Équations différentielles by Mario Lefebvre

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C e l i v re vise à faire comprendre le rôle et la pertinence des équations différentielles en génie, maîtriser les méthodes de 
base permettant de résoudre les équations différentielles, et connaître 
quelques équations aux dérivées partielles parmi les plus importantes 
en génie. Dans le cas des équations aux dérivées partielles, on insiste 
surtout sur la méthode de séparation des variables, de concert avec les 
séries de Fourier, pour les résoudre. Dans cette deuxième édition, 
plusieurs sections ont été ajoutées afin de compléter la théorie présen-
tée dans la première édition.
Puisque ce livre s’adresse avant tout aux étudiants en sciences 
appliquées, même si nous donnons la preuve de la plupart des résul-
tats mathématiques présentés, les exercices sont presque tous des 
applications de la théorie. Les étudiants doivent généralement trouver 
la solution explicite d’une équation différentielle donnée, sous 
 certaines conditions.
Nous illustrons le plus souvent les concepts théoriques à l’aide 
d’exemples typiques. De plus, le manuel contient plus de 460 exercices, 
dont plusieurs sont des problèmes déjà proposés en examen. Les 
réponses à tous les numéros pairs sont données en appendice.
Mario Lefebvre est professeur à l’École Polytechnique de Montréal.
www.pum.umontreal.ca Les Presses de l’Université de Montréal
Mario Lefebvre
isbn 978-2-7606-3618-7
Équations 
différentielles 
2e édition revue et augmentée
Équations différentielles
49,95 $ • 45 e
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équations différentielles
du même auteur 
 
Aux Presses de l’Université de Montréal
Exercices corrigés d’équations différentielles, 2012.
Aux Presses internationales Polytechnique, Montréal
Cours et exercices de probabilités appliquées, 2015. 
Cours et exercices de statistique mathématique appliquée, 2004. 
Probabilités, statistiques et applications, 2011.
Processus stochastiques appliqués, 2014. 
Chez Springer, New York
Applied Probability and Statistics, 2006. 
Applied Stochastic Processes, 2007. 
Basic Probability Theory with Applications, 2009.
Mario Lefebvre
équations 
différentielles
Deuxième édition revue et augmentée
Les Presses de l’Université de Montréal
Catalogage avant publication de Bibliothèque et Archives nationales du Québec et Bibliothèque 
et Archives Canada
Lefebvre, Mario, 1957-
 Équations différentielles 
 Deuxième édition. 
 (Paramètres) 
 Comprend des références bibliographiques.
 isbn 978-2-7606-3618-7
 1. Équations différentielles. 2. Équations différentielles - Problèmes et exercices. 
 I. Titre. II. Collection : Paramètres.
qa371.l43 2016 515’.35 c2015-942086-5
Dépôt légal : 1er trimestre 2016 
Bibliothèque et Archives nationales du Québec
© Les Presses de l’Université de Montréal, 2016
isbn (papier) 978-2-7606-3618-7 
isbn (pdf) 978-2-7606-3619-4
Les Presses de l’Université de Montréal remercient de leur soutien financier le Conseil des arts 
du Canada et la Société de développement des entreprises culturelles du Québec (SODEC).
Catalogage avant publication de Bibliothèque et Archives nationales du Québec 
et Bibliothèque et Archives Canada
Vedette principale au titre :
Précis de pharmacologie : du fondamental à la clinique
2e édition revue et augmentée
Comprend des références bibliographiques et un index.
isbn 978-2-7606-3452-7
1. Pharmacologie - Guides, manuels, etc. 2. Médicaments - Guides, manuels, etc. 
I. Beaulieu, Pierre, 1958- . II. Pichette, Vincent, 1965- . 
III. Desroches, Julie. IV. du Souich, Patrick.
rm301.12.p74 2015 615’.1 c2015-941317-6
isbn (papier) 978-2-7606-3452-7
isbn (pdf) 978-2-7606-3453-4
Dépôt légal : 4e trimestre 2015
Bibliothèque et Archives nationales du Québec
© Les Presses de l’Université de Montréal, 2015
Les Presses de l’Université de Montréal remercient de leur soutien financier le Conseil des arts du Canada 
et la Société de développement des entreprises culturelles du Québec (SODEC).
imprimé au canada
Nous reconnaissons l’appui financier du gouvernement du Canada. 
We acknowledge the financial support of the Government of Canada.
Avant-propos de la deuxième édition
Dans cette deuxième édition du manuel, plusieurs sections ont été
ajoutées afin de compléter la théorie présentée dans la première édition.
Par exemple, dans le dernier chapitre, il y a maintenant une section
dans laquelle l’utilisation de transformées intégrales pour résoudre des
équations aux dérivées partielles est présentée. De plus, il y a de nou-
veaux exercices à la fin de chacun des chapitres. Ces exercices sont
tous tirés d’examens donnés à l’École Polytechnique de Montréal dans
le cadre des cours de premier cycle sur les équations différentielles. Le
nombre total d’exercices dans cette nouvelle édition du manuel s’élève
à 461.
Le lecteur qui aimerait avoir les solutions des exercices proposés à la
fin des sections théoriques pourra consulter le manuel complémentaire
Exercices corrigés d’équations différentielles, du même auteur, publié
par les Presses de l’Université de Montréal en 2012. Cet ouvrage com-
porte en effet les solutions détaillées d’exercices semblables à la plupart
de ceux qui apparaissent dans les sections correspondantes du manuel
principal Équations différentielles.
Je désire remercier mon collègue Donatien N’Dri du département de
mathématiques et de génie industriel de l’École Polytechnique. Celui-ci
m’a fourni plusieurs exercices intéressants qui font partie de cette
deuxième édition du manuel.
Enfin, j’exprime de nouveau ma gratitude au directeur général des
Presses de l’Université de Montréal, M. Antoine Del Busso, et à son
équipe pour leur aide dans la réalisation de cet ouvrage.
Mario Lefebvre
Montréal, août 2015
Avant-propos de la deuxième édition
Dans cette deuxième édition du manuel, plusieurs sections ont été
ajoutées afin de compléter la théorie présentée dans la première édition.
Par exemple, dans le dernier chapitre, il y a maintenant une section
dans laquelle l’utilisation de transformées intégrales pour résoudre des
équations aux dérivées partielles est présentée. De plus, il y a de nou-
veaux exercices à la fin de chacun des chapitres. Ces exercices sont
tous tirés d’examens donnés à l’École Polytechnique de Montréal dans
le cadre des cours de premier cycle sur les équations différentielles. Le
nombre total d’exercices dans cette nouvelle édition du manuel s’élève
à 461.
Le lecteur qui aimerait avoir les solutions des exercices proposés à la
fin des sections théoriques pourra consulter le manuel complémentaire
Exercices corrigés d’équations différentielles, du même auteur, publié
par les Presses de l’Université de Montréal en 2012. Cet ouvrage com-
porte en effet les solutions détaillées d’exercices semblables à la plupart
de ceux qui apparaissent dans les sections correspondantes du manuel
principal Équations différentielles.
Je désire remercier mon collègue Donatien N’Dri du département de
mathématiques et de génie industriel de l’École Polytechnique. Celui-ci
m’a fourni plusieurs exercices intéressants qui font partie de cette
deuxième édition du manuel.
Enfin, j’exprime de nouveau ma gratitude au directeur général des
Presses de l’Université de Montréal, M. Antoine Del Busso, et à son
équipe pour leur aide dans la réalisation de cet ouvrage.
Mario Lefebvre
Montréal, août 2015
AVANT-PROPOS 
DE LA DEUXIÈME ÉDITION
Avant-propos
Ce livre est basé sur les notes de cours que j’ai écrites pour le cours
intitulé Équations différentielles à l’École Polytechnique de Montréal.
Ce cours est surtout pris par des étudiants de fin de première année
ou début de deuxième année. On tient pour acquis que ces étudiants
possèdent les notions élémentaires de calcul différentiel et d’algèbre
linéaire.
Le cours enseigné à l’École Polytechniquevise à faire comprendre le
rôle et la pertinence des équations différentielles en génie, mâıtriser les
méthodes de base permettant de résoudre les équations différentielles,
et connâıtre quelques équations aux dérivées partielles parmi les plus
importantes en génie. Dans le cas des équations aux dérivées partielles,
on insiste surtout sur la méthode de séparation des variables, de concert
avec les séries de Fourier, pour les résoudre.
Ce manuel comporte sept chapitres. Le premier chapitre fournit une
courte introduction au domaine des équations différentielles. Ensuite,
les équations différentielles ordinaires d’ordre un et d’ordre deux sont
l’objet des chapitres deux et trois, respectivement. Le chapitre trois est
le plus long du manuel. Cette matière constitue le noyau dur de tout
cours d’introduction aux équations différentielles.
Au chapitre quatre, nous traitons des systèmes d’équations différen-
tielles d’ordre un. Ce chapitre est suivi par celui sur les transformées
de Laplace. Ces transformées sont particulièrement utiles pour résoudre
des équations différentielles qui font intervenir des fonctions disconti-
nues. Dans ce chapitre cinq, nous introduisons la fonction delta de
Dirac.
Le chapitre six est consacré aux séries de Fourier, dont nous nous
servirons pour résoudre des équations aux dérivées partielles. Enfin,
nous présentons au chapitre sept les principales équations aux dérivées
partielles: l’équation de la chaleur, celle de Laplace, et l’équation
d’onde. Nous présentons aussi brièvement la dérivation des ces équa-
tions.
Puisque ce livre s’adresse avant tout aux étudiants en sciences appli-
quées, même si nous donnons la preuve de la plupart des résultats
mathématiques présentés, les exercices sont presque tous des appli-
cations de la théorie. Les étudiants doivent généralement trouver la
solution explicite d’une équation différentielle donnée, sous certaines
conditions.
AVANT-PROPOS 
Nous illustrons le plus souvent les concepts théoriques à l’aide
d’exemples typiques. De plus, le manuel contient près de 250 exerci-
ces, dont plusieurs sont des problèmes déjà proposés en examen. Les
réponses à tous les numéros pairs sont données en appendice.
Je tiens à remercier mes collègues de Polytechnique qui ont construit
le cours Équations différentielles et en ont été les responsables: Antoine
Saucier, Marc Laforest et Guy Jomphe. Leur travail m’a grandement
aidé dans la rédaction de mes notes de cours, puis ensuite de ce livre.
Finalement, j’exprime ma gratitude à M. Antoine Del Busso, direc-
teur général des Presses de l’Université de Montréal, et à son équipe
pour leur intérêt envers mon travail et leur aide dans la réalisation de
ce livre.
Mario Lefebvre
Montréal, novembre 2008
Avant-propos
Ce livre est basé sur les notes de cours que j’ai écrites pour le cours
intitulé Équations différentielles à l’École Polytechnique de Montréal.
Ce cours est surtout pris par des étudiants de fin de première année
ou début de deuxième année. On tient pour acquis que ces étudiants
possèdent les notions élémentaires de calcul différentiel et d’algèbre
linéaire.
Le cours enseigné à l’École Polytechnique vise à faire comprendre le
rôle et la pertinence des équations différentielles en génie, mâıtriser les
méthodes de base permettant de résoudre les équations différentielles,
et connâıtre quelques équations aux dérivées partielles parmi les plus
importantes en génie. Dans le cas des équations aux dérivées partielles,
on insiste surtout sur la méthode de séparation des variables, de concert
avec les séries de Fourier, pour les résoudre.
Ce manuel comporte sept chapitres. Le premier chapitre fournit une
courte introduction au domaine des équations différentielles. Ensuite,
les équations différentielles ordinaires d’ordre un et d’ordre deux sont
l’objet des chapitres deux et trois, respectivement. Le chapitre trois est
le plus long du manuel. Cette matière constitue le noyau dur de tout
cours d’introduction aux équations différentielles.
Au chapitre quatre, nous traitons des systèmes d’équations différen-
tielles d’ordre un. Ce chapitre est suivi par celui sur les transformées
de Laplace. Ces transformées sont particulièrement utiles pour résoudre
des équations différentielles qui font intervenir des fonctions disconti-
nues. Dans ce chapitre cinq, nous introduisons la fonction delta de
Dirac.
Le chapitre six est consacré aux séries de Fourier, dont nous nous
servirons pour résoudre des équations aux dérivées partielles. Enfin,
nous présentons au chapitre sept les principales équations aux dérivées
partielles: l’équation de la chaleur, celle de Laplace, et l’équation
d’onde. Nous présentons aussi brièvement la dérivation des ces équa-
tions.
Puisque ce livre s’adresse avant tout aux étudiants en sciences appli-
quées, même si nous donnons la preuve de la plupart des résultats
mathématiques présentés, les exercices sont presque tous des appli-
cations de la théorie. Les étudiants doivent généralement trouver la
solution explicite d’une équation différentielle donnée, sous certaines
conditions.
avant-propos w 9
1
Introduction
1.1 Concept d’équation différentielle et champs de
directions
Soit y = f(x1, x2, . . . , xn) une fonction de n variables réelles. On dit que
y est une variable dépendante et que x1, x2, . . . , xn sont des variables
indépendantes.
Définition 1.1.1. Une équation dans laquelle apparâıt (uniquement)
une variable dépendante et ses dérivées par rapport à une ou plusieurs
variables indépendantes est appelée équation différentielle.
Rappel. La dérivée dy/dx est le taux de variation instantané de y par
rapport à x.
Exemple 1.1.1. Une équation différentielle élémentaire est l’équation
y′(x) = x.
Des équations différentielles plus intéressantes sont
y′(x) = y(x) et y′(x) = y(x) + x.
L’équation
y′(x) = y(x) +
∫
y(x)dx
est un exemple d’équation intégro-différentielle, car elle fait intervenir
à la fois la dérivée de la fonction y et son intégrale. En dérivant les
deux membres de l’équation, on obtient l’équation différentielle
y′′(x) = y′(x) + y(x).
♦
1
Introduction
1.1 Concept d’équation différentielle et champs de
directions
Soit y = f(x1, x2, . . . , xn) une fonction de n variables réelles. On dit que
y est une variable dépendante et que x1, x2, . . . , xn sont des variables
indépendantes.
Définition 1.1.1. Une équation dans laquelle apparâıt (uniquement)
une variable dépendante et ses dérivées par rapport à une ou plusieurs
variables indépendantes est appelée équation différentielle.
Rappel. La dérivée dy/dx est le taux de variation instantané de y par
rapport à x.
Exemple 1.1.1. Une équation différentielle élémentaire est l’équation
y′(x) = x.
Des équations différentielles plus intéressantes sont
y′(x) = y(x) et y′(x) = y(x) + x.
L’équation
y′(x) = y(x) +
∫
y(x)dx
est un exemple d’équation intégro-différentielle, car elle fait intervenir
à la fois la dérivée de la fonction y et son intégrale. En dérivant les
deux membres de l’équation, on obtient l’équation différentielle
y′′(x) = y′(x) + y(x).
♦
1 
INTRODUCTION
champs de directions
12 w équations différ entielles
12 1 Introduction
Exemple 1.1.2. Selon la deuxième loi de Newton, l’accélération a d’un
objet de masse m soumis à une force F est donnée par
a =
1
m
F.
C’est-à-dire que l’accélération est proportionnelle à la force, et la cons-
tante de proportionnalité est 1/m. Si l’on suppose que l’objet en ques-
tion est en chute libre, et si l’on ne considère d’abord que la gravité,
alors
F = mg,
où la constante g (près de la surface de la terre) est environ égale à 9,8
m/s2. De plus,
a =
d2y
dt2
,
où y [= y(t)] est la distance parcourue par l’objet par rapport à une
hauteur fixée. Ainsi, onobtient l’équation différentielle
d2y
dt2
= g.
Si l’on tient compte de la résistance de l’air, l’équation ci-dessus
devient
d2y
dt2
= g − k0
m
dy
dt
:= g − kv, (1.1)
où l’on a supposé que la résistance de l’air est proportionnelle à la
vitesse v = dy/dt de l’objet. La constante k0 doit bien sûr être positive.
♦
Remarques. i) On peut réécrire l’équation (1.1) comme suit:
dv
dt
= g − kv. (1.2)
La solution v(t) ≡ g/k de cette équation différentielle est appelée solu-
tion d’équilibre, car elle correspond au cas où la vitesse v ne change pas
avec le temps t. Notons que l’on a bien d(g/k)/dt = 0, puisque g/k est
une constante.
ii) En réalité, la résistance de l’air est (approximativement) proportion-
nelle à la vitesse v de l’objet dans le cas de petits objets, et pour des
vitesses faibles. Pour des objets de grande taille et pour des vitesses
élevées, la résistance de l’air est plutôt proportionnelle au carré v2 de
la vitesse.
1.1 Concept d’équation différentielle et champs de directions 13
iii) Nous allons souvent utiliser la notation v′(t) pour la dérivée dv/dt.
Lorsque la variable indépendante t représente le temps dans le problème
considéré, on trouve aussi la notation v̇(t) pour cette dérivée, particu-
lièrement en physique. De même, on écrit v′′(t) ou v̈(t) pour d2v/dt2,
etc.
Maintenant, considérons l’équation différentielle
dy(t)
dt
= f(t, y(t)). (1.3)
Sans résoudre explicitement cette équation, on peut avoir une bonne
idée du comportement de ses solutions en traçant (à l’aide d’un logiciel
mathématique) un champ de directions: on évalue d’abord la fonction
f en chacun des centaines de points d’une grille rectangulaire; ensuite,
pour chacun des points, on trace un petit segment de droite ayant pour
pente la valeur de la fonction f calculée en ce point.
Exemple 1.1.3. Supposons que k = 2 dans l’équation (1.2). Alors,
avec g = 9,8, on doit résoudre
dv
dt
= 9,8 − 2v.
En fait, il est facile d’obtenir la solution générale de cette équation
différentielle, comme nous le verrons plus loin. Cependant, on peut
d’abord faire tracer un champ de directions. En se servant du logiciel
Maple, on obtient la figure 1.1. Notons que la solution d’équilibre est
celle pour laquelle v(t) ≡ 4,9 et que la pente des segments de droite
tend effectivement vers zéro près de cette valeur de v. ♦
Remarque. Les champs de directions sont surtout utiles lorsque nous ne
pouvons pas résoudre explicitement l’équation différentielle correspon-
dante.
Exercices
1-1. Trouver toutes les solutions de l’équation différentielle
y′(x) = x.
1-2. Trouver une solution de la forme y(x) = −x + c, où c est une
constante à déterminer, de l’équation différentielle
y′(x) = y(x) + x.
champs de directions w 13
12 1 Introduction
Exemple 1.1.2. Selon la deuxième loi de Newton, l’accélération a d’un
objet de masse m soumis à une force F est donnée par
a =
1
m
F.
C’est-à-dire que l’accélération est proportionnelle à la force, et la cons-
tante de proportionnalité est 1/m. Si l’on suppose que l’objet en ques-
tion est en chute libre, et si l’on ne considère d’abord que la gravité,
alors
F = mg,
où la constante g (près de la surface de la terre) est environ égale à 9,8
m/s2. De plus,
a =
d2y
dt2
,
où y [= y(t)] est la distance parcourue par l’objet par rapport à une
hauteur fixée. Ainsi, on obtient l’équation différentielle
d2y
dt2
= g.
Si l’on tient compte de la résistance de l’air, l’équation ci-dessus
devient
d2y
dt2
= g − k0
m
dy
dt
:= g − kv, (1.1)
où l’on a supposé que la résistance de l’air est proportionnelle à la
vitesse v = dy/dt de l’objet. La constante k0 doit bien sûr être positive.
♦
Remarques. i) On peut réécrire l’équation (1.1) comme suit:
dv
dt
= g − kv. (1.2)
La solution v(t) ≡ g/k de cette équation différentielle est appelée solu-
tion d’équilibre, car elle correspond au cas où la vitesse v ne change pas
avec le temps t. Notons que l’on a bien d(g/k)/dt = 0, puisque g/k est
une constante.
ii) En réalité, la résistance de l’air est (approximativement) proportion-
nelle à la vitesse v de l’objet dans le cas de petits objets, et pour des
vitesses faibles. Pour des objets de grande taille et pour des vitesses
élevées, la résistance de l’air est plutôt proportionnelle au carré v2 de
la vitesse.
1.1 Concept d’équation différentielle et champs de directions 13
iii) Nous allons souvent utiliser la notation v′(t) pour la dérivée dv/dt.
Lorsque la variable indépendante t représente le temps dans le problème
considéré, on trouve aussi la notation v̇(t) pour cette dérivée, particu-
lièrement en physique. De même, on écrit v′′(t) ou v̈(t) pour d2v/dt2,
etc.
Maintenant, considérons l’équation différentielle
dy(t)
dt
= f(t, y(t)). (1.3)
Sans résoudre explicitement cette équation, on peut avoir une bonne
idée du comportement de ses solutions en traçant (à l’aide d’un logiciel
mathématique) un champ de directions: on évalue d’abord la fonction
f en chacun des centaines de points d’une grille rectangulaire; ensuite,
pour chacun des points, on trace un petit segment de droite ayant pour
pente la valeur de la fonction f calculée en ce point.
Exemple 1.1.3. Supposons que k = 2 dans l’équation (1.2). Alors,
avec g = 9,8, on doit résoudre
dv
dt
= 9,8 − 2v.
En fait, il est facile d’obtenir la solution générale de cette équation
différentielle, comme nous le verrons plus loin. Cependant, on peut
d’abord faire tracer un champ de directions. En se servant du logiciel
Maple, on obtient la figure 1.1. Notons que la solution d’équilibre est
celle pour laquelle v(t) ≡ 4,9 et que la pente des segments de droite
tend effectivement vers zéro près de cette valeur de v. ♦
Remarque. Les champs de directions sont surtout utiles lorsque nous ne
pouvons pas résoudre explicitement l’équation différentielle correspon-
dante.
Exercices
1-1. Trouver toutes les solutions de l’équation différentielle
y′(x) = x.
1-2. Trouver une solution de la forme y(x) = −x + c, où c est une
constante à déterminer, de l’équation différentielle
y′(x) = y(x) + x.
14 w équations différ entielles
14 1 Introduction
 
