Fases_Das_Tecnologias_Digitais_Em_Educação_Matemática_Sala_De_Aula

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COLEÇÃO Tendências em Educação Matemática
Fases das
tecnologias digitais
em Educação Matemática
Sala de aula e internet em movimento
Marcelo de Carvalho Borba
Ricardo Scucuglia Rodrigues da Silva
George Gadanidis
1ª edição
1ª reimpressão
 
 
Nota do coordenador
Embora a produção na área de Educação Matemática tenha crescido
substancialmente nos últimos anos, ainda é presente a sensação de que há
falta de textos voltados para professores e pesquisadores em fase inicial.
Esta coleção surge em 2001 buscando preencher esse vácuo, sentido por
diversos matemáticos e educadores matemáticos. Bibliotecas de cursos de
licenciatura tinham títulos em Matemática, mas não publicações em
Educação Matemática ou textos de Matemática voltados para o professor.
Em cursos de especialização, mestrado profissional, mestrado
acadêmico e doutorado com ênfase em Educação Matemática ainda há falta
de material que apresente de forma sucinta as diversas tendências que se
consolidam nesse campo de pesquisa. A coleção “Tendências em Educação
Matemática” é voltada para futuros professores e para profissionais da área
que buscam de diversas formas refletir sobre esse movimento denominado
Educação Matemática, o qual está embasado no princípio de que todos
podem produzir Matemática nas suas diferentes expressões. A coleção busca
também apresentar tópicos em Matemática que tenham tido
desenvolvimentos substanciais nas últimas décadas e que podem se
transformar em novas tendências curriculares dos ensinos fundamental,
médio e universitário.
Esta coleção é escrita por pesquisadores em Educação Matemática, ou
em dada área da Matemática, com larga experiência docente, que pretendem
estreitar as interações entre a Universidade que produz pesquisa e os
diversos cenários em que se realiza a educação. Em alguns livros,
professores da educação básica se tornaram também autores. Cada livro
indica uma extensa bibliografia na qual o leitor poderá buscar um
aprofundamento em certa tendência em Educação Matemática.
Neste livro, os autores discutem quatro diferentes fases do uso das
tecnologias digitais em educação matemática. As três primeiras fases são
identificadas por ícones como a linguagem Logo, software de funções ou de
geometria e educação matemática online. Seguindo a cronologia; na quarta
fase, internet, performance matemática digital, Facebook, YouTube e
GeoGebra são trazidos como palavras-chave. As discussões dessas quatro
fases remetem às mudanças que elas trouxeram para os ambientes de
aprendizagem, desde a criação do laboratório de informática até a noção de
mobilidade, proporcionada pela internet sem fio. Este livro é recheado de
exemplos voltados para as séries iniciais, para o ensino médio e para o
início da educação matemática universitária.
 
Marcelo de Carvalho Borba1
1 Coordenador da coleção “Tendências em Educação Matemática”, é licenciado em Matemática pela
UFRJ, mestre em Educação Matemática pela UNESP, Rio Claro/SP, e doutor nessa mesma área pela
Cornell University, Estados Unidos. Atualmente, é professor do Programa de Pós-Graduação em
Educação Matemática da UNESP, Rio Claro/SP. Por curtos intervalos de tempo fez estágios de pós-
doutoramento e foi professor visitante em diversos países. Em 2005 se tornou livre docente em
Educação Matemática. É também autor de vários livros e artigos no Brasil e no exterior, e participa de
diversas comissões em nível nacional e internacional. Desde 2014 é coordenador adjunto da área de
Ensino da CAPES.
 
Agradecemos a todos os membros do Grupo de Pesquisa em Informática,
outras Mídias e Educação Matemática (GPIMEM) e membros da
comunidade de educação em geral.
Em particular, gostaríamos de agradecer a Luana Pedrita Fernandes de
Oliveira, Aparecida Chiari e Alana Fuzaro de Barros Rodrigues, por suas
valiosas contribuições e ajuda na etapa final de elaboração deste livro.
Agradecemos também a Henrique Lazari, Lilian Kato e Hannah Lacerda.
 
Introdução
Tecnologias digitais em Educação
Matemática
Em janeiro de 2013, a revista Carta Capital (www.cartacapital.com.br,
09/01/2013) publicou extensa reportagem na qual a educação é posta em
local de destaque e junto com ela a tecnologia. A reportagem analisa os
desafios da educação brasileira e, como é comum em outras reportagens do
tipo, realça a importância de formar alunos críticos, conectados às novas
tecnologias e capazes de selecionar conhecimentos para serem utilizados em
um dado problema. São feitas várias referências ao uso de Tecnologias
Digitais (TD) por professores e alunos, embora também seja reconhecido
que a tecnologia sozinha não é suficiente.
Nos últimos quinze anos pelo menos, a educação virou tema constante de
campanhas eleitorais, sendo explorada por todos os lados interessados no
poder político: partidos, imprensa, sociedades científicas, empresas de
consultoria. Soluções fáceis são, muitas vezes, vendidas para os problemas
da educação brasileira.
A universidade, em particular as faculdades de educação, têm se
debruçado sobre os mais diversificados problemas da educação, mas nem
sempre conseguem traduzir os estudos e pesquisas em argumentos que
adentrem o debate sobre propostas concretas para a solução dos problemas,
ou, muitas vezes, não encontram espaço na grande mídia para essas opiniões.
Há, claro, autores como Faria Filho (2012) que relacionam, por exemplo,
pesquisas em história da educação para mostrar a necessidade de políticas
públicas que enfrentem problemas que não são novos, mas são “feitos
novos” de tempos em tempos por gestores da educação que muitas vezes
ignoram a história da educação. Ainda, segundo o autor, é necessário discutir
alternativas com relação ao “modelo de institucionalização da pesquisa no
qual os pesquisadores são também responsáveis pelo ensino da graduação,
pela administração e pela realização de trabalhos de extensão” (FARIA
FILHO, 2012, p. 121). Tais alternativas devem ir além da reivindicação pela
contratação de mais docentes.
Por outro lado, sabemos que devemos suspeitar de soluções fáceis para
problemas complexos. A pesquisa acadêmica sugere que a incorporação de
amplas parcelas da população à escola, baixos salários dos professores,
descaso de anos com o status da profissão docente, além das rápidas
transformações tecnológicas que o mundo vive há cerca de cem anos,
impactaram a escola de modo incessante. A aprovação do Plano Nacional de
Educação pelo Congresso Nacional − que inclui o investimento de no
mínimo 10% do produto interno bruto (PIB) em educação − é um alento.
Todos nós sabemos que, mesmo com a melhora espantosa do salário mínimo
nos últimos dez anos, ele ainda está longe de cumprir o que determina a
constituição do Brasil. O piso nacional dos professores, em cerca de R$
1.697,002 em janeiro de 2014, pode ser visto como um avanço, mas o valor
irrisório do mesmo mostra o quão ruim o salário do professor estava antes
do piso, e como na prática ele está, já que o piso ainda não é cumprido em
vários estados.
Este livro não apresenta uma solução para os problemas da educação,
não debate políticas públicas em geral, mas, apenas de forma periférica,
trata a interface entre política educacional e tecnologias digitais. De outra
forma, ele sistematiza pesquisas realizadas em nossa área, mostrando como
as tecnologias podem ser utilizadas em Educação Matemática, ao mesmo
tempo em que discute seus limites e aponta problemas em aparentes
soluções. Tentaremos ver como coletivos formados por professores, alunos,
softwares, internet e telefones celulares podem gerar novas opções
educacionais e como as partes deste coletivo se influenciam mutuamente. Em
outras palavras, este livro pode ser pensado como uma forma de ação local,
como uma maneira de abrir possibilidades para que a inclusão digital se
faça de forma que realce o que de novo essas tecnologias podem trazer para
a educação, para expandir a sala de aula, ou mudar a noção do que
entendemos por sala de aula.
Compreendemos que as reflexões e exemplos da Educação Matemática
podem servir para reflexõesmais amplas sobre educação em geral, ainda
mais em um momento em que a discussão política coloca a Matemática em
um pedestal, ao situar a formação de engenheiros e cientistas naturais como
uma tarefa primordial do país.
Neste livro nós exploramos uma sistematização para discutir o uso de
tecnologias no ensino e aprendizagem de Matemática. Nossas ideias têm
como cenário a perspectiva de que o uso de tecnologias em Educação
Matemática (no Brasil) pode ser compreendido em quatro fases ou
momentos. Nosso objetivo é abordar principalmente aspectos da quarta fase,
ou seja, enfatizamos aspectos sobre o uso das tecnologias digitais. O livro é
estruturado da forma como descrevemos a seguir.
No capítulo 1 caracterizamos cada uma das quatro fases. Nós indicamos
algumas tecnologias de destaque em cada fase, diferentes termos ou
expressões utilizadas para se referir a elas, bem como possibilidades
iniciais de investigação matemática. Buscamos também introduzir
perspectivas teóricas construídas ou utilizadas em pesquisas durante cada
fase. Assim, resumidamente, a primeira fase é caracterizada pelo uso do
software LOGO, a segunda pelo uso de softwares de geometria dinâmica e
sistemas de computação algébrica, a terceira pelo uso da internet em cursos
a distância e a quarta pelo uso da internet rápida que democratiza a
publicação de material digital na grande rede.
No capítulo 2 exploramos uma interlocução entre a segunda e a quarta
fase. Isso ocorre devido ao fato de discutirmos possibilidades para
investigação matemática com base no uso do software GeoGebra para o
Cálculo Diferencial. Por um lado, o GeoGebra é uma das tecnologias de
maior destaque e interesse na atual fase, sendo utilizado em versão online e
em constante atualização de versões; por outro, o GeoGebra compila as
plataformas de geometria dinâmica e dos sistemas de computação algébrica,
o que nos leva a revisitar perspectivas importantes da segunda fase como a
experimentação com tecnologias e a visualização.
Com base em nossa sistematização, é possível dizer que dentro da
Coleção Tendências em Educação Matemática, o livro de Borba e Penteado
(2001) é fundamentalmente uma exploração de temas relevantes sobre a
segunda fase, que envolve a utilização de software e calculadoras gráficas
na produção de conhecimentos matemáticos, bem como algumas ações
governamentais que oferecem meios para popularização dos computadores
em escolas públicas. Também, reconheceremos que muitas das questões
didáticas e pedagógicas emergentes com a segunda fase são ainda essenciais
dentro da terceira e quarta fases. Não abordaremos questões específicas
sobre a terceira fase porque, também dentro da Coleção, autores como
Borba, Malheiros e Zulatto (2007) já discutem em detalhes a educação
matemática a distância online.
No capítulo 3 apresentamos uma reflexão sobre o uso da internet em
educação matemática. Acreditamos que é durante a quarta fase que a internet
poderá ser utilizada sem restrições por estudantes e professores,
transformando significativamente as dinâmicas de estudo e avaliação. Além
disso, articulamos algumas questões sobre o uso do Facebook, YouTube,
MOOC (Massive Open Online Course), vídeos digitais, telefones celulares,
dentre outros recursos. Ou seja, no terceiro capítulo exploramos algumas
interfaces entre a terceira e quarta fases.
No capítulo 4 lidamos com a noção de performance matemática digital.
Exploramos aspectos sobre o uso didático-pedagógico das artes e das
tecnologias digitais para comunicação de ideias matemáticas por meio da
internet, além de questões como multimodalidade e imagem pública da
Matemática para conceituar uma possibilidade de atuação na quarta fase
voltada à inovação educacional. Mencionamos o Festival de Performances
Matemáticas3 como um lócus virtual e social para colaboração envolvendo a
produção matemática-artística de estudantes, professores, pais,
pesquisadores, artistas e outros membros de comunidades escolares.
No último capítulo apresentamos um breve encaminhamento sobre
conjecturas que temos sobre o futuro das tecnologias em educação
matemática, bem como uma rápida apresentação dos projetos de pesquisa de
nosso grupo de pesquisa. Ao fazer isso nos referimos à nossa proposta de
educação e ao acesso desigual à mídia digital.
Portanto, de modo geral, neste livro nós discutimos aspectos sobre o uso
de tecnologias digitais em educação matemática, elemento central da quarta
fase, e algumas noções teóricas de outras fases. Por outro lado, não
abordamos questões importantes como as políticas públicas. Borba e
Penteado (2001) trataram desse tema em relação à segunda fase e Viel
(2011) em relação à terceira.
Acreditamos que, neste livro, discutimos potencialidades diversas de
recursos que podem ser utilizados para o ensino e aprendizagem de
Matemática e que podem servir como um material de apoio pedagógico-
didático para a sala de aula presencial ou virtual em diversificados níveis de
ensino. Nossas discussões são, em grande parte, embasadas pelas pesquisas,
recursos e propostas realizadas pelo Grupo de Pesquisa em Informática,
outras Mídias e Educação Matemática (GPIMEM),4 como também em uma
variedade de recursos gratuitos disponíveis online, produzidos por diversas
instituições de ensino superior, grupos de pesquisa, pesquisadores,
professores e estudantes.
Não discutimos neste livro em profundidade os termos “educação
matemática” ou “tecnologias digitais”. Para uma discussão sobre a natureza
da educação matemática, é possível encontrar nesta coleção o livro de
Bicudo e Garnica (2011), assim como diversos artigos em periódicos
especializados. Da mesma forma, não entraremos na discussão sobre o
contraste entre tecnologia digital e tecnologia analógica ou em questões
rigorosas sobre linguagem, tecnologia e mídia, fundamentais em áreas como
a comunicação. Autores como Lévy (1993, 2000), Borba e Villarreal (2005),
Carr (2011), dentre outros, discutem a natureza plástica da tecnologia digital
e as possibilidades de que textos e vídeos sejam modificados e
complementados, em contraste com a estrutura rígida de um livro do início
do século XX.
Neste livro, vamos discutir a forma como a tecnologia digital vem sendo
utilizada em diversos momentos da educação matemática. Essa tecnologia
assumiu nomes distintos que simbolizaram diferentes épocas: Logo,
informática, educação matemática online, tecnologias da informação,
tecnologias da informação e comunicação, internet, etc. Os diversificados
termos utilizados enfatizaram diferentes aspectos desta tecnologia que, como
o título sugere, está em movimento.
Ao discutir as quatro fases das tecnologias digitais em educação
matemática, estamos enfatizando a forma como a sala de aula tem se
transformado para incorporar ou impedir a entrada dessas tecnologias.
Vídeos, internet, Facebook, GeoGebra, YouTube e GeoGebraTube são
palavras que se incorporam à educação e transformam também a sala de aula
ou até mesmo põem em xeque a sua existência.
2 Salário inicial dos professores que cumprem a carga horária de quarenta horas semanais. Nos últimos
cinco anos o aumento do salário foi de 65,6%.
3 <http://www.mathfest.ca>.
4 Universidade Estadual Paulista (Unesp), IGCE, Campus Rio Claro, SP.
<http://www.rc.unesp.br/gpimem/>.
Capítulo I
Quatro fases das tecnologias digitais em
Educação Matemática
A forma acelerada com que inovações tecnológicas vêm tomando corpo
é, atualmente, uma característica marcante de nossa sociedade. De maneira
cada vez mais rápida, os computadores pessoais têm maior capacidade de
processamento e memória, as interfaces ficam mais amigáveis e interativas e
a conexão da internet mais veloz.
Além disso, surgem novos tipos ou versões mais atualizadas de
linguagens de programação, sistemas operacionais, softwares, aplicativos
para internet, redes sociais e equipamentos eletrônicos multifuncionais
portáteis, como notebooks, tablets, telefones celulares, câmeras digitais,
dentre outros. Mas será que essas inovações se tornam acessíveis e se
distribuem pela sociedadeno mesmo ritmo?
As dimensões da inovação tecnológica permitem a exploração e o
surgimento de cenários alternativos para a educação e, em especial, para o
ensino e aprendizagem de Matemática. Nesse sentido, abordamos neste
capítulo, de forma introdutória, questões como:
• Como as inovações tecnológicas têm permeado a educação matemática?
• Como a investigação matemática baseada no uso de tecnologias foi se
transformando ao longo dos anos?
• Quais tecnologias foram utilizadas? De que forma?
• Que tipos de atividades matemáticas foram exploradas?
Quando olhamos grande parte das pesquisas em educação matemática
desenvolvidas no Brasil nos últimos trinta anos, notamos diversificados
contextos, propostas e perspectivas com relação ao uso didático e
pedagógico de tecnologias para investigação matemática. Em nossas
reflexões, nos pareceu pertinente e interessante argumentar acerca de uma
perspectiva estruturada em quatro fases para discutirmos o uso de
tecnologias na educação matemática no Brasil (BORBA, 2012).
Apresentamos então, neste capítulo, algumas tecnologias, atividades
matemáticas, perspectivas teóricas e outros aspectos que caracterizam cada
uma das quatro fases. Ao final, buscamos discutir relações entre as fases a
fim de estabelecer particularidades e similaridades entre elas, mostrando
que não são conjuntos disjuntos.
 
 
A primeira fase
 
Nos anos 1980 o uso de calculadoras simples e científicas e de
computadores já era discutido em educação matemática. Durante essa fase,
expressões como “tecnologias informáticas” (TI) ou tecnologias
computacionais começaram a ser utilizadas pelas pessoas para se referirem
ao computador ou software, por exemplo.
Contudo, para nós, a primeira fase é caracterizada fundamentalmente
pelo uso do software LOGO, que teve início por volta de 1985. Nesse
cenário, destacamos os trabalhos de pesquisadores como José Armando
Valente, Janete Frant, Lulu Healy e Léa Fagundes. Eles desempenharam
papéis fundamentais com relação à produção de conhecimentos na área de
educação matemática baseados em investigações acerca de possibilidades
do uso de TI na transformação de práticas pedagógicas e didáticas. Uma
breve busca na internet o levará a diversos trabalhos desses autores e
certamente a outros autores não listados aqui.
O construcionismo (PAPERT, 1980) é a principal perspectiva teórica
sobre o uso pedagógico do LOGO, enfatizando relações entre linguagem de
programação e pensamento matemático. O design do LOGO permite, através
da digitação de caracteres, o input de comandos de execução. A linguagem
de programação é utilizada para a compreensão do significado de execução
dos comandos em relação a sua representação com caracteres, bem como
para formar sequências de comandos específicos que permitam uma
execução sequencial do programa.
Cada comando do LOGO determina um procedimento a ser executado
por uma tartaruga (virtual). Os movimentos da tartaruga, como passos e
giros, possibilitam a construção de objetos geométricos como segmentos de
reta e ângulos. A natureza investigativa do LOGO diz respeito à construção
de sequências de comandos (um algoritmo) que determina um conjunto
ordenado, ou sequencial, de ações que constituam uma figura geométrica.
Tomemos como exemplo uma das atividades mais conhecidas para
investigação matemática inicial com o LOGO: a construção de um
quadrado. Para essa construção, os primeiros comandos explorados são pf
(para frente) e gd (gire à direita), com as respectivas unidades de medida
(no exemplo a seguir utilizamos pf 100 e gd 90). Os comandos são, na
realidade, digitados juntamente com valores em unidades de distância e
valores para os ângulos em graus. Utilizando a versão Super Logo,
realizamos a seguinte construção:
 
Figura 1.1: Um quadrado construído com o LOGO
Fonte: Elaboração própria. LOGO (<www.nied.unicamp.br>)
 
A mesma construção pode ser realizada com um número menor de
comandos, no caso, REPITA 4 [PF 100 GD 90]. Uma questão também
interessante com o LOGO é a utilização do comando APRENDA, executado
no editor de procedimentos. Essa ferramenta permite que uma construção
seja armazenada de forma a reproduzirmos a construção na área de trabalho
apenas digitando o nome do comando definido. Por exemplo, se utilizamos o
comando APRENDA, conforme a Fig. 1.2, então teremos o mesmo quadrado
da Fig. 1.1, apenas executando o comando QUADRADO.
 
Figura 1.2: O editor de procedimentos no LOGO
Fonte: Elaboração própria. LOGO (<www.nied.unicamp.br>)
 
De acordo com Fagundes (1986, p. 314), “as trocas entre a organização
cognitiva da criança e os objetos simbólicos [do LOGO] apresentam uma
natureza funcional”. Ou seja, trocas simbólicas na interação entre o usuário e
o LOGO, envolvendo aspectos da programação computacional, permitem “a
observação do funcionamento de mecanismos presentes na construção de
conhecimentos” (p. 315).5 Além disso, a experimentação com o LOGO
oferece meios para que o aluno possa estabelecer relações entre
representações algébricas (os comandos) e representações geométricas
dinâmicas (os movimentos executados pela tartaruga). Os registros das
sequências de comandos no LOGO podem ser considerados representações
do pensamento matemático do aluno, sendo fontes bastante ricas para
professores e pesquisadores identificarem indícios acerca da aprendizagem
dos estudantes (NOSS; HOYLES, 1996).
A primeira fase é também o momento de surgimento da perspectiva de
que as escolas poderiam ou deveriam ter laboratórios de informática.
 
A informática começou a disseminar-se no sistema educacional brasileiro
nos anos 80 e início de 90, do século XX, com uma iniciativa do Ministério
da Educação. Inicialmente o MEC patrocinou um projeto, denominado
EDUCOM, destinado ao desenvolvimento de pesquisas e metodologias
sobre o uso do computador como recurso pedagógico, do qual participavam
cinco universidades públicas,6 nas quais foram implantados centros-piloto
para desenvolver investigações voltadas ao uso do computador na
aprendizagem (ALMEIDA, 2004, p. 711-712).
 
De acordo com Healy, Jahn e Frant (2010), o foco de projetos como o
EDUCOM estava concentrado no uso de tecnologias na formação de
professores. Além disso, o papel atribuído às tecnologias era o de
catalisador para a mudança pedagógica. A ideia era que as possibilidades
oferecidas pelos computadores permitiria abordagens inovadoras para a
educação, ajudando a formar cidadãos reflexivos que poderiam explorar as
tecnologias em outras situações e na construção de conhecimentos pessoais.
As autoras também enfatizam que:
 
Embora pesquisas sobre tecnologia na educação matemática estivessem
sendo realizadas no Brasil durante este tempo [primeira fase], o papel das
tecnologias no processo de inserção não era o foco central. No início da
tentativa de formar os professores para fazer uso de computadores, parece
ter havido menos ênfase sobre o que ensinar [...] e muito mais sobre como se
poderia/deveria ensinar. Neste sentido, a forma como a perspectiva
construcionista foi explorada no contexto brasileiro pode ser contrastada
com a forma como ela foi interpretada em outros cenários, onde a visão de
Papert sobre reconstruir uma matemática mais “aprendível” tinha um papel
central. As preocupações epistemológicas sobre matemática (ou mesmo
qualquer outra área curricular) parecem estar ausentes nos primeiros debates
sobre a integração de computadores no sistema de ensino brasileiro. Assim,
até recentemente, o papel predominante atribuído à tecnologia no contexto
brasileiro foi o de agente potencial para uma mudança pedagógica, que, em
grande parte, ainda não aconteceu (HEALY; JAHN; FRANT, 2010, p. 394,
tradução nossa).
 
Uma investigação histórica que detalhe o trabalho feito nessa fase nos
parece necessária. Tal pesquisa poderia também compreender por que a
ideia de programar e aprender via LOGO não se popularizou no país. Hoje
em dia são raros os relatos, mesmo em congressos, de pesquisas ou práticas
em escolas baseadas no uso do LOGO.
 
 
A segundafase
 
A segunda fase tem início na primeira metade dos anos 1990, a partir da
acessibilidade e popularização do uso de computadores pessoais. Nessa
fase, existe grande variedade de perspectivas sobre como estudantes,
professores e pesquisadores viam o papel dos computadores em suas vidas
pessoais e profissionais. Muitos nunca utilizaram um computador durante
essa fase, por razões como desconhecimento de sua existência, desinteresse,
falta de oportunidade, insegurança ou medo. Outros utilizaram, mas não
vislumbravam os novos rumos que a humanidade seguiria mediante seu uso
ou então foram totalmente contra seu uso educacional. Outros ainda, por
perceberem as transformações cognitivas, sociais e culturais que ocorreriam
com o uso de TI, buscaram explorar possibilidades didáticas e pedagógicas.
Diversos softwares educacionais foram então produzidos por empresas,
governos e pesquisadores.7 Professores passaram a encontrar, em cursos de
formação continuada, suporte e alternativas para que TI fossem utilizadas em
suas aulas. Contudo, foi necessário que os professores se movessem de suas
zonas de conforto em direção a zonas de risco,8 ou que os professores
encontrassem conforto em estar sempre ousando na zona de risco, conforme
proposto por Borba e Zulatto (2010). Assim professores podem vivenciar o
risco de introduzir as tecnologias informáticas, saindo de uma zona de
conforto, ou podem ver o conforto de vivenciar o risco de lidar com as TI
em ambientes educacionais.
Nessa fase destacamos o uso dos softwares voltados às múltiplas
representações de funções (como o Winplot, o Fun e o Graphmathica) e de
geometria dinâmica (como o Cabri Géomètre e o Geometricks). O uso de
sistemas de computação algébrica (como o Maple) também merece destaque,
mas não o exploraremos neste livro. Esses softwares são caracterizados não
apenas por suas interfaces amigáveis, que exigem pouca ou nenhuma
familiaridade com linguagens de programação, mas principalmente pela
natureza dinâmica, visual e experimental.9
 
 
Geometria dinâmica
 
Em geometria dinâmica (GD), o dinamismo pode ser atribuído às
possibilidades em podermos utilizar, manipular, combinar, visualizar e
construir virtualmente objetos geométricos, permitindo traçar novos
caminhos de investigação.
Distinções entre desenho e construção não faziam sentido quando
construíamos objetos geométricos com lápis, papel e outras tecnologias,
como régua e compasso, mas essa distinção começou a ser significativa com
o uso de softwares de GD. Uma forma de verificar a distinção entre desenho
e construção, por exemplo, é por meio da realização da prova do arrastar,
que também é uma noção que emergiu na segunda fase.10
Em uma construção, a figura sempre preserva suas propriedades
fundamentais11 quando um dos elementos “móveis”12 que a compõem é
arrastado. Se arrastarmos uma figura e ela não mantiver suas propriedades
fundamentais, a figura é apenas um desenho. As atividades que propõem a
construção de objetos com uso de softwares de GD buscam construir
cenários que possibilitem a investigação matemática. Em nossa perspectiva,
nós pensamos-com-tecnologias, ou seja, a natureza dos problemas e da
atividade matemática está em simbiose com o design das tecnologias que
utilizamos, com as potencialidades das mídias que usamos para fazer sentido
a conceitos ou produzir conhecimentos matemáticos.
Discutimos em diversos textos a noção de que o conhecimento é
produzido por coletivos de seres-humanos-com-mídias, sendo as mídias
nesse caso o lápis e papel, um software, a internet, etc. (BORBA;
VILLARREAL, 2005). Nessa visão o conhecimento é gerado e moldado por
humanos e por tecnologias que são situados historicamente. São coletivos de
humanos e tecnologias disponíveis que produzem novas tecnologias e novos
conhecimentos e caracterizam o que significa ser humano em um dado
momento histórico (BORBA, 2012). Assim, a demonstração em Matemática se
desenvolveu de forma mais completa com a disponibilidade de papel barato,
da mesma forma como simulações foram incentivadas pelos computadores.
Humanos criam essas tecnologias e são influenciados por elas, gerando um
conhecimento historicamente datado. Entendemos que isso se dá também no
conhecimento construído em sala de aula.
Parte fundamental de nosso trabalho é buscar novos tipos de problemas e
diversificados tipos de soluções com o surgimento de uma nova tecnologia.
Muitas vezes um problema que poderia ser didático com uma tecnologia não
é com outra. Buscamos sempre criar novas possibilidades para os coletivos
formados por tecnologias e tecnologias digitais que não estavam disponíveis
em um momento anterior. Pensamos que dessa forma evitamos a
domesticação dessas novas tecnologias. Entendemos que domesticar uma
tecnologia significa utilizá-la de forma a manter intacta práticas que eram
desenvolvidas com uma mídia que é predominante em um determinado
momento da produção de conhecimento. Manter tais práticas de forma
acrítica, como por exemplo usar ambientes virtuais de aprendizagem apenas
para enviar um PDF é o que chamamos de domesticação. O envio substitui o
correio usual que entregava um texto, mas não incorpora o que pode ser feito
com uma nova mídia.
A atividade que propõe a construção de um quadrado com o software
Cabri Géomètre ou o Geometricks é um problema clássico da segunda fase
para se introduzir a noção de construção em GD. Apresentaremos a seguir
dois exemplos: uma figura que não resiste à prova do arrastar (Fig. 1.3 –
desenho) e outra figura consistente, que resiste à prova do arrastar (Fig. 1.4
[a] e [b] – construção). Optamos por realizar a atividade de modo adaptado
ao uso do software GeoGebra. Mais à frente vamos discutir como classificar
o GeoGebra nas fases que estamos apresentando.
 
