[07] E 030_Capítulo IV_Análisis Estructural

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Llecllish Carrasco, Schubert 
sllecllishc@unasam.edu.pe
990315645
E.030
DISEÑO SISMORRESISTENTE
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS ESTRUCTURAL
ARTÍCULO 26. ESTIMACIÓN DEL PESO
E.030_CAPÍTULO IV:ANÁLISIS ESTRUCTURAL
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El peso (P), se calculará adicionando a la carga permanente y total de la 
edificación un porcentaje de la carga viva o sobrecarga que se 
determinará de la siguiente manera:
❑ En edificaciones de las categorías A y B, 
P = 100 % Carga Muerta + 50 % Carga Viva
❑ En edificaciones de la categoría C, se tomará el 25 % de la carga viva. 
P = 100 % Carga Muerta + 25 % Carga Viva
❑ En depósitos, el 80 % del peso total que es posible almacenar.
❑ En azoteas y techos en general se tomará el 25 % de 
la carga viva.
❑ En estructuras de tanques, silos y estructuras 
similares se considerará el 100 % de la carga 
que puede contener.
ARTÍCULO 27. PROCEDIMIENTOS DE ANÁLISIS SÍSMICO
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❑ Deberá utilizarse uno de los procedimientos siguientes
• Análisis estático o de fuerzas estáticas equivalentes (Artículo 28)
• Análisis dinámico modal espectral (Artículo 29)
❑ El procedimiento de análisis dinámico tiempo historia, descrito en el 
Artículo 30, podrá usarse con fines de verificación, pero en ningún caso 
es exigido como el sustituto de los procedimientos indicados en los 
artículos 28 y 29.
❑ El análisis se hará considerando un modelo de 
comportamiento lineal y elástico con las solicitaciones 
sísmicas reducidas.
ANÁLISIS ESTÁTICO O DE FUERZAS ESTÁTICAS EQUIVALENTES
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ANÁLISIS ESTÁTICO O DE FUERZAS 
ESTÁTICAS EQUIVALENTES
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Consiste en distribuir el sismo como fuerzas horizontales equivalentes en el Centro de Masa de las losas de entrepiso.
La cortante de cada piso es la suma de las fuerzas inerciales de los pisos superiores
ANÁLISIS ESTÁTICO O DE FUERZAS ESTÁTICAS EQUIVALENTES
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DISTRIBUCIÓN DE FUERZAS CUANDO EXISTEN SÓTANOS
V V
V
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ANÁLISIS ESTÁTICO O DE FUERZAS ESTÁTICAS EQUIVALENTES
El análisis estático o de fuerzas equivalente 
considera que el edificio solo tendrá una 
forma de vibrar, lo cual lo hace un poco 
alejado de la realidad. 
ARTÍCULO 28. ANÁLISIS ESTÁTICO O DE FUERZAS ESTÁTICAS EQUIVALENTES
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❑ Este método representa las solicitaciones sísmicas mediante un conjunto de 
fuerzas actuando en el centro de masas de cada nivel de la edificación.
28.1. GENERALIDADES
❑ Podrán analizarse mediante este procedimiento, 
✓ Edificaciones REGULARES o IRREGULARES ubicadas en la zona sísmica 1
✓ Estructuras REGULARES de no más de 30 m de altura. 
✓ Estructuras de muros portantes de concreto armado y albañilería armada o 
confinada de no más de 15 m de altura, aun cuando sean IRREGULARES.
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La fuerza cortante total en la base de la estructura, 
correspondiente a la dirección considerada, se 
determinará por la siguiente expresión: 
V =
Z · U · C · S
R
· P C
R
> 0.11
El valor de C/R:
28.2. FUERZA CORTANTE EN LA BASE
ARTÍCULO 28. ANÁLISIS ESTÁTICO O DE FUERZAS ESTÁTICAS EQUIVALENTES
Las fuerzas sísmicas horizontales en cualquier nivel “i” correspondientes a la 
dirección considerada, se calcularán mediante:
Donde
“n” es el número de pisos del edificio,
k es un exponente relacionado con el período 
fundamental de vibración de la estructura (T) en la 
dirección considerada, que se calcula de acuerdo a :
▪ Para T ≤ 0.5 segundos : K = 1.0
▪ Para T > 0.5 segundos : K = (0.75 +0.5 T) ≤ 2.0
𝐹𝑖 = 𝛼𝑖 𝑉
𝛼𝑖 =
𝑃𝑖(ℎ𝑖)
𝑘
σ𝑗=1
𝑛 𝑃𝑗(ℎ𝑗)
𝑘
28.3. DISTRIBUCIÓN DE LA FUERZA SÍSMICA EN ALTURA
28.4. PERÍODO FUNDAMENTAL DE VIBRACIÓN
Donde:
CT = 35 Para edificios cuyos elementos resistentes en la dirección considerada sean únicamente
a) Pórticos de concreto armado sin muros de corte
b) Pórticos dúctiles de acero con uniones resistentes a momentos, sin 
arriostramiento.