2
4
6
8
v(t)
0 1 2 3 4 5
t
Fig. 1.1. Champ de directions pour l’exemple 1.1.2.
1-3. Transformer l’équation intégro-différentielle
[
y′(x)
]2 = y(x) +
∫
y(x)dx
en une équation différentielle.
1-4. Trouver une solution de la forme y(x) = ecx, où c est une constante
à déterminer, de l’équation différentielle
y′′(x) = y′(x) + y(x).
1-5. Déterminer la ou les solutions d’équilibre de l’équation différen-
tielle
dy(t)
dt
= y(t) [y(t) − 1] .
1-6. Faire tracer, par un logiciel mathématique, un champ de directions
pour l’équation différentielle de l’exercice précédent.
1.2 Solutions générales et solutions particulières des
équations différentielles
Supposons que l’objet en chute libre dans l’exemple 1.1.2 est immobile
à l’instant initial t = 0. C’est-à-dire que
solutions générales et solutions particulières w 15
1.2 Solutions générales et solutions particulières des équations différentielles 15
v(0) = 0. (1.4)
Cette condition est appelée condition initiale. Un exemple de problème
de valeur initiale est celui pour lequel on doit trouver la solution d’une
équation différentielle comme (1.2) qui satisfait à la condition initiale
(1.4).
En réécrivant l’équation (1.2) comme suit:
dv
v − (g/k)
= −kdt, (1.5)
où l’on doit supposer que v �= g/k, et en intégrant les deux membres
de l’équation, on obtient que
ln |v − (g/k)| = −kt + c0, (1.6)
où c0 est une constante d’intégration. Il s’ensuit que
|v − (g/k)| = exp{−kt + c0} =⇒ v − (g/k) = ± exp{−kt + c0}.
(1.7)
Puisque c0 est une constante arbitraire, on peut écrire que
v(t) = (g/k) + ce−kt, (1.8)
où c est une constante qui est déterminée de façon unique en utilisant
la condition initiale (1.4). En effet, en posant t = 0 ci-dessus, on trouveque
0 = v(0) = (g/k) + c; (1.9)
c’est-à-dire que
c = −g/k. (1.10)
Donc, la solution du problème de valeur initiale est
v(t) = (g/k)
(
1 − e−kt
)
. (1.11)
Remarques. i) Notons que la vitesse v(t) n’est jamais égale à g/k dans
la solution (1.8) si c �= 0, de sorte que l’on pouvait effectivement avoir
v − (g/k) au dénominateur dans (1.5). Le cas où c = 0 est la solution
d’équilibre que nous avons déjà obtenue et pour laquelle dv/dt ≡ 0.
ii) La fonction v(t) donnée en (1.8) est la solution générale de l’équa-
tion différentielle (1.2). Plusieurs solutions particulières obtenues pour
diverses valeurs de la constante c (avec g = 9,8 et k = 2) sont présentées
dans la figure 1.2. La solution qui correspond à c = −g/k = −4,9 est
la courbe continue dans le graphique.
solutions générales et solutions particulières
16 w équations différ entielles
16 1 Introduction
–5
0
5
10
15
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
t
Fig. 1.2. Diverses solutions particulières de l’équation différentielle (1.2).
Exercices
1-7. Obtenir la solution particulière de l’équation différentielle
dv(t)
dt
= 9,8 − 2v(t) pour t > 0
qui satisfait à la condition initiale v(0) = 1.
1-8. Si −v(t) = dy(t)/dt dans l’exercice précédent, et si y(0) = 10,
pour quelle valeur t0 de t aura-t-on y(t0) = 0?
Remarques. i) Ici, y(t) représente la hauteur d’un objet par rapport au
sol.
ii) On peut résoudre l’équation obtenue à l’aide d’un logiciel mathéma-
tique.
1.3 Classification des équations différentielles
Définition 1.3.1. Lorsque la variable dépendante y est une fonction
d’au moins deux variables indépendantes et que l’équation différentielle
implique des dérivées par rapport à au moins deux de ces variables
indépendantes, l’équation en question est dite équation aux dérivées
partielles. Si l’équation différentielle ne fait intervenir qu’une ou
plusieurs dérivées par rapport à une seule variable indépendante, il
s’agit d’une équation différentielle ordinaire.
classification des équations différentielles
classification des équations différentielles w 17
16 1 Introduction
–5
0
5
10
15
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
t
Fig. 1.2. Diverses solutions particulières de l’équation différentielle (1.2).
Exercices
1-7. Obtenir la solution particulière de l’équation différentielle
dv(t)
dt
= 9,8 − 2v(t) pour t > 0
qui satisfait à la condition initiale v(0) = 1.
1-8. Si −v(t) = dy(t)/dt dans l’exercice précédent, et si y(0) = 10,
pour quelle valeur t0 de t aura-t-on y(t0) = 0?
Remarques. i) Ici, y(t) représente la hauteur d’un objet par rapport au
sol.
ii) On peut résoudre l’équation obtenue à l’aide d’un logiciel mathéma-
tique.
1.3 Classification des équations différentielles
Définition 1.3.1. Lorsque la variable dépendante y est une fonction
d’au moins deux variables indépendantes et que l’équation différentielle
implique des dérivées par rapport à au moins deux de ces variables
indépendantes, l’équation en question est dite équation aux dérivées
partielles. Si l’équation différentielle ne fait intervenir qu’une ou
plusieurs dérivées par rapport à une seule variable indépendante, il
s’agit d’une équation différentielle ordinaire.
1.3 Classification des équations différentielles 17
Exemple 1.3.1. L’équation (1.1) est un exemple d’équation différen-
tielle ordinaire, car elle ne contient que des dérivées ordinaires, soit
d2y/dt2 et dy/dt. Un exemple important d’équation aux dérivées par-
tielles est l’équation de Laplace (en trois dimensions):
∇2f(x, y, z) := ∂
2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
+
∂2f
∂z2
= 0. (1.12)
♦
Remarque. Dans le cas des dérivées partielles, nous allons parfois rem-
placer ∂f/∂x par fx, et ∂2f/∂y2 par fyy, etc.
Supposons maintenant que les variables x et y dépendent de la varia-
ble t, et que x(t) et y(t) satisfont aux équations différentielles
dx
dt
= f1(t)x + f2(t)y, (1.13)
dy
dt
= g1(t)x + g2(t)y. (1.14)
En général, pour déterminer explicitement x(t) et y(t), il faut résoudre
les deux équations différentielles en même temps. Nous avons alors un
système d’équations différentielles.
Définition 1.3.2. On appelle ordre d’une équation différentielle (ordi-
naire ou aux dérivées partielles) l’ordre de la dérivée la plus élevée
qu’elle contient.
Exemple 1.3.2. L’équation (1.1) est une équation différentielle d’ordre
deux, tandis que (1.2) est une équation d’ordre un. L’équation de
Laplace est une équation aux dérivées partielles d’ordre deux. ♦
Remarque. Dans le cas d’une équation différentielle ordinaire d’ordre n,
on peut écrire que
g
(
t, y, y′, y′′, . . . , y(n)
)
= 0, (1.15)
et on suppose qu’il est possible d’isoler y(n) dans l’équation, de sorte
que
y(n) = f
(
t, y, y′, y′′, . . . , y(n−1)
)
. (1.16)
Notons que nous utilisons la notation y(n)(t) pour la dérivée d’ordre n
dny/dtn, et ce, à partir de n = 4.
18 w équations différ entielles
18 1 Introduction
Définition 1.3.3. Une solution de l’équation différentielle (1.16) dans
un intervalle (a, b) est une fonction (connue) y dont les dérivées d’ordre
1, 2, . . ., n existent dans cet intervalle et sont telles que cette équation
est satisfaite.
Définition 1.3.4. Une équation différentielle est dite linéaire si elle
n’implique que des fonctions linéaires de la variable dépendante et de
toutes les dérivées qu’elle contient.
Exemple 1.3.3. L’équation (1.15) est linéaire si et seulement si on
peut écrire que
an(t)y(n) + an−1(t)y(n−1) + . . . + a0(t)y = h(t).
Un exemple d’équation différentielle non linéaire est le suivant:
(
∂2f
∂x2
)2
+ y
∂2f
∂y2
= 0. (1.17)
♦
Remarque. Parfois, en utilisant des approximations, il est possible de
linéariser une équation différentielle non linéaire.
Exercices
1-9. Trouver toutes les solutions de la forme
f(x, y, z) = ax2 + by + cz2
de l’équation de Laplace:
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
+
∂2f
∂z2
= 0,
où a, b et c sont des constantes à déterminer.
1-10. Déterminer l’ordre des équations différentielles suivantes:
(a) [y′(x)]2 = y(x) + y3(x);
(b) y′′(x) =
1
y(x)
+ x4;
(c) y(x)y′(x) = ey(x) + y3(x);
(d) ey
′(x) =
1
y′′′(x)
+ y4(x).
1.4 Exercices supplémentaires 19
1-11. Isoler y′′(x) dans les équations différentielles suivantes:
(a) y′(x)ey
′′(x) = y′(x) + y2(x);
(b) [y′′(x) + y′(x)]2 = ey(x) + x2.
1-12. Dire si les équations différentielles suivantes sont linéaires ou non
linéaires:
(a)
∂2f
∂x2
+ y2
∂2f
∂y2
= 0;
(b) exp
{
∂f
∂x
}
+ y
∂f
∂y
= 0;
(c)
∂f
∂x
∂f
∂y
+ x = 0;
(d) y
∂2f
∂x2
+ ey
∂f
∂y
= 0.
1-13. Trouver toutes les solutions de l’équation de Laplace en deux
dimensions:
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
= 0
qui sont de la forme f(x, y) = ax + bx2 + cy2, où a, b et c sont des
constantes à déterminer.
1.4 Exercices supplémentaires
1-14. Trouver une solution de la forme
y(x) = cex
2/2 + c0
de l’équation différentielle ordinaire
y′(x) = x [y(x) + 1].
1-15. On considère l’équation intégro-différentielle
y(x)y′(x) = y(x)
∫
y(x)dx + 1.
(a) Transformer cette équation en une équation différentielle pour y(x).
(b) Dire si l’équation différentielle obtenue est linéaire ou non.
exercices supplémentaires w 19
18 1 Introduction
Définition 1.3.3. Une solution de l’équation différentielle (1.16) dans
un intervalle (a, b) est une fonction (connue) y dont les dérivées d’ordre
1, 2, . . ., n existent dans cet intervalle et sont telles que cette équation
est satisfaite.
Définition 1.3.4. Une équation différentielle est dite linéaire si elle
n’implique que des fonctions linéaires de la variable dépendante et de
toutes les dérivées qu’elle contient.
Exemple 1.3.3. L’équation (1.15) est linéaire si et seulement si on
peut écrire que
an(t)y(n) + an−1(t)y(n−1) + . . . + a0(t)y = h(t).
Un exemple d’équation différentielle non linéaire est le suivant:
(
∂2f
∂x2
)2
+ y
∂2f
∂y2
= 0. (1.17)
♦
Remarque. Parfois, en utilisant des approximations, il est possiblede
linéariser une équation différentielle non linéaire.
Exercices
1-9. Trouver toutes les solutions de la forme
f(x, y, z) = ax2 + by + cz2
de l’équation de Laplace:
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
+
∂2f
∂z2
= 0,
où a, b et c sont des constantes à déterminer.
1-10. Déterminer l’ordre des équations différentielles suivantes:
(a) [y′(x)]2 = y(x) + y3(x);
(b) y′′(x) =
1
y(x)
+ x4;
(c) y(x)y′(x) = ey(x) + y3(x);
(d) ey
′(x) =
1
y′′′(x)
+ y4(x).
1.4 Exercices supplémentaires 19
1-11. Isoler y′′(x) dans les équations différentielles suivantes:
(a) y′(x)ey
′′(x) = y′(x) + y2(x);
(b) [y′′(x) + y′(x)]2 = ey(x) + x2.
1-12. Dire si les équations différentielles suivantes sont linéaires ou non
linéaires:
(a)
∂2f
∂x2
+ y2
∂2f
∂y2
= 0;
(b) exp
{
∂f
∂x
}
+ y
∂f
∂y
= 0;
(c)
∂f
∂x
∂f
∂y
+ x = 0;
(d) y
∂2f
∂x2
+ ey
∂f
∂y
= 0.
1-13. Trouver toutes les solutions de l’équation de Laplace en deux
dimensions:
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
= 0
qui sont de la forme f(x, y) = ax + bx2 + cy2, où a, b et c sont des
constantes à déterminer.
1.4 Exercices supplémentaires
1-14. Trouver une solution de la forme
y(x) = cex
2/2 + c0
de l’équation différentielle ordinaire
y′(x) = x [y(x) + 1].
1-15. On considère l’équation intégro-différentielle
y(x)y′(x) = y(x)
∫
y(x)dx + 1.
(a) Transformer cette équation en une équation différentielle pour y(x).
(b) Dire si l’équation différentielle obtenue est linéaire ou non.
exercices supplémentaires
20 w équations différ entielles
20 1 Introduction
1-16. Quel est l’ordre des équations différentielles suivantes? Sont-elles
linéaires ou non linéaires?
(a) y′(t) + t3y2(t) = 0;
(b)
∂2f(x, y)
∂x2
+ y2
∂f(x, y)
∂x
+ x3
∂f(x, y)
∂y
= exy.
1-17. Dire si les équations différentielles suivantes sont linéaires ou non
linéaires:
(a) y′′(t) + t2y′(t) + y(t) = et;
(b) y(4)(t) + y′(t) = cos t;
(c) y′(t) + y−1(t) = t;
(d) y′′′(t) + y′(t)y(t) = 0.
1-18. (a) Déterminer la ou les solutions d’équilibre de l’équation
différentielle
dy(t)
dt
= y1/2(t)
[
y1/2(t) − 1
]
.
(b) Trouver une solution de la forme y(t) =
(
ect + 1
)2, où c est une
constante à déterminer, de l’équation différentielle en (a).
1-19. Trouver toutes les solutions de l’équation de la chaleur
∂u(x, t)
∂t
= 2
∂2u(x, t)
∂x2
qui sont de la forme u(x, t) = ect [cos(ax) + sin(bx)], où a, b et c sont
des constantes à déterminer.
1-20. Le champ de directions dans la figure 1.3 a été tracé par le logiciel
Maple à partir d’une équation différentielle d’ordre un pour la fonction
y(x).
(a) Donner la forme des solutions de l’équation différentielle en ques-
tion.
(b) Quelle est l’équation différentielle à laquelle la fonction y(x) satis-
fait?
1-21. Trouver toutes les solutions de l’équation de Laplace
∂2f(x, y)
∂x2
+
∂2f(x, y)
∂y2
= 0
qui peuvent être écrites sous la forme f(x, y) = g(z), où z := x + y.
1.4 Exercices supplémentaires 21
–2
–1
0
1
2
y(x)
–2 –1 1 2
x
Fig. 1.3. Champ de directions pour l’exercice 1-20.
exercices supplémentaires w 21
1.4 Exercices supplémentaires 21
–2
–1
0
1
2
y(x)
–2 –1 1 2
x
Fig. 1.3. Champ de directions pour l’exercice 1-20.
2
Équations différentielles ordinaires d’ordre un
2.1 Équations à variables séparables
Considérons l’équation différentielle ordinaire du premier ordre (ou
d’ordre un)
dy
dx
= f(x, y). (2.1)
On peut toujours la réécrire sous la forme
N(x, y)
dy
dx
+ M(x, y) = 0 ⇐⇒ N(x, y)dy + M(x, y)dx = 0. (2.2)
Définition 2.1.1. Si on peut écrire que M(x, y) = M(x) et N(x, y) =
N(y) dans l’équation (2.2), de sorte que
M(x)dx + N(y)dy = 0, (2.3)
alors on dit qu’il s’agit d’une équation différentielle à variables sépa-
rables.
Pour résoudre l’équation différentielle (2.3), on la réécrit d’abord
sous la forme
M(x) + N(y)
dy
dx
= 0 ⇐⇒ d
dx
[∫
M(x)dx +
∫
N(y)dy
]
= 0,
(2.4)
où on a utilisé le fait que
dg(y)
dx
=
dg(y)
dy
dy
dx
. (2.5)
2
Équations différentielles ordinaires d’ordre un
2.1 Équations à variables séparables
Considérons l’équation différentielle ordinaire du premier ordre (ou
d’ordre un)
dy
dx
= f(x, y). (2.1)
On peut toujours la réécrire sous la forme
N(x, y)
dy
dx
+ M(x, y) = 0 ⇐⇒ N(x, y)dy + M(x, y)dx = 0. (2.2)
Définition 2.1.1. Si on peut écrire que M(x, y) = M(x) et N(x, y) =
N(y) dans l’équation (2.2), de sorte que
M(x)dx + N(y)dy = 0, (2.3)
alors on dit qu’il s’agit d’une équation différentielle à variables sépa-
rables.
Pour résoudre l’équation différentielle (2.3), on la réécrit d’abord
sous la forme
M(x) + N(y)
dy
dx
= 0 ⇐⇒ d
dx
[∫
M(x)dx +
∫
N(y)dy
]
= 0,
(2.4)
où on a utilisé le fait que
dg(y)
dx
=
dg(y)
dy
dy
dx
. (2.5)
2 
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 
ORDINAIRES D’ORDRE UN
équations à variables séparables
24 w équations différ entielles
24 2 Équations différentielles ordinaires d’ordre un
Ensuite, il suffit d’intégrer les deux membres de l’équation par rap-
port à x: ∫
M(x)dx +
∫
N(y)dy = c, (2.6)
où c est une constante arbitraire. On peut aussi écrire que
∫ x
M(u)du +
∫ y
N(u)du = c. (2.7)
Remarque. L’équation ci-dessus donne une solution implicite de l’équa-
tion différentielle (2.3). Pour obtenir une solution explicite, il faut isoler
y dans l’équation, ce qui est généralement difficile ou même impossible.
Si on impose la condition y(x0) = y0, alors on trouve que la solution
qui satisfait à cette condition est telle que
∫ x0
M(u)du +
∫ y0
N(u)du = c. (2.8)
Il s’ensuit [en soustrayant l’équation (2.8) de l’équation (2.7)] que
∫ x
x0
M(u)du +
∫ y
y0
N(u)du = 0. (2.9)
Exemple 2.1.1. Considérons l’équation différentielle non linéaire
y′(x) = −x
2(y − 2)
(x + 2)y2
.
On peut la réécrire comme suit:
y2
y − 2
dy +
x2
x + 2
dx = 0 (si y �= 2)
⇐⇒ (
y + 2 +
4
y − 2
)
dy +
(
x − 2 + 4
x + 2
)
dx = 0.
Il s’ensuit que
1
2
y2 + 2y + 4 ln |y − 2| + 1
2
x2 − 2x + 4 ln |x + 2| = c.
On ne peut malheureusement pas isoler y dans cette équation pour
obtenir une solution explicite. Par contre, dans le cas de l’équation
différentielle
équations à variables séparables w 25
2.1 Équations à variables séparables 25
y′(x) = −x
2
y2
,
on trouve que
y2dy + x2dx = 0 =⇒ 1
3
y3 +
1
3
x3 = c.
Puisque c est arbitraire, on déduit que
y3 + x3 = c0 =⇒ y =
(
c0 − x3
)1/3
.
Supposons que y(0) = 1. Alors on obtient que c0 = 1, de sorte que
y(x) =
(
1 − x3
)1/3
.
♦
Remarque. La solution ci-dessus est valable pour toute valeur réelle
de x. Par contre, dans le cas de la première équation différentielle con-
sidérée dans cet exemple, on voit qu’il faut (au moins) que la variable
indépendante x soit supérieure à −2 ou inférieure à −2. C’est-à-dire
que l’intervalle de validité (a, b) de la solution est (au plus) l’intervalle
(−2,∞) ou l’intervalle (−∞,−2).
2.1.1 Équations homogènes
Certaines équations qui ne sont pas à variables séparables peuvent être
transformées en équations à variables séparables à l’aide d’un change-
ment de variable approprié.
Définition 2.1.2. La fonction f(x, y) est dite homogène de degré n
si
f(tx, ty) = tnf(x, y) (2.10)
pour un n ∈ {0, 1, . . .}.
Remarque. Il peut y avoir des contraintes sur les variables x, y et t.
Définition 2.1.3. L’équation différentielle
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (2.11)
est dite homogène si les fonctions M et N sont homogènes de même
degré.
26 w équations différ entielles
26 2 Équations différentielles ordinaires d’ordre un
Remarques. i) De façon équivalente, on peut affirmer que l’équation
dy
dx
= f(x, y) (2.12)
est homogène si et seulement si la fonction f(x, y) est homogène de
degré 0.
ii) Le terme homogène est aussi utilisé pour décrire une équation
différentielle dans laquelle n’apparâıt que des fonctions de la variable
dépendante y et de ses dérivées. Par exemple,
y′(x) + y(x) = 0 (2.13)
est homogène, mais pas
y′(x) + y(x) = x. (2.14)
Le contexte d’utilisation devraitpermettre d’éviter la confusion entre
les deux sens du terme homogène.
Pour résoudre une équation différentielle homogène, on pose
f(x, y) = −M(x, y)
N(x, y)
, (2.15)
et on définit u = y/x. On a:
f(tx, ty) = −M(tx, ty)
N(tx, ty)
= − t
nM(x, y)
tnN(x, y)
= f(x, y). (2.16)
En choisissant t = 1/x, on obtient que
f(1, u) = f(x, y). (2.17)
Maintenant, puisque y = xu, on peut écrire que
dy
dx
= f(x, y) =⇒ u + xdu
dx
= f(1, u). (2.18)
Si f(1, u) = u, alors u ≡ c et y(x) = cx. Dans le cas où f(1, u) �= u, on
peut séparer les variables:
dx
x
=
du
f(1, u) − u
. (2.19)
2.1 Équations à variables séparables 27
Exemple 2.1.2. L’équation différentielle
dy
dx
=
x − y
x + y
n’est pas directement à variables séparables. Cependant, on peut écrire
que
dy
dx
=
1 − (y/x)
1 + (y/x)
u=y/x
=⇒ u + xdu
dx
=
1 − u
1 + u
,
d’où l’on déduit que
dx
x
=
du
1−u
1+u − u
=⇒ 1
x
dx =
1 + u
1 − 2u − u2
du.
En intégrant de chaque côté, on trouve que
−1
2
ln |1−2u−u2| = ln |x|+c =⇒ −1
2
ln |1−2(y/x)−(y/x)2| = ln |x|+c
(que l’on peut simplifier). ♦
Remarque. L’équation différentielle dans l’exemple précédent est homo-
gène, car M(x, y) = −(x − y) et N(x, y) = x + y sont homogènes de
degré 1, ou bien f(x, y) = x−yx+y est homogène de degré 0.
Exercices
2-1. Résoudre (explicitement, si possible) les équations différentielles
ordinaires suivantes:
(a) x2dx +
y
y + 1
dy = 0;
(b)
x
x + 1
dx + y2dy = 0 pour x > −1;
(c) sin(x) cos(x)dx + yey dy = 0;
(d)
lnx
x
dx +
y2
y + 1
dy = 0 pour x > 0.
2-2. Séparer, si possible, les variables dans les équations suivantes:
(a) y′(x) =
x + ex
x2y2
;
(b) y′(x) =
xex
x2 + y2
;
équations à variables séparables w 27
26 2 Équations différentielles ordinaires d’ordre un
Remarques. i) De façon équivalente, on peut affirmer que l’équation
dy
dx
= f(x, y) (2.12)
est homogène si et seulement si la fonction f(x, y) est homogène de
degré 0.
ii) Le terme homogène est aussi utilisé pour décrire une équation
différentielle dans laquelle n’apparâıt que des fonctions de la variable
dépendante y et de ses dérivées. Par exemple,
y′(x) + y(x) = 0 (2.13)
est homogène, mais pas
y′(x) + y(x) = x. (2.14)
Le contexte d’utilisation devrait permettre d’éviter la confusion entre
les deux sens du terme homogène.
Pour résoudre une équation différentielle homogène, on pose
f(x, y) = −M(x, y)
N(x, y)
, (2.15)
et on définit u = y/x. On a:
f(tx, ty) = −M(tx, ty)
N(tx, ty)
= − t
nM(x, y)
tnN(x, y)
= f(x, y). (2.16)
En choisissant t = 1/x, on obtient que
f(1, u) = f(x, y). (2.17)
Maintenant, puisque y = xu, on peut écrire que
dy
dx
= f(x, y) =⇒ u + xdu
dx
= f(1, u). (2.18)
Si f(1, u) = u, alors u ≡ c et y(x) = cx. Dans le cas où f(1, u) �= u, on
peut séparer les variables:
dx
x
=
du
f(1, u) − u
. (2.19)
2.1 Équations à variables séparables 27
Exemple 2.1.2. L’équation différentielle
dy
dx
=
x − y
x + y
n’est pas directement à variables séparables. Cependant, on peut écrire
que
dy
dx
=
1 − (y/x)
1 + (y/x)
u=y/x
=⇒ u + xdu
dx
=
1 − u
1 + u
,
d’où l’on déduit que
dx
x
=
du
1−u
1+u − u
=⇒ 1
x
dx =
1 + u
1 − 2u − u2
du.
En intégrant de chaque côté, on trouve que
−1
2
ln |1−2u−u2| = ln |x|+c =⇒ −1
2
ln |1−2(y/x)−(y/x)2| = ln |x|+c
(que l’on peut simplifier). ♦
Remarque. L’équation différentielle dans l’exemple précédent est homo-
gène, car M(x, y) = −(x − y) et N(x, y) = x + y sont homogènes de
degré 1, ou bien f(x, y) = x−yx+y est homogène de degré 0.
Exercices
2-1. Résoudre (explicitement, si possible) les équations différentielles
ordinaires suivantes:
(a) x2dx +
y
y + 1
dy = 0;
(b)
x
x + 1
dx + y2dy = 0 pour x > −1;
(c) sin(x) cos(x)dx + yey dy = 0;
(d)
lnx
x
dx +
y2
y + 1
dy = 0 pour x > 0.
2-2. Séparer, si possible, les variables dans les équations suivantes:
(a) y′(x) =
x + ex
x2y2
;
(b) y′(x) =
xex
x2 + y2
;
28 w équations différ entielles
28 2 Équations différentielles ordinaires d’ordre un
(c) y′(x) =
y + ey
x2y2
;
(d) y′(x) =
yey
x2 + y2
.
2-3. Déterminer si les équations différentielles suivantes sont homo-
gènes:
(a) (x + y)dx + (x + 2y)dy = 0;
(b) (x2 + y2)dx + xydy = 0;
(c) (x + y)dx + cos(y)dy = 0;
(d) x2dx + ydy = 0;
(e) dx +
x + y
x − y
dy = 0.
2-4. Résoudre les équations différentielles ordinaires homogènes sui-
vantes:
(a) y′(x) =
xy
x2 + y2
;
(b) y′(x) =
y3
x(x2 + y2)
;
(c) y′(x) =
x
x + 2y
.
2.2 Équations exactes
Dans la section précédente, nous avons considéré le cas où les fonctions
M(x, y) et N(x, y) dans l’équation différentielle
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (2.20)
sont telles que M(x, y) = M(x) et N(x, y) = N(y), de sorte que
l’équation en question est à variables séparables. Supposons maintenant
qu’il existe une fonction f(x, y) pour laquelle
∂f
∂x
= M(x, y) et
∂f
∂y
= N(x, y). (2.21)
Alors l’équation (2.20) peut être réécrite comme suit:
∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
dy = 0 ⇐⇒ df(x, y) = 0. (2.22)
2.2 Équations exactes 29
C’est-à-dire que le membre gauche de l’équation différentielle (2.20) est
la différentielle totale ou exacte de la fonction f(x, y). Il s’ensuit que la
solution générale de l’équation est donnée implicitement par
f(x, y) = c, (2.23)
où c est une constante arbitraire.
Définition 2.2.1. Si (et seulement si) il existe une fonction f(x, y)
telle que les équations (2.21) sont vérifiées, on dit que l’équation (2.20)
est une équation différentielle exacte.
Si l’équation (2.20) est exacte, alors la fonction f existe. On peut
écrire que
∂2f
∂y∂x
=
∂2f
∂x∂y
, (2.24)
sous l’hypothèse que les dérivées partielles mixtes existent et sont con-
tinues. Cette équation est équivalente à
∂M(x, y)
∂y
=
∂N(x, y)
∂x
. (2.25)
Donc, on peut affirmer que l’équation différentielle (2.20) est exacte
seulement si l’équation (2.25) est vérifiée. C’est-à-dire que (2.25) est
une condition nécessaire pour que l’équation différentielle considérée
soit exacte.
Remarque. Lorsqu’on calcule les dérivées partielles ∂M(x, y)/∂y et
∂N(x, y)/∂x, on considère x et y comme des variables indépendantes.
De même, ci-dessous, la variable y est considérée comme une constante
lorsqu’on intègre par rapport à x.
Ensuite, on a:
∂f(x, y)
∂x
= M(x, y) =⇒ f(x, y) =
∫
M(x, y)dx + h(y), (2.26)
où h(y) est une fonction arbitraire qui ne dépend que de y. Cette fonc-
tion doit être telle que
∂f(x, y)
∂y
= N(x, y) ⇐⇒ ∂
∂y
(∫
M(x, y)dx
)
+ h′(y) = N(x, y).
(2.27)
équations exactes
équations exactes w 29
28 2 Équations différentielles ordinaires d’ordre un
(c) y′(x) =
y + ey
x2y2
;
(d) y′(x) =
yey
x2 + y2
.
2-3. Déterminer si les équations différentielles suivantes sont homo-
gènes:
(a) (x + y)dx + (x + 2y)dy = 0;
(b) (x2 + y2)dx + xydy = 0;
(c) (x + y)dx + cos(y)dy = 0;
(d) x2dx + ydy = 0;
(e) dx +
x + y
x − y
dy = 0.
2-4. Résoudre les équations différentielles ordinaires homogènes sui-
vantes:
(a) y′(x) =
xy
x2 + y2
;
(b) y′(x) =
y3
x(x2 + y2)
;
(c) y′(x) =
x
x + 2y
.
2.2 Équations exactes
Dans la section précédente, nous avons considéré le cas où les fonctions
M(x, y) et N(x, y) dans l’équation différentielle
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (2.20)
sont telles que M(x, y) = M(x) et N(x, y) = N(y), de sorte que
l’équation en question est à variables séparables. Supposons maintenant
qu’il existe une fonction f(x, y) pour laquelle
∂f
∂x
= M(x, y) et
∂f
∂y
= N(x, y). (2.21)
Alors l’équation (2.20) peut être réécrite comme suit:
∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
dy = 0 ⇐⇒ df(x, y) = 0. (2.22)
2.2 Équations exactes 29
C’est-à-dire que le membre gauche de l’équation différentielle (2.20) est
la différentielle totale ou exacte de la fonction f(x, y). Il s’ensuit que la
solution générale de l’équation est donnée implicitement par
f(x, y) = c, (2.23)
où c est une constante arbitraire.
Définition 2.2.1. Si (et seulement si) il existe une fonction f(x, y)
telle que les équations (2.21)sont vérifiées, on dit que l’équation (2.20)
est une équation différentielle exacte.
Si l’équation (2.20) est exacte, alors la fonction f existe. On peut
écrire que
∂2f
∂y∂x
=
∂2f
∂x∂y
, (2.24)
sous l’hypothèse que les dérivées partielles mixtes existent et sont con-
tinues. Cette équation est équivalente à
∂M(x, y)
∂y
=
∂N(x, y)
∂x
. (2.25)
Donc, on peut affirmer que l’équation différentielle (2.20) est exacte
seulement si l’équation (2.25) est vérifiée. C’est-à-dire que (2.25) est
une condition nécessaire pour que l’équation différentielle considérée
soit exacte.
Remarque. Lorsqu’on calcule les dérivées partielles ∂M(x, y)/∂y et
∂N(x, y)/∂x, on considère x et y comme des variables indépendantes.
De même, ci-dessous, la variable y est considérée comme une constante
lorsqu’on intègre par rapport à x.
Ensuite, on a:
∂f(x, y)
∂x
= M(x, y) =⇒ f(x, y) =
∫
M(x, y)dx + h(y), (2.26)
où h(y) est une fonction arbitraire qui ne dépend que de y. Cette fonc-
tion doit être telle que
∂f(x, y)
∂y
= N(x, y) ⇐⇒ ∂
∂y
(∫
M(x, y)dx
)
+ h′(y) = N(x, y).
(2.27)
30 w équations différ entielles
30 2 Équations différentielles ordinaires d’ordre un
De là, on déduit que
h(y) =
∫ [
N(x, y) − ∂
∂y
(∫
M(x, y)dx
)]
dy. (2.28)
Puisque l’intégrale ci-dessus doit être une fonction de y seulement, la
fonction que l’on intègre ne doit pas dépendre de x. Il s’ensuit que
∂
∂x
[
N(x, y) − ∂
∂y
(∫
M(x, y)dx
)]
= 0. (2.29)
C’est-à-dire que
∂N(x, y)
∂x
=
∂2
∂x∂y
(∫
M(x, y)dx
)
⇐⇒ ∂N(x, y)
∂x
=
∂2
∂y∂x
(∫
M(x, y)dx
)
⇐⇒ ∂N(x, y)
∂x
=
∂M(x, y)
∂y
. (2.30)
Or, cette dernière équation est la condition (2.25). Ainsi, si cette condi-
tion est vérifiée, on peut construire une fonction f telle que les équations
dans (2.21) sont aussi satisfaites. On peut donc énoncer la proposition
suivante.
Proposition 2.2.1. L’équation différentielle (2.20) est exacte si et
seulement si (ssi) l’équation (2.25) est vérifiée. Ainsi, l’équation
(2.25) est une condition nécessaire et suffisante pour que (2.20)
soit une équation différentielle exacte.
Exemple 2.2.1. Soit M(x, y) = x2 + y et N(x, y) = x − y2. On a:
∂M(x, y)
∂y
= 1 et
∂N(x, y)
∂x
= 1.
Alors l’équation
(x2 + y)dx + (x − y2)dy = 0
est exacte. Il existe donc une fonction f(x, y) telle que
∂f
∂x
= x2 + y.
De là, on obtient l’expression suivante pour la fonction f(x, y) que l’on
cherche:
2.2 Équations exactes 31
f(x, y) =
1
3
x3 + xy + h(y).
Il s’ensuit que
∂f
∂y
= x + h′(y) et
∂f
∂y
= N(x, y) = x − y2,
d’où l’on déduit que h′(y) = −y2, ce qui implique que
h(y) = −1
3
y3 (+ constante).
Donc, la solution générale de l’équation différentielle considérée est
xy +
1
3
x3 − 1
3
y3 = c,
où c est une constante arbitraire. ♦
Remarque. Dans l’exemple précédent, on a aussi:
∂f
∂y
= x − y2 =⇒ f(x, y) = xy − 1
3
y3 + g(x).
En comparant cette deuxième expression pour la fonction f(x, y) à celle
contenant la fonction h(y), on déduit que
f(x, y) = xy +
1
3
x3 − 1
3
y3 (+ constante).
2.2.1 Facteurs intégrants
La plupart des équations différentielles ne sont pas exactes. Cepen-
dant, lorsqu’une équation différentielle possède une solution générale
f(x, y) = c, on peut montrer (voir Simmons, p. 42) qu’il est possible
de trouver un facteur intégrant pour la transformer en équation exacte.
C’est-à-dire qu’il existe une fonction µ(x, y) telle que
µ(x, y) [M(x, y)dx + N(x, y)dy] = df(x, y). (2.31)
En particulier, si on peut écrire l’équation (2.20) sous la forme
g1(x)h1(y)dx + g2(x)h2(y)dy = 0, (2.32)
équations exactes w 31
30 2 Équations différentielles ordinaires d’ordre un
De là, on déduit que
h(y) =
∫ [
N(x, y) − ∂
∂y
(∫
M(x, y)dx
)]
dy. (2.28)
Puisque l’intégrale ci-dessus doit être une fonction de y seulement, la
fonction que l’on intègre ne doit pas dépendre de x. Il s’ensuit que
∂
∂x
[
N(x, y) − ∂
∂y
(∫
M(x, y)dx
)]
= 0. (2.29)
C’est-à-dire que
∂N(x, y)
∂x
=
∂2
∂x∂y
(∫
M(x, y)dx
)
⇐⇒ ∂N(x, y)
∂x
=
∂2
∂y∂x
(∫
M(x, y)dx
)
⇐⇒ ∂N(x, y)
∂x
=
∂M(x, y)
∂y
. (2.30)
Or, cette dernière équation est la condition (2.25). Ainsi, si cette condi-
tion est vérifiée, on peut construire une fonction f telle que les équations
dans (2.21) sont aussi satisfaites. On peut donc énoncer la proposition
suivante.
Proposition 2.2.1. L’équation différentielle (2.20) est exacte si et
seulement si (ssi) l’équation (2.25) est vérifiée. Ainsi, l’équation
(2.25) est une condition nécessaire et suffisante pour que (2.20)
soit une équation différentielle exacte.
Exemple 2.2.1. Soit M(x, y) = x2 + y et N(x, y) = x − y2. On a:
∂M(x, y)
∂y
= 1 et
∂N(x, y)
∂x
= 1.
Alors l’équation
(x2 + y)dx + (x − y2)dy = 0
est exacte. Il existe donc une fonction f(x, y) telle que
∂f
∂x
= x2 + y.
De là, on obtient l’expression suivante pour la fonction f(x, y) que l’on
cherche:
2.2 Équations exactes 31
f(x, y) =
1
3
x3 + xy + h(y).
Il s’ensuit que
∂f
∂y
= x + h′(y) et
∂f
∂y
= N(x, y) = x − y2,
d’où l’on déduit que h′(y) = −y2, ce qui implique que
h(y) = −1
3
y3 (+ constante).
Donc, la solution générale de l’équation différentielle considérée est
xy +
1
3
x3 − 1
3
y3 = c,
où c est une constante arbitraire. ♦
Remarque. Dans l’exemple précédent, on a aussi:
∂f
∂y
= x − y2 =⇒ f(x, y) = xy − 1
3
y3 + g(x).
En comparant cette deuxième expression pour la fonction f(x, y) à celle
contenant la fonction h(y), on déduit que
f(x, y) = xy +
1
3
x3 − 1
3
y3 (+ constante).
2.2.1 Facteurs intégrants
La plupart des équations différentielles ne sont pas exactes. Cepen-
dant, lorsqu’une équation différentielle possède une solution générale
f(x, y) = c, on peut montrer (voir Simmons, p. 42) qu’il est possible
de trouver un facteur intégrant pour la transformer en équation exacte.
C’est-à-dire qu’il existe une fonction µ(x, y) telle que
µ(x, y) [M(x, y)dx + N(x, y)dy] = df(x, y). (2.31)
En particulier, si on peut écrire l’équation (2.20) sous la forme
g1(x)h1(y)dx + g2(x)h2(y)dy = 0, (2.32)
32 w équations différ entielles
32 2 Équations différentielles ordinaires d’ordre un
alors un facteur intégrant est donné par
µ(x, y) =
1
g2(x)h1(y)
. (2.33)
En fait, ce facteur intégrant transforme l’équation (2.32) en une équa-
tion à variables séparées. Or, toute équation différentielle à variables
séparées est exacte.
Exemple 2.2.2. L’équation différentielle
y′(x) = −2y
3x
⇐⇒ 2ydx + 3xdy = 0
n’est pas exacte. Cependant, si on la multiplie par µ(x, y) = (xy)−1,
on obtient l’équation
2
x
dx +
3
y
dy = 0,
laquelle est exacte, car
∂M(x, y)
∂y
=
∂N(x, y)
∂x
= 0.
Remarque. Notons que l’équation de départ est à variables séparables,
et aussi homogène. En fait, ici le facteur intégrant transforme cette
équation différentielle en une équation à variables séparées, comme nous
l’avons mentionné ci-dessus. ♦
En général, pour trouver un facteur intégrant µ(x, y), il faut résoudre
l’équation aux dérivées partielles
M
∂µ
∂y
− N ∂µ
∂x
+
(
∂M
∂y
− ∂N
∂x
)
µ = 0, (2.34)
laquelle découle de la condition
∂(µM)
∂y
=
∂(µN)
∂x
(2.35)
pour que l’équation
µ(x, y) [M(x, y)dx + N(x, y)dy] = 0 (2.36)
soit exacte. En fait, il suffit de trouver une solution de l’équation aux
dérivées partielles (2.34), ce qui n’est tout de même pas trivial.
2.2 Équations exactes 33
Dans certains cas, on peut trouver un facteur intégrant assez facile-
ment. En effet, supposons que
∂M
∂y
− ∂N
∂x
N
= φ(x). (2.37)
C’est-à-dire que la quantité dans le membre gauche de l’équation ci-
dessus ne dépend en fait que de la variable x. Alors on trouve qu’un
facteur intégrant est donné par
µ(x, y) = µ(x) = exp
{∫
φ(x)dx
}
. (2.38)
On peut vérifier que ce choix de µ(x, y) satisfait à l’équation (2.34), car
la dérivée partielle ∂µ/∂y est alors nulle.
De même, si
−
∂M
∂y
− ∂N
∂x
M
= ψ(y), (2.39)
alors on peut écrire que
µ(y) = exp
{∫
ψ(y)dy
}
. (2.40)
Remarque.Si l’équation considérée est exacte, alors les fonctions φ(x)
et ψ(y) ci-dessus sont nulles, de sorte qu’un facteur intégrant est la
constante 1, comme il se devait.
Exemple 2.2.3. Considérons l’équation différentielle
(x − y)dx + xdy = 0 pour x > 0.
Celle-ci n’est pas exacte, car My = −1 �= Nx = 1. Toutefois, puisque
My − Nx
N
= −2
x
est une fonction de x seulement, un facteur intégrant est donné par
µ(x) = exp
{∫
−2
x
dx
}
=
1
x2
(en choisissant la constante d’intégration c0 = 0). En effet, en multi-
pliant l’équation par x−2, on obtient que
équations exactes w 33
32 2 Équations différentielles ordinaires d’ordre un
alors un facteur intégrant est donné par
µ(x, y) =
1
g2(x)h1(y)
. (2.33)
En fait, ce facteur intégrant transforme l’équation (2.32) en une équa-
tion à variables séparées. Or, toute équation différentielle à variables
séparées est exacte.
Exemple 2.2.2. L’équation différentielle
y′(x) = −2y
3x
⇐⇒ 2ydx + 3xdy = 0
n’est pas exacte. Cependant, si on la multiplie par µ(x, y) = (xy)−1,
on obtient l’équation
2
x
dx +
3
y
dy = 0,
laquelle est exacte, car
∂M(x, y)
∂y
=
∂N(x, y)
∂x
= 0.
Remarque. Notons que l’équation de départ est à variables séparables,
et aussi homogène. En fait, ici le facteur intégrant transforme cette
équation différentielle en une équation à variables séparées, comme nous
l’avons mentionné ci-dessus. ♦
En général, pour trouver un facteur intégrant µ(x, y), il faut résoudre
l’équation aux dérivées partielles
M
∂µ
∂y
− N ∂µ
∂x
+
(
∂M
∂y
− ∂N
∂x
)
µ = 0, (2.34)
laquelle découle de la condition
∂(µM)
∂y
=
∂(µN)
∂x
(2.35)
pour que l’équation
µ(x, y) [M(x, y)dx + N(x, y)dy] = 0 (2.36)
soit exacte. En fait, il suffit de trouver une solution de l’équation aux
dérivées partielles (2.34), ce qui n’est tout de même pas trivial.
2.2 Équations exactes 33
Dans certains cas, on peut trouver un facteur intégrant assez facile-
ment. En effet, supposons que
∂M
∂y
− ∂N
∂x
N
= φ(x). (2.37)
C’est-à-dire que la quantité dans le membre gauche de l’équation ci-
dessus ne dépend en fait que de la variable x. Alors on trouve qu’un
facteur intégrant est donné par
µ(x, y) = µ(x) = exp
{∫
φ(x)dx
}
. (2.38)
On peut vérifier que ce choix de µ(x, y) satisfait à l’équation (2.34), car
la dérivée partielle ∂µ/∂y est alors nulle.
De même, si
−
∂M
∂y
− ∂N
∂x
M
= ψ(y), (2.39)
alors on peut écrire que
µ(y) = exp
{∫
ψ(y)dy
}
. (2.40)
Remarque. Si l’équation considérée est exacte, alors les fonctions φ(x)
et ψ(y) ci-dessus sont nulles, de sorte qu’un facteur intégrant est la
constante 1, comme il se devait.
Exemple 2.2.3. Considérons l’équation différentielle
(x − y)dx + xdy = 0 pour x > 0.
Celle-ci n’est pas exacte, car My = −1 �= Nx = 1. Toutefois, puisque
My − Nx
N
= −2
x
est une fonction de x seulement, un facteur intégrant est donné par
µ(x) = exp
{∫
−2
x
dx
}
=
1
x2
(en choisissant la constante d’intégration c0 = 0). En effet, en multi-
pliant l’équation par x−2, on obtient que
34 w équations différ entielles
34 2 Équations différentielles ordinaires d’ordre un
(x − y)
x2
dx +
1
x
dy = 0,
et on calcule
My = Nx = −
1
x2
.
On a alors:
f(x, y) =
∫
(x − y)
x2
dx + h(y) = ln x +
y
x
+ h(y)
et
1
x
=
∂f
∂y
=
1
x
+ h′(y).
Il s’ensuit qu’on peut prendre h(y) ≡ 0, et que la solution générale de
l’équation considérée est
lnx +
y
x
= c,
que l’on peut réécrire ainsi:
y(x) = (c − lnx) x.
♦
Exercices
2-5. Déterminer, en posant que le membre droit des équations est de
la forme −M(x, y)/N(x, y), si les équations différentielles ordinaires
suivantes sont exactes:
(a) y′(x) =
x2
y
;
(b) y′(x) =
x2 + y
y2 − x
;
(c) y′(x) =
x + y
x − y
;
(d) y′(x) =
x + y2
y − x2
.
2-6. Résoudre (explicitement, si possible) les équations différentielles
exactes suivantes:
(a)
y
x2
dx − 1
x
dy = 0;
2.3 Équations linéaires 35
(b)
y
x
dx + lnxdy = 0 pour x > 0;
(c)
(
1 − x
y
)
dx +
(
1 +
x2
2y2
)
dy = 0;
(d) (lnx + y)dx + (ln y + x)dy = 0.
2-7. Transformer les équations différentielles suivantes en équations
exactes et les résoudre (explicitement, si possible):
(a) y′(x) = −y
2
x2
pour x > 0;
(b) y′(x) =
ey
x
pour x > 0.
2-8. Trouver un facteur intégrant pour les équations différentielles sui-
vantes:
(a) (x + y)dx + x2dy = 0 pour x > 0;
(b)
1
y
dx + (1 + xy)dy = 0.
2-9. L’équation différentielle
ydx − xdy = 0 pour x > 0
possède (en particulier) les facteurs intégrants µ(x) = 1/x2, µ(y) =
1/y2 et µ(x, y) = 1/(xy). Obtenir sa solution générale avec chacun de
ces facteurs intégrants.
2.3 Équations linéaires
L’équation différentielle (ordinaire) linéaire d’ordre un est de la forme
dy(t)
dt
+ p(t)y(t) = q(t). (2.41)
Pour résoudre une équation de ce type, on la multiplie par une fonction
(non nulle) µ(t):
µ(t)
dy(t)
dt
+ µ(t)p(t)y(t) = µ(t)q(t). (2.42)
équations linéaires w 35
34 2 Équations différentielles ordinaires d’ordre un
(x − y)
x2
dx +
1
x
dy = 0,
et on calcule
My = Nx = −
1
x2
.
On a alors:
f(x, y) =
∫
(x − y)
x2
dx + h(y) = ln x +
y
x
+ h(y)
et
1
x
=
∂f
∂y
=
1
x
+ h′(y).
Il s’ensuit qu’on peut prendre h(y) ≡ 0, et que la solution générale de
l’équation considérée est
lnx +
y
x
= c,
que l’on peut réécrire ainsi:
y(x) = (c − lnx) x.
♦
Exercices
2-5. Déterminer, en posant que le membre droit des équations est de
la forme −M(x, y)/N(x, y), si les équations différentielles ordinaires
suivantes sont exactes:
(a) y′(x) =
x2
y
;
(b) y′(x) =
x2 + y
y2 − x
;
(c) y′(x) =
x + y
x − y
;
(d) y′(x) =
x + y2
y − x2
.
2-6. Résoudre (explicitement, si possible) les équations différentielles
exactes suivantes:
(a)
y
x2
dx − 1
x
dy = 0;
2.3 Équations linéaires 35
(b)
y
x
dx + lnxdy = 0 pour x > 0;
(c)
(
1 − x
y
)
dx +
(
1 +
x2
2y2
)
dy = 0;
(d) (lnx + y)dx + (ln y + x)dy = 0.
2-7. Transformer les équations différentielles suivantes en équations
exactes et les résoudre (explicitement, si possible):
(a) y′(x) = −y
2
x2
pour x > 0;
(b) y′(x) =
ey
x
pour x > 0.
2-8. Trouver un facteur intégrant pour les équations différentielles sui-
vantes:
(a) (x + y)dx + x2dy = 0 pour x > 0;
(b)
1
y
dx + (1 + xy)dy = 0.
2-9. L’équation différentielle
ydx − xdy = 0 pour x > 0
possède (en particulier) les facteurs intégrants µ(x) = 1/x2, µ(y) =
1/y2 et µ(x, y) = 1/(xy). Obtenir sa solution générale avec chacun de
ces facteurs intégrants.
2.3 Équations linéaires
L’équation différentielle (ordinaire) linéaire d’ordre un est de la forme
dy(t)
dt
+ p(t)y(t) = q(t). (2.41)
Pour résoudre une équation de ce type, on la multiplie par une fonction
(non nulle) µ(t):
µ(t)
dy(t)
dt
+ µ(t)p(t)y(t) = µ(t)q(t). (2.42)
équations linéaires
36 w équations différ entielles
36 2 Équations différentielles ordinaires d’ordre un
Si la fonction µ(t) est choisie de façon que
dµ(t)
dt
= µ(t)p(t), (2.43)
alors on peut écrire que
µ(t)
dy(t)
dt
+ µ(t)p(t)y(t) = µ(t)
dy(t)
dt
+
dµ(t)
dt
y(t) =
d
dt
[µ(t)y(t)] ,
(2.44)
de sorte que la solution de l’équation (2.41) est obtenue en intégrant
les deux membres de l’équation
d
dt
[µ(t)y(t)] = µ(t)q(t). (2.45)
La fonction µ(t) est appelée facteur intégrant (voir la section précé-
dente). On déduit de l’équation (2.43) que [si l’on suppose que µ(t) est
une fonction positive]
dµ(t)/dt
µ(t)
= p(t) =⇒ lnµ(t) =
∫
p(t)dt
=⇒ µ(t) = exp
{∫
p(t)dt
}
(2.46)
(en choisissant la constante d’intégration égale à zéro).
Remarque. On voit que la fonction µ(t) ci-dessus est effectivement tou-
jours positive, de sorte que l’on pouvait diviser par µ(t) dans l’équation
(2.43).
On déduit maintenant de (2.45) que la solution générale de l’équation
(2.41) est
y(t) =
1
µ(t)
(∫
µ(t)q(t)dt + c
)
, (2.47)
où µ(t) est donnée par (2.46).
Remarque. La partie
1
µ(t)
∫
µ(t)q(t)dt
de la solution est une solution particulière de l’équation (2.41), tandis
quec
µ(t)
= c exp
{
−
∫
p(t)dt
}
2.3 Équations linéaires 37
est la solution générale de l’équation
dy(t)
dt
+ p(t)y(t) = 0.
La solution (2.47) peut être réécrite comme suit:
y(t) =
1
µ(t)
(∫ t
t0
µ(s)q(s)ds + c
)
pour t ≥ t0, (2.48)
où
µ(t) = exp
{∫ t
t0
p(s)ds
}
. (2.49)
Si l’on désire obtenir la solution particulière qui satisfait à la condition
initiale
y(t0) = y0, (2.50)
on doit choisir la constante c telle que
y0 =
1
µ(t0)
c, (2.51)
où
µ(t0) = exp
{∫ t0
t0
p(s)ds
}
= 1. (2.52)
Ainsi, on trouve que
c = y0. (2.53)
Cas particulier. Si p(t) ≡ 0, alors on obtient directement que
y(t) =
∫
q(t)dt + c. (2.54)
Dans le cas où p(t) ≡ p0 (une constante non nulle), on a:
µ(t) = exp
{∫
p0dt
}
= ep0t (2.55)
et
y(t) = e−p0t
(∫
ep0t q(t)dt + c
)
= e−p0t
(∫
ep0t q(t)dt
)
+ ce−p0t.
(2.56)
équations linéaires w 37
36 2 Équations différentielles ordinaires d’ordre un
Si la fonction µ(t) est choisie de façon que
dµ(t)
dt
= µ(t)p(t), (2.43)
alors on peut écrire que
µ(t)
dy(t)
dt
+ µ(t)p(t)y(t) = µ(t)
dy(t)
dt
+
dµ(t)
dt
y(t) =
d
dt
[µ(t)y(t)] ,
(2.44)
de sorte que la solution de l’équation (2.41) est obtenue en intégrant
les deux membres de l’équation
d
dt
[µ(t)y(t)] = µ(t)q(t). (2.45)
La fonction µ(t) est appelée facteur intégrant (voir la section précé-
dente). On déduit de l’équation (2.43) que [si l’on suppose que µ(t) est
une fonction positive]
dµ(t)/dt
µ(t)
= p(t) =⇒ lnµ(t) =
∫
p(t)dt
=⇒ µ(t) = exp
{∫
p(t)dt
}
(2.46)
(en choisissant la constante d’intégration égale à zéro).
Remarque. On voit que la fonction µ(t) ci-dessus est effectivement tou-
jours positive, de sorte que l’on pouvait diviser par µ(t) dans l’équation
(2.43).
On déduit maintenant de (2.45) que la solution générale de l’équation
(2.41) est
y(t) =
1
µ(t)
(∫
µ(t)q(t)dt + c
)
, (2.47)
où µ(t) est donnée par (2.46).
Remarque. La partie
1
µ(t)
∫
µ(t)q(t)dt
de la solution est une solution particulière de l’équation (2.41), tandis
que
c
µ(t)
= c exp
{
−
∫
p(t)dt
}
2.3 Équations linéaires 37
est la solution générale de l’équation
dy(t)
dt
+ p(t)y(t) = 0.
La solution (2.47) peut être réécrite comme suit:
y(t) =
1
µ(t)
(∫ t
t0
µ(s)q(s)ds + c
)
pour t ≥ t0, (2.48)
où
µ(t) = exp
{∫ t
t0
p(s)ds
}
. (2.49)
Si l’on désire obtenir la solution particulière qui satisfait à la condition
initiale
y(t0) = y0, (2.50)
on doit choisir la constante c telle que
y0 =
1
µ(t0)
c, (2.51)
où
µ(t0) = exp
{∫ t0
t0
p(s)ds
}
= 1. (2.52)
Ainsi, on trouve que
c = y0. (2.53)
Cas particulier. Si p(t) ≡ 0, alors on obtient directement que
y(t) =
∫
q(t)dt + c. (2.54)
Dans le cas où p(t) ≡ p0 (une constante non nulle), on a:
µ(t) = exp
{∫
p0dt
}
= ep0t (2.55)
et
y(t) = e−p0t
(∫
ep0t q(t)dt + c
)
= e−p0t
(∫
ep0t q(t)dt
)
+ ce−p0t.
(2.56)
38 w équations différ entielles
38 2 Équations différentielles ordinaires d’ordre un
Si, en plus, q(t) ≡ q0, on obtient que
y(t) = e−p0t
(∫
ep0t q0dt + c
)
= e−p0t
(
q0
p0
ep0t + c
)
=
q0
p0
+ ce−p0t.
(2.57)
Remarquons que les solutions convergent vers q0/p0 si p0 > 0, tandis
qu’elles divergent si p0 < 0. Dans le cas où q(t) n’est pas une constante,
la convergence des solutions dépend aussi de cette fonction.
Exemple 2.3.1. Nous allons résoudre l’équation différentielle linéaire
dy(x)
dx
+ xy(x) = 2x.
On calcule d’abord le facteur intégrant
µ(x) = exp
{∫
xdx
}
= ex
2/2,
et ensuite l’intégrale dans le formule (2.47):
∫
ex
2/22xdx = 2
∫ (
d
dx
ex
2/2
)
dx = 2ex
2/2.
Il s’ensuit que
y(x) = e−x
2/2
(
2ex
2/2 + c
)
= 2 + ce−x
2/2.
Les solutions convergent vers 2 lorsque x → ±∞. ♦
Exercices
2-10. Trouver un facteur intégrant pour chacune des équations diffé-
rentielles ordinaires suivantes:
(a) y′(t) = ety(t) + et
2
;
(b) ty′(t) = t2y(t) + ln t pour t > 0;
(c) (ln t)−1 y′(t) = t−1y(t) − et pour t > 0.
2-11. Résoudre les équations différentielles linéaires suivantes:
(a) y′(t) = ty(t) + t3;
(b) ty′(t) = ty(t) + t2 pour t > 0;
(c) t2y′(t) = ty(t) + t−1 pour t > 0;
2.4 Équation de Bernoulli 39
(d) t2y′(t) = t2y(t) + tet pour t > 0.
2-12. Déterminer vers quelle valeur les solutions des équations différen-
tielles suivantes tendent lorsque t tend vers l’infini:
(a) y′(t) − y(t) = et;
(b) y′(t) + y(t) = e−2t.
2.4 Équation de Bernoulli
L’équation différentielle
dy(t)
dt
+ p(t)y(t) = q(t)yn(t), (2.58)
où n ∈ R, est appelée équation de Bernoulli. Elle est linéaire si n = 0
ou 1, mais pour toutes les autres valeurs de n elle est non linéaire.
Toutefois, la transformation u(t) = y1−n(t), pour n �= 1, ramène
l’équation (2.58) à une équation linéaire. En effet, on a:
du(t)
dt
= (1 − n)y−n(t) dy(t)
dt
=⇒ dy(t)
dt
= (1 − n)−1yn(t)du(t)
dt
(2.59)
et
y(t) = yn(t)u(t), (2.60)
de sorte que
(1 − n)−1yn(t)du(t)
dt
+ p(t)yn(t)u(t) = q(t)yn(t). (2.61)
C’est-à-dire que
du(t)
dt
+ (1 − n)p(t)u(t) = (1 − n)q(t). (2.62)
On peut maintenant utiliser la section 2.3 pour trouver u(t) et, à partir
de là, la fonction y(t).
Remarques. i) On voit que, si n > 0, y(t) ≡ 0 est une solution de
l’équation différentielle (2.58) (appelée solution triviale). On s’intéresse
aux autres solutions de cette équation, de sorte qu’on peut diviser par
yn(t) ci-dessus.
équation de bernoulli w 39
38 2 Équations différentielles ordinaires d’ordre un
Si, en plus, q(t) ≡ q0, on obtient que
y(t) = e−p0t
(∫
ep0t q0dt + c
)
= e−p0t
(
q0
p0
ep0t + c
)
=
q0
p0
+ ce−p0t.
(2.57)
Remarquons que les solutions convergent vers q0/p0 si p0 > 0, tandis
qu’elles divergent si p0 < 0. Dans le cas où q(t) n’est pas une constante,
la convergence des solutions dépend aussi de cette fonction.
Exemple 2.3.1. Nous allons résoudre l’équation différentielle linéaire
dy(x)
dx
+ xy(x) = 2x.
On calcule d’abord le facteur intégrant
µ(x) = exp
{∫
xdx
}
= ex
2/2,
et ensuite l’intégrale dans le formule (2.47):
∫
ex
2/22xdx = 2
∫ (
d
dx
ex
2/2
)
dx = 2ex
2/2.
Il s’ensuit que
y(x) = e−x
2/2
(
2ex
2/2 + c
)
= 2 + ce−x
2/2.
Les solutions convergent vers 2 lorsque x → ±∞. ♦
Exercices
2-10. Trouver un facteur intégrant pour chacune des équations diffé-
rentielles ordinaires suivantes:
(a) y′(t) = ety(t) + et
2
;
(b) ty′(t) = t2y(t) + ln t pour t > 0;
(c) (ln t)−1 y′(t) = t−1y(t) − et pour t > 0.
2-11. Résoudre les équations différentielles linéaires suivantes:
(a) y′(t) = ty(t) + t3;
(b) ty′(t) = ty(t) + t2 pour t > 0;
(c) t2y′(t) = ty(t) + t−1 pour t > 0;
2.4 Équation de Bernoulli 39
(d) t2y′(t) = t2y(t) + tet pour t > 0.
2-12. Déterminer vers quelle valeur les solutions des équations différen-
tielles suivantes tendent lorsque t tend vers l’infini:
(a) y′(t) − y(t) = et;
(b) y′(t) + y(t) = e−2t.
2.4 Équation de Bernoulli
L’équation différentielle
dy(t)
dt
+ p(t)y(t) = q(t)yn(t), (2.58)
où n ∈ R, est appelée équation de Bernoulli. Elle est linéaire si n = 0
ou 1, mais pour toutes les autres valeurs de n elle est non linéaire.
Toutefois, la transformation u(t) = y1−n(t), pour n �= 1, ramène
l’équation (2.58) à une équation linéaire. En effet, on a:
du(t)
dt
= (1 − n)y−n(t) dy(t)
dt
=⇒ dy(t)
dt
= (1 − n)−1yn(t)du(t)
dt
(2.59)
et
y(t) = yn(t)u(t), (2.60)
de sorte que
(1 − n)−1yn(t)du(t)
dt
+ p(t)yn(t)u(t) = q(t)yn(t). (2.61)
C’est-à-dire que
du(t)
dt
+ (1 − n)p(t)u(t) = (1 − n)q(t). (2.62)
On peut maintenant utiliser la section 2.3 pour trouver u(t) et, à partir
de là, la fonction y(t).
Remarques. i) On voit que, si n > 0, y(t) ≡ 0 est une solution de
l’équation différentielle (2.58) (appelée solution triviale). On s’intéresse
aux autres solutions de cette équation, de sorte qu’on peut diviser par
yn(t) ci-dessus.
équation de bernoulli
40 w équations différ entielles
40 2 Équations différentielles ordinaires d’ordre un
ii) L’équation de Bernoulli, si on la réécrit comme suit:
(1 − n)y−n(t) dy(t)
dt
+ (1 − n)p(t)y1−n(t) = (1 − n)q(t), (2.63)
est un cas particulierde l’équation différentielle
h′[y(t)]
dy(t)
dt
+ P (t)h[y(t)] = Q(t) (2.64)
[avec P (t) := (1−n)p(t) et Q(t) := (1−n)q(t)], laquelle est transformée
en
du(t)
dt
+ P (t)u(t) = Q(t) (2.65)
en posant u(t) = h[y(t)]. Notons que
h′[y(t)] =
d
dy(t)
h[y(t)].
Exemple 2.4.1. Supposons que t > 0 dans l’équation différentielle
y′(t) +
1
t
y(t) = t3y3(t).
Il s’agit d’une équation de Bernoulli pour laquelle n = 3, p(t) = 1/t et
q(t) = t3. On pose u(t) = y−2(t). On trouve que
u′(t) − 2
t
u(t) = −2t3.
On calcule (voir la section précédente)
µ(t) = exp
{
−
∫
2
t
dt
}
= e−2 ln t = t−2,
et ensuite ∫
t−2 (−2t3)dt = −t2,
de sorte que
u(t) = t2
(
−t2 + c
)
.
Donc, la solution cherchée est
y−2(t) = t2
(
−t2 + c
)
=⇒ y(t) = ± 1
t (c − t2)1/2
.
2.5 Exercices supplémentaires 41
Remarque. Puisque l’on cherche des solutions réelles y(t), la solution
ci-dessus est valable dans un intervalle (0, b), et la constante c doit être
supérieure à b2. ♦
Exercices
2-13. Résoudre les équations de Bernoulli suivantes:
(a) y′(t) + y(t) = y3(t);
(b) ety′(t) + ety(t) = y2(t);
(c) y′(t) +
1
t
y(t) = ln(t)y2(t) pour t > 0.
2-14. Transformer les équations différentielles non linéaires suivantes
en équations linéaires:
(a) ey(t)y′(t) + tey(t) = et;
(b)
1
y(t)
y′(t) + t2 ln y(t) = ln t pour t > 0.
2.5 Exercices supplémentaires
2-15. On considère les quatre équations différentielles ordinaires d’ordre
un suivantes, où y = y(x):
A) yy′ = y + x;
B) (x2 + y2)y′ = x(x − y);
C) y′ = xe−xy;
D) (x + y2)y′ = x2 − y.
(a) Laquelle (lesquelles) des équations ci-dessus est (sont) à variables
séparables? Justifier en la (les) réécrivant sous cette forme.
(b) Laquelle (lesquelles) des équations ci-dessus est (sont) homogène(s)?
Justifier.
(c) Laquelle (lesquelles) des équations ci-dessus, après manipulation
pour les ramener à la forme M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, est (sont)
exacte(s)? Justifier.
2-16. Trouver un facteur intégrant µ(x) pour l’équation différentielle
linéaire d’ordre un
exy′(x) + xy(x) = ex
2
.
exercices supplémentaires w 41
40 2 Équations différentielles ordinaires d’ordre un
ii) L’équation de Bernoulli, si on la réécrit comme suit:
(1 − n)y−n(t) dy(t)
dt
+ (1 − n)p(t)y1−n(t) = (1 − n)q(t), (2.63)
est un cas particulier de l’équation différentielle
h′[y(t)]
dy(t)
dt
+ P (t)h[y(t)] = Q(t) (2.64)
[avec P (t) := (1−n)p(t) et Q(t) := (1−n)q(t)], laquelle est transformée
en
du(t)
dt
+ P (t)u(t) = Q(t) (2.65)
en posant u(t) = h[y(t)]. Notons que
h′[y(t)] =
d
dy(t)
h[y(t)].
Exemple 2.4.1. Supposons que t > 0 dans l’équation différentielle
y′(t) +
1
t
y(t) = t3y3(t).
Il s’agit d’une équation de Bernoulli pour laquelle n = 3, p(t) = 1/t et
q(t) = t3. On pose u(t) = y−2(t). On trouve que
u′(t) − 2
t
u(t) = −2t3.
On calcule (voir la section précédente)
µ(t) = exp
{
−
∫
2
t
dt
}
= e−2 ln t = t−2,
et ensuite ∫
t−2 (−2t3)dt = −t2,
de sorte que
u(t) = t2
(
−t2 + c
)
.
Donc, la solution cherchée est
y−2(t) = t2
(
−t2 + c
)
=⇒ y(t) = ± 1
t (c − t2)1/2
.
2.5 Exercices supplémentaires 41
Remarque. Puisque l’on cherche des solutions réelles y(t), la solution
ci-dessus est valable dans un intervalle (0, b), et la constante c doit être
supérieure à b2. ♦
Exercices
2-13. Résoudre les équations de Bernoulli suivantes:
(a) y′(t) + y(t) = y3(t);
(b) ety′(t) + ety(t) = y2(t);
(c) y′(t) +
1
t
y(t) = ln(t)y2(t) pour t > 0.
2-14. Transformer les équations différentielles non linéaires suivantes
en équations linéaires:
(a) ey(t)y′(t) + tey(t) = et;
(b)
1
y(t)
y′(t) + t2 ln y(t) = ln t pour t > 0.
2.5 Exercices supplémentaires
2-15. On considère les quatre équations différentielles ordinaires d’ordre
un suivantes, où y = y(x):
A) yy′ = y + x;
B) (x2 + y2)y′ = x(x − y);
C) y′ = xe−xy;
D) (x + y2)y′ = x2 − y.
(a) Laquelle (lesquelles) des équations ci-dessus est (sont) à variables
séparables? Justifier en la (les) réécrivant sous cette forme.
(b) Laquelle (lesquelles) des équations ci-dessus est (sont) homogène(s)?
Justifier.
(c) Laquelle (lesquelles) des équations ci-dessus, après manipulation
pour les ramener à la forme M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, est (sont)
exacte(s)? Justifier.
2-16. Trouver un facteur intégrant µ(x) pour l’équation différentielle
linéaire d’ordre un
exy′(x) + xy(x) = ex
2
.
exercices supplémentaires
42 w équations différ entielles
42 2 Équations différentielles ordinaires d’ordre un
2-17. Trouver la solution générale de l’équation de Bernoulli
y′(t) = y2(t).
2-18. On laisse tomber un objet situé à 20 mètres du sol à l’instant
initial t = 0. On suppose que la position y(t) de l’objet par rapport au
sol satisfait à l’équation
y′′(t) + 2y′(t) = −9,8.
On trouve que l’objet atteindra le sol à l’instant t � 4,58. Calculer la
position de l’objet à un instant t ∈ (0; 4,58).
2-19. On considère l’équation différentielle du premier ordre
(x − y)dx − xdy = 0 pour x > 0.
(a) L’équation est homogène. Donner la solution (implicite) obtenue en
la transformant en une équation à variables séparables.
(b) L’équation est aussi exacte. Utiliser ce fait pour obtenir sa solution
explicite.
(c) Refaire la partie (b) en utilisant maintenant le fait que l’équation
est linéaire.
2-20. Transformer l’équation différentielle non linéaire
y′(t) =
1
t
y(t) − y2(t) pour t > 0
en une équation linéaire, et donner sa solution générale.
2-21. Résoudre explicitement l’équation différentielle suivante:
ln(x2)
x
dx +
y
y2 + 1
dy = 0 pour x > 0.
2-22. Résoudre (implicitement) l’équation différentielle
(ex + y) dx + (ey + x) dy = 0.
2-23. Trouver un facteur intégrant µ(t) pour l’équation différentielle
1
t
y′(t) = e−ty(t) + et
2
, où t > 0.
2.5 Exercices supplémentaires 43
2-24. Résoudre l’équation différentielle linéaire
y′(t) = t2 [y(t) + 1] .
2-25. Trouver la solution générale de l’équation obtenue en posant que
u(t) = y−1(t) dans l’équation différentielle non linéaire
y′(t) + y(t) = ty2(t).
2-26. Trouver la solution explicite du problème suivant: y(0) =
√
ln 2
et
y
√
x2 + 1
dy
dx
− xe−y2 = 0.
2-27. Trouver la fonction y(x) qui satisfait à l’équation différentielle
x
dy
dx
+ y (1 − x3y) = 0 pour x < 0,
et qui est telle que y(−2) = 1/4.
2-28. La concentration y(t) d’un certain produit chimique à l’instant t
diminue à un taux qui est proportionnel au carré de la concentration à
cet instant. Si la concentration initiale est de 5 %, et si celle-ci est de
2 % à l’instant t = 1, quelle sera la concentration à t = 2?
2-29. Résoudre (implicitement) l’équation différentielle homogène
y′(x) =
xy2 + x2y
x3 + y3
.
Indication. Vous pouvez utiliser la méthode d’intégration par fractions
partielles.
2-30. Résoudre implicitement l’équation différentielle
y′(x) = − (xy + e
x)
(x2/2) + ey
.
2-31. Trouver les solutions non triviales de l’équation de Bernoulli
y′(t) + y(t) = tety2(t).
2-32. Un étudiant en génie informatique vient de s’acheter un ordina-
teur portable haut de gamme au prix de 2000 $. La valeur marchande
exercices supplémentaires w 43
42 2 Équations différentielles ordinaires d’ordre un
2-17. Trouver la solution générale de l’équation de Bernoulli
y′(t) = y2(t).
2-18. On laisse tomber un objet situé à 20 mètres du sol à l’instant
initial t = 0. On suppose que la position y(t) de l’objet par rapport au
sol satisfait à l’équation
y′′(t) + 2y′(t) = −9,8.
On trouve que l’objet atteindra le sol à l’instant t � 4,58. Calculer la
position de l’objet à un instant t ∈ (0; 4,58).
2-19. On considère l’équation différentielle du premier ordre
(x − y)dx − xdy = 0 pour x > 0.
(a) L’équation est homogène. Donner la solution (implicite) obtenue en
la transformant en une équation à variables séparables.
(b) L’équation est aussi exacte. Utiliser ce fait pour obtenir sa solution
explicite.
(c) Refaire la partie (b) en utilisant maintenant le fait que l’équation
est linéaire.
2-20. Transformerl’équation différentielle non linéaire
y′(t) =
1
t
y(t) − y2(t) pour t > 0
en une équation linéaire, et donner sa solution générale.
2-21. Résoudre explicitement l’équation différentielle suivante:
ln(x2)
x
dx +
y
y2 + 1
dy = 0 pour x > 0.
2-22. Résoudre (implicitement) l’équation différentielle
(ex + y) dx + (ey + x) dy = 0.
2-23. Trouver un facteur intégrant µ(t) pour l’équation différentielle
1
t
y′(t) = e−ty(t) + et
2
, où t > 0.
2.5 Exercices supplémentaires 43
2-24. Résoudre l’équation différentielle linéaire
y′(t) = t2 [y(t) + 1] .
2-25. Trouver la solution générale de l’équation obtenue en posant que
u(t) = y−1(t) dans l’équation différentielle non linéaire
y′(t) + y(t) = ty2(t).
2-26. Trouver la solution explicite du problème suivant: y(0) =
√
ln 2
et
y
√
x2 + 1
dy
dx
− xe−y2 = 0.
2-27. Trouver la fonction y(x) qui satisfait à l’équation différentielle
x
dy
dx
+ y (1 − x3y) = 0 pour x < 0,
et qui est telle que y(−2) = 1/4.
2-28. La concentration y(t) d’un certain produit chimique à l’instant t
diminue à un taux qui est proportionnel au carré de la concentration à
cet instant. Si la concentration initiale est de 5 %, et si celle-ci est de
2 % à l’instant t = 1, quelle sera la concentration à t = 2?
2-29. Résoudre (implicitement) l’équation différentielle homogène
y′(x) =
xy2 + x2y
x3 + y3
.
Indication. Vous pouvez utiliser la méthode d’intégration par fractions
partielles.
2-30. Résoudre implicitement l’équation différentielle
y′(x) = − (xy + e
x)
(x2/2) + ey
.
2-31. Trouver les solutions non triviales de l’équation de Bernoulli
y′(t) + y(t) = tety2(t).
2-32. Un étudiant en génie informatique vient de s’acheter un ordina-
teur portable haut de gamme au prix de 2000 $. La valeur marchande
44 w équations différ entielles
44 2 Équations différentielles ordinaires d’ordre un
y(t) de son ordinateur décrôıt à un taux qui est égal à y(t), où t est en
années. De plus, le prix de vente (en dollars) p(t) d’un nouvel ordinateur
haut de gamme diminue selon la fonction
p(t) = 1000e−t/2 + 1000.
L’étudiant décide qu’il remplacera son ordinateur par une nouvelle
machine lorsque la valeur marchande de son ordinateur actuel sera
exactement égale à la moitié du prix de vente d’un ordinateur neuf
haut de gamme. À quel instant t changera-t-il d’ordinateur?
2-33. Trouver la solution (implicite) de l’équation différentielle
y′(x) =
ex+y
y
qui satisfait à la condition y(0) = 1.
2-34. Quelle est la solution de l’équation différentielle
y′(t) =
1
t
[y(t) + 1] pour t ≥ 1
qui satisfait à la condition y(1) = 1?
2-35. (a) La taille x(t) d’une certaine population à l’instant t satisfait
à l’équation différentielle ordinaire
x′(t) = cx(t) − ect pour t ≥ 0,
où c est une constante positive. On suppose que x(0) = x0 > 0. Pour
quelle valeur de t la population disparâıtra-t-elle? Justifier.
(b) Supposons que la taille de la population en (a) ne peut pas dépasser
xmax, et que
x′(t) = c
[
1 − x(t)
xmax
]
t pour t ≥ 0,
avec x(0) = x0 ∈ (0, xmax). Utiliser le fait que l’équation différentielle
ci-dessus est à variables séparables pour déterminer la taille de la popu-
lation à l’instant t.
2-36. Les équations différentielles suivantes sont-elles (i) homogènes?
(ii) exactes? Justifier.
(a) x2dx + (x2 + y2)dy = 0;
2.5 Exercices supplémentaires 45
(b) (x + y2)dx + 2xydy = 0.
2-37. Trouver la solution de l’équation intégrale suivante:
y(t) +
∫ t
t0
y(s)ds = t,
où t0 est une constante.
2-38. Un objet est situé à 20 mètres du sol à l’instant initial t = 0. On
suppose que la position y(t) de l’objet par rapport au sol à l’instant t
satisfait à l’équation
y′′(t) +
1
2
y′(t) = −9,8.
On lance l’objet vers le bas, de façon que sa vitesse initiale est égale à
−1. Calculer la position de l’objet à un instant t inférieur à l’instant
auquel l’objet atteindra le sol.
Remarque. Par convention, on suppose que la vitesse est négative si
l’objet se déplace vers la bas.
2-39. On considère l’équation différentielle non linéaire
y′(x) = xy3(x) pour 0 ≤ x ≤ 1.
(a) Utiliser le fait que l’équation est à variables séparables pour la
résoudre (explicitement).
(b) Il s’agit aussi d’une équation de Bernoulli. Donner l’équation
obtenue en posant u(x) = y−2(x).
2-40. Résoudre explicitement le problème de valeur initiale
y(t)y′(t) + y2(t) = 2e−t,
avec y(0) = 2.
2-41. Trouver la solution explicite de l’équation différentielle
2xy(x) + 3y2(x) − [2xy(x) + x2]y′(x) = 0.
2-42. (a) L’équation différentielle
y3dx + x3dy = 0 pour x > 1
exercices supplémentaires w 45
44 2 Équations différentielles ordinaires d’ordre un
y(t) de son ordinateur décrôıt à un taux qui est égal à y(t), où t est en
années. De plus, le prix de vente (en dollars) p(t) d’un nouvel ordinateur
haut de gamme diminue selon la fonction
p(t) = 1000e−t/2 + 1000.
L’étudiant décide qu’il remplacera son ordinateur par une nouvelle
machine lorsque la valeur marchande de son ordinateur actuel sera
exactement égale à la moitié du prix de vente d’un ordinateur neuf
haut de gamme. À quel instant t changera-t-il d’ordinateur?
2-33. Trouver la solution (implicite) de l’équation différentielle
y′(x) =
ex+y
y
qui satisfait à la condition y(0) = 1.
2-34. Quelle est la solution de l’équation différentielle
y′(t) =
1
t
[y(t) + 1] pour t ≥ 1
qui satisfait à la condition y(1) = 1?
2-35. (a) La taille x(t) d’une certaine population à l’instant t satisfait
à l’équation différentielle ordinaire
x′(t) = cx(t) − ect pour t ≥ 0,
où c est une constante positive. On suppose que x(0) = x0 > 0. Pour
quelle valeur de t la population disparâıtra-t-elle? Justifier.
(b) Supposons que la taille de la population en (a) ne peut pas dépasser
xmax, et que
x′(t) = c
[
1 − x(t)
xmax
]
t pour t ≥ 0,
avec x(0) = x0 ∈ (0, xmax). Utiliser le fait que l’équation différentielle
ci-dessus est à variables séparables pour déterminer la taille de la popu-
lation à l’instant t.
2-36. Les équations différentielles suivantes sont-elles (i) homogènes?
(ii) exactes? Justifier.
(a) x2dx + (x2 + y2)dy = 0;
2.5 Exercices supplémentaires 45
(b) (x + y2)dx + 2xydy = 0.
2-37. Trouver la solution de l’équation intégrale suivante:
y(t) +
∫ t
t0
y(s)ds = t,
où t0 est une constante.
2-38. Un objet est situé à 20 mètres du sol à l’instant initial t = 0. On
suppose que la position y(t) de l’objet par rapport au sol à l’instant t
satisfait à l’équation
y′′(t) +
1
2
y′(t) = −9,8.
On lance l’objet vers le bas, de façon que sa vitesse initiale est égale à
−1. Calculer la position de l’objet à un instant t inférieur à l’instant
auquel l’objet atteindra le sol.
Remarque. Par convention, on suppose que la vitesse est négative si
l’objet se déplace vers la bas.
2-39. On considère l’équation différentielle non linéaire
y′(x) = xy3(x) pour 0 ≤ x ≤ 1.
(a) Utiliser le fait que l’équation est à variables séparables pour la
résoudre (explicitement).
(b) Il s’agit aussi d’une équation de Bernoulli. Donner l’équation
obtenue en posant u(x) = y−2(x).
2-40. Résoudre explicitement le problème de valeur initiale
y(t)y′(t) + y2(t) = 2e−t,
avec y(0) = 2.
2-41. Trouver la solution explicite de l’équation différentielle
2xy(x) + 3y2(x) − [2xy(x) + x2]y′(x) = 0.
2-42. (a) L’équation différentielle
y3dx + x3dy = 0 pour x > 1
46 w équations différ entielles
46 2 Équations différentielles ordinaires d’ordre un
est-elle (i) homogène? (ii) exacte (sous sa forme actuelle)? Justifier.
(b) Utiliser le fait que l’équation en (a) est une équation de Bernoulli
pour la résoudre explicitement.
2-43. Trouver la solution de l’équation intégrale suivante:
y(t) +
∫ t
0
sy(s)ds = t2 + 1 pour t ≥ 0.
Remarque. On déduit de l’équation intégrale que la fonction y(t) satis-
fait à la condition initiale y(0) = 1.
2-44. Déterminer la valeur du paramètre a pour que la fonctionµ(x, y) = xya soit un facteur intégrant pour l’équation différentielle
2y2(x) − 6xy(x) + [3xy(x) − 4x2]y′(x) = 0.
2-45. On considère l’équation différentielle
e2ty2(t) + [e2ty(t) − 2y(t)]y′(t) = 0.
En réécrivant au besoin cette équation sous une autre forme, identifier
les méthodes présentées au chapitre 2 qui permettent de la résoudre.
2-46. Résoudre explicitement l’équation différentielle
(x + 4)[y2(x) + 1] + (x2 + 3x + 2)y(x)y′(x) = 0.
Indication. On a:
x + 4
x2 + 3x + 2
=
3
x + 1
− 2
x + 2
.
2-47. Donner la solution implicite de l’équation différentielle non
linéaire
y′(x) = −(x + 2)
2(y − 2)
xy2
pour x > 0.
2-48. Résoudre explicitement (si possible) l’équation différentielle non
linéaire
y′(x) = −x(y + 2)
(x + 1)y
pour x > −1.
2-49. Utiliser le fait que µ(x, y) = x est un facteur intégrant pour
l’équation différentielle
2.5 Exercices supplémentaires 47
(
x +
y2
x
)
dx + 2ydy = 0,
où x > 0, pour la résoudre (explicitement, si possible).
2-50. (a) Transformer l’équation de Bernoulli
y′(t) + e2ty(t) = ety2(t)
en une équation linéaire.
(b) Trouver un facteur intégrant µ(t) pour l’équation linéaire obtenue
en (a).
2-51. Trouver la solution de l’équation différentielle
y′(x) =
x2 − y2(x)
x − y(x)
qui satisfait à la condition y(0) = 1.
2-52. On considère l’équation différentielle suivante:
y′(x) =
x2 − y2(x)
x2 − xy(x)
pour x > 0.
Est-elle, possiblement après manipulation, une équation (a) à variables
séparables? (b) homogène? (c) exacte? (d) linéaire? Justifier.
2-53. La concentration C(t) de polluants dans un lac à l’instant t
satisfait à l’équation différentielle d’ordre un suivante:
V C ′(t) = kQ − QC(t),
où V est le volume du lac, Q est la quantité d’eau qui entre dans
le lac par unité de temps, et k est une constante non négative. La
concentration de polluants à l’instant initial est C(0) = C0 > 0.
(a) Si l’eau qui entre dans le lac est non polluée, alors la constante k
est égale à 0. Pour quelle valeur t1 de t la concentration de polluants
aura-t-elle diminué de moitié par rapport à C0?
(b) Supposons que k > 0. Vers quelle valeur la concentration C(t) de
polluants tend-elle lorsque t tend vers l’infini? Justifier.
exercices supplémentaires w 47
46 2 Équations différentielles ordinaires d’ordre un
est-elle (i) homogène? (ii) exacte (sous sa forme actuelle)? Justifier.
(b) Utiliser le fait que l’équation en (a) est une équation de Bernoulli
pour la résoudre explicitement.
2-43. Trouver la solution de l’équation intégrale suivante:
y(t) +
∫ t
0
sy(s)ds = t2 + 1 pour t ≥ 0.
Remarque. On déduit de l’équation intégrale que la fonction y(t) satis-
fait à la condition initiale y(0) = 1.
2-44. Déterminer la valeur du paramètre a pour que la fonction
µ(x, y) = xya soit un facteur intégrant pour l’équation différentielle
2y2(x) − 6xy(x) + [3xy(x) − 4x2]y′(x) = 0.
2-45. On considère l’équation différentielle
e2ty2(t) + [e2ty(t) − 2y(t)]y′(t) = 0.
En réécrivant au besoin cette équation sous une autre forme, identifier
les méthodes présentées au chapitre 2 qui permettent de la résoudre.
2-46. Résoudre explicitement l’équation différentielle
(x + 4)[y2(x) + 1] + (x2 + 3x + 2)y(x)y′(x) = 0.
Indication. On a:
x + 4
x2 + 3x + 2
=
3
x + 1
− 2
x + 2
.
2-47. Donner la solution implicite de l’équation différentielle non
linéaire
y′(x) = −(x + 2)
2(y − 2)
xy2
pour x > 0.
2-48. Résoudre explicitement (si possible) l’équation différentielle non
linéaire
y′(x) = −x(y + 2)
(x + 1)y
pour x > −1.
2-49. Utiliser le fait que µ(x, y) = x est un facteur intégrant pour
l’équation différentielle
2.5 Exercices supplémentaires 47
(
x +
y2
x
)
dx + 2ydy = 0,
où x > 0, pour la résoudre (explicitement, si possible).
2-50. (a) Transformer l’équation de Bernoulli
y′(t) + e2ty(t) = ety2(t)
en une équation linéaire.
(b) Trouver un facteur intégrant µ(t) pour l’équation linéaire obtenue
en (a).
2-51. Trouver la solution de l’équation différentielle
y′(x) =
x2 − y2(x)
x − y(x)
qui satisfait à la condition y(0) = 1.
2-52. On considère l’équation différentielle suivante:
y′(x) =
x2 − y2(x)
x2 − xy(x)
pour x > 0.
Est-elle, possiblement après manipulation, une équation (a) à variables
séparables? (b) homogène? (c) exacte? (d) linéaire? Justifier.
2-53. La concentration C(t) de polluants dans un lac à l’instant t
satisfait à l’équation différentielle d’ordre un suivante:
V C ′(t) = kQ − QC(t),
où V est le volume du lac, Q est la quantité d’eau qui entre dans
le lac par unité de temps, et k est une constante non négative. La
concentration de polluants à l’instant initial est C(0) = C0 > 0.
(a) Si l’eau qui entre dans le lac est non polluée, alors la constante k
est égale à 0. Pour quelle valeur t1 de t la concentration de polluants
aura-t-elle diminué de moitié par rapport à C0?
(b) Supposons que k > 0. Vers quelle valeur la concentration C(t) de
polluants tend-elle lorsque t tend vers l’infini? Justifier.
48 w équations différ entielles
48 2 Équations différentielles ordinaires d’ordre un
2-54. L’équation
t2y′(t) + ty(t) = y2(t) pour t > 0
est une équation de Bernoulli.
(a) Trouver la solution de cette équation qui satisfait à la condition
y(1) = 1.
(b) On pose z(t) = ln[y(t)], pour y(t) > 0. Donner l’équation différen-
tielle à laquelle la fonction z(t) satisfait.
2-55. On considère l’équation différentielle non linéaire
y′(x) =
x3
y(x)
.
(a) Réécrire l’équation sous la forme d’une équation différentielle exacte.
(b) Trouver la solution de l’équation pour laquelle y(0) = −1.
2-56. Soit
y′(x) = ay2(x) + 2y(x) + b,
où a et b sont des constantes.
(a) Trouver la solution générale de l’équation si a = 0.
(b) Quelle est la solution particulière de l’équation qui satisfait à la
condition y(0) = −2 si b = 0 et a = 2?
2-57. On considère l’équation différentielle sous la forme
(αx2 + βy)dx + (γx + δy2)dy = 0,
où α, β, γ et δ sont des constantes. On suppose que γ ou δ est non nulle.
(a) Pour quelles valeurs des constantes l’équation différentielle est-elle
exacte?
(b) Déterminer les valeurs des constantes pour lesquelles on peut
réécrire l’équation sous la forme d’une équation de Bernoulli non
linéaire.
2-58. Soit l’équation différentielle
dy
dx
= 3 − 6x + y − 2xy.
2.5 Exercices supplémentaires 49
En réécrivant au besoin cette équation sous une autre forme, identifier,
parmi les méthodes étudiées dans ce chapitre, trois méthodes qu’on
peut utiliser pour la résoudre.
2-59. Trouver les solutions de l’équation différentielle
x2y + y (x − 1) + x2 (y − 2) dy
dx
= 0 pour x > 0.
exercices supplémentaires w 49
48 2 Équations différentielles ordinaires d’ordre un
2-54. L’équation
t2y′(t) + ty(t) = y2(t) pour t > 0
est une équation de Bernoulli.
(a) Trouver la solution de cette équation qui satisfait à la condition
y(1) = 1.
(b) On pose z(t) = ln[y(t)], pour y(t) > 0. Donner l’équation différen-
tielle à laquelle la fonction z(t) satisfait.
2-55. On considère l’équation différentielle non linéaire
y′(x) =
x3
y(x)
.
(a) Réécrire l’équation sous la forme d’une équation différentielle exacte.
(b) Trouver la solution de l’équation pour laquelle y(0) = −1.
2-56. Soit
y′(x) = ay2(x) + 2y(x) + b,
où a et b sont des constantes.
(a) Trouver la solution générale de l’équation si a = 0.
(b) Quelle est la solution particulière de l’équation qui satisfait à la
condition y(0) = −2 si b = 0 et a = 2?
2-57. On considère l’équation différentielle sous la forme
(αx2 + βy)dx + (γx + δy2)dy = 0,
où α, β, γ et δ sont des constantes. On suppose que γ ou δ est non nulle.
(a) Pour quelles valeurs des constantes l’équation différentielle est-elle
exacte?
(b) Déterminer les valeurs des constantes pour lesquelles on peut
réécrire l’équation sous la forme d’une équation de Bernoulli non
linéaire.
2-58. Soit l’équation différentielledy
dx
= 3 − 6x + y − 2xy.
2.5 Exercices supplémentaires 49
En réécrivant au besoin cette équation sous une autre forme, identifier,
parmi les méthodes étudiées dans ce chapitre, trois méthodes qu’on
peut utiliser pour la résoudre.
2-59. Trouver les solutions de l’équation différentielle
x2y + y (x − 1) + x2 (y − 2) dy
dx
= 0 pour x > 0.
3
Équations différentielles ordinaires d’ordre
deux
3.1 Substitutions et équations homogènes à coefficients
constants
La forme générale des équations différentielles ordinaires d’ordre deux
est la suivante:
y′′(t) = f
(
t, y(t), y′(t)
)
. (3.1)
Nous nous intéressons au cas où la fonction f est linéaire en y(t) et
y′(t), de sorte que
y′′(t) + p(t)y′(t) + q(t)y(t) = r(t), (3.2)
où les fonctions p, q et r sont supposées continues dans les intervalles
considérés pour la variable indépendante t. En fait, dans la plupart des
cas, les fonctions p et q seront constantes.
Définition 3.1.1. Si la fonction r(t) est identique à zéro, l’équation
différentielle (3.2) est dite homogène. Sinon, (3.2) est une équation
différentielle non homogène.
3.1.1 Substitutions
Dans des cas particuliers, il est parfois possible de résoudre des équa-
tions différentielles d’ordre deux non homogènes, à coefficients non
constants, ou même non linéaires en effectuant une substitution qui
transforme ces équations en équations d’ordre un, de sorte que nous
avons réduit l’ordre de l’équation originale.
Cas I. Considérons l’équation différentielle d’ordre deux (3.1) pour
laquelle la fonction f(t, y, y′) ne dépend pas de y. Si l’on pose u(t) =
3
Équations différentielles ordinaires d’ordre
deux
3.1 Substitutions et équations homogènes à coefficients
constants
La forme générale des équations différentielles ordinaires d’ordre deux
est la suivante:
y′′(t) = f
(
t, y(t), y′(t)
)
. (3.1)
Nous nous intéressons au cas où la fonction f est linéaire en y(t) et
y′(t), de sorte que
y′′(t) + p(t)y′(t) + q(t)y(t) = r(t), (3.2)
où les fonctions p, q et r sont supposées continues dans les intervalles
considérés pour la variable indépendante t. En fait, dans la plupart des
cas, les fonctions p et q seront constantes.
Définition 3.1.1. Si la fonction r(t) est identique à zéro, l’équation
différentielle (3.2) est dite homogène. Sinon, (3.2) est une équation
différentielle non homogène.
3.1.1 Substitutions
Dans des cas particuliers, il est parfois possible de résoudre des équa-
tions différentielles d’ordre deux non homogènes, à coefficients non
constants, ou même non linéaires en effectuant une substitution qui
transforme ces équations en équations d’ordre un, de sorte que nous
avons réduit l’ordre de l’équation originale.
Cas I. Considérons l’équation différentielle d’ordre deux (3.1) pour
laquelle la fonction f(t, y, y′) ne dépend pas de y. Si l’on pose u(t) =
3 
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 
ORDINAIRES D’ORDRE DEUX substitutions et équations homogènes à coefficients constants
52 w équations différ entielles
52 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
y′(t), de sorte que u′(t) = y′′(t), alors l’équation du deuxième ordre est
ramenée à une équation d’ordre un pour u(t). Une fois cette équation
d’ordre un résolue (si possible), il suffit d’intégrer la solution pour
obtenir y(t).
Exemple 3.1.1. Soit l’équation différentielle non homogène
y′′(t) + y′(t) = 2et ⇐⇒ u′(t) + u(t) = 2et.
Il s’agit d’une équation différentielle linéaire d’ordre un pour la fonction
u(t). Sa solution générale est
u(t) = et + c0e−t,
où c0 est une constante arbitraire. Il s’ensuit que
y(t) =
∫ (
et + c0e−t
)
dt + c1
c2:=−c0= et + c2e−t + c1.
♦
Cas II. Supposons maintenant que la fonction f ne dépend pas (expli-
citement) de la variable indépendante t. On pose encore une fois u = y′
ou, de façon plus précise, u[y(t)] = y′(t) . On obtient que
y′′(t) =
dy′
dt
=
du
dt
=
du
dy
dy
dt
=
du
dy
u. (3.3)
L’équation différentielle originale
y′′ = f(y, y′) (3.4)
peut être réécrite comme suit:
u
du
dy
= f(y, u). (3.5)
On considère alors y comme la variable indépendante et u comme
la variable dépendante dans l’équation transformée. Si on arrive à
résoudre explicitement l’équation différentielle ainsi obtenue, il faut
ensuite résoudre l’équation
dy
dt
= u,
où u = u(y) = u[y(t)], pour trouver la solution de l’équation originale.
substitutions et équations homogènes à coefficients constants w 53
3.1 Substitutions et équations homogènes à coefficients constants 53
Exemple 3.1.2. Considérons l’équation différentielle d’ordre deux non
linéaire
y′′(t) = [y′(t)]3 := f(y, y′).
Notons que la variable dépendante y n’apparâıt pas non plus dans la
fonction f .
On voit que y(t) = c, une constante, est une solution de cette
équation. Supposons que y(t) n’est pas constante. Alors, avec u = y′
�= 0, cette équation devient
u
du
dy
= u3.
L’équation ci-dessus est à variables séparables. On a:
∫
u−2du =
∫
1dy + c1 =⇒ −
1
u
= y + c1.
Finalement, puisque u = dy/dt, on peut encore une fois séparer les
variables:
−dt = (y + c1) dy =⇒ −t =
1
2
y2 + c1y + c2.
Donc, on a deux autres solutions:
y(t) = −c1 ±
√
c21 − 2(t + c2)
c0:=−c1= c0 ±
√
c20 − 2(t + c2) ,
où on suppose que les constantes peuvent être choisies de façon à obtenir
des solutions réelles pour tout t. ♦
3.1.2 Équations homogènes à coefficients constants
Dans cette sous-section, on suppose que r(t) ≡ 0 et que les fonctions p
et q sont constantes. On peut alors écrire que
y′′(t) + p0y′(t) + q0y(t) = 0. (3.6)
Si l’on essaie une solution de la forme
y(t) = emt, (3.7)
où m est une constante, on trouve que m doit satisfaire à l’équation
m2 + p0m + q0 = 0. (3.8)
54 w équations différ entielles
54 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
Définition 3.1.2. L’équation (3.8) est appelée équation caractéris-
tique de l’équation différentielle (3.6).
Les deux racines de l’équation caractéristique sont
m1 =
1
2
(
−p0 +
√
p20 − 4q0
)
et m2 =
1
2
(
−p0 −
√
p20 − 4q0
)
,
(3.9)
que l’on peut réécrire de façon plus compacte comme suit:
m1,2 =
1
2
(
−p0 ±
√
p20 − 4q0
)
. (3.10)
Supposons d’abord que les racines m1 et m2 sont distinctes et réelles.
Alors
y1(t) := em1t et y2(t) := em2t (3.11)
sont deux solutions de l’équation différentielle (3.6). De plus, il est facile
de vérifier que
y(t) := c1em1t + c2em2t, (3.12)
où c1 et c2 sont des constantes arbitraires, est aussi une solution de
(3.6). En fait, on peut montrer (voir la section suivante) qu’il s’agit de
la solution générale de cette équation.
Maintenant, pour essayer de déterminer de façon unique les cons-
tantes c1 et c2, nous avons besoin de deux conditions. Considérons le
problème de valeur initiale qui consiste à résoudre l’équation différen-
tielle (3.6) sous les conditions
y(t0) = y0 et y′(t0) = y′0. (3.13)
En remplaçant t par t0 dans la solution générale (3.12), on obtient que
c1e
m1t0 + c2em2t0 = y0. (3.14)
De même, en dérivant (par rapport à t) la solution générale et en
évaluant en t = t0, on trouve que
c1m1e
m1t0 + c2m2em2t0 = y′0. (3.15)
On a donc un système de deux équations linéaires pour les constantes
c1 et c2. La solution de ce système d’équations est
c1 =
y′0 − y0m2
m1 − m2
e−m1t0 et c2 =
y0m1 − y′0
m1 − m2
e−m2t0 (3.16)
[comme on peut le vérifier par substitution dans les équations (3.14) et
(3.15)].
3.1 Substitutions et équations homogènes à coefficients constants 55
Exemple 3.1.3. Trouvons la solution particulière de l’équation diffé-
rentielle
y′′(t) + 2y′(t) − 15y(t) = 0 pour t ≥ 0
qui satisfait à
y(0) = 1 et y′(0) = 0.
L’équation caractéristique est
m2 + 2m − 15 = 0,
de sorte que
m1 =
1
2
(
−2 +
√
4 + 60
)
= 3 et m2 = −5.
Ainsi, la solution générale de l’équation considérée est
y(t) = c1e3t + c2e−5t.
Finalement, on déduit des équations en (3.16) que
c1 =
5
8
et c2 =
3
8
.
♦Exercices
3-1. Résoudre les équations différentielles non homogènes suivantes:
(a) y′′(t) + y′(t) = tet;
(b) ty′′(t) + y′(t) = t2 pour t > 0.
3-2. Trouver les solutions (non nulles) des équations différentielles non
linéaires suivantes, en utilisant le fait que la variable indépendante t
n’apparâıt pas explicitement dans ces équations:
(a) y′′(t) − 2 [y′(t)]2 = 0;
(b) y′′(t) +
1
y′(t)
= 0.
3-3. Trouver la solution générale des équations différentielles suivantes:
(a) y′′(t) + y′(t) − y(t) = 0;
(b) 2y′′(t) − 2y′(t) − y(t) = 0;
(c) 4y′′(t) + 16y′(t) + 7y(t) = 0.
3-4. Trouver la solution particulière des équations différentielles sui-
vantes qui satisfait aux conditions initiales indiquées:
(a) 2y′′(t) − 4y′(t) + y(t) = 0; y(0) = 0, y′(0) = 1;
(b) y′′(t) + 3y′(t) − 10y(t) = 0; y(0) = 1, y′(0) = 0.
substitutions et équations homogènes à coefficients constants w 55
54 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
Définition 3.1.2. L’équation (3.8) est appelée équation caractéris-
tique de l’équation différentielle (3.6).
Les deux racines de l’équation caractéristique sont
m1 =
1
2
(
−p0 +
√
p20 − 4q0
)
et m2 =
1
2
(
−p0 −
√
p20 − 4q0
)
,
(3.9)
que l’on peut réécrire de façon plus compacte comme suit:
m1,2 =
1
2
(
−p0 ±
√
p20 − 4q0
)
. (3.10)
Supposons d’abord que les racines m1 et m2 sont distinctes et réelles.
Alors
y1(t) := em1t et y2(t) := em2t (3.11)
sont deux solutions de l’équation différentielle (3.6). De plus, il est facile
de vérifier que
y(t) := c1em1t + c2em2t, (3.12)
où c1 et c2 sont des constantes arbitraires, est aussi une solution de
(3.6). En fait, on peut montrer (voir la section suivante) qu’il s’agit de
la solution générale de cette équation.
Maintenant, pour essayer de déterminer de façon unique les cons-
tantes c1 et c2, nous avons besoin de deux conditions. Considérons le
problème de valeur initiale qui consiste à résoudre l’équation différen-
tielle (3.6) sous les conditions
y(t0) = y0 et y′(t0) = y′0. (3.13)
En remplaçant t par t0 dans la solution générale (3.12), on obtient que
c1e
m1t0 + c2em2t0 = y0. (3.14)
De même, en dérivant (par rapport à t) la solution générale et en
évaluant en t = t0, on trouve que
c1m1e
m1t0 + c2m2em2t0 = y′0. (3.15)
On a donc un système de deux équations linéaires pour les constantes
c1 et c2. La solution de ce système d’équations est
c1 =
y′0 − y0m2
m1 − m2
e−m1t0 et c2 =
y0m1 − y′0
m1 − m2
e−m2t0 (3.16)
[comme on peut le vérifier par substitution dans les équations (3.14) et
(3.15)].
3.1 Substitutions et équations homogènes à coefficients constants 55
Exemple 3.1.3. Trouvons la solution particulière de l’équation diffé-
rentielle
y′′(t) + 2y′(t) − 15y(t) = 0 pour t ≥ 0
qui satisfait à
y(0) = 1 et y′(0) = 0.
L’équation caractéristique est
m2 + 2m − 15 = 0,
de sorte que
m1 =
1
2
(
−2 +
√
4 + 60
)
= 3 et m2 = −5.
Ainsi, la solution générale de l’équation considérée est
y(t) = c1e3t + c2e−5t.
Finalement, on déduit des équations en (3.16) que
c1 =
5
8
et c2 =
3
8
.
♦
Exercices
3-1. Résoudre les équations différentielles non homogènes suivantes:
(a) y′′(t) + y′(t) = tet;
(b) ty′′(t) + y′(t) = t2 pour t > 0.
3-2. Trouver les solutions (non nulles) des équations différentielles non
linéaires suivantes, en utilisant le fait que la variable indépendante t
n’apparâıt pas explicitement dans ces équations:
(a) y′′(t) − 2 [y′(t)]2 = 0;
(b) y′′(t) +
1
y′(t)
= 0.
3-3. Trouver la solution générale des équations différentielles suivantes:
(a) y′′(t) + y′(t) − y(t) = 0;
(b) 2y′′(t) − 2y′(t) − y(t) = 0;
(c) 4y′′(t) + 16y′(t) + 7y(t) = 0.
3-4. Trouver la solution particulière des équations différentielles sui-
vantes qui satisfait aux conditions initiales indiquées:
(a) 2y′′(t) − 4y′(t) + y(t) = 0; y(0) = 0, y′(0) = 1;
(b) y′′(t) + 3y′(t) − 10y(t) = 0; y(0) = 1, y′(0) = 0.
56 w équations différ entielles
56 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
3.2 Ensemble fondamental de solutions
Considérons l’équation différentielle linéaire d’ordre deux (3.2):
y′′(t) + p(t)y′(t) + q(t)y(t) = r(t).
On peut montrer le théorème d’existence et d’unicité très important
qui suit.
Théorème 3.2.1. Si les fonctions p, q et r sont continues pour tout
t dans l’intervalle (a, b), qui peut être toute la droite réelle (−∞,∞),
alors il existe une et une seule solution y(t) de l’équation (3.2) pour
laquelle
y(t0) = y0 et y′(t0) = y′0, (3.17)
où a < t0 < b.
Remarque. Le théorème implique que la fonction y(t) est bien définie
pour tout t ∈ (a, b). De plus, puisqu’elle satisfait à l’équation différen-
tielle, elle est nécessairement au moins deux fois dérivable dans l’inter-
valle (a, b).
Le théorème est valable pour des équations différentielles non homo-
gènes. Cependant, comme nous le verrons plus loin, le plus important
est de trouver la solution générale de l’équation homogène correspon-
dante. Nous allons donc supposer que r(t) ≡ 0 dans cette section, de
sorte que
y′′(t) + p(t)y′(t) + q(t)y(t) = 0. (3.18)
Définition 3.2.1. Un opérateur O est une règle (ou une fonction)
qui associe une fonction O[y] à chaque fonction y. On écrit:
O : y �−→ O[y]. (3.19)
Exemple 3.2.1. L’opérateur de dérivation D associe à une fonction
donnée y(t) sa dérivée:
D[y] =
dy
dt
.
De même, D2 représente la dérivée seconde:
D2[y] =
d2y
dt2
.
ensemble fondamental de solutions
ensemble fondamental de solutions w 57
3.2 Ensemble fondamental de solutions 57
♦
Notation. Nous allons dénoter par L l’opérateur différentiel défini par
L[y] = y′′ + p(t)y′ + q(t)y ⇐⇒ L[y] = D2[y] + p(t)D[y] + q(t)y.
(3.20)
En utilisant cette notation, on peut réécrire l’équation (3.18) comme
suit:
L[y] = 0. (3.21)
Remarque. Pour être précis,
L[y](t) = y′′(t) + p(t)y′(t) + q(t)y(t) (3.22)
et
L[y](t) = 0. (3.23)
Proposition 3.2.1. Si y1(t) et y2(t) sont deux solutions de l’équation
différentielle (3.18), alors
y(t) := c1y1(t) + c2y2(t), (3.24)
où c1 et c2 sont des constantes, est également une solution de (3.18).
Preuve. On a:
y′(t) = c1y′1(t) + c2y
′
2(t) et y
′′(t) = c1y′′1(t) + c2y
′′
2(t). (3.25)
Alors on obtient que
L[y](t) = c1y′′1(t) + c2y
′′
2(t) + p(t)[c1y
′
1(t) + c2y
′
2(t)]
+q(t)[c1y1(t) + c2y2(t)]
= c1 [y′′1(t) + p(t)y
′
1(t) + q(t)y1(t)]
+c2 [y′′2(t) + p(t)y
′
2(t) + q(t)y2(t)]
= c1 · 0 + c2 · 0 = 0, (3.26)
car y1(t) et y2(t) sont des solutions de (3.18).
Définition 3.2.2. Le déterminant
W (y1, y2) =
∣∣∣∣
y1 y2
y′1 y
′
2
∣∣∣∣ (3.27)
est appelé (déterminant) wronskien de y1 et y2.
58 w équations différ entielles
58 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
Proposition 3.2.2. Supposons que y1(t) et y2(t) sont deux solutions
de l’équation différentielle (3.18). Si leur wronskien, évalué en t = t0,
est différent de zéro, alors on peut trouver des constantes c1 et c2 telles
que la fonction y(t) définie en (3.24) soit une solution de (3.18) qui
satisfait aux conditions initiales (3.17).
Preuve. Par la proposition précédente, on sait que y(t) est une solution
de (3.18). Il faut choisir c1 et c2 de façon que
c1y1(t0) + c2y2(t0) = y0,
c1y
′
1(t0) + c2y
′
2(t0) = y
′
0. (3.28)
On trouve facilement que
c1 =
∣∣∣∣
y0 y2(t0)
y′0 y
′
2(t0)
∣∣∣∣
∣∣∣∣
y1(t0) y2(t0)
y′1(t0) y
′
2(t0)
∣∣∣∣
et c2 =
∣∣∣∣
y1(t0) y0
y′1(t0) y
′
0
∣∣∣∣
∣∣∣∣
y1(t0) y2(t0)
y′1(t0) y
′
2(t0)
∣∣∣∣
. (3.29)
Donc, si le dénominateur (qui est le wronskien de y1 et y2 en t = t0) dans
les expressions obtenues pour c1 et c2 est non nul, on peut effectivement
affirmer que les constantes c1 et c2 existent.
Remarque. On peut montrer que le wronskien de y1 et y2 est soit iden-
tique à zéro dans l’intervalle (a, b), soit différent de zéro pour tout
t ∈ (a, b).
Définition 3.2.3. Les fonctions y1(t) et y2(t) sont dites linéairement
indépendantes si
c1y1(t) + c2y2(t) = 0 =⇒ c1 = c2 = 0. (3.30)
Autrement, on dit qu’elles sont linéairementdépendantes.
Remarques. i) Deux fonctions sont linéairement dépendantes si l’une
est obtenue en multipliant l’autre par une constante.
ii) On peut montrer que deux solutions, y1 et y2, de l’équation différen-
tielle (3.18) sont linéairement indépendantes dans l’intervalle (a, b) si
et seulement si leur wronskien n’est pas identique à zéro dans cet inter-
valle. De façon plus générale, deux fonctions f et g dérivables dans
l’intervalle (a, b) sont linéairement indépendantes dans cet intervalle
3.2 Ensemble fondamental de solutions 59
si leur wronskien W (f, g)(t0) est différent de zéro pour au moins un
t0 ∈ (a, b). Si f et g sont linéairement dépendantes, alors W (f, g)(t) = 0
pour tout t ∈ (a, b).
Nous allons montrer que si y1 et y2 sont des solutions linéairement
indépendantes de (3.18), alors la fonction y(t) définie en (3.24) est la
solution générale de cette équation différentielle. C’est-à-dire que toute
solution particulière de cette équation peut être obtenue à partir de y(t).
Proposition 3.2.3. Si le wronskien des solutions y1(t) et y2(t) de
(3.18) est différent de zéro pour (au moins) un t0 ∈ (a, b), alors toute
solution y(t) de cette équation différentielle peut être exprimée comme
suit:
y(t) = c1y1(t) + c2y2(t),
où c1 et c2 sont des constantes.
Preuve. Soit η(t) une solution quelconque de l’équation différentielle
(3.18). Considérons le problème de valeur initiale qui consiste à résoudre
l’équation (3.18) sous les conditions
y(t0) = η(t0) et y′(t0) = η′(t0). (3.31)
On peut affirmer que η(t) est une solution de ce problème. De plus,
selon la proposition 3.2.2, on peut trouver des constantes c1 et c2 telles
que y(t) soit aussi une solution de ce problème de valeur initiale. Fina-
lement, par le théorème 3.2.1, les fonctions η(t) et y(t) doivent être
identiques.
Définition 3.2.4. Un ensemble fondamental de solutions de l’équa-
tion différentielle (3.18) est tout ensemble de deux solutions linéaire-
ment indépendantes (c’est-à-dire dont le wronskien n’est pas identique
à zéro) de cette équation.
Finalement, on a la proposition suivante.
Proposition 3.2.4. Soit y1(t) et y2(t) deux solutions de (3.18). Sup-
posons que
y1(t0) = 1 et y′1(t0) = 0, (3.32)
tandis que
y2(t0) = 0 et y′2(t0) = 1. (3.33)
Alors les fonctions y1(t) et y2(t) constituent un ensemble fondamental
de solutions de l’équation différentielle (3.18).
ensemble fondamental de solutions w 59
58 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
Proposition 3.2.2. Supposons que y1(t) et y2(t) sont deux solutions
de l’équation différentielle (3.18). Si leur wronskien, évalué en t = t0,
est différent de zéro, alors on peut trouver des constantes c1 et c2 telles
que la fonction y(t) définie en (3.24) soit une solution de (3.18) qui
satisfait aux conditions initiales (3.17).
Preuve. Par la proposition précédente, on sait que y(t) est une solution
de (3.18). Il faut choisir c1 et c2 de façon que
c1y1(t0) + c2y2(t0) = y0,
c1y
′
1(t0) + c2y
′
2(t0) = y
′
0. (3.28)
On trouve facilement que
c1 =
∣∣∣∣
y0 y2(t0)
y′0 y
′
2(t0)
∣∣∣∣
∣∣∣∣
y1(t0) y2(t0)
y′1(t0) y
′
2(t0)
∣∣∣∣
et c2 =
∣∣∣∣
y1(t0) y0
y′1(t0) y
′
0
∣∣∣∣
∣∣∣∣
y1(t0) y2(t0)
y′1(t0) y
′
2(t0)
∣∣∣∣
. (3.29)
Donc, si le dénominateur (qui est le wronskien de y1 et y2 en t = t0) dans
les expressions obtenues pour c1 et c2 est non nul, on peut effectivement
affirmer que les constantes c1 et c2 existent.
Remarque. On peut montrer que le wronskien de y1 et y2 est soit iden-
tique à zéro dans l’intervalle (a, b), soit différent de zéro pour tout
t ∈ (a, b).
Définition 3.2.3. Les fonctions y1(t) et y2(t) sont dites linéairement
indépendantes si
c1y1(t) + c2y2(t) = 0 =⇒ c1 = c2 = 0. (3.30)
Autrement, on dit qu’elles sont linéairement dépendantes.
Remarques. i) Deux fonctions sont linéairement dépendantes si l’une
est obtenue en multipliant l’autre par une constante.
ii) On peut montrer que deux solutions, y1 et y2, de l’équation différen-
tielle (3.18) sont linéairement indépendantes dans l’intervalle (a, b) si
et seulement si leur wronskien n’est pas identique à zéro dans cet inter-
valle. De façon plus générale, deux fonctions f et g dérivables dans
l’intervalle (a, b) sont linéairement indépendantes dans cet intervalle
3.2 Ensemble fondamental de solutions 59
si leur wronskien W (f, g)(t0) est différent de zéro pour au moins un
t0 ∈ (a, b). Si f et g sont linéairement dépendantes, alors W (f, g)(t) = 0
pour tout t ∈ (a, b).
Nous allons montrer que si y1 et y2 sont des solutions linéairement
indépendantes de (3.18), alors la fonction y(t) définie en (3.24) est la
solution générale de cette équation différentielle. C’est-à-dire que toute
solution particulière de cette équation peut être obtenue à partir de y(t).
Proposition 3.2.3. Si le wronskien des solutions y1(t) et y2(t) de
(3.18) est différent de zéro pour (au moins) un t0 ∈ (a, b), alors toute
solution y(t) de cette équation différentielle peut être exprimée comme
suit:
y(t) = c1y1(t) + c2y2(t),
où c1 et c2 sont des constantes.
Preuve. Soit η(t) une solution quelconque de l’équation différentielle
(3.18). Considérons le problème de valeur initiale qui consiste à résoudre
l’équation (3.18) sous les conditions
y(t0) = η(t0) et y′(t0) = η′(t0). (3.31)
On peut affirmer que η(t) est une solution de ce problème. De plus,
selon la proposition 3.2.2, on peut trouver des constantes c1 et c2 telles
que y(t) soit aussi une solution de ce problème de valeur initiale. Fina-
lement, par le théorème 3.2.1, les fonctions η(t) et y(t) doivent être
identiques.
Définition 3.2.4. Un ensemble fondamental de solutions de l’équa-
tion différentielle (3.18) est tout ensemble de deux solutions linéaire-
ment indépendantes (c’est-à-dire dont le wronskien n’est pas identique
à zéro) de cette équation.
Finalement, on a la proposition suivante.
Proposition 3.2.4. Soit y1(t) et y2(t) deux solutions de (3.18). Sup-
posons que
y1(t0) = 1 et y′1(t0) = 0, (3.32)
tandis que
y2(t0) = 0 et y′2(t0) = 1. (3.33)
Alors les fonctions y1(t) et y2(t) constituent un ensemble fondamental
de solutions de l’équation différentielle (3.18).
60 w équations différ entielles
60 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
Preuve. Notons d’abord que, selon le théorème 3.2.1, on peut effective-
ment trouver des fonctions y1(t) et y2(t) qui satisfont aux conditions
initiales énoncées ci-dessus. Puisque leur wronskien évalué en t0 est égal
à 1 �= 0, on peut affirmer qu’elles forment bien un ensemble fondamental
de solutions de (3.18).
Exemple 3.2.2. On peut montrer que le wronskien de deux solutions
de l’équation différentielle (3.18) est donné par
W (y1, y2) = c exp
{
−
∫
p(t)dt
}
,
où c est une constante (par rapport à t) qui peut dépendre des fonctions
y1 et y2. Notons que l’on déduit de la formule précédente que W (y1, y2)
est différent de 0 pour tout t dans l’intervalle considéré (si c �= 0), ou
est identique à 0 (si c = 0), tel que mentionné ci-dessus.
Considérons l’équation d’Airy :
y′′(t) = ty(t).
Puisque la fonction p(t) est identique à zéro dans cette équation, le
wronskien de deux solutions quelconques de cette équation est
W (y1, y2) = c exp
{
−
∫
0dt
}
= c.
♦
Exercices
3-5. (a) Calculer le déterminant wronskien W (y1, y2) des solutions
y1(t) = et et y2(t) = e−t
de l’équation différentielle
y′′(t) = y(t).
(b) Refaire la partie (a) avec
y1(t) = et et y2(t) = et + e−t.
3-6. Montrer, en calculant leur déterminant wronskien, que les fonc-
tions y1(t) et y2(t) suivantes sont linéairement indépendantes:
3.3 Racines complexes et changement de variable 61
(a) y1(t) = et; y2(t) = tet;
(b) y1(t) = et; y2(t) = 1 + 2et;
(c) y1(t) = 1 + t; y2(t) = 1 − t.
3-7. Trouver l’ensemble fondamental de solutions de l’équation différen-
tielle
y′′(t) = y(t)
qui satisfait aux conditions initiales
y1(0) = 1; y′1(0) = 0;
y2(0) =0; y′2(0) = 1.
3.3 Racines complexes et changement de variable
3.3.1 Racines complexes
Nous avons considéré dans la section 3.1 le cas où les racines m1 et m2
de l’équation caractéristique (3.8):
m2 + p0m + q0 = 0,
où p0 et q0 sont des constantes, sont réelles et distinctes. Puisque les
solutions
y1(t) := em1t et y2(t) := em2t
de l’équation différentielle (3.6) sont alors linéairement indépendantes,
on déduit de la proposition 3.2.3 que
y(t) := c1em1t + c2em2t
est la solution générale de cette équation, comme nous l’avions men-
tionné à la section 3.1.
Nous allons maintenant traiter le cas où le discriminant de l’équa-
tion (3.8), soit p20 − 4q0, est négatif. Il s’ensuit que les racines m1 et m2
sont des nombres complexes distincts:
m1 :=
1
2
(
−p0 + i
√
4q0 − p20
)
et m2 :=
1
2
(
−p0 − i
√
4q0 − p20
)
,
(3.34)
où i :=
√
−1.
racines complexes et changement de variable w 61
60 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
Preuve. Notons d’abord que, selon le théorème 3.2.1, on peut effective-
ment trouver des fonctions y1(t) et y2(t) qui satisfont aux conditions
initiales énoncées ci-dessus. Puisque leur wronskien évalué en t0 est égal
à 1 �= 0, on peut affirmer qu’elles forment bien un ensemble fondamental
de solutions de (3.18).
Exemple 3.2.2. On peut montrer que le wronskien de deux solutions
de l’équation différentielle (3.18) est donné par
W (y1, y2) = c exp
{
−
∫
p(t)dt
}
,
où c est une constante (par rapport à t) qui peut dépendre des fonctions
y1 et y2. Notons que l’on déduit de la formule précédente que W (y1, y2)
est différent de 0 pour tout t dans l’intervalle considéré (si c �= 0), ou
est identique à 0 (si c = 0), tel que mentionné ci-dessus.
Considérons l’équation d’Airy :
y′′(t) = ty(t).
Puisque la fonction p(t) est identique à zéro dans cette équation, le
wronskien de deux solutions quelconques de cette équation est
W (y1, y2) = c exp
{
−
∫
0dt
}
= c.
♦
Exercices
3-5. (a) Calculer le déterminant wronskien W (y1, y2) des solutions
y1(t) = et et y2(t) = e−t
de l’équation différentielle
y′′(t) = y(t).
(b) Refaire la partie (a) avec
y1(t) = et et y2(t) = et + e−t.
3-6. Montrer, en calculant leur déterminant wronskien, que les fonc-
tions y1(t) et y2(t) suivantes sont linéairement indépendantes:
3.3 Racines complexes et changement de variable 61
(a) y1(t) = et; y2(t) = tet;
(b) y1(t) = et; y2(t) = 1 + 2et;
(c) y1(t) = 1 + t; y2(t) = 1 − t.
3-7. Trouver l’ensemble fondamental de solutions de l’équation différen-
tielle
y′′(t) = y(t)
qui satisfait aux conditions initiales
y1(0) = 1; y′1(0) = 0;
y2(0) = 0; y′2(0) = 1.
3.3 Racines complexes et changement de variable
3.3.1 Racines complexes
Nous avons considéré dans la section 3.1 le cas où les racines m1 et m2
de l’équation caractéristique (3.8):
m2 + p0m + q0 = 0,
où p0 et q0 sont des constantes, sont réelles et distinctes. Puisque les
solutions
y1(t) := em1t et y2(t) := em2t
de l’équation différentielle (3.6) sont alors linéairement indépendantes,
on déduit de la proposition 3.2.3 que
y(t) := c1em1t + c2em2t
est la solution générale de cette équation, comme nous l’avions men-
tionné à la section 3.1.
Nous allons maintenant traiter le cas où le discriminant de l’équa-
tion (3.8), soit p20 − 4q0, est négatif. Il s’ensuit que les racines m1 et m2
sont des nombres complexes distincts:
m1 :=
1
2
(
−p0 + i
√
4q0 − p20
)
et m2 :=
1
2
(
−p0 − i
√
4q0 − p20
)
,
(3.34)
où i :=
√
−1.
racines complexes et changement de variable
62 w équations différ entielles
62 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
Remarque. En fait, nous devrions dire que les racines m1 et m2 sont des
nombres imaginaires distincts. En effet, les nombres complexes incluent
les nombres réels. Cependant, on utilise souvent le mot complexe pour
désigner un nombre imaginaire. De plus, un nombre complexe dont la
partie réelle est nulle est dit purement imaginaire. Enfin, les nombres
m1 et m2 sont ici des nombres complexes conjugués.
Posons que
α = −1
2
p0 et β =
1
2
√
4q0 − p20. (3.35)
C’est-à-dire que α est la partie réelle de m1, et β sa partie imaginaire.
Alors on peut écrire que
m1 = α + iβ et m2 = α − iβ. (3.36)
Notons que la constante α peut être égale à zéro, mais pas β.
Rappel (Formule d’Euler). On a:
eiθ = cos θ + i sin θ. (3.37)
Nous avons donc deux solutions, em1t et em2t, qui sont des fonctions
à valeurs complexes. Cependant, nous cherchons plutôt à obtenir des
solutions qui sont des fonctions à valeurs réelles. Pour ce faire, il suffit
d’additionner et de soustraire les fonctions em1t et em2t, en utilisant la
formule d’Euler. En effet, on obtient:
em1t = exp{(α + iβ)t} = eαt [cos(βt) + i sin(βt)] (3.38)
et
em2t = exp{(α − iβ)t} = eαt [cos(βt) − i sin(βt)] , (3.39)
de sorte que
em1t + em2t = 2eαt cos(βt) et em1t − em2t = 2ieαt sin(βt). (3.40)
Remarque. Nous avons utilisé ci-dessus le fait que cos(−x) = cos(x) et
sin(−x) = − sin(x).
Maintenant, on sait que toute combinaison linéaire de solutions de
l’équation différentielle (3.6) est aussi une solution de cette équation.
On peut laisser tomber les constantes 2 et 2i et poser que
3.3 Racines complexes et changement de variable 63
y1(t) = eαt cos(βt) et y2(t) = eαt sin(βt). (3.41)
Ces fonctions sont clairement linéairement indépendantes. En fait, on
trouve que leur wronskien est
W (y1, y2) =
∣∣∣∣
eαt cos(βt) eαt sin(βt)
αeαt cos(βt) − βeαt sin(βt) αeαt sin(βt) + βeαt cos(βt)
∣∣∣∣
= βe2αt cos2(βt) + βe2αt sin2(βt)
= βe2αt �= 0 ∀t. (3.42)
Finalement, on déduit de ce qui précède que
y(t) := eαt [c1 cos(βt) + c2 sin(βt)] , (3.43)
où c1 et c2 sont des constantes arbitraires et les constantes réelles α
et β sont données en (3.35), est la solution générale de l’équation (3.6)
lorsque p20 − 4q0 < 0.
Exemple 3.3.1. Soit l’équation différentielle
y′′(t) − 0,2y′(t) + 4y(t) = 0.
Son équation caractéristique est
m2 − 0,2m + 4 = 0,
de sorte que les racines m1 et m2 sont données par
m1 =
1
2
(
0,2 +
√
0,04 − 16
)
= 0,1 +
√
3,99i et m2 = 0,1−
√
3,99i.
De là, on déduit que la solution générale de l’équation considérée est
y(t) = et/10
[
c1 cos(
√
3,99t) + c2 sin(
√
3,99t)
]
.
Puisque la constante α = 1/10 est positive, la solution est une fonction
qui oscille et dont l’amplitude des oscillations augmente avec t (voir
la figure 3.1, dans laquelle on a choisi c1 = c2 = 1). Dans le cas où
α est une constante négative (respectivement nulle), l’amplitude des
oscillations diminue (resp. demeure constante) lorsque t augmente. ♦
racines complexes et changement de variable w 63
62 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
Remarque. En fait, nous devrions dire que les racines m1 et m2 sont des
nombres imaginaires distincts. En effet, les nombres complexes incluent
les nombres réels. Cependant, on utilise souvent le mot complexe pour
désigner un nombre imaginaire. De plus, un nombre complexe dont la
partie réelle est nulle est dit purement imaginaire. Enfin, les nombres
m1 et m2 sont ici des nombres complexes conjugués.
Posons que
α = −1
2
p0 et β =
1
2
√
4q0 − p20. (3.35)
C’est-à-dire que α est la partie réelle de m1, et β sa partie imaginaire.
Alors on peut écrire que
m1 = α + iβ et m2 = α − iβ. (3.36)
Notons que la constante α peut être égale à zéro, mais pas β.
Rappel (Formule d’Euler). On a:
eiθ = cos θ + i sin θ. (3.37)
Nous avons donc deux solutions, em1t et em2t, qui sont des fonctions
à valeurs complexes. Cependant, nous cherchons plutôt à obtenir des
solutions qui sont des fonctions à valeurs réelles. Pour ce faire, il suffit
d’additionner et de soustraire les fonctions em1t et em2t, en utilisant la
formule d’Euler. En effet, on obtient:
em1t = exp{(α + iβ)t} = eαt [cos(βt) + i sin(βt)] (3.38)
et
em2t = exp{(α − iβ)t} = eαt [cos(βt) − i sin(βt)] , (3.39)
de sorte que
em1t + em2t = 2eαt cos(βt) et em1t − em2t = 2ieαt sin(βt). (3.40)Remarque. Nous avons utilisé ci-dessus le fait que cos(−x) = cos(x) et
sin(−x) = − sin(x).
Maintenant, on sait que toute combinaison linéaire de solutions de
l’équation différentielle (3.6) est aussi une solution de cette équation.
On peut laisser tomber les constantes 2 et 2i et poser que
3.3 Racines complexes et changement de variable 63
y1(t) = eαt cos(βt) et y2(t) = eαt sin(βt). (3.41)
Ces fonctions sont clairement linéairement indépendantes. En fait, on
trouve que leur wronskien est
W (y1, y2) =
∣∣∣∣
eαt cos(βt) eαt sin(βt)
αeαt cos(βt) − βeαt sin(βt) αeαt sin(βt) + βeαt cos(βt)
∣∣∣∣
= βe2αt cos2(βt) + βe2αt sin2(βt)
= βe2αt �= 0 ∀t. (3.42)
Finalement, on déduit de ce qui précède que
y(t) := eαt [c1 cos(βt) + c2 sin(βt)] , (3.43)
où c1 et c2 sont des constantes arbitraires et les constantes réelles α
et β sont données en (3.35), est la solution générale de l’équation (3.6)
lorsque p20 − 4q0 < 0.
Exemple 3.3.1. Soit l’équation différentielle
y′′(t) − 0,2y′(t) + 4y(t) = 0.
Son équation caractéristique est
m2 − 0,2m + 4 = 0,
de sorte que les racines m1 et m2 sont données par
m1 =
1
2
(
0,2 +
√
0,04 − 16
)
= 0,1 +
√
3,99i et m2 = 0,1−
√
3,99i.
De là, on déduit que la solution générale de l’équation considérée est
y(t) = et/10
[
c1 cos(
√
3,99t) + c2 sin(
√
3,99t)
]
.
Puisque la constante α = 1/10 est positive, la solution est une fonction
qui oscille et dont l’amplitude des oscillations augmente avec t (voir
la figure 3.1, dans laquelle on a choisi c1 = c2 = 1). Dans le cas où
α est une constante négative (respectivement nulle), l’amplitude des
oscillations diminue (resp. demeure constante) lorsque t augmente. ♦
64 w équations différ entielles
64 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
–20
–10
0
10
20
5 10 15 20 25 30
t
Fig. 3.1. Solution particulière de l’équation différentielle dans l’exemple 3.3.1.
3.3.2 Changement de variable
Parfois, à l’aide d’un changement de variable approprié, il est possible
de transformer une équation différentielle à coefficients non constants
en une équation à coefficients constants. Par la suite, on peut utiliser
les résultats précédents (et ceux de la prochaine section) pour résoudre
l’équation obtenue.
Exemple 3.3.2. L’équation différentielle à coefficients non constants
t2y′′(t) + p0 ty′(t) + q0y(t) = 0 pour t > 0, (3.44)
où p0 et q0 sont des constantes, est appelée équation d’Euler. Con-
sidérons le changement de variable
s = ln t ⇐⇒ t = es.
Posons z(s) = y(t); c’est-à-dire que z(ln t) = y(t). On a:
y′(t) =
dy
dt
=
dz
ds
ds
dt
= z′(s)
1
t
= z′(s)e−s
et
y′′(t) =
d(dy/dt)
dt
=
d (z′(s)e−s)
ds
e−s =
[
z′′(s) − z′(s)
]
e−2s.
3.4 Racines doubles et réduction d’ordre 65
L’équation (3.44) devient
e2s
[
z′′(s) − z′(s)
]
e−2s + p0esz′(s)e−s + q0z(s) = 0
⇐⇒ z′′(s) − z′(s) + p0z′(s) + q0z(s) = 0
⇐⇒ z′′(s) + (p0 − 1)z′(s) + q0z(s) = 0
pour s > −∞. C’est-à-dire que l’équation d’Euler est transformée en
une équation différentielle linéaire (homogène) à coefficients constants.
Nous utiliserons ce résultat dans la section 3.5. ♦
Exercices
3-8. Trouver la solution générale des équations différentielles suivantes,
et déterminer le comportement des solutions si on choisit les constantes
c1 = c2 = 1:
(a) 4y′′(t) + 8y′(t) + 5y(t) = 0;
(b) 16y′′(t) − 8y′(t) + 5y(t) = 0.
3-9. Trouver la solution générale de
y′′′(t) + 4y′(t) = 0.
3-10. Transformer l’équation différentielle ordinaire
y′′(t) + (et − 1)y′(t) + e2ty(t) = 0
en équation à coefficients constants en posant que z(s) = y(t), où s = et.
3.4 Racines doubles et réduction d’ordre
3.4.1 Racines doubles
Il nous reste à considérer le cas où le discriminant p20 − 4q0 est nul, de
sorte que l’équation caractéristique (3.8):
m2 + p0m + q0 = 0
possède une racine (réelle) double:
m := −1
2
p0. (3.45)
racines doubles et réduction d’ordre w 65
64 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
–20
–10
0
10
20
5 10 15 20 25 30
t
Fig. 3.1. Solution particulière de l’équation différentielle dans l’exemple 3.3.1.
3.3.2 Changement de variable
Parfois, à l’aide d’un changement de variable approprié, il est possible
de transformer une équation différentielle à coefficients non constants
en une équation à coefficients constants. Par la suite, on peut utiliser
les résultats précédents (et ceux de la prochaine section) pour résoudre
l’équation obtenue.
Exemple 3.3.2. L’équation différentielle à coefficients non constants
t2y′′(t) + p0 ty′(t) + q0y(t) = 0 pour t > 0, (3.44)
où p0 et q0 sont des constantes, est appelée équation d’Euler. Con-
sidérons le changement de variable
s = ln t ⇐⇒ t = es.
Posons z(s) = y(t); c’est-à-dire que z(ln t) = y(t). On a:
y′(t) =
dy
dt
=
dz
ds
ds
dt
= z′(s)
1
t
= z′(s)e−s
et
y′′(t) =
d(dy/dt)
dt
=
d (z′(s)e−s)
ds
e−s =
[
z′′(s) − z′(s)
]
e−2s.
3.4 Racines doubles et réduction d’ordre 65
L’équation (3.44) devient
e2s
[
z′′(s) − z′(s)
]
e−2s + p0esz′(s)e−s + q0z(s) = 0
⇐⇒ z′′(s) − z′(s) + p0z′(s) + q0z(s) = 0
⇐⇒ z′′(s) + (p0 − 1)z′(s) + q0z(s) = 0
pour s > −∞. C’est-à-dire que l’équation d’Euler est transformée en
une équation différentielle linéaire (homogène) à coefficients constants.
Nous utiliserons ce résultat dans la section 3.5. ♦
Exercices
3-8. Trouver la solution générale des équations différentielles suivantes,
et déterminer le comportement des solutions si on choisit les constantes
c1 = c2 = 1:
(a) 4y′′(t) + 8y′(t) + 5y(t) = 0;
(b) 16y′′(t) − 8y′(t) + 5y(t) = 0.
3-9. Trouver la solution générale de
y′′′(t) + 4y′(t) = 0.
3-10. Transformer l’équation différentielle ordinaire
y′′(t) + (et − 1)y′(t) + e2ty(t) = 0
en équation à coefficients constants en posant que z(s) = y(t), où s = et.
3.4 Racines doubles et réduction d’ordre
3.4.1 Racines doubles
Il nous reste à considérer le cas où le discriminant p20 − 4q0 est nul, de
sorte que l’équation caractéristique (3.8):
m2 + p0m + q0 = 0
possède une racine (réelle) double:
m := −1
2
p0. (3.45)
racines doubles et réduction d’ordre
66 w équations différ entielles
66 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
Nous n’avons donc qu’une seule solution de l’équation différen-
tielle (3.6):
y′′(t) + p0y′(t) + q0y(t) = 0,
soit
y1(t) := emt. (3.46)
Il nous faut en trouver une deuxième qui soit linéairement indépendante
de y1(t). Posons que
y2(t) = u(t)y1(t) = u(t)emt, (3.47)
où u(t) est une fonction (non constante) qui doit être choisie de façon
que y2(t) soit également une solution de l’équation différentielle (3.6).
On a:
y′2(t) = e
mt
[
u′(t) + mu(t)
]
(3.48)
et
y′′2(t) = e
mt
{
m
[
u′(t) + mu(t)
]
+
[
u′′(t) + mu′(t)
]}
= emt
[
u′′(t) + 2mu′(t) + m2u(t)
]
. (3.49)
Il s’ensuit que
0 = y′′2(t) + p0y
′
2(t) + q0y2(t)
⇐⇒ 0 = emt
[
u′′(t) + 2mu′(t) + m2u(t)
]
+ p0emt
[
u′(t) + mu(t)
]
+ q0u(t)emt
⇐⇒ 0 = u′′(t) + (2m + p0)u′(t) + (m2 + p0m + q0)u(t)
⇐⇒ 0 = u′′(t), (3.50)
où on a utilisé le fait que m = −p0/2 et p20 = 4q0, ce qui implique que
les coefficients de u′(t) et u(t) sont nuls.
On peut donc écrire que
u(t) = k1 t + k2, (3.51)
où k1 et k2 sont des constantes arbitraires. De là, on déduit que
y2(t) = k1 ty1(t) + k2y1(t) (3.52)
est une solution de l’équation différentielle (3.6). On peut choisir k1 = 1
et k2 = 0. Comme
3.4 Racines doubles et réduction d’ordre 67
W (y1, y2) =
∣∣∣∣
y1(t) ty1(t)
y′1(t) y1(t) + ty
′
1(t)
∣∣∣∣
= [y1(t)]2 = e2mt �= 0 ∀t, (3.53)
la fonction y2(t) est linéairement indépendante de y1(t) [ce qui était
évident, puisque y2(t) n’est pas obtenue en multipliant y1(t) par une
constante]. Alors on peut affirmer que
y(t) := c1emt + c2 temt = (c1 + c2 t)emt, (3.54)
où m = −p0/2, est la solution générale de l’équation (3.6) lorsque
p20 = 4q0.
Exemple 3.4.1. Considérons le problème de valeur initiale qui consiste
à résoudre l’équation différentielle
y′′(t) + 2y′(t) + y(t) = 0 pour t ≥0
sous les conditions
y(0) = 1/2 et y′(0) = 1.
On trouve que p20 − 4q0 = 4 − 4 = 0, de sorte que la solution générale
de l’équation différentielle est, avec m = −1,
y(t) = (c1 + c2 t)e−t.
La solution particulière qui satisfait aux conditions initiales est telle
que
1/2 = y(0) = c1
et
1 = y′(0)
c1=1/2= −1
2
e−t + c2e−t − c2 te−t
∣∣∣∣
t=0
= −1
2
+ c2 =⇒ c2 =
3
2
.
Ainsi, on a:
y(t) =
1
2
(1 + 3t)e−t
(voir la figure 3.2). ♦
racines doubles et réduction d’ordre w 67
66 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
Nous n’avons donc qu’une seule solution de l’équation différen-
tielle (3.6):
y′′(t) + p0y′(t) + q0y(t) = 0,
soit
y1(t) := emt. (3.46)
Il nous faut en trouver une deuxième qui soit linéairement indépendante
de y1(t). Posons que
y2(t) = u(t)y1(t) = u(t)emt, (3.47)
où u(t) est une fonction (non constante) qui doit être choisie de façon
que y2(t) soit également une solution de l’équation différentielle (3.6).
On a:
y′2(t) = e
mt
[
u′(t) + mu(t)
]
(3.48)
et
y′′2(t) = e
mt
{
m
[
u′(t) + mu(t)
]
+
[
u′′(t) + mu′(t)
]}
= emt
[
u′′(t) + 2mu′(t) + m2u(t)
]
. (3.49)
Il s’ensuit que
0 = y′′2(t) + p0y
′
2(t) + q0y2(t)
⇐⇒ 0 = emt
[
u′′(t) + 2mu′(t) + m2u(t)
]
+ p0emt
[
u′(t) + mu(t)
]
+ q0u(t)emt
⇐⇒ 0 = u′′(t) + (2m + p0)u′(t) + (m2 + p0m + q0)u(t)
⇐⇒ 0 = u′′(t), (3.50)
où on a utilisé le fait que m = −p0/2 et p20 = 4q0, ce qui implique que
les coefficients de u′(t) et u(t) sont nuls.
On peut donc écrire que
u(t) = k1 t + k2, (3.51)
où k1 et k2 sont des constantes arbitraires. De là, on déduit que
y2(t) = k1 ty1(t) + k2y1(t) (3.52)
est une solution de l’équation différentielle (3.6). On peut choisir k1 = 1
et k2 = 0. Comme
3.4 Racines doubles et réduction d’ordre 67
W (y1, y2) =
∣∣∣∣
y1(t) ty1(t)
y′1(t) y1(t) + ty
′
1(t)
∣∣∣∣
= [y1(t)]2 = e2mt �= 0 ∀t, (3.53)
la fonction y2(t) est linéairement indépendante de y1(t) [ce qui était
évident, puisque y2(t) n’est pas obtenue en multipliant y1(t) par une
constante]. Alors on peut affirmer que
y(t) := c1emt + c2 temt = (c1 + c2 t)emt, (3.54)
où m = −p0/2, est la solution générale de l’équation (3.6) lorsque
p20 = 4q0.
Exemple 3.4.1. Considérons le problème de valeur initiale qui consiste
à résoudre l’équation différentielle
y′′(t) + 2y′(t) + y(t) = 0 pour t ≥ 0
sous les conditions
y(0) = 1/2 et y′(0) = 1.
On trouve que p20 − 4q0 = 4 − 4 = 0, de sorte que la solution générale
de l’équation différentielle est, avec m = −1,
y(t) = (c1 + c2 t)e−t.
La solution particulière qui satisfait aux conditions initiales est telle
que
1/2 = y(0) = c1
et
1 = y′(0)
c1=1/2= −1
2
e−t + c2e−t − c2 te−t
∣∣∣∣
t=0
= −1
2
+ c2 =⇒ c2 =
3
2
.
Ainsi, on a:
y(t) =
1
2
(1 + 3t)e−t
(voir la figure 3.2). ♦
68 w équations différ entielles
68 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
0
0.2
0.4
0.6
2 4 6 8 10
t
Fig. 3.2. Solution particulière de l’équation différentielle dans l’exemple 3.4.1.
3.4.2 Réduction d’ordre
On peut appliquer la technique utilisée ci-dessus pour obtenir une
deuxième solution, y2(t), dans le cas de l’équation différentielle (3.18):
y′′(t) + p(t)y′(t) + q(t)y(t) = 0
lorsqu’on connâıt une solution y1(t) de cette équation. On pose y2(t) =
u(t)y1(t) et on calcule
y′2(t) = u
′(t)y1(t) + u(t)y′1(t) (3.55)
et
y′′2(t) =
d
dt
[
u′(t)y1(t) + u(t)y′1(t)
]
= u′′(t)y1(t) + 2u′(t)y′1(t) + u(t)y
′′
1(t). (3.56)
En substituant ces expressions dans l’équation (3.18), on obtient [en
utilisant le fait que y1(t) satisfait à cette équation] que
u′′(t)y1(t) + 2u′(t)y′1(t) + u(t)y
′′
1(t)
+ p(t)
[
u′(t)y1(t) + u(t)y′1(t)
]
+ q(t)u(t)y1(t) = 0
⇐⇒ u′′(t)y1(t) + u′(t)
[
2y′1(t) + p(t)y1(t)
]
+ u(t)
[
y′′1(t) + p(t)y
′
1(t) + q(t)y1(t)
]
= 0
⇐⇒ u′′(t)y1(t) + u′(t)
[
2y′1(t) + p(t)y1(t)
]
= 0. (3.57)
3.4 Racines doubles et réduction d’ordre 69
Finalement, si l’on pose
v(t) = u′(t), (3.58)
on voit que l’on doit résoudre l’équation différentielle linéaire homogène
(dans le sens que tous les termes de l’équation impliquent v ou v′) du
premier ordre
v′(t)y1(t) + v(t)
[
2y′1(t) + p(t)y1(t)
]
= 0. (3.59)
On a donc réduit l’ordre de l’équation différentielle originale. Une fois
la fonction v(t) obtenue, il reste à l’intégrer pour déterminer u(t) et
ainsi y2(t) = u(t)y1(t) explicitement.
Remarques. i) Notons que l’équation (3.59) est aussi à variables sépa-
rables.
ii) Si l’on conserve la constante arbitraire dans la fonction v(t), puis la
constante d’intégration lorsqu’on intègre v(t) pour obtenir u(t), alors
on trouve que u(t)y1(t) nous donne en fait la solution générale de
l’équation (3.18).
Exemple 3.4.2. Une solution de l’équation différentielle
t2y′′(t) + ty′(t) − 9y(t) = 0 pour t > 0
est
y1(t) = t3.
Pour en obtenir une deuxième, on peut résoudre [car p(t) = 1/t]
t3v′(t) + (6t2 + t2)v(t) = 0 ⇐⇒ 1
v
dv = −7
t
dt,
d’où l’on déduit que
ln |v| = −7 ln t + c0 =⇒ |v| = exp{−7 ln t + c0} = ct−7.
On peut choisir la constante positive c égale à 1 et laisser tomber
les valeurs absolues. On peut donc écrire (en choisissant la constante
d’intégration égale à zéro) que
u(t) =
∫
t−7dt = −1
6
t−6.
racines doubles et réduction d’ordre w 69
68 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
0
0.2
0.4
0.6
2 4 6 8 10
t
Fig. 3.2. Solution particulière de l’équation différentielle dans l’exemple 3.4.1.
3.4.2 Réduction d’ordre
On peut appliquer la technique utilisée ci-dessus pour obtenir une
deuxième solution, y2(t), dans le cas de l’équation différentielle (3.18):
y′′(t) + p(t)y′(t) + q(t)y(t) = 0
lorsqu’on connâıt une solution y1(t) de cette équation. On pose y2(t) =
u(t)y1(t) et on calcule
y′2(t) = u
′(t)y1(t) + u(t)y′1(t) (3.55)
et
y′′2(t) =
d
dt
[
u′(t)y1(t) + u(t)y′1(t)
]
= u′′(t)y1(t) + 2u′(t)y′1(t) + u(t)y
′′
1(t). (3.56)
En substituant ces expressions dans l’équation (3.18), on obtient [en
utilisant le fait que y1(t) satisfait à cette équation] que
u′′(t)y1(t) + 2u′(t)y′1(t) + u(t)y
′′
1(t)
+ p(t)
[
u′(t)y1(t) + u(t)y′1(t)
]
+ q(t)u(t)y1(t) = 0
⇐⇒ u′′(t)y1(t) + u′(t)
[
2y′1(t) + p(t)y1(t)
]
+ u(t)
[
y′′1(t) + p(t)y
′
1(t) + q(t)y1(t)
]
= 0
⇐⇒ u′′(t)y1(t) + u′(t)
[
2y′1(t) + p(t)y1(t)
]
= 0. (3.57)
3.4 Racines doubles et réduction d’ordre 69
Finalement, si l’on pose
v(t) = u′(t), (3.58)
on voit que l’on doit résoudre l’équation différentielle linéaire homogène
(dans le sens que tous les termes de l’équation impliquent v ou v′) du
premier ordre
v′(t)y1(t) + v(t)
[
2y′1(t) + p(t)y1(t)
]
= 0. (3.59)
On a donc réduit l’ordre de l’équation différentielle originale. Une fois
la fonction v(t) obtenue, il reste à l’intégrer pour déterminer u(t) et
ainsi y2(t) = u(t)y1(t) explicitement.
Remarques. i) Notons que l’équation (3.59) est aussi à variables sépa-
rables.
ii) Si l’on conserve la constante arbitraire dans la fonction v(t), puis la
constante d’intégration lorsqu’on intègre v(t) pour obtenir u(t), alors
on trouve que u(t)y1(t) nous donne en fait la solution générale de
l’équation (3.18).
Exemple 3.4.2. Une solution de l’équation différentielle
t2y′′(t) + ty′(t) − 9y(t) = 0 pour t > 0
est
y1(t) = t3.
Pour en obtenir une deuxième, on peut résoudre [car p(t) = 1/t]
t3v′(t) + (6t2 + t2)v(t) = 0 ⇐⇒ 1
v
dv = −7
t
dt,
d’où l’on déduit que
ln |v| = −7 ln t + c0 =⇒ |v| = exp{−7 ln t + c0} = ct−7.
On peut choisir la constante positive c égale à 1 et laisser tomber
les valeurs absolues. On peut donc écrire (en choisissant la constante
d’intégration égale à zéro) que
u(t) =
∫
t−7dt = −1
6
t−6.
70 w équations différ entielles
70 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
Donc, la deuxième solution cherchée est
y2(t) = −
1
6
t−6 t3 ∝ t−3.
C’est-à-dire que la fonction y2(t) est proportionnelle à t−3. De là, on
peut affirmer que la solution générale de l’équation différentielle con-
sidérée est
y(t) = c1 t3 + c2 t−3 pour t > 0.
La solution particulière obtenueen posant c1 = c2 = 1 est illustrée
dans la figure 3.3. ♦
0
200
400
600
800
1000
2 4 6 8 10
t
Fig. 3.3. Solution particulière de l’équation différentielle dans l’exemple 3.4.2.
Exercices
3-11. (a) Résoudre l’équation différentielle ordinaire
y′′(t) + y′(t) +
1
4
y(t) = 0 pour t ≥ 0,
sous les conditions
y(0) = 1 et y′(0) = 2.
(b) Vers quelle valeur tend y(t) lorsque t tend vers l’infini?
3-12. Utiliser le fait qu’une solution de l’équation différentielle ordi-
naire
3.5 Points singuliers et équation d’Euler 71
y′′(t) +
1
t
y′(t) − 1
t2
y(t) = 0 pour t > 0
est
y1(t) =
1
t
pour obtenir la solution générale de cette équation.
3-13. Déterminer le comportement de la solution générale de
y′′(t) + y′(t) + ay(t) = 0
en fonction de la constante réelle a.
3.5 Points singuliers et équation d’Euler
3.5.1 Points singuliers
Définition 3.5.1. Une fonction réelle f(x) est dite analytique dans
un intervalle (a, b) si, pour tout x0 ∈ (a, b), on peut écrire que
f(x) =
∞∑
n=0
an (x − x0)n, (3.60)
où les coefficients an sont réels, et si la série converge pour tout x dans
un voisinage de x0.
Remarques. i) Un voisinage de x0 est l’ensemble des points x pour
lesquels
|x − x0| < δ (3.61)
pour un δ > 0.
ii) De façon équivalente, la fonction f(x) est analytique en x = x0 si
on peut écrire que
f(x) =
∞∑
n=0
f (n)(x0)
n!
(x − x0)n (3.62)
dans un voisinage de x0. C’est-à-dire que la fonction est égale à son
développement en série de Taylor autour du point x0, et la série possède
un rayon de convergence δ positif.
iii) Tout polynôme est une fonction analytique sur toute la droite réelle.
De même la fonction exponentielle ex, et les fonctions sin x et cos x sont
analytiques sur toute la droite réelle.
points singuliers et équation d’euler w 71
70 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
Donc, la deuxième solution cherchée est
y2(t) = −
1
6
t−6 t3 ∝ t−3.
C’est-à-dire que la fonction y2(t) est proportionnelle à t−3. De là, on
peut affirmer que la solution générale de l’équation différentielle con-
sidérée est
y(t) = c1 t3 + c2 t−3 pour t > 0.
La solution particulière obtenue en posant c1 = c2 = 1 est illustrée
dans la figure 3.3. ♦
0
200
400
600
800
1000
2 4 6 8 10
t
Fig. 3.3. Solution particulière de l’équation différentielle dans l’exemple 3.4.2.
Exercices
3-11. (a) Résoudre l’équation différentielle ordinaire
y′′(t) + y′(t) +
1
4
y(t) = 0 pour t ≥ 0,
sous les conditions
y(0) = 1 et y′(0) = 2.
(b) Vers quelle valeur tend y(t) lorsque t tend vers l’infini?
3-12. Utiliser le fait qu’une solution de l’équation différentielle ordi-
naire
3.5 Points singuliers et équation d’Euler 71
y′′(t) +
1
t
y′(t) − 1
t2
y(t) = 0 pour t > 0
est
y1(t) =
1
t
pour obtenir la solution générale de cette équation.
3-13. Déterminer le comportement de la solution générale de
y′′(t) + y′(t) + ay(t) = 0
en fonction de la constante réelle a.
3.5 Points singuliers et équation d’Euler
3.5.1 Points singuliers
Définition 3.5.1. Une fonction réelle f(x) est dite analytique dans
un intervalle (a, b) si, pour tout x0 ∈ (a, b), on peut écrire que
f(x) =
∞∑
n=0
an (x − x0)n, (3.60)
où les coefficients an sont réels, et si la série converge pour tout x dans
un voisinage de x0.
Remarques. i) Un voisinage de x0 est l’ensemble des points x pour
lesquels
|x − x0| < δ (3.61)
pour un δ > 0.
ii) De façon équivalente, la fonction f(x) est analytique en x = x0 si
on peut écrire que
f(x) =
∞∑
n=0
f (n)(x0)
n!
(x − x0)n (3.62)
dans un voisinage de x0. C’est-à-dire que la fonction est égale à son
développement en série de Taylor autour du point x0, et la série possède
un rayon de convergence δ positif.
iii) Tout polynôme est une fonction analytique sur toute la droite réelle.
De même la fonction exponentielle ex, et les fonctions sin x et cos x sont
analytiques sur toute la droite réelle.
points singuliers et équation d’euler
72 w équations différ entielles
72 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
Définition 3.5.2. Si les fonctions p(x) et q(x) dans l’équation différen-
tielle
y′′(x) + p(x)y′(x) + q(x)y(x) = 0 (3.63)
sont analytiques en x = 0, alors l’origine est un point ordinaire de
l’équation. Dans le cas contraire, l’origine est appelée point singulier.
Dans cette sous-section, on s’intéresse au cas où les fonctions p(x)
et q(x) ne sont pas toutes les deux analytiques à l’origine, mais sont de
la forme
p(x) =
φ(x)
x
et q(x) =
ψ(x)
x2
, (3.64)
où les fonctions φ(x) et ψ(x) sont analytiques en x = 0.
Définition 3.5.3. Si au moins une des deux fonctions p(x) et q(x)
dans l’équation différentielle (3.63) n’est pas analytique à l’origine,
mais p(x) et q(x) sont comme dans l’équation (3.64), alors l’origine
est appelée point singulier régulier de l’équation. Sinon, l’origine
est un point singulier irrégulier.
Remarque. Dans le cas où les fonctions p(x) et q(x) sont des quotients
de polynômes, on peut aussi dire que l’origine est un point singulier
régulier si (et seulement si) il s’agit d’un point singulier, mais les limites
lim
x→0
xp(x) et lim
x→0
x2 q(x) existent.
3.5.2 Équation d’Euler
Une équation différentielle très importante pour laquelle l’origine est
un point singulier régulier est l’équation d’Euler (ou d’Euler-Cauchy)
x2y′′(x) + p0xy′(x) + q0 y(x) = 0, (3.65)
où p0 et q0 sont des constantes. Notons que l’on a:
φ(x) = p0 et ψ(x) = q0. (3.66)
Considérons l’équation pour x ∈ (0,∞). Puisque l’origine ne fait pas
partie de l’intervalle (0,∞), les fonctions p(x) et q(x) sont continues
dans cet intervalle et on peut affirmer que sa solution générale est
donnée par
y(x) = c1y1(x) + c2y2(x), (3.67)
3.5 Points singuliers et équation d’Euler 73
où y1(x) et y2(x) sont deux solutions linéairement indépendantes de
cette équation.
On a vu dans l’exemple 3.3.2 que l’équation d’Euler peut être trans-
formée en équation différentielle à coefficients constants en posant
s = lnx. Étant donné que ces équations possèdent des solutions qui
sont des fonctions exponentielles, on cherche des solutions de l’équation
d’Euler de la forme
y(x) = exp{m lnx} = xm. (3.68)
En remplaçant cette fonction dans (3.65), on obtient:
x2m(m − 1)xm−2 + p0xmxm−1 + q0 xm = 0; (3.69)
c’est-à-dire, puisque x > 0,
m(m − 1) + p0m + q0 = 0. (3.70)
L’équation (3.70) correspond à l’équation caractéristique de la sec-
tion 3.1. Les racines de cette équation sont
m1 :=
1
2
(
−(p0 − 1) +
√
(p0 − 1)2 − 4q0
)
(3.71)
et
m2 :=
1
2
(
−(p0 − 1) −
√
(p0 − 1)2 − 4q0
)
. (3.72)
Il y a trois cas à considérer.
Cas I. Si m1 et m2 sont des nombres réels distincts, alors xm1 et xm2
sont des solutions linéairement indépendantes de (3.65), de sorte que
la solution générale peut s’écrire comme suit:
y(x) = c1xm1 + c2xm2 pour x > 0. (3.73)
Remarque. Le wronskien des deux solutions est
W (xm1 , xm2) = (m2 − m1)xm1+m2−1 �= 0 ∀x > 0. (3.74)
Cas II. Si (p0 − 1)2 − 4q0 = 0, alors l’équation (3.70) possède une
racine double:
m :=
1 − p0
2
. (3.75)
points singuliers et équation d’euler w 73
72 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
Définition 3.5.2. Si les fonctions p(x) et q(x) dans l’équation différen-
tielle
y′′(x) + p(x)y′(x) + q(x)y(x) = 0 (3.63)
sont analytiques en x = 0, alors l’origine est un point ordinaire de
l’équation. Dans le cas contraire, l’origine est appelée point singulier.
Dans cette sous-section, on s’intéresse au cas où les fonctions p(x)
et q(x) ne sont pas toutes les deux analytiques à l’origine, mais sont de
la forme
p(x) =
φ(x)
x
et q(x) =
ψ(x)
x2
, (3.64)
où les fonctions φ(x) et ψ(x) sont analytiques en x = 0.
Définition 3.5.3. Si au moins une des deux fonctions p(x) et q(x)
dans l’équation différentielle (3.63) n’est pas analytique à l’origine,
mais p(x) et q(x) sont comme dans l’équation (3.64), alors l’origine
est appelée point singulier régulier de l’équation.Sinon, l’origine
est un point singulier irrégulier.
Remarque. Dans le cas où les fonctions p(x) et q(x) sont des quotients
de polynômes, on peut aussi dire que l’origine est un point singulier
régulier si (et seulement si) il s’agit d’un point singulier, mais les limites
lim
x→0
xp(x) et lim
x→0
x2 q(x) existent.
3.5.2 Équation d’Euler
Une équation différentielle très importante pour laquelle l’origine est
un point singulier régulier est l’équation d’Euler (ou d’Euler-Cauchy)
x2y′′(x) + p0xy′(x) + q0 y(x) = 0, (3.65)
où p0 et q0 sont des constantes. Notons que l’on a:
φ(x) = p0 et ψ(x) = q0. (3.66)
Considérons l’équation pour x ∈ (0,∞). Puisque l’origine ne fait pas
partie de l’intervalle (0,∞), les fonctions p(x) et q(x) sont continues
dans cet intervalle et on peut affirmer que sa solution générale est
donnée par
y(x) = c1y1(x) + c2y2(x), (3.67)
3.5 Points singuliers et équation d’Euler 73
où y1(x) et y2(x) sont deux solutions linéairement indépendantes de
cette équation.
On a vu dans l’exemple 3.3.2 que l’équation d’Euler peut être trans-
formée en équation différentielle à coefficients constants en posant
s = lnx. Étant donné que ces équations possèdent des solutions qui
sont des fonctions exponentielles, on cherche des solutions de l’équation
d’Euler de la forme
y(x) = exp{m lnx} = xm. (3.68)
En remplaçant cette fonction dans (3.65), on obtient:
x2m(m − 1)xm−2 + p0xmxm−1 + q0 xm = 0; (3.69)
c’est-à-dire, puisque x > 0,
m(m − 1) + p0m + q0 = 0. (3.70)
L’équation (3.70) correspond à l’équation caractéristique de la sec-
tion 3.1. Les racines de cette équation sont
m1 :=
1
2
(
−(p0 − 1) +
√
(p0 − 1)2 − 4q0
)
(3.71)
et
m2 :=
1
2
(
−(p0 − 1) −
√
(p0 − 1)2 − 4q0
)
. (3.72)
Il y a trois cas à considérer.
Cas I. Si m1 et m2 sont des nombres réels distincts, alors xm1 et xm2
sont des solutions linéairement indépendantes de (3.65), de sorte que
la solution générale peut s’écrire comme suit:
y(x) = c1xm1 + c2xm2 pour x > 0. (3.73)
Remarque. Le wronskien des deux solutions est
W (xm1 , xm2) = (m2 − m1)xm1+m2−1 �= 0 ∀x > 0. (3.74)
Cas II. Si (p0 − 1)2 − 4q0 = 0, alors l’équation (3.70) possède une
racine double:
m :=
1 − p0
2
. (3.75)
74 w équations différ entielles
74 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
La fonction y(x) = xm est donc une solution de (3.65). Pour en obtenir
une deuxième (linéairement indépendante), on peut procéder comme
dans la section précédente: on pose y2(x) = u(x)xm. On trouve [voir
(3.57)] que
u′′(x)xm + u′(x)
[
2mxm−1 + (p0/x)xm
]
= 0 x>0⇐⇒ u′′(x)x + u′(x) = 0
(3.76)
(car 2m = 1 − p0). On a:
u′′(x)x + u′(x) = 0 ⇐⇒ du
′
u′
= −dx
x
=⇒ u′ ∝ 1
x
x>0=⇒ u(x) ∝ lnx.
(3.77)
Remarque. On peut vérifier que u(x) = c lnx, où c est une constante
arbitraire, est bien une solution de u′′(x)x + u′(x) = 0.
On déduit de ce qui précède que
y2(x) = xm lnx (3.78)
est une solution de (3.65). Puisque y2(x) est clairement linéairement
indépendante de y1(x), on peut affirmer que
y(x) := c1xm + c2 (lnx)xm = (c1 + c2 lnx)xm, (3.79)
où m = (1−p0)/2, est la solution générale de (3.65) pour x > 0 lorsque
(p0 − 1)2 = 4q0.
Cas III. Finalement, lorsque (p0−1)2 < 4q0, l’équation (3.70) possède
deux racines complexes:
m1 =
1
2
(
−(p0 − 1) + i
√
4q0 − (p0 − 1)2
)
:= α+iβ et m2 = α−iβ.
(3.80)
Les fonctions
y1(x) := xα+iβ et y2(x) := xα−iβ (3.81)
sont deux solutions de (3.65) pour x > 0. On a:
y1(x) = xαxiβ = xαeiβ ln x = xα [cos(β lnx) + i sin(β lnx)] . (3.82)
De même,
y2(x) = xαx−iβ = xαe−iβ ln x = xα [cos(β lnx) − i sin(β lnx)] . (3.83)
3.5 Points singuliers et équation d’Euler 75
En additionnant et en soustrayant ces deux solutions, on déduit que
deux solutions réelles (linéairement indépendantes pour x > 0) de
l’équation (3.65) sont
y11(x) := xα cos(β lnx) (3.84)
et
y22(x) := xα sin(β lnx). (3.85)
De là, la solution générale de cette équation, lorsque (p0 − 1)2 < 4q0,
peut s’écrire comme suit:
y(x) = xα [c1 cos(β lnx) + c2 sin(β lnx)] pour x > 0. (3.86)
Remarques. i) Dans le cas de l’équation d’Euler, on s’intéresse à son
comportement lorsque x est petit. La limite lorsque x décrôıt vers 0 de
xm est donnée par
lim
x↓0
xm =


