AULA 2Cálculo Diferencial e Integral II

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05/02/2024, 15:46 wlldd_231_u2_cal_dif_int_II
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INTRODUÇÃO
Nesta aula, usaremos as integrais para calcularmos volumes. Sim, é isso mesmo! As integrais não são
aplicadas apenas no cálculo de áreas. Para isso, trabalharemos com os chamados sólidos de revolução, que
são descritos pela rotação de uma função em torno de um eixo no plano cartesiano bidimensional. 
Assim, na primeira parte do nosso material, descreveremos os conceitos que embasam essa teoria. Após essa
etapa, resolveremos aplicações dessa teoria, auxiliando a �xar o conteúdo. Na última parte da aula,
ampliaremos nosso conhecimento de cálculo de volumes usando mais do que uma função para a construção
de nossos sólidos de revolução. 
Esse é o enfoque da nossa aula. Misturaremos teoria e prática, aproximando os conceitos teóricos aprendidos
com a resolução de problemas.
Desejamos a você, estudante, boas-vindas ao estudo do cálculo integral!
Aula 1
CÁLCULO DE VOLUME DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO
Nesta aula, usaremos as integrais para calcularmos volumes. Sim, é isso mesmo! As integrais não são
aplicadas apenas no cálculo de áreas.
49 minutos
REGRAS AVANÇADAS DE INTEGRAÇÃO E COORDENADAS
POLARES
 Aula 1 - Cálculo de volume de sólidos de revolução
 Aula 2 - Integração por partes e mudanças de variáveis 
 Aula 3 - Curvas em coordenadas polares
 Aula 4 - Integração por substituição trigonométrica
 Referências
198 minutos
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VOLUME DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO
A ideia de um sólido de revolução é poder imaginar uma �gura plana construída por meio de uma função f(x)
limitada em um intervalo aberto ]a,b[, que, ao “girar” (rotacionar) em torno de um dos eixos do plano
cartesiano, gera um sólido. Esse sólido carrega o nome que dá sua origem: sólido de revolução.
Figura 1 | Diversos tipos de sólidos de revolução
Fonte: Wikimedia Commons
As imagens estão representando sólidos originados pela rotação em torno do eixo x, porém também
podemos avaliar rotações ao redor do eixo y, como pode ser observado nas �guras a seguir.
Figura 2 | Rotação em torno dos eixo y
Fonte: Wikimedia Commons
Aplicaremos o conceito de integral para calcular o volume desses sólidos. Iniciaremos essa representação por
um método conhecido como “volume por fatiamento”.
y
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A ideia por traz dessa técnica é a de fatiar um sólido ao longo do seu domínio com uma espessura tão
pequena quanto possível (in�nitesimal) e somar todas as áreas dessas secções transversais ao longo desse
domínio. 
Figura 3 | Volume por fatiamento
Fonte: Stewart (2017, p. 389).
Note que o domínio é particionado de forma similar às somas de Riemann. Dessa forma, se for possível somar
todas as áreas geradas pela intersecção entre o sólido, S, e um plano P perpendicular ao eixo das abscissas,
será possível obter o volume de S. 
Assim, seja um sólido S, gerado pela rotação de uma função f(x) em torno do eixo das abscissas, com domínio
conhecido. Seja também a área P formada pela interseção entre um plano A(x), perpendicularmente ao eixo ,
e o sólido S, conforme a Figura 3. Analise a �gura a seguir: 
Figura 4 | Área da seção transversal
Fonte: Stewart (2017, p. 390).
Considerando que  é tão pequeno quanto possível, então o volume de  será dado por
                           (1)
Agora, seja a função  ,  rotacionada em torno do eixo x, no intervalo  . 
Figura 5 | Função  rotacionada em torno do eixo das abscissas
x
x
Δx
V = n
i=1
A (x*i )Δx = b
a
A (x)dx 
f (x) = √x x  ∈   [0, 4]
f (x) = √x 
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Fonte: https://www.geogebra.org/m/nc8x8rr3. Acesso em: 27 dez. 2022.
Aplicar o fatiamento nesse sólido é particioná-lo em discos, de acordo com as �guras a seguir.
Figura 6 | Sólido de revolução particionado em discos
Fonte: https://www.geogebra.org/m/SHu4kZ4V. Acesso em: 27 dez. 2022.
E com os discos reunidos:
Figura 7 | Sólido de revolução particionado em discos para f (x) = √x
https://www.geogebra.org/m/nc8x8rr3
https://www.geogebra.org/m/SHu4kZ4V
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Fonte: https://www.geogebra.org/m/wgqwmy9h. Acesso em: 27 dez. 2022
Note que, ao fatiarmos esse sólido, a área A(x) gerada, com  , é a área de um círculo.
Figura 8 | Sólido de revolução particionado em discos
Fonte: adaptada de Stewart (2017, p. 392).
Na geometria plana, a área de círculos é dada pela equação  , portanto, se conhecermos o raio de
cada fatia (ou disco) ao longo do domínio determinado, poderemos aplicar a Equação 1. 
Como o raio R(x) desse círculo será exatamente a função  , então a Equação 1 passa a ser escrita
da forma:
                             (2)
A mesma ideia pode ser aplicada quando a rotação se dá em torno do eixo y. A diferença, nesse caso, é que o
volume será construído a partir de seções transversais ao sólido, perpendiculares ao eixo das ordenadas.
Dessa forma, não teremos  , mas, agora, trabalharemos com  . 
Essa mudança transforma a Equação 1 em
                       (3)
Onde:  .
E, com isso, para funções  que rotacionam em torno do eixo , teremos 
                       (4)
No próximo bloco, resolveremos exemplos aplicando essa regra.
Δx → 0
A = πr2
f (x) = √x
V = b
a
π [f (x)]²dx
Δx Δy
V = n
i=1
A (y*i )Δx = dcA (y)dy 
c ≤ y ≤ d
x = g (y)
V = d
c
π [g (y)]²dy 
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CALCULANDO VOLUMES COM O USO DE INTEGRAIS
Neste bloco, resolveremos alguns exemplos aplicando o cálculo de volumes por discos com rotação em torno
do eixo x e do eixo y. Vejamos o primeiro exemplo.
