eBook Completo - Física Geral e Experimental(Física do Movimento)_SER(versão digital) (1)

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FÍSICA GERAL
E EXPERIMENTAL
Física Geral e Experim
ental Stéphanie Fonseca e Juliana Ikebe Otomo 
Stéphanie Fonseca e Juliana Ikebe Otomo 
GRUPO
SER
EDUCACIONAL
gente criando o futuro
Na disciplina de Física Geral e Experimental, abordaremos conteúdos relacionados à 
medição e metrologia, ao Sistema Internacional de Unidades (SI), vetores e mecânica 
básica. Esses conteúdos são fundamentais para a prática experimental das ciências e 
também para a indústria e pro� ssões técnicas. Muitos fenômenos físicos, como o mo-
vimento de um corpo, são caracterizados por possuírem uma direção e sentido no es-
paço e podem ser mais bem explicados como fenômenos vetoriais. Assim, compreen-
der o que são vetores e saber trabalhar com eles é indispensável para o entendimento 
de campos da engenharia como o fenômeno de transporte. Além disso, a mecânica 
é a parte da física que estuda o movimento dos corpos. As equações que permitem 
calcular a velocidade e posição de um corpo em movimento, as leis de Newton que 
explicam a atuação das forças em um corpo e os fundamentos de energia e trabalho 
serão temas abordados nesta disciplina e constituem o arcabouço de conhecimento 
de um engenheiro.
FÍSICA GERAL
E EXPERIMENTAL
(Física do Movimento)
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mentares ou aprofundadas sobre o conteúdo estudado.
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Dados essenciais e pertinentes sobre a vida de uma determinada pessoa 
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Dados que retratam onde e quando aconteceu determinado fato;
demonstra-se a situação histórica do assunto.
CURIOSIDADE
Informação que revela algo desconhecido e interessante sobre o assunto 
tratado.
DICA
Um detalhe específico da informação, um breve conselho, um alerta, uma 
informação privilegiada sobre o conteúdo trabalhado.
EXEMPLIFICANDO
Informação que retrata de forma objetiva determinado assunto.
EXPLICANDO
Explicação, elucidação sobre uma palavra ou expressão específica da 
área de conhecimento trabalhada.
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Unidade 1 - Medição e Sistema Internacional de Unidades
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 13
Medição ................................................................................................................................. 14
Grandezas ......................................................................................................................... 14
Definição de medição ..................................................................................................... 16
Instrumentos de medição .............................................................................................. 16
Exatidão e precisão ......................................................................................................... 17
Métodos e procedimentos de medição ....................................................................... 18
Algarismos significativos ............................................................................................... 21
Sistema Internacional de Unidades (SI) .......................................................................... 26
Unidades de base do SI .................................................................................................. 27
Unidades derivadas do SI .............................................................................................. 29
Múltiplos e submúltiplos decimais do SI ..................................................................... 31
Unidades fora do SI e conversão de unidades .......................................................... 32
Análise dimensional ........................................................................................................ 35
Sintetizando ........................................................................................................................... 39
Referências bibliográficas ................................................................................................. 40
Sumário
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Sumário
Unidade 2 - Metrologia e movimento retilíneo
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 42
Metrologia ............................................................................................................................. 43
Áreas da Metrologia ....................................................................................................... 43
Estatística aplicada à Metrologia ................................................................................. 44
Erro ..................................................................................................................................... 44
Desvios .............................................................................................................................. 45
Intervalo de confiança .................................................................................................... 48
Determinação do erro de escala .................................................................................. 50
Propagação de erros ...................................................................................................... 51
Movimento retilíneo............................................................................................................. 53
Sistema de referências, posição e deslocamento .................................................... 54
Velocidade média ............................................................................................................ 57
Velocidade instantânea .................................................................................................. 59
Aceleração ....................................................................................................................... 61
Relação entre os gráficos de x(t), vx(t) e ax(t) ............................................................. 64
Movimento uniforme e movimento uniformemente acelerado ............................... 65
Queda livre ........................................................................................................................ 69
Sintetizando ........................................................................................................................... 72
Referências bibliográficas ................................................................................................. 74
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Sumário
Unidade 3 - Cargas elétricas e forças elétricas
Objetivos da unidade ...........................................................................................................76
Vetores .................................................................................................................................... 77
Soma e subtração de vetores ....................................................................................... 79
Componentes de vetores ............................................................................................... 82
Vetores unitários .............................................................................................................. 86
Multiplicação de vetores ............................................................................................... 87
Movimento em duas e três dimensões: vetor posição e velocidade 
e vetor aceleração..............................................................................................................92
Casos especiais: movimento de um projétil e movimento circular uniforme ................. 99
Sintetizando ......................................................................................................................... 106
Referências bibliográficas ............................................................................................... 107
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Sumário
Unidade 4 - Força e movimento, tipos de energia e conceito de trabalho
Objetivos da unidade ......................................................................................................... 109
Força e movimento ............................................................................................................. 110
Leis de Newton .............................................................................................................. 113
Diagramas de corpo livre e aplicações ..................................................................... 116
Energia cinética e trabalho .............................................................................................. 119
Teorema do trabalho-energia ...................................................................................... 122
Trabalho e energia com forças variáveis .................................................................. 123
Potência .......................................................................................................................... 127
Energia potencial e conservação de energia ............................................................... 129
Conservação de energia .............................................................................................. 132
Forças conservativas e não conservativas .............................................................. 135
Diagrama de energia .................................................................................................... 137
Sintetizando ......................................................................................................................... 141
Referências bibliográficas ............................................................................................... 143
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Na disciplina de Física Geral e Experimental, abordaremos conteúdos rela-
cionados à medição e metrologia, ao Sistema Internacional de Unidades (SI), 
vetores e mecânica básica. Esses conteúdos são fundamentais para a práti-
ca experimental das ciências e também para a indústria e profi ssões técnicas. 
Muitos fenômenos físicos, como o movimento de um corpo, são caracterizados 
por possuírem uma direção e sentido no espaço e podem ser mais bem ex-
plicados como fenômenos vetoriais. Assim, compreender o que são vetores e 
saber trabalhar com eles é indispensável para o entendimento de campos da 
engenharia como o fenômeno de transporte. Além disso, a mecânica é a par-
te da física que estuda o movimento dos corpos. As equações que permitem 
calcular a velocidade e posição de um corpo em movimento, as leis de Newton 
que explicam a atuação das forças em um corpo e os fundamentos de energia 
e trabalho serão temas abordados nesta disciplina e constituem o arcabouço 
de conhecimento de um engenheiro.
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Apresentação
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Dedico esta produção aos professores que tive desde o ensino médio, no 
colégio técnico de Lorena, até a graduação na Escola de Engenharia de 
Lorena da Universidade de São Paulo. 
A professora Stéphanie Fonseca é 
mestre em Engenharia Química pela 
Universidade Federal de Santa Cata-
rina (2015) e graduada em Engenharia 
Industrial Química pela Escola de En-
genharia da Universidade de São Pau-
lo (2009). Atuou profi ssionalmente em 
multinacionais da indústria química 
nas áreas de processo, projeto, saúde, 
segurança e meio ambiente. Exercitou 
a docência nas disciplinas de Estáti-
ca, Termodinâmica e Fenômenos de 
Transporte, além de produzir conteú-
dos para EAD.
Currículo Lattes:
http://lattes.cnpq.br/3814286707387989/
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A autora
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FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 11
Eu dedico este livro aos meus pais por me proporcionarem uma formação 
pessoal e acadêmica de qualidade, mesmo com todas as difi culdades. 
Dedico à minha orientadora acadêmica, sempre presente, me apoiando 
e me incentivando em minhas atividades. Por fi m, dedico ao meu marido 
pela compreensão e apoio.
A professora Juliana Ikebe Otomo é 
doutora em Tecnologia Nuclear – ma-
teriais pelo Instituto de Pesquisas Ener-
géticas e Nucleares (IPEN) em 2015, 
mestra em Tecnologia Nuclear pela 
Universidade de São Paulo (2010) e gra-
duada em Engenharia Ambiental (2007) 
pela Faculdade Oswaldo Cruz. Traba-
lha, desde 2016, como professora do 
curso de Engenharia Civil, lecionando 
disciplinas de Hidráulica, Saneamento, 
Fenômenos de Transporte, Instalações 
Hidráulicas Prediais, Cinemática e Dinâ-
mica, Cálculo Diferencial e Integral.
Currículo Lattes:
http://lattes.cnpq.br/1635328092311925
A autora
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MEDIÇÃO E SISTEMA 
INTERNACIONAL DE 
UNIDADES
1
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Compreender o conceito e definição de medição;
 Compreender o que é uma grandeza;
 Conhecer os principais sistemas de medição e compreender seus fundamentos;
 Conhecer conceitos básicos sobre instrumentos de medição;
 Compreender os conceitos de exatidão e precisão;
 Compreender o que são algarismos significativos, saber como arredondá-los 
e como efetuar cálculos básicos com os mesmos;
 Conhecer os motivos e processo de criação do Sistema Internacional de 
Unidades (SI);
 Conhecer as unidades de base e compreender suas definições;
 Conhecer as principais unidades derivadas do SI;
 Saber como converter unidades de sistemas diferentes;
 Compreender o que é dimensão e saber analisar de forma dimensional 
uma equação.
 Medição 
 Grandezas
 Definição de medição
 Instrumentos de medição
 Exatidão e precisão
 Métodos e procedimentos de 
medição
 Algarismos significativos
 Sistema Internacional de 
Unidades (SI)
 Unidades de base do SI
 Unidades derivadas do SI
 Múltiplos e submúltiplos 
decimais do SI
 Unidades fora do SI e conver-
são de unidades
 Análise dimensional
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Medição
 Medir é um dos pilares da física e da engenharia. De fato, os 
fenômenos físicos só podem ser estudados e descritos se for-
mos capazes de medir as quantidades associadas a eles.
Tome como exemplo um carrinho de fricção que se desloca em uma mesa 
entre os pontos A e B. Como você poderia descrever esse deslocamento? Você 
deve estar pensando que pode descrever o deslocamento do carrinho se me-
dir a distância entre os pontos A e B, cronometrar o tempo do deslocamento e 
que também pode calcular a velocidade média do carrinho ao dividir a distân-cia pelo tempo. Pronto, você já tem uma descrição do movimento do carrinho 
a partir de duas medidas e um cálculo simples.
Toda obra de engenharia, desde as pirâmides até as sondas espaciais, foi cons-
truída com sucesso graças à capacidade humana de medir, isto é, de comparar 
uma determinada quantidade com outra que sirva como padrão de referência.
Os primeiros padrões foram objetos naturais, como pedras e partes do corpo 
humano. O cúbito real egípcio, por exemplo, era a medida entre o cotovelo e a 
ponta do dedo médio do braço do faraó, e sua medida era de aproximadamente 
524 mm. Como forma de padronizar tal medida, foi confeccionado um padrão em 
granito com o qual outras réguas e bastões eram padronizados. A efi cácia do em-
prego do cúbito real egípcio e sua padronização foram tais que, embora a Grande 
Pirâmide de Gizé tenha sido construída por milhares de trabalhadores, os quatro 
lados de sua base possuem um erro médio percentual de apenas 0,05. A propósi-
to, a média do comprimento dos quatro lados é de 230,364 m, o que indica que, 
originalmente, os lados da Grande Pirâmide mediam 440 cúbitos reais.
Grandezas
O volume de água em um reservatório, o comprimento de uma distância 
percorrida, a massa específi ca de uma substância, a velocidade de um automó-
vel, a pressão atmosférica, a concentração de cloreto de sódio e glicose no soro 
fi siológico e a aceleração da gravidade são alguns exemplos de quantidades 
importantes para a atividade humana. Em física, chamamos estas quantidades 
de grandezas.
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Grandeza é a propriedade de um fenômeno, corpo ou substância que pode 
ser expressa quantitativamente sob a forma de um número e uma referência. 
Vamos compreender melhor esta defi nição por meio de alguns exemplos:
1) A duração da queda livre de uma maçã é uma propriedade defi nida pela 
grandeza chamada tempo, que pode ser expressa numericamente com ajuda 
de um cronômetro e por uma referência chamada segundo.
A duração da queda da maçã durou 0,5 segundo.
propriedade
fenômeno referência
número
2) A altura de um tanque de petróleo é uma propriedade de um corpo de-
fi nida pela grandeza chamada comprimento. Ele pode ser expresso quanti-
tativamente por um valor numérico e por uma referência que, neste caso, é a 
unidade de comprimento chamada metro.
A altura de um tanque de petróleo é igual a dez metros.
propriedade
corpo
referência
número
3) O ponto de ebulição da água é uma propriedade física que pode ser ex-
pressa sob a forma de um número e uma referência.
A temperatura de ebulição da água é igual a 100 °C.
propriedade
substância referência
número
Nos exemplos anteriores, as referências são unidades de medida, mas tam-
bém podem ser um procedimento de medição ou um material de referência.
As grandezas podem ser classificadas conforme sua natureza. 
Calor, trabalho e energia cinética são grandezas da mesma natureza, a 
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energia. Para a física e engenharia, é bastante útil classificá-las como 
grandezas como de base e derivadas.
As grandezas de base são escolhidas por convenção; em função delas são 
defi nidas as grandezas derivadas. Comprimento, massa e tempo são exem-
plos de grandezas de base. Todas as grandezas derivadas são obtidas por meio 
de equações que relacionam as grandezas entre si. 
Exemplos:
• A velocidade (v) é uma grandeza derivada obtida pela equação v = x/t, que 
relaciona duas grandezas de base: o comprimento do espaço percorrido x e o 
tempo t de duração do deslocamento;
• A aceleração (a) é uma grandeza derivada obtida pela equação a = v/t, que 
relaciona uma grandeza derivada (v) com uma grandeza de base (t).
Definição de medição
Agora que você já conhece e entende o que são grandezas, já pode compreen-
der a defi nição de medição.
Se você defi nir o seu palmo como um padrão de referência para comprimento, 
poderá medir a largura de uma estante e verifi car se ela cabe em um espaço do 
seu escritório. Assim, podemos defi nir que medir é comparar uma grandeza com 
outra grandeza padrão de mesma natureza. Dentro do vocabulário técnico, cha-
mamos a grandeza que desejamos medir de mensurando ou mensuranda.
Já a medição relaciona-se com o método que utilizamos para medir uma gran-
deza, e é defi nida como o processo de obtenção experimental de um ou mais va-
lores que podem ser razoavelmente atribuídos a uma grandeza.
Instrumentos de medição
Para medirmos o valor de uma grandeza, dependemos de instrumentos 
de medição adequados. Exemplos:
• Termômetro de infravermelho: utilizado para medir a temperatura de 
superfícies e corpos com base na radiação emitida por eles;
• Termômetro de imersão: utilizado para medir a temperatura de subs-
tâncias líquidas e viscosas;
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• Transferidor: para medir ângulos;
• Barômetro: para medir a pressão atmosférica;
• Manômetro: para medir a pressão exercida por líquidos e gases;
• Psicrômetro: mede a umidade relativa do ar;
• Voltímetro: permite medir a diferença de potencial elétrico entre dois 
pontos de um circuito elétrico;
• Amperímetro: permite medir a intensidade da corrente elétrica que 
atravessa um condutor;
• Ohmímetro: mede a resistência elétrica de um componente ou circuito elétrico;
• Densímetro: mede a densidade de um líquido.
As características mais importantes de um instrumento de medição são 
sua faixa de medição, resolução, exatidão e precisão.
A faixa de medição se refere à 
faixa de valores que o instrumento 
pode medir; por exemplo, um ter-
mômetro pode ter uma faixa de me-
dição entre 0 e 100 ºC. A resolução 
é outra característica importante e 
se refere à menor fração de uma di-
mensão que o instrumento é capaz 
de medir. Uma régua comum, por 
exemplo, está graduada em centí-
metros e milímetros, assim sua re-
solução é de 0,1 mm. 
Exatidão e precisão
A exatidão refl ete quanto o resultado de uma medição está próximo do va-
lor real mensurado. A precisão refl ete quanto os valores dos resultados de uma 
medição estão próximos. Se você for brincar de lançar fl echas em um alvo, seu 
objetivo será acertar todas no centro do alvo; contudo, o resultado dependerá 
da sua habilidade ou falta dela. Você será preciso se acertar todas as fl echas 
próximas umas das outras e exato se acertar todas as fl echas no centro do alvo. 
Vamos entender melhor analisando a Figura 1:
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Precisão: não
Exatidão: não
Precisão: sim
Exatidão: não
Precisão: não
Exatidão: sim
Precisão: sim
Exatidão: sim
A B C D
Figura 1. Exemplo ilustrando os conceitos de precisão e exatidão.
No caso A, as fl echas estão dispersas, demonstrando baixa precisão. A 
maior parte delas está distante do centro do alvo, o que mostra baixa exatidão.
No caso B, as fl echas estão bem próximas umas das outras, demons-
trando alta precisão, contudo, estão longe do centro do alvo, demonstrado 
baixa exatidão.
No caso C, as fl echas estão dispersas, porém todas em torno do alvo, o que 
demonstra baixa precisão e boa exatidão, respectivamente.
Já no caso D, todas as fl echas estão bem próximas umas das outras e no cen-
tro do alvo. Temos, então, alta precisão e alta exatidão, concomitantemente.
É importante saber que um instrumento de medição pode ter diferentes 
graus de exatidão ao longo de sua faixa de medição; e também é importante 
consultar esta informação na fi cha técnica do instrumento. Os instrumentos 
de medição podem ser classifi cados quanto a sua função, isto é, para que tipos 
de grandeza são usados; e quanto a sua exatidão. Um paquímetro é um instru-
mento de medição de comprimento mais exato que uma régua, por exemplo.
Métodos e procedimento de medição
Os métodos de medição podem ser classifi cados de diversas formas.Adiante, abordaremos a classifi cação entre métodos diretos e indiretos.
Método direto: é o mais simples dos métodos de medição, pois nele obte-
mos o valor da variável de interesse diretamente, sem necessidade de cálculos 
posteriores. Temos alguns exemplos de medição direta a seguir.
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1) Usar um voltímetro para medir a diferença de potencial entre dois 
pontos de um circuito elétrico;
2) Usar uma balança de precisão para medir a massa de um reagente químico;
3) Usar um manômetro para medir a pressão interna em um reator químico;
4) Medir o diâmetro interno de uma rosca utilizando um paquímetro;
5) Medir o pé direito de uma sala utilizando uma trena.
Você pode observar nos exemplos que os instrumentos de medição for-
necem diretamente o valor da grandeza que precisamos medir. Basta que 
você verifique o valor no mostrador ou escala do instrumento.
Método indireto: neste caso, medimos diretamente o valor de outras gran-
dezas que se relacionam matematicamente com a grandeza de interesse. O re-
sultado final é obtido por meio de cálculos. A seguir veremos alguns exemplos.
1) Para determinar o volume V de um tanque cilíndrico, você pode medir 
o diâmetro d e a altura y do tanque (duas medições diretas) e obter o volume 
por meio da equação que relaciona o volume de um cilindro ao seu diâmetro 
e altura:
V = y ∙ π ∙ d
2
4
2) Para determinar a resistência R de um cabo metálico num circuito elé-
trico, você pode medir a corrente elétrica I que percorre o cabo e a diferença 
de potencial V entre dois pontos do cabo utilizando um amperímetro e um 
voltímetro, respectivamente. De posse desses dois valores, você pode de-
terminar o valor da resistência por meio da equação:
R = I/I
3) Podemos medir a massa específica ρ de um líquido se medirmos sua 
massa m em uma balança e tomarmos o seu volume V em uma proveta, que é 
um tubo graduado, usado para realizar a medição direta do volume de líquidos. 
Utilizando a equação a seguir, você obtém o valor da massa específica:
ρ = m/V
A escolha do método de medição depende de diversos fatores: custo e 
disponibilidade dos instrumentos de medição, complexidade do método e 
nível de precisão desejado.
Por exemplo, a massa específica de um líquido pode ser medida diretamen-
te se utilizarmos um instrumento chamado densímetro, mas, na falta dele, 
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podemos proceder como no exemplo 3. Por outro lado, a massa específica ρ de 
uma solução está proporcionalmente relacionada com sua concentração c; as-
sim, podemos utilizar o densímetro para medir indiretamente a concentração 
de uma solução. Esta forma é bastante utilizada para medir o teor de água no 
álcool hidratado.
Já um procedimento de medição é uma descrição detalhada de como efe-
tuar uma determinada medição, definindo, por exemplo, em quais princípios 
de medição o procedimento se baseia, qual é método de medição empregado, 
quais instrumentos devem ser utilizados, sob quais condições a medição deve 
ser realizada, quais cálculos devem ser efetuados, etc. Nas empresas e insti-
tuições de pesquisa, esses procedimentos são padronizados e chamados de 
Procedimentos Operacionais Padrão, usualmente conhecidos como POP.
EXPLICANDO
O princípio de medição é o fenômeno físico que serve de base para uma 
medição. A absorção de energia de uma solução pode ser utilizada como 
princípio de medição da concentração de uma substância.
O resultado de uma medição depende de diversos fatores:
• Instrumentos de medição: devem estar devidamente calibrados. Sua 
exatidão, precisão, resolução e faixa de medição devem ser conhecidos e ade-
quados para o processo de medição;
• Rastreabilidade metrológica: o resultado da medição pode ser 
relacionado a uma referência por meio de uma cadeia ininter-
rupta e documentada de calibrações. Padrões e instrumen-
tos utilizados numa medição, bem como suas calibrações, 
devem possuir rastreabilidade metrológica;
• Fator humano: o analista precisa compreender o método 
e o procedimento de medição, ser treinado e capacitado para utilizar os instru-
mentos de medição, manusear amostras e analisar os resultados;
• Condições ambientais: temperatura, umidade do ar, barulhos e cam-
pos eletromagnéticos podem interferir no resultado obtido. O volume de 
uma substância, por exemplo, varia em função da temperatura por conta 
da dilatação.
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Sempre que você for efetuar uma medição, deve analisar a existência e grau 
de interferência desses fatores e, sempre que necessário, deve tomar medidas 
para eliminar ou diminuir a interferência deles.
A amostra é outro fator de maior importância no resultado de uma medi-
ção e, por isso, iremos explorar um pouco mais este conceito. Imagine que você 
trabalhe em uma indústria de tubos fl exíveis que produz 15.000 unidades de 
um modelo por mês. Como você faria para verifi car se estes tubos possuem a 
dimensão de comprimento em conformidade com a especifi cação? Obviamen-
te, medir o comprimento de cada um seria inviável.
Uma forma de responder ao problema é selecionar uma amostra, isto é, 
uma parte representativa do todo que, uma vez analisada e medida, possibilita 
atribuir os resultados encontrados ao todo. É importante que você saiba que a 
amostragem deve ser feita conforme critérios estabelecidos por normas. 
Algarismos significativos
Devido a fatores como qualidade do instrumento de medição, calibração, 
corpo de provas, habilidade do profi ssional e número de medições realiza-
das, o resultado de uma medição está dentro daquilo que chamamos de 
limite de incerteza.
Imagine que você realizou um experimento para medir a concentra-
ção de uma solução aquosa de cloreto de sódio. Após repetir a análise 
um determinado número de vezes, o valor mais provável obtido para a 
concentração foi 10,35 g/dm3, e a variação máxima no conjunto das me-
dições foi de 0,2 g/dm3. A princípio, você expressaria o resultado final 
como c = (10,35 ± 0,2) g ∙ dm3. Nesse momento, você nota que a variação 
da medição afeta a primeira casa decimal do valor mais provável de con-
centração, portanto, não faz sentido expressar o valor de concentração 
com duas casas decimais, pois já existe incerteza na primeira casa; desta 
forma, o quarto algarismo deixou de ser significativo. Como consequên-
cia, o resultado da medição deve se expresso como c = (10,3 ± 0,2) g ∙ dm3, 
significando que a concentração pode ser algum valor entre 10,1 g/dm3 
e 10,5 g/dm3. Em outras palavras, é possível dizer que os dois primeiros 
algarismos estão corretos, mas há dúvida sobre o terceiro.
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 A partir dessas considerações, podemos dizer que algarismos significa-
tivos de uma medição são aqueles que podem ser considerados corretos, a 
contar do primeiro diferente do zero, acrescido do último, que é considerado 
algarismo duvidoso. Em outras palavras, os algarismos significativos expres-
sam o grau de certeza de uma medição.
O último algarismo sempre será duvidoso. Veja a Figura 2, que mostra 
um termômetro cuja faixa de medição é entre 10 ºC e 80 ºC, com resolução 
de 5 ºC. A princípio, poderíamos dizer que o termômetro está marcando 
65 ºC, contudo, não podemos afirmar com certeza que a altura da coluna 
de líquido está posicionada exatamente em 65 ºC. Por isso, o algarismo 
cinco apresenta uma incerteza, motivo pelo qual é chamado de algarismo 
significativo duvidoso.
80 ºC
70 ºC
60 ºC
50 ºC
40 ºC
30 ºC
20 ºC
10 ºC
Figura 2. Termômetro graduado em graus Celsius. 
Notação científica
Em trabalhos científicos, como teses e artigos, os valores numéricos das 
grandezas são escritos sob a forma de notação científica, que nada mais é que 
escrever um número referindo-se à potência dedez, conservando-se apenas 
um dígito diferente de zero à esquerda da vírgula. Vejamos alguns exemplos:
a) 300 = 3,00 ∙ 102: três algarismos significativos;
b) 10576 = 1,0576 ∙ 104: cinco algarismos significativos;