0 si m > 0,
1 si m = 0,
∞ si m < 0.
(3.87)
De plus,
lim
x↓0
xm lnx =
{
0 si m > 0,
−∞ si m ≤ 0. (3.88)
Enfin,
lim
x↓0
xm cos(β lnx) = lim
x↓0
xm sin(β lnx) =
{
0 si m > 0,
n’existe pas si m ≤ 0
(3.89)
(car β �= 0).
ii) Pour obtenir la solution générale de l’équation d’Euler dans l’inter-
valle (−∞, 0), il suffit de remplacer x par −x dans les solutions données
ci-dessus.
Exemple 3.5.1. L’équation d’Euler
x2y′′(x) + 5xy′(x) + 5y(x) = 0 pour x > 0
est telle que p0 = q0 = 5. Il s’ensuit que (p0 − 1)2 − 4q0 = −4 < 0.
Ainsi, l’équation (3.70) possède deux racines complexes:
m1 = −2 + i et m2 = −2 − i.
points singuliers et équation d’euler w 75
74 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
La fonction y(x) = xm est donc une solution de (3.65). Pour en obtenir
une deuxième (linéairement indépendante), on peut procéder comme
dans la section précédente: on pose y2(x) = u(x)xm. On trouve [voir
(3.57)] que
u′′(x)xm + u′(x)
[
2mxm−1 + (p0/x)xm
]
= 0 x>0⇐⇒ u′′(x)x + u′(x) = 0
(3.76)
(car 2m = 1 − p0). On a:
u′′(x)x + u′(x) = 0 ⇐⇒ du
′
u′
= −dx
x
=⇒ u′ ∝ 1
x
x>0=⇒ u(x) ∝ lnx.
(3.77)
Remarque. On peut vérifier que u(x) = c lnx, où c est une constante
arbitraire, est bien une solution de u′′(x)x + u′(x) = 0.
On déduit de ce qui précède que
y2(x) = xm lnx (3.78)
est une solution de (3.65). Puisque y2(x) est clairement linéairement
indépendante de y1(x), on peut affirmer que
y(x) := c1xm + c2 (lnx)xm = (c1 + c2 lnx)xm, (3.79)
où m = (1−p0)/2, est la solution générale de (3.65) pour x > 0 lorsque
(p0 − 1)2 = 4q0.
Cas III. Finalement, lorsque (p0−1)2 < 4q0, l’équation (3.70) possède
deux racines complexes:
m1 =
1
2
(
−(p0 − 1) + i
√
4q0 − (p0 − 1)2
)
:= α+iβ et m2 = α−iβ.
(3.80)
Les fonctions
y1(x) := xα+iβ et y2(x) := xα−iβ (3.81)
sont deux solutions de (3.65) pour x > 0. On a:
y1(x) = xαxiβ = xαeiβ ln x = xα [cos(β lnx) + i sin(β lnx)] . (3.82)
De même,
y2(x) = xαx−iβ = xαe−iβ ln x = xα [cos(β lnx) − i sin(β lnx)] . (3.83)
3.5 Points singuliers et équation d’Euler 75
En additionnant et en soustrayant ces deux solutions, on déduit que
deux solutions réelles (linéairement indépendantes pour x > 0) de
l’équation (3.65) sont
y11(x) := xα cos(β lnx) (3.84)
et
y22(x) := xα sin(β lnx). (3.85)
De là, la solution générale de cette équation, lorsque (p0 − 1)2 < 4q0,
peut s’écrire comme suit:
y(x) = xα [c1 cos(β lnx) + c2 sin(β lnx)] pour x > 0. (3.86)
Remarques. i) Dans le cas de l’équation d’Euler, on s’intéresse à son
comportement lorsque x est petit. La limite lorsque x décrôıt vers 0 de
xm est donnée par
lim
x↓0
xm =


