novo material matematica (99)

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- Demonstre que se \( A \subseteq B \) então \( \mathcal{P}(A) \subseteq \mathcal{P}(B) 
\), onde \( \mathcal{P}(X) \) denota o conjunto das partes de \( X \). 
 
65. **Problema 65:** 
 - Prove que \( A \subseteq B \) se e somente se \( A \cup B = B \). 
 
66. **Problema 66:** 
 - Se \( A \) e \( B \) são conjuntos. Mostre que \( A \cap (A \cup B) = A \). 
 
67. **Problema 67:** 
 - Determine o número de subconjuntos de um conjunto \( A \) com \( n \) elementos. 
 
68. **Problema 68:** 
 - Se \( A \) e \( B \) são conjuntos finitos, prove que \( |A \times B| = |A| \cdot |B| \), onde \( 
A \times B \) denota o produto cartesiano de \( A \) e \( B \). 
 
69. **Problema 69:** 
 - Se \( A \) e \( B \) são conjuntos, mostre que \( A \setminus (A \cap B) = A \setminus B \). 
 
70. **Problema 70:** 
 - Demonstre que se \( A \subseteq B \) e \( B \subseteq A \), então \( A = B \). 
 
71. **Problema 71:** 
 - Se \( A \) e \( B \) são conjuntos, prove que \( \mathcal{P}(A \cap B) \subseteq 
\mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B) \). 
 
72. **Problema 72:** 
 - Sejam \( A \), \( B \), e \( C \) conjuntos. Mostre que \( (A \cap B) \cup (A \cap C) 
\subseteq A \cap (B \cup C) \). 
 
73. **Problema 73:** 
 - Demonstre que \( A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C) \), onde \( A \times 
B \) denota o produto cartesiano de \( A \) e \( B \). 
 
74. **Problema 74:** 
 - Se \( A \) e \( B \) são conjuntos, prove que \( |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \). 
 
75. **Problema 75:** 
 - Determine se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: Se \( A \subseteq B \), então \( 
\mathcal{P}(A) \subseteq \mathcal{P}(B) \). 
 
76. **Problema 76:** 
 - Se \( A \) e \( B \) são conjuntos, mostre que \( A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) 
\cup (A \setminus C) \). 
 
77. **Pro 
 
blema 77:** 
 - Sejam \( A \) e \( B \) conjuntos. Prove que \( |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \). 
 
78. **Problema 78:** 
 - Se \( A \), \( B \), e \( C \) são conjuntos, determine se \( A \times (B \cap C) = (A \times B) 
\cap (A \times C) \). 
 
79. **Problema 79:** 
 - Sejam \( A \) e \( B \) conjuntos. Prove que \( \mathcal{P}(A \cup B) = \mathcal{P}(A) \cup 
\mathcal{P}(B) \). 
 
80. **Problema 80:** 
 - Se \( A \), \( B \), e \( C \) são conjuntos, mostre que \( A \setminus (B \cap C) = (A 
\setminus B) \cup (A \setminus C) \). 
 
81. **Problema 81:** 
 - Sejam \( A \) e \( B \) conjuntos. Prove que \( A \subseteq B \) se e somente se \( A \cap 
(A \cup B) = A \).