Características Geométricas das Seções

Prévia do material em texto

Estruturas Isostáticas
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Me. Glauco F. Bianchini
Prof. Me. Gabriel Baião
Revisão Textual:
Prof. Me. Luciano Vieira Francisco
Características Geométricas das Seções e Ftool
Características Geométricas 
das Seções e Ftool
 
 
• Conhecer as principais características geométricas das diferentes seções transversais planas;
• Revisar alguns conceitos considerando a sua determinação, importância e o processo de cálculo.
OBJETIVOS DE APRENDIZADO 
• Introdução;
• Momento Estático;
• Momento de Segunda Ordem – Momento de Inércia (I ou J);
• Raio de Giração (i);
• Módulo de Resistência (W);
• Considerações Finais.
UNIDADE Características Geométricas das Seções e Ftool
Introdução
O estudo das características geométricas das seções faz parte do cotidiano dos 
engenheiros, tratando-se de um conteúdo profissionalizante e de vital importância no 
dimensionamento de elementos estruturais submetidos a diversos carregamentos.
Alguns dos tópicos abordados nesta Unidade são discutidos em outras disciplinas, tais 
como Cálculo, Mecânica Geral e Resistência dos Materiais. 
Uma vez que esses conceitos são amplamente discutidos, devem ser compreendidos de 
forma clara e as suas definições e fórmulas essenciais devem estar prontamente acessíveis.
Até o momento, todos os cálculos e procedimentos apresentados tinham por objetivo 
obter as reações externas e os esforços internos nas diferentes estruturas. 
A partir de agora, de posse desses resultados, passa-se para o início do dimensio-
namento dos elementos resistentes, para a seleção de peças com seções transversais 
que possuem a capacidade de resistir aos esforços solicitantes.
Para a determinação das seções transversais com capacidades resistentes aos esforços 
solicitantes, primeiro faz-se um estudo do momento estático da seção e depois se analisa 
o momento de inércia do elemento. 
O estudo do momento estático determina os momentos de primeira ordem e o centro 
de gravidade, a posição do eixo baricêntrico do elemento e o estudo do momento de 
Inércia (I) da seção analisa os momentos de segunda ordem. 
I pode ser definido como uma grandeza que mede a resistência que uma determinada 
área oferece quando solicitada ao giro em torno de um determinado eixo, ou seja, quanto 
maior o momento de inércia, maior a resistência da peça (MELCONIAN, 2008).
Trabalhando com essas propriedades e criando relações com outras já conhecidas, 
surgem importantes características das seções, como o raio de giração, o módulo de resis-
tência e o momento de inércia polar. Essas relações serão utilizadas em algum momento 
de seu aprendizado, incluindo o processo de dimensionamento das estruturas.
Momento Estático
O momento estático de um elemento de superfície é definido como o produto entre a 
área do elemento e a distância que o separa do eixo de referência (MELCONIAN, 2008). 
A área do elemento já está definida pela sua seção transversal e o eixo de referência 
precisa ser adotado para a realização dos cálculos (Figura 1).
8
9
Y
x
Y
x
dA
Eixo de referência
Figura 1 – Representação do elemento de superfície
Fonte: Adaptado de MELCONIAN, 2008
As distâncias (x, y) que separam o elemento de superfície do eixo de referência estão 
representadas em vermelho na Figura 1. 
O produto da área do elemento pelas distâncias está definido nas seguintes equações:
.Mx y dA= (1)
.My x dA= (2)
Esse procedimento de cálculo do momento estático está definido para um elemento da 
superfície (dA), porém, uma superfície plana, uma seção transversal total é composta de 
vários elementos de superfície (Figura 2), sendo necessário, para o seu cálculo, o soma-
tório de todos esses momentos estáticos; ou seja, a determinação do momento estático 
de uma superfície plana é definida como sendo a integral de área dos momentos estáticos 
dos elementos de superfície que formam a seção transversal total (equações 3 e 4).
Y
x
Y
x
dA
Eixo de referência
A
Figura 2 – Representação da superfície plana
Fonte: Adaptado de MELCONIAN, 2008
9
UNIDADE Características Geométricas das Seções e Ftool
 
A
Mx ydA=∫ (3) 
 
A
My xdA=∫ (4) 
Os momentos calculados por meio das equações 3 e 4 também são denominados 
momentos de primeira ordem e serão utilizados para a determinação do centro de gravi-
dade das seções transversais. 
Na Engenharia, esses momentos acabam sendo pouco utilizados, vez que a maioria 
das seções possui valores tabelados. Entretanto, frequentemente, necessita-se localizar o 
centro de gravidade de figuras planas compostas de várias partes, com cada parte tendo 
um formato geométrico usual, como um retângulo ou um círculo (GERE; BARRY, 2012). 
Centro de Gravidade
O centro de gravidade do elemento é onde se concentra a força peso. De acordo com 
Hallack e colaboradores (2013), a força peso dos corpos frequentemente é considerada 
uma carga concentrada atuando em um único ponto quando, na realidade, o que acon-
tece é que o peso é uma força distribuída, isto é, cada pequena porção de matéria tem o 
seu próprio peso. 
Essa simplificação pode ser feita quando se aplica a força concentrada num ponto 
especial denominado centro de gravidade.
O centro de gravidade de uma seção transversal é o ponto no qual o sistema equiva-
lente de forças distribuídas de um corpo, devido à ação da gravidade, resume-se a uma 
força, denominada força peso do corpo (BEER; JOHNSTON, 1995). 
Seu cálculo é realizado utilizando os momentos de primeira ordem (momento estático 
de superfície) pela área total da seção transversal (equações 5 e 6).
