Matemática - Livro 2-322-324

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MATEMÁTICA Capítulo 7 O plano cartesiano322
1 IFSP 2014 Um triângulo é desenhado marcando-se os
pontos A(3, 5), B(2, –6) e C(–4, 1) no plano cartesiano.
O triângulo A’B’C’ é o simétrico do triângulo ABC em
relação ao eixo y. Um dos vértices do triângulo A’B’C’ é:
A (3, 5)
b (–2, 6)
C (–2, –1)
d ( 4, 5)
E (4, 1)
2 Enem 2011 Um bairro de uma cidade foi planejado
em uma região plana, com ruas paralelas e perpen-
diculares, delimitando quadras de mesmo tamanho.
No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse
bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distân-
cias nos eixos são dadas em quilômetros.
y
2
–2 2
2
4
4
6
6
8
8
–4
–4
–6
–6
8
–8
x
A reta de equação y = x + 4 representa o planeja-
mento do percurso da linha do metrô subterrâneo
que atravessará o bairro e outras regiões da cidade.
No ponto P(–5, 5), localiza-se um hospital público.
A comunidade solicitou ao comitê de planejamen-
toque fosse prevista uma estação do metrô de modo
quesua distância ao hospital, medida em linha reta,
não fosse maior que 5 km.
Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argu-
mentou corretamente que isso seria automaticamente
satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma
estação no ponto:
A (–5, 0)
b ( 3, 1)
C (–2, 1)
d (0, 4)
E (2, 6)
3 UFG 2014 Um caçador de tesouros encontrou um
mapa que indicava a localização exata de um tesouro
com as seguintes instruções:
“Partindo da pedra grande e seguindo 750 passos
na direção norte, 500 passos na direção leste e
625 passos na direção nordeste, um tesouro será
encontrado.”
Para localizar o tesouro, ele utilizou um plano carte-
siano, representado pela gura a seguir. Neste plano
a escala utilizada foi de 1 : 100, as medidas são dadas
em centímetros e o ponto A representa a pedra gran
de indicada nas instruções.
norte(cm)
leste(cm)
A–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2
–2
–1 1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
11
12
–1
Considerando que um passo mede 80 cm, encontre as
coordenadas, no plano cartesiano, do ponto onde se
encontra o tesouro e calcule a distância percorrida, em
metros, pelo caçador de tesouros para encontrá-lo.
4 O ponto A pode ser representado de duas formas:
(y + 2, 2x 4) e (8x, 3y 10). Determine os valores de
x e y.
5 FGV 2012 Em um paralelogramo, as coordenadas de
três vértices, consecutivos, são, respectivamente,
(1, 4), (–2, 6), e (0, 8). A soma das coordenadas do quarto
vértice é:
A 8
b 9
C 10
d 11
E 12
6 Unioeste 2012 Dado o ponto A(–2, 4), determine as
coordenadas de dois pontos P e Q, situados, respec-
tivamente, sobre as retas y = 3x e y = x, de tal modo
que A seja o ponto médio do segmento PQ.
A P(1, 3) e Q( 5, 5)
b P(2, 6) e Q(4, 4)
C P(0, 0) e Q( 5, 5).
d P(1, 3) e Q(4, 4).
E P(2, 6) e Q(0, 0).
7 Calcule o perímetro do triângulo ABC sendo A(2, 2),
B(4, 8) e C(8, 3).
8 EEAR 2017 O triângulo ABC formado pelos pontos A(7, 3),
B(–4, 3) e C(–4, –2) é:
A escaleno.
b isósceles.
C equilátero.
d obtusângulo.
Exercícios propostos
F
R
E
N
T
E
 3
323
9 Enem 2016 Em uma cidade será construída uma gale-
ria subterrânea que receberá uma rede de canos para
o transporte de água de uma fonte (F) até o reserva-
tório de um novo bairro (B). Após avaliações, foram
apresentados dois projetos para o trajeto de constru-
ção da galeria: um segmento de reta que atravessaria
outros bairros ou uma semicircunferência que con-
tornaria esses bairros, conforme ilustrado no sistema
de coordenadas xOy da figura, em que a unidade de
medida nos eixos é o quilômetro.
–1
–1
O 1
1
F (–1, 1)
y (km)
x (km)
B (1, –1)
Estudos de viabilidade técnica mostraram que, pelas
características do solo, a construção de 1 m de gale-
ria via segmento de reta demora 1,0 h, enquanto 1 m
de construção de galeria via semicircunferência de-
mora 0,6 h. Há urgência em disponibilizar água para
esse bairro.
Use 3 como aproximação para π e 1,4 como aproximação
para 2.
O menor tempo possível, em hora, para conclusão da
construção da galeria, para atender às necessidades
de água do bairro, é de:
A 1  260
b 2520
C 2800
d 3 600
E 4 000
10 PUC-Rio Sejam os pontos A(0, 0) e B(3, 4).
a) Qual é a distância entre A e B?
) Sabemos que a área do triângulo ABC é igual a
4 e que o vértice C pertence à reta de equação
x + y = 2. Determine o ponto C.
11 UFU 2015 Em relação a um sistema de coordenadas
xOy (x e y em metros), o triângulo PQR tem ângulo
reto no vértice R(3, 5), base PQ paralela ao eixo x e
está inscrito no círculo de centro C(1, 1). A área desse
triângulo, em metros quadrados, é igual a:
A 40
b 8 20
C 4 20
d 80
12 Insper 2015 O Sr. Antônio resolveu construir um poço
em seu sítio. Ele passou ao engenheiro o esquema a
seguir, indicando a posição da piscina e do vestiário
em relação à localização da casa.