Exemplo 1: encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da região sob a curva 
 de 0 a 4.
Note que esse exemplo foi iniciado no bloco anterior. Agora, vamos resolvê-lo.
Solução: quando fatiamos o sólido gerado pela rotação de  em torno do eixo das abscissas, no
intervalo para x entre 0 e 4, obtemos discos de raio  , logo podemos somar todos esses discos
usando
Portanto, teremos
Figura 9 | Volume do sólido de revolução de  em torno de 
Fonte: https://www.geogebra.org/m/vutw99nb. Acesso em: 27 dez. 2022.
Exemplo 2: encontre o volume do sólido obtido quando a região sob a curva y=sin x e acima do intervalo
, é rotacionada em torno do eixo x
Solução: para resolver esse exemplo, basta extrair os dados do enunciado e resolver a expressão 
, assim:
Figura 10 | Revolução de no intervalo entre  em torno de x
y  = √x
f (x) = √x 
R (x) = √x
V = b
a
π[f (x)]2dx 
V = 4
0
π(√x)
2
dx = 4
0
πxdx = π[ x22 ]
4
0
= 8π
√x Ox
[0, π]
V = b
a
π[f (x)]2dx 
V = b
a
π[f (x)]2dx = π
0
π (sin2 x) dx
V = 12 π0
(1 − cos (2x))dx = 12 (π01 dx  −  
π
0
cos 2x dx) = π2
[0,π ]
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Fonte: https://www.geogebra.org/m/mX8a9qgq. Acesso em: 27 dez. 2022.
Agora, resolveremos um exemplo em que a função rotaciona em torno do eixo das ordenadas. Vamos avaliá-
lo.
Exemplo 3: calcular o volume de um sólido gerado pela rotação da função  em torno do eixo y, no
intervalo  .
Solução: note que desejamos rotacionar a função f(x)=y=x em torno de y. Portanto, temos  , mas,
como o domínio em x   será  , então  , para  .
Figura 11 | Área da região que será rotacionada em torno de y
Fonte: elaborada pela autora.
Logo, usando  escrevemos:
O último exemplo desse bloco permitirá que encontremos o volume de uma esfera, estudado, geralmente, na
área da geometria espacial, ainda no ensino médio.
Exemplo 4: rotacione uma região semicircular de raio r, conforme a �gura a seguir, em torno do eixo x, e
calcule o volume da esfera gerada por essa revolução. 
Figura 12 | Área da região que será rotacionada em torno de y
y = x2
0 ≤ x ≤ 3
2 x = ±√y 
0 ≤ x ≤ 4 g (y) = x = √y 0 ≤ y ≤ 16
V = d
c
π [g (y)]²dy 
V = π16
0
(√y)
2
dy = π[ y
2
2 ]
16
0
= 128 π
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Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 445).
Solução: a equação de uma circunferência é dada pela expressão  . Assim, a metade superior
dessa circunferência será representada pela função  . Com isso, conseguimos calcular o
volume de uma esfera quando a função f(x) rotaciona em torno do eixo das abscissas. Logo, fazemos:
Dessa forma, conseguimos aplicar as integrais no cálculo de volumes de estruturas que têm seus contornos
descritos por funções.
APLICAÇÕES: VOLUME POR ARRUELAS
Neste bloco, resolveremos exemplos em que o volume será descrito pela rotação de duas funções em torno
de um dos eixos principais, x ou y. Essa técnica é chamada de volume por arruelas, mas em quase nada se
diferencia de tudo o que já de�nimos nessa aula. Vamos entender!
Ao calcularmos a área, aplicando o conceito de integrais, entre duas curvas y=f(x) e y=g(x), com  e f, 
contínuas, chegaremos à seguinte expressão
com  .
O que desejamos agora é rotacionar essa área em torno do eixo das abscissas. 
Figura 13 | Grá�cos de f(x) e g(x)
x2 + y2 = r2
f (x) = √r2 − x2
V = π r
−r
π (r2 − x2)dx = π[r2x − x33 ]
r
−r
π (r2 − x2)dx = π[r2x − x33 ]
r
−r
= 43 πr
3
a ≤ x ≤ b
A = b
a
[f (x) − g (x)]dx
f (x) ≥ g (x)
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Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 445).
Note que obteremos um sólido com um furo central.
Figura 14 | Grá�cos de  e 
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 445).
Partindo do mesmo princípio adotado para o volume em discos, fazendo, assim, cortes nesse sólido por
planos perpendiculares ao eixo x, obteremos uma área chamada de arruela.
A área de cada arruela será dada por  .
Portanto, usando a mesma lógica aplicada no cálculo do volume por discos, teremos
                              (5)
Onde:  e  .
Note, na �gura a seguir, que f(x) é o raio da circunferência maior, enquanto g(x) é o raio da circunferência
menor. 
Figura 15 | Raio das circunferências
A (x) = π(f (x))2 − π(g (x))2 = π [(f (x))2 − (g (x))2]
V = b
a
π [(f (x))2 − (g (x))2]dx
a ≤ x ≤ b f (x) ≥ g (x)
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Fonte: elaborada pela autora.
Para o cálculo de volume por arruelas perpendiculares ao eixo y, teremos duas funções do tipo x=f(y) e x=g(y),
com  . Logo, para calcular esse volume, fazemos
                              (6)
Com:  . 
Note que f(y) é o raio da circunferência maior, enquanto g(y) é o raio da circunferência menor. 
Exemplo 5: calcule o volume do sólido de revolução em torno do eixo x, obtido pela rotação de 
 e  , com  .
Solução: analisaremos, inicialmente, as funções que descrevem a região que será rotacionada. Assim, temos:
Figura 16 | Região entre f e g
Fonte: elaborada pela autora.