Como nomenclatura para a determinação do centro de gravidade, utilizam-se as coorde-
nadas Xcg e Ycg (Figura 3).
Y
Xcg
Xc
g
x
Eixo de referência
A
CG
Figura 3 – Coordenadas do CG
Fonte: Adaptado de MELCONIAN, 2008
10
11
A
A
xdA MyXcg
AdA
= =∫
∫
 (5)
 A
A
ydA MxYcg
AdA
= =∫
∫
 (6)
Exercício 1 
Determinar os momentos estáticos Mx e My para a superfície ilustrada na Figura 4A 
Y Y
X
h
Y
X
b
dx
dy
X
h
h/
2
b/2
b
dy
y
A - Sistema de referência na base B - Sistema de referência no CG
Figura 4 – Elementos de área de uma seção retangular
Fonte: Adaptado de MELCONIAN, 2008
Resolução 
Cálculo do momento estático – Mx
Parâmetros 
Elemento de área – dA = bdy
Limites de integração – Inf. = 0 / sup. = h
2
0 0
 |
02
h h
A
hyMx ydA ybdy b ydy b= = = =∫ ∫ ∫
. ² 
2
b hMx =
Cálculo do momento estático – My:
11
UNIDADE Características Geométricas das Seções e Ftool
Parâmetro
Elemento de área – dA = hdx
0 0
² |
02
b b
A
bxMy xdA xhdx h xdx h= = = =∫ ∫ ∫
. ² 
2
h bMy =
Exercício 2
Determinar os momentos estáticos Mx e My do retângulo (Figura 4B) em relação aos 
eixos x e y que passam ao longo do centro de gravidade da seção.
Resolução
O procedimento de cálculo é o mesmo adotado do Exercício 1, porém, como ocorre 
a mudança do eixo de referência, mudam-se os limites de integração.
Cálculo do momento estático – Mx
Parâmetros
Elemento de área – dA = bdy
Limites de integração – Inf. = –h/2 / sup. = h/2
2 2/2 /2
/2 /2
/ 2² | 0
/ 22 2 2 2
h h
A h h
hy b h hMx ydA ybdy b ydy b
h− −
    = = = = = − − =    −      
∫ ∫ ∫
Cálculo do momento estático – My:
Parâmetros
Elemento de área – dA = hdx
Limites de integração – Inf. = –b/2 / sup. = b/2
2 2/2 /2
/2 /2
/ 2² | 0
/ 22 2 2 2
b b
A b b
bx h b bMy xdA xhdx h xdx h
b− −
    = = = = = − − =    −      
∫ ∫ ∫
Com base nos cálculos apresentados, sempre que o eixo de referência se encontrar 
com a origem no CG da peça, os momentos estáticos serão nulos. Portanto, no cálculo 
do CG, quando o momento estático for nulo, significará que o eixo de referência adotado 
se encontrará exatamente sobre o CG. 
12
13
Para exemplificação do processo de cálculo do CG, o Exercício 3 faz o cálculo do CG
da Figura 4A.
Exercício 3 
Considerando a Figura 4A, determine o CG da seção retangular.
Resolução 
Aproveitando as contas já realizadas no Exercício 1(
2.
2
b hMx = ; 
. ²
2
h bMy = ) e tendo 
a área da seção retangular A = b.h, tem-se:
. ²
2
.
h b
MyXcg
A b h
= =
2
bXcg =
2.
2
.
b h
MxYcg
A b h
= =
2
hYcg =
Pode-se verificar nos cálculos dos exercícios apresentados, para a determinação do 
centro de gravidade de um elemento, que bastará seguir três procedimentos:
1. Escolha de um sistema de referência conveniente para o cálculo do CG;
2. Cálculo dos momentos estáticos Mx e My;
3. Determinação das coordenadas do centro de gravidade – Xcg e Ycg.
Esse procedimento de cálculo pode ser aplicado para qualquer seção transversal, 
porém, para as peças mais usuais, os valores das coordenadas do centro de gravidade já 
são conhecidos e apresentados na Tabela 1:
Tabela 1 – Representação de seções usuais e coordenadas do centro de gravidade
Geometria da seção Coordenadas do CG
Quadrada:
CG
Y
Xa
a
Yc
g
Xcg
Figura 5
Fonte: Adaptado de MELCONIAN, 2008
2
aXcg Ycg= =
13
UNIDADE Características Geométricas das Seções e Ftool
Geometria da seção Coordenadas do CG
Retangular:
Xcg
h
Yc
g
b
Y
X
CG
Figura 6
Fonte: Adaptado de MELCONIAN, 2008
2
bXcg =
2
hYcg =
Triangular:
CG
b
Xcg
Y
Yc
g
h
Figura 7
Fonte: Adaptado de MELCONIAN, 2008
 
3
bXcg =
3
hYcg =
Circular:
CG
Y
X
R
Figura 8
Fonte: Adaptado de MELCONIAN, 2008
0Xcg =
0Ycg =
14
15
Geometria da seção Coordenadas do CG
Semicircular:
CG
Y
X
R
Yc
g
Figura 9
Fonte: Adaptado de MELCONIAN, 2008
0Xcg =
4
3
rYcg
π
=
¼ de volta:
CG
X
Y
Yc
g
Xcg
Figura 10
Fonte: Adaptado de MELCONIAN, 2008
4
3
rXcg
π
=
4
3
rYcg
π
=
Importante!
Sempre que a seção de análise tiver simetria, o centro de gravidade estará localizado 
sobre o eixo de simetria. Por exemplo, para seções transversais com um eixo de simetria:
CG
Figura 11
Fonte: Adaptado de MELCONIAN, 2008
15
UNIDADE Características Geométricas das Seções e Ftool
Repare que nesse perfil I, a mesa superior é diferente da mesa inferior, deixando a seção 
transversal com apenas um eixo de simetria. Nesse caso, a cota do Xcg acontece exata-
mente no meio da seção transversal; porém, a cota do Ycg fica deslocada do meio 
da seção, ela fica mais próxima da mesa inferior do que da superior.