Figura 1.3: Desenho de um quadrado
Utilizamos as ferramentas novo ponto e segmento definido por dois pontos
com o GeoGebra. A figura criada é um quadrado, pois os lados têm a mesma
medida e todos os ângulos são retos, mas a figura não resiste à prova do
arrastar, pois manipulamos um dos vértices e as propriedades não se
mantiveram. A figura criada deixou de ser um quadrado ao ter um de seus
vértices arrastado.
Fonte: Elaboração própria. Adaptação do GeoGebra.
 
Figura 1.4 (a): Construção de um quadrado (protocolo)
Criamos um quadrado a partir das ferramentas novo ponto, segmento
definido por dois pontos, reta perpendicular, círculo dados centro e um de
seus pontos, intersecção de dois objetos. Desabilitamos o comando exibir
objeto de alguns elementos da construção para visualizar apenas o quadrado.
Fonte: Elaboração própria. Adaptação do GeoGebra.
 
Figura 1.4 (b): Construção de um quadrado (figura)
A figura resiste à prova do arrastar, pois a dependência entre os objetos faz
com que as propriedades fundamentais de um quadrado sejam mantidas ao
arrastarmos os objetos móveis que compõe a figura.
Fonte: Elaboração própria. Adaptação do GeoGebra.
 
Acabamos de mostrar um exemplo que elucida a prova do arrastar como
uma peculiaridade emergente com o surgimento de uma nova tecnologia no
estudo de geometria. Entendemos que esse problema é gerado explorando a
disponibilidade dessa mídia ao pensarmos em usá-la de forma não
domesticada, no sentido discutido anteriormente. A seguir, debatemos outra
peculiaridade de mesma natureza, mas com relação ao estudo de funções ou
pré-cálculo.
 
 
Softwares gráficos
 
O mesmo tipo de abertura de possibilidades para investigação
matemática – novas formas para pensarmos-com-tecnologias – ocorreu
quando foram criadas tecnologias voltadas à representação gráfica de
funções. A possibilidade de que diversos gráficos fossem gerados com
calculadoras gráficas ou computadores usuais, a partir do uso de softwares
como Derive, Winplot e Graphmatica, fizeram com que novos tipos de
problemas ou atividades matemáticas pudessem ser explorados e elaborados
em diversos níveis de ensino.
Vejamos um exemplo.13 Com base em nossa experiência docente,
achamos interessante o fato de que os estudantes podem compreendera
noção de derivada ao serem engajados em um cenário voltado à
experimentação com tecnologias. Durante a segunda fase, propúnhamos às
turmas de graduação em Biologia uma atividade baseada no uso de
calculadoras gráficas (em sala de aula) ou softwares (em laboratórios de
informática).
Basicamente, a atividade sugeria que a parábola y = x2 fosse traçada a
partir de retas.14 A busca por otimizar uma possível solução a esse problema
está relacionada ao “movimento” de uma reta secante à parábola – em (x0,
y0) e (x1, y1), por exemplo – tender a tornar-se tangente no ponto (x0, y0). Na
Fig. 1.5 o leitor pode ver a reta r: y = x que passa pelos pontos (0, 0) e (1, 1)
e a reta s: y = 3x – 2 pelos pontos (1, 1) e (2, 4), com ∆x = 1. A parábola é
traçada como referência.
 
Figura 1.5: Aproximação de y = x^2 em [0, 2] utilizando retas,
considerando-se ∆x = 1
Fonte: Elaboração própria. Adaptação do GeoGebra.
 
Uma pergunta que fazíamos após soluções como essa terem sido
exploradas e socializadas entre os grupos nas aulas era se seria possível ter
uma solução mais precisa, uma melhor aproximação, que evitasse
“discrepâncias” tão grandes entre as retas e a parábola. Em geral, cinco ou
seis soluções emergiam. Quase sempre havia pelo menos um grupo que
propunha a solução de que se o intervalo fosse menor poderíamos ter
aproximações mais precisas. Em momentos como esse, introduzíamos
notações aos estudantes e enfatizávamos a importância de familiaridade com
elas em suas escritas e falas. Por exemplo, apresentávamos a notação ∆x a
partir do intervalo por eles mencionado. Então, eles compreendiam que se
∆x = 1 na solução anterior, eles poderiam explorar o caso no qual ∆x = 0,5
para ter uma solução mais aprimorada.
Na Fig. 1.6 podemos ver as retas definidas pelos pontos (1; 1) e (1,5;
2,25) e (1,5; 2,25) e (2; 4). Nesse caso, temos as retas t: y = 2,5x - 1,5 e u: y
= 3,5x - 3, que podem ser determinadas a partir da equação y - y0 = m.(x –
x0) com a utilização de lápis e papel ou com a própria tecnologia informática
utilizada. Podemos visualizar que a discrepância entre as retas e a parábola
é menor com relação à solução anterior, quando usamos ∆x = 0,5.
 
Figura 1.6: Aproximação de y = x^2 em [1, 2] utilizando retas,
considerando-se ∆x = 0,5
Fonte: Elaboração própria. Adaptação do GeoGebra.
 
Finalmente, coletivamente, os alunos determinavam diversas retas
passando pelos pontos (1, 1) e (1, (1+∆x)²), em que ∆x variava de 0,5 até
10-5, por exemplo. Estudantes em duplas, com calculadoras gráficas,
geravam soluções que eram escritas na lousa. Assim tínhamos, em uma aula,
a integração de coletivos que reúnem seres humanos, calculadoras, caneta,
lousa, um software de funções, etc. O cenário investigativo engajava os
estudantes em discussões baseadas em ideias como “∆x está se tornando tão
pequeno quanto se queira”, “teríamos que traçar uma reta para cada ponto” e
“a reta secante à parábola tende a tornar-se tangente”. Isso nos oferecia um
caminho para introduzirmos a noção geométrica de derivada, bem como a
taxa de variação instantânea e a taxa de variação média.15
Um vídeo sobre essa atividade vem sendo produzido por integrantes do
GPIMEM e pode ser encontrado no canal do grupo no YouTube.16 Nós
discutiremos o uso de vídeos digitais em sala de aula em diferentes
momentos neste livro. De antemão, já destacamos que um dos principais
aspectos que enfatizamos nesse contexto é a integração que envolve
diversificados atores humanos e tecnológicos na produção de conhecimentos
matemáticos nos ambientes de aprendizagem e disseminação ou
compartilhamento na internet. Os vídeos digitais, que podem ser concebidos
enquanto narrativas ou textos multimodais, compilam diversos modos de
comunicação como oralidade, escrita, imagens dinâmicas, espaços, formas
de gestualidade e movimentos, etc., integrados ao uso de diferentes
tecnologias como giz e lousa, o GeoGebra, câmera digital, notebooks, dentre
outras. Isso implica em aspectos diferenciados no que diz respeito à natureza
do pensamento matemático que envolve a formação de coletivos pensantes
de seres-humanos-com-mídias em salas de aula, as quais temos investigado
enquanto ambientes multimodais de aprendizagem. A Fig. 1.7 apresenta
imagens capturadas desse vídeo.
 
Figura 1.7: Imagens capturadas de vídeo sobre o problema da derivada
Fonte: <http://youtu.be/W0w1MhaAWgA>
http://youtu.be/W0w1MhaAWgA
 
Como mostraremos no capítulo 2, as potencialidades do software
GeoGebra têm nos proporcionado novas alternativas para a elaboração de
atividades que visam explorar a noção de derivada de forma ainda mais
dinâmica, visual e experimental. No enfoque acima, há o caminho para que,
até um determinado nível, o assunto seja tratado no Ensino Médio. No nosso
caso, na universidade, após trilharmos o caminho acima, utilizando mais a
lousa, caminhamos para uma formalização, mostrando como o cálculo de
uma derivada de uma função está associado ao exemplo de cálculo de
derivada em um ponto, mesmo que até então tal terminologia não tenha sido
utilizada.
Exemplos como esses, e uma grande quantidade de outros exemplos
desenvolvidos por membros do GPIMEM, por membros da Sociedade
Brasileira de Educação Matemática (SBEM) e da comunidade internacional
de educadores matemáticos têm sido utilizados em diversos níveis de
escolarização. Por outro lado, pesquisas – como as que estão sendo
desenvolvidas sob a liderança da docente Sueli Javaroni17 – são relevantes
para compreendermos qual a extensão do uso das tecnologias digitais, dessa
fase, nas escolas, e também nas universidades. Dentro do Projeto Obeduc,
docentes e alunos (ANDRADE; ZAMPIERI; JAVARONI, 2014), sendo boa parte
membros do GPIMEM, esboçam um mapa do uso de tecnologias digitais em
aulas de Matemática em escolas públicas do estado de São Paulo.18
 
 
A terceira fase
 
A terceira fase tem início por volta de 1999 com o advento da internet.
Em educação, a internet começa a ser utilizada como fonte de informações e
como meio de comunicação entre professores e estudantes e para a
realização de cursos a distância para a formação continuada de professores
via e-mails, chats e fóruns de discussões, por exemplo. Nessa fase, devido à
natureza informacional e comunicacional da internet, além do termo “TI”,
surgem e se consolidam expressões como “tecnologias da informação” e
“tecnologias da informação e comunicação” (TIC).
Nesse contexto, diversas questões já foram e ainda são investigadas por
autores como Gracias (2003), Borba e Villarreal (2005), Pastre (2007),
Zulatto (2007) e Bairral (2009): Como organizar cursos online? Qual a
natureza do pensamento matemático em cursos online? Como a Matemática é
transformada em ambientes virtuais? Pesquisas sugerem que diferentes
interfaces moldam a natureza da comunicação e da interação entre os
usuários (estudantes e/ou professores e pesquisadores) e, consequentemente,
a natureza das ideias matemáticas é transformada em ambientes online ou
ambientes virtuais de aprendizagem, como o TELEDUC19 (BORBA, 2012;
BORBA; LLINARES, 2012; ROSA, 2008; SANTOS, 2006; SOUTO, 2013; SOUTO;
BORBA, 2013).
Dentro dessa fase, um exemplo interessante de atividade envolvendo a
investigação matemática coletiva realizada por professores em formação
continuada em um curso online a distância é apresentado por Borba (2012).
• Como a equação 2x = 5 pode ser resolvida utilizando-se o software
Winplot?
 
A investigação coletiva com o Winplot, realizada a partir de uma
interação em um ambiente virtual de aprendizagem, ofereceu meios para que
diversas soluções gráficas e algébricas fossem exploradas. O ambiente
virtual permitia a interação síncrona através de videoconferências e os
participantes podiam também manipular o Winplot, um de cada vez, com um
recurso digital no qual os responsáveis (tutores) passavam um “lápis virtual”
aos participantes que o solicitassem.
De posse do lápis virtual, o participante podia manipular o Winplot e
todos os participantes visualizavam as alterações que aconteciam no
software. Narealidade, grande parte das atividades foram resolvidas a
partir de combinações utilizando-se o Winplot e lápis e papel, ou seja, a
partir do uso de diversificadas mídias. Por exemplo, utilizando-
sepropriedades de logaritmos, podemos determinar o seguinte resultado:
. Valendo-se de um “abuso de
notação”, podemos reescrever o resultado encontrado na forma y = log 5 /
log 2 e plotar o gráfico de y = f(x) no Winplot. Utilizando o cursor e/ou a
tabela com os respectivos valores de x (domínio) e y (imagem), podemos
determinar a intersecção entre o gráfico da função e o eixo y, neste caso,
aproximadamente 2,32193.
 
Figura 1.8: Uma solução gráfica/algébrica com o Winplot para 2x = 5,
considerando-se y = log 5 / log 2
Fonte: Elaboração própria. Winplot.
 
Também, pode-se plotar y = 2x e y = 5 e identificar o ponto de
intersecção com uma ferramenta específica do Winplot (Fig. 1.9). Em nossa
perspectiva teórica que enfatiza a constituição de inteligências coletivas,
esse evento ilustra o modo como professores-com-Winplot-lápis-e-papel
produzem conhecimentos matemáticos em um ambiente virtual.
 
Figura 1.9: Uma solução gráfica/algébrica com o Winplot para 2x = 5,
considerando-se a intersecção entre y = 2x e y = 5
Fonte: Elaboração própria. Winplot.
 
Outros pesquisadores como Silva (2000) e Bairral (2009) concordam
que a interação em ambientes virtuais de aprendizagem oferece nuances
cognitivas diversificadas. Silva (2000), por exemplo, enfatiza a
comunicação hipertextual como fundamental para uma educação online de
qualidade:
 
[...] investir em multiplicidade de nós e conexões − no sentido mesmo do
hipertexto, do rizoma, utilizando textos, fragmentos de programação da tv,
filmes inteiros ou em fragmentos, gravuras, jornais, música, falas,
performances, etc. Nesse ambiente o professor disponibiliza roteiros em
rede e oferece ocasião de exploração, de permutas e potenciações (dos
temas e dos suportes). Aí ele estimula a co-autoria e a fala livre e plural. E
se não há multimídia ou internet, bastaria um fragmento em vídeo para
detonar uma intrincada rede de múltiplas conexões com alunos e professor
interagindo e construindo conhecimento (SILVA, 2000, p. 78, grifo do autor).
 
Essas interações virtuais são facilitadas pela tecnologia digital e
proporcionam a seus participantes uma relação de proximidade. Bairral
(2009, p. 32) reforça a ideia de que “ambientes virtuais de aprendizagem
podem ser vistos como amplificadores cognitivos uma vez que,
multifacetados e potencializadores, integram uma variedade de artefatos
midiático-representacionais”. Essa terceira fase da pesquisa tecnológica,
que tem uma forte interface com a formação inicial e continuada de
professores, já é tratada em um livro específico da Coleção Tendências em
Educação Matemática (BORBA; MALHEIROS; ZULATTO, 2007). Essa fase
encontra-se em franco desenvolvimento e vem transformando softwares da
segunda fase, e ao mesmo tempo vem sendo influenciada por novas
possibilidades da quarta fase.
 
 
A quarta fase
 
Atualmente estamos vivenciando a quarta fase com relação ao uso de
tecnologias em educação matemática. Essa fase teve início em meados de
2004, com o advento da internet rápida. Desde então a qualidade de
conexão, a quantidade e o tipo de recursos com acesso à internet têm sido
aprimorados, transformando a comunicação online.
A quarta fase, em relação à qual se tornou comum o uso do termo
“tecnologias digitais” (TD) é caracterizada por diversos aspectos, como:
 
• GeoGebra
• Integração entre GD e múltiplas representações de funções;
• cenários inovadores de investigação matemática.
 
• Multimodalidade
• Diversificados modos de comunicação passaram a estar presentes no
ciberespaço;
• uso de vídeos na internet;
• fácil acesso a vídeos em plataformas ou repositórios (YouTube e
TEDTalks);
• produção de vídeos com câmeras digitais e softwares de edição com
interfaces amigáveis.
 
• Novos designs e interatividade:
• Comunicadores online – telepresença (Skype);
• ambientes virtuais de aprendizagem (Moodle, ICZ e Second life);
• aplicativos online (applets);
• objetos virtuais de aprendizagem (RIVED).
 
• Tecnologias móveis ou portáteis:
• Celulares inteligentes, tablets, laptops, dentre outros:
• Comunicação por sms;
• multifuncionalidade;
• câmeras digitais, jogos e outros aplicativos;
• multiconectáveis (USB);
• interação através do toque em tela;
• acesso à internet.
 
• Performance:
• Estar online em tempo integral;
• internet na sala de aula;
• reorganização de dinâmicas e interações nos ambientes escolares;
• redes sociais (Facebook);
• compartilhamento de vídeos (YouTube);
• a matemática dos estudantes passa a ir além da sala aula:
• torna-se pública no ciberespaço;
• presente em diversos tipos de diálogos e cenários sociais;
 
• Performance matemática digital:
• Uso das artes na comunicação de ideias matemáticas;
• estudantes e professores como artistas;
• produção audiovisual e disseminação de vídeos na internet;
• narrativas multimodais e múltiplas identidades online;
• surpresas, sentidos, emoções e sensações matemáticas;
• ambientes multimodais de aprendizagem.
• novas imagens públicas sobre a matemática e os matemáticos;
 
Esses aspectos nos trazem inquietações, questionamentos e perguntas a
serem ainda formuladas. Isso torna a quarta fase um cenário exploratório,
fértil ao desenvolvimento de investigações e à realização de pesquisas.
Trazemos nos próximos capítulos aspectos mais específicos envolvendo
nossas investigações sobre o uso de TD em educação matemática. Por ora,
deixaremos apenas as expressões acima sobre a quarta fase, como forma de
estimular a imaginação do leitor sobre o que vamos tratar.
 
 
As quatro fases
 
Em nossa perspectiva uma nova fase surge quando inovações
tecnológicas possibilitam a constituição de cenários qualitativamente
diferenciados de investigação matemática; quando o uso pedagógico de um
novo recurso tecnológico traz originalidade ao pensar-com-tecnologias.
Esses desenvolvimentos estão intrinsecamente envolvidos com outros
aspectos, como a elaboração de novos tipos de problemas, o uso de
diferentes terminologias, o surgimento ou aprimoramento de perspectivas
teóricas, novas possibilidades ou reorganização de dinâmicas em sala de
aula, dentre outros.
É importante destacarmos que o surgimento de cada fase não exclui ou
substitui a anterior. Há certa “sobreposição” entre as fases, elas vão se
integrando. Ou seja, muito dos aspectos que surgiram nas três primeiras
fases são ainda fundamentais dentro da quarta fase. Muitas das tecnologias
“antigas” ainda são utilizadas. Embora já tenhamos muitas questões sobre as
TD, diversas perguntas que surgiram nas fases anteriores estão ainda em
aberto. Problemas ou atividades têm sido reestruturados ou apenas
adaptados ao uso de TD.
A seguir, apresentamos um diagrama que nos ajuda a representar a forma
como concebemos as relações entre as quatro fases (Fig. 1.10). Esse
diagrama é apenas uma pequena aproximação da relação entre as fases, não
só pelo que foi dito no parágrafo anterior, mas também porque as fases, em
particular as três últimas, têm se influenciado mutuamente.
 
Figura 1.10: Fases do desenvolvimento tecnológico em educação matemática
Fonte: Elaboração própria.
 
No quadro a seguir apresentamos resumidamente aspectos e elementos
que caracterizam cada uma das fases. O leitor deve notar que toda tabela ao
resumir pode também descaracterizar. Assim, dependendo do autor algum
termo pode estar em diferentes elementos dessa matriz.
 
Fonte: Elaboração própria.
 
 
Da moldagem recíproca ao pensar-com-TD
 
Em sua tese de doutorado, Borba (1993) investigou cenários nos quais
estudantes utilizaram o software Function Probe na exploração de atividades
voltadas às múltiplas representações de funções. Dentre os resultados da
pesquisa, Borba (1993) utilizou a expressão “moldagem recíproca” para
descrever e discutir a relação entre pensamento matemático e uso de
tecnologia,pois se argumentava sobre certa simbiose ou “interdependência”
entre estes dois aspectos.
Com a realização de pesquisas e articulações com outras teorias, essa
perspectiva foi sendo refinada ao longo dos anos. A expressão “seres-
humanos-com-mídias” foi então criada como uma metáfora (BORBA, 1999)
tendo como embasamento teórico fundamental as noções de tecnologias da
inteligência e coletivos pensantes (LÉVY, 1993). O uso de hifens na
expressão, que conecta os atores humanos e não-humanos, busca enfatizar
que tecnologias não são neutras ao pensamento, que a produção de
conhecimento matemático é condicionada pela mídia utilizada.
A publicação de Borba e Villarreal (2005) foi um momento muito
importante para as perspectivas que orbitam em torno do construto seres-
humanos-com-mídias, pois esse livro sistematizou e expandiu essa noção
que vinha sendo desenvolvida desde meados dos anos 1990. Nele fica clara
a influência da teoria da atividade, naquele momento simbolizada pelo
trabalho do psicólogo russo Oleg Tikhomirov (1981), do sociólogo Castells
(2009) e do comunicólogo Kerckhove (1997) e o seu uso em diversas
tendências de pesquisa em educação matemática: experimentação e
visualização com o uso de calculadoras gráficas e softwares; uso da internet
em educação matemática; modelagem matemática; formação de professores;
metodologia de pesquisa qualitativa; dimensões políticas e educação
matemática crítica; dentre outras.
De forma resumida, podemos dizer que as principais ideias relacionadas
à noção de “seres-humanos-com-mídias” envolvem aspectos como:
 
• O surgimento de uma nova tecnologia permite que novos tipos de
problemas matemáticos sejam explorados;
• um problema baseado no uso de lápis e papel, por exemplo, pode vir a
“perder seu sentido”, tornar-se trivial ou obsoleto, ao ser resolvido com um
software;
• devemos evitar a domesticação de uma nova tecnologia. Ou seja, não
devemos deixar que ela seja utilizada da mesma forma e ancorada nas
mesmas práticas que eram condicionadas por outras mídias;
• devemos evitar o uso domesticado de novas tecnologias, buscando criar
novos problemas e atividades investigativas;
• a Matemática baseada no uso de lápis e papel é qualitativamente diferente
da matemática baseada no uso de softwares;
• há uma moldagem recíproca entre pensamento e tecnologia;
• a produção de conhecimento matemático é condicionada pela tecnologia
utilizada;
• as tecnologias não são neutras ao pensamento matemático;
• as tecnologias transformam a Matemática;
• as tecnologias não são figurantes nos cenários cognitivos. Humanos e
tecnologias são protagonistas da ecologia cognitiva;
• os coletivos pensantes são formados por amálgamas do tipo humanos-
tecnologias, humanos-com-mídias, seres-humanos-com-tecnologias ou, como
temos utilizado, seres-humanos-com-mídias;
• ao propor, atuar ou investigar um cenário pedagógico, enfocamos o pensar-
com-tecnologias.
 
A noção de seres-humanos-com-mídias (BORBA, 1999; BORBA;
VILLARREAL, 2005) é um construto fundamental na forma como entendemos o
uso de tecnologias em educação matemática. O modo como atuamos em sala
ou desenvolvemos pesquisas é em grande parte orientado por esta noção,
que é também diretriz na forma como identificamos e sistematizamos as
quatro fases.
O construto tem sido utilizado como referencial teórico e ao mesmo
tempo ele tem se transformado. Recentemente, Souto (2013), Souto e Araújo
(2013) e Souto e Borba (2013) relacionaram de forma mais profunda a
noção de seres-humanos-com-mídias com a Teoria de Atividade ao
interligá-lo com a terceira geração dessa teoria, sugerindo que esse construto
pode ser visto como um sistema em que, por exemplo, a internet pode ser
vista às vezes como um objeto de aprendizagem, e às vezes como parte da
comunidade que circunda aquele que aprende.
Borba e Chiari (2013) mostram que o construto seres-humanos-com-
mídias, e outros correlatos, foram pesquisados e geraram práticas
pedagógicas que podem ser identificadas com as últimas três fases. O livro
mostra como diversas tecnologias digitais se modificaram ao longo de vinte
anos e como elas influenciaram desde os temas pesquisados até o processo
de pesquisar em si.
De acordo com Borba (2009, 2012), as tecnologias estão mudando a
própria noção do que é ser humano. As tecnologias digitais móveis –
internet, celular, tablets − estão modificando as normas que vivemos, os
valores associados a determinadas ações. Mais uma vez isso acontece em
ritmo diferente fora e dentro da escola. Assim o abismo entre práticas que
alunos e professores têm fora da escola e dentro da mesma instituição
aumenta.
O aluno está plugado na internet, mas na escola ela é proibida. Os alunos
só se sentem solidários enviando mensagens, mas elas são proibidas na
escola. Isso não significa que não haja regras para tecnologias digitais na
escola, mas vivemos uma crise, em que o aluno universitário sabe que a
solução da maioria dos problemas dados está no WolframAlpha,20 ao qual a
consulta é “proibida”, porém é pedido que ele saiba essa solução para que
produza conhecimento de ponta.
Nos artigos citados acima, assim como em Borba e Gadanidis (2008),
Gadanidis e Geiger (2010) e Scucuglia e Gadanidis (2013), discutimos o
que seria um problema, caso a internet fosse permitida sem limites em sala
de aula. É claro que a pesquisa empírica é necessária para a discussão dessa
questão, mas acenamos, a partir de nossa reflexão, que trabalhos abertos, os
quais chamamos de modelagem (MEYER; CALDEIRA; MALHEIROS, 2011),
seriam uma alternativa para tal cenário de educação, na medida em que
nessa perspectiva pedagógica gerar o problema é mais importante que
resolvê-lo. Como os problemas são diferenciados para cada grupo
envolvido, a resposta, em geral, não estará armazenada, seja no
WolframAlpha ou em outro ambiente.
Uma segunda possibilidade discutida é a fusão de Matemática e arte, e
de envolver os alunos na criação de performances matemáticas digitais,
fazendo com que a criação de uma performance artístico-matemática seja um
dos caminhos de expressão do que se aprende na escola. Para isso,
expandimos e reformulamos a noção de seres-humanos-com-mídias a partir
do trabalho de autores como Walsh (2011), que trazem teorias de
comunicação e de alfabetização apoiados na ideia de multimodalidade. A
combinação − de texto usual, com a nova oralidade digital e vídeos −
permite formas de expressão características do que aqui chamamos quarta
fase das tecnologias digitais. Buscamos, neste livro, apenas dar mais ênfase
ao uso de variações da expressão “pensar-com-TD” como, por exemplo,
“pensar-com-GeoGebra” ou “pensar-com-textos-multimodais”. São essas
dimensões que exploramos nos próximos capítulos.
 