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SER_ECPME_FIGEEXP_UNID1.indd 22 08/05/20 11:21
c) 0,00357 = 3,57 ∙ 10-3: três algarismos significativos;
d) 1,001 = 1,001: quatro algarismos significativos.
A notação científica permite a rápida visualização da quantidade de algaris-
mos significativos e da ordem de grandeza (potência).
Regras sobre algarismos significativos:
1) Os zeros não são significativos quando estão situados à esquerda do pri-
meiro algarismo não nulo;
2) Os zeros à direita só devem ser escritos quando temos a certeza de que 
são significativos.
Exemplos:
a) 3,5400 ∙ 104: possui cinco algarismos significativos;
b) 3503 m: possui cinco algarismos significativos;
c) 0,0123 A: possui três algarismos significativos, os zeros à esquerda ser-
vem apenas para indicar que o valor da grandeza é menos que a unidade;
d) 220 V: possui três algarismos significativos.
Regras de arredondamento
Quando uma medida possui mais algarismos significativos do que necessi-
tamos, devemos conservar apenas os algarismos de nosso interesse.
Exemplo: a medição das dimensões de uma mureta resultou em 95,328 cm 
de altura e 200,541 cm de comprimento. Mas para os seus propósitos, apenas 
três algarismos significativos são suficientes. Como você deve reescrever os 
resultados?
Você pode especular e sobrescrever a altura como 95,33 cm, arredon-
dando para cima; ou 95,32 cm, arredondando para baixo. Devemos esco-
lher a opção que esteja mais próxima do valor medido. Para isso, vamos 
analisar o erro associado a cada uma delas e escolher aquela que apresen-
ta o menor erro.
erro95,33 cm = (95,33 - 95,328) cm = 0,002 cm
erro95,32 cm = (95,328 - 95,32) cm = 0,008 cm
O menor erro ocorre quando arredondamos para cima, portanto, você de-
verá reescrever a altura como 95,33 cm.
Apliquemos o método anterior ao valor do comprimento:
erro200,55 cm = (200,55 - 200,541) cm = 0,009 cm
erro200,54 cm = (200,541 - 200,54) cm = 0,001cm
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Como o menor erro ocorre quando arredondamos para baixo, o comprimen-
to deve ser apresentado como 200,54 cm.
No entanto, você não precisa calcular erros cada vez que tiver que arredon-
dar um número, pois foram criadas regras de arredondamento com base nos 
fundamentos expostos nesse exemplo. Vejamos quais são estas regras. 
1) Se o algarismo a ser conservado for seguido de algarismo inferior a cinco, 
permanece aquele a ser conservado e retiram-se os algarismos posteriores. 
Exemplos:
a) Arredondando-se 2,311 à primeira casa decimal, tem-se 2,3.
b) Arredondando-se 5,3113 à segunda casa decimal, tem-se 5,31.
2) Se o algarismo a ser conservado for seguido de algarismo superior ou igual 
a cinco, seguido de no mínimo um algarismo diferente de zero, deve ser somada 
uma unidade ao algarismo a ser conservado e retiram-se os posteriores.
Exemplos:
a) Arredondando-se 2,6677 à segunda casa decimal, tem-se 2,67;
b) Arredondando-se 2,4501 à primeira casa decimal, tem-se 2,5.
3) Se o algarismo a ser conservado for ímpar, seguido de cinco e posterior-
mente de zeros, deve ser somada uma unidade ao algarismo a ser conservado e 
retiram-se os posteriores.
Exemplos:
a) Arredondando-se 8,750 à primeira casa decimal, tem-se 8,8;
b) Arredondando-se 21,33500 à segunda casa decimal, tem-se 21,34.
4) Se o algarismo a ser conservado for par, seguido de cinco e posteriormente 
de zero, permanece o algarismo a ser conservado e retiram-se os posteriores.
Exemplos:
a) Arredondando-se 2,4500 à primeira casa decimal, tem-se 2,4;
b) Arredondando-se 10,62500 à segunda casa decimal, tem-se 10,62.
Operações com algarismos significativos
Ao efetuarmos cálculos devemos ter cuidado para que o resultado final con-
tenha apenas algarismos significativos. Para isso, as seguintes regras devem 
ser seguidas:
1) Na soma e subtração as parcelas são somadas ou subtraídas normalmen-
te. O resultado final deverá ter o mesmo número de casas decimais da parcela 
que possui o menor número de casas.
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 24
SER_ECPME_FIGEEXP_UNID1.indd 24 08/05/20 11:21
Exemplos:
a) (30,10 + 45,555 + 23,489) m = 99,144 m.
Como a parcela 30,10 apresenta apenas duas casas decimais, o resultado final 
será 99,14 m.
b) (25,051 – 1,8977) m = 23,1533 m.
Aplicando a regra, o resultado final será 23,153 m.
2) Na multiplicação calculamos o produto, e o resultado final deve ter o mesmo 
número de algarismos significativos do fator que tiver o menor número de algaris-
mos significativos.
Exemplo: 23,4556m ∙ 1,75 m = 41,0473 m2.
Como o segundo fator possui apenas três algarismos significativos, o resultado 
final será 41,0 m2.
3) Na divisão obtemos o quociente normalmente, verifica-se se o dividendo ou 
divisor possui o menor número de algarismos significativos, e o resultado final terá 
este mesmo número de algarismos significativos.
Exemplos:
a) 75,25 m / 1,2555 s = 59,93628037 m/s.
Neste caso, o dividendo 75,25 possui apenas quatro algarismos significativos. O 
resultado final da divisão será 59,94.
b) 2750 g / 2,25 cm3 = 1 222, 222 222 g/cm3.
Repare que, nesse exemplo, o divisor possui três algarismos significativos; 
por isso, não podemos expressar o resultado como 1222 g /cm3. Quando isto 
acontece, o resultado deve ser escrito em forma de notação científica, assim: 
1,22 ∙ 103 g/cm3.
Ao calcular a raiz quadrada de um número de n algarismos significativos, o 
resultado terá n ou n + 1 algarismos significativos.
Exemplos:
c) 25,25 = 5,024937811.√
Aplicando a regra: 25,25 = 5,025.√
d) 10000 = 100,000.√
4) Em cálculos longos que envolvem operações mistas, devem ser utilizados 
quantos dígitos forem possíveis em todo o conjunto de cálculos e, no final, arre-
dondar o resultado de forma adequada. Isso pode ser feito com uma calculadora 
científica ou gráfica.
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 25
SER_ECPME_FIGEEXP_UNID1.indd 25 08/05/20 11:21
Sistema Internacional de Unidades (SI)
 Por milênios, diferentes povos, culturas e países adotaram sistemas de unidades 
próprios. O sistema inglês de medidas, por exemplo, é comum dentro da engenha-
ria até os dias atuais. Mas como você pode deduzir, um sistema internacional único 
promove o avanço tecnológico e benefi cia as transações comerciais entre países. 
O embrião daquilo que conhecemos como sistema métrico foi proposto por Ga-
briel Mouton, um vicário de Lyon e renomado matemático e astrônomo. Ele propôs, 
como referência de comprimento, a medida linear de um arco de um minuto ao 
longo de um meridiano terrestre. Essa medida seria dividida de forma decimal.
EXPLICANDO
Um arco é um trecho entre dois pontos de uma curva. No caso de uma 
circunferência, um arco tem uma medida linear e uma medida angular. A 
medida angular pode ser em graus, sendo que cada grau pode ser subdi-
vido em 60 minutos e cada minuto subdivido em 60 segundos. Assim, um 
arco de um minuto mede aproximadamente 0,0167º.
A proposta de Mouton aguardou mais de um século até a criação da Assembleia 
Nacional durante a Revolução Francesa para que fosse discutida em âmbito político. 
Em abril de 1790, Charles-Maurice de Talleyrand trouxe o assunto para o debate e en-
caminhou a discussão técnica para a Academia Francesa de Ciências. Por fi m, o metro 
foi defi nido como um décimo de milionésimo (1/10000000), do Polo Norte ao Equa-
dor, pelo meridiano de Paris. As expedições realizadas entre 1792 e 1799 determina-
ram este comprimento por meio da medição da distância entre as cidades de Dun-
querque, na França, e Barcelona, na Espanha. As unidades de volume e massa foram 
padronizadas a partir dos múltiplos e submúltiplos do metro. O grama foi defi nido 
como a massa de água pura que ocupa um centímetro cúbico e o litro como o volume 
de águaque ocupa um decímetro cúbico. Foram criados dois padrões de platina, um 
para o metro e outro para o quilograma e, assim, em 22 de junho de 1979, foi criado o 
Exemplo: 4,00
1,345
+ 1,234 + (3,78 ∙ 1,2) = 8,7.
O resultado fi nal foi limitado pela última operação, que deve conter um nú-
mero de apenas dois algarismos signifi cativos e uma casa decimal.
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 26
SER_ECPME_FIGEEXP_UNID1.indd 26 08/05/20 11:21
Sistema Métrico Decimal, no qual as unidades de comprimento, massa e peso são 
interligadas e derivam de um padrão universal e invariável. A Convenção do Metro 
foi assinada em 20 de maio de 1875 por 17 países (incluindo o Brasil) e estabeleceu:
• A criação do Bureau Internacional de Pesos e Medidas (BIPM);
• O Comitê Internacional de Pesos e Medidas (CIPM), que supervisiona as ativi-
dades do BIPM;
• A Conferência Geral de Pesos e Medidas (CGPM), que atual-
mente ocorre a cada quatro anos e reúne delegados de todos os 
estados membros da Convenção do Metro.
Após a Convenção do Metro, foram construídos novos protótipos internacionais 
para o metro e o quilograma, e o segundo foi adotado como unidade de tempo. A 
partir de então, o sistema métrico foi revisado periodicamente, adotando e defi nindo 
novas grandezas e unidades. O Sistema Internacional de Unidades, tal como conhece-
mos hoje, foi ofi cializado na 14ª CGPM, em 1975.
Unidades de base do SI
Um sistema de unidades precisa ser associado a um sistema de grandezas. As 
grandezas de base do SI são: comprimento, massa, tempo, corrente elétrica, tem-
peratura termodinâmica, quantidade de substância e intensidade luminosa. 
As unidades de base do SI são defi nidas sob aprovação da CGPM e revisadas 
de modo a acompanharem o desenvolvimento da ciência. Atualmente, todas as 
defi nições são baseadas em constantes físicas imutáveis, como a velocidade da 
luz, período de emissão atômica e a constante de Planck. Vamos dedicar algum 
tempo para conhecer e compreender as defi nições das unidades de comprimento, 
massa e tempo, pois essas são as grandezas fundamentais da mecânica e comuns 
a todas as áreas da física.
O segundo
A defi nição do segundo é complexa e envolve noções e termos de física atômica 
e quântica:
O segundo, símbolo “s”, é a unidade de tempo do SI. É defi nido ao fi xar-
-se o valor numérico da frequência de transição hiperfi na ∆vCs do átomo 
de césio 133 em seu estado fundamental como sendo 9.192.631.770 
quando expressa na unidade Hz, que é igual a s-1 (SOCIEDADE BRASILEI-
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 27
SER_ECPME_FIGEEXP_UNID1.indd 27 08/05/20 11:21
RA DE METROLOGIA, 2019, p. 9). 
Esta definição se baseia no fato de que os átomos emitem energia de 
maneira periódica, isto é, em intervalos de tempo constantes. Veja que, em 
termos mais simples, você pode compreender a definição de segundo como 
sendo baseada na duração do período de emissão atómica do césio 133: um 
segundo é igual à duração de 9.192.631.770 períodos de emissão atômica do 
átomo de césio 133.
O metro
A unidade de comprimento, o metro, já foi definida com base em uma barra 
de platina-irídio. Posteriormente, sua definição se baseou no comprimento de 
onda de uma radiação de criptônio 86. Em 1983, a 17º CGPM estabeleceu que 
o metro se define como o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo 
durante um intervalo de tempo de 1/299.792.458 de segundo (SOCIEDADE BRA-
SILEIRA DE METROLOGIA, 2019, p. 10).
Repare que, como consequência da definição do metro, a velocidade da luz 
no vácuo ficou determinada como c0 = 299792458 m/s.
O quilograma
O primeiro protótipo do quilograma é um artefato de platina-irídio que 
foi sancionado na 1º CGPM em 1889. Na 3ºCGPM foi estabelecida que o 
quilograma é a unidade de massa; ele é igual à massa do protótipo interna-
cional do quilograma (SOCIEDADE BRASILEIRA DE METROLOGIA, 2019, p. 4).
Apesar de todos os cuidados para preservar o protótipo do quilograma, 
ele sofre o acúmulo de impurezas em sua superfície. Por isso, antes de ser 
usado para calibrar outros padrões internacionais, precisa ser lavado con-
forme uma metodologia específica. 
Em novembro de 2018, graças aos avanços da tecnologia, foi finalmente ofi-
cializada a redefinição do quilograma com base em uma constante física:
O quilograma, de símbolo kg, é a unidade de massa do SI. Ele é 
definido ao fixar-se o valor numérico da constante de Planck h 
como sendo 6,626070 15 ∙ 10−34 quando expressa na unidade J 
s, que é igual a kg m2 s-1, onde o metro e o segundo são definidos 
em termos de ce∆vCs (SOCIEDADE BRASILEIRA DE METROLOGIA, 
2019, p. 7).
Para cada grandeza de base é atribuída uma unidade de base, como 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 28
SER_ECPME_FIGEEXP_UNID1.indd 28 08/05/20 11:21
ASSISTA
O vídeo Comunidade científi ca põe fi m ao padrão físico do quilograma, da 
agência EFE, aborda o fi m do uso do cilindro de platina-irídio como padrão 
de unidade de massa, bem como a redefi nição do quilograma com base na 
constante de Planck e o impacto positivo desta mudança para o avanço da 
ciência e tecnologia.
você pode ver no Quadro 1.
GRANDEZA DE BASE UNIDADE DE BASE DO SI
Nome Símbolo Nome Símbolo
Comprimento l, x, r, etc. Metro m
Massa m Quilograma kg
Tempo t Segundo s
Corrente elétrica I, i Ampere A
Temperatura
termodinâmica T Kelvin K
Quantidade de
substância n Mol mol
Intensidade luminosa Iv Candela cd
ComprimentoComprimentoComprimentoComprimentoComprimento
MassaMassa
TempoTempo
Corrente elétrica
l, x, r, etc.
Corrente elétrica
l, x, r, etc.
Corrente elétrica
Temperatura
termodinâmica
l, x, r, etc.
Corrente elétrica
Temperatura
termodinâmica
m
Corrente elétrica
Temperatura
termodinâmica
Quantidade de
Temperatura
termodinâmica
Quantidade de
substância
termodinâmica
Quantidade de
substância
Intensidade luminosa
Quantidade de
substância
Intensidade luminosa
Quantidade de
substância
Intensidade luminosa
Metro
I, i
Intensidade luminosa
Metro
Quilograma
Intensidade luminosa
Quilograma
T
Intensidade luminosa
QuilogramaQuilograma
SegundoSegundoSegundo
Ampere
m
Ampere
Iv
Ampere
Kelvin
kg
Kelvin
Mol
s
Mol
Candela
A
CandelaCandela
molmol
cd
QUADRO 1. UNIDADES DE BASE DO SI
Fonte: INMETRO, 2012a, p. 28. (Adaptado). 
Unidades derivadas do SI
Assim como acontece com as grandezas, as unidades derivadas também 
são formadas pelos produtos das unidades de base. O Quadro 2 apresenta 
as principais unidades derivadas dentro do SI. Vamos ver?
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 29
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GRANDEZA DERIVADA UNIDADE DERIVADA DO SI
Nome Símbolo Nome Símbolo
Área A Metro m2
Volume V Quilograma m3
Velocidade v Segundo m/s
Aceleração a Ampere m/s2
Massa específi ca ρ Kelvin kg/m3
Campo magnético H Mol A/m
Concentração
de substância C Candela mol/m
3
ÁreaÁrea
VolumeVolume
Velocidade
Volume
Velocidade
Aceleração
Velocidade
Aceleração
Massa específi ca
Aceleração
Massa específi ca
Campo magnético
Aceleração
Massa específi ca
Campo magnético
Massa específi ca
Campo magnético
Concentração
de substância
Massa específi ca
Campo magnético
Concentração
de substância
V
Campo magnético
Concentração
de substância
v
Campo magnético
Concentração
de substânciade substância
a
ρ
Metro
H
Metro
QuilogramaQuilograma
Segundo
C
Quilograma
Segundo
Quilograma
Segundo
AmpereAmpereAmpere
KelvinKelvin
Mol
m2
Mol
Candela
m
Candela
m/s
Candela
m/s
m/s
kg/mkg/m3
A/mA/m
mol/mmol/mmol/m3
Fonte: INMETRO, 2012a, p. 29. (Adaptado). 
Fonte: INMETRO, 2012a, p. 30. (Adaptado). 
O Quadro 3 apresenta algumas unidades que possuem nomes e símbolos 
especiais que simplifi cam a expressão de grandezas mais complexas como 
força e energia.
QUADRO 2. UNIDADES DERIVADAS DO SI
QUADRO 3. EXEMPLOS DE UNIDADES SI DERIVADAS QUE POSSUEM NOMES
E SÍMBOLOS ESPECIAIS
GRANDEZA
DERIVADA
UNIDADE SI DERIVADA
Nome Símbolo
Expressão utilizando 
outras unidadesdo SI
Expressão em 
unidades de 
base do SI
Ângulo plano Radiano rad 1 m/m
Força Newton N m kg s-2
Pressão Pascal Pa N/m2 m-1 kg s-2
Energia, trabalho, 
quantidade
de calor
Joule J N m m2 kg s-2
Potência Watt W J/s m2 kg s-3
Diferença de
potencial elétrico Volt V W/A m
2 kg s-3 A-1
Ângulo planoÂngulo planoÂngulo planoÂngulo plano
ForçaForça
Pressão
Energia, trabalho, 
Pressão
Energia, trabalho, 
Radiano
Pressão
Energia, trabalho, 
quantidade
Radiano
Energia, trabalho, 
quantidade
de calor
Radiano
Newton
Energia, trabalho, 
quantidade
de calor
Potência
Newton
Energia, trabalho, 
quantidade
de calor
Potência
Diferença de
Pascal
Potência
Diferença de
potencial elétrico 
rad
Pascal
Diferença de
potencial elétrico 
rad
Joule
Diferença de
potencial elétrico 
N
Joule
Diferença de
potencial elétrico 
Watt
potencial elétrico 
Pa
Watt
1
J
Volt
W
N/mN/m2
V
m/m
N m
m/m
m kg s
J/s
m kg s-2
m kg s
W/A
kg s-2
W/A
2 kg skg s-2
m2 kg s
kg skg s-3 A-1
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 30
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CURIOSIDADE
A unidade de força recebe o nome de newton em homenagem ao físico 
Sir Isaac Newton, que foi pioneiro no estudo da mecânica. Já a unidade 
de energia recebe o nome de joule em homenagem ao físico inglês Ja-
mes Joule, que demonstrou que a energia em forma de calor poderia ser 
transformada em trabalho mecânico, o que permitiu o desenvolvimento de 
máquinas térmicas.
O Quadro 4 mostra alguns exemplos de unidades derivadas que possuem 
nomes formados por outras unidades, como a entropia, cuja unidade recebe 
o nome de joule por Kelvin.
Fonte: INMETRO, 2012a, p. 31. (Adaptado). 
QUADRO 4. UNIDADES SI DERIVADAS CUJOS NOMES E SÍMBOLOS INCLUEM UNIDADES 
DERIVADAS COM NOMES E SÍMBOLOS ESPECIAIS
GRANDEZA
DERIVADA
UNIDADE DE BASE DO SI
Nome Símbolo
Expressão em 
unidades de 
base do SI
Viscosidade dinâmica Pascal segundo Pa s m-1 kg s-1
Momento de uma força Newton metro N m m2 kg s-2
Tensão superfi cial Newton por metro N/m kg s-2
Capacidade térmica, entropia Joule por Kelvin J/K m2 kg s-2 K-1
Campo elétrico Volt por metro V/m m kg s-3 A-1
Viscosidade dinâmicaViscosidade dinâmicaViscosidade dinâmica
Momento de uma força
Viscosidade dinâmica
Momento de uma força
Viscosidade dinâmica
Momento de uma força
Tensão superfi cial
Viscosidade dinâmica
Momento de uma força
Tensão superfi cial
Capacidade térmica, entropia
Viscosidade dinâmica
Momento de uma força
Tensão superfi cial
Capacidade térmica, entropia
Momento de uma força
Tensão superfi cial
Capacidade térmica, entropia
Momento de uma força
Tensão superfi cial
Capacidade térmica, entropia
Tensão superfi cial
Capacidade térmica, entropia
Campo elétrico
Pascal segundo
Capacidade térmica, entropia
Campo elétrico
Pascal segundo
Capacidade térmica, entropia
Campo elétrico
Pascal segundo
Newton metro
Capacidade térmica, entropia
Campo elétrico
Pascal segundo
Newton metro
Newton por metro
Capacidade térmica, entropia
Campo elétrico
Pascal segundo
Newton metro
Newton por metro
Newton metro
Newton por metro
Newton metro
Newton por metro
Joule por Kelvin
Newton por metro
Joule por Kelvin
Pa s
Newton por metro
Joule por Kelvin
Volt por metro
Pa s
Joule por Kelvin
Volt por metro
N m
Joule por Kelvin
Volt por metroVolt por metro
N/m
Volt por metro
m-1 kg s kg s
J/K
kg s
V/m
kg s-2
V/m
kg s
m2 kg s K
m kg sm kg s A-1
Múltiplos e submúltiplos decimais do SI
Para facilitar a expressão de números muito pequenos ou muito gran-
des, bem como para aumentar a precisão das medidas, foram criados 
múltiplos e submúltiplos para cada unidade do SI. Cada múltiplo e cada 
submúltiplo das unidades corresponde a uma potência de 10 chamada de 
fator, representado por um prefixo. Por exemplo, o prefixo quilo, simbo-
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lizado pela letra k, corresponde ao fator 10³. Assim, um quilômetro é um 
metro multiplicado por 10³. O Quadro 5 mostra os múltiplos e submúlti-
plos das unidades do SI:
MÚLTIPLOS SUBMÚLTIPLOS
Fator Nome do prefi xo Símbolo Fator Nome do prefi xo Símbolo
101 deca da 10-1 deci d
102 hecto h 10-2 centi c
103 kilo k 10-3 mili m
106 mega M 10-6 micro µ
109 giga G 10-9 nano n
1012 tera T 10-12 pico p
1015 peta P 10-15 femto f
1018 exa E 10-18 atto a
1021 zetta Z 10-21 zepto z
1024 yotta Y 10-24 yocto y
101
10
10103
10
deca
10
hecto
10
hecto
kilo
1012
kilo
1015
mega
10
da
mega
gigagiga
tera
1021
tera
10
k
peta
10
M
peta
exa
10
exa
zetta
-2
G
zetta
10-3
T
yotta
10
P
yotta
deci
10
deci
centi
10-9
E
centi
10-12
Z
mili
10
micro
10
d
micro
nano
-18
nano
10-21
c
pico
10
m
femto
-24
femto
atto
µ
atto
n
zepto
p
zepto
yoctoyocto
a
y
Fonte: INMETRO, 2012a, p. 34. (Adaptado). 
QUADRO 5. MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS DAS UNIDADES DO SI
Unidades fora do SI e conversão de unidades
Como você pode notar, uma das unidades mais comuns para volume 
é o litro, empregado no comércio e até mesmo no meio científico, como, 
por exemplo, para designar a concentração de uma solução em 
gramas por litro, g/l. Por essa razão, embora o SI seja 
um sistema universal, o CIPM reconhece que algumas 
unidades continuarão a ser usadas por muito tempo e 
aceita que algumas fora do SI sejam utilizadas em con-
junto com aquelas do SI.
Observe que, com exceção das unidades de tempo e ângulo, todas as 
outras unidades são múltiplos ou submúltiplos decimais das unidades SI 
correspondentes e, por isso, os prefixos do SI podem ser usados.
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 32
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Grandeza Nome da unidade Símbolo daunidade Valor em unidades do SI
Tempo
Minuto min 1 min = 60 s
Hora h 1 h = 60 min = 3600 s
Dia d 1 d = 24 h = 86400 s
Ângulo plano
Grau º 1º = (π/180) rad
Minuto ′ 1′= (1/60)º = (π/10 800) rad
Segundo ″ 1″= (1/60)’ = (π/648 000) rad
Área Hectare ha 1 ha = 1 hm2 = 104 m2
Volume Litro l, L 1 l = 1 L = 1 dm3 = 103 cm3 = 10−3 m3
Massa Tonelada t 1 t = 103 kg
TempoTempoTempo
Ângulo plano
Minuto
Ângulo plano
Minuto
Ângulo plano
Minuto
Hora
Ângulo plano
Hora
Ângulo plano
Área
Dia
Área
Volume
Grau
Volume
Grau
Minuto
Volume
Massa
min
Minuto
Segundo
Massa
h
Segundo
Hectare
Segundo
HectareHectare
Litro
º
Litro
ToneladaToneladaTonelada
1 min = 60 s
1 h = 60 min = 3600 s
1 min = 60 s
1 h = 60 min = 3600 s
ha
1 min = 60 s
1 h = 60 min = 3600 s
1 d = 24 h = 86400 s
l, L
1 min = 60 s
1 h = 60 min = 3600 s
1 d = 24 h = 86400 s
1′= (1/60)º = (π/10 800) rad
l, L
1 h = 60 min = 3600 s
1 d = 24 h = 86400 s
1º = (π/180) rad
1′= (1/60)º = (π/10 800) rad
t
1 h = 60 min = 3600 s
1 d = 24 h = 86400 s
1º = (π/180) rad
1′= (1/60)º = (π/10 800) rad
1″= (1/60)’ = (π/648 000) rad
1 h = 60 min = 3600 s
1 d = 24 h = 86400 s
1º = (π/180) rad
1′= (1/60)º = (π/10 800) rad
1″= (1/60)’ = (π/648 000) rad
1 l = 1 L = 1 dm
1 d = 24 h = 86400 s
1º = (π/180) rad
1′= (1/60)º = (π/10 800) rad
1″= (1/60)’ = (π/648 000) rad
1 ha = 1 hm
1 l = 1 L = 1 dm
1′= (1/60)º = (π/10 800) rad
1″= (1/60)’ = (π/648 000) rad
1 ha = 1 hm
1 l = 1 L = 1 dm
1′= (1/60)º = (π/10 800) rad
1″= (1/60)’ = (π/648 000) rad
1 ha = 1 hm
1 l = 1 L = 1 dm
1′= (1/60)º = (π/10 800) rad
1″= (1/60)’ = (π/648 000) rad
1 ha = 1 hm2 = 10
1 l = 1 L = 1 dm
1″= (1/60)’ = (π/648 000) rad
 = 10
 = 10
1 t = 10
1″= (1/60)’ = (π/648 000) rad
 m
 cm
1 t = 10
 cm3 = 10
1 t = 103 kg
 = 10
 kg
 m
Nome da unidade Símbolo da unidade Valor em unidades do SI
Bar bar 1 bar = 100.000 Pa
Milímetro de mercúrio mmHg 1 mmHg = 133,322 Pa
Psi Psi 1 Psi = 6.894,757 Pa
Atmosfera atm 1 atm = 101.325 Pa
Milímetro de mercúrioMilímetro de mercúrio
Bar
Milímetro de mercúrioMilímetro de mercúrioMilímetro de mercúrioMilímetro de mercúrio
Psi
Atmosfera
Milímetro de mercúrio
AtmosferaAtmosfera
bar
mmHgmmHgPsi
atmatm
1 bar = 100.000 Pa1 bar = 100.000 Pa
1 mmHg = 133,322 Pa
1 bar = 100.000 Pa
1 mmHg = 133,322 Pa
1 bar = 100.000 Pa
1 mmHg = 133,322 Pa
1 Psi = 6.894,757 Pa
1 bar = 100.000 Pa
1 mmHg = 133,322 Pa
1 Psi = 6.894,757 Pa
1 atm = 101.325 Pa
1 bar = 100.000 Pa
1 mmHg = 133,322 Pa
1 Psi = 6.894,757 Pa
1 atm = 101.325 Pa
1 mmHg = 133,322 Pa
1 Psi = 6.894,757 Pa
1 atm = 101.325 Pa
1 mmHg = 133,322 Pa
1 Psi = 6.894,757 Pa
1 atm = 101.325 Pa
1 Psi = 6.894,757 Pa
1 atm = 101.325 Pa1 atm = 101.325 Pa
Fonte: BIPM, 2019, p. 145. (Adaptado). 
Fonte: YOUNG; MUNSON; OKIISHI, 2004, p. 38. (Adaptado). 
QUADRO 6. ALGUMAS UNIDADES FORA DO SI CUJO USO COM UNIDADES SI É ACEITO
QUADRO 7. UNIDADES DE PRESSÃO FORA DO SI E SEUS VALORES EM UNIDADES DO SI
Em alguns meios técnicos e científi cos, o uso de algumas unidades históricas é 
considerado mais vantajoso para expressar certas grandezas. Um exemplo clássico 
é a pressão; embora sua unidade no SI seja o pascal (Pa), é muito comum encontrar 
equipamentos como bombas e instrumentos de medição com especifi cação em 
bar, mmHg (milímetros de mercúrio), Psi e atm. Aliás, o primeiro barômetro, instru-
mento para medir a pressão atmosférica, foi criado pelo físico italiano Torricelli e era 
composto por um tubo de vidro contendo mercúrio mergulhado em um recipiente 
também preenchido com mercúrio. O nível de mercúrio no tubo varia proporcional-
mente à mudança de magnitude da pressão atmosférica, daí o nome da unidade 
milímetros de mercúrio. O Quadro 7 mostra algumas unidades de pressão não per-
tencentes ao SI e seu valor em Pascal.
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 33
SER_ECPME_FIGEEXP_UNID1.indd 33 08/05/20 11:24
Antes da criação do SI, o CGS (centímetro, grama, segundo) era um sistema 
métrico amplamente utilizado, e algumas de suas unidades derivadas são em-
pregadas até os dias de hoje. O Quadro 8 apresenta algumas unidades CGS e 
seus respectivos valores em unidades SI.
Grandeza Nome daunidade
Símbolo da
unidade Valor em unidades do SI
Energia erg erg 1 erg = 10-7 J
Força dina dyn dyn = 10-5 N
Viscosidade dinâmica poise P 1 P = 1 dyn s cm-2 = 0,1 Pa s
Viscosidade cinemática stokes St 1 St = 1 cm2 s-1 = 10-4 m2 s-1
EnergiaEnergia
Viscosidade dinâmica
Energia
Força
Viscosidade dinâmica
Viscosidade cinemática
Força
Viscosidade dinâmica
Viscosidade cinemática
Viscosidade dinâmica
Viscosidade cinemática
Viscosidade dinâmica
Viscosidade cinemática
Viscosidade dinâmica
Viscosidade cinemática
erg
Viscosidade cinemática
erg
dina
Viscosidade cinemática
dina
poisepoise
stokes
erg
stokes
erg
dyn
P
St
1 erg = 101 erg = 10
dyn = 10
1 P = 1 dyn s cm
1 erg = 10
dyn = 10
1 P = 1 dyn s cm
1 St = 1 cm
 J
dyn = 10
1 P = 1 dyn s cm
1 St = 1 cm
 N
1 P = 1 dyn s cm
1 St = 1 cm
1 P = 1 dyn s cm-2 = 0,1 Pa s
1 St = 1 cm2
 = 0,1 Pa s
 = 10
 = 0,1 Pa s
 = 10
 = 0,1 Pa s
m s-1
Fonte: INMETRO, 2012a, p. 41. (Adaptado). 
QUADRO 8. UNIDADES DO CGS E SEUS VALORES EM UNIDADES DO SI
Sempre que necessário, você poderá converter unidades utilizando um fator de 
conversão, isto é, uma razão entre unidades.
Exemplo: calcule o volume em decímetros cúbicos de uma caixa d’água de 1000 l.
Consultando o Quadro 6, vemos que 1 l = 1 dm3. A partir desta igualdade, vamos 
escrever uma razão que será nosso fator de conversão:
= = 1
1 l
1 dm3
1 dm3
 1 l
Qualquer grandeza permanece inalterada se multiplicada por um fator que seja 
igual à unidade. Vamos então multiplicar os 1000 l por um fator que cancele a unida-
de l, deixando apenas a unidade dm3:
= 1000 dm3(1000 l) 1 dm
3
 1 l
Exemplo: a polegada (in) e o pé (ft) são unidades inglesas de comprimento utili-
zadas até os dias atuais. Dado que 1 in = 2,54 cm e 1 ft = 12 in, calcule o valor de 1 ft 
em metros.
(1) 1 in = 2,54 cm
(2) 1 ft = 12 in
De (1) em (2):
1 ft = 12 (2,54 cm) = 30,48 cm
1 ft = 0,3048 m
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 34
SER_ECPME_FIGEEXP_UNID1.indd 34 08/05/20 11:25
Exemplo: qual é o valor de um Psi em milímetro de mercúrio?
Consultando o Quadro 7, verifi camos que:
(1) 1 Psi = 6894,757 Pa
(2) 1 mm Hg = 133,322 Pa
(3) 1 mm Hg
= 1133,322 Pa
Usando o fator de conversão encontrado em (3) na expressão (1):
(4) 1 Psi = 6894,757 Pa 1 mm Hg
133,322 Pa
1 Psi = 51,715 mmHg
Análise dimensional
Cada grandeza possui um aspecto qualitativo relacionado à sua natureza. 
Este aspecto é denominado dimensão. Dentro do SI, considera-se que cada 
grandeza de base possui sua própria dimensão que é representada por um sím-
bolo. O Quadro 9 mostra as grandezas de base e os símbolos de suas dimensões.
Grandeza de base Símbolo da grandeza Símbolo da dimensão
Comprimento l, x, r, etc. L
Massa m M
Tempo t T
Corrente elétrica I, i I
Temperatura termodinâmica T Θ
Quantidade de substância n N
Intensidade luminosa Iv J
ComprimentoComprimentoComprimentoComprimento
Massa
Comprimento
Massa
Tempo
Corrente elétrica
Temperatura termodinâmica
Tempo
Corrente elétrica
Temperatura termodinâmica
Corrente elétrica
Temperatura termodinâmica
Quantidade de substância
Corrente elétrica
Temperatura termodinâmica
Quantidade de substância
Corrente elétrica
Temperatura termodinâmica
Quantidade de substância
Intensidade luminosa
Temperatura termodinâmica
Quantidade de substância
Intensidade luminosa
l, x, r, etc.
Temperatura termodinâmica
Quantidade de substância
Intensidade luminosa
l, x, r, etc.
Temperatura termodinâmica
Quantidade de substância
Intensidade luminosa
l, x, r, etc.
Temperatura termodinâmica
Quantidade de substância
Intensidade luminosa
m
Quantidade de substância
Intensidade luminosa
t
I, iI, i
T
Iv
L
M
I
N
J
Fonte: INMETRO, 2012a, p. 17. (Adaptado). 
QUADRO 9. GRANDEZAS DE BASE E SUAS DIMENSÕES NO SI
A exemplo das unidades, as dimensões de grandezas derivadas também 
são obtidas por meio de equações que descrevem os fenômenos que dese-
jamos estudar; são produtos de potências das dimensões das grandezas de 
base. A dimensão de uma grandeza genérica Q pode ser escrita como:
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 35
SER_ECPME_FIGEEXP_UNID1.indd 35 08/05/20 11:25
dim(Q) = LαMβTγIδθϵNξJη
Exemplo: vamos calcular a dimensão da energia potencial Epot de um corpo, 
dada pela equação Epot = m ∙ g ∙ x, sendo m a massa do corpo, g a aceleração da 
gravidade e x a altura corpo em relação ao nível do solo.
(1) dim(Epot) = dim(m) ∙ dim(g) ∙ dim (x)
(2) dim(m) = M
(3) dim(g) = L
T2
(4) dim(x) = L
Substituindo (2), (3) e (4) em (1), temos:
dim(Epot) = M ∙ L2 ∙ T-2
As equações que descrevem os fenômenos da física devem ser dimensio-
nalmente homogêneas, isto é, ambos os lados da equação devem possuir a 
mesma dimensão. Lembre-se que, embora possamos multiplicar e dividir gran-
dezas de diferentes dimensões, as operações de adição e subtração só podem 
ser realizadas entre grandezas de mesma dimensão.
Exemplo: tomemos a equação v = v0 + at, que descreve a velocidade v de 
um corpo submetido a uma aceleração constante a em um instante t. O segun-
do membro da equação apresenta uma soma entre a velocidade inicial v0 e o 
produto da aceleração a pelo tempo t. Vamos verificar se esta soma pode ser 
realizada analisando as dimensões de cada termo da equação:
(1) dim(v) = dim(v0) + dim(a) dim(t)
(2) dim(v) = dim(v0) = L
T
 
