Aula_01_-_Introdução_à_Função_-_UNESP_2024

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ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
AULA 01 – FUNÇÕES 1
UNESP 
Exasiu
Prof. Marçal Ferreira 
Aula 01 – Funções. 
vestibulares.estrategia.com 
EXTENSIVO 
2024 
Exasi
u
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AULA 01 – FUNÇÕES 2 
 
SUMÁRIO 
INTRODUÇÃO 4 
1. FUNÇÕES 5 
1.1. Definição, domínio e contradomínio 5 
1.2. Imagem 7 
1.3. Função injetiva, sobrejetiva e bijetiva 8 
1.4. Plano cartesiano 12 
1.5. Funções de primeiro grau 13 
1.6. Funções de segundo grau 21 
i. Coeficiente 𝑎 22 
ii. Coeficiente 𝑏 24 
iii. Coeficiente 𝑐 27 
EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO 31 
1.6.4. Máximos e mínimos da função do segundo grau 32 
1.8. Conjuntos domínio, contradomínio e imagem no plano cartesiano 36 
1.9. Função dada por intervalos 38 
1.10. Função inversa 40 
1.10.1. Consequência da definição de função inversa 42 
1.11. Função Raiz 44 
1.12. Função Composta 48 
2. INEQUAÇÕES (PARTE 2) 49 
2.1. Inequação do segundo grau 49 
2.2. Inequação produto e inequação quociente 52 
3. FÓRMULAS, DEMONSTRAÇÕES E COMENTÁRIOS 56 
3.1. Divisão de frações 56 
3.2. Translação no plano cartesiano 57 
3.2.1. Translação vertical 57 
3.2.2. Translação horizontal 59 
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AULA 01 – FUNÇÕES 3 
3.3. Intercepto-y 60 
3.4. Raiz, Radicando, Radical, índice 63 
3.5. Aprofundando o conhecimento sobre inequações produto e quociente 63 
3.6. Teorema 𝒂. 𝒇(𝜶) 66 
3.7. Forma canônica da função do segundo grau 69 
4. QUESTÕES DE VESTIBULARES ANTERIORES 72 
5. GABARITO DAS QUESTÕES DE VESTIBULARES ANTERIORES 94 
6. QUESTÕES DE VESTIBULARES ANTERIORES RESOLVIDAS E COMENTADAS 95 
7. CONSIDERAÇÕES FINAIS 166 
 
 
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AULA 01 – FUNÇÕES 4 
Introdução 
Olá! 
A aula de hoje versa sobre um assunto importantíssimo e que cai, praticamente, em toda 
prova de vestibular que contenha a disciplina matemática: as funções. 
Pois é, você dificilmente encontrará um vestibular cuja prova de matemática não 
contenha algo que derive dos fundamentos desta aula. 
Hoje teremos uma introdução à função e estudaremos seus fundamentos, o plano 
cartesiano e algumas funções especiais. Veremos funções por, praticamente, todo o nosso 
curso. Esta e as próximas aulas têm o intuito de fundamentar o nosso conhecimento acerca do 
assunto para conseguirmos avançar em tópicos mais avançados como geometria, progressões, 
análise combinatória, entre outros. 
Mãos à obra? 
 
 
 
 
 
 
/professormarcal /professor.marcal /professormarcal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AULA 01 – FUNÇÕES 5 
1. Funções 
1.1. Definição, domínio e contradomínio 
Já vimos uma noção intuitiva de função na aula passada, agora vamos formalizar essa 
visão. 
Tecnicamente, uma função é uma regra que associa elementos de um conjunto “de 
partida”, chamado Domínio, a elementos de um conjunto “de chegada”, chamado 
Contradomínio. 
Para que tenhamos realmente uma função, apenas duas regras básicas devem ser 
seguidas: 
 
Analisemos alguns diagramas para verificar se as relações entre os conjuntos 
apresentados são ou não uma função. 
 
Função
1) A regra da função deve 
fornecer um 𝑓(𝑥) para 
todo 𝑥 pertencente ao 
Domínio. Sem exceções.
2) Não são aceitas 
ambiguidades. A cada 𝑥
deve haver um único 𝑓(𝑥)
correspondente.
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AULA 01 – FUNÇÕES 6 
O diagrama anterior não representa uma função, pois não satisfaz a condição 1) 
enunciada acima, a de fornecer um 𝑓(𝑥) para todo 𝑥 pertencente ao Domínio. Perceba que os 
elementos B e D do domínio ficaram sem correspondentes no Contradomínio. 
 
Essa já é uma função. Perceba que ambas as condições, 1) e 2), foram satisfeitas. 
Todos os elementos do Domínio têm correspondentes no Contradomínio e cada elemento do 
Domínio tem apenas um correspondente no Contradomínio. 
 
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AULA 01 – FUNÇÕES 7 
Aqui já não temos uma função, pois não satisfaz a condição 2), a de não haver 
ambiguidades. Perceba que o elemento B, do Domínio, está relacionado a dois elementos do 
Contradomínio e isso não é permitido para funções. 
 
Essa é uma função. Não há problema em ficarem elementos do contradomínio sem 
referentes. Não podemos ter elementos sem correspondentes no domínio apenas. 
 
1.2. Imagem 
O conjunto Imagem de uma função, também chamado de conjunto dos valores de 𝑓, é o 
subconjunto do contradomínio que contém somente os elementos relacionados a elementos do 
domínio. 
Professor “ducéu”, entendi nada! 
Calma, vejamos como são as imagens de algumas funções nos diagramas. 
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AULA 01 – FUNÇÕES 8 
 
 
 
1.3. Função injetiva, sobrejetiva e bijetiva 
Com base no comportamento da função com os conjuntos domínio, contradomínio e 
imagem, podemos classificar as funções em injetoras, sobrejetora e bijetoras. Vejamos o que 
significa cada um desses termos. 
Uma função é chamada injetiva, ou biunívoca, quando não há elementos da imagem 
relacionados a mais de um elemento do domínio. Nesse tipo de função, as relações não se 
sobrepõem ou, em linguagem popular, não “encavalam”. 
Veja um exemplo de função injetiva: 
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AULA 01 – FUNÇÕES 9 
 
Pode-se dizer que, para uma função injetiva, se 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦) → 𝑥 = 𝑦. 
Para uma função ser sobrejetiva, a condição é a de que todos os elementos do 
contradomínio recebam correspondência de pelo menos um elemento do domínio. 
O diagrama a seguir representa exatamente essa situação para uma função sobrejetiva. 
 
Podemos pensar que, para uma função ser sobrejetiva, basta que o contradomínio seja 
igual à imagem, não importando se há a sobreposição ou não. 
Passando à próxima classificação, uma função é bijetiva quando tem as características 
de ambas as classificações anteriores, ou seja, é bijetiva quando é injetiva e sobrejetiva 
simultaneamente. 
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AULA 01 – FUNÇÕES 10 
Para isso, ela não deve apresentar sobreposição para ser injetiva e ter o conjunto 
contradomínio idêntico ao conjunto imagem, como no diagrama a seguir: 
 
Professor, então alterando esses conjuntos, domínio, contradomínio e imagem, é 
possível mudar a classificação de uma função? 
Excelente pergunta! 
A resposta é um sonoro SIM. 
E é exatamente isso que fazemos nos exercícios cujo comando da questão traz algo 
como “defina o domínio da função tal”. 
Vamos analisar nosso primeiro diagrama usado como exemplo nessa aula 
 
Com esse diagrama, defina o domínio de modo que 𝑓 seja uma função. 
Ora, professor, é só retirarmos os elementos B e D do conjunto domínio. 
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AULA 01 – FUNÇÕES 11 
Exatamente isso. Desse modo, passamos a ter uma função. 
 
Essa função passou a ser, então, injetiva e não sobrejetiva, visto que o contradomínio 
não é igual à imagem. 
Poderíamos alterar, então, o conjunto contradomínio para que a função seja bijetiva? 
Sem problemas. 
Ao alterar o contradomínio convenientemente, teremos uma função bijetiva como em: 
 
Veja que não há sobreposição em elemento algum do contradomínio e este é igual ao 
conjunto imagem, classificando nossa função como bijetiva (injetiva + sobrejetiva). 
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AULA 01 – FUNÇÕES 12 
Professor, essa classificação das funções em injetivas, sobrejetivas e bijetivas são 
aplicáveis às funções nos gráficos? 
São sim. 
Na verdade, podemos expressar a ideia de função de várias maneiras diferentes. Os 
diagramas que usamos são um dos jeitos possíveis. 
Podemos expressar uma função por meio de tabelas, diagramas, gráficos dos mais 
variados tipos e atépor meio de uma função algébrica, está lembrado? 
Em nosso curso, daremos ênfase a dois desses tipos: os gráficos no plano cartesiano e 
as funções expressas algebricamente. 
Vamos começar estudando as funções de primeiro e de segundo grau, algebricamente e 
graficamente, e, após sabermos como relacionar essas duas funções aos seus gráficos, 
voltaremos a essa classificação, combinado? 
1.4. Plano cartesiano 
O plano cartesiano é como uma tela onde cada ponto tem seu endereço. 
Para chegar a um ponto qualquer dessa tela, deslocamo-nos a partir da origem primeiro 
na horizontal (direita ou esquerda) e, depois, na vertical (para cima ou para baixo). 
Para simbolizar esse “deslocamento”, escreveremos os endereços sempre nesta ordem: 
horizontal e vertical. Por isso chamamos esses endereços de coordenadas dos pontos de 
pares ordenados. Chamaremos, de agora em diante, as coordenadas horizontais de abscissas 
e as coordenadas verticais de ordenadas. 
Embora possamos utilizar quaisquer símbolos para, algebricamente, representar um par 
ordenado, há grande preferência para as letras 𝑥 e 𝑦 para representar as abscissas e as 
ordenadas, respectivamente. 
Desse modo, (2; 3) indica um ponto a duas unidades de distância horizontal e três de 
distância vertical a partir da origem de um plano cartesiano, enquanto (𝑥; 𝑦) é uma 
representação para um par ordenado genérico. 
Quando não causar confusão com números decimais não inteiros, podemos representar 
pares ordenados separados por vírgula, ao invés de ponto e vírgula, (𝑥, 𝑦), sem prejuízo para a 
clareza e correção da notação. 
Vejamos com o representar essas coordenadas no plano cartesiano. Perceba que os 
eixos dividem o plano em quatro regiões, chamadas quadrantes. 
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AULA 01 – FUNÇÕES 13 
 
 
Alguns detalhes que gostaria que você notasse e os observasse sempre que vir um plano 
cartesiano a partir de agora: 
➢ Números positivos e negativos, nos eixos, são divididos pelo ponto (0,0). 
➢ As setas, rigorosamente expressas em apenas uma das extremidades de 
cada eixo, indicam o sentido de crescimento dos números e não, não podem 
ser colocadas em ambas as extremidades, ok? 
➢ Os números que estão exatamente em cima de um eixo coordenado sempre 
têm uma das coordenadas igual a zero. Se o ponto está no eixo 𝑥, tem a 
coordenada 𝑦 = 0. Se o ponto está no eixo 𝑦, tem sua coordenada 𝑥 = 0. 
Essa característica será muito útil em toda a nossa jornada na matemática! 
Agora que já sabemos o que é um plano cartesiano, vamos relacioná-lo às funções 
algébricas. 
1.5. Funções de primeiro grau 
As funções de primeiro grau são funções do tipo 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
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AULA 01 – FUNÇÕES 14 
Algumas características merecem destaque quando falamos sobre equações do primeiro 
grau, vamos a elas. 
Há, na escrita da função, os coeficientes 𝑎 e 𝑏. 
Atenção, eles não são variáveis, mas coeficientes. 
E qual será o papel deles quando esboçamos o gráfico de equações de primeiro grau? 
O que faremos aqui não é uma “prova” matemática. Os gráficos que serão apresentados 
têm a função de explicitar comportamentos conhecidos das funções de primeiro grau a título de 
apresentação. Em pontos diferentes do curso veremos algumas provas do que será introduzido 
intuitivamente nos próximos passos. 
Feitas as considerações, façamos alguns gráficos para análise. 
Para padronizar, levaremos em consideração a função 
𝑦 = 1𝑥 + 0 
Ou, de forma simplificada, 
𝑦 = 𝑥, 
também conhecida por função afim. 
Vejamos seu gráfico. 
 
Alterando os valores do coeficiente 𝑎 de 1 para 2, 3 𝑒 4. 
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AULA 01 – FUNÇÕES 15 
 
Você deve ter notado que, aparentemente, todas as funções parecem ser retas. 
Conversaremos sobre isso mais à frente. 
Sobre o coeficiente 𝑎, percebeu que quando o aumentamos, também aumenta o ângulo 
entre a reta 𝑦 e o eixo 𝑥? 
Exatamente por essa relação, chamamos o coeficiente 𝑎 de coeficiente angular. Já já 
vamos estudar mais sobre ele. 
Além disso, todas se interceptam no ponto (𝑥; 𝑦) = (0; 0), o que era mesmo de se 
esperar, acompanhe. 
Como as funções são todas do tipo 
𝑦 = 𝑎𝑥 
quando 
𝑥 = 0 → 𝑦 = 𝑎. 0 → 𝑦 = 0 
Assim, se 𝑥 = 0, temos 𝑦 = 0, ou seja, o gráfico da nossa função afim 𝑦 = 𝑎𝑥 passa pelo 
ponto (𝑥; 𝑦) = (0; 0). 
E o que será que acontece quando colocamos um número negativo no lugar do 
coeficiente 𝑎? 
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AULA 01 – FUNÇÕES 16 
 
Todas as retas apresentam ângulo maior que 90𝑜com o eixo 𝑥. 
Podemos perceber alguns comportamentos da função referentes ao coeficiente 𝑎: 
 
Está evidente a importância do coeficiente 𝑎 para o ângulo entre a reta 𝑦 = 𝑎𝑥 e o eixo 
𝑥. Essa característica levou à designação do coeficiente 𝑎 como coeficiente angular. Na aula 
sobre trigonometria, veremos em detalhes como esse coeficiente representa a tangente do 
ângulo entre a reta e o eixo 𝑥. 
Entendido o papel do coeficiente angular 𝑎 para a função de primeiro grau, passemos ao 
estudo do coeficiente 𝑏. 
Para padronização, utilizaremos a mesma função: 𝑦 = 1𝑥 + 0 ⇒ 𝑦 = 𝑥. 
Como fizemos com o coeficiente angular, alteremos o valor do coeficiente 𝑏 de 0 para 
1, 2 𝑒 3. 
Coeficiente a
Quanto maior o valor 
do módulo de 𝑎, 
mais vertical é a reta.
Coeficiente positivo 
gera reta crescente.
Coeficiente negativo 
gera reta 
decrescente.
Todas as retas da 
forma 𝑦 = 𝑎 ⋅ 𝑥
cruzam a origem do 
plano cartesiano 
0; 0 .
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AULA 01 – FUNÇÕES 17 
 
Que figura curiosa. 
Note que todas as retas apresentam o mesmo ângulo com o eixo 𝑥, das abcissas. Afinal, 
se o coeficiente angular de todas essas retas é o mesmo, 𝑎 = 1, não poderíamos esperar 
diferente, não é mesmo? 
Já a mudança do coeficiente 𝑏 causou um deslocamento do ponto de intersecção da 
reta com o eixo 𝑦. Antes, todas as retas tocavam o eixo das ordenadas na origem, ou seja, no 
ponto (0; 0). Ao alterar o coeficiente 𝑏, o ponto de intersecção não só foi alterado, como 
apresenta o mesmo valor numérico do coeficiente. 
Vejamos essa característica algebricamente. 
O ponto onde a reta corta o eixo 𝑦 tem sempre coordenada (0; 𝑦). Sendo assim, funções 
do tipo 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, 
ao interceptarem o eixo das ordenadas, sempre em um ponto (0; 𝑦), ou seja, 𝑥 = 0, 
apresentará valor calculado no ponto por: 
𝑦 = 0 ⋅ 𝑥 + 𝑏 
𝑦 = 𝑏 
Essa relação entre o ponto de intersecção entre a reta e o eixo 𝑦, também chamado de 
intercepto-y, dá origem ao nome ao coeficiente 𝑏 de coeficiente linear; o valor onde a reta 
“corta” a linha do eixo vertical. 
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AULA 01 – FUNÇÕES 18 
Com esses dados acerca dos coeficientes angular e linear, já somos capazes de 
esboçar o gráfico das funções de primeiro grau apenas olhando para os coeficientes 𝑎 e 𝑏. 
Testemos nossas habilidades. Como seria o gráfico de, digamos, 𝑦 = −2𝑥 + 5? 
O gráfico dessa função deve ser decrescente, pois o coeficiente angular 𝑎 é negativo; e 
interceptar o eixo 𝑦 em (0; 5), pois o coeficiente linear é 𝑏 = 5. 
 
Professor, nós falamos do intercepto-y, mas e o ponto em que a função corta o eixo 𝑥? 
Excelente pergunta! 
Esse ponto se chama intercepto-x, zero da função ou ainda, raiz da função. 
Se os pontos do eixo vertical todos têm coordenadas 𝑥 = 0, algo parecido acontece com 
o eixo horizontal: todos os pontos têm coordenadas 𝑦 = 0. 
Para saber onde a função corta o eixo 𝑥, basta substituir 𝑦 = 0 na função. E isso 
funciona para todas as funções, não só para as funções de primeiro grau. 
No gráfico, percebemos que a raiz é algo entre 2 e 3, mas não temos precisão para 
defini-la apenas graficamente. 
Vamos calculá-la. 
𝑦 = −2𝑥 + 5 
0 = −2𝑥 + 5 
2𝑥 = 5𝑥 =
5
2
 
𝑥 = 2,5 
Assim, dizemos que a raiz da função 
𝑦 = −2𝑥 + 5 
é 
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AULA 01 – FUNÇÕES 19 
𝑥 = 2,5 
Professor, se o coeficiente 𝑏 for nulo, a reta passa pela origem, correto? 
Correto. 
E o coeficiente 𝑎, pode ser nulo também? 
Pergunta interessante, vejamos o que acontece se substituirmos o coeficiente angular 𝑎 
por 0. 
Como padrão de comparação, usaremos a função cujo gráfico acabamos de esboçar 
𝑦 = −2𝑥 + 5 
Substituindo o coeficiente angular por 0, temos 
𝑦 = 0. 𝑥 + 5 
𝑦 = 5 
Isso significa que não há onde substituirmos o valor de 𝑥, ou seja, para qualquer valor de 
𝑥, 𝑦 = 5 e não há variação. Esse tipo de função é chamado de função constante e, para esse 
caso específico, tem o seguinte gráfico: 
 
 
Você notou como passamos de uma função para uma equação quando foi preciso 
calcular a raiz? 
É muito importante que você esteja ciente dos passos enquanto aprende e enquanto 
resolve os exercícios. 
Lembre-se de praticar com simulados para manter-se afiado, combinado? 
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AULA 01 – FUNÇÕES 20 
De acordo com o que vimos até agora, há 6 tipos principais de funções de primeiro grau, 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, não constantes, veja a seguir: 
 
 
 
Atenção, apenas nomeamos os tipos de função de 1 a 6 para de numerar os tipos com 
um fim didático. Não se refira em uma prova a uma função do tipo 5 por exemplo. Ao invés 
disso, explicite as condições dos coeficientes 𝑎 e 𝑏. 
 
CAI NA PROVA 
1. Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo. 
 𝒂) 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟓 
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AULA 01 – FUNÇÕES 21 
 𝒃) 𝒇(𝒙) = −𝒙 
 𝒄) 𝒇(𝒙) = 𝟎, 𝟑𝒙 + 𝟖 
 𝒅) 𝒇(𝒙) =
𝟐
𝟑
𝒙 −
𝟏
𝟓
 
 𝒆) 𝒇(𝒙) = −𝒙 + 𝝅 
 𝒇) 𝒇(𝒙) = 𝒆. 𝒙 − 𝝅 
 𝒈) 𝒇(𝒙) = √𝟓 + 𝟑𝒙 
 𝒉) 𝒇(𝒙) =
𝟏
√𝝅
𝒙 
 𝒊) 𝒇(𝒙) = −
𝟏
√𝝅
𝒙 + 𝟐 
 𝒋) 𝒇(𝒙) = −𝟐𝒙 −
𝟏
√𝝅
 
 
Respostas: 
 𝑎) 𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝑡𝑖𝑝𝑜 1 
 𝑏) 𝑎 < 0, 𝑏 = 0, 𝑡𝑖𝑝𝑜 5 
 𝑐) 𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝑡𝑖𝑝𝑜 1 
 𝑑) 𝑎 > 0, 𝑏 < 0, 𝑡𝑖𝑝𝑜 3 
 𝑒) 𝑎 < 0, 𝑏 > 0, 𝑡𝑖𝑝𝑜 6 
 𝑓) 𝑎 > 0, 𝑏 < 0, 𝑡𝑖𝑝𝑜 3 
 𝑔) 𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝑡𝑖𝑝𝑜 1 
 ℎ) 𝑎 > 0, 𝑏 = 0, 𝑡𝑖𝑝𝑜 2 
 𝑖) 𝑎 < 0, 𝑏 > 0, 𝑡𝑖𝑝𝑜 6 
 𝑗) 𝑎 < 0, 𝑏 < 0, 𝑡𝑖𝑝𝑜 4 
1.6. Funções de segundo grau 
A análise das funções de segundo grau seguirá o mesmo padrão que usamos para 
analisar as funções de primeiro grau. 
A diferença é que nas funções de segundo grau teremos três coeficientes, não dois. 
Pois bem. Uma função de segundo grau é da forma 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
Alternativamente, podemos escrever 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
Sem perda de significado. 
Como você deve ter notado, são três coeficientes; 𝑎, 𝑏, 𝑐. 
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AULA 01 – FUNÇÕES 22 
i. Coeficiente 𝑎 
Uma particularidade da função de segundo grau é que o expoente dois torna valores 
negativos em positivos. É claro que isso não acontece com o termo de primeiro grau, mas, é 
um fator a se considerar quando estamos estudando gráficos de equações de segundo grau. 
Como parâmetro, usaremos agora a função 
𝑦 = 1𝑥2 + 0𝑥 + 0 
𝑦 = 𝑥2 
Como todos os valores de 𝑥 serão elevados ao quadrado, essa função acaba sendo não 
negativa. Vejamos seu gráfico: 
 
A função 𝑦 = 𝑥2 apresenta simetria axial1 e esse eixo é exatamente o eixo vertical, ou 
seja, os valores de 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥). Essa característica é consequência do expoente par da 
função e a classifica como função par, mas veremos essa classificação na aula 02. Por 
enquanto, basta notar a simetria e saber que nem toda função quadrática é par. 
Para a primeira análise, veremos como é afetada a função ao variarmos o coeficiente 𝑎. 
 
1 Simetria Axial: diz-se de uma figura que tem, pelo menos, um eixo que a divide em duas partes semelhantes, iguais, 
correspondentes. 
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AULA 01 – FUNÇÕES 23 
 
E qual seria a consequência de valores negativos no coeficiente 𝑎? Seria esse valor 
negativo afetado pela potência de 𝑥? 
Escrevendo a função com 𝑎 < 0, temos algo como em 𝑦 = −𝑥2. 
Nem o coeficiente 𝑎 nem o seu sinal estão elevados ao quadrado. Assim, o sinal de 𝑎 
pode e deve ter interferência no gráfico da função. Só para deixar claro, aqui temos 𝑎 = −1. 
 
Nota-se que o coeficiente 𝑎 tem influência na abertura da função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2. A essa 
abertura, chamamos concavidade. Se 𝑎 aumenta, a concavidade se fecha; se 𝑎 diminui, a 
concavidade se abre. Além disso, valores negativos de 𝑎 resultam em funções com 
concavidades voltadas para baixo e positivos, para cima. 
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AULA 01 – FUNÇÕES 24 
Essa curva que você notou nos gráficos recebe o nome de parábola e tem muitas 
características interessantes. Estudaremos essas propriedades com profundidade em 
Geometria Analítica e veremos, por exemplo, o motivo de usarmos antenas parabólicas para 
captar sinais de satélite. Por enquanto o que nos interessa é o comportamento da função de 
segundo grau, cujo gráfico é representado por uma parábola. 
ii. Coeficiente 𝑏 
Entendido o coeficiente 𝑎, vamos para o coeficiente 𝑏. Usemos a função 
𝑦 = 1𝑥2 + 0𝑥 + 0 
𝑦 = 𝑥2 
como base de comparação e alteremos o valor de 𝑏 = 0 para 1, 2 e 3. 
 
As parábolas se mantiveram “presas” na origem (0; 0), mas apareceu uma segunda raiz 
de módulo igual ao módulo de 𝑏, mas com sinal contrário. 
Vejamos o porquê de isso ocorrer. 
Se temos uma função incompleta do tipo 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 
e queremos calcular suas raízes, nós colocaremos o valor zero no lugar da função, pois 
as raízes estão no eixo horizontal, lembra? 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 
0 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 
0 = 𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏) 
Se um produto é zero, um dos fatores deve ser igual a zero, então: 
𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 
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AULA 01 – FUNÇÕES 25 
𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = −
𝑏
𝑎
 
Como no nosso exemplo, 𝑎 = 1 
𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = −𝑏 
Exatamente o comportamento visto: 
𝑥 = 0 𝑒 𝑦 = 0 → 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎 𝑛𝑎 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑚 
𝑥 = −𝑏 𝑒 𝑦 = 0 → 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑐𝑜𝑚 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎𝑜 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑏 𝑐𝑜𝑚 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 
Assim, apesar de não ser uma translação somente horizontal, ocorre um 
“escorregamento da função quanto alteramos o coeficiente 𝑏. 
Para confirmar, se o “escorregamento” sempre tem o sinal oposto de 𝑏, se colocarmos 
valores negativos para o coeficiente 𝑏 a função “escorregaria” para a direita? 
Teoricamente, sim. Façamos mais alguns gráficos só para confirmar. 
 
