PV - 3 Série - Livro 1 - Octa Mais-278

Prévia do material em texto

Pela regra da poligonal ou do paralelogramo:
θ θ
b
b
aa R
|R|2 = |a|2 + |b|2 – 2 · |a| · |b|cosθ = 
= 152 + 142 – 2 · 15 · 14 · 0,6 ⇒ 
⇒ |R|2 = 169 ⇒ |R| = 13
b) Para –a + b
2
, temos:
θ
–a
2
b
R
Assim:
|R|2 = |–a|2 + 
b
2
2
 + 2|–a| · 
b
2 cosθ
|R|2 = 152 + 72 + 2 · 15 · 7 · 0,6 = 400
|R| = 20
Para determinar α, podemos utilizar a lei dos cossenos:
α
R
–a
–a
2
b
|–a|2 = 
b
2
2
+|R|2 – 2
b
2
|R|cosα
152 = 72 + 400 – 2 · 7 · 20 · cosα ⇒ 
⇒ 280 cos α = 224 ⇒ α = arccos 0,8
3 Determine a resultante dos seguintes vetores.
αα
c
a
e
b
d
 
|a|= 20
|b|= 5
|c|= 10
|d|= 3
|e|= 10
cosα = 0,8
Resolução:
Utilizaremos aqui o método da decomposição de vetores:
αα
5
20
10
10
3
x
y
5·cosα
5·senα
20·sesα
20·cosα
10·cosα
10·senα
Assim:
R = Rxi + Ry j
Rx = 20 · cosα + 5 · senα – 3 – 10 · senα =
= 20 · 0,8 + 5 · 0,6 – 3 – 10 · 0,6 = 10
Ry = 20 · senα + 10 – 5 · cosα – 10 · cosα =
= 20 · 0,6 + 10 – 5 · 0,8 – 10 · 0,8 = 10
Representação gráfica:
y
x
θ
Ry
Rx
R
Quanto ao módulo e à direção:
|R|= 10 102 2+ ⇒ |R|= 10 2 e
tgθ = 
|Ry|
|Rx|
 = 
10
10 = 1 ⇒ θ = 45°
ATIVIDADE 1
Vetores
FÍSICA – FRENTE 1832
2020-PV-FIS-OCTA+-V1-F1.INDD / 22-10-2019 (10:52) / ANDERSON.OLIVEIRA / PDF GRAFICA 2020-PV-FIS-OCTA+-V1-F1.INDD / 22-10-2019 (10:52) / ANDERSON.OLIVEIRA / PDF GRAFICA
Pela regra da poligonal ou do paralelogramo:
θ θ
b
b
aa R
|R|2 = |a|2 + |b|2 – 2 · |a| · |b|cosθ = 
= 152 + 142 – 2 · 15 · 14 · 0,6 ⇒ 
⇒ |R|2 = 169 ⇒ |R| = 13
b) Para –a + b
2
, temos:
θ
–a
2
b
R
Assim:
|R|2 = |–a|2 + 
b
2
2
 + 2|–a| · 
b
2 cosθ
|R|2 = 152 + 72 + 2 · 15 · 7 · 0,6 = 400
|R| = 20
Para determinar α, podemos utilizar a lei dos cossenos:
α
R
–a
–a
2
b
|–a|2 = 
b
2
2
+|R|2 – 2
b
2
|R|cosα
152 = 72 + 400 – 2 · 7 · 20 · cosα ⇒ 
⇒ 280 cos α = 224 ⇒ α = arccos 0,8
3 Determine a resultante dos seguintes vetores.
αα
c
a
e
b
d
 
