Teoria dos Jogos em Economia

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MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA IMPERFEITA
Unidade III
7 TEORIA DOS JOGOS E COMPORTAMENTO ESTRATÉGICO
Os modelos de concorrência imperfeita apresentam uma importante diferença em relação aos 
modelos de competição perfeita. Na concorrência perfeita, dado o conhecimento tecnológico, a tomada 
de decisão quanto à quantidade que uma firma irá produzir requer os seguintes parâmetros:
• o preço de mercado de seu produto; e
• o preço de mercado de seus insumos (capital e trabalho).
Logo, na concorrência perfeita, prevalece o comportamento paramétrico: os agentes tratam as 
variáveis relevantes para a tomada de decisão como dados que não podem ser alterados.
Na concorrência imperfeita, o preço do produto que a firma pratica pode ser afetado por:
• decisões próprias; e/ou
• decisões de seus concorrentes.
Dessa forma, sobressai‑se o comportamento estratégico, isto é, o agente percebe que é capaz de 
afetar variáveis relevantes para sua decisão e, além disso, essas variáveis podem ser afetadas pelas 
decisões de outros agentes. Portanto, quando o comportamento é estratégico, o agente está interagindo 
com seu meio e com outros agentes.
 Saiba mais
Essa seção tem como referência teórica os trabalhos de Fiani (2010) e 
Bierman e Fernandez (1998). Maiores detalhes de como pode ser tratado 
um jogo socioeconômico são encontrados nessas obras.
FIANI, R. 50 Teoria dos jogos: com aplicações em Economia, Administração 
e Ciências Sociais. 2. ed. Rio de Janeiro: Campus, 2010.
BIERMAN, H. S.; FERNANDEZ, L. Game theory with economic applications. 
2. ed. New York: Addison‑Wesley, 1998.
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Unidade III
Mais adiante, estudaremos como os agentes econômicos (indivíduos e firmas) tomam decisões 
individuais cientes de que elas proporcionam implicações nos resultados econômicos dos próprios 
indivíduos e, também, para os demais. A ferramenta utilizada para analisar essas decisões estratégicas é 
a Teoria dos Jogos, que será amplamente discutida.
7.1 Introdução à Teoria dos Jogos
A Teoria dos Jogos é uma representação matemática para estudos e modelagens das maneiras com 
que agentes tomam decisões e interagem entre si. O jogo fornece uma visão geral do problema ao 
descartar possibilidades que não levarão a resultados plausíveis. Além disso, ele aponta uma solução 
para cada agente envolvido no jogo.
Portanto, na Teoria dos Jogos procura‑se: (i) estudar o comportamento estratégico racional dos 
agentes econômicos; e (ii) apontar os interesses coletivos em que cada agente procura maximizar 
seus ganhos. Nesse aspecto, podemos encontrar representações de um jogo em várias circunstâncias 
vivenciadas nos campos social, político e econômico, tais como:
• Táticas de guerra.
• Política nacional e internacional.
• Problemas de política econômica e de concorrência de mercado.
• Evolução biológica e seleção natural de seres vivos.
No quadro a seguir, extraído de Bierman e Fernandez (1998), são apresentadas diversas situações 
cotidianas que exemplificam bem os problemas socioeconômicos que a Teoria dos Jogos pode solucionar.
Quadro 3
Exemplos de jogos socioeconômicos
1 Duas estações de televisão em uma cidade estão definindo suas taxas de 
propaganda para o ano seguinte
2 Uma empresa aérea e o sindicato dos pilotos estão negociando um novo 
contrato de trabalho
3 Uma empresa de telefonia celular está decidindo o valor do lance que 
fará em leilão de novas frequências de radiotransmissão
4 Um médico está fazendo uma proposta de acordo fora do tribunal a um 
cliente que o processou judicialmente por incompetência profissional
5 Os membros do Comitê de Ética da Assembleia Legislativa estão 
decidindo se encaminham um projeto de lei ao Congresso
Adaptado de: Bierman e Fernandez (1998, p. 4).
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MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA IMPERFEITA
 Saiba mais
O pioneiro da Teoria dos Jogos na ciência foi o matemático John 
Von Neumann (1903‑1957) que demonstrou rigorosamente as soluções 
matemáticas para jogos estratégicos. Para uma visão não técnica sobre 
Teoria dos Jogos, consultar:
DIXIT, A. K.; NALEBUFF, B. J. Thinking strategically. New York: Norton, 1991.
7.1.1 Regras de um jogo
Futebol, tênis, xadrez, truco e esconde‑esconde são exemplos de jogos recreativos. De modo geral, 
esses jogos requerem regras. Os jogos socioeconômicos não são diferentes: eles também precisam seguir 
algumas regras que são, de modo simplificado, as seguintes:
• Sempre há, pelo menos, dois jogadores. Um jogador pode ser qualquer indivíduo ou firma que 
tenha autonomia para tomar decisões.
• Um jogo requer uma ação ou movimento (c), ou seja, a maneira segundo a qual o jogo progride 
de um estágio a outro. A ação é uma escolha que o jogador pode fazer em um dado momento 
do jogo. As ações podem ser: (i) alternadas; (ii) simultâneas; e (iii) decidida por um evento 
probabilístico. O jogo pode conter i ações (i = 1, 2, ··· , n)
• O conjunto de ações (C), ou seja, o número de ações que os jogadores têm disponível, apresenta a 
seguinte representação:
C c com i n e j nj j
i�� � � �� � � � � �, , , ,1 1
• Deve‑se definir o pay‑off ou recompensa (π), ou seja, o montante a ser ganho ou perdido depois 
do jogo, de acordo com as escolhas (ações) dos jogadores. O conjunto de pay‑offs (∏) dos j 
jogadores apresenta a seguinte representação:
� �� � � �� � � � � �j j
i com i n e j n� , , , ,1 1
Além das regras, um jogo deve estar acompanhado de uma estratégia, que é a lista de 
escolhas ótimas de um jogador. Nessa lista, estão previstas todas as situações possíveis que o 
jogador enfrentará. De posse de uma estratégia, o jogador saberá qual a atitude que tomará 
em qualquer estágio do jogo, não importando a ação de seu oponente nem os resultados dos 
eventos probabilísticos.
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Unidade III
Na Teoria dos Jogos, alguns pressupostos devem ser estabelecidos:
• Os jogadores devem ser racionais, ou seja, desejar vencer (ou, ainda, maximizar seus resultados).
• Deve existir uma interdependência entre os movimentos dos jogadores, isto é, cada escolha de um 
jogador estimula o outro a alterar suas escolhas.
• Recompensas podem ter significados diferentes entre os jogadores.
7.1.2 Tipos de jogos
De modo geral, um jogo pode ser classificado de três formas:
• Jogos de soma zero: nesse caso, a soma dos pay‑offs dos jogadores é zero. Por exemplo, entre 
dois jogadores, o ganho de um ocorre na mesma proporção da perda do outro. Normalmente, 
jogo de soma zero simboliza manobras que não alteram o equilíbrio de forças entre os agentes. 
Exemplo: qualquer jogo em que há um vencedor e um perdedor.
• Jogos de soma não zero: ocorre quando, ao final do jogo, a relação original entre os jogadores é 
alterada. Nesse caso, a soma das recompensas pode gerar um saldo positivo (resultado eficiente) 
ou negativo (resultado ineficiente) em relação à situação original. Exemplos: dilema do prisioneiro, 
comércio internacional etc.
• Jogos de informação perfeita: nesse tipo de jogo, todas as jogadas são conhecidas pelos 
participantes. Exemplo: jogo de xadrez, jogo da velha etc.
• Jogos de informação imperfeita: é aquele que, em algum momento, o jogador tem de fazer 
uma escolha sem conhecer a história do jogo até aquele momento. Exemplo: jogos de cartas 
como o pôquer.
7.1.3 Estratégia e representação de um jogo
O jogo lida com os seguintes objetivos:
• saber como os agentes econômicos interagem; e
• determinar as possíveis consequências dessa interação.
Desse modo, os agentes envolvidos em um jogo passam a lidar com interações estratégicas, que 
nada mais são do que o resultado do reconhecimento, por parte de cada um dos jogadores, que suas 
ações afetam a decisão dos demais agentes e vice‑versa. Portanto, dadas as preferências dos jogadores, 
o objetivo de um jogo é obter o melhor resultado possível no processo de interação estratégica.
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MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA IMPERFEITA
Os agentes envolvidos no processo de interação estratégica decidem com base:
i. na etapa do jogo em que se encontram;
ii. no desenvolvimento do processode interação até essa etapa; e
iii. nas consequências futuras.
A interação estratégica em uma determinada etapa do jogo implica a identificação da estratégia de 
cada jogador. Uma estratégia (si) é um plano de ações que especifica, para um determinado jogador, 
qual ação tomar, em todos os momentos em que terá de decidir o que fazer. O conjunto de estratégias 
dos jogadores pode ser representado como:
S s com i n e j nj j
i�� � � �� � � � � �, , , ,1 1
A partir da identificação do conjunto de estratégias, os jogadores podem estabelecer uma combinação 
de estratégias, em que cada elemento na expressão a seguir equivale a uma estratégia para cada um 
dos jogadores:
S s s s s�� �1
1
1
2
2
1
2
2; ; ;
em que:
• s1
1 = é a estratégia 1 do jogador 1;
• s1
2 = é a estratégia 2 do jogador 1;
• s1
2
 = é a estratégia 1 do jogador 2;
• s2
2 = é a estratégia 2 do jogador 2.
As possibilidades de interação estratégica dependem de todas as ações relevantes que se encontram 
disponíveis. Ao avaliar a melhor ação, cada jogador considera não apenas todas as ações relevantes de 
que dispõe, mas, também, todas as ações relevantes que estejam disponíveis para os demais jogadores. 
Caso o jogador não considere uma ação significativa (sua ou de seu oponente), ele estará violando o 
pressuposto da racionalidade.
De acordo com a forma de interação entre os jogadores, um jogo pode ser classificado como 
simultâneo ou sequencial. Jogos simultâneos são aqueles em que cada jogador ignora a decisão de seu 
oponente no momento em que toma a sua decisão. Desse modo, os jogadores não se preocupam com 
as consequências futuras de suas escolhas.
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Unidade III
Um jogo simultâneo é representado, de modo geral, na forma estratégica (ou normal). Essa 
representação nos fornece todas as combinações possíveis de ações dos jogadores, bem como seus 
resultados. A forma estratégica tem o formato de matriz de recompensas ou matriz de pay‑offs. A figura 
a seguir ilustra essa representação para um jogo simultâneo com dois jogadores.
Jogador B
CB
1 CB
2
Jogador A
CA
1 � �A B
1 1;� � � �A B
1 2;� �
CA
2 � �A B
2 1;� � � �A B
2 2;� �
Ações do jogador A
Ações do jogador B
Pay‑offs dos jogadores
Figura 39 – Representação de um jogo simultâneo na forma estratégica
Portanto, a forma estratégica permite informar como cada jogador agiu e quanto obteve de 
recompensa em função de suas escolhas e das escolhas dos outros jogadores.
Exemplo de aplicação
Dois bancos, A e B, devem decidir simultaneamente se renovam ou não um empréstimo a uma empresa 
em sérias dificuldades financeiras. O total tomado de empréstimo pela empresa soma R$ 10 milhões, e 
ele deve, em termos de principal, R$ 5 milhões para cada banco:
Totaldeempr stimos
BancoA R mi
BancoB R mi
R
$
$
é �
�
�
�
�
�
�
�
�
5
5
$$10mi
O total de ativos que a empresa devedora pode oferecer de garantia é de apenas R$ 6 milhões, e ela 
corre risco de, em um ano, sofrer falência.
Desse modo, os conjuntos de ações possíveis para cada banco são os seguintes:
CA = {renova o empréstimo; não renova o empréstimo}
CB = {renova o empréstimo; não renova o empréstimo}
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Assim, o conjunto de estratégias desse jogo é:
SA,B = {renova o empréstimo; não renova o empréstimo}
O pay‑off ou recompensa de cada banco caso a ação seja de renovar o empréstimo (R) será:
� �� �A B
R Receber o pagamento de juros,
No caso de não renovar o empréstimo (NR), o pay‑off dos dois bancos será:
�A B
R Receber o principal do empr stimo, �� �é
Com base nesse dados, é possível considerar as seguintes consequências:
• Os bancos renovam o empréstimo: nesse caso, a empresa paga juros de R$ 1 milhão por ano. 
Após um ano, decreta‑se a falência e os bancos dividem os R$ 6 milhões em ativos da devedora. 
Desse modo, o pay‑off dos bancos será de:
� � �� � �� �A B
R
, 3 1 4
• Apenas um banco renova o empréstimo: nesse caso, o banco que não renova o empréstimo 
(por exemplo, o banco A) recebe o principal (R$ 5 milhões), mas a falência é antecipada, pois 
a empresa não tem ativos para garantir o empréstimo junto ao banco B. Assim, o banco que 
renovou reclama os ativos remanescentes (R$ 1 milhão) e o pay‑off dos bancos torna‑se:
� �� �A
NR 5
� �� �B
R 1
• Os dois bancos não renovam o empréstimo: a empresa devedora decreta falência imediatamente, 
e os dois bancos partilham os ativos (R$ 3 milhões para cada). Assim, o banco que renovou 
reclama os ativos remanescentes (R$ 1 milhão). Desse modo, o pay‑off dos bancos será de:
� �� �A B
NR
, 3
A partir dos dados desse exemplo, a representação do jogo na forma estratégica apresenta a seguinte 
matriz de pay‑offs:
150
Unidade III
Tabela 10 – Jogo de renovação de empréstimo para 
uma empresa em dificuldades (em R$ milhões)
Banco B
Renova o 
empréstimo
Não renova o 
empréstimo
Banco A
Renova o 
empréstimo {4; 4} {1; 5}
Não renova o 
empréstimo {5; 1} {3; 3}
Jogos sequenciais são aqueles em que os jogadores fazem escolhas a partir de ações de outros 
jogadores decididas anteriormente. Logo, as decisões podem ser tomadas levando‑se em conta a 
ação dos demais jogadores. Em comparação com um jogo simultâneo, no jogo sequencial, as escolhas 
presentes exigem considerar consequências futuras.
