Geometria Analítica

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e-Tec BrasilAula 16 | Noções de Geometria Analítica 431
Aula 16 | Noções de Geometria 
Analítica
Meta da aula
Apresentar métodos algébricos de resolução de problemas •	
geométricos.
Objetivos da aula
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:
representar um ponto no plano cartesiano a partir de um par 1. 
ordenado;
calcular a distância entre pontos do plano cartesiano;2. 
verificar se três pontos estão alinhados;3. 
calcular equações de retas a partir de um ponto dado;4. 
calcular coeficientes angulares de retas;5. 
identificar o centro e o raio de uma circunferência a partir de 6. 
sua equação.
Pré-requisitos
Para realizar algumas atividades desta aula você precisará de uma 
régua e uma máquina de calcular que faça cálculo de raízes.
Além disso, é preciso que você tenha em mente o que aprendeu 
sobre o Teorema de Pitágoras, assunto da Aula 8.
E, ainda, para a melhor compreensão desta aula, deverá relembrar 
os seguintes tópicos que foram estudados durante o Ensino Médio:
Módulo de um número real;•	
Cálculo de determinante;•	
Fatoração do trinômio quadrado perfeito.•	
Edificaçõese-Tec Brasil 432
Geometria versus álgebra
Até agora o estudo das figuras geométricas consistiu em explorar suas proprie-
dades geométricas. Por exemplo, você aprendeu que uma circunferência é o 
conjunto de todos os pontos cuja distância de um ponto fixo é a mesma para 
todos os pontos do conjunto. Mas o que é distância? Esse é um conceito que 
podemos definir utilizando a álgebra, ou seja, por meio de equações. Assim, é 
possível dar um significado algébrico a uma circunferência. Esta é a função da 
geometria analítica: criar uma “ponte” entre a geometria e a álgebra.
Mas por que alguém precisa transformar a geometria em equação? 
Uma vantagem, por exemplo, é quando precisamos trabalhar com o compu-
tador. No computador é mais fácil trabalhar com equações do que com figu-
ras geométricas. Vários softwares gráficos executam suas funções a partir de 
instruções em forma de equação (essas instruções são internas do programa); 
é assim que eles sabem o que deve ser feito. Por exemplo, ao se construir uma 
circunferência em um software, vários cálculos são efetuados, pois é assim 
que o computador entende os comandos. Esses cálculos são realizados antes 
que a figura seja desenhada na tela. O simples movimento de uma figura na 
tela requer um novo desenho e, portanto, serão feitos mais cálculos.
Com a geometria analítica tornou-se possível o redimensionamento (mu-
dança de tamanho), o deslocamento e a rotação de figuras que já estavam 
desenhadas na tela do computador. Os softwares que realizam essas tarefas 
são chamados de programas de desenho vetorial. Como exemplo desse tipo 
de programa temos o AutoCAD e o CorelDraw. Em sua futura profissão você 
utilizará softwares com essas características.
e-Tec BrasilAula 16 | Noções de Geometria Analítica 433
O plano cartesiano
Observe a Figura 16.1, a seguir. Nessa figura, vemos duas retas que se cru-
zam em um ponto “O”, formando um ângulo reto. Vamos chamar as retas 
de eixos x e y, e o ponto “O” chamaremos de origem. Veja, também, que 
essas retas foram traçadas em um plano. Vamos chamar esse plano de α 
(letra grega alfa). Nessas condições α é chamado de plano cartesiano.
x
y
O
Figura 16.1: O plano cartesiano é formado pelos eixos x e y, que são perpendiculares 
e se cruzam no ponto O.
Agora observe a Figura 16.2, a seguir. Veja que no plano cartesiano existe um 
ponto que estamos chamando de P. Do ponto P saem duas retas (pontilhadas) 
em direção aos eixos x e y. Essas retas são perpendiculares ao eixo x e y e de-
finem um ponto em cada um desses eixos (pontos Px e Py). Quando isso acon-
tece, para qualquer ponto no plano cartesiano, chamamos esses pontos nos 
eixos x e y, e que são determinados por essas retas, de projeções ortogonais. 
A projeção ortogonal de P no eixo x é chamada de abscissa de P. Já a projeção 
ortogonal de P no eixo y é chamada de ordenada.
Edificaçõese-Tec Brasil 434
x
y
O
P
P
P
y
x
Figura 16.2: Plano cartesiano α. Px (projeção ortogonal de P no eixo x) é a abscissa de 
P. Py (projeção ortogonal de P no eixo y) é a ordenada de P.
Na Figura 16.2, Px e Py são também chamadas de coordenadas do ponto P. 
O conjunto formado pela abscissa e pela ordenada (coordenadas) de qualquer 
ponto de um plano cartesiano é chamado de par ordenado. Sendo assim, 
(Px, Py) é o par ordenado de P.
Observe que:
cada ponto P do plano (P está representando qualquer ponto) podemos •	
associar a um único par ordenado (Px, Py), ou seja, não existe mais de um 
par ordenado para cada ponto no plano cartesiano.
a cada par ordenado associamos um único ponto do plano, ou seja, o •	
inverso também é verdadeiro: para um par ordenado só existirá um único 
ponto correspondente no plano cartesiano.
e-Tec BrasilAula 16 | Noções de Geometria Analítica 435
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
Figura 16.3: Se você já jogou Batalha Naval, sabe que para atingir o inimigo precisa 
acertar o par ordenado do quadrado onde estão os navios de sua frota.
Para entender melhor as duas regras anteriores sobre o par ordenado, preste 
atenção no seguinte exemplo:
Vamos determinar qual ponto (P) do plano está associado ao par ordenado (4,2).
Lembre-se de que o primeiro algarismo do par ordenado é sempre a abscissa; 
portanto, ele está representando a projeção ortogonal do ponto P no eixo x. 
Então, a partir da origem O deslocaremos 4 unidades para a direita e, assim, 
determinaremos a abscissa Px. Veja como fica na Figura 16.4, a seguir.
1 2 3 4 x
y
O
Px
Figura 16.4: Como 4 é a abscissa de P, devemos andar quatro unidades para a direita 
no eixo x. Assim, encontramos a abscissa Px.
