Lista_3_Teoria_Numeros

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Universidade Federal do Piauí - UFPI
Centro de Ciências da Natureza - CCN
Departamento de Matemática
Lista de exercícios 3/ Teoria dos Números
Professor: Ítalo Melo
1. Seja ϕ a função de Euler. Encontre todas as soluções nos números naturais da equação ϕ(n) = ϕ(2n).
2. Para quais valores de n, ϕ(n) é ímpar?
3. Mostre que ϕ(n) é par se n > 2.
4. Encontre todos os números naturais n para os quais ϕ(n) não é divisível por 4.
5. Encontre todas as soluções nos números naturais da equação ϕ(3n) = ϕ(2n).
6. Mostre que se m e n são inteiros positivos tais que m|n então ϕ(m)|ϕ(n).
7. Mostre que existem infinitos inteiros n tais que 10|ϕ(n).
8. Prove que para qualquer número natural k, existe pelo menos um número natural n tal que
ϕ(n) = ϕ(n+ k).
9. Mostre que 310 ≡ 1(mod 112).
10. Demonstre que existem infinitos múltiplos de 1991 que são da forma 1999 · · · 9991.
11. Sejam a e b números naturais não nulos tais que mdc(a, b) = 1. Mostre que existe um número natural
k tal que
ak + bk ≡ 1(modab).
12. Encontre o menor inteiro positivo que satisfaz o seguinte sistema de congruências:
x ≡ 1 (mod 3)
x ≡ 2 (mod 5)
x ≡ 1 (mod 7)
13. Resolva o sistema de congruências:
x ≡ 1 (mod 2)
x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 5 (mod 7)
14. Resolva o sistema de congruências:
2x ≡ 1 (mod 5)
3x ≡ 2 (mod 7)
5x ≡ 7 (mod 11)
15. Resolva o sistema de congruências:
x ≡ 7 (mod 11)
3x ≡ 5 (mod 13)
7x ≡ 4 (mod 5)
16. Demonstre que, dados k e n naturais, é possível encontrar n inteiros positivos consecutivos, cada um
dos quais tem ao menos k fatores primos distintos.
17. Sejam a e b inteiros positivos tais que mdc(a, b) = 1 e c > 0 um inteiro. Mostre que existe um inteiro
x tal que mdc(a+ bx, c) = 1.
Bom Trabalho!!