Como  , fazemos:
No próximo exemplo, também calcularemos o volume por arruelas, mas, agora, com rotação das funções em
torno do eixo das ordenadas.
c ≤ y ≤ d
V = d
c
π [(f (y))2 − (g (y))2]dy
f (y) ≥ g (y)
g (x) = x2 + 4 f (x) = 2 0 ≤ x ≤ 3
g ≥ f (x)
V = π3
0
((x2 + 4)2 − 22)dx
V = 3
0
(x4 + 8x2 + 12)dx
V = π[ x55 +
8x3
3 + 12x]
3
0
= 783π5
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Exemplo 6: calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da área formada pelas funções 
, com  em torno de  .
Solução: note que a função fornecida é  portanto, em primeiro lugar, precisamos calcular a
função x=f(y), logo temos:
Como  , teremos  .
Essa região �cará determinada como pode ser observado na �gura a seguir.
Figura 17 | Região
Fonte: elaborada pela autora.
Como desejamos rotacionar essa área em torno de x=-2, teremos que o raio externo da arruela será igual a 
, e o raio interno da arruela terá raio r=2.
Logo,
Vimos, portanto, que, além de calcularmos o volume de uma única função sendo rotacionada, podemos
rotacionar regiões construídas por mais do que uma função. Outras variações ainda podem ser pensadas para
o cálculo de volumes de revolução. 
VÍDEO RESUMO
Neste vídeo, abordaremos o conceito volume de sólidos de revolução. Para isso, calcularemos o volume de
sólidos gerados pela rotação de funções em torno dos eixos x e y por técnicas conhecidas como volume por
discos e volume por arruelas. Ao �nal da aula, você estará apto a identi�car e resolver problemas que
envolvam o cálculo de volume de sólidos de revolução.
f (x) = 9 − x2 0 < x < 3 x  =   − 2
f (x) = 9 − x2,  
y = 9 − x2 ⇒ x = ±√9 − y
x ≥ 0 x = √9 − y
y = 9 − x2
R = √9 − y + 2
V = π9
0
((√9 − y + 2)
2
− 22)dy = 9
0
(9 − y + 4√9 − y)dy
V = π[9y − y
2
2 −
8
3 (9 − y)
3
2 ]
9
0
= 225π2
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 Saiba mais
Sugerimos, como ferramenta grá�ca para a visualização de grá�cos de funções, o software de geometria
dinâmica chamado de GeoGebra.
Ao longo da aula, construímos diversas �guras usando essa ferramenta computacional. Seguem alguns
desses direcionamentos:
• Construção de sólidos de revolução.
• Secção de sólidos.
• Volume por discos.
Indicamos também a calculadora on-line Symbolab. Com ela, é possível veri�car se os cálculos que você
fez estão corretos.
Além dessa ferramenta, sugerimos a leitura do artigo Usando o Geogebra para o ensino de sólidos de
revolução.
Para visualizar o objeto, acesse seu material digital.
INTRODUÇÃO
No cálculo diferencial e integral, percebemos que muitas funções primitivas não podem ser encontradas
diretamente com a aplicação de técnicas de integração mais simples, como a regra da potência para integrais.
Certas manipulações algébricas são necessárias para se obter tais funções, por exemplo, podemos usar a
regra da cadeia para integrais, ou, simplesmente, a regra da substituição de variáveis. Em alguns casos, a
regra da substituição de variáveis também não é su�ciente, então, utilizamos o que chamamos de integração
por partes. Nesta unidade de aprendizagem, aprenderemos essas técnicas.
Seja muito bem-vindo ao estudo do cálculointegral!
Aula 2
INTEGRAÇÃO POR PARTES E MUDANÇAS DE VARIÁVEIS 
No cálculo diferencial e integral, percebemos que muitas funções primitivas não podem ser encontradas
diretamente com a aplicação de técnicas de integração mais simples, como a regra da potência para
integrais.
45 minutos
https://www.geogebra.org/?lang=pt.
https://www.geogebra.org/m/mX8a9qgq
https://www.geogebra.org/m/nc8x8rr3
https://www.geogebra.org/m/wgqwmy9h
https://pt.symbolab.com/
https://periodicos.ufsm.br/cienciaenatura/article/download/25400/pdf
https://periodicos.ufsm.br/cienciaenatura/article/download/25400/pdf
https://periodicos.ufsm.br/cienciaenatura/article/download/25400/pdf
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CONCEITUAÇÃO DE TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO AVANÇADAS
Algumas integrais, de�nidas ou inde�nidas, dependem de ajustes algébricos, como a adoção de mudanças de
variáveis, para que sejam resolvidas. Nesse contexto, aparece um importante teorema do cálculo chamado de
“Regra da cadeia para integrais”. De maneira prática, ele é usado como técnica de resolução para integrais.
Enunciaremos esse teorema na sequência e apresentaremos sua demonstração.
Teorema 1: seja g uma função diferenciável com sua imagem em um intervalo I. Suponha que f seja uma
função de�nida em  I e que F seja uma função primitiva de f em I.
Então:
Demonstração:
Por hipótese,
                            (1)
Pela regra da cadeia para diferenciação,
                            (2)
Substituindo (1) em (2),
                            (3)
Onde
                            (4)
Se u=g(x) for uma função diferenciável, cuja imagem é um intervalo I e f for contínua em I, então
                            (5)
Dessa forma, se u=g(x) , então du'(x)dx.
Note que a demonstração apresenta o caminho que adotaremos para encontrarmos funções primitivas
através de uma substituição de variáveis. Descrevemos, a seguir, um passo a passo para aplicação:
• Passo 1: Identi�car g(x) e comparar com u.
• Passo 2: Derivar os dois lados dessa equação em relação a x.
• Passo 3: Isolar dx.
• Passo 4: Substituir na integral g(x) por u e dx  pelo resultado encontrado no terceiro passo.
• Passo 5: Simpli�car a função, de forma que restem apenas elementos da variável u.
• Passo 6: Resolver a integral em relação a u.
• Passo 7: Voltar esse resultado para a variável x.
∫ f (g (x)) [g′(x)]dx = F (g (x)) + C
F ′(g(x)) = f (g (x)).
d(F(g(x)))
dx = F ′(g (x))g′(x)
d[F(g(x))]
dx = f (g (x))[g′(x)],
∫ f (g (x)) [g′(x)]dx = F (g (x)) + C
∫ f (g (x))g′ (x)dx = ∫ f (u)du.