(3) dim(a) = L
T2
dim(v)
dim(t)
= 
Substituindo (2) e (3) em (1):
(4) L
T
L
T
=∙ + ∙ T
L
T2
(5) L
T
L
T
=∙ +
L
T
O símbolo =∙ significa que a dimensão de um lado da equação é igual à di-
mensão do outro lado. Observe que estamos tratando de dimensões, que são 
aspectos qualitativos de uma grandeza, e que, após o desenvolvimento, verifi-
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 36
SER_ECPME_FIGEEXP_UNID1.indd 36 08/05/20 11:25
ca-se que os dois termos da equação possuem a mesma dimensão, portanto, 
podem ser somados. Os dois membros da equação também possuem a mes-
ma dimensão, logo a equação v = v0 +at é dimensionalmente homogênea.
Este tipo de análise que realizamos nos dois exemplos anteriores se 
chama análise dimensional e possui muitas aplicações práticas na física 
e na engenharia, como encontrar equações que descrevam fenômenos re-
gidos por muitas variáveis e verificar se uma equação deduzida por meio 
de métodos matemáticos é homogênea.
Exemplo: dada a equação p V = n R T, sendo R uma constante, encontre a 
dimensão de R e sua unidade no SI.
Estabelecendo a hipótese de que a equação dada descreve um fenômeno 
físico, ela tem que ser dimensionalmente homogênea, logo:
 dim(p) dim(V)
dim(n) dim(T)
(1) dim(R) =
M L T-2
L2
(2) dim(p) = = M L-1 T-2
(3) dim(V) = L3
(4) dim(n) = N
 (5) dim(T) = θ
Substituindo as Equações (2), (3), (4) e (5) na Equação (1), você chegará à 
Equação (6):
M L-1 T-2 L3
N θ
(6) dim(R) =
Portanto, dim(R) = M L2 T-2 N-1 θ-1.
Agora, para encontrarmos a unidade de R, basta substituirmos os símbolos 
das dimensões por suas respectivas unidades no SI.
kg m2 s-2
mol K
(7) Un(R) = , onde kg m s-2 =N
Logo:
N m
mol K
m2
m2
N
m2
(8) Un(R) = ∙ , onde = Pa
E: Pa m
3
mol K
(9) Un(R) =
Portanto, a unidade de R no SI é Pa m3 mol-1 K-1.
(7) Un(R) =
(8) Un(R) =
(9) Un(R) =
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 37
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Algumas grandezas são adimensionais, isto é, possuem apenas valor numé-
rico. A unidade no SI para todas as grandezas adimensionais é o número um.
Exemplo: a constante de atrito μ relaciona a força de atrito Fatrito e a 
força FN exercida pela superfície onde o corpo está em repouso por meio da 
equação: Fatrito = μ FN.
M L T-2
M L T-2
dim(μ) =
dim(Fatrito )
dim(FN)
= = 1
Como você pode notar, μ é a razão entre duas forças. Como grandezas 
de mesma natureza possuem a mesma dimensão, μ é uma grandeza adi-
mensional.
Exemplo: o número de Reynolds é uma grandeza importante no estudo de 
escoamento de fluidos e é dado pela Equação (1), sendo ρ a massa especifica; 
η a viscosidade dinâmica; v a velocidade; e l o comprimento do tubo por onde 
o fluido escoa. 
ρ v l
η
(1) Re =
Demonstre que Re é um número adimensional.
dim(ρ) dim(v) dim(l)
dim(η)
(2) dim(Re)=
(3) dim(ρ) = M
L3 
 
(4) dim(v) = L
T 
(5) dim(l) = L
 
(6) dim(η) = M
TL
Substituindo as igualdades (3), (4), (5) e (6) na igualdade (2), obtemos:
(7) dim(Re) = = 1
M T-1 L-1
M L-3 L T-1 L
(1) Re =
(5) dim(l) = L
(3) dim(ρ) =
(6) dim(η) =
(7) dim(Re) = 
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Sintetizando
Comparar quantidades é uma habilidade inata do ser humano. Esta habilida-
de permitiu o desenvolvimento da ciência e tecnologia. Dentro da engenharia e 
das ciências físicas chamamos as quantidades de interesse de grandezas. Uma 
grandeza é uma propriedade de um corpo, fenômeno ou substância que pode ser 
expressa quantitativamente e com relação a uma referência. A medição pode ser 
definida como um processo experimental dos valores de uma grandeza. Para isso, 
podemos utilizar instrumentos de medição, como balanças, réguas entre outros. A 
qualidade de uma medição é avaliada pela exatidão, proximidade do valor medido 
ao valor real, e pela precisão, proximidade dos valores obtidos entre si. 
Os métodos de medição são classificados em diretos, que envolvem uma gran-
deza cujo valor é diretamente obtido pela leitura do instrumento de medição; e 
indiretos, que medem os valores de mais de uma grandeza; e, a partir de cálculos, 
tem-se o valor da grandeza de interesse. A exatidão e a precisão de uma medição 
são influenciadas por instrumentos de medição, rastreabilidade metrológica, fato-
res humanos, condições ambientais e amostras. 
Algarismos significativos expressam o grau de certeza de uma medição; há re-
gras para cálculos e normas para arredondamentos com algarismos significativos. 
O Sistema Internacional de Unidades (SI) é fruto de um processo histórico e políti-
co para universalização de grandezas e unidades. Suas grandezas e unidades de 
base são tempo – segundo (s); comprimento – metro (m); massa – quilograma (kg); 
corrente elétrica – ampere (A); temperatura termodinâmica – Kelvin (K); quantida-
de de substância – mol (mol); e intensidade luminosa – candela (cd). As grandezas 
e unidades derivadas são obtidas pelo produto entre as grandezas e 
unidades de base por meio de equações. 
Ainda hoje são utilizadas unidades não pertencentes ao SI e, 
quando necessário, conversões entre as unidades devem ser feitas 
mediante um fator de conversão. A dimensão de uma grandeza é um aspecto 
qualitativo da mesma, e toda equação que descreve um fenômeno físico deve ser 
dimensionalmente homogênea, sendo que a análise dimensional é a ferramenta 
que permite verificar a homogeneidade de uma equação.
Caso tenha ficado em dúvida em algum ponto desta unidade, revise os tópicos 
e faça novas anotações. Bons estudos!
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 39
SER_ECPME_FIGEEXP_UNID1.indd 39 08/05/20 11:25
Referências bibliográficas
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CHISHOLM, L. J.; ZUPKO, R. Measurement System. Disponível em: <https://
www.britannica.com/science/measurement-system/The-English-and-United-S-
tates-Customary-systems-of-weights-and-measures>. Acesso em: 13 abr. 2020. 
COMUNIDADE científica põe fim ao padrão físico do quilograma. Postado 
por EFE Brasil. (1min. 39s.). son. color. port. Disponível em: <https://www.youtu-
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HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física – mecânica. 10. 
ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
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INMETRO. Vocabulário internacional de metrologia - conceitos fundamentais 
e gerais e termos associados. Duque de Caxias: INMETRO, 2012b. Disponível em: 
<http://www.inmetro.gov.br/inovacao/publicacoes/vim_2012.pdf>. Acesso em: 
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MENDES, A.; ROSÁRIO, P. P. N. Metrologia e incerteza de medição: conceitos e 
aplicações. 1. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2019. 
NPL. The metre is the SI unit of length. Disponível em: <https://www.npl.co.uk/
si-units/metre>. Acesso em: 13 abr. 2020
SOCIEDADE BRASILEIRA DE METROLOGIA. O novo Sistema Internacional de 
Unidades (SI). Disponível em: <http://metrologia.org.br/wpsite/wp-content/
uploads/2019/07/Cartilha_O_novo_SI_29.06.2029.pdf>. Acesso em: 13 abr. 2020.
YOUNG, D. F.; MUNSON, B. R.; OKIISHI, T. H. A brief introduction to fluid mechanics. 
3. ed. Nova Jersey: John Wiley & Sons, 2004. 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 40
SER_ECPME_FIGEEXP_UNID1.indd 40 08/05/20 11:25
METROLOGIA 
E MOVIMENTO 
RETILÍNEO
2
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Compreender a definição de Metrologia;
 Aplicar tratamento estatístico a resultados experimentais de medição;
 Calcular o erro estimado de medições diretas e indiretas;
 Compreender os conceitos de movimento retilíneo, velocidade e aceleração;
 Compreender os movimentos uniforme e uniformemente acelerado;
 Compreender o conceito de queda livre;
 Calcular posição, velocidade, aceleração e tempo de duração de um 
movimento;
 Interpretar os gráficos das funções de posição, velocidade e aceleração.
 Metrologia
 Áreas da Metrologia
 Estatística aplicada à Metrologia
 Erro
 Desvios
 Intervalo de confiança
 Determinação do erro de escala
 Propagação de erros
 Movimento retilíneo
 Sistema de referências, posi-
ção e deslocamento
 Velocidade média
 Velocidade instantânea
 AceleraçãoRelação entre os gráficos de 
x(t), vx(t) e ax(t)
 Movimento uniforme e movi-
mento uniformemente acelerado
 Queda livre
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 42
SER_ECPME_FIGEEXP_UNID2.indd 42 08/05/20 11:18
Metrologia
A fabricação de diversos bens, como automóveis, aviões, máquinas indus-
triais, e até mesmo edifícios é feita a partir de peças e matérias-primas de di-
ferentes fornecedores. Contudo, é preciso assegurar que as peças se encai-
xem umas nas outras, resultando em um produto confi ável e de qualidade. A 
Metrologia visa garantir a universalidade e qualidade das medidas. Para isso, 
os métodos, procedimentos, padrões e instrumentos de medição devem ser 
padronizados ao longo de toda a cadeia produtiva. De acordo com o Vocabu-
lário internacional de Metrologia, “Metrologia é a ciência da medição e suas 
aplicações, e engloba todos os aspectos teóricos e práticos da medição, 
qualquer que seja a incerteza de medição” (INMETRO, 2012).
Embora a Metrologia e a medição estejam intimamente ligadas, é fundamental 
que você perceba a diferença entre elas. A medição é um processo para se obter 
experimentalmente um valor numérico que possa ser atribuído a uma grandeza. 
Já a Metrologia é a ciência que fundamenta a medição e suas aplicações. Segundo 
o National Physical Laboratory (s.d.), a Metrologia está além da atividade de rea-
lizar uma medição, ela trata da infraestrutura que assegura a confi abilidade dos 
resultados. A Metrologia abrange a exatidão, a precisão e a repetibi-
lidade de uma medição, bem como a rastreabilidade ou compara-
ção com um padrão ou entre diferentes sistemas de medidas.
Áreas da Metrologia
A Metrologia pode ser dividida em três principais áreas de atuação: Metro-
logia Legal, Metrologia Científi ca e Industrial.
A Metrologia Legal trata das exigências legais e obrigatórias referentes às 
medições. Conforme indicação do Inmetro (s.d.), sua principal função é pro-
teger os consumidores, garantindo a segurança e a qualidade de 
produtos e serviços que envolvam medição. A Organização 
Internacional de Metrologia Legal (OIML, [s.d.]) defi ne a 
Metrologia Legal da seguinte forma: “A Metrologia Le-
gal é a aplicação de requisitos legais para medidas e 
instrumentos de medição”.
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 43
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Segundo Bewoor e Kulkarni (2009), a Metrologia Científi ca lida com a orga-
nização, o desenvolvimento e a manutenção de padrões de medida, enquanto 
a Metrologia Industrial tem o objetivo de garantir o funcionamento correto e 
adequado dos instrumentos de medição utilizados na indústria, nos processos 
produtivos, nos testes e no controle de qualidade.
Estatística aplicada à Metrologia
O objetivo das ciências experimentais é determinar o valor de quantidades 
físicas através de medições. Porém, toda medição envolve um certo grau de 
incerteza, por exemplo, a incerteza associada à escala de um instrumento de 
medição. É por causa da incerteza que, ao repetir a medição de uma grandeza 
n vezes, os resultados obtidos não serão necessariamente idênticos. A incer-
teza associada a uma medida experimental é chamada de erro experimental.
Quando medimos uma grandeza, desejamos encontrar seu valor real. 
Contudo, o valor real só poderia ser encontrado se houvesse um procedi-
mento de medição perfeito. O que podemos fazer é esti-
mar o valor mais provável de uma grandeza, manter a 
incerteza em níveis baixos e estimar o nível de confi ança 
do resultado. Por isso, os dados experimentais devem 
receber um tratamento estatístico adequado que 
permita avaliar sua confi abilidade.
De modo genérico, o resultado de uma medida 
deve ser expresso da seguinte forma:
Erro
O erro absoluto E é defi nido como a diferença entre o valor medido xi e o 
valor real x de uma grandeza, e está relacionado com a exatidão de uma medida:
M = (m ± ∆m) u (1)
Onde resultado da medida M é expresso por um número m, por uma unida-
de u e por uma indicação da confi abilidade da medida ∆m.
E = xi - x (2)
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 44
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Desvios
Uma vez que os erros aleatórios não podem ser eliminados, as medidas 
experimentais costumam resultar em uma série de valores não idênticos 
entre si. Por isso, ao invés de buscarmos o valor real da grandeza, traça-
mos uma nova meta: encontrar o valor mais provável da grandeza e qual a 
diferença entre esse valor e cada um dos valores medidos.
O tratamento estatístico abordado nessa unidade considera que os er-
ros aleatórios obedecem à distribuição normal ou gaussiana, cujos postu-
lados são:
EXPLICANDO
Além de referir-se à diferença entre um valor medido e o valor verdadeiro 
de uma grandeza, o termo erro também denota a incerteza estimada asso-
ciada a uma medida ou a um experimento.
Os erros podem ser classifi cados em duas categorias principais:
• Determinados ou sistemáticos: possuem um valor determinado e infl uem 
de forma uniforme no resultado da medida. Podem ser identifi cados e, por-
tanto, eliminados ou computados no resultado. Os erros sistemáticos podem 
estar relacionados ao método experimental, às manipulações de materiais, 
aos instrumentos e sistemas de medição utilizados e, fi nalmente, com a habi-
lidade do operador (BACCAN et al., 2001; PIACENTINI et al., 2013). Exemplos: 
um balão volumétrico dilatado devido ao calor do ambiente; um operador 
que, ao cronometrar a duração de um fenômeno, sempre atrase no tempo 
de resposta; um manômetro descalibrado que sempre indica um valor de 
pressão ligeiramente acima do verdadeiro;
• Indeterminados ou aleatórios: são originários de perturbações estatísti-
cas imprevisíveis e por isso afetam o valor da medida em qualquer sentido, 
para mais ou para menos. Não são regidos por nenhuma regra e por isso não 
podem ser evitados.
Alguns autores mencionam o chamado “erro grosseiro”, que na verdade 
é um engano devido à falta de atenção ou preparo do operador. Ocorre, por 
exemplo, quando um operador se engana na leitura de uma escala.
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 45
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• A probabilidade P de que um erro ocorra por excesso ou por falta 
(para mais ou para menos) em uma medida é mesma:
P(+∆x) = P(-∆x) (3)
• A probabilidade de que o erro cometido em uma medida esteja entre 
-∞ e +∞ é igual a 1;
• O valor mais provável de uma grandeza é a média aritmética x das 
diversas medidas da grandeza, conforme a Equação (4):
x1 + x2 + ... + xn 1
n n
= =x
n
i = 1
x1 (4)
O valor médio x é o valor que melhor representa o valor real de uma 
grandeza. Como não se pode afirmar que o valor médio é o valor real de 
uma grandeza, não podemos dizer que a diferença entre o valor de uma 
medida qualquer xi e o valor médio x é igual ao erro da medida, e nesse 
caso, usamos um conceito estatístico chamado desvio, que é a estimativa 
do erro de uma medida.
O desvio de uma medida (∆xi) é a diferença entre o valor medido xi de 
uma grandeza e o seu valor, mais provável x :
∆xi = xi - x (5)
Devido aos erros aleatórios, ao realizar uma medição experimental, 
você costuma repetir a medição de uma grandeza n vezes, isto é, em répli-
cas. Logo, é importante conhecer a dispersão do conjunto de dados. O des-
vio médio e o desvio-padrão indicam a precisão dos dados experimentais.
O desvio médio (δ) é definido pela média aritmética do valor absoluto 
dos desvios, onde μ é a média da população, conforme Equação (6):
1
n
n
i = 1
|xi - μ| (6)δ =
O desvio-padrão (σ) é definido pela raiz da média dos quadrados dos des-
vios, conforme a Equação (7):
σ = 1
n
n
i = 1
(xi - μ)
2 (7)
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 46
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EXPLICANDO
População é o conjunto total de medidas de interesse e amostra é um 
subconjunto selecionado de medidas. A população pode ser finita e real, 
como um lote de parafusos cujas dimensões desejamos verificar.Em ou-
tros casos, a população tem um caráter conceitual. Por exemplo, se você 
precisa medir a corrente elétrica em um circuito, a população é o conjunto 
de infinitas medições que poderiam ser realizadas.
Na prática, efetuamos um número pequeno de réplicas de uma medição, 
por isso, não conhecemos o valor de μ, de modo que não podemos calcular o 
valor de δ e σ, por isso, o que fazemos é estimar seus valores.
A estimativa do desvio médio d é definida pela Equação (8):
1
n
n
i = 1
|xi - x| (8)d =
A estimativa do desvio-padrão é definida pela Equação (9):
s = 1
n - 1
n
i = 1
(xi - x)
2 (9)
Os desvios também podem ser apresentados na forma de desvios relativos. 
As estimativas do desvio médio relativo e do desvio-padrão são dadas pelas 
seguintes relações, respectivamente: d/x e s/x .
A precisão da média pode ser estimada com base no cálculo do seu desvio. 
O desvio médio da média é dado pela Equação (10):
d x = x / n (10)
O desvio-padrão médio da média é dado pela Equação (11):
sx = s / n (11)
A média de n medidas das Equações (9) e (10) é n vezes mais precisa do que 
uma medida individual pertencente ao conjunto de dados experimentais. Isto 
é, se você medir uma grandeza nove vezes, a média das nove medidas é três 
vezes mais precisa do que uma única medida.
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Exemplo
Durante uma aula de Física Experimental, você fi cou encarregado de cronometrar 
o tempo que uma esfera leva para percorrer uma rampa inclinada. Você realizou este 
procedimento quatro vezes e obteve os seguintes resultados: 3,14 s; 3,15 s; 3,13 s e 
3,14 s. Estime o desvio médio e o desvio-padrão para uma medida e para a média.
Solução
Primeiro, vamos organizar os dados das medidas conforme exposto na Tabela 1. 
A segunda coluna indica os valores de tempo registrados e sua última linha apresen-
ta o valor médio t , que foi calculado conforme a Equação (4). Na terceira coluna es-
tão os valores dos desvios e o somatório deles está na última linha. Na quarta coluna 
estão os valores dos quadrados dos desvios e seu somatório está na última linha.
n ti (s) |ti - t |(s) (ti - t )2 (s2)
1 3,141 0,002 0,000004
2 3,142 0,003 0,000009
3 3,134 0,005 0,000025
4 3,140 0,001 0,000001
t = 3,139 ∑ = 0,011 ∑ = 0,000039
TABELA 1. DADOS DA MEDIÇÃO
O desvio para uma medida é dado pelas Equações (8) e (9).
1
n
n
i = 1
|ti - t | = 0,003 s s = 1
n - 1
n
i = 1 (t - t )2 = 0,004 s
O desvio da média é calculado pelas Equações (10) e (11).
d x s x= =n
d
n
s
= 0,001 s = 0,002 s
Intervalo de confiança
Conforme vimos, para um número pequeno de medidas experimentais, 
conhecemos os valores de x e s, que são estimativas da média da popu-
d
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lação μ e do desvio-padrão σ. Embora não possamos calcular a média da 
população μ, podemos determinar o intervalo de valores em torno de x , 
no qual é provável que μ esteja contido, com uma certa probabilidade. Este 
intervalo pode ser calculado através da Equação (12), onde t é o parâmetro 
t de Student, cujos valores podem ser encontrados na Tabela 2.
IC μ = x ± t
n
s
 (12)
O intervalo IC μ é chamado de intervalo de confiança da média e os limites 
de confiança da média são x - t
n
s x + t
n
s
e , respectivamente. 
A probabilidade correspondente ao valor de t é chamada de nível de con-
fiança da média. Por exemplo, a expressão “IC μ = (10,03 ± 0,11) u com 95% 
de confiança” significa que há uma probabilidade de 95% de que a média da 
população esteja contida no intervalo entre 9,92 u e 10,14 u.
(n-1) 95% de probabilidade 99% de probabilidade
1 12,71 63,66
2 4,30 9,93
3 3,18 5,84
4 2,78 4,60
5 2,57 4,03
6 2,45 3,71
7 2,37 3,50
8 2,31 3,36
9 2,26 3,25
10 2,23 3,17
11 2,20 3,11
12 2,18 3,06
13 2,16 3,01
14 2,15 2,98
15 2,13 2,95
TABELA 2. VALORES DO PARÂMETRO T DE STUDENT EM FUNÇÃO DO 
NÚMERO DE DETERMINAÇÕES, PARA 95% E 99% DE PROBABILIDADE
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(n-1) 95% de probabilidade 99% de probabilidade
16 2,12 2,92
17 2,11 2,90
18 2,10 2,88
19 2,09 2,86
∞ 1,96 2,58
Fonte: BACCAN et al. (2001, p. 17). (Adaptado).
Exemplo
Para efetuar o teste de tensão de ruptura de um material, você preci-
sa determinar a espessura da amostra. Após realizar três medições, você 
estima um valor médio de espessura igual a 2,01 mm e um desvio-padrão 
igual a 0,12 mm. Como você expressaria o resultado dessa medição com 
99% de confiança?
Solução
s = 0,12 mm 
Como foram feitas três medições: n = 3
O resultado da medição com 99% de confi ança está dentro do intervalo 
IC μ = x ± t (s/ n ) de valores. Para n - 1 = 2 e 99% de confi ança, t = 9,93 (veja 
Tabela 2). Logo:
IC μ = 2,01 mm ± 9,93(0,12 3 ) mm
Portanto, a espessura = (2,01 ± 0,69) mm com 99% de confi ança.
Determinação do erro de escala
Uma vez que o erro de escala é inerente ao instrumento de medição, 
ele está presente em qualquer medida e é um erro determinado. Por isso, 
cada medida individual M deve ser apresentada da seguinte forma:
M = (m ± ∆m) u (13)
Onde m é o valor de uma medida individual, ∆m é o erro de escala e u 
a unidade.
Existem instrumentos analógicos e não analógicos. As escalas dos ins-
trumentos analógicos permitem que o operador avalie o algarismo duvi-
doso – último algarismo – de uma medida. Já em um instrumento não ana-
lógico, o algarismo duvidoso é mostrado, lido, mas não pode ser avaliado.
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Figura 1. Manômetro analógico. Fonte: Adobe Stock. Acesso em: 07/04/2020.
Para instrumentos analógicos, o erro de escala Eesc é defi nido como meta-
de da menor divisão da escala (MDE), conforme a expressão abaixo:
Eesc = ±MDE/2 (14)
A Figura 1 mostra um manômetro analógico com escalas em bar e psi. A 
MDE da escala em bar é igual a 0,2 bar, logo, Eesc = 0,1. Se assumirmos a leitu-
ra da pressão p em bar como 6,4 bar, esta leitura deverá ser expressa como 
p = (6,4 ± 0,1) bar.
Para os instrumentos não analógicos, o erro de escala é igual ao MDE, Eesc = MDE.
Propagação de erros
Como você já sabe, os valores de muitas grandezas 
físicas são obtidos através de medições indiretas. Con-
tudo, ao relacionarmos os valores de duas ou mais 
medidas entre si, também estamos relacionando seus 
respectivos erros, isto é, os erros se propagam atra-
vés das operações matemáticas efetuadas duran-
te uma medição indireta. Assim, precisamos saber 
como calcular o erro do resultado de uma série de 
operações matemáticas.
A Tabela 3 apresenta as equações para o cálculo de propagação de erros 
indeterminados:
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Cálculo de R Erro indeterminado de R (SR)
R = A + B - C sR = sA
2 + sB
2 + sC
2
R = AB/C
sA sB sC
A B C
sR
R
=
2 2 2
+ +
R = Aα
sR
R
=
sA
A
a
R = αA s = |∝|sA
R = log∝A
sA
A
sR =
1
ln∝
R = aAα Bβ
sR
R
=
sA
A
sB
B
α β
2 2 2
+
TABELA 3. PROPAGAÇÃO DE ERROS INDETERMINADOS EM OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
Fonte: VUOLO (1996, p.117 ); BACCAN et al. (2001, p. 21). (Adaptado).
Exemplo
Você precisa calcular o volume de uma esfera a partir da medida de seu 
diâmetro. Qual será o desvio-padrão do volume?
O volume V da esfera é dado pela expressão:
V = d3
π
6
Consultando a Tabela 3, vemos que a expressão do volume é do tipo 
R = aAαBβ, e que o desvio-padrão de R é dado por: 
sR
R
=
sA
A
sB
B
α β
2 2 2
+
 