CT = 45 Para edificios cuyos elementos resistentes en la dirección considerada sean
a) Pórticos de concreto armado con muros en las cajas de ascensores y escaleras
b) Pórticos de acero arriostrados
CT = 60 Para edificios de albañilería y para todos los edificios de concreto armado duales, de 
muros 
estructurales, y muros de ductilidad limitada
T =
Hn
CT
OBS: El período que se obtiene a partir 
de esta formula es muy conservador.
El período fundamental de vibración para cada 
dirección se estimará con la siguiente expresión:
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ARTÍCULO 28. ANÁLISIS ESTÁTICO O DE FUERZAS ESTÁTICAS EQUIVALENTES
Alternativamente se podría utilizar la siguiente expresión:
Donde
fi es la fuerza lateral en el nivel i correspondiente a una distribución en altura semejante a la del primer modo en la dirección de análisis.
di es el desplazamiento lateral del centro de masa del nivel i en traslación pura (restringiendo los giros en planta) debido a las fuerzas fi Los 
desplazamientos se calcularán suponiendo comportamiento lineal elástico de la estructura y, para el caso de estructuras de concreto armado y de 
albañilería, considerando las secciones sin fisurar.
Cuando el análisis no considere la rigidez de los elementos no 
estructurales.
28.4. PERÍODO FUNDAMENTAL DE VIBRACIÓN
Es la comparación de la energía potencial 
con la energía cinética, nos da valores más 
cercanos de los períodos dinámicos.
0.85 · 
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ARTÍCULO 28. ANÁLISIS ESTÁTICO O DE FUERZAS ESTÁTICAS EQUIVALENTES
a) En el centro de masas de cada nivel, además de la fuerza lateral estática 
actuante, se aplicará un momento torsor accidental (Mti) que se calcula como: 
Mti = ± Fi · ei
Para cada dirección de análisis, la excentricidad accidental en cada nivel (ei), se 
considerará como 0,05 veces la dimensión del edificio en la dirección perpendicular a 
la dirección de análisis.
b) Se puede suponer que las condiciones más desfavorables se obtienen 
considerando las excentricidades accidentales con el mismo signo en todos los 
niveles. 
FiX
FiY
Para estructuras con diafragmas rígidos, se supondrá que la fuerza en cada nivel (Fi) actúa en el centro de masas del nivel respectivo y debe considerarse 
además de la excentricidad propia de la estructura el efecto de excentricidades accidentales (en cada dirección de análisis) como se indica a 
continuación:
28.5 EXCENTRICIDAD ACCIDENTAL
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ARTÍCULO 28. ANÁLISIS ESTÁTICO O DE FUERZAS ESTÁTICAS EQUIVALENTES
La fuerza sísmica vertical se considerará como una fracción del peso = 2/3 Z · U · S.
28.6. FUERZAS SÍSMICAS VERTICALES
En elementos horizontales de grandes luces, incluyendo 
volados, se requerirá un análisis dinámico con los 
espectros definidos.
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ARTÍCULO 28. ANÁLISIS ESTÁTICO O DE FUERZAS ESTÁTICAS EQUIVALENTES
28.6. FUERZAS SÍSMICAS VERTICALES
La fuerza sísmica vertical se considerará como una fracción del peso = 2/3 Z · U · S.
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sllecllishc@unasam.edu.peANÁLISIS DINÁMICO MODAL ESPECTRAL
ANÁLISIS DINÁMICO MODAL ESPECTRAL
Cualquier estructura puede ser diseñada usando los resultados de los análisis dinámicos por combinación modal espectral.