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A seguir, temos um exemplo dessa aplicação:
Exemplo 1: calcule  .
Solução:
•  Passo 1: 
• Passo 2:
•  Passo 3:
•  Passo 4: assim, temos
•  Passo 5: simpli�cando, obtemos
•  Passo 6: resolvendo para u 
•  Passo 7: voltando a equação para x
Com isso, aplicamos a regra da cadeia para integrais, também chamada de método da substituição de
variáveis. Note que resolvemos uma integral inde�nida, mas o mesmo raciocínio pode ser usado para as
integrais de�nidas, ou seja, com domínio de integração conhecido.
Em alguns casos, a regra da cadeia para integrais não é su�ciente para encontrarmos a primitiva de uma
função. Nesse caso, podemos usar uma regra conhecida como “integração por partes”.
Tomando como referência as obras de Anton, Bivens e Davis (2014) e Stewart (2017), entenderemos esse
processo.
Suponhamos f e g de�nidas e deriváveis num mesmo intervalo I determinado. Temos
Assim, isolando f(x)g'(x), obtemos:
Agora, suporemos que f'(x)g(x) admite primitiva em I. Note que f(x)g(x) é uma primitiva de [f(x)g(x)]', portanto
f(x)g'(x) também admitirá primitiva em I. Logo
∫ 2x(x2 + 3)4dx
u = x2 + 3
du
dx =
(x2+3)
dx ⇒
du
dx = 2x
dx = du2x
∫ 2xu4 du2x
∫ u4du.
u5
5 + C
(x2+3)5
5 + C
[f (x)g (x)]′  =  f′(x)g (x) +  f (x)g′(x)
f (x)g′(x) =   [f (x)g (x)]′ – f′(x)g (x)
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                               (6)
que é a regra da integração por partes.
A Equação 6 é comumente denotada por:
onde u=f(x) e v=g(x).
A seguir, resolveremos um exemplo aplicando essa técnica.
Exemplo 2: calcule  .
Solução: como realizaremos uma substituição de variáveis e alguns ajustes algébricos antes mesmo de
começarmos a resolver a integral, é interessante deixarmos um quadro explicativo com esses ajustes. Segue o
nosso quadro explicativo:
u=x dv=cosxdx
du=dx      v=sinx       
Como  , então:
OBS.: é necessário acrescentar a constante de integração “C”, todas as vezes que resolvermos integrais
inde�nidas.
Com a integração por partes, é possível resolver muitos problemas envolvendo integrais.
No próximo bloco, resolveremos diversos exemplos aplicando ambas as técnicas vistas neste bloco.
APLICAÇÃO DAS TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
Pensaremos, agora, na aplicação da regra da cadeia para integrais em casos em que temos integrais de�nidas,
ou seja, conhecemos o domínio de integração.
Nesse caso, quando comparamos g(x) com u, precisamos tomar o cuidado de ajustar os intervalos de
integração para essa nova função. Assim, se g'(x) for contínua em um intervalo [a,b] conhecido e f(x) for
contínua na imagem de u=g(x), teremos:
                                (7)
Observe que o intervalo de integração precisou ser ajustado em relação à mudança de variável. É importante
que �que claro que, tanto a mudança de variável como o ajuste do intervalo, não alteram o valor �nal da área
a ser encontrada. Portanto, geometricamente, tanto  como 
∫ f (x)g’ (x)dx  =  f (x)g (x)–  ∫ f’ (x)g (x)dx
∫ u dv  =  uv –  ∫ v du
∫ xcosxdx
∫ udv  =  uv –  ∫ vdu
x  sinx –  ∫ sinx dx  =  xsinx ⋅ cosx  +  C
b
a
f (g (x))g′ (x)dx = g(b)
g(a)
f (u)du
b
a
f (g (x))g′ (x)dx = A g(b)
g(a)
f (u)du = A
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 fornecerão a mesma área �nal. Vejamos um passo a passo para resolução:
• Passo 1: identi�car g(x) e comparar com u.
• Passo 2: ajustar os intervalos de integração de forma que se , então .
• Passo 3: derivar os dois lados dessa equação em relação a x.
• Passo 4: isolar dx (OBS.: usamos a variável x como padrão, mas poderia ser qualquer outra variável).
• Passo 5: substituir na integral g(x) por u e dx pelo resultado encontrado no quarto passo, como também os
novos intervalos de integração.
• Passo 6: simpli�car a função, de forma que restem apenas elementos da variável u.
• Passo 7: resolver a integral em relação a u.
Perceba que, nesse caso, não precisamos retornar para a variável original, pois, como conhecemos os
intervalos de integração, o resultado será numérico.
Segue um exemplo que será discutido após a resolução:
Exemplo 3: determine a área A da função   .
Solução:
•  Passo 1: u=2t-1
• Passo 2:   e se
• Passo 3: Como u = 2t-1 então
• Passo 4:
• Passo 5: 
• Passo 6:
• Passo 7:
Figura 1 | Comparação entre áreas
x ∈ [a, b] u ∈ [g (a); g (b)]
1
−1
(2t − 1)2dt = A
1
−1
(2t − 1)2dt = A
t = −1 ⇒ u = −3 t = 1 ⇒ u = 1 
du
dt = 2
dt = du2
A = 1
−3
u2du
2 =
A = 12 1−3
u2du =
A =   12 .  u
3/3  1−3 =
14
3∣
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Fonte: elaborada pela autora.
Chamamos a atenção para as áreas encontradas na Figura 1. Geometricamente, elas são diferentes, mas a
área total é igual. Neste caso, A1=A2.
No próximo exemplo, usaremos as duas técnicas para resolver o mesmo exemplo. 