Vestiário
20 m para o norte
8 m para o oeste
Piscina
24 m para o norte
12 m para o leste
Casa
Posição de
refêrencia
O Sr. Antônio disse ao engenheiro que queria o poço
em uma localização que estivesse à mesma distância
da casa, da piscina e do vestiário. Para atendê-lo o en-
genheiro deve construir o poço na posição, em relação
à casa, dada por, aproximadamente,
A 4,2 m para o leste e 13,8 m para o norte.
b 3,8 m para o oeste e 13,1 m para o norte.
C 3,8 m para o leste e 13,1 m para o norte.
d 3,4 m para o oeste e 12,5 m para o norte.
E 3,4 m para o leste e 12,5 m para o norte.
13 UFRGS 2013 Considere os gráficos das funções f e g,
definidas por f(x) = x
2
+ x – 2 e g(x) = 6 – x, representa-
das no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, e
os pontos A e B, interseção dos gráficos das funções
f e g, como na figura a seguir.
A
B
y
x
A distância entre os pontos A e B é:
A 2 2
b 3 2
C 4 2
d 5 2
E 6 2
14 ITA 2012 Sejam A(0, 0), B(0, 6) e C(4, 3) vértices de um
triângulo. A distância do baricentro desse triângulo ao
vértice A, em unidades de distância, é igual a:
A
5
3
b
97
3
C
109
3
d
5
3
E 10
3
MATEMÁTICA Capítulo 7 O plano cartesiano324
15 Unicamp 2011 A figura a seguir apresenta parte do
mapa de uma cidade, no qual estão identificadas a
catedral, a prefeitura e a câmara de vereadores.
Observe que o quadriculado não representa os quar-
teirões da cidade, servindo apenas para a localização
dos pontos e retas no plano cartesiano.
Nessa cidade, a Avenida Brasil é formada pelos
pontos equidistantes da catedral e da prefeitura, en-
quanto a Avenida Juscelino Kubitschek (não mostrada
no mapa) é formada pelos pontos equidistantes da
prefeitura e da câmara de vereadores.
y
Avenida Brasil
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
catedral prefeitura
câmara
x
Sabendo que a distância real entre a catedral e a pre-
feitura é de 500 m, podemos concluir que a distância
real, em linha reta, entre a catedral e a câmara de ve-
readores é de:
A 1 500 m
b 500 5 m.
C 1000 2 m.
d +500 500 2 m.
16 UFJF 2016 Considere os pontos A(2, 0), ( )B 1, 3 e
( )C 1, 3 em um plano cartesiano.
a) Determine o ângulo ABC .
) Calcule a área do triângulo ABC.
17 FGV 2012 Um funcionário do setor de planejamento de
uma distribuidora de materiais escolares verifica que
as lojas dos seus três clientes mais importantes estão
localizadas nos pontos A(0, 0), B(6, 0) e C(3, 4). Todas
as unidades são dadas em quilômetros.
O setor de planejamento decidiu instalar um depósito
no ponto P(x, y), de modo que as distâncias entre o
depósito e as três lojas sejam iguais: PA = PB = PC.
y
A B x
C
Uma pesquisa feita na Loja A estima que a quantidade
de certo tipo de lapiseiras vendidas varia linearmen-
te, de acordo com o preço de cada uma. O mesmo
ocorre com o preço unitário de determinado tipo de
agenda escolar e a quantidade vendida.
Preço de
uma lapiseira
Quantidade
R$ 10,00 100
R$ 15,00 80
R$ 20,00 60
Preço de
uma agenda
Quantidade
R$ 24,00 200
R$ 13,50 270
R$ 30,00 160
A Loja B monta dois tipos de estojos de madeira fe
chados. Um tipo, com 24 lápis de cor em cada estojo,é uma caixa que tem a forma de um paralelepípedo
retângulo de base quadrada, de 16 cm de lado e volu
me igual a 576 cm3
O outro tipo, com 18 lápis de cor em cada estojo, tem
a forma de um cubo, e o seu custo de fabricação é
3
4
do custo de fabricação do primeiro estojo.
Para o lojista, o custo de fabricação de cada estojo,
independente de sua forma, é R$ 0,10 o centímetro
quadrado
A Loja C, a menor de todas, trabalha somente com
três funcionários: Alberto, Beatriz e Carla A soma dos
salários mensais dos três, em dezembro de 2011, era
de R$ 5 000,00.
Determine a quantos quilômetros da Loja A deverá
ser instalado o depósito da distribuidora de materiais
escolares Aproxime a resposta para um número intei
ro de quilômetros
18 UEA 2013 Em um plano cartesiano, sabe-se que os
pontos A, B (1, 2) e C (2, 3) pertencem a uma mesma
reta, e que o ponto A está sobre o eixo Oy. O valor da
ordenada de A é:
A 0
b 3
C 1
d 2
E 1
19 Três retas de equações y = 4x + 3, y = –x + 3 e y = x + 6
interceptam-se duas a duas nos pontos A, B e C. De-
termine a área do triângulo ABC.
20 Os vértices de um triângulo ABC são os pontos A( k, k),
B(0, 0) e C(–k, k). A área do triângulo ABC vale, em
unidades de área:
A
k
4
2
b
k
2
2
C k2
d 2k2
E 4k2