Já para seções transversais com dois eixos de simetria:
CG
Figura 12
Fonte: Adaptado de MELCONIAN, 2008
Nesse perfil I, a mesa superior é igual a mesa inferior, deixando a seção transversal com 
dois eixos de simetria. Nesse caso, a cota do Xcg acontece exatamente no meio da 
seção, assim como a cota do Ycg.
Com base nas tabelas e informações apresentadas, os exercícios 4 e 5 descrevem 
os procedimentos de cálculo para a determinação do centro de gravidade de algumas 
seções transversais.
Exercício 4
Determinar o centro de gravidade de um perfil T (Figura 13).
Y
Xcg
(0,0)
Unidades em mm
CG
X
40
8Yc
g 30
10
Figura 13 – Perfil T
16
17
Procedimento de cálculo:
1. Escolha do eixo de referência;
2. Separação da seção transversal em elementos usuais;
3. Determinação dos CG das seções separadas;
4. Determinação das cotas do CG em relação aos eixos – cálculo do CG.
Resolução 
1. A escolha do eixo de referência pode facilitar o processo de cálculo. Neste caso, 
adota-se o alinhamento dos eixos na face inferior e na face esquerda do perfi l. 
Desta forma, durante os cálculos, todos os valores serão positivos, minimizando 
erros de cálculo por trocas de sinais;
2. Como se trata de uma T, pode-se dividir o perfi l em duas seções retangulares 
(Figura 14);
Y
(0,0)
Unidades em mm
CG1
CG2
X
20
20
1
2
35
15
Figura 14 – Perfi l T: divisão em seções usuais
3. Feita a divisão da seção T em duas seções retangulares, determinam-se os valores 
dos CG das seções separadas (Figura 14);
4. Procedimento de cálculo:
1. 1 2. 2 20.8.30 20.40.10 20 
1 2 8.30 40.10
Xcg A Xcg AXcg mm
A A
+ +
= = =
+ +
1. 1 2. 2 15.8.30 35.40.10 27,50 
1 2 8.30 40.10
Ycg A Ycg AYcg mm
A A
+ +
= = =
+ +
Como esperado, a coordenada do Xcg caiu exatamente sobre o eixo de simetria da 
seção e o Ycg está deslocado do meio da seção transversal, em direção à mesa superior. 
Como se trata de uma seção T cheia, sem cortes ou elementos vazados, o procedi-
mento de cálculo se baseia no somatório das duas seções separadas. A Figura 15 apre-
senta o resultado:
17
UNIDADE Características Geométricas das Seções e Ftool
Y
20
(0,0)
Unidades em mm
CG
X
40
827
,5
0 30
10
Figura 15 – Perfil T: coordenadas do CG
Exercício 5
Determinar as coordenadas do centro de gravidade do perfil U representado na 
Figura 16:
CG
15 20
Yc
g
15
(0,0)
25
25
Unidades em mm
Y
X
Figura 16 – Perfil U
1. A escolha do eixo de referência pode facilitar o processo de cálculo. Neste 
caso, adota-se o alinhamento dos eixos na face inferior e na face esquerda do 
perfil. Desta forma, durante os cálculos, todos os valores serão positivos, mini-
mizando erros de cálculo por trocas de sinais.
18
19
2. Como se trata de um perfi l U, pode-se dividir o perfi l em duas seções retangu-
lares (Figura 17). No processo de cálculo, adota-se uma seção plena retangular 
e realiza-se a subtração da região vazada. 
CG
15 20
Yc
g
15
(0,0)
25
25
Unidades em mm
Y
X
(0,0)
25
X
Y
20 25
37
,5
(0,0)
Y
X
CG2
21
Unidades em mm Unidades em mm
CG1= -
Figura 17 – Perfi l U: divisões em seções usuais
Importante!
Repare que o perfil possui um eixo de simetria vertical, logo, a coordenada do Xcg necessa-
riamente fica sobre tal eixo.
3. Feita a divisão do perfi l U em duas seções retangulares, determinam-se os va-
lores dos CG das seções separadas (Figura 17);
4. Procedimento de cálculo:
1. 1 2. 2 25.50.50 25.20.25 25 
1 2 50.50 20.25
Xcg A Xcg AXcg mm
A A
− −
= = =
− −
1. 1 2. 2 25.50.50 37,5.20.25 21,87 
1 2 50.50 20.25
Ycg A Ycg AYcg mm
A A
− −
= = =
− −
Nas expressões de cálculo, repare que o sinal negativo está destacado em vermelho, 
indicando que houve subtração de seção.
Assim como feito no perfil de T, a seção poderia ser dividida em três retângulos e o 
somatório realizado tal como no Exercício 4.
Confirmando o exposto, sempre que houver eixo de simetria, uma das coordena-
das do CG estará sobre ele. A Figura 18 apresenta o perfil U com as posições dos 
CG indicadas:
19
UNIDADE Características Geométricas das Seções e Ftool
CG
15 20
21
,8
7
15
12
(0,0)
25
25
Unidades em mm
Y
X
Figura 18 – Perfil U: coordenadas do CG
Momento de Segunda Ordem – 
Momento de Inércia (I ou J)
O momento de segunda ordem é mais conhecido como o momento de inércia da 
seção transversal do elemento estrutural. No processo de cálculo, o momento de 
inércia é representado pelas letras I ou J, de modo que cada autor possui a sua predileção 
por uma das letras – utilizaremos a letra I para a sua determinação.
