Álgebra-Módulo 22 - Aulas 36 e 37 - Polinômios e Equações Algébricas

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ÁLGEBRA
Módulo 22
Polinômios 
Equações Algébricas
Polinômios
386
Álgebra
Módulo 22
Exemplos:
Introdução
I) Valor numérico de um Polinômio
✓ P(x) = 7x4 + 3x2 - 5x + 8
✓ Q(x) = x7 + 2x5 + 2x4 + 3x - 10
✓ M(x) = 7x3
II) Raiz de um Polinômio
III) Termo independente
IV) Soma dos coeficientes
Polinômios
387
Álgebra
Módulo 22
Método da Chave:
Divisão
Dados os polinômios P(x) = 2x5 – 32x3 + 43x2 – 40x + 20
e D(x) = x2 + 4x – 3, efetuar a operação P(x) ÷ D(x).
(UFGO) Na divisão do polinômio P(x) = ax3 +
bx2 + cx + d pelo polinômio D(x) = x2 + 1
encontra-se para quociente o polinômio Q(x) =
2x – 1 e para resto o polinômio R(x) = –x + 1.
Então, P(x) é o polinômio:
a) x3 – x2 + x + 1
b) 2x3 – x2 + 1
c) 2x3 – x2 + 1
d) 2x3 – x2 + x
Polinômios
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Álgebra
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Briot-Ruffini:
Divisão
Efetuar a divisão do polinômio P(x) = 2x4 + 4x3 – 7x2 + 12
por D(x) = x – 1.
✓ Teorema do Resto
Polinômios
389
Álgebra
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Teorema do Resto
(Fuvest)
Dividindo-se o polinômio P(x) por 2x2 – 3x + 1, obtêm-se
quociente 3x2 + 1 e resto – x + 2. Nessas condições, o
resto da divisão de P(x) por x – 1 é:
a) 2
b) 1
c) 0
d) –1
e) –2
(PUC-MG)
O polinômio P(x) = x4 – kx3 +5x2 + 5x + 2k é
divisível por x – 1. Então, o valor de k é:
Polinômios
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Álgebra
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Divisão por (x - a) (x - b)
(UFSC)
Um polinômio P(x) dividido por (x + 1) dá resto 3 e por
(x – 2) dá resto 6. O resto da divisão de P(x) pelo
produto (x + 1) ⋅ (x – 2) é da forma ax + b, com a, b ∈ IR.
Obter o valor numérico da expressão a + b.
(IME) Calcule o resto da divisão do polinômio
x31 + x13 + x3 + 1 por x2 – 1.
Exercícios de Aplicação
391
Álgebra
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1. (UFRGS) A soma dos coeficientes do polinômio
(x2 + 3x – 3)50 é:
a) 0
b) 1
c) 5
d) 25
e) 50
2. (UFJF)
Exercícios de Aplicação
392
Álgebra
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3. (EsPCEx)
5. (UFRGS) Se a é uma raiz do polinômio p(x)
e b é uma raiz do polinômio q(x), então:
a) p(b) / q(a) = 1
b) p(a) · q(b) = 1
c) p(a) + q(b) = 1
d) p(b) · q(a) = 0
e) p(a) + q(b) = 0
Exercícios de Aplicação
393
Álgebra
Módulo 22
4. (UFMA) Dado o polinômio p(x) = x3 – 2x2 – 3x,
calcule todas as raízes de p(x).
Raízes do Polinômio
6. (UFG) Considere o polinômio:
p(x) = (x – 1) (x – 3)2 (x – 5)3 (x – 7)4 (x – 9)5 (x – 11)6.
O grau de p(x) é igual a:
a) 6
b) 21
c) 36
d) 720
e) 1.080
Exercícios de Aplicação
394
Álgebra
Módulo 22
Grau 2
Forma fatorada
Grau 3
Grau 4
1. (PUC-RS) Os polinômios p(x), q(x), f(x), h(x) em ℂ,
nessa ordem, estão com seus graus em progressão
geométrica. Os graus de p(x) e h(x) são,
respectivamente, 16 e 2. A soma do número de raízes
de q(x) com o número de raízes de f(x) é
a) 24
b) 16
c) 12
d) 8
e) 4
Exercícios de Aprofundamento
395
Álgebra
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2. (Unicamp)
Exercícios de Aprofundamento
396
Álgebra
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3. (ITA)
Exercícios de Aprofundamento
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Equações Algébricas
Relações de Girard
398
Álgebra
Módulo 22
Grau 2
Grau 3
Grau 4
Exercícios de Aplicação
399
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1. (Mackenzie-Adaptada)
Exercícios de Aplicação
400
Álgebra
Módulo 22
2. (FGV-SP) Dada a equação x3 – 7x + p = 0,
determine p de modo que uma das raízes seja
o dobro da outra.
a) p = ±6
b) p = ±3
c) p = ±5
d) p = 10
e) p = 0
3. (Fuvest) Se a equação 8x3 + kx2 – 18x + 9 = 0
tem raízes reais iguais a a e – a, então o valor de k
é:
Exercícios de Aplicação
401
Álgebra
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4. (UFRJ) Encontre as raízes de x3 + 15x2 + 66x + 80 = 0, sabendo que são reais e estão em progressão
aritmética.
Exercícios de Aplicação
402
Álgebra
Módulo 22
5. Os números complexos z1 = 1 + i e z2 = – 3 + 2i são raízes da equação x
4 + Ax3 + Bx2 + Cx + D = 0. 
Sabendo que A, B, C e D são números reais, o valor de A é:
a) 4 
b) – 4 
c) 5
d) – 5
e) 0
Raízes Complexas
Exercícios de Aplicação
403
Álgebra
Módulo 22
6. (Fuvest)
Raízes Complexas
Exercícios de Aprofundamento
404
Álgebra
Módulo 22 1. (Fuvest)
Exercícios de Aprofundamento
405
Álgebra
Módulo 22
2. (UEL)