Exatamente o que esperávamos. 
Agora, muita atenção: quando o coeficiente 𝑎 for negativo, esse comportamento é o 
oposto! 
Por exemplo, na função 𝑦 = −𝑥2 + 3𝑥, as raízes são: 
𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 3𝑥 
0 = −𝑥2 + 3𝑥 
0 = 𝑥(−𝑥 + 3) 
𝑥 = 0 𝑜𝑢 − 𝑥 + 3 = 0 
𝑥 = 0 𝑜𝑢 3 = 𝑥 
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AULA 01 – FUNÇÕES 26 
No gráfico, temos: 
 
Percebeu? Essa função teve o escorregamento para a direita, “obedecendo” o sinal do 
coeficiente 𝑏. 
O motivo é o mesmo de antes, ao resolver a equação final, o sinal aparece trocado. No 
entanto, quando o coeficiente 𝑎 é negativo, acontece uma troca dupla, gerando o 
comportamento diferente de quando o coeficiente 𝑎 é positivo. 
Coeficiente 𝑎 positivo → deslocamento oposto ao sinal do coeficiente 𝑏. 
Coeficiente 𝑎 negativo → deslocamento em concordância com o sinal do coeficiente 𝑏. 
 
 
Sempre que o coeficiente 𝑏 é positivo, nossa parábola corta o eixo vertical (𝑦) de forma 
crescente. 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 + 2 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 27 
 
Sempre que o coeficiente 𝑏 é negativo, nossa parábolacorta o eixo vertical (𝑦) de forma 
crescente. 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 + 2 
 
iii. Coeficiente 𝑐 
E, para encerrar esse estudo, analisemos o comportamento da função 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
quando variamos os valores do coeficiente 𝑐. 
Novamente, utilizaremos a função 
𝑦 = 1𝑥2 + 0𝑥 + 0 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 28 
𝑦 = 𝑥2 
como parâmetro e variaremos o coeficiente 𝑐 de 0 para −1,1, 2, 3. 
 
Não é de se estranhar que o termo independente da função de segundo grau também 
traz a informação do intercepto-y. Afinal, se colocarmos valor nulo na variável x, o que sobra é 
só o termo independente. Veja. 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
𝑓(0) = 𝑎02 + 𝑏0 + 𝑐 
𝑓(0) = 𝑐 
Ou seja, o termo independente traz exatamente o valor do ponto em que a função 
quadrática corta o eixo vertical. 
Voltando às funções do gráfico, atenção à função 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 
Ela apresenta duas raízes. Visualmente, no gráfico, vemos que devem ser {−1; 1}. 
Vamos conferir? 
Para calcular as raízes, fazemos 𝑦 = 0, então: 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 
0 = 𝑥2 − 1 
1 = 𝑥2 
√1 = √𝑥2 
1 = |𝑥| 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 29 
±1 = 𝑥 
Exatamente como prevíamos. 
 
Agora, vejamos o que acontece com as funções que parecem “flutuar” no gráfico, não 
interceptando o eixo horizontal. 
Vejamos o exemplo de 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1 
0 = 𝑥2 + 1 
−1 = 𝑥2 
√−1 = √𝑥2 
Perceba que não existe, no conjunto dos números reais, a raiz quadrada de número 
negativo. 
Veja bem, tínhamos uma função e queríamos descobrir a(s) raiz(raízes). Par isso, 
substituímos 𝑦 por 0 e, nesse momento, passamos a ter uma equação que representa uma 
pergunta: qual o número cujo quadrado somado a um dá zero? 
Quando chegamos a uma resposta inexistente, significa responder a essa pergunta 
dizendo: não existe número que satisfaça essa condição. 
Como esse número representaria o(s) ponto(s) em que a função interceptaria o eixo 
horizontal, concluímos que a função está toda acima do eixo ou toda abaixo do eixo; não há 
intersecções entre esta e o eixo horizontal. 
É extremamente importante que você esteja ciente do que calcula e, tanto quanto operar 
corretamente funções e equações, que consiga entender o que significam a cada momento. 
Assim você poderá aplicar as ferramentas matemáticas para resolver problemas de forma 
eficiente. Isso te ajuda a passar e a resolver problemas do cotidiano por meio da matemática 
também. Afinal, após o vestibular há toda uma faculdade a cursar, não é? 
 
Vimos que as soluções para a equação 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 30 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
{
 
 
 
 
𝑥′ =
−𝑏 + √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥′′ =
−𝑏 − √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
Ou, em sua forma alternativa, 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
=
{
 
 
 
 
𝑥′ =
−𝑏 + √∆
2𝑎
𝑥′′ =
−𝑏 − √∆
2𝑎
 
Vimos também que para calcular as raízes de uma função, substituímos 𝑦 por zero. 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
0 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
Assim, o cálculo dos valores que satisfazem essa equação são também, quando no 
ambiente das funções quadráticas, suas raízes. 
Sabemos também que não são todas as funções que têm raízes, algumas são 
estritamente positivas e outras, estritamente negativas; são os gráficos “flutuantes”. 
Olhando para a forma alternativa de escrita para o cálculo das soluções da equação, 
percebe-se que há uma raiz quadrada envolvida, a raiz quadrada do discriminante 
√∆ 
Como não existe raiz de números negativos no conjunto dos números reais, temos que, 
para haver raízes em uma função, necessariamente 
√∆ 𝑑𝑒𝑣𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑖𝑟 
∆ ≥ 0 
São duas possibilidades condensadas na informação: o discriminante pode ser zero ou o 
discriminante pode ser positivo. 
Com o discriminante positivo, já vimos que há duas raízes distintas, portanto, a função 
corta o eixo horizontal duas vezes. 
Caso o discriminante seja zero, vejamos o que acontece: 
∆= 0 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
=
{
 
 
 
 
𝑥′ =
−𝑏 + √0
2𝑎
=
−𝑏
2𝑎
𝑥′′ =
−𝑏 − √0
2𝑎
=
−𝑏
2𝑎
 
As duas raízes, 𝑥′ e 𝑥′′ passam a ser idênticas! 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 31 
Dizemos que a função só tem uma raiz ou, mais tecnicamente, que tem apenas uma raiz 
de multiplicidade dois, pois funções do segundo grau devem ter duas raízes. 
Nesse caso, a função apenas toca o eixo horizontal do gráfico, como vimos no caso de 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 
Obviamente, caso a função apresente 
∆ < 0 
ela não apresenta raízes reais, é estritamente positiva ou estritamente negativa e não 
toca o eixo das abcissas. 
Mas professor, você não falou que toda função do segundo grau deve ter duas raízes, 
por isso a raiz única quando ∆= 0 é chamada de raiz de multiplicidade dois? 
Falei. 
Então, onde estão as duas raízes das funções que apresentam ∆ < 0? 
Para o caso ∆ < 0, existem também duas raízes, mas elas são do domínio dos números 
complexos. Perceba que eu disse que não havia raízes no conjunto dos números reais. Você 
aprenderá a calcular essas raízes na aula sobre números complexos, não se preocupe com 
isso agora. 
 
 Exercício de aplicação 
2. Considerando a função 
𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + (𝒎+ 𝟐)𝒙 + 𝟏 
O valor de 𝒎 para que 𝒇(𝒙) tenha apenas uma raiz de multiplicidade dois é 
a) 𝒎 = −𝟐 ou 𝒎 = 𝟐 
b) 𝒎 = 𝟐 
c) 𝒎 = 𝟎 ou 𝒎 = 𝟐 
d) 𝒎 = −𝟐 
e) 𝒎 = −𝟒 ou 𝒎 = 𝟎 
Comentários: 
Para que a função 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + (𝑚 + 2)𝑥 + 1 
tenha apenas uma raiz, é necessário que 
∆= 0 
∆= √𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0 
√(𝑚 + 2)2 − 4.1.1 = 0 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 32 
(√(𝑚 + 2)2 − 4)
2
= 02 
|(𝑚 + 2)2 − 4| = 0 
(𝑚 + 2)2 − 4 = 0 
𝑚^2 + 4𝑚 + 4 − 4 = 0 
𝑚2 + 4𝑚 + 4 − 4 = 0 
𝑚2 + 4𝑚 = 0 
𝑚(𝑚 + 4) = 0 
𝑚 = 0 𝑜𝑢 (𝑚 + 4) = 0 
𝑚 = 0 𝑜𝑢 𝑚 = −4 
Gabarito: “e”. 
 
1.6.4. Máximos e mínimos da função do segundo grau 
A essa altura, você já deve ter percebido que as funções do segundo grau apresentam 
um ponto mais alto ou um ponto mais baixo, a depender do sinal do coeficiente 𝑎. 
Esse ponto é especial e, por ser um máximo ou um mínimo, interessa a muitos campos 
de estudo. 
Por isso, é interessante acharmos um modo prático de encontrá-lo. 
Vejamos um gráfico genérico de 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
 
Ao ponto mais alto ou mais baixo da parábola, chamamos vértice e este tem duas 
coordenadas: x vértice e y vértice. 
Como a parábola é simétrica, podemos dizer que a coordenada x do vértice, ou x 
vértice, está bem no meio entre as raízes, assim, podemos calculá-lo. 
Se as raízes são dadas por: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 33 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
{
 
 
 
 
𝑥′ =
−𝑏 + √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥′′ =
−𝑏 − √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
O ponto médio entre as raízes é: 
𝑥𝑣 =
−𝑏 + √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎 +
−𝑏 − √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
2
 
𝑥𝑣 =
−𝑏 + √𝑏2 − 4𝑎𝑐 − 𝑏 − √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
2
 
𝑥𝑣 =
−2𝑏
4𝑎
= −
𝒃
𝟐𝒂
 
Assim, podemos sempre saber qual a coordenada x do vértice pela fórmula acima. 
Perceba que descobrimos essa fórmula para o x-vértice (𝑥𝑣) ao fazer a média entre as 
raízes, então, você também pode fazer isso se as conhecer: 
𝑥𝑣 =
𝑥′ + 𝑥′′
2
 
Já para descobrir a coordenada y do vértice, podemos aplicar o valor de x vértice na 
própria função, veja: 
𝑦𝑣 = 𝑎𝑥𝑣
2 + 𝑏𝑥𝑣 + 𝑐 
Se aplicarmos a coordenada x do vértice, a coordenada y corresponderá, também, ao 
vértice. 
𝑦𝑣 = 𝑎 (
−𝑏
2𝑎
)
2
+ 𝑏 (
−𝑏
2𝑎
) + 𝑐 
𝑦𝑣 =
𝑎𝑏2
4𝑎2
−
𝑏2
2𝑎
+ 𝑐 
𝑦𝑣 =
𝑎𝑏2 − 2𝑎𝑏2 + 4𝑎2𝑐
4𝑎2
 
𝑦𝑣 =
−𝑎𝑏2 + 4𝑎2𝑐
4𝑎2
 
𝑦𝑣 =
−𝑎(𝑏2 − 4𝑎𝑐)
4𝑎2
 
𝑦𝑣 =
−𝑎(𝑏2 − 4𝑎𝑐)
4𝑎2
 
𝑦𝑣 =
−∆
4𝑎
 
𝑦𝑣 = −
∆
4𝑎
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 34 
Agora, sempre que precisarmos de máximose mínimos de uma parábola, lembremos de 
seu vértice V: 
𝑉 = (𝑥𝑣; 𝑦𝑣) = (−
𝑏
2𝑎
;−
∆
4𝑎
) 
 
CAI NA PROVA 
3. Esboce, em um mesmo plano cartesiano, o gráfico de cada uma das funções 
abaixo. 
 𝒂) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑 
 𝒃) 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟑 
 𝒄) 𝒉(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟑 
 𝒅) 𝒑(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟑 
 𝒆) 𝒒(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟑 
𝒇) 𝒓(𝒙) = −𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟑 
 𝒈) 𝒔(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟗 
 𝒉) 𝒕(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟗 
 
Respostas 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 35 
 
 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 36 
1.8. Conjuntos domínio, contradomínio e imagem no plano 
cartesiano 
Voltemos ao aos conjuntos: domínio, contradomínio e imagem das funções. 
Porém, agora, veremos como reconhecer esses conjuntos diretamente no gráfico. 
Utilizemos, como exemplo, a função 
 
Perceba que, enquanto podemos colocar quaisquer valores reais para a variável 
independente 𝑥, os valores de 𝑓(𝑥) sempre serão iguais ou maiores que 1. Dessa forma, 
podemos dizer que o conjunto imagem para essa 𝑓(𝑥) é: 
𝐼𝑚𝑓 = {𝑦 ∈ ℝ: 𝑦 ≥ 1} 
Escrevemos o conjunto imagem com referência a 𝑦 e não a 𝑥, pois estamos trabalhando 
com os valores da função e não da variável 𝑥. 
Nesse gráfico, não há a indicação de limitação para os valores de 𝑥, então não há 
motivos para inferirmos que eles sejam limitados. Assim, já que a própria função não apresenta 
condições para que exista, podemos inferir que o domínio, definido o mais amplamente 
possível, é todo o conjunto dos números reais. 
𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ} 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 37 
Veja outro exemplo: 
 
Veja que a função é a mesma do exemplo anterior, no entanto os valores para 𝑥 estão 
delimitados ao intervalo [-2;1[. 
Quando delimitamos os valores da variável independente, os valores da variável 
dependente, ou da função, apresentam a consequência que, neste caso, é a de ter seus 
valores limitados, no eixo 𝑦, a valores compreendidos no intervalo [1;5[. 
Explicitando para o gráfico apresentado temos: 
𝐼𝑚𝑓 = {𝑦 ∈ ℝ: 1 ≤ 𝑦 < 5} 
𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ:−2 ≤ 𝑥 < 1} 
Dizemos que essa função é válida apenas para o intervalo específico de seu domínio. 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 38 
1.9. Função dada por intervalos 
Percebemos, no tópico anterior, que uma função pode ser válida apenas em um 
intervalo. 
O que veremos aqui é que, na verdade, podemos ter várias definições diferentes para 
intervalos diferentes. 
Imagine um vendedor seguros que tem seu salário dado pelas seguintes condições: 
 
Vamos simbolizar essa informação em um plano cartesiano? 
 
O esboço mostra que, para diferentes faixas de volume vendido, há comportamentos 
distintos para o salário. 
Salário depende do 
valor dos seguros 
vendidos
nenhum seguro 
vendido
Salário de 
R$2.000,00
Entre R$0,01 e 
R$5.000 em seguros 
vendidos
R$2.000,00 + 10% 
de comissão sobre o 
volume vendido
R$5.000,01 ou mais 
em seguros 
vendidos
R$2.000,00 + 15% 
de comissão sobre o 
volume vendido
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 39 
Essa é uma situação muito comum no dia-a-dia comercial. 
 
Agora, vamos representar essa situação de modo mais formal, definindo o salário 𝑆 em 
função do volume 𝑣 vendido. 
𝑆(𝑣) =
{
 
 
 
 
2000, 𝑠𝑒 𝑣 = 0
 
2000 + (10%). 𝑣, 𝑠𝑒 0 < 𝑣 ≤ 5000
 
2000 + (15%). 𝑣, 𝑠𝑒 𝑣 ≥ 5000,01
 
Como 𝑆(𝑣) é dividida em segmentos, dizemos que ela é uma função dada por intervalos. 
Vamos a mais um exemplo? 
Veja a função 
𝑓(𝑥) =
{
 
 
 
 
𝑥 − 3, 𝑠𝑒 − ∞ < 𝑥 ≤ 2
 
𝑥2 − 6𝑥 + 7, 𝑠𝑒 2 < 𝑥 < 5
 
3, 𝑠𝑒 5 ≤ 𝑥 ≤ 8
 
−2𝑥 + 18, 𝑠𝑒 𝑥 > 8
 
Já sabemos esboçar todas essas funções separadamente. Para termos uma única 
função, definida em intervalos, basta que esbocemos cada uma das condições como se fossem 
uma função única e, após, aproveitar apenas a parte do gráfico que esteja no intervalo 
solicitado. 
Por exemplo a parte de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 7, esboçamos toda a parábola e aproveitamos 
apenas o “pedaço” da parábola que tem seus valores de 𝑥 entre 2 e 5. 
Não se esqueça de que as “bolinhas” fechadas no gráfico simbolizam pontos de 
inclusão, equivalentes à parte de igualdade do símbolo de ≤ utilizado na definição algébrica da 
função por intervalos. 
Vejamos como fica o esboço do gráfico de 𝑓(𝑥). 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 40 
 
1.10. Função inversa 
Já iniciaremos os estudos da função inversa com um sinal de alerta. 
 
 
O inverso de um número é uma fração com esse número no denominador. 
O inverso de 5 é 1 5⁄ . 
Uma função inversa não tem a ver com esse conceito! 
 
A inversa de uma função é outra função que cumpre um papel específico: o de 
“desfazer” o que foi feito pela função original. 
Vejamos um caso específico. 
Para a função 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5, 
calcule 𝑓(5). 
Pela definição da função, temos: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 41 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5 
𝑓(5) = 2.5 + 5 
𝑓(5) = 15 
Pois bem, a função 𝑓(𝑥), com entrada 𝑥 = 5, retorna 𝑓(5) = 15. 
Agora, procuremos uma função que faz exatamente o contrário, ao ser alimentada com 
entrada 𝑥 = 15, retorne o 5. A função que fizer isso para qualquer 𝑥 pertencente ao domínio de 
𝑓(𝑥) será nossa função inversa, simbolizada por 𝑓−1(𝑥). 
 
Uma regra prática para encontrarmos a função inversa é inverter a notação de 𝑥 e 𝑓(𝑥) 
na função inicial e, então, isolar o 𝑥. Pode-se, alternativamente, usar 𝑦 no lugar de 𝑓(𝑥). 
Para evitar confusão, indico, já na troca inicial, simbolizar a função inversa com 𝑓−1(𝑥). 
Assim você evita erros por causa de troca de notação. 
No exemplo dado, calculemos, pela regra prática, a inversa de 𝑓(𝑥). 
Função original a ser invertida: 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5 
Trocando a notação: 
𝑥 = 2. 𝑦 + 5 
𝑥 = 2. 𝑓(𝑥) + 5 
𝑥 = 2. 𝑓−1(𝑥) + 5 
Nesse curso, usaremos, preferencialmente, a notação: 
𝑥 = 2. 𝑓−1(𝑥) + 5 
Isolando 𝑓−1(𝑥) 
𝑥 = 2. 𝑓−1(𝑥) + 5 
Subtraindo 5 de ambos os membros 
𝑥 − 5 = 2. 𝑓−1(𝑥) 
Dividindo ambos os membros por 2 
𝑥 − 5
2
=
2. 𝑓−1(𝑥)
2
 
𝑥 − 5
2
= 𝑓−1(𝑥) 
Desse modo, definimos a inversa de 𝑓(𝑥) como sendo 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 42 
𝑓−1(𝑥) =
𝑥 − 5
2
 
Vamos testar para ver se, ao colocarmos 𝑥 = 15 essa função retorna 𝑓−1(15) = 5 como 
esperávamos? 
𝑓−1(𝑥) =
𝑥 − 5
2
 
𝑓−1(15) =
15 − 5
2
 
𝑓−1(15) =
10
2
 
𝑓−1(15) = 5 
Desse modo, podemos dizer que a inversa de 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5 
é 
𝑓−1(𝑥) =
𝑥 − 5
2
. 
1.10.1. Consequência da definição de função inversa 
 
A função inversa é, como o próprio nome diz, uma função. 
E o que é necessário para que tenhamos, propriamente, uma função? 
São duas condições: 
 
Como você deve ter percebido, na função inversa, os valores da variável independente 𝑥 
se transformam em variável dependente 𝑓−1(𝑥) e vice-versa. 
Pensando nos conjuntos domínio e contradomínio, o domínio de 𝑓(𝑥) passa a ser o 
contradomínio de 𝑓−1(𝑥), enquanto o contradomínio de 𝑓(𝑥) passa a ser o domínio de 𝑓−1(𝑥). 
E o que isso quer dizer, professor? 
Função
1) A regra da função deve 
fornecer um 𝑓(𝑥) para 
todo 𝑥 pertencente ao 
Domínio. Sem exceções.
2) Não são aceitas 
ambiguidades. A cada 𝑥
deve haver um único 𝑓(𝑥)
correspondente.
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 43 
Bom, como o contradomínio de uma se transforma no domínio da outra e o domínio não 
admite ficar sem correspondência, só podemos fazer funções inversas de funções cujos 
contradomínios estejam completamente relacionados. 
Vish, professor, complicou. 
Calma, vejamos como fica essa afirmação nos diagramas que usamos paradefinir as 
funções. 
 
Claramente, temos uma função: todos os valores do domínio têm correspondentes e não 
há mais de um correspondente por cada elemento do domínio. 
Agora, vamos tentar inverter a função 𝑓. 
 
Perceba que 𝑓−1 não é uma função, pois nem todos os elementos de seu conjunto 
domínio estão relacionados. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 44 
Se retirarmos, então, os elementos 4 e 5 do contradomínio de 𝑓, poderemos invertê-la 
tranquilamente, veja: 
 
 
Daqui tiramos uma conclusão importantíssima: 
somente funções bijetivas têm inversas! 
1.11. Função Raiz 
Se eu te perguntar qual é a operação inversa da operação de soma, provavelmente você 
me responderá que é a subtração. 
Da multiplicação? A divisão. 
Da potenciação? Exatamente, a radiciação. 
Calculemos, então, a função inversa de 
𝑓(𝑥) = 𝑥2. 
Antes de calcularmos a inversa, lembre-se do gráfico dessa função: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 45 
 
Perceba que 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 
não é uma função bijetiva, pois há, para um único elemento de 𝑦, mais de um elemento 
𝑥 correspondente. 
 
Para que a função seja inversível, podemos redefinir seu domínio, digamos para 𝑥 ≥ 0, 
para que isso não aconteça, veja: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 46 
 
Agora sim, podemos continuar a definir nossa 𝑓−1(𝑥). 
Procedamos exatamente como no item anterior para encontrar a função inversa: 
inversão da nomenclatura. 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 
𝑥 = 𝑓−1(𝑥)2 
Como dissemos há pouco, a operação inversa da potenciação é a radiciação, então, raiz 
em ambos os membros da equação. 
𝑥 = 𝑓−1(𝑥)2 
√𝑥 = √𝑓−1(𝑥)2 
√𝑥 = √𝑓−1(𝑥)2 
Novamente, nós vamos estudar mais a fundo essa questão da raiz quadrada de algo 
elevado ao quadrado na aula sobre módulos. Como nosso domínio contém apenas valores 
positivos, podemos dizer que 
√𝑥 = 𝑓−1(𝑥) 
E como se parece o gráfico dessa função inversa? 
Bom, a cada número 𝑥, associamos sua raiz quadrada, o que dá a seguinte forma ao 
esboço de nossa função inversa: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 47 
 
 
Um fato muito interessante é relacionarmos nosso gráfico de função inversa à reta 𝑦 =
𝑥, veja: 
 
Há uma simetria entre as funções e suas inversas, sempre com relação à bissetriz dos 
eixos 𝑦 = 𝑥. Essa característica pode facilitar a resolução de algumas questões gráficas nas 
provas, fique ligado! 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 48 
Além disso, note que o conjunto domínio de uma função, quando a invertemos, torna-se 
o conjunto contradomínio da função inversa; assim como o contradomínio da função torna-se o 
domínio da função inversa. 
Como não é possível que elementos do domínio fiquem sem correspondência (e o 
contradomínio da função será o domínio da função inversa), uma função, para ser inversível, 
precisa ser bijetora 
1.12. Função Composta 
Na prática, a função composta é quando aplicamos uma função a outra função. 
Peguemos, com exemplo, duas funções definidas como 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5 
𝑔(𝑥) = 𝑥² 
Se precisarmos calcular 𝑓(𝑥) para alguns valores, teremos: 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5 
𝑓(3) = 2.3 + 5 
𝑓(−8) = 2. (−8) + 5 
𝑓(200) = 2.200 + 5 
𝑓(a) = 2. a + 5 
𝑓(∇) = 2. ∇ + 5 
Não deve ser surpresa que, ao aplicar 𝑓(𝑥) a 𝑔(𝑥), resulte: 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5 
𝑔(𝑥) = 𝑥² 
𝑓(𝑔(𝑥)) = 2. 𝑔(𝑥) + 5 
𝑓(𝑔(𝑥)) = 2. 𝑥² + 5 
Uma notação alternativa para a função composta é: 
𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓𝑜𝑔(𝑥) = 𝑓𝑜𝑔 
cuja leitura é: 𝑓 composta com 𝑔, 𝑓 bola 𝑔, 𝑓 círculo 𝑔, ou ainda, fog (como neblina em 
inglês). 
Podemos, também, fazer o contrário, calcular 𝑔𝑜𝑓(𝑥), veja: 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5 
𝑔(𝑥) = 𝑥² 
𝑔𝑜𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) 
𝑔𝑜𝑓(𝑥) = [𝑓(𝑥)]2 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 49 
𝑔𝑜𝑓(𝑥) = [2𝑥 + 5]2 
 
𝑔𝑜𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 5). (2𝑥 + 5) 
 
𝑔𝑜𝑓(𝑥) = 4𝑥2 + 10𝑥 + 10𝑥 + 25 
𝑔𝑜𝑓(𝑥) = 4𝑥2 + 20𝑥 + 25 
Portanto, sendo as funções 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5 
𝑔(𝑥) = 𝑥² 
temos 
𝑓𝑜𝑔(𝑥) = 2. 𝑥² + 5 
𝑔𝑜𝑓(𝑥) = 4𝑥2 + 20𝑥 + 25 
2. Inequações (parte 2) 
2.1. Inequação do segundo grau 
Com definição dada de forma semelhante às das inequações de primeiro grau, as 
inequações do segundo grau são inequações que, na sua forma mais reduzida, podem ser 
representadas por 
𝑓(𝑥) > 0 𝑓(𝑥) < 0 𝑓(𝑥) ≥ 0 𝑓(𝑥) ≤ 0 
onde 𝑓(𝑥) é, necessariamente, uma função do segundo grau, temos uma inequação do 
primeiro grau. 
A resolução das inequações de segundo grau se resume a dois passos principais: 
 Reduzir a inequação à sua forma mais simples 
 Representar um esboço do gráfico de 𝑓(𝑥) com suas raízes 
Como exemplo, analisemos a inequação do segundo grau 
𝑥2 − 5𝑥 + 6 ≤ 0 
Inicialmente, não conseguimos simplificar para chegar ao intervalo de valores solicitado, 
então usaremos a abordagem das funções, considerando 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 ≤ 0 
Para esboçarmos o gráfico de 𝑓(𝑥) levantamos algumas informações úteis: 
 Coeficiente 𝑎 > 0, então a parábola tem concavidade para cima 
 Coeficiente 𝑐 = 6, então a parábola intercepta o eixo vertical em 6 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 50 
Não sabemos, ainda, as raízes da função 𝑓(𝑥), então, vamos calculá-las. 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 
𝑥 =
5 ± √(−5)2 − 4.1.6
2.1
=
{
 
 
 
 
𝑥′ =
5 + √1
2
= 3
𝑥′′ =
5 − √1
2
= 2
 
Assim, as raízes da função 𝑓(𝑥) são (2; 0)𝑒 (3; 0). 
 