5 A noção de micromundo é também fundamental nas perspectivas construcionistas. De acordo com
Papert (1980, p. 204) um micromundo é como “um subconjunto da realidade ou uma realidade
construída, cuja estrutura casa com a estrutura de um mecanismo cognitivo de maneira a prover um
ambiente onde esta pode operar efetivamente”. Nesse contexto, “o uso mais poderoso feito para mudar
a estrutura epistemológica da aprendizagem das crianças até o momento foi a construção de
micromundos, nos quais as crianças exercem atividades matemáticas porque o mundo para o qual elas
sentem-se atraídas requer que elas desenvolvam habilidades matemáticas particulares” (PAPERT, 1994,
p. 22).
6 O Projeto EDUCOM foi iniciado em 1985 e encerrado em 1991. As seguintes universidades faziam
parte do Projeto: Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP), Universidade Federal de Minas
Gerais (UFMG), Universidade Federal de Pernambuco (UFPE), Universidade Federal do Rio de
Janeiro (UFRJ) e Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS).
7 É nesse sentido que Borba e Penteado (2001) discutem programas governamentais para
implementação da informática na escola, como o Programa Nacional de Informática na Educação
(PROINFO), lançado pelo MEC em 1997.
8 Borba e Penteado (2001) discutem as noções de zona de conforto ede risco. As atividades
investigativas com o uso de TI geralmente têm um caráter aberto, que visa explorar múltiplas soluções
de um problema. Isso não condiz com a “imagem pública da matemática”, pois ela é vista pela maioria
das pessoas como absoluta, exata: admite uma única resposta a um problema. Além disso, as TI podem
ter mau funcionamento no momento de utilizá-las. Os alunos podem saber utilizar algumas
potencialidades das TI de forma mais aprimorada do que o professor. Aspectos como esses colocam o
professor em uma zona de risco, exigindo uma reorganização sobre as dinâmicas e relações de poder da
sala de aula.
9 É nesse sentido que as noções de experimentação com tecnologias e visualização são fundamentais
nessa fase, trazendo novos aspectos à investigação e demonstração matemática. Abordaremos esses
temas no próximo capítulo.
10 Não nos parece incoerente pensar que a prova do arrastar explora um tipo de “autossemelhança de
uma figura”, pois comparamos uma figura antes e após arrastá-la, de movimentá-la dinamicamente.
11 Propriedades que definem a figura enquanto objeto geométrico.
12 Dependendo do software e da forma de criação da figura, alguns elementos da figura são fixos, não
podem ser arrastados.
13 Alguns exemplos interessantes sobre como estudantes investigaram múltiplas representações de
funções polinomiais do segundo grau e representações gráficas de movimentos corporais realizados com
sensores acoplados a calculadoras gráficas já foram apresentados por Borba e Penteado (2001).
14 O enunciado da atividade foi modificado ao longo dos anos com base nas ideias criativas pensadas
pelos estudantes. Temos incessantemente buscado um caráter “aberto” ao elaborarmos atividades
investigativas, ou seja, possibilidades para múltiplas soluções, aprimoramento de enunciados e novas
ideias. Nós queremos que os estudantes nos surpreendam, ou seja, que eles, ao buscarem resolver o
problema, pensem matematicamente de forma ainda inédita para nós. Então, naquele caso, não
propúnhamos no enunciado a aproximação por retas explicitamente, mas que a parábola fosse traçada
sem que caracteres como x^2, x^x ou x*x fossem utilizados.
15 O GPIMEM e diversos outros grupos de pesquisa têm desenvolvido estudos nessa área e artigos a
esse respeito podem ser encontrados nas seções do Grupo de Trabalho 6 (GT6 – Novas Tecnologias e
Educação a Distância) e nos anais do Simpósio Internacional de Pesquisa em Educação Matemática
(SIPEM) de diversos anos promovido pela Sociedade Brasileira de Educação Matemática (ver
<http://www.sbembrasil.org.br/sbembrasil/index.php/anais/sipem>).
16 <https://youtu.be/W0w1MhaAWgA>.
17 Docente do Departamento de Matemática da Unesp – FC – Bauru e do Programa de Pós-
Graduação em Educação Matemática da Unesp – IGCE – Rio Claro.
18 Maiores detalhes deste projeto podem ser vistos em <http://www.capes.gov.br/educacao-
basica/observatorio-da-educacao>.
19 <http://www.teleduc.org.br/>.
20 <http://www.wolframalpha.com/>.
Capítulo II
GeoGebra: explorando a noção de derivada
No capítulo anterior descrevemos e discutimos aspectos sobre cada uma
das quatro fases das tecnologias digitais em educação matemática. Nessa
perspectiva, sugerimos que a segunda fase é caracterizada pelo surgimento e
utilização dos softwares de geometria dinâmica (GD), de representações
múltiplas (funções) e sistemas de computação algébrica (CA). Além disso, é
importante destacarmos uma peculiaridade: se olharmos analiticamente
nossas experiências vividas durante a segunda fase, notaremos que, de modo
geral, as tecnologias não integravam simultaneamente as plataformas de GD,
CA e funções. Ou seja, por um lado, softwares como Cabri Géomètre ou
Geometricks não ofereciam potencialidades voltadas à múltipla
representação de funções. Por outro lado, construções geométricas
dinâmicas não eram realizadas com o uso de “plotadores gráficos” como o
Winplot, por exemplo.
Diante de tal peculiaridade, podemos começar a justificar o caráter
inovador do software GeoGebra, pois trata-se de uma tecnologia pioneira
em relação à integração GD-CA-funções. Com a possibilidade de uso de um
software multiplataforma, atividades matemáticas diferenciadas começaram
a ser elaboradas com base no uso do GeoGebra, além daquelas que surgiram
na segunda fase. Em especial, notamos grande interesse por parte dos
educadores matemáticos (professores-pesquisadores) com relação ao uso do
GeoGebra na elaboração e exploração de atividades matemáticas voltadas
ao Cálculo Diferencial e Integral (HOHENWARTER; PREINER; YI, 2007).
Podemos dizer, portanto, que o GeoGebra transformou qualitativamente a
segunda fase.
Tendo reconhecido o caráter inovador do GeoGebra, neste segundo
capítulo nós revisitamos perspectivas teóricas emergentes na segunda fase,
mas com reflexões e questionamentos voltados à atual fase, ou seja, à quarta
fase, caracterizada pelo uso das tecnologias digitais. Basicamente,
apresentamos propostas de atividades matemáticas investigativas
(exploratórias) voltadas ao estudo da noção de derivada com base no uso
do GeoGebra, discutindo aspectos sobre a relação entre pensamento
matemático e uso de tecnologia (NOSS; HOYLES, 1996).
Especificamente, temos como pano de fundo teórico uma noção a qual
denominamos moldagem recíproca (BORBA, 1993). Mais recentemente,
temos utilizado o termo “pensar-com-tecnologias” para analisar aspectos do
papel das mídias digitais na produção de significados e conhecimentos
matemáticos. Apoiados em uma categorização simplificada que propomos
sobre a temática atividades matemáticas investigativas, buscamos
explicitar aos leitores um viés no qual é possível perceber o movimento
qualitativo com relação à reciprocidade que amalgama: (a) a natureza do
pensamento diferencial; e (b) potencialidades e formas de uso das
tecnologias atuantes no cenário de investigação matemática proposto.
Portanto, nós apresentamos neste capítulo possibilidades exploratórias para
se investigar a noção de derivada utilizando o GeoGebra e, apoiados em
perspectivas como experimentação com tecnologias, visualização e
investigação matemática, abordamos nuances acerca da “indissociabilidade
pensamento-técnica” ou “coletividade humanos-tecnologias” (LÉVY, 1993),
no âmbito da educação matemática (BORBA; VILLARREAL, 2005).
 
 
O GeoGebra
 
O GeoGebra foi criado por Markus Hohenwarter em 200121 e, ao longo
dos anos, foi consolidando seu status enquanto uma tecnologia inovadora na
educação matemática. Desde seu lançamento, cada vez mais, professores
e/ou pesquisadores têm demonstrado interesses didático-pedagógicos e
acadêmicos diversificados com relação ao uso do GeoGebra no ensino e
aprendizagem de Matemática.
A partir do endereço <http://www.geogebra.org>, temos acesso não
somente a diferentes meios para se utilizar o GeoGebra – seja como
aplicativo online ou software (versão desktop), por exemplo – mas também
acesso a muitos tipos de materiais educacionais. Além disso, temos a
oportunidade de participação em comunidades de interesse e prática acerca
do uso do GeoGebra através de fóruns, eventos científicos, Institutos
GeoGebra, etc.
De acordo com o Instituto São Paulo: GeoGebra:
 
O GeoGebra é um software de matemática dinâmica gratuito
e multiplataforma para todos os níveis de ensino, que combina geometria,
álgebra, tabelas, gráficos, estatística e cálculo numa única aplicação […].
Algumas características importantes [são]:
 
• Gráficos, álgebra e tabelas estão interligados e possuem características
dinâmicas;
• Interface amigável, com vários recursos sofisticados;
• Ferramenta de produção de aplicativos interativos em páginas WEB;
• Disponível em vários idiomas para milhões de usuários em torno do
mundo;
• Software gratuito e de código aberto.
 
Por ser livre, o software GeoGebra vem ao encontro de novas estratégias de
ensino e aprendizagem de conteúdos de geometria, álgebra, cálculo e
estatística, permitindo a professores e alunos a possibilidade de explorar,
http://www.geogebra.org/
conjecturar, investigartais conteúdos na construção do conhecimento
matemático. […] É a apresentação do dinamismo de situações que permitem
ao professor e aluno levantar conjecturas e testar hipóteses (grifos do
original).22
 
Ao argumentarem que o GeoGebra é uma tecnologia poderosa para o
estudo do comportamento variacional de funções reais (múltiplas
representações de funções), autores como Rezende, Pesco e Bortolossi
(2012) mencionam noções “nativas” da segunda fase. Especificamente, os
autores dizem que:
 
No GeoGebra, pontos podem ser criados sobre gráficos de funções de modo
que, ao movê-los, eles continuem sempre sobre o gráfico da função. Os
valores das coordenadas desses pontos podem ser então recuperados e
usados em cálculos ou na criação de outros elementos geométricos (pontos,
segmentos e retas). Esse tipo de recurso permite ao usuário estudar
(graficamente, algebricamente e numericamente) como, por exemplo,
características locais da função (taxas de variação média e instantânea)
mudam de acordo com a posição do ponto sobre o gráfico da função
(REZENDE; PESCO; BORTOLOSSI, 2012, p. 78).
 
Lieban e Müller (2012, p. 49) comentam que “através de atividades com
o GeoGebra, podemos criar um ambiente mais propício para a aprendizagem
de matemática”. No entanto, de acordo com Baldini e Cyrino (2012, p.
CLXII-CLXIII), “o computador ou a utilização do GeoGebra por si só, não
garante o sucesso dos processos de ensino e de aprendizagem”. Além das
potencialidades oferecidas, existem outros aspectos fundamentais a serem
considerados com relação ao uso educacional de uma tecnologia como, por
exemplo, o papel do professor, o design ou natureza da atividade proposta,
dentre outros. A organização do cenário (imaginado) condiciona a natureza
das interações, os diferentes tipos de negociações de significados e os
conhecimentos produzidos no ambiente de aprendizagem construído.
Nesse sentido, vislumbramos a importância em se discutir aspectos
sobre o processo de elaboração de atividades matemáticas baseadas no uso
de tecnologias educacionais.
 
 
Atividades matemáticas com tecnologias
 
Diversos tipos de atividades matemáticas foram e vêm sendo
elaboradas ao longo das quatro fases, ou seja, atividades voltadas à
exploração de ideias ou conceitos matemáticos com base no uso de
tecnologias. Lima e Penteado (2013, p. 108), por exemplo, discutem “como
um grupo de estudos formado por professores e por pesquisadores planeja e
desenvolve atividades matemáticas para um ambiente informatizado”. De
acordo com os autores,
 
[o] trabalho de um grupo de estudos contribui para a discussão e organização
de alternativas pedagógicas para a aula de matemática e para o
desenvolvimento profissional dos participantes. Essa dinâmica de trabalho
favorece a construção de alternativas pedagógicas para a aula de matemática
com a promoção de discussões e com a busca de soluções para os desafios
da educação (LIMA; PENTEADO, 2013, p. 123).
 
Em um contexto voltado à formação continuada de professores de
Cálculo Diferencial e Integral, Richit et al. (2012) investigam a exploração
de atividades matemáticas elaboradas com base no uso do GeoGebra. As
atividades são caracterizadas como exploratório-investigativas, pois seu
objetivo didático central é oferecer meios para o engajamento de
professores na investigação de problemas que permitem a exploração de
diferentes estratégias de resolução, a elaboração de conjecturas a respeito
das diversas partes que compõem o problema, a discussão colaborativa
entre os professores, etc. Nesse estudo, o design da atividade proposta
ofereceu meios para que os professores explorassem os conceitos de limite,
continuidade, derivada e integral de forma experimental, ou seja, realizando
simulações e construções com o GeoGebra, explorando recursos visuais do
software, buscando estabelecer conexões entre representações e objetos
matemáticos. Em suas conclusões, os autores argumentam que “aliar o
trabalho com softwares educacionais e as atividades de natureza
exploratório-investigativa, num curso de Cálculo, pode ser um caminho [...]
para alcançar a compreensão dos conceitos” (RICHIT et al., 2012, p. 98).
Portanto, como vemos na literatura em educação matemática, é
fundamental explorarmos não somente os recursos inovadores de uma
tecnologia educacional, mas a forma de uso de suas potencialidades com
base em uma perspectiva educacional. Em nosso caso, exploramos a noção
de experimentação com tecnologias ao buscarmos atribuir um design
experimental a uma atividade matemática. Dessa forma, buscamos formar
cenários de investigação matemática, ou seja, um ambiente heurístico, de
descobertas, de formulação de conjecturas acerca de um problema e busca
por possíveis e diversificadas soluções.
A seguir nós discutiremos aspectos sobre essas noções, utilizando-as
como fundamentação na elaboração de atividades matemáticas voltadas ao
estudo da noção de derivada com base no uso do software GeoGebra. Além
disso, é importante esclarecermos que optamos em propor neste livro uma
categorização simplificada, indicando uma distinção entre adaptação e
reestruturação de uma atividade, sendo que há duas formas possíveis de
adaptação. Essas noções podem ser descritas da seguinte maneira:
 
• Adaptação da atividade: O objetivo da atividade é preservado. Aspectos
relacionados à construção podem ser modificados, desde que sua natureza
seja mantida. Existem níveis de adaptação. Os polos são:
• Adaptação direta: a construção não sofre alterações significativas.
• Adaptação aprimorada: a construção intensifica seu caráter experimental.
• Reestruturação da atividade: o objetivo da atividade é preservado, mas a
natureza experimental e conceitual da construção é modificada.
 
Lembramos que “atividade” aqui está sendo utilizada no sentido usual,
do dicionário. Um problema, sequência ou atividade proposto ao aluno é um
componente da voz do professor, é a inserção do professor dentro do
coletivo que envolve alunos e professores. Entendemos que o que é um
problema para um coletivo que não envolva mídias digitais deve, muitas
vezes, ser distinto de outro que envolva.
 
 
Experimentação com tecnologias
 
De acordo com Borba e Penteado (2001) e Borba e Villarreal (2005), a
noção de experimentação com tecnologias pode inicialmente ser entendida
como o uso de tecnologias informáticas no estudo de conceitos ou na
exploração de problemas matemáticos. Contudo, existem especificidades
com relação à forma de uso dessas tecnologias nessa perspectiva. Busca-se
explorar as potencialidades diferenciadas oferecidas por uma nova
tecnologia. Como já discutimos no primeiro capítulo, tecnologias como o
LOGO, o Geometricks ou o Winplot ofereceram meios para que tipos
diferenciados de problemas fossem explorados. Autores como Dazzi e
Dullius (2013), Dullius (2012), Pastre e Araújo (2012, 2013) concordam
com essa perspectiva e desenham problemas acoplados à tecnologia digital
que utilizam. Problemas abertos, que podem ser explorados de
diversificadas formas, admitem diferentes soluções e abrem caminhos para o
surgimento de novos problemas.
Para Borba e Villarreal (2005), uma atividade matemática elaborada
com base na noção de experimentação com tecnologias deve buscar oferecer
meios para o(a):
 
• criação e simulação de modelos matemáticos;
• geração de conjecturas matemáticas;
• exploração de diversificadas formas de resoluções;
• manipulação dinâmica de objetos construídos;
• realização de testes de conjecturas usando um grande número de exemplos,
modificando representações de objetos, simulando componentes de
construções, etc.;
• convencimento sobre a veracidade de conjecturas;
• elaboração de novos tipos de problemas e construções matemáticas;
• criação e conexão entre diferentes (e múltiplos) tipos de representações de
objetos matemáticos;
• exploração do caráter visual, dinâmico e manipulativo de objetos
matemáticos;
• incentivo à combinação de raciocínios intuitivo, indutivo ou abdutivo, que
podem contribuir ao desenvolvimento do raciocíniodedutivo;
• criação de atividades matemáticas “abertas controladas”, ou seja, com
direcionalidade ao seu objetivo;
• ensinar e aprender matemática de forma alternativa;
• compreensão de conceitos;
• conhecimento de novas dinâmicas, formas de conectividade e relações de
poder em sala de aula;
• envolvimento com um novo tipo de linguagem (informática) na
comunicação matemática, além da escrita;
• criação de diferentes tipos de símbolos e notações matemáticas;
• aprofundamento em variados níveis de rigor matemático;
• identificação de incoerências conceituais e/ou aprimoramento do
enunciado.
 
Esses aspectos que caracterizam a experimentação com tecnologias têm
como pano de fundo uma perspectiva na qual a produção de conhecimentos
matemáticos assume uma dimensão heurística, de descoberta, sendo esta
apropriada aos cenários de ensino e aprendizagem de Matemática. A
descoberta de padrões ou singularidades entre representações de objetos
matemáticos (ou componentes dessas representações) propulsiona a
produção de sentidos matemáticos. Há, assim, uma dimensão “empírica”
envolvendo pensamento e aprendizagem matemática.
 
 
Visualização
 
A natureza das representações e as possíveis formas de explorar
conexões entre elas dependem da tecnologia utilizada. O protagonismo dos
recursos tecnológicos baseados na linguagem informática foi adquirindo
relevância na aprendizagem matemática por terem um caráter
predominantemente “empírico” (experimental e visual), que intensifica a
dimensão heurística que envolve a produção de sentidos e conhecimentos
matemáticos.
Por exemplo, com o uso de tecnologias digitais:
 
1. Objetos matemáticos começaram a ser representados de maneira inédita
(digital);
2. modelos matemáticos e algoritmos foram aprimorados com novas
variáveis;
3. simulações expandiram seus limites devido à virtualidade, ao caráter
visual, à multiplicidade representativa e aos recursos de experimentação;
4. construções matemáticas ganharam dinamicidade e simultaneidade devido
às formas de dependência entre representações;
5. conjecturas foram exploradas ao seu limite experimental, de modo a
oferecer convencimento sobre sua veracidade e tornarem-se teoremas;
6. novos tipos de problemas e estratégias de resoluções entraram em cena,
etc.
 
A correlação entre um objeto e símbolos que tenham diferentes
significantes, mas significados idênticos, o estabelecimento de relações entre
diferentes símbolos ou a comunicação sobre a natureza dessas relações são
alguns dos aspectos que propulsionam o desenvolvimento da Matemática e
que também explicitam a peculiaridade de seus objetos. A visualização
torna-se assim um processo fundamental ao pensamento matemático
(SCUCUGLIA, 2012).
A visualização envolve um esquema mental que representa a informação
visual ou espacial. É um processo de formação de imagens que torna
possível a entrada em cena das representações dos objetos matemáticos para
que possamos pensar matematicamente. Ela oferece meios para que
conexões entre representações possam acontecer. Assim, a visualização é
protagonista na produção de sentidos e na aprendizagem matemática.
Presmeg (1986) comenta que essa ênfase se deve ao fato da visualização
poder ser considerada um componente de destaque em tipos de raciocínios
que dão direcionalidade à aprendizagem matemática. Além disso, Presmeg
(1986) categoriza cinco tipos de imagens visuais que estudantes podem
realizar ao buscarem compreender um conceito ou ideia matemática. Os
tipos de imagens visuais são:
 
1. de concreto, pictórico (fotos-em-mente);
2. as imagens-padrão (relações puras de um esquema visual-espacial);
3. imagens da memória de fórmulas;
4. imagens cinestésicas (corporeidade, manipulação, uso dos dedos);
5. imagens dinâmicas (em movimento).
 
Portanto, ao elaborarmos uma atividade matemática baseada no uso de
tecnologias, buscamos conceber uma atividade cujo design seja
experimental. Ou seja, uma atividade que ofereça meios para a
experimentação com tecnologias. Além disso, é fundamental que a atividade
assuma um caráter investigativo no sentido discutido por Ponte, Brocardo e
Oliveira (2003). Em particular, com softwares como o GeoGebra ela deve
explorar aspectos visuais. Mídias como estas participam de um coletivo que
produz conhecimento, a partir das possibilidades de que experimentações
sejam feitas com feedback visual quase instantâneo.
 
 
Experimentação e investigação matemática:
pensando-com-tecnologias
 
Nesta seção estabelecemos uma aproximação entre experimentação com
tecnologias e investigação matemática. Para isso, exploramos uma possível
convergência entre dois tipos de design de problemas matemáticos:
experimental e investigativo. Essa exploração nos permite discutir duas das
ideias centrais deste capítulo:
• A utilização do GeoGebra pode se revelar significativa para a
aprendizagem matemática quando o cenário didático-pedagógico formado a
partir da realização de atividades matemáticas23 envolve complexidade com
relação ao pensamento matemático.
• Buscar intensificar esse tipo de complexidade é um aspecto fundamental na
(re)elaboração de uma atividade matemática investigativa.
Conforme já apontado antes, a noção de investigação matemática que
estamos assumindo está fundamentada em outro livro desta mesma Coleção.
De acordo com Ponte, Brocado e Oliveira (2003), um cenário de
investigação matemática envolve:
• Reconhecimento da situação, exploração e inquietações iniciais;
• formulação de conjecturas;
• realização de testes e refinamento de conjecturas;
• demonstração (provas, níveis de rigor) e avaliação do trabalho realizado.
Vamos agora retomar e analisar um problema discutido no primeiro
capítulo. O objetivo era introduzir a noção de derivada oferecendo meios
para que os objetos matemáticos, reta secante e reta tangente a uma parábola,
fossem explorados pelos estudantes. Com base no uso de software gráfico,
propunha-se: trace a parábola y = x2 a partir de retas.
Percebemos que o papel da tecnologia atribuiu um caráter experimental
a essa atividade, pois, com base em seu objetivo, o design da atividade foi
construído a partir dos recursos diferenciados oferecidos por uma nova
tecnologia da segunda fase. As potencialidades do software com relação às
múltiplas representações de funções foram diretrizes no processo de
elaboração da atividade. Assim, potencialmente, a atividade: (a) permite
variados caminhos na busca por soluções; (b) admite diferentes soluções; (c)
permite que, a cada investigação, sejam exploradas novas estratégias de
resolução; (d) é qualitativamente diferente de uma atividade baseada no uso
de lápis e papel; e (e) é exploratória do ponto de vista educacional.
Essas possibilidades emergentes com a realização da atividade oferecem
caminhos propícios para processos como a formulação de conjecturas,
realização de testes, refinamento de conjecturas, familiarização com
notações, dentre outros. Assim, consideramos esse um exemplo no qual a
busca por um design experimental na criação da atividade atribuiu a ela um
caráter investigativo.
Até o momento, discutimos algumas noções que nos oferecem
direcionalidade para que possamos investigar uma atividade com base em
componentes que consideramos fundamentais. Destacamos a seguir
elementos-chave relacionados à aprendizagem matemática, à investigação
matemática e à experimentação com tecnologias. Esses são os principais
elementos do processo que denominamos pensar-com-tecnologias, ou, nesse
caso, pensar-com-GeoGebra.
 
Quadro 2.1: Pensar-com-tecnologias
 
Fonte: Elaboração própria.
 
 
Derivada: adaptação de uma atividade
 
Com base na atividade original sobre derivada e na categorização
anterior, buscamos a seguir um novo design de atividade investigativa. Ou
seja, iremos reapresentar a atividade sobre derivada que elaboramos durante
a segunda fase, mas visando uma adaptação aprimorada com base nos
recursos do GeoGebra, não existentes em tecnologias da segunda fase. Sobre
a atividade destacamos:
• Objetivo: introduzira noção de derivada com o GeoGebra.
• Natureza da construção: meios para que os objetos reta secante e reta
tangente a uma parábola fossem explorados.
Antes, entretanto, rediscutiremos com mais alguns detalhes a atividade
apresentada no capítulo anterior, lembrando que o problema consistia em
aproximar uma parábola por retas. Em nossa experiência, várias soluções
emergem, algumas com tons artísticos e várias utilizando recursos
automáticos do GeoGebra. Há uma solução que emerge com frequência, na
qual, em geral, o professor tem focado a atenção da turma. A solução
consiste em obter diversos pontos da parábola, que satisfazem y = x2, por
exemplo (-1, 1), (0, 0), (1,1), (2,4) e (3, 9), de forma que se obtenha uma
construção parecida como a exibida na Figura 2.1.
 
