GEOMETRÌA SEM 12 - 2022 III

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Centro Preuniversitario de la UNS Ingreso Directo 
GEOMETRÍA 
Ciclo 2022 – III 
 
 
Docente: Equipo Docente Tema: TRIEDROS 
 
 
FIGURAS POLIEDRICAS 
ÁNGULO POLIEDRO. 
Es la figura determinada por la reunión de tres o 
más regiones angulares no coplanares, 
consecutivas y de vértice común, el cual también 
se denomina ángulo sólido o ànguloide. 
 
 
Elementos: 
• Vértice: O 
• Aristas : OA, OB, … 
• Caras : AOB, BOC, … (medidas: a°, b°, …) 
• Diedros: OE, OD, … (medidas: α, β ) 
 
Notación: Ángulo poliedro O – ABCDE 
Los ángulos poliedros se nombran de acuerdo a 
su número de caras y pueden ser: ángulo 
triedro, ángulo tetraedro, ángulo pentaedro… si 
tienen 3, 4, 5, … caras respectivamente. 
 
ÁNGULO TRIEDRO (Triedro). 
El triedro es un poliedro de tres caras. 
 
 
 
 
 
Notación: 
Ángulo triedro O – ABC 
Triedro O – ABC 
Medidas de las caras: a°, b°, c° 
Medidas de los diedros: α, β, θ 
Elementos: 
• Vértice: O 
• Aristas: OA, OB y OC. 
• Caras: <AOB, <BOC y <COA. 
• Diedros: d-OA, d-OB y d-OC. 
 
➢ Los triedros pueden ser: equilátero, isósceles, 
escaleno, unirectangular, birectangular y 
trirectangular. 
 
Propiedades: 
1. En todo ángulo triedro la medida de cualquiera de 
tres caras es menor que la suma y mayor que la 
diferencia de las medidas de las otras dos caras. 
 
bo - co< ao< bo + co 
 
2. En todo ángulo triedro la suma de las medidas de 
sus caras es mayor de 0° y menor de 360°. 
 
0o<ao + bo + co< 360o 
 
3. En todo ángulo triedro la suma de las medidas de 
los ángulos diedros es mayor de 180° y menor de 
540°. 
 
180º < ∑ 𝑑𝑖𝑒𝑑𝑟𝑜𝑠 < 540º 
 
4. En todo ángulo triedro la suma de dos diedros es 
menor al tercero aumentado en 180º. 
𝛼 + 𝛽 < 𝜃 + 180° 
 
5. En todo ángulo triedro la suma de dos caras es 
menor al tercero aumentado en 180º 
Semana N.º 12 
Ingeniería 
 
Docente: Dr Rosendo Medina Briones. Geometría 
 
 
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a°+b°< c° + 180° 
 
6. En todo triedro acaras iguales se oponen ángulos 
diedros iguales. 
Si: a° = b°=c°→ α = β = 𝜃 
 
7. en todo triedro equilátero cada una de sus caras 
está comprendido entre 0° y 120° 
 
8. en todo triedro equilátero sus diedros están 
comprendidos entre 60° y 180° 
 
Clasificación: 
 
I. Por la comparación de las medidas de sus 
caras. 
 
➢ Triedro escaleno.- Es aquel que tiene sus tres 
caras de diferentes medidas. 
 
a° ≠ b°, ≠ c°, 
Además: α ≠ β,≠ θ 
 
➢ Triedro Isósceles.- Es aquel que tiene dos caras 
de igual medida a los cuales se oponen diedros 
congruentes. 
 
a° = c° 
Además: α = θ 
 
➢ Triedro equilátero.- Es aquel que tiene sus tres 
caras de igual medida y sus tres ángulos diedros 
congruentes. 
 
Del gráfico (2): a° = b° = c° 
Además: α = β = θ 
 
 
II. Por el número de caras rectas (de medida igual a 
90°) 
 
➢ Triedro Rectángulo.- Es aquel que tiene una 
cara que mide 90° 
➢ Triedro Bi-rectángulo.- Es aquel que tiene 
dos caras que miden 90°. A los cuales se 
oponen diedros que miden 90°. 
➢ Triedro Tri-rectángulo.- Es aquel que tiene 
sus tres caras que miden 90°; entonces sus 
tres diedros miden 90°. 
 
TRIEDRO POLAR O TRIEDRO 
SUPLEMENTARIO. 
 
Se llama triedro polar o suplementario de un 
triedro dado a aquel cuyas aristas son 
perpendiculares a las caras del otro. 
 
 
 
Si : OA ┴ plano O’A’B’ 
 OB ┴ plano O’A’C’ 
 OC ┴ plano O’B’C’ 
 
Luego el triedro O – ABC se llama triedro polar o 
suplementario del triedro O’ – A’B’C’. 
 