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ANÁLISIS DINÁMICO MODAL ESPECTRAL
La norma es bien clara en el análisis sismorresistente, incluso recomiendo un análisis dinámico 
modal espectral para todas las edificaciones, debido a que éste considera todos los modos de 
vibración, cada modo de vibración tiene un período fundamental y que está asociado con una masa 
participativa que es un porcentaje del peso sísmico efectivo, y luego combina estos resultados 
(fuerzas, esfuerzos) mediante los métodos de combinación modal como el CQC teniendo resultados 
más precisos. 
Si la estructura es sometida a cargas dinámicas o deformaciones rápidas 
como las causadas por viento, sismo o con impacto, casos en los cuales las 
fuerzas inerciales no son despreciables , es fundamental realizar un análisis 
dinámico.
Toda estructura responde dinámicamente 
ante la acción de cargas o deformaciones, 
generando fuerzas inerciales iguales a su 
masa por la aceleración.
Segunda ley de Newton,
ecuación dinámica de equilibrio
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ARTÍCULO 29. ANÁLISIS DINÁMICO MODAL ESPECTRAL
A. Los modos de vibración podrán determinarse por un procedimiento de análisis que
considere apropiadamente las características de rigidez y la distribución de las masas.
B. En cada dirección se considerarán aquellos modos de vibración cuya suma de masas
efectivas sea por lo menos el 90 % de la masa total.
29.1 MODOS DE VIBRACIÓN 
NÚMERO MÍNIMO DE MODOS A CONSIDERAR
Se considerará el número de modos de vibración con contribución significativa y como mínimo:
Tres modos en el caso de modelos planos de estructuras de pisos en cada dirección de análisis.
Cuatro modos en el caso de modelos espaciales de estructura; dos traslacionales y otros dos 
rotacionales.
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ARTÍCULO 29. ANÁLISIS DINÁMICO MODAL ESPECTRAL
Para cada una de las direcciones consideradas en el análisis, la 
fuerza cortante:
Estructuras Regulares : V(dinámico) > 80 % V(estática)
Estructuras Irregulares: V(dinámico) > 90 % V(estática)
Si fuera necesario incrementar el cortante para cumplir los mínimos 
señalados, se deberán escalar proporcionalmente todos los otros 
resultados obtenidos, excepto los desplazamientos.
Estructuras Regulares 
Estructuras Irregulares 
29.4 FUERZA CORTANTE MÍNIMA
V ESTÁTICO V DINÁMICO
Factor de escala =
80% · V(estática)
V(dinámico)
Factor de escala =
90% · V(estática)
V(dinámico)
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ARTÍCULO 29. ANÁLISIS DINÁMICO MODAL ESPECTRAL
Sa =
Z ∗ U ∗ C ∗ S
R
∗ g
Para cada una de las direcciones horizontales analizadas se utilizará un espectro inelástico de pseudo-aceleraciones definido por:
Para el análisis en la dirección vertical podrá usarse 
un espectro con valores iguales a los 2/3 del 
espectro empleado para las direcciones horizontales, 
considerando los valores de C, definidos en el 
artículo 14, excepto para la zona de períodos muy 
cortos (T < 0,2 TP) en la que se considerará: 
T < 0,2 (TP) ; C = 1 + 7,5 ∙ (
T
Tp
) 
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
S
a
 D
ir
e
c
c
ió
n
 X
-X
Período T(s)
ESPECTRO DE PSEUDO - ACELERACIONES X-X
T vs CX
ESPECTRO DE DISEÑO
PERIODO CORTO TP = 0.6 s
PERÍODO LARGO TL = 2.0 s
29.2 ACELERACIÓN ESPECTRAL
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ESPECTRO DE RESPUESTA
Dependiendo de la variable a ser graficada, pueden definirse espectros de 
deformación ( de velocidad y de aceleración, en función al período natural de 
vibración 𝑇𝑛 de acuerdo a las siguientes respuestas máximas
Un espectro es la representación gráfica de un 
conjunto de respuestas máximas de diversos 
osciladores de 1 grado de libertad dinámico, de 
masa y amortiguamiento constantes, sometidos 
a múltiples registros que posteriormente son 
normalizados
Los códigos de diseño definen espectros de respuesta tipificados, basados en el 
análisis de información recabada de la respuesta de múltiples edificaciones 
instrumentadas y de estaciones de medición.
