Aula_00_-_Geometria_Plana_I_-_CN_2024-241-243

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Prof. Victor So 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I 
 
 - Triângulo ABD: 
𝐷𝐴̅̅ ̅̅ + 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ > 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ > 𝐷𝐴̅̅ ̅̅ − 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 
9 + 5 > 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ > 9 − 5 
14 > 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ > 4 
 Das desigualdades e sabendo que a medida de BD é um número inteiro: 
𝐵𝐷̅̅ ̅̅ = 13 
Gabarito: C 
95. (CN 1997) 
Quantos triângulos obtusângulos existem, cujos lados são expressos por números inteiros 
consecutivos? 
a) um. 
b) dois. 
c) três. 
d) quatro. 
e) cinco. 
Comentários 
 Da desigualdade do triangulo obtuso: 
𝑎2 > 𝑏2 + 𝑐² 
(𝑛 + 1)2 > 𝑛2 + (𝑛 − 1)2 
𝑛2 + 2 . 𝑛 + 1 > 𝑛2 + 𝑛2 − 2 . 𝑛 + 1 
2 . 𝑛 > 𝑛2 − 2 . 𝑛 
0 > 𝑛2 − 4 . 𝑛 
0 > 𝑛 . (𝑛 − 4) 
 Com isso, temos os seguintes valores de n: 
𝑛 = 1 𝑜𝑢 𝑛 = 2 𝑜𝑢 𝑛 = 3 
 Contudo, n=1 não faz sentido para o problema. 
 Da desigualdade triangular: 
2 + 1 > 3 > 2 − 1 
3 > 3 > 1 
 Logo, absurdo! 
3 + 2 > 4 > 3 − 2 
 
 
 
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5 > 4 > 1 
 A desigualdade é atendida! 
 Sendo assim, só é possível formar um triangulo com as características do problema. 
Gabarito: A 
96. (CN 1996) 
Sejam os triângulos ABC e MPQ, tais que: 
I - 𝑴�̂�𝑸 = 𝑨�̂�𝑩 = 𝟗𝟎º 
II - 𝑷�̂�𝑴 = 𝟕𝟎º 
III - 𝑩�̂�𝑪 = 𝟓𝟎º 
IV - 𝑨𝑪 = 𝑴𝑷 
Se 𝑷𝑸 = 𝒙 e 𝑩𝑪 = 𝒚, então 𝑨𝑩 é igual a: 
a) x + y 
b) √𝒙𝟐 + 𝒚² 
c) 
𝟐𝒙𝒚
(𝒙+𝒚)²
 
d) 
𝟐√𝒙𝒚
𝒙+𝒚
 
e) 2x+y 
Comentários 
 Como o lado AC = MP, podemos desenhar o problema onde A é coincidente com M e C é 
coincidente com P: 
 
 Note que 𝐵�̂�𝐶 = 50° ⇒ 𝐴�̂�𝐶 = 40°. 
 
 
 
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 Dessa forma, temos que: 
𝑄�̂�𝐵 = 180° − 70° − 40° = 70° 
 O triângulo ABQ é isósceles e, com isso: 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ + 𝑄𝐶̅̅ ̅̅ 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝑦 + 𝑥 
Gabarito: A 
97. (ITA 2008) 
Considere o triângulo ABC isósceles em que o ângulo distinto dos demais, BÂC, mede 40º. Sobre o 
lado 𝑨𝑩, tome o ponto E tal que 𝑨�̂�𝑬 = 𝟏𝟓º. Sobre o lado 𝑨𝑪, tome o ponto D tal que 𝑫�̂�𝑪 = 𝟑𝟓∘. 
Então, o ângulo 𝑬�̂�𝑩 vale: 
a) 35° 
b) 45° 
c) 55° 
d) 75° 
e) 85° 
Comentários 
 Desenhando o problema, temos: 
 
 Da figura, temos que: 
𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐸𝐶𝐵 = 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐵𝐸𝐶