Matemática - Livro 1-226-228

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MATEMÁTICA Capítulo 1 Ferramentas básicas da Geometria226
Da figura, obtemos:
( ) ( ) ⋅sen 45º = cos 45º = a
a 2
 =
1
2
2
2
 =
2
2
( ) = =tg 45º a
a
1
Podemos resumir esses resultados na tabela a seguir:
30° 45° 60°
sen 1
2
2
2
3
2
cos
3
2
2
2
1
2
tg
3
3
1 3
Atenção
Os valores dessa tabela são amplamente utilizados nos
exames vestibulares no Brasil e, muitas vezes, não são for
necidos. Por isso, é recomendável que sejam memorizados.
Às vezes, temos dúvidas do tipo: “ao dobrarmos
o ângulo, dobramos também o seno ou a tangente?”.
Infelizmente, ângulos e suas respectivas razões trigo
nométricas não são proporcionais. Se fossem, teríamos
absurdos como
3
2
 = sen (60°) = sen (2 ⋅ 30°) = 2 ⋅ sen (30°) =
= 2 ⋅
1
2
 = 1. A passagem errada nesse caso é que o seno
de 60° não é o dobro do seno de 30°. Para calcular as
razões trigonométricas, existem algumas construções
elementares para poucos ângulos (15°, 18°, 30°, 36°, 45°,
60°, 75°, ), mas não para todos eles Aliás, calcular uma
razão trigonométrica de um ângulo agudo envolve várias
técnicas matemáticas e experimentais diferentes, a maioria
fora do escopo do Ensino Médio. Em geral, os resultados
dessas razões são apresentados em tabelas trigonométri
cas. Veja um exemplo:
TABELA DE RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
ângulo sen cos tg
0 0,000 1,000 0,000
1 0,017 1,000 0,017
2 0,035 0,999 0,035
3 0,052 0,999 0,052
4 0,070 0,998 0,070
5 0,087 0,996 0,087
6 0,105 0,995 0,105
7 0,122 0,993 0,123
8 0,139 0,990 0,141
9 0,156 0,988 0,158
10 0,174 0,985 0,176
11 0,191 0,982 0,194
12 0,208 0,978 0,213
13 0,225 0,974 0,231
14 0,242 0,970 0,249
15 0,259 0,966 0,268
16 0,276 0,961 0,287
17 0,292 0,956 0,306
18 0,309 0,951 0,325
19 0,326 0,946 0,344
20 0,342 0,940 0,364
21 0,358 0,934 0,384
22 0,375 0,927 0,404
23 0,391 0,921 0,424
24 0,407 0,914 0,445
ângulo sen cos tg
25 0,423 0,906 0,466
26 0,438 0,899 0,488
27 0,454 0,891 0,510
28 0,469 0,883 0,532
29 0,485 0,875 0,554
30 0,500 0,866 0,577
31 0,515 0,857 0,601
32 0,530 0,848 0,625
33 0,545 0,839 0,649
34 0,559 0,829 0,675
35 0,574 0,819 0,700
36 0,588 0,809 0,727
37 0,602 0,799 0,754
38 0,616 0,788 0,781
39 0,629 0,777 0,810
40 0,643 0,766 0,839
41 0,656 0,755 0,869
42 0,669 0,743 0,900
43 0,682 0,731 0,933
44 0,695 0,719 0,966
45 0,707 0,707 1,000
46 0,719 0,695 1,036
47 0,731 0,682 1,072
48 0,743 0,669 1,111
49 0,755 0,656 1,150
ângulo sen cos tg
50 0,766 0,643 1,192
51 0,777 0,629 1,235
52 0,788 0,616 1,280
53 0,799 0,602 1,327
54 0,809 0,588 1,376
55 0,819 0,574 1,428
56 0,829 0,559 1,483
57 0,839 0,545 1,540
58 0,848 0,530 1,600
59 0,857 0,515 1,664
60 0,866 0,500 1,732
61 0,875 0,485 1,804
62 0,883 0,469 1,881
63 0,891 0,454 1,963
64 0,899 0,438 2,050
65 0,906 0,423 2,145
66 0,914 0,407 2,246
67 0,921 0,391 2,356
68 0,927 0,375 2,475
69 0,934 0,358 2,605
70 0,940 0,342 2,747
71 0,946 0,326 2,904
72 0,951 0,309 3,078
73 0,956 0,292 3,271
74 0,961 0,276 3,487
ângulo sen cos tg
75 0,966 0,259 3,732
76 0,970 0,242 4,011
77 0,974 0,225 4,331
78 0,978 0,208 4,705
79 0,982 0,191 5,145
80 0,985 0,174 5,671
81 0,988 0,156 6,314
82 0,990 0,139 7,115
83 0,993 0,122 8,144
84 0,995 0,105 9,514
85 0,996 0,087 11,430
86 0,998 0,076 14,301
87 0,998 0,052 19,081
88 0,999 0,035 28,636
89 0,999 0,017 57,290
90 1,000 0,000 -
Tab. 1 Tabela trigonométrica
F
R
E
N
T
E
 3
227
Vejamos alguns exercícios de problemas que envolvem
razões trigonométricas.
Exercícios resolvidos
15 Considere o retângulo ABCD a seguir, em que a base
mede 12 e a altura 5. Determine a distância do vértice
A à diagonal BD
Resolução:
A B
CD
12
5
h
P
Traçando, AP, perpendicular a BD e passando por A, a
distância pedida é AP = h.