Estos registros son evaluados sobre osciladores de un grado de libertad con 
distintos períodos que representan las infinitas configuraciones estructurales, con 
la finalidad de definir posteriormente los espectros de diseño.
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El proceso para la construcción de espectros, se repite con 
registros de diversos eventos sísmicos y luego se 
superponen sus resultados como se muestra en la figura a 
continuación.
ESPECTRO DE RESPUESTA
Ordenada Espectral
Período
Los espectros normalizados serán entonces el resultado del tratamiento de una 
familia de histogramas (registros de respuestas máximas de diversos sismos 
aplicados a los mismos osciladores) para generar una especie de envolvente
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ARTÍCULO 29. ANÁLISIS DINÁMICO MODAL ESPECTRAL
❑ Mediante los criterios de combinación que se indican, se podrá obtener la respuesta máxima elástica esperada (r) tanto para las fuerzas internas en 
los elementos componentes de la estructura, como para los parámetros globales del edificio como fuerza cortante en la base, cortantes de 
entrepiso, momentos de volteo, desplazamientos totales y relativos de entrepiso.
❑ Alternativamente, la respuesta máxima podrá estimarse mediante 
la siguiente expresión : 
29.3 CRITERIOS DE COMBINACIÓN
❑ La respuesta máxima elástica esperada (r) correspondiente al 
efecto conjunto de los diferentes modos de vibración empleados 
(ri) puede determinarse usando la combinación cuadrática 
completa (CQC) de los valores calculados para cada modo.
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Al realizar el análisis modal de una estructura, se obtiene la respuesta específica de cada modo en términos de sus fuerzas y desplazamientos, sin 
embargo, durante un evento sísmico, dichos modos no se van a presentar de forma individual sino que se van a solapar producto del rango de 
frecuencias en el movimiento del terreno.
Para la combinación modal de respuestas máximas se tienen dos métodos principales:
Esto nos obliga a plantear una combinación de las respuestas máximas 
de cada modo, a fin de definir lo que serían las fuerzas máximas 
probables de la acción sísmica.
ANÁLISIS DINÁMICO MODAL ESPECTRAL
COMBINACIÓN MODAL DE RESPUESTAS MÁXIMAS
Método SRSS Método CQC
Método de la Raíz Cuadrada de la 
Suma de los Cuadrados
Método de la Combinación 
Cuadrática Completa
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ANÁLISIS DINÁMICO MODAL ESPECTRAL
Método de Superposición Modal Espectral
La ecuación de equilibrio dinámico de una estructura
Se modifica la expresión anterior para poder desacoplar 
las ecuaciones a partir de las frecuencias y formas 
modales:
𝑥(t) = ෍
𝐼=1
𝑁
∅𝑖 𝑦𝑖 (𝑡) [[𝐾]−𝜔𝑖
2 [𝑀]]{∅𝑖}={0}
[𝑀]{𝑥 ̈(𝑡)}+[𝐶]{�̇�(𝑡)}+[𝐾]{𝑥(𝑡)}=−[𝑀]{𝑟}{�̈�𝑔}
Al reemplazar lo anterior y expresando la 
ecuación para cada forma modal {∅𝑖}: 
{∅𝑖}
𝑇[𝑀]{∅𝑖}�̈�𝑖(𝑡)+{∅𝑖}
𝑇[𝐶]{∅𝑖}�̇�𝑖(𝑡)+{∅𝑖}
𝑇[𝐾]{∅𝑖}𝑦𝑖(𝑡)=−{∅𝑖}
𝑇[𝑀]{𝑟}�̈�𝑔(𝑡)
Luego, los productos de las matrices se reemplazan por las 
siguientes expresiones para cada i=1…N:
𝑀𝑖 = {∅i}
T [𝑀]{∅i} 
𝐶𝑖 = {∅i}
T [𝐶]{∅i} 
𝐾𝑖 = {∅i}
T[𝐾]{∅i}
L𝑖 = {∅i}
T [𝑀]{𝑟} 
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ANÁLISIS DINÁMICO MODAL ESPECTRAL