Exemplo 4: conhecendo a função  , encontre a primitiva de f(x)
Solução: a primitiva de f(x) é dada por  . Logo, basta integrar a função f(x). Assim, fazendo 
, teremos  logo  . Substituindo na integral, teremos:
mas  , então
Note que ainda não conseguimos resolver essa integral de maneira direta. Para resolvê-la, usaremos a
integração por partes. Como a variável u já foi usada, chamaremos as partes de t e dk. Logo,
t=u dk=e²du
dt=du k=e 
Portanto,
x
–4–4 –3–3 –2–2 –1–1 11 22
y
00
A1A1
A2A2
f (x) = 1
x3
e
1
x
F (x) = ∫ f (x)dx
u = 1x du = −x
−2dx,   dx = − (x2)du
∫ 1
x3
eu (−x2)du = − ∫ 1x e
udu
u = 1x
− ∫ ueudu
u
− ∫ ueudu ⇒ − [∫ tdk = tk − ∫ kdt]
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Então,
Quando precisamos integrar funções trigonométricas, é comum usarmos a integração por partes. 
Vejamos a resolução desse exemplo na sequência.
Exemplo 5: calcule  usando integração por partes.
Solução:
Nesse ponto, aplicamos a integração por partes:
Logo,
Note que temos uma integral na resposta que apresenta o mesmo grau de di�culdade da integral inicial.
Contudo, nessa etapa, usaremos a identidade trigonométrica  para conseguirmos
�nalizar o processo de integração.
Como temos  dos dois lados da igualdade, podemos organizar esse termo do lado esquerdo da
igualdade:
Assim,
E por �m,
Observe que, nesse exemplo, usamos uma identidade trigonométrica, porém também era possível aplicar
uma segunda integração por partes, resolvendo, assim,  . O resultado obtido seria exatamente o
mesmo. Sugerimos que você teste esse caminho indicado e compare os resultados.
APLICAÇÕES E MAIS TÉCNICAS
− ∫ ueudu = −  [ueu − ∫ eudu] = −ueu + eu
∫ 1
x3
e
1
x dx = −ueu + eu = − 1x e
1
x + e
1
x + C
∫ cos2xdx
∫ cos2xdx = ∫ cosx ⋅ cosxdx
∫ udv = uv − ∫ vdu
∫ cos2 x dx = cosx ⋅ sinx − ∫ (sinx) sinx dx
= cosx ⋅ sinx + ∫ sin2 x dx
sin2 x + cos2 x = 1, 
∫ cos2x dx = sinx ⋅ cosx + ∫ (1 − cos2x)dx
∫ cos2x dx = sinx ⋅ cosx + ∫ 1dx − ∫ cos2x dx
∫ cos2x dx
∫ cos2x dx + ∫ cos2x dx = sinx ⋅ cosx + x + c
2 ∫ cos2x dx = sinx ⋅ cosx + x + c
∫ cos2x dx = sinx⋅cosx+x2 + c∫ cos
2x dx = sinx⋅cosx+x2 + c
∫ sin2 x dx
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Resolvemos, nos blocos anteriores, exemplos com o uso da integração por partes, em que o domínio não era
conhecido. No caso de integrais de�nidas, o processo se mantém o mesmo. Dessa forma, não precisamos nos
preocupar com o ajuste dos intervalos de integração, como é feito na regra da substituição de variáveis.
Pensando em um passo a passo para a integração por partes, temos:
1.  Precisamos escolher qual parte será chamada de u=f(x) e qual parte será chamada de dv=g(x)dx. Para essa
escolha, é interessante que dv possa ser integrada facilmente, caso contrário, a integração por partes não se
justi�ca.
2.  De�nidos u e dv, devemos derivar u em relação a x e integrar dv em relação a x. A ideia é transformar a
integral  em uma integral mais simples  .
3.  Por �m, resolvemos  .
Note que a parte mais importante da integração por partes é a escolha de quem serão as funções u e dv.
Alguns critérios podem ser levantados nesse caso, contudo não existe uma regra. Na tentativa de facilitar essa
escolha, alguns matemáticos costumam usar a seguinte relação:
Seja um conjunto de funções do tipo:
1.  Logarítmicas.
2.  Inversas de trigonométricas.
3.  Algébricas.
4.  Trigonométricas.
5.  Exponenciais.
Uma estratégia que costuma dar certo é escolher como função d as funções dos itens com menor numeração
em relação à função que será adotada como dv. 
Exemplo 6: seja a integral  .
Solução: temos uma função exponencial, e , e uma trigonométrica, sin x.
Assim, faremos:
• Passo 1:
Trigonométrica
(item 4)
Exponencial
(item 5)
u=sin x  dv=e dx
∫ u dv ∫ v du
∫ udv = uv − ∫ vdu
π
0
ex sinx dx
x
x
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• Passo 2:
Trigonométrica
(item 4)
Exponencial
(item 5)
u=sin x  dv=e dx
du=cos x dx v=e
Observe que usamos o quadro resumo para auxiliar na identi�cação das funções.
• Passo 3:
Precisamos aplicar mais uma vez a integração por partes, pois o nosso resultado ainda contém uma integral
que não pode ser resolvida. Assim, fazemos para  .
•  Passo 1:
Trigonométrica
(item 4)
Exponencial
(item 5)
u=cos x  dv=e dx
•  Passo 2:
Trigonométrica
(item 4)
Exponencial
(item 5)
u=cos x  dv=e dx
du=-sin x dx v=e
x
x
b
a
 udv = uv − b
a
vdu
π
0
ex sinx dx = ex sinx − π
0
ex cosx dx
π
0
ex cosx dx
x
x
x
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•  Passo 3:
Logo,
Portanto,
Observe o grá�co da área formado por essa função.
Figura 2 | Comparação entre áreas
Fonte: elaborada pela autora.
Portanto, algumas vezes, será necessário aplicar a integração por mais do que uma vez. Em outros momentos,
podemos usar duas técnicas associadas, como a integração por partes e por substituição.
Observação: trouxemos uma sugestão para a seleção das funções u e dv, contudo reforçamos que a proposta
descrita não é uma regra. Quando tivermos f(x) e g(x)dx, por exemplo, na mesma classe de funções,
precisaremos testar variações para essa escolha. 