Onde: 
R = V, a = π/6, A = d, α = 3 e B = 1. Como B é uma constante, seu desvio-
-padrão é nulo, logo:
sv sv svv v
= = =
sd sd sd
d d d
3 3 3V
2 2
Exemplo
Calcule o resultado da expressão numérica:
V = πr3 = π
4 4 d
3 3 2
d3
π
6
=
3
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[(12,3 ± 0,2) + (9,6 ± 0,2)](0,050 ± 0,01)
(40,3 ± 0,20)
Solução
Calculando o resultadoda expressão sem o desvio-padrão, obtemos R = 0,0272.
Agora, calculamos o resultado e o desvio-padrão da soma presente no 
numerador:
0,22 + 0,22 = 0,283Rsoma = 21,9
SRsoma =
Reescrevendo a expressão, temos:
(21,9 ± 0,283)(0,050 ± 0,01)
(40,3 ± 0,20)
A expressão foi reduzida a uma expressão do tipo R = 
 AB
C
, cujo desvio é dado por:
 sR
R
=
sA
A
sB sC
B C
2 2 2
+ +
0,283 0,01 0,2
21,9 0,050 40,3
2 2 2
sR = 0,0272 = 0,00545+ +
Fazendo os arredondamentos necessários, o resultado da expressão com 
seu respectivo desvio-padrão é (0,027 ± 0,005).
Movimento retilíneo
O movimento é um dos fenômenos da natureza com os quais estamos mais 
familiarizados, afi nal, nós nos movemos a todo instante. Das partículas subatô-
micas aos corpos celestes, a matéria move-se. Podemos até dizer que o desejo 
humano de compreender o movimento dos astros foi a semente para o desen-
volvimento da Física. No século IV a.C., Aristóteles propôs que os planetas se 
moviam de forma uniforme e perfeita, presos a esferas. No século II d.C., Ptolo-
meu sugeriu que a Terra era um ponto fi xo ao redor do qual os corpos celestes 
moviam-se em órbitas circulares. Este modelo geocêntrico vigorou por mais de 
um milênio, até o século XVII d.C., quando Johannes Kepler, baseando-se nos 
registros das observações realizadas pelo astrônomo Tycho Brahe, provou ma-
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tematicamente que os planetas se movem em órbitas elípticas em torno do Sol, 
obedecendo às chamadas três leis de Kepler. Por fi m, Isaac Newton (séculos 
XVII e XVIII) propôs o modelo da gravitação universal, capaz de explicar a causa 
do movimento dos corpos celestes. Além disso, sua obra magna Princípios ma-
temáticos da fi losofi a natural formaliza os princípios do que conhecemos como 
mecânica clássica, um ramo da Física que estuda o movimento.
A esta altura, você deve ter constatado que, assim como o estudo do mo-
vimento impulsionou o desenvolvimento da Física, estudar tal fenômeno é 
fundamental para que você possa compreender esta ciência. A maneira mais 
didática de se fazer isso é iniciar os estudos pela cinemática, o ramo da mecâ-
nica que estuda e descreve o movimento sem se preocupar com suas causas.
Começaremos pelo modelo mais simples: o movimento retilíneo, isto é, 
o deslocamento de um corpo entre dois pontos descrevendo uma linha reta.
Se formos analisar o deslocamento de um vagão de trem, você pode se 
questionar qual parte do vagão está sobre os pontos de partida e de chegada. 
Para eliminar este fator de complicação, adotaremos uma simplifi -
cação proposta por Galileu: o modelo de partícula, que consiste 
em idealizar os corpos como possuidores de dimensões tão mi-
núsculas que podemos tratá-los como se fossem pontos.
Sistema de referências, posição e deslocamento
Você é capaz de perceber que algo se move, pois observa seu distanciamen-
to em relação a um referencial, que pode ser você mesmo ou um outro objeto, 
portanto, podemos dizer que o movimento é relativo. Em outras palavras, para 
descrever o movimento de uma partícula, você precisará descrever a posição 
dessa partícula ao longo do tempo. Para isso, é necessário adotar um sistema 
de referências, que será o sistema de eixos cartesianos.
A Figura 2 apresenta alguns exemplos de movimento retilíneo e sua 
representação no plano cartesiano. Também ilustra como os objetos cujo 
movimento desejamos estudar podem ser idealizados como partículas. No 
caso (a), um automóvel desloca-se horizontalmente em linha reta, e por isso 
sua posição, entre os instantes t = t1 e t = t2, varia apenas ao longo do eixo 
dos x, entre os pontos (x1,y1) e (x2, y1). No caso (b), uma bola desloca-se em 
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queda livre, de modo que sua posição entre os instantes t = t1 e t = t2, varia 
apenas ao logo do eixo dos y, entre os pontos (x1, y1) e (x1, y2). Já na situação 
(c), um carrinho desce uma rampa inclinada. Observe que, contanto que o 
movimento seja retilíneo, sempre podemos associá-lo a um único eixo do 
plano cartesiano, por isso, o movimento retilíneo também é chamado de 
movimento unidimensional. Neste caso, escolhemos o eixo x e entre os 
instantes t = t1 e t = t2, o carrinho desloca-se entre os pontos (x1, y1) e (x2, y1).
P (x1,y1)t = t1
(b)
y
x
t = t2 P (x1,y2)
P (x1,y1)
t = t1
(a)
y
x
t = t2
P (x2,y1)
(c)
y
x
P (x
1 ,y1 )
t = t
1
t = t
2
P (x
2 ,y1 )
Figura 2. Representação gráfica do movimento retilíneo no plano cartesiano.
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É importante ressaltar que, para o estudo do movi-
mento, distância percorrida e deslocamento têm signi-
ficados diferentes:
• A distância percorrida por um corpo ou objeto 
em movimento é o comprimento total do caminho 
descrito pelo corpo desde sua posição inicial até 
sua posição final; é uma quantidade escalar e é 
sempre indicada por um número positivo;
• O deslocamento é a variação da posição de uma 
partícula, podendo ser positivo ou negativo, a depen-
der do referencial adotado; se a variação de posição ocorre no 
sentido crescente do eixo de referência, tem-se deslocamen-
to positivo; se a variação de posição ocorre no sentido decrescente do 
eixo de referência, tem-se deslocamento negativo.
Exemplo
Uma pessoa sai de uma loja e caminha 300 m à direita até chegar à pri-
meira esquina, então, vira para o norte e caminha mais 100 m, chega a uma 
segunda esquina, vira à esquerda e caminha mais 400 m, quando chega à 
sua casa.
a) Qual a distância total, Stotal, percorrida?
b) Qual o deslocamento efetuado por esta pessoa em relação ao eixo dos 
x e ao eixo dos y?
Solução
a) Como a distância é o comprimento total do trajeto, basta somarmos 
as distâncias percorridas:
Stotal = S1 + S2 + S3 = (300 + 100 + 400) m
Stotal = 800 m
b) Uma boa forma de visualizar o trajeto descrito é utilizando o sistema de 
coordenadas cartesianas. Vamos estabelecer os seguintes pontos: p1 - loja; p2 - 
primeira esquina; p3 - segunda esquina; p4 - casa. Cada ponto é uma posição ocu-
pada pela pessoa durante seu trajeto. O Gráfico 1 mostra estes pontos marcados 
no plano cartesiano. O deslocamento em relação ao eixo x é dado por ∆x = xf - xi, 
onde xf e xi são as posições finais e iniciais, logo:
∆x = (-100 - 0) m, onde ∆x = -100 m.
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GRÁFICO 1. MARCAÇÃO DAS POSIÇÕES NO PLANO CARTESIANO
p3
p2p1
p4
200
200
x
y
-200
-200
400
400
0
0
O deslocamento em relação ao eixo y é dado por ∆y = yf - yi, onde yf e yi são as 
posições fi nais e iniciais, logo:
∆y = (100 - 0) m, onde ∆y = 100 m.
Até este momento, estamos discutindo o movimento utilizando apenas duas 
grandezas: comprimento e tempo. De fato, o movimento de uma partícula está 
totalmente descrito se forem conhecidas sua posição no espaço em todos os 
instantes do movimento. Na prática, podemos medir a posição de uma partícula 
em determinados instantes e, a partir desses dados, obter uma relação entre a 
posição x que a partícula ocupa no espaço e o tempo t. Essa relação é uma fun-
ção matemática x(t) que relaciona a variável x dependente com a variável inde-
pendente t, por exemplo: x(t) = t2ms-2 + 2 t ms-1 + 1 m, x = t3 e x(t) = t.
Velocidade média
Para o estudo do movimento, é fundamental que você compreenda a dife-
rença entre velocidade escalar e velocidade vetorial.
Se você dirigir por quatro horas e percorrer 360 km, sua velocidade escalar 
média será igual a 90 km/h. A grandeza que expressa o sentido com que usamos 
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o termo velocidade em nosso cotidiano é a velocidade escalar, que está relacio-
nada com a distância percorrida, por isso depende do caminho e mede a rapidez 
com que um corpo se move. Comoa distância percorrida S é sempre uma gran-
deza positiva, a velocidade escalar sempre será positiva. Matematicamente, a 
velocidade escalar média vmédia de uma partícula é dada pela Equação (15):
vmédia =
S
∆t
 (15)
A equação acima pode ser lida da seguinte forma: “A velocidade escalar mé-
dia vmédia é definida como a razão entre a distância percorrida S e o intervalo de 
tempo ∆t”. Repare que a velocidade escalar não fornece nenhuma informação 
sobre a direção e o sentido do movimento, isto é, se um corpo se move na ho-
rizontal ou vertical, para cima ou para baixo, para a esquerda ou para a direita. 
Para isso, é preciso adotar o conceito de velocidade vetorial. Como estamos es-
tudando o movimento em uma dimensão, consideraremos o movimento ape-
nas na direção x, de modo que a velocidade vetorial média de uma partícula 
é definida como a razão entre seu deslocamento ∆x e o intervalo de tempo ∆t, 
conforme a Equação (16):
vx,média =
∆x
∆t
 (16)
A fim de simplificar, alguns autores chamam a velocidade vetorial média 
apenas de velocidade média e nós também utilizaremos esta simplificação.
Como a velocidade vetorial está relacionada com o deslocamento ao longo 
de um eixo coordenado, ela fornece informação sobre a direção e sentido do 
movimento, e é independente do caminho percorrido pelo corpo. Como o des-
locamento ∆x pode ser positivo ou negativo, vx,média também pode ser positiva 
ou negativa.
Exemplo
Um piloto de motocross passa sobre um morro cujo formato pode ser conside-
rado como uma meia circunferência. A distância da base do morro é de 5,0 m e o 
tempo cronometrado para o trajeto é de 0,25 s. Calcule as velocidades médias 
vetorial e escalar de execução do trajeto.
Solução
Para o cálculo da velocidade vetorial média é importante apenas o deslocamen-
to da moto ao longo do eixo x. Tomando xi = 0, xf = 5,0 m, ti = 0, tf = 0,25 s, tem-se que:
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Logo, vx,média = 2,0 . 10 m s
-1.
Para calcular a velocidade escalar média é preciso conhecer a distância percorri-
da, que neste caso, é metade do perímetro p de uma circunferência de diâmetro d, 
que é igual a 5 m.
vx,média =
xf - xi (5,0 - 0) m
tf - ti (0,25 - 0) s
=
= = 7,9 m=
p p1 2π πd 5,0 m
2 22 2 2
vmédia =
S
∆t
7,9 m
(0,25 - 0) s=
Logo, vmédia = 3,2 . 10
2 m s-1.
Velocidade instantânea
Quando um objeto cai de uma superfície em direção 
ao chão, sua velocidade aumenta à medida que o ob-
jeto se aproxima do solo por conta da aceleração da 
gravidade. Se você andar de bicicleta em um parque, 
sua velocidade irá variar durante o passeio. De fato, a 
velocidade de muitos dos movimentos com os quais lidamos no 
cotidiano não é constante.
Mas, e se quisermos saber a velocidade de um corpo em um instante de 
tempo qualquer durante seu trajeto? Você pode responder que basta utilizar 
um instrumento medidor de velocidade, como um velocímetro. Embora esta 
seja uma solução prática, é preciso ter em mente que a própria defi nição de 
velocidade se baseia na defi nição de intervalo de tempo e não de instante.
Considere uma partícula que se move, com rapidez variável, em um trajeto 
retilíneo sempre no sentido direito. A Figura 3 ilustra o deslocamento desta 
partícula e registra algumas de suas posições ao longo do tempo. A princípio, é 
fácil perceber que a velocidade média da partícula entre os instantes t = 0,00 s e 
t = 1,00 s é igual a 50 m/s. Porém, qual a velocidade da partícula no instante 
t = 0,30 s? Neste caso, tudo o que você pode dizer é que a partícula está na 
posição x(0,30 s) = 5,5 m, o que dá a impressão de que, neste instante, a 
partícula está parada.
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 59
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Figura 3. Deslocamento de uma partícula ao longo do tempo.
Agora, observe que você tem informações sobre a posição da partícula en-
tre os instantes 0,50 s e 0,55 s, cujo ∆t = 0,05 s (5 centésimos de segundo) pode 
ser considerado um intervalo de tempo bastante pequeno. A velocidade média 
da partícula entre esses instantes, que é igual a 40,0 m/s, é algo mais próxi-
mo do que podemos considerar como velocidade instantânea. Intuitivamente, 
você percebe que, quanto menor for o intervalo de tempo utilizado para cal-
cular a velocidade média de uma partícula, mais próximo se chega àquilo que 
podemos chamar de velocidade instantânea.
Matematicamente, a velocidade instantânea vx é definida como o limite 
da razão ∆x/∆t quando ∆t tende a zero:
vx(t) = lim
∆t ͢ 
 
0
∆x
∆t
 (17)
Pelo cálculo, o limite acima é a derivada da função x(t) em relação a t e pode 
ser reescrito conforme a seguinte notação:
vx(t) =
dx
dt
 (18)
A equação vx(t) = dx/dt tem um significado muito importante: a função vx(t), 
que relaciona a velocidade vx com o tempo t é igual à derivada da função x(t) 
que relaciona a posição x de uma partícula com o tempo t.
Geometricamente, a derivada em um ponto de uma curva representa o 
coeficiente angular da reta tangente à curva neste ponto. Por isso, assim 
como a inclinação de uma reta, a velocidade instantânea também pode ser 
positiva, negativa ou nula.
Para um intervalo de tempo infinitesimal (muito próximo de zero), pode-se 
considerar que a distância percorrida por uma partícula é igual ao módulo do 
seu deslocamento. Em decorrência disso, qual a velocidade escalar instantâ-
nea é o módulo da velocidade instantânea.
Se uma partícula se move com velocidade constante vx(t) = ℂ, onde ℂ é uma 
constante, sua velocidade média e sua velocidade instantânea são iguais.
0,00
0,0 m 5,0 m 5,5 m 9,0 m 11 m 50 m
0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00
t (s)
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 60
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DICA
Os conceitos de limite e derivadas são fundamentais para a Física. Muitas 
das equações que descrevem os fenômenos físicos são deduzidas com 
base nesses conceitos e em suas ferramentas. Como este é um curso de 
Física, apenas mostraremos a aplicação de limites e derivadas, cujas defi -
nições e regras são facilmente encontradas em livros-texto de Cálculo I.
Exemplo
Uma partícula movimenta-se em linha reta e sua posição em função do 
tempo é descrita por x(t) = 10 (t) ms-1 - 5 (t)2 ms-2. Em qual instante a velocidade 
da partícula é nula?
Solução
Primeiro, você precisa determinar a derivada de x(t) em relação a t para 
obter vx (t). vx(t) = x(t) = (10 (t) ms
-1 - 5(t)2 ms-2)
d d
dt dt
vx(t) = 10ms
-1 - 10 ms-2(t)
Fazendo vx(t) = 0, tem-se: 10 ms
-1 - 10 ms-2 (t) = 0 t = 1 s. Portanto, a velo-
cidade é nula no instante t = 1 s.
Exemplo
O movimento de um objeto em função do tempo é descrito por:
x(t) = 25 m + 5,0 t ms-1 + 0,5 (t - 2,0 s)3 ms-3
a) Qual é a equação da velocidade em função do tempo para este movimento?
b) Encontre o valor da velocidade para os instantes t = 0 e t = 30 s.
Solução
a) Para encontrar a equação da velocidade em função do tempo, deve-se derivar x(t):
vx(t) = x(t) = [25m + 5,0 t ms
-1 + 0,5 (t - 2,0 s)3 ms-3]
d d
dt dt
vx(t) = 5,0 ms
-1 + 1,5(t - 2,0s)2ms-3
b) Para determinar a velocidade de um objeto em um instante qualquer, 
deve-se substituir o valor de t em vx(t):
vx(0) = 5,0 ms
-1 + 1,5(0 - 2,0 s)2 ms-3 = 1,1 . 101ms-1
vx(30 s) = 5,0 ms
-1 + 1,5 (30 s - 2,0 s)2 ms-3 = 1,2 . 103 ms-1
Aceleração
Em Física, dizemos que um objeto está acelerado quando sua velocidade 
varia ao longo do tempo, não importa se a variação da velocidade é negativa 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 61
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ax,média = =
∆vx vx,f - vx,i
∆t tf - ti
 (19)
A aceleração tem a dimensão de comprimento dividido por tempo ao qua-
drado: dim(ax) = L T
-2 e sua unidade no SI é o m s-2. De forma análoga à velocidade 
instantânea, a aceleração instantânea é definida como o limite da razão vx/∆t 
quando ∆t tende a zero:
ax(t) = =
∆vx dvxlim
∆t → 0 ∆t dt
 (20)
Observe que a aceleração instantâneaax(t) é a derivada da função vx(t), que 
por sua vez é a derivada da função x(t), portanto a aceleração é a derivada se-
gunda da função x(t):
ax(t) = = =
dxd d2xdvx
dtdt dt2dt
 (21)
A aceleração também possui sinal, contudo, uma aceleração positiva não 
significa que a rapidez do objeto está necessariamente aumentando, assim 
como aceleração negativa não significa que a rapidez do objeto está necessa-
riamente diminuindo. Para o movimento retilíneo:
• se vx e ax possuem o mesmo sinal, o corpo ganha rapidez;
• se vx e ax possuem sinais diferentes, o corpo perde rapidez.
Se uma partícula se move com aceleração constante ax(t) = ℂ, onde ℂ é uma 
constante, sua aceleração média e sua aceleração instantânea são iguais.
Exemplo
A função x(t) = -10 m + 11 t ms-1 - t2 ms-2 descreve a posição de uma partícula 
que se move em linha reta, entre os instantes t = 1,0 s e t = 10 s.
a) Quais são as funções da velocidade vx(t) e aceleração ax(t) para este movimento?
b) Qual é a aceleração média para este movimento?
c) Em quais intervalos de tempo a partícula ganha e perde rapidez?
ou positiva, se o objeto se move com mais ou menos rapidez. Tomando um 
exemplo de atividade cotidiana, quer você pise no acelerador, quer você pise 
no freio de seu carro, em ambas situações você está provocando uma variação 
da velocidade do veículo e, portanto, está acelerando-o. A aceleração é a taxa 
de variação da velocidade com relação ao tempo. Portanto, a aceleração média 
de uma partícula pode ser definida como:
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 62
SER_ECPME_FIGEEXP_UNID2.indd 62 08/05/20 11:18
Solução
a) Derivando-se x(t), encontra-se vx(t):
vx(t) = x(t) = (-10 m + 11 t ms
-1 - t2 ms-2)d d
dt dt
ax(t) = Vx(t) = (11 ms
-1 - 2t ms-2)d d
dt dt
vx(t) = 11 ms
-1 - 2 t ms-2; 1,0 s ≤ t ≤ 10 s
ax(t) = 2 ms
-1; 1,0 s ≤ t ≤ 10 s
b) Analisando a função da aceleração em função do tempo ax(t) = -2 ms
-1, 
percebe-se que a aceleração é constante em relação ao tempo. Como 
ax(t) = constante, então ax,média = ax (t) = -2 ms
-1.
c) Para sabermos em quais intervalos de tempo a partícula ganha e perde 
rapidez, precisamos comparar o sinal de vx com o sinal de ax no intervalo de 
tempo entre 1,0 s e 10 s. 
Uma forma de estudar o sinal de vx é fazer o gráfico de vx(t) = 11 ms
-1 - 2t ms-2. 
Repare que vx(t) é uma função linear do tipo f(x) = ax + b. Para definir uma reta, 
são necessários apenas dois pontos, e como o movimento ocorre entre 1,0 e 10 s, 
vamos calcular as coordenadas para esses instantes:
vx(1,0 s) = 11 ms
-1 - 2(1,0)ms-2 = 9,0 m
vx(1,0 s) = 11 ms
-1 - 2(10) ms-2 = -9,0 m
O Gráfico 2 mostra o traçado a partir dos pontos (1,0 s; 9,0 m) e (10 s; -9,0 m):
GRÁFICO 2. GRÁFICO DOS PONTOS (1,0 S; 9,0 M) E (10 S; -9,0 M)
Derivando-se vx (t), encontra-se aX (t):
Analisando o Gráfico 2, percebe-se que a velocidade permanece positiva desde 
o início do movimento em t = 1,0 s até tornar-se nula em t = 5,5 s. Em seguida, as-
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
t (segundos)
v(
t),
 (m
et
ro
s)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 63
SER_ECPME_FIGEEXP_UNID2.indd 63 08/05/20 11:18
Relação entre os gráficos de x(t), vx(t) e ax(t)
Conforme já visto, o valor numérico da velocidade é dado pela inclinação das retas 
tangentes à curva x(t). Assim, quando x’(t) > 0 e vx (t) > 0, o movimento ocorre no sentido 
crescente de x; quando x’(t) < 0 e vx(t) < 0, o movimento ocorre no sentido decrescente de x.
O valor numérico da aceleração, por sua vez, é dado pela inclinação das retas tan-
gentes à curva vx (t). Portanto, quando v’x(t) > 0, ax(t) > 0; e quando vx’ < 0, ax(t) < 0. 
Contudo, é preciso lembrar que a aceleração é a derivada segunda de x(t). Leithold 
(1994) afi rma que, quando as derivadas segundas de uma função são positivas em um 
intervalo de tempo, a função é côncava para cima neste intervalo, e, quando as deri-
vadas segundas de uma função são negativas em um intervalo de tempo, a função 
é côncava para baixo neste intervalo. Assim, Chaves e Sampaio (2019) concluem que 
quando a curva que descreve x(t) é côncava para cima, a aceleração é positiva (a > 0); e 
quando a curva que descreve x(t) é côncava para baixo, a aceleração é negativa (ax < 0).
Essas relações podem ser visualizadas no Gráfi co 3, que mostra as curvas 
das funções x(t), vx(t) e ax(t), com auxílio da Tabela 4, que sumariza o comporta-
mento das funções em diferentes intervalos de tempo.
GRÁFICO 3. RELAÇÃO ENTRE OS GRÁFICOS DE x(t), vX(t) E aX(t)
sume valores negativos até o fi nal do movimento no instante t = 10 s. Uma vez que 
ax (t) = -2 ms
-1, isto é, ax é negativa durante todo movimento, tem-se que:
Entre t = 1,0 s e t < 5,5 s, a partícula perde rapidez;
Entre t > 5,5 s e t = 10 s, a partícula ganha rapidez.
t, (s)
t1 t2 t3
x, (m) vx, (m/s) αx, (m/s
2)
19
9
-1
-11
0 1 2 4 5 6 7 8 9 10
29
3
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 64
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TABELA 4. COMPORTAMENTO DE x(t), vX(t) E aX(t) EM DIFERENTES 
INTERVALOS DE TEMPO
GRÁFICO 4. GRÁFICO DE VX(t) = CONSTANTE
Intervalo de tempo x(t) vx(t) Concavidade de x(t) ax(t) Rapidez
t0 e t1 cresce positivo para baixo negativa perde
t1 e t2 decresce negativo para baixo negativa ganha
t2 e t3 decresce negativo para cima positiva perde
t3 e tf cresce positivo para cima positiva ganha
Movimento uniforme e movimento uniformemente acelerado
Agora que você já está familiarizado com as características do movimento 
unidimensional e com os conceitos de velocidade e aceleração, vamos estudar 
alguns casos especiais de movimento, que podem ser descritos por equações 
particulares conhecidas como equações cinemáticas.
O primeiro caso é chamado de movimento uniforme (MU) e ocorre quan-
do uma partícula se move com velocidade constante. Neste caso, a velocidade 
instantânea é igual à velocidade média:
vx = vx,média = =
∆x xf - xi
∆t tf - ti
xf = xi + vx (tf - ti) (22)
VX
t
VX, 0
Área = (VX, 0) (tf - ti)
ti tf
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 65
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A Equação (22) diz que a posição de uma partícula é igual à soma de sua 
posição inicial x1 mais seu deslocamento vx (tf - ti). É válida para todo MU e pode 
ser escrita na forma de uma função:
x(t) = xi + vx (t - ti ) (23)
A Equação (23) pode ser representada graficamente, conforme o Gráfico 4. 
Repare que o deslocamento é igual à área sob a reta do gráfico de vx versus t.
O segundo caso ocorre quando uma partícula se move com aceleração 
constante e recebe o nome de movimento uniformemente acelerado (MUA). 
Se a aceleração é constante:
ax = ax,média = =
∆vx vx,f - vx,i
∆t tf - ti
vx,f = vx,i + ax (tf - ti ) (24)
Essa Equação é válida para todo MUA e diz que a velocidade da partícula em 
um determinado instante é igual à sua velocidade inicial somada ao incremen-
to de velocidade dado pelo produto da aceleração pelo intervalo de tempo do 
deslocamento, e pode ser escrita na forma de uma função:
vx(t) = vx,i + ax (t - ti ) (25)
Agora, vamos encontrar uma equação válida para todo MUA que permita 
calcular a posição de uma partícula em função do tempo. De maneira análoga 
ao MU, no MUV o deslocamento é igual à área sob a curva que descreve vx(t), 
como ilustrado no Gráfico 5.
GRÁFICO 5. GRÁFICO DE vX(t) PARA aX = CONSTANTE
Área = (Vx,f + Vx, i)(tf - ti)
vx
vx, f
vx, i
vx(t)
2
ti tf
t
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 66
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No Gráfico 5, a área sob a curva entre os instantes ti e tf é de um trapézio, cuja 
área A é igual a A = (basemaior + basemenor)h/2. Onde basemaior = vx,f, basemenor = vx,i e a 
altura h = tf - ti. Assim, podemos calcular o deslocamento da partícula entre os 
instantes ti e tf:
 (26)xf - xi = (vx,f + vx,i )(tf - ti)
1
2
Substituindo a Equação (25) na Equação (26) podemos eliminar vx,f:
xf - xi = [vx,i + vx,i + ax (tf - ti )](tf - ti)
1
2
xf - xi = vx,i(tf - ti ) + ax(tf - ti )
2
1
2
Fazendo xf = x(t), ti = 0 e tf = t:
 (27)x(t) = xi + vx,it + axt
2
1
2
A Equação (27) permite determinar a posição de uma partícula em uma tra-
jetória retilínea sob aceleração constante em um instante t. Ela também pode 
ser deduzida a partir do cálculo integral. Já vimos que a velocidade é a deri-
vada do espaço em relação ao tempo, conforme definido pela equação. Assim, 
podemos obter o valor da área sob a curva vx(t) integrando a equação entre os 
instantes ti e tf , e entre as posições xi e xf, temos:
 (28)
tf xf
ti xi
vx(t)dt = dx
Como a velocidade varia em função do tempo, conforme a Equação (25), 
substituindo (25) em (28), tem-se:
tf xf
ti xi
(vx,i + axt)dt = dx
xf = xi + vx,i (tf - ti) + ax (tf - ti )
21
2
Rearranjando a equação acima, fazendo xf = x(t), tf = t e ti = 0 chegamos na 
 
Equação (27): x(t) = xi + vx,it + axt
2
1
2
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 67
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EXPLICANDO
Conforme explicado pelo cálculo integral, a área sob uma curva definida 
por uma função f(x) no intervalo entre x1 e x2 é igual à integral de f(x) no 
intervalo (x1 e x2). Assim, você pode calcular o deslocamento de qualquer 
movimento, contanto que você conheça a função da velocidade em 
função do tempo vx(t). É recomendável que você consulte bons livros de 
Cálculo 1 para compreender melhor o conceito de integral definida, bem 
como as principais regras de integração.
Podemos também encontrar uma equação que relacione a velocidade com 
a posição. Para isso, trabalhamos a Equação (25), fazendo ti = 0 e isolando t:
 (29)t =
vx,f - vx,i
ax
Substituindo a Equação (29) em (27), tem-se:
x(t) = xi + vx,i + ax
1vx,f - vx,i vx,f - vx,i
2
2
ax ax
Multiplicando ambos os membros da Equação acima por 2ax, obtém-se 
a equação:
 (30)2axx(t) = 2axxi + 2vx,fvx,i - 2vx,i
2 + vx,f
2 - 2vx,fvx,i + vx,i
2
Rearranjando a equação acima, chega-se a:
2ax [x(t) - xi ] = -vx,i
2 + vx,f
2
Fazendo x(t) - xi = ∆x, tem-se:
 (31)vx,f
2 = vx,i
2 + 2ax∆x
A Equação (31) permite calcular a velocidade de um corpo em movimento 
retilíneo uniforme em função de sua posição no espaço.
Exemplo
Uma partícula se move com velocidade constante sobre uma linha reta. No 
instante t = 5,0 s, x = 10 m; 1 minuto depois, a partícula percorreu 120 metros. 
Qual é a equação que descreve o movimento desta partícula?
Solução
Se v é constante, vx = vx,médio, o movimento é uniforme e descrito pela se-
guinte Equação cinemática: xf = xi + vx (tf - ti).
xi = 10 m; ti = 5 s; x(f) = xi + 120 m = 130 m; tf = ti + 60 s = 65 s
vx,média = vx,média = 2 ms
-1
xf - xi (130 - 10) m
tf - ti (65 - 5) s
= 
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Substituindo os valores iniciais de x e t e de vx,média em (22), tem-se:
xf = 10 m + 2 ms
-1 (tf - 5) s
Exemplo
Você está dirigindo por uma estrada tranquila a 50 km/h, quando vê uma ár-
vore caída atravessada na estrada a 25 m de distância. Você pisa no freio e o carro 
perde velocidade a uma taxa de 5,0 m/s2. Considerando que o seu tempo de res-
posta é desprezível, você conseguirá parar o carro a tempo de evitar uma colisão?
Solução
A partir do enunciado, temos que vx,i = 50 km/h = 13,88 m/s; a = -5,0 m/s
2 
e vx,f = 0. Para saber a distância que o carro percorrerá até atingir velocidade 
nula, vamos utilizar a equação que relaciona a velocidade com a posição:
vx,f
2 = vx,i
2 + 2ax∆x
0 = (13,88 ms-1)2 + 2(-5 ms-1)∆x ∆x = 19 m
Queda livre
Um exemplo importante de movimento unidimensional é um corpo que sobe ou 
cai em linha reta, próximo à superfície da Terra. O astrônomo, físico e matemático, 
Galileu Galilei (1565-1642), formulou as leis que regem este fenômeno. Por meio de 
dados obtidos através de experimentos com corpos deslizando sobre planos incli-
nados, Galileu pôde demonstrar que o deslocamento desses corpos era proporcio-
nal ao quadrado do intervalo de tempo de duração do movimento. Veja, que essas 
observações estão em conformidade com a Equação cinemática (27).
Chamamos de queda livre o modelo idealizado da queda de um corpo em um am-
biente cuja resistência do ar é nula. De fato, se uma pena e uma bola de boliche forem 
abandonadas no vácuo, a partir da mesma altura yi, ambas atingirão o solo no mes-
mo instante. Neste modelo, os corpos movimentam-se sob ação da força da gravidade 
cuja aceleração g é constante em relação ao tempo, e por esta razão o movimento pode ser 
descrito pelas Equações cinemáticas (25), (27) e (31). Embora o valor de g possa variar ligeira-
mente de local para local devido a altitude e latitude, podemos considerar a magnitude de 
g = 9,81 ms-1 (CHAVES; SAMPAIO, 2019; HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016). Como a que-
da livre é um movimento que ocorre na vertical, a fi m de facilitar os estudos adotaremos 
como convenção que o deslocamento ocorre no eixo dos y, e que a aceleração da gravi-
dade age para baixo de forma que ay = -g.
A distância percorrida ∆x = 19 m < 22 m, logo, você evitará a colisão.
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Embora a resistência do ar tenha influência na queda dos corpos, em muitas 
situações ela pode ser considerada desprezível, portanto, o modelo de queda 
livre permite uma aproximação satisfatória da descrição da queda de um corpo 
para diversas situações.
Exemplo
Qual é a função que descreve o movimento de uma moeda abandonada em 
um poço?
Solução
O movimento de uma partícula é totalmente conhecido se soubermos a sua 
posição em cada instante do movimento. Logo, o movimento pode ser descrito 
pela Equação (27). Considerando que a moeda é lançada a partir do repouso, 
vy,i = 0, e fazendo yi = h, ti = 0, ay = -g, obtemos a função:
y(t) = ht - gt2
1
2
Exemplo
Explique graficamente o movimento de um corpo que é lançado para cima 
com velocidade inicial igual a vi e retorna à posição de partida.
Solução
O movimento de um corpo que é lançado verticalmente para cima é descri-
to pela equação:
y(t) = yi + vy,it + ayt
2
1
2
Como ay = -g,
gt2
1
2
y(t) = yi + vy,it -
A equação é uma função quadrática do tipo 
y = c + bx + ax2, e como tal, descreve uma parábola. 
Uma vez que a < 0, sabemos que a parábola possui 
a concavidade voltada para baixo. Portanto, o movi-
mento de uma partícula lançada para cima com velo-
cidade inicial igual vy,i, cujas posições inicial yi e final yf são 
ambas iguais a y entre os instante ti e tf, dado pela parábo-
la ilustrada no Gráfico 6.
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GRÁFICO 6. PARÁBOLA DA FUNÇÃO QUADRÁTICA DO TIPO y = c + bx + ax2
t(h )máx
t(h )máx
ti
y = yi = yf
tf
t
y
Ao analisar o esboço do Gráfico 6, você pode verificar que:
• O movimento se inicia em t = ti a partir da posição yi = y;
• Entre t = ti e t = thmáx, y(t) cresce, portanto, a velocidade é positiva, e como a 
aceleração é negativa, o corpo perde rapidez;
• Em t = thmáx, a velocidade instantânea se torna nula e o corpo atinge sua 
altura máxima hmáx;
• A partir de t = thmáx, o corpo inicia a queda;
• Entre em t = thmáx e t = tf, y(t) decresce, portanto, a velocidade é negativa, e 
como a aceleração é negativa, o corpo ganha rapidez;
• Em t = tf, o corpo retorna à sua posição inicial em yf = y.
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Sintetizando
A Metrologia estuda a medição e suas aplicações, qualquer que seja a incer-
teza de medição. A incerteza associada a uma medida experimental é chamada 
de erro experimental. Os erros podem ser classificados em determinados ou 
sistemáticos, cujas causas são identificáveis e elimináveis; e em indetermina-
dos ou aleatórios, que não podem ser eliminados. Devido aos erros aleató-
rios, não se pode calcular o valor real de uma grandeza e o erro absoluto. O 
que se faz é estimar o valor de uma grandeza e o erro associado àmedição. 
O valor mais provável de uma grandeza é a média aritmética x das diversas 
medidas da grandeza:
 