Figura 2.1: Construção com o GeoGebra (a)
Fonte: Elaboração própria. GeoGebra.
 
É desejável que haja bastante discussão sobre se uma reta pode
aproximar uma curva e sobre o erro que se comete ao aproximar o arco de
parábola AB pelo segmento de reta AB. A partir daí se escolhe um par de
pontos, (1,1) e (2,4), por exemplo (ver Fig. 2.2 a seguir), e a seguinte
pergunta surge dos alunos (ou é posta pelo professor): é possível termos uma
solução mais precisa, para que não fique um “buraco” tão grande entre o
segmento de reta e o arco da parábola?
 
Figura 2.2: Construção com o GeoGebra (b)
Fonte: Elaboração própria. GeoGebra.
 
É comum que surja a ideia de tomarmos dois pontos mais próximos para
que sejam construídas mais retas. Assim o ponto (1,5; 2,25) pode ser
utilizado e calculamos retas para passar por dois pares de pontos como
mostra a Fig. 2.3.
 
Figura 2.3: Construção com o GeoGebra (c)
Fonte: Elaboração própria. GeoGebra.
 
Finalmente, utilizando calculadoras, determinamos retas que passam por
pontos cada vez mais próximos. O registro de alguns desses cálculos feitos
em uma sala de aula é apresentado na Fig. 2.4. De forma intuitiva, visual e
geométrica, introduzimos as noções de limite, derivada e taxa de variação
instantânea associada ao coeficiente angular da reta tangente.24
 
Figura 2.4: Registro do quadro negro
Fonte: Arquivo pessoal.
 
A atividade que ora apresentamos pode ser realizada com diversos
softwares e pode ser adaptada se utilizarmos o GeoGebra de forma a
explorar a dinamicidade que ele possui. Apresentamos detalhes dessa
adaptação a seguir.
 
Quadro 2.2: Atividade A - DERIVADA: reta secante → reta tangente
 
Fonte: Elaboração própria.
 
Figura 2.5: Construção com o GeoGebra (d)
Fonte: Elaboração própria. GeoGebra.
 
Quadro 2.3: Perguntas – Atividade A
Fonte: Elaboração própria.
 
Observe que nas figuras utilizadas para ilustrar esse exemplo, utilizamos
a notação de limite e outras que são introduzidas primeiro na língua materna,
para só em um segundo momento serem formalizadas dentro da terminologia
oficial da Matemática.
 
 
Inquietações sobre a Atividade A
 
Ficam algumas perguntas para o leitor discutir com colegas, embora
indícios de nossas respostas possam ser encontrados neste livro.
 
• O novo design é uma atividade investigativa?
• Que procedimentos e perguntas mais significativos oferecem um caráter
investigativo ao design?
• Quais aspectos no design oferecem meios para pensar-com-GeoGebra
enfatizando:
• Experimentação com tecnologias? Visualização? Conexão entre
representações?
• Quais potencialidades genuínas do GeoGebra merecem destaque?
• Quais não foram, mas deveriam ter sido utilizadas?
• Em uma escala do tipo [0, 10], comparando o antigo e o novo design,
quais seriam:
• Os valores dos níveis de complexidade de pensamento matemático?
• Que procedimentos e perguntas são incoerentes no design?
• Que outros procedimentos e perguntas poderiam ou deveriam compor o
design?
• Em que momento estamos fazendo algum tipo de uso domesticado do
GeoGebra?
• Há incoerências conceituais no design?
• Existe um design disponível na internet com maior intensidade
investigativa e coerência sobre a exploração da noção de derivada com o
uso do GeoGebra?
• O que deve ser explorado a partir da realização dessa atividade?
• Que simbologia ou notações de ferramentas do GeoGebra, presentes no
design da atividade, podem ser relevantes na formalização do conceito de
derivada ou em uma possível enunciação e demonstração de um teorema?
• O que e como avaliar o processo de investigação da atividade?
• Que tipo de registros podem ser produzidos para que o processo de
pensar-com-GeoGebra seja investigado em uma pesquisa?
 
 
Discussão sobre a Atividade A
 
O design da atividade encaminha uma construção matemática dinâmica
envolvendo dependência entre objetos a partir de diferentes tipos de
representações desses objetos. Há uma complexidade construtiva mais
intensa com relação ao design anterior. Além disso, o processo de
experimentação torna possível alterarmos, variarmos, manipularmos ou
movimentarmos representações dos componentes da construção realizada
e/ou dos elementos que compõem as representações.
O uso do controle deslizante traz intensidade dinâmica à construção e ao
design, envolvendo uma visualização mais nítida e pertinente sobre o
movimento em que a reta secante torna-se tangente à parábola na
representação geométrica e as respectivas variações em elementos de
representações algébricas.
Além disso, há vários tipos de representações de objetos que permitem
visualizar o movimento de inclinação da reta e a relação de variação
simultânea entre objetos representados de forma numérica, algébrica e
geométrica. Por exemplo, ao diminuir o valor de a utilizando o controle
deslizante da construção exibida na Fig. 2.5, o valor da medida do cateto
paralelo ao eixo-y também diminui, de modo que o coeficiente angular da
reta secante “tende” ao coeficiente angular da reta tangente.
Consideramos que o design experimental da atividade oferece meios
para que, no pensar-com-GeoGebra, sejam reconhecidas similaridades, ou
padrões, e produzidos sentidos sobre relações envolvendo:
• Elementos de diferentes representações de um mesmo componente;
• Exemplo: relação entre o movimento de inclinação (representação
geométrica) da reta (objeto) e a variação dos coeficientes numéricos de sua
equação (representação algébrico-numérica).
• Elementos em um mesmo tipo de representação de componentes diferentes;
• Exemplo: relação entre o coeficiente angular da reta e o valor de m nas
representações algébricas, quando a ≠ 0.
• Elementos de diferentes tipos de representações de componentes
diferentes;
• Exemplo: relação entre (i) movimento simultâneo da reta, pontos e catetos
do triângulo e (ii) a variação dos elementos e suas respectivas equações,
coordenadas e valores de medidas. O quociente entre o valor da medida do
cateto oposto e do cateto adjacente é sempre igual ao coeficiente da variável
dependente da equação da reta, sendo denominado coeficiente angular da
reta.
Destacamos ainda que os seguintes aspectos atribuem importantes formas
de dependência entre os objetos e visam meios para que o pensar-com-
GeoGebra propulsione os principais aspectos que caracterizam uma
investigação matemática a partir do design experimental da atividade:
• A construção do novo design possibilita visualizar o gráfico de uma
parábola de equação y = x2, uma reta secante à parábola e um triângulo
retângulo ABC. A equação de uma reta pode ser determinada se forem
conhecidas as coordenadas de dois pontos distintos da reta ou então a
coordenada de um de seus pontos e seu coeficiente angular. Realizamos a
construção da reta de modo que o ponto A seja fixo em (1, 1) e B se
movimente sobre a parábola.
• A reta determinada pelos pontos A e B será permanentemente secante à
parábola. Como B tem coordenada (x, x2), é possível determinar a equação
da reta secante. O triângulo foi construído de modo que A e B se sobrepõem
à parábola, determinando um segmento de reta que é a hipotenusa. O ponto C
está entre a parábola e o eixo-x.
• O segmento de reta AC, ou seja, o cateto paralelo ao eixo-x, pode ser
manipulado comoum objeto que determina a variação do comprimento do
segmento. O coeficiente angular da reta é determinado pelo quociente
BC/AC, ou seja, pela razão entre os valores de medida do cateto oposto e do
cateto adjacente ao ângulo A. Ao manipularmos o objeto de modo que o
valor do segmento AC tenda a zero, podemos visualizar um movimento
dinâmico no qual a reta, passando pelos pontos A e B, tende a tornar-se
tangente.
Olhando agora especificamente para as pesquisas produzidas pelo
GPIMEM que envolvem a utilização do GeoGebra, podemos encontrar
alguns dos resultados de pesquisa que propulsionaram a elaboração das duas
atividades que propusemos.
Souto (2013) apresenta uma reflexão sobre o papel do software
GeoGebra na produção de conhecimentos matemáticos, enfatizando a noção
de coletivos pensantes. O cenário de pesquisa de Souto (2013) é um curso
de extensão online intitulado Tendências em Educação Matemática destinado
à formação continuada de professores de Matemática.25 A autora destaca
que, para os encontros síncronos de cunho matemático do curso, os
participantes foram divididos em quatro grupos para reflexão, discussão e
resolução das atividades com o GeoGebra, que ocorriam antes do chat com
todos os grupos.
A pesquisadora buscou organizar os grupos com participantes de
diferentes regiões do Brasil, de modo a privilegiar a diversidade nas
interações online. Souto (2012) apresenta três episódios-chats dos grupos,
os quais ela denomina coletivos de seres-humanos-com-GeoGebra. Um
desses episódios narra uma discussão acerca de uma investigação
envolvendo a construção de uma hipérbole com o GeoGebra.
 
[O] episódio retrata para além das interações, as interatividades
estabelecidas entre os atores humanos e o GeoGebra onde a visualização
aliada ao movimento do arrastar possibilitaram que diferentes conjecturas
fossem testadas. Borba e Villarreal (2005) destacam que a visualização pode
ser considerada uma forma de raciocínio e classificam-no em dois níveis:
um associado ao uso da demonstração formal; e o outro relacionado à
solução de problemas para a elaboração e teste de conjecturas que buscam
explicações a resultados matemáticos, como neste caso. Mas o visual não
pareceu suficiente para Helber que busca uma confirmação utilizando a
janela algébrica. Estes movimentos mostram como os diferentes recursos −
da área de trabalho e da janela algébrica − do GeoGebra foram
determinantes no momento da “validação” das conjecturas, ou seja, as
possibilidades do software condicionaram as ações (SOUTO, 2012, p. 29).
 
Em outro episódio, agora envolvendo a investigação matemática baseada
na construção de uma parábola, Souto (2012) destaca o processo coletivo e
colaborativo que envolve o pensar-com-o-GeoGebra na produção de
conhecimentos matemáticos a partir de interações online realizadas pelos
professores. Souto (2012) argumenta que
 
Cada ação [dos professores] irá gerar uma resposta do GeoGebra que será
visualizada na tela do computador, tais respostas irão exigir movimentos de
busca na memória do grupo e comparações a outras situações já vivenciadas
(estes movimentos ocorrem automaticamente), para que uma nova ação seja
realizada, e então uma nova resposta gerada e assim sucessivamente até que
a solução seja aceita por todos. [...] Considero que o pensamento [desse
professor] sintetiza o que dizem os dados sobre o papel do GeoGebra no
fazer matemática dos professores, ou seja, a intensidade com que as
interatividades/interações − simulações, visualização de animações,
colaboração entre os pares − ocorrem, permitem, em maior ou menor grau,
uma (re)estruturação nas formas de pensar e de agir. Sendo, portanto, o
software, neste contexto, parte constitutiva essencial no processo de
produção de conhecimento. Tal como preceituam as idéias do construto
seres-humanos-com-mídias (SOUTO, 2012, p. 31-32).
 
A autora enfatiza a noção de como as tecnologias digitais podem permitir
tipos diferentes de investigação em questões de Geometria Analítica. Nós,
nos exemplos anteriores, discutimos tal questão em relação ao Cálculo
Diferencial. Hanna (2000) também discute essas questões ao debater o uso
de software de Geometria Dinâmica vinculado à visualização, exploração e
heurística. O “arrastar” na construção de figuras consistentes amalgama o
processo de invenção (gerando conjecturas), de descoberta (teste de
hipóteses) e de convencimento no fazer matemático de estudantes. Como
mencionado no primeiro capítulo, a noção referente à prova do arrastar é
fundamental nas construções dinâmicas em Geometria.
Ainda relacionado à noção de prova e demonstração com tecnologias
digitais, é importante mencionar a noção de heurística. O termo “heurístico”
é de origem grega. As traduções desse termo e de suas derivações trazem
significados como: “encontrar, descobrir, inventar; inventivo, engenhoso”.
Mais especificamente, a partir da concepção de Polya (1957), o termo
refere-se à arte relativa à descoberta e à invenção (BALIEIRO FILHO, 2004).
Nesse sentido as demonstrações podem assumir diferentes papéis. Além do
caráter lógico-dedutivo, emergem instâncias heurísticas, caracterizadas pela
visualização, exploração, investigação, pelo convencimento, etc.26
Segundo Polya,
 
O raciocínio heurístico é um tipo de raciocínio que não é considerado como
final e rigoroso, mas como provisório e plausível apenas, cujo objetivo é
descobrir a solução do problema atual. Nós somos muitas vezes obrigados a
usar o raciocínio heurístico. [Antes de obter uma solução para um problema]
Muitas vezes temos que estar satisfeitos com um palpite mais ou menos
plausível [...]. Precisamos do raciocínio heurístico quando construímos uma
prova rigorosa, assim como precisamos de andaimes quando erguermos um
edifício. Raciocínio heurístico é muitas vezes baseado na indução, ou na
analogia (1957, p. 113, tradução nossa).
 
Zwicky (2000) explora as provas visuais de um ponto de vista estético e
poético, escrevendo poemas formados por demonstrações geométricas de
séries que convergem absolutamente. Hanna (2000, p. 6) diz que “na sala de
aula o papel fundamental da prova é a promoção da compreensão
matemática” e algumas das funções de provas são: explicação de
verificação, descoberta, comunicação, construção e exploração.
A pergunta que está em aberto é: como devemos configurar os ambientes
educacionais – presenciais, online e blended – para que a argumentação, a
visualização e as conjecturas tenham status semelhante ao que a resposta
certa tem hoje em uma educação ancorada em testes, e cada vez mais em
testes estaduais, nacionais e internacionais? Enquanto não temos respostas
para tais perguntas, as mantemos em nosso horizonte de mudança, mas
continuamos a pensar em como modificar as atividades que temos em função
de novas possibilidades de softwares como o GeoGebra. Com eles estamos
ousando fazer modificações em nossos applets que servem para introduzir
um conceito, que não eram possíveis de serem feitas com softwares como
Winplot, Graphmática e Derive utilizados tanto em computadores como em
calculadoras gráficas com as quais o GPIMEM realizou pesquisas por mais
de vinte anos.
 
 
Derivada: reestruturação de uma atividade
 
A Atividade A adaptou de forma aprimorada a atividade sobre derivada.
Nossa exploração acerca das potencialidades do GeoGebra nos levaram a
considerar uma construção diferenciada para explorar a noção de derivada.
Mediante nossa categorização, trata-se de uma reestruturação da atividade
original, pois, embora o objetivo tenha sido mantido, a natureza da
construção foi modificada.
A Atividade B, a qual apresentamos a seguir, permite explorar a variação
angular de uma reta tangente a uma parábola ao movimentarmos o ponto de
tangência. Com o GeoGebra construímos diversificados componentes
relacionados à variação angular e exploramos formas de dependências entre
os componentes a partir de diferentes representações. Propusemos uma
exploração mais visual e dinâmica acerca da noção de derivada, com mais
objetos e possibilidades demanipulá-los.27
 
Quadro 2.4: Atividade B - DERIVADA:
Coeficiente angular da Reta Tangente
Fonte: Elaboração própria.
Realizando esses procedimentos, obtemos a seguinte construção dinâmica:
 
 
Figura 2.6: Construção com o GeoGebra (e)
 
Quadro 2.5: Perguntas – Atividade B
 
Nessa atividade, ao manipularmos o ponto A (x, y), visualizamos o
movimento de uma reta que é permanentemente tangente à parábola, de
equação y = x2, no ponto A, e que o valor do coeficiente numérico da
equação da reta tangente é sempre o dobro do valor de x.
O movimento da reta tangente a cada ponto da parábola está relacionado
com a variação do ângulo entre a reta e o eixo-x, ou seja, o coeficiente
numérico é o coeficiente angular da reta. O ângulo mencionado é congruente
ao ângulo determinado pela construção de um triângulo retângulo de forma
que a hipotenusa esteja sobreposta à reta e os catetos sejam construídos na
região abaixo da parábola, tal que um seja paralelo e outro perpendicular ao
eixo-x. O valor da tangente desse ângulo pode ser encontrado ao calcularmos
BC/AC = e/d (cateto oposto/cateto adjacente), o qual também representamos
por ∆y/∆x.
A construção realizada permite a manipulação de objetos, os quais
podem ser visualizados em movimento. A manipulação e a visualização
oferecem caminhos para que possamos perceber que existem relações de
dependência entre os objetos. Tais relações podem ser identificadas ao
percebemos padrões ou similaridades entre o movimento dos objetos e as
variações dos números que compõem as representações algébricas dos
objetos. Há pelo menos dois níveis de relações: (i) entre o movimento de
cada objeto geométrico e a variação numérica de sua respectiva
representação algébrica e (ii) entre o movimento conjunto dos objetos
geométricos e as variações numéricas.
A noção de derivada pode ser compreendida não somente por buscarmos
identificar o máximo possível de relações entre os objetos, mas por
buscarmos justificativas sobre essas relações, argumentos que nos
convençam sobre a natureza da dependência entre os objetos. Nossas
discussões enfocam tais formas de dependências, pois temos como
fundamentação a noção de seres-humanos-com-mídias.
Villa-Ochoa e Vahos (2010), por exemplo, discutem a natureza do
pensamento variacional de coletivos de seres-humanos-com-GeoGebra. Os
autores analisam dois episódios, nos quais o primeiro explora a
compreensão da taxa de variação como uma aproximação ao conceito de
derivada, e o segundo, a variação do segmento central de uma elipse. Os
autores argumentam que as atividades propostas oferecem meios para que
aqueles que a investiguem sejam engajados em processos envolvendo coleta
e descrição de um relacionamento (pensamento relacional), criação de
estratégias, construção de ferramentas no GeoGebra, elaboração de
conjecturas, construção de gráficos e representações algébricas de tais
relações, refutação ou prova formal da conjectura. Villa-Ochoa e Vahos
enfatizam o aspecto coletivo que envolve humanos e diferentes mídias nas
investigações propostas, o papel da visualização e a combinação de
diferentes representações.
 
[As atividades propostas] foram dinamizadas pela interação de um coletivo-
de-pesquisadores-com-GeoGebra e, embora o uso de lápis e papel fosse
necessário para apoiar a análise e prova formal da conjectura, este uso
estava subordinado às ideias que emergiram a partir da visualização
fornecida pelo software. (VILLA-OCHOA; VAHOS, 2010, p. 526, tradução
nossa)
 
Faria e Maltempi discutem o papel do software GeoGebra no estudo de
padrões fractais, analisando atividades realizadas com alunos do Ensino
Médio. Os autores, além de destacarem a utilização de ferramentas
específicas do GeoGebra para a construção de fractais com enfoque no
conceito de generalização,28 evidenciam que
 
por meio da experimentação, simulações e testes, numa ação sobre os
Padrões Fractais e dos processos de construção dos níveis destes, a
generalização de conteúdos matemáticos como área, perímetro, progressões
geométricas e aritméticas foi explorada pelos alunos, conduzindo-os a
pensar em níveis posteriores. Deste modo, o GeoGebra atuou no processo
iterativo de construção, manipulação e análise de Padrões Fractais para a
compreensão de conteúdos matemáticos numa perspectiva mais geral, que
buscou alcançar o nível n. (FARIA; MALTEMPI, 2012, p. xiv).
 
 
GeoGebra e a reinvenção da segunda fase
 
Alguns membros do GPIMEM já estão explorando uma atividade
diferente sobre derivada com o GeoGebra. Para finalizar este capítulo
apresentamos o protocolo de construção dessa atividade e propomos como
investigação aos leitores discutir as principais diferenças entre as atividades
anteriores e a atividade em questão. Aspectos como natureza do pensamento
matemático e sua relação com os recursos para experimentação e
visualização são os elementos que oferecerem direcionalidade para a
realização da investigação proposta.
 
Tabela 2.1: Protocolo de construção (GeoGebra)
Fonte: Elaboração própria. GeoGebra.
 
Figura 2.7: Construção com o GeoGebra
Fonte: Elaboração própria.
 
Conforme já dissemos, novos tipos de softwares como o GeoGebra
permitem que “novas palavras” sejam ditas pelo professor através de
applets e problemas propostos para coletivos de professores-alunos-com-
GeoGebra. Aqui mostramos como uma atividade que foi feita com softwares
tradicionais da segunda fase pode ser replicada, adaptada ou mesmo
reestruturada. Nessa nova atividade, alunos e professores podem – de forma
experimental e visual – explorar ideias associadas às noções de ponto do
gráfico de uma função, gráfico de uma função, derivada no ponto, derivada
de uma função, gráfico de uma derivada, coeficiente angular da reta tangente,
dentre outros. O GeoGebra permite – com o controle deslizante, o rastro e a
associação entre função derivada e função – que novas correlações visuais e
coordenação entre expressão algébrica e gráfica sejam estabelecidas.
O GeoGebra é atualizado constantemente por um time internacional
interdisciplinar. Acaba de sair a versão 3D e há versões online que podem
ser rodadas sem que seja necessário baixar o software. Isso implica novos
desafios e canais como o GeoGebraTube29 que buscam organizar as diversas
iniciativas que estão sendo desenvolvidas em diversos lugares do mundo.
Como já afirmamos, as fases apresentadas no capítulo 1 não podem ser
vistas de forma estanque. O GeoGebra, que mantém possível o estudo de
conteúdos de forma mais próxima ao que era feito com lápis e papel,
transforma também as possibilidades de experimentação, de visualização e
de heurística dos humanos envolvidos nesse coletivo que aprende. A própria
atualização desse software na forma de rede é também resultado da internet,
símbolo das fases 3 e 4. Mas como a sala de aula e os ambientes
educacionais devem ser modificados para que as ideias deste capítulo
possam se tornar realidade? Será que o local é o laboratório de informática,
ou será que ele não pertence mais ao momento em que vivemos hoje? Será
que teremos o final da sala de aula, e que estudantes estarão em casa, nas
cantinas e em outros cantos trocando mensagem e construindo conhecimento
online? Será que isso já acontece no terceiro momento, a fase dos cursos a
distância online?
 
21 <http://pt.wikipedia.org/wiki/GeoGebra>.
22 Estas são as possibilidades que se apresentam no software GeoGebra. Disponível em:
<http://www.pucsp.br/geogebrasp/geogebra.html>. Acesso em: 28 ago. 2014.
23 No sentido de tarefa pedagógica.
24 Essa imagem pode ser visualizada no vídeo mencionado na Fig. 1.7, no capítulo anterior.
25 Edições anteriores desse curso também foram cenário de pesquisas conduzidas por Gracias (2003),
Santos (2006), Malheiros (2008), entre outras.
26 Scucuglia e Diniz (2013) exploram uma forma sobre como podem ser engendrados os processos de
experimentação com tecnologias digitais e demonstração ou prova matemática na investigação do
algoritmo de Briot-Ruffini, a partir de conjecturas elaboradas com a utilização do softwareWinplot,
considerando um estudo de natureza heurística sobre funções polinomiais do terceiro grau.
27 Com uma busca na internet é possível verificar que há atividades semelhantes a essa.
28 Exemplos dessas ferramentas são: mover e deslocar eixos, apagar objetos, exibir/esconder.
29 <http://www.geogebratube.org/>.
Capítulo III
Uso de recursos disponíveis na internet
para exploração em sala de aula de
Matemática
Maltempi e Malheiros (2010) publicaram uma síntese de pesquisas
realizadas em educação matemática online a distância no Brasil. Nesse
artigo observaram que a pesquisa ainda era feita em pequena escala e de
forma limitada, contrastando com a institucionalização da EAD no Brasil,
que já caminha a passos largos como mostra Schlünzen Junior (2013). Em
2007 foi publicado um livro na Coleção Tendências em Educação
Matemática sobre educação matemática a distância online. Esse livro, que já
se encontra em sua terceira edição (BORBA; MALHEIROS; AMARAL, 2011),
mostra aspectos diferenciados dessa modalidade de educação. O texto
suscita diversas discussões sobre o tema, já tendo sido traduzido para o
inglês e em processo de tradução para o espanhol. Diversas pesquisas foram
analisadas naquele livro, mostrando as peculiaridades da educação online
quando ela é realizada por meio de uma sala de bate-papo (chat) ou de uma
videoconferência. Naquela ocasião, foi desenvolvida a tese de que −
dependendo da interface utilizada − as possibilidades da educação
matemática online seriam diferentes. Enquanto em uma sala de bate-papo
todos podem “falar” ao “mesmo tempo”, a videoconferência se assemelha a
um programa de televisão. A videoconferência, para não se tornar uma
televisão, necessita de um enfoque pedagógico que enfatize a interação com
ferramentas colaborativas como as utilizadas em cursos a distância,
apresentados por Borba, Malheiros e Amaral (2011). Essas ferramentas
possibilitaram que construções geométricas e a resolução de problemas
relacionados ao tema funções fossem realizadas coletivamente e a distância.
Nas salas de bate-papo, vários foram os professores que normalmente se
consideram tímidos presencialmente, mas se mostraram virtualmente como
“desinibidos virtuais”, postando mensagens em grande número e com
conteúdo profundo referente ao tema de uma aula. Foi elaborada − em uma
empreitada ainda incompleta − a discussão de como a Matemática se
modifica ao ser expressa fundamentalmente por meio da língua materna. Foi
observado que a relevância da língua materna dependia também da
qualidade da internet em um dado momento histórico, visto que o aumento de
banda da internet permite que mais ou menos anexos sejam enviados.
Nas videoconferências, o uso de ferramentas como o “passar a caneta”
possibilitou que professores do Amapá participassem de uma construção
feita por um professor do Rio de Janeiro, e que uma professora do Rio
Grande do Sul participasse da resolução de um mesmo problema. É claro
que construções coletivas podem também acontecer em interfaces como a
sala de bate-papo ou um fórum, mas no caso em questão, ainda com uma
internet distinta da que temos hoje, os professores além de comentar
oralmente, tinham o poder de comandar a tela do computador situado na
Unesp e realizar a construção. A voz poderia estar com um participante e a
“caneta”, ou o software, ter seus comandos escolhidos por outro professor
(BORBA; ZULATTO, 2006; 2010).
Em 2014, já existem várias plataformas que fazem isso de maneira
similar, ou melhor. Os trabalhos desenvolvidos por Stahl (2009), Bairral e
Powell (2008) com o Virtual Math Teams (VMT) caminhou nessa direção
em 2013. Hoje os participantes desse ambiente podem fazer uma construção
coletiva utilizando o GeoGebra que foi incorporado à plataforma VMT. No
entanto, conforme já comentamos, não vamos enfatizar nesta obra a
discussão sobre a terceira fase, a da educação matemática online. Não só
porque já existe o livro citado no início deste capítulo especificamente sobre
o tema, mas porque vamos nos dedicar a explorar mais a quarta fase,
caracterizada pela possibilidade de uma colaboração qualitativamente
diferente daquela do chat, descrita acima, ou da videoconferência com
ferramentas como “passar a caneta”.
Não vamos entrar na discussão sobre o que é a web 2.0, ou se já estamos
na web 3.0, mas vamos enfatizar que a possibilidade que se tem de tornar
público um vídeo, de publicar a resolução de um exercício matemático
através de foto, utilizando repositórios como o YouTube, compartilhando
links via Facebook, e utilizando ferramentas como o Blueberry,30 modificou
as possibilidades de interação síncrona e assíncrona. Assim, neste capítulo,
vamos tratar apenas de uma atualização, mostrando alguns dos caminhos que
a educação matemática online tem trilhado. Faremos isso, entretanto,
mostrando também como a quarta fase está trazendo novos ares à terceira
fase e esteja, talvez, apontando uma tendência para o blended-learning, ou
b-learning, que pode ser traduzido como ensino misturado, ensino de
modalidades combinadas, sugerindo uma articulação entre o presencial e o
virtual. Um número cada vez maior de alunos presenciais usam a internet
para se comunicar enquanto estudam e há alunos de cursos a distância (com
uso menor ou maior de interfaces online) que usam mais e mais encontros
presenciais dentro do seu blend particular.
 