No triângulo ABD, retângulo em A, calculamos BD:
BD2 = 52 + 122
BD2 = 25 + 144 = 169
BD = 13
No triângulo ABD, seja med (AB̂D) =α: sen AD
BD
5
13
α( ) = =
No triângulo APB, retângulo em P:
AP
AB
sen
h
12
5
13
h
60
13
= ( ) ⇔ = ⇒ =α
16 Unesp Um ciclista sobe, em linha reta, uma rampa com
inclinação de 3 graus a uma velocidade constante de
4 metros por segundo. A altura do topo da rampa em
relação ao ponto de partida é 30 m.
Topo da rampa
30 m
3o
ponto de partida
Use a aproximação sen 3° = 0,05 e responda O tempo,
em minutos, que o ciclista levou para percorrer com-
pletamente a rampa é:
A 2,5
 7,5
C 10
 15
E 30
Resolução:
No triângulo retângulo da gura, sendo o comprimen-
to da rampa em metros igual a x, temos:
= ⇔ = ⇒ = ⇒ =sen3º 30
x
x
30
sen3º
x
30
0,05
x 600 m
Como a velocidade do ciclista é de 4 m/s, o tempo
que ele leva para subir a rampa é igual a:
v
S
t
t
S
v
t
600 m
m s
150 s
2min 30s 2,5 min
= ⇔ = ⇒ = = =
= =
∆
∆
∆ ∆ ∆
4 /
Alternativa: A.
17 Determine, em função das medidas a e b dos catetos
do triângulo ABC, o lado do quadrado nele inscrito,
como mostra a figura
b
AC
a
B
Resolução:
b
AC
a
F
E
D
x
xx
x b x
a – x
B
Sendo x o lado do quadrado DEFC, então BD = a – x e
AF = b x.
Como DE é paralelo a AF, podemos armar que
med (BÊD) = med (EÂF) = α.
Dos triângulos BDE e EFA, temos que tg
BD
DE
EF
AF
α( ) = = .
Assim:
a x
x
x
b x
x x a x b x
x ab ax bx x
0 ab a b x
a b x ab
x
2 2
=
⋅ = −( ) −( )
= +
= +( )
+( ) =
==
+
ab
a b
18 Faça uma tabela com os valores dos senos, cossenos
e tangentes dos ângulos de 15° e 75°.
Resolução:
Na gura, ABE é um triângulo equilátero e BCDE um
quadrado, ambos de lados 2, enquanto M e N são os
pontos médios de BE e CD.
MATEMÁTICA Capítulo 1 Ferramentas básicas da Geometria228
N
DC
B E
60o M
75o
2
15o
15o
15o
A
1
3
No triângulo ABE, encontramos: AB = BE = AE = 2 e
med (AB̂E) = 60°.
No quadrado BCDE, temos: BC = CD = DE = BE = 2 e
med (CB̂E) = 90°.
Como AB = BC = 2 e med (AB̂C) = med (AB̂E) +
+ med  EB̂C) = 60° + 90° = 150°, o triângulo ABC é isós-
celes com ângulos (150°, 15°, 15°). Por esse motivo,
med (AĈD) = med (BĈD) – med (BĈA) = 90° – 15° = 75° e
med (CÂN) = 90° – med (AĈN) = 90° – 75° = 15°.
Temos que AM é altura do triângulo equilátero ABE,
de lado 2, logo, AM
2 3
2
3= = . Além disso, MN = 2 e
AN = MN + AM = 2 + 3.
No triângulo ANC, retângulo em N, temos que
CN
CD
2
2
2
1= = = e AC2 = CN2 + AN2. Logo:
AC 1 2 3
AC 1 4 4 3 3
AC 8 4 3
AC 8 4 3
2 2
2
2
= + +( )
= + + +
= +
= +
2
Agora observe esta interessante identidade:
8 4 3 6 2 12 2 6 2 6 2 2 6 2
2
+ = + + = + ⋅ ⋅ + = +( )
Dessa maneira, obtemos AC 6 2 6 2
2
= +( ) = + .
Ainda no triângulo ACN, encontramos:
sen75 cos 15
AN
AC
2 3
6 2
2 3
6 2
6 2
6 2
2 6 2 2 3 2 6
6 2
2
° = ° = = +
+
= +
+
⋅ − =
= +
( ) − ( ))
= +
2
6 2
4
cos75 sen15
CN
AC
1
6 2
1
6 2
6 2
6 2
6 2
6 2
6 2
42 2
° = ° = =
+
=
+
⋅ =
=
( ) − ( )
=
= = + = +tg75º AN
CN
2 3
1
2 3
( )
= =
+
=
+
⋅ − = − =tg15º CN
AN
1
2 3
1
2 3
2 3
2 3
2 3
2 3
2 3
2
2
Portanto:
15° 75°
sen
6 2
4
6 2
4
+
cos
6 2
4
+ 6 2
4
tg 2 3 2 3+
1 Unesp 2015 Em 2014, a Companhia de Engenharia de Tráfego (CET) implantou duas faixas para pedestres na diagonal
de um cruzamento de ruas perpendiculares do centro de São Paulo. Juntas, as faixas formam um “X”, como indicado
na imagem Segundo a CET, o objetivo das faixas foi o de encurtar o tempo e a distância da travessia
(http://ciclovivo.com br Adaptado.)
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B C
D