 
Cuidado, temos duas raízes, essas raízes têm sempre a coordenada 𝑦 = 0, tome cuidado 
para não as juntar e formar um ponto só! Note que, no caso anterior, nem o ponto (2; 3) nem o 
ponto (3; 2) são raízes da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6. 
 
Pois bem, já coletamos informações suficientes para a análise da inequação 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 ≤ 0 
Com todos esses dados, façamos um esboço do gráfico de 𝑓(𝑥) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 51 
 
Essa não é a resposta, é apenas um esboço do gráfico compilando as informações que 
temos acerca de 𝑓(𝑥). 
Agora é o momento de olharmos para a inequação e entendermos o que ela solicita. 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 ≤ 0 
Ela pede os valores que 𝑓(𝑥) ≤ 0, ou seja, que a função seja nula ou seja negativa. 
Uma função é nula em suas raízes, que já calculamos, então já temos que 𝑥 = 2 e 𝑥 = 3 
fazem parte da resposta. 
Além disso, pelo gráfico, vimos que 𝑓(𝑥) é negativa quando sua linha está abaixo do 
eixo horizontal. Nesse caso, entre 2 e 3. 
Assim, já podemos elaborar nossa resposta. Os valores que satisfazem à inequação do 
segundo grau estão entre 2 e 3, inclusive seus limites. 
Em linguagem algébrica, temos o conjunto solução 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ/2 ≤ 𝑥 ≤ 3} 
Ou, se preferir, em linguagem gráfica 
 
https://pt.wiktionary.org/wiki/%E2%84%9D
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 52 
2.2. Inequação produto e inequação quociente 
Quando temos um produto ou um quociente de funções dentro de uma inequação, 
temos o que chamamos de inequação produto ou inequação quociente. 
As inequações produto são construções do tipo 
𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) > 0 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) < 0 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) ≥ 0 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) ≤ 0 
Enquanto as inequações quociente, 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
> 0 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
< 0 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
≥ 0 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
≤ 0 
Podemos ter, inclusive, ambas simultaneamente, algo como uma inequação produto-
quociente 
𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥)
> 0 
Um método muito prático para resolvermos essas inequações consiste em verificar 
todas as raízes e suas multiplicidades e marcá-las na reta dos reais para análise. 
Vamos aprender na prática. 
Imaginemos uma situação bem complexa, onde tenhamos(𝑥 − 5)5(2𝑥 − 6)
(3𝑥 + 12)(𝑥2 − 5𝑥 + 6)3(𝑥2 − 𝑥 − 2)
≥ 0 
Professor, o que eu te fiz? 
Calma, calma. Não é tão complicado quanto parece. Vem comigo. 
Vamos seguir passo a passo. 
Inicialmente vamos separar todas as funções e calcular suas raízes. Quando tivermos 
uma função elevado a uma potência, não é necessário fazer o desenvolvimento, basta calcular 
a raiz da função e contar como multiplicidade igual à potência. 
Assim, temos: 
𝑓(𝑥) = 𝑥 − 5 
𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 6 
ℎ(𝑥) = 3𝑥 + 12 
𝑗(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 
𝑘(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 2 
Calculemos suas raízes, uma a uma, igualando as funções a zero. 
𝒇(𝒙) = 𝒙 − 𝟓 𝒈(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟔 𝒉(𝒙) = 𝟑𝒙 + 𝟏𝟐 
0 = 𝑥 − 5 0 = 2𝑥 − 6 0 = 3𝑥 + 12 
5 = 𝑥 6 = 2𝑥 −12 = 3𝑥 
 3 = 𝑥 −4 = 𝑥 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 53 
𝑗(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 
𝑥 =
5 ± √(−5)2 − 4.1.6
2.1
=
{
 
 
 
 
𝑥′ =
5 + √1
2
= 3
𝑥′′ =
5 − √1
2
= 2
 
𝑘(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 2 
𝑥 =
1 ± √(−1)2 − 4.1. (−2)
2.1
=
{
 
 
 
 
𝑥′ =
1 + √9
2
= 2
𝑥′′ =
1 − √9
2
= −1
 
Agora é uma hora crucial, contar a multiplicidade das raízes. Há potências nas funções 
𝑓(𝑥) e 𝑗(𝑥), então: 
Função Raiz Potência Multiplicidade 
𝑓(𝑥) = 𝑥 − 5 5 5 5 
𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 6 3 1 1 
ℎ(𝑥) = 3𝑥 + 12 −4 1 1 
𝑗(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 2 3 3 
𝑗(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 3 3 3 
𝑘(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 2 −1 1 1 
𝑘(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 2 2 1 1 
Ufa! 
Agora, veja que a raiz 3 aparece tanto em 𝑔(𝑥) quanto em 𝑗(𝑥), então precisamos somar 
essas multiplicidades. O mesmo acontece com o 2, que aparece tanto em 𝑗(𝑥) quanto em 𝑘(𝑥). 
Resumindo 
Raiz Multiplicidade 
 5 5 
 3 1 
 −4 1 
2 3 
3 3 
−1 1 
2 1 
Coloquemos essas raízes na reta dos reais. Não é necessário colocá-las em escala, só 
na ordem correta. Inicialmente deixaremos todas as bolinhas abertas, depois veremos quais 
das raízes poderão ser incluídas na resposta. 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 54 
Agora, escolhemos um número de intervalo qualquer para servir de teste. Eu costumo 
escolher, quando possível, o intervalo que contém o número zero, isso torna os cálculos um 
pouco mais rápidos. Caso queira escolher um número diferente, sinta-se à vontade. Só não 
escolha alguma das raízes, ok? 
O zero está entre −1 e 2. 
 
Agora, testamos o zero na expressão que contém nossas funções para ver se, naquela 
região, a expressão é positiva ou negativa. 
(0 − 5)5(2.0 − 6)
(3.0 + 12)(02 − 5.0 + 6)3(02 − 0 − 2)
=
(−5)5(−6)
(12)(6)3(−2)
 
 
Não estamos interessados, agora, no valor da expressão, apenas se ela é positiva ou 
negativa no intervalo que contém o zero. Assim, podemos pensar somente em termos dos 
sinais 
−.−
+.+.−
=
+
−
= − 
 
Isso significa que, na região que contém o zero, essa expressão tem valor negativo. 
Coloquemos essa referência na representação gráfica. 
 
Agora, vamos completar a reta dos reais e, a cada vez que passarmos por uma raiz de 
multiplicidade ímpar, trocamos de sinal. Quando passarmos por uma raiz de multiplicidade par, 
mantemos o sinal. 
Vamos lá, da região do zero para a direita passaremos 
pelo 2 (multiplicidade par), 
pelo 3 (multiplicidade par) e 
pelo 5 (multiplicidade ímpar). 
Reveja o quadro das multiplicidades se ficar em dúvida. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 55 
Dessa forma: 
Ao passar pelo 2, não mudaremos o sinal, pois ele tem multiplicidade par. 
Ao passarmos pelo 3, também não mudaremos, pois ele tem multiplicidade par. 
Ao passar pelo 5, alternaremos o sinal, pois o 5 tem multiplicidade ímpar. 
Confira. 
 
Agora, para a esquerda, passando pelo −1, e pelo−4. Ambos com multiplicidade ímpar, 
então é só alternar os sinais a cada raiz. 
 
Prontinho, agora sabemos como nossa inequação deve ser respondida. Você se lembra 
de qual era a pergunta mesmo? 
Vamos refrescar a memória. 
(𝑥 − 5)5(2𝑥 − 6)
(3𝑥 + 12)(𝑥2 − 5𝑥 + 6)3(𝑥2 − 𝑥 − 2)
≥ 0 
 
Nossa inequação está perguntando para quais valores de x esse quociente é maior ou 
igual a zero. Pois bem, se ele deve ser maior ou igual a zero, queremos os positivos e as 
raízes. Ótimo. 
Só mais um detalhe, não podemos fazer divisões por zero, então, mesmo sendo raízes 
das funções que separamos, não podem fazer parte da resposta as que forem provenientes do 
denominador. As raízes envolvidas nos denominadores foram −4,−1, 2, 3, então todas elas 
terão que ser excluídas; bolinha aberta nelas. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 56 
 
Das raízes, apenas o 5 pode ser considerado válido, pois todas as outras apareciam no 
denominador. 
Com base na reta dos reais, conseguimos escrever nosso conjunto solução para a 
inequação. 
(𝑥 − 5)5(2𝑥 − 6)
(3𝑥 + 12)(𝑥2 − 5𝑥 + 6)3(𝑥2 − 𝑥 − 2)
≥ 0 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ| − 4 < 𝑥 < −1 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 5} 
 
Um exercício bastante trabalhoso, mas que tem por finalidade preparar você para os 
exercícios de prova, sobretudo de segunda fase. Leve seu tempo, analise com cuidado, refaça-
o várias vezes até estar bem seguro. Verá que, com a prática, os outros exercícios dessa 
natureza te exigirão cada vez menos esforço. 
3. Fórmulas, demonstrações e comentários 
3.1. Divisão de frações 
Se queremos dividir uma fração por outra, é comum lembrarmos do comando: conserva 
a primeira e inverte a segunda. 
Mas qual o fundamento para isso? 
Pois bem, a explicação para esse algoritmo está na divisão por 1. Ao dividirmos 
qualquer número por um, este permanece inalterado. 
Assim, se conseguirmos fazer uma transformação tal que tenhamos uma fração dividida 
por 1, conservando o valor da divisão original, teríamos uma simplificação interessante e é 
exatamente isso que vamos fazer agora. 
Tome a divisão de frações genérica: 
(
𝑎
𝑏
)
(
𝑐
𝑑
)
 
Podemos multiplicar essa fração por 1, sem alterar seu valor. 
https://pt.wiktionary.org/wiki/%E2%84%9D
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 57 
(
𝑎
𝑏
)
(
𝑐
𝑑
)
. 1 
No entanto, vamos escolher um 1 mais estratégico, que facilite nossa simplificação. 
Escolheremos, portanto, o inverso da fração que está no denominador, acompanhe: 
(
𝑎
𝑏
)
(
𝑐
𝑑
)
.
(
𝑑
𝑐)
(
𝑑
𝑐)
 
Já percebeu o motivo de termos multiplicado pelo inverso da fração inferior? Não? Veja 
o que acontece quando multiplicamos as frações: 
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
.
𝑑
𝑐
𝑑
𝑐
=
𝑎
𝑏
.
𝑑
𝑐
𝑐
𝑑
.
𝑑
𝑐
=
𝑎
𝑏
.
𝑑
𝑐
1
 
E aqui conseguimos o que queríamos: uma fração equivalente com denominador igual a 
1. 
Dessa forma, podemos dizer que 
(
𝑎
𝑏
)
(
𝑐
𝑑
)
=
𝑎
𝑏
.
𝑑
𝑐
1
=
𝑎
𝑏
.
𝑑
𝑐
, 
justificando o motivo de conservarmos a primeira fração e a multiplicarmos pelo inverso 
da segunda. 
3.2. Translação no plano cartesiano 
Uma ideia simples, mas que pode facilitar muito sua vida no vestibular: a translação de 
funções no plano cartesiano. 
Vamos estudar duas translações: a vertical e a horizontal. 
3.2.1. Translação vertical 
Para adicionar ou subtrair um valor a cada um dos pontos de uma função, basta somar 
ou subtrair esse valor ao termo independente da função, veja: 
Peguemos a função 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 como exemplo. Como vimos, o esboço do gráfico 
dessa função 𝑓 é: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 58 
 
Suponha agora que queiramos, por algum motivo, “subir” essa função em, digamos, 2 
unidades. Para isso, basta-nos fazer uma nova função 
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 2 
𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 2 
Desse modo, todos os pontos de 𝑔(𝑥) são, seguramente, superiores em duas unidades 
aos pontos de 𝑓(𝑥). Veja o reflexo disso no gráfico: 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 59 
3.2.2. Translação horizontal 
Já para a translação horizontal, para “levar” a função para a direita ou para a esquerda, 
devemos substituir a variável independente 𝑥 por 𝑥 ± ℎ, onde ℎ representa a quantidadea ser 
deslocada para a direita ou para a esquerda. 
Uma peculiaridade importante. Enquanto no deslocamento vertical, positivo significa 
deslocamento “acima” e negativo, “abaixo”, no deslocamento horizontal o positivo desloca a 
função para a esquerda e o negativo para a direita. 
Sim, eu sei que é contraintuitivo. 
Na verdade, estamos deslocando o eixo das ordenadas e, aí, faz mais sentido. No 
entanto, na hora da prova, sugiro pensar que os eixos não se deslocam e que o deslocamento 
horizontal funciona contraintuitivamente, ok? 
Vejamos como fica na prática. 
Vamos deslocar 𝑔(𝑥) em três unidades para a direita. 
Para isso, precisamos criar uma nova função: 
𝑖(𝑥) = 𝑔(𝑥 − 3) 
Como 
𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 2 
𝑖(𝑥) = 𝑔(𝑥 − 3) = (𝑥 − 3)2 − 4(𝑥 − 3) + 2 
Podemos, claro, expandir e simplificar a equação da função 𝑖(𝑥), no entanto, para que 
tenhamos o deslocamento, a simplificação é irrelevante. 
Veja como fica o gráfico de 𝑖(𝑥): 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 60 
 
 
Utilizamos os vértices das funções para explicitar as translações. 
No entanto, a translação aconteceu com toda a função e não somente com o vértice. Todos os 
pontos de cada função foram transladados. 
3.3. Intercepto-y 
Já vimos que o intercepto-y é o ponto em que o gráfico de uma função intercepta o eixo 
vertical de um gráfico. 
Além disso, em funções polinomiais, o termo independente sinaliza a altura da 
intersecção, ou seja, a coordenada 𝑦 do intercepto (0; 𝑦). 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 61 
 
Outro fator importante sobre o intercepto-y em uma função do segundo grau é o sinal do 
coeficiente 𝑏. 
 
Veja os três casos graficamente para o exemplo 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 6. 
Sinal do coeficiente 𝑏
𝑏 > 0
Função corta eixo 𝑦
de forma crescente
𝑏 = 0
Função corta eixo 𝑦
de forma horizontal
𝑏 < 0
Função corta eixo 𝑦
de forma decrescente
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 62 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 63 
 
3.4. Raiz, Radicando, Radical, índice 
 
3.5. Aprofundando o conhecimento sobre inequações 
produto e quociente 
Em aula, resolvemos a seguinte inequação. 
(𝑥 − 5)5(2𝑥 − 6)
(3𝑥 + 12)(𝑥2 − 5𝑥 + 6)3(𝑥2 − 𝑥 − 2)
≥ 0 
Fizemos pelo método prático e chegamos ao conjunto solução 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ| − 4 < 𝑥 < −1 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 5} 
Gostaria de falar com você sobre dois aspectos dessa inequação. 
O primeiro é considerando o primeiro membro da inequação como apenas uma função 
𝑓(𝑥) =
(𝑥 − 5)5(2𝑥 − 6)
(3𝑥 + 12)(𝑥2 − 5𝑥 + 6)3(𝑥2 − 𝑥 − 2)
 
Caso você tenha acesso a um software gráfico, uma calculadora gráfica, ou até a um 
site que faça gráficos (como o wolfram alpha), poderá conferir que o gráfico dessa função 
imensa é algo como 
https://pt.wiktionary.org/wiki/%E2%84%9D
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 64 
 
E a nossa inequação está a nos perguntar para quais valores de x, nossa função é 
positiva. 
Podemos perceber a coerência no intervalo entre −4 e −1 facilmente, mas o intervalo a 
partir do número 5 já é mais difícil de ver. 
Principalmente nos cursos de ciências aplicadas, não é raro nos defrontarmos com 
funções complexas com essas e saber interpretá-las acaba por se tornar uma ferramenta muito 
útil. 
Mesmo aproximando absurdamente o gráfico da região de 𝑥 = 5, não conseguimos ver 
se o ponto passa para a parte de cima ou não. Mas com a ajuda de uma calculadora, você 
pode colocar valores próximos de 𝑥 = 5 e perceber que o gráfico realmente cruza o eixo. 
Eu usei uma calculadora HP50g e ela deu as seguintes respostas para a região: 
𝑓(4,99) = −6,92. 10−24 
𝑓(5) = 0 
𝑓(5,01) = +6,82. 10−19 
Como antes de 5 o valor de 𝑓(𝑥) é negativo e após, positivo, podemos concluir que o 
gráfico realmente cruza o eixo x e, de cinco para frente, a função é positiva. 
São números muito pequenos e, nesse caso, o gráfico acaba não sendo de muita ajuda. 
Para chegar a conclusões mais refinadas, só com o auxílio da álgebra mesmo. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 65 
Outro ponto que quero discutir com você é um método mais antigo de resolução. Não é 
ágil, mas é excelente para aprendizado. O método do varal. 
Consiste em decompor a inequação em várias funções menores, como fizemos na aula. 
𝑓(𝑥) = 𝑥 − 5 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 6 ℎ(𝑥) = 3𝑥 + 12 
𝑗(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 𝑘(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 2 
A partir daqui as coisas mudam muito de rumo. Faremos um esboço do gráfico de cada 
dessas funções. Como são apenas retas e parábolas, isso não deve tomar muito do seu tempo, 
e vale pelo aprofundamento da visão sobre a matéria. 
Estamos interessados nos sinais, afinal, estamos de olho na resolução de uma 
inequação. Dessa forma, esboçaremos apenas o eixo x e o comportamento da função e suas 
raízes. 
Marcamos em todos os intervalos, o que cada função teria de comportamento em 
relação ao sinal. 
𝑓(𝑥), por exemplo, é uma reta crescente e tem valores positivos para valores de x 
maiores que 5 e negativos para valores menores. Para todas elas, nas raízes têm valores 
nulos, logicamente. 
Veja como fica 
 
 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 66 
 
Após feito o varal, é só pensar que, para cada x de uma certa região, um certo sinal 
correspondente, positivo ou negativo. 
Se substituirmos x por zero, por exemplo, como fizemos durante a aula, você perceberá 
que cada sinal que colocamos lá está representado aqui, só que no varal. 
Então, de cima para baixo, é só fazer para cada região, a regra de sinal de todas as 
funções. Vale ressaltar que a análise sobre qual raiz será considerada pela igualdade presente 
no sinal, o processo é o mesmo do que fizemos durante a aula. Apenas o 5 poderá ser 
considerado, ok? 
Vamos lá, regra de sinal: menos com menos, mais, com menos, menos... 
 
Como estamos procurando os valores para que a associação das funções, por produto e 
por quociente, seja positiva, vemos que chegamos a resposta equivalente das anteriores, entre 
−4 e 4 e de cinco para frente, incluindo o 5. 
Este método é muito bom para ampliar a visão sobre as funções. Se você estiver bem 
nele e quiser utilizá-lo na prova, tudo bem. A maioria acaba preferindo o método que vimos na 
aula por ser um pouco mais rápido. 
Novamente, é com você. 
3.6. Teorema 𝒂. 𝒇(𝜶) 
Pensemos em uma função do segundo grau de equação 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, de raízes 
𝑥′ e 𝑥′′, e um número 𝛼 pertencente ao domínio da função 𝑓. 
Nessas condições, temos algumas condições distintas: 
 
𝑎 > 0 𝑜𝑢 𝑎 < 0 
𝑒
∆= 0
→ {
𝑎. 𝑓(𝛼) > 0 𝑠𝑒 𝛼 𝑛ã𝑜 𝑓𝑜𝑟 𝑟𝑎𝑖𝑧
 
𝑎. 𝑓(𝛼) = 0 𝑠𝑒 𝛼 é 𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 67 
 
Perceba que, em ambos os casos, temos que ou 𝑎. 𝑓(𝛼) > 0 𝑠𝑒 𝛼 𝑛ã𝑜 𝑓𝑜𝑟 𝑟𝑎𝑖𝑧 ou 
𝑎. 𝑓(𝛼) = 0 𝑠𝑒 𝛼 é 𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠. 
Atenção, estamos multiplicando o coeficiente 𝑎 por 𝑓(𝛼), mesmo 𝛼 sendo negativo, 𝑓(𝛼) 
é positivo nesse caso, pois está acima do eixo das abscissas, ok? 
Próximo caso: 
𝑎 > 0 𝑜𝑢 𝑎 < 0 
𝑒
∆> 0
→ {
𝑎. 𝑓(𝛼) > 0 𝑠𝑒 𝛼 𝑛ã𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠
 
𝑎. 𝑓(𝛼) < 0 𝑠𝑒 𝛼 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 68 
 
Perceba que, para 𝛼 à esquerda de 𝑥′ ou à direita de 𝑥′′, temos sempre 𝑎. 𝑓(𝛼) > 0, ou 
seja, como 𝑎 > 0, 𝑎. 𝑓(𝛼) > 0. 
Já para o caso de 𝛼 estar entre as raízes, temos sempre 𝑎. 𝑓(𝛼) < 0. Muita atenção a 
esse caso, pois, dentre esses, é o mais cobrado em prova. 
Professor, entendi todas as condições, mas dá para saber se 𝛼 está à esquerda ou à 
direita das raízes,quando não estiver entre as raízes? 
Pois é, dá sim. 
Para isso, vamos analisar as raízes mais de perto. 
Sabemos que a coordenada x-vértice está equidistante das raízes, ou seja, podemos 
calculá-la tanto pela fórmula vista anteriormente quanto pela semissoma das raízes, veja: 
𝑥𝑣 = −
𝑏
2𝑎
=
𝑥′ + 𝑥′′
2
 
Tomando 𝑥′ ≤ 𝑥′′, podemos dizer: 
𝑥′ < 𝑥′′ 
𝑥′ ≤
𝑥′ + 𝑥′′
2
≤ 𝑥′′ 
A maioria dos livros gosta de chamar 𝑆 = 𝑥′ + 𝑥′′, então:⟼ 
𝑥′ ≤
𝑥′ + 𝑥′′
2
≤ 𝑥′′ 
𝑥′ ≤
𝑆
2
≤ 𝑥′′ 
Se estamos procurando em que posição, à direita da maior raiz ou à esquerda da 
menor, se encontra um número 𝛼, podemos concluir que: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 69 
𝑎. 𝑓(𝛼) > 0 𝑒 ∆≥ 0 →
{
 
 
 
 𝛼 < 𝑥1 ≤ 𝑥2 𝑠𝑒 𝛼 <
𝑆
2
 
 
𝑥1 ≤ 𝑥2 < 𝛼 𝑠𝑒 𝛼 >
𝑆
2
 
3.7. Forma canônica da função do segundo grau 
Aqui trataremos de um modo diferente para a escrita da equação da função quadrática, 
acompanhe. 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
Dividindo ambos os membros por 𝑎, temos 
𝑦
𝑎
=
𝑎𝑥2
𝑎
+
𝑏𝑥
𝑎
+
𝑐
𝑎
 
𝑦
𝑎
= 𝑥2 +
𝑏𝑥
𝑎
+
𝑐
𝑎
 
Agora, com as duas primeiras parcelas do segundo membro, vamos forçar a formação 
de um trinômio quadrado perfeito. 
Essa técnica recebe o nome de “completar quadrados”, justamente porque vamos inserir 
termos de modo a conseguir a expressão que queremos. 
𝑦
𝑎
= 𝑥2 +
𝑏𝑥
𝑎
+
𝑏2
4𝑎2
−
𝑏2
4𝑎2
+
𝑐
𝑎
 
Note que ao somar e subtrair a mesma expressão, não alteramos a equação, pois, na 
prática, estamos somando zero. 
Continuemos. 
Perceba que podemos, agora, fatorar as três primeiras parcelas do segundo membro da 
equação para um quadrado perfeito. 
𝑦
𝑎
= 𝑥2 +
𝑏𝑥
𝑎
+
𝑏2
4𝑎2
−
𝑏2
4𝑎2
+
𝑐
𝑎
 
𝑦
𝑎
= (𝑥2 +
𝑏𝑥
𝑎
+
𝑏2
4𝑎2
) −
𝑏2
4𝑎2
+
𝑐
𝑎
 
𝑦
𝑎
= (𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
−
𝑏2
4𝑎2
+
𝑐
𝑎
 
Agora, voltemos nossa atenção aos termos finais, MMC. 
𝑦
𝑎
= (𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
−
𝑏2
4𝑎2
+
𝑐
𝑎
 