 
Tecnologias móveis
 
A utilização de tecnologias móveis como laptops, telefones celulares ou
tablets tem se popularizado consideravelmente nos últimos anos em todos os
setores da sociedade. Muitos de nossos estudantes, por exemplo, utilizam a
internet em sala de aula a partir de seus telefones para acessar plataformas
como o Google. Eles também utilizam as câmeras fotográficas ou de vídeo
para registrar momentos das aulas. Os usos dessas tecnologias já moldam a
sala de aula, criando novas dinâmicas, e transformam a inteligência coletiva,
as relações de poder (de Matemática) e as normas a serem seguidas nessa
mesma sala de aula.
Ainda na segunda fase, com a popularização das calculadoras gráficas,
enfatizava-se a mobilidade dessas tecnologias, uma vez que não era
necessária toda uma infraestrutura para se utilizar computadores em
laboratórios, considerando as potencialidades de algumas calculadoras
(SCUCUGLIA, 2006). Os alunos não se deslocavam até um laboratório, as
calculadoras eram levadas até a sala de aula. Uma sala de aula, feita para
trabalho em grupo, pode ter a lousa e as calculadoras gráficas como atores
que facilitam a comunicação. Scheffer (2004) estendeu mais ainda essa
noção, com os sensores acoplados às calculadoras. Tal perspectiva permitia
que os alunos associassem o movimento corporal às interfaces gráficas das
calculadoras, rompendo com a tradição de imobilidade física na sala de
aula. Dava um passo a mais na possibilidade de termos um “ambiente de
aprendizagem multimodal” com gráficos, lousa, cadernos e movimentos
compondo as possibilidades de expressão multimodal.
A falta de uma política pública que tratasse calculadoras gráficas da
mesma forma que computadores não permitiu que elas competissem com
computadores e laptops extremamente baratos quando comparados a elas. As
calculadoras e sensores nunca se tornaram uma força em sala de aula no
Brasil. Será interessante ver se com a mudança constante dos celulares
teremos um renascimento de sensores associados aos celulares para serem
utilizados de forma semelhante àquela relatada por Borba e Scheffer (2004)
com as calculadoras e sensores.
Nos dias de hoje, a noção de ensino e aprendizagem baseada na
utilização de telefones celulares assume diferentes tendências nas
perspectivas nacionais e internacionais, principalmente com relação à
educação a distância ou semipresencial. Librero et al. (2007) dizem que o
uso de celulares, em particular o uso de SMS, oferece oportunidades para
educação formal e não formal em diversos países da Ásia. Pursell (2009)
argumenta que a utilização de flash cards na investigação com telefones
celulares mostrou-se como um meio importantepara engajar estudantes na
exploração de conceitos de química orgânica. Docksai (2009) diz que há
uma série de argumentos para que estudantes utilizem celulares na escola,
como questões de segurança, questões de emergência de saúde, ou para a
aprendizagem semipresencial, etc.
Há certa controvérsia sobre a utilização de telefones celulares nas
escolas, que envolve inclusive políticas públicas. Algumas dessas
controvérsias perpassam por questões semelhantes à proibição do uso de
calculadoras em aulas ou exames. Outras são mais específicas, visto que os
telefones podem ser utilizados para fins não pedagógicos ou para a
comunicação que vise de forma ilegal burlar exames públicos. Em 2008, o
governo do estado de São Paulo, por exemplo, publicou um decreto no qual
ficava “proibido, durante o horário das aulas, o uso de telefone celular por
alunos das escolas do sistema estadual de ensino”.31 Contudo, no ano
seguinte, a secretaria de educação do estado de São Paulo publicou um
documento sobre normas gerais de conduta escolar no qual apenas o uso
inadequado de telefones celulares e outros equipamentos eletrônicos móveis
como pagers, jogos portáteis e tocadores de música, são passíveis de
medidas disciplinares por parte de professores e administradores no caso
em que suas utilizações perturbem o ambiente escolar ou prejudiquem o
aprendizado (FDE, 2009).32 Acreditamos que um documento normativo do
Estado não iria contra seu próprio decreto legal. Em nossa interpretação,
portanto, o documento normativo da Secretaria de Educação esclarece que o
uso didático-pedagógico de tecnologias móveis é permitido nas escolas do
estado de São Paulo.
Mesmo com as limitações apontadas acima, pesquisas do GPIMEM,
envolvendo George Gadanidis, o terceiro autor deste livro, associaram o uso
de sensores aos telefones celulares para a produção de performances
matemáticas digitais em escolas públicas de ensino fundamental. O estudo de
caso apresentado por Scucuglia, Borba e Gadanidis (2012) é interessante
para ilustrar a forma como estudantes, professores, pesquisadores e artistas
produziram coletivamente uma performance dramática e musical para
explorar ideias como simetria, otimização envolvendo perímetro e área de
quadriláteros, e relações entre distância e velocidade a partir da utilização
do sensor CBR plugado a uma calculadora gráfica. A utilização do celular
emergiu pelo fato de os estudantes possuírem e utilizarem constantemente
esse artefato, e nesse sentido buscamos enfatizar o paralelo entre (a) a
Matemática no dia a dia dos estudantes (uma forma de iniciação à
modelagem matemática) e (b) o celular enquanto uma tecnologia do dia-a-
dia dos estudantes. Após a investigação matemática em um ambiente de
aprendizagem multimodal (WALSH, 2011) com ênfase na experimentação
com tecnologias, os estudantes criaram coletivamente um script, definiram
seus papéis na performance enquanto atores e técnicos e compuseram a letra
de uma música, apresentada como paródia. A Fig. 3.1 apresenta algumas
cenas da performance matemática digital intitulada “Cedo ou tarde,
matemática”.
 
Figura 3.1: A PMD Cedo ou tarde, Matemática
Fonte: Retirado de <http://www.edu.uwo.ca/mpc/mpf2010/mpf2010-
114.html/>
 
É importante que o leitor note que a combinação de celulares, sensores e
calculadoras gráficas foi trazida por nós no exemplo da Fig. 3.1, mas ela não
supera os problemas de custo que permitiriam a presença massiva desses
aparelhos em sala de aula. Partindo do princípio de que os celulares hoje
são um bem de consumo democrático, no sentido de que praticamente todos
os alunos os têm (embora ainda persista a desigualdade entre os celulares
disponíveis), cremos que se os celulares passarem a contar com aplicativos
que emulem uma calculadora gráfica, as escolas poderiam ter sensores e a
ideia de uma sala de aula de Matemática com movimento corporal intenso
poderia voltar a fazer parte do imaginário dos educadores matemáticos. De
todo modo, já usamos essa combinação para produzir uma performance
matemática digital, noção esta que será discutida com detalhes no próximo
capítulo.
Somos a favor do uso de celulares em sala de aula, embora os limites e
forma do seu uso tenham que ser discutidos. Há uma “cultura do celular”
sendo desenvolvida que privilegia interações sociais via essa mídia como
meio de contato social. Já é comum termos alunos em sala de aula presencial
“prestando mais atenção” no bip ou vibração do celular que no professor ou
mesmo nos colegas. A imagem a seguir,33 que tem feito sucesso nas redes
sociais e blogs, parece ser de um café que tem uma placa informando aos
clientes não ter internet e que, portanto, as pessoas deveriam falar entre elas
pessoalmente.
 
Figura 3.2: Não temos Wi-Fi
Fonte: <http://www.mensagens10.com.br/wp-content/uploads/2013/09/nao-
temos-wifi.jpg>.
 
Há também um vídeo que mostra crianças que preferem prestar mais
atenção ao celular a brincar de balanço, e namorados que preferem ver as
notificações do celular, a curtir o momento de namoro com a companheira.34
Esses vídeos ilustram como a “crise de normas” do telefone celular não está
restrita à sala de aula de Matemática, ou ambientes de aprendizagem em
geral. Já há acidentes de carro por causa de celular. Há também cenas
hilariantes de trombadas em postes devido a essa atração. Entendemos que a
discussão sobre o local do celular no nosso cotidiano está em aberto. Neste
livro, apesar de reconhecermos o problema acima exposto, não entendemos
que a proibição do uso dessa tecnologia seja solução. A discussão do seu
uso sim e, principalmente, usos didáticos. Por exemplo, em aulas ministradas
na Unesp, já é possível que uma foto do celular seja tirada de informações
importantes na lousa para compartilhamento com alunos presentes e ausentes
por meio do próprio telefone. Ainda, certamente o leitor na posição de aluno
ou professor já deve ter visto alguém consultando a Wikipédia, mas isso é
feito também com tecnologias digitais não móveis.
 
 
Wikipédia
 
Corroboramos com Head e Eisenberg (2010) quando esses autores
argumentam que estudantes universitários utilizam a Wikipédia reconhecendo
algumas limitações. Isto é, a Wikipédia é um recurso imediato para iniciar
uma pesquisa com certa credibilidade. Ela é utilizada por estudantes e
professores em suas pesquisas e, recentemente, estudantes têm acessado a
Wikipédia em sala de aula a partir do uso de telefones celulares com acesso
à internet. O argumento sobre a falta de credibilidade da Wikipédia é
levantado a partir do fato de que os usuários podem alterar as informações
postadas. Isso realmente é possível, pois a natureza de uma Wiki é
colaborativa. Contudo, há uma equipe na Wikipédia que analisa e controla a
natureza de qualquer alteração realizada. Então, a participação dos usuários
na Wikipédia é geralmente regulada de modo a visar a credibilidade e
veracidade das informações nos artigos.
 
O vandalismo óbvio é fácil de remover nos artigos wiki, já que as versões
anteriores de cada artigo são mantidas. Na prática, o tempo médio para
detectar e corrigir vandalismos é muito baixo, normalmente de alguns
minutos [...] [já que] a Wikipédia é defendida de ataques por vários sistemas
e técnicas [...] A Wikipédia tem sido acusada de expor viés sistêmico e
inconsistência; além disso, os críticos argumentam que a natureza aberta da
Wikipédia e a falta de fontes adequadas para grande parte da informação
torna o conteúdo pouco confiável. Alguns analistas sugerem que a Wikipédia
é geralmente de confiança, mas que a confiabilidade de qualquer artigo nem
sempre é clara [...] Muitos professores universitários desencorajam os
estudantes de citar qualquer enciclopédia em trabalhos acadêmicos,
preferindo fontes primárias; alguns proíbem especificamente citações da
Wikipédia [...] [Mas] enciclopédias de qualquer tipo normalmente não são
apropriadas como fontes primárias e não devem ser invocadas como
autoridades. No entanto, uma investigação relatada na revista Nature, em
2005, sugeriu que os artigos científicosda Wikipédia chegaram perto do
nível de precisão da Encyclopædia Britannica e tinham uma taxa semelhante
de “erros graves”).35
 
Tomemos um exemplo: o teorema das quatro cores. Ao lermos o artigo
da Wikipédia sobre o teorema das quatro cores,36 temos apenas uma
definição simplificada – “dado um mapa plano, dividido em regiões, quatro
cores são suficientes para colori-lo de forma a que regiões vizinhas não
partilhem a mesma cor” (Fig. 3.3) – e uma brevíssima nota histórica sobre
esse teorema que é tão belo quanto controverso em Filosofia da Matemática
por trazer a noção de demonstração computacional ao centro do debate. O
artigo em português da Wikipédia sobre o teorema das quatro cores é
consideravelmente limitado em comparação ao artigo publicado em inglês.37
Na publicação em inglês temos uma formulação precisa sobre o teorema,
uma diversidade de tentativas iniciais de demonstrá-lo, bem como
generalizações. Portanto, por um lado, confiamos na Wikipédia em termos de
veracidade, assim como confiamos em outras enciclopédias. Aliás, damos
destaque à dimensão colaborativa da Wikipédia enquanto um lócus virtual
riquíssimo para a inteligência coletiva (LÉVY, 2000). Por outro lado,
consideramos que, em muitos casos, é necessária a busca por fontes
alternativas e diversificadas, que proporcionem maior profundidade com
relação às informações.
 
Figura 3.3: Teorema das quatro cores
Fonte: <pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Four_Colour_Map_Example.svg>.
<en.wikipedia.org/wiki/File:4CT_Non-Counterexample_2.svg>.
 
A Wikipédia de fato tem se tornado uma importante fonte de consulta,
que embora apresente os problemas apontados, tem também vantagens em
relação à enciclopédia usual, como por exemplo, a famosa Barsa. A
velocidade com que as mudanças vêm acontecendo tornaria necessária a
compra de uma nova enciclopédia a cada dois anos para que novos países,
novas tecnologias e novas questões de educação matemática fossem
incorporados a ela. De todo modo, a Wikipédia é acessada gratuitamente e
tem servido de ponto inicial de levantamento bibliográfico ou de informação
para muitos estudos.
 
 
Facebook
 
O papel do Facebook também tem sido discutido por pesquisadores em
educação (ELLISON; STEINFIELD; LAMPE, 2007; SELWYN, 2007; LAMPE;
ELLISON; STEINFIELD, 2008; IDRIS; WANG, 2009; TAY; TAN; TAN, 2009).
Universidades, grupos de pesquisa e comunidades de interesse vêm
utilizando o Facebook para fins como divulgação de eventos científicos e
publicação de artigos ou como fórum de discussões. Grande parte das
instituições criaram páginas no formato grupo, mas algumas optam pela
criação de um perfil pessoal. A plataforma do Facebook permite que, além
de textos escritos, imagens e vídeos sejam incorporados ao fórum,
oferecendo um caráter multimodal ao cenário de interação. Contudo, o mural
de postagens é apenas uma faceta do processo interativo, pois os membros
ou participantes têm opção de interagir via ferramentas como mensagem e
bate-papo que não são públicas. Como exemplos de grupos de educação
matemática no Facebook, destacamos o ICMI Mathematical Instruction38 o
EDUMAT39 o Professores de Matemática40 e o Grupo de Estudos sobre TIC
e Educação Matemática.41
O Facebook oferece um cenário para a formação de comunidades de
prática e a constituição de inteligências coletivas. Nós apreciamos os
eventos nos quais alguns dos membros destes grupos postam um problema e
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Four_Colour_Map_Example.svg
http://en.wikipedia.org/wiki/File:4CT_Non-Counterexample_2.svg
ele é resolvido colaborativamente. Vejamos uma situação ocorrida no grupo
Professores de Matemática.
 
Figura 3.4: Grupo Professores de Matemática (Facebook)
Fonte: <http://www.facebook.com/groups/profsmat>.
 
Essa lista permite que professores troquem experiências e que outros,
mesmo calados, “participem” ao ler a conversa pública de colegas. Os
registros dessas interações oferecem meios para compartilhar o
conhecimento cuja natureza é explicitamente coletiva.
Em 2013, o curso de Tendências em Educação Matemática, oferecido em
sua décima segunda edição – que tem como objetivos capacitar professores
a discutir criticamente algumas das Tendências em Educação Matemática e
habilitar os professores a entenderem, de forma inicial, o que é pesquisa em
educação matemática – apresentou uma novidade. Foram oferecidas vinte
vagas, como de costume. Mais de 400 pessoas manifestaram interesse em
participar. Por essa razão, foi necessário fazer uma seleção para a parte
fechada do curso e oferecer uma segunda versão aberta, gratuita e mais
flexível, dada a demanda que surgiu diante do anúncio de oferecimento do
curso. Essa experiência mais flexível será comentada mais a frente neste
capítulo.
O curso de “Tendências” quase sempre teve uma boa procura, mas por
que houve uma demanda incomum nesta vez? A única mudança que pudemos
identificar foi que ao contrário de outras versões, o e-mail não foi o
principal meio de anúncio do curso e utilizamos o Facebook não só para
divulgá-lo, mas também para realizá-lo. Entendemos que essa rede social
poderia ser vista como um AVA, ou seja, um Ambiente Virtual de
Aprendizagem. Em Borba, Malheiros e Amaral (2011) os autores relatam um
modelo de curso – pioneiro em educação matemática – apoiado fortemente
em relações síncronas em salas de bate papo e apoiado por relações
assíncronas (e-mails, lista de e-mails ou fóruns). Vimos que o Facebook
poderia suprir uma sala de bate-papo, através de um grupo fechado, e que
poderíamos fazer trabalhos em grupo, por meio de “eventos” do Facebook,
dentro do grupo fechado. No entanto, a grande vantagem é que as pessoas
não precisariam acessar o AVA, seja ele o Teleduc, Tidia-Ae ou o Moodle.
As “pessoas estão no Facebook” parafraseando Castells (2009).
O programa do curso envolveu discussões sobre geometria online e uso
de softwares; relações entre educação matemática e arte; investigações em
sala de aula; conceitos de álgebra linear utilizando software de geometria
dinâmica; a prática docente relacionada ao uso de softwares educativos;
modelagem em educação matemática; e o papel da formação matemática do
professor de matemática.
As atividades aconteceram de 20 de agosto a 14 de outubro de 2013, às
terças feiras, das 19h30 às 21h30. Foram dezesseis horas síncronas e outras
dezesseis assíncronas por meio de participações em fóruns e discussões,
trabalhos e leituras. Como metodologias foram utilizadas leituras prévias e
debates, síncronos ou assíncronos. Em todo encontro também haviam dois
debatedores, com a função de lançar questões para discussão, e um relator,
com a função de fazer um registro dos principais pontos discutidos pelo
grupo ao longo do encontro. O material didático consistiu em textos online,
livros e internet (enquanto Banco de Dados). Os textos discutidos foram
Chiari e Borba (2013), Zaleski Filho (2013), Meyer, Caldeira e Malheiros
(2011), Moreira e David (2005), Ponte, Brocado e Oliveira (2003) e Santos
(2006). Como em outros cursos a distância, houve desistências, algumas bem
justificadas, como por exemplo, o caso de professores que conseguiram
emprego no horário do curso depois de terem aceito participar. Por outro
lado, há relatos de vários professores que disseram que irão usar atividades
discutidas no curso online em sala de aula presencial.42
Em diversas situações os participantes, de forma espontânea,
mencionaram ter sido a primeira oportunidade em utilizar o Facebook com
propósitos de formação continuada. Por vezes, também de maneira
espontânea, os participantes compartilhavam planos de aula ou atividades
que já haviam aplicado com seus alunos para que os demais colegas dessem
opiniões e discutissem à luz das tendências debatidas nos encontros, a partir
da leitura da bibliografia proposta.
Vale destacar com mais detalhes um dos episódios que chamou a atenção
do professor responsável pelo curso por caracterizar um momento em que as
discussões extrapolaram o que havia sido previamente planejado e proposto.
O episódio ocorreu no segundoencontro síncrono, realizado no dia 27 de
agosto de 2013, com a presença de quinze participantes, além do professor e
monitores. Neste dia o texto para discussão era Zaleski Filho (2013), livro
que discute o tema matemática e arte. Durante a discussão, após o professor
perguntar quem tinha aprendido sobre Mondrian lendo o livro, um dos
participantes postou de maneira espontânea um link sobre as obras desse
artista (no livro algumas obras de arte, em particular de Piet Mondrian,
foram discutidas e relacionadas com matemática). Por despertar grande
interesse no professor, foi proposto, embora não planejado previamente, já
que a situação aconteceu de forma espontânea, que todos assistissem ao
vídeo e depois retornassem à discussão no grupo. Seguem algumas das
imagens apresentadas no vídeo (Figura 3.5):
 
Fonte: Retirado de <http://www.youtube.com/watch?v=9fmiKOOvLUo>.
 
A sequência de imagens mostra o desenvolvimento do estilo de Piet
Mondrian. As transições entre uma imagem e outra permitiram que se
observassem como determinadas características do artista iam se perdendo
ao longo de seus trabalhos enquanto outras surgiam. A música de fundo
contribuiu para que mais sensações fossem provocadas.
A partir daí, a discussão envolveu, além do livro, o vídeo. O que pôde
ser notado é que há a possibilidade de termos um vídeo do YouTube sendo
assistido dentro do Facebook, sem haver necessidade de sairmos do
ambiente. Mais ainda, o Facebook não exige que tenhamos de lidar com
questões administrativas computacionais referentes a um servidor, criação
de senha, etc. O Facebook faz uma parte e o próprio participante a outra.
Isso tem levado também que o Facebook seja utilizado na educação
presencial, fazendo uma versão de b-learning que tem sido utilizada em
vários cursos oferecidos por docentes do GPIMEM. Na já bastante
pesquisada disciplina de Matemática Aplicada para alunos de graduação em
Biologia da Unesp, Rio Claro, esse recurso tem sido utilizado há mais de
dois anos. Após notar que os alunos estavam lendo pouco os correios
eletrônicos, ficou clara a necessidade de se criar novos meios de
comunicação com os alunos entre uma aula e outra. O uso de redes sociais
significa uma maior eficiência na comunicação com os alunos, mas indicam
uma reconceitualização da forma como pensamos as tecnologias digitais. A
ideia de desenvolver ambientes, ou softwares totalmente voltados para a
educação parece caminhar em direção oposta ao caminho percorrido pela
relação que os seres humanos têm desenvolvido com essas mídias. As
pessoas têm utilizado os celulares com estudantes, com namorados e com
filhos. Elas utilizam o Facebook em suas relações pessoais e também em
pequenos negócios. De forma contrastante, as instituições educacionais
parecem insistir em criar uma sala de aula cada vez mais desconectada de
outras esferas da vida das pessoas, e carrega para os AVAs essa
característica. Parece quase uma contradição: mas há cursos online que
tentam isolar ao máximo os alunos da internet! Essa talvez seja uma
explicação sobre por que determinadas iniciativas geradas em AVAs perdem
fôlego, conforme discutido em Borba, Malheiros e Amaral (2011).
Buscando uma aproximação da experiência cotidiana dos alunos e a sala
de aula, alunos de graduação em Biologia da disciplina de Matemática
Aplicada, de Cálculo I do curso de Ecologia, ou do curso de Problemas em
Educação Matemática do curso de Matemática da Unesp43 recebem
notificações e avisos da disciplina no mesmo ambiente em que se relacionam
com seus amigos, namorados e família. Neste ambiente, eles levantam
dúvidas sobre um exercício que não sabem responder e conseguem em pouco
tempo uma solução por parte de um colega, de um professor, ou de um pós-
graduando que esteja participando do suporte ao curso. Neste sentido, Cida
Chiari, doutoranda da Unesp, utiliza o Blueberry, o Word, o GeoGebra, o
YouTube e o próprio Facebook para dar uma resposta a uma aluna. Vejamos
como isso aconteceu.
No dia 18 de maio de 2013, sábado, uma aluna afirmou no Facebook que
não estava conseguindo resolver alguns exercícios do livro relacionados ao
conceito de derivada e pediu ajuda. Pelo fato de a mensagem ter sido
postada já no período noturno de um sábado, a resposta acabou vindo no
domingo, dia em que, assim como no sábado, normalmente os alunos não têm
acesso a monitores e professores para sanar suas dúvidas. Cida Chiari,
doutoranda que dava apoio ao curso na época, começou a trocar algumas
mensagens com a aluna visando sanar as dúvidas sobre os exercícios do
livro que ela havia mencionado.
Em determinado ponto da discussão, a aluna perguntou: “Achar a reta
tangente em certo ponto e calcular a derivada é a mesma coisa né? A
diferença é que substituímos um valor em x na reta tangente e ao derivar só
achamos a função, é isso?” (Fala da aluna extraída do Facebook).
Cida Chiari, reconhecendo a imprecisão da aluna em relação a alguns
conceitos envolvidos na pergunta, percebeu que seria um bom momento para
gravar um vídeo44 respondendo a essa nova dúvida. Segundo a aluna de
doutorado, ela optou por gravar o vídeo no lugar de responder no próprio
Facebook com mensagem escrita porque no vídeo ela poderia utilizar os
recursos visuais do GeoGebra, além de dar explicações enquanto resolvia
dois exemplos relacionados à questão enviada pela aluna, se aproximando
do que o professor poderia fazer em sala de aula, mas com a diferença de
não precisar fazer a aluna esperar tanto para resolver o problema, além de
produzir um material que poderia ser revisitado quando ela ou outros alunos
achassem necessário.
No início do vídeo, Cida Chiari explica o motivo que a levou a criá-lo e
até mostra o debate que estava tendo com a aluna no momento em que a
dúvida sobre derivada e reta tangente surge. Em seguida, utiliza o editor de
texto Word e o software GeoGebra para enunciar um problema relacionado à
dúvida da aluna: calcular a reta tangente à curva y=x³ no ponto (1,1). No
Word ela escreveu o enunciado e partes da resolução do problema e
pensando-com-o-GeoGebra gerou o gráfico da curva, o ponto em questão e,
posteriormente, a reta tangente encontrada. À medida que ia resolvendo o
problema, Cida Chiari alternava a tela de seu computador entre Word e
GeoGebra e explicava à aluna a diferença entre reta tangente e derivada,
afirmando não serem a mesma coisa, mas sim conceitos que se relacionam.
As ações e o áudio da explicação foram gravados com o Blueberry e o
vídeo gerado por esse software foi compartilhado no YouTube. Assim que o
vídeo ficou disponível para visualização, Cida Chiari postou seu link no
debate que estava tendo com a aluna, no Facebook. A pergunta da aluna foi
postada no Facebook às 17h25 de 19 de maio de 2013 e às 18h15 do mesmo
dia Cida Chiari havia postado o link do vídeo com a explicação. Isso reforça
o que já foi afirmado: como muitos de nós “estamos” no Facebook quase
sempre que estamos online, isso permite que feedbacks sejam dados de
maneira mais rápida. Os softwares gratuitos disponíveis e os sites de
armazenamento de vídeos, entre outros recursos, facilitam o processo, pois
permitem que qualquer pessoa compartilhe material, nesse caso o vídeo, de
maneira consideravelmente mais rápida do que há alguns anos. Visualizando
as Fig. 3.6, 3.7 e 3.8, o leitor pode ter noção do tipo de imagens que a aluna
via.
 