A representação de jogos sequenciais é efetuada na forma estendida, em que o processo de interação 
se desenvolve em etapas sucessivas. A forma estendida é normalmente representada na configuração de 
árvore de decisão (figura a seguir).
Jogador
A
Ações do 
jogador A
⇒ Nós: representa uma etapa do jogo
⇒ Ramos: representa uma escolha possível para o jogador
Ações do 
jogador 
B, dada a 
ação do 
jogador A
Pay‑offs
Jogador
B
Jogador
B
CA
1
CA
2
C CA B
1 1;� �
C CA B
1 2;� �
C CA B
2 1;� �
C CA B
2 2;� �
� �A B
1 1;� �
� �A B
1 2;� �
� �A B
2 1;� �
� �A B
2 2;� �
Figura 40 – Representação de um jogo sequencial na forma estendida
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MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA IMPERFEITA
A árvore de decisão para jogos sequenciais deve apresentar as seguintes regras:
• Todo nó deve ser precedido por, no máximo, outro nó (na figura a seguir, mostramos uma violação 
dessa regra).
A1
A2
B1
B2
Figura 41 – Violação da regra (a) da árvore de decisões
• Nenhuma trajetória pode ligar um nó a ele mesmo (violação dessa regra na figura a seguir).
A1
B1
B2
Figura 42 – Violação da regra (b) da árvore de decisões
• Todo nó na árvore de decisão deve ser sucessor de um único e mesmo nó inicial (violação na 
figura a seguir).
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Unidade III
B1
B2
A2
A1
B3
B4
Figura 43 – Violação da regra (c) da árvore de decisões
 Observação
O conjunto de informações de um jogador é constituído pelos nós que 
o jogador acredita poder ter alcançado em uma dada etapa do jogo, na 
qual será a sua vez de jogar.
Exemplo de aplicação
Duas empresas do ramo automobilístico produzem veículos de passeio. Uma delas é Inovadora (I) e 
tem em suas mãos a decisão de lançar (ou não) um novo modelo de veículo SUV urbano. Portanto, as 
ações estratégicas da Inovadora são:
• Lançar SUV (L).
• Não lançar SUV (NL).
A outra empresa é Líder nessa modalidade de veículo e tem de decidir se mantém ou reduz o preço, 
após a estratégia que a Inovadora tomará. O jogo é sequencial. Nesse caso, a firma Líder no segmento 
sabe o que a Inovadora decidiu no momento em que deve escolher entre manter (M) ou reduzir (R) o 
preço. O conjunto de estratégias da firma Líder é a seguinte:
• Mantém o preço se Inovadora lança SUV (M, L); reduz preço se Inovadora não lança SUV (R, NL).
• Reduz o preço se Inovadora lança SUV (R, L); mantém o preço se Inovadora não lança SUV (M, NL).
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MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA IMPERFEITA
• Mantém o preço se Inovadora lança SUV (M, L); mantém o preço se Inovadora não lança SUV (M, NL).
• Reduz o preço se Inovadora lança SUV (R, L); reduz preço se Inovadora não lança SUV (R, NL).
O pay‑off ou recompensa de cada estratégia combinada será (em R$ milhões):
� �� �IL
ML
,
, ;400 100
� ���IL
RL
,
, ;200 200
� �� �IL
MNL
,
, ;100 100
� �� �IL
RNL
,
, ;100 300
Com base nessas informações, a representação do jogo pode ser ilustrada pela figura a seguir:
Inovadora (I)
Lança
SUV (L)
Mantém 
preço (M)
Reduz 
preço (R)
Reduz 
preço (R)
Mantém 
preço (M)
Líder (L)
Líder (L)
Não lança
SUV (NL)
{400; 100}
{200; 200}
{100; 400}
{100; 300}
Figura 44 
Como tratar um jogo: simultâneo ou sequencial? A escolha do tratamento do jogo deve ser baseada 
nas informações que os jogadores dispõem no momento de escolher entre as suas ações (e não na 
distribuição de suas ações no tempo).
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Unidade III
• Quanto mais informação um jogador possuir, melhor será a distinção entre suas escolhas.
• Quanto menos informação um jogador possuir, pior será a distinção das circunstâncias em que ele 
é obrigado a tomar sua decisão.
Exemplo de aplicação início
Caso não haja informação suficiente, não é possível afirmar se um jogo é simultâneo ou sequencial. 
Dada essa suposição, é possível apresentar um jogo simultâneo do primeiro exemplo de aplicação na 
forma estendida:
Banco A
Conjunto de 
informações 
do Banco B
Renova (R)
Renova (R)
Banco B
Banco B
Não renova
(NR)
Não renova
(NR)
Não renova
(NR)
{4; 4}
{1; 5}
{5; 1}
{3; 3}
Renova (R)
Figura 45 
Por outro lado, o jogo sequencial do segundo exemplo de aplicação tomaria a seguinte configuração 
na forma estratégica:
Tabela 11 – Jogo do lançamento de 
um novo veículo (em R$ milhões)
Empresa Líder
Mantém preço Reduz preço
Empresa 
Inovadora
Lança SUV {400; 100} {200; 200}
Não lança SUV {100; 400} {100; 300}
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7.2 Tipos de estratégias em jogos de informações completas
Já discutimos como se modela um jogo. A modelagem adequada de uma situação de interação 
estratégica é importante, pois, em caso de ela ser efetuada de forma errada, pode levar a recomendações 
equivocadas sobre a estratégia que deveria ter sido adotada.
Agora, vamos analisar como se deve “jogar o jogo”, isto é, como determinar os resultados possíveis 
de um jogo socioeconômico sob a hipótese primordial de que os jogadores agem racionalmente. 
Adicionalmente, devemos estabelecer a hipótese de conhecimento comum: um agente não sabe se 
o seu oponente sabe o que você sabe; mas tanto um como outro sabem dos resultados prováveis da 
interação estratégica.
Vimos que nos jogos de informação completa, todos os jogadores que tomam parte do jogo 
conhecem todas as possibilidades de jogada. Portanto, esses jogos são aqueles em que os pay‑offs são 
de conhecimento comum.
Os passos para estabelecer o resultado de um jogo simultâneo de informação completa são 
os seguintes:
• identificar as estratégias dominantes e dominadas; e
• eliminar interativamente as estratégias estritamente dominadas.
7.2.1 Identificando estratégias dominantes e dominadas
Uma estratégia é dita dominante para um jogador quando for sua melhor escolha independentemente 
do que faça seu oponente. Dessa forma, deve existir uma escolha ótima de uma dada estratégia para 
cada jogador, não importando o que faça seu oponente.
Para formalizar a identificação da estratégia dominante num jogo com dois jogadores (A e B), 
devemos observar a seguir.
Tabela 12 – Matriz de pay‑offs para dois jogadores: A e B
Jogador B
B1 B2
Jogador A
A1 {a11; b11} {a12; b12}
A2 {a21; b21} {a22; b22}
Na tabela anterior, identificamos as seguintes variáveis:
• A1 e A2 representam as estratégias do jogador A;
156
Unidade III
• B1 e B2 representam as estratégias do jogador B;
• aij representa o ganho do jogador A, de acordo com a estratégia i adotada pelo jogador A e a 
estratégia j adotada pelo jogador B (com i, j = 1,2); e
• bij representa o ganho do jogador B, de acordo com a estratégia i adotada pelo jogador A e a 
estratégia j adotada pelo jogador B (com i, j = 1,2).
A estratégia dominante para um determinado jogador pode ser identificada a partir da tabela 
anterior, quando as seguintes situações ocorrem:
• A1 é estratégia dominante para o jogador A se a11 > a21 e a12 > a22;
• A2 é estratégia dominante para o jogador A se a21 > a11 e a22 > a12;
• B1 é estratégia dominante para o jogador B se b11 > b12 e b21 > b22;
• B2 é estratégia dominante para o jogador B se b12 > b11 e b22 > b22.
Exemplo de aplicação
(a) Seja a seguinte matriz de pay‑offs para um hipotético jogo simultâneo de informações completas:
Tabela 13 – Jogo simultâneo de informações completas, 
caso 1 (em unidades monetárias, $)
Jogador B
B1 B2
Jogador A
A1 {1; 2} {0; 1}
A2 {2; 1} {1; 0}
Quais são as estratégias dominantes para os jogadores A e B?
Resolução
Para identificar a estratégia dominante do jogador A, observe a reprodução abaixo da matriz 
de pay‑offs:
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MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA IMPERFEITA
Jogador B
B1 B2
Jogador A
A1 {1; 2} {0; 1}
A2 {2; 1} {1; 0}
Figura 46 
Nesse caso, observamos no primeiro destaque que 2 > 1 e no segundo destaque que 1 > 0. Os dois 
valores superiores se encontram na linha correspondente à estratégia A2. Portanto, A2 é a estratégia 
dominante do jogador A.
Agora, para identificar a estratégia dominante do jogador B, observe novamente a reprodução da 
matriz de pay‑offs:
Jogador B
B1 B2
Jogador A
A1 {1; 2} {0; 1}
A2 {2; 1} {1; 0}
Figura 47 
Nesse caso, observamos no primeiro destaque que 2 > 1 e no segundo destaque que 1 > 0. Os dois 
valores superiores se encontram na linha correspondente à estratégia B1. Portanto, B1 é a estratégia 
dominante do jogador B.
(b) Seja, agora, esta nova matriz de pay‑offs para um hipotético jogo simultâneo de informações 
completas:
Tabela 14 – Jogo simultâneo de informações completas, 
caso 2 (em unidades monetárias, $)
Jogador B
B1 B2
Jogador A
A1 {1; 2} {2; 1} 
A2 {2; 1} {1; 0}
Quais são as estratégias dominantes para os jogadores A e B?
158
Unidade III
Resolução
Não existe estratégia dominante para o jogador A, pois, de acordo com a matriz de pay‑offs, 
a11 < a21 e a12 > a22 e, dessa forma, não é possível enquadrar em nenhuma das regras de identificação 
de estratégias dominantes vista anteriormente.
Por outro lado, B1 é a estratégia dominante para o jogador B, pois b11 > b12 e b21 > b22, conforme a 
regra de identificação de estratégias dominantes vista anteriormente.
 Observação
Em um jogo simultâneo de informações completas com dois jogadores 
A e B, o jogador A não tem estratégia dominante se:
a a e a a
ou
a a e a a
11 21 12 22
11 21 12 22
� �
� �
�
�
�
�
�
O jogador B não tem estratégia dominante se:
b b e b b
ou
b b e b b
11 12 21 22
11 12 21 22
� �
� �
�
�
�
�
�
Consideremos agora as seguintes situações hipotéticas de interação estratégica:
• A rede Casas Bahia decide se lança ou não de mão uma nova campanha publicitária de vendas de 
TVs de alta definição para competir com a campanha de seu concorrente, a rede Ricardo Eletro.
• A rede Ricardo Eletro tem que decidir se aumenta ou não os gastos de publicidade de seu produto.
Supondo um jogo simultâneo de informações completas, a matriz de pay‑offs com as estratégias de 
cada jogador é ilustrada na tabela a seguir.
159
MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA IMPERFEITA
Tabela 15 – Matriz de pay‑offs para o jogo de guerra de publicidade 
entre Casas Bahia e Ricardo Eletro, caso 1 (em R$ milhões)
Ricardo Eletro
Aumentar os gastos 
com publicidade
Não aumentar os 
gastos com publicidade
Casas Bahia
Lançar campanha 
publicitária {5; 5} {7; 3} 
Não lançar campanha 
publicitária {2; 4} {2; 7}
Aplicando as regras de identificação de estratégia dominante na tabela anterior, chegamos aos 
seguintes resultados:
• A estratégia {Lançar campanha publicitária} é dominante para a rede Casas Bahia, pois 5 > 2 e 7 > 2.
• Para a rede Casas Bahia, a estratégia {Não lançar campanha publicitária} é dominada pela 
estratégia {Lançar campanha publicitária}.
Portanto, se todos os ganhos da estratégia das Casas Bahia em {Lançar campanha publicitária} são 
estritamente maiores do que as recompensas da estratégia{Não lançar campanha publicitária}, isso 
implica dizer que {Lançar campanha publicitária} é estratégia estritamente dominante.
Seja, agora, a seguinte matriz de pay‑offs (tabela 16) levemente modificada em relação à versão 
anterior apresentada na tabela 15.
Tabela 16 – Matriz de pay‑offs para o jogo de guerra de publicidade 
entre Casas Bahia e Ricardo Eletro, caso 2 (em R$ milhões)
Ricardo Eletro
Aumentar os gastos 
com publicidade
Não aumentar os gastos 
com publicidade
Casas Bahia
Lançar campanha 
publicitária {2; 5} {7; 3}
Não lançar campanha 
publicitária {2; 4} {2; 7}
Podemos observar a partir da tabela anterior que:
• Caso a rede Ricardo Eletro decida aumentar os gastos com publicidade, então a estratégia {Lançar 
campanha publicitária} para as Casas Bahia produz resultados tão bons quanto {Não lançar 
campanha publicitária}, pois 2 = 2.
• Caso a rede Ricardo Eletro decida não aumentar os gastos com publicidade, então a estratégia 
{Lançar campanha publicitária} para as Casas Bahia produz os melhores resultados, pois 7 > 2.