𝑦
𝑎
= (𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
−
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎2
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 70 
E, para finalizer, vamos multiplicar ambos os membros por 𝑎, para retirar essa fração do 
primeiro membro. 
𝑦
𝑎
= (𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
−
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎2
 
 
𝑦 = 𝑎 ⋅ [(𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
−
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎2
] 
E essa é a forma canônica 
Claro, sei que você reconheceu uma expressão ali, o nosso discriminante (Δ). Então, 
vamos reescrever a equação. 
𝑦 = 𝑎 ⋅ [(𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
−
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎2
] 
𝑦 = 𝑎 ⋅ [(𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
−
Δ
4𝑎2
] 
Podemos deixá-la assim, ou distribuir o coeficiente 𝑎. 
𝑦 = 𝑎 ⋅ (𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
− 𝑎 ⋅
Δ
4𝑎2
 
𝑦 = 𝑎 ⋅ (𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
−
Δ
4𝑎
 
Ok, professor. Mas por qual motivo eu quereria trocar a notação tradicional 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
pela forma canônica 
𝑦 = 𝑎 ⋅ (𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
−
Δ
4𝑎
 
cuja escrita é bem mais complexa? 
Pois bem, pergunta justa. 
Para respondê-la, vamos percorrer uma série de translações que, por sinal, já 
estudamos nessa mesma aula. 
Comecemos pela função base do segundo grau 
𝑦 = 𝑥2 
Vamos fazer um deslocamento horizontal de ℎ unidades. 
𝑦 = (𝑥 − ℎ)2 
Agora, vamos multiplicar toda a função por uma constante 𝑎, afastando ou aproximando 
os pontos da função com relação ao eixo horizontal. 
𝑦 = 𝑎 ⋅ (𝑥 − ℎ)2 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 71 
E, por fim, um deslocamento vertical de, digamos, 𝑘 unidades. 
𝑦 = 𝑎 ⋅ (𝑥 − ℎ)2 + 𝑘 
Percebeu que essa forma é exatamente o que escrevemos na forma canônica? 
Compare! 
𝑦 = 𝑎 ⋅ (𝑥 − ℎ)2 + 𝑘 
𝑦 = 𝑎 ⋅ (𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
−
Δ
4𝑎
 
Além disso, você chegou a notar que os termos ℎ e 𝑘 têm algo a ver com as 
coordenadas do vértice da parabola? 
𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 → (𝑥𝑣; 𝑦𝑣) = (−
𝑏
2𝑎
;−
∆
4𝑎
) 
Vamos reescrever a fórmula canônica em função das coordenadas do vértice da 
parábola (𝑥𝑣; 𝑦𝑣). 
𝑦 = 𝑎 ⋅ (𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
−
Δ
4𝑎
 
𝑦 = 𝑎 ⋅ (𝑥 − 𝑥𝑣)
2 + 𝑦𝑣 
Bem, temos, agora, duas expressões para nossa função do segundo grau: a tradicional, 
ou padrão, e a canônica, também chamada, em inglês, de “vertex form”, ou seja, forma do 
vértice. 
Então, ambas as formas podem nos auxiliar a extrair informações importantes de forma 
mais ou menos prática. 
E qual dessas formas é a melhor? 
Depende do problema, da situação, de sua afinidade com cada uma delas. 
O importante é você saber que elas existem e entendê-las. Na hora da resolução de 
uma situação problema, quanto mais armas você tiver em seu arsenal, melhor. 
Então, a partir de agora, você sabe que há duas formas interessantes para representar 
uma função do segundo grau, ambas equivalentes: 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
↑ ↓ 
𝑦 = 𝑎 ⋅ (𝑥 − 𝑥𝑣)
2 + 𝑦𝑣 
 
 
 
 
 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 72 
4. Questões de vestibulares anteriores 
1. (UNICAMP/2021) O projeto PRODES – Monitoramento do desmatamento das 
formações florestais na Amazônia Legal -, do INPE (Instituto Nacional de Pesquisas 
Espaciais), monitora as áreas desmatadas da Amazônia legal e mantém um registro da 
área desmatada por ano. Um levantamento sobre esses dados a partir de 2016 mostrou 
que em 2019 houve um acréscimo de 35% da área desmatada em relação a 2018, de 45% 
em relação a 2017 e de 28% em relação a 2016. 
(Fonte: http://terrabrasilis.dpi.inpe.br. Acessado em 12/12/2020.) 
Sabendo que a soma das áreas desmatadas nos anos de 2017, 2018 e 2019 foi de 24.600 
km2 , a área desmatada no ano de 2019 está entre 
𝒂) 𝟖. 𝟔𝟎𝟏 𝒌𝒎𝟐 𝒆 𝟗. 𝟐𝟎𝟎 𝒌𝒎𝟐 
𝒃) 𝟗. 𝟐𝟎𝟏 𝒌𝒎𝟐 𝒆 𝟗. 𝟖𝟎𝟎 𝒌𝒎𝟐 
𝒄) 𝟖. 𝟖𝟎𝟏 𝒌𝒎𝟐 𝒆 𝟏𝟎. 𝟒𝟎𝟎 𝒌𝒎𝟐 
𝒅) 𝟏𝟎. 𝟒𝟎𝟏 𝒌𝒎𝟐 𝒆 𝟏𝟏. 𝟐𝟎𝟎 𝒌𝒎𝟐 
 
2. (UNICAMP/2021) 
O projeto PRODES – Monitoramento do desmatamento das formações florestais na 
Amazônia Legal -, do INPE (Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais), monitora as 
áreas desmatadas da Amazônia legal e mantém um registro da área desmatada por ano. 
Um levantamento sobre esses dados a partir de 2016 mostrou que em 2019 houve um 
acréscimo de 35% da área desmatada em relação a 2018, de 45% em relação a 2017 e de 
28% em relação a 2016. 
(Fonte: http://terrabrasilis.dpi.inpe.br. Acessado em 12/12/2020.) 
Considerando os dados apresentados, relativos ao período analisado, é correto afirmar: 
a) O ano que teve a menor área desmatada foi 2016. 
b) A área desmatada em 2019 corresponde a 80% da área total desmatada no período de 2017 
a 2018. 
c) A área desmatada em 2018 foi 35% menor do que em 2019. 
d) A área desmatada em 2018 foi menor que a área desmatada em 2016. 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 73 
3. (UNICAMP/2021) A soma dos valores de 𝒙 que resolvem a equação 
𝟏
𝟐 +
𝟏
𝟑
𝒙
𝟒 +
𝟏
𝒙
=
𝟏
𝟐
 
é igual a 
𝒂)
𝟏𝟒
𝟑
 
𝒃)
𝟏𝟔
𝟑
 
𝒄)
𝟏𝟖
𝟑
 
𝒅)
𝟐𝟎
𝟑
 
 
4. (Unicamp/2019) Sejam 𝒂 e 𝒃 números reais positivos. Considere a função 
quadrática 𝒇(𝒙) = 𝒙(𝒂𝒙 + 𝒃), definida para todo número real 𝒙. No plano cartesiano, qual 
figura corresponde ao gráfico de 𝒚 = 𝒇(𝒙)? 
 
𝒂) 
𝒃) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 74 
𝒄) 
𝒅) 
 
5. (Unesp/2019) Em relação a um sistema cartesiano de eixos ortogonais com 
origem em 𝑶(𝟎, 𝟎), um avião se desloca, em linha reta, de 𝑶 até o ponto 𝑷, mantendo 
sempre um ângulo de inclinação de 𝟒𝟓° com a horizontal. A partir de 𝑷, o avião inicia 
trajetória parabólica, dada pela função 𝒇(𝒙) = −𝒙² + 𝟏𝟒𝒙 − 𝟒𝟎, com 𝒙 e 𝒇(𝒙) em 
quilômetros. Ao atingir o ponto mais alto da trajetória parabólica, no ponto 𝑽, o avião 
passa a se deslocar com altitude constante em relação ao solo, representado na figura 
pelo eixo 𝒙. 
 
Em relação ao solo, do ponto 𝑷 para o ponto 𝑽, a altitude do avião aumentou 
a) 𝟐, 𝟓 𝒌𝒎. 
b) 𝟑𝒌𝒎. 
c) 𝟑, 𝟓 𝒌𝒎. 
d) 𝟒 𝒌𝒎. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 75 
e) 𝟒, 𝟓 𝒌𝒎. 
 
6. (Fuvest/2019) Se a função 𝒇:ℝ − {𝟐} é definida por 
𝒇(𝒙) =
𝟐𝒙 + 𝟏
𝒙 − 𝟐
 
E a função 𝒈:ℝ − {𝟐} é definida por 𝒈(𝒙) = 𝒇(𝒇(𝒙)), então 𝒈(𝒙) é igual a 
𝒂) 
𝒙
𝟐
 
𝒃) 𝒙𝟐 
𝒄) 𝟐𝒙 
𝒅) 𝟐𝒙 + 𝟑 
𝒆) 𝒙 
 
7. (Fuvest/2019) Considere a função polinomial 𝒇:ℝ → ℝ definida por 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 +
𝒃𝒙 + 𝒄, em que 𝒂, 𝒃 𝒆 𝒄 ∈ ℝ e 𝒂 ≠ 𝟎. No plano cartesiano 𝒙𝒚, a única intersecção da reta 
𝒚 = 𝟐 com o gráfico de 𝒇 é o ponto (𝟐; 𝟐) e a intersecção da reta 𝒙 = 𝟎 com o gráfico de 𝒇 
é o ponto (𝟎;−𝟔). O valor de 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 é 
a) -2 
b) 0 
c) 2 
d) 4 
e) 6 
 
8. (Fuvest/2019) Um dono de restaurante assim descreveu a evolução do faturamento 
quinzenal de seu negócio, ao longo dos dez primeiros meses após a inauguração: “Até o 
final dos três primeiros meses, tivemos uma velocidade de crescimento mais ou menos 
constante, quando então sofremos uma queda abrupta, com o faturamento caindo à 
metade do que tinha sido atingido. Em seguida, voltamos a crescer, igualando, um mês e 
meio depois dessa queda, o faturamento obtido ao final do terceiro mês. Agora, ao final 
do décimo mês, estamos estabilizando o faturamento em um patamar 50% acima do 
faturamento obtido ao final do terceiro mês”. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 76 
 
 
9. (Unicamp/2018) A figura a seguir exibe o gráfico de uma função 𝒚 = 𝒇(𝒙) para𝟎 ≤
𝒙 ≤ 𝟑. 
 
O gráfico de 𝒚 = [𝒇(𝒙)]² é dado por 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 77 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 78 
10. (Unicamp/2018) Seja a função 𝒉(𝒙) definida para todo número real 𝒙 por 
𝒉(𝒙) = {
𝟐𝒙+𝟏 𝒔𝒆 𝒙 ≤ 𝟏
 
√𝒙 − 𝟏 𝒔𝒆 𝒙 > 𝟏
 
Então, 𝒉(𝒉(𝒉(𝟎))) é igual a 
a) 𝟎. 
b) 𝟐. 
c) 𝟒. 
d) 𝟖. 
 
11. (Unesp/2018) Dois dos materiais mais utilizados para fazer pistas de rodagem de 
veículos são o concreto e o asfalto. Uma pista nova de concreto reflete mais os raios 
solares do que uma pista nova de asfalto; porém, com os anos de uso, ambas tendem a 
refletir a mesma porcentagem de raios solares, conforme mostram os segmentos de 
retas nos gráficos. 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 79 
Mantidas as relações lineares expressas nos gráficos ao longo dos anos de uso, duas 
pistas novas, uma de concreto e outra de asfalto, atingirão pela primeira vez a mesma 
porcentagem de reflexão dos raios solares após 
a) 𝟖, 𝟐𝟐𝟓 anos. 
b) 𝟗, 𝟑𝟕𝟓 anos. 
c) 𝟏𝟎, 𝟎𝟐𝟓 anos. 
d) 𝟏𝟎, 𝟏𝟕𝟓 anos. 
e) 𝟗, 𝟔𝟐𝟓 anos. 
 
12. (Fuvest/2018/modificada) Sejam 𝑫𝒇 e 𝑫𝒈 os maiores subconjuntos de ℝ nos quais 
estão definidas, respectivamente, as funções reais 
𝒇(𝒙) = √
𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟖
𝒙 − 𝟐
 𝒆 𝒈(𝒙) =
√𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟖
√𝒙 − 𝟐
. 
Nessas condições, 
a) 𝑫𝒇 = 𝑫𝒈. 
b) 𝑫𝒇 e 𝑫𝒈 diferem em apenas um ponto. 
c) 𝑫𝒇 e 𝑫𝒈 diferem em exatamente dois pontos. 
d) 𝑫𝒇 e 𝑫𝒈 não têm pontos em comum. 
e) 𝑫𝒇 e 𝑫𝒈 diferem em mais de um ponto. 
 
13. (Unicamp/2017) Seja 𝒇(𝒙) uma função tal que para todo número real 𝒙 temos que 
𝒙𝒇(𝒙 − 𝟏) = (𝒙 − 𝟑)𝒇(𝒙) + 𝟑. Então, 𝒇(𝟏) é igual a 
a) 𝟎. 
b) 𝟏. 
c) 𝟐. 
d) 𝟑. 
 
14. (Unicamp/2017) Considere as funções 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 e 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟑, definidas para todo 
número real 𝒙. O número de soluções da equação 𝒇(𝒈(𝒙)) = 𝒈(𝒇(𝒙)) é igual a 
a) 𝟏. 
b) 𝟐. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 80 
c) 𝟑. 
d) 𝟒. 
 
15. (Unesp/2017) Uma função quadrática 𝒇 é dada por 𝒇(𝒙) = 𝒙² + 𝒃𝒙 + 𝒄, com 𝒃 e 𝒄 
reais. Se 𝒇(𝟏) = −𝟏 e 𝒇(𝟐) − 𝒇(𝟑) = 𝟏, o menor valor que 𝒇(𝒙) pode assumir, quando 𝒙 
varia no conjunto dos números reais, é igual a 
a) −𝟏𝟐. 
b) −𝟔. 
c) −𝟏𝟎. 
d) −𝟓. 
e) −𝟗. 
 
16. (Unicamp/2016) O gráfico abaixo exibe o lucro líquido (em milhares de reais) de 
três pequenas empresas 𝑨, 𝑩 e 𝑪, nos anos de 𝟐𝟎𝟏𝟑 e 𝟐𝟎𝟏𝟒. 
 
Com relação ao lucro líquido, podemos afirmar que 
a) 𝑨 teve um crescimento maior do que 𝑪. 
b) 𝑪 teve um crescimento maior do que 𝑩. 
c) 𝑩 teve um crescimento igual a 𝑨. 
d) 𝑪 teve um crescimento menor do que 𝑩. 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 81 
17. (Unicamp/2016) Considere a função afim 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃 definida para todo número 
real 𝒙, onde 𝒂 e 𝒃 são números reais. Sabendo que 𝒇(𝟒) = 𝟐, podemos afirmar que 
𝒇(𝒇(𝟑) + 𝒇(𝟓)) é igual a 
a) 𝟓. 
b) 𝟒. 
c) 𝟑. 
d) 𝟐. 
 
18. (Unicamp/2016) Considere o gráfico da função 𝒚 = 𝒇(𝒙) exibido na figura a seguir. 
 
 
O gráfico da função inversa 𝒚 = 𝒇−𝟏(𝒙) é dado por 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 82 
 
 
 
 
19. (Unesp/2016) Em um experimento com sete palitos de fósforo idênticos, seis 
foram acesos nas mesmas condições e ao mesmo tempo. A chama de cada palito foi 
apagada depois de 𝒕 segundos e, em seguida, anotou-se o comprimento 𝒙, em 
centímetros, de madeira não chamuscada em cada palito. A figura a seguir indica os 
resultados do experimento. 
 
Um modelo matemático consistente com todos os dados obtidos no experimento 
permite prever que o tempo, necessário e suficiente, para chamuscar totalmente um 
palito de fósforo idêntico aos que foram usados no experimento é de 
a) 𝟏 minuto e 𝟐 segundos. 
b) 𝟏 minuto. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 83 
c) 𝟏 minuto e 𝟑 segundos. 
d) 𝟏 minuto e 𝟏 segundo. 
e) 𝟏 minuto e 𝟒 segundos. 
 
20. (Unicamp/2015) A figura abaixo exibe o gráfico de uma função 𝒚 = 𝒇(𝒙). 
 
Então, o gráfico de 𝒚 = 𝟐𝒇(𝒙 − 𝟏) é dado por 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 84 
 
 
 
 
21. (Unicamp/2015) Seja 𝒂 um número real. Considere as parábolas de equações 
cartesianas 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟐 e 𝒚 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝒂𝒙 + 𝟑. Essas parábolas não se interceptam se e 
somente se 
a) |𝒂| = 𝟐. 
b) |𝒂| < 𝟐. 
c) |𝒂 − 𝟐| < 𝟐. 
d) |𝒂 − 𝟐| ≥ 𝟐. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 85 
 
22. (Fuvest/2015) A trajetória de um projétil, lançado da beira de um penhasco sobre 
um terreno plano e horizontal, é parte de uma parábola com eixo de simetria vertical, 
como ilustrado na figura abaixo. O ponto P sobre o terreno, pé da perpendicular traçada 
a partir do ponto ocupado pelo projétil, percorre 30m desde o instante do lançamento até 
o instante em que o projétil atinge o solo. A altura máxima do projétil, de 200m acima do 
terreno, é atingida no instante em que a distância percorrida por P, a partir do instante 
do lançamento, é de 10m. Quantos metros acima do terreno estava o projétil quando foi 
lançado? 
 
a) 60 
b) 90 
c) 120 
d) 150 
e) 180 
 
23. (Unicamp/2014) Considere as funções 𝒇 e 𝒈, cujos gráficos estão representados na 
figura abaixo. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 86 
 
O valor de 𝒇(𝒈(𝟏)) − 𝒈(𝒇(𝟏)) é igual a 
a) 𝟎. 
b) −𝟏. 
c) 𝟐. 
d) 𝟏. 
 
24. (Unicamp/2013) A figura abaixo mostra a precipitação pluviométrica em 
milímetros por dia (mm/dia) durante o último verão em Campinas. Se a precipitação 
ultrapassar 𝟑𝟎 mm/dia, há um determinado risco de alagamentos na região. De acordo 
com o gráfico, quantos dias Campinas teve este risco de alagamento? 
 
a) 𝟐 dias. 
b) 𝟒 dias. 
c) 𝟔 dias. 
d) 𝟏𝟎 dias. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 87 
 
25. (Unicamp/2012) Em uma determinada região do planeta, a temperatura média anual 
subiu de 𝟏𝟑, 𝟑𝟓°𝑪 em 𝟏𝟗𝟗𝟓 para 𝟏𝟑, 𝟖°𝑪em 2010. Seguindo a tendência de aumento linear 
observada entre 𝟏𝟗𝟗𝟓 e 𝟐𝟎𝟏𝟎, a temperatura média em 𝟐𝟎𝟏𝟐 deverá ser de 
a) 𝟏𝟑, 𝟖𝟑°𝑪. 
b) 𝟏𝟑, 𝟖𝟔°𝑪. 
c) 𝟏𝟑, 𝟗𝟐°𝑪. 
d) 𝟏𝟑, 𝟖𝟗°𝑪. 
 
26. (Fuvest/2012) Considere a função 
𝒇(𝒙) = 𝟏 −
𝟒𝒙
(𝒙 + 𝟏)𝟐
 
A qual está definida para 𝒙 ≠ −𝟏. Então, para todo 𝒙 ≠ 𝟏 e 𝒙 ≠ −𝟏, o produto 𝒇(𝒙)𝒇(−𝒙) é 
igual a 
𝒂) − 𝟏 
𝒃) 𝟏 
𝒄) 𝒙 + 𝟏 
𝒅) 𝒙𝟐 + 𝟏 
𝒆) (𝒙 − 𝟏)𝟐 
 
27. (Fuvest/2011) Sejam 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟗 e 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟑. A soma dos valores 
absolutos das raízes da equação 𝒇(𝒈(𝒙)) = 𝒈(𝒙) é igual a 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 8 
 
28. (Fuvest/2010) A função 𝒇:ℝ → ℝ tem como gráfico uma parábola e satisfaz 
𝒇(𝒙 + 𝟏) − 𝒇(𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝟐, para todo número real 𝒙. Então, o menor valor de 𝒇(𝒙) ocorre 
quando 𝒙 é igual a 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 88 
𝒂) 
𝟏𝟏
𝟔
 
𝒃) 
𝟕
𝟔
 
𝒄) 
𝟓
𝟔
 
𝒅) 𝟎 
𝒆) −
𝟓
𝟔
 
 
29. (Unesp/2008) O consumo médio de oxigênio em 𝒎𝒍/𝒎𝒊𝒏 por quilograma de massa 
(𝒎𝒍/𝒎𝒊𝒏 𝒌𝒈) de um atleta na prática de algumas modalidades de esporte é dado na 
tabela seguinte. 
 
Dois atletas, Paulo e João, de mesma massa, praticam todos os dias exatamente duas 
modalidades de esporte cada um. Paulo pratica diariamente 𝟑𝟓 minutos de natação e 
depois 𝒕 minutos de tênis. João pratica 𝟑𝟎 minutos de tênis e depois 𝒕 minutos de 
marcha atlética. O valor máximo de 𝒕 para que João não consuma, em 𝒎𝒍/𝒌𝒈, mais 
oxigênio que Paulo, ao final da prática diária desses esportes, é: 
a) 𝟒𝟓. 
b) 𝟑𝟓. 
c) 𝟑𝟎. 
d) 𝟐𝟓. 
e) 𝟐𝟎. 
 
30. (Fuvest/2008) Por recomendação médica, uma pessoa deve fazer, durante um 
curto período, dieta alimentar que lhe garanta um mínimo diário de 7 miligramas de 
vitamina A e 60 microgramas de vitamina D, alimentando-se exclusivamente de um 
iogurte especial e de uma mistura de cereais, acomodada em pacotes. Cada litro de 
iogurte fornece 1 miligrama de vitamina A e 20 microgramas de vitamina D. Cada pacote 
de cereais fornece 3 miligramas de vitamina A e 15 microgramas de vitamina D. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 89 
Consumindo x litros de iogurte e y pacotes de cereais diariamente, a pessoa terá certeza 
de estar cumprindo a dieta se 
𝒂) 𝒙 + 𝟑𝒚 ≥ 𝟕 𝒆 𝟐𝟎𝒙 + 𝟏𝟓𝒚 ≥ 𝟔𝟎 
𝒃) 𝒙 + 𝟑𝒚 ≤ 𝟕 𝒆 𝟐𝟎𝒙 + 𝟏𝟓𝒚 ≤ 𝟔𝟎 
𝒄) 𝒙 + 𝟐𝟎𝒚 ≥ 𝟕 𝒆 𝟑𝒙 + 𝟏𝟓𝒚 ≥ 𝟔𝟎 
𝒅) 𝒙 + 𝟐𝟎𝒚 ≤ 𝟕 𝒆 𝟑𝒙 + 𝟏𝟓𝒚 ≤ 𝟔𝟎 
𝒄) 𝒙 + 𝟏𝟓𝒚 ≥ 𝟕 𝒆 𝟑𝒙 + 𝟐𝟎𝒚 ≥ 𝟔𝟎 
 
31. (Unesp/2007) A expressão que define a função quadrática 𝒇(𝒙), cujo gráfico está 
esboçado, é: 
 
a) 𝒇(𝒙) = −𝟐𝒙² − 𝟐𝒙 + 𝟒. 
b) 𝒇(𝒙) = 𝒙² + 𝟐𝒙 − 𝟒. 
c) 𝒇(𝒙) = 𝒙² + 𝒙 − 𝟐. 
d) 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙² + 𝟐𝒙 − 𝟒. 
e) 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙² + 𝟐𝒙 − 𝟐. 
 
32. (Unesp/2007) A unidade usual de medida para a energia contida nos alimentos é 
𝒌𝒄𝒂𝒍 (quilocaloria). Uma fórmula aproximada para o consumo diário de energia (em 𝒌𝒄𝒂𝒍) 
para meninos entre 𝟏𝟓 e 𝟏𝟖 anos é dada pela função 𝒇(𝒉) = 𝟏𝟕. 𝒉, onde 𝒉 indica a altura 
em 𝒄𝒎 e, para meninas nessa mesma faixa de idade, pela função 𝒈(𝒉) = (𝟏𝟓, 𝟑). 𝒉. 
Paulo, usando a fórmula para meninos, calculou seu consumo diário de energia e obteve 
𝟐. 𝟗𝟕𝟓 𝒌𝒄𝒂𝒍. Sabendo-se que Paulo é 𝟓 𝒄𝒎 mais alto que sua namorada Carla (e que 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 90 
ambos têm idade entre 𝟏𝟓 e 𝟏𝟖 anos), o consumo diário de energia para Carla, de acordo 
com a fórmula, em 𝒌𝒄𝒂𝒍, é 
a) 𝟐𝟓𝟎𝟏. 
b) 𝟐𝟔𝟎𝟏. 
c) 𝟐𝟕𝟕𝟎. 
d) 𝟐𝟖𝟕𝟓. 
e) 𝟐𝟗𝟕𝟎. 
 