Figura 3.6: GeoGebra sendo utilizando enquanto o problema é proposto
Fonte: Arquivo cedido pela autora do vídeo.
 
Figura 3.7: Word sendo utilizado para registrar partes da resolução do
problema
Fonte: Arquivo cedido pela autora do vídeo.
 
Figura 3.8: GeoGebra sendo utilizado para plotar a reta tangente encontrada
Fonte: Arquivo cedido pela autora do vídeo.
 
Segue depoimento da aluna após assistir ao vídeo (Figura abaixo):
 
Figura 3.9: Depoimento (Facebook)
Fonte: Arquivo pessoal.
 
A própria aluna notou, como pode ser observado no diálogo da Fig. 3.9,
uma das vantagens de ter uma dúvida sanada pelo vídeo: a possibilidade de
revisitar a explicação sempre e quantasvezes achar necessário. Domingues
(2014), em seu trabalho sobre uso de vídeos em salas de aula de
Matemática, faz diversas considerações sobre as potencialidades desse
recurso.
No exemplo anterior, vimos como as fronteiras entre as fases não estão
bem definidas ou determinadas. As fases se sobrepõem, estão em
movimento: por um lado, há certa homogeneidade entre elas, por outro,
existem peculiaridades. O Facebook, tecnologia digital marcante da quarta
fase, é utilizado por nós em cursos online que começaram a ser realizados na
terceira fase. O Facebook pode também ser utilizado na educação
presencial, que é uma modalidade que precede as quatro fases. As redes
sociais podem ainda ser usadas por professores e estudantes em combinação
com softwares como o GeoGebra e outras mídias. Pesquisadores como Cida
Chiari, por exemplo, utilizam tecnologias digitais que possibilitam captar as
imagens exibidas na tela do computador, permitindo a produção de registros
do processo de elaboração de conjecturas e resolução de um problema.45
Ousamos e tentamos utilizar o Facebook em uma versão do MOOC que não
imitasse modelos já desenvolvidos. É sobre isso que discutiremos em
seguida.
 
 
MOOC
 
“Massive Open Online Course!” Essa expressão em inglês gerou o
acrônimo MOOC e pode ser traduzida como Curso Online Aberto de
Massas. Vejamos o que diz a Wikipédia sobre esse tipo de curso: “em muque
ou moque português, é um tipo de Curso Aberto através da web (por meio de
AVA e/ou ferramentas das Web 2.0 e/ou Redes Sociais) que visam oferecer
para um grande número de alunos a oportunidade de ampliar seus
conhecimentos num processo de co-produção”.
MOOC é um desenvolvimento recente na área de educação a distância, e
uma progressão dos ideais de educação aberta sugerido pelos Recursos
Educacionais Abertos (REA). Embora o projeto e participação em um
MOOC possam se assemelhar ao de um curso em uma faculdade ou
universidade, o MOOC normalmente não exige pré-requisitos, mas também
não oferece certificados de participação. Talvez no futuro possa haver
validação por uma universidade através de uma avaliação presencial.46
Essa definição de MOOC destaca o próprio papel da Wikipédia, uma
ferramenta que é filha da internet rápida e que também ajuda a definir e
moldar as novas formas educacionais que se apresentam. O MOOC, em certo
sentido, é uma chance de estudar, sem a preocupação central de certificado.
É como ler um livro! Ajuda na educação, em geral, mas não faz parte das
atividades que se inserem em curriculum vitae eletrônicos, como o Lattes.47
O MOOC oferece o curso, no início uma reprodução de cursos presenciais, e
já agora busca identidade própria.
Em Borba, Malheiros e Amaral (2011) e em Gracias (2003)
apresentamos a síntese de como experimentamos e testamos a ideia de um
curso online. No entanto, esse teste não nasceu sem princípios, mesmo que
em um primeiro momento eles não estivessem explicitados claramente. É
possível dizer, olhando retrospectivamente, que alguns dos princípios eram e
são:
a) Buscar os potenciais novos de uma interface, buscando evitar a
domesticação de uma nova mídia, ou seja, fazer com a nova mídia
exatamente o que se fazia com a mídia já conhecida.
b) Interação passa a ser a palavra-chave. Como lidar com as novas
formas de interação matemática em interfaces como a sala de bate-papo, ou
uma videoconferência, passam a ser questões centrais de nossa pesquisa,
apoiados no princípio de que a interação deve ser intensificada.
c) Junto com a noção de seres-humanos-com-mídias criamos noção de
que a matemática se transforma na medida em que diferentes atores humanos
e não humanos compõem o coletivo que a elaboram. Não necessariamente os
resultados serão distintos, mas os entornos, as justificativas válidas, serão
diferentes. Em cursos online temos buscado compreender essas novas
formas, pautados no princípio de que elas serão distintas de um mundo
baseado na oralidade e na comunicação unidirecional da TV e outras
tecnologias desenvolvidas no século XX, ou antes.
Apoiados nesses princípios, desenvolvemos mais de dez versões do
curso totalmente online Tendências em Educação Matemática, desde o ano
2000. Diversos outros cursos, dentro e fora do nosso grupo de pesquisa,
foram desenvolvidos baseados nesse modelo. Baseados nessas ideias,
resolvemos, em 2013, adiar a escrita deste livro, dentre outras empreitadas,
para levarmos esses princípios adiante em um teste realizado com o
primeiro MOOC em educação matemática no Brasil. No entanto, antes de
tudo, tínhamos que pensar, de forma coerente, se haveria algum princípio
novo para esta nova forma de curso, mesmo que as mídias continuassem as
mesmas. Do que lemos, encontrávamos MOOCs que basicamente copiavam
o modelo de uma aula expositiva. Mas já repudiamos essa ideia desde o
início de nossas pesquisas na área! Então como interagir com um número
grande de pessoas? Como ter interação com duzentas ou trezentas pessoas?
Isso sugere um problema de design instrucional com o qual não havíamos
lidado ainda!
O quarto princípio foi pensado e teve como solução uma mídia-interface
que se adequou ao ambiente do Facebook, com o qual temos trabalhado nos
últimos anos. Assim nasce um princípio adicional:
d) Utilizar o vídeo digital como forma de estreitar a relação do professor
líder do curso com todos os participantes do curso, independentemente de
estarem ou não presentes nos encontros síncronos.
No dia 9 de setembro de 2013, o curso MOOC: Tendências em Educação
Matemática foi lançado pelo GPIMEM no Facebook, com início em 15 de
outubro e término em 12 de novembro daquele ano. O lançamento ocorreu
com anúncios prévios na página do GPIMEM e com a criação de um Grupo,
no Facebook. Segundo o próprio Facebook, o Grupo48 é “um espaço fechado
para pequenos grupos de pessoas se comunicarem sobre interesses em
comum. Os Grupos podem ser criados por qualquer pessoa”.49 No caso do
Grupo MOOC, foram 267 pessoas, com suposto interesse em educação
matemática, que solicitaram participar desse curso. O processo para
ingressar no curso era apenas solicitar a participação no Grupo, ou seja, ao
entrar no Grupo estava automaticamente no curso. A ideia do MOOC:
Tendências em Educação Matemática surgiu devido à grande procura por
uma vaga, dentre as vinte, na 12ª edição do curso Tendências em Educação
Matemática.
Dentro desse contexto, o MOOC foi idealizado e, para que efetivamente
acontecesse, contamos com uma equipe estruturada da seguinte maneira: 1
coordenador geral, 2 coordenadores organizacionais, 14 professores líderes
e 3 colaboradores.50 O curso teve cinco encontros síncronos, que
aconteceram às terças-feiras, das 19h30min às 21h30min, e discussões
assíncronas durante a semana corrente.
Com as 267 pessoas que solicitaram participar do Grupo, observamos
que seria inviável todos exporem suas ideias e colocações simultaneamente,
então, no início, dividimos as pessoas em onze grupos menores, de até 25
pessoas cada, para que todas as pessoas tivessem tempo de expor suas
próprias colocações com os professores líderes de seus grupos, que estavam
coordenando as discussões. Porém, percebemos que nem todos que
solicitaram participar do MOOC estavam presentes virtualmente nos
encontros, por isso, para o segundo encontro, foram criados cinco Eventos
com até sessenta pessoas em cada. Com o tempo, a tendência foi juntar ainda
mais os grupos, sendo que no quinto e último encontro, houve apenas dois
Eventos, porque percebemos que muitos, por algum motivo, desistiram do
curso. Não conseguimos ainda entender a dimensão das razões das
desistências, mas ainda teremos que nos organizar para realizar uma
pesquisa em oferta de MOOC e, ao mesmo tempo, repensarmos o modelo.
Talvez tenhamos transposto para o MOOC, de forma muito mecânica, o
modelo de curso online para pequenas turmas que tem sido tão frutífero.
No entanto, cabe ressaltar um aspecto técnico de que as ferramentas do
Facebook foram essenciais e suficientes para organizar o curso. Por
exemplo, a ferramenta Eventos foi muito útil paradividirmos as pessoas em
grupos menores. Assim, toda semana nós convidávamos as pessoas para
participar das aulas por essa ferramenta. A página principal do Grupo
também exerceu um papel de encontro de todos os grupos menores. Durante
a discussão assíncrona, era nessa página que as discussões e grupos se
juntavam.
No final do curso pedimos para que os participantes respondessem a um
questionário de avaliação do MOOC. O questionário foi respondido por
apenas 23 pessoas e, dentre as sugestões apresentadas para melhorar o
curso, foram apontadas as seguintes ideias: usar somente artigos e livros que
estejam disponíveis online; diminuir a quantidade de leituras e usar uma
plataforma como o Moodle em vez do Facebook. Os participantes também
fizeram reflexões que não se traduziram em sugestões, como por exemplo:
Como saber se o participante chegou a entender a essência da leitura? Já
outro afirmava ter a impressão de que alguns participantes não se
prepararam para o encontro, porque discutiram o assunto com base em
“achismos”.
Conforme já afirmamos, desenvolvemos esse MOOC porque entendemos
que é importante, sempre que possível, vivenciar o que se quer compreender,
pesquisar. Estamos analisando nossa experiência, assim como as críticas e
sugestões dos colegas professores que participaram de tal experiência.
Entendemos que o MOOC é um caminho intermediário, entre um curso, seja
online ou presencial, e um estudo isolado, “autodidata”. Seria uma
alternativa online, na qual o que importa é a autoavaliação e a possibilidade
de ter companhia para discutir determinado tema, ao menos no modelo que
pensamos em desenvolver. O MOOC pode também ser pensado como um
café virtual, no qual teríamos conteúdo em diversas mídias sendo objeto de
discussão. No caso do nosso curso, como já dito, utilizamos o vídeo como
forma de interação assíncrona entre o professor líder do curso e os
participantes. Assim, em uma sessão normal, os colegas professores
participavam de discussões a partir de leituras prévias, geravam questões e
dúvidas, e acrescentavam fontes de discussão. O professor líder, na
impossibilidade de estar em vários subgrupos ao mesmo tempo, interagia
com os participantes não só por meio dos vídeos, mas também pelos
professores que estavam em cada subgrupo. Esses professores tinham um
espaço de interação com o professor líder e já tinham participado de cursos
online, presenciais, ou de grupos de estudo.
Enfim, o vídeo parece ter se tornado uma forma de interação assíncrona
para cursos/ambientes/espaços como o MOOC, mas não só para ele.
 
 
YouTube e Vídeo Digital
 
Mais uma ferramenta que não foi feita para fins educacionais acaba se
tornando aliada de projetos que não demonizam novas formas de
comunicação. O YouTube, que pode ser traduzido livremente como “Você faz
o filme” é, ao lado do Facebook, uma das interfaces demonizadas e
proibidas de serem utilizadas em escolas, universidades e em diversos
órgãos governamentais, em diversos níveis. A justificativa é simples:
repositórios de vídeos como o YouTube e redes sociais como o Facebook
distraem as pessoas do trabalho e do estudo e, portanto, proibindo o acesso
o problema está resolvido.
Embora o raciocínio tenha um fundo de coerência, ele não considera que
as pessoas já “estão no Face/YouTube” seja via celular, seja em suas casas.
Além disso, discutir como utilizá-los, ou como incorporá-los, nos parece ser
um caminho muito mais promissor do que evitá-lo. É nesse sentido que em
cursos presenciais temos utilizado não só o Facebook, como já discutimos,
mas também o YouTube. Na disciplina de Matemática Aplicada para o curso
de Ciências Biológicas, utilizamos, nos últimos anos, o YouTube não só
como repositório, mas como um lócus para cursos de edição de vídeo. A
pesquisa de Domingues (2014) é um marco para o GPIMEM na utilização de
vídeos e do YouTube em sala de aula. Poucas pesquisas tinham sido feitas
nessa área e após um longo período de pesquisa exploratória, que envolveu
estudos também em nível de iniciação científica, passamos a um estudo mais
formal do tema. Domingues (2014) analisou a forma como professores e
alunos utilizaram vídeos em sala de aula de Cálculo, em uma disciplina na
qual o professor utilizava vídeos como uma das formas de ensinar e os
alunos tinham que apresentar trabalhos de modelagem sobre temas
escolhidos por eles51 de forma oral, escrita e visual. Os alunos, em sua
apresentação oral sobre o tema escolhido, tinham que utilizar também um
vídeo filmado ou editado por eles a partir de vídeos na internet, ou outros
formatos de geração de vídeo. Foi oferecido um curso de curta duração, de
extensão para os alunos que quisessem se familiarizar com as formas como o
editor do YouTube faz cortes em vídeos, adiciona legenda, mescla música,
etc.
Entendemos que trazer o vídeo digital – forma com o qual a nova
geração faz piada, se comunica, se diverte – para a sala de aula é importante.
Ideias matemáticas ou outras de seu interesse podem ser trazidas para a sala
de Cálculo. No trabalho de Domingues (2014) é mostrado como alunos de
Biologia utilizam Matemática e softwares como o Excel para apresentar ao
público ideias da Fitossociologia.52 Trabalhos como a matematização da
área da teia da aranha53 também são apresentados na forma de vídeo, com
uma estética que seria impossível utilizando apenas a oralidade e a forma
escrita. A seguir, exibimos imagens desses dois vídeos (Fig. 3.10)
 
Figura 3.10: Vídeos produzidos por alunos do curso de graduação em
Biologia
Fonte: <https://www.youtube.com/user/gpimem>.
 
Na pesquisa em questão, são feitas críticas a determinadas formas com
que o professor utiliza vídeo em sala de aula e nosso grupo de pesquisa já
discute também novas formas de incorporar o vídeo em propostas
pedagógicas. Entretanto, parece certo que esse caminho de investigação
tenha que ser trilhado, mesmo que questões como a avaliação de vídeo
estejam totalmente em aberto, como mostra Domingues (2014). No canal do
GPIMEM no YouTube,54 vários vídeos, com diversos fins, podem ser
encontrados.
 
 
Terceira ou quarta fase
 
Começamos o capítulo debatendo como a terceira fase do uso de
informática ganha novas formas e na verdade já quase caminha para a quarta
fase, com a forte característica de que esta fase se distingue pela
possibilidade qualitativamente distinta que os atores educacionais têm de
publicar na internet. Sendo assim, parte do que expusemos neste capítulo já é
parte da quarta fase. Se as distinções em fases são importantes para
notarmos as mudanças, elas podem ofuscar ou perturbar se as pensarmos de
forma rígida. Ainda mais que parece emergir uma tendência para um b-
learning, uma aprendizagem que combina ambientes presenciais e virtuais.
Se essa conjetura estiver correta, além da combinação de segunda, terceira e
quarta fase, teremos também sua combinação com fases anteriores,
associadas à sala presencial. Assim, as novas formas de tecnologias digitais
se combinarão com artefatos característicos da educação presencial, como a
carteira e a lousa, mas também com artefatos que não eram pensados como
participantes da educação: a geladeira de casa, o sofá da residência de cada
um. Esses artefatos fazem parte da interação virtual e se combinam com os
encontros mais formais realizados em universidades e escolas. Ao final
deste livro, voltaremos a discutir as novas possibilidades da sala de aula.
 
30 Software que captura a imagem da tela do computador e gera um vídeo das ações que ali são
realizadas. Mais informações em <http://www.bbsoftware.co.uk/>.
31
<http://www.al.sp.gov.br/repositorio/legislacao/decreto/2008/decreto%20n.52.625,%20de%2015.01.2008
.htm)>.
32 <http://www.educacao.sp.gov.br/spec/wp-
content/uploads/2013/09/normas_gerais_conduta_web1.pdf >.
33 Devido a essa imagem aparecer em muitos sites da internet, não foi possível dar créditos ao autor ou
a quem a publicou primeiro.
34 <http://www.youtube.com/watch?v=p6d2jY9FYuQ)>.
35 <http://www.pt.wikipedia.org/wiki/Wikipédia>.
36 <http://www.pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_das_quatro_cores>.37 <https://en.wikipedia.org/wiki/Four_color_theorem>.
38 <http://www.facebook.com/icmi.math.edu>.
39 <http://www.facebook.com/groups/edumatface/>.
40 <http://www.facebook.com/home.php?ref=logo#!/groups/profsmat/>.
41 <http://www.facebook.com/groups/389250854449421/>.
42 O curso foi pensado para graduados. Todos eram professores de Matemática em atuação no ensino
básico ou superior. Além do professor responsável, Marcelo de Carvalho Borba, a professora Drª Rúbia
Barcelos Amaral participou de algumas atividades. Os monitores do curso foram Aparecida Santana de
Souza Chiari, Helber Rangel Formiga Leite de Almeida e Jeannette Galleguillos.
43 Essas disciplinas têm sido regularmente ministradas pelo professor Marcelo C. Borba, primeiro autor
deste livro.
44 O vídeo está disponível em <http://www.youtube.com/watch?v=s0BVrgsiL0k&feature=youtu.be>.
45 Essa discussão envolve questões sobre metodologia de pesquisa qualitativa. Optamos por não
explorá-la neste livro. Contudo, destacamos que autores como Borba, Malheiros e Scucuglia (2012) e
Javaroni, Santos e Borba (2011) apresentam discussões interessantes sobre metodologia de pesquisa
qualitativa e o uso de tecnologias digitais em educação matemática.
46 <http://www.pt.wikipedia.org/wiki/MOOC>.
47 <http://www.lattes.cnpq.br/>.
48 Neste texto, as palavras “grupo” e “evento” em inicial maiúscula se referem às ferramentas
respectivas do Facebook.
49 <http://www.facebook.com/help/162866443847527>.
50 Autores dos livros adotados que participaram apresentando o livro ou respondendo dúvidas, por meio
de vídeos, durante o curso.
51 Ver Meyer, Caldeira e Malheiros (2011) para compreender a perspectiva pedagógica vinculada à
tendência modelagem.
52 <http://www.youtube.com/watch?v=RA5A5sILr0s>.
53 <http://www.youtube.com/watch?v=kKzQgftpZnE>.
54 <https://www.youtube.com/user/gpimem>.
Capítulo IV
Internet rápida e performance matemática
digital
Vários termos já foram utilizados para uma internet de segunda geração:
“banda larga”, “internet rápida” e, embora internet 2.0 tenha uma definição
mais técnica para as pessoas da área de computação, ela também virou
sinônimo de uma internet mais rápida, ou de banda larga. Não nos
concentraremos aqui nessa discussão, mas sim a diferenciaremos da ideia de
que no início a internet permitia correio eletrônico, envio de alguns arquivos
e a leitura de páginas postadas por grupos de pesquisa, grupos jornalísticos,
etc. Há cerca de dez anos mais ou menos, dependendo do país, a internet já
se mostrou mais rápida possibilitando que YouTube, Facebook e outras
tecnologias digitais existissem e se tornassem quase sinônimo de internet
para vários usuários. É essa internet que se torna atriz diferenciada em
coletivos de seres-humanos-com-mídias, principalmente por permitir a
publicação e o compartilhamento de narrativas multimodais. Já discutimos
no capítulo anterior várias transformações provocadas por ela. Em outros
trabalhos, colegas têm discutido como as tecnologias digitais modificam a
própria forma de coletar dados nas pesquisas em educação matemática
(JAVARONI; SANTOS; BORBA, 2011). Neste capítulo vamos nos dedicar a mais
uma noção desenvolvida pelos autores desse livro ao longo dos últimos dez
anos e que parece ser um exemplo de como a internet pode estar
contribuindo para uma interdisciplinaridade, quebra das disciplinas e para
uma reinvenção da sala de aula.
O termo “Performance Matemática Digital” (PMD) pode ser inicialmente
concebido como uma interlocução entre performance artes e o uso de
tecnologias digitais em educação matemática. Na realidade, usamos a
expressão “PMD” de forma diversificada, ou seja, não atribuímos um único
sentido a ela em nossas pesquisas, atividades de extensão universitária e
dinâmicas em sala de aula.
Os estudos sobre PMD têm explorado questões voltadas à inovação
tecnológico-artístico-educacional no ensino e aprendizagem de Matemática,
podendo ser considerados precursores de uma linha de pesquisa em fase
inicial de consolidação em nossa área acadêmica. PMD é um terreno fértil
para a investigação de possibilidades didático-pedagógicas diferenciadas,
que vão desde nuances sobre a produção de conhecimentos e pensamento
matemático até a (des)construção e (re)organização de (micro) estruturas e
componentes curriculares.
Neste capítulo, optamos por abordar os seguintes aspectos:
• Breve histórico sobre as pesquisas em PMD;
• diferentes concepções sobre PMD;
• lentes teóricas para produção e análise de PMD;
• exemplos de PMD:
• Multimodalidade;
• seres-humanos-com-PMD.
 
 
Breve histórico
 
Scucuglia e Gadanidis (2013a) já apresentaram uma descrição sobre o
contexto que deu origem ao desenvolvimento de pesquisas sobre PMD. De
acordo com os autores, George Gadanidis e Marcelo C. Borba se
encontraram pessoalmente durante o ICMI Study 15, realizado na cidade de
Águas de Lindóia, SP, em 2005. Inicialmente, eles dialogaram sobre seus
trabalhos envolvendo o uso de tecnologias em educação matemática e, em
especial, sobre as noções de seres-humanos-com-mídias, coletivos
pensantes e reorganização do pensamento matemático, visto que Gadanidis
estava começando a integrar tais perspectivas ao seu quadro teórico,
considerando o fato de ele já conhecer o livro, naquela ocasião, recém-
lançado por Borba e Villarreal (2005).
Gadanidis enfatizou nessa reunião que ele vinha investigando questões
sobre o uso das artes e de tecnologias digitais no ensino e aprendizagem de
Matemática. Em colaboração com pesquisadores canadenses da área de
Literatura (Inglesa) como Cornelia Hoogland e Janette Hudges, George
Gadanidis vinha explorando noções como a de narrativa matemática digital
(digital math storytelling), que envolvia a noção de performance
matemática artística (GADANIDIS; HOOGLAND, 2003).
George Gadanidis também mencionou que parte de sua fundamentação
teórica contava com ideias de Augusto Boal, em particular, a perspectiva
voltada à desconstrução acerca da separação ou dicotomia entre ator e
espectador em ambientes teatrais. De forma semelhante a Paulo Freire, Boal
(2005) discutiu aspectos sobre a natureza das relações de poder e lutas de
classe, propondo a noção denominada teatro do oprimido em consonância
com a pedagogia do oprimido (FREIRE, 2011). Na língua inglesa,
encontramos o neologismo spectactor, que expressa a síntese entre atores e
espectadores no contexto cênico. Nesse sentido, Gadanidis buscava meios
para desconstruir através das artes e do uso de tecnologias possíveis
estereótipos atribuídos à sala de aula de Matemática no que diz respeito à
natureza das relações de poder entre professores de Matemática e
estudantes.
Coincidentemente, Borba mencionou que tinha experiência como ator em
performances de teatro de rua, tendo também familiaridade com as
concepções de Boal (2005), utilizada como forma de fundamentação no
engajamento estudantil na utilização da expressão artística como forma de
acelerar o final da ditadura militar no Brasil (GADANIDIS; BORBA, 2008).
Borba ainda comentou aspectos sobre sua experiência na área de dança e sua
proximidade social com atores e humoristas de reconhecimento público na
atualidade.
Embora a formação acadêmica de Gadanidis seja em Matemática,
Ciências Políticas e Ciência da Computação, suas experiências e
habilidades artísticas (muito presentes em sua vida social e cultural)
estavam começando a permear suas atividades profissionais enquanto
docente e pesquisador por meio desses estudos envolvendo performance
arte. Marcelo Borba se identificou com a parte inicial do contexto descrito
por Gadanidis, visto que seu engajamento artístico com a dança e sua
experiência como ator (teatro de rua) eram aspectos importantes em sua vida
social e cultural, mas não permeavam diretamente suas atividades
acadêmicas até aquele momento.
Nesse sentido, Marcelo Borba também se interessou em investigar de
forma exploratória questões educacionais envolvendo as artes. A partir
dessa reunião ocorrida em 2005, Gadanidis e Borba iniciaram a elaboração
deum projeto de pesquisa intitulado Digital Mathematical Performance,
cujo objetivo geral foi explorar possibilidades envolvendo performance arte
e tecnologias digitais em educação matemática.
 
• Como nós podemos utilizar as artes performáticas (música, teatro ou
poesia) e as tecnologias digitais (internet, câmeras digitais, etc.) para
comunicar, representar e disseminar nossas ideias matemáticas?
• Qual o papel das artes e das tecnologias digitais na produção de
conhecimentos matemáticos em cenários educacionais?
 