x1 + x2 + ... + xn 1
n n
= =x
n
i = 1
x1 
. 
O erro estimado é dado pelos desvios médio e padrão. A estimativa do des-
vio médio e do desvio padrão são respectivamente dadas por:
1
n
i = 1
|xi - x |d = e s =
1
n - 1
n
i = 1
(xi - x) 
2. 
A precisão da média é estimada com base no cálculo do desvio da mé-
dia, que é dado por d x = x / n , e do desvio-padrão da média, que é 
dado por s x = s / n . O intervalo de confiança da média IC μ é o interva-
lo de valores em torno de x , no qual é provável que a média da população 
μ esteja contida com uma certa probabilidade, e é dado por: 
IC μ = x ± t
n
s . 
Os erros de medições indiretas são calculados através das equações de pro-
pagação de erro, conforme a Tabela 3. 
O movimento retilíneo é o deslocamento de um corpo entre dois pontos 
descrevendo uma linha reta. A velocidade escalar média vmédia não fornece as in-
formações sobre direção e sentido do movimento, e é definida como vmédia =
S
∆t
. 
A velocidade vetorial média fornece informação sobre a dire-
ção e o sentido do movimento, podendo ser negativa ou positiva e é 
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definida como vmédia =
∆x
∆t
. A velocidade instantânea vx é definida como o 
 
limite da razão ∆x
∆t
 quando ∆t tende a zero e é dada por vx(t) =
dx
dt
. 
A aceleração média de uma partícula é dada por ∆vx
∆t
ax,média = . A aceleração 
 
instantânea é definida como o limite da razão Vx
∆t
 quando ∆t tende 
 
a zero ax(t) =
dVx
dt
. O movimento uniforme ocorre quando a partícula se move 
 
com velocidade constante e é descrito pela equação x(t) = xi + vx (t - ti ) . O movi-
mento uniformemente acelerado ocorre quando a partícula se move com ace-
leração constante e é descrito pelas equações cinemáticas: vx(t) = vx,i + ax (t - ti ); 
x(t) = xi + vx,i t + 
1
2
 ax t
2 e x(t) = xi + vx,i t + 
1/2 ax t
2. A queda livre é o modelo idealiza-
do da queda de um corpo em um ambiente cuja resistência do ar é nula e que é 
descrito pelas equações cinemáticas do movimento uniformemente acelerado.
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Referências bibliográficas
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HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física. 10. ed. São Pau-
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and measurement? Disponível em: <https://www.npl.co.uk/resources/q-a/the-
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VUOLO, J. H. Fundamentos da teoria dos erros. 2. ed. São Paulo: Edgard Blu-
cher, 1996.
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 74
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CARGAS ELÉTRICAS E 
FORÇAS ELÉTRICAS
3
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Reconhecer as grandezas vetoriais;
 Desenhar um vetor resultante;
 Compreender a regra do paralelogramo, a decomposição de vetores e os vetores 
unitários;
 Diferenciar e aplicar o produto escalar e vetorial;
 Compreender os vetores de velocidade média (v⃗m) e de velocidade instantânea (v⃗);
 Compreender os vetores de aceleração média (a⃗m) e de aceleração instantânea (a⃗);
 Compreender o movimento de um projétil e o movimento circular uniforme.
 Vetores
 Soma e subtração de vetores
 Componentes de vetores
 Vetores unitários
 Multiplicação de vetores
 Movimento em duas e três 
dimensões: vetor posição e veloci-
dade e vetor aceleração
 Casos especiais: movimento 
de um projétil e movimento 
circular uniforme
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Vetores
No estudo da Física, tem-se como um dos objetivos descrever observações 
experimentais de forma quantitativa utilizando grandezas, como tempo, mas-
sa, temperatura, pressão, entre outras. Por exemplo, a altura pode ser conside-
rada uma grandeza de comprimento para descrever determinada pessoa; as-
sim, a altura é compreensível quando 
defi nida por um número e uma unida-
de, não sendo necessário especifi car 
que a direção é na vertical e o sentido 
para cima. 
Entretanto, o mesmo não ocorre 
quando se quer defi nir o movimento 
de um avião: ao defi nir sua velocida-
de, a direção e o sentido nos quais o 
avião está voando permanecem des-
conhecidos.
Desta forma, as grandezas na Física podem ser classifi cadas em:
• Grandezas escalares: são defi nidas por um valor numérico e por uma uni-
dade. Exemplo: comprimento e temperatura;
• Grandezas vetoriais: são defi nidas por um valor numérico defi nido como 
módulo, visto que não considera sinal negativo e positivo, por uma direção e 
por um sentido. Exemplo: velocidade e aceleração.
As grandezas vetoriais, comumente, são denominadas de acordo com a 
grandeza que estão representando, como vetor deslocamento, vetor velocida-
de, vetor aceleração, vetor força e assim por diante. Os vetores são representa-
dos grafi camente por setas (→), colocadas de forma que demonstrem módulo 
(valor numérico para especifi car intensidade), direção (vertical, horizontal ou 
diagonal) e sentido (esquerda, direita, para cima, para baixo, sudeste, noroeste, 
entre outros). 
O nome do vetor será indicado por uma letra que simbolize a grandeza ve-
torial que este representa com uma seta sobre ela, como, por exemplo, F⃗ para 
o vetor força, v⃗ para o vetor velocidade e a⃗ para o vetor aceleração. A Figura 1 
apresenta alguns exemplos de representação gráfi ca dos vetores.
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Figura 1. Representação gráfica de vetores.
Conforme pode ser observado na Figura 1, os vetores têm origem na base 
da seta e final na outra extremidade, onde se localiza a ponta da seta. A ex-
tensão do vetor reflete seu módulo na unidade de medida da grandeza que o 
mesmo representa, e é expresso como módulo de X⃗, X ou|X⃗|. Por exemplo, em 
v = 4 m/s ou |a⃗| = 4 m/s2, as duas formas estão corretas. 
O vetor deslocamento simboliza que determinado corpo se encontrava ini-
cialmente em x e, após se mover, sua posição final passou a ser em x1. Por se 
tratar de um deslocamento, a grandeza medida é o comprimento e a unidade 
correspondente pode ser milímetro, centímetro, metro, quilômetro, entre ou-
tras. No exemplo da Figura 1, a unidade utilizada foi m, ou metro. 
Assim, dois vetores podem ser considerados iguais quando possuem o 
mesmo módulo e orientação, e devem ser representados 
com o mesmo tamanho, como ilustra a Figura 2. Além 
disso, ambos podem ser considerados vetores paralelos 
quando possuem a mesma orientação, mas módulos 
diferentes. Uma terceira possibilidade pode ocorrer 
quando dois vetores de módulos diferentes pos-
suem a mesma direção, porém com sentidos opos-
tos; nesse caso, ambos são considerados vetores 
antiparalelos.
x x1A
Direção: horizontal
Sentido: da esquerda para a direita
Módulo de A: 4 m
Vetor deslocamento
Direção: vertical
Sentido: de cima para baixo
Módulo de a: 4 m/s2
Vetor aceleração
x
x1
a
Direção: horizontal
Sentido: da esquerda para a direita
Módulo de v: 4 m/s
Vetor velocidade
x x1
v
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Soma e subtração de vetores
O movimento de um corpo pode ser representado por mais de um vetor no 
caso de esse corpo se deslocar mais de uma vez antes de assumir uma posição 
fi nal. Tome como exemplo uma pessoa que sai de sua casa para ir ao shopping, 
e de lá decide ir à casa de uma amiga para em seguida se dirigir ao trabalho. A 
representação do deslocamento dessa pessoa pode ser expressa em vetores.
A Figura 3 traz duas situações de deslocamento de uma pessoa ao longo 
do dia. Na primeira situação apresentada, obtém-se as seguintes informações:
• O deslocamento da casa da pessoa até o shopping é representado por A⃗;
• O deslocamento da casa da pessoa até a casa da amiga é representado 
por A⃗ + B⃗;
• O deslocamento da casa da pessoa até o trabalho é representado por A⃗ + B⃗ + C⃗.
Figura 2. Representação de vetores iguais, paralelos e antiparalelos. Diferenciação de trajetória e deslocamento. 
Fonte: TIPLER; MOSCA, 2009, p. 13. (Adaptado).
Vetores 
iguais
Vetores 
paralelos
Vetores 
antiparalelos
x x1
A
x x1
A
A Figura 2 ainda apresenta duas possibilidades de trajetória percorrida pelo 
corpo em questão. Quando se fala em deslocamento, não signifi ca que o corpo 
se moveu em linha reta, como representado pelo vetor, mas que inicialmente 
ele se encontrava na posição x e, independentemente da trajetória adotada, 
sua posição fi nal foi x1.
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Figura 3. Deslocamento de uma pessoa ao longo do dia em duas situações.
A
A
B
B
Loja
Loja
R
R
C
C
Quando se utiliza mais de um vetor para demonstrar o movimento de uma pes-
soa ou objeto, representando diferentes pontos de parada antes de assumir uma 
posição final, realiza-se a soma vetorial. O deslocamento total é definido como vetor 
resultante e pode ser denominado por R⃗.
Na segunda situação da Figura 3, a pessoa foi ao shopping e em seguida se diri-
giu ao trabalho, indo visitar a amiga somente após o expediente. Perceba que agora 
o deslocamento da casa da pessoa até o último local visitado alterou o vetor resul-
tante em relação à situação apresentada anteriormente. 
Entretanto, a soma vetorial pode ser representada da mesma forma: A⃗ + B⃗ + C⃗. 
Todavia, evidentemente o vetor resultante do deslocamento da casa da pessoa até 
seu ponto final é diferente da segunda situação. A diferença entre as duas somas 
está na consideração do sinal negativo quando um vetor é antiparalelo a outro.
Para melhor elucidar as duas situações, considere que o módulo de A⃗ é A, o mó-
dulo de B⃗ é B e o módulo de C⃗ é C. Assim, a resultante do deslocamento da casa da 
pessoa até sua posição final na primeira situação será dada por R = A + B + C, e a 
resultante do deslocamento da casa da pessoa até sua posição final na segunda 
situação será dada por R = A + B - C.
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Nos exemplos anteriores, as somas vetoriais eram constituídas por vetores na 
mesma direção (horizontal). A Figura 4 mostra a soma vetorial de vetores em dife-
rentes direções.
Brasil
Alemanha
Austrália
A B
R
Figura 4. Viagem de avião para a Austrália com escala na Alemanha. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 09/04/2020. (Adaptado).
Imagine que uma pessoa esteja viajando do Brasil para a Austrália e fazendo 
uma escala na Alemanha. Ao traçar os vetores do deslocamento, tem-se para Brasil 
à Alemanha o vetor A⃗ e da Alemanha para a Austrália o vetor B⃗. Entretanto, deseja-se 
saber o deslocamento total da pessoa com partida no Brasil (posição inicial) e chega-
da na Austrália (posição fi nal). Para obter o vetor resultante utiliza-se o método geo-
métrico para somar os vetores. A origem do vetor B⃗ é posicionada na extremidade 
do vetor A⃗ e o vetor resultante ligará a origem do vetor A⃗ na extremidade do vetor 
B⃗, como ilustra a Figura 4.
Para realizar a soma dos vetores não é preciso se preocupar com a ordem cor-
reta, o mais importante é manter a orientação dos vetores. Ainda utilizando como 
exemplo a Figura 4, os vetores A⃗ e B⃗ podem ser posicionados de forma invertida, 
ou seja, a origem de A⃗ pode ser colocada na extremidade de B⃗ e a resultante será 
traçada a partir da origem de B⃗ até a extremidade de A⃗, permanecendo da mesma 
forma apresentada.
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Outro método que também pode ser utilizado para somar vetores é chamado de 
método do paralelogramo, em que as origens dos dois vetores que serão somados 
são colocadas juntas, uma reta é traçada paralelamente a cada vetor e a resultante 
liga a origem dos dois vetores ao ponto onde as retas paralelas se cruzam. A Figura 5 
apresenta as possibilidades mencionadas para realizar a soma dos vetores.
Figura 5. Método geométrico e método do paralelogramo para somar vetores. Fonte: TIPLER; MOSCA, 2009, p. 14. (Adaptado).
A
A
A
B
B
BR
R
R
A soma dos módulos dos vetores não deve ser confundida com a soma vetorial. 
Para obter o módulo do vetor R⃗ através da soma dos módulos dos outros vetores, 
deve ser levado em consideração o sentido dos vetores, um em relação ao outro, 
além da utilização de equações do formato geométrico que os vetores assumirão. O 
formato mais comum será o triângulo retângulo, como é o caso do vetor R⃗ na Figura 
5, que assume a posição de hipotenusa do triângulo retângulo formado pela soma 
dos vetores A⃗ e B⃗. Assim, o módulo do vetor R⃗ será obtido por R = (A2 + B2).
Deve ser destacado ainda que, tanto para a soma de vetores quanto para a soma 
de módulo dos vetores, soma-se vetores e módulos de vetores que representam a 
mesma grandeza. A mesma regra vale para subtração.
Componentes de vetores
Com o método geométrico e o do paralelogramo pode-
-se obter facilmente o vetor resultante; entretanto, só é 
possível utilizar esses métodos quando os vetores forem 
ortogonais, ou seja, formarem um ângulo de 90º entre 
si. Para situações em que isso não acontece, utiliza-se o 
método que decompõe o vetor em suas componentes. 
Devido a isso, ele é denominado método dos compo-
nentes ou vetores componentes.
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Para definir os componentes de um vetor, utiliza-se um plano cartesiano 
em que a origem do vetor coincide com a origem do sistema de coordenadas. 
Desta maneira, é possível representar qualquer vetor nos planos x, y e z como 
a soma de um vetor paralelo ao eixo Ox e um vetor paralelo ao eixo Oy, deno-
minados vetores componentes deste vetor. A Figura 6 apresenta de forma mais 
clara os vetores componentes de um vetor F⃗ em quatro orientações diferentes 
e seus respectivos componentes.
Figura 6. Vetores componentes do vetor F⃗ . Fonte: YOUNG; FREEDMAN, 2008, p. 15. (Adaptado).
Fx
Fy
F
y y y y
x x
x x
θ θ
θ θ
a) b) c) d)
Componente Fx Fx Fx(-) Fx(-) Fx
Componente Fy Fy Fy Fy(-) Fy(-)
Vetor componente 
em y do vetor F
Vetor componente 
em x do vetor F
F
F
Fx
Fx FxFy
Fy Fy
Conforme pode ser observado na Figura 6, a direção e o sentido do vetor 
componente serão coincidentes com a direção e o sentido do eixo das coor-
denadas em que o mesmo se encontra. Já as componentes dos vetores F⃗x e 
F⃗y correspondem ao módulo que pode estar acompanhado ou não do sinal 
negativo, dependendo do quadrante no qual ele se encontra. 
Na Figura 6a, os vetores componentes F⃗x e F⃗y estão sobre os eixos Ox e Oy, 
que apontam para o sentido positivo de cada eixo. O módulo desses compo-
nentes serão Fx e Fy. Em 6b, o vetor componenteF⃗x está sobre o eixo Ox com 
a seta apontando para o sentido negativo. Assim, este componente terá um 
sinal negativo acompanhando o módulo de F⃗x e o vetor componente F⃗y perma-
nece no eixo Oy, apontando para o sentido positivo. 
Em 6c, ambos os vetores componentes, F⃗x e F⃗y, estão apontando para o 
sentido negativo dos eixos em que se encontram. Portanto, suas componen-
tes terão um sinal negativo acompanhando o módulo dos vetores. Por fim, em 
6d, o vetor componente F⃗x está sobre o eixo Ox com a seta apontando para 
o sentido positivo, ao passo que o vetor componente F⃗y está sobre o eixo Oy 
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com a seta apontando para o sentido negativo. Portanto, seu componente 
terá um sinal negativo, acompanhando o módulo do vetor F⃗y.
Simbolicamente, a soma dos vetores componentes é escrita da mesma 
forma como apresentada anteriormente antes de utilizar o plano cartesiano: 
F⃗ = F⃗x + F⃗y. Por outro lado, para calcular os componentes Fx e Fy, é necessário 
conhecer a direção de um vetor mediante o ângulo θ que ele forma com o eixo 
Ox e utilizar as definições das funções trigonométricas. Adota-se, por con-
venção, o sinal positivo para o ângulo que aumenta à medida que o giramos 
sobre seu próprio eixo no sentido anti-horário, e negativo quando o giramos 
no sentido horário.
EXPLICANDO
Considerando um triângulo retângulo, tem-se três arestas que recebem 
nomes específicos: cateto oposto, cateto adjacente e hipotenusa. O 
triângulo possui três ângulos (um em cada vértice) e, considerando o 
ângulo formado entre um dos catetos e a hipotenusa como referência 
(chamaremos de teta “θ”), as relações trigonométricas entre as medi-
das do triângulo são descritas da seguinte forma: seno de θ é a relação 
entre o cateto oposto a θ e a hipotenusa; cosseno de θ é a relação entre 
o cateto adjacente a θ e a hipotenusa; e tangente de θ é a relação entre 
o cateto oposto a θ e o cateto adjacente a θ.
As componentes Fx e Fy na Figura 6a podem ser obtidas pela seguinte 
relação da função trigonométrica:
→ Fx = cos θ · Fcos θ =
Fx
F
→ F⃗ y= sen θ · Fsen θ =
Fy
F
Em algumas ocasiões, o ângulo em relação ao eixo Ox e o módulo do vetor 
F⃗ são desconhecidos; entretanto, os valores dos componentes Fx e Fy são forne-
cidos. Nessa situação, calcula-se o ângulo para obter a direção do vetor e seu 
módulo com as seguintes relações:
→ θ = tan-1tan θ =
Ay
Ax ( )AyAx
F = Fx
2 + Fy
2
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Exemplo 1:
Um avião, após sua decolagem, é avistado a 215 km de distância, em um 
curso que faz um ângulo de 22º a leste do norte. Deseja-se saber a qual distân-
cia a leste e a norte do aeroporto o avião se encontra no momento em que foi 
avistado.
Resolução:
Inicialmente, projeta-se as informações fornecidas em um plano cartesiano, 
em que as direções norte e leste são representadas respectivamente pela coor-
denada y e x, como mostra a Figura 7.
Figura 7. Localização do avião em relação ao aeroporto. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 09/04/2020. (Adaptado).
y
xFx
Fy
d
22°
68°
A distância de 215 km é o módulo do vetor que representa o deslocamento 
do avião, que será designado por d⃗. Tendo a direção (ângulo de 22º entre norte 
e leste) e o módulo do vetor d⃗, utilizamos as relações da função trigonométrica 
para definir as componentes dx e dy:
dx = sen 22° · 215 km = 80,5 km
dy = cos 22° · 215 km = 199,3 km
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As componentes podem ser calculadas com o ângulo de 68º (90º - 22º), con-
siderando que dx será o cateto adjacente e dy o cateto oposto. Assim:
dx = cos 68° · 215 km = 80,5 km
dy = sen 68° · 215 km = 199,3 km
Vetores unitários
O vetor unitário é utilizado para especifi car uma orientação e apresenta mó-
dulo 1, não possuindo dimensão nem unidade. Esses vetores são representados 
pelas letras î, ĵ e k ̂ com um “^” no lugar da seta, indicando que se trata de um vetor 
unitário. Cada vetor unitário corresponde a um eixo do plano cartesiano: î no 
eixo Ox, ĵ no eixo Oy e k ̂ no eixo Oz.
Os vetores unitários especifi cam a posição de outros vetores e podem 
acompanhar a componente de um vetor. Por exemplo: em um vetor expresso 
como A⃗ = 3î + 5ĵ, fi ca evidente que a componente Ax corresponde a 3 e a com-
ponente Ay corresponde a 5. Assim, quando se conhece os módulos dos vetores 
componentes é possível somar vetores. Considerando o vetor A⃗ e B⃗ represen-
tados por suas componentes, a resultante dessa soma será obtida da seguinte 
forma:
 A⃗ = Ax î + Ay ĵ + Az k ̂ 
B⃗ = Bxî + By ĵ + Bz k ̂ 
 R⃗ = A⃗ + B⃗ 
 R⃗ = (Axî + Ay ĵ + Az k
 ̂) + (Bx î + By ĵ + Bz k ̂)
 R⃗ = (Ax+ Bx)î + (Ay + By)ĵ + (Az + Bz)k
 ̂ 
 R⃗ = Rxî + Ry ĵ + Rz k
 ̂ 
O vetor unitário que corresponde ao eixo Oz deve ser inserido na soma 
quando os vetores a serem somados não estiverem no plano xy.
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Multiplicação de vetores
A multiplicação com vetores pode ser entre um vetor e um escalar, entre dois 
vetores resultando em um escalar (produto escalar), utilizado para determinar 
o trabalho de uma força, e entre dois vetores resultando em um vetor (produ-
to vetorial), utilizado para descrever torque, momento angular, campos e forças 
magnéticas.
Ao multiplicar uma grandeza escalar por um vetor, isto resultará em um ve-
tor com módulo igual ao produto do módulo do vetor com o valor numérico da 
grandeza escalar. Além disso, a direção do vetor resultante será a mesma que a 
do vetor inicial, e o sentido será o mesmo do vetor inicial se o escalar for positivo, 
mas terá sentido oposto se o escalar tiver sinal negativo.
O produto escalar de dois vetores deve ser representado com um ponto en-
tre os dois vetores (A⃗ · B⃗) e inicia-se posicionando a origem de A⃗ e de B⃗ no mesmo 
ponto. O ângulo formado entre os dois vetores é representado pela letra grega 
φ e pode variar entre 0º e 180º. Em seguida, projeta-se o vetor B⃗ em direção ao 
vetor A⃗ com uma linha perpendicular. Esta projeção será a componente de B⃗ na 
direção de A⃗ e é calculada pelo módulo de B⃗ pelo cos φ. O produto total será re-
sultado da multiplicação do módulo de A⃗ pela componente de B⃗, como mostra a 
equação a seguir:
A⃗ · B⃗ = A · B · cos φ
Também é possível fazer a projeção do vetor A⃗ em direção ao vetor B⃗, resul-
tando na componente de A⃗, que será obtida por A · cos φ. Consequentemente, o 
produto A⃗ · B⃗ será A · cos φ · B.
O produto escalar pode ser positivo, negativo ou nulo. Se φ estiver entre 0º e 
90º o produto escalar será positivo, se φ estiver entre 90º e 180º o produto esca-
lar será negativo e se φ = 90º o produto escalar será nulo.
O produto escalar entre dois vetores também pode ser obtido diretamente se 
forem conhecidos os componentes x, y e z de ambos. Seguindo 
o mesmo raciocínio descrito anteriormente para os vetores 
unitários, pode-se afi rmar que, como os vetores unitários 
são ortogonais, tem-se φ = 0º quando os vetores unitários 
forem iguais e φ = 90º quando forem diferentes. Além 
disso, o módulo dos vetores unitários é 1. Assim, tem-se:
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î · î = ĵ · ĵ = k ̂ · k ̂ = 1 · 1 · cos 0° = 1
î · ĵ = î · k ̂ = ĵ · k ̂ = 1 · 1 · cos 90° = 0
A partir dos produtos dos vetores unitários, realiza-se o produto dos compo-
nentes dos vetores A⃗ · B⃗, como descrito a seguir:
A⃗ · B⃗ = (Axî + Ay ĵ + Az k ̂) · (Bx î + By ĵ + Bz k ̂)
A⃗ · B⃗ = Axî · Bxî + Axî · By ĵ + Ax î · Bz k + Ay ĵ · Bx î + Ay ĵ · By ĵ + Ay ĵ · Bzk ̂ + Azk ̂ · Bxî 
 + Az k
 ̂ · By ĵ + Azk ̂ · Bz k ̂
A⃗ · B⃗ = AxBxî · î + AxByî · ĵ + AxBz î · k ̂ + Ay Bx ĵ · î + AyBy ĵ · ĵ + AyBz ĵ · k ̂ + Az Bxk ̂ · î 
 + Az Byk
 ̂ · ĵ + AzBzk ̂ · k ̂