33. (Fuvest/2003) Seja 𝒇 a função que associa, a cada número real 𝒙, o menor dos 
números 𝒙 + 𝟑 e −𝒙 + 𝟓. Assim, o valor máximo de 𝒇(𝒙) é: 
a) 1 
b) 2 
c) 4 
d) 6 
e) 7 
 
34. (Fuvest/2002) Os pontos (𝟎, 𝟎) e (𝟐, 𝟏) estão no gráfico de uma função quadrática 
𝒇. O mínimo de 𝒇 é assumido no ponto de abscissa 𝒙 = −𝟏 𝟒⁄ . Logo, o valor de 𝒇(𝟏) é: 
𝒂) 
𝟏
𝟏𝟎
 
𝒃) 
𝟐
𝟏𝟎
 
𝒄) 
𝟑
𝟏𝟎
 
𝒅) 
𝟒
𝟏𝟎
 
𝒆) 
𝟓
𝟏𝟎
 
 
35. (Fuvest/2001) A função 𝒇(𝒙), definida para −𝟑 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑, tem o seguinte gráfico: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 91 
 
onde as linhas ligando (−𝟏, 𝟎) a (𝟎, 𝟐) e (𝟎, 𝟐) a (𝟏, 𝟎) são segmentos de reta. 
Supondo 𝒂 ≤ 𝟎, para que valores de 𝒂 o gráfico do polinômio 𝒑(𝒙) = 𝒂(𝒙𝟐 − 𝟒) intercepta 
o gráfico de 𝒇(𝒙) em exatamente 4 pontos distintos? 
𝒂) −
𝟏
𝟐
< 𝒂 < 𝟎 
𝒃) − 𝟏 < 𝒂 < −
𝟏
𝟐
 
𝒄) −
𝟑
𝟐
< 𝒂 < −𝟏 
𝒅) − 𝟐 < 𝒂 < −
𝟑
𝟐
 
𝒆) 𝒂 < −𝟐 
 
36. (Fuvest/1999) Considere, na figura I a seguir, a área 𝑨(𝒙) da região interior à figura 
formada pelos 3 quadrados e compreendida entre o eixo 𝟎𝒚 e a reta vertical passando 
pelo ponto (𝒙, 𝟎). 
 
Então o gráfico da função 𝒚 = 𝑨(𝒙), para 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟒, é: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 92 
 
 
 
37. (Unesp/1988) Considere a função 𝒇(𝒙) = 
𝟏
(𝟒𝒂)
 ⋅ 𝒙² + 𝒙 + 𝒂, onde 𝒂 é um número 
real não nulo. 
Assinale a alternativa cuja parábola poderia ser o gráfico dessa função. 
 
 
 
38. (Fuvest/1997) Para que a parábola 𝒚 = 𝟐𝒙𝟐 +𝒎𝒙 + 𝟓 não intercepte a reta 𝒚 = 𝟑, 
devemos ter 
𝒂) − 𝟒 < 𝒎 < 𝟒 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 93 
𝒃) 𝒎 < 𝟑 𝒐𝒖 𝒎 > 𝟒 
𝒄) 𝒎 > 𝟓 𝒐𝒖 𝒎 < −𝟓 
𝒅) 𝒎 = −𝟓 𝒐𝒖 𝒎 = 𝟓 
𝒆) 𝒎 ≠ 𝟎 
 
39. (Unesp/1997) O gráfico mostra o resultado de uma experiência relativa à absorção 
de potássio pelo tecido da folha de um certo vegetal, em função do tempo e em 
condições diferentes de luminosidade. 
 
Nos dois casos, a função linear 𝒚 = 𝒎𝒙 ajustou-se razoavelmente bem aos dados, daí a 
referência a "𝒎" como taxa de absorção (geralmente medida em 𝝁 moles por unidade de 
peso por hora). Com base no gráfico, se 𝒎𝟏 é a taxa de absorção no claro e 𝒎𝟐 a taxa de 
absorção no escuro, a relação entre essas duas taxas é: 
a) 𝒎𝟏 = 𝒎𝟐. 
b) 𝒎𝟐 = 𝟐𝒎𝟏. 
c) 𝒎𝟏. 𝒎𝟐 = 𝟏. 
d) 𝒎𝟏.𝒎𝟐 = −𝟏. 
e) 𝒎𝟏 = 𝟐𝒎𝟐 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 94 
5. Gabarito das questões de vestibulares anteriores 
1. C 
2. D 
3. D 
4. B 
5. D 
6. E 
7. B 
8. E 
9. C 
10. C 
11. B 
12. E 
13. B 
14. C 
15. D 
16. B 
17. D 
18. C 
19. C 
20. B 
21. C 
22. D 
23. D 
24. B 
25. B 
26. B 
27. D 
28. C 
29. A 
30. A 
31. D 
32. B 
33. C 
34. C 
35. A 
36. D 
37. C 
38. A 
39. E 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 95 
6. Questões de vestibulares anteriores resolvidas e 
comentadas 
1. (UNICAMP/2021) 
O projeto PRODES – Monitoramento do desmatamento das formações florestais na 
Amazônia Legal -, do INPE (Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais), monitora as 
áreas desmatadas da Amazônia legal e mantém um registro da área desmatada por ano. 
Um levantamento sobre esses dados a partir de 2016 mostrou que em 2019 houve um 
acréscimo de 35% da área desmatada em relação a 2018, de 45% em relação a 2017 e de 
28% em relação a 2016. 
(Fonte: http://terrabrasilis.dpi.inpe.br. Acessado em 12/12/2020.) 
Sabendo que a soma das áreas desmatadas nos anos de 2017, 2018 e 2019 foi de 24.600 
km2 , a área desmatada no ano de 2019 está entre 
𝒂) 𝟖. 𝟔𝟎𝟏 𝒌𝒎𝟐 𝒆 𝟗. 𝟐𝟎𝟎 𝒌𝒎𝟐 
𝒃) 𝟗. 𝟐𝟎𝟏 𝒌𝒎𝟐 𝒆 𝟗. 𝟖𝟎𝟎 𝒌𝒎𝟐 
𝒄) 𝟖. 𝟖𝟎𝟏 𝒌𝒎𝟐 𝒆 𝟏𝟎. 𝟒𝟎𝟎 𝒌𝒎𝟐 
𝒅) 𝟏𝟎. 𝟒𝟎𝟏 𝒌𝒎𝟐 𝒆 𝟏𝟏. 𝟐𝟎𝟎 𝒌𝒎𝟐 
Comentários 
Vamos simbolizar os dados por ano, comforme tabela a seguir. 
2016 2017 2018 2019 
𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 
Relacionando diretamente as variáveis com as informações do texto, comparando ano a ano, 
temos: 
𝑤 = 1,35𝑧 𝑤 = 1,45𝑦 𝑤 = 1,28𝑥 
Vamos reescrever essas equações isolando cada variável de ano em relaçãoa 2019 e 
abastecer nossa tabela. 
2016 2017 2018 2019 
𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 
𝑤
1,28
= 𝑥 
𝑤
1,45
= 𝑦 
𝑤
1,35
= 𝑧 𝑤 
Como o exercício nos informou que a soma das áreas desmatadas em 2017, 2018 e 2019 
resultam em 24600 𝑘𝑚2, temos: 
𝑦 + 𝑧 + 𝑤 = 24600 
𝑤
1,45
+
𝑤
1,35
+ 𝑤 = 24600 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 96 
Multiplicando ambos os membros pelo produto 1,45 ⋅ 1,35. 
1,45 ⋅ 1,35 ⋅
𝑤
1,45
+ 1,45 ⋅ 1,35 ⋅
𝑤
1,35
+ 1,45 ⋅ 1,35 ⋅ 𝑤 = 1,45 ⋅ 1,35 ⋅ 24600 
 
1,35 ⋅ 𝑤 + 1,45 ⋅ 𝑤 + 1,45 ⋅ 1,35 ⋅ 𝑤 = 1,45 ⋅ 1,35 ⋅ 24600 
 
1,35 ⋅ 𝑤 + 1,45 ⋅ 𝑤 + 1,9575 ⋅ 𝑤 = 48154,5 
 
4,7575 ⋅ 𝑤 = 48154,5 
 
4,7575 ⋅ 𝑤
4,7575
=
48154,5
4,7575
 
 
𝑤 ≅ 10121,81 
Gabarito: c) 
2. (UNICAMP/2021) 
O projeto PRODES – Monitoramento do desmatamento das formações florestais na 
Amazônia Legal -, do INPE (Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais), monitora as 
áreas desmatadas da Amazônia legal e mantém um registro da área desmatada por ano. 
Um levantamento sobre esses dados a partir de 2016 mostrou que em 2019 houve um 
acréscimo de 35% da área desmatada em relação a 2018, de 45% em relação a 2017 e de 
28% em relação a 2016. 
(Fonte: http://terrabrasilis.dpi.inpe.br. Acessado em 12/12/2020.) 
Considerando os dados apresentados, relativos ao período analisado, é correto afirmar: 
a) O ano que teve a menor área desmatada foi 2016. 
b) A área desmatada em 2019 corresponde a 80% da área total desmatada no período de 2017 
a 2018. 
c) A área desmatada em 2018 foi 35% menor do que em 2019. 
d) A área desmatada em 2018 foi menor que a área desmatada em 2016. 
Comentários 
Antes de analisarmos as alternativas, vamos reescrever nossa tabela para comparação. 
2016 2017 2018 2019 
𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 
𝑤
1,28
= 𝑥 
𝑤
1,45
= 𝑦 
𝑤
1,35
= 𝑧 𝑤 
Agora, as alternativas. 
a) O ano que teve a menor área desmatada foi 2016. 
O ano que teve a menor área desmatada será aquele com maior denominador, uma vez que o 
numerador de todos os anos é o mesmo (𝑤), ou seja, 2017. Falsa. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 97 
b) A área desmatada em 2019 corresponde a 80% da área total desmatada no período de 2017 
a 2018. 
 Vamos comparar 𝑤 com 𝑦 + 𝑧. 
𝑦 + 𝑧 =
𝑤
1,45
+
𝑤
1,35
 
 
𝑦 + 𝑧 =
1,35𝑤 + 1,45𝑤
1,9575
 
𝑦 + 𝑧 =
2,8𝑤
1,9575
 
 
𝑦 + 𝑧 = 1,43𝑤 
 
𝑦 + 𝑧
1,43
= 𝑤 
 
0,699(𝑦 + 𝑧) = 𝑤 
Dessa forma, 𝑤 é, aproximadamente, 70% de 𝑦 + 𝑧, não 80%. Falsa. 
c) A área desmatada em 2018 foi 35% menor do que em 2019. 
O texto nos diz que “em 2019 houve um acréscimo de 35% da área desmatada em relação a 
2018”. Dessa forma, temos: 
𝑤 = 1,35𝑧 
𝑤
1,35
= 𝑧 
0,74 ⋅ 𝑤 = 𝑧 
Dessa forma, a área desmatada em 2018 não foi 35% menor do que em 2019. Falsa. 
d) A área desmatada em 2018 foi menor que a área desmatada em 2016. 
O ano que teve a menor área desmatada será aquele com maior denominador, uma vez que o 
numerador de todos os anos é o mesmo (𝑤), tal como vimos na alterantiva a). 
Ao comparar os anos de 2018 e de 2016, podemos ver que o maior denominador é o que está 
em 2018. Verdadeira. 
Gabarito: d) 
3. (UNICAMP/2021)A soma dos valores de 𝒙 que resolvem a equação 
𝟏
𝟐 +
𝟏
𝟑
𝒙
𝟒 +
𝟏
𝒙
=
𝟏
𝟐
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 98 
é igual a 
𝒂)
𝟏𝟒
𝟑
 
𝒃)
𝟏𝟔
𝟑
 
𝒄)
𝟏𝟖
𝟑
 
𝒅)
𝟐𝟎
𝟑
 
Comentários 
1
2 +
1
3
𝑥
4 +
1
𝑥
=
1
2
 
 
1
2
+
1
3
=
1
2
⋅ (
𝑥
4
+
1
𝑥
) 
 
1 +
2
3
=
𝑥
4
+
1
𝑥
 
 
12𝑥 + 8𝑥 = 3𝑥2 + 12 
 
3𝑥2 − 20𝑥 + 12 = 0 
 
𝑆𝑜𝑚𝑎 = −
𝑏
𝑎
=
20
3
 
Gabarito: d) 
4. (Unicamp/2019) Sejam 𝒂 e 𝒃 números reais positivos. Considere a função 
quadrática 𝒇(𝒙) = 𝒙(𝒂𝒙 + 𝒃), definida para todo número real 𝒙. No plano cartesiano, qual 
figura corresponde ao gráfico de 𝒚 = 𝒇(𝒙)? 
 
𝒂) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 99 
𝒃) 
𝒄) 
𝒅) 
 
Comentários 
Sendo 𝑎 e 𝑏 números reais positivos, temos a função 𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥. 
O coeficiente 𝑎 indica uma parábola com concavidade positiva, ou seja, para cima. 
O coeficiente 𝑏 indica um deslocamento para a esquerda (contrário ao sinal). 
O coeficiente 𝑐 = 0 indica que a parábola corta o eixo 𝑦 em 𝑦 = 0. 
A única parábola que apresenta todas essas características está na alternativa b). 
Gabarito: b) 
5. (Unesp/2019) Em relação a um sistema cartesiano de eixos ortogonais com 
origem em 𝑶(𝟎, 𝟎), um avião se desloca, em linha reta, de 𝑶 até o ponto 𝑷, mantendo 
sempre um ângulo de inclinação de 𝟒𝟓° com a horizontal. A partir de 𝑷, o avião inicia 
trajetória parabólica, dada pela função 𝒇(𝒙) = −𝒙² + 𝟏𝟒𝒙 − 𝟒𝟎, com 𝒙 e 𝒇(𝒙) em 
quilômetros. Ao atingir o ponto mais alto da trajetória parabólica, no ponto 𝑽, o avião 
passa a se deslocar com altitude constante em relação ao solo, representado na figura 
pelo eixo 𝒙. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 100 
 
Em relação ao solo, do ponto 𝑷 para o ponto 𝑽, a altitude do avião aumentou 
a) 𝟐, 𝟓 𝒌𝒎. 
b) 𝟑 𝒌𝒎. 
c) 𝟑, 𝟓 𝒌𝒎. 
d) 𝟒 𝒌𝒎. 
e) 𝟒, 𝟓 𝒌𝒎. 
Comentários 
O encontro entre a trajetória retilínea e a parabólica ocorre quando 
−𝑥2 + 14𝑥 − 40 = 𝑥 
Subtraindo 𝑥 de ambos os membros, temos: 
−𝑥2 + 14𝑥 − 40 − 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 
 
−𝑥2 + 13𝑥 − 40 = 0 
∆= 𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 = 132 − 4 ∙ (−1) ∙ (−40) = 169 − 160 = 9 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2 ⋅ 𝑎
=
−13 ± √9
2 ⋅ (−1)
⇒
{
 
 
 
 𝑥′ =
−13 + 3
−2
= 5 → 1° 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜 = 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑃
 
𝑥′′ =
−13 − 3
−2
= 8 → 2° 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜, 𝑛ã𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑛𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎
 
Altura do ponto P: 
𝑓(𝑥) = −𝑥² + 14𝑥 − 40 
𝑓(5) = −52 + 14 ⋅ 5 − 40 
𝑓(5) = −25 + 70 − 40 
𝑓(5) = 5 𝑘𝑚 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 101 
Altura máxima, vértice da parábola. 
𝑓(𝑥) = −𝑥² + 14𝑥 − 40 
𝑌𝑣 = −
Δ
4𝑎
= −
𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐
4𝑎
= −
142 − 4 ∙ (−1) ∙ (−40)
4 ⋅ (−1)
= −
196 − 160
−4
= −
36
−4
= 9 
Assim, a diferença entre a altura do ponto P e a altura máxima da parábola é dada por: 
9 − 5 = 4 𝑘𝑚 
Gabarito: d) 
6. (Fuvest/2019) Se a função 𝒇:ℝ − {𝟐} é definida por 
𝒇(𝒙) =
𝟐𝒙 + 𝟏
𝒙 − 𝟐
 
E a função 𝒈:ℝ − {𝟐} é definida por 𝒈(𝒙) = 𝒇(𝒇(𝒙)), então 𝒈(𝒙) é igual a 
𝒂) 
𝒙
𝟐
 
𝒃) 𝒙𝟐 
𝒄) 𝟐𝒙 
𝒅) 𝟐𝒙 + 𝟑 
𝒆) 𝒙 
Comentários 
Questão clássica sobre função composta. Para resolvê-la, basta-nos aplicar a definição de 
função composta diretamente. 
O enunciado define 𝑔(𝑥) como 
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑓(𝑥) 
Como 
𝑓(𝑥) =
2𝑥 + 1
𝑥 − 2
 
Temos que 
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑓(𝑥)) =
2𝑓(𝑥) + 1
𝑓(𝑥) − 2
 
𝑔(𝑥) =
2
2𝑥 + 1
𝑥 − 2 + 1
2𝑥 + 1
𝑥 − 2 − 2
 
A parte da função composta já foi resolvida, portanto temos 𝑔(𝑥) já definida diretamente em 
termos de 𝑥. 
No entanto, precisamos simplificar a expressão que define 𝑔(𝑥) para podermos encontrar 
nosso gabarito. Assim, sigamos. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 102 
𝑔(𝑥) =
2
2𝑥 + 1
𝑥 − 2 + 1
2𝑥 + 1
𝑥 − 2 − 2
 
 
𝑔(𝑥) =
4𝑥 + 2
𝑥 − 2 + 1
2𝑥 + 1
𝑥 − 2 − 2
 
Com frações, já sabe, MMC. 
𝑔(𝑥) =
4𝑥 + 2
𝑥 − 2 + 1
2𝑥 + 1
𝑥 − 2 − 2
 
 
𝑔(𝑥) =
4𝑥 + 2 + 𝑥 − 2
𝑥 − 2
2𝑥 + 1 − 2𝑥 + 4
𝑥 − 2
 
Para divisão entre frações, conservamos a de cima e invertemos a de baixo, lembra? 
𝑔(𝑥) =
4𝑥 + 2 + 𝑥 − 2
𝑥 − 2
𝑥 − 2
2𝑥 + 1 − 2𝑥 + 4
 
 
𝑔(𝑥) =
5𝑥
5
 
 
𝑔(𝑥) =
5𝑥
5
 
 
𝑔(𝑥) = 𝑥 
Gabarito: e) 
7. (Fuvest/2019) Considere a função polinomial 𝒇:ℝ → ℝ definida por 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 +
𝒃𝒙 + 𝒄, em que 𝒂, 𝒃 𝒆 𝒄 ∈ ℝ e 𝒂 ≠ 𝟎. No plano cartesiano 𝒙𝒚, a única intersecção da reta 
𝒚 = 𝟐 com o gráfico de 𝒇 é o ponto (𝟐; 𝟐) e a intersecção da reta 𝒙 = 𝟎 com o gráfico de 𝒇 
é o ponto (𝟎;−𝟔). O valor de 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 é 
a) -2 
b) 0 
c) 2d) 4 
e) 6 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 103 
Comentários 
Uma questão que pode dar muito trabalho se for resolvida exclusivamente de forma algébrica, 
acaba tendo na análise gráfica uma alternativa muito interessante de resolução, veja. 
Em primeiro lugar, sejamos obedientes e façamos um esboço da parábola exatamente como 
consta no enunciado. 
 
Perceba que temos em mãos um caso típico de translação de funções, onde o vértice foi 
“deslocado” 2 unidades para a direita e 2 unidades para cima. 
Mesmo que o enunciado não nos tenha dito explicitamente que a parábola tem concavidade 
negativa, pelo fato de o vértice estar em (2; 2) e o intercepto-y ser negativo, não há outra 
possibilidade. 
Como vimos anteriormente, para deslocar uma função “para a direita”, devemos substituir a 
variável 𝑥 por 𝑥 − 𝑚, sendo 𝑚 o valor do descolamento à direita. Para a esquerda, é só utilizar 
𝑥 + 𝑚. 
No deslocamento vertical, basta somar um termo independente à função; positivo para 
deslocamentos para cima e negativo para deslocamentos para baixo. 
Vejamos como fica na prática: 
Pensemos, inicialmente, na função 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 
Para deslocar essa função 2 unidades para a direita, precisamos substituir 𝑥 por 𝑥 − 2. 
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 2)2 
Agora, para “subir” essa função duas unidades, basta somar 2 ao final. 
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 2)2 + 2 
Para facilitar, vamos desenvolver a expressão. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 104 
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 2)2 + 2 
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥2 − 4𝑥 + 4) + 2 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 − 4𝑎𝑥 + 4𝑎 + 2 
Perfeito. Daqui não conseguimos prosseguir sem procurar mais dados. 
Perceba que o intercepto-y, informado no enunciado, vale −6, e aprendemos que esse 
intercepto é numericamente igual ao termo independente de uma parábola, não é? 
Sendo assim, o termo independente de 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 − 4𝑎𝑥 + 4𝑎 + 2 
é 
4𝑎 + 2 
Portanto, 
4𝑎 + 2 = −6 
4𝑎 = −8 
𝑎 = −2 
Opa, agora que conseguimos o valor de 𝑎, podemos escrever nossa função de forma completa 
e, daí, responder o que for necessário acerca dela! 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 − 4𝑎𝑥 + 4𝑎 + 2 
𝑓(𝑥) = (−2)𝑥2 − 4. (−2). 𝑥 + 4. (−2) + 2 
𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 8𝑥 − 6 
A questão pede o valor da soma dos coeficientes da função, que são: 
𝑎 = −2
𝑏 = 8
𝑐 = −6
 
Mas professor, o 𝑐 nós sabíamos desde o começo, o 𝑎 nós encontramos agora... De onde saiu 
o valor do coeficiente 𝑏 = 8? 
Excelente pergunta! 
Na verdade, como conseguimos definir a função completamente, basta olhar para ela e ver que 
o coeficiente 𝑏 é quem acompanha o termo de primeiro grau em 𝑥, ou seja, 𝑏 = 8. 
Com todas essas informações, conseguimos resolver a questão: 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = −2 + 8 − 6 = 0 
Gabarito: b) 
8. (Fuvest/2019) Um dono de restaurante assim descreveu a evolução do faturamento 
quinzenal de seu negócio, ao longo dos dez primeiros meses após a inauguração: “Até o 
final dos três primeiros meses, tivemos uma velocidade de crescimento mais ou menos 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 105 
constante, quando então sofremos uma queda abrupta, com o faturamento caindo à 
metade do que tinha sido atingido. Em seguida, voltamos a crescer, igualando, um mês e 
meio depois dessa queda, o faturamento obtido ao final do terceiro mês. Agora, ao final 
do décimo mês, estamos estabilizando o faturamento em um patamar 50% acima do 
faturamento obtido ao final do terceiro mês”. 
 
Comentários 
 Questão puramente interpretativa e de complexidade baixa, visto que não exige 
cálculos. No entanto, é preciso estar atento para não incorrer em erro. 
Analisemos cada afirmação do enunciado e, passo a passo, vamos construindo nosso próprio 
gráfico da situação. 
Do enunciado, diretamente, temos: 
“Até o final dos três primeiros meses, tivemos uma velocidade de crescimento mais ou menos 
constante, quando então sofremos uma queda abrupta, com o faturamento caindo à metade do 
que tinha sido atingido. Em seguida, voltamos a crescer, igualando, um mês e meio depois 
dessa queda, o faturamento obtido ao final do terceiro mês. Agora, ao final do décimo mês, 
estamos estabilizando o faturamento em um patamar 50% acima do faturamento obtido ao final 
do terceiro mês” 
Separemos por partes e anotemos em um esboço cada informação. 
Como o enunciado não nos deu os valores de faturamento, vamos colocar no gráfico apenas 
uma proporção entre as informações. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 106 
 “Até o final dos três primeiros meses, tivemos uma velocidade de crescimento mais ou menos 
constante” 
 
“quando então sofremos uma queda abrupta, com o faturamento caindo à metade do que tinha 
sido atingido” 
Lembrando que estamos trabalhando sempre em quinzenas, então nosso próximo ponto será o 
terceiro mês e meio. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 107 
 
“Em seguida, voltamos a crescer, igualando, um mês e meio depois dessa queda, o 
faturamento obtido ao final do terceiro mês” 
 
“Agora, ao final do décimo mês, estamos estabilizando o faturamento em um patamar 50% 
acima do faturamento obtido ao final do terceiro mês” 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 108 
 
Perceba que não temos informações exatas e, nos meses não assinalados, informação 
alguma. 
É esperado alguma variação, para mais ou para menos (como dizem nos jornais), mas, em 
linhas gerais, o comportamento descrito pelo problema é, aproximadamente, esse. 
Dentre as opções, a que melhor se adequa tanto ao enunciado quanto ao nosso esboço é o 
que consta na alternativa e), veja-os lado a lado: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 109 
 
Como nosso vestibular cobra com frequência a leitura e interpretação de gráficos, vamos 
analisar as alternativas incorretas para verificar seus erros. 
 
 
O Enunciado diz “quando então sofremos uma queda abrupta, com o faturamento caindo à 
metade do que tinha sido atingido”, mas o gráfico coloca o faturamento no terceiro mês e meio 
como zero, incompatível à informação dada. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 110 
 
O Enunciado diz “Agora, ao final do décimo mês, estamos estabilizando o faturamento em um 
patamar 50% acima do faturamento obtido ao final do terceiro mês”, mas o gráfico coloca o 
faturamento no décimo mês como abaixo o faturamento do terceiro mês, incompatível à 
informação dada. 
 
Essa foi a alternativa incorreta mais próxima do enunciado e, por isso, pode ter causado certa 
dúvida nos candidatos. 
O Enunciado diz “quando então sofremos uma queda abrupta, com o faturamento caindo à 
metade do que tinha sido atingido”, mas o gráfico coloca o faturamento no terceiro mês e meio 
ligeiramente abaixo do faturamento do terceiro mês e não à metade, incompatível à informação 
dada. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 111 
 
O Enunciado diz “Até o final dos três primeiros meses, tivemos uma velocidade de crescimento 
mais ou menos constante”, mas o gráfico coloca o faturamento dos três primeiros meses de 
forma não linear, com um crescimento abrupto na primeira quinzena e, praticamente sem 
crescimento nas próximas quinzenas, incompatível à informação dada. 
Gabarito: e) 
9. (Unicamp/2018) A figura a seguir exibe o gráfico de uma função 𝒚 = 𝒇(𝒙) para𝟎 ≤
𝒙 ≤ 𝟑. 
 