160
Unidade III
Nesse novo exemplo, portanto, a estratégia das Casas Bahia de {Lançar campanha publicitária} 
é fracamente dominante em relação à estratégia {Não lançar campanha publicitária}. Ou, ainda, 
{Não lançar campanha publicitária} é fracamente dominada pela estratégia {Lançar campanha 
publicitária}.
7.2.2 Eliminação de estratégias estritamente dominadas
A partir da identificação de estratégias dominantes e dominadas, é possível verificar que existe uma 
escolha ótima de estratégia para cada jogador, não importando o que o oponente faça. Assim, num jogo 
simultâneo de informações completas com dois jogadores (A e B), dadas as estratégias S e os ganhos 
π para cada um dos jogadores, podemos representar algebricamente as estratégias da seguinte forma:
• Estratégia fortemente (estritamente) dominante:
� �A A B B A BS S S S12 12, ,, ,� � � � �
• Estratégia fracamente dominante:
� �A A B B A BS S S S1 1, ,� � � � �
e
� �A A B B A BS S S S2 2, ,� � � � �
Mas o interesse na resolução do jogo não se limita em identificar estratégias dominantes e dominadas. 
Esse método permite, apenas, escolher a estratégia que obterá as melhores recompensas. Assim, qual 
a melhor recompensa? O método mais simples para se determinar o resultado de um jogo simultâneo 
é a eliminação iterativa de estratégias estritamente dominadas.
Seja o seguinte exemplo: duas firmas, A e B, devem decidir entre lançar um novo produto (firma A) 
e manter ou reduzir o preço de seu produto (firma B). A matriz de pay‑offs desse jogo é apresentada na 
tabela a seguir.
Tabela 17 – Matriz de pay‑offs para o jogo de 
lançamento de produto, caso 1 (em R$ milhões)
Firma B
Manter preço Reduzir preço
Firma A
Lançar novo produto {1; –1} {1/2; 1/2}
Não lançar novo 
produto {0; 1} {0; 1}
161
MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA IMPERFEITA
Podemos observar a partir da tabela anterior que a firma B não possui estratégia dominante, pois: 
em primeiro lugar, se a firma A utilizar a estratégia {Lançar novo produto}, a melhor resposta da firma 
B será {Reduzir preço} (–1 < 1/2); por outro lado, se a firma A {Não lançar novo produto}, a melhor 
estratégia par a firma B será {Manter preço} (1 > –1).
Por sua vez, há uma estratégia estritamente dominante para a firma A: {Lançar novo produto}, pois 
é a melhor resposta independentemente da estratégia adotada pela firma B (1 > 0 e 1/2 > 0). Portanto, 
a estratégia {Não lançar novo produto} é estritamente dominada para a firma A. Com isso, podemos 
eliminar a estratégia {Não lançar novo produto} (figura a seguir).
Firma B
Manter preço Reduzir preço
Firma A
Lançar novo produto {1; –1} {1/2; 1/2}
Não lançar novo 
produto {0; 1} {0; –1}
Figura 48 – Eliminação de estratégia estritamente dominada para a Firma A
Para a firma B, os resultados após a eliminação da estratégia estritamente dominada são os seguintes:
• Estratégia estritamente dominante para a firma B: {Reduzir preço}, pois (1/2 > –1).
• Estratégia estritamente dominada para a firma B: {Manter preço}.
Para a firma A, só resta a estratégia estritamente dominante: {Lançar novo produto}. Desse modo, 
ao eliminar a estratégia estritamente dominada da firma B, como resultado final do jogo resta o conjunto 
{Lançar novo produto; Reduzir preço}. Esse resultado pode ser verificado na figura a seguir.
Firma B
Manter preço Reduzir preço
Firma A
Lançar novo produto {1; –1} {1/2; 1/2}
Não lançar novo 
produto {0; 1} {0; –1}
Figura 49 – Eliminação de estratégia estritamente dominada para a Firma B e resultado final do jogo
Exemplo de aplicação
Vamos supor que, no jogo de lançamento de um novo SUV pela empresa automobilística Inovadora, 
esta tenha, agora, três estratégias: {Lançar modelo próprio}; {Importar da matriz} e {Não competir 
com a Líder}. A empresa Líder, por sua vez, possui, também, três estratégias: {Lançar nova versão}; 
{Manter preço} e {Reduzir preço}. A nova matriz de pay‑offs é observada a seguir (com lucros líquidos 
em R$ milhões/mês):
162
Unidade III
Tabela 18 – Matriz de pay‑offs para o jogo de 
lançamento de um novo SUV (em R$ milhões/mês)
Empresa Líder
Lançar nova versão Manter preço Reduzir preço
Empresa 
Inovadora
Lançar modelo 
próprio {10; 40} {40; 10} {10; 30}
Importar da 
matriz {20; 20} {20; 01} {20; 30}
Não competir
com a Líder {10; 10} {0; 60} {10; 0}
Qual o resultado desse jogo?
Resolução
A resolução desse jogo passa pela eliminação interativa de estratégias estritamente dominadas. 
Uma maneira prática de realizar essa eliminação seria apontar com um asterisco (*) os ganhos que 
são estritamente maiores em cada estratégia. Inicialmente, vamos analisar qual a melhor estratégia da 
empresa Inovadora, dada a adoção de uma estratégia pela empresa Líder:
• No caso da Líder adotar a estratégia {Lançar nova versão}: a melhor resposta da Inovadora é 
{Importar da matriz} (aponte o * sobre o valor 20 à esquerda, nessa célula).
• No caso da Líder adotar a estratégia {Manter preço}: a melhor resposta da Inovadora é {Lançar 
modelo próprio} (aponte o * sobre o valor 40 à esquerda, nessa célula).
• No caso da Líder adotar a estratégia {Reduzir preço}: a melhor resposta da Inovadora é {Importar 
da matriz} (aponte o * sobre o valor 20 à esquerda, nessa célula).
Agora, vamos analisar qual a melhor estratégia da empresa Líder, dada a adoção de uma estratégia 
pela empresa Inovadora:
• No caso da Inovadora adotar a estratégia {Lançar modelo próprio}: a melhor resposta da Líder 
é {Lançar nova versão} (aponte o * sobre o valor 40 à direita, nessa célula).
• No caso da Inovadora adotar a estratégia {Importar da matriz}: a melhor resposta da Líder é 
{Reduzir preço} (aponte o * sobre o valor 30 à direita, nessa célula).
• No caso da Inovadora adotar a estratégia {Não competir com a Líder}: a melhor resposta da 
Líder é {Manter preço} (aponte o * sobre o valor 60 à direita, nessa célula).
Os resultados dos apontamentos, dadas as combinações de estratégias possíveis, podem ser 
visualizados na tabela a seguir:
163
MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA IMPERFEITA
Tabela 19 – Identificando estratégias para o jogo de 
lançamento de um novo SUV (em R$ milhões/mês)
Empresa Líder
Lançar nova versão Manter preço Reduzir preço
Empresa 
Inovadora
Lançar modelo próprio {10; 40*} {40*; 10} {10; 30}
Importar da matriz {20*; 20} {20; 10} {20*; 30*}
Não competir
com a Líder {10; 10} {0; 60*} {10; 0}
Note que a combinação de estratégias {Importar da matriz; Reduzir preço}, com pay‑off igual a 
∏inovadora, Líder = {20; 30}, apresenta duas marcações com *. Esse, portanto, é o resultado do jogo.
Esse resultado equivale dizer que a estratégia dominante para a empresa Inovadora é {Importar da 
matriz} e as demais estratégias eliminadas são estritamente dominadas. Para a empresa Líder, a estratégia 
dominante é {Reduzir preço} e as demais estratégias eliminadas são estritamente dominadas.
A partir de agora, todos os resultados de jogos serão obtidos a partir desse procedimento.Portanto, dadas as hipóteses de que os jogadores são racionais e de que as regras são de conhecimento 
comum, o jogo pode ser resolvido pela eliminação iterativa de estratégias estritamente dominadas.
No entanto, nem todos os jogos podem possuir estratégias estritamente dominadas. Seja, por 
exemplo, o novo jogo do lançamento de um novo produto conforme ilustrado na tabela a seguir.
Tabela 20 – Matriz de pay‑offs para o jogo de 
lançamento de produto, caso 2 (em R$ milhões)
Firma B
Manter preço Reduzir preço
Firma A
Lançar novo produto {2*; 1*} {−1; −2}
Não lançar novo 
produto {0; −1} {1*; 2*}
Podemos observar que, no jogo da tabela anterior, não é possível aplicar a técnica, pois não existem 
estratégias estritamente dominadas para serem eliminadas. Além disso, duas combinações de estratégias 
são candidatas a resultado do jogo. Nesse caso, torna‑se necessário outro método para a determinação 
do resultado.
7.3 Equilíbrio de Nash
O conceito do equilíbrio de Nash é um dos mais conhecidos e usados para analisar soluções em 
jogos. Ele é utilizado num determinado estado para o jogo estratégico, em que cada jogador tem a 
expectativa correta sobre o comportamento dos outros jogadores e, além disso, age racionalmente.
164
Unidade III
7.3.1 Definição de equilíbrio de Nash
Diz‑se que uma combinação de estratégias constitui um equilíbrio de Nash quando cada 
estratégia é a melhor resposta possível às estratégias dos demais jogadores, e isso é verdade para todos 
os jogadores. Portanto, o equilíbrio de Nash exige que todas as estratégias adotadas por todos os 
jogadores sejam as melhores respostas às estratégias dos demais.
 Saiba mais
O equilíbrio de Nash foi idealizado pelo matemático John Nash 
(1928‑2015) e descreve a situação na qual dois jogadores conhecem a 
estratégia de seu oponente, mas não há certeza de que o oponente irá 
segui‑la. Nesse caso, como há incerteza, ambos os jogadores acabam 
adotando a mesma estratégia. Para a história de vida desse importante 
personagem da ciência, ver o filme a seguir:
UMA MENTE brilhante. Direção: Ron Howard. EUA: Universal Pictures, 
2001. 135 min.
Num jogo simultâneo de informações completas com dois jogadores, A e B, um par de estratégias 
com pay‑off ∏A, B = {aij; bij} com i, j = 1,2 é um equilíbrio de Nash se a escolha da estratégia do jogador 
A é ótima, dada a escolha do jogador B, e escolha do jogador B é ótima, dada a escolha do jogador A.
De maneira formal, num jogo simultâneo de informações completas com dois jogadores, A e B, 
suponha que o jogador A tenha as estratégias A1 e A2, e que o jogador B tenha as estratégias B1 e B2. 
Em primeiro lugar, fixa‑se A1 e escolhem‑se os maiores ganhos entre B1 e B2:
a. Suponha que seja B1: fixa‑se B1 e escolhem‑se os maiores ganhos entre A1 e A2:
• Se for A1: a combinação de estratégias {A1 ; B1} é um equilíbrio de Nash.
• Se for A2: a combinação de estratégias {A2 ; B1} não é um equilíbrio de Nash.
b. Suponha que seja B2: fixa‑se B2 e escolhem‑se os maiores ganhos entre A1 e A2:
• Se for A1: a combinação de estratégias {A1 ; B2} não é um equilíbrio de Nash.
• Se for A2: a combinação de estratégias {A2 ; B2} é um equilíbrio de Nash.
Agora, fixa‑se A2 e escolhem‑se os maiores ganhos entre B1 e B2:
a. Suponha que seja B1: fixa‑se B1 e escolhem‑se os maiores ganhos entre A1 e A2:
165
MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA IMPERFEITA
• Se for A1: a combinação de estratégias {A1 ; B1} é um equilíbrio de Nash.
• Se for A2: a combinação de estratégias {A2 ; B1} não é um equilíbrio de Nash.
b. Suponha que seja B2: fixa‑se B2 e escolhem‑se os maiores ganhos entre A1 e A2:
• Se for A1: a combinação de estratégias {A1 ; B2} não é um equilíbrio de Nash.
• Se for A2: a combinação de estratégias {A2 ; B2} é um equilíbrio de Nash.
A tabela a seguir apresenta um exemplo em que, a partir da matriz de pay‑offs, não é possível apontar 
um resultado com a eliminação de estratégias estritamente dominadas. Entretanto, é possível afirmar que 
os resultados desse jogo são as seguintes combinações de estratégias: {A1 ; B1} e {A2 ; B2}.
Tabela 21 – Análise de equilíbrio de Nash em 
uma matriz de pay‑offs hipotética
Jogador B
B1 B2
Jogador A
A1 {2*; 1*} {0; 0}
A2 {0; 0} {1*; 2*}
A combinação de estratégias {A1 ; B1} é um equilíbrio de Nash, pois:
• Se o jogador A escolher a estratégia A1, então a melhor escolha do jogador B é a estratégia B1.
• Se o jogador B escolher a estratégia B1, então a melhor escolha do jogador A é a estratégia A1.
Por outro lado, a combinação de estratégias {A2 ; B2} também é um equilíbrio de Nash, pois:
• Se o jogador A escolher a estratégia A2, então a melhor escolha do jogador B é a estratégia B2.
• Se o jogador B escolher a estratégia B2, então a melhor escolha do jogador A é a estratégia A2.
Exemplo de aplicação
O Brasil é grande produtor de soja e a Argentina é grande produtora de trigo. Ambos são exportadores 
desses produtos agropecuários e comercializam esses produtos entre si: Brasil exportando e Argentina 
importando, e vice‑versa. Tanto o Brasil quanto a Argentina têm apenas duas opções para tributar suas 
importações: (i) adotar uma tarifa baixa (1% sobre o valor do produto importado); ou (ii) adotar uma 
tarifa alta (50% sobre o valor do produto importado). Dependendo da estratégia de adoção de tarifa, a 
balança comercial dos dois países tomará a forma da seguinte matriz de pay‑offs (em US$ bilhões/ano):
166
Unidade III
Tabela 22 – Matriz de pay‑offs para o jogo de 
comércio internacional (em US$ bilhões/ano)
Argentina
Tarifa alta Tarifa baixa
Brasil
Tarifa alta {0,8; 0,8} {2,3; −0,7}
Tarifa baixa {−0,7; 2,3} {1,7; 1,7}
Qual o resultado desse jogo?