Esse é o contexto de origem da noção do que denominamos PMD
(SCUCUGLIA; GADANIDIS, 2013b). As ideias exploradas neste quarto capítulo
estão integradas com aquelas do capítulo anterior, visto que o uso da
internet, a produção de vídeos e o uso de tecnologias digitais móveis são
elementos centrais em PMD. Esperamos que as discussões a seguir ofereçam
meios para que pesquisadores e professores da educação básica e superior
conheçam a ideia de PMD e, mediante o interesse em trabalhar com ela,
possam torná-la parte de suas atividades profissionais envolvendo outros
agentes, como estudantes, pais, artistas, dentre outros. Explorando e
investigando novas questões sobre PMD, abrem-se janelas para produção de
novos conhecimentos em um terreno nativo, pouco explorado e emergente
dentro da quarta fase das tecnologias em educação matemática. A PMD é
ainda uma possibilidade diferenciada e com potencial inovador para o
ensino e aprendizagem de Matemática, uma alternativa para transformar a
imagem negativa da Matemática escolar e dos matemáticos. É também um
veículo para levar o prazer da atividade matemática para contextos não
escolares.
 
 
PMD: signi�cados e projeção acadêmica
 
É importante mencionarmos que “PMD = Artes + TD” é apenas uma
forma introdutória e muito simplificada de descrever o sentido fundamental
que atribuímos ao termo “PMD”. É relevante deixarmos claro que a noção
de PMD envolve pluralidade semântica e conceitual. Por exemplo, em
algumas situações, concebemos PMD enquanto linha de pesquisa (em
potencial fase de consolidação em educação matemática). Em outros
momentos discutimos a PMD enquanto enfoque didático e pedagógico para o
ensino e aprendizagem de Matemática. Contudo, acreditamos que um dos
sentidos mais usuais atribuídos ao “PMD” é o de texto-narrativa digital
multimodal, principalmente em formato de vídeo digital, embora outros
tipos de mídias digitais também sejam explorados em nossas pesquisas
(GADANIDIS; HUGHES; BORBA, 2008; SCUCUGLIA; GADANIDIS, 2013b).
Chamamos a atenção ao fato de que a natureza investigativa das
pesquisas sobre PMD tem um caráter fundamentalmente exploratório, pois
estão voltadas à inovação tecnológica-educacional. No entanto, as pesquisas
sobre PMD vêm ganhando intensidade investigativa e robustez teórico-
metodológica. Novos conhecimentos vêm sendo produzidos a partir do
desenvolvimento de pesquisas e atividades de ensino e extensão
universitária. Embora essas atividades tenham um caráter experimental, a
natureza dos conhecimentos produzidos está voltada principalmente a
possibilidades diferenciadas com relação ao ensino e aprendizagem de
Matemática, mas também a aspectos mais amplos concernentes à educação
matemática.55
 
 
A primeira pesquisa
 
Em nosso primeiro projeto de pesquisa, intitulado Digital Mathematical
Performance,56 propusemos produzir “protótipos” do que seriam (as
primeiras) “PMD conceituais”. Essa pesquisa foi desenvolvida durante 36
meses, sendo finalizada em agosto de 2008. Criamos vinte objetos virtuais
com designs diferentes, todos concebidos em programação em flash
(GADANIDIS; BORBA, 2008).
Flatland é um exemplo de PMD produzida no primeiro projeto. A partir
do tema “paralelismo sobre esferas”, foram criadas poesias, músicas,
videoclipes, demonstrações visuais, atividades de ensino e aprendizagem
com estudantes e diversos modos de comunicar essa ideia matemática
utilizando expressões artísticas. Além disso, o conteúdo matemático
envolvendo paralelismo sobre esferas torna-se bastante interessante quando
trabalhado dessa maneira. Surpresa é uma palavra-chave, pois o fato de
paralelas se interceptarem em superfícies esféricas é consistente, e rompe o
estereótipo de que retas paralelas nunca se interceptam (GADANIDIS, 2006).
Ao longo dos anos, a ideia de paralelismo em geometrias não
euclidianas foi desenvolvida de inúmeras formas, desde a educação básica à
formação inicial e continuada de professores. No site Research Ideas57
podemos encontrar diversos materiais ou recursos educacionais nos quais
vemos o desenvolvimento de atividades colaborativas e a produção de PMD
envolvendo pais, artistas, alunos, professores, gestores e outros membros de
comunidades escolares. A Fig. 4.1 exibe imagens da PMD Flatland e do site
do projeto Research Ideas.
 
Figura 4.1: Flatland
Fonte: <publish.edu.uwo.ca/george.gadanidis/parallel/> e
<researchideas.ca/parallel.html>.
 
É importante mencionarmos que esse tipo de design (objeto virtual
interativo) não é atualmente o tipo mais usual de PMD. Nesse mesmo projeto
precursor, por exemplo, produzimos uma PMD em formato de vídeo
utilizando fotografias (slideshow) para explorar o “problema do garçom”
que pode ser apresentado do seguinte modo (SCUCUGLIA; BORBA, 2007):
 
Certa vez, um observador que estava em um bar presenciou um interessante
acontecimento! Em uma das mesas, 3 amigos estavam conversando. Eles
falavam sobre festas, sobre trabalho, e outras coisas.
Após algum tempo, um deles pediu a conta.
Em seguida, o garçom se aproximou, pediu licença, e entregou a conta.
O amigo olhou e falou: o valor da conta é R$ 30,00!
Cada um dos amigos deu R$ 10,00. O garçom foi ao caixa.
E o dono do bar ofereceu R$ 5,00 de desconto aos amigos.
No entanto, antes de devolver os R$ 5,00, o garçom teve uma “ideia”!
http://publish.edu.uwo.ca/george.gadanidis/parallel/
http://researchideas.ca/parallel.html
Ele decidiu “pegar” R$ 2,00 para si: “Vou devolver apenas R$ 3,00!”
Cada um dos amigos recebeu R$ 1,00 de volta.
Eles ficaram felizes com o desconto! Cada um acabou pagando R$9,00.
Mas o observador, que presenciou tudo isto, ficou com uma dúvida:
Se cada um dos amigos pagou R$ 9,00, então eles pagaram R$ 27,00 ao
todo.
R$ 27,00 mais R$ 2,00 (pego pelo garçom) são R$ 29,00.
No entanto, os amigos haviam dado R$ 30,00!
Está faltando R$1,00! Onde está R$ 1,00 que está faltando?
 
Pesquisadores do projeto Digital Mathematica Performance criaram as
imagens (fotos) utilizadas na produção da PMD. Com participações diversas
(colegas-atores convidados) foi criado um roteiro e elaborada uma
encenação em um bar localizado próximo à universidade (Fig. 4.2). Ou seja,
nessa PMD produzida com o software Microsoft PhotoStory 3.0 a dimensão
cênica foi bastante enfatizada, o que intensificou a dimensão artística da
PMD.
 
Figura 4.2: O problema do garçom
Fonte: <http://www.edu.uwo.ca/dmp>.
 
Essa PMD baseia-se no enredo de uma anedota ou “pegadinha”. É difícil
encontrarmos anedotas que tragam à tona tópicos matemáticos. Essa – uma
exceção à regra – atinge o objetivo de uma PMD, de criar uma estória que
pode gerar reflexão de cunho matemático, de levar o prazer matemático a
diversos contextos. Essa PMD poderia ser apresentada até em uma festa, e
tem também uma característica que é importante para o seu sucesso: ela tem
um low floor, ou seja, um “chão baixo”, e praticamente todos depois da
terceira série podem entender o problema e ficarem curiosos acerca de sua
solução. E tem também, um high ceiling, ou “teto alto”. Pode-se entender
somente como o R$ 1,00 sumiu, mas pode-se estender mais ainda a
discussão sobre operações matemáticas e sobre a relação entre elas e
acontecimentos do cotidiano. É possível discutir como a Matemática, por
exemplo, pode retratar, mas também deturpar aspectos do cotidiano.
Performances digitais podem ser encontradas em diversos ambientes ou
canais da internet, como YouTube ou Facebook. A produção de PMD não é
exclusividade de nosso grupo de pesquisa. Professores,pesquisadores e
alunos fora de nossos projetos têm criado vídeos com tonalidades e
características próprias. A professora Clarissa Trojack, por exemplo,
desenvolveu com suas alunas atividades sobre geometria e moda feminina.58
A criação de PMD em ambientes escolares oferece meios para que a
Matemática seja comunicada publicamente por meio de artes, utilizando
http://www.edu.uwo.ca/dmp
câmeras digitais, software de edição de vídeos e internet rápida. Dessa
forma, é possível que questões socioculturais do cotidiano e interesse dos
estudantes sejam publicadas na internet, entrelaçadas com ideias
matemáticas. Se fôssemos analisar essa PMD com base no modelo proposto
por Scucuglia (2012), perguntaríamos: que surpresas, sentidos, emoções e
sensações matemáticas a PMD apresenta, desperta ou oferece à audiência?
Mais adiante, discutiremos esse modelo.
 
 
Síntese de projetos desenvolvidos
 
Nos projetos seguintes, também financiados pelo SSHRC, buscamos
oferecer a professores e estudantes de diversos níveis de ensino a
oportunidade de produzir suas próprias PMD, tanto no Brasil como no
Canadá. Esses projetos vêm oferecendo um refinamento em termos de teoria
e prática no desenvolvimento de pesquisa sobre PMD, ao mesmo tempo em
que envolve uma dimensão colaborativa entre estudantes, professores,
administradores, pesquisadores, artistas e outros membros da comunidade
escolar, como funcionários e pais e familiares de estudantes.
Para apresentarmos mais informações sobre esses projetos reproduzimos
abaixo uma síntese já elaborada por Scucuglia e Gadanidis (2013a) em um
livro que celebrava os vinte anos de pesquisa do GPIMEM.
 
 
 
O Math + Science Performance Festival
 
Se acessarmos canais da internet como o YouTube e realizarmos uma
busca a partir de expressões-chave como “matemática artes”, encontraremos
diversos vídeos digitais que exploram assuntos como paralelos entre história
da música e da Matemática, estética de simetrias de elementos na natureza,
tecelagem, fractais, “Donald no país da Matemágica”, dentre outros. Esses
vídeos podem ser considerados exemplos de PMD, no entanto em uma
perspectiva bem ampla, diferente do nosso enfoque, que é mais específico.
No próprio YouTube, se digitarmos termos como “aula matemática música”,
“dança matemática” ou “teatro matemática”, encontraremos vídeos para
comunicar ideias matemáticas, nos quais estudantes, professores,
pesquisadores e/ou mesmo artistas utilizam a música, o teatro, a dança, a
poesia, o cinema e outras artes (performáticas).
O Math + Science Performance Festival59 é um locus específico para
publicação de PMD. Até 2011, já existiam cerca de quatrocentos PMD
publicadas no site do Festival. Gadanidis e Geiger (2010, p. 102) têm se
referido ao Festival como “um exemplo que ajuda a trazer as idéias
matemáticas dos alunos a fóruns públicos, onde elas podem ser
compartilhadas e criticadas e que, em seguida, oferecem oportunidade para o
desenvolvimento contínuo de conhecimento e entendimento dentro de uma
comunidade de suporte para os alunos”. Os autores também destacam que o
Festival oferece meios para que a colaboração sobre a aprendizagem
matemática possa ser estendida de modo a incluir a performance matemática,
ou para que se entenda como a colaboração em um ambiente digital pode ser
reorganizada enquanto uma “colaboração performática”. A seguir (Fig. 4.3)
mostramos uma imagem do ambiente online do Festival, que conta com a
participação de um júri composto por artistas famosos no Canadá e
educadores matemáticos de renome internacional como o brasileiro Ubiratan
D’Ambrosio.
 
Figura 4.3: Math + Science Performance Festival
Fonte: <http://www.mathfest.ca>.
 
Dentre as performances submetidas, há algumas que vão em direção à
nossa compreensão de PMD, ou seja, performance matemática enquanto
processo e PMD enquanto produto digital para representação e/ou
comunicação matemática (forma e conteúdo) através de manifestações
artísticas (performáticas). As populares canções utilizadas como recurso
didático em aulas de cursos pré-vestibular são exemplos de performances
matemáticas. Contudo, em nosso trabalho, é fundamental buscarmos
possibilidades alternativas ao exemplo das músicas de cursinho diante das
inquietações. Possibilidades que busquem a superação dessas músicas a
partir de respostas a perguntas como: Qual a natureza da ideia matemática da
performance? Qual seu objetivo pedagógico? É um recurso voltado à
memorização de informações para a “performance” em testes ou uma
possibilidade para produzir e comunicar novos conhecimentos matemáticos?
A autoria da performance é colaborativa ou somente do professor? A
performance é uma representação da inteligência coletiva de sala de aula?
Que critérios podemos utilizar ou criar para produzir uma “boa”
performance matemática (performance conceitual)?
http://www.mathfest.ca/
 
 
Olhares teórico-metodológicos60
 
De acordo com Scucuglia e Gadanidis (2013a), para analisar e produzir
PMD temos nos apoiado em modelos de análise de vídeos – como o
proposto por Powell, Francisco e Maher (2004) – e também em perspectivas
teóricas sobre cinema, como por exemplo as categorias analíticas propostas
por Boorstin (1990). Apoiados nas noções de seres-humanos-com-mídias
(BORBA; VILLARREAL, 2005), multimodalidade (WALSH, 2011) e análise de
discurso multimodal (O’HALLORAN, 2011) buscamos compreender a natureza
das PMD.
Especificamente, Scucuglia, Borba e Gadanidis (2012) e Scucuglia e
Gadanidis (2013a) comentam que o modelo estruturado por Powell,
Francisco e Maher (2004) propõe os seguintes procedimentos para a análise
de vídeos: após a familiarização com os dados dos vídeos, os autores devem
identificar eventos críticos e codificá-los, de acordo com a tradição da
pesquisa qualitativa. A partir da classificação dos eventos críticos, são
criados episódios, compostos por narrativas, no sentido também discutido
por Borba (1993) e Scucuglia (2006). Embora o modelo original tenha sido
proposto para análise de vídeos de registros audiovisuais de experimentos
de ensino, estamos fazendo uma adaptação desse modelo para a análise de
PMD, visto que, dentre outros aspectos, o foco investigativo está voltado a
interpretações sobre o processo de pensamento matemático em ambas as
situações (SCUCUGLIA; GADANIDIS, 2013a).
Boorstin (1990) explora três aspectos fundamentais que um produtor de
filmes deve buscar despertar na audiência. Eles são: (1) Voyeur: refere-se a
um olhar racional sobre o filme. A história faz sentido? A audiência está
imersa na realidade do filme? Surpresa é um aspecto-chave para manter a
audiência racionalmente interessada em um filme. Então, considerando-se as
PMD, busca-se (a) explorar ideias que proporcionem surpresas matemáticas,
ou seja, ideias que busquem romper estereótipos sobre alguns conceitos, que
explicite a Matemática como algo associado ao belo e maravilhoso; (b)
comunicar as ideias de modo claro e objetivo, mas assumindo possíveis
tensões entre a dimensão lógica do raciocínio matemático e a dimensão
subjetiva emergente com as linguagens artísticas. (2) Emoções vicárias:
refere-se aos momentos emocionais em que sentimos aquilo que os atores
estão sentindo. Quando nossos corações sentem o que os corações dos atores
estão sentindo. Close-ups sobre as expressões faciais dos atores e
atualização de alguns tipos de músicas potencializam o olhar das emoções
vicárias. (3) Sensações viscerais: refere-se aos momentos em que não
sentimos exatamente o que os atores estão sentido e passamos a sentir nossas
próprias sensações. Momentos de ação, experiências diretas, medo ou
suspense compõem o olhar visceral. Alguns tipos específicos de sons podem
intensificar tal sensação.
Baseados nessas ideias consideramos que uma forma de analisar as
PMD seria, semelhante à tradição da pesquisa qualitativa (BORBA; ARAÚJO,
2004), descrever a atividade, enfatizando as ideias matemáticas e quais as
artes performáticas envolvidas nela. Em seguida devemos analisar se há
“surpresas” na narrativa, vistas comoimportantes do ponto de vista da
performance (BOORSTIN, 1990) e da Matemática (WATSON; MASON, 2007).
Devemos buscar possíveis inconsistências matemáticas na performance e ver
se elas fazem parte de uma metáfora artística ou se são erros conceituais.
Finalmente, é necessário ver se há emoção envolvida nessa narrativa, uma
questão que não tem sido muito discutida em educação matemática.
Fundamentados na noção de seres-humanos-com-mídias (BORBA;
VILLARREAL, 2005), já discutida nos capítulos anteriores, entendemos que as
PMD são uma forma de expressão que é produzida também por atores não
humanos, no caso as diferentes interfaces produzidas pela internet rápida,
que possibilitam a expressão do discurso multimodal de forma
qualitativamente diferente de outras mídias. Assim a internet, o YouTube são
coatores dessa forma de arte que possibilita que muitos possam publicar
discursos multimodais, gerando artefatos digitais como as PMD que passam
também a participar de outros coletivos que constroem conhecimento.
Entendemos que essa é uma forma de uso que não domestica a internet
(BORBA; PENTEADO, 2001), já que utiliza a rede e suas distintas interfaces e
banco de dados de uma forma que não poderia ser utilizada anteriormente.
Vejamos alguns exemplos de PMD produzidas tendo como referência
essas perspectivas e seu envolvimento em perspectivas diversas.
 
 
Multimodalidade e seres-humanos-com-PMD
 
Scucuglia (2012) utilizou o modelo de comunicação multimodal proposto
pelo The New London Group (1996) para analisar PMD produzidas por
estudantes do ensino fundamental de Ontário, no Canadá. As PMD
analisadas referem-se a todas as PMD produzidas pelos estudantes no
primeiro ano do Math + Science Performance Festival em 2008.61
Atualmente, a noção de multimodalidade de Walsh (2011) é central e é
apoiada na produção de significados a partir da produção de textos
impressos e digitais em contextos educacionais.
 
Figura 4.4: Interação em sala de aula em uma perspectiva multimodal
Fonte: Adaptado de WALSH, 2011, p. 13.
 
Com esse modelo, de forma semelhante ao que fazíamos com o texto
usual, buscamos a construção de significados apoiados na narrativa
multimodal. A diferença é que, explorando as capacidades da internet de
banda larga, possibilitamos que os alunos publiquem na forma de vídeo,
texto usual ou texto multimodal na internet, para um público que é composto
não só por seu professor e colegas, mas também colegas de outras turmas e
membros da família e da vizinhança onde vive. A sala de aula, mesmo que
timidamente, se abre para um público mais amplo. Entendemos que a
valorização da produção de narrativas multimodais matemáticas de alunos
pode contribuir para a mudança da visão que os estudantes têm da
Matemática e dos matemáticos, conforme hipótese do último projeto de
pesquisa, com o qual estamos envolvidos. As PMD têm, portanto, a
capacidade de dialogar matematicamente em um cenário mais amplo do que
aquele definido pela sala de aula convencional, limitada pelas quatro
paredes, testes e outras normas.
Nesse cenário, a noção de seres-humanos-com-mídias é tomada como
uma lente teórica que enfoca os modos sobre como os artefatos, em especial
as tecnologias digitais, moldam a produção de sentidos e a reorganização de
pensamentos (matemáticos). A natureza dos problemas e das resoluções
depende do design do artefato utilizado. A produção de PMD forma
coletivos pensantes diversos como, por exemplo, professores-estudantes-
com-artes-e-tecnologias-digitais. As tecnologias digitais nesse contexto são
aquelas utilizadas para a produção de vídeos como câmeras de vídeos,
software de edição de vídeos, o ciberespaço para a publicação das
representações digitais, dentre outras.
Temos conduzido duas vertentes principais com relação à PMD em
escolas públicas, tanto no Brasil quanto no Canadá. Na primeira vertente,
buscamos engajar estudantes do ensino fundamental na exploração e
produção de PMD, na maioria das vezes em atividades extraclasse,
enfatizando a investigação matemática a partir da experimentação com
tecnologias (SCUCUGLIA; BORBA; GADANIDIS, 2012). Também, oferecemos
minicursos a estudantes de graduação e professores em formação continuada
(BORBA; GADANIDIS, 2008).
Na segunda vertente, organizamos festivais matemáticos nas escolas (ou
em locais como teatros e auditórios) para a exibição pública das
performances produzidas pelos estudantes e/ou professores. Esses festivais
têm também como objetivo promover o envolvimento e integração da
comunidade escolar em geral, como estudantes, professores, funcionários,
administradores, pais e familiares por meio da atividade matemática.
No contexto envolvendo a produção de PMD, temos criado cenários
investigativos (e/ou ambientes multimodais de aprendizagem) no qual
utilizamos tecnologias digitais diversas (computadores e celulares com
acesso à internet, câmeras de vídeo, etc.), artes (músicas, poesias, drama,
PMD, histórias em quadrinhos, etc.) e outros recursos (materiais
manipulativos, lápis e papel, etc.) para explorar ideias matemáticas. Como
um dos principais objetivos no contexto da noção de PMD é oferecer meios
para que os estudantes, professores e as audiências vivenciem surpresas
matemáticas, muitas vezes as ideias exploradas pelos estudantes de um
determinado ano ou nível de ensino não condizem exatamente com o
currículo prescrito. Buscamos conexões harmônicas entre (a) os conteúdos
propostos nos currículos prescritos em Ontário (estado do Canadá) e no
Brasil e (b) as atividades que ocorrem nas escolas em nossos projetos.
Contudo, em diversos momentos, nos pegamos explorando geometria
hiperbólica ou convergências de séries infinitas tanto em cursos de formação
de professores como também na sala de aula de estudantes do terceiro ano
das séries iniciais. A PMD oferece uma interessante tensão com relação às
noções mais estruturalistas ou sistemáticas que fundamentam a maioria dos
currículos em diversos países. Em sintonia com perspectivas como a
modelagem (BORBA, 2009), ela não segue uma estrutura rígida de tópicos a
serem tratados.
Conforme já reiteramos, a noção de seres-humanos-com-mídias (SOUTO;
BORBA, 2013; BORBA, 2012) é enfatizada em diversos níveis nos projetos
que envolvem a produção de PMD, e enfatizam a ideia de que alunos têm
que realizar experimentação com tecnologias. Em laboratórios de
informática de escolas públicas, por exemplo, estudantes utilizam
coletivamente computadores com acesso à internet. Eles exploram objetos
virtuais de aprendizagem, applets, PMD, vídeos disponíveis no YouTube,
realizam pesquisas a partir do Google, etc. Eles também utilizam
calculadoras gráficas e sensores, telefones celulares, materiais
manipulativos e fichas de atividades (lápis e papel). Nesses cenários, alguns
conceitos matemáticos (não em uma ordem que apareça na grade curricular)
são também explorados por meio da música e do drama. Scucuglia,
Gadanidis e Borba (2011) argumentam que esses ambientes propiciam a
formação de coletivos pensantes formados por estudantes-professores-
pesquisadores-computadores-applets-PMD-instrumentos-musicais-lápis-
epapel-manipulativos-e outras-mídias. Mais recentemente, estamos
compreendendo esses cenários como ambientes de aprendizagem
multimodal (WALSH, 2011).
Na PMD em formato de vídeo intitulada “CBR SpeedCar”,62 produzida
em 2010, três estudantes do nono ano dramatizam uma história na qual duas
pessoas dirigem um carro em alta velocidade. Um policial com um sensor
conectado a uma calculadora gráfica registra o gráfico da distância pelo
tempo do movimento executado pelo motorista com o carro, dando a ideia de
radar de velocidade. Ao analisarem o gráfico plotado pela calculadora
gráfica, os participantes chegam à conclusão de que o motorista estava acima
do limite de velocidade permitido. As imagens a seguir ilustram algumas das
cenas da PMD (Fig. 4.5):
 
Figura 4.5: Imagens da PMD CBR Speed Car
Fonte: <http://www.edu.uwo.ca/mpc/mpf2010/mpf2010-164.html>.
 
No caso da produção da PMD CBR SpeedCar, foram realizadastrês
sessões de duas horas cada com os estudantes para investigar atividades
envolvendo o uso do sensor CBR conectado à calculadora gráfica. Os
estudos de Scheffer (2001) e Borba e Scheffer (2004) exploram as questões
fundamentais envolvendo a corporeidade no estudo de funções com os
sensores no ensino fundamental, embora não utilizem a noção de PMD,
dentre outros motivos porque a internet de então não permitia a emergência
de tal noção. Além das representações algébricas, tabulares e gráficas de
funções, os estudantes são imersos em um processo de pensar-com-
tecnologias explorando os movimentos corporais nos quais podem obter
gráficos de funções lineares ou quadráticas considerando-se as variáveis
espaço e tempo. Por exemplo, que movimento corporal deve-se realizar com
o sensor em mãos para se obter um gráfico de uma reta crescente?
No caso da experimentação para a produção da PMD CBR SpeedCar, os
estudantes utilizaram um carro de controle remoto e investigaram os
movimentos que deveriam realizar com o carro para que se obtivesse um
deslocamento de alta velocidade, analisando-se as variáveis espaço e
tempo. Após uma discussão sobre o experimento, foi criado um script para a
http://www.edu.uwo.ca/mpc/mpf2010/mpf2010-164.html
performance no qual os estudantes escreveram seus diálogos e ensaiaram
suas cenas. Durante a filmagem da performance, foi necessária a repetição
da mesma cena63 (da mesma fala) para obter uma “boa tomada” na qual um
dos estudantes comunicou sua interpretação sobre o gráfico utilizando o
gráfico da calculadora ao interpretar um papel como policial (Fig. 4.6).
 
Figura 4.6: Transcrição e imagem da PMD CBR Speed Car
Fonte: <http://www.edu.uwo.ca/mpc/mpf2010/mpf2010-164.html>.
 
Nesse contexto, destacamos que as tecnologias digitais, principalmente
os vídeos e os objetos virtuais de aprendizagem, oferecem meios para a
comunicação multimodal (KRESS, 2003). Rowsell e Walsh (2011, p. 55)
argumentam que “multimodalidade é um campo que leva em conta a forma
como indivíduos produzem significados com diferentes tipos de modos”. As
autoras também enfatizam que educadores precisam compreender os
diferentes aspectos relacionados à multimodalidade em sala de aula para
poder aplicar e avaliar novas formas de aprendizagem em suas práticas
profissionais cotidianas.
http://www.edu.uwo.ca/mpc/mpf2010/mpf2010-164.html
 
 
O in�nito e a imagem da matemática
 
No início deste capítulo descrevemos como dois autores deste livro se
conheceram, mas ficou faltando o segundo autor! Como Ricardo Scucuglia
conheceu Marcelo Borba e George Gadanidis? Ricardo foi aluno de
Marcelo durante a graduação e desenvolveu diversas iniciações científicas
relacionando Matemática e tecnologias informáticas. Ao Scucuglia concluir
o mestrado (2006), também na Unesp de Rio Claro, as ideias sobre PMD
estavam em ebulição inicial. Ricardo é também guitarrista, e quase
abandonou a Matemática pela música! Com esse projeto, ele podia juntar
ambas as paixões e houve consenso que ele deveria realizar seu doutorado
na University of Western Ontario, em London, Canadá, sob a supervisão de
George. Terminado o doutorado (SCUCUGLIA, 2012), e antes de assumir sua
posição na Unesp de São José de Rio Preto, ele fez um estágio de pós-
doutoramento, na Unesp de Rio Claro, sob a supervisão de Marcelo, no qual
ele aplica pesquisas e ideias desenvolvidas no doutorado em escola pública
da cidade e também na própria Unesp.
Durante esse estágio, Scucuglia produziu novas PMD e revisitou outras.
Na PMD em formato de vídeo intitulada Infinito,64 produzida em 2012, dez
estudantes do sexto ano e dois professores-pesquisadores utilizam a música
e uma variação de imagens de histórias em quadrinhos para comunicar ideias
sobre o infinito a partir de uma noção sobre séries infinitas e demonstrações
visuais. As imagens a seguir ilustram algumas das cenas da PMD, bem como
a letra da música (Fig. 4.7).
 