A⃗ · B⃗ = AxBx + AyBy + AzBz
Em situações em que não se conhece o ângulo entrevetores ou em relação 
ao eixo Ox, deve-se saber pelo menos os componentes de cada vetor, para que 
seja possível obter primeiro o produto escalar A⃗ · B⃗ para depois obter o ângulo φ.
Exemplo 2:
Imagine dois vetores A⃗ e B⃗, cujos módulos são 4,0 e 5,0, respectivamente. 
Qual será o produto escalar entre esses dois vetores?
Resolução:
Esse produto escalar pode ser obtido pelos dois métodos apresentados an-
teriormente. O primeiro método utiliza o módulo de um dos vetores e o mul-
tiplica pela componente do outro vetor. Para isso, define-se o ângulo entre os 
dois vetores:
φ = 130° - 53° = 77° 
Módulo de A⃗ = 4,0
Componente de B⃗ = B · cos φ = 5,0 · cos 53° = 1,12
Produto escalar: A⃗ · B⃗ = A · B · cos φ = 4,0 · 1,12 = 4,50
O outro método utiliza os componentes x, y e z dos dois vetores, mas deve-se 
considerar o ângulo que o vetor forma com o eixo Ox e não com o outro vetor, 
como demonstrado a seguir:
Componente de A⃗:
Ax = A · cos 53° = 4,0 · cos 53° = 2,41 
Ay = A · sen 53° = 4,0 · sen 53° = 3,19 
Az = 0 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 88
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Componente de B⃗:
Bx = B · cos 130° = 5,0 · cos 130° = -3,21 
By = B · sen 130° = 5,0 · sen 130° = 3,83 
Bz = 0 
Produto escalar:
A⃗ · B⃗ = AxBx + AyBy + AzBz = 2,41 · (-3,21) + 3,19 · 3,83 + 0 · 0 = 4,50 
Exemplo 3:
Tem-se dois vetores A⃗ e B⃗ , cujas componentes são: Ax = 2, Ay = 3, Az = 1, Bx = -4, By 
= 2 e Bz = -1. A partir desses dados, deseja-se determinar o ângulo entre os vetores 
A⃗ e B⃗.
Resolução:
Utilizando as duas equações desenvolvidas anteriormente:
A⃗ · B⃗ = A · B · cos φ e A⃗ · B⃗ = AxBx + AyBy + AzBz
Substituindo uma equação na outra e evidenciando cos φ:
cos φ =
Ax Bx + Ay By + Az Bz
A · B
Sendo que A e B são calculados por:
= -0,175cos φ =
2 · (-4) + 3 · 2 + 1 · (-1)
3,74 · 4,58
A = Ax
2 + Ay
2 + Az
2 = 22 + 32 + 12 = 3,74
B = Bx
2 + By
2 + Bz
2 = (-4)2 + 22 + (-1)2 = 4,58
φ = cos-1 (-0,175) = 100°
Para designar o produto vetorial entre dois vetores A⃗ e B⃗, utiliza-se A⃗ · B⃗, com 
um x entre os vetores no lugar do ponto como no produto escalar. Inicia-se a ope-
ração posicionando a origem dos dois vetores no mesmo ponto, como no produto 
escalar, e desta união de vetores tem-se um terceiro vetor com 
direção ortogonal tanto ao vetor A⃗ quanto ao vetor B⃗, denomina-
do de produto vetorial. 
O módulo do produto vetorial será dado pela multiplica-
ção do módulo de A⃗ pela componente de B⃗ (A · B · sen φ). Na 
medição de φ, deve ser considerado o menor ângulo entre 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 89
SER_ECPME_FIGEEXP_UNID3.indd 89 08/05/20 11:21
os dois vetores e, assim, este ângulo estará compreendido entre 0º e 180º. Dessa 
forma, o módulo do produto vetorial nunca será negativo, assim como se os dois 
vetores forem paralelos ou antiparalelos o módulo do produto vetorial será zero.
O sentido do produto vetorial será dado pela regra da mão direita, que de-
pende do sentido de rotação do ângulo e da ordem dos fatores na multiplicação 
entre os vetores. Considerando a Figura 8, na operação A⃗ · B⃗ tem-se o ângulo de 
A⃗ para B⃗ e utilizando a mão direita com os quatro dedos dobrados (como se esti-
vesse segurando uma barra), seguindo a direção do ângulo, o polegar da mesma 
mão está apontando para cima, indicando o sentido do produto vetorial. 
Por outro lado, se a multiplicação for B⃗ · A⃗, tem-se o ângulo partindo de B⃗ indo 
para A⃗ e, utilizando novamente a mão direita com os dedos dobrados, para fazer 
com que os dedos apontem no mesmo sentido do ângulo, o polegar da mesma 
mão deve ser apontado para baixo, indicando o sentido do produto vetorial, o 
que no plano cartesiano é indicado com um sinal negativo. Assim, diferentemen-
te do produto escalar, o produto vetorial não é comutativo, ou seja, a ordem dos 
fatores (no caso vetores) altera o produto.
Figura 8. Produto vetorial determinado pela regra da mão direita. Fonte: YOUNG; FREEDMAN, 2008, p. 23. 
(Adaptado).
A · B
A
φ
B
B · A
φ
B
A
φ = 0º φ = 180º sen 0º = 0 
sen 180º = 0 
Portanto, C = 0
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 90
SER_ECPME_FIGEEXP_UNID3.indd 90 08/05/20 11:21
Semelhante ao produto escalar, também é possível calcular o produto veto-
rial utilizando as componentes dos vetores. Inicialmente, realiza-se o produto 
vetorial dos vetores unitários, utilizando as considerações da Figura 8. As possi-
bilidades são: î · î, î · ĵ, î · k ̂, ĵ · î, ĵ · ĵ , ĵ · k ̂, k ̂ · î, k ̂ · ĵ e k ̂ · k ̂. Como o produto vetorial de 
vetores paralelos é zero, os produtos î · î, ĵ · ĵ e k ̂· k ̂são zero. Outras podem ser 
igualadas e simplificadas, tais como:
î · ĵ = -ĵ · î = k ̂ 
ĵ · k ̂ = -k ̂ · ĵ = î
k ̂ · î = -î · k ̂ = ĵ
Montando a equação de A⃗ · B⃗ nos termos de seus componentes e vetores 
unitários, desenvolve-se a expressão do produto vetorial:
 A⃗ · B⃗ = A
x
î · Bxî + Axî · By ĵ + Axî · Bzk
 ̂ + Ay ĵ · Bxî + Ay ĵ · By ĵ + Ay ĵ · Bzk ̂ 
 + Azk ̂ · Bxî + Azk ̂ · By ĵ + Azk ̂ · Bzk ̂ 
 A⃗ · B⃗ = (AxBx )î · î + (AxBy )î · ĵ + (AxBz )î · k ̂ +(AyBx )ĵ · î + (AyBy )ĵ · ĵ 
 + (AyBz )ĵ · k
 ̂ + (AzBx)k ̂ · î + (AzBy)k ̂ · ĵ + (AzBz)k ̂ · k ̂ 
 A⃗ · B⃗ = (AyBz - ByAz )î + (AzBx- BzAx )ĵ + (AxBy- BxAy )k ̂ 
C⃗ = A⃗ · B⃗ 
Cx = AyBz - ByAz, Cy = AzBx - Bz Ax e Cz = AxBy - BxAy
Observação: As componentes do produto vetorial com sinal negativo fo-
ram invertidas somente para facilitar o entendimento, posto que, para produto 
vetorial, o sinal negativo indica troca de posição entre os vetores, o que não 
faz diferença na multiplicação com grandezas esca-
lares. Por exemplo, BxAy gera o mesmo resultado 
que AyBx, entretanto ĵ · î não gera o mesmo vetor 
unitário que î · ĵ, como foi demonstrado.
Exemplo 4:
Um vetor A⃗ possui módulo de seis unidades e se 
encontra no eixo +Ox. Um segundo vetor, denominado B⃗, 
está no plano xy, formando um ângulo de 30º com o 
eixo +Ox. Deseja-se saber qual será o produto vetorial 
de A⃗ · B⃗.
 A⃗ · B⃗ = (Axî + Ayĵ + Azk ̂) · (Bxî + Byĵ + Bzk ̂)
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 91
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Resolução:
Para determinar o produto vetorial, pode-se utilizar o método que emprega 
a regra da mão direita ou o método que utiliza as componentes e os vetores 
unitários. Iniciando pelo método da regra da mão direita, temos:
 A⃗ · B⃗ = A · B · sen 30° = 6 · 4 · sen 30° = 12
O módulo do produto vetorial é 12 e, como o vetor A⃗ se encontra no eixo 
Ox, a direção do produto vetorial será ortogonal, que será o eixo Oz. Utilizando 
a regra da mão direita, fazendo com que os dedos sigam o mesmo sentido do 
ângulo de 30º que se direciona de A⃗ para B⃗, teremos o polegar 
da mão apontando para cima, sendo este o sentido do produto 
vetorial. Assim, podemos expressar A⃗ · B⃗ = 12k ̂.
Utilizando o método das componentes e vetores unitários, de-
fi nimos primeiro as componentes de A⃗ e B⃗:
Ax= 6Ay = 0Az = 0
Bx = 4 · cos 30° = 2 3 By = 4 · sen 30° = 2Bz = 0
Por fi m, obtemos a componente de cada eixo:
Cx = AyBz - ByAz = (0) · (0) - (0) · (2) = 0
Cy = AzBx - BzAx = (0) · (2 3) - (6) · (0) = 0
Cz = AxBy - BxAy = (6) · (2) - (0) · (2 3) = 0
Por meio dos dois métodos, temos que o produto vetorial C⃗ possui compo-
nente somente no eixo Oz; portanto, o vetor se encontra exatamente em cima 
do eixo.
Movimento em duas e três dimensões: vetor posição e 
velocidade e vetor aceleração
Ao estudar o movimento em Física, geralmente são considerados 
os movimentos em uma linha reta. Todavia, sabe-se que na realidade 
os objetos ou corpos em geral podem realizar um movimen-
to em diferentes direções. Para isso, o movimento pode ser 
descrito em duas ou três dimensões, utilizando as grande-
zas vetoriais para deslocamento, velocidade e aceleração.
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 92
SER_ECPME_FIGEEXP_UNID3.indd 92 08/05/20 11:21
Vetor posição e velocidade
Para descrever o movimento de um corpo, é necessário descrever primei-
ro sua posição, queutiliza as coordenadas cartesianas x, y e z, para situar um 
ponto no espaço, e então desenhar um vetor que vai da origem do sistema de 
coordenadas até o ponto descrito, como mostra a Figura 9. Se o movimento 
ocorre nos três eixos considera-se três dimensões, ao passo que o movimento 
que ocorre somente nos eixos x e y é caracterizado como um movimento em 
duas dimensões.
Figura 9. Vetor deslocamento r⃗ no plano cartesiano (a) e vetor velocidade média (b). Fonte: YOUNG; FREEDMAN, 2008, 
p. 70. (Adaptado).
a) y
z
r
r = xî + yĵ + zk
zk
xî
yĵ
x
b) y
z
x
r1
Δr Δt
P1
P2
vm =
r2
Δr
O vetor r⃗ na Figura 9a representa o deslocamento de uma partícula partin-
do da origem até sua posição, conforme informações de suas componentes xî, 
yĵ e zk .̂ Considerando que inicialmente a partícula encontrava-se na posição P1, 
após um intervalo de tempo igual a ∆t a mesma partícula encontra-se na posi-
ção P2, como mostra a Figura 9b. Conhecendo a posição da partícula nos dois 
momentos, também serão conhecidos os vetores de deslocamento, e assim é 
possível definir o vetor velocidade média com a seguinte equação:
v⃗m = =
r⃗2 - r⃗1
t2 - t1 
∆r⃗
∆t
O vetor velocidade média é resultado de uma multiplicação de uma gran-
deza vetorial (∆r⃗ ) com o inverso de uma grandeza escalar (∆t), e dessa forma o 
vetor v⃗m terá a mesma orientação que o vetor deslocamento.
Assim como é possível calcular o vetor velocidade média, também é possí-
vel definir o vetor velocidade instantânea (v⃗ ) como o limite da velocidade média 
quando o intervalo de tempo tende a zero. Em outras palavras, pode-se dizer 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 93
SER_ECPME_FIGEEXP_UNID3.indd 93 08/05/20 11:21
que o vetor v⃗ é a derivada do vetor posição r⃗ em relação ao tempo. Uma vez 
que a variação do vetor deslocamento se decompõe nos eixos x, y e z, as com-
ponentes da velocidade instantânea v⃗ podem ser calculadas da seguinte forma:
vx = vy = vz =
dx
dt
dy
dt
dz
dt
DICA
O conceito de derivada está intimamente relacionado à taxa de variação 
instantânea de uma função. Aqui, será necessário utilizar a derivada para 
obter a equação da velocidade instantânea a partir das coordenadas de 
posição, apresentadas como função. Nesta situação específica, será 
necessário lembrar somente a regra do tombo, aplicada em funções com 
uma constante multiplicando uma função ou com soma e/ou subtração 
entre funções. A regra consiste em tombar o expoente da variável e mul-
tiplicá-la pela constante que a acompanha, subtraindo uma unidade do 
expoente inicial que acompanhava a variável.
Outra forma de calcular o vetor v⃗ é derivando a própria equação da veloci-
dade instantânea, conforme descrito a seguir:
v⃗ = = î + ĵ + k ̂
dr⃗
dt
dy
dt
dx
dt
dz
dt
O módulo do vetor v⃗ é obtido pelo teorema de Pitágoras com as componentes 
de cada eixo:
|v⃗ | = v = vx2 + vy2 + vz2 
Quando o movimento ocorre em duas dimensões, o módulo é calculado pelo 
teorema de Pitágoras com as duas componentes informadas, e a direção do vetor 
v⃗ é dada pelo inverso da tangente da componente em y pela componente em x, 
como mostra a equação a seguir:
v = vx
2 + vy
2 + vz
2 
tan α =
vy
vx
Exemplo 5:
Um paraquedista saltou de um avião e, ao aterrissar, caminha até um abrigo. 
O módulo de aterrissagem é a origem do sistema de coordenadas e o caminho 
até o abrigo está no plano xy. Para fins de representação no plano cartesiano, o 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 94
SER_ECPME_FIGEEXP_UNID3.indd 94 08/05/20 11:21
paraquedista será representado por um ponto, sendo que suas componentes 
x e y variam com o tempo de acordo com as relações a seguir:
x = 2,0 m - (0,25 m ⁄s2)t2
y = [(1,0 m ⁄s)t + (0,025 m ⁄s3)t3]
Deseja-se saber as coordenadas do paraquedista e sua distância do local 
da aterrissagem no instante t = 2 s. Quais serão os vetores deslocamento e 
velocidade média no intervalo de tempo entre t = 0 s e t = 2,0 s? E qual será a 
velocidade instantânea em t = 2,0 s, utilizando componentes e também em ter-
mos do módulo, direção e sentido?
Resolução:
A Figura 10 apresenta os vetores deslocamento e velocidade média a cada 
instante solicitado. 
Figura 10. Representação do movimento do paraquedista. Fonte: YOUNG; FREEDMAN, 2008, p. 71. (Adaptado).
2,5
2,0
2,0
α = 128º
Trajetória do 
veículo robótico
t = 1,0 s
t = 0,0 s
t = 2,0 s
v2
v1
v0
r1
r0
r2
y (m)
x (m)
1,5
1,5
1,0
1,0
0,5
0,50
Inicialmente, definimos o deslocamento no instante solicitado t = 2,0 s, tan-
to no eixo x quanto no eixo y:
x = 2,0 m - (0,25 m ⁄s2)(2,0)2 = 1,0 m
y = (1,0 m ⁄s)(2,0) + (0,025 m ⁄s3)(2,0)3 = 2,2 m
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 95
SER_ECPME_FIGEEXP_UNID3.indd 95 08/05/20 11:21
Localizando as coordenadas x = 1,0 m e y = 2,2 m no plano 
cartesiano, desenhamos o vetor deslocamento r⃗1, partindo 
da origem até a localização do paraquedista nas coordena-
das definidas. Conforme pode ser observado na Figura 10, o 
vetor r⃗2 nada mais é que a hipotenusa de um triângulo de lado 
1,0 (eixo Ox) e lado 2,2 (eixo Oy). Portanto, o módulo do vetor, que 
representa a distância do local de aterrissagem no instante t = 2,0 s, pode ser 
obtido pelo teorema de Pitágoras:
r = x2 + y2 = (1,0 m)2 + (2,2 m)2 = 2,4 m
A segunda questão pede para determinar o vetor deslocamento e vetor ve-
locidade média no intervalo 0 e 2 s. Podemos escrever o vetor posição r⃗ em 
função do tempo t:
r⃗ = xî + yĵ = [2,0 m - (0,25 m ⁄s2)t2]î + [(1,0 m ⁄s)t + (0,025 m ⁄s3)t3]ĵ
Para t = 0.
r⃗ 0 = [2,0 m - (0,25 m⁄s
2)02]î + [(1,0 m⁄s)0 + (0,025 m⁄s3)03]ĵ = (2,0 m)î + (0 m)ĵ
Para t = 2 s foi calculado que r⃗2 = (1,0 m)î + (2,2 m)ĵ.
Calculando a variação do deslocamento ∆r⃗ :
∆r⃗ = r⃗ 2 - r⃗ 0 = [(1,0 m)î + (2,2 m)ĵ] - [(2,0 m)î + (0 m)ĵ] = (-1,0 m)î + (2,2 m)ĵ
As coordenadas indicam que o paraquedista caminhou 1,0 m no sentido 
negativo do eixo Ox e 2,2 m no sentido positivo do eixo Oy.
O vetor velocidade média será obtido por:
v⃗m = = = (-0,5 m ⁄s)î + (1,1 m ⁄s)ĵ
∆r⃗
∆t
(-1,0 m)î + (2,2 m)ĵ
2,0 s - 0,0 s
Representando pelos componentes da velocidade média, tem-se:
vmx = -0,5 m⁄s e vmy = 1,1 m⁄s
Por fim, as componentes da velocidade instantânea são as derivadas das 
coordenadas em relação ao tempo:
vx = = (-0,25 m ⁄s
2)(2t) = (-0,50 m ⁄s2)t
dx
dt
vy = = 1,0 m ⁄s + (0,025 m ⁄s
3)(3t2) = 1,0 m ⁄s + (0,075 m ⁄s3)t2
dy
dt
Assim, o vetor v⃗ pode ser escrito da seguinte maneira:
v⃗ = vxî + vy ĵ = (-0,50 m⁄s2)tî + [1,0 m⁄s + (0,075 m⁄s3)t2]ĵ
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 96
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Desta forma, no instante t = 2,0 s, as componentes da velocidade instantânea 
serão:
vx = (-0,50 m ⁄s
2)(2,0 s) = -1,0 m ⁄s
vy = 1,0 m ⁄s + (0,075 m ⁄s
3)(2,0 s)2 = 1,3 m ⁄s
Mais uma vez, o módulo será obtido pelo teorema de Pitágoras, pois o vetor 
v⃗ forma um triângulo retângulo com suas componentes:
v = vx
2 + vy
2 = (-1,0 m⁄s)2 + (1,3 m⁄s)2 = 1,6 m⁄s
A direção do vetor pode ser obtida pelo inverso da tangente:
tan α = = = -1,3 → α = tan-1 (-1,3) = -52°
vy
vx
1,3 m ⁄s
-1,0 m ⁄s
O resultado apresenta um ângulo negativo. Entretanto, como observado na 
Figura 10, devemos subtrair esse valor negativo de 180º para obter a angulação 
no sentido de Ox para Oy, resultando em 128º:
α = 180° - 52° = 128°
Vetor aceleração
A aceleração representa a variação na velocidade de um corpo e, assim como a 
velocidade, é uma grandeza vetorial, pois possui módulo, direção e sentido. A de-
finição para vetor aceleração média (a⃗m) é a relação entre a variação vetorial da ve-
locidade instantânea v⃗ por um intervalo de tempo ∆t, conforme equação a seguir:
a⃗m = =
∆v⃗
∆t
v⃗ 1 - v⃗ 2
t2 - t1
A direção e o sentido do vetor a⃗m será o mesmo do ∆v⃗.
Analogamente à velocidade, para aceleração também tem-se o vetor acelera-
ção instantânea, representado por a⃗ e definido como o limite da aceleração mé-
dia quando dois pontos se aproximam e ∆v⃗ e ∆t tendem a zerosimultaneamente. 
Da mesma forma que a velocidade instantânea, a aceleração instantânea possui 
componentes nos três eixos do plano cartesiano e também pode ser expressa 
em termos de vetores unitários:
a⃗ = î + ĵ + k ̂
dvy
dt
dvx
dt
dvz
dt
ax = ay = az =
dvy
dt
dvx
dt
dvz
dt
a⃗ = lim
∆t→0
=
∆v⃗
∆t
dv⃗
dt
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 97
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Exemplo 6:
Considere o enunciado e os dados obtidos de velocidade instantânea em 
função do tempo e o vetor velocidade no Exemplo 5. Deseja-se saber os com-
ponentes do vetor aceleração média no intervalo de tempo entre t = 0,0 s e t = 
2,0 s e qual deve ser a aceleração instantânea no instante t = 2,0 s.
Resolução:
Revendo os dados obtidos no Exemplo 5, temos:
vx = = (-0,50 m⁄s
2)t e vy = = 1,0 m ⁄s + (0,075 m ⁄s
3)t2
dy
dt
dx
dt
v⃗ = vxî + vy ĵ = (-0,50 m⁄s2)tî + [1,0 m⁄s + (0,075 m⁄s3)t2]ĵ
Para calcular os componentes da aceleração média, precisamos calcular pri-
meiro a velocidade nos instantes t = 0,0 s e t = 2,0 s, início e fim do intervalo de 
tempo estipulado:
vx = (-0,50 m ⁄s
2)(0,0 s) = 0,0 m ⁄s e vy = 1,0 m ⁄s + (0,075 m ⁄s
3)(0,0 s)2 = 1,0 m ⁄s
e
vx = (-0,50 m ⁄s
2)(2,0 s) = -1,0 m ⁄s e vy = 1,0 m ⁄s + (0,075 m ⁄s
3)(2,0 s)2 = 1,3 m ⁄s
Sabendo as componentes da velocidade em cada eixo nos dois instantes 
estipulados, calculamos as componentes da aceleração média: 
amx = = = -0,5 m⁄s
2 
∆vx
∆t
-1,0 m ⁄s - 0,0 m ⁄s
2,0s - 0,0s
amy = = = 0,15 m⁄s
2 
∆vy
∆t
1,3 m ⁄s - 1,0 m ⁄s
2,0s - 0,0s
Por fim, calculamos as componentes da aceleração instantânea no instante 
t = 2,0 s pelas equações derivadas das componentes de velocidade:
ax = = -0,50 m ⁄s
2 
dvx
dt
ay = = (0,075 m⁄s
3)2t = (0,15 m⁄s3)(2,0 s) = 0,30 m⁄s2 
dvy
dt
a⃗ = (-0,50 m⁄s2)î + (0,30 m⁄s2)ĵ
O módulo da aceleração neste instante será obtido pelo teorema de 
Pitágoras:
a = ax
2 + ay
2 = (-0,50 m⁄s2)2 + (0,30 m⁄s2)2 = 0,58 m⁄s2
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 98
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Figura 11. Representação do movimento do paraquedista. Fonte: YOUNG; FREEDMAN, 2008, p. 75. (Adaptado).
2,5
2,0
2,0
α = 128º
β = 149º
Trajetória do 
veículo robóticot = 1,0 s
t = 0,0 s
t = 2,0 s
v1
v2
a2
a1
a0
y (m)
x (m)
1,5
1,5
1,0
1,0
0,5
0,50
v0
Casos especiais: movimento de um projétil e movimento 
circular uniforme
Este tópico apresentará os movimentos que utilizam as componentes do vetor ace-
leração e do vetor velocidade para descrever o movimento de um corpo. O estudo des-
ses movimentos é muito utilizado na Física para compreender situações do dia a dia.
Movimento de um projétil
Muitas vezes você deve ter visto uma pessoa chutando uma bola, que levanta 
voo por alguns segundos e volta ao chão. O movimento da bola nessa situação tem 
o mesmo princípio do movimento da água que é esguichada por uma fonte, uma 
pessoa saltando em distância, entre outros. Todos esses movimentos podem ser 
estudados como o movimento de um projétil ou movimento balístico. Este, por sua 
vez, é descrito como o movimento que ocorre quando um corpo é lançado no ar, 
cuja resistência pode ser desprezada e que sofre infl uência apenas da aceleração da 
gravidade para defi nir sua trajetória.
A direção do vetor aceleração instantânea a⃗ é obtido pela tangente do ân-
gulo formado em relação ao eixo Ox:
tan β = = = -31°
ay
ax
0,30 m ⁄s2 
-0,50 m ⁄s2 
β = 180° - 31° = 149°
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 99
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A Figura 12 mostra duas situações distintas em que o movimento pode ser 
analisado pelo movimento balístico.
Figura 12. Movimento balístico. Fonte: YOUNG; FREEDMAN, 2008, p. 78. (Adaptado).
Horizontalmente, o projétil exibe movimento de velocidade constante: sua aceleração
horizontal é zero e, portanto, percorre distâncias x iguais em intervalos de tempo iguais. 
y
v0y v0y
v1y
v3y
v0x
v0x
v1x v2x v3x
v3yv1x
a0
v3xv1y
x
ay = -g
No topo da trajetória, o projétil possui velocidade vertical igual a
zero (vy = 0), mas sua aceleração vertical continua a ser -g.
v3
v2
v1
v0
a
a
y
O
h
x
Linha de visada
Trajetória
φ
v
v0
O
A bola chutada na Figura 12 tem movimento para o alto e para frente, ad-
quirindo uma velocidade v⃗0 com um ângulo θ0 acima do plano horizontal. Con-
sequentemente, possui componentes nos eixos Ox e Oy, calculadas utilizando 
relações trigonométricas (conforme demonstrado anteriormente na definição 
de componentes de vetores), como mostram as equações a seguir:
v0x = v0 · cos θ0
v0y = v0 · sen θ0
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No movimento de projétil, a única aceleração atuante sobre o corpo é a ace-
leração da gravidade, que tem direção na vertical e sentido para baixo. Portanto, 
no movimento de projéteis, a aceleração na horizontal é nula e a aceleração na 
vertical é a aceleração da gravidade. Devido ao fato de a aceleração da gravi-
dade ser uma constante, as equações de cinemática podem ser utilizadas para 
determinar as componentes do vetor velocidade, como demonstrado a seguir. 
Observe que as componentes da velocidade são independentes uma da outra:
vx = vox → pois na horizontal não há aceleração da gravidade;
vy = voy - g · t → devido à aceleração, a velocidade varia em função do tempo.
O deslocamento do corpo também pode ser determinado pelas equações da 
cinemática:
y(t) = y0 + voy · t - g · t
2
1
2
x(t) = x0 + v0x · t
O início do movimento do projétil pode ser considerado na origem do plano 
cartesiano, como mostra a Figura 12. No instante t = 0 a posição em Ox é zero, 
assim como em Oy, porém as componentes da velocidade dependerão do ângu-
lo formado em relação ao eixo Ox. Dessa forma, as equações de deslocamento 
podem ser reescritas de seguinte maneira:
y(t) = (v0 · sen θ0) · t - g · t
2
1
2
x(t) = (v0 · cos θ0) · t
Assim é possível determinar a posição, nos eixos Ox e Oy, de um projétil a 
qualquer instante. Conhecendo as coordenadas da posição do projétil, podem 
ser obtidas outras informações, como: 
Distância da origem: r = x2 + y2 
Velocidade escalar do projétil: v = vx
2 + vy
2 
Direção e sentido da velocidade: tg α =
vy
vx
 