0 si m > 0,
1 si m = 0,
∞ si m < 0.
(3.87)
De plus,
lim
x↓0
xm lnx =
{
0 si m > 0,
−∞ si m ≤ 0. (3.88)
Enfin,
lim
x↓0
xm cos(β lnx) = lim
x↓0
xm sin(β lnx) =
{
0 si m > 0,
n’existe pas si m ≤ 0
(3.89)
(car β �= 0).
ii) Pour obtenir la solution générale de l’équation d’Euler dans l’inter-
valle (−∞, 0), il suffit de remplacer x par −x dans les solutions données
ci-dessus.
Exemple 3.5.1. L’équation d’Euler
x2y′′(x) + 5xy′(x) + 5y(x) = 0 pour x > 0
est telle que p0 = q0 = 5. Il s’ensuit que (p0 − 1)2 − 4q0 = −4 < 0.
Ainsi, l’équation (3.70) possède deux racines complexes:
m1 = −2 + i et m2 = −2 − i.
76 w équations différ entielles
76 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
C’est-à-dire que α = −2 et β = 1. Donc, la solution générale de l’équa-
tion différentielle considérée est
y(x) = x−2 [c1 cos(ln x) + c2 sin(lnx)] pour x > 0.
La solution particulière obtenue en choisissant c1 = 1 et c2 = 0,5 est
présentée dans la figure 3.4, pour x ∈ [0,3; 4]. On voit que y(x) converge
vers 0 lorsque x tend vers l’infini. La solution semble tendre vers −∞
quand x décrôıtvers 0; en fait, y(x) oscille de plus en plus vite et
l’amplitude des oscillations augmente lorsque x ↓ 0. ♦
–1
–0.5
0
0.5
1
1.5
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x
Fig. 3.4. Solution particulière de l’équation différentielle dans l’exemple 3.5.1.
Exercices
3-14. Déterminer si l’origine est un point ordinaire, un point singulier
régulier, ou un point singulier irrégulier des équations différentielles
suivantes:
(a) xy′′(x) + y′(x) + y(x) = 0;
(b) xy′′(x) + exy′(x) + e2xy(x) = 0;
(c) x3y′′(x) + y′(x) + xy(x) = 0;
(d) xy′′(x) + xy′(x) + x2y(x) = 0.
3-15. Résoudre les équations d’Euler-Cauchy suivantes dans l’intervalle
(0,∞):
(a) x2y′′(x) − xy′(x) + 3y(x) = 0;
3.6 Équations non homogènes: méthode des coefficients indéterminés 77
(b) 2x2y′′(x) + xy′(x) − 2y(x) = 0;
(c) 2x2y′′(x) + xy′(x) − y(x) = 0;
(d) x2y′′(x) − y(x) = 0;
(e) x2y′′(x) + 3xy′(x) + y(x) = 0.
3-16. (a) Montrer que l’équation différentielle ordinaire
4u2z′′(u) + 2uz′(u) + z(u) = 0 pour u > 0
demeure une équation d’Euler-Cauchy si on effectue le changement de
variable x =
√
u.
(b) Résoudre l’équation différentielle originale ainsi que celle obtenue
avec x =
√
u.
3.6 Équations non homogènes: méthode des coefficients
indéterminés
Dans cette section, nous revenons à l’équation différentielle linéaire
d’ordre deux (3.2):
y′′(t) + p(t)y′(t) + q(t)y(t) = r(t).
Les fonctions p, q et r sont supposées continues pour tout t ∈ I := (a, b).
Lemme 3.6.1. Soit yp1(t) et yp2(t) deux solutions particulières de
l’équation (3.2). Alors
yd(t) := yp1(t) − yp2(t) (3.90)
est une solution de l’équation différentielle homogène (3.18):
y′′(t) + p(t)y′(t) + q(t)y(t) = 0
qui correspond à (3.2).
Preuve. On a:
y′′pi(t) + p(t)y
′
pi(t) + q(t)ypi(t) = r(t) pour i = 1, 2. (3.91)
équations non homogènes : méthode des coefficients indéterminés w 77
76 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
C’est-à-dire que α = −2 et β = 1. Donc, la solution générale de l’équa-
tion différentielle considérée est
y(x) = x−2 [c1 cos(ln x) + c2 sin(lnx)] pour x > 0.
La solution particulière obtenue en choisissant c1 = 1 et c2 = 0,5 est
présentée dans la figure 3.4, pour x ∈ [0,3; 4]. On voit que y(x) converge
vers 0 lorsque x tend vers l’infini. La solution semble tendre vers −∞
quand x décrôıt vers 0; en fait, y(x) oscille de plus en plus vite et
l’amplitude des oscillations augmente lorsque x ↓ 0. ♦
–1
–0.5
0
0.5
1
1.5
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x
Fig. 3.4. Solution particulière de l’équation différentielle dans l’exemple 3.5.1.
Exercices
3-14. Déterminer si l’origine est un point ordinaire, un point singulier
régulier, ou un point singulier irrégulier des équations différentielles
suivantes:
(a) xy′′(x) + y′(x) + y(x) = 0;
(b) xy′′(x) + exy′(x) + e2xy(x) = 0;
(c) x3y′′(x) + y′(x) + xy(x) = 0;
(d) xy′′(x) + xy′(x) + x2y(x) = 0.
3-15. Résoudre les équations d’Euler-Cauchy suivantes dans l’intervalle
(0,∞):
(a) x2y′′(x) − xy′(x) + 3y(x) = 0;
3.6 Équations non homogènes: méthode des coefficients indéterminés 77
(b) 2x2y′′(x) + xy′(x) − 2y(x) = 0;
(c) 2x2y′′(x) + xy′(x) − y(x) = 0;
(d) x2y′′(x) − y(x) = 0;
(e) x2y′′(x) + 3xy′(x) + y(x) = 0.
3-16. (a) Montrer que l’équation différentielle ordinaire
4u2z′′(u) + 2uz′(u) + z(u) = 0 pour u > 0
demeure une équation d’Euler-Cauchy si on effectue le changement de
variable x =
√
u.
(b) Résoudre l’équation différentielle originale ainsi que celle obtenue
avec x =
√
u.
3.6 Équations non homogènes: méthode des coefficients
indéterminés
Dans cette section, nous revenons à l’équation différentielle linéaire
d’ordre deux (3.2):
y′′(t) + p(t)y′(t) + q(t)y(t) = r(t).
Les fonctions p, q et r sont supposées continues pour tout t ∈ I := (a, b).
Lemme 3.6.1. Soit yp1(t) et yp2(t) deux solutions particulières de
l’équation (3.2). Alors
yd(t) := yp1(t) − yp2(t) (3.90)
est une solution de l’équation différentielle homogène (3.18):
y′′(t) + p(t)y′(t) + q(t)y(t) = 0
qui correspond à (3.2).
Preuve. On a:
y′′pi(t) + p(t)y
′
pi(t) + q(t)ypi(t) = r(t) pour i = 1, 2. (3.91)
équations non homogènes : méthode des coefficients indéterminés
78 w équations différ entielles
78 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
Alors
y′′p1(t) + p(t)y
′
p1(t) + q(t)yp1(t) −
[
y′′p2(t) + p(t)y
′
p2(t) + q(t)yp2(t)
]
= 0.
(3.92)
C’est-à-dire que
[
y′′p1(t) − y
′′
p2(t)
]
+ p(t)
[
y′p1(t) − y
′
p2(t)
]
+ q(t) [yp1(t) − yp2(t)] = 0.
(3.93)
Donc, on peut écrire que
y′′d(t) + p(t)y
′
d(t) + q(t)yd(t) = 0. (3.94)
Théorème 3.6.1. Supposons que yp(t) est une solution particulière
de l’équation non homogène (3.2). Si y1(t) et y2(t) sont deux solu-
tions linéairement indépendantes de l’équation homogène correspon-
dante (3.18), alors
y(t) := c1y1(t) + c2y2(t) + yp(t) (3.95)
est la solution générale de (3.2).
Preuve. Soit yq(t) une solution quelconque de l’équation (3.2). Par le
lemme précédent, on peut affirmer que yq(t)− yp(t) est une solution de
l’équation homogène (3.18). Puisque la solution générale yh(t) de cette
équation homogène peut être exprimée comme suit:
yh(t) = c1y1(t) + c2y2(t), (3.96)
on peut écrire que
yq(t) − yp(t) = c1y1(t) + c2y2(t) (3.97)
pour un certain choix des constantes c1 et c2. Ainsi,
yq(t) = c1y1(t) + c2y2(t) + yp(t). (3.98)
Donc, toute solution yq(t) de (3.2) peut être exprimée en fonction de
la somme yh(t) + yp(t), ce qui prouve le résultat.
3.6 Équations non homogènes: méthode des coefficients indéterminés 79
Nous allons maintenant présenter une technique qui permet d’obte-
nir une solution particulière yp(t) de l’équation différentielle
y′′(t) + p0y′(t) + q0y(t) = r(t) (3.99)
[c’est-à-dire que p(t) ≡ p0 et q(t) ≡ q0 dans (3.2)] lorsque la fonction
r(t) est un polynôme, une fonction trigonométrique (sinus ou cosinus),
ou bien une fonction exponentielle ekt. Cette technique fonctionne aussi
lorsque r(t) est une combinaison de ces fonctions.
Cas I. Supposons d’abord que
r(t) = r0ekt, (3.100)
où r0 et k sont des constantes. Si l’on essaie une solution particulière
de la forme
yp(t) = k0ekt, (3.101)
où k0 est un coefficient indéterminé, on trouve que
y′′p(t) + p0y
′
p(t) + q0yp(t) = k0e
kt
(
k2 + p0k + q0
)
. (3.102)
Ainsi, pour que yp(t) soit effectivement une solution particulière de
(3.99), il faut que
k0
(
k2 + p0k + q0
)
= r0. (3.103)
De là, si l’expression entre les parenthèses est différente de zéro, il suffit
de prendre
k0 =
r0
k2 + p0k + q0
. (3.104)
Remarquons que le dénominateur dans l’équation précédente est
en fait le polynôme dans l’équation caractéristique (3.8). Si k est une
racine de cette équation, on considère
yp(t) = k0 tekt. (3.105)
On calcule
y′p(t) = k0e
kt (1 + kt) (3.106)
et
y′′p(t) = k0e
kt [k (1 + kt) + k] = k0ekt [k (2 + kt)] . (3.107)
En remplaçant ces expressions dans (3.99), on trouve que k0 tekt
satisfait à cette équation si et seulement si
équations non homogènes : méthode des coefficients indéterminés w 79
78 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
Alors
y′′p1(t) + p(t)y
′
p1(t) + q(t)yp1(t) −
[
y′′p2(t) + p(t)y
′
p2(t) + q(t)yp2(t)
]
= 0.
(3.92)
C’est-à-dire que
[
y′′p1(t) − y
′′
p2(t)
]
+ p(t)
[
y′p1(t) − y
′
p2(t)
]
+ q(t) [yp1(t) − yp2(t)] = 0.
(3.93)
Donc, on peut écrire que
y′′d(t) + p(t)y
′
d(t) + q(t)yd(t) = 0. (3.94)
Théorème 3.6.1. Supposons que yp(t) est une solution particulière
de l’équation non homogène (3.2). Si y1(t) et y2(t) sont deux solu-
tions linéairement indépendantes de l’équation homogène correspon-
dante (3.18), alors
y(t) := c1y1(t) + c2y2(t) + yp(t) (3.95)
est la solution générale de (3.2).
Preuve. Soit yq(t) une solution quelconque de l’équation (3.2). Par le
lemme précédent, on peut affirmer que yq(t)− yp(t) est une solution de
l’équation homogène (3.18). Puisque la solution générale yh(t) de cette
équation homogène peut être exprimée comme suit:
yh(t)= c1y1(t) + c2y2(t), (3.96)
on peut écrire que
yq(t) − yp(t) = c1y1(t) + c2y2(t) (3.97)
pour un certain choix des constantes c1 et c2. Ainsi,
yq(t) = c1y1(t) + c2y2(t) + yp(t). (3.98)
Donc, toute solution yq(t) de (3.2) peut être exprimée en fonction de
la somme yh(t) + yp(t), ce qui prouve le résultat.
3.6 Équations non homogènes: méthode des coefficients indéterminés 79
Nous allons maintenant présenter une technique qui permet d’obte-
nir une solution particulière yp(t) de l’équation différentielle
y′′(t) + p0y′(t) + q0y(t) = r(t) (3.99)
[c’est-à-dire que p(t) ≡ p0 et q(t) ≡ q0 dans (3.2)] lorsque la fonction
r(t) est un polynôme, une fonction trigonométrique (sinus ou cosinus),
ou bien une fonction exponentielle ekt. Cette technique fonctionne aussi
lorsque r(t) est une combinaison de ces fonctions.
Cas I. Supposons d’abord que
r(t) = r0ekt, (3.100)
où r0 et k sont des constantes. Si l’on essaie une solution particulière
de la forme
yp(t) = k0ekt, (3.101)
où k0 est un coefficient indéterminé, on trouve que
y′′p(t) + p0y
′
p(t) + q0yp(t) = k0e
kt
(
k2 + p0k + q0
)
. (3.102)
Ainsi, pour que yp(t) soit effectivement une solution particulière de
(3.99), il faut que
k0
(
k2 + p0k + q0
)
= r0. (3.103)
De là, si l’expression entre les parenthèses est différente de zéro, il suffit
de prendre
k0 =
r0
k2 + p0k + q0
. (3.104)
Remarquons que le dénominateur dans l’équation précédente est
en fait le polynôme dans l’équation caractéristique (3.8). Si k est une
racine de cette équation, on considère
yp(t) = k0 tekt. (3.105)
On calcule
y′p(t) = k0e
kt (1 + kt) (3.106)
et
y′′p(t) = k0e
kt [k (1 + kt) + k] = k0ekt [k (2 + kt)] . (3.107)
En remplaçant ces expressions dans (3.99), on trouve que k0 tekt
satisfait à cette équation si et seulement si
80 w équations différ entielles
80 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
k0
(
k2 + p0k + q0
)
t + k0 (2k + p0) = r0 =⇒ k0 (2k + p0) = r0
(3.108)
(car k est une racine de l’équation caractéristique). Donc, si 2k+p0 �= 0,
on peut écrire que
k0 =
r0
2k + p0
. (3.109)
Finalement, le cas où 2k + p0 = 0 correspond à celui où k est une
racine double de l’équation caractéristique. On peut alors vérifier que
yp(t) = k0 t2ekt (3.110)
est une solution particulière de (3.99) si et seulement si
k0 = r0/2. (3.111)
Cas II. Le deuxième cas que l’on considère est celui pour lequel
r(t) = r1 cos(kt) + r2 sin(kt), (3.112)
où r1 et r2 sont des constantes. On essaie alors une solution de la forme
yp(t) = k1 cos(kt) + k2 sin(kt), (3.113)
où k1 et k2 sont des coefficients indéterminés. En procédant comme dans
le cas I, on trouve que la fonction yp(t) ci-dessus est bien une solution
particulière de (3.99) si les coefficients k1 et k2 sont choisis de façon
appropriée, à moins que ki soit une racine de l’équation caractéristique
(3.8). Si ki est une racine (simple) de cette équation, alors on pose
yp(t) = t [k1 cos(kt) + k2 sin(kt)] . (3.114)
Remarque. Si ki, où k �= 0, est une racine double de l’équation carac-
téristique (3.8), alors l’équation (3.99) est de la forme
y′′(t) + p00 iy′(t) + q0y(t) = r(t), (3.115)
avec les constantes réelles non nulles p00 et q0 telles que
−p200 − 4q0 = 0 ⇐⇒ p200 = −4q0. (3.116)
Dans ce cas, k = −p00/2. Si l’on désire trouver une solution particulière
de l’équation différentielle lorsque r(t) = r0ekit, où r0 est une constante
non nulle, on pose que
3.6 Équations non homogènes: méthode des coefficients indéterminés 81
yp(t) = k0 t2ekit. (3.117)
En fait, on trouve qu’il faut prendre k0 = r0/2. Par exemple, on peut
vérifier qu’une solution particulière de l’équation différentielle
y′′(t) − 4iy′(t) − 4y(t) = −e2it (3.118)
est
yp(t) = −
1
2
t2e2it. (3.119)
Pour déterminer la valeur des constantes k1 et k2, on calcule d’abord
les dérivées d’ordre un et deux de la fonction yp(t) définie en (3.113)
ou (3.114). Ensuite, on substitue ces dérivées et la fonction yp(t) dans
l’équation (3.99). Enfin, les coefficients de cos(kt) et sin(kt) doivent
être les mêmes des deux côtés de l’équation obtenue.
Exemple 3.6.1. Pour obtenir la solution générale yg(t) de l’équation
différentielle
y′′(t) + 4y(t) = cos(2t) − sin(2t),
on considère d’abord l’équation homogène associée, soit
y′′(t) + 4y(t) = 0.
Puisque
m2 + 4 = 0 =⇒ m1,2 = ±2i,
la solution générale yh(t) de l’équation homogène peut être exprimée
ainsi:
yh(t) = c1 cos(2t) + c2 sin(2t).
Maintenant, étant donné que 2i est une racine de l’équation carac-
téristique, pour obtenir une solution particulière yp(t) de l’équation non
homogène par la méthode des coefficients indéterminés, on doit poser
que
yp(t) = t [k1 cos(2t) + k2 sin(2t)] .
On calcule
y′p(t) = k1 cos(2t) + k2 sin(2t) + t [−2k1 sin(2t) + 2k2 cos(2t)]
et
y′′p(t) = 2 [−2k1 sin(2t) + 2k2 cos(2t)] − 4yp(t).
équations non homogènes : méthode des coefficients indéterminés w 81
80 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
k0
(
k2 + p0k + q0
)
t + k0 (2k + p0) = r0 =⇒ k0 (2k + p0) = r0
(3.108)
(car k est une racine de l’équation caractéristique). Donc, si 2k+p0 �= 0,
on peut écrire que
k0 =
r0
2k + p0
. (3.109)
Finalement, le cas où 2k + p0 = 0 correspond à celui où k est une
racine double de l’équation caractéristique. On peut alors vérifier que
yp(t) = k0 t2ekt (3.110)
est une solution particulière de (3.99) si et seulement si
k0 = r0/2. (3.111)
Cas II. Le deuxième cas que l’on considère est celui pour lequel
r(t) = r1 cos(kt) + r2 sin(kt), (3.112)
où r1 et r2 sont des constantes. On essaie alors une solution de la forme
yp(t) = k1 cos(kt) + k2 sin(kt), (3.113)
où k1 et k2 sont des coefficients indéterminés. En procédant comme dans
le cas I, on trouve que la fonction yp(t) ci-dessus est bien une solution
particulière de (3.99) si les coefficients k1 et k2 sont choisis de façon
appropriée, à moins que ki soit une racine de l’équation caractéristique
(3.8). Si ki est une racine (simple) de cette équation, alors on pose
yp(t) = t [k1 cos(kt) + k2 sin(kt)] . (3.114)
Remarque. Si ki, où k �= 0, est une racine double de l’équation carac-
téristique (3.8), alors l’équation (3.99) est de la forme
y′′(t) + p00 iy′(t) + q0y(t) = r(t), (3.115)
avec les constantes réelles non nulles p00 et q0 telles que
−p200 − 4q0 = 0 ⇐⇒ p200 = −4q0. (3.116)
Dans ce cas, k = −p00/2. Si l’on désire trouver une solution particulière
de l’équation différentielle lorsque r(t) = r0ekit, où r0 est une constante
non nulle, on pose que
3.6 Équations non homogènes: méthode des coefficients indéterminés 81
yp(t) = k0 t2ekit. (3.117)
En fait, on trouve qu’il faut prendre k0 = r0/2. Par exemple, on peut
vérifier qu’une solution particulière de l’équation différentielle
y′′(t) − 4iy′(t) − 4y(t) = −e2it (3.118)
est
yp(t) = −
1
2
t2e2it. (3.119)
Pour déterminer la valeur des constantes k1 et k2, on calcule d’abord
les dérivées d’ordre un et deux de la fonction yp(t) définie en (3.113)
ou (3.114). Ensuite, on substitue ces dérivées et la fonction yp(t) dans
l’équation (3.99). Enfin, les coefficients de cos(kt) et sin(kt) doivent
être les mêmes des deux côtés de l’équation obtenue.
Exemple 3.6.1. Pour obtenir la solution générale yg(t) de l’équation
différentielle
y′′(t) + 4y(t) = cos(2t) − sin(2t),
on considère d’abord l’équation homogène associée, soit
y′′(t) + 4y(t) = 0.
Puisque
m2 + 4 = 0 =⇒ m1,2 = ±2i,
la solution générale yh(t) de l’équation homogène peut être exprimée
ainsi:
yh(t) = c1 cos(2t) + c2 sin(2t).
Maintenant, étant donné que 2i est une racine de l’équation carac-
téristique, pour obtenir une solution particulière yp(t) de l’équation non
homogène par la méthode des coefficients indéterminés, on doit poser
que
yp(t) = t [k1 cos(2t) + k2 sin(2t)] .
On calcule
y′p(t) = k1 cos(2t) + k2 sin(2t) + t [−2k1 sin(2t) + 2k2 cos(2t)]
et
y′′p(t) = 2 [−2k1 sin(2t) + 2k2 cos(2t)]− 4yp(t).
82 w équations différ entielles
82 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
Ensuite, on cherche les constantes k1 et k2 pour lesquelles
cos(2t) − sin(2t) = y′′p(t) + 4yp(t) = 2 [−2k1 sin(2t) + 2k2 cos(2t)] .
On trouve immédiatement que l’on doit choisir k1 = k2 = 1/4. Il
s’ensuit que
yp(t) =
t
4
[cos(2t) + sin(2t)]
et
yg(t) = yh(t) + yp(t) = c1 cos(2t) + c2 sin(2t) +
t
4
[cos(2t) + sin(2t)] .
Remarque. Si on essaie de trouver une solution particulière de l’équation
non homogène en posant que
yp(t) = k1 cos(2t) + k2 sin(2t),
on calcule
y′p(t) = −2k1 sin(2t) + 2k2 cos(2t)
et
y′′p(t) = −4yp(t),
de sorte que
y′′p(t) + 4yp(t) = 0 �= cos(2t) − sin(2t).
Donc il n’y a pas de constantes k1 et k2 pour lesquelles la solution
proposée satisfait à l’équation non homogène.
Par contre, une solution particulière de l’équation différentielle
y′′(t) + 4y(t) = cos t − sin t
peut être obtenue en définissant
yp(t) = k1 cos t + k2 sin t.
En effet, on a alors:
y′p(t) = −k1 sin t + k2 cos t et y′′p(t) = −yp(t).
Il s’ensuit que
y′′p(t) + 4yp(t) = cos t − sin t
3.6 Équations non homogènes: méthode des coefficients indéterminés 83
⇐⇒
3 (k1 cos t + k2 sin t) = cos t − sin t
⇐⇒
k1 = −k2 =
1
3
.
On peut vérifier que
yp(t) =
1
3
(cos t − sin t)
est bien une solution particulière de l’équation non homogène. ♦
Cas III. Lorsque la fonction r(t) est un polynôme de degré n:
r(t) = an tn + an−1 tn−1 + . . . + a1 t + a0, (3.120)
où an �= 0, on trouve qu’une solution particulière de (3.99) est
yp(t) = kn tn + kn−1 tn−1 + . . . + k1 t + k0. (3.121)
En substituant cette fonction dans l’équation différentielle (3.99) et
en posant que les coefficients des puissances correspondantes des deux
membres de l’équation sont égaux, on obtient un système de n + 1
équations linéaires pour les n + 1 coefficients indéterminés k0, . . . , kn.
Ce système possède une solution si q0 �= 0.
Dans le cas où q0 = 0 et p0 �= 0, on trouve que
yp(t) = t
(
kn t
n + kn−1 tn−1 + . . . + k1 t + k0
)
(3.122)
satisfait à (3.99) avec un choix approprié des coefficients k0, . . . , kn.
Notons que l’équation différentielle (3.99) se réduit alors à une équa-
tion différentielle linéaire d’ordre un pour y′(t).
Finalement, si p0 = q0 = 0, alors l’équation différentielle que l’on
doit résoudre est
y′′(t) = an tn + an−1 tn−1 + . . . + a1 t + a0. (3.123)
On trouve directement y(t) en intégrant (deux fois) la fonction r(t).
Cas IV. Le dernier cas considéré est celui pour lequel
r(t) = eλt
(
an t
n + an−1 tn−1 + . . . + a1 t + a0
)
cos(µt) (3.124)
équations non homogènes : méthode des coefficients indéterminés w 83
82 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
Ensuite, on cherche les constantes k1 et k2 pour lesquelles
cos(2t) − sin(2t) = y′′p(t) + 4yp(t) = 2 [−2k1 sin(2t) + 2k2 cos(2t)] .
On trouve immédiatement que l’on doit choisir k1 = k2 = 1/4. Il
s’ensuit que
yp(t) =
t
4
[cos(2t) + sin(2t)]
et
yg(t) = yh(t) + yp(t) = c1 cos(2t) + c2 sin(2t) +
t
4
[cos(2t) + sin(2t)] .
Remarque. Si on essaie de trouver une solution particulière de l’équation
non homogène en posant que
yp(t) = k1 cos(2t) + k2 sin(2t),
on calcule
y′p(t) = −2k1 sin(2t) + 2k2 cos(2t)
et
y′′p(t) = −4yp(t),
de sorte que
y′′p(t) + 4yp(t) = 0 �= cos(2t) − sin(2t).
Donc il n’y a pas de constantes k1 et k2 pour lesquelles la solution
proposée satisfait à l’équation non homogène.
Par contre, une solution particulière de l’équation différentielle
y′′(t) + 4y(t) = cos t − sin t
peut être obtenue en définissant
yp(t) = k1 cos t + k2 sin t.
En effet, on a alors:
y′p(t) = −k1 sin t + k2 cos t et y′′p(t) = −yp(t).
Il s’ensuit que
y′′p(t) + 4yp(t) = cos t − sin t
3.6 Équations non homogènes: méthode des coefficients indéterminés 83
⇐⇒
3 (k1 cos t + k2 sin t) = cos t − sin t
⇐⇒
k1 = −k2 =
1
3
.
On peut vérifier que
yp(t) =
1
3
(cos t − sin t)
est bien une solution particulière de l’équation non homogène. ♦
Cas III. Lorsque la fonction r(t) est un polynôme de degré n:
r(t) = an tn + an−1 tn−1 + . . . + a1 t + a0, (3.120)
où an �= 0, on trouve qu’une solution particulière de (3.99) est
yp(t) = kn tn + kn−1 tn−1 + . . . + k1 t + k0. (3.121)
En substituant cette fonction dans l’équation différentielle (3.99) et
en posant que les coefficients des puissances correspondantes des deux
membres de l’équation sont égaux, on obtient un système de n + 1
équations linéaires pour les n + 1 coefficients indéterminés k0, . . . , kn.
Ce système possède une solution si q0 �= 0.
Dans le cas où q0 = 0 et p0 �= 0, on trouve que
yp(t) = t
(
kn t
n + kn−1 tn−1 + . . . + k1 t + k0
)
(3.122)
satisfait à (3.99) avec un choix approprié des coefficients k0, . . . , kn.
Notons que l’équation différentielle (3.99) se réduit alors à une équa-
tion différentielle linéaire d’ordre un pour y′(t).
Finalement, si p0 = q0 = 0, alors l’équation différentielle que l’on
doit résoudre est
y′′(t) = an tn + an−1 tn−1 + . . . + a1 t + a0. (3.123)
On trouve directement y(t) en intégrant (deux fois) la fonction r(t).
Cas IV. Le dernier cas considéré est celui pour lequel
r(t) = eλt
(
an t
n + an−1 tn−1 + . . . + a1 t + a0
)
cos(µt) (3.124)
84 w équations différ entielles
84 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
ou
r(t) = eλt
(
an t
n + an−1 tn−1 + . . . + a1 t + a0
)
sin(µt). (3.125)
Dans un cas ou l’autre, on pose
yp(t) = eλt
[(
kn t
n + kn−1 tn−1 + . . . + k1 t + k0
)
cos(µt)
+
(
ln t
n + ln−1 tn−1 + . . . + l1 t + l0
)
sin(µt)
]
. (3.126)
On peut choisir les coefficients indéterminés k0, . . . , kn et l0, . . ., ln de
façon que cette fonction soit une solution particulière de (3.99), sauf si
λ± iµ, avec µ �= 0, est une racine (simple) de (3.8). Dans ce cas, il faut
multiplier yp(t) ci-dessus par t. De plus, si µ = 0 et λ est une racine
double de (3.8), alors on pose
yp(t) = t2eλt (kn tn + kn−1 tn−1 + . . . + k1 t + k0). (3.127)
Remarque. Si la fonction r(t) peut être exprimée comme suit:
r(t) = r1(t) + . . . + rj(t), (3.128)
où ri(t) est un polynôme, ou un sinus, etc., pour i = 1, . . . , j, alors
on doit additionner dans la solution particulière les termes qui corres-
pondent à chacune des fonctions ri(t). Si ypi(t) est une solution parti-
culière de
y′′(t) + p0y′(t) + q0y(t) = ri(t), (3.129)
pour i = 1, . . . , j, alors on montre facilement que
yp(t) :=
j∑
i=1
ypi(t) (3.130)
est une solution particulière de
y′′(t) + p0y′(t) + q0y(t) =
j∑
i=1
ri(t). (3.131)
Exemple 3.6.2. Supposons que l’on cherche la solution de l’équation
différentielle
y′′(t) + y′(t) = et + t pour t ≥ 0
qui satisfait aux conditions initiales y(0) = 1 et y′(0) = 1.
3.6 Équations non homogènes: méthode des coefficients indéterminés 85
Considérons d’abord l’équation homogène
y′′(t) + y′(t) = 0 pour t ≥ 0.
On a:
dy′
y′
= −dt =⇒ y′(t) ∝ e−t =⇒ y(t) = c1 + c2e−t.
Remarque. Les racines de l’équation caractéristique m2 + m = 0 sont
m1 = 0 et m2 = −1, ce qui implique que y(t) = c1 + c2e−t, comme
ci-dessus.
Puisque q0 = 0, pour obtenir une solution particulière de l’équation
non homogène, on considère la fonction
yp(t) = k0et + t(k1 + k2 t).
On calcule
y′p(t) = k0e
t + k1 + 2k2 t et y′′p(t) = k0e
t + 2k2.
Donc, il faut choisir les constantes k0, k1 et k2 telles que
(k0et + 2k2) + (k0et + k1 + 2k2 t) = et + t.
On trouve immédiatement qu’il faut prendre k0 = 1/2, k2 = 1/2 et
k1 = −2k2 = −1, de sorte que
yp(t) =
1
2
et − t + 1
2
t2.
Il s’ensuit que la solution générale de l’équation différentielle est
yg(t) = c1 + c2e−t +
1
2
et − t + 1
2
t2.
Finalement, on trouve que la solution particulière qui est telle que
y(0) = 1 et y′(0) = 1 est celle pour laquelle c1 = 2 et c2 = −3/2:
y(t) = 2 − 3
2
e−t +
1
2
et − t + 1
2
t2.
Remarques. i) Dans cet exemple, nous aurions pu résoudre l’équation
différentielle d’ordre un
équations non homogènes : méthode des coefficientsindéterminés w 85
84 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
ou
r(t) = eλt
(
an t
n + an−1 tn−1 + . . . + a1 t + a0
)
sin(µt). (3.125)
Dans un cas ou l’autre, on pose
yp(t) = eλt
[(
kn t
n + kn−1 tn−1 + . . . + k1 t + k0
)
cos(µt)
+
(
ln t
n + ln−1 tn−1 + . . . + l1 t + l0
)
sin(µt)
]
. (3.126)
On peut choisir les coefficients indéterminés k0, . . . , kn et l0, . . ., ln de
façon que cette fonction soit une solution particulière de (3.99), sauf si
λ± iµ, avec µ �= 0, est une racine (simple) de (3.8). Dans ce cas, il faut
multiplier yp(t) ci-dessus par t. De plus, si µ = 0 et λ est une racine
double de (3.8), alors on pose
yp(t) = t2eλt (kn tn + kn−1 tn−1 + . . . + k1 t + k0). (3.127)
Remarque. Si la fonction r(t) peut être exprimée comme suit:
r(t) = r1(t) + . . . + rj(t), (3.128)
où ri(t) est un polynôme, ou un sinus, etc., pour i = 1, . . . , j, alors
on doit additionner dans la solution particulière les termes qui corres-
pondent à chacune des fonctions ri(t). Si ypi(t) est une solution parti-
culière de
y′′(t) + p0y′(t) + q0y(t) = ri(t), (3.129)
pour i = 1, . . . , j, alors on montre facilement que
yp(t) :=
j∑
i=1
ypi(t) (3.130)
est une solution particulière de
y′′(t) + p0y′(t) + q0y(t) =
j∑
i=1
ri(t). (3.131)
Exemple 3.6.2. Supposons que l’on cherche la solution de l’équation
différentielle
y′′(t) + y′(t) = et + t pour t ≥ 0
qui satisfait aux conditions initiales y(0) = 1 et y′(0) = 1.
3.6 Équations non homogènes: méthode des coefficients indéterminés 85
Considérons d’abord l’équation homogène
y′′(t) + y′(t) = 0 pour t ≥ 0.
On a:
dy′
y′
= −dt =⇒ y′(t) ∝ e−t =⇒ y(t) = c1 + c2e−t.
Remarque. Les racines de l’équation caractéristique m2 + m = 0 sont
m1 = 0 et m2 = −1, ce qui implique que y(t) = c1 + c2e−t, comme
ci-dessus.
Puisque q0 = 0, pour obtenir une solution particulière de l’équation
non homogène, on considère la fonction
yp(t) = k0et + t(k1 + k2 t).
On calcule
y′p(t) = k0e
t + k1 + 2k2 t et y′′p(t) = k0e
t + 2k2.
Donc, il faut choisir les constantes k0, k1 et k2 telles que
(k0et + 2k2) + (k0et + k1 + 2k2 t) = et + t.
On trouve immédiatement qu’il faut prendre k0 = 1/2, k2 = 1/2 et
k1 = −2k2 = −1, de sorte que
yp(t) =
1
2
et − t + 1
2
t2.
Il s’ensuit que la solution générale de l’équation différentielle est
yg(t) = c1 + c2e−t +
1
2
et − t + 1
2
t2.
Finalement, on trouve que la solution particulière qui est telle que
y(0) = 1 et y′(0) = 1 est celle pour laquelle c1 = 2 et c2 = −3/2:
y(t) = 2 − 3
2
e−t +
1
2
et − t + 1
2
t2.
Remarques. i) Dans cet exemple, nous aurions pu résoudre l’équation
différentielle d’ordre un
86 w équations différ entielles
86 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
z′(t) + z(t) = et + t pour t ≥ 0,
où z(t) := y′(t), et ensuite intégrer la solution obtenue, soit
z(t) =
1
2
et + t − 1 + c0e−t.
ii) Au lieu de définir la fonction yp(t) comme ci-dessus, nous aurions
pu décomposer le problème en deux, et chercher d’abord une solution
yp1(t) qui satisfait à l’équation non homogène
y′′(t) + y′(t) = et,
et ensuite une solution yp2(t) qui satisfait à
y′′(t) + y′(t) = t.
Finalement, la solution yp(t) est donnée par yp(t) = yp1(t) + yp2(t). ♦
Exercices
3-17. Trouver une solution particulière des équations différentielles sui-
vantes (par la méthode des coefficients indéterminés):
(a) y′′(t) + y(t) = cos t;
(b) y′′(t) + y′(t) + y(t) = t2;
(c) y′′(t) + 2y(t) = tet;
(d) ety′′(t) + ety′(t) = e2t + t.
3-18. Trouver la solution générale de
y′′′(t) + y′′(t) − y′(t) = e−t
en utilisant la méthode des coefficients indéterminés pour obtenir une
solution particulière de l’équation.
3-19. Obtenir les solutions z(t) > 0 de l’équation différentielle non
linéaire
z(t)z′′(t) − [z′(t)]2 − z′(t)z(t) = z2(t)et
en posant d’abord que
y(t) = ln z(t),
puis en utilisant la méthode des coefficients indéterminés. Notons que
z(t) ≡ 0 est une solution de l’équation.
3.7 Méthode de variation des paramètres et réduction d’ordre 87
3.7 Méthode de variation des paramètres et réduction
d’ordre
3.7.1 Méthode de variation des paramètres
La méthode des coefficients indéterminés ne fonctionne que dans le cas
où les fonctions p(t) et q(t) dans l’équation différentielle (3.2) sont
constantes. De plus, la forme de la fonction r(t) doit être simple.
Dans la présente sous-section, nous donnons une technique qui per-
met, théoriquement, de trouver une solution particulière de (3.2) pour
toutes fonctions (continues) p(t), q(t) et r(t), si on connâıt la solution
générale de l’équation homogène correspondante.
Soit
yh(t) = c1y1(t) + c2y2(t) (3.132)
la solution générale de l’équation différentielle (3.18):
y′′(t) + p(t)y′(t) + q(t)y(t) = 0.
La méthode de variation des paramètres consiste à remplacer les cons-
tantes c1 et c2 par des fonctions u1(t) et u2(t) (d’où le nom de
la méthode, puisque l’on fait varier les paramètres dans la solution
générale), où u1(t) et u2(t) doivent être choisies de façon que
yp(t) := u1(t)y1(t) + u2(t)y2(t) (3.133)
soit une solution particulière de l’équation différentielle (3.2):
y′′(t) + p(t)y′(t) + q(t)y(t) = r(t).
On a:
y′p(t) = u
′
1(t)y1(t) + u1(t)y
′
1(t) + u
′
2(t)y2(t) + u2(t)y
′
2(t). (3.134)
Supposons que
u′1(t)y1(t) + u
′
2(t)y2(t) = 0. (3.135)
Alors
y′′p(t) = u
′
1(t)y
′
1(t) + u1(t)y
′′
1(t) + u
′
2(t)y
′
2(t) + u2(t)y
′′
2(t). (3.136)
En substituant y′p(t) et y
′′
p(t) dans (3.2), et en réarrangeant, on obtient:
méthode de variation des paramètres et réduction d’ordre w 87
86 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
z′(t) + z(t) = et + t pour t ≥ 0,
où z(t) := y′(t), et ensuite intégrer la solution obtenue, soit
z(t) =
1
2
et + t − 1 + c0e−t.
ii) Au lieu de définir la fonction yp(t) comme ci-dessus, nous aurions
pu décomposer le problème en deux, et chercher d’abord une solution
yp1(t) qui satisfait à l’équation non homogène
y′′(t) + y′(t) = et,
et ensuite une solution yp2(t) qui satisfait à
y′′(t) + y′(t) = t.
Finalement, la solution yp(t) est donnée par yp(t) = yp1(t) + yp2(t). ♦
Exercices
3-17. Trouver une solution particulière des équations différentielles sui-
vantes (par la méthode des coefficients indéterminés):
(a) y′′(t) + y(t) = cos t;
(b) y′′(t) + y′(t) + y(t) = t2;
(c) y′′(t) + 2y(t) = tet;
(d) ety′′(t) + ety′(t) = e2t + t.
3-18. Trouver la solution générale de
y′′′(t) + y′′(t) − y′(t) = e−t
en utilisant la méthode des coefficients indéterminés pour obtenir une
solution particulière de l’équation.
3-19. Obtenir les solutions z(t) > 0 de l’équation différentielle non
linéaire
z(t)z′′(t) − [z′(t)]2 − z′(t)z(t) = z2(t)et
en posant d’abord que
y(t) = ln z(t),
puis en utilisant la méthode des coefficients indéterminés. Notons que
z(t) ≡ 0 est une solution de l’équation.
3.7 Méthode de variation des paramètres et réduction d’ordre 87
3.7 Méthode de variation des paramètres et réduction
d’ordre
3.7.1 Méthode de variation des paramètres
La méthode des coefficients indéterminés ne fonctionne que dans le cas
où les fonctions p(t) et q(t) dans l’équation différentielle (3.2) sont
constantes. De plus, la forme de la fonction r(t) doit être simple.
Dans la présente sous-section, nous donnons une technique qui per-
met, théoriquement, de trouver une solution particulière de (3.2) pour
toutes fonctions (continues) p(t), q(t) et r(t), si on connâıt la solution
générale de l’équation homogène correspondante.
Soit
yh(t) = c1y1(t) + c2y2(t) (3.132)
la solution générale de l’équation différentielle (3.18):
y′′(t) + p(t)y′(t) + q(t)y(t) = 0.
La méthode de variation des paramètres consiste à remplacer les cons-
tantes c1 et c2 par des fonctions u1(t) et u2(t) (d’où le nom de
la méthode, puisque l’on fait varier les paramètres dans la solution
générale), où u1(t) et u2(t) doivent être choisies de façon que
yp(t) := u1(t)y1(t) + u2(t)y2(t)(3.133)
soit une solution particulière de l’équation différentielle (3.2):
y′′(t) + p(t)y′(t) + q(t)y(t) = r(t).
On a:
y′p(t) = u
′
1(t)y1(t) + u1(t)y
′
1(t) + u
′
2(t)y2(t) + u2(t)y
′
2(t). (3.134)
Supposons que
u′1(t)y1(t) + u
′
2(t)y2(t) = 0. (3.135)
Alors
y′′p(t) = u
′
1(t)y
′
1(t) + u1(t)y
′′
1(t) + u
′
2(t)y
′
2(t) + u2(t)y
′′
2(t). (3.136)
En substituant y′p(t) et y
′′
p(t) dans (3.2), et en réarrangeant, on obtient:
méthode de variation des paramètres et réduction d’ordre
88 w équations différ entielles
88 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
2∑
i=1
ui(t)
[
y′′i (t) + p(t)y
′
i(t) + q(t)yi(t)
]
+ u′1(t)y
′
1(t) + u
′
2(t)y
′
2(t) = r(t).
(3.137)
Puisque yi(t) est une solution de l’équation homogène (3.18), pour i = 1
et i = 2, l’expression entre les crochets est nulle. Il s’ensuit que
u′1(t)y
′
1(t) + u
′
2(t)y
′
2(t) = r(t). (3.138)
Les équations (3.135) et (3.138) constituent un système de deux
équations linéaires pour les deux fonctions inconnues u′1(t) et u
′
2(t),
que l’on peut écrire sous forme matricielle comme suit:
[
u′1(t) u
′
2(t)
] [y1(t) y′1(t)
y2(t) y′2(t)
]
=
[
0 r(t)
]
. (3.139)
La solution de ce système est
[
u′1(t) u
′
2(t)
]
=
r(t)
y1(t)y′2(t) − y2(t)y′1(t)
[
−y2(t) y1(t)
]
. (3.140)
Notons que le dénominateur dans l’équation précédente est en fait
le wronskien W (y1, y2) des deux solutions de l’équation différentielle
(3.18). Étant donné que ces solutions sont linéairement indépendantes,
on sait que W (y1, y2) �= 0.
Donc, on obtient que
u1(t) =
∫
− y2(t)r(t)
W (y1, y2)
dt (3.141)
et
u2(t) =
∫
y1(t)r(t)
W (y1, y2)
dt. (3.142)
On peut maintenant énoncer le théorème suivant.
Théorème 3.7.1. Une solution particulière de l’équation différentielle
non homogène (3.2) est donnée par
yp(t) = y1(t)
∫
− y2(t)r(t)
W (y1, y2)
dt + y2(t)
∫
y1(t)r(t)
W (y1, y2)
dt, (3.143)
où y1(t) et y2(t) constituent un ensemble fondamental de solutions de
l’équation différentielle homogène (3.18).
3.7 Méthode de variation des paramètres et réduction d’ordre 89
Exemple 3.7.1. Considérons l’équation différentielle
y′′(t) + y′(t) +
1
2
y(t) = e−t.
On pourrait utiliser la méthode des coefficients indéterminés pour la
résoudre. La solution générale de l’équation homogène correspondante
est
yh(t) = e−t/2 [c1 cos(t/2) + c2 sin(t/2)] .
En effet, l’équation caractéristique de cette équation homogène, soit
m2 + m +
1
2
= 0,
possède deux racines complexes:
m1,2 = −
1
2
(1 ± i).
Pour obtenir une solution particulière de l’équation non homogène,
on calcule d’abord
W (y1, y2) = y1(t)y′2(t) − y2(t)y′1(t).
On trouve que
W (y1, y2) =
1
2
e−t.
Il s’ensuit que
u1(t) =
∫
−e
−t/2 sin(t/2)e−t
1
2 e
−t dt = −2
∫
e−t/2 sin(t/2)dt
= 2e−t/2 [cos(t/2) + sin(t/2)] .
De même, on trouve que
u2(t) = −2e−t/2 [cos(t/2) − sin(t/2)] .
De là, la solution particulière cherchée est donnée par
yp(t) =
[
e−t/2 cos(t/2)
] {
2e−t/2 [cos(t/2) + sin(t/2)]
}
+
[
e−t/2 sin(t/2)
] {
−2e−t/2 [cos(t/2) − sin(t/2)]
}
= 2e−t.
Cette solution particulière est ici la même que celle que l’on aurait
obtenu en utilisant la méthode des coefficients indéterminés. ♦
Remarque. On voit, avec l’exemple précédent, que la méthode de varia-
tion des paramètres peut donner lieu à des intégrales difficiles à évaluer.
méthode de variation des paramètres et réduction d’ordre w 89
88 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
2∑
i=1
ui(t)
[
y′′i (t) + p(t)y
′
i(t) + q(t)yi(t)
]
+ u′1(t)y
′
1(t) + u
′
2(t)y
′
2(t) = r(t).
(3.137)
Puisque yi(t) est une solution de l’équation homogène (3.18), pour i = 1
et i = 2, l’expression entre les crochets est nulle. Il s’ensuit que
u′1(t)y
′
1(t) + u
′
2(t)y
′
2(t) = r(t). (3.138)
Les équations (3.135) et (3.138) constituent un système de deux
équations linéaires pour les deux fonctions inconnues u′1(t) et u
′
2(t),
que l’on peut écrire sous forme matricielle comme suit:
[
u′1(t) u
′
2(t)
] [y1(t) y′1(t)
y2(t) y′2(t)
]
=
[
0 r(t)
]
. (3.139)
La solution de ce système est
[
u′1(t) u
′
2(t)
]
=
r(t)
y1(t)y′2(t) − y2(t)y′1(t)
[
−y2(t) y1(t)
]
. (3.140)
Notons que le dénominateur dans l’équation précédente est en fait
le wronskien W (y1, y2) des deux solutions de l’équation différentielle
(3.18). Étant donné que ces solutions sont linéairement indépendantes,
on sait que W (y1, y2) �= 0.
Donc, on obtient que
u1(t) =
∫
− y2(t)r(t)
W (y1, y2)
dt (3.141)
et
u2(t) =
∫
y1(t)r(t)
W (y1, y2)
dt. (3.142)
On peut maintenant énoncer le théorème suivant.
Théorème 3.7.1. Une solution particulière de l’équation différentielle
non homogène (3.2) est donnée par
yp(t) = y1(t)
∫
− y2(t)r(t)
W (y1, y2)
dt + y2(t)
∫
y1(t)r(t)
W (y1, y2)
dt, (3.143)
où y1(t) et y2(t) constituent un ensemble fondamental de solutions de
l’équation différentielle homogène (3.18).
3.7 Méthode de variation des paramètres et réduction d’ordre 89
Exemple 3.7.1. Considérons l’équation différentielle
y′′(t) + y′(t) +
1
2
y(t) = e−t.
On pourrait utiliser la méthode des coefficients indéterminés pour la
résoudre. La solution générale de l’équation homogène correspondante
est
yh(t) = e−t/2 [c1 cos(t/2) + c2 sin(t/2)] .
En effet, l’équation caractéristique de cette équation homogène, soit
m2 + m +
1
2
= 0,
possède deux racines complexes:
m1,2 = −
1
2
(1 ± i).
Pour obtenir une solution particulière de l’équation non homogène,
on calcule d’abord
W (y1, y2) = y1(t)y′2(t) − y2(t)y′1(t).
On trouve que
W (y1, y2) =
1
2
e−t.
Il s’ensuit que
u1(t) =
∫
−e
−t/2 sin(t/2)e−t
1
2 e
−t dt = −2
∫
e−t/2 sin(t/2)dt
= 2e−t/2 [cos(t/2) + sin(t/2)] .
De même, on trouve que
u2(t) = −2e−t/2 [cos(t/2) − sin(t/2)] .
De là, la solution particulière cherchée est donnée par
yp(t) =
[
e−t/2 cos(t/2)
] {
2e−t/2 [cos(t/2) + sin(t/2)]
}
+
[
e−t/2 sin(t/2)
] {
−2e−t/2 [cos(t/2) − sin(t/2)]
}
= 2e−t.
Cette solution particulière est ici la même que celle que l’on aurait
obtenu en utilisant la méthode des coefficients indéterminés. ♦
Remarque. On voit, avec l’exemple précédent, que la méthode de varia-
tion des paramètres peut donner lieu à des intégrales difficiles à évaluer.
90 w équations différ entielles
90 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
3.7.2 Réduction d’ordre
Nous avons vu comment trouver une solution particulière yp(t) d’une
équation différentielle non homogène quand on connâıt la solution
générale yh(t) de l’équation homogène correspondante. De plus, on sait
que la somme de yh(t) et yp(t) nous donne la solution générale de
l’équation non homogène.
Dans cette sous-section, nous soulignons le fait que la technique de
réduction d’ordre que nous avons vue précédemment permet aussi de
trouver la solution générale d’une équation différentielle non homogène
d’ordre deux dans le cas où l’on connâıt (au moins) une solution de
l’équation homogène correspondante (3.18).
Soit y1(t) une solution de (3.18). On pose
yg(t) = u(t)y1(t), (3.144)
où u(t) est une fonction à déterminer. On trouve [voir (3.57)] que
u′′(t)y1(t) + u′(t)
[
2y′1(t) + p(t)y1(t)
]
= r(t). (3.145)
Cette dernière équation est une équation différentielle linéaire du pre-
mier ordre pour v(t) := u′(t). On peut résoudre cette équation différen-
tielle, puis intégrer la solution pour obtenir u(t), et ensuite yg(t). Or,
la fonction yg(t) est effectivement la solution générale de l’équation
non homogène. En effet, le produit u(t)y1(t) nous donne à la fois
une deuxième solution particulière [linéairement indépendante de y1(t)]
de l’équation homogène et une solution particulière de l’équation non
homogène.
Exemple 3.7.2. On trouve facilement que
y1(t) = t2
est une solution particulière de l’équation homogène
t2y′′(t) − 2y(t) = 0 pour t > 0.
Notons qu’il s’agit d’une équation d’Euler.
Alors, pour obtenir la solutiongénérale de l’équation différentielle
non homogène
t2y′′(t) − 2y(t) = t2,
on peut d’abord résoudre l’équation différentielle
3.7 Méthode de variation des paramètres et réduction d’ordre 91
v′(t)t2 + v(t) [2(2t) + 0] = 1
[car r(t) = t2/t2 = 1]. C’est-à-dire que
t2v′(t) + 4tv(t) = 1.
On trouve que
v(t) =
1
3t
+ c0
1
t4
,
de sorte que
u(t) =
1
3
ln t + c1
1
t3
+ c2.
Enfin, on a:
yg(t) = u(t)y1(t) =
1
3
t2 ln t + c1
1
t
+ c2 t2.
On peut vérifier que
y2(t) =
1
t
est bien une solution [linéairement indépendante de y1(t)] de l’équation
homogène et que
yp(t) =
1
3
t2 ln t
satisfait à l’équation non homogène. ♦
Exercices
3-20. Trouver (en utilisant la méthode de variation des paramètres)
une solution particulière de
(a) y′′(t) − y(t) = t3;
(b) ty′′(t) + y′(t) = 1 pour t > 0.
3-21. Utiliser la méthode de variation des paramètres pour trouver une
solution particulière, et de là la solution générale de
t2y′′(t) + ty′(t) + y(t) = 1 pour t > 0.
3-22. Utiliser la technique de réduction d’ordre pour obtenir la solution
générale de l’équation différentielle
y′′(t) − 2
t
y′(t) +
2
t2
y(t) =
1
t3
pour t > 0.
Indication. Une solution de l’équation homogène correspondante est
y1(t) = t.
méthode de variation des paramètres et réduction d’ordre w 91
90 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
3.7.2 Réduction d’ordre
Nous avons vu comment trouver une solution particulière yp(t) d’une
équation différentielle non homogène quand on connâıt la solution
générale yh(t) de l’équation homogène correspondante. De plus, on sait
que la somme de yh(t) et yp(t) nous donne la solution générale de
l’équation non homogène.
Dans cette sous-section, nous soulignons le fait que la technique de
réduction d’ordre que nous avons vue précédemment permet aussi de
trouver la solution générale d’une équation différentielle non homogène
d’ordre deux dans le cas où l’on connâıt (au moins) une solution de
l’équation homogène correspondante (3.18).
Soit y1(t) une solution de (3.18). On pose
yg(t) = u(t)y1(t), (3.144)
où u(t) est une fonction à déterminer. On trouve [voir (3.57)] que
u′′(t)y1(t) + u′(t)
[
2y′1(t) + p(t)y1(t)
]
= r(t). (3.145)
Cette dernière équation est une équation différentielle linéaire du pre-
mier ordre pour v(t) := u′(t). On peut résoudre cette équation différen-
tielle, puis intégrer la solution pour obtenir u(t), et ensuite yg(t). Or,
la fonction yg(t) est effectivement la solution générale de l’équation
non homogène. En effet, le produit u(t)y1(t) nous donne à la fois
une deuxième solution particulière [linéairement indépendante de y1(t)]
de l’équation homogène et une solution particulière de l’équation non
homogène.
Exemple 3.7.2. On trouve facilement que
y1(t) = t2
est une solution particulière de l’équation homogène
t2y′′(t) − 2y(t) = 0 pour t > 0.
Notons qu’il s’agit d’une équation d’Euler.
Alors, pour obtenir la solution générale de l’équation différentielle
non homogène
t2y′′(t) − 2y(t) = t2,
on peut d’abord résoudre l’équation différentielle
3.7 Méthode de variation des paramètres et réduction d’ordre 91
v′(t)t2 + v(t) [2(2t) + 0] = 1
[car r(t) = t2/t2 = 1]. C’est-à-dire que
t2v′(t) + 4tv(t) = 1.
On trouve que
v(t) =
1
3t
+ c0
1
t4
,
de sorte que
u(t) =
1
3
ln t + c1
1
t3
+ c2.
Enfin, on a:
yg(t) = u(t)y1(t) =
1
3
t2 ln t + c1
1
t
+ c2 t2.
On peut vérifier que
y2(t) =
1
t
est bien une solution [linéairement indépendante de y1(t)] de l’équation
homogène et que
yp(t) =
1
3
t2 ln t
satisfait à l’équation non homogène. ♦
Exercices
3-20. Trouver (en utilisant la méthode de variation des paramètres)
une solution particulière de
(a) y′′(t) − y(t) = t3;
(b) ty′′(t) + y′(t) = 1 pour t > 0.
3-21. Utiliser la méthode de variation des paramètres pour trouver une
solution particulière, et de là la solution générale de
t2y′′(t) + ty′(t) + y(t) = 1 pour t > 0.
3-22. Utiliser la technique de réduction d’ordre pour obtenir la solution
générale de l’équation différentielle
y′′(t) − 2
t
y′(t) +
2
t2
y(t) =
1
t3
pour t > 0.
Indication. Une solution de l’équation homogène correspondante est
y1(t) = t.
92 w équations différ entielles
92 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
3.8 Équations linéaires à coefficients constants d’ordre
supérieur
Dans cette section, nous allons généraliser les résultats sur les équations
linéaires homogènes à coefficients constants d’ordre deux en considérant
l’équation différentielle
Ln[y](t) := y(n)(t)+an−1y(n−1)(t)+ . . .+a1y′(t)+a0y(t) = 0, (3.146)
où les coefficients a0, . . ., an−1 sont des nombres réels.
Comme nous l’avons vu à la section 3.1, on peut essayer une solution
de la forme y(t) = emt. On trouve alors que cette fonction satisfait à
(3.146) si et seulement si
emt
(
mn + an−1mn−1 + . . . + a1m + a0
)
= 0 (3.147)
⇐⇒
P (m) := mn + an−1mn−1 + . . . + a1m + a0 = 0. (3.148)
Définition 3.8.1. Le polynôme P (m) défini ci-dessus est le polynôme
caractéristique de l’équation différentielle (3.146). De plus, l’équation
(3.148) est l’équation caractéristique de cette équation différen-
tielle.
Le travail le plus difficile pour obtenir la solution générale de l’équa-
tion (3.146) est le calcul des n racines, m1, . . ., mn, de l’équation carac-
téristique, soit les nombres mi tels que
P (m) =
n∏
i=1
(m − mi) := (m − m1)(m − m2) · · · (m − mn). (3.149)
Une fois ces racines obtenues, on peut donner facilement cette solution
générale.
D’abord, on énonce le théorème suivant.
Théorème 3.8.1. Les solutions
yi(t) := emit pour i = 1, . . . , j (3.150)
de l’équation différentielle (3.146) sont linéairement indépendantes sur
l’intervalle I := (a, b) si et seulement si les nombres m1, . . ., mj sont
tous différents.
3.8 Équations linéaires à coefficients constants d’ordre supérieur 93
(Idée de la) Preuve. Pour obtenir le résultat, on montre que le
wronskien des j fonctions yi(t) est donné par
W (y1, . . . , yj) = (−1)j(j−1)/2e(m1+...+mj) t
∏
1≤k<l≤j
(mk − ml). (3.151)
C’est-à-dire que l’on fait le produit des termes (m1 − m2), (m1 − m3),
. . ., (m1 − mj), (m2 − m3), . . ., (m2 − mj), . . ., (mj−1 − mj). Il y a
j(j−1)/2 termes en tout. On voit que le wronskien en question est non
nul si et seulement si les racines m1, . . ., mj sont toutes distinctes.
Nous allons maintenant considérer les diverses possibilités pour les
racines de l’équation caractéristique.
Cas I. Le cas le plus simple est celui pour lequel toutes les racines de
(3.148) sont réelles et distinctes. On peut alors écrire que la solution
générale de (3.146) est donnée par
y(t) =
n∑
i=1
cie
mit, (3.152)
où les ci, i = 1, . . . , n, sont des constantes arbitraires.
Remarque. Pour obtenir les racines de l’équation caractéristique, on
peut parfois utiliser le résultat suivant: si les coefficients a0, . . ., an de
l’équation (avec a0 et an �= 0)
anm
n + an−1mn−1 + . . . + a1m + a0 = 0 (3.153)
sont tous des entiers, alors pour que m soit de la forme d’un quotient
p/q, où p, q (�= 0) ∈ Z et la fraction ne peut pas être simplifiée (c’est-
à-dire que p et q n’ont pas de facteurs communs), il faut que p soit un
diviseur de a0 et que q soit un diviseur de an. Un diviseur d d’un entier
r (positif ou négatif) est un autre entier qui est tel que d × k = r, où
k est aussi un entier. Par exemple, les diviseurs du nombre 2 sont les
entiers ±1 et ±2.
Exemple 3.8.1. L’équation
m4 − 3m3 + 3m2 − 3m + 2 = 0
peut posséder des racines de la forme p/q seulement si p est un diviseur
de 2 et q est un diviseur de 1. Ainsi, les seules racines rationnelles pos-
sibles sont 1, −1, 2 et −2. On trouve que les seules racines rationnelles
de cette équation sont en fait 1 et 2. En divisant le polynôme
équations linéaires à coefficients constants d’ordre supérieur
équations linéaires à coefficients constants d’ordre supérieur w 93
92 3Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
3.8 Équations linéaires à coefficients constants d’ordre
supérieur
Dans cette section, nous allons généraliser les résultats sur les équations
linéaires homogènes à coefficients constants d’ordre deux en considérant
l’équation différentielle
Ln[y](t) := y(n)(t)+an−1y(n−1)(t)+ . . .+a1y′(t)+a0y(t) = 0, (3.146)
où les coefficients a0, . . ., an−1 sont des nombres réels.
Comme nous l’avons vu à la section 3.1, on peut essayer une solution
de la forme y(t) = emt. On trouve alors que cette fonction satisfait à
(3.146) si et seulement si
emt
(
mn + an−1mn−1 + . . . + a1m + a0
)
= 0 (3.147)
⇐⇒
P (m) := mn + an−1mn−1 + . . . + a1m + a0 = 0. (3.148)
Définition 3.8.1. Le polynôme P (m) défini ci-dessus est le polynôme
caractéristique de l’équation différentielle (3.146). De plus, l’équation
(3.148) est l’équation caractéristique de cette équation différen-
tielle.
Le travail le plus difficile pour obtenir la solution générale de l’équa-
tion (3.146) est le calcul des n racines, m1, . . ., mn, de l’équation carac-
téristique, soit les nombres mi tels que
P (m) =
n∏
i=1
(m − mi) := (m − m1)(m − m2) · · · (m − mn). (3.149)
Une fois ces racines obtenues, on peut donner facilement cette solution
générale.
D’abord, on énonce le théorème suivant.
Théorème 3.8.1. Les solutions
yi(t) := emit pour i = 1, . . . , j (3.150)
de l’équation différentielle (3.146) sont linéairement indépendantes sur
l’intervalle I := (a, b) si et seulement si les nombres m1, . . ., mj sont
tous différents.
3.8 Équations linéaires à coefficients constants d’ordre supérieur 93
(Idée de la) Preuve. Pour obtenir le résultat, on montre que le
wronskien des j fonctions yi(t) est donné par
W (y1, . . . , yj) = (−1)j(j−1)/2e(m1+...+mj) t
∏
1≤k<l≤j
(mk − ml). (3.151)
C’est-à-dire que l’on fait le produit des termes (m1 − m2), (m1 − m3),
. . ., (m1 − mj), (m2 − m3), . . ., (m2 − mj), . . ., (mj−1 − mj). Il y a
j(j−1)/2 termes en tout. On voit que le wronskien en question est non
nul si et seulement si les racines m1, . . ., mj sont toutes distinctes.
Nous allons maintenant considérer les diverses possibilités pour les
racines de l’équation caractéristique.
Cas I. Le cas le plus simple est celui pour lequel toutes les racines de
(3.148) sont réelles et distinctes. On peut alors écrire que la solution
générale de (3.146) est donnée par
y(t) =
n∑
i=1
cie
mit, (3.152)
où les ci, i = 1, . . . , n, sont des constantes arbitraires.
Remarque. Pour obtenir les racines de l’équation caractéristique, on
peut parfois utiliser le résultat suivant: si les coefficients a0, . . ., an de
l’équation (avec a0 et an �= 0)
anm
n + an−1mn−1 + . . . + a1m + a0 = 0 (3.153)
sont tous des entiers, alors pour que m soit de la forme d’un quotient
p/q, où p, q (�= 0) ∈ Z et la fraction ne peut pas être simplifiée (c’est-
à-dire que p et q n’ont pas de facteurs communs), il faut que p soit un
diviseur de a0 et que q soit un diviseur de an. Un diviseur d d’un entier
r (positif ou négatif) est un autre entier qui est tel que d × k = r, où
k est aussi un entier. Par exemple, les diviseurs du nombre 2 sont les
entiers ±1 et ±2.
Exemple 3.8.1. L’équation
m4 − 3m3 + 3m2 − 3m + 2 = 0
peut posséder des racines de la forme p/q seulement si p est un diviseur
de 2 et q est un diviseur de 1. Ainsi, les seules racines rationnelles pos-
sibles sont 1, −1, 2 et −2. On trouve que les seules racines rationnelles
de cette équation sont en fait 1 et 2. En divisant le polynôme
94 w équations différ entielles
94 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
P4 := m4 − 3m3 + 3m2 − 3m + 2
par (m − 1)(m − 2) = m2 − 3m + 2, on obtient le polynôme de degré
deux
P2 := m2 + 1,
dont les deux racines sont i et −i. On a donc trouvé les quatre racines
de l’équation considérée. ♦
Cas II. Supposons maintenant que m1 est une racine de multiplicité
k ∈ {2, . . . , n} de l’équation caractéristique P (m) = 0. C’est-à-dire que
le terme (m − m1)k apparâıt dans la décomposition de P (m) en un
produit. Alors, en généralisant ce que nous avons vu dans le cas des
équations d’ordre deux, on trouve que les fonctions
yi(t) := tiem1t pour i = 0, . . . , k − 1 (3.154)
sont des solutions linéairement indépendantes de l’équation (3.146).
Pour obtenir la solution générale de cette équation, il faut trouver (si
nécessaire) les autres racines de l’équation caractéristique.
Cas III. Lorsque l’équation caractéristique possède des racines com-
plexes (simples) αj ± iβj , des solutions linéairement indépendantes de
(3.146) sont données par
yj1(t) := e
αjt cos(βjt) et yj2(t) := e
αjt sin(βjt). (3.155)
Remarque. Parce que les coefficients a0, . . . , an−1 dans l’équation diffé-
rentielle (3.146) sont supposés réels, les racines complexes de l’équation
caractéristique sont toujours par paires de nombres complexes con-
jugués: αj ± iβj . Par contre, si les coefficients ai ne sont pas tous réels,
alors le conjugué d’une racine complexe n’est pas nécessairement une
autre racine de l’équation caractéristique.
Cas IV. Finalement, dans le cas où α+ iβ est une racine complexe de
multiplicité k, alors
yjc(t) := tj eαt cos(βt) et yjs(t) := tj eαt sin(βt) (3.156)
sont des solutions linéairement indépendantes de (3.146) pour j =
0, . . . , k − 1.
Remarques. i) Comportement des solutions lorsque t → ∞ dans les
principaux cas. Supposons que les constantes ci, pour i = 1, 2, . . . , n,
3.8 Équations linéaires à coefficients constants d’ordre supérieur 95
dans la solution générale sont toutes différentes de 0. Si l’équation
caractéristique ne possède que des racines réelles, dont au moins une
racine positive, alors la solution générale y(t) de (3.146) divergera (vers
∞ ou −∞, selon le signe du coefficient de la fonction exponentielle con-
tenant la racine la plus grande) lorsque t → ∞. Si les racines sont toutes
réelles, et s’il n’y a aucune racine positive, alors y(t) tendra vers zéro,
ou vers une constante non nulle si une racine est zéro. Finalement, s’il
n’y a que des racines complexes, alors la solution y(t) oscillera lorsque
t → ∞. L’amplitude des oscillations augmentera s’il y a au moins une
racine dont la partie réelle est positive, et elle diminuera si toutes les
racines ont une partie réelle négative.
ii) Racines d’ordre n d’un nombre complexe. Supposons que P (m) =
m3+2. Pour obtenir les trois racines de l’équation caractéristique, nous
devons trouver les trois nombres (complexes) qui, élevés à la puissance
3, donnent −2.
En général, pour obtenir les n racines d’ordre n d’un nombre com-
plexe (ou réel), on peut utiliser la formule d’Euler:
eiθ = cos θ + i sin θ.
Par exemple, les trois racines troisièmes de −2 sont obtenues comme
suit:
−2 = 2eiπ = 2eiπ+i2kπ = 2eiπ(2k+1), (3.157)
où k est un entier quelconque, car
eiπ = cos π + i sinπ = −1
et
ei2kπ = cos(2kπ) + i sin(2kπ) = 1 si k ∈ Z.
Alors
(−2)1/3 = 21/3eiπ(2k+1)/3 (3.158)
pour k = 0, 1, 2. Ainsi, les racines sont
r1 = 21/3eiπ/3, r2 = 21/3eiπ et r3 = 21/3ei5π/3. (3.159)
C’est-à-dire que
r1 = 21/3
(
1
2
+ i
√
3
2
)
, r2 = −21/3 et r3 = 21/3
(
1
2
− i
√
3
2
)
.
(3.160)
équations linéaires à coefficients constants d’ordre supérieur w 95
94 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
P4 := m4 − 3m3 + 3m2 − 3m + 2
par (m − 1)(m − 2) = m2 − 3m + 2, on obtient le polynôme de degré
deux
P2 := m2 + 1,
dont les deux racines sont i et −i. On a donc trouvé les quatre racines
de l’équation considérée. ♦
Cas II. Supposons maintenant que m1 est une racine de multiplicité
k ∈ {2, . . . , n} de l’équation caractéristique P (m) = 0. C’est-à-dire que
le terme (m − m1)k apparâıt dans la décomposition de P (m) en un
produit. Alors, en généralisant ce que nous avons vu dans le cas des
équations d’ordre deux, on trouve que les fonctions
yi(t) := tiem1t pour i = 0, . . . , k − 1 (3.154)
sontdes solutions linéairement indépendantes de l’équation (3.146).
Pour obtenir la solution générale de cette équation, il faut trouver (si
nécessaire) les autres racines de l’équation caractéristique.
Cas III. Lorsque l’équation caractéristique possède des racines com-
plexes (simples) αj ± iβj , des solutions linéairement indépendantes de
(3.146) sont données par
yj1(t) := e
αjt cos(βjt) et yj2(t) := e
αjt sin(βjt). (3.155)
Remarque. Parce que les coefficients a0, . . . , an−1 dans l’équation diffé-
rentielle (3.146) sont supposés réels, les racines complexes de l’équation
caractéristique sont toujours par paires de nombres complexes con-
jugués: αj ± iβj . Par contre, si les coefficients ai ne sont pas tous réels,
alors le conjugué d’une racine complexe n’est pas nécessairement une
autre racine de l’équation caractéristique.
Cas IV. Finalement, dans le cas où α+ iβ est une racine complexe de
multiplicité k, alors
yjc(t) := tj eαt cos(βt) et yjs(t) := tj eαt sin(βt) (3.156)
sont des solutions linéairement indépendantes de (3.146) pour j =
0, . . . , k − 1.
Remarques. i) Comportement des solutions lorsque t → ∞ dans les
principaux cas. Supposons que les constantes ci, pour i = 1, 2, . . . , n,
3.8 Équations linéaires à coefficients constants d’ordre supérieur 95
dans la solution générale sont toutes différentes de 0. Si l’équation
caractéristique ne possède que des racines réelles, dont au moins une
racine positive, alors la solution générale y(t) de (3.146) divergera (vers
∞ ou −∞, selon le signe du coefficient de la fonction exponentielle con-
tenant la racine la plus grande) lorsque t → ∞. Si les racines sont toutes
réelles, et s’il n’y a aucune racine positive, alors y(t) tendra vers zéro,
ou vers une constante non nulle si une racine est zéro. Finalement, s’il
n’y a que des racines complexes, alors la solution y(t) oscillera lorsque
t → ∞. L’amplitude des oscillations augmentera s’il y a au moins une
racine dont la partie réelle est positive, et elle diminuera si toutes les
racines ont une partie réelle négative.
ii) Racines d’ordre n d’un nombre complexe. Supposons que P (m) =
m3+2. Pour obtenir les trois racines de l’équation caractéristique, nous
devons trouver les trois nombres (complexes) qui, élevés à la puissance
3, donnent −2.
En général, pour obtenir les n racines d’ordre n d’un nombre com-
plexe (ou réel), on peut utiliser la formule d’Euler:
eiθ = cos θ + i sin θ.
Par exemple, les trois racines troisièmes de −2 sont obtenues comme
suit:
−2 = 2eiπ = 2eiπ+i2kπ = 2eiπ(2k+1), (3.157)
où k est un entier quelconque, car
eiπ = cos π + i sinπ = −1
et
ei2kπ = cos(2kπ) + i sin(2kπ) = 1 si k ∈ Z.
Alors
(−2)1/3 = 21/3eiπ(2k+1)/3 (3.158)
pour k = 0, 1, 2. Ainsi, les racines sont
r1 = 21/3eiπ/3, r2 = 21/3eiπ et r3 = 21/3ei5π/3. (3.159)
C’est-à-dire que
r1 = 21/3
(
1
2
+ i
√
3
2
)
, r2 = −21/3 et r3 = 21/3
(
1
2
− i
√
3
2
)
.
(3.160)
96 w équations différ entielles
96 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
Notons que, dans cet exemple, on aurait pu utiliser la racine
troisième évidente −21/3 pour trouver les deux autres racines troisièmes
de −2. En effet, en divisant le polynôme m3+2 par m+21/3, on obtient
le polynôme m2 − 21/3m + 22/3, dont les deux racines sont les nombres
r1 et r3 ci-dessus.
iii) Équations non homogènes. On peut généraliser la méthode des
coefficients indéterminés de la section 3.6 pour trouver une solution
particulière de l’équation non homogène
y(n)(t) + an−1y(n−1)(t) + . . . + a1y′(t) + a0y(t) = r(t), (3.161)
dans le cas où r(t) est une fonction exponentielle comme r0ekt, un
polynôme, etc. (voir la section 3.6). On pourrait aussi généraliser la
méthode de variation des paramètres présentée dans la section 3.7.
Dans le cas de la méthode des coefficients indéterminés, il faut tou-
jours s’assurer que la fonction yp(t) que nous proposons n’est pas déjà
incluse dans la solution générale. Par exemple, si r(t) = e2t et 2 est
une racine triple de l’équation caractéristique de l’équation homogène
correspondant à (3.161), alors on doit poser que yp(t) = k0 t3e2t.
Exemple 3.8.2. Pour résoudre l’équation différentielle
y′′′(t) = y(t) pour t ≥ 0,
on considère l’équation caractéristique
m3 − 1 = 0.
Cette équation possède la racine réelle m1 = 1, et les racines complexes
conjugées
m2 = −
1
2
+ i
√
3
2
et m3 = −
1
2
− i
√
3
2
.
Par conséquent, trois solutions linéairement indépendantes de l’équa-
tion différentielle sont
y1(t) = et, y2(t) = e−t/2 cos(
√
3t/2) et y3(t) = e−t/2 sin(
√
3t/2),
de sorte que sa solution générale est
y(t) = c1et + e−t/2
[
c2 cos(
√
3t/2) + c3 sin(
√
3t/2)
]
.
Lorsque t tend vers l’infini, la fonction y(t) tend vers sgn(c1)∞ (où
“sgn” désigne le signe de la quantité en question), si c1 �= 0. Dans le
3.8 Équations linéaires à coefficients constants d’ordre supérieur 97
cas où c1 = 0, la solution tend vers zéro. Pour déterminer la valeur des
constantes c1, c2 et c3 de façon unique, nous avons besoin de conditions
initiales pour y(t), y′(t) et y′′(t). ♦
Exemple 3.8.3. Pour obtenir une solution particulière de l’équation
différentielle d’ordre cinq
y(5)(t) − y′′′(t) = t2 + e2t,
on considère d’abord l’équation caractéristique
m5 − m3 = 0 ⇐⇒ m3 (m2 − 1) = 0,
dont les racines sont m1 = 0 (racine triple), m2 = 1 et m3 = −1. Parce
qu’il n’y a pas de termes en y(t), y′(t) et y′′(t) dans l’équation, on essaie
une solution particulière de la forme
yp(t) = t3 (k0 + k1 t + k2 t2) + k3e2t = k0 t3 + k1 t4 + k2 t5 + k3e2t.
Remarque. Dans le cas de l’équation
y(5)(t) − 4y′′′(t) = t2 + e2t,
il faudrait remplacer le terme k3e2t ci-dessus par k3 te2t.
On calcule
y′′′p (t) = 6k0 + 24k1 t + 60k2 t
2 + 8k3e2t
et
y(5)p (t) = 120k2 + 32k3e
2t.
En substituant ces quantités dans l’équation différentielle, on obtient
que
120k2 + 32k3e2t −
(
6k0 + 24k1 t + 60k2 t2 + 8k3e2t
)
= t2 + e2t.
C’est-à-dire que
120k2 − 6k0 − 24k1 t − 60k2 t2 + 24k3e2t = t2 + e2t.
De là, on déduit que k3 = 1/24, k2 = −1/60, k1 = 0, et k0 = 20k2 =
−1/3. Donc,
yp(t) = −
1
3
t3 − 1
60
t5 +
1
24
e2t.
équations linéaires à coefficients constants d’ordre supérieur w 97
96 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
Notons que, dans cet exemple, on aurait pu utiliser la racine
troisième évidente −21/3 pour trouver les deux autres racines troisièmes
de −2. En effet, en divisant le polynôme m3+2 par m+21/3, on obtient
le polynôme m2 − 21/3m + 22/3, dont les deux racines sont les nombres
r1 et r3 ci-dessus.
iii) Équations non homogènes. On peut généraliser la méthode des
coefficients indéterminés de la section 3.6 pour trouver une solution
particulière de l’équation non homogène
y(n)(t) + an−1y(n−1)(t) + . . . + a1y′(t) + a0y(t) = r(t), (3.161)
dans le cas où r(t) est une fonction exponentielle comme r0ekt, un
polynôme, etc. (voir la section 3.6). On pourrait aussi généraliser la
méthode de variation des paramètres présentée dans la section 3.7.
Dans le cas de la méthode des coefficients indéterminés, il faut tou-
jours s’assurer que la fonction yp(t) que nous proposons n’est pas déjà
incluse dans la solution générale. Par exemple, si r(t) = e2t et 2 est
une racine triple de l’équation caractéristique de l’équation homogène
correspondant à (3.161), alors on doit poser que yp(t) = k0 t3e2t.
Exemple 3.8.2. Pour résoudre l’équation différentielle
y′′′(t) = y(t) pour t ≥ 0,
on considère l’équation caractéristique
m3 − 1 = 0.
Cette équation possède la racine réelle m1 = 1, et les racines complexes
conjugées
m2 = −
1
2
+ i
√
3
2
et m3 = −
1
2
− i
√
3
2
.
Par conséquent, trois solutions linéairement indépendantes de l’équa-
tion différentielle sont
y1(t) = et, y2(t) = e−t/2 cos(
√
3t/2) et y3(t) = e−t/2 sin(
√
3t/2),
de sorte que sa solution générale est
y(t) = c1et + e−t/2
[
c2 cos(
√
3t/2) + c3 sin(
√
3t/2)]
.
Lorsque t tend vers l’infini, la fonction y(t) tend vers sgn(c1)∞ (où
“sgn” désigne le signe de la quantité en question), si c1 �= 0. Dans le
3.8 Équations linéaires à coefficients constants d’ordre supérieur 97
cas où c1 = 0, la solution tend vers zéro. Pour déterminer la valeur des
constantes c1, c2 et c3 de façon unique, nous avons besoin de conditions
initiales pour y(t), y′(t) et y′′(t). ♦
Exemple 3.8.3. Pour obtenir une solution particulière de l’équation
différentielle d’ordre cinq
y(5)(t) − y′′′(t) = t2 + e2t,
on considère d’abord l’équation caractéristique
m5 − m3 = 0 ⇐⇒ m3 (m2 − 1) = 0,
dont les racines sont m1 = 0 (racine triple), m2 = 1 et m3 = −1. Parce
qu’il n’y a pas de termes en y(t), y′(t) et y′′(t) dans l’équation, on essaie
une solution particulière de la forme
yp(t) = t3 (k0 + k1 t + k2 t2) + k3e2t = k0 t3 + k1 t4 + k2 t5 + k3e2t.
Remarque. Dans le cas de l’équation
y(5)(t) − 4y′′′(t) = t2 + e2t,
il faudrait remplacer le terme k3e2t ci-dessus par k3 te2t.
On calcule
y′′′p (t) = 6k0 + 24k1 t + 60k2 t
2 + 8k3e2t
et
y(5)p (t) = 120k2 + 32k3e
2t.
En substituant ces quantités dans l’équation différentielle, on obtient
que
120k2 + 32k3e2t −
(
6k0 + 24k1 t + 60k2 t2 + 8k3e2t
)
= t2 + e2t.
C’est-à-dire que
120k2 − 6k0 − 24k1 t − 60k2 t2 + 24k3e2t = t2 + e2t.
De là, on déduit que k3 = 1/24, k2 = −1/60, k1 = 0, et k0 = 20k2 =
−1/3. Donc,
yp(t) = −
1
3
t3 − 1
60
t5 +
1
24
e2t.
98 w équations différ entielles
98 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
La solution générale de l’équation peut être écrite comme suit:
y(t) = c1 + c2 t + c3 t2 + c4et + c5e−t −
1
3
t3 − 1
60
t5 +
1
24
e2t.
Notons que cette solution générale contient un polynôme de degré deux.
C’est la raison pour laquelle nous avons dû multiplier k0 + k1 t + k2 t2
par t3 ci-dessus. ♦
Exercices
3-23. Trouver la solution générale des équations différentielles sui-
vantes:
(a) y′′′(t) + y′′(t) + y′(t) + y(t) = 0;
(b) y′′′(t) − y′′(t) + y′(t) − y(t) = 0;
(c) y(4)(t) + 2y′′(t) + y(t) = 0;
(d) y(4)(t) − y′′(t) + y(t) = 0;
(e) y(4)(t) + 4y(t) = 0;
(f) y(6)(t) + y(t) = 0.
3-24. Déterminer toutes les racines de la forme p/q (où p et q ∈ Z, et
la fraction ne peut pas être simplifiée) de l’équation suivante:
2m4 − 5m3 + 2m2 − m + 2 = 0,
et trouver ensuite toutes les racines de cette équation.
3-25. Déterminer le comportement des solutions y(t) des équations
différentielles ordinaires suivantes lorsque t tend vers l’infini:
(a) y′′′(t) − 2y′(t) + y(t) = 0;
(b) y(4)(t) + y′(t) = 0.
3-26. Trouver les quatre racines quatrièmes de −16.
3-27. Trouver une solution particulière des équations différentielles sui-
vantes:
(a) y′′′(t) + y′(t) = sin t;
(b) y′′′(t) + y′′(t) − y′(t) + 2y(t) = et/2 + t2.
3-28. (Extension de la technique de réduction d’ordre) Utiliser le fait
que y1(t) = et est une solution de l’équation différentielle homogène
3.9 Oscillations dans les systèmes mécaniques et circuits électriques 99
y′′′(t) − y(t) = 0
pour obtenir la solution générale yg(t) de
y′′′(t) − y(t) = et,
et ce, en posant que yg(t) = u(t)et.
3.9 Oscillations dans les systèmes mécaniques et circuits
électriques
Supposons qu’un objet de masse m est suspendu à l’extrémité d’un
ressort vertical. L’objet étire le ressort d’une longueur L (voir la
figure 3.5).
L
L+y
m
m
Fig. 3.5. Système masse-ressort.
Quand l’objet en question est au repos, les deux forces qui agissent
sur celui-ci, soit la force gravitationnelle Fg et la force de rappel du
ressort Fr, s’équilibrent. La force gravitationnelle est donnée par mg,
tandis que la force de rappel du ressort, quand l’étirement L est petit,
est proportionnelle à L:
Fr = −kL, (3.162)
où la constante k (> 0) est le coefficient de raideur du ressort. On a
donc, à l’équilibre:
oscillations dans les systèmes mécaniques et circuits électriques w 99
98 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
La solution générale de l’équation peut être écrite comme suit:
y(t) = c1 + c2 t + c3 t2 + c4et + c5e−t −
1
3
t3 − 1
60
t5 +
1
24
e2t.
Notons que cette solution générale contient un polynôme de degré deux.
C’est la raison pour laquelle nous avons dû multiplier k0 + k1 t + k2 t2
par t3 ci-dessus. ♦
Exercices
3-23. Trouver la solution générale des équations différentielles sui-
vantes:
(a) y′′′(t) + y′′(t) + y′(t) + y(t) = 0;
(b) y′′′(t) − y′′(t) + y′(t) − y(t) = 0;
(c) y(4)(t) + 2y′′(t) + y(t) = 0;
(d) y(4)(t) − y′′(t) + y(t) = 0;
(e) y(4)(t) + 4y(t) = 0;
(f) y(6)(t) + y(t) = 0.
3-24. Déterminer toutes les racines de la forme p/q (où p et q ∈ Z, et
la fraction ne peut pas être simplifiée) de l’équation suivante:
2m4 − 5m3 + 2m2 − m + 2 = 0,
et trouver ensuite toutes les racines de cette équation.
3-25. Déterminer le comportement des solutions y(t) des équations
différentielles ordinaires suivantes lorsque t tend vers l’infini:
(a) y′′′(t) − 2y′(t) + y(t) = 0;
(b) y(4)(t) + y′(t) = 0.
3-26. Trouver les quatre racines quatrièmes de −16.
3-27. Trouver une solution particulière des équations différentielles sui-
vantes:
(a) y′′′(t) + y′(t) = sin t;
(b) y′′′(t) + y′′(t) − y′(t) + 2y(t) = et/2 + t2.
3-28. (Extension de la technique de réduction d’ordre) Utiliser le fait
que y1(t) = et est une solution de l’équation différentielle homogène
3.9 Oscillations dans les systèmes mécaniques et circuits électriques 99
y′′′(t) − y(t) = 0
pour obtenir la solution générale yg(t) de
y′′′(t) − y(t) = et,
et ce, en posant que yg(t) = u(t)et.
3.9 Oscillations dans les systèmes mécaniques et circuits
électriques
Supposons qu’un objet de masse m est suspendu à l’extrémité d’un
ressort vertical. L’objet étire le ressort d’une longueur L (voir la
figure 3.5).
L
L+y
m
m
Fig. 3.5. Système masse-ressort.
Quand l’objet en question est au repos, les deux forces qui agissent
sur celui-ci, soit la force gravitationnelle Fg et la force de rappel du
ressort Fr, s’équilibrent. La force gravitationnelle est donnée par mg,
tandis que la force de rappel du ressort, quand l’étirement L est petit,
est proportionnelle à L:
Fr = −kL, (3.162)
où la constante k (> 0) est le coefficient de raideur du ressort. On a
donc, à l’équilibre:
oscillations dans les systèmes mécaniques et circuits électriques
100 w équations différ entielles
100 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
mg = kL. (3.163)
Supposons maintenant que l’objet est déplacé à l’instant t = 0. Soit
y(t) le déplacement de l’objet par rapport à son point d’équilibre à
l’instant t. Par la deuxième loi du mouvement de Newton, on peut
écrire que l’accélération y′′(t) de l’objet satisfait à l’équation
my′′(t) = F (t), (3.164)
où F (t) est la force nette qui agit sur cet objet à l’instant t.
Oscillations non amorties. Si les seules forces qui agissent sur l’objet
sont la gravité et la force de rappel du ressort, tel que supposé ci-dessus,
alors l’équation (3.164) devient
my′′(t) = mg − k [L + y(t)] (3.163)⇐⇒ my′′(t) + ky(t) = 0. (3.165)
Puisque k est une constante positive, la solution générale de cette équa-
tion différentielle linéaire homogène d’ordre deux à coefficients cons-
tants est
y(t) = c1 cos (ω0 t) + c2 sin (ω0 t) , (3.166)
où ω0 :=
√
k/m.
Supposons qu’à l’instant initial, t = 0, l’objet est déplacé vers le bas
de y0 unité(s) de longueur par rapport à son point d’équilibre, puis il
est relâché. Ainsi, la vitesse initiale de l’objet est nulle, de sorte que les
conditions initiales sont les suivantes:
y(0) = y0 et y′(0) = 0. (3.167)
On trouve que les constantes c1 et c2 dans l’équation (3.166) sont alors
c1 = y0 et c2 = 0. Il s’ensuit que
y(t) = y0 cos (ω0 t) pour t ≥ 0. (3.168)
Le déplacement de l’objet décrit donc un mouvement harmonique.
L’amplitude du mouvement est donnée par y0 (> 0). De plus, la période
T du mouvement est le temps que l’objet prend pour accomplir un cycle
complet,de sorte que ω0T = 2π; c’est-à-dire que
T =
2π
ω0
= 2π
√
m
k
. (3.169)
Par exemple, si k = 10 et la masse de l’objet est m = 40, alors la
période du mouvement est égale à 4π (voir la figure 3.6, où y0 = 2).
3.9 Oscillations dans les systèmes mécaniques et circuits électriques 101
–2
–1
0
1
2
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
t
Fig. 3.6. Mouvement harmonique de période 4π.
Enfin, la fréquence f du mouvement est le nombre de cycles effectués
par l’objet en une unité de temps. On a donc:
f T = 1 =⇒ f = 1
2π
√
k
m
. (3.170)
Remarques. i) Comme on pouvait s’y attendre, on voit que plus la masse
de l’objet est grande, plus la période du mouvement est grande. Cela
signifie qu’un objet lourd oscille plus lentement, ce qui est logique. De
même, si le coefficient de raideur du ressort diminue, alors la période du
mouvement augmente. Ainsi, moins le ressort est rigide, moins l’objet
oscille rapidement.
ii) La quantité ω0 est la fréquence naturelle angulaire du mouvement.
iii) En utilisant la formule
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b, (3.171)
on peut réécrire la solution générale (3.166) comme suit:
y(t) = r cos (ω0 t − δ) , (3.172)
où la constante
r :=
√
c21 + c
2
2 (3.173)
est telle que
c1 = r cos δ et c2 = r sin δ. (3.174)
oscillations dans les systèmes mécaniques et circuits électriques w 101
100 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
mg = kL. (3.163)
Supposons maintenant que l’objet est déplacé à l’instant t = 0. Soit
y(t) le déplacement de l’objet par rapport à son point d’équilibre à
l’instant t. Par la deuxième loi du mouvement de Newton, on peut
écrire que l’accélération y′′(t) de l’objet satisfait à l’équation
my′′(t) = F (t), (3.164)
où F (t) est la force nette qui agit sur cet objet à l’instant t.
Oscillations non amorties. Si les seules forces qui agissent sur l’objet
sont la gravité et la force de rappel du ressort, tel que supposé ci-dessus,
alors l’équation (3.164) devient
my′′(t) = mg − k [L + y(t)] (3.163)⇐⇒ my′′(t) + ky(t) = 0. (3.165)
Puisque k est une constante positive, la solution générale de cette équa-
tion différentielle linéaire homogène d’ordre deux à coefficients cons-
tants est
y(t) = c1 cos (ω0 t) + c2 sin (ω0 t) , (3.166)
où ω0 :=
√
k/m.
Supposons qu’à l’instant initial, t = 0, l’objet est déplacé vers le bas
de y0 unité(s) de longueur par rapport à son point d’équilibre, puis il
est relâché. Ainsi, la vitesse initiale de l’objet est nulle, de sorte que les
conditions initiales sont les suivantes:
y(0) = y0 et y′(0) = 0. (3.167)
On trouve que les constantes c1 et c2 dans l’équation (3.166) sont alors
c1 = y0 et c2 = 0. Il s’ensuit que
y(t) = y0 cos (ω0 t) pour t ≥ 0. (3.168)
Le déplacement de l’objet décrit donc un mouvement harmonique.
L’amplitude du mouvement est donnée par y0 (> 0). De plus, la période
T du mouvement est le temps que l’objet prend pour accomplir un cycle
complet, de sorte que ω0T = 2π; c’est-à-dire que
T =
2π
ω0
= 2π
√
m
k
. (3.169)
Par exemple, si k = 10 et la masse de l’objet est m = 40, alors la
période du mouvement est égale à 4π (voir la figure 3.6, où y0 = 2).
3.9 Oscillations dans les systèmes mécaniques et circuits électriques 101
–2
–1
0
1
2
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
t
Fig. 3.6. Mouvement harmonique de période 4π.
Enfin, la fréquence f du mouvement est le nombre de cycles effectués
par l’objet en une unité de temps. On a donc:
f T = 1 =⇒ f = 1
2π
√
k
m
. (3.170)
Remarques. i) Comme on pouvait s’y attendre, on voit que plus la masse
de l’objet est grande, plus la période du mouvement est grande. Cela
signifie qu’un objet lourd oscille plus lentement, ce qui est logique. De
même, si le coefficient de raideur du ressort diminue, alors la période du
mouvement augmente. Ainsi, moins le ressort est rigide, moins l’objet
oscille rapidement.
ii) La quantité ω0 est la fréquence naturelle angulaire du mouvement.
iii) En utilisant la formule
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b, (3.171)
on peut réécrire la solution générale (3.166) comme suit:
y(t) = r cos (ω0 t − δ) , (3.172)
où la constante
r :=
√
c21 + c
2
2 (3.173)
est telle que
c1 = r cos δ et c2 = r sin δ. (3.174)
102 w équations différ entielles
102 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
De là, on déduit que
tgδ =
c2
c1
. (3.175)
La quantité δ est l’angle de phase du déplacement.
Oscillations amorties. Pour rendre le problème plus réaliste, nous
allons tenir compte de la force d’amortissement Fa due, en particulier,
à la viscosité du milieu dans lequel l’objet se déplace. Cette force agit
dans la direction opposée au mouvement. De plus, on suppose que sa
grandeur est proportionnelle à la vitesse de l’objet:
Fa = −cy′(t), (3.176)
où c est une constante positive appelée coefficient d’amortissement.
L’équation (3.164) est maintenant
my′′(t) = mg +Fr +Fa =⇒ my′′(t)+ cy′(t)+ ky(t) = 0. (3.177)
Posons ρ = c/(2m). Alors nous devons résoudre l’équation différen-
tielle
y′′(t) + 2ρy′(t) + ω20 y(t) = 0. (3.178)
Nous avons vu que la solution générale de cette équation différentielle
dépend des racines de l’équation caractéristique
m20 + 2ρm0 + ω
2
0 = 0, (3.179)
soit
m1 := −ρ +
√
ρ2 − ω20 et m2 := −ρ −
√
ρ2 − ω20. (3.180)
Cas I. Si ρ2 − ω20 > 0, c’est-à-dire si ρ > ω0 (puisque ρ et ω0 sont
des quantités positives), alors les deux racines sont réelles et distinctes.
Dans ce cas, la solution générale de l’équation différentielle (3.178) est
y(t) = c1em1t + c2em2t. (3.181)
Remarque. Notons que, si m = 1, cette situation se produit lorsque le
coefficient d’amortissement du milieu est au moins deux fois plus grand
que la racine carrée du coefficient de raideur du ressort.
3.9 Oscillations dans les systèmes mécaniques et circuits électriques 103
Si l’on impose les conditions initiales (3.167), on trouve que
c1 = −
m2y0
m1 − m2
et c2 =
m1y0
m1 − m2
, (3.182)
de sorte que
y(t) = − y0
m1 − m2
(
m2e
m1t − m1em2t
)
. (3.183)
Puisque, d’après (3.180), les deux racines sont négatives, on déduit que
y(t) tend vers zéro lorsque t tend vers l’infini. De plus, il n’y a pas
d’oscillations dans ce cas. On dit que le mouvement est suramorti.
Exemple 3.9.1. Si c = 20, k = 10 et m = 5, on a ρ = 2 et ω0 =
√
2,
de sorte que les racines sont données par
m1 = −2 +
√
2 et m2 = −2 −
√
2.
Avec y0 = 2, la fonction y(t) est
y(t) = − 1√
2
[
(−2 −
√
2)e(−2+
√
2) t − (−2 +
√
2)e(−2−
√
2) t
]
= e−2t
[
(
√
2 + 1)e
√
2 t + (−
√
2 + 1)e−
√
2 t
]
pour t ≥ 0
(voir la figure 3.7). ♦
0
0.5
1
1.5
2
1 2 3 4 5 6 7 8
t
Fig. 3.7. Exemple de mouvement suramorti.
oscillations dans les systèmes mécaniques et circuits électriques w 103
102 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
De là, on déduit que
tgδ =
c2
c1
. (3.175)
La quantité δ est l’angle de phase du déplacement.
Oscillations amorties. Pour rendre le problème plus réaliste, nous
allons tenir compte de la force d’amortissement Fa due, en particulier,
à la viscosité du milieu dans lequel l’objet se déplace. Cette force agit
dans la direction opposée au mouvement. De plus, on suppose que sa
grandeur est proportionnelle à la vitesse de l’objet:
Fa = −cy′(t), (3.176)
où c est une constante positive appelée coefficient d’amortissement.
L’équation (3.164) est maintenant
my′′(t) = mg +Fr +Fa =⇒ my′′(t)+ cy′(t)+ ky(t) = 0. (3.177)
Posons ρ = c/(2m). Alors nous devons résoudre l’équation différen-
tielle
y′′(t) + 2ρy′(t) + ω20 y(t) = 0. (3.178)
Nous avons vu que la solution générale de cette équation différentielle
dépend des racines de l’équation caractéristique
m20 + 2ρm0 + ω
2
0 = 0, (3.179)
soit
m1 := −ρ +
√
ρ2 − ω20 et m2 := −ρ −
√
ρ2 − ω20. (3.180)
Cas I. Si ρ2 − ω20 > 0, c’est-à-dire si ρ > ω0 (puisque ρ et ω0 sont
des quantités positives), alors les deux racines sont réelles et distinctes.
Dans ce cas, la solution générale de l’équation différentielle (3.178)est
y(t) = c1em1t + c2em2t. (3.181)
Remarque. Notons que, si m = 1, cette situation se produit lorsque le
coefficient d’amortissement du milieu est au moins deux fois plus grand
que la racine carrée du coefficient de raideur du ressort.
3.9 Oscillations dans les systèmes mécaniques et circuits électriques 103
Si l’on impose les conditions initiales (3.167), on trouve que
c1 = −
m2y0
m1 − m2
et c2 =
m1y0
m1 − m2
, (3.182)
de sorte que
y(t) = − y0
m1 − m2
(
m2e
m1t − m1em2t
)
. (3.183)
Puisque, d’après (3.180), les deux racines sont négatives, on déduit que
y(t) tend vers zéro lorsque t tend vers l’infini. De plus, il n’y a pas
d’oscillations dans ce cas. On dit que le mouvement est suramorti.
Exemple 3.9.1. Si c = 20, k = 10 et m = 5, on a ρ = 2 et ω0 =
√
2,
de sorte que les racines sont données par
m1 = −2 +
√
2 et m2 = −2 −
√
2.
Avec y0 = 2, la fonction y(t) est
y(t) = − 1√
2
[
(−2 −
√
2)e(−2+
√
2) t − (−2 +
√
2)e(−2−
√
2) t
]
= e−2t
[
(
√
2 + 1)e
√
2 t + (−
√
2 + 1)e−
√
2 t
]
pour t ≥ 0
(voir la figure 3.7). ♦
0
0.5
1
1.5
2
1 2 3 4 5 6 7 8
t
Fig. 3.7. Exemple de mouvement suramorti.
104 w équations différ entielles
104 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
Cas II. Si ρ2 = ω20 ⇔ ρ = ω0, alors −ρ est une racine double de
l’équation caractéristique (3.179) et la solution générale de l’équation
différentielle (3.178) est
y(t) = (c1 + c2 t) e−ρt. (3.184)
Avec les conditions initiales y(0) = y0 et y′(0) = 0, on trouve que
y(t) = y0 (1 + ρt) e−ρt pour t ≥ 0. (3.185)
Comme ci-dessus, la fonction y(t) tend vers zéro, lorsque t → ∞, sans
oscillations. L’amortissement correspondant à ρ = ω0 est dit critique.
Cas III. Finalement, si ρ2 − ω20 < 0, ou ρ < ω0, alors les deux racines
sont des nombres complexes conjugués:
m1 := −ρ + i
√
ω20 − ρ2 et m2 := −ρ − i
√
ω20 − ρ2. (3.186)
Soit
η =
√
ω20 − ρ2. (3.187)
La solution générale de l’équation différentielle (3.178) est donnée par
y(t) = e−ρt [c1 cos(ηt) + c2 sin(ηt)] . (3.188)
On trouve que la solution qui satisfait aux conditions (3.167) est
y(t) =
y0
η
e−ρt [η cos(ηt) + ρ sin(ηt)] (3.189)
pour t ≥ 0. Avec θ := arctg(ρ/η), on peut réécrire y(t) sous la forme
y(t) =
y0
√
ρ2 + η2
η
e−ρt cos(ηt − θ). (3.190)
En effet, puisque ρ/η ∈ (0,∞), on peut écrire que θ ∈ (0, π/2). Alors
√
ρ2 + η2
η
=
√
tg2θ + 1 =
1
cos θ
(3.191)
et on a:
cos(ηt − θ) = cos(ηt) cos θ + sin(ηt) sin θ
= cos θ [cos(ηt) + sin(ηt)tgθ]
= cos θ [cos(ηt) + sin(ηt)(ρ/η)]
=
cos θ
η
[η cos(ηt) + ρ sin(ηt)] . (3.192)
3.9 Oscillations dans les systèmes mécaniques et circuits électriques 105
Cette fois-ci, la fonction y(t) tend vers zéro en oscillant. Notons
que l’amplitude du déplacement décrôıt exponentiellement, puisqu’elle
est proportionnelle à la fonction e−ρt. L’amortissement est dit sous-
critique.
Remarque. Dans les trois cas considérés ci-dessus, la fonction y(t) tend
vers zéro, soit la valeur qui correspond au point d’équilibre, lorsque t
tend vers l’infini. Cependant, en pratique, l’objet devrait revenir à son
point d’équilibre en un temps fini.
Exemple 3.9.2. Prenons c = 10, k = 20 et m = 5; alors ρ = 1 et
ω0 = 2. Il s’ensuit que
m1 = −1 + i
√
3 et m2 = −1 − i
√
3.
On calcule
θ = arctg(1/
√
3) =
π
6
(� 0,5236).
Alors, si y0 = 2, on a:
y(t) =
4√
3
e−t cos[
√
3t − (π/6)]
(voir la figure 3.8). ♦
0
0.5
1
1.5
2
1 2 3 4 5
t
Fig. 3.8. Exemple d’amortissement sous-critique.
Oscillations forcées non amorties. Si l’on suppose qu’il y a une
force externe périodique de la forme F0 cos(ωt), où ω > 0, qui est
exercée sur l’objet suspendu à un ressort, l’équation (3.165) devient
oscillations dans les systèmes mécaniques et circuits électriques w 105
104 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
Cas II. Si ρ2 = ω20 ⇔ ρ = ω0, alors −ρ est une racine double de
l’équation caractéristique (3.179) et la solution générale de l’équation
différentielle (3.178) est
y(t) = (c1 + c2 t) e−ρt. (3.184)
Avec les conditions initiales y(0) = y0 et y′(0) = 0, on trouve que
y(t) = y0 (1 + ρt) e−ρt pour t ≥ 0. (3.185)
Comme ci-dessus, la fonction y(t) tend vers zéro, lorsque t → ∞, sans
oscillations. L’amortissement correspondant à ρ = ω0 est dit critique.
Cas III. Finalement, si ρ2 − ω20 < 0, ou ρ < ω0, alors les deux racines
sont des nombres complexes conjugués:
m1 := −ρ + i
√
ω20 − ρ2 et m2 := −ρ − i
√
ω20 − ρ2. (3.186)
Soit
η =
√
ω20 − ρ2. (3.187)
La solution générale de l’équation différentielle (3.178) est donnée par
y(t) = e−ρt [c1 cos(ηt) + c2 sin(ηt)] . (3.188)
On trouve que la solution qui satisfait aux conditions (3.167) est
y(t) =
y0
η
e−ρt [η cos(ηt) + ρ sin(ηt)] (3.189)
pour t ≥ 0. Avec θ := arctg(ρ/η), on peut réécrire y(t) sous la forme
y(t) =
y0
√
ρ2 + η2
η
e−ρt cos(ηt − θ). (3.190)
En effet, puisque ρ/η ∈ (0,∞), on peut écrire que θ ∈ (0, π/2). Alors
√
ρ2 + η2
η
=
√
tg2θ + 1 =
1
cos θ
(3.191)
et on a:
cos(ηt − θ) = cos(ηt) cos θ + sin(ηt) sin θ
= cos θ [cos(ηt) + sin(ηt)tgθ]
= cos θ [cos(ηt) + sin(ηt)(ρ/η)]
=
cos θ
η
[η cos(ηt) + ρ sin(ηt)] . (3.192)
3.9 Oscillations dans les systèmes mécaniques et circuits électriques 105
Cette fois-ci, la fonction y(t) tend vers zéro en oscillant. Notons
que l’amplitude du déplacement décrôıt exponentiellement, puisqu’elle
est proportionnelle à la fonction e−ρt. L’amortissement est dit sous-
critique.
Remarque. Dans les trois cas considérés ci-dessus, la fonction y(t) tend
vers zéro, soit la valeur qui correspond au point d’équilibre, lorsque t
tend vers l’infini. Cependant, en pratique, l’objet devrait revenir à son
point d’équilibre en un temps fini.
Exemple 3.9.2. Prenons c = 10, k = 20 et m = 5; alors ρ = 1 et
ω0 = 2. Il s’ensuit que
m1 = −1 + i
√
3 et m2 = −1 − i
√
3.
On calcule
θ = arctg(1/
√
3) =
π
6
(� 0,5236).
Alors, si y0 = 2, on a:
y(t) =
4√
3
e−t cos[
√
3t − (π/6)]
(voir la figure 3.8). ♦
0
0.5
1
1.5
2
1 2 3 4 5
t
Fig. 3.8. Exemple d’amortissement sous-critique.
Oscillations forcées non amorties. Si l’on suppose qu’il y a une
force externe périodique de la forme F0 cos(ωt), où ω > 0, qui est
exercée sur l’objet suspendu à un ressort, l’équation (3.165) devient
106 w équations différ entielles
106 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
my′′(t) + ky(t) = F0 cos(ωt). (3.193)
Cas I. Si ω �= ω0 :=
√
k/m, on trouve que
y(t) = c1 cos(ω0 t) + c2 sin(ω0 t) +
F0
m(ω20 − ω2)
cos(ωt). (3.194)
La solution qui satisfait aux conditions initiales y(0) = y′(0) = 0 est
y(t) =
F0
m(ω20 − ω2)
[cos(ωt) − cos(ω0 t)] . (3.195)
On peut réécrire cette solution comme suit:
y(t) =
2F0
m(ω20 − ω2)
sin
[
(ω0 − ω)t
2
]
sin
[
(ω0 + ω)t
2
]
. (3.196)
Le mouvement de l’objet est appelé pulsation. Notons que l’ampli-
tude varie périodiquement (voir la figure 3.9).
–10
–5
0
5
10
20 40 60 80 100 120
t
Fig. 3.9. Exemple de pulsation.
Cas II. Lorsque ω = ω0, en utilisant le fait que ω0 i est une racine de
l’équation caractéristique, on obtient que
y(t) = c1 cos(ω0 t) + c2 sin(ω0 t) +
F0
2mω0
t sin(ω0 t). (3.197)
3.9 Oscillations dans les systèmes mécaniques et circuits électriques 107
–20
–10
0
10
20
10 20 30 40 50
t
Fig. 3.10. Phénomène de résonance.
Cette fois-ci, le mouvement augmente indéfiniment lorsque t → ∞, à
cause du terme t sin(ω0 t) dans la solution. Il s’agit du phénomène de
résonance (voir la figure 3.10).
Oscillations forcées amorties. Si l’on ajoute l’amortissement, on
doit résoudre l’équation différentielle non homogène [voir les équations
(3.164) et (3.177)]
my′′(t) + cy′(t) + ky(t) = F0 cos(ωt). (3.198)
Soit m1 et m2 les deux racines de l’équation caractéristique. On trouve
que
y(t) = c1em1t + c2em2t + K cos(ωt − δ), (3.199)
où
K :=
F0√
m2 (ω20 − ω2)2 + c2ω2
:=
F0
∆
(3.200)
et la constante δ est telle que
cos(δ) =
m(ω20 − ω2)
∆
et sin(δ) =
cω
∆
. (3.201)
On peut vérifier que les racines m1 et m2 sont distinctes. De plus,elles sont réelles et négatives ou bien complexes conjugées, mais de
partie réelle négative. Il s’ensuit que
lim
t→∞
y(t) = lim
t→∞
K cos(ωt − δ). (3.202)
oscillations dans les systèmes mécaniques et circuits électriques w 107
106 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
my′′(t) + ky(t) = F0 cos(ωt). (3.193)
Cas I. Si ω �= ω0 :=
√
k/m, on trouve que
y(t) = c1 cos(ω0 t) + c2 sin(ω0 t) +
F0
m(ω20 − ω2)
cos(ωt). (3.194)
La solution qui satisfait aux conditions initiales y(0) = y′(0) = 0 est
y(t) =
F0
m(ω20 − ω2)
[cos(ωt) − cos(ω0 t)] . (3.195)
On peut réécrire cette solution comme suit:
y(t) =
2F0
m(ω20 − ω2)
sin
[
(ω0 − ω)t
2
]
sin
[
(ω0 + ω)t
2
]
. (3.196)
Le mouvement de l’objet est appelé pulsation. Notons que l’ampli-
tude varie périodiquement (voir la figure 3.9).
–10
–5
0
5
10
20 40 60 80 100 120
t
Fig. 3.9. Exemple de pulsation.
Cas II. Lorsque ω = ω0, en utilisant le fait que ω0 i est une racine de
l’équation caractéristique, on obtient que
y(t) = c1 cos(ω0 t) + c2 sin(ω0 t) +
F0
2mω0
t sin(ω0 t). (3.197)
3.9 Oscillations dans les systèmes mécaniques et circuits électriques 107
–20
–10
0
10
20
10 20 30 40 50
t
Fig. 3.10. Phénomène de résonance.
Cette fois-ci, le mouvement augmente indéfiniment lorsque t → ∞, à
cause du terme t sin(ω0 t) dans la solution. Il s’agit du phénomène de
résonance (voir la figure 3.10).
Oscillations forcées amorties. Si l’on ajoute l’amortissement, on
doit résoudre l’équation différentielle non homogène [voir les équations
(3.164) et (3.177)]
my′′(t) + cy′(t) + ky(t) = F0 cos(ωt). (3.198)
Soit m1 et m2 les deux racines de l’équation caractéristique. On trouve
que
y(t) = c1em1t + c2em2t + K cos(ωt − δ), (3.199)
où
K :=
F0√
m2 (ω20 − ω2)2 + c2ω2
:=
F0
∆
(3.200)
et la constante δ est telle que
cos(δ) =
m(ω20 − ω2)
∆
et sin(δ) =
cω
∆
. (3.201)
On peut vérifier que les racines m1 et m2 sont distinctes. De plus,
elles sont réelles et négatives ou bien complexes conjugées, mais de
partie réelle négative. Il s’ensuit que
lim
t→∞
y(t) = lim
t→∞
K cos(ωt − δ). (3.202)
108 w équations différ entielles
108 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
La partie de la solution définie par
y∗(t) = c1em1t + c2em2t (3.203)
est appelée solution transitoire, tandis que
Y (t) := K cos(ωt − δ) (3.204)
est la solution permanente (aussi appelée réponse forcée).
Circuits électriques. Considérons maintenant le circuit électrique
représenté par le diagramme dans la figure 3.11. On s’intéresse au flux
du courant électrique I(t) dans ce circuit, lequel est constitué de quatre
éléments:
E(t)
R C
L
I
Fig. 3.11. Circuit électrique simple.
a) une source de force électromotrice E(t). Par exemple, il peut s’agir
d’une pile ou d’un générateur. On suppose que cette force est une fonc-
tion E(t) du temps t.
b) Une résistance R qui produit une chute de tension de I(t)R.
c) Un condensateur qui possède une capacitance de C. La chute de
tension aux bornes du condensateur est donnée par Q/C, où Q [= Q(t)]
est la charge totale du condensateur à l’instant t.
d) Un inducteur dont l’inductance est égale à L et qui provoque une
chute de tension de LdI(t)/dt.
On a la relation suivante entre la charge Q(t) et le courant I(t) à
l’instant t:
I(t) =
dQ(t)
dt
. (3.205)
3.9 Oscillations dans les systèmes mécaniques et circuits électriques 109
En utilisant la deuxième loi de Kirchhoff, selon laquelle, dans un circuit
en forme de boucle fermée, si l’on additionne les tensions aux bornes
de chacun des éléments de ce circuit, alors on obtient une somme nulle,
on peut écrire que
E(t) − I(t)R − Q(t)
C
− L dI(t)
dt
= 0. (3.206)
C’est-à-dire que
L
dI(t)
dt
+ RI(t) +
1
C
Q(t) = E(t). (3.207)
À l’aide de l’équation (3.205), on peut obtenir une équation différen-
tielle pour I(t) ou pour Q(t). On a d’abord:
L
d2Q(t)
dt2
+ R
dQ(t)
dt
+
1
C
Q(t) = E(t). (3.208)
Ensuite, si l’on dérive l’équation (3.207), on obtient:
L
d2I(t)
dt2
+ R
dI(t)
dt
+
1
C
dQ(t)
dt
=
dE(t)
dt
, (3.209)
que l’on peut réécrire ainsi:
L
d2I(t)
dt2
+ R
dI(t)
dt
+
1
C
I(t) =
dE(t)
dt
. (3.210)
Notons que s’il n’y a pas de condensateur, alors I(t) satisfait à
l’équation différentielle linéaire du premier ordre
L
dI(t)
dt
+ RI(t) = E(t). (3.211)
Pour résoudre les équations différentielles du deuxième ordre ci-
dessus de façon unique, nous avons besoin de conditions initiales. Dans
le cas de l’équation (3.208), on impose les conditions
Q(t0) = Q0 et Q′(t0) = Q′0 (3.212)
à l’instant initial t0. Étant donné que Q′(t0) = I(t0), cela signifie que
l’on doit spécifier la charge initiale du condensateur et le courant initial
I0 (= Q′0) dans le circuit.
oscillations dans les systèmes mécaniques et circuits électriques w 109
108 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
La partie de la solution définie par
y∗(t) = c1em1t + c2em2t (3.203)
est appelée solution transitoire, tandis que
Y (t) := K cos(ωt − δ) (3.204)
est la solution permanente (aussi appelée réponse forcée).
Circuits électriques. Considérons maintenant le circuit électrique
représenté par le diagramme dans la figure 3.11. On s’intéresse au flux
du courant électrique I(t) dans ce circuit, lequel est constitué de quatre
éléments:
E(t)
R C
L
I
Fig. 3.11. Circuit électrique simple.
a) une source de force électromotrice E(t). Par exemple, il peut s’agir
d’une pile ou d’un générateur. On suppose que cette force est une fonc-
tion E(t) du temps t.
b) Une résistance R qui produit une chute de tension de I(t)R.
c) Un condensateur qui possède une capacitance de C. La chute de
tension aux bornes du condensateur est donnée par Q/C, où Q [= Q(t)]
est la charge totale du condensateur à l’instant t.
d) Un inducteur dont l’inductance est égale à L et qui provoque une
chute de tension de LdI(t)/dt.
On a la relation suivante entre la charge Q(t) et le courant I(t) à
l’instant t:
I(t) =
dQ(t)
dt
. (3.205)
3.9 Oscillations dans les systèmes mécaniques et circuits électriques 109
En utilisant la deuxième loi de Kirchhoff, selon laquelle, dans un circuit
en forme de boucle fermée, si l’on additionne les tensions aux bornes
de chacun des éléments de ce circuit, alors on obtient une somme nulle,
on peut écrire que
E(t) − I(t)R − Q(t)
C
− L dI(t)
dt
= 0. (3.206)
C’est-à-dire que
L
dI(t)
dt
+ RI(t) +
1
C
Q(t) = E(t). (3.207)
À l’aide de l’équation (3.205), on peut obtenir une équation différen-
tielle pour I(t) ou pour Q(t). On a d’abord:
L
d2Q(t)
dt2
+ R
dQ(t)
dt
+
1
C
Q(t) = E(t). (3.208)
Ensuite, si l’on dérive l’équation (3.207), on obtient:
L
d2I(t)
dt2
+ R
dI(t)
dt
+
1
C
dQ(t)
dt
=
dE(t)
dt
, (3.209)
que l’on peut réécrire ainsi:
L
d2I(t)
dt2
+ R
dI(t)
dt
+
1
C
I(t) =
dE(t)
dt
. (3.210)
Notons que s’il n’y a pas de condensateur, alors I(t) satisfait à
l’équation différentielle linéaire du premier ordre
L
dI(t)
dt
+ RI(t) = E(t). (3.211)
Pour résoudre les équations différentielles du deuxième ordre ci-
dessus de façon unique, nous avons besoin de conditions initiales. Dans
le cas de l’équation (3.208), on impose les conditions
Q(t0) = Q0 et Q′(t0) = Q′0 (3.212)
à l’instant initial t0. Étant donné que Q′(t0) = I(t0), cela signifie que
l’on doit spécifier la charge initiale du condensateur et le courant initial
I0 (= Q′0) dans le circuit.
110 w équations différ entielles
110 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
Dans le cas de l’équation (3.210), les conditions deviennent
I(t0) = I0 et I ′(t0) = I ′0. (3.213)
À partir de (3.207), on déduit que
I ′0 =
E(t0) − RI0 − (Q0/C)
L
. (3.214)
On voit que, du point de vue mathématique, trouver le flux du
courant dans le circuit considéré est équivalent à obtenir la fonction
qui décrit le déplacement d’un objet suspendu à un ressort, comme
nous l’avons fait précédemment.
Exercices
3-29. Dans le problèmedes oscillations amorties (non forcées),
(a) calculer la fonction y(t) si c = k = m = 10, y(0) = 2 et y′(0) = 0;
(b) pour quelle(s) valeur(s) de t a-t-on y(t) = 0?
3-30. Dans le problème précédent, quelle est la vitesse de l’objet à
l’instant t (> 0) si l’on a plutôt: y(0) = 2, y′(0) = 1, c = 1, k = 2 et
m = 3?
3-31. Dans le cas de l’amortissement critique, avec y(0) = y0 et
y′(0) = 0 [voir l’équation (3.185)], pour quelle valeur de t la vitesse
de l’objet est-elle maximale (en valeur absolue)?
3-32. (a) Quelle est la solution d’équilibre de l’équation différentielle
ordinaire (3.211) si l’on suppose que la fonction E(t) est une constante?
(b) Pour quelles fonctions E(t) (non nécessairement constantes) cette
solution satisfait-elle aussi à (3.210)?
3.10 Solutions en séries entières
Dans la section 3.5, nous avons considéré l’équation différentielle ordi-
naire (3.63):
y′′(x) + p(x)y′(x) + q(x)y(x) = 0,
dans laquelle les fonctions p et q ne sont pas (nécessairement) des cons-
tantes. Nous avons résolu l’équation d’Euler (3.65):
x2y′′(x) + p0xy′(x) + q0 y(x) = 0,
3.10 Solutions en séries entières 111
où p0 et q0 sont des constantes, pour x ∈ (0,∞) (car l’origine est un
point singulier de cette équation). Nous avons réussi à exprimer la solu-
tion y(x) à l’aide de fonctions élémentaires en effectuant un changement
de variable qui transforme l’équation (3.65) en une équation différen-
tielle à coefficients constants. Cependant, en général, il n’est pas possi-
ble de trouver la solution de l’équation (3.63) sous la forme de fonctions
élémentaires.
Une technique qui peut être utilisée pour résoudre une équation du
type (3.63) consiste à chercher une solution qui est une série entière.
Nous allons rappeler brièvement les principaux résultats sur ces séries.
Définition 3.10.1. Une série entière est une série infinie de la forme
S(x) ≡
∞∑
n=0
anx
n = a0 + a1x + a2x2 + . . . , (3.215)
où les an sont des constantes.
Remarque. La série entière ci-dessus est centrée en x = 0. On peut
généraliser la définition en remplaçant x par x − x0 dans la série, de
sorte que
S(x − x0) ≡
∞∑
n=0
an (x − x0)n = a0 + a1 (x − x0) + a2 (x − x0)2 + . . . .
(3.216)
Toutefois, il suffit de faire le changement de variable y = x − x0 pour
se ramener à la série centrée en 0.
Définition 3.10.2. On dit que la série entière S(x) converge en un
point x si la limite
lim
k→∞
k∑
n=0
anx
n
existe. Dans ce cas, la somme de la série est cette limite.
On s’intéresse aux valeurs de x pour lesquelles la série entière S(x)
converge. Puisque S(0) = a0, cette série converge au moins pour x = 0.
En fait, il se peut que S(x) ne converge que pour x = 0, par exemple
dans le cas où an = n!, comme nous le montrerons plus loin. Certaines
séries convergent pour tout x ∈ R, par exemple la série
solutions en séries entières w 111
110 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
Dans le cas de l’équation (3.210), les conditions deviennent
I(t0) = I0 et I ′(t0) = I ′0. (3.213)
À partir de (3.207), on déduit que
I ′0 =
E(t0) − RI0 − (Q0/C)
L
. (3.214)
On voit que, du point de vue mathématique, trouver le flux du
courant dans le circuit considéré est équivalent à obtenir la fonction
qui décrit le déplacement d’un objet suspendu à un ressort, comme
nous l’avons fait précédemment.
Exercices
3-29. Dans le problème des oscillations amorties (non forcées),
(a) calculer la fonction y(t) si c = k = m = 10, y(0) = 2 et y′(0) = 0;
(b) pour quelle(s) valeur(s) de t a-t-on y(t) = 0?
3-30. Dans le problème précédent, quelle est la vitesse de l’objet à
l’instant t (> 0) si l’on a plutôt: y(0) = 2, y′(0) = 1, c = 1, k = 2 et
m = 3?
3-31. Dans le cas de l’amortissement critique, avec y(0) = y0 et
y′(0) = 0 [voir l’équation (3.185)], pour quelle valeur de t la vitesse
de l’objet est-elle maximale (en valeur absolue)?
3-32. (a) Quelle est la solution d’équilibre de l’équation différentielle
ordinaire (3.211) si l’on suppose que la fonction E(t) est une constante?
(b) Pour quelles fonctions E(t) (non nécessairement constantes) cette
solution satisfait-elle aussi à (3.210)?
3.10 Solutions en séries entières
Dans la section 3.5, nous avons considéré l’équation différentielle ordi-
naire (3.63):
y′′(x) + p(x)y′(x) + q(x)y(x) = 0,
dans laquelle les fonctions p et q ne sont pas (nécessairement) des cons-
tantes. Nous avons résolu l’équation d’Euler (3.65):
x2y′′(x) + p0xy′(x) + q0 y(x) = 0,
3.10 Solutions en séries entières 111
où p0 et q0 sont des constantes, pour x ∈ (0,∞) (car l’origine est un
point singulier de cette équation). Nous avons réussi à exprimer la solu-
tion y(x) à l’aide de fonctions élémentaires en effectuant un changement
de variable qui transforme l’équation (3.65) en une équation différen-
tielle à coefficients constants. Cependant, en général, il n’est pas possi-
ble de trouver la solution de l’équation (3.63) sous la forme de fonctions
élémentaires.
Une technique qui peut être utilisée pour résoudre une équation du
type (3.63) consiste à chercher une solution qui est une série entière.
Nous allons rappeler brièvement les principaux résultats sur ces séries.
Définition 3.10.1. Une série entière est une série infinie de la forme
S(x) ≡
∞∑
n=0
anx
n = a0 + a1x + a2x2 + . . . , (3.215)
où les an sont des constantes.
Remarque. La série entière ci-dessus est centrée en x = 0. On peut
généraliser la définition en remplaçant x par x − x0 dans la série, de
sorte que
S(x − x0) ≡
∞∑
n=0
an (x − x0)n = a0 + a1 (x − x0) + a2 (x − x0)2 + . . . .
(3.216)
Toutefois, il suffit de faire le changement de variable y = x − x0 pour
se ramener à la série centrée en 0.
Définition 3.10.2. On dit que la série entière S(x) converge en un
point x si la limite
lim
k→∞
k∑
n=0
anx
n
existe. Dans ce cas, la somme de la série est cette limite.
On s’intéresse aux valeurs de x pour lesquelles la série entière S(x)
converge. Puisque S(0) = a0, cette série converge au moins pour x = 0.
En fait, il se peut que S(x) ne converge que pour x = 0, par exemple
dans le cas où an = n!, comme nous le montrerons plus loin. Certaines
séries convergent pour tout x ∈ R, par exemple la série
solutions en séries entières
112 w équations différ entielles
112 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
S(x) ≡
∞∑
n=0
1
n!
xn, (3.217)
laquelle définit la fonction exponentielle ex. Les autres séries convergent
si |x| < R, et divergent si |x| > R.
Définition 3.10.3. La constante R ∈ [0,∞] pour laquelle S(x) con-
verge si |x| < R, et diverge si |x| > R, est appelée rayon de conver-
gence de la série entière. De plus, l’intervalle (−R,R) est l’intervalle
de convergence de la série.
Remarques. i) Si la série entière ne converge que pour x = 0, alors
R = 0, tandis que R = ∞ si elle converge pour tout x réel.
ii) La série entière peut converger ou ne pas converger (c’est-à-dire
diverger) lorsque |x| = R. Les points x = R et x = −R doivent être
considérés séparément. Donc, l’intervalle de convergence de la série peut
inclure (ou ne pas inclure) les points limites de l’intervalle (−R,R).
Maintenant, un critère très utile, appelé test du rapport et dû à
d’Alembert, pour déterminer le rayon de convergence d’une série entière
est donné dans la proposition suivante.
Proposition 3.10.1. (Test du rapport) Supposons que an �= 0 pour
tout n dans la série entière S(x). Alors
R = lim
n→∞
∣∣∣∣
an
an+1
∣∣∣∣ . (3.218)
Exemple 3.10.1. Dans le cas de la série entière pour laquelle an = n!,
on calcule
lim
n→∞
∣∣∣∣
an
an+1
∣∣∣∣ = limn→∞
1
n + 1
= 0, (3.219)
ce qui prouve que cette série ne converge que pour x = 0, tel que
mentionné ci-dessus. Par contre, si an = 1/n!, alors on a:
lim
n→∞
∣∣∣∣
an
an+1
∣∣∣∣ = limn→∞n + 1 = ∞. (3.220)
Ainsi, la série qui définit la fonction ex est effectivement convergente
pour tout x ∈ R. ♦
3.10Solutions en séries entières 113
Exemple 3.10.2. Soit
S(x) =
∞∑
n=1
xn
n
.
Puisque an = 1/n pour n = 1, 2, . . . , on calcule
R = lim
n→∞
∣∣∣∣
an
an+1
∣∣∣∣ = limn→∞
n + 1
n
= 1. (3.221)
Il s’ensuit que la série S(x) converge pour −1 < x < 1. Si x = 1, la
série diverge, car on a alors:
S(x) =
∞∑
n=1
1
n
= ∞.
En effet, dans ce cas S(x) est la série harmonique, laquelle diverge.
Finalement, on peut montrer que
∞∑
n=1
(−1)n
n
< ∞.
Ainsi, si x = −1, la série entière converge. Par conséquent, S(x) con-
verge dans l’intervalle [−1, 1). ♦
Remarque. Si
∞∑
n=0
|anxn| =
∞∑
n=0
|an| |xn| < ∞,
on dit que la série
∑∞
n=0 anx
n converge absolument. On peut montrer
qu’une série qui converge absolument est aussi convergente. Toutefois,
l’inverse n’est pas toujours vrai, comme dans l’exemple ci-dessus.
Ensuite, supposons que le rayon de convergence de la série entière
S(x) est R > 0. On peut alors affirmer que S(x) est une fonction qui est
continue, et qui possède des dérivées de tout ordre pour x ∈ (−R,R).
De plus, on peut écrire que
dk
dxk
S(x) =
∞∑
n=0
an
dk
dxk
xn =
∞∑
n=k
an
n!
(n − k)!
xn−k. (3.222)
C’est-à-dire que l’on peut dériver la série terme à terme.
solutions en séries entières w 113
112 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
S(x) ≡
∞∑
n=0
1
n!
xn, (3.217)
laquelle définit la fonction exponentielle ex. Les autres séries convergent
si |x| < R, et divergent si |x| > R.
Définition 3.10.3. La constante R ∈ [0,∞] pour laquelle S(x) con-
verge si |x| < R, et diverge si |x| > R, est appelée rayon de conver-
gence de la série entière. De plus, l’intervalle (−R,R) est l’intervalle
de convergence de la série.
Remarques. i) Si la série entière ne converge que pour x = 0, alors
R = 0, tandis que R = ∞ si elle converge pour tout x réel.
ii) La série entière peut converger ou ne pas converger (c’est-à-dire
diverger) lorsque |x| = R. Les points x = R et x = −R doivent être
considérés séparément. Donc, l’intervalle de convergence de la série peut
inclure (ou ne pas inclure) les points limites de l’intervalle (−R,R).
Maintenant, un critère très utile, appelé test du rapport et dû à
d’Alembert, pour déterminer le rayon de convergence d’une série entière
est donné dans la proposition suivante.
Proposition 3.10.1. (Test du rapport) Supposons que an �= 0 pour
tout n dans la série entière S(x). Alors
R = lim
n→∞
∣∣∣∣
an
an+1
∣∣∣∣ . (3.218)
Exemple 3.10.1. Dans le cas de la série entière pour laquelle an = n!,
on calcule
lim
n→∞
∣∣∣∣
an
an+1
∣∣∣∣ = limn→∞
1
n + 1
= 0, (3.219)
ce qui prouve que cette série ne converge que pour x = 0, tel que
mentionné ci-dessus. Par contre, si an = 1/n!, alors on a:
lim
n→∞
∣∣∣∣
an
an+1
∣∣∣∣ = limn→∞n + 1 = ∞. (3.220)
Ainsi, la série qui définit la fonction ex est effectivement convergente
pour tout x ∈ R. ♦
3.10 Solutions en séries entières 113
Exemple 3.10.2. Soit
S(x) =
∞∑
n=1
xn
n
.
Puisque an = 1/n pour n = 1, 2, . . . , on calcule
R = lim
n→∞
∣∣∣∣
an
an+1
∣∣∣∣ = limn→∞
n + 1
n
= 1. (3.221)
Il s’ensuit que la série S(x) converge pour −1 < x < 1. Si x = 1, la
série diverge, car on a alors:
S(x) =
∞∑
n=1
1
n
= ∞.
En effet, dans ce cas S(x) est la série harmonique, laquelle diverge.
Finalement, on peut montrer que
∞∑
n=1
(−1)n
n
< ∞.
Ainsi, si x = −1, la série entière converge. Par conséquent, S(x) con-
verge dans l’intervalle [−1, 1). ♦
Remarque. Si
∞∑
n=0
|anxn| =
∞∑
n=0
|an| |xn| < ∞,
on dit que la série
∑∞
n=0 anx
n converge absolument. On peut montrer
qu’une série qui converge absolument est aussi convergente. Toutefois,
l’inverse n’est pas toujours vrai, comme dans l’exemple ci-dessus.
Ensuite, supposons que le rayon de convergence de la série entière
S(x) est R > 0. On peut alors affirmer que S(x) est une fonction qui est
continue, et qui possède des dérivées de tout ordre pour x ∈ (−R,R).
De plus, on peut écrire que
dk
dxk
S(x) =
∞∑
n=0
an
dk
dxk
xn =
∞∑
n=k
an
n!
(n − k)!
xn−k. (3.222)
C’est-à-dire que l’on peut dériver la série terme à terme.
114 w équations différ entielles
114 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
On déduit de l’équation précédente que
dk
dxk
S(x)
∣∣∣∣
x=0
= ak k!. (3.223)
Il s’ensuit que
ak =
S(k)(0)
k!
. (3.224)
Remarques. i) (Rappel) La série
SM (x) :=
∞∑
n=0
S(n)(0)
n!
xn (3.225)
est la série de Maclaurin de la fonction S. De plus,
ST (x) :=
∞∑
n=0
S(n)(x0)
n!
(x − x0)n (3.226)
est la série de Taylor de la fonction S autour de x = x0. Si la fonction S
peut être exprimée sous la forme d’une série entière dans un voisinage
de x0, alors on dit qu’elle est analytique en x0 (voir la section 3.5).
ii) On peut aussi intégrer S(x) terme à terme à l’intérieur de l’intervalle
de convergence de la série.
Maintenant, soit
Sa(x) :=
∞∑
n=0
anx
n (3.227)
et
Sb(x) :=
∞∑
n=0
bnx
n (3.228)
deux séries entières qui convergent pour |x| < R. Alors on peut écrire
que
Sa(x) ± Sb(x) =
∞∑
n=0
(an ± bn)xn si |x| < R, (3.229)
et
Sa(x)Sb(x) =
∞∑
n=0
cnx
n si |x| < R, (3.230)
3.10 Solutions en séries entières 115
où
cn :=
n∑
k=0
ak bn−k =
n∑
k=0
an−k bk. (3.231)
Finalement, une question importante est la suivante: sous quelles
conditions une fonction continue f qui possède des dérivées de tout
ordre pour x ∈ (−R,R) peut-elle être exprimée en série entière? Pour
répondre à cette question, on peut utiliser la formule
f(x) =
n∑
k=0
f (k)(0)
k!
xk +
f (n+1)(ξ)
(n + 1)!
xn+1 (3.232)
(appelée formule de Taylor), où ξ ∈ (0, x). On peut montrer que si
lim
n→∞
f (n+1)(ξ)
(n + 1)!
xn+1 = 0, (3.233)
alors on peut exprimer la fonction f en série de Maclaurin.
Remarque. Le terme
Rn :=
f (n+1)(ξ)
(n + 1)!
xn+1 (3.234)
est le reste de Lagrange.
La méthode de solution en série entière consiste à supposer que la
fonction y dans l’équation (3.63) peut être écrite sous la forme d’une
série, c’est-à-dire
y(x) =
∞∑
n=0
anx
n, (3.235)
qui converge dans un certain intervalle (−R,R), où R > 0. Ensuite,
on remplace y, y′ et y′′ par les séries correspondantes dans (3.63), et
on essaie de déterminer les coefficients an. Nous allons illustrer cette
méthode à l’aide d’un exemple simple.
Exemple 3.10.3. Considérons l’équation différentielle linéaire d’ordre
deux à coefficients constants
y′′(x) − y(x) = 0. (3.236)
Il est facile de montrer que sa solution générale est
y(x) = c1ex + c2e−x.
solutions en séries entières w 115
114 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
On déduit de l’équation précédente que
dk
dxk
S(x)
∣∣∣∣
x=0
= ak k!. (3.223)
Il s’ensuit que
ak =
S(k)(0)
k!
. (3.224)
Remarques. i) (Rappel) La série
SM (x) :=
∞∑
n=0
S(n)(0)
n!
xn (3.225)
est la série de Maclaurin de la fonction S. De plus,
ST (x) :=
∞∑
n=0
S(n)(x0)
n!
(x − x0)n (3.226)
est la série de Taylor de la fonction S autour de x = x0. Si la fonction S
peut être exprimée sous la forme d’une série entière dans un voisinage
de x0, alors on dit qu’elle est analytique en x0 (voir la section 3.5).
ii) On peut aussi intégrer S(x) terme à terme à l’intérieur de l’intervalle
de convergence de la série.
Maintenant, soit
Sa(x) :=
∞∑
n=0
anx
n (3.227)
et
Sb(x) :=
∞∑
n=0
bnx
n (3.228)
deux séries entières qui convergent pour |x| < R. Alors on peut écrire
que
Sa(x) ± Sb(x) =
∞∑
n=0
(an ± bn)xn si |x| < R, (3.229)
et
Sa(x)Sb(x) =
∞∑
n=0
cnx
n si |x| < R, (3.230)
3.10 Solutions en séries entières 115
où
cn :=
n∑
k=0
ak bn−k =
n∑
k=0
an−k bk. (3.231)
Finalement, une question importante est la suivante: sous quelles
conditions une fonction continue f qui possède des dérivées de tout
ordre pour x ∈ (−R,R) peut-elle être exprimée en série entière? Pour
répondre à cette question, on peut utiliser la formule
f(x) =
n∑
k=0
f (k)(0)
k!
xk +
f (n+1)(ξ)
(n + 1)!
xn+1 (3.232)
(appelée formule de Taylor), où ξ ∈ (0, x). On peut montrer quesi
lim
n→∞
f (n+1)(ξ)
(n + 1)!
xn+1 = 0, (3.233)
alors on peut exprimer la fonction f en série de Maclaurin.
Remarque. Le terme
Rn :=
f (n+1)(ξ)
(n + 1)!
xn+1 (3.234)
est le reste de Lagrange.
La méthode de solution en série entière consiste à supposer que la
fonction y dans l’équation (3.63) peut être écrite sous la forme d’une
série, c’est-à-dire
y(x) =
∞∑
n=0
anx
n, (3.235)
qui converge dans un certain intervalle (−R,R), où R > 0. Ensuite,
on remplace y, y′ et y′′ par les séries correspondantes dans (3.63), et
on essaie de déterminer les coefficients an. Nous allons illustrer cette
méthode à l’aide d’un exemple simple.
Exemple 3.10.3. Considérons l’équation différentielle linéaire d’ordre
deux à coefficients constants
y′′(x) − y(x) = 0. (3.236)
Il est facile de montrer que sa solution générale est
y(x) = c1ex + c2e−x.
116 w équations différ entielles
116 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
Nous allons essayer de retrouver cette solution en utilisant la méthode
de solution en série entière. Nous obtiendrons une solution formelle de
l’équation différentielle considérée, jusqu’à ce que nous ayons démontré
que la série entière est convergente pour |x| < R, avec R > 0.
On a:
y′′(x) =
d2
dx2
(
a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 + . . .
)
= 2a2 + 6a3x + 12a4x2 + . . . =
∞∑
n=0
(n + 2)(n + 1)an+2xn.
Par conséquent, on cherche des coefficients an, n = 0, 1, . . ., tels que
0 =
∞∑
n=0
(n + 2)(n + 1)an+2xn −
∞∑
n=0
anx
n
=⇒ 0 =
∞∑
n=0
[(n + 2)(n + 1)an+2 − an] xn.
Puisque la série entière ci-dessus doit être nulle pour toute valeur
de x ∈ (−R,R), on obtient la relation de récurrence suivante:
(n + 2)(n + 1)an+2 − an = 0 pour n = 0, 1, . . . .
Notons que cette relation nous permet d’exprimer tous les coefficients
d’indice n pair en fonction de a0, et tous les coefficients d’indice n
impair en fonction de a1. On a:
n = 0 =⇒ a2 =
1
2 × 1
a0,
n = 2 =⇒ a4 =
1
4 × 3
a2 =
1
4 × 3 × 2 × 1
a0,
etc.
On peut montrer, par induction mathématique, que si n = 2m, où
m ∈ {0, 1, 2, . . .}, alors
an = a2m =
1
(2m)!
a0.
De même, on trouve que si n = 2m + 1, alors
an = a2m+1 =
1
(2m + 1)!
a1.
3.10 Solutions en séries entières 117
Ainsi, la solution obtenue peut s’écrire comme suit:
y(x) =
∞∑
m=0
1
(2m)!
a0x
2m +
∞∑
m=0
1
(2m + 1)!
a1x
2m+1
:= a0y0(x) + a1y1(x). (3.237)
On voit que les coefficients a0 et a1 sont arbitraires. De plus, en
utilisant le test du rapport, on trouve que les séries y0(x) et y1(x)
convergent pour tout x ∈ R. Par conséquent, on peut affirmer que la
solution obtenue est valable pour tout x réel. Finalement, étant donné
que les fonctions y0(x) et y1(x) sont linéairement indépendantes (car on
ne peut pas écrire que y1(x) = cy0(x) pour une constante c quelconque),
on peut affirmer que la solution générale de l’équation différentielle
(3.236) est donnée par l’équation (3.237).
Si l’on choisit les constantes a0 = a1 = 1, on obtient que
y(x) =
∞∑
m=0
1
(2m)!
x2m +
∞∑
m=0
1
(2m + 1)!
x2m+1
=
∞∑
n=0
1
n!
xn = ex,
tandis qu’avec a0 = 1 et a1 = −1, on obtient:
y(x) =
∞∑
m=0
1
(2m)!
x2m −
∞∑
m=0
1
(2m + 1)!
x2m+1
=
∞∑
n=0
(−1)n
n!
xn = e−x.
Ainsi, on retrouve les solutions ex et e−x en choisissant les constantes
a0 et a1 appropriées. ♦
Remarques. i) Dans l’exemple ci-dessus, on a pu retrouver des solu-
tions qui sont des fonctions élémentaires. Cependant, généralement on
ne peut pas trouver des fonctions élémentaires qui correspondent aux
séries entières obtenues.
ii) En pratique, la somme finie
∑k
n=0 anx
n peut être une bonne appro-
ximation de la solution pour x suffisamment petit (en valeur absolue),
si k est assez grand.
iii) On peut aussi utiliser la formule (3.224) pour obtenir (au moins) les
premiers termes de la série qui définit la solution y(x). On a d’abord:
solutions en séries entières w 117
116 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
Nous allons essayer de retrouver cette solution en utilisant la méthode
de solution en série entière. Nous obtiendrons une solution formelle de
l’équation différentielle considérée, jusqu’à ce que nous ayons démontré
que la série entière est convergente pour |x| < R, avec R > 0.
On a:
y′′(x) =
d2
dx2
(
a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 + . . .
)
= 2a2 + 6a3x + 12a4x2 + . . . =
∞∑
n=0
(n + 2)(n + 1)an+2xn.
Par conséquent, on cherche des coefficients an, n = 0, 1, . . ., tels que
0 =
∞∑
n=0
(n + 2)(n + 1)an+2xn −
∞∑
n=0
anx
n
=⇒ 0 =
∞∑
n=0
[(n + 2)(n + 1)an+2 − an] xn.
Puisque la série entière ci-dessus doit être nulle pour toute valeur
de x ∈ (−R,R), on obtient la relation de récurrence suivante:
(n + 2)(n + 1)an+2 − an = 0 pour n = 0, 1, . . . .
Notons que cette relation nous permet d’exprimer tous les coefficients
d’indice n pair en fonction de a0, et tous les coefficients d’indice n
impair en fonction de a1. On a:
n = 0 =⇒ a2 =
1
2 × 1
a0,
n = 2 =⇒ a4 =
1
4 × 3
a2 =
1
4 × 3 × 2 × 1
a0,
etc.
On peut montrer, par induction mathématique, que si n = 2m, où
m ∈ {0, 1, 2, . . .}, alors
an = a2m =
1
(2m)!
a0.
De même, on trouve que si n = 2m + 1, alors
an = a2m+1 =
1
(2m + 1)!
a1.
3.10 Solutions en séries entières 117
Ainsi, la solution obtenue peut s’écrire comme suit:
y(x) =
∞∑
m=0
1
(2m)!
a0x
2m +
∞∑
m=0
1
(2m + 1)!
a1x
2m+1
:= a0y0(x) + a1y1(x). (3.237)
On voit que les coefficients a0 et a1 sont arbitraires. De plus, en
utilisant le test du rapport, on trouve que les séries y0(x) et y1(x)
convergent pour tout x ∈ R. Par conséquent, on peut affirmer que la
solution obtenue est valable pour tout x réel. Finalement, étant donné
que les fonctions y0(x) et y1(x) sont linéairement indépendantes (car on
ne peut pas écrire que y1(x) = cy0(x) pour une constante c quelconque),
on peut affirmer que la solution générale de l’équation différentielle
(3.236) est donnée par l’équation (3.237).
Si l’on choisit les constantes a0 = a1 = 1, on obtient que
y(x) =
∞∑
m=0
1
(2m)!
x2m +
∞∑
m=0
1
(2m + 1)!
x2m+1
=
∞∑
n=0
1
n!
xn = ex,
tandis qu’avec a0 = 1 et a1 = −1, on obtient:
y(x) =
∞∑
m=0
1
(2m)!
x2m −
∞∑
m=0
1
(2m + 1)!
x2m+1
=
∞∑
n=0
(−1)n
n!
xn = e−x.
Ainsi, on retrouve les solutions ex et e−x en choisissant les constantes
a0 et a1 appropriées. ♦
Remarques. i) Dans l’exemple ci-dessus, on a pu retrouver des solu-
tions qui sont des fonctions élémentaires. Cependant, généralement on
ne peut pas trouver des fonctions élémentaires qui correspondent aux
séries entières obtenues.
ii) En pratique, la somme finie
∑k
n=0 anx
n peut être une bonne appro-
ximation de la solution pour x suffisamment petit (en valeur absolue),
si k est assez grand.
iii) On peut aussi utiliser la formule (3.224) pour obtenir (au moins) les
premiers termes de la série qui définit la solution y(x). On a d’abord:
118 w équations différ entielles
118 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
a0 =
y(0)(0)
0!
= y(0)
et
a1 =
y(1)(0)
1!
= y′(0).
De plus, on peut écrire [à partir de l’équation (3.236)] que
y′′(0) − y(0) = 0 =⇒ a2 =
y′′(0)
2!
=
a0
2!
.
Ensuite, si l’on dérive l’équation (3.236), on obtient que
y′′′(x) − y′(x) = 0,
d’où l’on déduit que
y′′′(0) − y′(0) = 0 =⇒ a3 =
y′′′(0)
3!
=
a1
3!
.
De même,
y(4)(0) − y′′(0) = 0 =⇒ a4 =
y(4)(0)
4!
=
y′′(0)
4!
=
y(0)
4!
=
a0
4!
,
etc. Dans cet exemple, on peut en fait retrouver facilement les formules
générales pour les coefficients an pairs et impairs obtenues ci-dessus.
Puisque les fonctions p et q dans l’équation différentielle (3.236) sont
des constantes, l’origine est un point ordinaire (voir la définition 3.5.2)
de cette équation. On peut démontrer le théorème suivant.
Théorème 3.10.1. Supposons que x0 est un point ordinaire de l’équa-
tion différentielle (3.63). Il existe une unique solution y(x) de cette
équation qui
1) satisfait à cette équation dans un voisinage de x0;
2) est analytique en x0;3) satisfait aux conditions initiales y(x0) = a0 et y′(x0) = a1, où a0 et
a1 sont des constantes arbitraires.
De plus, si les fonctions p(x) et q(x) peuvent être développées en
séries entières qui convergent pour x−x0 dans l’intervalle (−R,R), où
R > 0, alors la solution y(x) peut aussi être exprimée par une série
entière (centrée en x0) dont le rayon de convergence est R.
3.10 Solutions en séries entières 119
Considérons finalement l’équation différentielle d’ordre deux, linéaire
et homogène
l(x)y′′(x) + p(x)y′(x) + q(x)y(x) = 0, (3.238)
où les fonctions l, p et q sont des polynômes. Supposons que x0 est un
point ordinaire de cette équation et que
y(x) =
∞∑
n=0
an (x − x0)n (3.239)
est une solution en série de l’équation autour de x0. On peut montrer
que le rayon de convergence de la série est au moins aussi grand que la
distance entre x0 et le point singulier de l’équation le plus proche.
Exemple 3.10.4. Soit
(x3 + x2 + x + 1)y′′(x) + xy′(x) + (x − 2)y(x) = 0.
Étant donné que l(1) = 4, on peut affirmer que x0 = 1 est un point
ordinaire de cette équation. De plus, on peut écrire que
x3 + x2 + x + 1 = (x + 1)(x2 + 1).
Il s’ensuit que l’équation possède trois points singuliers: en x = −1 et
x = ±i.
Remarque. Notons que les fonctions p et q sont différentes de zéro en
x = −1, i et −i.
La distance entre 1 et −1 est égale à 2, tandis que la distance entre
1 et ±i est
√
2. Par ce qui précède, on peut conclure que le rayon de
convergence de la série
y(x) =
∞∑
n=0
an (x − 1)n (3.240)
est au moins
√
2.
3.10.1 Équation de Bessel d’ordre zéro
L’équation de Bessel d’ordre ν est
x2y′′(x) + xy′(x) + (x2 − ν2)y(x) = 0, (3.241)
solutions en séries entières w 119
118 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
a0 =
y(0)(0)
0!
= y(0)
et
a1 =
y(1)(0)
1!
= y′(0).
De plus, on peut écrire [à partir de l’équation (3.236)] que
y′′(0) − y(0) = 0 =⇒ a2 =
y′′(0)
2!
=
a0
2!
.
Ensuite, si l’on dérive l’équation (3.236), on obtient que
y′′′(x) − y′(x) = 0,
d’où l’on déduit que
y′′′(0) − y′(0) = 0 =⇒ a3 =
y′′′(0)
3!
=
a1
3!
.
De même,
y(4)(0) − y′′(0) = 0 =⇒ a4 =
y(4)(0)
4!
=
y′′(0)
4!
=
y(0)
4!
=
a0
4!
,
etc. Dans cet exemple, on peut en fait retrouver facilement les formules
générales pour les coefficients an pairs et impairs obtenues ci-dessus.
Puisque les fonctions p et q dans l’équation différentielle (3.236) sont
des constantes, l’origine est un point ordinaire (voir la définition 3.5.2)
de cette équation. On peut démontrer le théorème suivant.
Théorème 3.10.1. Supposons que x0 est un point ordinaire de l’équa-
tion différentielle (3.63). Il existe une unique solution y(x) de cette
équation qui
1) satisfait à cette équation dans un voisinage de x0;
2) est analytique en x0;
3) satisfait aux conditions initiales y(x0) = a0 et y′(x0) = a1, où a0 et
a1 sont des constantes arbitraires.
De plus, si les fonctions p(x) et q(x) peuvent être développées en
séries entières qui convergent pour x−x0 dans l’intervalle (−R,R), où
R > 0, alors la solution y(x) peut aussi être exprimée par une série
entière (centrée en x0) dont le rayon de convergence est R.
3.10 Solutions en séries entières 119
Considérons finalement l’équation différentielle d’ordre deux, linéaire
et homogène
l(x)y′′(x) + p(x)y′(x) + q(x)y(x) = 0, (3.238)
où les fonctions l, p et q sont des polynômes. Supposons que x0 est un
point ordinaire de cette équation et que
y(x) =
∞∑
n=0
an (x − x0)n (3.239)
est une solution en série de l’équation autour de x0. On peut montrer
que le rayon de convergence de la série est au moins aussi grand que la
distance entre x0 et le point singulier de l’équation le plus proche.
Exemple 3.10.4. Soit
(x3 + x2 + x + 1)y′′(x) + xy′(x) + (x − 2)y(x) = 0.
Étant donné que l(1) = 4, on peut affirmer que x0 = 1 est un point
ordinaire de cette équation. De plus, on peut écrire que
x3 + x2 + x + 1 = (x + 1)(x2 + 1).
Il s’ensuit que l’équation possède trois points singuliers: en x = −1 et
x = ±i.
Remarque. Notons que les fonctions p et q sont différentes de zéro en
x = −1, i et −i.
La distance entre 1 et −1 est égale à 2, tandis que la distance entre
1 et ±i est
√
2. Par ce qui précède, on peut conclure que le rayon de
convergence de la série
y(x) =
∞∑
n=0
an (x − 1)n (3.240)
est au moins
√
2.
3.10.1 Équation de Bessel d’ordre zéro
L’équation de Bessel d’ordre ν est
x2y′′(x) + xy′(x) + (x2 − ν2)y(x) = 0, (3.241)
120 w équations différ entielles
120 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
où ν est un nombre réel non négatif. Dans cette sous-section, on
s’intéresse au cas où ν = 0, de sorte que
x2y′′(x) + xy′(x) + x2y(x) = 0. (3.242)
Le point x = 0 est un point singulier régulier pour cette équation. Nous
allons chercher une solution en série entière centrée en 0. En procédant
comme dans l’exemple 3.10.3, on obtient que
y′(x) =
d
dx
(
a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 + . . .
)
= a1 + 2a2x + 3a3x2 + . . . =
∞∑
n=0
(n + 1)an+1xn (3.243)
et
y′′(x) =
∞∑
n=0
(n + 2)(n + 1)an+2xn. (3.244)
En substituant ces expressions dans l’équation différentielle (3.242),
on trouve que les coefficients an, n = 0, 1, . . ., doivent être choisis de
façon que
0 =
∞∑
n=0
(n + 2)(n + 1)an+2xn+2 +
∞∑
n=0
(n + 1)an+1xn+1 +
∞∑
n=0
anx
n+2
=
∞∑
n=0
(n + 2)(n + 1)an+2xn+2 + a1x +
∞∑
n=1
(n + 1)an+1xn+1
+
∞∑
n=0
anx
n+2
=
∞∑
n=0
(n + 2)(n + 1)an+2xn+2 + a1x +
∞∑
n=0
(n + 2)an+2xn+2
+
∞∑
n=0
anx
n+2. (3.245)
Il s’ensuit que
0 = a1x +
∞∑
n=0
[(n + 2)(n + 1)an+2 + (n + 2)an+2 + an] xn+2
= a1x +
∞∑
n=0
[
(n + 2)2an+2 + an
]
xn+2. (3.246)
3.10 Solutions en séries entières 121
Puisque les coefficients de toutes les puissances de x doivent être
nuls, on peut conclure que a1 = 0, et on obtient la relation de récurrence
suivante entre les coefficients de la série entière:
(n + 2)2an+2 = −an pour n = 0, 1, 2, . . . . (3.247)
Cette relation implique que les coefficients a2m+1 sont nuls pour tout
m ∈ {0, 1, 2, . . .}. On peut donc supposer que n = 2m, de sorte que
(2m + 2)2a2m+2 = −a2m pour m = 0, 1, 2, . . . . (3.248)
On a:
m = 0 =⇒ a2 = −
1
22
a0, (3.249)
m = 1 =⇒ a4 = −
1
42
a2 =
1
42 × 22
a0, (3.250)
m = 2 =⇒ a6 = −
1
62
a4 = −
1
62 × 42 × 22
a0, (3.251)
etc.
En général, on peut écrire que
a2m = (−1)m
1
(2m)2 × (2m − 2)2 × · · · × 22
a0
= (−1)m 1∏m
k=1(2k)2
a0
= (−1)m 1
22m (m!)2
a0. (3.252)
Notons que la formule ci-dessus est aussi valable pour m = 0. Donc, la
solution cherchée est
y(x) = a0
∞∑
m=0
(−1)m 1
22m (m!)2
x2m. (3.253)
Remarques. i) La série entière ci-dessus est la fonction de Bessel de
première espèce d’ordre zéro, dénotée par J0(x). À l’aide du test du
rapport, on peut montrer que la série converge pour toute valeur de x.
Son graphique est présenté dans la figure 3.12. On voit qu’elle ressem-
ble à une fonction cosinus, mais dont l’amplitude décrôıt lorsque x
augmente.
solutions en séries entières w 121
120 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
où ν est un nombre réel non négatif. Dans cette sous-section, on
s’intéresse au cas où ν = 0, de sorte que
x2y′′(x) + xy′(x) + x2y(x) = 0. (3.242)
Le point x = 0 est un point singulier régulier pour cette équation. Nous
allons chercher une solution en série entière centrée en 0. En procédant
comme dans l’exemple 3.10.3, on obtient que
y′(x) =
d
dx
(
a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 + . . .
)
= a1 + 2a2x + 3a3x2 + . . . =
∞∑
n=0
(n + 1)an+1xn (3.243)
et
y′′(x) =
∞∑
n=0
(n + 2)(n + 1)an+2xn. (3.244)
En substituant ces expressions dans l’équation différentielle (3.242),
on trouve que les coefficients an, n = 0, 1, . . ., doivent être choisis de
façon que
0 =
∞∑
n=0
(n + 2)(n + 1)an+2xn+2 +
∞∑
n=0
(n + 1)an+1xn+1 +
∞∑
n=0
anx
n+2
=
∞∑
n=0
(n + 2)(n + 1)an+2xn+2 + a1x +
∞∑
n=1
(n + 1)an+1xn+1
+
∞∑
n=0
anx
n+2
=
∞∑
n=0
(n + 2)(n + 1)an+2xn+2 + a1x +
∞∑
n=0(n + 2)an+2xn+2
+
∞∑
n=0
anx
n+2. (3.245)
Il s’ensuit que
0 = a1x +
∞∑
n=0
[(n + 2)(n + 1)an+2 + (n + 2)an+2 + an] xn+2
= a1x +
∞∑
n=0
[
(n + 2)2an+2 + an
]
xn+2. (3.246)
3.10 Solutions en séries entières 121
Puisque les coefficients de toutes les puissances de x doivent être
nuls, on peut conclure que a1 = 0, et on obtient la relation de récurrence
suivante entre les coefficients de la série entière:
(n + 2)2an+2 = −an pour n = 0, 1, 2, . . . . (3.247)
Cette relation implique que les coefficients a2m+1 sont nuls pour tout
m ∈ {0, 1, 2, . . .}. On peut donc supposer que n = 2m, de sorte que
(2m + 2)2a2m+2 = −a2m pour m = 0, 1, 2, . . . . (3.248)
On a:
m = 0 =⇒ a2 = −
1
22
a0, (3.249)
m = 1 =⇒ a4 = −
1
42
a2 =
1
42 × 22
a0, (3.250)
m = 2 =⇒ a6 = −
1
62
a4 = −
1
62 × 42 × 22
a0, (3.251)
etc.
En général, on peut écrire que
a2m = (−1)m
1
(2m)2 × (2m − 2)2 × · · · × 22
a0
= (−1)m 1∏m
k=1(2k)2
a0
= (−1)m 1
22m (m!)2
a0. (3.252)
Notons que la formule ci-dessus est aussi valable pour m = 0. Donc, la
solution cherchée est
y(x) = a0
∞∑
m=0
(−1)m 1
22m (m!)2
x2m. (3.253)
Remarques. i) La série entière ci-dessus est la fonction de Bessel de
première espèce d’ordre zéro, dénotée par J0(x). À l’aide du test du
rapport, on peut montrer que la série converge pour toute valeur de x.
Son graphique est présenté dans la figure 3.12. On voit qu’elle ressem-
ble à une fonction cosinus, mais dont l’amplitude décrôıt lorsque x
augmente.
122 w équations différ entielles
122 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
x
Fig. 3.12. Fonction J0(x).
ii) Nous avons obtenu une solution de l’équation de Bessel d’ordre zéro,
mais non pas sa solution générale. On peut montrer que cette solution
générale est donnée par
y(x) = c1J0(x) + c2Y0(x), (3.254)
où Y0(x) est la fonction de Bessel de seconde espèce d’ordre zéro. Cette
fonction se comporte comme ln x près de zéro (voir la figure 3.13).
–2.5
–2
–1.5
–1
–0.5
0
0.5
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
x
Fig. 3.13. Fonction Y0(x).
3.11 Méthode de Frobenius 123
Exercices
3-33. Déterminer le rayon de convergence des séries suivantes:
(a)
∑∞
n=1
1
(2n)3
xn;
(b)
∑∞
n=1
(2n)!
22n (n!)2
xn;
(c)
∑∞
n=1
1
(n!)1/2
xn.
3-34. Calculer le reste de Lagrange pour les fonctions (a) f(x) = sinx
et (b) f(x) = ex, puis calculer leurs séries de Maclaurin.
3-35. (a) Utiliser la méthode de solution en série entière pour obtenir
la solution générale de l’équation différentielle ordinaire
y′′(x) + 4y(x) = 0.
(b) Donner le rayon de convergence de la série obtenue en (a).
3-36. On désire trouver la solution générale de
y′′(x) − xy′(x) + 2y(x) = 0
par la méthode de solution en série entière. Donner les six premiers
termes non nuls de la série.
3-37. Supposons que la série entière y(x) =
∑∞
n=0 anx
n+ν est une solu-
tion de l’équation de Bessel d’ordre ν ∈ {0, 1, . . .}. Trouver la relation
entre les coefficients an.
3-38. (a) Résoudre l’équation différentielle ordinaire d’ordre un
y′(x) + y(x) = 1
par la méthode de solution en série entière.
(b) Essayer de reconnâıtre la série obtenue en (a).
3.11 Méthode de Frobenius
Dans la sous-section 3.10.1, nous avons réussi à obtenir une solution de
l’équation de Bessel d’ordre 0, soit
méthode de frobenius w 123
122 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
x
Fig. 3.12. Fonction J0(x).
ii) Nous avons obtenu une solution de l’équation de Bessel d’ordre zéro,
mais non pas sa solution générale. On peut montrer que cette solution
générale est donnée par
y(x) = c1J0(x) + c2Y0(x), (3.254)
où Y0(x) est la fonction de Bessel de seconde espèce d’ordre zéro. Cette
fonction se comporte comme ln x près de zéro (voir la figure 3.13).
–2.5
–2
–1.5
–1
–0.5
0
0.5
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
x
Fig. 3.13. Fonction Y0(x).
3.11 Méthode de Frobenius 123
Exercices
3-33. Déterminer le rayon de convergence des séries suivantes:
(a)
∑∞
n=1
1
(2n)3
xn;
(b)
∑∞
n=1
(2n)!
22n (n!)2
xn;
(c)
∑∞
n=1
1
(n!)1/2
xn.
3-34. Calculer le reste de Lagrange pour les fonctions (a) f(x) = sinx
et (b) f(x) = ex, puis calculer leurs séries de Maclaurin.
3-35. (a) Utiliser la méthode de solution en série entière pour obtenir
la solution générale de l’équation différentielle ordinaire
y′′(x) + 4y(x) = 0.
(b) Donner le rayon de convergence de la série obtenue en (a).
3-36. On désire trouver la solution générale de
y′′(x) − xy′(x) + 2y(x) = 0
par la méthode de solution en série entière. Donner les six premiers
termes non nuls de la série.
3-37. Supposons que la série entière y(x) =
∑∞
n=0 anx
n+ν est une solu-
tion de l’équation de Bessel d’ordre ν ∈ {0, 1, . . .}. Trouver la relation
entre les coefficients an.
3-38. (a) Résoudre l’équation différentielle ordinaire d’ordre un
y′(x) + y(x) = 1
par la méthode de solution en série entière.
(b) Essayer de reconnâıtre la série obtenue en (a).
3.11 Méthode de Frobenius
Dans la sous-section 3.10.1, nous avons réussi à obtenir une solution de
l’équation de Bessel d’ordre 0, soit
méthode de frobenius
124 w équations différ entielles
124 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
x2y′′(x) + xy′(x) + x2y(x) = 0, (3.255)
sous la forme d’une série entière centrée en 0, et ce, même si l’origine est
un point singulier (régulier) pour cette équation. Cependant, l’équation
différentielle (3.63):
y′′(x) + p(x)y′(x) + q(x)y(x) = 0
peut ne pas posséder de solution en série entière (centrée en 0) si les
fonctions p et q ne sont pas toutes les deux analytiques en x = 0,
de sorte l’origine est un point singulier. S’il s’agit d’un point singulier
régulier, on peut alors utiliser la méthode de Frobenius.
Théorème 3.11.1. Supposons que x = 0 est un point singulier régulier
pour l’équation (3.63). Cette équation possède au moins une solution
de la forme
y(x) = xr
∞∑
n=0
anx
n =
∞∑
n=0
anx
n+r, (3.256)
où a0 �= 0, et r est un nombre complexe quelconque.
Remarques. i) La série définie ci-dessus est appelée série entière généra-
lisée ou série de Frobenius. Si r est un entier non négatif, alors la série
est une série entière.
ii) Une fois que l’on a trouvé la solution y(x) sous la forme d’une
série, il faut théoriquement déterminer pour quelles valeurs de x celle-ci
converge.
Puisque l’origine est un point singulier régulier, on sait (voir la sec-
tion 3.5) qu’on peut écrire l’équation (3.63) comme suit:
y′′(x) +
φ(x)
x
y′(x) +
ψ(x)
x2
y(x) = 0, (3.257)
où φ(x) et ψ(x) sont analytiques en x = 0. Les fonctions φ(x) et ψ(x)
peuvent être développées en séries entières:
φ(x) =
∞∑
n=0
αnx
n et ψ(x) =
∞∑
n=0
βnx
n. (3.258)
Remarque. Si φ(x) [ou ψ(x)] est un polynôme, alors cette fonction est
déjà écrite sous la forme d’un série entière.
3.11 Méthode de Frobenius 125
Maintenant, en général on peut dériver (deux fois) la série en (3.256)
terme à terme. On calcule:
y′(x) =
∞∑
n=0
(n + r)anxn+r−1 (3.259)
et
y′′(x) =
∞∑
n=0
(n + r)(n + r − 1)anxn+r−2. (3.260)
En substituant ces expressions dans l’équation (3.257), on obtient:
0 =
∞∑
n=0
(n + r)(n + r − 1)anxn+r−2
+
( ∞∑
n=0
αnx
n−1
) ( ∞∑
n=0
(n + r)anxn+r−1
)
+
( ∞∑
n=0
βnx
n−2
) ( ∞∑
n=0
anx
n+r
)
. (3.261)
Le coefficient de chacune des puissances de x doit être nul. En particu-
lier, la plus petite puissance de x, soit xr−2, est obtenue lorsque n = 0
dans les sommes ci-dessus. On trouve que
r (r − 1)a0xr−2 + α0 ra0xr−2 + β0a0xr−2 = 0. (3.262)
Il s’ensuit que le nombre r doit satisfaire à l’équation (car a0 �= 0)
r (r − 1) + α0 r + β0 = 0. (3.263)
Définition 3.11.1. L’équation (3.263) est appelée équation indi-
cielle de l’équation différentielle (3.257).
Remarque. On trouve que
α0 = lim
x→0
φ(x) et β0 = lim
x→0
ψ(x). (3.264)Exemple 3.11.1. Dans le cas de l’équation d’Euler:
y′′(x) +
p0
x
y′(x) +
q0
x2
y(x) = 0,
méthode de frobenius w 125
124 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
x2y′′(x) + xy′(x) + x2y(x) = 0, (3.255)
sous la forme d’une série entière centrée en 0, et ce, même si l’origine est
un point singulier (régulier) pour cette équation. Cependant, l’équation
différentielle (3.63):
y′′(x) + p(x)y′(x) + q(x)y(x) = 0
peut ne pas posséder de solution en série entière (centrée en 0) si les
fonctions p et q ne sont pas toutes les deux analytiques en x = 0,
de sorte l’origine est un point singulier. S’il s’agit d’un point singulier
régulier, on peut alors utiliser la méthode de Frobenius.
Théorème 3.11.1. Supposons que x = 0 est un point singulier régulier
pour l’équation (3.63). Cette équation possède au moins une solution
de la forme
y(x) = xr
∞∑
n=0
anx
n =
∞∑
n=0
anx
n+r, (3.256)
où a0 �= 0, et r est un nombre complexe quelconque.
Remarques. i) La série définie ci-dessus est appelée série entière généra-
lisée ou série de Frobenius. Si r est un entier non négatif, alors la série
est une série entière.
ii) Une fois que l’on a trouvé la solution y(x) sous la forme d’une
série, il faut théoriquement déterminer pour quelles valeurs de x celle-ci
converge.
Puisque l’origine est un point singulier régulier, on sait (voir la sec-
tion 3.5) qu’on peut écrire l’équation (3.63) comme suit:
y′′(x) +
φ(x)
x
y′(x) +
ψ(x)
x2
y(x) = 0, (3.257)
où φ(x) et ψ(x) sont analytiques en x = 0. Les fonctions φ(x) et ψ(x)
peuvent être développées en séries entières:
φ(x) =
∞∑
n=0
αnx
n et ψ(x) =
∞∑
n=0
βnx
n. (3.258)
Remarque. Si φ(x) [ou ψ(x)] est un polynôme, alors cette fonction est
déjà écrite sous la forme d’un série entière.
3.11 Méthode de Frobenius 125
Maintenant, en général on peut dériver (deux fois) la série en (3.256)
terme à terme. On calcule:
y′(x) =
∞∑
n=0
(n + r)anxn+r−1 (3.259)
et
y′′(x) =
∞∑
n=0
(n + r)(n + r − 1)anxn+r−2. (3.260)
En substituant ces expressions dans l’équation (3.257), on obtient:
0 =
∞∑
n=0
(n + r)(n + r − 1)anxn+r−2
+
( ∞∑
n=0
αnx
n−1
) ( ∞∑
n=0
(n + r)anxn+r−1
)
+
( ∞∑
n=0
βnx
n−2
) ( ∞∑
n=0
anx
n+r
)
. (3.261)
Le coefficient de chacune des puissances de x doit être nul. En particu-
lier, la plus petite puissance de x, soit xr−2, est obtenue lorsque n = 0
dans les sommes ci-dessus. On trouve que
r (r − 1)a0xr−2 + α0 ra0xr−2 + β0a0xr−2 = 0. (3.262)
Il s’ensuit que le nombre r doit satisfaire à l’équation (car a0 �= 0)
r (r − 1) + α0 r + β0 = 0. (3.263)
Définition 3.11.1. L’équation (3.263) est appelée équation indi-
cielle de l’équation différentielle (3.257).
Remarque. On trouve que
α0 = lim
x→0
φ(x) et β0 = lim
x→0
ψ(x). (3.264)
Exemple 3.11.1. Dans le cas de l’équation d’Euler:
y′′(x) +
p0
x
y′(x) +
q0
x2
y(x) = 0,
126 w équations différ entielles
126 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
les fonctions φ(x) ≡ p0 et ψ(x) ≡ q0 sont des constantes. On peut écrire
que α0 = p0 et β0 = q0. Il s’ensuit que l’équation indicielle est
r (r − 1) + p0 r + q0 = 0.
Notons qu’il s’agit aussi de l’équation caractéristique de l’équation
d’Euler. ♦
Il y a deux racines de l’équation indicielle: r1 et r2. Ces racines sont
appelées exposants du point singulier régulier x = 0 pour l’équation
(3.63). Une solution de la forme en (3.256) est toujours obtenue en
remplaçant r par une de ces deux racines dans l’équation (3.261) et
en déterminant ensuite les constantes an. On trouve que les an doivent
être telles que
0 = [(r + n)(r + n − 1) + (r + n)α0 + β0] an
+
n−1∑
i=0
[(r + i)αn−i + βn−i] ai (3.265)
pour n = 0, 1, . . . . Dans le cas où n = 0, nous retrouvons l’équation
indicielle.
Remarques. i) En pratique, il est souvent plus facile de remplacer direc-
tement la série entière généralisée dans l’équation différentielle con-
sidérée et d’essayer de déterminer les constantes an que de tenter de
les obtenir à partir de la relation ci-dessus.
ii) Si φ(x) ≡ p0 et ψ(x) ≡ q0, de sorte que l’équation (3.257) est
une équation d’Euler-Cauchy, alors αn = βn = 0 pour n = 1, 2, . . . .
L’équation (3.265) devient
0 = [(r + n)(r + n − 1) + (r + n)p0 + q0] an.
De là, on déduit que an = 0 pour n ∈ {1, 2, . . .}, et (avec a0 = 1)
que y1(x) = xr. Cette solution correspond à celle obtenue dans la sec-
tion 3.5.
On peut démontrer le théorème suivant.
Théorème 3.11.2. Supposons que les racines de l’équation indicielle
sont des nombres réels r1 et r2, tels que r1 ≥ r2. Si les fonctions φ(x)
et ψ(x) peuvent être développées en séries entières sur un intervalle
(−R,R), où R > 0, alors l’équation (3.257) possède la solution
3.11 Méthode de Frobenius 127
y1(x) = xr1
∞∑
n=0
anx
n, (3.266)
où a0 �= 0, laquelle converge dans l’intervalle (0, R).
De plus, si r1 − r2 /∈ {0, 1, . . .}, alors
y2(x) = xr2
∞∑
n=0
bnx
n, (3.267)
où b0 �= 0, est une autre solution de (3.257), linéairement indépendante
de y1(x) et valable pour (au moins) x ∈ (0, R). Les constantes bn peu-
vent être obtenues à partir de l’équation (3.265), en replaçant an par
bn (et ai par bi).
Remarques. i) Les racines r1 et r2 peuvent être des nombres complexes
conjugés. Dans ce cas, r1 − r2 est un nombre purement imaginaire,
de sorte que r1 − r2 /∈ {0, 1, . . .}, et on peut obtenir deux solutions
linéairement indépendantes de (3.63). Ces solutions seront complexes.
Pour obtenir des solutions réelles, on peut théoriquement prendre la
partie réelle et la partie imaginaire de chacune des solutions complexes.
Cependant, étant donné que les constantes an seront complexes, cela
peut être difficile.
ii) Si r1 − r2 ∈ {1, 2, . . .}, alors une deuxième solution, y2(x), est de la
forme
y2(x) = γy1(x) lnx + xr2
∞∑
n=0
bnx
n, (3.268)
où la constante γ est parfois nulle.
iii) Si r est une racine double de l’équation indicielle, alors r1 − r2 =
0 ∈ {0, 1, . . .}. Cette fois-ci, la deuxième solution est de la forme
y2(x) = y1(x) lnx + xr
∞∑
n=0
bnx
n, (3.269)
de sorte qu’il y a nécessairement un terme contenant la fonction loga-
rithmique.
iv) Si on reconnâıt la solution en série généralisée y1(x) comme étant
une certaine fonction, par exemple y1(x) = 1/(x + 1), alors on peut
utiliser la méthode de réduction d’ordre pour trouver y2(x). C’est-à-
dire qu’on définit y2(x) = u(x)y1(x), et on cherche la fonction (non
constante) u(x).
méthode de frobenius w 127
126 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
les fonctions φ(x) ≡ p0 et ψ(x) ≡ q0 sont des constantes. On peut écrire
que α0 = p0 et β0 = q0. Il s’ensuit que l’équation indicielle est
r (r − 1) + p0 r + q0 = 0.
Notons qu’il s’agit aussi de l’équation caractéristique de l’équation
d’Euler. ♦
Il y a deux racines de l’équation indicielle: r1 et r2. Ces racines sont
appelées exposants du point singulier régulier x = 0 pour l’équation
(3.63). Une solution de la forme en (3.256) est toujours obtenue en
remplaçant r par une de ces deux racines dans l’équation (3.261) et
en déterminant ensuite les constantes an. On trouve que les an doivent
être telles que
0 = [(r + n)(r + n − 1) + (r + n)α0 + β0] an
+
n−1∑
i=0
[(r + i)αn−i + βn−i] ai (3.265)
pour n = 0, 1, . . . . Dans le cas où n = 0, nous retrouvons l’équation
indicielle.
Remarques. i) En pratique, il est souvent plus facile de remplacer direc-
tement la série entière généralisée dans l’équation différentielle con-
sidérée et d’essayer de déterminer les constantes an que de tenter de
les obtenir à partir de la relation ci-dessus.
ii) Si φ(x) ≡ p0 et ψ(x) ≡ q0, de sorte que l’équation (3.257) est
une équation d’Euler-Cauchy, alors αn = βn = 0 pour n = 1, 2, . . . .
L’équation (3.265) devient
0 = [(r + n)(r + n − 1) + (r + n)p0 + q0] an.
De là, on déduit que an = 0 pour n ∈ {1, 2, . . .}, et (avec a0 = 1)
que y1(x) = xr. Cette solution correspond à celle obtenue dans lasec-
tion 3.5.
On peut démontrer le théorème suivant.
Théorème 3.11.2. Supposons que les racines de l’équation indicielle
sont des nombres réels r1 et r2, tels que r1 ≥ r2. Si les fonctions φ(x)
et ψ(x) peuvent être développées en séries entières sur un intervalle
(−R,R), où R > 0, alors l’équation (3.257) possède la solution
3.11 Méthode de Frobenius 127
y1(x) = xr1
∞∑
n=0
anx
n, (3.266)
où a0 �= 0, laquelle converge dans l’intervalle (0, R).
De plus, si r1 − r2 /∈ {0, 1, . . .}, alors
y2(x) = xr2
∞∑
n=0
bnx
n, (3.267)
où b0 �= 0, est une autre solution de (3.257), linéairement indépendante
de y1(x) et valable pour (au moins) x ∈ (0, R). Les constantes bn peu-
vent être obtenues à partir de l’équation (3.265), en replaçant an par
bn (et ai par bi).
Remarques. i) Les racines r1 et r2 peuvent être des nombres complexes
conjugés. Dans ce cas, r1 − r2 est un nombre purement imaginaire,
de sorte que r1 − r2 /∈ {0, 1, . . .}, et on peut obtenir deux solutions
linéairement indépendantes de (3.63). Ces solutions seront complexes.
Pour obtenir des solutions réelles, on peut théoriquement prendre la
partie réelle et la partie imaginaire de chacune des solutions complexes.
Cependant, étant donné que les constantes an seront complexes, cela
peut être difficile.
ii) Si r1 − r2 ∈ {1, 2, . . .}, alors une deuxième solution, y2(x), est de la
forme
y2(x) = γy1(x) lnx + xr2
∞∑
n=0
bnx
n, (3.268)
où la constante γ est parfois nulle.
iii) Si r est une racine double de l’équation indicielle, alors r1 − r2 =
0 ∈ {0, 1, . . .}. Cette fois-ci, la deuxième solution est de la forme
y2(x) = y1(x) lnx + xr
∞∑
n=0
bnx
n, (3.269)
de sorte qu’il y a nécessairement un terme contenant la fonction loga-
rithmique.
iv) Si on reconnâıt la solution en série généralisée y1(x) comme étant
une certaine fonction, par exemple y1(x) = 1/(x + 1), alors on peut
utiliser la méthode de réduction d’ordre pour trouver y2(x). C’est-à-
dire qu’on définit y2(x) = u(x)y1(x), et on cherche la fonction (non
constante) u(x).
128 w équations différ entielles
128 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
Exemple 3.11.2. Considérons l’équation
(x + 1)y′′(x) − y′(x) + 1
x
y(x) = 0.
L’origine n’est pas un point ordinaire pour celle-ci, car la fonction
q(x) = 1/[x(x + 1)] n’est pas analytique en x = 0. Cependant, on
peut réécrire l’équation comme suit:
y′′(x) +
−x/(x + 1)
x
y′(x) +
x/(x + 1)
x2
y(x) = 0.
Puisque qu’elle est maintenant de la forme de l’équation en (3.257),
avec φ(x) = −x/(x + 1) et ψ(x) = x/(x + 1) qui sont analytiques en
x = 0, on peut affirmer que l’origine est un point régulier singulier pour
l’équation ci-dessus.
Pour déterminer les racines de l’équation indicielle, on développe
d’abord x/(1 + x) en série entière. On a:
x
1 + x
= x
(
1 − x + x2 − . . .
)
= x − x2 + . . . pour |x| < 1,
de sorte que α0 = β0 = 0. Ainsi, l’équation indicielle est
r (r − 1) = 0,
dont les deux racines sont r1 = 1 et r2 = 0.
Remarque. On a bien:
0 = α0 = lim
x→0
− x
x + 1
et 0 = β0 = lim
x→0
x
x + 1
.
Une solution de la forme en (3.256) est obtenue en posant r = 1
dans (3.265) (avec α0 = β0 = 0):
0 = (n + 1)nan +
n−1∑
i=0
[(1 + i)αn−i + βn−i]ai.
Considérons l’équation pour n = 1, soit
0 = 2a1 +
0∑
i=0
[(1 + i)α1−i + β1−i]ai = 2a1 + (α1 + β1)a0.
3.11 Méthode de Frobenius 129
On a:
α1 = −β1 = −1.
De là, on déduit que a1 = 0.
Ensuite, avec n = 2, on obtient que
0 = 6a2 +
1∑
i=0
[(1+ i)α2−i +β2−i]ai = 6a2 +(α2 +β2)a0 +(2α1 +β1)a1.
Puisqu’on peut écrire que
α2i−1 = −β2i−1 = −1 et α2i = −β2i = 1
pour i ∈ {1, 2, . . .}, l’équation ci-dessus devient
0 = 6a2 − a1,
ce qui implique que a2 = a1/6 = 0.
En général, on trouve que an = 0 pour n = 1, 2, . . . . En effet,
on peut vérifier que cette solution satisfait à la forme particulière de
l’équation (3.265) dans notre exemple, car on a alors:
n−1∑
i=0
[(1 + i)αn−i + βn−i]ai = (αn + βn)a0 = 0
(étant donné que αn = −βn pour tout n). Il s’ensuit que la solution
cherchée est donnée par
y1(x) =
∞∑
n=0
anx
n+1 = a0x,
où a0 est une constante non nulle. Cette solution est valable pour tout
x > 0.
Maintenant, comme nous l’avons mentionné ci-dessus, il est souvent
plus facile de calculer les dérivées première et seconde de
y1(x) =
∞∑
n=0
anx
n+1
et de remplacer les expressions obtenues dans l’équation différentielle
originale. Ici, on a:
méthode de frobenius w 129
128 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
Exemple 3.11.2. Considérons l’équation
(x + 1)y′′(x) − y′(x) + 1
x
y(x) = 0.
L’origine n’est pas un point ordinaire pour celle-ci, car la fonction
q(x) = 1/[x(x + 1)] n’est pas analytique en x = 0. Cependant, on
peut réécrire l’équation comme suit:
y′′(x) +
−x/(x + 1)
x
y′(x) +
x/(x + 1)
x2
y(x) = 0.
Puisque qu’elle est maintenant de la forme de l’équation en (3.257),
avec φ(x) = −x/(x + 1) et ψ(x) = x/(x + 1) qui sont analytiques en
x = 0, on peut affirmer que l’origine est un point régulier singulier pour
l’équation ci-dessus.
Pour déterminer les racines de l’équation indicielle, on développe
d’abord x/(1 + x) en série entière. On a:
x
1 + x
= x
(
1 − x + x2 − . . .
)
= x − x2 + . . . pour |x| < 1,
de sorte que α0 = β0 = 0. Ainsi, l’équation indicielle est
r (r − 1) = 0,
dont les deux racines sont r1 = 1 et r2 = 0.
Remarque. On a bien:
0 = α0 = lim
x→0
− x
x + 1
et 0 = β0 = lim
x→0
x
x + 1
.
Une solution de la forme en (3.256) est obtenue en posant r = 1
dans (3.265) (avec α0 = β0 = 0):
0 = (n + 1)nan +
n−1∑
i=0
[(1 + i)αn−i + βn−i]ai.
Considérons l’équation pour n = 1, soit
0 = 2a1 +
0∑
i=0
[(1 + i)α1−i + β1−i]ai = 2a1 + (α1 + β1)a0.
3.11 Méthode de Frobenius 129
On a:
α1 = −β1 = −1.
De là, on déduit que a1 = 0.
Ensuite, avec n = 2, on obtient que
0 = 6a2 +
1∑
i=0
[(1+ i)α2−i +β2−i]ai = 6a2 +(α2 +β2)a0 +(2α1 +β1)a1.
Puisqu’on peut écrire que
α2i−1 = −β2i−1 = −1 et α2i = −β2i = 1
pour i ∈ {1, 2, . . .}, l’équation ci-dessus devient
0 = 6a2 − a1,
ce qui implique que a2 = a1/6 = 0.
En général, on trouve que an = 0 pour n = 1, 2, . . . . En effet,
on peut vérifier que cette solution satisfait à la forme particulière de
l’équation (3.265) dans notre exemple, car on a alors:
n−1∑
i=0
[(1 + i)αn−i + βn−i]ai = (αn + βn)a0 = 0
(étant donné que αn = −βn pour tout n). Il s’ensuit que la solution
cherchée est donnée par
y1(x) =
∞∑
n=0
anx
n+1 = a0x,
où a0 est une constante non nulle. Cette solution est valable pour tout
x > 0.
Maintenant, comme nous l’avons mentionné ci-dessus, il est souvent
plus facile de calculer les dérivées première et seconde de
y1(x) =
∞∑
n=0
anx
n+1
et de remplacer les expressions obtenues dans l’équation différentielle
originale. Ici, on a:
130 w équations différ entielles
130 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
y′1(x) =
∞∑
n=0
(n + 1)anxn et y′′1(x) =
∞∑
n=1
(n + 1)nanxn−1,
de sorte que
(x + 1)
∞∑
n=1
(n + 1)nanxn−1 −
∞∑
n=0
(n + 1)anxn +
1
x
∞∑
n=0
anx
n+1 = 0.
C’est-à-dire que
0 =
∞∑
n=0
[(n + 1)nan + (n + 2)(n + 1)an+1 − (n + 1)an + an]xn
=
∞∑
n=0
[
(n + 2)(n + 1)an+1 + n2an
]
xn,
d’où l’on déduit la relation de récurrence
(n + 2)(n + 1)an+1 + n2an = 0 ⇐⇒ an+1 = −
n2
(n + 2)(n + 1)
an
pour n = 0, 1, . . . . Il s’ensuit, avec n = 0, que a1 = 0, et alors
an = 0 pour tout n ∈ {1, 2, . . .}. Ainsi, on retrouve la solution obtenue
ci-dessus: y1(x) = a0x. ♦
Exemple 3.11.3. Puisque r1 − r2 = 1 dans l’exemple précédent, la
deuxième solution que l’on cherche sera de la forme
y2(x) = γx lnx +
∞∑
n=0
bnx
n.
Étant donné qu’on peut prendre y1(x) = x, la fonction u′(x) = v(x)
dans la méthode de réduction d’ordre satisfait à [voir (3.59)]
v′(x)x + v(x)
(
2 − 1
1 + x
x
)
= 0.
C’est-à-dire que
v′(x) +
(
2
x
− 1
1 + x
)
v(x) = 0.
3.11 Méthode de Frobenius 131
On trouve que
v(x) ∝ x + 1
x2
.
Il s’ensuit que
u(x) ∝
(
−1
x
+ lnx
)
,
et on peut prendre
y2(x) = −1+ x lnx.
Ainsi, γ = 1, b0 = −1 et bn = 0 pour n ∈ {1, 2, . . .} dans la forme
générale donnée pour y2(x) ci-dessus.
Enfin, la solution générale de l’équation
(x + 1)y′′(x) − y′(x) + 1
x
y(x) = 0
peut s’écrire comme suit:
y(x) = c1x + c2 (−1 + x lnx) pour x > 0.
Remarque. Si on essaie de procéder comme dans l’exemple précédent
pour obtenir la deuxième solution sous la forme (avec r2 = 0)
y2(x) =
∞∑
n=0
anx
n,
on calcule
y′2(x) =
∞∑
n=1
nanx
n−1 et y′′2(x) =
∞∑
n=2
n(n − 1)anxn−2.
On obtient alors l’équation suivante:
(x + 1)
∞∑
n=2
n(n − 1)anxn−2 −
∞∑
n=1
nanx
n−1 +
1
x
∞∑
n=0
anx
n = 0.
On voit qu’il n’y a qu’un seul terme en x−1, soit a0x−1. Il s’ensuit qu’il
faudrait que la constante a0 soit nulle, ce qui n’est pas permis. Donc,
il n’y a effectivement pas d’autre solution [linéairement indépendante
de y1(x)] de l’équation considérée qui peut être exprimée sous la forme
d’une série entière généralisée. ♦
méthode de frobenius w 131
130 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
y′1(x) =
∞∑
n=0
(n + 1)anxn et y′′1(x) =
∞∑
n=1
(n + 1)nanxn−1,
de sorte que
(x + 1)
∞∑
n=1
(n + 1)nanxn−1 −
∞∑
n=0
(n + 1)anxn +
1
x
∞∑
n=0
anx
n+1 = 0.
C’est-à-dire que
0 =
∞∑
n=0
[(n + 1)nan + (n + 2)(n + 1)an+1 − (n + 1)an + an]xn
=
∞∑
n=0
[
(n + 2)(n + 1)an+1 + n2an
]
xn,
d’où l’on déduit la relation de récurrence
(n + 2)(n + 1)an+1 + n2an = 0 ⇐⇒ an+1 = −
n2
(n + 2)(n + 1)
an
pour n = 0, 1, . . . . Il s’ensuit, avec n = 0, que a1 = 0, et alors
an = 0 pour tout n ∈ {1, 2, . . .}. Ainsi, on retrouve la solution obtenue
ci-dessus: y1(x) = a0x. ♦
Exemple 3.11.3. Puisque r1 − r2 = 1 dans l’exemple précédent, la
deuxième solution que l’on cherche sera de la forme
y2(x) = γx lnx +
∞∑
n=0
bnx
n.
Étant donné qu’on peut prendre y1(x) = x, la fonction u′(x) = v(x)
dans la méthode de réduction d’ordre satisfait à [voir (3.59)]
v′(x)x + v(x)
(
2 − 1
1 + x
x
)
= 0.
C’est-à-dire que
v′(x) +
(
2
x
− 1
1 + x
)
v(x) = 0.
3.11 Méthode de Frobenius 131
On trouve que
v(x) ∝ x + 1
x2
.
Il s’ensuit que
u(x) ∝
(
−1
x
+ lnx
)
,
et on peut prendre
y2(x) = −1 + x lnx.
Ainsi, γ = 1, b0 = −1 et bn = 0 pour n ∈ {1, 2, . . .} dans la forme
générale donnée pour y2(x) ci-dessus.
Enfin, la solution générale de l’équation
(x + 1)y′′(x) − y′(x) + 1
x
y(x) = 0
peut s’écrire comme suit:
y(x) = c1x + c2 (−1 + x lnx) pour x > 0.
Remarque. Si on essaie de procéder comme dans l’exemple précédent
pour obtenir la deuxième solution sous la forme (avec r2 = 0)
y2(x) =
∞∑
n=0
anx
n,
on calcule
y′2(x) =
∞∑
n=1
nanx
n−1 et y′′2(x) =
∞∑
n=2
n(n − 1)anxn−2.
On obtient alors l’équation suivante:
(x + 1)
∞∑
n=2
n(n − 1)anxn−2 −
∞∑
n=1
nanx
n−1 +
1
x
∞∑
n=0
anx
n = 0.
On voit qu’il n’y a qu’un seul terme en x−1, soit a0x−1. Il s’ensuit qu’il
faudrait que la constante a0 soit nulle, ce qui n’est pas permis. Donc,
il n’y a effectivement pas d’autre solution [linéairement indépendante
de y1(x)] de l’équation considérée qui peut être exprimée sous la forme
d’une série entière généralisée. ♦
132 w équations différ entielles
132 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
Exercices
3-39. Pour chacune des équations suivantes, vérifier que l’origine est un
point singulier régulier, puis trouver l’équation indicielle et ses racines:
(a) xy′′(x) + (cos x)y′(x) + 3xy(x) = 0;
(b) 2x2y′′(x) + (x4 − 2x)y′(x) + (x2 − 1)y(x) = 0;
(c) xy′′(x) + (ex − 1)y′(x) + (sin x)y(x) = 0.
3-40. Trouver une solution sous la forme d’une série entière généralisée∑∞
n=0 anx
n+r1 , où r1 est la plus grande des deux racines de l’équation
indicielle, des équations différentielles suivantes:
(a) xy′′(x) + 2y′(x) + xy(x) = 0;
(b) 2xy′′(x) + y′(x) + 2y(x) = 0;
(c) x2y′′(x) − 5xy′(x) + y(x) = 0.
3-41. On considère l’équation différentielle ordinaire
x3y′′(x) − 2xy′(x) + 2y(x) = 0.
(a) Montrer que l’origine est un point singulier irrégulier pour cette
équation.
(b) Utiliser le fait que y1(x) = x est une solution de l’équation pour
obtenir sa solution générale.
3-42. L’équation de Bessel d’ordre 1/2, soit
x2y′′(x) + xy′(x) +
(
x2 − 1
4
)
y(x) = 0,
possède la solution suivante:
y1(x) = x1/2
(
1 − x
2
3!
+
x4
5!
− . . .
)
.
Trouver sa solution générale.
3-43. Obtenir les deux solutions (linéairement indépendantes) sous la
forme de séries entières généralisées de l’équation différentielle ordinaire
x2y′′(x) − 2y(x) = 0.
3-44. Supposons que k et l sont des entiers positifs dans l’équation
différentielle
3.12 Exercices supplémentaires 133
y′′(x) +
1
2xk
y′(x) − 1
4xl
y(x) = 0.
(a) Pour quelles valeurs de k et l l’origine est-elle un point singulier
irrégulier pour cette équation?
(b) Montrer que si k = 1 et l ≤ 2, alors l’équation considérée possède
deux solutions linéairement indépendantes sous la forme de séries
entières généralisées (ne pas les calculer).
3.12 Exercices supplémentaires
3-45. Trouver la solution générale de l’équation différentielle ordinaire
y′′′(x) + y′′(x) − y′(x) = 0.
3-46. Considérons l’équation différentielle
y′′(t) − y(t) = 1
pour t ∈ R. Trouver la solution de cette équation qui satisfait aux
conditions y(0) = 1 et y′(0) = 0 en posant d’abord u(t) = y(t) + 1.
3-47. Trouver l’ensemble des solutions de l’équation
y′′(t) + y′(t) + y(t) = 0
qui satisfont à la condition y(0) = 2 [et y′(0) quelconque].
3-48. Vers quelle valeur la solution de l’équation différentielle
y′′(x) + y′(x) +
1
4
y(x) = 0
tend-elle lorsque x tend vers l’infini?
3-49. Quelle est la solution générale de l’équation différentielle
(x − 1)2y′′(x) − 2y(x) = 0
pour x > 1?
3-50. Utiliser la méthode des coefficients indéterminés pour obtenir
une solution particulière yp(x) de l’équation différentielle
exercices supplémentaires w 133
132 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
Exercices
3-39. Pour chacune des équations suivantes, vérifier que l’origine est un
point singulier régulier, puis trouver l’équation indicielle et ses racines:
(a) xy′′(x) + (cos x)y′(x) + 3xy(x) = 0;
(b) 2x2y′′(x) + (x4 − 2x)y′(x) + (x2 − 1)y(x) = 0;
(c) xy′′(x) + (ex − 1)y′(x) + (sin x)y(x) = 0.
3-40. Trouver une solution sous la forme d’une série entière généralisée∑∞
n=0 anx
n+r1 , où r1 est la plus grande des deux racines de l’équation
indicielle, des équations différentielles suivantes:
(a) xy′′(x) + 2y′(x) + xy(x) = 0;
(b) 2xy′′(x) + y′(x) + 2y(x) = 0;
(c) x2y′′(x) − 5xy′(x) + y(x) = 0.
3-41. On considère l’équation différentielle ordinaire
x3y′′(x) − 2xy′(x) + 2y(x) = 0.
(a) Montrer que l’origine est un point singulier irrégulier pour cette
équation.
(b) Utiliser le fait que y1(x) = x est une solution de l’équation pour
obtenir sa solution générale.
3-42. L’équation de Bessel d’ordre 1/2, soit
x2y′′(x) + xy′(x) +
(
x2 − 1
4
)
y(x) = 0,
possède la solution suivante:
y1(x) = x1/2
(
1 − x
2
3!
+
x4
5!
− . . .
)
.
Trouver sa solution générale.
3-43. Obtenir les deux solutions (linéairement indépendantes) sous la
forme de séries entières généralisées de l’équation différentielle ordinaire
x2y′′(x) − 2y(x) = 0.
3-44. Supposons que k et l sont des entiers positifs dans l’équation
différentielle
3.12 Exercices supplémentaires 133
y′′(x) +
1
2xk
y′(x) − 1
4xl
y(x) = 0.
(a) Pour quelles valeurs de k et l l’origine est-elle un point singulier
irrégulier pour cette équation?
(b) Montrer que si k = 1 et l ≤ 2, alors l’équation considérée possède
deux solutions linéairement indépendantes sous la forme de séries
entières généralisées (ne pas les calculer).
3.12 Exercices supplémentaires
3-45. Trouver la solution générale de l’équation différentielle ordinaire
y′′′(x) + y′′(x) − y′(x) = 0.
3-46. Considérons l’équation différentielle
y′′(t) − y(t) = 1
pour t ∈ R. Trouver la solution de cette équation qui satisfait aux
conditions y(0) = 1 et y′(0)= 0 en posant d’abord u(t) = y(t) + 1.
3-47. Trouver l’ensemble des solutions de l’équation
y′′(t) + y′(t) + y(t) = 0
qui satisfont à la condition y(0) = 2 [et y′(0) quelconque].
3-48. Vers quelle valeur la solution de l’équation différentielle
y′′(x) + y′(x) +
1
4
y(x) = 0
tend-elle lorsque x tend vers l’infini?
3-49. Quelle est la solution générale de l’équation différentielle
(x − 1)2y′′(x) − 2y(x) = 0
pour x > 1?
3-50. Utiliser la méthode des coefficients indéterminés pour obtenir
une solution particulière yp(x) de l’équation différentielle
exercices supplémentaires
134 w équations différ entielles
134 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
y′′(x) − 4y(x) = ex + e2x.
3-51. Trouver une solution particulière de l’équation différentielle
y′′(t) − y(t) = tet pour t > 0
à l’aide de la méthode de variation des paramètres, et donner la solution
générale yg(t) de l’équation.
3-52. Une solution particulière de l’équation différentielle
x2y′′(x) − 2y(x) = 0 pour x > 0
est y1(x) = 1/x. Utiliser la technique de réduction d’ordre pour obtenir
la solution générale yg(x) de
x2y′′(x) − 2y(x) = x pour x > 0.
3-53. Quelle est la solution générale de l’équation différentielle ordi-
naire
y(4)(x) − 4y′′(x) + 4y(x) = 0?
3-54. Un petit chariot de masse m, déposé sur le sol, est relié à un mur
par un ressort. Lorsque le chariot se trouve à sa position d’équilibre,
dénotée par x = 0, le ressort n’exerce aucune force sur celui-ci. On
déplace le chariot en étirant le ressort de d unités par rapport à la
position d’équilibre. Le ressort exerce alors une force de rappel Fr qui
est proportionnelle à d:
Fr = −kd,
où k > 0 est le coefficient de raideur du ressort. On néglige toutes les
autres forces.
Soit x(t) la position du chariot par rapport à 0 à l’instant t. Donner
l’équation différentielle que vérifie x(t) ainsi que les conditions initiales
si, à l’instant t = 0, on relâche sans aucune vitesse le chariot qui a été
déplacé de d unités.
3-55. Le courant I(t) dans un certain circuit électrique simple satisfait
à l’équation différentielle ordinaire
d
dt
I(t) + I(t) = E(t),
3.12 Exercices supplémentaires 135
où E(t) est la tension à l’instant t. Supposons que E(t) = E0e−kt, où
E0 > 0 et 0 ≤ k < 1. Calculer lim
t→∞
I(t).
3-56. Trouver la solution générale de l’équation différentielle ordinaire
xy′′(x) − y′(x) = x3 pour x > 0.
3-57. Trouver trois solutions linéairement indépendantes (deux à deux)
de l’équation différentielle
4y′′(x) − y(x) = 0.
3-58. Soit y(x) = ez(x), où z(x) satisfait à
z′′(x) + z′(x) + 2z(x) = 0.
Vers quelle valeur tend y(x) lorsque x → ∞? Justifier.
3-59. Obtenir une solution particulière de l’équation différentielle ordi-
naire
y′′(x) + 4y(x) = − sin(2x)
par la méthode des coefficients indéterminés.
3-60. Utiliser la méthode de variation des paramètres pour trouver la
solution générale de l’équation différentielle
y′′(t) + y(t) =
1
sin t
pour 0 < t < π.
3-61. Quelle est la solution de l’équation différentielle d’ordre trois
y′′′(x) − 6y′′(x) + 11y′(x) − 6y(x) = 0
qui satisfait aux conditions initiales y(0) = 1, y′(0) = 0 et y′′(0) = 0?
Remarque. Une des solutions de l’équation caractéristique est m = 1.
3-62. Un objet de masse m est projeté vers le haut de façon verticale
à partir d’un point P situé sur le sol. Soit x(t) la distance de l’objet
par rapport au point P à l’instant t. On suppose qu’il n’y a que deux
forces qui agissent sur l’objet, soit la force Fg = mg due à la gravité,
et celle Fr = kv(t), où k > 0 et v(t) = dx(t)/dt, due à la résistance de
l’air. Obtenir x(t).
exercices supplémentaires w 135
134 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
y′′(x) − 4y(x) = ex + e2x.
3-51. Trouver une solution particulière de l’équation différentielle
y′′(t) − y(t) = tet pour t > 0
à l’aide de la méthode de variation des paramètres, et donner la solution
générale yg(t) de l’équation.
3-52. Une solution particulière de l’équation différentielle
x2y′′(x) − 2y(x) = 0 pour x > 0
est y1(x) = 1/x. Utiliser la technique de réduction d’ordre pour obtenir
la solution générale yg(x) de
x2y′′(x) − 2y(x) = x pour x > 0.
3-53. Quelle est la solution générale de l’équation différentielle ordi-
naire
y(4)(x) − 4y′′(x) + 4y(x) = 0?
3-54. Un petit chariot de masse m, déposé sur le sol, est relié à un mur
par un ressort. Lorsque le chariot se trouve à sa position d’équilibre,
dénotée par x = 0, le ressort n’exerce aucune force sur celui-ci. On
déplace le chariot en étirant le ressort de d unités par rapport à la
position d’équilibre. Le ressort exerce alors une force de rappel Fr qui
est proportionnelle à d:
Fr = −kd,
où k > 0 est le coefficient de raideur du ressort. On néglige toutes les
autres forces.
Soit x(t) la position du chariot par rapport à 0 à l’instant t. Donner
l’équation différentielle que vérifie x(t) ainsi que les conditions initiales
si, à l’instant t = 0, on relâche sans aucune vitesse le chariot qui a été
déplacé de d unités.
3-55. Le courant I(t) dans un certain circuit électrique simple satisfait
à l’équation différentielle ordinaire
d
dt
I(t) + I(t) = E(t),
3.12 Exercices supplémentaires 135
où E(t) est la tension à l’instant t. Supposons que E(t) = E0e−kt, où
E0 > 0 et 0 ≤ k < 1. Calculer lim
t→∞
I(t).
3-56. Trouver la solution générale de l’équation différentielle ordinaire
xy′′(x) − y′(x) = x3 pour x > 0.
3-57. Trouver trois solutions linéairement indépendantes (deux à deux)
de l’équation différentielle
4y′′(x) − y(x) = 0.
3-58. Soit y(x) = ez(x), où z(x) satisfait à
z′′(x) + z′(x) + 2z(x) = 0.
Vers quelle valeur tend y(x) lorsque x → ∞? Justifier.
3-59. Obtenir une solution particulière de l’équation différentielle ordi-
naire
y′′(x) + 4y(x) = − sin(2x)
par la méthode des coefficients indéterminés.
3-60. Utiliser la méthode de variation des paramètres pour trouver la
solution générale de l’équation différentielle
y′′(t) + y(t) =
1
sin t
pour 0 < t < π.
3-61. Quelle est la solution de l’équation différentielle d’ordre trois
y′′′(x) − 6y′′(x) + 11y′(x) − 6y(x) = 0
qui satisfait aux conditions initiales y(0) = 1, y′(0) = 0 et y′′(0) = 0?
Remarque. Une des solutions de l’équation caractéristique est m = 1.
3-62. Un objet de masse m est projeté vers le haut de façon verticale
à partir d’un point P situé sur le sol. Soit x(t) la distance de l’objet
par rapport au point P à l’instant t. On suppose qu’il n’y a que deux
forces qui agissent sur l’objet, soit la force Fg = mg due à la gravité,
et celle Fr = kv(t), où k > 0 et v(t) = dx(t)/dt, due à la résistance de
l’air. Obtenir x(t).
136 w équations différ entielles
136 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
3-63. Trouver toutes les solutions de
y′′(t) − y′(t) − 2y(t) = 0
qui satisfont à la condition initiale y(0) = 0.
3-64. Calculer le wronskien des solutions
y1(x) = cos(2x) et y2(x) = cos(2x) − sin(2x)
de l’équation différentielle
y′′(x) + 4y(x) = 0.
3-65. Déterminer le comportement lorsque t tend vers l’infini de la
solution de l’équation différentielle
y′′(t) + y(t) = 0
qui satisfait à y(0) = 0 et y′(0) = 1.
3-66. Résoudre, sous les conditions y(0) = 0 et y′(0) = 1, l’équation
différentielle
y′′(t) + 2y′(t) + y(t) = 0.
3-67. Déterminer si l’origine est un point ordinaire, un point singulier
régulier, ou un point singulier irrégulier de l’équation différentielle
x2y′′(x) +
x
x + 1
y′(x) + (x + 1)y(x) = 0.
3-68. Utiliser la méthode des coefficients indéterminés pour obtenir
une solution particulière yp(t) de
y′′(t) − 2y′(t) + y(t) = 4et.
3-69. La solution générale de l’équation différentielle
y′′(t) + y′(t) − 2y(t) = 0
est
y(t) = c1et + c2e−2t.
3.12 Exercices supplémentaires 137
Trouver une solution particulière yp(t) de l’équation non homogène
y′′(t) + y′(t) − 2y(t) =tet
en utilisant la méthode de variation des paramètres.
3-70. Quelle est la solution générale de l’équation différentielle d’ordre
trois
y′′′(t) − 3y′′(t) + 3y′(t) − y(t) = 0 ?
3-71. On considère un objet, dont le poids est de 1 newton, suspendu
à un ressort. Celui-ci étire le ressort de 5 cm. Déterminer l’équation
différentielle à laquelle satisfait la position y(t) (en cm) de l’objet par
rapport à son point d’équilibre si on néglige la force d’amortissement.
3-72. Dans la question précédente, supposons que l’objet est à son
point d’équilibre à l’instant initial. De plus, le coefficient de raideur du
ressort et la vitesse initiale de l’objet sont tels que la position y(t) est
donnée par
y(t) =
3
4
sin(3πt) pour t ≥ 0.
Quelles seront la vitesse v1 et l’accélération a1 de l’objet quand il revien-
dra à son point d’équilibre pour la première fois?
Indication. La vitesse est positive lorsque l’objet se dirige vers le bas.
3-73. Pour chacune des équations différentielles suivantes, donner la
forme générale de la solution particulière obtenue par la méthode des
coefficients indéterminés:
(a) y′′(t) − 2y′(t) + y(t) = t;
(b) y′′(t) + 2y′(t) + y(t) = e−t;
(c) y′′(t) + y(t) = cos t + t.
3-74. Donner la solution du problème de valeur initiale
y′′(t) − 2y′(t) + y(t) = t,
avec y(0) = 0 et y′(0) = 1.
3-75. L’altitude y(t) d’une plume de masse m = 1 gramme en chute
libre satisfait à l’équation différentielle
y′′(t) + αy′(t) = −g,
exercices supplémentaires w 137
136 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
3-63. Trouver toutes les solutions de
y′′(t) − y′(t) − 2y(t) = 0
qui satisfont à la condition initiale y(0) = 0.
3-64. Calculer le wronskien des solutions
y1(x) = cos(2x) et y2(x) = cos(2x) − sin(2x)
de l’équation différentielle
y′′(x) + 4y(x) = 0.
3-65. Déterminer le comportement lorsque t tend vers l’infini de la
solution de l’équation différentielle
y′′(t) + y(t) = 0
qui satisfait à y(0) = 0 et y′(0) = 1.
3-66. Résoudre, sous les conditions y(0) = 0 et y′(0) = 1, l’équation
différentielle
y′′(t) + 2y′(t) + y(t) = 0.
3-67. Déterminer si l’origine est un point ordinaire, un point singulier
régulier, ou un point singulier irrégulier de l’équation différentielle
x2y′′(x) +
x
x + 1
y′(x) + (x + 1)y(x) = 0.
3-68. Utiliser la méthode des coefficients indéterminés pour obtenir
une solution particulière yp(t) de
y′′(t) − 2y′(t) + y(t) = 4et.
3-69. La solution générale de l’équation différentielle
y′′(t) + y′(t) − 2y(t) = 0
est
y(t) = c1et + c2e−2t.
3.12 Exercices supplémentaires 137
Trouver une solution particulière yp(t) de l’équation non homogène
y′′(t) + y′(t) − 2y(t) = tet
en utilisant la méthode de variation des paramètres.
3-70. Quelle est la solution générale de l’équation différentielle d’ordre
trois
y′′′(t) − 3y′′(t) + 3y′(t) − y(t) = 0 ?
3-71. On considère un objet, dont le poids est de 1 newton, suspendu
à un ressort. Celui-ci étire le ressort de 5 cm. Déterminer l’équation
différentielle à laquelle satisfait la position y(t) (en cm) de l’objet par
rapport à son point d’équilibre si on néglige la force d’amortissement.
3-72. Dans la question précédente, supposons que l’objet est à son
point d’équilibre à l’instant initial. De plus, le coefficient de raideur du
ressort et la vitesse initiale de l’objet sont tels que la position y(t) est
donnée par
y(t) =
3
4
sin(3πt) pour t ≥ 0.
Quelles seront la vitesse v1 et l’accélération a1 de l’objet quand il revien-
dra à son point d’équilibre pour la première fois?
Indication. La vitesse est positive lorsque l’objet se dirige vers le bas.
3-73. Pour chacune des équations différentielles suivantes, donner la
forme générale de la solution particulière obtenue par la méthode des
coefficients indéterminés:
(a) y′′(t) − 2y′(t) + y(t) = t;
(b) y′′(t) + 2y′(t) + y(t) = e−t;
(c) y′′(t) + y(t) = cos t + t.
3-74. Donner la solution du problème de valeur initiale
y′′(t) − 2y′(t) + y(t) = t,
avec y(0) = 0 et y′(0) = 1.
3-75. L’altitude y(t) d’une plume de masse m = 1 gramme en chute
libre satisfait à l’équation différentielle
y′′(t) + αy′(t) = −g,
138 w équations différ entielles
138 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
où g � 10 m/s2 est l’accélération gravitationnelle et α > 0 est un
coefficient de frottement.
(a) Trouver la solution générale de l’équation différentielle.
(b) Sachant que la vitesse maximale atteinte par la plume est de 1 m/s,
donner la valeur de α en grammes par seconde.
3-76. On considère l’équation d’Airy, qui apparâıt en optique et en
mécanique quantique:
y′′(x) − xy(x) = 0 pour x ∈ R.
On cherche une solution de la forme
y(x) =
∞∑
n=0
anx
n,
où les an sont des coefficients réels à déterminer.
(a) Trouver la relation de récurrence qui relie les coefficients an, n =
0, 1, . . . .
Remarque. On ne demande pas la forme générale des an.
(b) Sachant que y(0) = 1 et y′(0) = 0, donner le polynôme de degré six
qui approche y(x) au voisinage de x = 0.
3-77. Trouver la valeur de y(1) si la fonction y(t) satisfait à
y′′(t) + 3y′(t) − 4y(t) = 0
pour t ∈ R, et est telle que y(0) = 0 et y′(0) = 2.
3-78. Trois solutions particulières de l’équation différentielle homogène
y′′(t) + y′(t) − 2y(t) = 0
sont y1(t) = et, y2(t) = −2et et y3(t) = e−2t. Trouver la solution
particulière qui satisfait aux conditions y(0) = 1 et y′(0) = 0.
3-79. (a) Trouver la solution générale de l’équation différentielle
2y′′(t) − y′(t) + 13
4
y(t) = 0
pour t ≥ 0.
(b) Déterminer (si elle existe) la limite lorsque t tend vers l’infini de la
fonction y(t) si y(0) = 1 et y′(0) = −1.
3.12 Exercices supplémentaires 139
3-80. Obtenir toutes les solutions de l’équation différentielle
y′′′(x) + 4y′′(x) + 4y′(x) = 0 pour x ≥ 0
qui satisfont aux conditions u(0) = u′(0) = 1, où u(x) := y′(x).
3-81. On considère l’équation différentielle
y′′(x) + xy(x) = 0 pour x ∈ R.
On définit la fonction z(x) = xy(x).
(a) Donner l’équation différentielle à laquelle satisfait la fonction z(x).
(b) Quel type de point l’origine est-elle pour l’équation en (a)?
3-82. Trouver une solution particulière yp(x) de
y′′(x) − y(x) = (x + 1)3
par la méthode des coefficients indéterminés.
3-83. Une solution particulière de l’équation différentielle
ty′′(t) − (t + 2)y′(t) + y(t) = 0 pour t ≥ 0
est y1(t) = t + 2. Pour obtenir la solution générale yg(t) de
ty′′(t) − (t + 2)y′(t) + y(t) = t3
par la méthode de réduction d’ordre, on définit yg(t) = u(t)(t + 2).
Obtenir la fonction v(t) := u′(t).
3-84. Le courant I(t) dans un certain circuit électrique satisfait à
l’équation différentielle du deuxième ordre
8
d2I(t)
dt2
+
1
C
I(t) = cos(2t) pour t ≥ 0,
où C est la capacitance d’un condensateur. Supposons que C = 2, et
que I(0) = 1 et I ′(0) = 0.
(a) Quelle est la valeur du courant à l’instant t = 2π?
Indication. Une solution particulière de l’équation ci-dessus est I(t) =
− 263 cos(2t).
(b) Quelle est la réponse en (a) si on retire le condensateur du circuit?
exercices supplémentaires w 139
138 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
où g � 10 m/s2 est l’accélération gravitationnelle et α > 0 est un
coefficient de frottement.
(a) Trouver la solution générale de l’équation différentielle.
(b) Sachant que la vitesse maximale atteinte par la plume est de 1 m/s,
donner la valeur de α en grammes par seconde.
3-76. On considère l’équation d’Airy, qui apparâıt en optique et en
mécanique quantique:
y′′(x) − xy(x) = 0 pour x ∈ R.
On cherche une solution de la forme
y(x) =
∞∑
n=0
anx
n,
où les an sont des coefficients réels à déterminer.
(a) Trouver la relation de récurrence qui relie les coefficients an, n =
0, 1, . . . .
Remarque. On ne demande pas la forme générale des an.
(b) Sachant que y(0) = 1 et y′(0) = 0, donner le polynôme de degré six
qui approche y(x) au voisinage de x = 0.
3-77. Trouver la valeurde y(1) si la fonction y(t) satisfait à
y′′(t) + 3y′(t) − 4y(t) = 0
pour t ∈ R, et est telle que y(0) = 0 et y′(0) = 2.
3-78. Trois solutions particulières de l’équation différentielle homogène
y′′(t) + y′(t) − 2y(t) = 0
sont y1(t) = et, y2(t) = −2et et y3(t) = e−2t. Trouver la solution
particulière qui satisfait aux conditions y(0) = 1 et y′(0) = 0.
3-79. (a) Trouver la solution générale de l’équation différentielle
2y′′(t) − y′(t) + 13
4
y(t) = 0
pour t ≥ 0.
(b) Déterminer (si elle existe) la limite lorsque t tend vers l’infini de la
fonction y(t) si y(0) = 1 et y′(0) = −1.
3.12 Exercices supplémentaires 139
3-80. Obtenir toutes les solutions de l’équation différentielle
y′′′(x) + 4y′′(x) + 4y′(x) = 0 pour x ≥ 0
qui satisfont aux conditions u(0) = u′(0) = 1, où u(x) := y′(x).
3-81. On considère l’équation différentielle
y′′(x) + xy(x) = 0 pour x ∈ R.
On définit la fonction z(x) = xy(x).
(a) Donner l’équation différentielle à laquelle satisfait la fonction z(x).
(b) Quel type de point l’origine est-elle pour l’équation en (a)?
3-82. Trouver une solution particulière yp(x) de
y′′(x) − y(x) = (x + 1)3
par la méthode des coefficients indéterminés.
3-83. Une solution particulière de l’équation différentielle
ty′′(t) − (t + 2)y′(t) + y(t) = 0 pour t ≥ 0
est y1(t) = t + 2. Pour obtenir la solution générale yg(t) de
ty′′(t) − (t + 2)y′(t) + y(t) = t3
par la méthode de réduction d’ordre, on définit yg(t) = u(t)(t + 2).
Obtenir la fonction v(t) := u′(t).
3-84. Le courant I(t) dans un certain circuit électrique satisfait à
l’équation différentielle du deuxième ordre
8
d2I(t)
dt2
+
1
C
I(t) = cos(2t) pour t ≥ 0,
où C est la capacitance d’un condensateur. Supposons que C = 2, et
que I(0) = 1 et I ′(0) = 0.
(a) Quelle est la valeur du courant à l’instant t = 2π?
Indication. Une solution particulière de l’équation ci-dessus est I(t) =
− 263 cos(2t).
(b) Quelle est la réponse en (a) si on retire le condensateur du circuit?
140 w équations différ entielles
140 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
3-85. Dans le cas des oscillations non amorties d’un ressort, sa posi-
tion y(t) par rapport à son point d’équilibre satisfait à l’équation
différentielle
my′′(t) + ky(t) = 0,
où m est la masse de l’objet suspendu au ressort, et k (> 0) est le coef-
ficient de raideur du ressort. Supposons que la force d’amortissement
Fa, dans un certain milieu, est proportionnelle au carré de la vitesse
du ressort. C’est-à-dire que Fa = −c [y′(t)]2, où c > 0.
(a) Obtenir une équation différentielle pour la vitesse v(t) [= y′(t)] du
ressort.
(b) Trouver une solution de la forme v(t) = v0 t de l’équation en (a),
où v0 est une constante (non nulle) à déterminer.
3-86. Résoudre l’équation différentielle non linéaire
y′′(t) = e−y
′(t) pour t ≥ 1,
sous la condition y′(1) = 0.
3-87. Trouver la solution générale de l’équation différentielle
y′′(t) − 2ay′(t) + y(t) = 0,
où a est une constante réelle.
3-88. Trouver la limite lorsque t tend vers l’infini de la fonction y(t)
qui satisfait à l’équation différentielle
y′′(t) + 2ay′(t) − y(t) = 0,
où a est une constante réelle.
3-89. Une solution particulière de l’équation différentielle
y′′(t) − 2
t2
y(t) = 0 pour t > 0
est y1(t) = t2. Utiliser la technique de réduction d’ordre pour obtenir
la solution générale de l’équation.
3-90. On considère l’équation différentielle
x2y′′(x) − xy′(x) + y(x) = 0
3.12 Exercices supplémentaires 141
dans l’intervalle (0,∞). Trouver la solution y(x) qui est telle que y(1) =
y′(1) = 1.
3-91. Utiliser la méthode de variation des paramètres pour obtenir une
solution particulière yp(x) de
y′′(x) + y(x) = tg x pour 0 < x < π/2.
Indication. On a:
∫
sec xdx = ln |sec x + tg x|.
3-92. Trouver la solution générale de l’équation différentielle d’ordre
six
y(6)(t) − 4y(5)(t) + 6y(4)(t) − 4y′′′(t) + y′′(t) = 0.
3-93. On considère les oscillations non amorties d’un objet de masse
m = 20 suspendu à un ressort dont le coefficient de raideur est k = 5.
À l’instant initial t = 0, l’objet a été déplacé vers le bas de 3 unités
par rapport à son point d’équilibre. Quelle était la vitesse initiale de
l’objet, si son accélération à l’instant t = π est égale à −1?
3-94. Utiliser la méthode de solution en série pour obtenir la solution
générale de l’équation différentielle
(t + 1)y′′(t) − y′(t) = 0 pour t ≥ 0.
3-95. Trouver la solution de l’équation différentielle ordinaire
y′′′(t) + y′(t) = t + et pour t ≥ 0
qui satisfait aux conditions initiales suivantes: y(0) = 1, y′(0) = 1 et
y′′(0) = 0.
3-96. Trouver la solution générale de
x2y′′(x) − 2y(x) = x3 pour x > 0.
3-97. On désire résoudre l’équation différentielle linéaire d’ordre deux
à coefficients constants
y′′(x) − y′(x) = 0
en utilisant la méthode de solution en série entière. C’est-à-dire que
l’on pose
exercices supplémentaires w 141
140 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
3-85. Dans le cas des oscillations non amorties d’un ressort, sa posi-
tion y(t) par rapport à son point d’équilibre satisfait à l’équation
différentielle
my′′(t) + ky(t) = 0,
où m est la masse de l’objet suspendu au ressort, et k (> 0) est le coef-
ficient de raideur du ressort. Supposons que la force d’amortissement
Fa, dans un certain milieu, est proportionnelle au carré de la vitesse
du ressort. C’est-à-dire que Fa = −c [y′(t)]2, où c > 0.
(a) Obtenir une équation différentielle pour la vitesse v(t) [= y′(t)] du
ressort.
(b) Trouver une solution de la forme v(t) = v0 t de l’équation en (a),
où v0 est une constante (non nulle) à déterminer.
3-86. Résoudre l’équation différentielle non linéaire
y′′(t) = e−y
′(t) pour t ≥ 1,
sous la condition y′(1) = 0.
3-87. Trouver la solution générale de l’équation différentielle
y′′(t) − 2ay′(t) + y(t) = 0,
où a est une constante réelle.
3-88. Trouver la limite lorsque t tend vers l’infini de la fonction y(t)
qui satisfait à l’équation différentielle
y′′(t) + 2ay′(t) − y(t) = 0,
où a est une constante réelle.
3-89. Une solution particulière de l’équation différentielle
y′′(t) − 2
t2
y(t) = 0 pour t > 0
est y1(t) = t2. Utiliser la technique de réduction d’ordre pour obtenir
la solution générale de l’équation.
3-90. On considère l’équation différentielle
x2y′′(x) − xy′(x) + y(x) = 0
3.12 Exercices supplémentaires 141
dans l’intervalle (0,∞). Trouver la solution y(x) qui est telle que y(1) =
y′(1) = 1.
3-91. Utiliser la méthode de variation des paramètres pour obtenir une
solution particulière yp(x) de
y′′(x) + y(x) = tg x pour 0 < x < π/2.
Indication. On a:
∫
sec xdx = ln |sec x + tg x|.
3-92. Trouver la solution générale de l’équation différentielle d’ordre
six
y(6)(t) − 4y(5)(t) + 6y(4)(t) − 4y′′′(t) + y′′(t) = 0.
3-93. On considère les oscillations non amorties d’un objet de masse
m = 20 suspendu à un ressort dont le coefficient de raideur est k = 5.
À l’instant initial t = 0, l’objet a été déplacé vers le bas de 3 unités
par rapport à son point d’équilibre. Quelle était la vitesse initiale de
l’objet, si son accélération à l’instant t = π est égale à −1?
3-94. Utiliser la méthode de solution en série pour obtenir la solution
générale de l’équation différentielle
(t + 1)y′′(t) − y′(t) = 0 pour t ≥ 0.
3-95. Trouver la solution de l’équation différentielle ordinaire
y′′′(t) + y′(t) = t + et pour t ≥ 0
qui satisfait aux conditions initiales suivantes: y(0) = 1, y′(0) = 1 et
y′′(0) = 0.
3-96. Trouver la solution générale de
x2y′′(x) − 2y(x) = x3 pour x > 0.
3-97. On désire résoudre l’équation différentielle linéaire d’ordre deux
à coefficients constants
y′′(x) − y′(x) = 0
en utilisant la méthode de solution en série entière. C’est-à-dire que
l’on pose
142 w équations différ entielles
142 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
y(x) =
∞∑
n=0
anx
n.
(a)Quelle est la relation de récurrence entre les coefficients an?
(b) Obtenir la solution générale de l’équation.
3-98. Trouver une solution y(t) (qui n’est pas une constante) de l’équa-
tion différentielle non linéaire
y′′y2 = −y′.
Indications. (i) Utiliser le fait que la variable indépendante t n’apparâıt
pas explicitement dans l’équation.
(ii) Choisir les constantes arbitraires égales à zéro.
3-99. Trouver l’ensemble fondamental {y1(t), y2(t)} de solutions de
l’équation différentielle
y′′(t) = y(t)
qui satisfait aux conditions initiales
y1(0) = 1; y′1(0) = 0;
y2(0) = 1; y′2(0) = 1.
3-100. Trouver la solution générale de
a2y′′(t) + 2ay′(t) + y(t) = 0,
où a est une constante réelle.
3-101. Déterminer si l’origine est un point ordinaire, un point singulier
régulier, ou un point singulier irrégulier des équations différentielles
suivantes:
(a) xy′′(x) + y(x) = 0;
(b) x2y′′(x) + (x + 1)y′(x) = 0;
(c) y′′(x) +
x
x + 1
y′(x) + y(x) = 0;
(d) xy′′(x) + y′(x) + (sin x)y(x) = 0.
3-102. Pour chacune des équations différentielles suivantes, donner la
forme générale de la solution particulière yp(t) obtenue par la méthode
des coefficients indéterminés:
3.12 Exercices supplémentaires 143
(a) y′′(t) − 2y′(t) + y(t) = cos t + et;
(b) y′′(t) − y′(t) − 2y(t) = te−t.
Remarque. Vous n’avez pas à trouver les coefficients dans les fonctions
yp(t).
3-103. Trouver la solution générale de l’équation différentielle
y(4)(t) + 4y′′′(t) + 6y′′(t) + 4y′(t) + y(t) = 0.
3-104. Utiliser la méthode de variation des paramètres pour trouver
une solution particulière et, de là, la solution générale de
x2y′′′(x) − 2y′(x) = x pour x > 0.
3-105. La charge Q(t) dans un certain circuit électrique avec E(t) ≡ 0
satisfait à l’équation différentielle ordinaire
Q′′(t) + 10Q′(t) + 250Q(t) = 0.
La charge initiale est Q(0) = 3 et le courant initial I(0) est nul.
(a) Trouver la valeur de Q(t) et de I(t) pour t > 0.
Rappel. On a: Q′(t) = I(t).
(b) Pour quelle valeur de t la valeur absolue du courant est-elle la plus
grande?
Indication. On a: arctg(3) � 1,25.
3-106. On considère l’équation différentielle non linéaire d’ordre deux
y′′(t) + y′(t) = [y′(t)]2.
(a) (i) En utilisant un changement de variable approprié, transformer
l’équation ci-dessus en une équation différentielle d’ordre un dont la
variable indépendante est t.
(ii) En réécrivant au besoin l’équation obtenue en (i) sous une autre
forme, identifier parmi les méthodes présentées au chapitre 2 celles qui
nous permettent de résoudre cette équation d’ordre un.
(b) En utilisant un changement de variable approprié, transformer
l’équation non linéaire d’ordre deux en une équation différentielle
d’ordre un dont la variable indépendante est y.
exercices supplémentaires w 143
142 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
y(x) =
∞∑
n=0
anx
n.
(a) Quelle est la relation de récurrence entre les coefficients an?
(b) Obtenir la solution générale de l’équation.
3-98. Trouver une solution y(t) (qui n’est pas une constante) de l’équa-
tion différentielle non linéaire
y′′y2 = −y′.
Indications. (i) Utiliser le fait que la variable indépendante t n’apparâıt
pas explicitement dans l’équation.
(ii) Choisir les constantes arbitraires égales à zéro.
3-99. Trouver l’ensemble fondamental {y1(t), y2(t)} de solutions de
l’équation différentielle
y′′(t) = y(t)
qui satisfait aux conditions initiales
y1(0) = 1; y′1(0) = 0;
y2(0) = 1; y′2(0) = 1.
3-100. Trouver la solution générale de
a2y′′(t) + 2ay′(t) + y(t) = 0,
où a est une constante réelle.
3-101. Déterminer si l’origine est un point ordinaire, un point singulier
régulier, ou un point singulier irrégulier des équations différentielles
suivantes:
(a) xy′′(x) + y(x) = 0;
(b) x2y′′(x) + (x + 1)y′(x) = 0;
(c) y′′(x) +
x
x + 1
y′(x) + y(x) = 0;
(d) xy′′(x) + y′(x) + (sin x)y(x) = 0.
3-102. Pour chacune des équations différentielles suivantes, donner la
forme générale de la solution particulière yp(t) obtenue par la méthode
des coefficients indéterminés:
3.12 Exercices supplémentaires 143
(a) y′′(t) − 2y′(t) + y(t) = cos t + et;
(b) y′′(t) − y′(t) − 2y(t) = te−t.
Remarque. Vous n’avez pas à trouver les coefficients dans les fonctions
yp(t).
3-103. Trouver la solution générale de l’équation différentielle
y(4)(t) + 4y′′′(t) + 6y′′(t) + 4y′(t) + y(t) = 0.
3-104. Utiliser la méthode de variation des paramètres pour trouver
une solution particulière et, de là, la solution générale de
x2y′′′(x) − 2y′(x) = x pour x > 0.
3-105. La charge Q(t) dans un certain circuit électrique avec E(t) ≡ 0
satisfait à l’équation différentielle ordinaire
Q′′(t) + 10Q′(t) + 250Q(t) = 0.
La charge initiale est Q(0) = 3 et le courant initial I(0) est nul.
(a) Trouver la valeur de Q(t) et de I(t) pour t > 0.
Rappel. On a: Q′(t) = I(t).
(b) Pour quelle valeur de t la valeur absolue du courant est-elle la plus
grande?
Indication. On a: arctg(3) � 1,25.
3-106. On considère l’équation différentielle non linéaire d’ordre deux
y′′(t) + y′(t) = [y′(t)]2.
(a) (i) En utilisant un changement de variable approprié, transformer
l’équation ci-dessus en une équation différentielle d’ordre un dont la
variable indépendante est t.
(ii) En réécrivant au besoin l’équation obtenue en (i) sous une autre
forme, identifier parmi les méthodes présentées au chapitre 2 celles qui
nous permettent de résoudre cette équation d’ordre un.
(b) En utilisant un changement de variable approprié, transformer
l’équation non linéaire d’ordre deux en une équation différentielle
d’ordre un dont la variable indépendante est y.
144 w équations différ entielles
144 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
3-107. On suppose que les fonctions p(t) et q(t) dans l’équation
différentielle
y′′(t) + p(t)y′(t) + q(t)y(t) = 1
sont continues dans un intervalle ouvert I. Soit y1(t) et y2(t) deux
solutions de cette équation. Sachant qu’il existe un point t0 ∈ I pour
lequel le wronskien des solutions y1(t) et y2(t) évalué en t0 est non nul,
quelles conclusions peut-on tirer de ce résultat?
3-108. Trouver la solution générale de l’équation différentielle
y(4)(t) + 3y′′′(t) + 3y′′(t) + y′(t) = 0.
3-109. Pour chacune des équations différentielles ci-dessous, donner la
forme générale de la solution que l’on obtiendrait par la méthode des
coefficients indéterminés (si l’on peut appliquer cette méthode):
(a) y′′(t) − 4y′(t) + 4y(t) = 2e2t + cos(2t);
(b) 2y′′(t) + 2y′(t) + 5y(t) = 4et
3
cos(t);
(c) x2y′′(x) − x(x + 2)y′(x) + (x + 2)y(x) = x.
Dans le cas où la méthode des coefficients indéterminés ne serait pas
applicable, expliquer brièvement pourquoi et donner le nom d’une
méthode que l’on pourrait appliquer.
3-110. Est-ce que les fonctions y1(x) = x et y2(x) = e−2x forment un
ensemble fondamental de solutions de l’équation différentielle
(1 + 2x)y′′(x) + 4xy′(x) − 4y(x) = 0 pour 0 < x < 1?
3-111. Soit
y′′(t) − 1
2
[y′(t)]2 + y(t) = 1.
(a) (i) En utilisant un changement de variable approprié, montrer que
l’équation différentielle ci-dessus peut être transformée en l’équation
différentielle d’ordre un
u
du
dy
− u
2
2
+ y = 1.
(ii) Trouver la solution de l’équation différentielle en (i) qui satisfait
à la condition initiale u(1) =
√
2.
3.12 Exercices supplémentaires 145
(b) En utilisant les résultats obtenus en (a), trouver la solution de
l’équation différentielle pour y(t) qui satisfait aux conditions initiales
y(0) = 1 et y′(0) =
√
2.
3-112. Sachant que y1(t) = et cos(2t) et y2(t) = tet cos(2t) sont des
solutions de l’équation différentielle
y(4)(t) − 4y′′′(t) + 14y′′(t) − 20y′(t) + 25y(t) = 0,
trouver la solution générale de cette équation.
3-113. Trouver la solution du problème de valeurs initiales