O gráfico de 𝒚 = [𝒇(𝒙)]² é dado por 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 112 
 
 
 
 
 
 
Comentários 
A função entre 0 e 1 é uma reta do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, com 𝑎 > 0. Como o enunciado pede [𝑓(𝑥)]², 
temos [𝑓(𝑥)]2 = [𝑎𝑥]2 = 𝑎²𝑥², que tem por gráfico uma parábola com concavidade voltada para 
cima. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01– FUNÇÕES 113 
A função entre 𝑥 = 1 e 𝑥 = 3 é uma reta do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, com 𝑎 < 0 e 𝑏 > 0. Assim, 
[𝑓(𝑥)]2 = [𝑎𝑥 + 𝑏]2 = 𝑎2𝑥2 + 2 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑥 + 𝑏², que é uma parábola com concavidade para cima, 
pois 𝑎 < 0 → 𝑎2 > 0. 
Assim, temos duas parábolas, ambas com concavidade positiva. 
Gabarito: c) 
10. (Unicamp/2018) Seja a função 𝒉(𝒙) definida para todo número real 𝒙 por 
𝒉(𝒙) = {
𝟐𝒙+𝟏 𝒔𝒆 𝒙 ≤ 𝟏
 
√𝒙 − 𝟏 𝒔𝒆 𝒙 > 𝟏
 
Então, 𝒉(𝒉(𝒉(𝟎))) é igual a 
a) 𝟎. 
b) 𝟐. 
c) 𝟒. 
d) 𝟖. 
Comentários 
0 ≤ 1 → ℎ(0) = 20+1 = 21 → ℎ(0) = 2 
2 > 1 → ℎ(ℎ(0)) = ℎ(2) = √2 − 1 = √1 → ℎ(ℎ(0)) = 1 
1 ≤ 1 → ℎ (ℎ(ℎ(0))) = ℎ(1) = 21+1 = 22 → ℎ (ℎ(ℎ(0))) = 4 
Gabarito: c) 
11. (Unesp/2018) Dois dos materiais mais utilizados para fazer pistas de rodagem de 
veículos são o concreto e o asfalto. Uma pista nova de concreto reflete mais os raios 
solares do que uma pista nova de asfalto; porém, com os anos de uso, ambas tendem a 
refletir a mesma porcentagem de raios solares, conforme mostram os segmentos de 
retas nos gráficos. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 114 
 
Mantidas as relações lineares expressas nos gráficos ao longo dos anos de uso, duas 
pistas novas, uma de concreto e outra de asfalto, atingirão pela primeira vez a mesma 
porcentagem de reflexão dos raios solares após 
a) 𝟖, 𝟐𝟐𝟓 anos. 
b) 𝟗, 𝟑𝟕𝟓 anos. 
c) 𝟏𝟎, 𝟎𝟐𝟓 anos. 
d) 𝟏𝟎, 𝟏𝟕𝟓 anos. 
e) 𝟗, 𝟔𝟐𝟓 anos. 
Comentários 
Considerando a reflexão solar como nosso eixo 𝑦 e os anos como nosso eixo 𝑥, vamos estudar 
a reflexão da pista de concreto 𝑦𝑐 e a reflexão da pista de asfalto 𝑦𝑎, ambas em função de 𝑥. 
Perceba que, pelo gráfico, pelo menos aproximadamente, essas duas reflexões podem ser 
representadas por duas retas. 
Se o enunciado nos pede quando as duas pistas terão os mesmos índices de reflexão, vamos 
calcular a equação das duas retas e, depois disso, igualar as duas equações para descobrir as 
informações do ponto de encontro, combinados? 
Vamos lá. 
Reflexão da pista de concreto. 
Veja que a linha que representa a reflexão da pista de concreto ao passar dos anos é uma 
linha reta. 
Assim, podemos representá-la por 
𝑦𝑐 = 𝑎𝑥 + 𝑏. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 115 
 
Além disso, perceba que a reta passa pelo ponto (0; 35), então, temos nosso intercepto-y igual 
a 35. Sabendo isso, podemos atualizar nossa equação para 
 
 
𝑦𝑐 = 𝑎𝑥 + 35. 
Se você não percebeu o intercepto-y dessa forma, poderia, alternativamente, substituir o ponto 
(0; 35) na equação da reta e, da mesma forma, descobriria que o coeficiente angular 𝑏 é igual a 
35. Acompanhe: 
𝑦𝑐 = 𝑎𝑥 + 𝑏. 
Substituindo o ponto (𝑥; 𝑦) = (0; 35) em 𝑦𝑐 = 𝑎𝑥 + 𝑏: 
𝑦𝑐 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
35 = 𝑎 ⋅ 0 + 𝑏 
35 = 𝑏 
Agora, atualizemos a equação da reta para 
𝑦𝑐 = 𝑎𝑥 + 35. 
Percebeu? 
Agora, vamos fazer a mesma coisa com outro ponto da reta, o (6; 25). 
E por que faremos isso? Porque por dois pontos distintos só conseguimos passar uma única 
reta, concorda? Esse é um princípio da Geometria Plana, mas podemos usá-lo instintivamente 
aqui também. 
Prossigamos então. 
Já sabemos que a equação da reta é do tipo 
𝑦𝑐 = 𝑎𝑥 + 35. 
Substituindo o ponto (𝑥; 𝑦) = (6; 25) nessa equação, temos: 
𝑦𝑐 = 𝑎𝑥 + 35 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 116 
25 = 𝑎 ⋅ 6 + 35 
Subtraindo 35 de ambos os membros. 
−10 = 𝑎 ⋅ 6 
Dividindo ambos os membros por 6. 
−
10
6
= 𝑎 ⋅
6
6
 
−
5
3
= 𝑎 
Atualizando novamente nossa equação da reta, temos: 
𝑦𝑐 = −
5
3
⋅ 𝑥 + 35. 
Pronto, temos uma das equações. Agora, vamos à outra; a do asfalto. 
Aplicaremos o mesmo princípio, porém um pouco mais céleres dessa vez. 
Reflexão da pista de asfalto. 
 
Intercepto-y vale 10, então 
𝑦𝑎 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
𝑦𝑎 = 𝑎𝑥 + 10 
Podemos ver que a reta passa pelo ponto (𝑥; 𝑦) = (6; 16). Vamos substituir esse ponto na 
equação da nossa reta. 
𝑦𝑎 = 𝑎𝑥 + 10 
16 = 𝑎 ⋅ 6 + 10 
6 = 𝑎 ⋅ 6 
6
6
= 𝑎 ⋅
6
6
 
1 = 𝑎 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 117 
Portanto, 
𝑦𝑎 = 1 ⋅ 𝑥 + 10 
𝑦𝑎 = 𝑥 + 10 
Perfeito. Temos, agora, as duas equações referentes às reflexões das duas pistas. 
E como fazemos para calcular as coordenadas do ponto de encontro? 
Igualamos as duas equações. 
Assim, temos: 
𝑦𝑐 = −
5
3
⋅ 𝑥 + 35 
𝑦𝑎 = 𝑥 + 10 
Igualando: 
𝑦𝑐 = 𝑦𝑎 
−
5
3
⋅ 𝑥 + 35 = 𝑥 + 10 
35 = 𝑥 +
5
3
⋅ 𝑥 + 10 
35 − 10 = 𝑥 +
5
3
⋅ 𝑥 
Frações? MMC. 
25 =
3𝑥 + 5𝑥
3
 
25 ⋅ 3 = 8𝑥 
25 ⋅
3
8
= 𝑥 
9,375 𝑎𝑛𝑜𝑠 = 𝑥 
Gabarito: b) 
12. (Fuvest/2018/modificada) Sejam 𝑫𝒇 e 𝑫𝒈 os maiores subconjuntos de ℝ nos quais 
estão definidas, respectivamente, as funções reais 
𝒇(𝒙) = √
𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟖
𝒙 − 𝟐
 𝒆 𝒈(𝒙) =
√𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟖
√𝒙 − 𝟐
. 
Nessas condições, 
a) 𝑫𝒇 = 𝑫𝒈. 
b) 𝑫𝒇 e 𝑫𝒈 diferem em apenas um ponto. 
c) 𝑫𝒇 e 𝑫𝒈 diferem em exatamente dois pontos. 
d) 𝑫𝒇 e 𝑫𝒈 não têm pontos em comum. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 118 
e) 𝑫𝒇 e 𝑫𝒈 diferem em mais de um ponto. 
Comentários 
 Quando o exercício nos fala sobre “os maiores subconjuntos de ℝ nos quais estão 
definidas, respectivamente, as funções reais”, está, na verdade, perguntando-nos sobre o 
Domínio das funções. 
Vamos calcular esses domínios separadamente. 
Para que a função 
𝑓(𝑥) = √
𝑥3 + 2𝑥2 − 4𝑥 − 8
𝑥 − 2
 
esteja definida, há duas condições a serem satisfeitas: que o denominador 𝑥 − 2 seja diferente 
de zero e que o radicando seja não negativo, ou seja, nulo ou positivo. 
Para a primeira dessas condições, temos: 
𝑥 − 2 ≠ 0 
𝑥 ≠ 2 
Para a segunda, 
𝑥3 + 2𝑥2 − 4𝑥 − 8
𝑥 − 2
≥ 0. 
Antes de partirmos para uma inequação simultânea, indico fatorar a expressão e simplificá-la. 
Podemos separar o numerador em duas partes e utilizarmos a fatoração por fator comum 
(evidência). 
𝑥3 + 2𝑥2 − 4𝑥 − 8
𝑥 − 2
≥ 0 
𝑥2(𝑥 + 2) − 4(𝑥 + 2)
𝑥 − 2
≥ 0 
Novamente, podemos utilizar o fator comum. 
𝑥2(𝑥 + 2) − 4(𝑥 + 2)
𝑥 − 2
≥ 0 
(𝑥 + 2)(𝑥2 − 4)
𝑥 − 2
≥ 0 
Agora é hora de lembrar os produtos notáveis. Você conseguiu perceber que 𝑥2 − 4 = 𝑥2 − 22? 
E essa expressão é uma diferença de quadrados e pode ser fatorada. 
(𝑥 + 2)(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
𝑥 − 2
≥ 0 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 119 
Muito bem, conseguimos fatorar o denominador, que era do terceiro grau, e agora é um 
produto de três binômios2 do primeiro grau. 
Como temos uma expressão idêntica no numerador e no denominador, podemos simplificar a 
fração. 
(𝑥 + 2)(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
𝑥 − 2
≥ 0 
(𝑥 + 2)(𝑥 + 2) ≥ 0 
Aqui nós podemos analisar a inequação de duas formas distintas: fazer uma inequação produto 
entre duas retas ou distribuir o produto e analisar diretamente o sinal da parábola resultante. 
Optemos, aqui, pela distribuição do produto. 
(𝑥 + 2)(𝑥 + 2) ≥ 0 
 
(𝑥 + 2)(𝑥 + 2) ≥ 0 
 
𝑥2 + 2𝑥 + 2𝑥 + 4 ≥ 0 
𝑥2 + 4𝑥 + 4 ≥ 0 
Essa inequação tem as seguintes características: 
 A função da inequação representa uma parábola 
 O coeficiente do termo de segundo grau é positivo 
 A parábola tem concavidade para cima (positiva) 
 A parábola tem uma raiz única e igual a −2 
 Sobre as raízes da parábola, já que nós chegamos ao trinômio3 por meio da distribuição 
de dois binômios, as raízes dos binômios também são raízes do trinômio. Se os binômios são 
iguais, a parábola terá também raízes iguais. 
 Para calcular as raízes do binômio: 
𝑥 + 2 = 0 
𝑥 = −2 
 Se preferir, você pode aplicar a fórmula de Bhaskara diretamente na parábola, o que 
resultará em duas raízes idênticas e iguais a −2. 
 De posse com essas informações, podemos já analisar a inequação. 
𝑥2 + 4𝑥 + 4 ≥ 0 
 
2 Binômio é uma expressão algébrica de soma (ousubtração) de dois termos. 
3 Trinômio é uma expressão algébrica de soma (ou subtração) de três termos. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 120 
 
Como queremos a parte positiva ou nula, todo valor de 𝑥 seria válido. No entanto, não 
podemos esquecer nossa primeira condição de existência, que exigia 𝑥 ≠ 2. 
Assim, temos definido o domínio da função 𝑓 como: 
𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≠ 2} 
Em exercícios mais extensos, precisamos tomar muito cuidado para não nos esquecermos do 
que é solicitado. O enunciado apresentou duas funções, 𝑓 e 𝑔, com alternativas fazendo 
afirmações acerca de seus domínios. 
Até aqui, descobrimos o domínio da função 𝑓. Para que consigamos resolver a questão, 
precisamos saber também o domínio da função 𝑔. 
Sendo assim, analisemos a função 𝑔. 
𝑔(𝑥) =
√𝑥3 + 2𝑥2 − 4𝑥 − 8
√𝑥 − 2
 
Perceba que ela é ligeiramente diferente da função 𝑓. Os numeradores e os denominadores 
estão separados em duas raízes, portanto, as condições para a existência da função 𝑔 deverão 
ser definidas com regras distintas das de 𝑓. 
Para início, faremos o mesmo que fizemos anteriormente, fatoremos e simplifiquemos a função. 
𝑔(𝑥) =
√𝑥3 + 2𝑥2 − 4𝑥 − 8
√𝑥 − 2
 
Utilizando a fatoração que fizemos anteriormente, podemos reescrever a função 𝑔: 
𝑔(𝑥) =
√(𝑥 + 2)(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
√𝑥 − 2
 
Um produto no radicando pode ser separado em duas raízes. 
√𝑎. 𝑏 = √𝑎. √𝑏 
Assim, 
𝑔(𝑥) =
√(𝑥 + 2)(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
√𝑥 − 2
 
𝑔(𝑥) =
√(𝑥 + 2)(𝑥 + 2)√(𝑥 − 2)
√𝑥 − 2
. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 121 
Perceba que temos um fator no denominador, idêntico ao denominador, o que nos permite uma 
simplificação desde que o denominador não seja zero. Além disso, esse fator é uma raiz de 
índice par, ou seja, não pode ser negativo. 
Para garantir a não neutralidade do denominador: 
√𝑥 − 2 ≠ 0 
Para que exista √𝑥 − 2: 
𝑥 − 2 ≥ 0 
Dessa forma, temos que satisfazer simultaneamente: 
√𝑥 − 2 ≠ 0 𝑒 𝑥 − 2 ≥ 0 
Podemos condensar essas duas condições em apenas uma inequação, veja: 
𝑥 − 2 > 0 
Ao garantir que 𝑥 − 2 não seja zero, a raiz quadrada dele também será diferente de zero. 
Assim, 
𝑥 − 2 > 0 
𝑥 > 2 
Desde que 𝑥 > 2, podemos fazer a simplificação: 
𝑔(𝑥) =
√(𝑥 + 2)(𝑥 + 2)√(𝑥 − 2)
√𝑥 − 2
 
𝑔(𝑥) =
√(𝑥 + 2)(𝑥 + 2)√(𝑥 − 2)
√(𝑥 − 2)
 
𝑔(𝑥) = √(𝑥 + 2)(𝑥 + 2) 
E, novamente, utilizando a distribuição já feita anteriormente, temos: 
𝑔(𝑥) = √𝑥2 + 4𝑥 + 4 
Já sabemos, pela análise anterior, que o radicando, se considerado como uma função, 
representa uma parábola de concavidade para cima. 
De nossa análise dos sinais dessa mesma parábola resultou: 
 
Portanto, se nossa função 𝑔, simplificada com a condição de 𝑥 > 2, é dada pela raiz quadrada 
dessa parábola, só não podemos admitir valores negativos dentro da raiz. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 122 
Analisando os sinais da parábola, podemos ver que o radicando de 𝑔 simplificada nunca é 
negativo, ou seja, nossa função 𝑔 está definida para quaisquer valores de 𝑥, desde que 
respeitemos 𝑥 > 2. 
Dessa forma, escrevemos nosso domínio para a função 𝑔: 
𝐷𝑔 = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 > 2} 
Apenas para explicitar, temos agora os domínios das duas funções citadas, 𝑓 e 𝑔. 
𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≠ 2} 
𝐷𝑔 = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 > 2} 
Ao analisar as alternativas, vemos que, no que se refere aos domínios, podemos afirmar que 
𝐷𝑓 e 𝐷𝑔 diferem em mais de um ponto, portanto, nosso gabarito está na alternativa e). 
Gabarito: e) 
13. (Unicamp/2017) Seja 𝒇(𝒙) uma função tal que para todo número real 𝒙 temos que 
𝒙𝒇(𝒙 − 𝟏) = (𝒙 − 𝟑)𝒇(𝒙) + 𝟑. Então, 𝒇(𝟏) é igual a 
a) 𝟎. 
b) 𝟏. 
c) 𝟐. 
d) 𝟑. 
Comentários 
Substituindo 𝑥 = 0 na equação e, com o resultado, substituindo 𝑥 = 1. 
𝒙 = 𝟎 𝒙 = 𝟏 
𝑥 ⋅ 𝑓(𝑥 − 1) = (𝑥 − 3) ⋅ 𝑓(𝑥) + 3 𝑥 ⋅ 𝑓(𝑥 − 1) = (𝑥 − 3) ⋅ 𝑓(𝑥) + 3 
0 ⋅ 𝑓(0 − 1) = (0 − 3) ⋅ 𝑓(0) + 3 1 ⋅ 𝑓(1 − 1) = (1 − 3) ⋅ 𝑓(1) + 3 
0 = −3 ⋅ 𝑓(0) + 3 1 ⋅ 𝑓(0) = (−2) ⋅ 𝑓(1) + 3 
3 ⋅ 𝑓(0) = 3 1 ⋅ 1 = −2 ⋅ 𝑓(1) + 3 
𝑓(0) = 1 1 = −2 ⋅ 𝑓(1) + 3 
 2 ⋅ 𝑓(1) = 3 − 1 
 2 ⋅ 𝑓(1) = 2 
 𝑓(1) = 1 
Gabarito: b) 
14. (Unicamp/2017) Considere as funções 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 e 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟑, definidas para todo 
número real 𝒙. O número de soluções da equação 𝒇(𝒈(𝒙)) = 𝒈(𝒇(𝒙)) é igual a 
a) 𝟏. 
b) 𝟐. 
c) 𝟑. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 123 
d) 𝟒. 
Comentários 
𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑔(𝑓(𝑥)) 
𝑓(𝑥3) = 𝑔(3𝑥) 
(3)𝑥
3
= (3𝑥)3 
3𝑥
3
= 33𝑥 
𝑥3 = 3𝑥 
𝑥3 − 3𝑥 = 0 
𝑥(𝑥2 − 3) = 0 
𝑥 = 0 𝑥2 − 3 = 0 
 𝑥2 = 3 
 √𝑥2 = √3 
 |𝑥| = √3 
 𝑥 = ±√3 
Portanto, temos três soluções diferentes: 𝑥 = 0, 𝑥 = +√3 e 𝑥 = −√3. 
Gabarito: c) 
15. (Unesp/2017) Uma função quadrática 𝒇 é dada por 𝒇(𝒙) = 𝒙² + 𝒃𝒙 + 𝒄, com 𝒃 e 𝒄 
reais. Se 𝒇(𝟏) = −𝟏 e 𝒇(𝟐) − 𝒇(𝟑) = 𝟏, o menor valor que 𝒇(𝒙) pode assumir, quando 𝒙 
varia no conjunto dos números reais, é igual a 
a) −𝟏𝟐. 
b) −𝟔. 
c) −𝟏𝟎. 
d) −𝟓. 
e) −𝟗. 
Comentários 
Se 𝑓(2) − 𝑓(3) = 1, temos 
𝑓(2) − 𝑓(3) = 1 
[(2)2 + 𝑏 ⋅ (2) + 𝑐] − [(3)2 + 𝑏 ⋅ (3) + 𝑐] = 1 
[4 + 2𝑏 + 𝑐] − [9 + 3𝑏 + 𝑐] = 1 
4 + 2𝑏 + 𝑐 − 9 − 3𝑏 − 𝑐 = 1 
4 + 2𝑏 + 𝑐 − 9 − 3𝑏 − 𝑐 = 1 
−𝑏 = 6 
−6 = 𝑏 
Se 𝑓(1) = −1, temos 
𝑓(1) = −1 
(1)2 + 𝑏 ⋅ (1) + 𝑐 = −1 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 124 
1 − 6 + 𝑐 = −1 
𝑐 = 4 
Dessa forma, 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 4 
O menor valor que 𝑓(𝑥) pode assumir é: 
𝑌𝑣 = −
Δ
4𝑎
= −
𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐
4𝑎
= −
(−6)2 − 4 ∙ 1 ∙ 4
4 ⋅ 1
= −
36 − 16
4
= −
20
4
= −5 
Gabarito: d) 
16. (Unicamp/2016) O gráfico abaixo exibe o lucro líquido (em milhares de reais) de 
três pequenas empresas 𝑨, 𝑩 e 𝑪, nos anos de 𝟐𝟎𝟏𝟑 e 𝟐𝟎𝟏𝟒. 
 
Com relação ao lucro líquido, podemos afirmar que 
a) 𝑨 teve um crescimento maior do que 𝑪. 
b) 𝑪 teve um crescimento maior do que 𝑩. 
c) 𝑩 teve um crescimento igual a 𝑨. 
d) 𝑪 teve um crescimento menor do que 𝑩. 
Comentários 
De 2013 a 2014 as empresas 𝐴, 𝐵 e 𝐶 apresentaram os seguintes crescimentos 𝐶𝐴, 𝐶𝐵 e 𝐶𝐶, 
respectivamente: 
𝐶𝐴 = 400 − 500 = −100 
𝐶𝐵 = 400 − 300 = 100 
𝐶𝐶 = 300 − 100 = 200 
Assim, podemos concluir que o crescimento da empresa 𝐶 foi maior que o das empresas 𝐴 e 𝐵; 
𝐵 teve um crescimento intermediário e 𝐴, o pior desempenho. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 125 
Gabarito: b) 
17. (Unicamp/2016) Considere a função afim 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃 definida para todo número 
real 𝒙, onde 𝒂 e 𝒃 são números reais. Sabendo que 𝒇(𝟒) = 𝟐, podemos afirmar que 
𝒇(𝒇(𝟑) + 𝒇(𝟓)) é igual a 
a) 𝟓. 
b) 𝟒. 
c) 𝟑. 
d) 𝟐. 
Comentários 
𝑓(4) = 2 → 𝑎 ⋅ 4 + 𝑏 = 2 
𝑓(3) + 𝑓(5) = 𝑎 ⋅ 3 + 𝑏 + 𝑎 ⋅ 5 + 𝑏 = 8𝑎 + 2𝑏 = 2[𝑎 ⋅ 4 + 𝑏] = 2 ⋅ 2 = 4 
𝑓(𝑓(3) + 𝑓(5)) = 𝑓(4) = 2 
Gabarito: d) 
18. (Unicamp/2016) Considere o gráfico da função 𝒚 = 𝒇(𝒙) exibido na figura a seguir. 
 
 
O gráfico da função inversa 𝒚 = 𝒇−𝟏(𝒙) é dado por 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 126 
 
 
 
 
Comentários 
A função inversa tem a característica de ser simétrica à função de origem com relação à reta 
𝑦 = 𝑥. A única opção apresentada que indica tal simetria está na alternativa c). 
Cuidado, Função inversa não é inverter a fração, ok? 
Gabarito: c) 
19. (Unesp/2016) Em um experimento com sete palitos de fósforo idênticos, seis foram 
acesos nas mesmas condições e ao mesmo tempo. A chama de cada palito foi apagada 
depois de 𝒕 segundos e, em seguida, anotou-se o comprimento 𝒙, em centímetros, de 
madeira não chamuscada em cada palito. A figura a seguir indica os resultados do 
experimento. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 127 
 
Um modelomatemático consistente com todos os dados obtidos no experimento 
permite prever que o tempo, necessário e suficiente, para chamuscar totalmente um 
palito de fósforo idêntico aos que foram usados no experimento é de 
a) 𝟏 minuto e 𝟐 segundos. 
b) 𝟏 minuto. 
c) 𝟏 minuto e 𝟑 segundos. 
d) 𝟏 minuto e 𝟏 segundo. 
e) 𝟏 minuto e 𝟒 segundos. 
Comentários 
Considerando 𝑥 como a altura (sem queimar) do palito e 𝑡 o tempo de duração da chama, 
podemos escrever a seguinte função: 
𝑥(𝑡) = 𝑎 ⋅ 𝑡 + 𝑏 
𝑥(0) = 𝑎 ⋅ 0 + 10,5 → 𝑏 = 10,5 
𝑥(51) = 𝑎 ⋅ 51 + 10,5 = 2 
𝑎 ⋅ 51 + 10,5 = 2 → 𝑎 = −
1
6
 
Assim, temos 
𝑥(𝑡) = −
1
6
⋅ 𝑡 + 10,5 
Para queimar todo o palito, 𝑥(𝑡) = 0, então 
𝑥(𝑡) = −
1
6
⋅ 𝑡 + 10,5 = 0 → 𝑡 = 63 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 = 1 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜 𝑒 3 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 
Gabarito: c) 
20. (Unicamp/2015) A figura abaixo exibe o gráfico de uma função 𝒚 = 𝒇(𝒙). 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 128 
 
Então, o gráfico de 𝒚 = 𝟐𝒇(𝒙 − 𝟏) é dado por 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 129 
 
 
Comentários 
𝑦 = 2𝑓(𝑥 − 1) 
Ao multiplicarmos 𝑓(𝑥) por 2, estamos aumentando a amplitude de cada ponto da função. Se, 
no gráfico inicial, podemos ver pontos de mínimo e de máximo locais em 𝑦 = −2 e 𝑦 = 2, 
respectivamente, ao multiplicar a função por 2, esses pontos serão afastados do eixo 𝑥 para 
𝑦 = −4 e 𝑦 = 4. 
Além disso, ao retirar uma unidade de cada valor de 𝑥, deslocamos a função para a direita (ou 
o eixo 𝑦 para a esquerda, o que você preferir). 
Assim, o único gráfico que apresenta essas características está na alternativa b). 
Gabarito: b) 
21. (Unicamp/2015) Seja 𝒂 um número real. Considere as parábolas de equações 
cartesianas 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟐 e 𝒚 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝒂𝒙 + 𝟑. Essas parábolas não se interceptam se e 
somente se 
a) |𝒂| = 𝟐. 
b) |𝒂| < 𝟐. 
c) |𝒂 − 𝟐| < 𝟐. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 130 
d) |𝒂 − 𝟐| ≥ 𝟐. 
Comentários 
Para que as parábolas se encontrem, é necessário que haja solução para a equação: 
𝑥2 + 2𝑥 + 2 = 2𝑥2 + 𝑎𝑥 + 3 
0 = 2𝑥2 − 𝑥2 + 𝑎𝑥 − 2𝑥 + 3 − 2 
0 = 𝑥2 + (𝑎 − 2)𝑥 + 1 
Ao contrário, as parábolas não se encontrarão se a equação não apresentar solução real, ou 
seja: 
∆< 0 
𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 < 0 
(𝑎 − 2)2 − 4 ∙ 1 ∙ 1 < 0 
(𝑎 − 2)2 < 4 
√(𝑎 − 2)2 < √4 
|𝑎 − 2| < 2 
Gabarito: c) 
22. (Fuvest/2015) A trajetória de um projétil, lançado da beira de um penhasco sobre 
um terreno plano e horizontal, é parte de uma parábola com eixo de simetria vertical, 
como ilustrado na figura abaixo. O ponto P sobre o terreno, pé da perpendicular traçada 
a partir do ponto ocupado pelo projétil, percorre 30m desde o instante do lançamento até 
o instante em que o projétil atinge o solo. A altura máxima do projétil, de 200m acima do 
terreno, é atingida no instante em que a distância percorrida por P, a partir do instante 
do lançamento, é de 10m. Quantos metros acima do terreno estava o projétil quando foi 
lançado? 
 
a) 60 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 131 
b) 90 
c) 120 
d) 150 
e) 180 
Comentários 
O enunciado dá várias características da parábola apresentada como trajetória. Vamos, então, 
colocar todas essas informações em um esboço. 
 