Resolução
Fixando as estratégias da Argentina, obtemos os seguintes resultados para o Brasil:
• No caso da Argentina adotar a estratégia {Tarifa Alta}: a melhor resposta do Brasil é adotar a 
estratégia {Tarifa Alta}.
• No caso da Argentina adotar a estratégia {Tarifa Baixa}: a melhor resposta do Brasil é adotar a 
estratégia {Tarifa Alta}.
Portanto, existe para o Brasil uma estratégia dominante {Tarifa Alta} e uma estratégia estritamente 
dominada {Tarifa Baixa}. Agora vamos fixar as estratégias do Brasil:
• No caso do Brasil adotar a estratégia {Tarifa Alta}: a melhor resposta da Argentina é adotar a 
estratégia {Tarifa Alta}.
• No caso do Brasil adotar a estratégia {Tarifa Baixa}: a melhor resposta da Argentina é adotar a 
estratégia {Tarifa Alta}.
Logo, também existe para a Argentina uma estratégia dominante {Tarifa Alta} e uma estratégia 
estritamente dominada {Tarifa Baixa}.
Finalmente, a eliminação interativa das estratégias estritamente dominadas leva ao seguinte 
resultado: {Tarifa Alta; Tarifa Alta}. Esse resultado pode ser verificado na tabela a seguir em que essa 
combinação apresenta duas assinalações com *.
Tabela 23 – Identificando estratégias para o jogo de 
comércio internacional (em US$ bilhões/ano)
Argentina
Tarifa alta Tarifa baixa
Brasil
Tarifa alta {0,8*; 0,8*} {*2,3; −0,7}
Tarifa baixa {−0,7; 2,3*} {1,7; 1,7}
167
MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA IMPERFEITA
Portanto a combinação de estratégias {Tarifa Alta; Tarifa Alta} é um equilíbrio de Nash, pois é a 
melhor resposta tanto para o Brasil quanto para a Argentina, qualquer que seja a estratégia que o outro 
país escolha.
7.3.2 Equilíbrio de Nash e eficiência
No último exemplo de aplicação, o resultado obtido para o jogo do comércio internacional nos leva 
a duas considerações importantes:
• O conceito de equilíbrio de Nash exige que cada jogador, individualmente, adote a melhor resposta 
em relação às estratégias dos demais jogadores.
• Mas a melhor resposta não significa que a situação resultante das decisões conjuntas dos jogadores 
será a melhor possível.
O resultado do jogo do comércio internacional apontou um equilíbrio de Nash para a combinação 
de estratégias ótima (S*):
S t a* ; , ; ,�� � �� �tarifa alta arifa lta 0 8 0 8
Porém, note que existe uma alternativa melhor em termos de ganhos representadapela combinação 
de estratégias:
S b�� � �� �tarifa baixa tarifa aixa; , ; ,17 17
O resultado do jogo S* mostra que o equilíbrio de Nash não deve ser confundido com o conceito de 
eficiência. Como já vimos, a eficiência no sentido de Pareto é uma situação de alocação de recursos tal 
que não se pode melhorar a condição de um agente sem piorar a condição de outros agentes.
 Lembrete
Se, em uma dada situação, não é possível melhorar a situação de um 
agente sem piorar a situação de outro, temos um ótimo de Pareto, o que 
significa que, nesse ponto, os ganhos de eficiência não são mais possíveis.
Logo, a melhora no sentido de Pareto permite identificar possibilidades de aumento de eficiência 
que não teriam, em princípio, razão para enfrentar algum tipo de oposição. Entretanto, se, em virtude de 
alguma alteração (aumento repentino da renda, redução de tarifas ou qualquer outra alteração exógena 
das condições de equilíbrio), um agente (individualmente) melhora sua situação sem que ninguém piore, 
por que alguém haveria de se opor a essa mudança que produz maior eficiência?
168
Unidade III
A situação em que os jogadores estão adotando as melhores respostas às escolhas dos demais 
não implica que suas decisões, quando tomadas em conjunto, devem resultar na melhor situação 
possível. De fato, pelo exemplo do jogo do comércio internacional, a situação que traria melhor 
resultado para os dois países (maior saldo da balança comercial) é a adoção da estratégia {tarifa 
baixa}. Essa estratégia seria adotada se fosse tomada isoladamente pelo país. Em conjunto, 
entretanto, essa estratégia é estritamente dominada. Por outro lado, ao decidir em conjunto pela 
estratégia {tarifa alta}, os países se fecham ao comércio internacional e reduzem o resultado, em 
termos de eficiência, para economia.
Portanto, somente após se entender a natureza da interação estratégica entre os agentes é que se 
pode discutir sobre a questão da eficiência no sentido de Pareto do equilíbrio de Nash.
7.3.3 Exemplos de jogos
Jogo 1: jogo de combinar moedas (matching pennies)
Nesse jogo, dois jogadores exibem, ao mesmo tempo, a moeda que cada um esconde em sua mão. 
No caso de ambas as mãos apresentarem moedas com face “cara” ou “coroa”, o segundo jogador dá a 
sua moeda ao primeiro. Se uma das mãos apresenta “cara”, enquanto a outra mão apresenta “coroa”, é a 
vez do primeiro jogador dar sua moeda ao segundo. A matriz de pay‑offs desse jogo pode ser visualizada 
na tabela a seguir.
Tabela 24 – Jogo de combinar moedas
Jogador 2
Cara Coroa
Jogador 1
Cara {1*; −1} {−1; 1*}
Coroa {−1; 1*} {1*; −1}
Observe que, nesse jogo, não existe nem estratégia dominante nem dominada. Nenhuma célula da 
tabela apresenta duas assinalações. Portanto nesse jogo, não existe equilíbrio de Nash. Jogos deste tipo, 
que não apresentam equilíbrio de Nash e nos quais os interesses dos jogadores são totalmente opostos, 
também são chamados de estritamente competitivos.
Jogo 2: batalha dos sexos
Esse jogo consiste de dois jogadores, um homem (o marido) e uma mulher (a esposa) que combinaram 
de ficarem em casa juntos. O principal interesse deles é assistir a um programa de TV, mas o homem 
prefere assistir a um jogo de futebol, enquanto a mulher gostaria de assistir ao capítulo inédito da 
novela. A tabela a seguir representa as preferências dos jogadores.
169
MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA IMPERFEITA
Tabela 25 – Jogo da batalha dos sexos
Mulher (esposa)
Futebol Novela
Homem (marido)
Futebol {1*; 2*} {−1; −1}
Novela {−1; −1} {2*; 1*}
Este exemplo modela uma situação em que os jogadores querem chegar a um consenso, mas têm 
interesses conflitantes. O jogo apresenta dois equilíbrios de Nash: {Futebol; Futebol} e {Novela; Novela}. 
Os jogadores, o marido e a esposa obterão a maior recompensa caso escolham o mesmo programa e 
consigam se encontrar, ainda que a esposa prefira assistir novela a futebol e o marido prefira o futebol 
à novela. Naturalmente nenhum dos dois quer fazer seu programa favorito sozinho e, assim, o marido 
prefere assistir novela com a esposa a assistir futebol sozinho, e a esposa, da mesma forma, prefere 
assistir ao futebol com o marido a assistir sozinha a novela.
Os dois equilíbrios de Nash do jogo batalha dos sexos servem como representação geral das situações 
de interação estratégica em que os jogadores ganham sempre que coordenam suas decisões, mas têm 
preferências distintas sobre que tipo de coordenação deve ser adotada. Dessa forma, o equilíbrio de Nash 
indica a situação melhor para os dois ao mesmo tempo, e não o melhor para cada um individualmente.
Jogo 3: dilema dos prisioneiros
Dois suspeitos de um crime, Nestor e Delcídio, são postos em celas separadas para serem interrogados. 
Se ambos confessarem o crime, cada um será sentenciado a 12 anos de prisão com direito a benefícios de 
prisão domiciliar após determinado período. Se apenas um deles confessar, ele terá sua pena abreviada 
para 3 anos e será usado de testemunha contra o outro, que poderá receber uma punição severa de 
24 anos de cadeia. Se nenhum deles confessar, cada um pega uma sentença mais leve, de 6 anos, mas 
sem benefícios de progressão penal. A tabela a seguir apresenta os ganhos desse jogo em termos de 
anos perdidos na cela de um presídio.
Tabela 26 – Dilema dos prisioneiros
Delcídio
Confessa Não confessa
Nestor
Confessa {−12*; −12*} {−3*; −24}
Não confessa {−24; −3*} {−6; −6}
Neste jogo, nota‑se um comportamento idêntico ao do jogo do comércio internacional. Se os 
prisioneiros cooperarem entre si, isto é, nenhum deles confessar, o ganho conjunto é o melhor de 
todos (a pena de cada um é de apenas 6 anos). Porém, o equilíbrio de Nash aponta para o conjunto 
de estratégias {confessa; confessa}. Portanto, se cada um agir em causa própria, qualquer que seja 
a estratégia do outro, a melhor alternativa é confessar, mesmo que não seja a escolha eficiente no 
sentido de Pareto.
170
Unidade III
 Observação
O jogo dilema dos prisioneiros, quando jogado em apenas uma rodada, 
é também conhecido como jogo não cooperativo, pois, nesse caso, os 
jogadores não podem estabelecer compromissos garantidos.
Por outro lado, existem, também, os jogos cooperativos, como o cartel 
de empresas, em que os jogadores podem estabelecer compromissos e esses 
compromissos têm garantias efetivas.
Se o jogo do dilema dos prisioneiros for repetido um número finito de vezes, por exemplo, 20 
vezes, na vigésima rodada, mesmo que os prisioneiros estivessem adotando a estratégia cooperativa 
“não confessar”, cada um iria confessar. Jogar pela última vez é o mesmo que jogar apenas uma vez. 
Sabendo disso, cada prisioneiro vai confessar na 19ª rodada, na 18ª rodada e assim por diante. Portanto, 
com um número fixo de rodadas, cada prisioneiro confessa em todas as rodadas e o único equilíbrio é 
“confessar”, que é não cooperativo e Pareto‑ineficiente.
Por outro lado, se o jogo for repetido infinitas vezes, há a possibilidade de surgir uma solução 
cooperativa através da estratégia “olho por olho”: Nestor coopera negando na primeira rodada, 
esperando que Delcídio faça o mesmo. Se este não cooperar, Nestor deixa de cooperar. Se ele cooperar, 
Nestor continua cooperando e a situação de eficiência no sentido de Pareto pode ser atingida.
7.3.4 Equilíbrio de Nash em jogos sequenciais
Conforme observado anteriormente, um jogo sequencial é aquele em que, em alguma de suas etapas, 
um dos jogadores terá a possibilidade de decidir conhecendo a decisão do jogador que o antecedeu. 
Nesse tipo de jogo, o conceito de equilíbrio de Nash deverá ser adaptado para levar em conta o processo 
de interação estratégica, em que os jogadores tomam suas decisões sequencialmente.
Seja, por exemplo, a representação de um jogo de informação perfeita na forma extensiva conforme 
apresentado na figura a seguir.
171
MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA IMPERFEITA
Jogador 1
C
C
Jogador 2
Jogador 2
B
D
D
{–10; –10}
{1; 100}
{1; 100}
{0; 0}
A
Figura 50 – Jogo sequenciale equilíbrio de Nash
Para facilitar a análise dos equilíbrios de Nash desse jogo, é conveniente descrevê‑lo na forma 
estratégica ou normal. O jogador 1 é o primeiro jogador a se mover e dispõe das seguintes opções de 
estratégia: A ou B. O jogador 2 joga depois da escolha do jogador 1. Inicialmente, o jogador 2 tem as 
seguintes opções de jogadas:
• C se o jogador 1 joga A; ou C se o jogador 1 joga B ⇒ Estratégia CC.
• D se o jogador 1 joga A; ou C se o jogador 1 joga B ⇒ Estratégia DC.
• C se o jogador 1 joga A; ou D se o jogador 1 joga B ⇒ Estratégia CD.
• D se o jogador 1 joga A; ou D se o jogador 1 joga B ⇒ Estratégia DD.
A representação do jogo da figura anterior em forma estratégica pode ser vista na tabela a seguir, 
em que os asteriscos (*) identificam as estratégias dominantes em cada combinação de jogadas.
Tabela 27 – Equilíbrio de Nash de um 
jogo sequencial na forma estratégica
Jogador 2
Jogador 1 CC CD DC DD
A {−10; −10} {−10; −10} {1*; 100*} {1*; 100*}
B {1*; 100*} {0*; 0} {1*; 100*} {0; 0}
172
Unidade III
Analisando o jogo na forma estratégica, encontramos quatro equilíbrios de Nash, representados 
pelos seguintes pares de estratégias puras: {A; DC}; {A; DD}; {B; CC}; e {B; DC}. Observe também, que 
não existe, para cada jogador, estratégia estritamente dominante.
Portanto, um jogo sequencial de informação perfeita tende a gerar um número excessivo de 
equilíbrios de Nash. Dessa forma, um jogo passa a apresentar duas condições: a primeira delas refere‑se 
às melhores respostas que os jogadores devem dar; a segunda trata da ordem em que os jogadores 
tomam as decisões. Nesse caso, é necessário encontrar um critério que restrinja o número de equilíbrios, 
de forma que se possa dar conta, também, da ordem em que os jogadores tomam suas decisões. Esse 
refinamento da análise é o equilíbrio perfeito em subjogos.