Método de Superposición Modal Espectral
Obteniendo: 𝑀𝑖�̈�𝑖 𝑡 + 𝐶𝑖�̇�𝑖 𝑡 + 𝐾𝑖𝑦𝑖 𝑡 = −𝐿𝑖 · �̈�𝑔(𝑡)
Se asume que la matriz de amortiguamiento modal es definida a partir de las matrices de masa y rigidez, presentando sólo elementos en su diagonal, 
expresados por:
𝐶𝑖 = 2𝑀𝑖𝜔𝑖𝛽𝑖
Finalmente utilizando un espectro de aceleración para obtener S𝑎(𝑇) en función del período, se obtienen las respuestas de desplazamiento, velocidad y 
aceleración máximas para cada grado de libertad de la estructura:
𝑥𝑖𝑀á𝑥 = {∅𝑖}
𝐿𝑖·S𝑎 (𝑇𝑖)
𝑀𝑖·𝜔𝑖
2
�̇�𝑖𝑀á𝑥 = {∅𝑖}
𝐿𝑖·S𝑎 (𝑇𝑖)
𝑀𝑖·𝜔𝑖
�̈�𝑖𝑀á𝑥 = {∅𝑖}
𝐿𝑖·S𝑎 (𝑇𝑖)
𝑀𝑖
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ANÁLISIS DINÁMICO MODAL ESPECTRAL
Método de Superposición Modal Espectral
[𝑀]=𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑎
[𝐾]=𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧
[𝐶]=𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
{𝑥 ̈(𝑡)}=𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
{𝑥 ̇(𝑡)}=𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
{𝑥(𝑡)}=𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
{𝑟}=𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
{𝑢𝑔 ̈}=𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒
{∅𝑖}=𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑖
𝑦̈𝑖=𝐶𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑖
𝑦̇𝑖=𝐶𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑖
𝑦𝑖=𝐶𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑖
𝜔𝑖=𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑖
𝑇𝑖=𝑃𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑖
𝐿𝑖=𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑖𝑝𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑖
𝛽𝑖=𝑅𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑖
𝑆𝑎(𝑇𝑖)=𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑖
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ANÁLISIS DINÁMICO MODAL ESPECTRAL
Método de la Combinación Cuadrática Completa (CQC)
El factor de correlación 𝜌𝑖𝑛 trata de descifrar cuán cercanos están los 
modos en estudio 𝑖𝑛 se calcula con la siguiente formulación
Donde 𝑎𝑖𝑛 es la relación entre las frecuencias de los modos en estudio 𝑎𝑖𝑛 =
w𝑖
w𝑛
Este factor varía entre 0 y 1
𝜌𝑖𝑛 =1 cuando 𝑖=𝑛 lo que indica que los modos en estudio están 100 % correlacionados 
𝜌𝑖𝑛 = 0 no hay correlación
Luego, se combinan las respuestas del modo 𝑖=1 y modo 𝑛=2
✓ Si 𝑟1𝑜 y 𝑟2𝑜 (respuesta máxima del modo 1 versus respuesta máxima del modo 2) tienen el mismo signo, el resultado del método SRSS serán menor o 
igual que los resultados del método CQC, 𝑆𝑅𝑆𝑆 ≤ 𝐶𝑄𝐶
✓ Si 𝑟1𝑜 y 𝑟2𝑜 tienen signo contrario, 𝑆𝑅𝑆𝑆≥𝐶𝑄𝐶
✓ Si 𝑟1𝑜 = 𝑟2𝑜 utilizando el método CQC, la respuesta 
𝑟𝑜 = ቊ
2ro; Si tienen signos iguales
0; si tienen signos diferentes
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ANÁLISIS DINÁMICO MODAL ESPECTRAL
Método de la Combinación Cuadrática Completa (CQC)
El método CQC Complete Quadratic Combination es aplicable a un rango más amplio de estructuras y vence las limitaciones del método SRSS ya que
toma en cuenta el factor de correlación 𝜌𝑖𝑛 entre los modos de la estructura, que tiene especial incidencia entre los que tienen frecuencias cercanas.