Para calcular a altura do terreno, é interessante que criemos um sistema de coordenadas e, a 
partir dele, encontremos a equação da trajetória, ou seja, da parábola. 
A depender de onde coloquemos a origem do nosso sistema de coordenadas, nossos cálculos 
podem ficar mais extensos, por isso precisamos escolhê-lo com critério. 
Como sabemos que parábolas cuja equação não tenha o termo do primeiro grau sofrem 
deslocamento apenas vertical do vértice, uma proposta interessante é colocar a origem do 
nosso sistema de coordenadas no solo, logo abaixo do ponto mais alto da trajetória, ou seja, do 
vértice da parábola. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 132 
Reescrevamos nosso esboço com os dados e o sistema de coordenadas inserido. 
 
Já vimos nessa aula que esse tipo de parábola não deve apresentar o termo 𝑏𝑥 em sua 
equação, ou seja, é do tipo 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑐 
 
 
Você deve ter percebido que o coeficiente 𝑎 deve ser negativo, pois a parábola tem 
concavidade para baixo. No entanto, não devemos colocar o sinal agora, ele deve aparecer 
quando descobrirmos o valor de 𝑎. 
 
Como 𝑦 em 200, temos diretamente que o coeficiente 𝑐 = 200, assim: 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑐 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 200 
Além disso, a trajetória toca o solo (𝑦 = 0 ) no ponto de abscissa 𝑥 = 20. Podemos, então, 
substituir esses valores na equação da parábola para descobrir o valor do coeficiente 𝑎. 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 200 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 133 
0 = 𝑎. 202 + 200 
0 = 𝑎. 400 + 200 
Subtraindo 200 de ambos os membros: 
−200 = 𝑎. 400 
Dividindo por 400 em ambos os membros: 
−
200
400
=
𝑎. 400
400
 
−
1
2
= 𝑎 
Conforme havíamos previsto, o coeficiente 𝑎 é realmente negativo. 
Assim, completamos nossa parábola da trajetória: 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 200 
𝑦 = −
1
2
𝑥2 + 200 
Como queremos saber qual é a altura do terreno em relação ao solo e o lançamento ocorreu na 
posição 𝑥 = −10 em nosso sistema de coordenadas, temos: 
𝑦 = −
1
2
𝑥2 + 200 
𝑦 = −
1
2
(−10)2 + 200 
𝑦 = −
1
2
. 100 + 200 
𝑦 = −50 + 200 
𝑦 = 150 
Simbolizando que a altura do terreno, em relação ao solo, é de 150 metros. 
Gabarito: d) 
23. (Unicamp/2014) Considere as funções 𝒇 e 𝒈, cujos gráficos estão representados na 
figura abaixo. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 134 
 
O valor de 𝒇(𝒈(𝟏)) − 𝒈(𝒇(𝟏)) é igual a 
a) 𝟎. 
b) −𝟏. 
c) 𝟐. 
d) 𝟏. 
Comentários 
Inicialmente, vamos colher, diretamente do gráfico, os valores tanto de 𝑓(1) quanto de 𝑔(1), 
que são os argumentos mais internos que temos nas funções compostas. 
 
 
𝑓(1) = −1 𝑔(1) = 0 
Agora, precisamos calcular o valor das funções compostas que estão na nossa expressão, 
𝑓(𝑔(1)) e 𝑔(𝑓(1)), ou seja, 𝑓(0) e 𝑔(−1). Recorramos ao gráfico novamente. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 135 
 
Pelo gráfico, conseguimos extrair que 𝑓(0) = 1 e que 𝑔(−1) = 0. 
Agora temos todos os elementos necessários para calcular o valor da expressão fornecida no 
enunciado. 
𝑓(𝑔(1)) − 𝑔(𝑓(1)) 
𝑓(0) − 𝑔(−1) 
1 − 0 
1 
Gabarito: d) 
24. (Unicamp/2013) A figura abaixo mostra a precipitação pluviométrica em 
milímetros por dia (mm/dia) durante o último verão em Campinas. Se a precipitação 
ultrapassar 𝟑𝟎 mm/dia, há um determinado risco de alagamentos na região. De acordo 
com o gráfico, quantos dias Campinas teve este risco de alagamento? 
 
a) 𝟐 dias. 
b) 𝟒 dias. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 136 
c) 𝟔 dias. 
d) 𝟏𝟎 dias. 
Comentários 
Observemos, no gráfico, em quantos dias Campinas ultrapassou os 30 mm/dia. 
 
Pelo gráfico, Campinas teve risco de alagamento em 4 dias no período analisado. 
Gabarito: b) 
25. (Unicamp/2012) Em uma determinada região do planeta, a temperatura média 
anual subiu de 𝟏𝟑, 𝟑𝟓°𝑪 em 𝟏𝟗𝟗𝟓 para 𝟏𝟑, 𝟖°𝑪 em 2010. Seguindo a tendência de aumento 
linear observada entre 𝟏𝟗𝟗𝟓 e 𝟐𝟎𝟏𝟎, a temperatura média em 𝟐𝟎𝟏𝟐 deverá ser de 
a) 𝟏𝟑, 𝟖𝟑°𝑪. 
b) 𝟏𝟑, 𝟖𝟔°𝑪. 
c) 𝟏𝟑, 𝟗𝟐°𝑪. 
d) 𝟏𝟑, 𝟖𝟗°𝑪. 
Comentários 
Pelos dados, podemos concluir que a temperatura média anual subiu de 13,35°𝐶 para 13,8°𝐶 
entre os anos de 1995 e 2010. Assim, podemos dizer que a razão média de aquecimento, 𝑟, é 
dada por: 
𝑟 =
13,8°𝐶 − 13,35°𝐶
2010 − 1995
=
0,45°𝐶
15 𝑎𝑛𝑜𝑠
=
0,03°𝐶
1 𝑎𝑛𝑜
 
Como o enunciado pede qual a temperatura em 2012, ou seja, 2 anos após a temperaturaser 
de 13,8°𝐶, temos a temperatura em 2012, 𝑡2012, dada por: 
𝑡2012 = 13,8 + 2 ⋅ 0,03 = 13,8 + 0,06 = 13,86°𝐶 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 137 
Gabarito: b) 
26. (Fuvest/2012) Considere a função 
𝒇(𝒙) = 𝟏 −
𝟒𝒙
(𝒙 + 𝟏)𝟐
 
A qual está definida para 𝒙 ≠ −𝟏. Então, para todo 𝒙 ≠ 𝟏 e 𝒙 ≠ −𝟏, o produto 𝒇(𝒙)𝒇(−𝒙) é 
igual a 
𝒂) − 𝟏 
𝒃) 𝟏 
𝒄) 𝒙 + 𝟏 
𝒅) 𝒙𝟐 + 𝟏 
𝒆) (𝒙 − 𝟏)𝟐 
Comentários 
 Questão algébrica, o gráfico da função 𝑓(𝑥) praticamente não nos ajudaria na resolução. 
Antes de partirmos para a multiplicação solicitada, 𝑓(𝑥)𝑓(−𝑥), é importante notar que a 
questão mesmo já delimitou a condição de existência para nós quando disse: para todo 𝑥 ≠ 1 e 
𝑥 ≠ −1. A condição de existência é importante, pois se encontrarmos alguma resposta que não 
esteja de acordo com essa informação, a resposta não é válida. Olho vivo nisso. 
Ok, professor, vamos logo multiplicar essas expressões! 
Calma, calma. Há que se ter certo cuidado com questões assim. 
Caso não sejamos estratégicos no início, podemos nos deparar com expressões imensas o 
que nos demandaria muito tempo na resolução ou pior ainda, cuja resolução nem fizesse parte 
do escopo de tópicos estudados no ensino médio. 
Dessa forma, aconselho “preparar” a função antes de partir para a execução do produto 
solicitado. 
Vamos, então, preparar tanto 𝑓(𝑥) quanto 𝑓(−𝑥) fazendo a soma das frações e depois 
simplificando o que for possível, ok? 
Primeiro, 𝑓(𝑥): 
𝑓(𝑥) = 1 −
4𝑥
(𝑥 + 1)2
 
Para frações, MMC. 
𝑓(𝑥) =
(𝑥 + 1)2 − 4𝑥
(𝑥 + 1)2
 
𝑓(𝑥) =
(𝑥 + 1)2 − 4𝑥
(𝑥 + 1)2
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 138 
A expressão (𝑥 + 1)2 é um produto notável, está lembrado? 
𝑓(𝑥) =
𝑥2 + 2𝑥 + 1 − 4𝑥
(𝑥 + 1)2
 
𝑓(𝑥) =
𝑥2 + 2𝑥 + 1 − 4𝑥
(𝑥 + 1)2
 
𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 2𝑥 + 1
(𝑥 + 1)2
 
O numerador, 𝑥2 − 2𝑥 + 1, também é um produto notável, chamado trinômio quadrado perfeito. 
Só para relembrar: 
(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2. 𝑎. 𝑏 + 𝑏2 
(𝑥 − 1)2 = 𝑥2 − 2. 𝑥. 1 + 12 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 
Assim, façamos a fatoração correspondente, substituindo 𝑥2 − 2𝑥 + 1 por (𝑥 − 1)2. 
𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 2𝑥 + 1
(𝑥 + 1)2
 
𝑓(𝑥) =
(𝑥 − 1)2
(𝑥 + 1)2
 
Com esse resultado, não precisamos fazer todo o processo novamente para 𝑓(−𝑥), basta-nos 
aplicar −𝑥 à função 𝑓(𝑥) já simplificada. 
𝑓(𝑥) =
(𝑥 − 1)2
(𝑥 + 1)2
 
𝑓(−𝑥) =
(−𝑥 − 1)2
(−𝑥 + 1)2
 
Façamos algumas modificações na escrita, para facilitar nossas simplificações futuras. 
𝑓(−𝑥) =
[−(𝑥 + 1)]2
(1 − 𝑥)2
 
Atenção ao que aconteceu no numerador. Como ambos os termos apresentavam o 
sinal de negativo (−), podemos dizer que o colocamos em evidência. Na verdade, 
não é exatamente o sinal que foi colocado em evidência, colocamos (−1) em 
evidência. Como o número 1 é o elemento neutro da multiplicação, acabamos por não 
o escrever nessa operação e dizemos, informalmente, que o sinal foi colocado em 
evidência. Na prática, você pode fazer essa manobra e até dizer que colocou o sinal em 
evidência, mas fique ligado na operação que está sendo feita! 
Agora temos, no numerador, um sinal negativo acompanhando uma expressão algébrica. Esse 
sinal não quer dizer que o resultado dessa expressão seja negativo, cuidado. Esse sinal 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 139 
significa “oposto” e quer dizer que, qualquer que seja o resultado da expressão, devemos 
considerar o oposto. 
Além disso, ao elevar um número à potência par, quer ele seja positivo ou negativo, o resultado 
é sempre positivo. Novamente a expressão “menos com menos dá mais” nos ajudando. 
Dessa forma, 
[−(𝑥 + 1)]2 = (𝑥 + 1)2 
Finalmente, podemos explicitar nossa 𝑓(−𝑥) simplificada. 
𝑓(−𝑥) =
[−(𝑥 + 1)]2
(1 − 𝑥)2
 
𝑓(−𝑥) =
(𝑥 + 1)2
(1 − 𝑥)2
 
Com 𝑓(𝑥) e 𝑓(−𝑥) ambas definidas, explicitadas e simplificadas, podemos calcular o produto 
solicitado na questão 𝑓(𝑥). 𝑓(−𝑥), sempre obedecendo às condições de existência 𝑥 ≠ 1 e 𝑥 ≠
−1. 
𝑓(𝑥)𝑓(−𝑥) =
(𝑥 − 1)2
(𝑥 + 1)2
.
(𝑥 + 1)2
(1 − 𝑥)2
 
Simplificando: 
𝑓(𝑥)𝑓(−𝑥) =
(𝑥 − 1)2
(𝑥 + 1)2
.
(𝑥 + 1)2
(𝑥 − 1)2
= 1 
Gabarito: b) 
27. (Fuvest/2011) Sejam 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟗 e 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟑. A soma dos valores 
absolutos das raízes da equação 𝒇(𝒈(𝒙)) = 𝒈(𝒙) é igual a 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 8 
Comentários 
Como são funções polinomiais, não há condição restritiva de existência e podemos iniciar a 
resolução diretamente. 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 9 
𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 5𝑥 + 3 
𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑔(𝑥) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 140 
2𝑔(𝑥) − 9 = 𝑔(𝑥) 
2𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑥) − 9 = 0 
𝑔(𝑥) − 9 = 0 
𝑥2 + 5𝑥 + 3 − 9 = 0 
𝑥2 + 5𝑥 − 6 = 0 
Professor, Bhaskara? 
Bhaskara! 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 52 − 4.1. (−6) = 25 + 24 = 49 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
=
−5 ± √49
2.1
=
{
 
 
 
 𝑥′ =
−5 + 7
2
=
2
2
= 1
 
𝑥′′ =
−5 − 7
2
=
−12
2
= −6
 
Mas professor, eu prefiro Soma e Produto. Posso usar? 
Claro que pode! 
Em nosso caso, a soma é −5 e o produto é −6. Assim, as raízes também seriam 1 e −6. 
Voltemos ao enunciado da questão: “A soma dos valores absolutos das raízes da equação...”. 
E o que significa esse “absolutos”? 
Significa que devemos pegar o valor bruto das raízes, desprezando o sinal. 
Dessa forma, teremos que a soma é dada por: 
𝑆𝑜𝑚𝑎 = 1 + 6 = 7 
Em aula específica, estudaremos os módulos, tanto numéricos quanto algébricos, aí 
voltaremos a essa discussão sobre o que é um valor absoluto de maneira mais aprofundada. 
Gabarito: d) 
28. (Fuvest/2010) A função 𝒇:ℝ → ℝ tem como gráfico uma parábola e satisfaz 
𝒇(𝒙 + 𝟏) − 𝒇(𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝟐, para todo número real 𝒙. Então, o menor valor de 𝒇(𝒙) ocorre 
quando 𝒙 é igual a 
𝒂) 
𝟏𝟏
𝟔
 
𝒃) 
𝟕
𝟔
 
𝒄) 
𝟓
𝟔
 
𝒅) 𝟎 
𝒆) −
𝟓
𝟔
 
Comentários 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 141 
 Quando a função dá o comando “o menor valor de 𝑓(𝑥) ocorre quando 𝑥 é igual a”, ela 
está, na verdade, solicitando o valor do x-vértice (𝑥𝑣). 
Como foi informado que o gráfico de 𝑓 é uma parábola, temos duas informações importantes: 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
𝑥𝑣 =
−𝑏
2𝑎
 
Vamos, então, seguir as orientações acerca da função 𝑓 e descobrir o que pudermos sobre os 
coeficientes 𝑎, 𝑏, 𝑐. 
𝑓(𝑥 + 1) − 𝑓(𝑥) = 6𝑥 − 2 
Cuidado com as duas aplicações de 𝑓: 𝑓(𝑥 + 1) e 𝑓(𝑥). 
𝑓(𝑥 + 1) − 𝑓(𝑥) = 6𝑥 − 2 
𝑎(𝑥 + 1)2 + 𝑏(𝑥 + 1) + 𝑐 − [𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐] = 6𝑥 − 2 
Desenvolvendo o quadrado, temos: 
𝑎(𝑥 + 1)2 + 𝑏(𝑥 + 1) + 𝑐 − [𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐] = 6𝑥 − 2 
𝑎(𝑥 + 1)2 + 𝑏(𝑥 + 1) + 𝑐 − [𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐] = 6𝑥 − 2 
𝑎(𝑥2 + 2𝑥 + 1) + 𝑏(𝑥 + 1) + 𝑐 − [𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐] = 6𝑥 − 2 
 
Agora, distribuiremos os produtos, lembrando que o sinal de menos, quando 
acompanhando uma expressão algébrica, significa o oposto de toda a 
expressão. 
 
 
𝑎(𝑥2 + 2𝑥 + 1) + 𝑏(𝑥 + 1) + 𝑐 − [𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐] = 6𝑥 − 2 
𝑎𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑏 + 𝑐 − 𝑎𝑥2 − 𝑏𝑥 − 𝑐 = 6𝑥 − 2 
Agrupando os termos semelhantes: 
𝑎𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑏 + 𝑐 − 𝑎𝑥2 − 𝑏𝑥 − 𝑐 = 6𝑥 − 2 
𝑎𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎 +𝑏𝑥 + 𝑏 +𝑐 −𝑎𝑥2 −𝑏𝑥 −𝑐 = 6𝑥 − 2 
2𝑎𝑥 + 𝑎 + 𝑏 = 6𝑥 − 2 
Para que essa equação seja verdadeira, os coeficientes de 𝑥 devem ser, ambos, iguais e os 
termos independentes, também iguais entre si. 
Apesar de ainda não termos visto os sistemas lineares, podemos resolver este sem grandes 
desvios. No entanto, falaremos sobre este tópico extensivamente na aula apropriada, 
combinado? 
Desse modo: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 142 
{
2𝑎 = 6
 
 𝑎 + 𝑏 = −2
⇒ {
𝑎 =
6
2
 
 𝑎 + 𝑏 = −2
⇒ {
𝑎 = 3
 
 𝑎 + 𝑏 = −2
⇒ {
𝑎 = 3
 
 3 + 𝑏 = −2
⇒ {
𝑎 = 3
 
 𝑏 = −2 − 3
⇒ {
𝑎 = 3
 
 𝑏 = −5
 
No início do exercício, definimos a função𝑓 como 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
Como encontramos os valores dos coeficientes 𝑎 e 𝑏, podemos reescrevê-la com esses 
valores. 
𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 5𝑥 + 𝑐 
Professor, mas falta o coeficiente 𝑐. Como faremos? 
Concordo com você, falta mesmo. No entanto, foquemos na questão do exercício: “o menor 
valor de 𝑓(𝑥) ocorre quando 𝑥 é igual a”. Essa questão, como já vimos, direciona-nos para o x-
vértice (𝑥𝑣) e ele não requer o valor do coeficiente 𝑐, não é mesmo? 
Então, podemos deixar o coeficiente 𝑐 na forma literal e calcular o que a função solicita. 
𝑥𝑣 =
−𝑏
2𝑎
=
−(−5)
2.3
=
5
6
 
Gabarito: c) 
29. (Unesp/2008) O consumo médio de oxigênio em 𝒎𝒍/𝒎𝒊𝒏 por quilograma de massa 
(𝒎𝒍/𝒎𝒊𝒏 𝒌𝒈) de um atleta na prática de algumas modalidades de esporte é dado na 
tabela seguinte. 
 
Dois atletas, Paulo e João, de mesma massa, praticam todos os dias exatamente duas 
modalidades de esporte cada um. Paulo pratica diariamente 𝟑𝟓 minutos de natação e 
depois 𝒕 minutos de tênis. João pratica 𝟑𝟎 minutos de tênis e depois 𝒕 minutos de 
marcha atlética. O valor máximo de 𝒕 para que João não consuma, em 𝒎𝒍/𝒌𝒈, mais 
oxigênio que Paulo, ao final da prática diária desses esportes, é: 
a) 𝟒𝟓. 
b) 𝟑𝟓. 
c) 𝟑𝟎. 
d) 𝟐𝟓. 
e) 𝟐𝟎. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 143 
Comentários 
𝑃𝑎𝑢𝑙𝑜 = 35 ⋅ 75 + 𝑡 ⋅ 65 
𝐽𝑜ã𝑜 = 30 ⋅ 65 + 𝑡 ⋅ 80 
𝐽𝑜ã𝑜 ≤ 𝑃𝑎𝑢𝑙𝑜 
30 ⋅ 65 + 𝑡 ⋅ 80 ≤ 35 ⋅ 75 + 𝑡 ⋅ 65 
80𝑡 − 65𝑡 ≤ 35 ⋅ 75 − 30 ⋅ 65 
15𝑡 ≤ 35 ⋅ 75 − 30 ⋅ 65 
𝑡 ≤ 45 
Gabarito: a) 
30. (Fuvest/2008) Por recomendação médica, uma pessoa deve fazer, durante um 
curto período, dieta alimentar que lhe garanta um mínimo diário de 7 miligramas de 
vitamina A e 60 microgramas de vitamina D, alimentando-se exclusivamente de um 
iogurte especial e de uma mistura de cereais, acomodada em pacotes. Cada litro de 
iogurte fornece 1 miligrama de vitamina A e 20 microgramas de vitamina D. Cada pacote 
de cereais fornece 3 miligramas de vitamina A e 15 microgramas de vitamina D. 
Consumindo x litros de iogurte e y pacotes de cereais diariamente, a pessoa terá certeza 
de estar cumprindo a dieta se 
𝒂) 𝒙 + 𝟑𝒚 ≥ 𝟕 𝒆 𝟐𝟎𝒙 + 𝟏𝟓𝒚 ≥ 𝟔𝟎 
𝒃) 𝒙 + 𝟑𝒚 ≤ 𝟕 𝒆 𝟐𝟎𝒙 + 𝟏𝟓𝒚 ≤ 𝟔𝟎 
𝒄) 𝒙 + 𝟐𝟎𝒚 ≥ 𝟕 𝒆 𝟑𝒙 + 𝟏𝟓𝒚 ≥ 𝟔𝟎 
𝒅) 𝒙 + 𝟐𝟎𝒚 ≤ 𝟕 𝒆 𝟑𝒙 + 𝟏𝟓𝒚 ≤ 𝟔𝟎 
𝒄) 𝒙 + 𝟏𝟓𝒚 ≥ 𝟕 𝒆 𝟑𝒙 + 𝟐𝟎𝒚 ≥ 𝟔𝟎 
Comentários 
Questão muito interpretativa e exige atenção do candidato na hora da resolução. 
Vamos explicitar as informações do texto em forma de tabela, para uma visão mais 
panorâmica. 
Mínimo diário 1 litro de iogurte especial (x) Pacote de cereais (y) 
Vitamina A 1 mg 3 𝑚𝑔 
Vitamina D 20 𝜇g 15 𝜇g 
Perceba que, para calcularmos o consumo de Vitamina A, fazemos: 
𝑉𝑖𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎 𝐴 → 1. 𝑥 + 3. 𝑦 
E, para calcularmos o consumo de Vitamina D, fazemos: 
𝑉𝑖𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎 𝐷 → 20. 𝑥 + 15. 𝑦 
Respeitando sempre as unidades ingeridas: mg para Vitamina A e 𝜇g para a Vitamina D. 
Se o enunciado traz que é necessário um mínimo diário de 7 miligramas de vitamina A, 
simbolizamos essa informação por meio da seguinte inequação: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 144 
𝑉𝑖𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎 𝐴 → 1. 𝑥 + 3. 𝑦 ≥ 7. 
O mínimo diário de Vitamina D também é citado como sendo 60 microgramas por dia, o que 
também pode ser simbolizado por meio de inequação: 
𝑉𝑖𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎 𝐷 → 20. 𝑥 + 15. 𝑦 ≥ 60 
Gabarito: a) 
31. (Unesp/2007) A expressão que define a função quadrática 𝒇(𝒙), cujo gráfico está 
esboçado, é: 
 
a) 𝒇(𝒙) = −𝟐𝒙² − 𝟐𝒙 + 𝟒. 
b) 𝒇(𝒙) = 𝒙² + 𝟐𝒙 − 𝟒. 
c) 𝒇(𝒙) = 𝒙² + 𝒙 − 𝟐. 
d) 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙² + 𝟐𝒙 − 𝟒. 
e) 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙² + 𝟐𝒙 − 𝟐. 
Comentários 
Pelo gráfico, podemos notar que as raízes são 𝑥′ = −2 e 𝑥′′ = 1. 
Assim, 
𝑦(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥′)(𝑥 − 𝑥′′) 
𝑦(𝑥) = 𝑎(𝑥 − (−2))(𝑥 − 1) 
𝑦(𝑥) = 𝑎(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) 
𝑦(𝑥) = 𝑎(𝑥2 + 𝑥 − 2) 
Como o intercepto-y é 𝑦(0) = −4, 
𝑦(0) = 𝑎(02 + 0 − 2) = −4 
𝑎(−2) = −4 
𝑎 = 2 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 145 
Portanto, 
𝑦(𝑥) = 2(𝑥2 + 𝑥 − 2) 
𝑦(𝑥) = 2𝑥2 + 2𝑥 − 4 
Gabarito: d) 
32. (Unesp/2007) A unidade usual de medida para a energia contida nos alimentos é 
𝒌𝒄𝒂𝒍 (quilocaloria). Uma fórmula aproximada para o consumo diário de energia (em 𝒌𝒄𝒂𝒍) 
para meninos entre 𝟏𝟓 e 𝟏𝟖 anos é dada pela função 𝒇(𝒉) = 𝟏𝟕. 𝒉, onde 𝒉 indica a altura 
em 𝒄𝒎 e, para meninas nessa mesma faixa de idade, pela função 𝒈(𝒉) = (𝟏𝟓, 𝟑). 𝒉. 
Paulo, usando a fórmula para meninos, calculou seu consumo diário de energia e obteve 
𝟐. 𝟗𝟕𝟓 𝒌𝒄𝒂𝒍. Sabendo-se que Paulo é 𝟓 𝒄𝒎 mais alto que sua namorada Carla (e que 
ambos têm idade entre 𝟏𝟓 e 𝟏𝟖 anos), o consumo diário de energia para Carla, de acordo 
com a fórmula, em 𝒌𝒄𝒂𝒍, é 
a) 𝟐𝟓𝟎𝟏. 
b) 𝟐𝟔𝟎𝟏. 
c) 𝟐𝟕𝟕𝟎. 
d) 𝟐𝟖𝟕𝟓. 
e) 𝟐𝟗𝟕𝟎. 
Comentários 
Se Paulo tem consumo diário calculado de 2.975 𝑘𝑐𝑎𝑙, sua altura ℎ𝑝 pode ser inferida da 
fórmula. 
𝑓(ℎ) = 17. ℎ𝑝 = 2.975 
17. ℎ𝑝 = 2.975 
ℎ𝑝 = 175 𝑐𝑚 
Se Paulo é 5 cm mais alto que sua namorada Carla, a altura de Carla ℎ𝑐 é ℎ𝑐 = 170 𝑐𝑚. 
Assim, o consumo diário de Carla pode ser calculado pela fórmula 
𝑔(ℎ) = (15,3). ℎ𝑐 
𝑔(ℎ) = (15,3).170 
𝑔(ℎ) = 2.601 𝑘𝑐𝑎𝑙 
Gabarito: b) 
33. (Fuvest/2003) Seja 𝒇 a função que associa, a cada número real 𝒙, o menor dos 
números 𝒙 + 𝟑 e −𝒙 + 𝟓. Assim, o valor máximo de 𝒇(𝒙) é: 
a) 1 
b) 2 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 146 
c) 4 
d) 6 
e) 7 
Comentários 
Para resolver essa questão, pensemos em duas funções auxiliares: 
𝑔(𝑥) = 𝑥 + 3 
ℎ(𝑥) = −𝑥 + 5 
Esbocemos ambos os gráficos em um mesmo sistema cartesiano: 
 