7.3.5 Equilíbrio de Nash com estratégia mista
Considere dois países, Estados Unidos e União Soviética, cada um com arsenais nucleares capazes de 
destruir a Terra milhares de vezes. Cada um dos países tem duas estratégias: ameaçar ou não ameaçar 
os países com suas bombas atômicas com o objetivo de obter concessões políticas em relação a países 
aliados (Europa Ocidental e Cuba, por exemplo).
A matriz de pay‑offs da tabela a seguir retrata os ganhos (ou perdas) em termos percentuais de 
vidas. Assim, por exemplo, se as duas nações ameaçam apertar o botão que deflagre uma guerra nuclear, 
haverá uma perda de 100% de vidas, ou seja, a população da Terra se extinguirá. Caso não haja nenhuma 
ameaça nuclear, todas as vidas serão poupadas. Mas, se uma nação ameaça e a outra não, 10% da 
população do país atacado será morta, enquanto o país atacante terá um “ganho” de oportunidade por 
ter poupado 10% da população da morte certa.
Tabela 28 – Jogo da Guerra Fria (ganhos em % de vidas)
União Soviética
Ameaça nuclear Não ameaça nuclear
Estados 
Unidos
Ameaça nuclear {−100; −100} {10*; −10*}
Não ameaça nuclear {−10*; 10*} {0; 0}
Esse jogo, também conhecido como jogo da galinha, apresenta dois equilíbrios de Nash: {não ameaça 
nuclear; ameaça nuclear} e {não ameaça nuclear; ameaça nuclear}. Esse é caso, portanto, de um 
país que, por conseguir exercer pressão política com a ameaça nuclear, apresenta uma recompensa 
positiva de 10% de vidas poupadas. Apesar de haver dois equilíbrios, isso não significa que o jogo tem 
duas soluções. Como obter o resultado desse jogo?
173
MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA IMPERFEITA
 Observação
Uma bomba atômica é lançada pelo país A ao país B. A política de 
B, no caso de ser atacado, consiste em revidar com todo seu arsenal, 
capaz de destruir a vida no planeta. O país B toma essa decisão com base 
nesse raciocínio: até o país mais fraco do mundo está seguro, caso sua 
sobrevivência seja ameaçada, pois ele pode destruir a humanidade.
Ao elevar os custos para o país atacante, o detentor de armas nucleares 
garante sua segurança. O problema é que de nada adianta um país possuir 
tal arsenal em segredo. Seus inimigos devem saber de sua existência e 
acreditar na sua disposição de usá‑la. O poder da bomba atômica está mais 
na intimidação do que em seu uso. Essa análise é atribuída ao Prêmio Nobel 
de Economia Thomas Schelling (1921‑).
Para aferir resultados de jogos estritamente competitivos como o da Guerra Fria, devemos apontar 
o equilíbrio de Nash com estratégia mista. Nesse caso, os agentes randomizam suas estratégias, isto é, 
estabelecem probabilidades para cada escolha. Supondo dois jogadores (A e B) e duas estratégias (1 e 2), 
as decisões são tomadas com base nessas probabilidades:
• (1 – p): é a probabilidade da estratégia A1;
• p: é a probabilidade da estratégia A2;
• (1 – q): é a probabilidade da estratégia B1; e
• q: é a probabilidade da estratégia B2.
 Lembrete
Pelos axiomas da probabilidade:
• Um dado evento i deve ter probabilidade P, tal que:
0 < Pi < 1
• A soma da probabilidade de todos os eventos deve ser igual a:
i
n
iP
�
� �
1
1
174
Unidade III
Portanto, pelas regras de probabilidade anteriores, a soma das probabilidades das estratégias 
adotadas de cada jogador deve ser igual a:
A p p: 1 1�� � � � (7.1)
B q q: 1 1�� � � � (7.2)
Suponha, agora, a representação para um jogo simultâneo na forma estratégica, como ilustrado na 
tabela a seguir.
Tabela 29 – Jogo simultâneo com estratégias mistas
Jogador B
(1 – q)
B1
(q)
B2
Jogador A
(1 – p)
A1
{a11; b11} {a12; b12}
(p)
A2
{a21; b21} {a22; b22}
Combinando a estratégia de cada jogador com a respectiva probabilidade na tabela anterior, podemos 
descrever os ganhos esperados do jogador A (WA) e do jogador B (WB) da seguinte forma:
A W p q a p q a p q a p q aA: ( ) ( ) ( )( )� �� � �� � � �� � � �� � �1 1 1 111 12 21 22 (7.3)
B W p q b p q b p q b p q bB: ( ) ( ) ( )( )� �� � �� � � �� � � �� � �1 1 1 111 12 21 22 (7.4)
No equilíbrio de Nash, a estratégia de cada jogador é a melhor resposta às demais. Logo, nenhum 
jogador tem interesse em se desviar dessas respostas, adotando uma estratégia diferente. Dessa forma, 
se conseguirmos encontrar as probabilidades de uma estratégia para cada jogador que ao menos deixem 
os jogadores indiferentes entre jogar essas estratégias ou quaisquer outras, teremos encontrado o 
equilíbrio de Nash em estratégias mistas.
Para encontrar essas probabilidades, teremos que encontrar a função de reação de um jogador 
adotar uma determinada estratégia que está em função da probabilidade do outro jogador escolher sua 
melhor estratégia. Por exemplo, a função de reação do jogador A (FA) deve ser a sua melhor estratégia, 
com probabilidade p, dado que o jogador B deve adotar outra estratégia com probabilidade q. Assim, a 
função de reação de A pode ser calculada a partir da maximização de sua função de recompensa (7.3) 
com respeito a sua probabilidade p:
F q
W
p
q a q a q a aqA
A� � � �
�
� �� � � �� � � �� � � � � �1 1 011 12 21 22
175
MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA IMPERFEITA
F q
W
p
q a a q a aA
A� � � �
�
� �� � �� � � � � �� � �1 021 11 22 12
 (7.5)
Observe, portanto, que a função de reação de A é uma função da probabilidade q adotada 
pelo jogador B.
Do mesmo modo, a função de reação do jogador B (FB) é obtida com a maximização da função de 
recompensa (7.4) com respeito a q:
F p
W
q
p b p b p b p bB
B� � � �
�
� � �� � � �� � � �� � � � � �1 1 011 12 21 22
F p
W
q
p b b p b bB
B� � � �
�
� �� � �� � � � � �� � �1 012 11 22 21 (7.6)
Observe, agora, que a função de reação de B é uma função da probabilidade p adotada pelo jogador A.
Comparando estratégias mistas com as estratégias puras vistas anteriormente:
i. Se pelo menos um dos jogadores tiver uma estratégia dominante, então existe equilíbrio de Nash 
com estratégia pura, pois:
a. O jogador que dispõe da estratégia dominante escolhe esta estratégia;
b. O outro jogador deve escolher a estratégia de maior ganho (recompensa).
ii. Se nenhum jogador dispõe de estratégia dominante, então:
a. FA(q) = FB(p) = 0
b. No equilíbriode Nash com estratégias mistas, as condições para as funções de reação Fi; i = A, B 
são as seguintes:
F se P
F se P
F
i i
i i
i
� �
� � �
�
0 0
0 0 1
0 sse Pi �
�
�
�
�
� 1
em que:
P
p A
q Bi
i
i
�
�
�
�
�
�
176
Unidade III
O resultado mais importante extraído do equilíbrio de Nash com estratégias mistas é que em todo 
jogo em que haja um número finito de jogadores, com um número de finito de estratégias, sempre há 
um equilíbrio de Nash, provavelmente em estratégias mistas.
Exemplo de aplicação
Suponha um jogo simultâneo de informação completa com dois jogadores, A e B, com a seguinte 
matriz de pay‑offs, já assinalados com os resultados esperados (*):
Tabela 30 – Matriz de pay‑offs para o jogo com estratégias mistas
Jogador B
(1 – q)
B1
(q)
B2
Jogador A
(1 – p)
A1
{10*; 6} {4; 8*}
(p)
A2
{9; 4*} {10*; 3}
Podemos observar, assim, que:
• Não existe estratégia dominante para o jogador A.
• Não existe estratégia dominante para o jogador B.
• Não existe equilíbrio de Nash com estratégia pura.
Qual o resultado desse jogo?
Resolução
Primeiro, vamos determinar o ganho provável do jogador A, a partir da função de recompensa (7.3):
W p q p q p q p qA � �� � �� � � �� � � �� � �1 1 10 1 4 1 9 10( ) ( ) ( )( )
Aplicando a fórmula (7.5) para obter a função de reação de A, obtemos:
F q
W
p
q qA
A� � � �
�
� �� � �� � � � � �� � �1 9 10 10 4 0
7 1 0
1
7
q q� � � �
177
MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA IMPERFEITA
Então:
1 1
1
7
6
7
� � � �q
Dessa forma, a reação de A deverá seguir a seguinte escolha de estratégias pelo jogador B:
• O jogador B deve escolher a estratégia B1 com probabilidade 6/7 e:
• O jogador B deve escolher a estratégia B2 com probabilidade 1/7.
O jogador B, por sua vez, terá o seguinte ganho provável:
W p q p q p q p qB � �� � �� � � �� � � �� � �1 1 6 1 8 1 4 3( ) ( ) ( )( )
Aplicando a fórmula (7.6) para obter a função de reação de B, obtemos:
F p
W
q
p p
p p
B
B� � � �
�
� �� � �� � � � � �� � �
� � � �
1 8 6 3 4 0
2 3 0
2
3
Logo:
1 1
2
3
1
3
� � � �p
Ou seja, a reação de B deverá seguir a seguinte escolha de estratégias pelo jogador A:
• O jogador A deve escolher a estratégia A1 com probabilidade 1/3; e
• O jogador A deve escolher a estratégia A2 com probabilidade 2/3.
Substituindo os resultados encontrados de p, q, (1 – p) e (1 – q) na função de recompensas do 
jogador A, obtemos:
WA �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
1
3
6
7
10
1
3
1
7
4
2
3
6
7
9
22
3
1
7
10 9 14�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � ,
178
Unidade III
Fazendo o mesmo na função de recompensas do jogador B:
WA �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
1
3
6
7
6
1
3
1
7
8
2
3
6
7
4
2
33
1
7
3 4 67�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � ,
Portanto, o resultado exato do jogo, ou seja, o equilíbrio de Nash com estratégias mistas será {9,14; 
4,67}. Este resultado se aproxima da estratégia{A2; B1} = {9; 4}.
As provas para os resultados encontrados em (7.5) e (7.6) são as seguintes:
Para obter a função de reação do jogador A, basta maximizar a função de ganhos do jogador A (7.3) 
com respeito a p, ou seja:
F q
W
p
q a q a q a q aA
A� � � �
�
� � �� � � �� � � �� � � � � �1 1 011 12 21 22
Abrindo todos os parênteses, rearranjando os termos e simplificando, obtemos:
� � � � � � �
�� �� � � � �� � � �� �� �
a a q a q a a q a q
a a q a q
11 11 12 21 21 22
11 11 12
0
1 �� � �� � � �� �� � � � �� � �
�� �� � � �� �� � �
a a q a q
a a a a q a
21 21 22
21 11 11 21
1 0
1 222 12
21 11 21 11 22 12
0
1 0
1
�� �� � �
�� �� � � �� � �� � � �� �� � �
�
a q
a a a a q a a q
q�� � �� � � � � �� � �
� � � � �
�
� �� � �� � � � �
a a q a a
F q
W
p
q a a qA
A
21 11 22 12
21 11
0
1 aa a22 12 0�� � �
Por sua vez, para obter a função de reação do jogador B, basta maximizar a função de ganhos deste 
jogador (7.4) com respeito a q, ou seja:
F p
W
q
p b p b p b p bB
B� � � �
�
� � �� � � �� � � �� � � � � �1 1 011 12 21 22
179
MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA IMPERFEITA
Abrindo todos os parênteses, rearranjando os termos e simplificando, obtemos:
� � � � � � � �b b p b b p b p b p11 11 12 12 21 22 0
�� �� � � � �� � � �� �� � � �� �� � � �� �� � � � �� � �b b p b b p b p b p11 11 12 12 21 221 1 00
b b b b p b b p12 11 11 12 22 211 0�� �� � � �� �� � � �� �� � �
b b b b p b b p12 11 11 12 22 211 0�� �� � � �� � �� � � �� �� � �
1 012 11 22 21�� � �� � � � � �� � �p b b p b b
� � � � �
�
� �� � �� � � � � �� � �F p
W
q
p b b p b bB
B 1 012 11 22 21
8 APLICAÇÕES IMPORTANTES DA TEORIA DOS JOGOS
8.1 Modelo de Cournot com duas empresas
Nesse jogo, temos dois jogadores, firma 1 e firma 2, que devem decidir simultaneamente as quantidades 
produzidas. As duas empresas fabricam produtos homogêneos, disputando o mesmo mercado. Logo, 
os consumidores baseiam sua decisão de compra apenas pelo preço do produto, independentemente 
do fabricante.
Cada empresa busca maximizar seu lucro dado por:
� � �RT CT (8.1)
A receita total passa pela multiplicação do preço de mercado e pela função de demanda linear de 
mercado dada por:
P Q a b Q Q� � � � �( )1 2 (8.2)
em que:
• P(Q) = preço de mercado como função da quantidade (Q);
• Q1 = quantidade produzida pela firma 1;
• Q2 = quantidade produzida pela firma 2;
180
Unidade III
• Q = quantidade total produzida e vendida no mercado COM Q = Q1 + Q2; e
• a e b são constantes.
