Relações Métricas em Triângulos

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29 O esquema abaixo, fora de escala, representa uma 
pessoa em frente a uma máquina fotográfica cuja 
base é paralela ao piso plano e horizontal.
30 Em uma noite de lua cheia, Paulo e Renata reali-
zaram a seguinte experiência: Paulo fechou um 
dos olhos e Renata segurou uma moeda de 2,5 cm 
de diâmetro entre a Lua e o olho aberto de Paulo, 
de modo que o jovem visse a moeda coincidindo 
com a imagem do disco lunar. A seguir, mediram a 
distância entre a moeda e o olho aberto de Paulo, 
obtendo 290 cm. Sabendo que a distância da Terra à 
Lua é 4 3 105 km, os jovens estimaram a medida do 
diâmetro da Lua. Com esses dados, que medida, em 
quilômetro, obtiveram para o diâmetro da Lua?
EXERCÍCIOs pROpOstOs
diafragma
 Se a distância entre a pessoa e o diafragma da má-
quina é 3 m, a distância entre o diafragma e o filme 
é 6 cm e a altura da pessoa é 1,75 m, calcule a altura, 
em centímetro, da imagem da pessoa projetada no 
filme.
 Relações métricas no triângulo retângulo
Considerando o triângulo retângulo ABC abaixo, temos:
• b e c são as medidas dos catetos;
• a é a medida da hipotenusa;
• h é a medida da altura relativa à hipotenusa;
• m é a medida da projeção ortogonal do cateto AB sobre a hipotenusa;
• n é a medida da projeção ortogonal do cateto AC sobre a hipotenusa.
B C
A
c
h
H
a
b
m n
a 3 h 5 b 3 c c 3 h 5 b 3 m a2 5 b2 1 c2 (teorema de Pitágoras)
c2 5 a 3 m b 3 h 5 c 3 n
b2 5 a 3 n h2 5 m 3 n
Vamos demonstrar as seguintes relações métricas:
343
S
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 1
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.2
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Te
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98
.
CAP 10.indb 343 03.08.10 13:13:06
Assim, temos:
•	:ABC 8 :HBA [ 
a
 __ 
c
 5 
b
 __ 
h
 5 
c
 __ 
m
 
 Logo: ah 5 bc; c2 5 am; ch 5 bm
•	:ABC 8 :HAC [ 
a
 __ 
b
 5 
b
 __ 
n
 5 
c
 __ 
h
 
 Logo: b2 5 an; ah 5 bc; bh 5 cn
•	:HBA 8 :HAC [ 
c
 __ 
b
 5 
h
 __ 
n
 5 
m
 __ 
h
 
 Logo: bh 5 cn; ch 5 bm; h2 5 mn
•	Para	demonstrar	o	teorema	de	Pitágoras,	basta	adicionar,	membro	a	membro,	as	relações	b2 5 an e 
c2 5 am,	obtendo:
 b2 1 c2 5 an 1 am ] b2 1 c2 5 a(n 1 m)
 Como n 1 m 5 a,	concluímos	que:	b2 1 c2 5 a2
12 Em um retângulo ABCD, tem-se AB 5 8 cm e 
BC 5 6 cm. Calcular:
a) a medida da diagonal AC;
b) a distância do ponto B à diagonal AC;
c) a medida da projeção ortogonal do lado AB sobre 
a diagonal AC.
EXERCÍCIO REsOlvIdO
Resolução
a) Traçando a diagonal AC, obtemos o triângulo 
retângulo ABC.
A B
CD
x
8
6
 Indicando por x a medida, em centímetro, dessa 
diagonal, temos, pelo teorema de Pitágoras:
 x2 5 62 1 82 ] x2 5 100
 } x 5 110 ou x 5 210
 Excluímos o valor 210, porque x é necessaria-
mente positivo; logo, a medida da diagonal AC é 
10 cm.
b) A distância de B à diagonal AC é a medida h da 
altura BBe relativa à hipotenusa do triângulo 
retângulo ABC.
A B
h
C
B�
D
8
6
 Uma das relações métricas no triângulo re-
tângulo estabelece que o produto da medida 
da hipotenusa e da sua altura relativa é igual 
ao produto da medida dos catetos. Assim, no 
triângulo ABC, temos:
 10h 5 8 3 6 ] h 5 4,8
 Concluímos, então, que B dista 4,8 cm da diago-
nal AC.
c) Observando a figura apresentada no item b, ve-
mos que a projeção ortogonal do lado AB sobre 
a diagonal AC é o segmento ABe.
 Uma relação métrica no triângulo retângulo ga-
rante que o quadrado da medida de um cateto é 
igual ao produto da medida da hipotenusa pela 
medida da projeção desse cateto.
 Indicando por y a medida da projeção ABe do 
cateto AB sobre a hipotenusa AC, temos:
 82 5 10y ] y 5 6,4
 Concluímos, então, que ABe é igual a 6,4 cm.
demonstrações
No	triângulo	retângulo	ABC podem	ser	observados	três	triângulos	semelhantes	entre	si:
B BCa
hh
b
c
nm
AA
CHH
A
c
b
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Animação:	Teorema de Pitágoras.
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31 Determine as medidas a, h, m e n no triângulo retângulo ABC a seguir.
32 Calcule a medida da altura relativa à base BC do triângulo isósceles a seguir.
33 No triângulo retângulo ABC abaixo, calcule a medida da projeção ortogonal do cateto AC sobre a 
hipotenusa.
34 Calcule a medida d da diagonal de um quadrado de lado a.
35 Calcule a medida h da altura de um triângulo equilátero de lado a.
38 Nas armações de madeira que suportam telhados, são construídas estruturas com a forma de 
triângulos isósceles, ABC, de base BC, chamadas de tesoura de telhado, conforme mostra a figura 
abaixo, em que N, M e P dividem a base BC em quatro partes congruentes.
 Se AN 5 3 m e ND 5 2,5 m, calcule a metragem linear necessária de caibros para a construção dessa 
estrutura.
EXERCÍCIOs pROpOstOs
Resolva os exercícios complementares 17 e 35 a 39.
B
H
C
A
3 4
h
m n
a
B C
A
5 cm 5 cm
8 cm
B
H
C
A
5
12
36 (UFPE) Uma embarcação está presa ao cais por um cabo horizontal de comprimento 2,9 m. Quando 
a maré baixar 2,0 m, qual será a distância, em decímetro, medida na horizontal, da embarcação 
ao cais?
37 (Enem) Na figura abaixo, que representa o projeto de uma escada com cinco degraus de mesma 
altura, o comprimento total do corrimão é igual a:
30 cm
30 cm
90 cm
90 cm
corrimão
24 cm
24 cm
24 cm
24 cm
24 cm
a) 1,8 m b) 1,9 m c) 2,0 m d) 2,1 m e) 2,2 m
A
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