y′′(t) + 9y′(t) = 18e3t + 6 sin(3t),
y(0) = 1 et y′(0) = −1.
3-114. (a) Utiliser le fait que la variable indépendante t n’apparâıt pas
explicitementdans l’équation différentielle non linéaire
y′′(t) = y′(t)y(t) − y(t)
pour la transformer en une équation d’ordre un.
(b) Trouver une solution (non nulle) y(t) de l’équation différentielle
ci-dessus à l’aide de votre réponse en (a).
3-115. (a) Trouver l’ensemble fondamental {y1(t), y2(t)} de solutions
de l’équation différentielle
y′′(t) + y(t) = 0
qui satisfait aux conditions initiales
y1(0) = 1; y′1(0) = 1;
y2(0) = 0; y′2(0) = 1.
(b) Calculer le déterminant wronskien des fonctions y1(t) et y2(t)
obtenues en (a) au point t = π/2.
3-116. Utiliser la technique de réduction d’ordre pour trouver la solu-
tion générale de l’équation non homogène
x2y′′(x) − 2xy′(x) + 2y(x) = x pour x > 0.
exercices supplémentaires w 145
144 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
3-107. On suppose que les fonctions p(t) et q(t) dans l’équation
différentielle
y′′(t) + p(t)y′(t) + q(t)y(t) = 1
sont continues dans un intervalle ouvert I. Soit y1(t) et y2(t) deux
solutions de cette équation. Sachant qu’il existe un point t0 ∈ I pour
lequel le wronskien des solutions y1(t) et y2(t) évalué en t0 est non nul,
quelles conclusions peut-on tirer de ce résultat?
3-108. Trouver la solution générale de l’équation différentielle
y(4)(t) + 3y′′′(t) + 3y′′(t) + y′(t) = 0.
3-109. Pour chacune des équations différentielles ci-dessous, donner la
forme générale de la solution que l’on obtiendrait par la méthode des
coefficients indéterminés (si l’on peut appliquer cette méthode):
(a) y′′(t) − 4y′(t) + 4y(t) = 2e2t + cos(2t);
(b) 2y′′(t) + 2y′(t) + 5y(t) = 4et
3
cos(t);
(c) x2y′′(x) − x(x + 2)y′(x) + (x + 2)y(x) = x.
Dans le cas où la méthode des coefficients indéterminés ne serait pas
applicable, expliquer brièvement pourquoi et donner le nom d’une
méthode que l’on pourrait appliquer.
3-110. Est-ce que les fonctions y1(x) = x et y2(x) = e−2x forment un
ensemble fondamental de solutions de l’équation différentielle
(1 + 2x)y′′(x) + 4xy′(x) − 4y(x) = 0 pour 0 < x < 1?
3-111. Soit
y′′(t) − 1
2
[y′(t)]2 + y(t) = 1.
(a) (i) En utilisant un changement de variable approprié, montrer que
l’équation différentielle ci-dessus peut être transformée en l’équation
différentielle d’ordre un
u
du
dy
− u
2
2
+ y = 1.
(ii) Trouver la solution de l’équation différentielle en (i) qui satisfait
à la condition initiale u(1) =
√
2.
3.12 Exercices supplémentaires 145
(b) En utilisant les résultats obtenus en (a), trouver la solution de
l’équation différentielle pour y(t) qui satisfait aux conditions initiales
y(0) = 1 et y′(0) =
√
2.
3-112. Sachant que y1(t) = et cos(2t) et y2(t) = tet cos(2t) sont des
solutions de l’équation différentielle
y(4)(t) − 4y′′′(t) + 14y′′(t) − 20y′(t) + 25y(t) = 0,
trouver la solution générale de cette équation.
3-113. Trouver la solution du problème de valeurs initiales