Equação da trajetória: y = (tg θ0) x -
gx2
2(v0 cos θ0 )
2
 
Alcance horizontal: R = sen 2θ0
v0
2
g 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 101
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As equações apresentadas podem ser utilizadas para todos os tipos de mo-
vimento de projétil (movimento balístico) nos dois formatos apresentados na 
Figura 12, tendo a posição inicial coincidindo com a origem do plano cartesiano 
ou iniciando em uma certa altura em y, como é o caso do lançamento feito do 
avião. A equação da trajetória do projétil indica que a trajetória sempre forma 
uma parábola.
Exemplo 7:
Um jogador de beisebol, ao bater com um bastão em uma 
bola, faz com que a mesma seja lançada com uma velocidade 
inicial de v0 = 37,0 m/s e um ângulo inicial de α0 = 53,1º. Conside-
rando a gravidade g = 9,81 m/s2, deseja-se saber a posição 
da bola e o módulo, a direção e o sentido de sua velo-
cidade para o instante t = 2,0 s. Quanto tempo a bola 
deve levar para atingir uma altura máxima e qual será 
essa altura antes de voltar ao chão? E qual será a distância 
em relação à origem quando a bola atingir o chão?
Resolução:
Projetando o movimento descrito para a bola de beisebol, no gráfico da Fi-
gura 12 temos que o vetor v⃗0 está fazendo um ângulo de 53,1º com o eixo Ox. 
Definindo as componentes v⃗0 temos:
v0x = v0 · cos α0 = (37,0 m ⁄s) · cos 53,1° = 22,2 m ⁄s
v0y= v0 · sen α0 = (37,0 m ⁄s) · sen 53,1° = 29,6 m ⁄s
Sabendo a velocidade inicial em cada eixo, podemos utilizar:
• Equação de posição para definir a posição da bola no instante t = 2,0 s;
y(2) = (v0 · sen θ0) · t - g · t
2 =
1
2
y(2) = (29,6 m⁄s) · (2,0 s) - (9,81 m⁄s2 ) · (2,0 s)2 = 39,6 m
1
2
x(2) = (v0 · cos θ0) · t = (22,2 m⁄s)· (2,0 s) = 44,4 m
• Equação da velocidade em função do tempo para definir a velocidade em 
t = 2,0 s;
vx = vox = 22,2 m ⁄s
vy = voy - g · t = 29,6 m ⁄s - (9,81 m ⁄s
2) · (2,0 s) = 10 m ⁄s
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 102
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• Teorema de Pitágoras para definir o módulo do vetor velocidade;
v = vx
2 + vy
2 = (22,2 m⁄s)2 - (10 m⁄s)2 = 24,3 m ⁄s
• Relação trigonométrica para definir a direção do vetor velocidade.
a = tan -1 = 24,2° em relação ao eixo Ox
(10 m ⁄s)
(22,2 m ⁄s) 
Para saber o tempo que a bola leva para atingir a altura máxima, deve-
mos saber que, quando a bola atinge a altura máxima, a velocidade vy será 
igual a zero, e este será o instante em que a bola começará a descer. Para 
isso, usamos a equação da velocidade em função do tempo:
vy = voy - g · t → t = = = 3,02 s
-vy + voy
g
0 + 29,6 m ⁄s
9,81 m ⁄s2
Definindo a posição y no instante t = 3,02 s teremos a altura máxima 
atingida:
y(3,02) = (29,6 m⁄s) · (3,0 s) - (9,81 m⁄s2) · (3,02 s)2 = 44,7 m
1
2
Por fim, a distância horizontal percorrida pela bola a partir da origem 
pode ser calculada de duas formas – pela equação do alcance ou pela 
equação do deslocamento no eixo Ox:
R = sen 2θ0 = sen(2 · 53,1°) = 134 m
v0
2
g
(37,0 m ⁄s)2
(9,81 m ⁄s2)
Pela equação do deslocamento em x, o instante considerado será o de duas 
vezes o tempo de subida da bola. O tempo de subida é igual ao tempo de desci-
da, posto que a aceleração é constante, sendo o tempo total de t = 6,04 s:
x(6,04) = 0 + (22,2 m⁄s) · (6,04 s) = 134 m
Movimento circular uniforme
O movimento circular uniforme é definido 
como o movimento de uma partícula ao longo 
de uma circunferência com velocidade escalar 
constante. Um satélite movendo-se em órbita cir-
cular ou um patinador descrevendo uma circunferên-
cia em uma pista de gelo com velocidade constante 
são exemplos de movimento circular uniforme. 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 103
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ASSISTA
O movimento circular traz parâmetros pouco comuns do 
nosso cotidiano, principalmente para os níveis básicos da 
faculdade. Algumas propriedades introdutórias sobre o 
movimento circular serão apresentadas no vídeo indicado 
com o intuito de complementar o conceito de aceleração 
centrípeta apresentada nesta unidade. Para tanto, o vídeo 
indicado traz de forma bastante didática alguns desses 
conceitos. 
Neste tipo de movimento, o vetor velocidade permanece tangente à 
circunferência e segue no mesmo sentido do movimento. O vetor acele-
ração, por outro lado, permanece perpendicular ao vetor velocidade e o 
sentido aponta para o centro da circunferência, conhecida também como 
aceleração centrípeta. 
A Figura 13 apresenta uma partícula se movendo com velocidade esca-
lar constante de um ponto P1 para o ponto P2 sobre uma circunferência e 
em determinado intervalo de tempo ∆t.
Figura 13. Partícula p se movendo sobre uma circunferência. Fonte: TIPLER, 2009, p. 79. (Adaptado).
v(t) v(t)
Δv
r(t)
r(t + Δt)
v(t + Δt)
v(t + Δt)
Δθ Δθ
Δθ
Δr
A aceleração centrípeta é calculada pela seguinte equação:
a =
v2
r
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 104
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em que r é o raio da circunferência e v a velocidade da partícula. O in-
tervalo de tempo que a partícula leva para percorrer todo o comprimento 
da circunferência (2πr) com velocidade constante é denominado período 
(T ), sendo obtido pela seguinte equação:
T =
2πr
v
Exemplo 8:
Um satélite se move com velocidade constante em uma órbita circular 
em torno do centro e próxima à superfície da Terra. Considerando que a 
magnitude da aceleração deste satélite é g = 9,81 m/s2, qual deve ser sua 
velocidade e o tempo que leva para dar uma volta completa em torno do 
planeta?
Resolução:
Inicialmente, devemos levar em consideração que, devido à proximi-
dade do satélite com a Terra, podemos considerar o raio da Terra como 
sendo o raio da órbita do satélite, que corresponde a 6370 km. Utilizando 
a equação da aceleração centrípeta temos:
v = (9,81 m ⁄s2) · (6370 km) = 7,91 km ⁄s
a =
v2
r
= 9,81 m⁄s2 
v2 = (9,81 m ⁄s2) · (6370 km)
Para definir o tempo, utilizamos a equação do período (T ):
T =
2π(6370 km)
7,91 km ⁄s
= 5060 s ou 84,3 min
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 105
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Sintetizando
Nessa unidade, estudamos como representar as grandezas da Física utili-
zando vetores. Para que as grandezas vetoriais sejam realmente compreendi-
das, não basta sabermos somente seu valor numérico e unidade da grandeza, 
como m/s e N (newtons); elas precisam ser indicadas de forma que sua orien-
tação também seja informada. Para isso, é importante que os vetores sejam 
corretamente desenhados e posicionados, a fim de indicarem a intensidade, a 
direção e o sentido da grandeza que está sendo representada.
Com os vetores, podemos realizar diversas operações como soma, subtra-
ção e multiplicação, devendo obedecer às regras estabelecidas para cada ope-
ração, diferentes das regras de aritmética e álgebra comum. A soma de vetores 
é realizada colocando a origem de um vetor na extremidade de outro, obtendo 
um novo vetor que representa o resultado da operação, e por isso recebe o 
nome de vetor resultante. Para subtrair um vetor de outro, ao colocar o sinal 
negativo à frente do vetor indicamos que o sentido do mesmo foi invertido e 
realizamos a operação como uma soma.
Um vetor pode especificar a orientação da grandeza quando o representa-
mos em seus componentes no eixo x, y ou z e até mesmo em termos de vetores 
unitários. Essa forma de representação facilita as operações de multiplicação 
entre vetores que podem resultar em um produto escalar, em que o vetor re-
sultante terá uma nova orientação.
As grandezas vetoriais apresentadas nessa unidade se referem à parte da 
Física que estudamos inicialmente sem utilizar vetores, pois consideramos o 
movimento em uma dimensão, ou seja, o movimento em linha reta. Com a uti-
lização dos vetores para essas grandezas físicas, é possível avaliar essas gran-
dezas em um movimento de duas e três dimensões.
Por fim, são apresentados dois casos especiais, onde necessariamente se 
aplica o movimento em duas ou mais dimensões: o movimento balístico e o 
movimento circular. Ambos apresentam característica específicas de movi-
mento em cada direção.
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 106
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Referências bibliográficas
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física - Eletromagne-
tismo. 10. ed., v. 3. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2016.
MOVIMENTO Circular Uniforme – Aula 01. Postado por Física 2.0. (14min. 
47s.). Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=P28aPQvFhmE>. 
Acesso em: 27 mar. 2020.
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros. 6. ed., v. 3. Rio 
de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2009. 
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física III Eletromagnetismo. 12. ed. São Paulo: 
Pearson Education do Brasil, 2008.
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 107
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FORÇA E 
MOVIMENTO, 
TIPOS DE ENERGIA 
E CONCEITO DE 
TRABALHO
4
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Conhecer as principais forças de contato e suas interações;
 Compreender as forças pelas leis de Newton;
 Aprender a identificar as forças atuantes em qualquer objeto;
 Aprender a desenhar um diagrama de corpo livre;
 Compreender as interações entre as forças que resultam em movimento;
 Compreender o conceito de trabalho;
 Compreender o conceito de trabalho em termos de energia;
 Saber distinguir os diferentes tipos de energia;
 Compreender a dinâmica para conservação de energia;
 Aprender a interpretar um diagrama de energia potencial.
 Força e movimento
 Leis de Newton
 Diagramas de corpo livree 
aplicações
 Energia cinética e trabalho
 Teorema do trabalho-energia
 Trabalho e energia com forças 
variáveis
 Potência
 Energia potencial e conserva-
ção de energia
 Conservação de energia
 Forças conservativas e não 
conservativas
 Diagrama de energia
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 109
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Força e movimento
Nesta unidade, serão apresentados os fatores envolvidos na causa e modi-
fi cação do movimento de um objeto. Esta é a parte da Física conhecida como 
princípios da dinâmica. Eles foram apresentados por Isaac Newton em 1687 
por meio de três leis que fi caram conhecidas como leis de Newton. Elas são 
fundamentais e foram baseadas não somente nas ideias e observações feitas 
por Newton, mas também na consulta de estudos realizados por seus anteces-
sores, como Copérnico, Brahe, Kepler e Galileu Galilei.
Basicamente, o que faz um corpo se mover é a ação de uma força sobre a 
massa desse corpo. A força é uma grandeza vetorial, portanto, devemos defi nir 
seu nome, módulo, direção e sentido. No Sistema Internacional de Unidades 
(SI), a unidade de força é o newton (N). 
Força é o termo empregado para estabelecer a interação entre dois 
objetos ou entre um objeto e o meio em que ele se encontra. Essa intera-
ção pode ocorrer diretamente por meio do contato físico, sendo, então, 
dividida em força normal, força de atrito, força de tensão e força elásti-
ca, mas também pode ocorrer sem que haja contato. Neste caso, elas são 
chamadas de força de longo alcance, como a força gravitacional, a força 
magnética e a força elétrica.
N
Força normal = N Força de atrito = Fat Força de tração = T
NN
Fat
N
Figura 1. Forças de contato. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 24/04/2020.
Como uma grandeza vetorial, todos os diferentes tipos de força são defi ni-
dos com um módulo e sua orientação. A força normal (N⃗) é gerada pela oposi-
ção à força de compressão que um corpo exerce sobre uma superfície; dessa 
forma, ela é representada sempre perpendicularmente ao plano em que se 
encontra o objeto.
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 110
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A força tração (T⃗) é a força aplicada em cordas e fios. 
Quando puxamos um objeto por meio de uma corda, 
estamos, na verdade, transmitindo força ao longo 
dessa corda até a extremidade oposta. Podemos di-
zer que cada pedaço dessa corda sofre uma tração, 
que pode ser representada por um par de forças iguais 
e contrárias que atuam no sentido do alongar da corda.
A força de atrito (F⃗at) é gerada quando duas superfícies 
estão em contato e se deve à aspereza da superfície do 
corpo. Um corpo em repouso sobre uma superfície leve-
mente inclinada mantém-se em repouso devido à força de 
atrito estática; para que o objeto entre em movimento, uma 
força maior que a força de atrito estática deve ser aplicada sobre ele. Por 
outro lado, um corpo que desliza sobre uma superfície continua com uma 
força de atrito atuante, isto é, a força de atrito dinâmica, que terá sentido 
oposto ao do movimento, fazendo com que o objeto entre novamente em 
repouso se a força que o fez se movimentar pare.
Diferentes tipos de materiais possuem texturas distintas, o que afeta a 
facilidade com que um objeto desliza sobre uma superfície. Pode-se dizer, 
então, que existe uma constante de proporcionalidade chamada de coefi-
ciente de atrito µ, o qual pode ser estático (µs) ou dinâmico (µk), e depen-
de do material dos corpos em contato e do polimento das superfícies. A 
força de atrito estática e a dinâmica são proporcionais à intensidade da 
força normal (N⃗).
A força elástica (F⃗el) é aquela exercida por uma mola sobre um corpo conec-
tado a ela, como mostra a Figura 2. Esse tipo de força obedece à lei de Hooke, 
enunciada por Robert Hooke, que observou que a mola apresenta uma defor-
mação elástica, ou seja, se retirada a força que a deforma, a mola retorna ao 
seu estado inicial. Se a força aplicada for duplicada, a deformação também irá 
dobrar, estabelecendo a relação:
F⃗el = k ∙ x 
Sendo K a constante de deformação da mola e x a deformação sofrida, que 
pode ser de expansão ou compressão.
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 111
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O dinamômetro é um exemplo de aplicação da F⃗el, pois a intensidade da for-
ça deformadora é proporcional à deformação causada, que é medida dentro 
de uma escala padronizada, indicando, assim, a força aplicada.
Na maioria das vezes, um único objeto está sujeito à ação de mais de uma 
força ao mesmo tempo, sendo possível simplifi car o efeito produzido por qual-
quer quantidade de forças a uma única resultante da soma vetorial de todas as 
forças. Assim, uma força pode ser substituída pelos seus componentes x e y.
Desta forma, para representar o vetor soma de muitos vetores de força, a 
notação comumente utilizada faz uso do símbolo de somatória ∑F⃗. 
Os componentes de um vetor podem ser expressos da mesma forma:
 Rx = ∑Fx e Ry = ∑Fy 
Sendo que o módulo poderá ser obtido pelo teorema de Pitágoras:
R = √Rx2 + Rx2
O ângulo entre R⃗ e o eixo Ox é obtido por: θ = tg -1 Ry ⁄ Rx, podendo estar pre-
sente em qualquer dos quatro quadrantes do plano cartesiano.
Lei de Hooke
O
x
2x
2F
F
Figura 2. Força elástica e deformação da mola. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 24/04/2020. 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 112
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A força resultante que age sobre um objeto pode ser nula (F⃗R = 0), mas isso 
não signifi ca que o objeto esteja sem movimento, ou seja, parado. Nessa situa-
ção, um objeto é considerado em equilíbrio, que pode ser estático, quando o 
objeto de fato se encontra em repouso e, assim, o vetor velocidade também é 
zero (v⃗ = 0). Porém, o objeto também pode estar em equilíbrio dinâmico, ou 
seja, em movimento retilíneo uniforme, com o vetor velocidade constante (v⃗ = 
constante) e a força resultante zero (F⃗R = 0).
As interações entre as forças exercidas sobre um objeto são esclarecidas pelas 
leis de Newton apresentadas a seguir como as leis fundamentais da dinâmica.
Leis de Newton
A primeira lei de Newton estabelece o princípio da inércia, que, apesar de 
ter sido primeiramente formulado por Galileu, posteriormente foi confi rmado 
por Newton como o primeiro princípio da dinâmica. O enunciado desta lei de-
termina que todo corpo em repouso permanece em repouso e todo corpo em 
movimento permanece em movimento sem alteração de sua velocidade até 
que uma força externa o faça sair desse equilíbrio.
Considere, por exemplo, um disco de hóquei sobre uma superfície muito 
lisa, comum nesse tipo de esporte, no início de uma partida. O disco permane-
cerá parado sobre o chão a menos que um jogador o acerte com o taco. Supo-
nha agora que um jogador irá acertar o disco com o taco em direção ao gol: o 
disco tenderá a seguir uma trajetória com velocidade constante 
a menos que outro jogador faça outra tacada. Na primeira si-
tuação, o disco estava em equilíbrio estático; na segunda, ele 
se encontrava em equilíbrio dinâmico.
Vale destacar que a comprovação do princípio da inér-
cia depende do sistema referencial considerado, chama-
do também de referencial inercial. Por exemplo, uma 
pessoa em pé dentro de um trem em movimento está 
parada em relação ao trem, mas em movimento em 
relação à Terra, com uma velocidade igual à do trem. 
Se este trem frear, a pessoa continua em movimento. 
Se o trem for considerado o referencial, não seria possível 
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explicar porque a pessoa iniciou o movimento quando o trem parou; pela lei 
da inércia, a pessoa deveria continuar parada, pois nenhuma força foi aplicada 
sobre ela. No entanto, quando o referencial é a Terra, a pessoa está em movi-
mento; portanto, quando o trem freia, ela continua em movimento, pois a força 
foi aplicada sobre o trem. 
Considerandonovamente o exemplo do jogo de hóquei, imagine agora que 
um jogador do mesmo time complemente a jogada acertando o disco com mais 
força, fazendo com que ele adquira uma velocidade maior em direção ao gol. A 
soma das forças aplicadas pelos dois jogadores fornece uma força resultante 
que será diferente de zero, ou seja, o disco não se encontra mais em equilíbrio 
dinâmico. Pode-se dizer ainda que a orientação da força resultante será a mes-
ma do vetor de aceleração a⃗ . 
Com esta explicação, estabelecemos a segunda lei de Newton ou princípio 
fundamental da dinâmica, que basicamente define que, quanto maior a força 
aplicada, maior será a aceleração de determinado corpo.
Assim, o princípio da segunda lei estabelece uma relação entre força e ace-
leração (variação da velocidade em um intervalo de tempo) que depende da 
massa do objeto, sendo demonstrada pela equação:
 F⃗ = m ∙ a⃗ [kg ∙ m
s²
 = newton]
Com essa equação, pode ser deduzido que uma mesma força aplicada 
sobre corpos de massas diferentes resultará em acelerações diferentes. Por 
exemplo, uma pessoa aplica uma força para empurrar um carrinho de super-
mercado vazio e anda tranquilamente pelos corredores. Quando o carrinho es-
tiver cheio, se a força for aplicada com a mesma intensidade, o carrinho andará 
mais lentamente, a não ser que a pessoa aplique uma força maior.
O peso é a força mais conhecida e erroneamente empregada ao ser utili-
zada para expressar a massa de um objeto. A força peso representa a força 
de atração gravitacional exercida pela Terra sobre todos os corpos em sua su-
perfície. Assim, ela é um tipo especial de força, cuja aceleração sempre será a 
aceleração da gravidade (9,81 m/s²), representada por:
 P⃗ = m ∙ g⃗
Com direção perpendicular à superfície e sentido para o centro da Terra.
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Da interação das forças entre os corpos, Newton concluiu que quando dois 
corpos interagem entre si, um par de forças estabelece uma relação de ação 
mútua que um corpo exerce sobre o outro, definindo a terceira lei de Newton 
ou princípio da ação e reação, o qual enuncia que toda ação corresponde a uma 
reação com mesma intensidade e direção, mas sentido contrário ao da primei-
ra. Apesar de as forças de ação e reação apresentarem a mesma intensidade, 
os efeitos produzidos irão depender da massa e das características do corpo, 
como apresentado na Figura 3.
Figura 3. Princípio de ação e reação. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 24/04/2020. 
Observe que duas bolas de bilhar idênticas são lançadas uma contra a outra 
com a mesma força. Ao se chocarem, a bola A exerce uma força de ação sobre 
a bola B ao mesmo tempo que sofre uma força de reação pelo choque. Em con-
sequência do choque, as duas bolas irão se movimentar em sentidos opostos 
com uma aceleração correspondente à força recebida. 
Por outro lado, se uma bola de bilhar e uma bola de boliche são empurradas 
com a mesma força uma em direção a outra, como mostra a Figura 3, no mo-
mento em que as duas se chocam, a bola de bilhar adquire uma velocidade no 
sentido oposto ao de seu sentido inicial e a bola de boliche permanecerá prati-
camente imóvel. A força tem a mesma intensidade, entretanto, a bola de bilhar 
possui massa menor que a bola de boliche, adquirindo uma aceleração maior.
F2
F2
F1
F1
A B
BA
8
8
F1
F2
F2
F1
a) b)
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Diagramas de corpo livre e aplicações
Os objetos estão sujeitos à ação de mais de um tipo de força – mesmo em 
repouso. Assim, para facilitar a identifi cação de forças que agem sobre um 
objeto ou conjunto de objetos, utiliza-se o diagrama de corpo livre, que se 
assemelha à representação dos vetores de força em um plano cartesiano, con-
siderando o objeto na sua origem.
Para ilustrar um diagrama de corpo livre, nada melhor que um exemplo de 
aplicação de diversas forças sobre um objeto. Vamos lá?
Exemplo 1: uma criança brinca no chão de uma sala recentemente lustra-
da com seu carrinho puxado por uma corda. Podemos considerar que prati-
camente não há atrito entre o carrinho e o chão. A criança corre puxando o 
carrinho com uma força de 0,9 N, e a corda faz um ângulo 25º acima do chão. 
O conjunto carrinho e corda possui massa equivalente a 0,8 kg. Deseja-se de-
terminar qual a aceleração do carrinho e a magnitude da força normal exercida 
pela superfície sobre ele.
Resolução: inicialmente, esboçaremos um diagrama de corpo livre repre-
sentando as forças atuantes no conjunto descrito, como mostra a Figura 4.
F
P
Fy
Fx
θ = 25°
N
Diagrama de
corpo livreF
Figura 4. Representação do enunciado do exemplo e diagrama de corpo livre. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 24/04/2020. 
Existem três forças atuantes: a normal N⃗, que é perpendicular à superfície em 
que o carrinho se encontra; a força peso P⃗, apontando para o centro da Terra; e a 
força de tração T⃗, que pode ser decomposta nas componentes Fx e Fy. Em segui-
da, avaliamos as forças que se encontram na mesma direção.
Iniciando a avaliação das forças na vertical, temos a força P⃗ que se opõe à força 
N⃗ e a Fy, simultaneamente. A força resultante na direção vertical é zero, pois o 
carrinho está totalmente em contato com a superfície. Assim, podemos escrever:
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 116
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P⃗ = N⃗ + Fy
Definindo o módulo dessas forças, temos: 
Fy = sen25° ∙ F = sen25° ∙ 0,90 N = 0,38 N
P = m ∙ g = 0,8 kg ∙ 9,81 m ⁄s² = 7,85 N
P = N + Fy → N = 7,85 N - 0,38 N = 7,47 N
A força N⃗ possui magnitude de 7,47 N.
Analisando as forças na horizontal, temos somente a componente da força Fx.
Fx = cos25° ∙ F = cos25° ∙ 0,9 N = 0,81 N
Assim, a aceleração do carrinho será: 
Fx = m ∙ a → a = 
Fx
m
 = 
0,81 N
0,80 kg
 = 1,01 m ⁄s² 
Exemplo 2: um bloco de massa m1 = 11,2 kg sobre um plano inclinado de ân-
gulo θ de 40º está preso por uma corda de massa desprezível, que passa por uma 
polia de massa e atrito desprezíveis a outro bloco de massa m2 = 3,2 kg. O coefi-
ciente de atrito estático é µs = 0,56 e o coeficiente de atrito dinâmico é µk = 0,25. 
Deseja-se saber se o bloco sobre o plano inclinado está em repouso ou em 
movimento. Se considerarmos que o bloco A está em movimento, qual será o 
módulo e a orientação da aceleração a⃗ ?
Resolução: inicialmente, vamos desenhar a descrição do enunciado e esbo-
çar o diagrama de corpo livre dos blocos A e B, considerando que ambos estão 
em repouso, como mostra a Figura 5.
Diagrama de
corpo livre
N
T
T
Fat
PA
PB
PAx PAy
A
A
B
B
θ = 40º
Figura 5. Representação do enunciado do exemplo e diagrama de corpo livre para os blocos A e B. 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 117
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Observe que a força de tração é aplicada sempre sobre a corda, a força que 
puxa o bloco A ladeira abaixo é a componente da força peso em x e a força de 
atrito pode ser colocada no mesmo sentido de P⃗Ax ou da T⃗, pois não sabemos para 
onde ela está direcionada. Assim, considerando as forças no bloco A, temos:
-Fat - PA ∙ sen40° + T = 0 
Considerando as forças no bloco B, temos somente forças no eixo Oy:
PB - T = 0
Como os blocos A e B estão ligados pela mesma corda, a força de tensão é a 
mesma, assim, podemos igualar as duas equações da seguinte forma:
-Fat - PA ∙ sen40° + PB = 0
-Fat - (mA ∙ g ∙ sen40°) + (mB ∙ g) = 0
-Fat - (11,20 kg ∙ 9,81 m ⁄s² ∙ sen40°) + (3,20 kg ∙ 9,81 m ⁄s²) = 0
-Fat - (70,62 N) + (31,39 N) = 0
Fat = - 39,23 N
O sinal negativo da força de atrito indica que ela está no sentido contrário 
ao que foi inicialmente colocada, ou seja, a força de atrito não está no sentido 
de descida do bloco A, mas, sim, no sentido de subida. Como a força de atrito 
tem sentido oposto ao do movimento, isso significa que o bloco estaria se mo-
vendo ladeira abaixo. 
Para saber se o bloco A está semovendo ou não, devemos calcular a força 
de atrito estática, que representa a intensidade da força necessária para tirar o 
bloco do repouso inicial. Temos assim:
Fat,s = μs ∙ N = μs ∙ PA cos40°
Fat,s = 0,56 ∙ (11,20 kg ∙ 9,81 m ⁄s² ∙ cos40°) = 47,13 N
A força necessária para tirar o bloco A do repouso deve ser, no mínimo, 
maior que a força de atrito estático, ou seja, maior que 47,13 N. A componente 
em x da força peso do bloco A gera uma força de atrito de 39,23 N, que não é 
suficiente para movimentá-lo, portanto, o bloco está em repouso.
Por outro lado, se considerarmos que o bloco A já se encontra em movimen-
to, presumimos que a força de atrito estática já foi superada e, portanto, a for-
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 118
SER_ECPME_FIGEEXP_UNID4.indd 118 08/05/20 11:21
ça de atrito dinâmica é a que existe. Assim, as forças atuantes no bloco A são: a 
força de atrito dinâmica, a força de tensão da corda e a força componente em x 
do peso. Podemos escrever da seguinte forma:
Fat,k - PA ∙ sen40° + T = mA ∙ a
PB - T = mB ∙ a
Isolando a segunda equação e substituindo na primeira, temos:
T = -(mB ∙ a) + PB
μk ∙ PA cos40° - PA ∙ sen40° + [-(mB ∙ a) + PB ] = mA ∙ a
(mA ∙ a) + (mB ∙ a) = μk ∙ PA cos40° - PA ∙ sen40° + PB
a ∙ (mA + mB ) = μk ∙ PA cos40° - PA ∙ sen40° + PB
μk ∙ PA cos40° - PA ∙ sen40° + PB
(mA + mB )
a =
[0,25 ∙ (11,20 kg ∙ 9,81 m⁄s² ∙ cos40°)] - (11,20 kg ∙ 9,81 m⁄s² ∙ sen40°) + (3,20 kg ∙ 9,81 m⁄s²)
(11,2 kg + 3,2 kg)
a =
a = -1,26 m ⁄s²
Assim, concluímos que o módulo da aceleração é de 1,26 m/s² e que ela está 
na mesma direção e sentido da componente em x da força peso do bloco A.
Energia cinética e trabalho
As leis de Newton auxiliam na compreensão do movimento 
de um objeto. Vimos que a força é o produto entre a massa 
e a aceleração de um objeto, mas de onde vem essa força? 
Como a aceleração é gerada? A resposta para essa pergun-
ta é energia. Por exemplo, uma pessoa que empurra uma 
caixa que está inicialmente em repouso aplica uma força 
sobre ela, mas, para que possa ter força para a ação, 
ela precisa de energia. Se essa mesma pessoa fi zer 
com que a caixa adquira uma aceleração maior, ela 
precisará aplicar uma força maior e, consequente-
mente, terá um gasto de energia maior. A essa varia-
ção de energia gasta dá-se o nome de trabalho.
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 119
SER_ECPME_FIGEEXP_UNID4.indd 119 08/05/20 11:21
O termo trabalho representa nada mais do que a realização de uma ativi-
dade que exija esforço tanto físico como mental. Na linguagem da Física, defi-
ne-se trabalho (W) como a aplicação de uma ou mais forças sobre um objeto, 
o que resulta no seu deslocamento. Estabelecemos esta relação pela seguinte 
equação:
W = F⃗ ∙ d⃗ = [N ∙ m = joule]
Pode ser deduzido que quanto maior for a força ou o deslocamento (ou 
ambos, simultaneamente), maior será o trabalho. O trabalho é uma grandeza 
escalar resultante do produto de duas grandezas vetoriais; assim, para obter o 
produto escalar dessa multiplicação, deve-se utilizar W = F ∙ d ∙ cosφ. O trabalho 
será o mesmo independente da orientação da força e do deslocamento. 
Por outro lado, o trabalho pode ser positivo, negativo e até nulo depen-
dendo da orientação da força com o deslocamento. Se a componente da 
força for aplicada na mesma direção e sentido que o deslocamento (φ entre 
zero e 90º), o W é positivo. Se a componente da força estiver na mesma di-
reção, mas no sentido oposto ao do deslocamento (φ entre 90 e 180º), o W 
será negativo. Se a força for perpendicular ao deslocamento (φ = 90º), o W 
será nulo.
Quando o trabalho é realizado pela aplicação de mais de uma força, pode 
ser obtido pela soma algébrica dos trabalhos resultantes de cada força ou ain-
da pelo cálculo do trabalho da força resultante da soma vetorial. Vamos ver um 
exemplo para esclarecer melhor esse conceito.
Exemplo 3: um fazendeiro engata uma carreta em seu trator carregada 
de madeira. Com o trator, o fazendeiro desloca a carreta por uma distância 
de 20 m em um caminho horizontal. O peso da carreta com as madeiras 
é de 14,7 kN (kilonewton = 10³ N). O trator exerce uma força constante de 
5 kN, formando um ângulo de 36,9º acima da horizontal. Considerando 
ainda uma força de atrito de 3,5 kN que se opõe ao movimento, qual deve 
ser o trabalho que cada força realiza sobre a carreta e o trabalho total rea-
lizado por todas as forças?
Resolução: inicialmente, esboçamos a situação apresentada pelo enuncia-
do para extrair o diagrama de corpo livre (Figura 6) e identificar as quatro for-
ças atuantes: força peso (P⃗), força normal (N⃗), força do trator (F⃗T) e a força de 
atrito (F⃗at). O deslocamento é o mesmo para todas as forças: 20 m na horizontal.
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 120
SER_ECPME_FIGEEXP_UNID4.indd 120 08/05/20 11:21
y
N
180°
FT = 5000 N
Fat = 3500 N
W = 14700 N
φ = 36,9°
d = 20 m
x
Figura 6. Trator carregando carreta de madeira e diagrama de corpo livre. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 24/04/2020. 
A força peso e a força normal são perpendiculares ao deslocamento. Dessa 
forma, os trabalhos WP e WN serão nulos. A força do trator forma um ângulo de 
36,9º com o deslocamento, assim, o trabalho da força do trator WT será:
 