Edificaçõese-Tec Brasil 436
Agora vamos encontrar a ordenada. Lembre-se de que o segundo algarismo 
do par ordenado é sempre a ordenada. Portanto, a partir da origem O, des-
locaremos duas unidades para cima e, assim, encontraremos a ordenada Py. 
Observe como foi feito na Figura 16.5.
1 2 3 4 x
y
O
Px
1
2
Py
Figura 16.5: Como 2 é a ordenada de P, deslocamos a partir de O duas unidade para 
cima no eixo y. Assim, encontramos a ordenada Py.
Agora é só traçar duas retas a partir dessas coordenadas. Essas retas devem 
ser paralelas aos eixos. Ou seja, a reta que sai do ponto Py deve ser paralela 
ao eixo x, e a reta que sai de Px deve ser paralela ao eixo y, como você pode 
observar na Figura 16.6.
1 2 3 4 x
y
O
Px
1
2
Py P(4,2)
Figura 16.6: O ponto P (4,2) é determinado a partir de retas perpendiculares que 
saem das coordenadas Px (4) e Py (2).
e-Tec BrasilAula 16 | Noções de Geometria Analítica 437
Mas como você faria se as coordenadas fossem negativas? Como você acha-
ria, por exemplo, o ponto Q do plano cartesiano α, que está associado ao 
par ordenado (-4,-2)?
Neste caso, o raciocínio é o mesmo do exemplo anterior. No entanto, como 
as coordenadas são negativas, os deslocamentos devem ser para a esquerda 
(no eixo x) e para baixo (no eixo y). Ou seja, para determinar o ponto Qx basta 
deslocarmos quatro unidades (a abscissa é -4) para a esquerda. Para achar o 
ponto Qy, deslocamos 2 unidades (a ordenada é -2) para baixo. Por fim, tra-
çamos as retas perpendiculares a partir dessas coordenadas e no ponto em 
que as retas se cruzam teremos o ponto Q. Veja o resultado na Figura 16.7, 
a seguir.
1 2 3 4 x
y
O
1
2
QyQ(-4,-2)
-4 -3 -2 -1
Qx
-2
-1
Figura 16.7: O ponto Q (-4,-2) é determinado a partir de retas perpendiculares que 
saem das coordenadas Qx (-4) e Qy (-2).
Podemos definir vários pontos em um mesmo plano, mas será que é possí-
vel fazer algum tipo de relação entre esses vários pontos? É claro que sim! 
Nós podemos, por exemplo, calcular a distância entre eles. Quer saber como? 
Então, leia a próxima seção, mas antes treine a representação de pontos em 
um plano cartesiano. Para isso, faça a atividade a seguir.
Edificaçõese-Tec Brasil 438Atividade 1
Atende ao Objetivo 1
A seguir você encontrará um plano cartesiano com um eixo x e um eixo y 
desenhados. Represente nesse plano cartesiano os pontos listrados a seguir. 
Use uma régua para traçar as retas.
A(-1,2), B(2,3), C(2,-2), D(-1,1), E(0,4), F(-3,0), G(-4,-3)
x
y
O
Qual a distância entre dois pontos?
Imagine que existam os pontos P(Px, Py) e Q(Qx, Qy) no plano cartesiano. 
Sabemos que existe uma distância entre esses dois pontos, não é mesmo? 
Será que podemos calculá-la? Sim, podemos! Determinar a distância entre 
esses pontos é o mesmo que descobrir o comprimento do segmento PQ . 
Para entender como isso é possível, vamos analisar a Figura 16.8, a seguir.
e-Tec BrasilAula 16 | Noções de Geometria Analítica 439
x
y
O
Q
Q Q
PP
P
y
x
y
x
Figura 16.8: O segmento PQ (reta que liga os dois pontos) é a distância entre o ponto 
P e o ponto Q.
Observando, ainda, a Figura 16.8, imagine que podemos continuar para 
baixo do eixo x com a linha pontilhada que liga o ponto P à abscissa Px. 
Agora imagine, também, que continuamos a traçar para a direita do eixo y a 
linha pontilhada que liga o ponto Q à ordenada Qy. Você percebe que essas 
duas linhas irão se encontrar formando um novo ponto? Vamos chamar esse 
novo ponto de R.
Se você não conseguiu imaginar o novo ponto, observe a Figura 16.9 que 
ficará mais fácil.
x
y
O
Q
Q Q
PP
P
y
x
y
x
R
Figura 16.9: Os pontos PQR formam um triângulo retângulo (área branca da figura). 
E o segmento PQ é a hipotenusa desse triângulo.
Edificaçõese-Tec Brasil 440
M
as
br
o’
s
Fonte: www.sxc.hu/photo/1222548
Figura 16.10: Quando calculamos a distância entre dois pontos do plano, estamos sem-
pre visualizando uma reta. Isso porque a menor distância entre dois pontos será sempre 
uma reta. Observe o comprimento das retas pretas em relação aos traços em cinza.
Olhe atentamente para a Figura 16.9. Você consegue perceber que ao defi-
nirmos o ponto R a área delimitada pelas retas traçadas entre os ponto P, Q 
e R formam um triângulo retângulo?
Se PQR é um triângulo retângulo, então:
PR e QR são os catetos, e•	
PQ é a hipotenusa.•	
Ao observar a Figura 16.9, note que:
A distância entre os pontos Px e Qx é dada por 
|Px, – Qx|. A diferença em módulo significa que o 
resultado será sempre um valor positivo. Como a 
distância entre esses pontos é a mesma entre os 
pontos QR, podemos dizer que o comprimento 
do cateto QR é:
x x x xQR P Q se P Q= − > (se fosse ao contrário, daria um valor negativo)
x x x xQR Q P se Q P= − > (se fosse ao contrário, daria um valor negativo)
Assim ( ) ( ) ( )2 22 2
x x x x x xQR P Q QR P Q QR P Q= ± − ⇒ = ± − ⇒ = −  
Fonte: www.sxc.hu/photo/625373
A
fo
ns
o 
Li
m
a
e-Tec BrasilAula 16 | Noções de Geometria Analítica 441
Colocamos Px – Qx elevado ao quadrado porque 
assim o resultado será sempre positivo.