Como a função 𝑓(𝑥) associa sempre o menor valor entre essas funções auxiliares, 
selecionemos, por intervalos, a função com valor menor dentre as duas, ou seja, a função cujo 
gráfico esteja “por baixo” no gráfico. 
Dessa forma, temos: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 147 
 
Dessa forma, temos nossa 𝑓(𝑥) cujo gráfico é: 
 
Pelo gráfico, podemos concluir rapidamente que o maior valor possível para essa função 𝑓(𝑥), 
que associa nossas funções auxiliares 𝑔(𝑥) e ℎ(𝑥), é 4. 
Gabarito: c) 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 148 
34. (Fuvest/2002) Os pontos (𝟎, 𝟎) e (𝟐, 𝟏) estão no gráfico de uma função quadrática 
𝒇. O mínimo de 𝒇 é assumido no ponto de abscissa 𝒙 = −𝟏 𝟒⁄ . Logo, o valor de 𝒇(𝟏) é: 
𝒂) 
𝟏
𝟏𝟎
 
𝒃) 
𝟐
𝟏𝟎
 
𝒄) 
𝟑
𝟏𝟎
 
𝒅) 
𝟒
𝟏𝟎
 
𝒆) 
𝟓
𝟏𝟎
 
Comentários 
Podemos resolver essa questão somente de forma algébrica, mas optaremos aqui por uma 
análise gráfica auxiliar para que você tenha uma visão mais ampla do que está acontecendo. 
Esbocemos em um plano cartesiano os pontos citados no enunciado. 
 
 
 
O esboço acima está fora de escala e você, mesmo na prova, não 
precisa se preocupar com a proporção. O esboço do gráfico é 
importante para que você consiga enxergar com clareza o que ocorre no 
decorrer da resolução e não o utilizaremos para fazer medições, ok? 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 149 
Muito bem. Uma característica das parábolas que já foi objeto de estudo nosso na teoria é a de 
que as parábolas são simétricas e esse eixo de simetria está, justamente, em uma reta vertical 
que corta a parábola no vértice, não é? 
Veja, se sabemos uma das raízes e o quanto o vértice está distante, no eixo𝑥, dessa raiz, 
conseguimos descobrir a outra raiz diretamente. Vejamos mais de perto o que ocorre no 
gráfico: 
 
 
Professor, mas por que a raiz está em −0,5? 
Ela está em 𝑥 = −0,5 por causa da simetria citada. Se o vértice está à esquerda de uma raiz 
com umadistância horizontal igual a −1 4⁄ , a outra raiz estará à esquerda do vértice 
exatamente à mesma distância horizontal, ou seja, 1 4⁄ à esquerda de −
1
4⁄ . Ao andar para a 
esquerda no eixo horizontal, subtraímos o valor do deslocamento, assim, a outra raiz está em 
um ponto 𝑥 tal que: 
𝑥 = −
1
4
−
1
4
= −
2
4
= −
1
2
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 150 
Agora que já temos as duas raízes, podemos montar a equação da função com base no 
produto notável 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥′)(𝑥 − 𝑥′′) 
Onde 𝑥′ e 𝑥′′ são as raízes da equação e, consequentemente, da função do segundo grau 
correspondente. 
Dessa forma, sabendo que nossas raízes são 
𝑥 = −
1
2
 𝑒 𝑥 = 0 
Podemos montar nossa função do segundo grau. 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥′)(𝑥 − 𝑥′′) 
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 0) (𝑥 − (−
1
2
)) 
𝑓(𝑥) = 𝑎. 𝑥. (𝑥 + 0,5) 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎. 𝑥. (𝑥 + 0,5) 
𝑓(𝑥) = 𝑎. 𝑥2 + 0,5. 𝑎. 𝑥 
Como o exercício informou que a função passa por (2; 1), podemos substituir esses valores na 
função e descobrir o valor do coeficiente 𝑎. 
 
Um ponto tem sempre coordenadas (𝑥; 𝑦). Assim, o ponto (2; 1) tem coordenadas 𝑥 = 2 e 𝑦 =
1, não confunda na hora de substituir na equação da função! 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 0,5. 𝑎. 𝑥 
1 = 𝑎. 22 + 0,5. 𝑎. 2 
1 = 4𝑎 + 𝑎 
1 = 5𝑎 
1
5
= 𝑎 
Dessa forma, podemos completar nossa função: 
𝑓(𝑥) = 𝑎. 𝑥2 + 0,5. 𝑎. 𝑥 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 151 
𝑓(𝑥) =
1
5
. 𝑥2 + 0,5.
1
5
. 𝑥 
Para facilitar nossos cálculos, vamos transformar 0,5 em fração. 
𝑓(𝑥) =
1
5
. 𝑥2 +
1
2
.
1
5
. 𝑥 
𝑓(𝑥) =
1
5
. 𝑥2 +
1
10
. 𝑥 
Como a questão solicitou o valor de 𝑓(1), temos: 
𝑓(𝑥) =
1
5
. 𝑥2 +
1
10
. 𝑥 
𝑓(1) =
1
5
. 12 +
1
10
. 1 
𝑓(1) =
1
5
+
1
10
 
Para frações, MMC. 
𝑓(1) =
2 + 1
10
 
𝑓(1) =
3
10
 
Gabarito: c) 
35. (Fuvest/2001) A função 𝒇(𝒙), definida para −𝟑 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑, tem o seguinte gráfico: 
 
onde as linhas ligando (−𝟏, 𝟎) a (𝟎, 𝟐) e (𝟎, 𝟐) a (𝟏, 𝟎) são segmentos de reta. 
Supondo 𝒂 ≤ 𝟎, para que valores de 𝒂 o gráfico do polinômio 𝒑(𝒙) = 𝒂(𝒙𝟐 − 𝟒) intercepta 
o gráfico de 𝒇(𝒙) em exatamente 4 pontos distintos? 
𝒂) −
𝟏
𝟐
< 𝒂 < 𝟎 
𝒃) − 𝟏 < 𝒂 < −
𝟏
𝟐
 
𝒄) −
𝟑
𝟐
< 𝒂 < −𝟏 
𝒅) − 𝟐 < 𝒂 < −
𝟑
𝟐
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 152 
𝒆) 𝒂 < −𝟐 
Comentários 
A questão fala no polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑎(𝑥2 − 4). Ainda não estudamos os polinômios, mas 
podemos considerar 𝑝(𝑥) como uma função polinomial do segundo grau, sem prejuízo para a 
resolução. 
Antes de iniciarmos a resolução em si, vamos fatorar nosso polinômio para ver quais 
informações ele nos revela. 
𝑝(𝑥) = 𝑎(𝑥2 − 4) 
Você percebeu uma diferença de quadrados dentro dos parênteses? 
𝑝(𝑥) = 𝑎(𝑥2 − 4) 
𝑝(𝑥) = 𝑎(𝑥2 − 22) 
E, como bem sabemos, podemos usar nossos produtos notáveis para fatorar a expressão. 
𝑝(𝑥) = 𝑎(𝑥2 − 22) 
𝑝(𝑥) = 𝑎(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) 
Nos produtos notáveis, vimos algo semelhante a essa forma em: 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥′)(𝑥 − 𝑥′′) 
Escrever dessa maneira explicitou uma informação muito importante: o polinômio 𝑝(𝑥), que 
simboliza aqui nossa função 𝑝, independentemente do valor do coeficiente 𝑎, tem duas raízes 
definidas, 𝑥′ = −2 e 𝑥′′ = 2. 
Além disso, o exercício deixou explícito em “Supondo 𝑎 ≤ 0" que ou temos uma parábola com 
concavidade negativa para o caso de 𝑎 < 0 ou temos uma reta horizontal para o caso de 𝑎 = 0. 
 
Vamos colocar essas informações no gráfico. 
Informações 
importantes
𝑝 𝑥 tem duas raízes: -2 e 2
Se 𝑎 < 0, 𝑝(𝑥) é parábola com 
concavidade negativa
Se 𝑎 = 0, 𝑝(𝑥) é reta horizontal
𝑝(𝑥) só pode interseptar 𝑓(𝑥) em 
exatamente 4 pontos distintos
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 153 
 
Usamos aqui um valor de 𝑎 arbitrário e negativo. Conforme variamos o valor de 𝑎, que interfere 
diretamente na concavidade da parábola, o gráfico de 𝑝(𝑥) varia, mas sempre “preso” nas 
raízes 𝑥′ = −2 e 𝑥′′ = 2. 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 154 
Todos os vértices estão no eixo 𝑦, pois o polinômio 𝑝(𝑥) tem raízes simétricas em relação à 
origem, −2 e 2. 
Sendo assim, quando o vértice está acima de 𝑦 = 2, o gráfico de 𝑝(𝑥) só intercepta o de 𝑓(𝑥) 
em dois pontos, mas sempre que tivermos o vértice de 𝑝(𝑥) entre 𝑦 = 0 e 𝑦 = 2, teremos 
exatamente o que o exercício nos pede: o gráfico de 𝑝(𝑥) com exatamente 4 pontos de 
intersecção com o de 𝑓(𝑥). 
Dessa forma, vamos estipular essa condição a 𝑝(𝑥): o vértice de 𝑝(𝑥) deve estar entre 𝑦 = 0 e 
𝑦 = 2. 
Sabemos que o vértice, nesse caso, está no eixo 𝑦, ou seja, sempre com 𝑥 = 0. Dessa forma, 
para calcularmos o vértice não precisamos da fórmula específica que vimos na aula, embora 
também possa ser usada, mas podemos usar, diretamente, 𝑝(0) por ser um caso especial. 
Calculando a coordenada do y-vértice: 
𝑝(0) = 𝑎(0 + 2)(0 − 2) 
𝑝(0) = 𝑎(2)(−2) 
𝑝(0) = −4𝑎 
E, finalmente, impondo a condição dada: 
0 < 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 < 2 
0 < 𝑝(0) < 2 
0 < −4𝑎 < 2 
Dividindo ambos os membros por (−4): 
0
−4
>
−4𝑎
−4
>
2
−4
 
Professor, o que aconteceu ali com os sinais da desigualdade? Por que raios eles viraram? 
Calma, eles são alternados sempre que multiplicamos ou dividimos por números negativos. 
Veja, se temos a desigualdade 
2 < 3 
e multiplicamos ambos os termos por, digamos, −1, temos: 
−2 < −3 → (𝐹𝑎𝑙𝑠𝑜) 
Por isso, sempre que multiplicamos ou dividimos uma desigualdade por um número negativo, 
precisamos alternar a desigualdade, o que nos levaria a 
−2 > −3 → (𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑜) 
Continuemos. 
0
−4
>
−4𝑎
−4
>
2
−4
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 155 
0 >
−4𝑎
−4
> −
1
2
 
0 > 𝑎 > −
1
2
 
Essa delimitação já nos bastaria, mas como estamos em uma questão de múltipla escolha, 
precisamos encontrar a mesma informação dentre as alternativas. 
Como é mais comum escrever as desigualdades do menor para o maior número, encontramos 
na alternativa a) a mesma informação que a encontrada, porém escrita na forma crescente. 
−
1
2
< 𝑎 < 0 
Ao reescrever uma inequação, fique atento para as desigualdades. Se 0 >
𝑎, ao reescrevê-la de forma crescente, precisamos conservar a informação 
de o zero é maior que 𝑎, ou seja, que o 𝑎 é menor que zero: 𝑎 < 0. 
Afinal, se você é mais velho(a) que seu amigo(a), seu amigo(a) é mais 
novo(a) que você, não é? Exatamente por isso é que alternamos os sinais 
de desigualdade ao escrevê-la em outra ordem. 
Gabarito: a) 
36. (Fuvest/1999) Considere, na figura I a seguir, a área 𝑨(𝒙) da região interior à figura 
formada pelos 3 quadrados e compreendida entre o eixo 𝟎𝒚 e a reta vertical passando 
pelo ponto (𝒙, 𝟎). 
 
Então o gráfico da função 𝒚 = 𝑨(𝒙), para 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟒, é: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 156 
 
 
Comentários 
A questão nos orientou a construir uma função 𝐴(𝑥) que representa a área dos quadrados ao 
percorrermos a figura com uma reta vertical. 
Quando essa reta vertical coincide com o eixo 𝑦 da figura, temos área zero, ou seja, 𝐴(0) = 0 e 
nosso gráfico passa, obrigatoriamente na origem (0; 0). Só isso já nos permite descartar a 
alternativa c) como resposta, pois nela o gráfico não passa na origem (0; 0). 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 157 
 
Quando avançamos com nossa reta vertical ao longo do eixo 𝑥, vamos construindo mais e 
mais área delimitada pela altura 𝑦 = 1. 
A área de um retângulo é dada por Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎. Podemos dizer então que, o 
percorrer o eixo 𝑥, construímos uma área 𝐴(𝑥) = 𝑥. 1 = 𝑥. 
Esbocemos o gráfico de 𝐴(𝑥) = 𝑥 em sincroniaà área delimitada na primeira figura. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 158 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 159 
 
No entanto, isso só acontece até atingirmos o ponto 𝑥 = 1, pois aí a altura de nosso retângulo 
muda. Continuamos com toda a área construída anteriormente, mas agora somaremos a ela 
uma área de altura 2 e não mais 1 como foi até 𝑥 = 1. 
Agora percebemos que temos em mãos uma função dada por intervalos. A função que 
definimos como 𝐴(𝑥) = 𝑥 só vale até 𝑥 = 1, de onde devemos alterá-la para uma definição 
diferente. 
E como seria essa função diferente? 
Bom, de início já temos preenchido o quadrado de dimensões 1𝑥1 da fase anterior, ou seja, 
daqui para frente devemos ter 𝐴(𝑥) = 1 + á𝑟𝑒𝑎 𝑛𝑜𝑣𝑎. 
Acontece que essa área nova calculada, também, pelo produto 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎, porém nossa 
base começa no 1 e vai até o valor de 𝑥 que tivermos, ou seja, 𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑥 − 1 e altura 𝑦 = 2. 
Dessa forma, temos nossa nova definição de 
𝐴(𝑥) = 1 + (𝑥 − 1). 2 = 1 + 2𝑥 − 2 = 2𝑥 − 1. 
𝐴(𝑥) = {
𝑥, 𝑠𝑒 0 < 𝑥 ≤ 1
 
2𝑥 − 1, 𝑠𝑒 1 < 𝑥 ≤ 3
 
Vejamos como o gráfico mostra esse comportamento. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 160 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 161 
 
E essa definição se mantém até que atinjamos 𝑥 = 3, onde teremos uma nova mudança e a 
altura do nosso retângulo passa novamente a ser 𝑦 = 1, além de nossa nova função área 
acumular a área de ambos os quadrados anteriores de áreas 1𝑥1 e 2𝑥2, preenchidos até 𝑥 = 3. 
Como a base do nosso novo retângulo a ser preenchido começa a ser contada apenas para 
valores acima de 3, temos que a base para essa nova figura é 𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑥 − 3 e a sua altura é 
constante e igual a 𝑦 = 1. 
Portanto, para valores acima de 𝑥 = 3, temos uma nova definição de 
𝐴(𝑥) = 1.1 + 2.2 + (𝑥 − 3).1 = 2 + 𝑥 
e assim se mantém até 𝑥 = 4, onde alcançamos o limite superior para nossa função. 
Explicitando as três etapas de nossa função 𝐴(𝑥), temos: 
𝐴(𝑥) =
{
 
 
 
 
𝑥, 𝑠𝑒 0 < 𝑥 ≤ 1
 
2𝑥 − 1, 𝑠𝑒 1 < 𝑥 ≤ 3
 
2 + 𝑥, 𝑠𝑒 3 < 𝑥 ≤ 4
 
Novamente, esbocemos o gráfico da função área 𝐴(𝑥) para os intervalos dados: 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 162 
Gabarito: d) 
37. (Unesp/1998) Considere a função 𝒇(𝒙) = 
𝟏
(𝟒𝒂)
 ⋅ 𝒙² + 𝒙 + 𝒂, onde 𝒂 é um número 
real não nulo. 
Assinale a alternativa cuja parábola poderia ser o gráfico dessa função. 
 
 
Comentários 
Para calcular as raízes da função 𝑓(𝑥), temos a equação. 
1
(4𝑎)
⋅ 𝑥2 + 𝑥 + 𝑎 = 0 
∆= 𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 = 12 − 4 ∙
1
(4𝑎)
∙ 𝑎 = 1 − 4 ∙
1
( 4 𝑎 )
∙ 𝑎 = 1 − 1 = 0 
Como ∆= 0, 𝑓(𝑥) apresenta uma única raiz, o que nos permite descartar as respostas d) e e). 
Como 𝑏 = 1 > 0, podemos dizer que a função 𝑓(𝑥) cruza o eixo 𝑦 de forma crescente, o que é 
observado apenas na alternativa c). 
Gabarito: c) 
38. (Fuvest/1997) Para que a parábola 𝒚 = 𝟐𝒙𝟐 +𝒎𝒙 + 𝟓 não intercepte a reta 𝒚 = 𝟑, 
devemos ter 
𝒂) − 𝟒 < 𝒎 < 𝟒 
𝒃) 𝒎 < 𝟑 𝒐𝒖 𝒎 > 𝟒 
𝒄) 𝒎 > 𝟓 𝒐𝒖 𝒎 < −𝟓 
𝒅) 𝒎 = −𝟓 𝒐𝒖 𝒎 = 𝟓 
𝒆) 𝒎 ≠ 𝟎 
Comentários 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 163 
O coeficiente do termo quadrático de nossa parábola é positivo, indicando que a parábola tem 
concavidade positiva. 
Como nossa parábola não deve tocar a reta 𝑦 = 3, temos que o y-vértice (𝑦𝑣) deve estar acima 
dessa reta, ou seja, 𝑦𝑣 > 3. 
Mesmo não sendo necessário esboçar a função para essa resolução, é interessante estar 
ciente do que estamos fazendo, veja. 
 
Dessa forma, garantindo que o 𝑦𝑣 esteja acima de 𝑦 = 3, teremos satisfeita a condição de a 
parábola 𝑦 = 2𝑥2 +𝑚𝑥 + 5 não interceptar a reta 𝑦 = 3. 
Como sabemos que a fórmula para o y-vértice, temos: 
 
𝑦𝑣 = −
∆
4𝑎
= −
𝑚2 − 4.2.5
4.2
= −
𝑚2 − 40
8
=
40 −𝑚2
8
, 
basta-nos fazer 
𝑦𝑣 > 3 
40 −𝑚2
8
> 3 
Multiplicando ambos os membros da desigualdade por 8: 
40 −𝑚2
8
. 8 > 3.8 
40 −𝑚2
8
. 8 > 3.8 
40 −𝑚2 > 24 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 164 
Subtraindo 24 de ambos os membros: 
40 −𝑚2 − 24 > 24 − 24 
16 −𝑚2 > 0 
Aqui temos, novamente, uma desigualdade do segundo grau. 
Para analisar o sinal da expressão 16 −𝑚2, precisamos, antes, encontrar suas raízes. 
16 −𝑚2 = 0 
16 = 𝑚2 
Extraindo a raiz quadrada em ambos os lados, temos: 
√16 = √𝑚2 
±√16 = 𝑚 
±4 = 𝑚 
Como a expressão 16 −𝑚2 representaria uma parábola com concavidade negativa, temos a 
seguinte análise de sinais: 
 
Como estamos interessados nos valores de 𝑚 tais que 
16 −𝑚2 > 0, 
ou seja, valores de 𝑚 para os quais a expressão 16 −𝑚2 maior que zero, portanto positiva, já 
podemos enunciar nossa resposta. 
Os valores de 𝑚 para que a parábola 𝑦 = 2𝑥2 +𝑚𝑥 + 5 não intercepte a reta 𝑦 = 3 são tais que 
−4 < 𝑚 < 4. 
Gabarito: a) 
39. (Unesp/1997) O gráfico mostra o resultado de uma experiência relativa à absorção 
de potássio pelo tecido da folha de um certo vegetal, em função do tempo e em 
condições diferentes de luminosidade. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 165 
 
Nos dois casos, a função linear 𝒚 = 𝒎𝒙 ajustou-se razoavelmente bem aos dados, daí a 
referência a "𝒎" como taxa de absorção (geralmente medida em 𝝁 moles por unidade de 
peso por hora). Com base no gráfico, se 𝒎𝟏 é a taxa de absorção no claro e 𝒎𝟐 a taxa de 
absorção no escuro, a relação entre essas duas taxas é: 
a) 𝒎𝟏 = 𝒎𝟐. 
b) 𝒎𝟐 = 𝟐𝒎𝟏. 
c) 𝒎𝟏. 𝒎𝟐 = 𝟏. 
d) 𝒎𝟏.𝒎𝟐 = −𝟏. 
e) 𝒎𝟏 = 𝟐𝒎𝟐 
Comentários 
O coeficiente angular 𝑚 de uma reta é dado pela razão: 
𝑚 =
∆𝑦
∆𝑥
 
Dessa forma, temos 𝑚1 e 𝑚2 dados por 
𝑚1 =
∆𝑦
∆𝑥
=
16 − 12
4 − 3
=
4
1
= 4 𝑚2 =
∆𝑦
∆𝑥
=
4 − 2
2 − 1
=
2
1
= 2 
Assim, 𝑚1 = 2𝑚2. 
Gabarito: e) 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 01 – FUNÇÕES 166 
7. Considerações finais 
Percebeu o quanto usamos as fatorações, MMC e fórmula de Bhaskara nessa aula? 
Pois é, isso acontecerá também nas próximas, são conteúdos extremamente relevantes 
para continuarmos avançando. 
Não deixe dúvidas. A matemática é cumulativa e cada item que vemos poderá (e será) 
usado nos próximos passos. 
Estude as resoluções dos exercícios após a leitura da teoria e tente resolver os 
exercícios de modo autônomo. 
Havendo dúvidas, já sabe, estamos aqui para ajudar. Poste no site, na área do aluno, 
utilize os canais de atendimento do Estratégia. Só não deixe conteúdo para trás. 
Um forte abraço e até a próxima aula. 
 
 
 
 
 
 
/professormarcal /professor.marcal /professormarcal