WT = FT ∙ d ∙ cosφ = (5000 N) ∙ (20 m) ∙ cos36,9° = 79968,5 N ∙ m
WT = 79968,5 J
A força de atrito forma um ângulo de 180º com o deslocamento; assim, o 
trabalho da força de atrito Wat será:
Wat = Fat ∙ d ∙ cosφ = (3500 N) ∙ (20 m) ∙ cos180° = -70000 N ∙ m
Wat = -70000 J
O trabalho total será a soma dos trabalhos de cada força:
WTotal = WP + WN + WT + Wat = 0 + 0 + 79968,5 J - 70000 J
WTotal = 9968,5 J ≅ 10 kJ
Calculando o trabalho total pelo método da soma dos vetores, faremos ini-
cialmente a soma dos vetores das forças atuantes, que são somente as forças 
na horizontal: a componente x da força do trator e a força de atrito:
∑Fx = FTx ∙ cosφ + (-Fat) = (5000 N) ∙ cos36,9° - 3500 N
∑Fx = 498,4 N
WTotal = (∑F⃗) ∙ d⃗ = (∑Fx ) ∙ d = 498,4 N ∙ 20 m = 9968 N ∙ m
WTotal = 9968 J ≅ 10 kJ
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 121
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Teorema do trabalho-energia
Ao considerar o trabalho em termos de energia, primeiramente deve ser 
apresentada sua defi nição. Energia cinética (K) é uma grandeza escalar que 
está relacionada com a velocidade de um objeto de massa m, ou seja, é a ener-
gia associada ao movimento do objeto, portanto, quando um objeto se encon-
tra em repouso, ele não possui energia cinética.
Para compreender o trabalho utilizando o conceito de energia cinética, con-
sidere um objeto de massa m sendo deslocado por uma força constante que, 
consequentemente, possui uma aceleração constante. Utilizando a equação da 
cinemática para relacionar o deslocamento com a aceleração, tem-se:
vf² = vi² + 2ax ∆x
ax =
vf² - vi²
2∆x
Substituindo essa equação na equação da força (F = m ∙ a):
F = m ∙ =
vf² - vi² m ∙ vf² - m ∙ vi²
2∆x 2∆x
-∆x ∙ F =
m ∙ vf² m ∙ vi²
2 2
Pela equação de trabalho apresentada anteriormente, sabe-se que força 
multiplicada por deslocamento é o próprio trabalho, assim:
-W =
m ∙ vf² m ∙ vi²
2 2
Isoladamente, avaliando os termos da energia cinética, observa-se que sua 
unidade também é o joule, como mostra a equação a seguir:
K = kg ∙ = joulem ∙ v² =12
m²
s²
Desta forma, pode-se escrever por meio da equação a seguir que trabalho 
é a variação de energia cinética:
W = Kf - K i = ∆K
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 122
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Esta equação representa o teorema do trabalho-energia cinética, que in-
forma se houve aumento da energia cinética, indicando aumento da velocida-
de durante o deslocamento, o que resulta em trabalho positivo. Ou, ainda, se 
houve diminuição da energia cinética e, consequentemente, redução na veloci-
dade, resultando em trabalho negativo. Por fi m, se não há variação de energia 
cinética, não há trabalho.
Vale ressaltar que o teorema de trabalho-energiacinética foi deduzido 
considerando as forças constantes e, portanto, deve ser empregado somente 
em sistemas retilíneos uniformes. Outro ponto importante é que o teorema 
deve considerar um sistema de referência inercial, pois as interações entre as 
forças são justifi cadas pelas leis de Newton.
Trabalho e energia com forças variáveis
Muitas aplicações de força não são constantes, já que variam ao longo de 
um deslocamento, que, na maioria das vezes, não é retilíneo. Vamos compreen-
der primeiro as situações mais simples.
Imagine um ciclista pedalando por uma rua traçando um caminho retilíneo 
(ilustrado na Figura 7) com certa velocidade. Ao passar por um cruzamento, 
ele diminui a velocidade para prosseguir seu caminho com segurança e, em 
seguida, passa a aumentá-la. A variação de velocidade adotada pelo ciclista em 
função do tempo é representada grafi camente na Figura 7.
Figura 7. Deslocamento de um ciclista e sua representação gráfi ca. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 24/04/2020. 
x2 - x1
Gráfi co da força em
função da posição
A altura de cada faixa
representa a força média 
para esse intervalo
b)a) c)
F1x
F2xF2xF1x
Fx Fx
x
x1 x2
x
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 123
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Para determinar o trabalho realizado pelo ciclista neste percurso, não seria 
possível aplicar a equação do trabalho apresentada anteriormente. Uma solu-
ção é dividir o deslocamento total em intervalos menores, de modo a formar 
estreitos retângulos com uma das bases sobre o eixo x e a base superior na 
curva se assemelhando a uma reta e sendo considerada como força constante. 
Assim, o trabalho pode ser calculado para cada intervalo de deslocamento e o 
trabalho total será uma integral de Fx no intervalo de x1 a x2.
W = 
x2
x1
∫ Fxdx
Note que, ao multiplicar Fx no eixo 
Oy pelo deslocamento no eixo Ox, 
tem-se a área do estreito retângulo 
formado; somando as áreas de todos 
os retângulos formados abaixo da cur-
va se obtém o trabalho total.
O método de segmentar o desloca-
mento em pequenos intervalos para 
obter a área total por meio de uma 
integral também pode ser utilizado 
para deduzir o teorema de trabalho-
-energia cinética para forças variáveis. 
Substituindo Fx dx em cada intervalo 
de segmento pela variação da energia 
cinética, tem-se que a variação total de energia cinética será o resultado da so-
matória de todas as variações de energia cinética de x1 a x2. Em outras palavras, 
quando a força é variável, o trabalho será obtido por uma integral ou integra-
ção gráfica, calculando as áreas das formas geométricas formadas sob a curva 
que representa a variação da força em função do deslocamento.
Exemplo 4: um carro se desloca com velocidade constante por determinado 
trecho. Em seguida, reduz a velocidade, mantendo seu percurso. O Gráfico 1 re-
presenta a variação da força em função do deslocamento do automóvel em ques-
tão. Nessa situação, determine o trabalho realizado pela força sobre o carro en-
quanto ele se move de x = 0 m para x = 6 m.
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GRÁFICO 1. VARIAÇÃO DE FORÇA EM FUNÇÃO DA POSIÇÃO
5,0
5,0 6,0
x, m
Fx, N
4,0
4,0
3,0
3,0
2,0
A1
A2
2,0
1,0
1,0
Resolução: o trabalho realizado por uma força variável pode ser obtido ao 
se calcular a integral ou a área sob a curva que representa essa variação. O 
cálculo da área é mais prático; dessa forma, o trabalho total pode ser obtido ao 
se calcular a área de um retângulo e a de um triângulo e somar as duas ao final.
As dimensões do retângulo são 4 m de base (eixo x) e 5 N de altura (no eixo y). 
 O triângulo tem base de 2 m (no eixo x) e altura de 5 N (no eixo y).
Aretângulo = b ∙ h = 4,0 m ∙ 5,0 N = 20,0 J
= = 5,0 JAtriângulo =
b ∙ h 2,0 m ∙ 5,0 N
2 2
Wtotal = Atotal = Aretângulo + Atriângulo = 20,0 J + 5,0 J
Wtotal = 25,0 J
O teorema trabalho-energia com força variável tem uma aplicação especí-
fica quando se trata da força elástica. Conforme apresentado no início da uni-
dade, a força elástica obedece a uma constante de deformação proporcional à 
força aplicada, sendo essa força dada pela equação Fel = k ∙ x.
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 125
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GRÁFICO 2. CÁLCULO DO TRABALHO REALIZADO PARA ESTICAR A MOLA EM 
UMA DEFORMAÇÃO X
0
x
Kx
Fx = Kx
Fx, N
x
W = Kx22
1
O trabalho realizado pela força quando a deformação varia de zero ao valor 
máximo de x é dado por:
W = 
x
0
∫ Fxdx = 
x
0
∫ Kxdx = 12 Kx²
Esse mesmo resultado pode ser obtido ao se obter a área do triângulo que 
representa o trabalho total realizado pela força. Especificamente neste caso, a 
variação da força elástica resultou em um gráfico cuja área é a de um triângulo. 
Podemos concluir que, na deformação de uma mola, o trabalho total é propor-
cional ao quadrado do alongamento total x. Ou seja, para esticar uma mola em 
2 cm, deve ser realizado um trabalho quatro vezes maior do que o necessário 
para esticar a mola em 1 cm.
Exemplo 5: uma mulher pesando 600 N está em pé sobre uma balança 
de mola contendo uma mola rígida, como mostra a Figura 8. No equilíbrio, 
a mola está 1 cm comprimida devido à ação do peso da mulher. Qual a 
constante elástica da mola e o trabalho realizado pela força de compres-
são sobre a mola?
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 126
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-1,0 cm
+x
Fx < 0
Figura 8. Trabalho realizado sobre a mola da balança. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 24/04/2020. 
 Resolução: nesta situação, temos a força peso da mulher agindo cima para 
baixo sobre a mola e a força da mola sobre a mulher de baixo para cima. O peso 
da mulher está comprimindo a mola, cuja deformação é proporcional à força, 
então, é possível determinar a constante elástica da mola pela equação:
Fel = k ∙ x → k = 
Fel
x
 = -600 N
-0,010 m
 = 6,0 · 104 N ⁄m
Determinada a constante da mola, podemos identifi car o trabalho da mu-
lher sobre a mola da balança:
W = 1
2
 kx2² - 
1
2
 kx1² = 
1
2
 (6,0 · 104 N ⁄m) ∙ (-0,01 m) - 12 kx1²
W = 12 (6,0 · 10
4 N ⁄m) ∙ (-0,01 m)² - 1
2
 (6,0 · 104 N ⁄m) ∙ (0)² = 3,0 J
Potência
Muitas vezes, conhecer apenas o trabalho realizado por uma força sobre 
um objeto não é sufi ciente, sendo necessário saber o tempo gasto para a rea-
lização deste trabalho. Assim, quando se faz a relação entre trabalho e tem-
po, tem-se o conceito de potência média, dado pela seguinte relação entre as 
grandezas escalares:
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 127
SER_ECPME_FIGEEXP_UNID4.indd 127 08/05/20 11:25
Pm = = watt
∆W
∆t
J
s
Assim como a força que realiza o trabalho pode não ser constante em fun-
ção do deslocamento, o trabalho também poderá sofrer uma variação ao longo 
do tempo. Nestas situações, calcula-se a potência instantânea P como o limite 
da razão entre trabalho e tempo, como mostra a equação a seguir:
P = lim
∆t→0
=∆W dW∆t dt
A potência pode ser medida utilizando a unidade kilowatt (10³ W) ou 
megawatt (106 W). Muitos equipamentos trazem a medida de potência na 
unidade inglesa hp, que significa horse-power ou cavalo-vapor, em portu-
guês, e cuja equivalência é de 1 hp = 746 W ou 0,746 kW.
EXPLICANDO
Não confunda kilowatt (kW) com kilowatt-hora (kWh). O kW (ou W ou 
hp) é uma medida de potência, que mensura o trabalho realizado em um 
intervalo de tempo, enquanto o kWh é a unidade utilizada pelas con-
cessionárias de energia elétrica como forma de informar o consumo de 
energia elétrica no mês. O kWh não é uma informação de potência do 
sistema elétrico: 1 kWh por exemplo, informa o trabalho total realizado 
por uma potência de 1 kW no período de uma hora. Em outras palavras, 
quando na conta de luz aparecer o consumo de 180 kWh/mês, deve-se 
entender que uma potência total de 180 kW foi utilizada durante as 720 
horas que completam o mês.
Outra forma de descrever a potência se faz em termos da força e da veloci-
dade. Imagineum objeto sendo empurrado por uma força F⃗, fazendo com que 
ele tenha um deslocamento na horizontal ∆d⃗.
Considerando que a componente x dessa força encontre-se tangente ao 
deslocamento, o trabalho realizado será:
∆W = Fx ∙ cosφ ∙ ∆d
E a potência média será:
Pm = = Fx ∙ cosφ = Fx ∙ cosφ ∙ vm
∆dFx ∙ cosφ ∙ ∆d
∆t∆t
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 128
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Os termos à direita dessa equação representam o produto escalar da mul-
tiplicação de dois vetores, que pode, então, ser reescrita da seguinte forma:
P = F⃗ ∙ v⃗
Exemplo 6: em Chicago, acontece uma corrida nas escadas da Torre Sears, 
o edifício mais alto dos Estados Unidos, com 443 m. Uma participante de massa 
50 kg sobe correndo as escadas, chegando ao topo em 15 min. Qual deverá ser 
a potência média em watts, kilowatts e horse-power?
Resolução: inicialmente, consideramos o deslocamento na vertical, do tér-
reo ao topo do prédio (de baixo para cima), que será de 443 m. Assim, teremos 
o trabalho realizado pela força peso da corredora atuando na mesma direção e 
sentido do deslocamento, de 0 a 443 m:
W = P ∙ h = mg ∙ h = 50,0 kg ∙ 9,81 m ⁄s² ∙ 443 m
W = 2,17 ∙ 105 J
O trabalho será realizado em 15 min, que correspondem a 900 s. Assim, a 
potência média será calculada como:
Pm = 
W
∆t = 
2,17 · 105 J
900 s
 = 241 W = 0,241 kW
 
Pm = 0,241 kW ∙ 
1 hp
0,746 kW = 0,323 hp
Outra forma de calculá-la é considerando os termos velocidade e força:
vm = 
∆d
∆t = 
443 m
900 s =0,492 m ⁄s
Pm = Fx ∙ cosφ ∙ vm = (50,0 kg ∙ 9,81 m ⁄s² ∙ cos0°) ∙ (0,492 m ⁄s)
Pm = 241 W
Energia potencial e conservação de energia
Quando um objeto está em repouso, não possui energia cinética; quando 
ele se movimenta, resulta em uma variação de energia cinética. Você consegue 
imaginar de onde essa energia surgiu? Será que quando um objeto está em re-
pouso ele não possui nenhum tipo de energia? A resposta para essas perguntas 
serão os conceitos principais estudados neste tópico.
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 129
SER_ECPME_FIGEEXP_UNID4.indd 129 08/05/20 11:25
A energia de um objeto que se encontra em repouso é 
denominada energia potencial. A partir do momento que 
este objeto começa a se movimentar, a energia potencial 
se converte em energia cinética: este fenômeno é regido 
pela chamada lei da conservação de energia.
Como o próprio nome já diz, a energia de um objeto em 
repouso indica seu potencial de transformar essa energia em mo-
vimento (energia cinética). Considere uma bola de pingue-pongue 
sendo elevada a 1 m do chão. Ao soltá-la em direção ao solo, a bola 
adquire uma quantidade de energia cinética. Se essa mesma bola for elevada 
a uma altura maior, a energia cinética será ainda maior. Ou seja, quanto mais 
elevada estiver a bola, maior seu potencial em gerar energia cinética. Dessa 
forma, a energia potencial está relacionada não somente ao estado de repouso 
de um objeto, mas também à sua posição em relação ao solo.
Quando falamos de um objeto de massa m parado a uma determinada altu-
ra do solo, a única força que poderia fazê-lo se mover é a gravidade. Define-se 
que este objeto tem uma energia potencial gravitacional associada a ele e seu 
deslocamento ocorrerá na vertical. O teorema trabalho-energia pode ser apli-
cado para esse tipo de energia também. Considerando que o deslocamento 
ocorre de uma altura inicial y1 para uma altura final y2 e a força atuante será o 
peso do próprio objeto, tem-se a seguinte equação:
Wgrav = Fg ∙ d = mg ∙ (y1 - y2) = mgy1 - mgy2
Se y1 é maior que y2, o objeto cai de uma altura maior para uma altura menor 
e realiza trabalho positivo. O contrário pode ocorrer quando um objeto é joga-
do para cima; assim, o trabalho é negativo. Ao termo mgy1 é dada a definição 
de energia potencial gravitacional (Ugrav) e, portanto, o teorema trabalho-ener-
gia potencial resulta em:
Wgrav = Ugrav-1 - Ugrav-2 = -(Ugrav-2) -Ugrav-1) = -∆Ugrav
O sinal negativo do teorema é fundamental, pois se um objeto se move 
de baixo para cima, o y aumenta e, consequentemente, a energia potencial 
se eleva. Por outro lado, se o objeto se move de cima para baixo, a energia 
potencial diminui.
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 130
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Outro tipo de energia potencial é a elástica, na qual o trabalho realizado se 
deve a uma força elástica proveniente de uma mola ou um elástico, fazendo 
com que um objeto se desloque de um ponto a outro. Uma criança com um 
estilingue, por exemplo: ao esticar o elástico com uma pedra, a força aplicada 
realiza trabalho sobre o elástico, acumulando energia. Ao soltar o elástico, a 
energia cinética é transferida à pedra, que adquire velocidade.
A energia potencial elástica pode ser generalizada para qualquer tipo de 
corpo que se deforma ao armazenar energia e tem a capacidade de voltar 
ao seu formato anterior à deformação. Em outras palavras, o corpo deve 
obedecer à lei de Hooke, sendo a deformação proporcional à força aplicada.
Conforme já visto, o trabalho realizado por uma força elástica sobre uma 
mola que se move de x1 a x2 foi definida como:
W = 12 kx2
2 - 12 kx1
2
Pela terceira lei de Newton, consideramos que a força aplicada na mola por 
um objeto é de mesma intensidade e sinal contrário à força aplicada pela mola 
em um objeto. Portanto, pode-se concluir que o trabalho realizado pela mola é:
Wel = 
1
2 kx1
2 - 12 kx2
2
Desta forma, a energia potencial elástica pode ser obtida por:
Uel = 12
 kx²
Portanto, o trabalho da mola, em termos de variação da energia potencial 
elástica, será:
Wel = Uel-1 - Uel-2 = -∆Uel
Se a mola é esticada, x2 será maior que x1, portanto, o trabalho é negativo. 
Se houver compressão da mola, x2 < x1, então o trabalho será positivo. Vale 
ressaltar que a energia potencial elástica sempre será positiva e que, quando a 
mola não estiver deformada (comprimida ou alongada), x será zero.
Aplicando o conceito de trabalho-energia, conforme o exemplo adotado do 
menino com o estilingue, tem-se:
Wtotal = Wel , onde Wtotal = K2 - K1
Wtotal = Wel → K2 - K1 = Uel-1 - Uel-2
Uel-1 + K1 = K2 + Uel-2
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Essa equação representa que a energia mecânica total (E = K + Uel) se con-
serva quando consideramos que a massa da mola é desprezível ou que sua 
massa é muito menor que a do objeto preso em sua extremidade, como no 
caso da mola de suspensão de um automóvel.
CURIOSIDADE
Os automóveis possuem um sistema de suspensão composto basicamente 
por molas e amortecedores ligados aos eixos das rodas, que trabalham em 
conjunto para que o motorista e outros passageiros não sintam as irre-
gularidades do asfalto. As molas têm a função de se deformarem quando 
o automóvel passa por um buraco, lombada ou outra irregularidade no 
plano. Nessa deformação, ela armazena uma quantidade de energia 
potencial elástica que, em vez de ser transferida para o automóvel, é 
transferida para o amortecedor. O amortecedor, por sua vez, tem a função 
de converter essa energia recebida pela suspensão em energia térmica, 
ou seja, dissipando-a em forma de calor.
Conservação de energia
Sabendo a defi nição de energia potencial gravitacional e de energia cinéti-
ca, será considerada a atuação dessas duas energias em conjunto. Imagine um 
objeto de massa m cuja força atuante é somente a força da gravidade. Ao cair, 
ele possui uma velocidade v1 a uma altura y1 e, alguns segundo depois, esse 
mesmo objeto possui uma velocidade v2 a uma altura y2. O teorema trabalho-e-
nergia indica que o trabalho realizado sobre o corpo corresponde à variação da 
enérgica cinética (Wtotal = ∆K). 
Por outro lado, como a única força atuante é a gravidade sobre o objeto, 
também pode ser considerado que o trabalho corresponde à variação de ener-
gia potencial:
(W total = Wgrav = -∆Ugrav )
Desta forma, faz-se a seguinte relação:
∆K = -∆Ugrav → K2 - K1 = Ugrav-1 - Ugrav-2Ou ainda:
K1 + Ugrav-1 = K2 + Ugrav-2
Dá-se o nome de energia mecânica total do sistema ao termo K + Ugrav. 
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Assim, E1 = K1 + Ugrav-1 representa a energia mecânica total na altura y1 e 
E2 = K2 + Ugrav-2 representa a energia mecânica total na altura y2. Desta forma, 
tem-se que E1 = E2, ou seja, a quantidade de energia permanece constante de 
uma altura para outra. Nessas condições, pode ser considerado que, quando 
somente a força gravitacional realiza trabalho, a energia mecânica é conservada. 
Entenda que isso não quer dizer que a energia cinética e a potencial gravitacional 
se mantenham constantes em alturas diferentes: somente sua soma é constante. 
Por isso, pode ser usado o conceito de que a energia potencial é convertida em 
energia cinética ao passo que um objeto adquire movimento, ou que a energia ciné-
tica se converte em energia potencial ao passo que um objeto entra em repouso.
ASSISTA
Para demonstrar que a energia não é criada nem destruída, mas, sim, 
transformada, o vídeo Quadro Experimento - Conservação de energia 
apresenta um experimento clássico sobre a conversão da energia poten-
cial gravitacional em energia cinética. 
Ao inserirmos em um sistema outro tipo de força além da força gravitacional, o 
conceito de trabalho, em termos de energia cinética e potencial gravitacional, pode 
ser mantido, adicionando-se somente o trabalho realizado por essa outra força. Veja:
 
Wtotal = WF + Wgrav → K2 - K1 = WF + (Ugrav-1 - Ugrav-2 )
K2 + Ugrav-2 = WF + (Ugrav-1 + K1 )
E2 = WF + E1
WF = E2 - E1
A equação descreve que o trabalho realizado por qualquer outra força que 
não seja a gravidade corresponde à variação da energia mecânica total.
Exemplo 7: em um projeto de sistema de segurança para um elevador, colo-
ca-se uma mola de amortecimento no fundo do poço do elevador para o caso 
de haver o rompimento do cabo. O sistema é dimensionado considerando que 
o elevador possui massa de 2000 kg e cai a uma velocidade de 4 m/s sobre a 
mola. Contando com uma braçadeira de segurança que exerce sobre o ele-
vador uma força de atrito de 1700 N, a mola deve ser comprimida em 2 m, 
fazendo o elevador parar. Nessas condições, deve-se determinar qual será a 
constante elástica da mola para que os requisitos do projeto sejam atendidos.
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Resolução: primeiramente, identificam-se as energias. Temos energia ciné-
tica (K), gravitacional (U), elástica (Uel) e a energia dissipada pela força de atrito 
que realiza trabalho negativo sobre o elevador (WFat), portanto, a energia me-
cânica total não é conservada.
Em seguida, consideramos a posição do elevador. Como ele se desloca na 
vertical, podemos tomar as posições no eixo y com a posição y1 na origem e a po-
sição y2 a 2 m abaixo da origem, pois a mola estará comprimida, como mostrado 
na Figura 9. A equação geral que representa o sistema será a seguinte:
K1 + U1 + Uel-1 + WFat = K2 + U2 + Uel-2
Figura 9. Representação de força de atrito e elástica atuantes para amortecer a queda de um elevador. Fonte: Shutterstock. 
Acesso em: 27/04/2020. 
Avaliando separadamente cada tipo de energia, temos:
• A energia cinética em y1, quando o elevador chega à mola com v1 = 4,0 m/s:
 
K1 = 
1
2 mv1
2 = 12 (2000 kg) (4,0 m ⁄s)² = 16000 J
2,0 m
Ponto 1
Ponto 2
Início da queda
P
v1 = 4,0 m/s v2 = 0
Fat = 17000 N
Final da queda
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• A energia cinética em y2, quando o elevador deve ter v2 = 0 m/s, pois essa é 
a função da mola, portanto, K2 = 0.
• A energia potencial gravitacional em y1 será zero, pois y1 está na origem: 
U1 = 0.
• A energia potencial gravitacional em y2, pois a posição do elevador será
-2 m, portanto:
U2 = mgy2 = (2000 kg) ∙ (9,81 m ⁄s²) ∙ (-2,0 m) = -39240 J
• A energia potencial elástica em y1 é zero, pois a mola não está deformada: 
Uel-1 = 0.
• A energia potencial elástica em y2 será utilizada para determinar a constan-
te elástica da mola (K): 
Uel-2 = 
1
2 ky2
2 = 12 k(-2,0m)² = k(2,0m)
Por fi m, outro termo da equação, que é o trabalho realizado pela força de 
atrito nos 2 m até o elevador parar, será:
WFat = F ∙ d = -(17000 N)(2,0 m) = -34000 J
Substituindo os termos defi nidos na equação geral, temos:
K1 + U1 + Uel-1 + WFat = K 2 + U2 + Uel-2
16000 J + 0 + 0 - 34000 J = 0 - 39240 J + (2,0 m)K
(2,0 m)K = 21240
K = 10620 N ⁄m
Forças conservativas e não conservativas
Na defi nição do conceito de energia mecânica, foi intro-
duzido o termo energia conservada. Aprofundando este 
tema, considera-se que a força que gerou energia po-
tencial que, posteriormente, foi convertida em energia 
cinética (o contrário também é válido), pode ser consi-
derada uma força conservativa. Exemplos deste tipo de 
força são a força gravitacional e a força elástica.
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Uma característica essencial das forças conservativas é que o trabalho reali-
zado por elas deve ser reversível: a energia potencial é convertida em energia 
cinética e vice-versa, sem que ocorram perdas de nenhum tipo. Além disso, o 
trabalho nessas condições é dado pela diferença entre o valor inicial e final da 
função energia potencial, independente da trajetória, podendo ser igual a zero 
caso o ponto inicial coincida com o ponto final.
Em contrapartida, nem todas as forças podem ser consideradas conserva-
tivas. Uma delas é a força de atrito, que atua em objetos que se movimentam 
sobre uma superfície. Ela sempre atuará no sentido contrário ao do movimen-
to, realizando um trabalho negativo. Imagine uma moto rodando sobre uma 
rua: o motoqueiro faz uma frenagem brusca na qual a moto derrapa por alguns 
metros, a velocidade reduz e, consequentemente, a energia cinética também 
diminui. Nessa situação, a energia cinética foi perdida, não podendo ser recu-
perada, portanto, a energia mecânica não é conservada. 
O atrito e a força de resistência ao escoamento de fluidos são considerados 
forças não conservativas e produzem uma perda ou dissipação de energia me-
cânica, sendo, portanto, definidas como forças dissipativas. Elas normalmen-
te são perdidas em forma de calor, podendo o objeto perder ou ganhar calor 
(pela diminuição e elevação da temperatura). O conceito de ganhar calor está 
mais relacionado às reações químicas.
A quantidade de energia dissipada em forma de calor associada à mudança 
de temperatura do objeto denomina-se energia interna, que aumenta quan-
do a temperatura do objeto se eleva e diminui quando a temperatura se reduz. 
Essa energia interna pode ser quantificada e considerada no montante total 
de energia em um sistema, possibilitando a aplicação da lei da conservação de 
energia. Para exemplificar, considere um bloco deslizando sobre uma superfí-
cie rugosa. O trabalho realizado pela força de atrito sobre o bloco é negativo, 
enquanto a superfície e o bloco terão uma variação positiva da energia interna, 
pois ambos se aquecem (mesmo que sutilmente). Considere a relação a seguir:
∆Uint = -WFat
Considerando a equação desenvolvida para relacionar a variação da ener-
gia mecânica quando existe trabalho de uma força qualquer (WF = E2 - E1), esse 
é o trabalho realizado pela força de atrito:
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∆Uint = -E2 + E1 = -(K2 + Ugrav-2) + (Ugrav-1 +K1)
∆Uint = -K2 - Ugrav-2 + Ugrav-1 + K1
Ugrav-2 -Ugrav-1 + K2 - K1 + ∆Uint = 0
∆U + ∆K + ∆Uint = 0
Assim, defi ne-se a forma geral da lei da conservação da energia, que deter-
mina que em um sistema pode ocorrer variação de energia interna, potencial 
e cinética, mas sua somatória será sempre igual a zero. Esse conceito pode ser 
empregado em qualquer situação na natureza: a energia não se cria ou se des-
trói, masapenas se transforma.
Diagrama de energia
O movimento de um objeto e as variações de energia podem ser ex-
pressas em forma gráfica, com a energia potencial em função da posição 
do objeto no sistema, conhecida como diagrama de energia. Para faci-
litar a interpretação gráfica, é considerado que o movimento ocorre em 
linha reta sobre o eixo x ; desta maneira, para construir a curva do grá-
fico, basta definir a relação entre a energia potencial e a força que atua 
sobre a partícula.
A energia potencial foi conceituada utilizando como referência a força 
da gravidade atuante em um objeto, considerando, assim, a energia poten-
cial gravitacional. Porém, a energia potencial pode ser resultado da atua-
ção de outra força que não a gravitacional ou a elástica, sendo denomina-
da somente de energia potencial. Da mesma forma, o trabalho realizado é 
considerado como a aplicação de tal força sobre um objeto, resultando no 
seu deslocamento. 
Assim, para defi nir essa força a partir de uma dada energia potencial, po-
de-se considerar:
W = F(x) ∙ ∆x 
Empregando a mesma relação da energia potencial gravitacional:
W = -∆U → F(x) ∙ ∆x = -∆U
∆U
∆x
∆U
∆x
dU(x)
dxF(x) = - = - lim = -∆x→0
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Para construir um diagrama de energia, é necessário utilizar a relação da 
energia potencial para um sistema no qual um objeto se move em linha reta 
devido à ação de uma força genérica que realiza trabalho sobre ele, como mos-
tra o Gráfico 3. A energia em função da posição forma uma parábola, e a força 
pode ser determinada em vários pontos de inclinação desta curva.
GRÁFICO 3. DIAGRAMA DE ENERGIA DE UMA FUNÇÃO DE ENERGIA 
POTENCIAL E FORÇA CORRESPONDENTE
E3
U
Ponto instávelPonto estável
E2
xc xdxa xbx1 x2 x3 x4 x
E1
E0
0
Em pontos específicos, como x1 e x3, a curva da energia potencial não 
possui inclinação; desta forma, a força será zero, considerando um ponto de 
equilíbrio estável. Se o objeto se mover para a direita desses pontos (tanto 
x1 quanto x3), a inclinação da curva será positiva e a força, negativa, ou seja, 
ela estará atuando no sentido contrário ao do deslocamento, empurrando o 
objeto para o ponto de equilíbrio estável. O mesmo ocorre se o objeto se des-
locar para a esquerda: a inclinação da curva será negativa e a força atuante, 
positiva, empurrando o objeto novamente para o ponto de equilíbrio estável. 
Nesses casos, a força é chamada de restauradora, pois leva o objeto a reto-
mar sua posição estável.
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Nos pontos x2 e x4, a curva da energia potencial também não possui 
inclinação, sendo estes pontos também considerados de equilíbrio. Entre-
tanto, se o objeto se mover para a direita, a curva da energia potencial 
terá inclinação negativa e a força atuante será positiva e, portanto, estará 
empurrando o objeto para longe do ponto de equilíbrio. O mesmo ocorre 
se o objeto se deslocar para a esquerda: a curva de energia potencial terá 
inclinação positiva e a força será negativa, empurrando o objeto para lon-
ge do ponto de equilíbrio. Assim, os pontos x2 e x4 correspondem a pontos 
de equilíbrio instável.
Para entender melhor o comportamento do objeto nessa situação, será 
feita uma analogia com uma bolinha de gude. Na primeira situação, a bolinha 
é colocada na beirada de um recipiente de fundo redondo. Ela tende a ir para 
o fundo e parar, encontrando o equilíbrio estável. Agora, na segunda situa-
ção, a bolinha é colocada no topo de uma superfície redonda. A bolinha tende 
a cair para um dos lados; o topo seria o equilíbrio instável.
Além disso, no diagrama de energia, representa-se a quantidade total 
de energia (energia mecânica), assim, a variação da energia cinética a cada 
ponto pode ser obtida pela diferença entre a energia mecânica e a potencial. 
Assim, voltando ao Gráfico 3, a distância máxima que o objeto em repouso 
em x1 pode percorrer será limitada pela intersecção da curva de U com a 
reta de E1, pois não existe energia cinética negativa. Assim, o objeto pode se 
deslocar somente entre xa e xb. Esses pontos são chamados de pontos de 
inversão, pois o objeto atinge essa posição máxima, momentaneamente, e 
inverte o sentido do seu deslocamento.
O mesmo é válido para um sistema de mola-bloco. Derivando a função 
da energia elástica, tem-se:
Uel = 
1
2 Kx
2
Fx = -Kx,
A equação evidencia que a relação entre a energia potencial e a força 
atuante é verdadeira. Construindo um gráfico com a função da energia 
elástica e a força elástica, obtém-se o diagrama de energia apresentado 
no Gráfico 4.
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GRÁFICO 4. DIAGRAMA DE ENERGIA DE UMA FORÇA ELÁSTICA
U = Kx212
U
E = U + K
K
U
-A A
x
0
Considerando que a única força atuante no objeto é aquela que o move, 
então, temos que E = U + K. Nesse caso, E é constante, pois corresponde à 
energia mecânica conservada, enquanto a energia potencial e cinética varia em 
função de x, formando uma parábola. A distância vertical entre cada ponto da 
parábola com a linha horizontal, que representa E, corresponde a E – U, ou seja, 
corresponde à quantidade de energia cinética a cada ponto.
Quando o objeto se encontra na posição x = 0, a força também será zero, 
indicando uma posição de equilíbrio. À medida que x aumenta (eixo positivo 
Ox), a inclinação da curva de energia se torna positiva e a força, negativa. Se 
a posição em x diminui (eixo negativo Ox), a curva de energia tem inclinação 
negativa e a força será positiva.
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Sintetizando
Nesta unidade, foram apresentados os tipos de forças de contato que são 
responsáveis pelo estado de repouso ou o movimento de um objeto/corpo/par-
tícula. As forças de contato estudadas foram: força normal, que deriva do con-
tato do objeto com qualquer superfície; força de atrito, associada à rugosidade 
da superfície na qual o objeto se encontra; força de tensão, proveniente de um 
cabo preso ao objeto; e força elástica, caracterizada pela utilização de uma mola.
A interação entre essas forças deve ser avaliada de acordo com a intensida-
de e orientação, pois correspondem a grandezas vetoriais. Outra força funda-
mental é a gravidade (não é uma força de contato), que está presente em todos 
os sistemas avaliados.
Para aplicar essas forças e compreender o estado de um objeto, devem ser 
consideradas as três leis de Newton: a primeira sobre o princípio da inércia, a 
segunda sobre a variação da velocidade de um objeto pela aplicação de uma 
força e a terceira sobre ação e reação.
Em qualquer situação, um corpo estará sujeito a mais de uma força. Mesmo 
quando ele se encontra em repouso, deve haver no mínimo duas forças que se 
equilibram e fazem com que este objeto permaneça em repouso. Para identifi-
car de forma mais fácil todas as forças que atuam sobre um corpo, utiliza-se o 
diagrama de corpo livre. Com ele, é possível deduzir se o objeto está em repou-
so ou em movimento e ainda qual a orientação desse movimento. Nesse tipo 
de gráfico, considera-se o objeto na origem de um plano cartesiano em que os 
vetores de força são colocados para encontrar uma resultante.
O movimento é resultado da aplicação de uma força que 
faz com que um objeto se movimente por uma determinada 
distância, chegando ao conceito de trabalho. Considerando 
que a ação das forças sobre um objeto faz com que ele 
se mova, dizemos que o sistema possui energia. Des-
ta forma, o trabalho pode ser expresso em termos 
de energia ou variação de energia. Essa variação 
pode ser de uma posição inicial a uma posição fi-
nal e até de um tipo de energia para outra, obtendo 
uma equação geral de energia mecânica.
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 141
SER_ECPME_FIGEEXP_UNID4.indd 141 08/05/20 11:25Algumas interações entre forças podem se converter em outro tipo de ener-
gia que não a potencial e a cinética. Neste caso, é considerada como energia 
perdida em forma de calor, ou seja, energia térmica. Quando encontramos essa 
situação, devemos considerar a quantidade de energia perdida para manter a 
veracidade da equação.
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