A distância entre Py e Qy é dada por y yP Q− . 
Veja que essa distância é a mesma entre os pon-
tos P e R. Assim, o comprimento do cateto PR é:
y y y yPR P Q , se P Q= − >
y y y yPR Q P , se Q P= − >
Assim ( ) ( ) ( )2 22 2
y y y y y yPR P Q PR P Q PR P Q = ± − ⇒ = ± − ⇒ = − 
Como PQR é um triângulo retângulo, podemos aplicar o Teorema de Pitágo-
ras e encontrar o seguinte resultado:
( ) ( )
( ) ( )
222 2 2 2
x x y y
22
x x y y
PQ QR PR PQ P Q P Q
PQ P Q P Q
= + ⇒ = − + −
⇒ = − + −
Esta última relação é exatamente a distância entre os pontos P e Q. Ou seja, 
utilizando essa fórmula é possível encontrar a distância entre P e Q.
Essa fórmula serve para ajudar a encontrar a distância de qualquer ponto no 
plano. Verifique que a fórmula continua válida quando Px = Qx ou Py = Qy , 
caso em que não temos a formação de um triângulo.
Como exemplo, vamos calcular a distância entre os pontos P(1,4) e Q(-8,2). 
( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2
x x y yPQ P Q P Q 1 ( 8) 4 2 9 2 81 4
85 9,2
= − + − = − − + − = + = +
= ≈
 
Observe que não precisamos montar o gráfico no plano cartesiano para fa-
zer esse cálculo, basta usar a fórmula.
A seguir você encontrará uma atividade para testar se aprendeu a calcular a 
distância entre dois pontos no plano. Em seguida irá aprender a determinar 
alguns pontos a partir de sua disposição no plano. Vamos lá?
Fonte: www.sxc.hu/photo/625373
A
fo
ns
o 
Li
m
a
Edificaçõese-Tec Brasil 442
Atividade 2
Atende ao Objetivo 2
Imagine um triângulo cujos três vértices são representados pelos pares orde-
nados A(0,5), B(3,-2) e C(-3,-2). A partir dessa informação, responda:
Esse triângulo possui pelos menos dois lados com medidas iguais?a) 
Qual o perímetro desse triângulo, ou seja, qual a soma das medidas dos b) 
seus três lados?
Alinhamento de três pontos
Imagine três pontos em um plano. Agora imagine que você consiga traçar 
uma reta que passa pelos três. Quando isso acontece, dizemos que esses três 
pontos são colineares. Se você consegue passar uma reta por três ou mais 
pontos, significa que eles estão alinhados.
Bi
lly
 A
le
xa
nd
er
Fonte: www.sxc.hu/photo/1211781
Figura 16.11: Usando essa imagem, teste se é possível traçar uma única reta que 
passe por três bolas sem que elas estejam alinhadas entre si. Elas sempre estarão em 
sequência (horizontal ou vertical) ou em diagonal.
e-Tec BrasilAula 16 | Noções de Geometria Analítica 443
Uma condição que deve ser atendida para que três pontos estejam alinhados 
envolve a noção de determinantes (lembra desse assunto do Ensino Médio?).
Assim, quando os pontos A(Ax, Ay), B(Bx, By) e C(Cx, Cy) estão alinhados:
 
⇒ o determinante 
x y
x y
x y
A A 1
B B 1 0
C C 1
= ,
 
⇒ o inverso também é válido, ou seja, se o determinante 
x y
x y
x y
A A 1
B B 1 0
C C 1
= , 
então, os pontos A, B e C estão alinhados.
 
O determinante de uma matriz
Você lembra quando estudou matrizes durante o Ensino Médio? 
As matrizes são conjuntos de elementos dispostos em linhas e 
colunas.
Você deve ter percebido que para realizar alguns cálculos desta 
aula é preciso lembrar como se calcula um determinante, não é 
mesmo? Mas lembra o que é um determinante? O determinante é 
um valor numérico calculado (através de algumas regras) em ma-
trizes que têm o mesmo número de linhas e colunas.
Vamos relembrar, então, como calcular o determinante de uma 
matriz de ordem 3. Uma matriz de ordem 3 significa que ela tem 
sempre três linhas e três colunas. Vamos calcular o determinante 
da matriz A que vem em seguida, usando um processo que cha-
mamos de regra de Sarrus.
5 0 1
A 2 3 4
0 2 1
 
 = − 
 − 
O primeiro passo é repetir as duas primeiras colunas que estão à 
direita da matriz A. Veja como:
Edificaçõese-Tec Brasil 444
5 0 1 5 0
2 3 4 2 3
0 2 1 0 2
− = −
−
O segundo passo é multiplicar os elementos (os números) de acor-
do com o esquema a seguir:
Veja que os valores encontrados são resultados da multiplicação de 
três números em diagonal (que estão cortados por linhas). Temos que 
multiplicar os números que estão na mesma linha.
( )
0 x 3 x 1 0
2 x 4 x 5 40 Esses produtos devem ficar com o sinal trocado
1x 2 x 0 0
=
= ⇒
− − =
( )
5 x 3 x 1 15
0 x 4 x 0 0 Esses produtos devem manter seus sinais
1x 2 x 2 4
− = −
= ⇒
− = −
Após as multiplicações é só somar os produtos e encontraremos o 
determinante. Portanto, o determinante de A (det A) é:
det A = 0 – 40 + 0 – 15 + 0 – 4 = -59 → det A = -59 
Fonte: Adaptado de http://www.brasilescola.com/matematica/de-
terminantes-1.htm, por Danielle de Miranda.
 
Vamos ver como isso funciona na prática? Então, preste atenção ao seguin-
te exemplo: Determine o valor de w para que os pontos A(w,5), B(-2,-5) e 
C(3,15) sejam colineares.
e-Tec BrasilAula 16 | Noções de Geometria Analítica 445
Para resolver esse problema basta garantir que o determinante das coorde-
nadas dos pontos seja igual a zero.