|a|= 20
|b|= 5
|c|= 10
|d|= 3
|e|= 10
cosα = 0,8
Resolução:
Utilizaremos aqui o método da decomposição de vetores:
αα
5
20
10
10
3
x
y
5·cosα
5·senα
20·sesα
20·cosα
10·cosα
10·senα
Assim:
R = Rxi + Ry j
Rx = 20 · cosα + 5 · senα – 3 – 10 · senα =
= 20 · 0,8 + 5 · 0,6 – 3 – 10 · 0,6 = 10
Ry = 20 · senα + 10 – 5 · cosα – 10 · cosα =
= 20 · 0,6 + 10 – 5 · 0,8 – 10 · 0,8 = 10
Representação gráfica:
y
x
θ
Ry
Rx
R
Quanto ao módulo e à direção:
|R|= 10 102 2+ ⇒ |R|= 10 2 e
tgθ = 
|Ry|
|Rx|
 = 
10
10 = 1 ⇒ θ = 45°
ATIVIDADE 1
Vetores
FÍSICA – FRENTE 1832
2020-PV-FIS-OCTA+-V1-F1.INDD / 22-10-2019 (10:52) / ANDERSON.OLIVEIRA / PDF GRAFICA 2020-PV-FIS-OCTA+-V1-F1.INDD / 22-10-2019 (10:52) / ANDERSON.OLIVEIRA / PDF GRAFICA
1 Grandezas físicas são aquelas que podem ser medidas, ou 
seja, que descrevem quantitativamente a propriedade ob-
servada no estudo do fenômeno físico. Em estudos físicos, 
elas se apresentam nas formas vetoriais ou escalares. Analise 
as proposições abaixo e assinale a alternativa que apresenta 
apenas grandezas vetoriais:
A força, tempo, trabalho e massa.
B energia, área, campo elétrico e volume.
C volume, pressão, energia e temperatura.
D velocidade, aceleração, força e campo elétrico.
E aceleração, área, velocidade e pressão.
2 Considere quatro vetores não nulos de mesmo módulo, 
sendo A
��
 vertical, cujo sentido é de baixo para cima, B

 vertical, 
com sentido oposto de A
��
, C

 horizontal, com sentido contrá-
rio ao da escrita no Brasil, e D

 um vetor com ângulo de 45° 
com os sentidos positivos de A
��
 e C

. Tomando como base esse 
enunciado e conhecimentos sobre vetores em geral, assinale 
o que for correto.
01 A força peso tem direção e sentido de B

.
02 A aceleração é uma grandeza vetorial.
04 B C D
  
+ = .
08 O módulo do vetor A B
�� �
+ é igual a duas vezes o módulo 
de A
��
.
16 | | | | | |A C D
�� � �
2 2 2+ =
Soma: 
3 Analisando a disposição dos vetores BA EA CB CD DE
� �� ��� � �� � �� � ��
, , , , e 
conforme figura abaixo, assinale a alternativa que contém a 
relação vetorial correta.
A
B
C
D
E
A CB CD DE BA EA
� �� � �� � �� � �� ���
+ + = +
B BA EA CB DE CD
� �� ��� � �� � �� � ��
+ + = +
C EA DE CB BA CD
��� � �� � �� � �� � ��
− + = +
D EA CB DE BA CD
��� � �� � �� � �� � ��
− + = −
E BA DE CB EA CD
� �� � �� � �� ��� � ��
− − = +
4 Quatro vetores, A, B, C e D, iguais em módulo e repre-
sentando uma certa grandeza física, estão dispostos no plano 
(xy) como mostra a figura (α = 30° e β = 60°).
y
x
α
β A
D
C
B
Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras (V) ou 
falsas (F).
 A + B + C + D = 0
 O resultado de A + B + C + D só pode ser nulo se os veto-
res coincidirem com os semieixos x e y.
 (A + B) – C = 0
 A + B = D + C
 B + C = –(D + A)
 (A + C) – (B + D) ≠ 0
 A soma dos módulos |A|+|B|+|C|+|D| é nula.
 A soma algébrica das projeções dos quatro vetores sobre 
o eixo x é nula.
5 Uma equipe de expedicionistas resolveu explorar os 
arredores de seu acampamento caminhando 4 km para o 
sul e, em seguida, 3 km para o leste. A uma primeira vis-
ta, podería mos pensar que, para eles voltarem ao ponto de 
partida, o menor caminho seria em uma direção próxima a 
noroeste. No entanto, como o acampamento estava exata-
mente no polo norte, foi preciso apenas andar 4 km em ou-
tra direção. Essa direção e a distância que eles teriam que 
percorrer, caso o acampamento fosse em algum lugar do 
Brasil, são, respectivamente:
A nordeste e 5 km.
B nordeste e 7 km.
C norte e 5 km.
D norte e 7 km.
E norte e 1 km.
ATIVIDADE 1
Vetores
FÍSICA – FRENTE 1 833
2020-PV-FIS-OCTA+-V1-F1.INDD / 22-10-2019 (10:52) / ANDERSON.OLIVEIRA / PDF GRAFICA 2020-PV-FIS-OCTA+-V1-F1.INDD / 22-10-2019 (10:52) / ANDERSON.OLIVEIRA / PDF GRAFICA
6 Determine o vetor soma S em cada caso a seguir, calculan-
do o seu módulo e o menor ângulo formado com a horizontal.
a) 
60°
8 U5 U 5 U
b) 
 