Assim como o momento estático, que possui componentes no eixo x e y, o momento 
de inércia também os possui; logo, em sua representação deverá receber os índices x 
ou y (Ix ou Iy).
De acordo com Melconian (2008), o momento de inércia é uma das características 
mais importantes no dimensionamento de elementos construtivos. Ele fornece valores 
numéricos, de modo que quanto maior for o seu valor, maior será a resistência da peça. 
O momento de inércia é uma propriedade de um corpo continuar em seu estado de 
repouso ou movimento até ser modificado por uma força:
Trata-se de uma grandeza física definida pelo produto da área pelo quadrado 
da distância até o referencial. O momento de inércia avalia a distribuição da 
massa de um corpo. Sua dimensão é a unidade de comprimento elevada à 
quarta (mm4, cm4, m4...). (PINHEIRO, 2019) 
O momento de inércia mede o efeito do formato da seção transversal na resistência 
da viga à tensão de flexão e ao deslocamento transversal (deflexão). A instabilidade 
ou flambagem de colunas esbeltas também é influenciada pelo momento de inércia 
da seção transversal (ONOUYE, 2018).
20
21
Para representar a definição formal do momento de inércia, considere a área A, 
apresentada na Figura19, que se encontra no plano x-y. Por definição, os momentos de 
inércia do elemento diferencial dA em torno dos eixos x-y são: dlx = y²dA e dly = x²dA. 
Para a área inteira, o momento de inércia é determinado por integração – equações 7 
e 8 (HIBBELER, 2010).
x
y
r
Y
X
A
dA
o
Eixo de referência
Figura 19 – Seção transversal para cálculo I 
Fonte: Adaptado de HIBBELER, 2010 
 ²
A
Ix y dA=∫ (7)
 ²
A
Iy x dA=∫ (8)
A representação do momento de inércia também pode ser expressa em torno do polo 
O ou eixo Z. Essa representação é denominada momento polar de inércia, dJo = r²dA, 
sendo r a distância perpendicular entre o polo O (eixo z) e o elemento dA (Equação 9).
2
A
Io r dA Ix Iy= = +∫ (9)
O cálculo do momento de inércia polar é de extrema importância para a resolução de 
problemas relativos à torção de eixos cilíndricos e para problemas referentes à rotação 
de placas (BEER; JOHNSTON, 1980).
Translação de Eixos (Teorema de Steiner)
Fazendo-se a locação dos eixos x-y no baricentro da superfície A e adotando eixos 
(u-v) paralelos a x-y, pode-se determinar o momento de inércia da superfície em relação 
aos eixos (u-v) pela aplicação do teorema de Steiner, ou seja, se o momento de inércia de 
uma área em torno de um eixo centroide for conhecido, pode-se determinar o momento 
de inércia da área em torno de um eixo paralelo correspondente (MELCONIAN, 2008; 
HIBBELER, 2010). 
A Figura 20 apresenta a translação dos eixos e as equações 10 e 11 apresentam o 
procedimento de cálculo:
21
UNIDADE Características Geométricas das Seções e Ftool
A
X
V Y
u
dA
xb
y
a
Figura 20 – Translação de eixos
Fonte: Adaptado de MELCONIAN, 2008
 ( ) ²
A
Iu y a dA= +∫ (10)
 ( ) ²
A
Iv x b dA= +∫ (11)
Desenvolvendo as integrais, tem-se:
Cálculo do momento de inércia Iu:
( )2 2 2 ² 
A A A A
Iu y a dA y dA a ydA a dA= + = + +∫ ∫ ∫ ∫
Como 2 0
A
a ydA =∫ , pois x é o eixo baricêntrico, conclui-se que:
2 ² 
A A
Iu y dA a dA= +∫ ∫
 ²Iu Ix a A= + (12)
Cálculo do momento de inércia Iv:
( )2 2 2 ²
A A A A
Iv x b dA x dA b xdA b dA= + = + +∫ ∫ ∫ ∫
Como 2 0
A
b xdA =∫ , pois x é o eixo baricêntrico, conclui-se que:
2 ²
A A
Iv x dA b dA= +∫ ∫
 ²Iv Iy b A= + (13)
22
23
Nas equações 12 e 13, o segundo termo é denominado transporte dos eixos. Esse 
transporte é útil quando são utilizadas estruturas com seções transversais complexas que 
podem ser divididas em seções usuais.
Os exercícios 6 e 7 apresentam aplicações práticas, sendo o sexto a aplicação dos 
cálculos dos momentos de inércia para seções usuais e o sétimo para seções não usuais 
aplicando o transporte. 
Exercício 6 
Determinar o momento de inércia relativo ao eixo baricêntrico x e eixo transladado 
u no retângulo de base b e altura h, conforme a Figura 21:
YV
X
u
h
h/
2
b/2
b
dy
Figura 21 – Seção retangular: cálculo do momento de inércia
Fonte: Adaptado de MELCONIAN, 2008
Importante!
Repare que o exercício pede o momento de inércia nos eixos x e u, portanto, serão calculados 
Ix e Iu na resolução.
Resolução 
Cálculo do momento de inércia em relação ao eixo baricêntrico x:
No eixo baricêntrico, a altura da seção é dividida pela metade e sua derivada de área 
dA = bdy. 
