Operações com Arcos

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Pré-cálculo para os ingressantes nos cursos de Engenharia e ciências exatas 
10.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS
 É possível demonstrar que a soma e subtração de arcos em funções trigonométri-
cas nem sempre respeitam a forma f (a+b) = f(a) + f(b), sendo ‘f’ uma função trigonomé-
trica qualquer. 
Apesar desse tipo de equação acima nem sempre ser válido, existem algumas regras 
que valem para soma e subtração de arcos quaisquer em cada função trigonométrica. 
Alguns exemplos podem ser conferidos a seguir:
(8) sen (a+b)=sen a.cos b+sen b.cos a
(9)cos (a+b)=cos a.cos b-sen a .sen b
(10) sen (a-b)=sen a.cos b-sen b.cos a
(11) cos (a-b)=cos a.cos b+sen a .sen b
(12) tg (a+b)=
(13) tg (a-b)=
10.2 ARCO DUPLO E ARCO METADE
 Os arcos duplos são casos especiais da soma de arcos e com o conhecimento ob-
tido até o momento podemos dar a eles fórmulas:
 No caso, em f (a + b), a = b; então f (a + b) = f (2.a):
(14) sen (2.a)=2.sen a.cos a
(15) cos (2.a)=cos² a-sen2 a 
(16) tg (2.a)= 
tg a+tg b
tg a- tg b
2.tg a
1-tg a.tg b 
1+tg a.tg b 
1-tg2 a
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Grupo PET – Engenharia Civil / UFRR 
EXERCÍCIOS
1. (DANTE, 2013) A expressão   , com com sen θ ≠ 1, é igual a:
a) sen θ
b) sen θ + 1
c) tg θ .cos θ
d) 1
e) sen θ ⁄secθ
2. (DANTE, 2013) Se cos 2x = 0,2, , então tg² x é igual a:
a) 1/2
b) 2/3
c) 3/4
d) 4/3
e) 2
3. (DANTE, 2013) Determine os valores de então tg x, cotg x, sec x e cossec x , sabendo 
que  cos x= 4/5 e que o ângulo  encontra-se no 1° quadrante.
4. (DANTE, 2013) Determine o valor de A=sen 105° + cos 105 .
5. (DANTE, 2013) Se tg (x + y)=33 e , então é igual a:
a) 0,2
b) 0,3
c) 0,4
d) 0,5
e) 0,6
6. (DANTE, 2013) O cosseno do arco de medida 255° é igual a?
7- (DANTE, 2013) Dado sen x = √3/2, com 0 < x < π/2 , determine sen 2x, cos 2x e tg 2x . 
8- (DANTE, 2013) Sabendo que sen x + cos x = 0,2 , determine o valor de sen 2x . 
9- (DANTE, 2013) Sabendo que tgx = 2, , calcule tg(2x). 
cos²θ
1-sen θ'
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Pré-cálculo para os ingressantes nos cursos de Engenharia e ciências exatas 
 
10- (DANTE, 2013) Se senx = -3/4, x um arco do 4º quadrante, calcule cos (2x) .
 11- (DANT, -2013) Se x é um arco de 2º quadrante senx = 5/13 e , calcule sen(2x).
 12- (DANTE, 2013) Se sen x = ¾ e x é um arco do 2º quadrante, determine o valor de 
sen(2x).
13-(DANTE, 2013) Sabendo que cos (2x) = ½ , determine o valor de tg²(x) + sec² (x)