Então, o primeiro passo é montar a matriz com as coordenadas. E o determi-
nante dela será igual a zero.
x y
x y
x y
A A 1 w 5 1
B B 1 0 2 5 1 0
C C1 3 15 1
= ⇒ − − =
Agora é só usar a regra de Sarrus para encontrar o valor procurado:
[ ]
w 5 1 w 5
2 5 1 2 5 0 5w 15 30 15 15w 10 0
3 15 1 3 15
5w 15 15w 25 0 20w 10 0 20w 10 20w 10
1
w
2
− − − − = ⇒ − + − − − + − = ⇒
− − − + = ⇒ − + = ⇒ − = − ⇒ = ⇒
⇒ =
Usando a regra de que pontos colineares possuem o determinante igual a 
zero, podemos calcular a equação de uma reta que passa por dois pontos. 
Veja o exemplo a seguir para entender como:
Sabemos as coordenadas correspondentes aos pontos A e B. São elas: A(2,7) 
e B(5,2.) Para fazer os cálculos, precisamos criar um ponto genérico, que 
chamaremos de C(x,y). Vamos considerar que o ponto C pertence à mesma 
reta que passa pelos pontos A e B. Isso significa que A, B e C são colineares. 
Então, podemos dizer que o determinante desses pontos é igual a zero.
x y
x y
x y
A A 1
B B 1 0
C C 1
=
Usando a regra de Sarrus, temos:
( )
2 7 1 2 7 12 7
5 2 1 0 5 2 15 2 0 4 7x 5y 2x 2y 35 0
x y 1 x y 1 x y
4 7x 5y 2x 2y 35 0 5x 3y 31 0
= ⇒ = ⇒ + + − + + = ⇒
+ + − − − = ⇒ + − =
Edificaçõese-Tec Brasil 446
Esta última relação (5x + 3y = 0) é a equação da reta que passa pelos pontos 
A e B.
Mas a relação entre o valor do determinante e as coordenadas de pontos co-
lineares em um plano pode ter outras aplicações. Após a atividade a seguir, 
você aprenderá onde mais podemos usar essa relação.
Atividade 3
Atende ao Objetivo 3
Os pontos A(1,3), B(x,1) e C(3,5) são os vértices de um triângulo. Determine 
os possíveis valores de x de modo que a afirmação anterior seja verdadeira.
Calculando a área de um triângulo
O determinante que vimos na seção anterior possui outras aplicações. Ele tam-
bém pode ser utilizado para calcular a área de um triângulo. Vamos ver como?
Digamos que os pontos A(Ax, Ay), B(Bx, By) e C (Cx, Cy) são os vértices de um 
triângulo. Para calcular a área desse triângulo ABC usando o determinante 
a fórmula é 
D
Area
2
= . O D é o determinante das coordenadas relativas aos 
vértices do triângulo, ou seja:
e-Tec BrasilAula 16 | Noções de Geometria Analítica 447
x y
x y
x y
A A 1
D B B 1
C C 1
=
Note que, se os pontos A, B e C forem colineares, o determinante será igual 
a zero (D = 0). Então, se D for igual a zero (D = 0), a área também será igual a 
zero (Área = 0), o que significa que esses pontos não formam um triângulo, 
pois se A, B e C estão em uma reta, não podem formar um triângulo.
Jo
hn
 N
et
tle
sh
ip
Fonte: www.sxc.hu/photo/652434
Figura 16.12: Quando três pontos são os vértices de um triângulo, eles nunca estarão 
alinhados, ou seja, nunca existirá uma reta que passe pelos três.
Vejamos a aplicação da fórmula por meio de um exemplo:
Calcule a área do triângulo cujos vértices são A(2, 3), B(4, 4) e C(6, 9).
x y
x y
x y
A A 1 2 3 1 2 3 1 2 3
D B B 1 D 4 4 1 D 4 4 1 4 4
C C 1 6 9 1 6 9 16 9
D 8 18 36 (24 18 12) D 62 (54) D 8
= ⇒ = ⇒ = ⇒
= + + − + + ⇒ = − ⇒ =
Assim, a área é dada por
D 8 8
Área Área Área Área 4
2 2 2
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
Edificaçõese-Tec Brasil 448
Você aprendeu, nesta aula, que a partir das coordenadas de dois pontos é 
possível determinar a reta que passa por eles. A seguir você vai aprender um 
pouco mais sobre a equação de retas no plano cartesiano.
Calculando a equação da reta
Para toda reta do plano cartesiano existe uma equação na forma ax by c 0.+ + = 
Nessa equação:
os valores representados pelas letras a, b e c são sempre números reais,•	
a 0 ou b 0, e≠ ≠•	
(x,y) são as coordenadas de um ponto qualquer da reta.•	
Você lembra da equação 5x 3y 31 0+ − = , que foi determinada a partir das 
coordenadas de dois pontos no final do tópico sobre alinhamento de três 
pontos? Essa é a equação da reta que passa pelos pontos A (2,7) e B (5,2).
Para verificar se um ponto pertence a uma reta basta verificar se suas coorde-
nadas satisfazem à equação desta reta. No caso dessa reta, basta verificar se 
(2,7) e (5,2) pertencem à reta 5x 3y 31 0+ − = . Para isso você deve substituir 
a abscissa e a ordenada de cada um dos pontos por x e y, respectivamente. 
Aproveite o espaço a seguir e confira se esses pontos realmente pertencem 
a essa reta.
C
ie
rp
ki
’s
Fonte: www.sxc.hu/photo/1094969
e-Tec BrasilAula 16 | Noções de Geometria Analítica 449
Para desenvolver o raciocínio, vamos utilizar a equação ax by c 0+ + = . 
Essa é a equação da reta R, e os pontos A (Ax, Ay) e B (Bx, By) pertencem a 
reta R, assim:
x y
x y
aA bA c 0
aB bB c 0
+ + =
 + + =
Na primeira equação as coordenadas do ponto A substituíram x e y.
Na segunda equação as coordenadas do ponto B substituíram x e y.