Teorema.- Cuando dos diedros son suplementarios o 
polares se cumple que las caras de uno de ellos son 
los suplementos de los diedros del otro triedro, y 
recíprocamente. 
a° + α = 180° 
b° + β = 180° 
c° + θ = 180° 
 
POLIEDROS 
Definición.- Son aquellos sólidos limitados por 4 o 
más caras (planos secantes). Un poliedro es la 
reunión de una superficie poliédrica con todos sus 
puntos interiores. Los poliedros más conocidos son 
las pirámides y los prismas. 
 
➢ La intersección de cada uno de estos planos con 
todos los demás que con el cierran o limitan el 
poliedro determinan un polígono (cara). 
➢ Las intersecciones de las caras se llaman aristas. 
➢ Los puntos en que se cortan las aristas reciben el 
nombre de vértices. 
➢ El segmento de recta que une dos vértices no 
pertenecientes a una misma cara se denomina 
diagonal de un poliedro 
 
Clasificación: 
 
1) Según sus características: 
a) Poliedro convexo: si todos sus ángulos diedros 
son convexos, una recta secante lo corta siempre en 
dos puntos. 
b) Poliedro cóncavo: si tiene por lo menos un diedro 
cóncavo: una recta secante lo corta en más de dos 
puntos. 
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c) Poliedro regular: todas sus caras son polígonos 
regulares iguales. 
d) Poliedros irregulares: es aquel poliedro que no es 
regular. 
 
2) Por el número de caras.- Pueden ser: tetraedros, 
pentaedros, exaedros, etc. 
 
 
 
 
Teoremas de EULER: 
1. En todo poliedro se cumple que el número de caras 
más el número de vértices es igual al número de 
aristas más dos unidades. 
 
V + C = A + 2 
 
2. En todo poliedro la suma de las medidas de los 
ángulos internos de todas sus caras es igual a 360º 
multiplicado por el número de vértices menos 2. 
 
 S = 360o (V-2) ; S = 360o (A - C) 
 
Propiedades: 
3. En todo poliedro cóncavo o convexo, cuyas caras 
sean polígonos del mismo número de lados se cumple 
que su número de aristas es igual al semiproducto del 
número de lados de una cara por el número de caras 
del poliedro. 
 
 A = 
(𝑁° 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎)(𝑁° 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠)
2
 
 
4. Si un poliedro está formado por k polígonos de n 
lados; k1 polígonos de n1 lados,…hasta km polígonos 
de nmlados, entonces el número de sus aristas estará 
dada por: 
 
 A = 
𝑘𝑛+ 𝑘1.𝑛1+𝑘2𝑛2±⋯……… 𝑘𝑚𝑛𝑚
2
 
 
 
Si el polígono tiene todas sus caras diferentes cuyo 
número de lados son: n1, n2, n3,…, nc 
 
 A = 
𝑛1+𝑛2+𝑛3+⋯..+ 𝑛𝑐
2
 
 
5 . Número de diagonales de un poliedro: 
 
𝐷𝑝𝑜𝑙𝑖𝑒𝑑𝑟𝑜 = 𝐶2
𝑉 - 𝑁𝑑𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 - A 
 
Dónde: 
𝑫𝒑𝒐𝒍𝒊𝒆𝒅𝒓𝒐: Número de diagonales del poliedro 
 
𝐶2
𝑉
: Combinación del número de vértices de dos en 
dos. 
 
𝑁𝑑𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠: Número de diagonales de todas las caras 
del poliedro. 
 
A: Número de aristas del poliedro. 
Para un poliedro regular: 
 
𝑫𝒑𝒐𝒍𝒊𝒆𝒅𝒓𝒐 = 
𝑪(𝒏−𝟐)[𝒄(𝒏−𝟐)]−𝟒𝒏+𝟔
𝟖
 +1 
 
 
C: número de caras 
n: número de lados de cada cara 
 
 
PRÁCTICA DE CLASE 
 
1. Se da un triedro de donde los valores de dos caras 
son 120° y 130° ¿Cuáles son los límites de la 
tercera cara? 
a)10° y 110° b) 0° y 110° c) 30° y 130° 
d)10° y 250° e) 20° y 120° 
 
2. Un punto dista 6; 8 y 10 de las caras de un triedro 
trirectángulo. Halle la distancia del punto al 
vértice del triedro. 
a)14,1 b) 12 c) 12,1 d)16.4 e) 12,8 
 
3. Se da un triedro trirectángulo y sobre sus aristas 
se toman OB=OA=OC=10m Hallar el área del 
triángulo ABC. 
a) 40√3 b) 46√3 c)48√3 d)50√3 e)55√3 
 
4. Se da un triedro trirectángulo O-ABC, si 
OA=OB=OC=6. Calcular el diedro BC. 
a)Arc.Cos(
√3
3
) b) Arc.Cos(
√2
3
) 
c) Arc.Cos(
√2
4
) d) Arc.Cos(
√5
3
) 
e) Arc.Cos(
√5
2
) 
 