π
0
ex sinx dx = ex sinx − π
0
ex cosx
π
0
ex sinx dx = ex sinx − [ex cosx + π
0
ex sin dx]
π
0
ex sinx dx + π
0
ex sinx dx = ex sinx − ex cosx
2π
0
ex sinx dx = ex (sinx − cosx)
π
0
ex sinx dx = [ e
x(sinx−cosx)
2 ]
π
0
= (e
π+1)
2 ≈ 12,07035
x
ππ
y
00
A1 = 12.07035A1 = 12.07035
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VÍDEO RESUMO
Neste vídeo, trabalharemos com duas técnicas de integração que permitem que encontremos a primitiva de
funções nos mais diversos casos. Infelizmente, não podemos usá-las para todos os casos, mas entendê-las
nos dá mais ferramentas para resolver integrais de�nidas e inde�nidas.
A regra da cadeia para integrais, ou substituição de variáveis, é uma técnica simples de ser aplicada. Já a
integração por partes é um pouco mais trabalhosa, mas nem por isso é difícil, e ela permite que encontremos
o resultado de integrais bastante complexas, dentre elas, algumas integrais trigonométricas. Sendo assim,
resolveremos alguns exemplos, para que não �quem dúvidas com relação a esse tema. Ao �nal da aula, você
estará apto a identi�car e resolver integrais que necessitem da aplicação da integração por substituição ou da
integração por partes.
 Saiba mais
Sugerimos, como ferramenta grá�ca para a visualização de grá�cos de funções, o software de geometria
dinâmica chamado de GeoGebra.
Também sugerimos o site do WolframAlpha. Com ele, você poderá veri�car os resultados de suas
integrais e visualizar o grá�co dessas funções. Apesar de a ferramente estar em língua inglês, você pode
utilizar o recurso de tradução automática do seu navegador, se preferir.
Para visualizar o objeto,acesse seu material digital.
INTRODUÇÃO
A escolha pelo uso de um sistema de coordenadas especí�co se dá, na maior parte das vezes, devido à
facilidade na representação das funções que serão descritas nesse sistema. Dessa forma, faz muito sentido
usar, para representar curvas, um sistema de coordenadas que tenha seu referencial no ângulo formado por
essa curva com algum eixo de referência e no raio dessa curva também em relação a esse mesmo eixo. 
Aula 3
CURVAS EM COORDENADAS POLARES
Trabalharemos com a transformação de coordenadas de um sistema cartesiano bidimensional ortogonal
para um sistema de coordenadas polares e veremos como relacionar essa descrição com as chamadas
curvas paramétricas.
47 minutos
https://www.wolframalpha.com/examples/mathematics/calculus-and-analysis%20
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Em particular, essa situação que descrevemos existe e chama-se sistema de coordenadas polares. Nessa
mesma lógica, uma esfera pode ser expressa em um sistema de coordenadas esféricas; um cilindro pode ser
representado por um sistema de coordenadas cilíndricas; uma elipse �ca facilmente representada por um
sistema de coordenadas elípticas.
Nessa aula, trabalharemos com a transformação de coordenadas de um sistema cartesiano bidimensional
ortogonal para um sistema de coordenadas polares e veremos como relacionar essa descrição com as
chamadas curvas paramétricas. 
Seja muito bem-vindo ao estudo do cálculo diferencial e integral!
COORDENADAS POLARES
Existem diferentes sistemas de coordenadas. O sistema de coordenadas polares pode ser comparado em
importância ao sistema de coordenadas cartesianas, devido à sua gama de utilizações.
No sistema de coordenadas polares no plano, as coordenadas de um ponto P são compostas por uma
distância e uma medida de ângulo em relação a um ponto �xo e a um raio �xo (semieixos).
Figura 1 | Coordenadas polares
Fonte: elaborada pela autora.
O ponto �xo é chamado de polo (origem), representado pela letra "O". O raio �xo é chamado de eixo polar
(reta polar) e é representado por "Ox".
A cada ponto P do plano, são associadas suas coordenadas polares  descritas da seguinte forma:
•  = distância do polo "O" ao ponto "P".
•  = ângulo entre o eixo polar e o segmento de reta  .
Assim, para escrever uma coordenada polar no plano, é necessário saber a distância em relação à origem
�xada e para qual direção se deve caminhar para atingir este ponto. 
Observação: por convenção, o ângulo  é medido no sentido anti-horário.
(ρ,  θ)
ρ
θ OP
−→
θ
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No caso de  ser negativo, teremos que  e  pertencem à mesma reta que passa por O e estão a
uma distância  a partir de O, como é possível ver na Figura 2.
•  Se  , o ponto  está no mesmo quadrante que  . 
•  Se  , ele está no quadrante do lado oposto ao polo.
Figura 2 | Representação de pontos em coordenadas polares
Fonte: elaborada pela autora.
Dessa forma, podemos idealizar uma mudança de coordenadas, passando de coordenadas cartesianas para
coordenadas polares.
Para isso, usaremos a mesma origem para ambos os sistemas de coordenadas. Como semieixos de
referência, adotaremos a parte positiva do eixo x, conforme a �gura a seguir: 
Figura 3 | Mudança de coordenadas
Fonte: elaborada pelo autor.
Sabe-se que 
ρ (−ρ, θ) (ρ,  θ)
|ρ|
ρ > 0 (ρ, θ) θ
ρ < 0
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Logo, como  , podemos escrever
Note que  .
O grá�co de uma equação polar  é descrito através de todos os pontos P que têm pelo menos uma
representação  cujas coordenadas satisfazem a equação.
A seguir, apresentamos alguns grá�cos descritos por equações polares.
1.  Seja a equação  .
Essa é uma reta paralela ao eixo polar. Sabemos que  logo em coordenadas cartesianas temos a
equação y=b.
Figura 4 | Grá�co para 
Fonte: elaborada pela autora.