Ao subtrair a primeira equação pela segunda, teremos:
x x y y x x y y
y y
y y x x
x x
aA aB bA bB c c 0 a(A B ) b(A B ) 0
(A B ) a
b(A B ) a(A B )
(A B ) b
− + − + − = ⇒ − + − = ⇒
− −− = − − ⇒ =
−
A razão encontrada é fixa, ou seja, ela independe dos pontos A e B que 
foram escolhidos. A razão só altera se mudarmos os coeficientes a e b da 
equação da reta.
Em matemática é comum usar a letra grega ∆ (delta) como símbolo de variação. 
Por isso, chamaremos:
y y
x x
y A B
x A B
∆ = −
∆ = −
A razão m entre essas duas variações é chamada de coeficiente angular da 
reta. Quer dizer, então, que 
y
m
x
∆=
∆
. O coeficiente angular da reta 
y
m
x
∆ = ∆ 
 
é a tangente do ângulo formado entre o eixo X e a reta R. Para determinar 
esse ângulo temos que partir do eixo X, seguindo o sentido anti-horário até 
chegar à reta R. Veja a Figura 16.13, a seguir.
Edificaçõese-Tec Brasil 450
x
y
B
B B
AA
A
y
x
y
x
x
y
BB
A A
A
y
Bx
y
x
Figura 16.13: Em ambos os planos acima, a reta R passa pelos pontos AB. E a tangente 
do ângulo β (Tg (β)) é o coeficiente angular m= 
∆x
∆y .
Se y y
x x
(A B ) a y
e m
(A B ) b x
− − ∆= =
− ∆
, então, o coeficiente angular da reta de equação 
y a
ax by c 0 é m .
x b
∆ −+ + = = =
∆
Agora, preste atenção nas seguintes observações:
Imagine duas retas r e s, onde mr e mx são seus respectivos coeficientes 
angulares. Então:
Se •	 r sm m= , então, r é paralela a s.
Se •	 r sm m≠ , então, r e s são retas concorrentes.
Se •	 r sm m 1,⋅ = − então, r e s são perpendiculares.
G
et
w
ire
d’
s
Fonte: www.sxc.hu/photo/1195519
Figura 16.14: As coordenadas de um ponto funcionam como o endereço desse ponto. 
A reta é a rua do endereço e os pontos, a numeração. A equação da reta funciona 
como o CEP (código de endereçamento postal), que engloba todos os endereços 
daquela rua.
e-Tec BrasilAula 16 | Noções de Geometria Analítica 451
Vejamos, agora, por meio de um exemplo, um método para encontrarmos a 
equação de uma reta conhecendo apenas o coeficiente angular dessa reta e 
apenas um dos pontos desta reta:
O coeficiente angular da reta r é m = 2 e o ponto (3,5) pertence a essa reta r.
Já sabemos que r (assim como qualquer reta do plano) tem a forma 
ax by c 0+ + = .
Assim, y y
x x
A By
m .
x A B
−∆= =
∆ −
 Também sabemos que o cálculo do coeficiente 
angular de uma reta independe dos pontos escolhidos. Então, devemos criar 
um ponto genérico que chamaremos de A. Veja os dois pontos da reta r:
A(Ax, Ay) = (x,y)
B(Bx, By) = (3,5)
Substituindo essas coordenadas na fórmula do coeficiente angular, temos: 
y 3
m
x 5
−=
−
.
Mas, sabemos que m = 2.
Portanto, 
y 3
2 2(x 5) y 3 2x 10 y 3
x 5
2x y 10 3 0 2x y 7 0
−= ⇒ − = − ⇒ − = − ⇒
−
− − + = ⇒ − − =
 
A equação encontrada no final é a equação da reta r.
Também é possível desenvolver equações que nos permitam encontrar al-
guns elementos de uma circunferência em um plano. Por exemplo, é possível 
determinar o raio de uma circunferência. Você vai aprender como logo após 
a próxima atividade.
Edificaçõese-Tec Brasil 452
Atividade 4
Atende aos Objetivos 4 e 5
Encontre a equação da reta r que é perpendicular à reta s. A equação da reta 
s é 3x 2y 1 0+ − = e a reta r passa pelo ponto (2,4).
Uma equação para a circunferência
Na Aula 9, você aprendeu que uma circunferência é o conjunto dos pontosde um plano que possuem a mesma distância em relação a um determinado 
ponto, que é chamado de centro da circunferência. Essa distância, como é 
igual para todos os pontos, é um número fixo que chamamos de raio. O raio 
nunca será um número nulo (igual a zero).
O que faremos agora é encontrar uma definição algébrica para a circunferên-
cia, ou seja, vamos desenvolver uma equação para a circunferência no plano.
Observe a Figura 16.15, a seguir: as coordenadas (x,y) representam o conjunto de 
todos os pontos do plano que possuem a mesma distância do ponto C. O ponto 
C é o centro de uma circunferência e sua coordenadas são (a,b). A distância de 
todos os pontos da circunferência é constante e igual a r. Resumindo, o ponto 
C(a,b) é o centro da circunferência e r é o raio dessa mesma circunferência.
e-Tec BrasilAula 16 | Noções de Geometria Analítica 453
x
y
C
b
a
P(x,y)
Figura 16.15: O ponto C(a,b) é o centro de uma circunferência em que seus pontos 
são representados pelas coordenadas (x,y). A distância entre C e P é igual a r, o raio 
da circunferência.
Como a distância do ponto P(x,y) ao ponto C(a,b) é constante e igual a r, 
temos, a partir da fórmula da distância entre dois pontos (reveja a seção que 
trata desse assunto), que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2PC x a y b r x a y b x a y b r= − + − ⇒ = − + − ⇒ − + − =
Esta equação final é a representação algébrica de uma circunferência que tem 
um ponto central com coordenadas (a,b) e um raio que chamamos de r.
Veja, por meio de um exemplo, como usar essa equação:
A equação de uma circunferência é 2(y 2) (x 3)² 9 0− + + − = . Vamos encon-
trar o raio e as coordenadas do ponto central dessa circunferência.
Para encontrar o centro e o raio é necessário escrever a equação da circunfe-
rência na forma ( ) ( )2 2 2x a y b r− + − = . Para fazer isso, você precisa relembrar 
como se faz fatoração de trinômio quadrado.