Consideremos que 𝑟𝑛𝑜 representa el valor máximo del modo n
Se puede representar de la siguiente manera
𝑟𝑛𝑜 ≈ ෍
𝑛=1
𝑁
𝑟𝑛𝑜
2 + ෍
𝑖=1
𝑁
෍
𝑛=1
𝑁
𝜌𝑖𝑛 · 𝑟𝑖𝑜 · 𝑟𝑛𝑜
1/2
𝑟𝑜 ≈ ෍
𝑖=1
𝑁
෍
𝑛=1
𝑁
𝜌𝑖𝑛 · 𝑟𝑖𝑜 · 𝑟𝑛𝑜
La doble suma incluye todos los términos cuando 𝑖≠n y cada uno de ellos puede ser positivo o negativo. Un término 𝑖≠n es negativo cuando las respuestas
modales estáticas 𝑟𝑖
st y 𝑟𝑛
st asumen signos contrarios. La respuesta estimada de 𝑟𝑜 obtenida mediante éste método CQC puede ser mayor o menor que la
respuesta estimada con el método SRSS.
𝑖≠𝑛
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ANÁLISIS DINÁMICO MODAL ESPECTRAL
Método de la Raíz Cuadrada de la Suma de los Cuadrados (SRSS)
El método SRSS (Square Root of the Sum of the Squares) consiste en obtener los valores máximos probables en la estructura, a partir de la
raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de todos los modos de análisis.
Consideremos que 𝑟𝑛𝑜 representa el valor máximo del modo n
Se puede representar de la siguiente manera:
𝑟𝑜 ≈ ෍
𝑛=1
𝑁
𝑟𝑛𝑜
2
Τ1 2 Este método proporciona estimaciones excelentes para estructuras 
que tienen frecuencias naturales alejadas, por lo tanto, deja de ser 
eficiente en el caso que se estudien por ejemplo estructuras 
irregulares donde las frecuencias en cada modo estén muy próximas.
El problema principal de este método es que el aporte de cada modo siempre se consideraría positivo al incluirlo como un término elevado al cuadrado 
en la expresión, aun cuando su forma de vibrar fuese opuesta a un modo de frecuencia cercana
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ARTÍCULO 29. ANÁLISIS DINÁMICO MODAL ESPECTRAL
29.5. EXCENTRICIDAD ACCIDENTAL (EFECTOS DE TORSIÓN)
La incertidumbre en la localización de los centros de masa en cada nivel, se considerará mediante una excentricidad accidental perpendicular a la 
dirección del sismo igual a 0,05 veces la dimensión del edificio en la dirección perpendicular a la dirección de análisis. 
En cada caso deberá considerarse el signo más desfavorable.
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COMBINACIÓN DIRECCIONAL DE SISMOS
Las estructuras deberán diseñarse para la acción simultánea de las dos componentes sísmicas horizontales. En los miembros estructurales, cada
solicitación debida a una componente sísmica horizontal, incluidos los efectos de la torsión accidental, se combinará con la misma solicitación debida a
la componente sísmica ortogonal, de acuerdo con uno de los siguientes criterios de combinación.
Sismo X
S
is
m
o
 Y
Criterio SRSS
Criterio CQC3
Criterio 100-30
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COMBINACIÓN DIRECCIONAL DE SISMOS
Es evidente la existencia de un movimiento perpendicular al mismo, por el efecto de las ondas cortantes. A través de una revisión de los registros, se ha
podido llegar a la convención ampliamente aceptada de que los parámetros del sismo vertical son aproximados a un % del sismo horizontal.
La respuesta de las edificaciones a la acción del sismo vertical toma en 
cuenta múltiples factores, en algunas situaciones, ésta no genera un 
efecto apreciable por lo que en la práctica muchos profesionales suelen 
menospreciar su participación, considerándola como un incremento de la 
carga vertical de naturaleza estática sin embargo, en muchos casos su 
efecto puede ser tan influyente, que no considerar la magnitud de las 
aceleraciones verticales o su alternancia (naturaleza dinámica) puede 
modificar seriamente la respuesta estructural.
Estructuras con grandes volados, diafragmas flexibles, son altamente 
susceptibles a los efectos de las cargas verticales de naturaleza 
alternante, por lo cual se deberá prestar especial interés en la 
componente vertical del sismo en las combinaciones direccionales y 
de solicitaciones. En todo caso, la componente vertical del sismo se 
debe combinar con las acciones horizontales de acuerdo al criterio 
seleccionado.