As coordenadas cartesianas da reta y=b são do tipo (0,b), onde  . Transformando em coordenadas
polares:
Como x=0 e y=b, podemos escrever:
cos θ = CAH =
x
√x2+y2
⇒ x = √x2 + y2 cos θ
sin θ = COH =
y
√x2+y2
⇒ y = √x2 + y2 sin θ
ρ = √x2 + y2
{
x = ρ cos θ           
y = ρ sin θ           
tan θ = yx ⇒ θ = arctan (
y
x )
ρ = f (θ)
(ρ,  θ)
ρ sin θ = b 
ρ sin θ = y,   
ρ sin θ = b
b ∈ R
x = ρ cos θ y = ρ sin θ
0 = ρ cos θ b = ρ sin θ
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Resolvendo cada uma das colunas, encontramos:
Logo, podemos concluir que em coordenadas polares teremos  .
2.  A equação  é uma reta perpendicular ao eixo polar.
Figura 5 | Grá�co para 
Fonte: elaborada pela autora.
O grá�co  é uma reta perpendicular ao eixo polar .
Então, x=2.
Em coordenadas cartesianas, a reta x=2 tem pares ordenados do tipo (d,0), que, transformando em
coordenadas polares: 
Como  , então  , logo  Logo, as coordenadas polares serão  
cos θ = 0 b = ρ sin ( π2 )
θ = π2 ,
3π
2 ρ = b
(b, π2 )
ρ cos θ = d 
ρ cos θ = b
ρ cos θ = d
 d = ρ cos θ
y = ρ sin θ x = ρ cos θ
0 = ρ sin θ ρ = d
ρ ≠ 0 sin θ = 0 θ = 0, π, 2π (d,0) ou  (d,2π)
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Observe que essas manipulações nos permitem montar diferentes curvas, em diferentes quadrantes no plano
cartesiano.
FERRAMENTAS DE CÁLCULO
Como vimos, em geral,  representa um círculo com centro O e raio |a|. E se a circunferência não estiver
centrada na origem, por exemplo, centrada em (a,b)? 
A equação cartesiana da circunferência com centro em (a,b) que contém a origem será:
, onde 
                               (1)
Como e  , podemos substituir em (1), logo
, onde 
(2)
Assim,  .
• Quando b=0 tem-se de (2) que  .
Sabemos que  , logo  , logo  .
Como  , tem-se  e, portanto,  .
Figura 6 | b=0
ρ = a
(x − a)2 + (y − b)2 = ρ2 ρ2 = a2 + b2
x2 − 2ax + y2 − 2bx = 0
x = ρ cos θ y = ρ sin θ
(x − a)2 + (y − b)2 = ρ2 ρ2 = a2 + b2
ρ2 cos2 θ − 2aρ cos θ + ρ2 sin2 θ − 2bρ sin θ = 0
ρ2 − 2aρ cos θ − 2bρ sin θ = 0
ρ (ρ − 2a cos θ − 2b sin θ) = 0
ρ = 0 (ρ − 2a cos θ − 2b sin θ) = 0
−2a cos θ = 2b sin θ
sin θ
cos θ = −
a
b
tan θ = − ab ⇒ θ = arctan (−
a
b )
ρ = 2a cos θ ⇒ cos θ = ρ2a
x = ρ cos θ cos θ = xρ
ρ
2a =
x
ρ ⇒ ρ
2 = 2ax
ρ2 = x2 + y2 x2 + y2 = 2ax (x − a)2 + y2 = a2
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Fonte: elaborada pela autora.
•  Quando a=0, tem-se de (2) que 
                     (3)
Sabemos que  e  , logo 
                     (3)
Figura 7 | a=0
Fonte: elaborada pela autora.
Como  , tem-se  e, portanto, 
ρ = 2b sin θ ⇒ sin θ = ρ2b
y = ρ sin θ sin θ = yρ  
ρ
2b =
y
ρ ⇒ ρ
2 = 2by
ρ = 2b sin θ ⇒ sin θ = ρ2b
x2 + y2 = ρ2 x2 + y2 = 2by
x2 + y2 − 2by + b2 = b2
x2 + (y − b)2 = b2
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Logo, temos uma circunferência de raio |b| unidades.
Na sequência, apresentaremos algumas equações genéricas para as principais curvas polares trabalhadas nas
obras de cálculo diferencial e integral.
•  Limaçon:
                     (3)
Também chamadas de cardioides
Figura 8 | Limaçon com |a|<b
Fonte: https://www.geogebra.org/graphing/baxtttzb. Acesso
em: 27 dez. 2022.
Figura 9 | Limaçon com |a|=b
Fonte: https://www.geogebra.org/graphing/baxtttzb. Acesso em: 27
dez. 2022.
Para visualizar mais casos, variando os valores de a e b, acesse a Calculadora Grá�ca do Geogebra . 
{
Caso I :  ρ = a ± b cos θ 
Caso II :   ρ = a ± b sin θ
ρ = 2b sin θ ⇒ sin θ = ρ2b
|a| < b |a| = b
C1 : ρ = 1 + 2 cos θ
C2 : ρ = 1 + 2 sin θ
C1 :  ρ = −1 − 1 cos θ
C2 : ρ = −1 − 1 sin θ
|a| > b
C1 : ρ = 2 + cos θ
C2 : ρ = 2 + sin θ 
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Figura 10 | Limaçon com |a|>b
Fonte: https://www.geogebra.org/graphing/baxtttzb. Acesso em: 27 dez. 2022.
•  Rosácea  , com  e  , com
Exemplo 2
{
Caso I :  ρ = a cos(nθ) 
Caso II :   ρ = a sin(nθ)
a ≠ 0 n ∈ Z
*
+ n ∈ Z
*
+
C1 :  ρ = 2 cos (2θ)
C2 : ρ = 2 sin (2θ)
05/02/2024, 15:46 wlldd_231_u2_cal_dif_int_II
https://www.colaboraread.com.br/integracaoAlgetec/index?usuarioEmail=romulob.aguilar%40gmail.com&usuarioNome=RÔMULO+BERNARDINO+DE+AGUILAR&disciplinaDescricao=&atividadeId=3930393&ativi… 31/47
Figura 11 | Rosácea de quatro pétalas
Fonte: https://www.geogebra.org/graphing/sjcdbgvb. Acesso em: 27 dez. 2022.