[ ]2 2 2 2(y 2) (x 3)² 9 0 (x 3)² (y 2) 9 x ( 3) ² (y 2) 3− + + − = ⇒ + + − = ⇒ − − + − =
Repare que, ao transformar a equação da circunferência na forma 
( ) ( )2 2 2x a y b r− + − = , você consegue achar diretamente os valores de a, b 
e r. Veja: 
Edificaçõese-Tec Brasil 454
[ ]
[ ]
[ ]
2 2
2 2
2 2
a 3 x ( 3) ² (y 2) 3
b 2 x ( 3) ² (y 2) 3
r 3 x ( 3) ² (y 2) 3
= − → − − + − =
= → − − + − =
= → − − + − =
Portanto:
o centro da circunferência é o ponto com as coordenadas (-3,2), e•	
o raio dessa circunferência é 3.•	
 
Mas como é mesmo que se fatora um trinômio do quadrado 
perfeito?
Para começar, você lembra o que é um trinômio? Bem, trinômio é 
um polinômio que tem três monômios, em que nenhum dos ter-
mos é igual a outro. Veja os três exemplos a seguir:
3x2 + 2x + 1 20x3 + 5x – 2x2 2ab + 5b + 3c
Mas nem todos os trinômios podem ser fatorados utilizando-se o 
quadrado perfeito. Mas, afinal, o que é quadrado perfeito?
Para entender o que é quadrado perfeito, siga o seguinte raciocínio:
Podemos considerar um número sendo quadrado perfeito? Sim, 
basta que esse número seja o resultado de outro número elevado ao 
quadrado. Por exemplo: 25 é um quadrado perfeito, pois 52 = 25.
Agora, vamos aplicar esse mesmo raciocínio em uma expressão 
algébrica. A seguir temos um quadrado cujos lados medem x + y. 
Veja que x + y é uma expressão algébrica. 
e-Tec BrasilAula 16 | Noções de Geometria Analítica 455
x x . y
x . y y
2
2
x + y
x + y
x
x
y
y
Podemos calcular a área desse quadrado de duas formas: 
1a forma: Usando a fórmula da área do quadrado que é A = Lado2.
Assim, A1 = (x + y)2
O resultado dessa área é um quadrado perfeito.
2a forma: Veja que esse quadrado está dividido em quatro retângu-
los. Cada um dos retângulos tem a sua própria área. Isso significa 
que a soma de todas as áreas dos retângulos é igual à área total 
do quadrado.
Ou seja, A2 = x2 + xy + xy + y2 → A2 = x2 +2xy + y2.
O resultado da área A2 = x2 +2xy + y2 é um trinômio (três monô-
mios distintos).
Como as duas áreas representam a área do mesmo quadrado, 
então:
A1 = A2 → (x + y)2 = x2 +2xy + y2
Então, o trinômio x2 +2xy + y2 tem como quadrado perfeito (x + y)2.
Edificaçõese-Tec Brasil 456
Quer dizer, então, que se uma expressão algébrica for um trinômio 
do quadrado perfeito, a sua forma fatorada é representada na for-
ma de quadrado perfeito: O trinômio x2 +2xy + y2, quando fatorado, 
fica (x + y)2.
Para saber se um trinômio é um quadrado perfeito ele deve apre-
sentar duas características:
Dois termos (monômios) do trinômio devem ser quadrados.•	
Um termo (monômio) do trinômio deve ser o dobro das raízes •	
quadradas dos dois outros termos. 
Veja o exemplo a seguir:
16 x + 8x + 12
16 x
1
1
2 . 4x . 1
4x
2
Dois membros do trinômio têm raízes quadradas (16x2 e 1). O dobro 
dessas raízes é igual ao termo do meio (2 x 4x x 1 = 8x). Portanto, 
16x2 + 8x + 1 é um quadrado perfeito.
A forma fatorada de um trinômio do quadrado perfeito é a soma 
das suas raízes elevada ao quadrado.
Assim, a forma fatorada do trinômio 16x2 + 8x + 1 é (4x + 1)2.
Um outro exemplo:
Vamos fatorar o trinômio 1 + 9a2 – 6a. 
O primeiro passo é colocar esse trinômio em ordem crescente de 
expoentes. 9a2 – 6a + 1.
e-Tec BrasilAula 16 | Noções de Geometria Analítica 457
Em seguida vamos conferir se esse trinômio é um quadrado per-
feito. Para isso, tiramos a raiz dos termos 9a2 e 1. O resultado é, 
respectivamente, 3a e 1. O dobro dessas raízes será 2 x 3a x 1 = 6a. 
Veja que 6a é exatamente o termo do meio; então, esse trinômio 
é um quadrado perfeito.
Agora é só fatorar, ou seja, é só elevar ao quadrado a soma de suas 
raízes, que é (3a – 1)2.
Fonte: Adaptado de <http://www.brasilescola.com/matematica/
trinomio-quadrado-perfeito.htm>, por Danielle de Miranda.
 
W
em
ed
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Fonte: www.sxc.hu/photo/1210290
Figura 16.16: Como todos os pontos de uma circunferência possuem a mesma distân-
cia em relação ao centro, na equação de uma circunferência, mesmo que as coorde-
nadas mudem, o raio sempre será o mesmo.
Vamos analisar outro exemplo envolvendo a equação de uma circunferên-
cia? Vamos encontrar o centro e o raio da circunferência que tem como 
equação: 2 2x y 2x 4y 4 0+ − + − = . Só que, desta vez, vamos utilizar o mé-
todo de completar os quadrados, pois essa equação não está na forma 
( ) ( )2 2 2x a y b r− + − = . Portanto, o objetivo desse método será obter os 
quadrados perfeitos ( ) ( )2 2
x a e y b− − , para que possamos calcular do mes-
mo jeito que fizemos anteriormente.
Vejamos o passo a passo do método:
Primeiro, temos que agrupar os termos que têm x e os termos que têm y. 