5. En un triedro 0-ABC cuyas caras son:𝐵𝑂�̂�=90°; 
𝐴𝑂�̂� =60° y 𝐴𝑂�̂� =60°, sobre OA se ubica elpunto “M” de manera que OM=2. Calcular el 
ángulo que forma OM con el plano OBC. 
 
a) 30° b) 37° c) 45° d) 53° 
e)60° 
 
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6. Se da un triedro isósceles cuyas caras iguales 
miden 45°y forman un diedro recto. Calcular la 
medida de la tercera cara. 
a)30° b)45° c)15° d)60° e)90° 
 
7. Dado un triedro trirectángulo de vértice “O”, un 
plano secante corta a sus aristas en los puntos 
A;B y C, luego se traza OH perpendicular al 
plano del triángulo escaleno ABC¿ Qué punto 
notable es “H”del triángulo ABC? 
a) Baricentro b) Incentro c) circuncentro 
d) excentro e) ortocentro. 
 
8. Dos diedros de un triedro miden 100° y 
110°.¿Entre que valores estará comprendido el 
tercer diedro? 
a)10° y 100° b) 80° y 120° c)30° y 170° 
d)40° y 160° d) 30° y 210° 
 
9. Cuál es el máximo valor entero que puede asumir 
una cara de un triedro equilátero 
a)60° b)80° c)100° d)119° e)120° 
 
10. Dado el triedro equilátero O-ABC, sobre OA se 
ubica el punto “P” y por él se traza un plano 
perpendicular a OA que intersecta en “Q” a OB y 
en “R” a OC luego el área de la región PQR es 
igual al cuadrado de OP , multiplicado por: 
a)1 b) 2 c)√3 d)√6 e)√2 
 
 
 
PRÁCTICA DOMICILIARIA 
 
 
1. Un poliedro está formado por 6 triángulos y 3 
cuadriláteros. Cuantos vértices tiene. 
 
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e)10 
 
2. Entre que valores está comprendido la suma de 
las medidas de todos los ángulos diedros de un 
tetraedro cualquiera. 
 
a) 240° y 820° b) 360° y 600° c) 360° y 1080° 
d) 360° y 1080° e) n.a. 
 
3. Se tiene un ángulo triedro O-ABC cuyo diedro OA 
= 90° y las caras b = c = 45°. Hallar la medida de 
𝐵�̂�𝐶. 
 
a) 45° b) 60° c) 53° d) 37° e) 30° 
 
 
4. Cuatro diagonales tiene el poliedro formado por 
tres cuadriláteros y 6 triángulos. 
 
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12 
 
5. Un triedro tri-rectangulo es cortado por un plano, 
determinándose un triángulo equilátero de lado 6. 
Calcular la longitud del vértice del triedro al 
baricentro del triángulo equilátero. 
 
a) √3b) √6c)√5d) 2√6e) 3√5 
 
6. Dos caras de un triedro miden 90° y 120°. 
Determinar entre que valores está comprendida la 
tercera cara “b” del triedro. 
 
a) 30° < 𝑏 < 210° b) 30°< 𝑏 < 180° 
c) 30° < 𝑏 < 150° d) 30°<100° 
e) 10° < 𝑏 <160° 
 
7. Señale la alternativa que presente la secuencia 
correcta después de determinar si la proposición 
es verdadera (v) o falsa (f): 
 
I. Los centros de las caras de un tetraedro 
regular son los vértices de un tetraedro. 
II. Los centros de las caras de un octaedro 
regular son los vértices de un octaedro. 
III. Los centros de las caras de un icosaedro son 
los vértices de un dodecaedro. 
 
a) VVV b) VVF c) VFF d) FFV e) VFV 
 
8. Un plano interseca a las aristas en un triedro con 
vértice “O” en los puntos A, B y C de modo que: m 
𝐴�̂�𝐵 = m 𝐶�̂�𝐵 = 60° y m 𝐴�̂�𝐶 = m 𝐴�̂�𝐶 = 90° . 
Halle OB, si 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ + 𝑂𝐶̅̅ ̅̅ = 10𝑚. 
 
a) 3m b) 4m c) 5m d) 6m e)7m 
 
9. En un triedro O-ABC, las caras BOC; AOB y AOC, 
miden 90°, 60° y 60° respectivamente. Entonces 
la tangente del ángulo que determina OA con el 
plano OBC es: 
 
a) 1/3 b) ½ c) 1 d) 2 e) 3 
 
10. Se tiene un triedro V-ABC, en el cual el ángulo 
diedro VA es igual a 70°, el ángulo diedro VB es 
igual a 90°. Determinar entre que límites puede 
variar el valor del ángulo diedro VC. 
 
a) 10° < 𝑉𝐶 < 160° b) 15°< 𝑉𝐶 < 170° 
c) 20° < 𝑉𝐶 < 180° d) 25°< 𝑉𝐶 < 180° e) n.a.