As receitas totais dessas empresas são dadas por RT = PQ. Logo, as receitas totais de cada empresa 
podem ser expressas por:
RT P Q Q a b Q Q Q AQ bQ bQ Q1 1 1 2 1 1 1
2
1 2� � � � � �� � � � �( ) (8.3)
RT P Q Q a b Q Q Q AQ bQ bQ Q2 2 1 2 2 2 2
2
1 2� � � � � �� � � � �( ) (8.4)
Por hipótese, os custos totais são idênticos para as empresas:
CT1 = cQ1 (8.5)
CT2 = cQ2 (8.6)
em que c representa o custo marginal constante estritamente maior que zero (c > 0).
Como já vimos, devemos construir uma função de reação de cada empresa participante do jogo, 
para poder definir o lucro de cada uma. Assim, substituindo os resultados de (8.3), (8.4), (8.5) e (8.6) em 
(8.1), obtemos:
� � � � �1 1 1
2
1 2 1aQ bQ bQ Q cQ (8.7)
� � � � �2 2 2
2
1 2 2aQ bQ bQ Q cQ (8.8)
Tomando as derivas parciais de (8.7) e (8.8) com respeito à Q1 e Q2, respectivamente, e igualando a 
zero, obtemos:
��
�
� � � � �1
1
1 22 0
Q
a bQ bQ c (8.9)
��
�
� � � � �2
2
2 12 0
Q
a bQ bQ c (8.10)
Colocando Q1 e Q2 em evidência nas equações (8.9) e (8.10), chegamos finalmente a:
Q
a bQ c
b
e
1
21
2
�
� � (8.11)
181
MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA IMPERFEITA
Q
a bQ c
b
e
2
11
2
�
� � (8.12)
Os resultados demonstrados nas equações (8.11) e (8.12) descrevem quanto cada uma das empresas 
produzirá para maximizar seus lucros dada a produção esperada de seu concorrente. Note que Qe
1 e Qe
2 
são produções esperadas e não efetivas. Por quê? Porque, como o jogo é simultâneo, cada empresa toma 
sua decisão de produção sem conhecer a decisão da outra empresa.
Dado o valor esperado de produção da outra empresa, a firma escolhe a quantidade que maximiza 
seus lucros. Em outras palavras, a quantidade que ele produzirá será melhor resposta à decisão que seu 
concorrente escolherá. Portanto, as estratégias dos jogadores devem ser as melhores respostas uma das 
outras, e vice‑versa. Assim, o equilíbrio de Nash‑Cournot será:
Q Qe
1 1
* = (8.13)
Q Qe
2 2
* = (8.14)
Considerando as proposições anteriores e resolvendo as equações de equilíbrio (8.13) e (8.14), as 
quantidades produzidas pelas firmas 1 e 2 deverão ser:
Q Q
a c
b1 2
1
3
* *� �
�
 (8.15)
Q1
* e Q2
* são os valores correspondentes ao equilíbrio de Nash para jogos simultâneos e são 
representados pelo ponto A na figura a seguir.
A
Equilíbrio de Cournot‑Nash
Q1
(a – c)/b
(a – c)/2b
Q*
1 = (a – c)/3b
Q*
2 = (a – c)/3b (a – c)/2b (a – c)/b0 Q2
Curva de reação da firma 2 ⇒ Q
a bQ c
b2
11
2
* �
� �
Curva de reação da firma 1 ⇒ Q
a bQ c
b1
21
2
* �
��
Figura 51 – Equilíbrio de Nash no modelo de Cournot com duas firmas
182
Unidade III
Exemplo de aplicação
Seja a curva de demanda de mercado dada por: Qd = 200 – 2P, em que P é o preço do bem e Qd é 
a quantidade demanda pelo produto negociado nesse mercado. A oferta é garantida por um duopólio 
composto pelas firmas 1 e 2. Logo, a quantidade total produzida pela indústria é: Qs = Q1 + Q2. 
O bem produzido pelas duas firmas é homogêneo e a função de custo total de cada firma é dada por: 
CT(Q) = 60Q. Existem duas possibilidades de concorrência: (i) definição simultânea das quantidades 
(modelo de Cournot); (ii) concorrência perfeita (mercado competitivo). Qual o equilíbrio de Nash 
desse mercado?
Resolução
Primeiramente, devemos transformar a curva de demanda na função de demanda inversa:
Qd = 200 – 2P
P
Qd�
�200
2
P Qd� �100
1
2
Para encontrar a produção que maximiza o lucro do modelo de Cournot, basta aplicar a fórmula 
(8.15). Considerando, pelos dados apresentados no exemplo, que:
• a = 100;
• b = 1/2; 
• c = 60.
Então:
Q Q
a c
b1 2
1
3
1
3
100 60
1 2
26 67* *
/
,� �
�
�
�
�
Com Qd = Qs = Q1 + Q2 = 26,67 + 26,27 = 53,34. Dessa forma, o preço praticado em duopólio de 
Cournot será:
P Qd� � � � � � �100
1
2
100
1
2
53 34 73 33, ,
183
MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA IMPERFEITA
Em concorrência perfeita, a quantidade que maximiza o lucro será tal que: P = CMg. Com P definido 
pela função de demanda inversa e CMg = 60, então:
100
1
2
60
80
� �
�
Q
Q
Como nenhuma firma é capaz de produzir quantidade maior que a outra, então as duas firmas 
produziriam 40 unidades cada. Desse modo, o preço de mercado em concorrência perfeita será:
P Qd� � � � � � �100
1
2
100
1
2
80 60
Para obter o equilíbrio de Nash desse mercado, devemos calcular os ganhos (recompensas) das 
firmas em cada situação de concorrência. O ganho é dado pela fórmula:
� � � � �RT CT PQ Q60
1° caso: ambos atuam em concorrência perfeita (vendem 40 unidades cada ao preço de 
mercado de $60).
� � � � � �12 60 40 60 40 0,
2° caso: ambos atuam em duopólio de Cournot (vendem 26,67 unidades cada ao preço de 
mercado de $73,33).
� � � � � �12 73 33 26 67 60 26 67 355 51, , , , ,
3° caso: a firma 1 atua em duopólio de Cournot (vende 26,67 unidades), enquanto a firma 2 atua 
competitivamente (vende 40 unidades).
Note que, nesse caso, a quantidade total ofertada será: Qd = Qs = Q1 + Q2 = 26,67 + 40 = 66,67. Desse modo:
� � � � ��
��
�
��
� � � �1 100
1
2
66 67 26 67 60 26 67 177 76, , , ,
� � � � ��
��
�
��
� � � �2 100
1
2
66 67 40 60 40 266 60, ,
184
Unidade III
4° caso: a firma 2 atua em duopólio de Cournot (vende 40 unidades), enquanto a firma 1 atua 
competitivamente (vende 26,67 unidades).
É o contrário do 3° caso.
Com esses resultados, podemos construir a seguinte matriz de pay‑offs:
Tabela 31 – Matriz de pay‑offs para o jogo de duopólio 
de Cournot (ganhos em unidades monetárias, $)
Firma 2
Vender 40 
unidades
Vender 26,67 
unidades
Firma 1
Vender 40 
unidades {0; 0} {266,60; 177,76*}
Vender 26,67 
unidades {177,76*; 266,60} {355,51*; 355,51*}
Podemos observar, assim, que:
• A estratégia dominante para a firma 1 jogo é {vender 26,67 unidades}.
• A estratégia dominante para a firma 2 jogo é {vender 26,67 unidades}.
• O equilíbrio de Nash com estratégia pura é {vender 26,67 unidades; vender 26,67 unidades}.
Note que esse resultado não é eficiente, pois o melhor para a sociedade seria que ambas as firmas 
vendessem 40 unidades. Entretanto, o resultado de equilíbrio é a venda de 26,67 unidades, pois 
representa o maior ganho combinado para as duas firmas.
O duopólio de Cournot é um exemplo de dilema dos prisioneiros. Num jogo não cooperativo, as duas 
empresas cobrando um preço alto alcançam conjuntamente o maior lucro, embora esse resultado seja 
ineficiente para a sociedade por implicar menos unidades sendo ofertada no mercado.
 Lembrete
Num jogo de Cournot, se houve apenas um jogador, ele recai para um 
clássico modelo de monopólio. No outro extremo, à medida que jogadores 
entram nesse jogo sem nenhuma barreira, o equilíbrio de Cournot‑Nash 
converge para o equilíbrio de concorrência perfeita.
185
MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA IMPERFEITA
8.2 O jogo de Bertrand
Um problema do jogo de Cournot é que ele considera que os oligopolistas são tomadores de preços. 
Um modelo alternativo de oligopólio é o jogo de Bertrand, que considera que as firmas estabelecem 
seus preços simultaneamente e produzem o que os consumidores desejarem, com uma possível restrição 
dada pela capacidade de produção.
Por simplificação, vamos considerar um jogo como duopólio (firmas 1 e 2), embora ele possa ser 
generalizado para n firmas. Assuma que as duas firmas produzam bens idênticos (sem diferenciação), de 
tal sorte que eles são observados como substitutos perfeitos pelos consumidores. Consequentemente, os 
consumidores compram do produtor que oferece o bem com o menor preço. Cada firma deve escolher 
o preço de seu produto (P1 e P2). Se as firmas praticam o mesmo preço, devemos, por hipótese, assumir 
que os consumidores serão perfeitamente distribuídos entre as duas firmas. A função de demanda de 
mercado é dada por:
Q = P(Q)
Cada firma incorre em uma função de custo totais, sem restrição de capacidade, dada por:
CT(Q) = cQ
em que c é o custo marginal. Dessa forma, a função de lucro da firma i (i = 1,2) é dada por:
� � � � �� �i iQ P c P Q( ) (8.16)
em que (Pi – c) é a margem de lucro que cada firma aufere. A demanda pelo bem produzido em cada 
firma pode ser denotada por:
Q
P Q se P P
P Q se P P
se P P
12
1 2
1 2
1 2
1
2
0
,
( )
( )�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 (8.17)
Dessa forma, cada firma pode garantir um lucro positivo, ∏(Q) > 0, praticando um preço 
suficientemente acima do custo marginal. Logo, o resultado agregado desse mercado deve se parecer 
com o seguinte intervalo:
0 1 2�� �� ��m
186
Unidade III
em que ∏m é o lucro de monopólio. Cada firma deve escolher seus preços simultaneamente e 
de forma não cooperativa: isso significa dizer que uma firma não observa o preço que a outra firma 
escolherá. Desse modo, como as firmas reconhecem que elas utilizarão a melhor estratégia, então elas 
anteciparão a escolha. O equilíbrio de Nash em preços – também conhecido como equilíbrio de Bertrand 
– é um par de preços P P1 2
* *;� � tal que cada firma maximiza seu lucro dado o preço da outra firma. O 
paradoxo de Bertrand atesta que o equilíbrio será único para as duas firmas e será igual ao preço que 
vigora em mercados competitivos:
P P c1 2
* *= = (8.18)
 Saiba mais
A conclusão desse modelo simples de duopólio de Bertrand, considerando 
que o jogo seja repetido infinitamente, é que:
(i) As firmas praticam preço igual ao custo marginal.
(ii) Os lucros das firmas tenderão a zero.
Uma prova do equilíbrio de Nash para concorrência de duas empresas 
via preços pode ser encontrada na obra a seguir:
TIROLE, J. Short‑run price competition. In: TIROLE, J. The Theory of 
Industrial Organization. Cambridge: MIT Press, 1988.
Exemplo de aplicação
(a) Suponhamos que num problema de determinação de preço, em que o duopólio deve decidir 
simultaneamente o preço que deve praticar para o bem homogêneo que ambos produzem. Os ganhos 
de duas firmas sejam iguais ao ilustrado na matriz de pay‑offs a seguir:
Tabela 32 – Matriz de pay‑offs para o jogo de 
duopólio de Bertrand (ganhos em unidades monetárias, $)
Firma 2
Preço baixo Preço alto
Firma 1
Preço baixo {0*; 0*} {100*; −50}
Preço alto {−50; 100*} {50; 50}
187
MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA IMPERFEITA
Qual o resultado do jogo?
Resolução
Se as duas firmas cobrarem um preço alto, ambos poderão obter um lucro mais elevado ($50) do que 
se elas decidirem fixar preços baixos para seus produtos. Entretanto, a firma 1 teme cobrar um preço 
mais alto, pois se o concorrente vender a um preço baixo, ela terá prejuízo. Isso ocorre porque a firma 
2 toma o mercado da firma 1 e passa a ser o único ofertante.Dessa forma, o resultado do jogo será a 
estratégia {preço baixo; preço baixo} e as duas firmas, no limite, não terão lucro.
(b) Mas e se esse jogo for repetido infinitas vezes? Será que as firmas deveriam modificar a atuação 
estratégica nesse jogo?
Resolução
Suponha que as firmas 1 e 2 anunciem simultaneamente os respectivos preços no primeiro dia de 
cada mês. Desse modo, ao longo do tempo, uma firma alteraria seu preço em reação ao comportamento 
do seu concorrente. Uma possível estratégia para esse jogo seria a seguinte:
• A firma 1 começa com um preço alto para depois reduzi‑lo.
• Se a firma 2 também reduzir o preço, na próxima rodada, a firma reduzirá o preço mais um pouco.
• Esse processo acontecerá infinitamente, até o ponto em que se atingir o preço baixo (supostamente 
igual o custo marginal).
Como esse jogo será repetido infinitas vezes, a perda acumulada de lucros após as n repetições será 
menor do que a perda se uma firma decidir cobrar um preço baixo logo na primeira rodada. Portanto, 
não será racional iniciar as vendas com preços baixos.