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COMBINACIÓN DIRECCIONAL DE SISMOS
Consiste en aplicar el 100 % de la acción sísmica en ambas direcciones ortogonales, pero la resultante se obtiene de la raíz cuadrada de los valores al
cuadrado (Square Root of the Sum of the Squares)
Criterio SRSS
Este métodosupone conservadoramente que en las direcciones
principales de la estructura actúan las componentes principales
del sismo.
Dada esa situación, se ve obligado a suponer que ambas 
componentes tienen la misma intensidad, para no incurrir
en subestimaciones de la respuesta.
Es un método aceptado por la mayoría de los códigos 
internacionales con especial aplicación en estructuras regulares.
Sismo X
S
is
m
o
 Y
Es una extensión del criterio CQC aplicado en la combinación modal, que puede ser aplicado a sismos multi componentes, pudiendo incluir una
componente vertical fija. Este criterio considera todas las múltiples direcciones de las componentes sísmicas horizontales junto con la relación de
intensidades entre ellas. Los términos a incorporar se establecen a partir de los resultados típicos del análisis modal Las direcciones pueden ser
obtenidas de forma explícita o mediante un análisis de variación de direcciones también es posible emplear espectros generales en cada dirección.
𝐹 = 𝐹0
2 + 𝑎2 · 𝐹90
2 − 1 − 𝑎2 𝐹0
2 − 𝐹90
2 𝑠𝑖𝑛 𝛼2 + 2 1 − 𝑎2 𝐹0−90 · 𝑠𝑖𝑛 𝛼 · 𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝐹𝑧
2
E.030_CAPÍTULO IV:ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Llecllish Carrasco, Schubert
sllecllishc@unasam.edu.pe
COMBINACIÓN DIRECCIONAL DE SISMOS
Criterio CQC3
La mayor ventaja de este método 
radica en poder emplear diferentes 
intensidades entre ambas 
componentes horizontales, donde 
la relación entre dichas 
intensidades no deberá ser menor 
de 0.70.
La figura se muestra que el espectro 
aplicado Sa1 y Sa2 es generado a un 
ángulo arbitrario 𝛼. Para simplificar el 
análisis se asume que un espectro es 
la fracción del espectro mayor, donde 
a es un valor entre 0 y 1
Sa2 = a · Sa1
0º
90º
90º
𝛼
Sa1
Sa2
𝐹0
2 = ෍
𝑛
෍
𝑚
𝑓0𝑛 · 𝜌𝑛𝑚 · 𝑓0𝑚
𝐹90
2 = ෍
𝑛
෍
𝑚
𝑓90𝑛 · 𝜌𝑛𝑚 · 𝑓90𝑚
𝐹𝑚á𝑥 = 𝐹0
2 + 𝐹90
2 + 𝐹𝑧
2
𝑓0𝑛 y 𝑓90𝑛 son los valores producidos por el 100 % del sismo aplicado a 0°y a 90 y 𝑓𝑧𝑛 son los 
valores del sismo vertical, que en este caso podría tener un espectro diferente al horizontal.
Es importante resaltar que para sismos iguales, es decir, a= 1 las fuerzas no son una función del 
ángulo 𝛼 y la selección del sistema referencias de análisis es arbitrario.
𝐹0−90 = ෍
𝑛
෍
𝑚
𝑓0𝑛 · 𝜌𝑛𝑚 · 𝑓90𝑚
𝐹𝑧
2 = ෍
𝑛
෍
𝑚
𝑓𝑧𝑛 · 𝜌𝑛𝑚 · 𝑓𝑧𝑚
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COMBINACIÓN DIRECCIONAL DE SISMOS
Consiste en obtener la demanda a partir del valor absoluto de las solicitaciones debidas al sismo en una dirección, mas el 30 del valor absoluto de las
solicitaciones debidas al sismo en la dirección ortogonal, y viceversa.
Criterio 100 - 30
Es ampliamente aceptado por la mayoría de los códigos internacionales, aun cuando puede subestimar la acción sísmica en ciertas edificaciones de 
geometría compleja. A continuación, se muestran las combinaciones que deben ser consideradas en el análisis.
Sismo X
S
is
m
o
 Y
S = Sx ± 0.3 Sy
S = 0.3 Sx ± Sy
S = - Sx ± 0.3 Sy
S = - 0.3 Sx ± Sy
Sismo X
S
is
m
o
 Y