20 U
10 U
1 U
10 U
cosα = 0,8
senα = 0,6
α
7 Determine o vetor diferença D = A – B em cada caso a 
seguir, calculando seu módulo e o menor ângulo formado 
com a horizontal.
a) 
60°
|A|= 8 U
A
B
= 3 U|B|
b) 
senα = 0,8
cosα = 0,6
αα |A|= 
A B
= 20 U|B|
8 Um caminhoneiro efetuou duas entregas de mercadorias 
e, para isso, seguiu o itinerário indicado pelos vetores deslo-
camentos d1 e d2 ilustrados na figura.
d1 = 10 km
d2 = 6 km
30°
Para a primeira entrega, ele deslocou-se 10 km e, para a se-
gunda entrega, percorreu uma distância de 6 km. Ao final da 
segunda entrega, a distância a que o caminhoneiro se encon-
tra do ponto de partida é:
A 4 km.
B 8 km.
C 2 19 km.
D 8 3 km.
E 16 km.
9 A figura a seguir mostra o vetor v representado no plano 
cartesiano.
y
1
5
x41
v
A representação e o módulo desse vetor são, respectivamente:
A  v e v= =( , ) | |5 1 3
B 
 
v e v= =( , ) | |3 0 3
C 
 
v e v= − − =( , ) | |3 4 4
D 
 
v e v= − − =( , ) | |3 4 5
E 
 
v e v= − − =( , ) | |1 4 5
10 O governo de um estado teve duas opções para cons-
truir uma rodovia vicinal ligando duas cidades: ou contor-
nava uma montanha ou escavava um túnel por ela. Como 
a segunda alternativa gerava custos a mais (econômicos e 
ambientais), foi decidido pavimentar dois trechos retos, um 
de 25 km e outro de 20 km, que formam um ângulo de 120° 
em um custo total de pavimentação de R$ 900.000.
Montanha
Cidade A
Cidade B
120°
Supondo que o preço por quilômetro de asfaltamento seja o 
mesmo, quanto, aproximadamente, o governo poderia eco-
nomizar em pavimentação se não houvesse a montanha no 
meio do caminho?
A R$ 20.000
B R$ 30.000
C R$ 120.000
D R$ 240.000
E R$ 780.000
ATIVIDADE 1
Vetores
FÍSICA – FRENTE 1834
2020-PV-FIS-OCTA+-V1-F1.INDD / 22-10-2019 (10:52) / ANDERSON.OLIVEIRA / PDF GRAFICA 2020-PV-FIS-OCTA+-V1-F1.INDD / 22-10-2019 (10:52) / ANDERSON.OLIVEIRA / PDF GRAFICA