A análise da seção pode ser feita para a metade superior do retângulo, e multiplica-se 
por dois o resultado do momento de inércia superior (
/2
0
²
h
y dA∫ ), levando à seguinte solução:
23
UNIDADE Características Geométricas das Seções e Ftool
/2 /2
2 2
0 0
2 2 
h h
Ix y dA y bdy= =∫ ∫
/2
2
0
/ 2³2 2
03
h hyIx b y dy b= =∫
( )3 32 ³ 2 0 2 ³2 
3 3 24 12
hb b bh bhIx
 
 
 = − = =
Quando o eixo de referência está no centro de gravidade da seção transversal, o momento 
de inércia da seção retangular é expresso por:
³ 
12
bhIx =
Importante!
Aplicando o mesmo raciocínio para o eixo y, temos:
³
12
hbIy =
Cálculo do momento de inércia em relação ao eixo u:
Considerando u como eixo de referência, a altura da seção passa a ser h, a derivada 
de área continua sendo dA = bdy e a análise passa a ser feita para a seção total:
2 2
0
 
h
A
Ix y dA y bdy= = =∫ ∫
3³ ³ 0 ³ 
03 3 3 3
hby bh b bhIx = = − =
Quando o eixo de referência passa a ser o eixo u, o momento de inércia da seção 
torna-se:
³
3
bhIx =
Importante!
Aplicando o mesmo raciocínio para o eixo y, temos:
³
3
hbIy =
24
25
Nos procedimentos de cálculo e determinação das características das seções, serão 
utilizados os momentos de inércia referentes aos eixos baricêntricos, ou seja, os momentos 
de inércia das seções com o eixo localizado no centro de gravidade.
Exercício 7 
Determinar os momentos de inércia (Ix e Iy) das seções apresentadas na Figura 22, 
aplicando os eixos de referência no centro de gravidade das seções transversais.
v
u
Unidades em mm
40 5
5
25
A B
Y
20
(0,0)
CG
u
40
827
,5
0 30
10
Figura 22 – Seções para o cálculo dos momentos de inércia
Resolução 
Seção A: Para iniciar o cálculo dos momentos de inércia, inicialmente faz-se necessário 
o cálculo do centro de gravidade da seção. Divide-se a seção A em duas seções usuais e 
determina-se as coordenadas dos centros de gravidade das seções separadas (Figura 23).
v
u
Unidades em mm
40 5
2
1
CG2
CG1
5
25
Coordenadas CG1
u1= 2,5 mm
v1= 22,5 mm
Coordenadas CG2
u1= 12,5 mm
v1= 2,5 mm
Figura 23 – Perfi l em L separado em seções usuais
25
UNIDADE Características Geométricas das Seções e Ftool
2,5.5.35 12,5.5.25 6,67 
5.35 5.25
ucg mm+
= =
+
22,5.5.35 2,5.5.25 14,17 
5.35 5.25
vcg mm+
= =
+
De posse das coordenadas do centro de gravidade da seção, passa-se ao cálculo dos 
momentos de inércia. A Figura 24 apresenta a seção com os eixos x-y posicionados no 
centro de gravidade:
Unidades em mm
40
4,17
11
,67
8,3
3
5
Y
X
CG1
CG
CG2
5
25
5,83
Figura 24 – Perfil em L com eixo x-y no CG
Repare que nem sempre o CG da seção estará dentro dos limites de contorno. Neste 
caso, o CG da peça está localizado fora dela.
2 2 45.35³ 25.5³ 8,33 .5.35 11,67 .5.25 47 291,67 
12 12
Ix mm= + + + =
2 2 435.5³ 5.25³ 4,17 .35.5 5,83 .25.5 141 66,67 
12 12
Iy mm= + + + =
Seção B: Na seção B, o cálculo do centro de gravidade já foi realizado no Exercício 4, 
não sendo necessária a realização dessa etapa.
A Figura 25 apresenta a seção B com os eixos x-y posicionados no centro de gravidade. 
Determinados os eixos e seus posicionamentos, passa-se ao procedimento de cálculo:
26
27
Y
X
CG2
CG1
8
2
1
30
10
12
,5
7,
50
40
Figura 25 – Seção T com eixo x-y no CG
2 2 48.30³ 40.10³ 12,5 .8.30 7,50 .40.10 81 333,34 
12 12
Ix mm= + + + =
430.8³ 10.40³ 54 613,34 
12 12
Iy mm= + =
Repare que no cálculo do Iy como os centros de gravidade na coordenada x estão 
alinhados – não há transportes.
Sempre que houver seção transversal diferente das usuais, pode-se fazer a divisão 
da seção em usuais e, usando o teorema de Steiner, realizar o cálculo do momento de 
inércia no eixo baricêntrico da seção.
A Tabela 2 apresenta uma complementação da Tabela 1, acrescentando uma coluna 
indicando os valores dos momentos de inércia das seções usuais:
Tabela 2 – Representação de seções usuais, coordenadas do centro de gravidade e momento de inércia 
Geometria da seção Coordenadas do CG Momento de inércia
Quadrada:
Y
x
u
a
a
Ucg
V
CG
Figura 26
Fonte: Adaptado de MELCONIAN, 2008
2cg cg
au v= =
4
12
aIx Iy= =
27
UNIDADE Características Geométricas das Seções e Ftool
Geometria da seção Coordenadas do CG Momento de inércia
Retangular:
Y
x
u
h
b
Ucg
Vc
g
V
CG
Figura 27
Fonte: Adaptado de MELCONIAN, 2008
2cg
bu =
2cg
hv =
. ³ 
12
b hIx =
. ³
12
h bIy =
Triangular:
h
b
x
V Y
Vc
g
u
Ucg
CG
Figura 28
Fonte: Adaptado de MELCONIAN, 2008
 
3cg
bu =
3cg
hv =
. ³ 
36
b hIx =
Circular:
CG
Y
X
R
Figura 29
Fonte: Adaptado de MELCONIAN, 2008
0Xcg =
0Ycg =
4. 