(c) Agora suponhamos que o jogo seja repetido um número finito de vezes, por exemplo, por 6 
meses. Haverá alteração no resultado do jogo? Como nenhuma firma é capaz de produzir quantidade 
maior que a outra, então as duas firmas produziriam 40 unidades cada. Desse modo, o preço de mercado 
em concorrência perfeita será:
Resolução
Se a firma 2 for racional e acreditar que a firma 1 é racional também, ele raciocinará da 
seguinte maneira:
• A firma 1 poderá empregar uma estratégia tit‑for‑tat, e, com isso, a firma 2 deverá vender menos, 
pelo menos até o último mês.
188
Unidade III
• A firma 1 deve vender por um pouco menos que a firma 2, porque, então, poderá obter lucros 
maiores nesse período.
• No final dos 6 meses, o jogo termina, e a firma 1 não poderá efetuar retaliações à estratégia 
adotada pela firma 2. Portanto, a firma 1 cobraria um preço alto até o último mês e então passaria 
a vender por menos.
Entretanto como ficaria o penúltimo mês? A firma 2 também pensará racionalmente e passará a agir 
da mesma forma. Como não há cooperação, ambas as firmas decidem cobrar mês após mês um preço 
mais baixo, sendo que, no último mês, as duas firmas escolheriam P = CMg, resultado similar ao item (b)
 Observação
A estratégia tit‑for‑tat (ou toma lá, dá cá) é uma tática de repetição na 
qual o jogador responde de forma igual às jogadas do oponente, cooperando 
com o oponente que coopera e retaliando aquele que não coopera.
8.3 O problema de localização
O jogo da localização é um jogo simultâneo com estratégias contínuas. Por exemplo, imagine 
dois vendedores de sorvete (um bem homogêneo) em uma praia retilínea com dois quilômetros de 
extensão. Os vendedores (A e B) oferecem o mesmo produto ao mesmo preço e desejam escolher a 
melhor localização nessa praia. A representação esquemática da localização dos pontos de venda pode 
ser observada na figura a seguir.
Vendedor
B
Km 0 Km 0,5 Km 1 Km 1,5 Km 2
Vendedor
A
Figura 52 – Representação esquemática da localização dos vendedores
Na figura anterior, cada vendedor de sorvete está localizado a 500 metros dos extremos. Nesse caso, 
os frequentadores preferem adquirir dos vendedores mais próximos, em vez de atravessar a praia toda, 
passando pelo seu ponto central.
Vendedor
B A
Km 0 Km 0,5 Km 1 Km 1,5 Km 2
Figura 53 – Representação esquemática da localização dos vendedores: disposição de desequilíbrio
189
MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA IMPERFEITA
A figura anterior apresenta uma disposição de desequilíbrio: para comprar do vendedor A, os clientes 
deverão atravessar a praia numa extensão de até 1.500 metros. O vendedor B, por sua vez, atenderá 
primordialmente apenas os frequentadores que estão a 500 metros à esquerda de seu ponto de venda.
Vendedor
B A
Km 0 Km 0,5 Km 1 Km 1,5 Km 2
Figura 54 – Representação esquemática da localização dos vendedores: disposição de equilíbrio
Na figura anterior, os dois vendedores decidem fixar seus respectivos pontos de venda exatamente no 
centro da praia (a 1.000 metros das extremidades). Como ambos os vendedores são racionais e antecipam as 
estratégias de seu rival, eles encontrarão o equilíbrio quando os dois dividirem igualmente a praia (cada um 
atendendo as duas metades). Nesse caso, encontramos o equilíbrio de Nash do jogo: cada vendedor adota a 
melhor resposta à localização da outra, e nenhuma das firmas tem qualquer incentivo para mudar de estratégia.
Vamos supor, agora, que o frequentador da praia não compre nenhum sorvete, caso o vendedor 
mais próximo esteja a uma distância superior a 1/4 da extensão total da praia (500 metros). Dado o 
custo de deslocamento dos consumidores, caso os dois vendedores se localizem no meio da avenida, 
cada um atenderia apenas 500 metros de praia (figura a seguir, painel a). Por outro lado, se cada 
vendedor se localizasse a 500 metros das extremidades, eles poderiam atender até metade da praia 
(figura a seguir, painel b).
Vendedor
B A
área atendida 
com custo
área atendida sem custo
área atendida sem custo área atendida sem custo
área atendida 
com custo
Km 0 Km 0,5 Km 1 Km 1,5 Km 2
A)
B)
Vendedor
B
Km 0 Km 0,5 Km 1 Km 1,5 Km 2
Vendedor
A
Figura 55 – Representação esquemática da localização 
 dos vendedores: custo de deslocamento dos consumidores
190
Unidade III
8.4 O problema dos recursos comuns
O jogo dos recursos comuns ou tragédia dos comuns foi originalmente concebido para 
representar questões relacionadas à utilização de recursos naturais. O exemplo pioneiro apresenta 
uma zona de pesca marítima utilizada de modo comum por um grupo de pescadores. As hipóteses 
do jogo são as seguintes:
• O preço de venda do pescado é constante (independentemente da quantidade pescada).
• Cada barco pesqueiro empregado custa c (c > 0).
• A produção total de pescados (Q) é função da quantidade total de barcos pesqueiros (b), ou seja:
Q = f(b)
• A produção de pescados apresenta rendimentos decrescentes de escala, ou seja: um aumento na 
quantidade barcos implica uma queda na quantidade de peixes disponíveis para a pesca. Portanto, 
a elevação na produção de pescado, dado o aumento na quantidade de insumos (barcos), ocorre a 
taxas decrescentes (figura a seguir, painel a).
Q = f(b)
Q
b
A) B)
b* b
A
Q
c
f'(b)
Figura 56 – Tragédia dos comuns: função de produção e produtividade marginal
Dada a presença de rendimentos marginais decrescentes, a produção máxima ocorrerá quando:
�
�
� � � �f b
b
f b c
( ) ’
 (8.19)
ou seja, no ponto onde a variação do valor total da produção de pescados devido a uma variação na 
quantidade de barcos utilizados for igual ao custo unitário de aquisição desses barcos (figura anterior, 
painel b). A quantidade ótima de barcos adquirida pelos pescadores é b*. Essa é a quantidade de barcos 
191
MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA IMPERFEITA
para a qual a adição ao valor total da produção resultante de um barco a mais é exatamente igual ao 
custo c deste barco. Nesse ponto, portanto, o lucro dos pescadores é máximo.
A esquerda de b* – na figura anterior (b) –, cada barco adicional gera um aumento na quantidade 
total produzida maior que o custo de comprar um barco (c). A direita de b*, a adição ao valor total da 
produção resultante de um barco a mais torna‑se menor que o custo do barco.
O problema dos recursos comuns consiste no seguinte: cada pescador é dono de seu barco, e ele 
pode entrar livremente na zona pesqueira; então, por que ele deveria se preocupar com o efeito de sua 
atividade pesqueira sobre os demais pescadores? A resposta é que desde que o valor da produção de seu 
barco supere os custos, é vantajoso pescar. Consequentemente, haverá aumento no número de barcos 
até o ponto em que a produção média seja igual ao custo:
f b
b
c
( )
=
Nesse caso, temos uma situação ineficiente. O ponto em que a produção média cruza a curva 
de custo (c) gera a quantidade de barcos igual à b** (figura a seguir). Esse ponto é o equilíbrio deNash do jogo: não há razão para um pescador deixar de levar seu barco, pois, se ele não o fizer, 
outro pescador o fará.
b* b**
b
A B
Q
c
f'(b)
f(b)/b
Equilíbrio de Nash
 
Figura 57 – Tragédia dos comuns: equilíbrio de subótimo
O ponto B na figura anterior, entretanto, representa um equilíbrio com ineficiência (equilíbrio de 
subótimo): como todos os pescadores pensam da mesma maneira, todos acabam perdendo ao final do 
jogo, pelo fato de não haver limites ao acesso ao recurso comum. Como o excesso de pesca perturba o 
equilíbrio natural da zona pesqueira, o jogo acaba com a extinção dos peixes na zona pesqueira.
192
Unidade III
O problema tratado aqui pertence à classe de falhas de mercado discutidas anteriormente como 
externalidades negativas, em que os benefícios privados divergem dos custos e benefícios sociais. A 
solução simples para esses problemas de divergência entre custos e benefícios (privados e sociais) é fazer 
com que os agentes sejam obrigados a internalizar a externalidade.
 Observação
O teorema de Coase diz que independentemente de como os 
direitos de propriedade estejam associados a uma externalidade, 
a alocação de recursos será eficiente quando as partes puderem 
barganhar um custo entre si.
 Saiba mais
Uma solução perspicaz para problemas como a tragédia dos comuns 
foi proposta por Ronald Coase. Ele mostrou que a internalização da 
externalidade negativa pode ser alcançada por meio de barganha. Mais 
ainda, ele destacou a instituição, pelo governo, de direitos de propriedade, 
isto é, o controle exclusivo sobre a utilização de um ativo ou recurso, sem 
interferência dos outros.
COASE, R. The problem of social cost. Journal of Law and Economics, 3, 
1960, p. 1‑44.
8.5 O jogo do ultimato
Nesse jogo, dois jogadores 1 e 2, que se mantêm anônimos entre si, têm a chance de dividir uma 
importância em dinheiro. O jogador 1 recebe R$ 20 e é instruído a oferecer qualquer quantia, de R$ 0 a 
R$ 20, ao jogador 2. O jogador 2 deve decidir entre aceitar ou rejeitar a oferta do jogador 1. Se aceitar, 
eles dividem o dinheiro, de acordo com a oferta do jogador 1. Mas se o jogador 2 rejeitar, os dois saem 
sem nada. Ambos os jogadores conhecem todas as regras do jogo.
Existe uma estratégia óbvia para esse jogo sequencial como explicitado por Levitt e Dubner (2009). 
Como um centavo (R$ 0,01) é mais valioso do que nada, faz sentido para o jogador 2 aceitar qualquer 
oferta, até mesmo um centavo. Portanto, é lógico para o jogador 1 oferecer apenas um centavo e ficar 
com R$ 19,99.
Porém, quando esse jogo for repetido diversas vezes, Rubinstein (1982) mostra que os participantes 
agem de forma diferente. O jogador 2, em geral, rejeita ofertas inferiores à metade. E, em média, o jogador 
1 oferece a metade do valor. A intenção implícita em ofertas tão altas era eliminar a hipótese de rejeição. 
193
MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA IMPERFEITA
Essa tendência em realizar ofertas mais altas – e com isso evitar a rejeição – significa que o primeiro 
jogador é mais generoso. Portanto, o jogo do ultimato tem motivações potencialmente altruístas.
Exemplo de aplicação
Os jogadores 1 e 2 precisam dividir, entre si, R$ 1,00 (digamos, em moedas de um 1 centavo) em 
três dias de negociação. Se um jogador for indiferente entre duas propostas, por hipótese, ele aceita a 
preferida pelo oponente. Esse jogo sequencial é esquematizado da seguinte forma:
• No primeiro dia, o jogador 1 faz uma oferta.
• O jogador 2 aceita ou não essa oferta.
— Recusando‑a, o jogador 2 faz uma contraoferta no segundo dia.
— O jogador 1 aceita ou não a contraoferta.
‑ Recusando‑a, o jogador 1 faz a última oferta no terceiro dia.
‑ Se não chegarem a um acordo no terceiro dia, os dois jogadores não auferem qualquer 
ganho (R$ 0,00).
Qual o resultado do jogo?
Resolução
O valor futuro (VF) de R$ 1,00 é dado por:
VF = 1,00(1 + r)
em que r é a taxa de juros. A utilidade diária (U) da taxa de desconto para o jogador 1 pode ser 
representada da seguinte forma:
U(1 + r) = α
Para o jogador 2, a utilidade diária será:
U(1 + r) = β
Assim, o valor futuro para o próximo dia (VFt + 1) poderá ser representado, para cada jogador, da 
seguinte forma:
• Para o jogador 1: VFt + 1 = 1,00 x α = α
194
Unidade III
• Para o jogador 2: VFt + 1 = 1,00 x β = β
Comecemos a análise pelo final do jogo (resultado por indução retroativa): no terceiro dia, o jogador 1 
oferece R$ 0,01 e fica com R$ 0,99. O jogador 2 prefere R$ 0,01 a R$ 0,00 e o subjogo acaba. Se o jogador 2 
for indiferente entre R$ 0,01 e R$ 0,00 e nada, o equilíbrio fica sendo:
{Ganho do jogador 1; Ganho do jogador 2} = {R$ 1,00; R$ 0,00}
Levando‑se em conta esse resultado, no segundo dia, o jogador 2 sabe que o jogador 1 vai rejeitar sua 
oferta para, no terceiro dia, ficar com R$ 1,00. Nesse caso, o valor futuro para o próximo dia do jogador 1 será:
VFt + 1 = 1,00 x α = α
Logo, qualquer oferta do jogador 2 menor do que α será rejeitada pelo jogador 1. Sobra (1 – α) 
para o jogador 2 no segundo dia, que é melhor do que zero no terceiro dia. O jogador 2 oferece α e o 
jogador 1 aceita. O equilíbrio do subjogo (terceiro dia e segundo dia) se torna:
{Ganho do jogador 1; Ganho do jogador 2} = {α; (1 – α)}
No primeiro dia, o jogador 1 sabe que o jogador 2 garante (1 – α) no segundo dia, se ele recusar sua 
oferta. Então, o jogador 1 oferece para o jogador 2:
VFt + 1 = β(1 – α)
O jogador 1 fica com [1 – β(1 – α)]. O equilíbrio deste subjogo (terceiro dia, segundo dia e 
primeiro dia) será:
{Ganho do jogador 1; Ganho do jogador 2} = {[1 – β(1 – α)]; β(1 – α)}
O jogo então se resolve no primeiro dia e, assim, existe o único equilíbrio perfeito de subjogo, que é 
o resultado anterior.