O termo independente (o que não tem x nem y) deve ser isolado, ou seja, 
Edificaçõese-Tec Brasil 458
ele deve ficar do outro lado da equação. Lembre-se de que a equação tem 
dois lados que estão separados pelo sinal de igual.
A equação, então, fica assim: 2 2x 2x y 4y 4− + + = .
Agora vamos organizar a equação de forma a termos trinômios quadrados 
perfeitos. Para fazer isso teremos que introduzir na equação mais dois com-
ponentes, que chamaremos de w e z.
Para formar a primeira parte do primeiro termo da equação vamos usar 
como primeiro coeficiente x; o segundo coeficiente será w. Faremos, então, 
o seguinte cálculo: 1º ao quadrado menos duas vezes o 1º vezes o 2º mais o 
2º ao quadrado. Ou seja, (x)2 – 2.x.w + (w)2.
Para formar a segunda parte do primeiro termo da equação vamos usar 
como primeiro coeficiente y; o segundo coeficiente será z. Faremos, agora, 
o seguinte cálculo: 1º ao quadrado mais duas vezes o 1º vezes o 2º mais o 2º 
ao quadrado. Ou seja, (y)2 + 2.y.z + (z)2.
Por fim, somamos os componentes (w)2 e (z)2 (componentes acrescentados, 
lembra?) no segundo termo da equação. O segundo termo da equação é 
onde fica o termo independente. Ou seja, 4 + (w)2 + (z)2.
Sendo assim, a equação final com dois trinômios quadrados perfeitos é:
( )22 2 2 2 2(x) 2(x) w (w) y 2(y) z (z) 4 (w) (z)− ⋅ + + + ⋅ + = + +
Agora, para que esta última equação sejaigual à equação 2 2x 2x y 4y 4− + + = , 
precisamos descobrir os valores de w e z.
Lembre-se de que w e z são termos desconhecidos. No entanto, precisa-
mos determiná-los de forma que tenhamos um trinômio quadrado perfeito. 
Veja que as parcelas w² e z² não alteram a igualdade entre os membros da 
equação, pois cada membro da equação (os dois lados da equação) possui 
uma parcela w² e uma parcela z². Confira como a equação tem w2 e z2 dos 
dois lados da igualdade. Por esse motivo, podemos dizer que:
2(x) w 2x w 1− ⋅ = − ⇒ =•	
4
2(y) z 4y 2z 4 z z 2
2
⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =•	
e-Tec BrasilAula 16 | Noções de Geometria Analítica 459
Assim, fatorando a equação:
( )22 2 2 2 2(x) 2(x) w (w) y 2(y) z (z) 4 (w) (z)− ⋅ + + + ⋅ + = + +
Temos como resultado:
2 2 2 2(x w) (y z) 4 w z− + + = + +
Substituindo o valor de w = 1 e de z = 2, temos que:
2 2 2 2 2 2(x 1) (y 2) 4 1 2 (x 1) (y 2) 9− + + = + + ⇒ − + + =
Lembre-se que para acharmos o raio precisamos de uma equação no formato 
( ) ( )2 2 2x a y b r− + − = .
Veja que a equação 2 2(x 1) (y 2) 9− + + = também pode ser escrita como 
[ ]22 2(x 1) y ( 2) 3− + − − = .
Agora temos uma equação no formato ( ) ( )2 2 2x a y b r− + − = . Note que, ao 
compararmos estas duas últimas equações, teremos que a = 1 , b = –2 e r = 3.
Logo, o centro é o ponto (1,–2) e o raio é 3.
Atividade 5
Atende ao Objetivo 6
Determine o centro e o raio da circunferência cuja equação é 
2 2x y 6x 8y 5 0+ − + + = .
Edificaçõese-Tec Brasil 460
Resumo
A abscissa e a ordenada de um ponto no plano cartesiano são as proje-•	
ções ortogonais desse ponto. Elas também são chamadas de coordena-
das do ponto ou par ordenado.
Em um par ordenado o primeiro elemento é sempre a abscissa (no eixo x) •	
e o segundo é a ordenada (no eixo y).
A distância entre dois pontos pode ser encontrada pela fórmula •	
( ) ( )22
x x y yPQ P Q P Q= − + − , onde P é um ponto com coordenadas (Px, Py) 
e Q é um ponto com coordenadas (Qx, Qy).
Quando três pontos estão alinhados, o determinante desses pon-•	
tos é igual a zero. Ou seja, quando os pontos A (Ax, Ay), B (Bx, By) 
e C (Cx, Cy) estão alinhados, o determinante 
x y
x y
x y
A A 1
B B 1 0
C C 1
= , e o contrário 
também é verdade: se o determinante 
x y
x y
x y
A A 1
B B 1 0
C C 1
= , então os pontos 
A (Ax, Ay), B (Bx, By) e C (Cx, Cy) estão alinhados.
Se os pontos A (A•	 x, Ay), B (Bx, By) e C (Cx, Cy) são os vértices de um 
triângulo ABC, então a área do triângulo é dada por 
D
Área
2
= , onde 
x y
x y
x y
A A 1
D B B 1.
C C 1
=
Toda reta do plano cartesiano está associada a uma equação. Essa equa-•	
ção sempre terá a forma ax by c 0+ + = . Os valores a, b e c são sempre 
números reais, sendo que a 0 ou b 0≠ ≠ . As coordenadas (x, y) represen-
tam um ponto genérico da reta. Para confirmar se um ponto faz parte de 
uma reta, basta substituí-lo em sua equação.
É possível determinar a equação de uma reta por meio de seu coeficiente •	
e-Tec BrasilAula 16 | Noções de Geometria Analítica 461
angular. O coeficiente angular da reta ax by c 0+ + = é 
y a
m
x b
∆ −= =
∆
.
Se duas retas têm coeficientes angulares iguais, essas retas são paralelas.•	
Se duas retas têm coeficientes angulares diferentes, essas retas são •	
concorrentes.
Se a multiplicação dos coeficientes angulares de duas retas for igual a -1, •	
essas retas são perpendiculares.
A representação algébrica de uma circunferência cujo ponto central é •	
(a, b) e o raio é r é dada pela equação ( ) ( )2 2 2x a y b r− + − = .