4
rIx Iy π
= =
Ou 
4
 
64
dIx Iy π
= =
28
29
Geometria da seção Coordenadas do CG Momento de inércia
Semicircular:
CG
Y
x
u
R
Yc
g
Figura30
Fonte: Adaptado de MELCONIAN, 2008
0ucg =
4
3
rvcg
π
=
4.
8
rIx Iy π
= =
¼ de volta:
X
u
V Y
R
Vc
g
Ucg
CG
Figura 31
Fonte: Adaptado de MELCONIAN, 2008
4
3
rucg
π
=
4
3
rvcg
π
=
4.
16
rIx Iy π
= =
Produto de Inércia
O produto de inércia (Ixy) é obtido pela multiplicação de cada elemento de Área (dA) 
de uma Área (A) por suas coordenadas x e y e integrando sobre a área (Equação 14). 
Quando um ou ambos os eixos x e y são simetria de A, o produto de inércia será 
nulo. Diferentemente do que ocorre com o momento de inércia, o produto de inércia 
pode ser negativo (BEER; JOHNSTON, 1980).
A
Ixy xydA=∫ (14)
Para seções planas compostas, torna-se necessária a aplicação do teorema de Steiner, 
ficando definida a integral da Equação 15.
( )( )
A
Iuv y a x b dA= + +∫
A A A A
Iuv xydA a xdA b ydA ab dA= + + +∫ ∫ ∫ ∫
29
UNIDADE Características Geométricas das Seções e Ftool
Como os eixos x e y estão no centro de gravidade:
0 
A
a xdA =∫
0
A
b ydA =∫
Portanto:
 . .Iuv Ixy A a b= + (15)
Exercício 8
Considerando a seção A do Exercício 7, determinar o produto de inércia da seção. 
A Figura 32 apresenta um resumo:
Unidades em mm
40
4,17
11
,67
8,3
3
5
Y
X
CG1
CG
CG2
5
25
5,83
lx = 47 291,67 mm
ly = 14 166,67 mm
4
4
Figura 32 – Resumo do perfil em L
' ' ' '
1 1 1 2 2 21 2Ixy Ixy A x y Ixy A x y= + + +
Como Ixy1 e Ixy2 são partes do eixo de simetria, ambos são nulos:
' ' ' '
1 1 1 2 2 2 Ixy A x y A x y= +
( ) ( ) 435.5. 4,17 .8,33 25.5.5,83. 11,67 14 583, 33 Ixy mm= − + − = −
30
31
Eixos Principais de Inércia (Imax; Imin)
No centro de gravidade de uma seção transversal plana passam vários eixos, dentre 
os quais alguns possuem maior importância, o eixo x-y alinhado com a vertical e a hori-
zontal devido aos principais carregamentos atuantes na estrutura e ao eixo de momento 
de inércia máximo e mínimo que, dependendo da seção transversal, não coincide com 
o eixo x-y. 
A Figura 33 traz uma representação dessa situação. Repare no eixo de máximo 
momento de inércia: os elementos de superfície se encontram mais distantes, enquanto 
no eixo de mínimo momento de inércia os elementos de superfície se encontram mais 
próximos (MELCONIAN, 2008).
Y
V
v (Imax)
u (Imin)
αmax
αmin
X
dA
u
Figura 33 – Eixos principais de inércia
Fonte: Adaptado de MELCONIAN, 2008
Os momentos de inércia são determinados pelas equações 16 e 17:
( ) ( )20,5 0,5 4 ²Imax Ix Iy Ix Iy Ixy= + + − + (16)
( ) ( )20,5 0,5 4 ² Imin Ix Iy Ix Iy Ixy= + − − + (17)
Sendo:
• Ix: Momento de inércia referente ao eixo x;
• Iy: Momento de inércia referente ao eixo y;
• Ixy: Produto de inércia.
Para a determinação dos ângulos αmin e αmax são utilizadas as tangentes (equações 
18 e 19):
max Ix Imaxtg
Ixy
α −
= (18)
min Ix Imintg
Ixy
α −
= (19)
31
UNIDADE Características Geométricas das Seções e Ftool
Qualquer par de eixos defasados 90° entre si, que passam pelo centro de gravidade da 
seção transversal, sempre terá a soma de seus momentos de inércia constante (Equação 20).
 Imax Imin Ix Iy+ = + (20)
Exercício 9
Ainda com base no Exercício 8, seção A, determine os momentos principais de inércia 
Imax e Imin e seu ângulo com o eixo X.
Resolução
( ) ( ) ( )2 20,5 47291,67 14166,67 0,5 47291,67 14166,67 4. 14583,33Imax = + + − + −
452 797,02 Imax mm= 
( ) ( ) ( )2 20,5 47291,67 14166,67 0,5 47291,67 14166,67 4. 14583,33Imin = + − − + −
48 661,31 Imin mm=
Determinação dos ângulos que os momentos principais de inércia formam com o eixo x:
47291,67 52797,02max 
14583,33
Ix Imaxtg
Ixy
α − −
= =
−
αmax = 20,68°
47291,67 8661,31min 
14583,33
Ix Imintg
Ixy
α − −
= =
−
αmin = -69,31°
A Figura 34 apresenta a posição dos eixos principais de inércia:
Unidades em mm
40
5
Y
X
CG1
CG
CG2
5
25
Unidades em mm v
u
Figura 34 – Posição dos eixos principais de inércia
Fonte: Adaptado de MELCONIAN, 2008
32
33
Raio de Giração (i)
O momento de inércia da seção transversal também pode ser calculado pela multipli-
cação da área total da superfície A pela distância particular entre a superfície e o eixo 
elevado ao quadrado. 