Para uma negociação sem tempo definido, o equilíbrio perfeito de subjogo fica sendo:
Ganhodo ogador Ganhodo ogador; ;j j1 2
1
1
1
1
� � � �
�
�� �
�
�
��
� �
��
��
�
�
�
�
�
Note que a soma dos ganhos dos dois jogadores é igual a 1.
195
MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA IMPERFEITA
 Resumo
Destacamos as formas como os agentes se comportam estrategicamente.
Introduzimos a Teoria dos Jogos, que é o ramo da Economia que se 
preocupa com a análise da tomada de decisão ótima, quando se supõe 
que todos os tomadores de decisão sejam racionais. Além disso, temos 
a hipótese de que cada jogador tenta antecipar as ações e reações dos 
competidores. Portanto, nesses jogos, cada jogador ignora as ações de seus 
oponentes. No entanto, a estratégia ótima de cada jogador depende do 
que ele acha que seus oponentes farão. Um jogo pode ter informações 
completas e ser jogado simultaneamente ou na forma sequencial.
Um equilíbrio de Nash ocorre quando cada jogador escolhe uma 
estratégia que lhe dá o maior ganho (pay‑off), dadas as estratégias 
escolhidas pelos outros jogadores. Jogos como o dilema do prisioneiro, 
que apresenta um equilíbrio de Nash, ilustra o conflito entre os interesses 
individuais e coletivos. Entretanto, o equilíbrio de Nash desse jogo implica 
a escolha de uma estratégia não cooperativa que não é eficiente no sentido 
de Pareto. Se o jogo do dilema dos prisioneiros for repetido, os jogadores 
podem jogar de forma cooperativa.
Uma estratégia dominante é aquela que foi escolhida por ser melhor do 
que qualquer outra estratégia que o jogador possa adotar, não importando 
o que o outro jogador escolha. Uma estratégia é dominada quando o 
jogador tem outras estratégias que lhe permitam recompensas melhores, 
não importando o que o outro jogador faça. O jogo pode ter estratégias 
puras (com escolha específica de uma estratégia) ou mistas (com escolha 
entre duas estratégias medida com probabilidades predeterminadas).
Foram apresentadas algumas aplicações de jogos. Primeiramente 
mostramos os dois modelos mais amplamente utilizados para analisar 
estruturas de mercado: o jogo de Cournot e o de Bertrand.
O jogo de Cournot considera que os jogadores estabelecem 
simultaneamente seus níveis de produção e vendem toda essa produção 
ao preço de equilíbriode mercado. Em um oligopólio de Cournot, os 
jogadores obterão lucros positivos em equilíbrio, e o preço estará acima do 
custo marginal e também do custo médio, não sendo eficiente do ponto 
de vista social.
196
Unidade III
No jogo de Bertrand sem restrição à capacidade, cada empresa escolhe 
um preço para maximizar seu lucro. O resultado final do modelo de Bertrand, 
sem diferenciação de produtos, é similar ao de concorrência perfeita. O 
preço será igual ao de mercado competitivo, e as firmas terão lucros nulos.
Por fim, demonstramos que existem modelos de jogos que envolvem a 
escolha da melhor localização para a venda do produto (jogo da localização); 
modelos que implicam externalidades negativas (tragédia dos comuns), 
cuja solução passa pela instituição de direitos de propriedade; e modelos 
sequenciais que culminam em situações de altruísmo (jogo do ultimato).
197
MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA IMPERFEITA
 Exercícios
Questão 1. (Enade 2006) No caso de um jogo com dois participantes, pode‑se afirmar 
corretamente que:
A) Uma estratégia dominante para um jogador é superior às demais estratégias independente do 
que o outro jogador faça.
B) Um equilíbrio com estratégias mistas implica a escolha de uma única distribuição de probabilidade 
para ambos os jogadores.
C) Nos jogos de soma zero, os participantes podem colaborar para aumentar seu ganho conjunto.
D) No Equilíbrio de Nash, as estratégias escolhidas pelos jogadores não são dominantes.
E) O Equilíbrio de Nash de um jogo, quando existir, é sempre eficiente no sentido de Pareto.
Resposta correta: alternativa A.
Análise das alternativas
A) Alternativa correta.
Justificativa: essa é a resposta certa, pois define corretamente o conceito de estratégia dominante.
B) Alternativa incorreta.
Justificativa: a distinção de distribuição de probabilidades é a principal característica da 
estratégia mista.
C) Alternativa incorreta.
Justificativa: jogos de soma zero, como a própria denominação fortemente intui, de fato, instigam 
a máxima competição entre seus participantes. Se a soma dos resultados for zero, para um ganhar do 
outro, obrigatoriamente, tem que perder. Portanto, racionalmente (economicamente), não há razão para 
cooperação entre os participantes. Um bom e saudável exemplo está nos campeonatos esportivos, nos 
quais apenas um dos clubes será campeão.
D) Alternativa incorreta.
Justificativa: uma estratégia dominante é um equilíbrio de Nash, mas a recíproca não é verdadeira. 
Ou seja, apesar de toda estratégia dominante ser um equilíbrio de Nash, ele pode vir a não ser uma 
198
Unidade III
estratégia dominante. O próprio equilíbrio de Nash surge para nos ajudar a explicar o comportamento 
de jogos que não apresentem estratégia dominante.
E) Alternativa incorreta.
Justificativa: não há essa garantia. A melhor estratégia para os dois países, em termos de eficiência, 
seria optar pela manutenção do preço. Contudo, na estratégia dominante, que é um equilíbrio de Nash, 
opta‑se pela redução da produção, que traz um resultado menos eficiente para ambos.
Questão 2. (Enade 2009) Dois indivíduos planejaram almoçar juntos para realizar uma negociação, 
sem saber ao certo se iriam se encontrar no restaurante A ou B. Caso eles se encontrem no restaurante A, 
poderão aproveitar o bom ambiente proporcionado pelo restaurante e fechar um bom negócio. Por outro 
lado, o restaurante B não proporciona um bom ambiente e compromete, de certo modo, a negociação. O 
problema é que eles não estão conseguindo se comunicar para acertar o local do encontro e, caso esse 
encontro não ocorra, não poderão fechar o negócio.
A situação é descrita e ilustrada neste jogo:
Tabela 33
Jogador 2
A B
Jogador 1
A 100,100 0,0
B 0,0 30,30
Com respeito ao(s) equilíbrio(s) desse jogo, verifica(m)‑se:
A) Ao todo, três Equilíbrios de Nash, sendo um deles em estratégias mistas, em que cada jogador 
escolhe com maior probabilidade o restaurante A.
B) Ao todo, três Equilíbrios de Nash, sendo um deles em estratégias mistas, em que cada jogador 
escolhe tanto A quanto B com a mesma probabilidade.
C) Ao todo, três Equilíbrios de Nash, sendo um deles em estratégias mistas, nas quais cada jogador 
escolhe com maior probabilidade o restaurante B.
D) Apenas Equilíbrios de Nash em estratégias puras, dados por (A, A) e (B, B).
E) Apenas um Equilíbrio de Nash em estratégias puras e dado por (A, A).
Resposta correta: alternativa C.
199
MICROECONOMIA EM CONCORRÊNCIA IMPERFEITA
Análise das alternativas
A) Alternativa incorreta.
Justificativa: está correta a afirmação de que há três equilíbrios de Nash, sendo um deles advindo de 
estratégias mistas. Todavia, teria de haver maior probabilidade na escolha do restaurante B e não do A.
B) Alternativa incorreta.
Justificativa: está correta a afirmação de que há três equilíbrios de Nash, sendo um deles advindo 
de estratégias mistas. Todavia, o erro da afirmação independe de solução aplicada, pois é dito que 
a estratégia mista caracteriza‑se pela mesma probabilidade na escolha das estratégias. A mesma 
probabilidade na escolha das estratégias é característica das estratégias puras.
C) Alternativa correta.
Justificativa: está correta a afirmação de que há três equilíbrios de Nash, sendo um deles advindo de 
estratégias mistas. Também está correto afirmar que o equilíbrio de Nash com estratégia mista ocorre 
se cada jogador escolher com maior probabilidade o restaurante B.
D) Alternativa incorreta.
Justificativa: os equilíbrios indicados estão corretos, sendo os únicos admissíveis em estratégias 
puras. Nesse sentido, deve‑se prestar atenção à aplicação da palavra “apenas”, uma vez que, da forma 
como a sentença foi construída, ela exclui a possibilidade de equilíbrio por estratégia mista. Essa 
alternativa seria correta se fosse alterada para “equilíbrios de Nash em estratégias puras, dados apenas 
por (A, A) e (B, B)”.
E) Alternativa incorreta.
Justificativa: a palavra “apenas” torna a alternativa incorreta, pois há o equilíbrio em estratégias 
puras (B, B) a ser considerado. A alternativa poderia ser validada retirando a palavra “apenas” e, por 
questão de construção, retirando o “e”, ficando “um Equilíbrio de Nash em estratégias puras dado por 
(A, A)”. Nesse caso, ela seria verdadeira se o fosse também para (B, B).
200
REFERÊNCIAS
Audiovisuais
UMA MENTE brilhante. Direção: Ron Howard. EUA: Universal Pictures, 2001. 135 min.
Textuais
AKERLOF, G. A. The market for “lemons”: quality uncertainty and the market mechanism. The quarterly 
journal of economics, v. 84, n. 3, p. 488‑500, ago. 1970.
ARROW, K. J. Social choice and individual values. 2. ed. New York: Yale University Press, 1951.
ARROW, K. J.; DEBREU, G. Existence of an equilibrium for a competitive economy. Econometrica, v. 22, 
n. 3, p. 265‑290, jul. 1954.
BESANKO, D.; BRAEUTIGAM, R. R. Microeconomia: uma abordagem completa. Rio de Janeiro: LTC, 2004.
BESANKO, D.; BRAEUTIGAM, R. R. Capturando o excedente do consumidor. In: BESANKO, D.; 
BRAEUTIGAM, R. R. Microeconomia: uma abordagem completa. Rio de Janeiro: LTC, 2004.
BIERMAN, H. S.; FERNANDEZ, L. Game theory with economic applications. 2. ed. New York: 
Addison‑Wesley, 1998.
CARLTON, D. W.; PERLOFF, J. M. Modern industrial organization. 4. ed. New York: Prentice Hall, 2004.
CHANG, H. J. Economia: modo de usar – um guia prático dos principais conceitos econômicos. São Paulo: 
Portfolio‑Penguin, 2015.
CHIANG, A. C.; WAINWRIGHT, K. Matemática para economistas. 4. ed. Rio de Janeiro: Campus, 2004.
COASE, R. The problem of social cost. Journal of Law and Economics, n. 3, p. 1‑44, 1960.
CONWAY, E. 50 ideias de economia que você precisa conhecer. Sao Paulo: Planeta, 2015.
DIXIT, A. K.; NALEBUFF, B. J. Thinking strategically. New York: Norton, 1991.
FIANI, R. 50 Teoria dos Jogos: com aplicações em Economia, Administração e Ciências Sociais. 2. ed. 
Rio de Janeiro: Campus, 2010.
HARFORD, T. O economista clandestino. Rio de Janeiro: Record, 2007.
HARFORD, T. A lógica da vida.Rio de Janeiro: Record, 2009.
201
LEVITT, S. D.; DUBNER, S. J. Superfreakonomics: o lado oculto do dia a dia. São Paulo: Campus, 2009.
MANKIW, G. N. Introdução à Economia. São Paulo: Cengage Learning, 2014.
NARLOCH, L. Guia politicamente incorreto da Economia brasileira. São Paulo: Leya, 2015.
PARETO, V. Manual de Economia Política. 7. ed. São Paulo: Nova Cultural, 1996. (Colecao Os Economistas).
PEDROZO JUNIOR, E. Microeconomia em concorrência perfeita. São Paulo: Sol, 2015.
PINDYCK, R. S.; RUBINFELD, D. L. Microeconomia. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.
PINDYCK, R. S.; RUBINFELD, D. L. Teoria dos Jogos e Estratégia Competitiva. PINDYCK, R. S.; RUBINFELD, 
D. L. Microeconomia. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.
PORTER, E. O preço de todas as coisas: por que pagamos o que pagamos. São Paulo: Objetiva, 2011.
RUBINSTEIN, A. Perfect equilibrium: in a bargaining Model. Econometrica, v. 50, n. 1, p. 97‑110, jan. 1982.
SMITH, A. A riqueza das nações: uma investigação sobre sua natureza e suas causas. São Paulo: Nova 
Cultural, 1996. 1 v. (Coleção Os Economistas).
SMITH, A. Teoria dos Sentimentos Morais. São Paulo: Martins Fontes, 2015.
STIGLER, G. J. Memoirs of an unregulated economist. New York: Basic Books, 1988.
TIROLE, J. The theory of industrial organization. Cambridge: MIT Press, 1988.
VARIAN, H. R. Microeconomia: uma abordagem moderna. 8. ed. Rio de Janeiro: Campus, 2012.
VISCUSI, W. K.; VERNON, J. M.; HARRINGTON, J. E. Economics of regulation and antitrust. 4. ed. 
Cambridge: The MIT Press, 2005. 
VISCUSI, W. K.; VERNON, J. M.; HARRINGTON, J. E. Vertical mergers and vertical restraints. 4. ed. 
In: VISCUSI, W. K.; VERNON, J. M.; HARRINGTON, J. E. Economics of regulation and antitrust. The 
MIT Press: 2005. 
WHEELAN, C. Economia nua e crua: o que e, para que serve, como funciona. Rio de Janeiro: Zahar, 2014.
202
203
204
Informações:
www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000