização Composta, temos:
Formulas
VP = VF(1+i)n
D = VF - VP
VF = __D____
1-(1+i)n
Desconto Comercial Bancário
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Exemplo:Uma duplicata de valor nominal de 10.000 Mts foi
resgatada 3 meses antes do seu vencimento, pelo regime de
desconto comercial composto. Tendo sido contratada à 10%
taxa ao mês, qual é valor actual do título na época do resgate e
qual foi o desconto comercial composto concedido?
Dados
𝐹𝑉 = 10.000 Mts
i = 0,1 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠
𝑛 = 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
𝑃𝑉 = ?
𝐷 = ?
Desconto Comercial Bancário
VP = VF(1-i)n
𝑃𝑉 = 10.000(1 − 0,1)3
𝑃𝑉 = 7.290 Mts
𝐷 = 𝐹𝑉 − 𝑃𝑉
𝐷 = 10.000 − 7.290
𝐷 = 2.710 Mts
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Exemplo: Um título de 2.000 Mts será resgatado três anos
antes do vencimento pelo critério do desconto comercial
composto à taxa de 20% ao ano com capitalizações semestrais.
Qual será o valor líquido e o desconto?
VF = 2.000
i=20%/2=10% ao semestre
𝑛 = 3 𝑎𝑛𝑜𝑠 = 6 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠
𝑃𝑉 = ?
𝐷 = ?
Desconto Comercial Bancário
VP = VF(1-i)n
𝑃𝑉 = 2.000(1 − 0,1)6
𝑃𝑉 = 1.062,88
𝐷 = 𝐹𝑉 − 𝑃𝑉
𝐷 = 2.000 − 1.062,88
𝐷 = 937,12 
Page 39
Referências 
- Matias, R. (2007). Cálculo financeiro - teoria e prática (2ª ed.). Lisboa:
Escolar Editora.
- Saias, L.; Carvalho, R. & Amaral, M. (1996). Instrumentos fundamentais
degestãofinanceira. Portugal.
- Mateus, J. M. A. (1999). Cálculo financeiro. (5ª ed.). Lisboa: Edições
Sílabo.
- Cadilhe, M. (1998). Matemática financeira aplicada (4ª Edição) .
Revista e actualizada com a colaboração de Rosas do Lago. Edições
ASA, Porto.
- López, P: A. (2002). Valoración financiera. 3ª Edição. Editorial Centro
de Estudios Ramón Areces, S. A., Madrid.
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	Slide 2: Desconto
	Slide 3: Desconto
	Slide 4: Desconto
	Slide 5: Desconto
	Slide 6
	Slide 7
	Slide 8
	Slide 9
	Slide 10
	Slide 11: Desconto (Cont.)
	Slide 12: Desconto (Cont.)
	Slide 13: Desconto (Cont.)
	Slide 14: Desconto (Cont.)
	Slide 15: Desconto (Cont.)
	Slide 16: Desconto (Cont.)
	Slide 17: Desconto (Cont.)
	Slide 18: Desconto (Cont.)
	Slide 19: Desconto (Cont.)
	Slide 20: Desconto (Cont.)
	Slide 21: Desconto (Cont.)
	Slide 22: Desconto (Cont.)
	Slide 23: Desconto (Cont.)
	Slide 24: Desconto (Cont.)
	Slide 25: Desconto (Cont.)
	Slide 26: Desconto (Cont.)
	Slide 27: Desconto (Cont.)
	Slide 28: Desconto Comercial Bancário
	Slide 29: Desconto Comercial Bancário (Cont.)
	Slide 30: Desconto Comercial Bancário
	Slide 31: Desconto Comercial Bancário
	Slide 32
	Slide 33
	Slide 34
	Slide 35
	Slide 36
	Slide 37
	Slide 38
	Slide 39: Referências