y′′(t) + 9y′(t) = 18e3t + 6 sin(3t),
y(0) = 1 et y′(0) = −1.
3-114. (a) Utiliser le fait que la variable indépendante t n’apparâıt pas
explicitement dans l’équation différentielle non linéaire
y′′(t) = y′(t)y(t) − y(t)
pour la transformer en une équation d’ordre un.
(b) Trouver une solution (non nulle) y(t) de l’équation différentielle
ci-dessus à l’aide de votre réponse en (a).
3-115. (a) Trouver l’ensemble fondamental {y1(t), y2(t)} de solutions
de l’équation différentielle
y′′(t) + y(t) = 0
qui satisfait aux conditions initiales
y1(0) = 1; y′1(0) = 1;
y2(0) = 0; y′2(0) = 1.
(b) Calculer le déterminant wronskien des fonctions y1(t) et y2(t)
obtenues en (a) au point t = π/2.
3-116. Utiliser la technique de réduction d’ordre pour trouver la solu-
tion générale de l’équation non homogène
x2y′′(x) − 2xy′(x) + 2y(x) = x pour x > 0.
146 w équations différ entielles
146 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
3-117. Pour chacune des équations différentielles suivantes, donner la
forme générale de la solution particulière yp(t) obtenue par la méthode
des coefficients indéterminés:
(a) y′′(t) − y′(t) − 2y(t) = e−t + cos(2t);
(b) y′′(t) + 3y′(t) + 2y(t) = sin(2t) + t2e−t.
Remarque. Vous n’avez pas à trouver les coefficients dans les fonctions
yp(t).
3-118. Trouver toutes les solutions de l’équation différentielle
y(6)(t) + 4y(5)(t) + 6y(4)(t) + 4y′′′(t) + y′′(t) = 0
qui satisfont à la condition y(0) = 1.
3-119. Utiliser la méthode des coefficients indéterminés pour trouver
une solution particulière yp(t) de l’équation différentielle
y′′(t) − y′(t) = t + et pour t ≥ 0.
3-120. Donner la solution générale de l’équation différentielle
y(4)(t) = y′(t) pour t ≥ 0.
3-121. Dans le problème des oscillations non amorties d’un objet de
masse m suspendu à un ressort vertical, on a trouvé que la position
y(t) de l’objet à l’instant t satisfait à l’équation différentielle
y′′(t) +
k
m
y(t) = 0,
où k > 0 est le coefficient de raideur du ressort. De plus, la solution
de cette équation qui satisfait aux conditions initiales y(0) = y0 et
y′(0) = 0 est
y(t) = y0 cos(ω0 t) pour t ≥ 0,
où ω0 =
√
k/m.
(a) Soit T (m) le temps requis pour que l’objet de masse m retourne
à sa position initiale pour la première fois. Si l’on double la masse de
l’objet, quelle sera la valeur de T (2m) en fonction de T (m)?
(b) Donner l’équation différentielle à laquelle satisfait la vitesse v(t) de
l’objet.
3.12 Exercices supplémentaires 147
3-122. Trouver la solution générale de l’équation différentielle ordinaire
y′′(t) + 2ay′(t) + ay(t) = 0,
où a est une constante non négative.
3-123. Trouver la solution générale de
y′′(t) − y′(t) = t cos t
à l’aide de la méthode des coefficients indéterminés.
3-124. Utiliser la technique de réduction d’ordre pour obtenir la solu-
tion générale de l’équation différentielle non homogène
x2y′′(x) − 6y(x) = x2 pour x > 0.
3-125. Obtenir la solution générale de l’équation différentielle d’ordre
quatre
y(4)(x) − y(x) = 0.
3-126. Selon la loi du refroidissement de Newton, le taux de perte
de chaleur d’un corps est proportionnel à la différence de température
entre le corps et le milieu. Supposons que la température du milieu est
maintenue à la valeur constante Tm. Soit T (t) la température du corps
à l’instant t.
(a) Donner l’équation différentielle à laquelle la fonction T (t) satisfait.
(b) Un corps dont la température initiale est T (0) = 100 est placé
dans un milieu maintenu à la température nulle. Si la température du
corps à l’instant t = 1 est T (1) = 80, pour quelle valeur t∗ aura-t-on
T (t∗) = 50?
3-127. Utiliser la méthode de solution en série entière pour obtenir
la solution générale de l’équation différentielle ordinaire du troisième
ordre
y′′′(x) − y′′(x) = 0.
3-128. Trouver l’ensemble fondamental {y1(x), y2(x)} de solutions de
l’équation différentielle
x2y′′(x) − 2y(x) = 0 pour x > 0
qui satisfait aux conditions
exercices supplémentaires w 147
146 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
3-117. Pour chacune des équations différentielles suivantes, donner la
forme générale de la solution particulière yp(t) obtenue par la méthode
des coefficients indéterminés:
(a) y′′(t) − y′(t) − 2y(t) = e−t + cos(2t);
(b) y′′(t) + 3y′(t) + 2y(t) = sin(2t) + t2e−t.
Remarque. Vous n’avez pas à trouver les coefficients dans les fonctions
yp(t).
3-118. Trouver toutes les solutions de l’équation différentielle
y(6)(t) + 4y(5)(t) + 6y(4)(t) + 4y′′′(t) + y′′(t) = 0
qui satisfont à la condition y(0) = 1.
3-119. Utiliser la méthode des coefficients indéterminés pour trouver
une solution particulière yp(t) de l’équation différentielle
y′′(t) − y′(t) = t + et pour t ≥ 0.
3-120. Donner la solution générale de l’équation différentielle
y(4)(t) = y′(t) pour t ≥ 0.
3-121. Dans le problème des oscillations non amorties d’un objet de
masse m suspendu à un ressort vertical, on a trouvé que la position
y(t) de l’objet à l’instant t satisfait à l’équation différentielley′′(t) +
k
m
y(t) = 0,
où k > 0 est le coefficient de raideur du ressort. De plus, la solution
de cette équation qui satisfait aux conditions initiales y(0) = y0 et
y′(0) = 0 est
y(t) = y0 cos(ω0 t) pour t ≥ 0,
où ω0 =
√
k/m.
(a) Soit T (m) le temps requis pour que l’objet de masse m retourne
à sa position initiale pour la première fois. Si l’on double la masse de
l’objet, quelle sera la valeur de T (2m) en fonction de T (m)?
(b) Donner l’équation différentielle à laquelle satisfait la vitesse v(t) de
l’objet.
3.12 Exercices supplémentaires 147
3-122. Trouver la solution générale de l’équation différentielle ordinaire
y′′(t) + 2ay′(t) + ay(t) = 0,
où a est une constante non négative.
3-123. Trouver la solution générale de
y′′(t) − y′(t) = t cos t
à l’aide de la méthode des coefficients indéterminés.
3-124. Utiliser la technique de réduction d’ordre pour obtenir la solu-
tion générale de l’équation différentielle non homogène
x2y′′(x) − 6y(x) = x2 pour x > 0.
3-125. Obtenir la solution générale de l’équation différentielle d’ordre
quatre
y(4)(x) − y(x) = 0.
3-126. Selon la loi du refroidissement de Newton, le taux de perte
de chaleur d’un corps est proportionnel à la différence de température
entre le corps et le milieu. Supposons que la température du milieu est
maintenue à la valeur constante Tm. Soit T (t) la température du corps
à l’instant t.
(a) Donner l’équation différentielle à laquelle la fonction T (t) satisfait.
(b) Un corps dont la température initiale est T (0) = 100 est placé
dans un milieu maintenu à la température nulle. Si la température du
corps à l’instant t = 1 est T (1) = 80, pour quelle valeur t∗ aura-t-on
T (t∗) = 50?
3-127. Utiliser la méthode de solution en série entière pour obtenir
la solution générale de l’équation différentielle ordinaire du troisième
ordre
y′′′(x) − y′′(x) = 0.
3-128. Trouver l’ensemble fondamental {y1(x), y2(x)} de solutions de
l’équation différentielle
x2y′′(x) − 2y(x) = 0 pour x > 0
qui satisfait aux conditions
148 w équations différ entielles
148 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
y1(1) = 1; y′1(1) = 0;
y2(1) = 0; y′2(1) = 1.
3-129. Donner la solution générale de l’équation différentielle
y′′(t) +
2
a
y′(t) + ay(t) = 0,
où a est une constante non nulle.
3-130. Trouver une solution particulière yp(t) de l’équation différen-
tielle non homogène
y′′(t) + y′(t) = et
(a) par la méthode des coefficients indéterminés, et (b) par la méthode
de variation des paramètres.
3-131. Trouver la solution générale de l’équation différentielle d’ordre
quatre
y(4)(t) − 2y′′′(t) + 2y′′(t) − 2y′(t) + y(t) = 0.
3-132. Soit l’équation différentielle
y′′(x) − xy′(x) − y(x) = 0.
On cherche des solutions de cette équation sous la forme d’une série
entière centrée en x0 = 1:
y(x) =
∞∑
n=0
an (x − 1)n.
(a) Trouver la relation de récurrence qui relie les coefficients an pour
n ≥ 0.
(b) Trouver les trois premiers termes non nuls de chacune des deux
solutions linéairement indépendantes y1(x) et y2(x).
3-133. Trouver la solution de l’équation différentielle
(x + 1)y′′(x) − y′(x) = 0 pour x > −1
sous la forme d’une série entière centrée en x0 = 0.
3-134. Soit
x2y′′(x) − x(x + 1)y′(x) + y(x) = 0.
3.12 Exercices supplémentaires 149
(a) Quel type de point (ordinaire, singulier régulier ou singulier irré-
gulier) est l’origine pour cette équation? Justifier.
(b) Une solution de cette équation est y(x) = xex. Utiliser la technique
de réduction d’ordre pour trouver sa solution générale pour x > 0.
Remarque. Exprimer votre réponse en fonction de Ei(1, x) :=
∫ −e−x
x dx.
Cette fonction est appelée exponentielle intégrale.
3-135. La position y(t) d’un objet attaché à l’extrémité d’un ressort
vertical et soumis à une force externe F = F0 sin(ωt), où ω > 0, satisfait
(en négligeant la force d’amortissement) à l’équation différentielle
my′′(t) + ky(t) = F0 sin(ωt) pour t ≥ 0.
(a) Donner la solution générale de l’équation différentielle si m = k = 1.
(b) Calculer la limite lorsque t tend vers l’infini de la fonction obtenue
en (a) dans le cas où ω = 1.
3-136. L’équation
y′(x) = y2(x) + 2y(x) + 1
est une équation de Riccati particulière.
(a) Montrer que l’équation de Riccati est transformée en l’équation
différentielle linéaire du deuxième ordre
u′′(x) − 2u′(x) + u(x) = 0
en posant y(x) = −u′(x)/u(x).
(b) Utiliser le résultat en (a) pour trouver la solution de l’équation qui
satisfait à la condition y(0) = 0.
3-137. Soit p0, q0 et r0 des constantes réelles. On trouve que l’équation
différentielle d’ordre trois
t3y′′′(t) + p0 t2y′′(t) + q0 ty′(t) + r0y(t) = 0 pour t > 0
est transformée en une équation différentielle à coefficients constants
en posant que y(t) = z(s), où s = ln t.
(a) Donner l’équation à laquelle satisfait la fonction z(s).
(b) Dans le cas où p0 = 4, q0 = −1 et r0 = 1, on trouve que z(s)
satisfait à l’équation
exercices supplémentaires w 149
148 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
y1(1) = 1; y′1(1) = 0;
y2(1) = 0; y′2(1) = 1.
3-129. Donner la solution générale de l’équation différentielle
y′′(t) +
2
a
y′(t) + ay(t) = 0,
où a est une constante non nulle.
3-130. Trouver une solution particulière yp(t) de l’équation différen-
tielle non homogène
y′′(t) + y′(t) = et
(a) par la méthode des coefficients indéterminés, et (b) par la méthode
de variation des paramètres.
3-131. Trouver la solution générale de l’équation différentielle d’ordre
quatre
y(4)(t) − 2y′′′(t) + 2y′′(t) − 2y′(t) + y(t) = 0.
3-132. Soit l’équation différentielle
y′′(x) − xy′(x) − y(x) = 0.
On cherche des solutions de cette équation sous la forme d’une série
entière centrée en x0 = 1:
y(x) =
∞∑
n=0
an (x − 1)n.
(a) Trouver la relation de récurrence qui relie les coefficients an pour
n ≥ 0.
(b) Trouver les trois premiers termes non nuls de chacune des deux
solutions linéairement indépendantes y1(x) et y2(x).
3-133. Trouver la solution de l’équation différentielle
(x + 1)y′′(x) − y′(x) = 0 pour x > −1
sous la forme d’une série entière centrée en x0 = 0.
3-134. Soit
x2y′′(x) − x(x + 1)y′(x) + y(x) = 0.
3.12 Exercices supplémentaires 149
(a) Quel type de point (ordinaire, singulier régulier ou singulier irré-
gulier) est l’origine pour cette équation? Justifier.
(b) Une solution de cette équation est y(x) = xex. Utiliser la technique
de réduction d’ordre pour trouver sa solution générale pour x > 0.
Remarque. Exprimer votre réponse en fonction de Ei(1, x) :=
∫ −e−x
x dx.
Cette fonction est appelée exponentielle intégrale.
3-135. La position y(t) d’un objet attaché à l’extrémité d’un ressort
vertical et soumis à une force externe F = F0 sin(ωt), où ω > 0, satisfait
(en négligeant la force d’amortissement) à l’équation différentielle
my′′(t) + ky(t) = F0 sin(ωt) pour t ≥ 0.
(a) Donner la solution générale de l’équation différentielle si m = k = 1.
(b) Calculer la limite lorsque t tend vers l’infini de la fonction obtenue
en (a) dans le cas où ω = 1.
3-136. L’équation
y′(x) = y2(x) + 2y(x) + 1
est une équation de Riccati particulière.
(a) Montrer que l’équation de Riccati est transformée en l’équation
différentielle linéaire du deuxième ordre
u′′(x) − 2u′(x) + u(x) = 0
en posant y(x) = −u′(x)/u(x).
(b) Utiliser le résultat en (a) pour trouver la solution de l’équation qui
satisfait à la condition y(0) = 0.
3-137. Soit p0, q0 et r0 des constantes réelles. On trouve que l’équation
différentielle d’ordre trois
t3y′′′(t) + p0 t2y′′(t) + q0 ty′(t) + r0y(t) = 0 pour t > 0
est transformée en une équation différentielle à coefficients constants
en posant que y(t) = z(s), où s = ln t.
(a) Donner l’équation à laquelle satisfait la fonction z(s).
(b) Dans le cas où p0 = 4, q0 = −1 et r0 = 1, on trouve que z(s)
satisfait à l’équation
150 w équations différ entielles150 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
z′′′(s) + z′′(s) − 3z′(s) + z(s) = 0.
Donner la solution générale de cette équation.
3-138. On suppose qu’une certaine population augmente à un taux
qui est proportionnel à sa taille x(t), plus un terme k qui est dû à
l’immigration ou à l’émigration, de sorte que
x′(t) = k0x(t) + k,
où k0 > 0 et k sont des constantes.
(a) Soit k0 = 1 et x(0) = x0 > 0.
(i) Quelle est la taille de la population à l’instant t?
(ii) Pour quelle valeur de k la taille de la population demeurera-t-elle
stable? Justifier.
(b) Supposons que, pour une autre population, on a:
x′(t) = x(t) + t2 + 1,
de sorte que
x′′(t) = x′(t) + 2t.
(i) Trouver une solution particulière de l’équation d’ordre deux ci-
dessus à l’aide de la méthode des coefficients indéterminés, et donner
sa solution générale.
(ii) Utiliser la solution de l’équation d’ordre deux obtenue ci-dessus
pour déterminer la valeur de x(t) si x(0) = 100.
3-139. On désire trouver la solution de l’équation différentielle
y′′(x) − 2xy′(x) = 0
sous la forme d’une série entière centrée en 0: y(x) =
∑∞
n=0 anx
n.
(a) Quelle est la relation de récurrence entre les coefficients an?
(b) Donner les coefficients a0, a1, . . . , a7 de la série.
3-140. Résoudre le problème de valeurs initiales