As equações 21 e 22 apresentam o procedimento de cálculo para a determinação do 
raio de giração e a Figura 35 apresenta a representação das distâncias:
Y
iy
ix
x
Eixo de referência
A
Figura 35 – Representação do raio de giração
Fonte: Adaptado de MELCONIAN, 2008
2. xIx A i=
2. yIy A i=
Isolando-se o raio de giração (ix e iy) nessas expressões, obtém-se:
Ixix
A
= (21)
Iyiy
A
= (22)
Realizando-se a análise dimensional do raio de giração, conclui-se que a sua unidade 
é expressa em comprimento (mm, cm, m...).
Exercício 10 
Determinar o raio de giração (ix e iy) para uma seção retangular quando o eixo de 
referência estiver no centro de gravidade da seção (Figura 36).
33
UNIDADE Características Geométricas das Seções e Ftool
Y
X
h
b
Figura 36 – Representação do retângulo para cálculo do raio de giração e do módulo de resistência
Fonte: Adaptado de MELCONIAN, 2008
Resolução
. ³
² 312 
. 12 6
b h
h hix
b h
= = =
³.
² 312 
. 12 6
b h
b biy
b h
= = =
Para as demais seções usuais, o Quadro 3 traz os valores de referência.
Módulo de Resistência (W)
De acordo com Melconian (2008), define-se módulo de resistência de uma superfície 
plana em relação aos eixos baricêntricos x e y, como sendo a relação entre o momento 
de inércia relativo ao eixo baricêntrico e a distância máxima entre o eixo e a extremidade 
da seção transversal estudada (Figura 37).
X
Y
A
xmáx
Ym
ax rma
x
Figura 37 – Representação das distâncias máximas ao eixo baricêntrico
Fonte: Adaptado de MELCONIAN, 2008
34
35
As equações 23 e 24 determinam seu processo de cálculo. Essa propriedade é de vital 
importância no processo de cálculo das tensões que atuam nos elementos estruturais. 
Dessa forma, é possível determinar as tensões máximas atuantes nos corpos rígidos 
e realizar o seu dimensionamento de acordo com as características dos materiais e suas 
tensões admissíveis.
IxWx
ymax
= (23)
IyWy
xmax
= (24)
Exercício 11 
Considerando a Figura 24, determinar o módulo de resistência do retângulo.
Resolução 
. ³
²12 
6
2
b h
Ix bhWx hYmax
= = =
. ³
²12 
6
2
h b
Iy hbWy bXmax
= = =
Esse procedimento de cálculo se repete para todas as seções.
Para as seções usuais, os valores estão apresentados no Quadro 3. 
No dimensionamento de elementos submetidos à torção, faz-se necessário determinar 
o módulo de resistência polar (Equação 25).
IpWp
rmax
= (25)
Exercício 12 
Determinar o módulo de resistência polar de uma seção circular plena de raio 15 mm.
Resolução:
4
64
dIx Iy π
= =
4
 
32
dIp Ix Iy π
= + =
Unidades de W
m³, cm³, mm³
→
35
UNIDADE Características Geométricas das Seções e Ftool
4
3
32 
16
2
d
Ip dWp drmax
π
π
= = =
No caso da seção circular plena, rmax é igual ao raio do círculo.
O procedimento de cálculo da tensão em qualquer ponto da seção é dado pela seguinte equação:
. . N Mx y My x
A Ix Iy
σ =± ± ±
Sendo:
• σ = tensão de tração (+) ou de compressão (–) no ponto;
• N = força de tração (+) ou de compressão (–) que atua na seção;
• A = área da seção transversal de análise;
• Mx = momento fletor com giro em torno do eixo x;
• My = momento fletor com giro em torno do eixo y;
• y e x = distância do ponto de análise em relação ao eixo baricêntrico;
• Ix = momento de inércia em relação ao eixo x;
• Iy = momento de inércia em relação ao eixo y.
Analisando a equação, pode-se fazer a seguinte relação:
 N Mx My
A Wx Wy
σ =± ± ±
Para se aprofundar mais sobre o tema e estudar sobre outras ópticas e abordagens do mesmo 
assunto, consulte as listas de reprodução disponíveis no material complementar.
Considerações Finais
Todas as características geométricas das seções transversais planas apresentadas nesta 
Unidade serão úteis no processo de dimensionamento das estruturas.
Algumas vezes, as estruturas possuirão seções usuais como retângulos ou círculos; 
outrasvezes serão compostas por seções usuais. 
Dentre as propriedades mais utilizadas no dimensionamento das estruturas, estão o 
cálculo do centro de gravidade, o cálculo dos momentos de inércia e a determinação dos 
raios de giração e módulos de resistência.
36
37
Resumindo tudo o que foi visto nesta Unidade, a Tabela 3 traz uma compilação das 
propriedades geométricas das seções:
Tabela 3 – Propriedades geométricas de seções usuais
Geometria da seção
Coordenadas 
do CG (m, 
cm, mm...)
Momento de 
inércia (m4, 
cm4, mm4...)
Raio de giração 
(m, cm, mm...)
Módulo de 
resistência (m³, cm³, 
mm³...)
