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25/04/2024, 09:51 Avaliação II - Individual
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GABARITO | Avaliação II - Individual (Cod.:884363)
Peso da Avaliação 1,50
Prova 74999918
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 8/1
Canceladas 1
Nota 9,00
Achar as soluções de equações polinomiais foi um dos grandes desafios da Álgebra Clássica. As 
primeiras contribuições vieram com o matemático árabe AL-Khowarizmi no século IX, com 
importantes conclusões sobre a resolução de equações de 1º e 2º graus. Mais tarde, soube-se que as 
soluções de uma equação algébrica nem sempre se encontra totalmente dentro do conjunto dos 
números reais. 
Sendo assim, o conjunto solução da equação algébrica x³ + 16x = 0 é:
A S = {16, -16, i}.
B S = {0, -4i, 4i}.
C S = {0, 4, -4}.
D S = {-16i, 16i, 0}.
Em matemática, muitas vezes nos deparamos com problemas envolvendo polinômios de grau 3. Uma 
das formas de resolver é diminuindo o seu grau, fatorando por meio de divisões de polinômios. 
Baseado nisto, dividindo x³ - 4x² + 7x - 3 por um certo polinômio D(x), obtemos quociente Q(x) = x + 
1 e resto R(x) = -15. Quanto ao valor do polinômio D(x), analise as opções a seguir:
I. D(x) = x² + 5x + 12
II. D(x) = x² - 5x - 12
III. D(x) = x² - 5x + 12
IV. D(x) = x² + 5x - 12 Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a opção IV está correta.
B Somente a opção I está correta.
C Somente a opção III está correta.
D Somente a opção II está correta.
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Em Teoria dos Números, algo que ajuda muito na hora de resolver problemas é a famosa "aritmética 
modular", que é equivalente à análise de restos. Ela é aplicada na criptografia utilizada hoje nos 
computadores pada mandar mensagens ou dados de forma restrita. Para esse sistema de aritmética, 
classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) 41 ≡ -4 (mod 5)
( ) 72 ≡ 2 (mod 4)
( ) 31 ≡ -3 (mod 4)
( ) 55 ≡ 6 (mod 7) Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - V - F - F.
B V - F - V - V.
C V - F - V - F.
D V - F - F - V.
A teoria do resto é uma proposição matemática que generaliza o resto, ou a quantia restante depois de 
um processo de divisão, apresentando uma relação entre os valores do divisor e do dividendo. 
Considerando o Teorema do Resto, quanto aos possíveis restos da divisão de P(x) = -3x³ + x + 1 por 
D(x) = x - 2, analise as sentenças a seguir:
I. O resto da divisão de P(x) por D(x) é -18. 
II. O resto da divisão de P(x) por D(x) é 26. 
III. O resto da divisão de P(x) por D(x) é -21. 
IV. O resto da divisão de P(x) por D(x) é -26. Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a sentença IV está correta.
B Somente a sentença II está correta.
C Somente a sentença I está correta.
D Somente a sentença III está correta.
O conjunto dos polinômios de grau n possui estrutura de anel, ou seja, existem duas operações 
binárias definidas sobre ele que obedecem a certas propriedades. Neste contexto, sejam os dois 
polinômios
P(x) = 2x3 - 3x2 + 5x + 1
Q(x) = x3 - x2 + 2x + 6
Sobre a operação P(x) - Q(x), analise as sentenças a seguir:
I. 3x3 - 2x2 + 3x - 5
II. x3 + 2x2 - 3x + 5
III. 3x3 + 2x2 - 3x + 5
IV. x3 - 2x2 + 3x - 5 Assinale a alternativa CORRETA:
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A Somente a opção I está correta.
B Somente a opção IV está correta.
C Somente a opção III está correta.
D Somente a opção II está correta.
Em matemática, na divisão de polinômios, utilizamos duas regras fundamentais: realizar a divisão 
entre os coeficientes numéricos e a divisão de potências de mesma base (conservar a base e subtrair 
os expoentes). 
Sendo assim, tomando as soluções da equação Q(x) = 0, em que Q(x) é o quociente da divisão do 
polinômio x4 + 3x3 - 3x2 - 7x + 6 por x2 + x - 2, a opção que apresenta a soma das soluções (raízes) 
dessa equação é:
A 2.
B -2.
C 1.
D -1.
Atenção: Esta questão foi cancelada, porém a pontuação foi considerada.
As congruências modulares permitem definir novas aritméticas que transcendem a própria teoria dos 
números, encontrando inúmeras e profundas aplicações em várias outras partes da matemática. Nas 
classes residuais, um elemento [a] será dito invertível quando existir [b] pertencente a Zm tal que 
[a]·[b] = 1. Nesse caso, diremos que [b] é o inverso de [a]. Caso Zm possua, com exceção do zero, 
somente elementos invertíveis, ele é considerado um corpo. Monte a tabela (se preferir) da 
multiplicação para Z5 e analise as opções a seguir:
I. [1] é o invertível de [1]
II. [2] é o invertível de [3]
III. [3] é o invertível de [3]
IV. Z5 é um corpo Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente as opções II e IV estão corretas.
B Somente as opções I e IV estão corretas.
C
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Somente as opções I, II e III estão corretas.
D Somente as opções I e III estão corretas.
O Teorema da Decomposição nos garante que qualquer equação algébrica possa ser escrita em função 
de suas raízes. Quanto à equação algébrica de 3º grau, cujas raízes são -2, 1, e 3 e o coeficiente 
dominante é igual a 1, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) x³ - 7 x + 6 = 0 
( ) x³ + 4 x² + x - 6 = 0 
( ) x³ - 2 x² - 5 x + 6 = 0 
( ) x³ - 4 x² + x + 6 = 0 Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - F - V - F.
B V - F - F - F.
C F - F - F - V.
D F - V - F - F.
O Teorema da Decomposição nos garante que qualquer polinômio pode ser reescrito como um 
produto de polinômios de grau 1, onde suas raízes ocupam um lugar de destaque. 
O polinômio P(x) = -x³ + 3x² - x + 3, possui -i, i e 3 como raízes. Então, pelo Teorema da 
Decomposição, podemos escrever P(x) como:
A P(x) = (x² - 1)·(x + 3).
B P(x) = (x² + 1)·(x - 3).
C P(x) = -(x² + 1)·(x - 3).
D P(x) = -(x² - 1)·(x + 3).
Por volta do século XVIII, dois matemáticos, Paolo Ruffini e A. Briot, criaram um dispositivo prático 
para realizar esta divisão, e que recebeu seus nomes: dispositivo de Briot-Ruffini. Esse algoritmo é 
utilizado para dividirmos polinômios por um binômio do tipo (x-a).
Para o polinômio P(x) = x² - 4x + 8 dividido por D(x) = x + 2, obtém-se o resto:
A R(x) = 17.
B R(x) = 20.
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C R(x) = 19.
D R(x) = 18.
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