(1 + t2)y′′(t) + 2ty′(t) +
3
t2
= 0 pour t > 0,
y(1) = 2 et y′(1) = −1.
exercices supplémentaires w 151
150 3 Équations différentielles ordinaires d’ordre deux
z′′′(s) + z′′(s) − 3z′(s) + z(s) = 0.
Donner la solution générale de cette équation.
3-138. On suppose qu’une certaine population augmente à un taux
qui est proportionnel à sa taille x(t), plus un terme k qui est dû à
l’immigration ou à l’émigration, de sorte que
x′(t) = k0x(t) + k,
où k0 > 0 et k sont des constantes.
(a) Soit k0 = 1 et x(0) = x0 > 0.
(i) Quelle est la taille de la population à l’instant t?
(ii) Pour quelle valeur de k la taille de la population demeurera-t-elle
stable? Justifier.
(b) Supposons que, pour une autre population, on a:
x′(t) = x(t) + t2 + 1,
de sorte que
x′′(t) = x′(t) + 2t.
(i) Trouver une solution particulière de l’équation d’ordre deux ci-
dessus à l’aide de la méthode des coefficients indéterminés, et donner
sa solution générale.
(ii) Utiliser la solution de l’équation d’ordre deux obtenue ci-dessus
pour déterminer la valeur de x(t) si x(0) = 100.
3-139. On désire trouver la solution de l’équation différentielle
y′′(x) − 2xy′(x) = 0
sous la forme d’une série entière centrée en 0: y(x) =
∑∞
n=0 anx
n.
(a) Quelle est la relation de récurrence entre les coefficients an?
(b) Donner les coefficients a0, a1, . . . , a7 de la série.
3-140. Résoudre le problème de valeurs initiales