Quadrada:
Y
x
u
a
a
Ucg
Vc
g
V
CG
Figura 38
Fonte: Adaptado de MELCONIAN, 2008
2cg cg
au v= =
4
12
aIx Iy= =
Polar
4
6
aIp =
3
6
aix iy= =
³
6
aWx Wy= =
Polar
0,23 ³Wp a=
Retangular:
Y
x
u
h
b
Ucg
Vc
g
V
CG
Figura 39
Fonte: Adaptado de MELCONIAN, 2008
2cg
bu =
2cg
hv =
. ³
12
b hIx =
. ³
12
h bIy =
Polar
( )2 2
12
bh b h
Ip
+
=
3
6
hix =
3
6
biy =
²
6
bhWx =
2
6
hbWy =
Polar
²
3 1,8
bhWp h
b
=
+
Triangular:
h
b
x
V Y
Vc
g
u
Ucg
CG
Figura 40
Fonte: Adaptado de MELCONIAN, 2008
3cg
bu =
3cg
hv =
. ³
36
b hIx =
. ³
36
h bIy =
2
6
hix =
2
6
biy =
²
24
bhWx =
2
24
hbWy =
37
UNIDADE Características Geométricas das Seções e Ftool
Geometria da seção
Coordenadas 
do CG (m, 
cm, mm...)
Momento de 
inércia (m4, 
cm4, mm4...)
Raio de giração 
(m, cm, mm...)
Módulo de 
resistência (m³, cm³, 
mm³...)
Circular:
CG
Y
X
R
Figura 41
Fonte: Adaptado de MELCONIAN, 2008
0Xcg =
0Ycg =
4. 
4
rIx Iy π
= =
Ou 
4
 
64
dIx Iy π
= =
Polar
4
 
32
dIp π
=
 
4
dix iy= =
³
32
dWx Wy π
= =
Polar
³ 
16
dWp π
=
Semicircular:
CG
Y
x
u
R
Yc
g
Figura 42
Fonte: Adaptado de MELCONIAN, 2008
0ucg =
4 
3
rvcg
π
=
4. 
8
rIx Iy π
= =
0,264x r=
 0,5iy r=
 0,19 ³Wx r=
 0,3927 ³Wy r=
¼ de volta:
X
u
V Y
R
Vc
g
Ucg
CG
Figura 43
Fonte: Adaptado de MELCONIAN, 2008
4 
3
rucg
π
=
4 
3
rvcg
π
=
4. 
16
rIx Iy π
= = 0, 264ix iy r= = 0,0953 ³Wx Wy r= =
Fonte: Adaptada de MELCONIAN, 2008
O que é o Ftool? Como utilizá-lo e quais são as suas principais configurações?
Ftool é uma ferramenta muito útil para o engenheiro e estudante, pois facilita todos os 
cálculos aqui vistos em simples cliques de mouse e apertar de teclas. Ou seja, Ftool realiza 
todos os cálculos isostáticos, sendo necessário que o operador/usuário saiba o que está 
fazendo em relação à interface do programa, de modo que as saídas (resultados) deverão 
ser interpretadas pelo usuário – porém, a parte mais complexa já estará resolvida.
A utilização do Ftool pelo usuário deverá ser realizada após a obtenção do programa. Após 
realizar o download, visite as abas do site e conheça mais sobre esse software e seus criadores. 
38
39
Os principais conceitos e sobre como utilizá-los são exemplificados no vídeo Estruturas Isos-
táticas – Aula XX – Software Ftool, a saber:
• Desenho do elemento em questão;
• Aplicação de cargas: pontuais, distribuídas, não lineares e de momento;
• Aplicação de geometria: momento de inércia e demais assuntos;
• Aplicação de característica do material: módulo de elasticidade, coeficiente 
de Poisson;
• Elaboração dos seguintes diagramas: momento fletor, força cortante, força 
normal (axial);
• Elaboração das reações de apoio;
• Principais configurações de unidades.
Download do Ftool. Disponível em: https://bit.ly/3dvMnWm
Estruturas Isostáticas – Aula XX – Software Ftool. 
Disponível em: https://youtu.be/FHFWXVIn_48
39
UNIDADE Características Geométricas das Seções e Ftool
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Sites
Ftool
Faça o download do Ftool pelo site.
https://bit.ly/3dvMnWm
 Livros
Estruturas Isostáticas
ALMEIDA, M. C. F. Estruturas isostáticas. São Paulo: Oficina de Textos, 2009.
Estática: Mecânica para Engenharia
HIBBELER, R. C. Estática: mecânica para Engenharia. 12. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2011.
Introdução à Isostática
MACHADO JR., E. F. Introdução à isostática. São Carlos, SP: EESC/USP, 1999 
(Projeto Reenge).
 Vídeos
Estruturas Isostáticas
Lista de reprodução sobre Estruturas Isostáticas.
https://bit.ly/3dwMyRh
Mecânica Geral
Lista de reprodução sobre Mecânica Geral.
https://bit.ly/3n1Sm8z
Concepção Estrutural – Teórico
Lista de reprodução sobre Concepção Estrutural.
https://bit.ly/3dyLNak
Ftool
https://bit.ly/3tB5lR0
Momento de Inércia – Viga
https://youtu.be/E4JPaWOHvTQ
 Leitura
Momentos de Inércia
https://bit.ly/3vb1JFQ
40
41
Referências
BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. J. Resistência dos materiais. 3. ed. São Paulo: Pearson 
Makron Books, 1995.
______ __. Estática. v. 1. 3. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1980.
GERE, J. M.; BARRY, J. G. Mecânica dos materiais. São Paulo: Cengage Learning, 2012.
HALLACK, J. C. et al. Apostila de resistência dos materiais I. Juiz de Fora, MG: 
UFJF, 2013.
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. Trad. Arlete Simille Marques. 7. ed. São 
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.
MELCONIAN, S. Mecânica técnica e resistência dos materiais. 18. ed. São Paulo: 
Érica, 2008. 
ONOUYE, B. Estática e resistência dos materiais para arquitetura e construção de 
edificações. Trad. Amir Elias Abdalla Kurban. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018. 
PINHEIRO, A. C. F. B. Fundamentos de resistência dos materiais. Rio de Janeiro: 
LTC, 2019.
41