Figura 4.7: Imagens e letra da música da PMD Infinito
Fonte: <https://www.youtube.com/watch?v=93PHCWIrVgk >.
 
Nesta PMD está presente de forma intensa a ideia da surpresa proposta
por Boorstin (1990) além da ideia visceral. Mais ainda, essa atividade traz
presente a ideia de chão baixo – teto alto. Todos podem vivenciar com
prazer a performance e ela pode ser utilizada tanto em atividades
pedagógicas com os atores como com não atores da performance. Pode ser
discutida tanto a ideia de fração, de sequência como noções de infinito ou
convergência de séries e sequências. Essa performance é fortemente
ancorada nas ideias e nas primeiras performances produzidas por George
Gadanidis.
Mas houve, também, novos tons produzidos por ele, em especial a noção
de trazer a “nova onda” musical denominada Harlem Shake.65 Há também
um rock mais clássico e mais longo no qual as mesmas ideias matemáticas
são exploradas de forma mais densa.66 Nesses vídeos diversas provas
visuais são exploradas sobre a noção de séries. Alunos se envolvem
cantando e produzindo uma performance que incluía recursos visuais,
recursos teatrais, combinados com a forte edição digital que dá ritmo
alucinante à performance, em especial no “Harlem Shake” (Fig. 4.8 e 4.9).
 
https://www.youtube.com/watch?v=93PHCWIrVgk
Figura 4.8: PMD Harlem Math Shake
Fonte: <youtu.be/nutcM-mDKmk >.
 
 
Figura 4.9: PMD Sequence and Series (Visual Proof)
Fonte: <http://www.youtube.com/watch?v=Qpo9QF29yos>.
 
Scucuglia (2014) discute mais detalhadamente essa PMD. A seguir a
letra da música pode ser lida (Fig. 4.10). Entretanto, um olhar sobre as duas
performances, em banco de dados como o YouTube, permitirá ao leitor ver
que a experiência de ler essa letra e assistir o vídeo são totalmente distintas,
e quem sabe complementar.
 
 
Como é belo o poema que demonstra um teorema
Uma prova visual para uma série infinita
Sei que vou te convencer demonstrar a muita gente
Uma série geométrica provada
convergente
http://youtu.be/nutcM-mDKmk
http://www.youtube.com/watch?v=Qpo9QF29yos
 
Eu somo x, x ao quadrado, as potências naturais
No poema investigado, nossos x vale um quarto
Pra provar que a série é um terço, Brown usou geometria
Desenhou inicialmente um quadrado unitário
 
Sobre a diagonal do quadrado desenhado
Considere uma sequência com infinitos quadrados
As diagonais se sobrepõem, os quadrados diminuem
O valor de cada área eh reduzido em 1/4
Mas o Gregory pensou de uma forma
coerente
Construindo a sequência de um modo
diferente
Sobre a base maior posicionou cada quadrado
Agora vejo um escada que é 1/3 do quadrado
Um argumento mais algébrico eu posso apresentar, se a série é igual a S,
4S calcular
Como a série é infinita 4S é 1 mais S
S então é igual a 1/3, a convergência
acontece
 
Baseado no poema tenho uma
conjectura
No estudo sobre séries convergência é
importante
Quando módulo de X for menor que
1, minha gente
Vejo que a série geométrica é mesmo
convergente
 
Figura 4.10: Letra da PMD Sequence and Series (Visual Proof)
Fonte: <http://www.youtube.com/watch?v=Qpo9QF29yos>. Transcrição
nossa.
 
http://www.youtube.com/watch?v=Qpo9QF29yos
De acordo com Scucuglia (2014), a ideia matemática explorada nas duas
PMD produzidas neste estudo foi uma prova visual da convergência de uma
série infinita convergente (Fig. 4.11). Essa ideia, que abre uma discussão
sobre convencimento e verdade em Filosofia da Matemática, foi explorada a
partir de um poema de autoria de James Brown e apresentado por Zwicky
(2000). Durante a investigação do poema, os estudantes de graduação
propuseram formas diferenciadas para se provar (visualmente) o teorema.
Essas formas de investigação matemática estão presentes de forma artística
nas narrativas digitais produzidas pelos estudantes. Embora o poema tenha
sido a ideia matemática investigada em maior profundidade durante o curso,
foi proposto aos estudantes a exploração de três diferentes provas visuais
para séries geométricas convergentes, todas elas apresentadas no livro de
Zwicky (2000). De forma dialógica, os estudantes discutiram o fato de que
todas as ideias tinhamgrande potencial para oferecer uma surpresa
matemática à audiência, o que é fundamental para a produção de uma PMD
conceitual (WATSON; MASON, 2007; SCUCUGLIA, 2012). Diferentes formas de
provas visuais investigadas pelos estudantes estão presentes em ambas as
narrativas. As provas visuais contribuem com a desconstrução ou superação
da imagem da Matemática enquanto formalista e absolutista (HANNA, 2000;
ERNEST, 2004).
 
Figura 4.11: Poemas de James Brow
Fonte: ZWICKY, 2000, p. 42 e 45.
 
Nesse contexto, é interessante mencionar que alguns estudos investigam a
imagem pública da Matemática, em específico, a forma negativa e
reducionista como estudantes veem a Matemática e os matemáticos (LIM,
1999; PICKER; BERRY, 2000). Gadanidis e Scucuglia (2010) comentam que a
noção de PMD pode desconstruir imagens negativas e estereotipadas que
estudantes, professores e as pessoas em geral têm acerca da Matemática e
dos matemáticos.
De acordo com Scucuglia, Borba e Gadanidis (2012),
 
[a] noção de PMD pode contribuir para que estudantes passem a ver suas
experiências com a matemática como algo prazeroso, estético e humano.
PMD pode contribuir para a mudança da imagem pública da matemática
enquanto uma ciência fria e negativa. Em uma das entrevistas realizadas com
os estudantes após as sessões, um dos estudantes que atuou na PMD
expressou:
 
Eu gostei muito do vídeo. Foi diferente porque eu não gostava muito de
matemática. Matemática não era muito legal para mim. Mas quando fizemos
o vídeo, um sentimento diferente sobre a matemática surgiu, porque vimos a
matemática em nosso dia-a-dia de um modo diferente, andando de bicicleta
ou jogando futebol [...] As artes e a matemática juntos mudam qualquer ponto
de vista, porque a arte é algo diferente. A matemática é sempre a mesma,
mas quando colocamos as duas juntas, as duas são diferentes. Eu comecei a
gostar de matemática, tanto quanto eu gosto das artes. Matemática tornou-se
algo diferente (SCUCUGLIA; BORBA; GADANIDIS, 2012, p. 60).
 
A partir do desenvolvimento de pesquisas, temos encontrado evidências
sobre como o uso das artes, das tecnologias digitais móveis e da internet
rápida podem trazer possibilidades diferenciadas para a produção coletiva
de conhecimentos matemáticos em ambientes de aprendizagem,
transformando aspectos sobre o pensamento matemático e sobre a imagem
pública da matemática, em cenários nos quais estudantes são engajados na
produção de performances matemáticas digitais.
 
 
Internet rápida e a sala de aula
 
A performance matemática digital pode ser entendida como um objeto
digital, o qual é utilizado para comunicar ideias e estéticas. Expressar ideias
matemáticas em forma de narrativa multimodal é consistente com a noção de
não domesticação de novas mídias, na medida em que é uma forma de
expressão que dificilmente poderia ser realizada sem a presença do ator
internet rápida em um coletivo de seres-humanos-com-mídias. O trabalho
com projetos e a PMD, conforme já apontava Borba (2009), são
possibilidades para uma sala de aula que aceite a internet, na qual um
número imenso de exercícios usuais de livros didáticos e apostilas já tem
suas respostas publicadas, inclusive problemas de tópicos avançados de
Matemática universitária que são facilmente resolvidos pelo
WolframAlpha.67 Este capítulo quis trazer para o leitor esse tipo de enfoque
pedagógico, que junta artes performáticas e Matemática, que pode ser uma
forma na qual os estudantes aprendem Matemática ao fazer um vídeo, ao
discutir sua elaboração. A PMD é uma forma de expressão característica da
quarta fase e que pode estar em sinergia com a geração que chega à escola,
que tem o celular e a internet como mídias de referência.
55 Esses conhecimentos já permeiam nossa comunidade acadêmica em nível nacional e internacional,
incluindo publicações como BOLEMA, ZDM, For the Learning of Mathematics, PME, PME-NA,
ICMI Study, International Handbook of Mathematics Teacher Education, International
Handbook of Mathematics Education, Fields Institute, Canadian Mathematical Society,Verlag
Publishing, dentre outros (GADANIDIS; BORBA, 2008; BORBA; GADANIDIS, 2008; BORBA,
2009; GADANIDIS; GEIGER, 2010; GADANIDIS, 2012; SCUCUGLIA; BORBA; GADANIDIS,
2012; SCUCUGLIA; GADANIDIS, 2013b).
56 <http://www.edu.uwo.ca/dmp>. Projeto financiado pelo Social Sciences and Humanities Council of
Canada (SSHRC) e coordenado por George Gadanidis e Marcelo C. Borba. Dentre os colaboradores
do projeto, destacamos a participação de Janette Hughes, Cornelia Hoogland, Susan Gerofsky, Danielle
Hoogland, Ricardo Scucuglia, Mary-Lynne Snedden e Donizete Louro (presidente do Instituto de
Matemática e Artes de São Paulo − IMA − <http://www.ima-brazil.com/>.
57 <http://www.researchideas.ca/parallel.html>.
58 Essa PMD pode ser acessada em <https://www.youtube.com/watch?v=_SDalVKgJxM>.
59 <http://www.MathFest.ca>.
https://www.youtube.com/watch?v=_SDalVKgJxM
60 Discussões parcialmente apresentadas por Scucuglia e Gadanidis (2013a).
61 <http://www.mathfest.ca>.
62 <http://www.edu.uwo.ca/mpc/mpf2010/mpf2010-164.html)>.
63 Processo de repetição na filmagem de uma PMD é importante para que os estudantes internalizem
seus significados através da fala e também outros modos de comunicação. Ou seja, a repetição na
produção de uma PMD diz respeito também à aprendizagem matemática.
64 <http://www.edu.uwo.ca/mpc/mpf2012/index-all.html, #42>.
65 <http://www.youtube.com/watch?v=nutcM-mDKmk>.
66 <http://www.youtube.com/watch?v=Qpo9QF29yos>.
67 <http://www.wolframalpha.com/>.
http://www.wolframalpha.com/
Capítulo V
Tecnologias digitais em Educação
Matemática
Tecnologias digitais e o futuro da sala de aula
 
Como será a educação matemática no século XXI? Ela será
fundamentalmente alterada pelas tecnologias digitais, ou teremos uma
educação semelhante àquela do século XX? Este livro não se propôs a
debater questões tão amplas como essas, mas, por outro lado, queremos
lançar conjecturas por meio de discussões sobre o que já está acontecendo
em algumas salas de aula. É claro que, ao arriscarmos algumas previsões,
estamos sujeitos ao erro, mas elas poderão servir para que mais atores do
campo educacional consigam participar e interferir conscientemente nas
mudanças que estão em curso.
Uma característica do século XX, que parece permanecer intacta no
século XXI, é a tentativa de redução da educação, em geral, e
consequentemente da educação matemática, aos testes. Assim, se diz que um
sistema educacional de um dado país está em crise porque ele não se
encontra bem colocado em um teste internacional. Por exemplo, podemos
citar o Programme for International Student Assessment (PISA- “Programa
Internacional de Avaliação de Estudantes”), “uma iniciativa internacional de
avaliação comparada, aplicada a estudantes na faixa dos 15 anos, idade em
que se pressupõe o término da escolaridade básica obrigatória na maioria
dos países” (INEP, s/d). Esse tipo de comparação tem se tornado uma
constante “intranacional” e internacionalmente. Em estados do Brasil como
São Paulo, os professores ganham bônus se os resultados dos seus alunos
forem bons, o que tornam os professores, que têm baixo salário, fáceis de
serem cooptados pela ideia de que melhorar o desempenho dos alunos em
testes é o “fim” da educação.
No caso, “fim” foi utilizado como objetivo ou meta, mas pode também
ser pensado como “final”, como o final do que entendemos por educação.
Mas o que é educação? De novo, é necessário dizer que este livro não se
propôs a responder a essa questão, mas uma rápida olhada, mais uma vez na
Wikipédia, nos leva à seguinte definição: “Educação engloba os processos
de ensinar e aprender. É um fenômeno observado em qualquer sociedade e
nos grupos constitutivos destas, responsável pela sua manutenção e
perpetuação a partir da transposição, às gerações que se seguem, dos modos
culturais de ser, estar e agir necessários à convivência e ao ajustamento de
um membro no seu grupo ou sociedade (grifo do original)”.68
Se pensarmos em uma classificaçãomais precisa, podemos utilizar as
ideias de Paulo Freire que qualifica a educação como bancária ou
libertadora. Nesse caso, vemos que esta acepção de teste pode se tornar
ainda mais complicada. No dicionário feito em homenagem à sua obra,
Romão (2010) discute, no verbete “Educação” e em outros, que os seres
humanos, homens e mulheres, são incompletos e inacabados, e que a
consciência de tal fato, uma característica do ser humano, é o que o leva à
educação. Essa visão construída por esse educador pernambucano, e
compartilhada por vários outros, faz com que o papel do professor seja o de
manter um diálogo com o educando para que ele lide e supere a sua
incompletude. Ou em suas palavras:
 
É na inconclusão do ser, que se sabe como tal, que se funda a educação como
processo permanente. Mulheres e homens se tornam educáveis na medida em
que se reconheceram inacabados. Não foi educação que fez mulheres e
homens educáveis, mas a consciência de sua inconclusão é que gerou sua
educabilidade (FREIRE, 1996, p. 64).
 
A visão que permeia este livro é muito mais próxima dessa que da visão
que reduz educação a testes. Tentamos ver a tecnologia como uma marca do
nosso tempo, que constrói e é construída pelo ser humano. A noção de seres-
humanos-com-mídias tenta enfatizar que vivemos sempre em conjunto de
humanos e que somos frutos de um momento histórico, que tem as
tecnologias historicamente definidas como copartícipes dessa busca pela
educação. As tecnologias digitais são parte do processo de educação do ser
humano, e também partes constituintes da incompletude e da superação dessa
incompletude ontológica do ser humano.
É assim que autores como Villarreal e Borba (2010) discutem que a
lousa tradicional não é natural à sala de aula. Ela também foi uma tecnologia
introduzida de forma diferenciada em diferentes países. Em países como
Brasil e Argentina, ela está presente de forma intensa nas salas de aula há
cerca de cem anos. A lousa foi copartícipe de um processo educacional, de
produção de conhecimento produzido por coletivos de seres-humanos-com-
mídias. A popularização do lápis e papel ajudou a moldar um tipo de
educação e suas possibilidades.
É dessa forma que entendemos que a noção de seres-humanos-com-
mídias é vista neste livro, como uma forma de enfatizar que as
possibilidades do conhecimento, feito socialmente por coletivos, se alteram
com diferentes humanos e diferentes tecnologias. Nesse sentido, as quatro
fases aqui apresentadas tentam, na forma de zoom, detalhar as contribuições
e desconfortos (no sentido de que tornam artefatos naturais não mais tão
naturais) trazidos pelas incessantes camadas de novas tecnologias, que
brotam a cada instante no cotidiano da vida de uma parcela considerável da
população mundial.
Este livro ilustra como na quarta fase há uma intensificação do uso da
internet em todas as dimensões de nossas vidas. A sala de aula resiste, mas a
internet já faz parte dos coletivos que geram conhecimento, estando a sala de
aula conectada ou não. Já dissemos e mostramos que as tecnologias digitais
modificam o que é ser humano e como a própria noção de sala de aula está
em cheque (BORBA, 2012). Cremos que é possível dizer que a sala de aula
pode não mais se tornar a arena, o espaço físico onde a educação se dá
fundamentalmente. Assim como a lousa nem sempre existiu na sala de aula, é
possível que a sala de aula seja transformada, ou mesmo se dilua na internet.
O que era previsão ou conjectura em Borba (2012), já é realidade em uma
universidade inteira na Finlândia: a universidade sem sala de aula.69 Não é
possível saber se essa universidade é um ponto fora da curva ou se
representa uma tendência, mas parece cada vez mais que a internet, gerada
por coletivos de seres-humanos-com-outras-tecnologias, se incorpora a
novos coletivos de forma arrebatadora e transforma até mesmo o espaço
físico que talvez tenha resistido ao máximo à sua entrada: a sala de aula.
Hoje, no Brasil, com a imensidão do projeto de formação de professores
da UAB, e de outros cursos a distância, aproximadamente metade dos
professores que estão em formação não possuem a sala de aula física como
lócus central de sua educação. Serão professores em salas de aula
presenciais, mas sendo formados em um espaço físico que envolve polos, o
sofá da sua casa, a mesa do seu escritório, o seu celular, o seu computador e
a internet. Não é possível saber o que isso significa tanto em termos
pedagógicos como em termos de acesso. Não sabemos ainda se está se
dando de fato uma interiorização da educação pública e gratuita brasileira
que redundará em, pelo menos, redução do inchaço das grandes cidades e
uma maior “democracia geográfica”.
Sabemos também que o acesso à tecnologia não é igual para todos, e que
mais da metade da população mundial não tem acesso à internet ou não tem
noção do que venha a ser um computador. Um relatório da ONU, de outubro
de 2013,70 mostra que, embora o número de celulares no mundo praticamente
seja equivalente à população mundial, ainda há uma imensa parte da
população mundial sem acesso à internet. O Brasil não está bem situado, do
ponto de vista mundial, no item de acesso à internet. Por outro lado, a
imprensa nacional já noticia que há mais celulares que habitantes no país. A
tendência é que esses celulares passem a ter acesso à grande rede, tornando
esse acesso pessoal mais próximo da universalidade.
Este livro, então, tenta detalhar as possibilidades das tecnologias digitais
na educação matemática, entendida como um componente da educação, no
sentido que Freire tentava nos ensinar. Apresentamos diversos exemplos,
não para que sejam seguidos, mas em uma tentativa de dialogar de maneira
mais próxima com o professor, ou futuro professor. Esses exemplos são
ancorados na experiência coletiva, de um coletivo de seres-humanos-com-
mídias, que é o grupo de pesquisa GPIMEM, com sede em Rio Claro, mas
com conexões virtuais que extrapolam, em muito, os limites geográficos da
Unesp e da cidade.
Uma busca na página de nosso grupo de pesquisa71 e no Currículo Lattes
de seus integrantes permitirá ao leitor ver como nossas inquietações se
manifestam em projetos de pesquisa. São investigações acerca da qualidade
do uso de tecnologias digitais nos cursos da UAB e de novas formas de
incorporá-las na sala de aula presencial, virtual e híbrida. Um mapa do uso
das TD nas escolas do estado de São Paulo está em construção, assim como
continuam as investigações sobre PMD. A interface dessa discussão com a
tendência em educação matemática de organizar o currículo em torno de
projetos de modelagem, assim como a transformação do livro didático diante
da existência das tecnologias digitais são objetos de estudo.
Os autores deste livro constituem um dos inúmeros subgrupos desse
grupo de pesquisa e foi constituído por meio de encontros em congressos, de
orientação, de discussões formais e informais, mas, sobretudo, de projetos.
Foram projetos de pesquisa que uniram os três autores deste livro. Foram
encontros em congressos de educação que geraram o primeiro projeto, a que
se seguiram vários outros, e que ancoraram a noção de performance
matemática digital, um dos símbolos para nós da quarta fase. Assim, autores
que moram no Brasil, Canadá, ou já moraram em ambos os países,
constituíram um coletivo de seres-humanos-com-internet e se assumiram
enquanto seres-humanos que estão sendo modificados pela internet, mas que
se sentem empoderados para também tentar influenciar, mesmo que
minimamente, o caminho da internet e, em particular, da educação
matemática que nela se faz e que é moldada, também, por essa tecnologia.
Esperamos que o leitor se una a nós no projeto de modificar de forma
consciente os caminhos das tecnologias digitais na educação matemática.
Compreender as transformações que essas tecnologias trazem para a própria
noção do que é ser humano é um desafio que temos que enfrentar de forma
coletiva e dinâmica, já que somos modificados por elas e os artefatos
digitais estão em constante modificação.
 
68 <http://www.pt.wikipedia.org/wiki/Educa%C3%A7%C3%A3o>.69 <http://www.noticias.r7.com/educacao/fotos/finlandia-conheca-a-universidade-de-haaga-a-primeira-
do-mundo-sem-alunos-professores-ou-sala-de-aula-26112013#!/foto/1>.
70 <http://www.onu.org.br/onu-44-bilhoes-de-pessoas-permanecem-sem-acesso-a-internet/>.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Educa%C3%A7%C3%A3o
http://www.onu.org.br/onu-44-bilhoes-de-pessoas-permanecem-sem-acesso-a-internet/
71 <http://www.rc.unesp.br/gpimem>.
http://www.rc.unesp.br/gpimem
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ZWICKY, J. Wisdom and Metaphor. Kentville, NS: Gaspereau Press, 2000.
Outros títulos da coleção
“Tendências em Educação Matemática”
 
A matemática nos anos iniciais do ensino fundamental – Tecendo fios do
ensinar e do aprender
Autoras: Adair Mendes Nacarato, Brenda Leme da Silva Mengali, Cármen
Lúcia Brancaglion Passos
 
Álgebra para a formação do professor – Álgebra para a formação do
professor
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Análise de erros – O que podemos aprender com as respostas dos alunos
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Aprendizagem em Geometria na Educação Básica – A fotografia e a
escrita na sala de aula
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Brincar e jogar – Enlaces teóricos e metodológicos no campo da
educação matemática
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Da etnomatemática a arte-design e matrizes cíclicas
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Descobrindo a Geometria Fractal para a sala de aula
Autor: Ruy Madsen Barbosa
 
Diálogo e Aprendizagem em Educação Matemática
Autores: Helle Alro e Ole Skovsmose
 
Didática da Matemática – Uma análise da influência francesa
Autor: Luiz Carlos Pais
 
Educação a Distância online
Autores: Marcelo de Carvalho Borba, Ana Paula dos Santos Malheiros,
Rúbia Barcelos Amaral Zulatto
 
Educação Estatística - Teoria e prática em ambientes de modelagem
matemática
Autores: Celso Ribeiro Campos, Maria Lúcia Lorenzetti Wodewotzki,
Otávio Roberto Jacobini
 
Educação Matemática de Jovens e Adultos – especificidades, desafios e
contribuições
Autora: Maria da Conceição F. R. Fonseca
 
Etnomatemática – elo entre as tradições e a modernidade
Autor: Ubiratan D’Ambrosio
 
Etnomatemática em movimento
Autores: Gelsa Knijnik, Fernanda Wanderer, Ieda Maria Giongo, Claudia
Glavam Duarte
 
Filosofia da Educação Matemática
Autores: Maria Aparecida Viggiani Bicudo, Antonio Vicente Marafioti
Garnica
 
Formação Matemática do Professor – Licenciatura e prática docente
escolar
Autores: Plinio Cavalcante Moreira e Maria Manuela M. S. David
 
História na Educação Matemática – propostas e desafios
Autores: Antonio Miguel e Maria Ângela Miorim
 
Informática e Educação Matemática
Autores: Marcelo de Carvalho Borba, Miriam Godoy Penteado
 
Interdisciplinaridade e aprendizagem da Matemática em sala de aula
Autores: Vanessa Sena Tomaz e Maria Manuela M. S. David
 
Investigações matemáticas na sala de aula
Autores: João Pedro da Ponte, Joana Brocardo e Hélia Oliveira
 
Lógica e linguagem cotidiana – verdade coerência, comunicação,
argumentação
Autores: Nílson José Macado e Marisa Ortegoza da Cunha
 
Matemática e Arte
Autores: Dirceu Zaleski Filho
 
Modelagem em Educação Matemática
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Frederico da Costa de Azevedo Meyer
 
O uso da calculadora nos anos iniciais do ensino fundamental
Autoras: Ana Coelho Vieira Selva e Rute Elizabete de Souza Borba
 
Pesquisa Qualitativa em Educação Matemática
Organizadores: Marcelo de Carvalho Borba e Jussara de Loiola Araújo
(Orgs.)
 
Psicologia da Educação Matemática
Autor: Jorge Tarcísio da Rocha Falcão
 
Relações de gênero, Educação Matemática e discurso - Enunciados
sobre mulheres, homens e matemática
Autor: Maria Celeste Reis Fernandes de Souza, Maria da Conceição F. R.Fonseca
 
Tendências Internacionais em Formação de Professores de Matemática
Autor: Marcelo de Carvalho Borba (Org.)
 
 
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em Educação matemática
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Borba, Marcelo de Carvalho
Fases das tecnologias digitais em Educação Matemática : sala de aula e
internet em movimento / Marcelo de Carvalho Borba, Ricardo
Scucuglia R. da Silva, George Gadanidis. – 1. ed. ; 1. reimp. – Belo
Horizonte : Autêntica Editora, 2015. – (Coleção Tendências em
Educação Matemática)
 
Bibliogra�a.
ISBN 978-85-8217-499-9
 
1. Computadores - Estudo e ensino 2. Inovações educacionais 3.
Matemática - Estudo e ensino 4. Prática de ensino 5. Professores -
Formação pro�ssional 6. Técnicas digitais 7. Tecnologia educacional I.
Silva, Ricardo Scucuglia R. da. II. Gadanidis, George. III. Título. IV. Série.
 
14-09887                                     CDD-510.7
 
Índices para catálogo sistemático:
1. Tecnologia digital : Matemática : Estudo e ensino 510.7
 
 
 
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