(1 + t2)y′′(t) + 2ty′(t) +
3
t2
= 0 pour t > 0,
y(1) = 2 et y′(1) = −1.
3.12 Exercices supplémentaires 151
Indications. On a:
1
t(1 + t2)
=
1
t
− t
1 + t2
,
d
dt
arctg(t) =
1
1 + t2
et arctg(1) =
π
4
.
3-141. Expliquer, avec preuves à l’appui, pourquoi les fonctions y1(x) =
x et y2(x) = xex forment un ensemble fondamental de solutions de
l’équation différentielle
x2y′′(x) − x(x + 2)y′(x) + (x + 2)y(x) = 0 pour x > 0.
3-142. Soit l’équation différentielle
x2y′′ + αy = 0 pour x > 0,
où α < 1/4 est un paramètre. Trouver toutes les valeurs de α pour
lesquelles toutes les solutions de cette équation différentielle s’appro-
chent de zéro lorsque x décrôıt vers zéro.
3-143. On cherche une solution particulière de l’équation différentielle
x2y′′ − xy′ + (x2 − 0,25)y = 3x3/2 sin(x) pour x > 0.
(a) Expliquer pourquoi la méthode des coefficients indéterminés n’est
pas applicable. Donner deux raisons pour justifier votre réponse.
(b) Donner le nom d’une méthode qu’on pourrait utiliser et préciser les
conditions nécessaires pour l’utiliser.
3-144. Trouver la solution générale de l’équation différentielle d’ordre
trois
y′′′(t) − 3y′(t) + 2y(t) = 0.
3-145. Trouver la solution du problème de valeurs initiales
y′′ + 4y = 3 cos(2t) − 5 sin(2t), y(0) = 1, y′(0) = 1,
et décrire le comportement de la solution lorsque t tend vers l’infini.
3-146. Soit le problème de valeur initiale
(2x2 − 3)y′′(x) − 2xy′(x) + xy(x) = 0, y(0) = −1, y′(0) = 5.
On cherche des solutions de l’équation différentielle sous la forme de la
série autour de x0 = 0
y(x) =
∞∑
n=0
anx
n.
Trouver les trois premiers termes non nuls de la solution du problème
de valeur initiale.
4
Systèmes d’équations différentielles
4.1 Introduction
Plusieurs problèmes pratiques peuvent être modélisés par un système
d’équations différentielles (non linéaires, en général). Par exemple,
considérons le problème classique proie-prédateur en écologie. Plus
précisément, soit x(t) [respectivement y(t)] le nombre de lapins (resp.
renards) dans une certaine région à l’instant t. Supposons que les
renards se nourrissent exclusivement de lapins, et qu’en l’absence de
renards, les lapins disposent de suffisamment de nourriture pour que la
taille de leur population augmente de façon exponentielle:
dx(t)
dt
= a1x(t), (4.1)
où a1 est une constante positive. Dans le cas de la population de
renards, s’il n’y a plus de lapins, sa taille diminuera exponentiellement:
dy(t)
dt
= −a2y(t), (4.2)
où a2 > 0. De plus, on suppose que le nombre de rencontres entre les
lapins et les renards est proportionnel au produit des variables x(t)
et y(t). Ainsi, si l’on admet que lors d’une proportion donnée de ces
rencontres entre les deux espèces un lapin est mangé par un renard, on
obtient que
dx(t)
dt
= a1x(t) − b1x(t)y(t). (4.3)
Finalement, si l’on accepte que le taux d’augmentation (instantané) de
la taille de la population de renards est aussi proportionnel au produit
x(t)y(t), on peut écrire que
4
Systèmes d’équations différentielles
4.1 Introduction
Plusieurs problèmes pratiques peuvent être modélisés par un système
d’équations différentielles (non linéaires, en général). Par exemple,
considérons le problème classique proie-prédateur en écologie. Plus
précisément, soit x(t) [respectivement y(t)] le nombre de lapins (resp.
renards) dans une certaine région à l’instant t. Supposons que les
renards se nourrissent exclusivement de lapins, et qu’en l’absence de
renards, les lapins disposent de suffisamment de nourriture pour que la
taille de leur population augmente de façon exponentielle:
dx(t)
dt
= a1x(t), (4.1)
où a1 est une constante positive. Dans le cas de la population de
renards, s’il n’y a plus de lapins, sa taille diminuera exponentiellement:
dy(t)
dt
= −a2y(t), (4.2)
où a2 > 0. De plus, on suppose que le nombre de rencontres entre les
lapins et les renards est proportionnel au produit des variables x(t)
et y(t). Ainsi, si l’on admet que lors d’une proportion donnée de ces
rencontres entre les deux espèces un lapin est mangé par un renard, on
obtient que
dx(t)
dt
= a1x(t) − b1x(t)y(t). (4.3)
Finalement, si l’on accepte que le taux d’augmentation (instantané) de
la taille de la population de renards est aussi proportionnel au produit
x(t)y(t), on peut écrire que
4 
SYSTÈMES D’ÉQUATIONS 
DIFFÉRENTIELLES
introduction
154 w équations différ entielles
154 4 Systèmes d’équations différentielles
dy(t)
dt
= −a2y(t) + b2x(t)y(t). (4.4)
Les constantes b1 et b2 sont positives. On a donc un système de deux
équations différentielles non linéaires:
dx(t)
dt
= x(t) [a1 − b1y(t)] ,
dy(t)
dt
= −y(t) [a2 − b2x(t)] .


(4.5)
Ces équations sont appelées équations proie-prédateur de Volterra.
Dans ce chapitre, nous allons étudier les systèmes d’équations
différentielles d’ordre un. De plus, notons que toute équation différen-
tielle d’ordre n peut facilement être transformée en un système de n
équations différentielles d’ordre un. En effet, soit l’équation
dny(t)
dtn
= f
(
t, y, y′, . . . , y(n−1)
)
. (4.6)
Il suffit de définir n nouvelles variables comme suit:xi(t) = y(i−1)(t) pour i = 1, . . . , n. (4.7)
On peut alors écrire que
x′1(t) = x2(t),
x′2(t) = x3(t),
...
...
...
x′n−1(t) = xn(t),
x′n(t) = f (t, x1, x2, . . . , xn) .


(4.8)
Exemple 4.1.1. L’équation différentielle non linéaire d’ordre trois
y′′′(t) − ty′′(t) + [y′(t)]2 + t2y(t) = et
est transformée, en posant que x1(t) = y(t), x2(t) = y′(t) et x3(t) =
y′′(t), en le système suivant de trois équations différentielles d’ordre un:
x′1(t) = x2(t),
x′2(t) = x3(t),
x′3(t) = tx3(t) − x22(t) − t2x1(t) + et.
4.1 Introduction 155
En général, un système de n équations différentielles d’ordre un
pour n variables, x1(t), . . . , xn(t), est de la forme
x′1(t) = f1 (t, x1, x2, . . . , xn) ,
x′2(t) = f2 (t, x1, x2, . . . , xn) ,
...
...
...
x′n(t) = fn (t, x1, x2, . . . , xn) .


(4.9)
On peut montrer le théorème d’existence et d’unicité suivant.
Théorème 4.1.1. Supposons que les fi, pour i = 1, . . . , n, sont des
fonctions continues dont les dérivées partielles ∂fi/∂xj existent et sont
continues, ∀i, j, dans la région
R := {(t, x1, x2, . . . , xn) : t ∈ (a, b), xi ∈ (ai, bi), i = 1, . . . , n}. (4.10)
Si (t0, x1,0, . . . , xn,0) ∈ R, alors il existe un intervalle défini par
|t − t0| < δ dans lequel le système (4.9) possède une unique solution
qui satisfait aux conditions initiales
xi(t0) = xi,0 pour i = 1, . . . , n. (4.11)
Remarque. En particulier, les variables xi(t) peuvent être définies par
(4.7), avec les conditions initiales correspondantes.
Nous allons en fait nous limiter, dans la majeure partie de ce
chapitre, au cas où les systèmes d’équations différentielles considérés
sont linéaires, de sorte que
x′1(t) = p1,1(t)x1(t) + . . . + p1,n(t)xn(t) + q1(t),
x′2(t) = p2,1(t)x1(t) + . . . + p2,n(t)xn(t) + q2(t),
...
...
...
x′n(t) = pn,1(t)x1(t) + . . . + pn,n(t)xn(t) + qn(t).


(4.12)
Remarque. Si qi(t) ≡ 0 pour tout i, alors le système d’équations différen-
tielles est homogène; sinon, le système est non homogène.
Dans le cas d’un système d’équations différentielles linéaires, on peut
démontrer le théorème d’existence et d’unicité qui suit.
Théorème 4.1.2. Si les fonctions pi,j(t), pour i, j = 1, . . . , n, sont
continues dans l’intervalle I := (a, b), alors il existe une solution du
système (4.12) dans cet intervalle. De plus, il y a une unique solution
qui satisfait aux conditions initiales (4.11), où t0 ∈ I.
introduction w 155
154 4 Systèmes d’équations différentielles
dy(t)
dt
= −a2y(t) + b2x(t)y(t). (4.4)
Les constantes b1 et b2 sont positives. On a donc un système de deux
équations différentielles non linéaires:
dx(t)
dt
= x(t) [a1 − b1y(t)] ,
dy(t)
dt
= −y(t) [a2 − b2x(t)] .


(4.5)
Ces équations sont appelées équations proie-prédateur de Volterra.
Dans ce chapitre, nous allons étudier les systèmes d’équations
différentielles d’ordre un. De plus, notons que toute équation différen-
tielle d’ordre n peut facilement être transformée en un système de n
équations différentielles d’ordre un. En effet, soit l’équation
dny(t)
dtn
= f
(
t, y, y′, . . . , y(n−1)
)
. (4.6)
Il suffit de définir n nouvelles variables comme suit:
xi(t) = y(i−1)(t) pour i = 1, . . . , n. (4.7)
On peut alors écrire que
x′1(t) = x2(t),
x′2(t) = x3(t),
...
...
...
x′n−1(t) = xn(t),
x′n(t) = f (t, x1, x2, . . . , xn) .


(4.8)
Exemple 4.1.1. L’équation différentielle non linéaire d’ordre trois
y′′′(t) − ty′′(t) + [y′(t)]2 + t2y(t) = et
est transformée, en posant que x1(t) = y(t), x2(t) = y′(t) et x3(t) =
y′′(t), en le système suivant de trois équations différentielles d’ordre un:
x′1(t) = x2(t),
x′2(t) = x3(t),
x′3(t) = tx3(t) − x22(t) − t2x1(t) + et.
4.1 Introduction 155
En général, un système de n équations différentielles d’ordre un
pour n variables, x1(t), . . . , xn(t), est de la forme
x′1(t) = f1 (t, x1, x2, . . . , xn) ,
x′2(t) = f2 (t, x1, x2, . . . , xn) ,
...
...
...
x′n(t) = fn (t, x1, x2, . . . , xn) .


(4.9)
On peut montrer le théorème d’existence et d’unicité suivant.
Théorème 4.1.1. Supposons que les fi, pour i = 1, . . . , n, sont des
fonctions continues dont les dérivées partielles ∂fi/∂xj existent et sont
continues, ∀i, j, dans la région
R := {(t, x1, x2, . . . , xn) : t ∈ (a, b), xi ∈ (ai, bi), i = 1, . . . , n}. (4.10)
Si (t0, x1,0, . . . , xn,0) ∈ R, alors il existe un intervalle défini par
|t − t0| < δ dans lequel le système (4.9) possède une unique solution
qui satisfait aux conditions initiales
xi(t0) = xi,0 pour i = 1, . . . , n. (4.11)
Remarque. En particulier, les variables xi(t) peuvent être définies par
(4.7), avec les conditions initiales correspondantes.
Nous allons en fait nous limiter, dans la majeure partie de ce
chapitre, au cas où les systèmes d’équations différentielles considérés
sont linéaires, de sorte que
x′1(t) = p1,1(t)x1(t) + . . . + p1,n(t)xn(t) + q1(t),
x′2(t) = p2,1(t)x1(t) + . . . + p2,n(t)xn(t) + q2(t),
...
...
...
x′n(t) = pn,1(t)x1(t) + . . . + pn,n(t)xn(t) + qn(t).


(4.12)
Remarque. Si qi(t) ≡ 0 pour tout i, alors le système d’équations différen-
tielles est homogène; sinon, le système est non homogène.
Dans le cas d’un système d’équations différentielles linéaires, on peut
démontrer le théorème d’existence et d’unicité qui suit.
Théorème 4.1.2. Si les fonctions pi,j(t), pour i, j = 1, . . . , n, sont
continues dans l’intervalle I := (a, b), alors il existe une solution du
système (4.12) dans cet intervalle. De plus, il y a une unique solution
qui satisfait aux conditions initiales (4.11), où t0 ∈ I.
156 w équations différ entielles
156 4 Systèmes d’équations différentielles
Exemple 4.1.2. (Voir Boyce et DiPrima, p. 359, no 21.) On considère
deux réservoirs. Le premier contient 30 litres d’eau et 25 grammes de
sel, tandis que le deuxième contient 20 litres d’eau et 15 grammes de sel.
On suppose que de l’eau, venant de l’extérieur, entre dans le réservoir I
(respectivement II) au taux de 1,5 (resp. 1) litre par minute; cette eau
contient 1 (resp. 3) gramme(s) de sel par litre. De plus, le mélange
est constamment remué, de sorte que la distribution du sel dans les
réservoirs est uniforme.
Supposons maintenant que le mélange se déverse du réservoir I au
réservoir II au taux de 3 litres par minute. Enfin, le mélange quitte le
réservoir II au taux de 4 litres par minute; 1,5 de ces 4 litres par minute
retourne au réservoir I, et le reste (soit 2,5 litres par minute) s’échappe
à l’extérieur.
Soit Q1(t) [respectivement Q2(t)] la quantité de sel dans le réservoir I
(resp. II) à l’instant t. Le taux µ1 auquel le sel entre dans le réservoir I
est donné par
µ1 =
[
1
gramme
litre
× 1,5 litre
minute
]
+
[
Q2(t)
20
gramme(s)
litre
× 1,5 litre
minute
]
=
(
1,5 +
3Q2(t)
40
)
gramme(s)
minute
,
tandis que le taux ν1 auquel le sel sort de ce réservoir est
ν1 =
[
Q1(t)
30
gramme(s)
litre
× 3 litres
minute
]
=
Q1(t)
10
gramme(s)
minute
.
En utilisant le principe selon lequel le taux de variation de la quantité
de sel dans un réservoir doit être égal au taux auquel le sel entre dans
le réservoir, moins le taux auquel le sel sort de ce réservoir, on peut
écrire que
dQ1(t)
dt
= 1,5 +
3Q2(t)
40
− Q1(t)
10
. (4.13)
De même, on obtient que
dQ2(t)
dt
= 3 +
Q1(t)
10
− Q2(t)
5
. (4.14)
On a donc le système suivant de deux équations différentielles linéaires
non homogènes:
4.1 Introduction 157
Q′1(t) = 1,5 −
1
10
Q1(t) +
3
40
Q2(t),
Q′2(t) = 3 +
1
10
Q1(t) −
1
5
Q2(t).
Les conditions initiales sont les suivantes:
Q1(0) = 25 et Q2(0) = 15.
Remarque. Notons que, dans cet exemple, la quantité de liquide dans
chacun des réservoirs demeure constante.
On obtient les valeurs Qe1 et Q
e
2 de Q1(t) et Q2(t) pour lesquelles
le système est en équilibre (de sorte que les quantités de sel dans les
réservoirs ne varient plus avec t) en résolvantle système d’équations
linéaires
0 = 1,5 − 1
10
Qe1 +
3
40
Qe2,
0 = 3 +
1
10
Qe1 −
1
5
Qe2.
On trouve facilement que
Qe1 = 42 et Q
e
2 = 36.
Si l’on définit
Ri(t) = Qi(t) − Qei ,
pour i = 1, 2, alors on obtient un système de deux équations différen-
tielles linéaires homogènes du premier ordre:
R′1(t) = −
1
10
R1(t) +
3
40
R2(t),
R′2(t) =
1
10
R1(t) −
1
5
R2(t).
En effet, on a:
dQi(t)
dt
=
dRi(t)
dt
et
Qi(t) = Ri(t) + Qei ,
pour i = 1, 2. Notons que l’on a bien:
1,5 − 1
10
× 42 + 3
40
× 36 = 0
(et de même pour l’autre équation).
introduction w 157
156 4 Systèmes d’équations différentielles
Exemple 4.1.2. (Voir Boyce et DiPrima, p. 359, no 21.) On considère
deux réservoirs. Le premier contient 30 litres d’eau et 25 grammes de
sel, tandis que le deuxième contient 20 litres d’eau et 15 grammes de sel.
On suppose que de l’eau, venant de l’extérieur, entre dans le réservoir I
(respectivement II) au taux de 1,5 (resp. 1) litre par minute; cette eau
contient 1 (resp. 3) gramme(s) de sel par litre. De plus, le mélange
est constamment remué, de sorte que la distribution du sel dans les
réservoirs est uniforme.
Supposons maintenant que le mélange se déverse du réservoir I au
réservoir II au taux de 3 litres par minute. Enfin, le mélange quitte le
réservoir II au taux de 4 litres par minute; 1,5 de ces 4 litres par minute
retourne au réservoir I, et le reste (soit 2,5 litres par minute) s’échappe
à l’extérieur.
Soit Q1(t) [respectivement Q2(t)] la quantité de sel dans le réservoir I
(resp. II) à l’instant t. Le taux µ1 auquel le sel entre dans le réservoir I
est donné par
µ1 =
[
1
gramme
litre
× 1,5 litre
minute
]
+
[
Q2(t)
20
gramme(s)
litre
× 1,5 litre
minute
]
=
(
1,5 +
3Q2(t)
40
)
gramme(s)
minute
,
tandis que le taux ν1 auquel le sel sort de ce réservoir est
ν1 =
[
Q1(t)
30
gramme(s)
litre
× 3 litres
minute
]
=
Q1(t)
10
gramme(s)
minute
.
En utilisant le principe selon lequel le taux de variation de la quantité
de sel dans un réservoir doit être égal au taux auquel le sel entre dans
le réservoir, moins le taux auquel le sel sort de ce réservoir, on peut
écrire que
dQ1(t)
dt
= 1,5 +
3Q2(t)
40
− Q1(t)
10
. (4.13)
De même, on obtient que
dQ2(t)
dt
= 3 +
Q1(t)
10
− Q2(t)
5
. (4.14)
On a donc le système suivant de deux équations différentielles linéaires
non homogènes:
4.1 Introduction 157
Q′1(t) = 1,5 −
1
10
Q1(t) +
3
40
Q2(t),
Q′2(t) = 3 +
1
10
Q1(t) −
1
5
Q2(t).
Les conditions initiales sont les suivantes:
Q1(0) = 25 et Q2(0) = 15.
Remarque. Notons que, dans cet exemple, la quantité de liquide dans
chacun des réservoirs demeure constante.
On obtient les valeurs Qe1 et Q
e
2 de Q1(t) et Q2(t) pour lesquelles
le système est en équilibre (de sorte que les quantités de sel dans les
réservoirs ne varient plus avec t) en résolvant le système d’équations
linéaires
0 = 1,5 − 1
10
Qe1 +
3
40
Qe2,
0 = 3 +
1
10
Qe1 −
1
5
Qe2.
On trouve facilement que
Qe1 = 42 et Q
e
2 = 36.
Si l’on définit
Ri(t) = Qi(t) − Qei ,
pour i = 1, 2, alors on obtient un système de deux équations différen-
tielles linéaires homogènes du premier ordre:
R′1(t) = −
1
10
R1(t) +
3
40
R2(t),
R′2(t) =
1
10
R1(t) −
1
5
R2(t).
En effet, on a:
dQi(t)
dt
=
dRi(t)
dt
et
Qi(t) = Ri(t) + Qei ,
pour i = 1, 2. Notons que l’on a bien:
1,5 − 1
10
× 42 + 3
40
× 36 = 0
(et de même pour l’autre équation).
158 w équations différ entielles
158 4 Systèmes d’équations différentielles
Finalement, les conditions initiales sont alors
R1(0) = 25 − 42 = −17 et R2(0) = −21.
♦
Exemple 4.1.3. Un système de deux équations différentielles d’ordre
un à coefficients constants pour les fonctions x1(t) et x2(t) peut parfois
être résolu en isolant d’abord x2(t) dans la première équation, puis
en calculant x′2(t), et enfin en substituant les résultats obtenus dans la
deuxième équation. Cette deuxième équation devient alors une équation
différentielle d’ordre deux pour la fonction x1(t). Si on peut la résoudre
en utilisant les résultats du chapitre 3, alors on peut déduire la valeur
de x2(t) à partir de la première équation du système.
Par exemple, on déduit de l’équation (4.13) dans l’exemple 4.1.2 que
Q2(t) =
40
3
Q′1(t) − 20 +
4
3
Q1(t). (4.15)
Il s’ensuit que
Q′2(t) =
40
3
Q′′1(t) +
4
3
Q′1(t).
En substituant ces résultats dans l’équation (4.14), on obtient que
40
3
Q′′1(t) +
4
3
Q′1(t) = 3 +
1
10
Q1(t) −
[
8
3
Q′1(t) − 4 +
4
15
Q1(t)
]
.
C’est-à-dire que
Q′′1(t) +
3
10
Q′1(t) +
1
80
Q1(t) −
21
40
= 0.
La solution générale de cette équation différentielle linéaire d’ordre
deux à coefficients constants est donnée par
Q1(t) = c1e−t/4 + c2e−t/20 + 42.
De là, on peut écrire que
Q′1(t) = −
1
4
c1e
−t/4 − 1
20
c2e
−t/20.
4.1 Introduction 159
L’équation (4.15) implique alors que
Q2(t) = −
10
3
c1e
−t/4 − 2
3
c2e
−t/20 − 20 + 4
3
(
c1e
−t/4 + c2e−t/20
)
+ 56
= −2c1e−t/4 +
2
3
c2e
−t/20 + 36.
Finalement, on trouve que la solution du système qui satisfait aux
conditions initiales Q1(0) = 25 et Q2(0) = 15 est
Q1(t) =
29
8
e−t/4 − 165
8
e−t/20 + 42
et
Q2(t) = −
29
4
e−t/4 − 55
4
e−t/20 + 36.
Notons que
lim
t→∞
Q1(t) = 42 et lim
t→∞
Q2(t) = 36,
ce qui correspond bien aux solutions d’équilibre obtenues dans l’exemple
précédent.
Remarques. i) Cette technique fonctionne bien dans le cas des systèmes
de deux équations différentielles linéaires d’ordre un à coefficients cons-
tants. Cependant, elle serait difficile à appliquer pour trouver la solu-
tion des équations proie-prédateur de Volterra [voir (4.5)], par exemple.
De même, pour des systèmes de deux équations différentielles linéaires
d’ordre un à coefficients non constants, on peut obtenir une équation
différentielle d’ordre deux pour l’une ou l’autre des fonctions que l’on
cherche. Toutefois, l’équation en question sera généralement aussi à
coefficients non constants, de sorte qu’il ne sera probablement pas aisé
de la résoudre explicitement.
ii) Dans le cas général du système homogène à coefficients constants
x′1(t) = a1,1x1(t) + a1,2x2(t),
x′2(t) = a2,1x1(t) + a2,2x2(t),
(4.16)
on trouve que
x′′1(t) − (a1,1 + a2,2)x′1(t) + (a1,1a2,2 − a1,2a2,1)x1(t) = 0. (4.17)
Si l’on dénote par A la matrice des coefficients ai,j , alors on peut écrire
que a1,1 + a2,2 est la trace de A, et a1,1a2,2 − a1,2a2,1 son déterminant.
♦
introduction w 159
158 4 Systèmes d’équations différentielles
Finalement, les conditions initiales sont alors
R1(0) = 25 − 42 = −17 et R2(0) = −21.
♦
Exemple 4.1.3. Un système de deux équations différentielles d’ordre
un à coefficients constants pour les fonctions x1(t) et x2(t) peut parfois
être résolu en isolant d’abord x2(t) dans la première équation, puis
en calculant x′2(t), et enfin en substituant les résultats obtenus dans la
deuxième équation. Cette deuxième équation devient alors une équation
différentielle d’ordre deux pour la fonction x1(t). Si on peut la résoudre
en utilisant les résultats du chapitre 3, alors on peut déduire la valeur
de x2(t) à partir de la première équation du système.
Par exemple, on déduit de l’équation (4.13) dans l’exemple 4.1.2 que
Q2(t) =
40
3
Q′1(t) − 20 +
4
3
Q1(t). (4.15)
Il s’ensuit que
Q′2(t) =
40
3
Q′′1(t) +
4
3
Q′1(t).
En substituant ces résultats dans l’équation (4.14), on obtient que
40
3
Q′′1(t) +
4
3
Q′1(t) = 3 +
1
10
Q1(t) −
[
8
3
Q′1(t) − 4 +
4
15
Q1(t)
]
.
C’est-à-dire que
Q′′1(t) +
3
10
Q′1(t) +
1
80
Q1(t) −
21
40
= 0.
La solution générale de cette équation différentielle linéaire d’ordre
deux à coefficients constants est donnée par
Q1(t) = c1e−t/4 + c2e−t/20 + 42.
De là, on peut écrire que
Q′1(t) = −
1
4
c1e
−t/4 − 1
20
c2e
−t/20.
4.1 Introduction 159
L’équation (4.15) implique alors que
Q2(t) = −
10
3
c1e
−t/4 − 2
3
c2e
−t/20 − 20 + 4
3
(
c1e
−t/4 + c2e−t/20
)
+ 56
= −2c1e−t/4 +
23
c2e
−t/20 + 36.
Finalement, on trouve que la solution du système qui satisfait aux
conditions initiales Q1(0) = 25 et Q2(0) = 15 est
Q1(t) =
29
8
e−t/4 − 165
8
e−t/20 + 42
et
Q2(t) = −
29
4
e−t/4 − 55
4
e−t/20 + 36.
Notons que
lim
t→∞
Q1(t) = 42 et lim
t→∞
Q2(t) = 36,
ce qui correspond bien aux solutions d’équilibre obtenues dans l’exemple
précédent.
Remarques. i) Cette technique fonctionne bien dans le cas des systèmes
de deux équations différentielles linéaires d’ordre un à coefficients cons-
tants. Cependant, elle serait difficile à appliquer pour trouver la solu-
tion des équations proie-prédateur de Volterra [voir (4.5)], par exemple.
De même, pour des systèmes de deux équations différentielles linéaires
d’ordre un à coefficients non constants, on peut obtenir une équation
différentielle d’ordre deux pour l’une ou l’autre des fonctions que l’on
cherche. Toutefois, l’équation en question sera généralement aussi à
coefficients non constants, de sorte qu’il ne sera probablement pas aisé
de la résoudre explicitement.
ii) Dans le cas général du système homogène à coefficients constants
x′1(t) = a1,1x1(t) + a1,2x2(t),
x′2(t) = a2,1x1(t) + a2,2x2(t),
(4.16)
on trouve que
x′′1(t) − (a1,1 + a2,2)x′1(t) + (a1,1a2,2 − a1,2a2,1)x1(t) = 0. (4.17)
Si l’on dénote par A la matrice des coefficients ai,j , alors on peut écrire
que a1,1 + a2,2 est la trace de A, et a1,1a2,2 − a1,2a2,1 son déterminant.
♦
160 w équations différ entielles
160 4 Systèmes d’équations différentielles
Exercices
4-1. (a) Donner la ou les solutions d’équilibre des équations proie-
prédateur de Volterra [voir l’équation (4.5)].
(b) Peut-on avoir une solution de ces équations telle que x(t) = x0et,
où x0 = x(0) > 0? Justifier.
4-2. Dériver (par rapport à t) l’équation différentielle ordinaire d’ordre
deux
y′′(t) + [y′(t)]2 + y(t) = 1,
puis transformer l’équation obtenue en un système de trois équations
différentielles d’ordre un.
4-3. (a) Déterminer le système d’équations auquel les fonctions Q1(t) et
Q2(t) satisfont dans l’exemple 4.1.2 si le mélange quitte le réservoir II au
taux de quatre litres par minute, mais que seulement un de ces quatre
litres retourne au réservoir I (et trois litres s’échappent à l’extérieur).
(b) Pour quelles valeurs de t ces équations sont-elles valables?
4.2 Systèmes linéaires homogènes d’ordre un
Le système d’équations différentielles linéaires d’ordre un (4.12) peut
être réécrit comme suit:
x′(t) = P(t)x(t) + q(t), (4.18)
où x(t) et q(t) sont les vecteurs définis par
x(t) =


x1(t)
x2(t)
...
xn(t)

 et q(t) =


q1(t)
q2(t)
...
qn(t)

 , (4.19)
et P(t) est la matrice des fonctions pi,j(t):
P(t) =


p1,1(t) p1,2(t) . . . p1,n(t)
p2,1(t) p2,2(t) . . . p2,n(t)
...
...
...
...
pn,1(t) pn,2(t) . . . pn,n(t)

 . (4.20)
4.2 Systèmes linéaires homogènes d’ordre un 161
On suppose que les fonctions qi(t) et pi,j(t) sont continues dans l’inter-
valle (a, b). Alors le théorème 4.1.2 nous permet d’affirmer que le
système (4.18) possède une solution dans cet intervalle.
Comme nous l’avons fait dans le cas des équations différentielles
non homogènes, on commence par considérer les systèmes d’équations
différentielles homogènes correspondants; c’est-à-dire que l’on pose
q(t) ≡ 0n, où 0n dénote le vecteur colonne constitué de n zéros. On
doit donc résoudre
x′(t) = P(t)x(t). (4.21)
Dans cette section, nous allons donner des résultats semblables à
ceux de la section 3.2 pour les équations différentielles d’ordre deux.
On démontre d’abord le lemme suivant.
Lemme 4.2.1. Si xi(t), pour i = 1, . . . , k, sont des solutions du
système (4.21), alors
x(t) :=
k∑
i=1
cixi(t) (4.22)
est aussi une solution de ce système d’équations différentielles.
Preuve. Il suffit de dériver x(t) et d’utiliser le fait que xi(t) satisfait
à (4.21) pour tout i. On a:
x′(t) =
k∑
i=1
cix′i(t) (4.23)
et
P(t)x(t) = P(t)
k∑
i=1
cixi(t) =
k∑
i=1
ciP(t)xi(t) =
k∑
i=1
cix′i(t). (4.24)
Supposons maintenant que l’on possède n solutions du système
(4.21), soit xi(t) pour i = 1, . . . , n. Posons que
xi(t) =


x1,i(t)
x2,i(t)
...
xn,i(t)

 pour i = 1, . . . , n, (4.25)
systèmes linéaires homogènes d’ordre un w 161
160 4 Systèmes d’équations différentielles
Exercices
4-1. (a) Donner la ou les solutions d’équilibre des équations proie-
prédateur de Volterra [voir l’équation (4.5)].
(b) Peut-on avoir une solution de ces équations telle que x(t) = x0et,
où x0 = x(0) > 0? Justifier.
4-2. Dériver (par rapport à t) l’équation différentielle ordinaire d’ordre
deux
y′′(t) + [y′(t)]2 + y(t) = 1,
puis transformer l’équation obtenue en un système de trois équations
différentielles d’ordre un.
4-3. (a) Déterminer le système d’équations auquel les fonctions Q1(t) et
Q2(t) satisfont dans l’exemple 4.1.2 si le mélange quitte le réservoir II au
taux de quatre litres par minute, mais que seulement un de ces quatre
litres retourne au réservoir I (et trois litres s’échappent à l’extérieur).
(b) Pour quelles valeurs de t ces équations sont-elles valables?
4.2 Systèmes linéaires homogènes d’ordre un
Le système d’équations différentielles linéaires d’ordre un (4.12) peut
être réécrit comme suit:
x′(t) = P(t)x(t) + q(t), (4.18)
où x(t) et q(t) sont les vecteurs définis par
x(t) =


x1(t)
x2(t)
...
xn(t)

 et q(t) =


q1(t)
q2(t)
...
qn(t)

 , (4.19)
et P(t) est la matrice des fonctions pi,j(t):
P(t) =


p1,1(t) p1,2(t) . . . p1,n(t)
p2,1(t) p2,2(t) . . . p2,n(t)
...
...
...
...
pn,1(t) pn,2(t) . . . pn,n(t)

 . (4.20)
4.2 Systèmes linéaires homogènes d’ordre un 161
On suppose que les fonctions qi(t) et pi,j(t) sont continues dans l’inter-
valle (a, b). Alors le théorème 4.1.2 nous permet d’affirmer que le
système (4.18) possède une solution dans cet intervalle.
Comme nous l’avons fait dans le cas des équations différentielles
non homogènes, on commence par considérer les systèmes d’équations
différentielles homogènes correspondants; c’est-à-dire que l’on pose
q(t) ≡ 0n, où 0n dénote le vecteur colonne constitué de n zéros. On
doit donc résoudre
x′(t) = P(t)x(t). (4.21)
Dans cette section, nous allons donner des résultats semblables à
ceux de la section 3.2 pour les équations différentielles d’ordre deux.
On démontre d’abord le lemme suivant.
Lemme 4.2.1. Si xi(t), pour i = 1, . . . , k, sont des solutions du
système (4.21), alors
x(t) :=
k∑
i=1
cixi(t) (4.22)
est aussi une solution de ce système d’équations différentielles.
Preuve. Il suffit de dériver x(t) et d’utiliser le fait que xi(t) satisfait
à (4.21) pour tout i. On a:
x′(t) =
k∑
i=1
cix′i(t) (4.23)
et
P(t)x(t) = P(t)
k∑
i=1
cixi(t) =
k∑
i=1
ciP(t)xi(t) =
k∑
i=1
cix′i(t). (4.24)
Supposons maintenant que l’on possède n solutions du système
(4.21), soit xi(t) pour i = 1, . . . , n. Posons que
xi(t) =


x1,i(t)
x2,i(t)
...
xn,i(t)

 pour i = 1, . . . , n, (4.25)
systèmes linéaires homogènes d’ordre un
162 w équations différ entielles
162 4 Systèmes d’équations différentielles
et définissons la matrice X(t) par
X(t) =
[
x1(t) x2(t) . . . xn(t)
]
=


x1,1(t) x1,2(t) . . . x1,n(t)
x2,1(t) x2,2(t) . . . x2,n(t)
...
...
...
...
xn,1(t) xn,2(t) . . . xn,n(t)

 . (4.26)
Définition 4.2.1. Les vecteurs xi(t), i = 1, . . . , n, sont dits linéaire-
ment dépendants s’il existe une liaison linéaire entre eux; c’est-à-
dire s’il existe des constantes ci, dont au moins une est différente de
zéro, telles que
n∑
i=1
cixi(t) = 0n. (4.27)
Si l’équation précédente est vérifiée seulement dans le cas où ci = 0 ∀i,
alors les vecteurs sont dits linéairement indépendants.
En utilisant la théorie des systèmes d’équations linéaires, on obtient
la proposition suivante.
Proposition 4.2.1. Les n solutions xi(t)