Respostas das atividades
Atividade 1
A (-1, 2), B (2, 3), C (2, -2), D (-1, 1), E (0, 4), F (-3, 0), G (-4, -3).
1 2 3 4 x
y
O
1
2
-4 -3 -2 -1
-2
-1
-3
3
4
E
B
C
G
F
A
D
Atividade 2
Os vértices dos triângulos são A (0, 5), B (3, -2) e C (-3, -2).
Vamos usar a fórmula para achar a distância entre cada dois pontos:
Edificaçõese-Tec Brasil 462
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22 2 2 2 2
x x y y
22 2 2 2 2
x x y y
22 2 2 2 2
x x y y
AB A B A B 0 3 5 ( 2) 3 7 9 49 58
BC B C B C 3 ( 3) 2 ( 2) 6 0 36 6
AC A C A C 0 ( 3) 5 ( 2) 3 7 9 49 58
= − + − = − + − − = − + = + =
= − + − = − − + − − − = + = =
= − + − = − − + − − = + = + =
Como AB = AC, então o triângulo tem dois lados iguais.a) 
O cálculo do seu perímetro é a soma de todos os lados:b) 
Perímetro = AB + BC + AC = 58 6 58 6 2 58 21,23+ + = + ≈
Atividade 3
Para que os pontos A (1, 3), B (x, 1) e C (3, 5) sejam os vértices de um tri-
ângulo é necessário que estes pontos não sejam colineares, ou seja, o seu 
determinante deve ser diferente de zero.
( )
( )
x y
x y
x y
A A 1 1 3 1 1 3 11 3
B B 1 0 x 1 1 0 x 1 1 x 1 0 1 9 5x 3 5 3x 0
C C 1 3 5 1 3 5 13 5
10 5x 8 3x 0 10 5x 8 3x 0 2 2x 0 2x 2 x 1
≠ ⇒ ≠ ≠ ⇒ + + − + + ≠
⇒ + − + ≠ ⇒ + − − ≠ ⇒ + ≠ ⇒ ≠ − ⇒ ≠ −
Assim, se x for diferente de -1 (qualquer valor diferente de -1), os pontos A, 
B e C serão vértices de um triângulo.
Atividade 4
A equação da reta s é 3x 2y 1 0+ − = ; assim a = 3 e b = 2.
O coeficiente angular dessa reta é s s
a 3
m m
b 2
− −= ⇒ = .
Agora vamos calcular o coeficiente angular da reta r:
Como r e s são perpendiculares, então r s r
r r
3
m m 1 m 1
2
2 2
m m
3 3
− ⋅ = − ⇒ ⋅ = −  
−⇒ = ⇒ =
−
r s r
r r
3
m m 1 m 1
2
2 2
m m
3 3
− ⋅ = − ⇒ ⋅ = −  
−⇒ = ⇒ =
−
Como o ponto (2, 4) pertence à reta r, então: y y
r
x x
A By
m
x A B
−∆= =
∆ −
e-Tec BrasilAula 16 | Noções de Geometria Analítica 463
Como o cálculo do coeficiente angular independe dos pontos escolhidos, 
então vamos considerar que o ponto A (Ax, Ay) = (x, y) e vamos dizer que o 
ponto B (Bx, By) = (2, 4). Assim:
r
y 4
m
x 2
−=
−
Mas r
2
m
3
= . Portanto, ( ) ( )2 y 4
2 x 2 3 y 4 2x 4 3y 12
3 x 2
2x 3y 4 12 0 2x 3y 8 0
−= ⇒ − = − ⇒ − = − ⇒
−
− − + = ⇒ − + =
 ( ) ( )2 y 4
2 x 2 3 y 4 2x 4 3y 12
3 x 2
2x 3y 4 12 0 2x 3y 8 0
−= ⇒ − = − ⇒ − = − ⇒
−
− − + = ⇒ − + = . Esta é a equação da reta r.
Atividade 5
A equação da circunferência é 2 2x y 6x 8y 5 0+ − + + = .
Usaremos o método de completar os quadrados, pois a equação não está na 
forma ( ) ( )2 2 2x a y b r− + − = .
Neste método o objetivo é obter os quadrados perfeitos ( ) ( )2 2
x a e y b .− −
Agrupando os termos em x e os termos em y e isolando o termo independente:
2 2x 6x y 8y 5− + + = −
Organizando a equação para que tenhamos trinômios quadrados perfeitos: 
1º ao quadrado menos duas vezes o 1º vezes o 2º, ou então 1º ao quadrado 
mais duas vezes o 1º vezes o 2º.
Na equação a seguir, (w)2 e (z)2 foram acrescentados, de forma a termos dois 
trinômios quadrados perfeitos:
( )22 2 2 2 2(x) 2(x) w (w) y 2(y) z (z) 5 (w) (z)− ⋅ + + + ⋅ + = − + +
Para que esta última equação seja igual à equação 2 2x 6x y 8y 5− + + = − , 
devemos impor que:
6
2(x) w 6x 2 w 6 w w 3
2
−− ⋅ = − ⇒ − ⋅ = − ⇒ = ⇒ =
−
•	
8
2(y) z 8y 2z 8 z z 4
2
⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =•	
Edificaçõese-Tec Brasil 464
Assim,
( )22 2 2 2 2
2 2 2 2
(x) 2(x) w (w) y 2(y) z (z) 5 (w) (z)
(x w) (y z) 5 w z
− ⋅ + + + ⋅ + = − + + ⇒
⇒ − + + = − + +
Substituindo o valor de w = 3 e de z = 4, temos que:
[ ] ( )
2 2 2 2 2 2
222 2 2
(x 3) (y 4) 5 3 4 (x 3) (y 4) 5 9 16
(x 3) (y 4) 20 (x 3) y ( 4) 20
− + + = − + + ⇒ − + + = − + + ⇒
− + + = ⇒ − + − − =
Logo, o centro é o ponto (3, -4) e o raio é 20.
Referências bibliográficas
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: volume único. São Paulo: Ática, 2005.
IEZZI, Gelson. Matemática (2º Grau). São Paulo: Atual, 1996. v. 3.