Ainda, podemos encontrar na literatura curvas polares chamadas de Lemniscatas, cujas equações são 
 ou  , com  . Também, temos as espirais de Arquimedes e muitas outras
curvas, as quais não têm apenas um apelo estético importante mas também são usadas em aplicações em
diversas áreas do conhecimento.
Com todas essas construções, percebemos que o uso de coordenadas polares ao invés de coordenadas
cartesianas costuma ser a escolha prática na construção de curvas.
Dentre essas curvas, também se encontram as elipses e as hipérboles, sobre as quais, geralmente,
aprendemos no ensino médio usando coordenadas cartesianas. 
Seções cônicas, como elipses e hipérboles, também podem ser escritas em coordenadas polares. Considere a
�gura a seguir:
Figura 12 | Hipérbole no sistema cartesiano
ρ2 = a cos (2θ) ρ2 = a sin (2θ) a ≠ 0
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Fonte: elaborada pela autora.
Note que a �gura apresenta duas retas em destaque, as retas F e D. A reta F é a distância entre o foco da
hipérbole e um ponto dela. Já a reta D é a distância desse mesmo ponto, P, até o eixo diretriz dessa cônica. A
excentricidade da hipérbole é dada por  .
Para escrevermos a hipérbole usando coordenadas polares, adotaremos que um dos focos será coincidente
com o polo do sistema polar, conforme a �gura a seguir:
Figura 13 | Hipérbole no sistema polar
Fonte: elaborada pela autora
Como posicionamos um foco no polo, a distância F, no sistema de coordenadas polares, será dada por  , logo 
.
Se a reta diretriz estiver à direita do polo, teremos
e = FD
ρ
F = ρ
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                     (4)
Como  , então  .
Substituindo esse resultado em (4), obtemos:
                     (5)
A Equação 5 é a equação polar de uma hipérbole quando a reta diretriz está à direita do polo.
Usando o mesmo princípio, é possível obter as equações quando a reta diretriz está à esquerda, ou acima ou
abaixo. 
O processo que aplicamos para a hipérbole é válido para as demais cônicas: elipse, parábola e para a própria
circunferência.
TAXAS RELACIONADAS: APLICAÇÕES
Vamos supor que uma partícula P se desloca na curva  , com  , onde t é o tempo.
Assim, podemos dizer que a posição da partícula depende do tempo, que é um parâmetro dessa curva, ou
seja, cada ponto (x,y)  depende de t.
Portanto, dizemos que uma partícula que tem sua posição de�nida por equações paramétricas se move ao
longo de uma curva na direção em que t   aumenta.
É comum, nesse contexto, que o trajeto da partícula apareça direcionado por setas, como vemos na Figura 14.
Figura 14 | Curva C
Fonte: elaborada pela autora.
A curva C não é uma função do tipo  , porque C possui para cada x mais de um correspondente em y.
Dessa forma, se �zermos o teste da reta vertical, ou seja, se traçarmos uma reta vertical sobre C, essa reta
interceptará C em mais de um único ponto.
D = d − ρ cos θ
e = FD =
ρ
D D =
ρ
e
ρ = e⋅d1+e cos θ
C :  {
x = t cos 2πt
y = t sin 2π t
0 < t < 3
y = f (x)
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Assim, uma curva plana, parametrizada, é uma curva do tipo
onde I é o intervalo de  .
Em geral, considera-se que a variável t representa o tempo e que a função f(t)   representa a posição de uma
partícula que se desloca no plano.
Nem sempre o parâmetro adotado será o tempo. Podemos escrever, por exemplo, uma curva parametrizada
a partir da expressão  , que representa a conversão que usamos quando passamos as
coordenadas de um sistema cartesiano para coordenadas de um sistema polar. Nesse caso, assumiremos
que  é uma constante. 
Você já ouviu falar da Tautócrona? É uma curva cicloide que possui características muito interessantes. Se
você colocar dois objetos sobre ela em pontos diferentes, esses objetos chegarão ao centro dessa curva ao
mesmo tempo.
Figura 15 | Tautócrona com vários objetos
Fonte: Wikimedia Commons .
Seja uma curva traçada por um ponto P  posicionado no arco de um círculo, quando este gira ao longo de uma
reta (eixo das abscissas), como pode ser observado na Figura 16.
Vamos supor que, inicialmente, o ponto P está na origem com um ângulo de rotação  e que o raio desse
círculo vale  . Quando o círculo começa a rolar pelo eixo x, esse ângulo gira  radianos, como podemos ver na
Figura 16.
f : I → R2
t ↦ (f1 (t), f2 (t))
R
C :  {
x = ρ cos θ
y = ρ sin θ
ρ
θ = 0
ρ
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Figura 16 | Giro de  radianos
Fonte: elaborada pela autora.
Como esse círculo está em contato com o eixo x, dizemos que a distância que ele girou a partir da origem foi
de  .
Assim, o centro do círculo será  . Agora, sejam (x,y) as coordenadas de P. Usando como referência a
Figura 16, temos que
Nota:  e
Com isso, obtemos as equações paramétricas da cicloide e, como vimos, a rampa tautócrona é uma curva
cicloide.
                     (6)
Portanto, representar curvas através de equações paramétricas nos auxilia no processo de cálculo e
representação e, ainda, possibilita a conversão dessa equação do sistema de coordenadas cartesianas para o
sistema de coordenadas polares.  
VÍDEO RESUMO
Nesta aula, falaremos da relação entre as coordenadas polares e as curvas parametrizadas. Curvas
paramétricas são uma importante ferramenta computacional e de modelagem matemática. Dessa forma,
descreveremos gra�camente alguns modelos de curvas envolvendo mudança de coordenadas de um sistema
cartesiano para um sistema polar e discutiremos esses resultados pensando em implementaçãocomputacional através da parametrização. Ao �nal da aula, você estará apto a resolver problemas que
apresentem a necessidade de conversão para o sistema de coordenadas polares.
θ
|OT | = arc (PT ) = ρθ
C (ρθ, ρ)
x = |OT | − |PQ| = ρθ − ρ sin θ = ρ (θ − sin θ)
y = |TC| − |QC| = ρ − ρ cos θ = ρ (1 − cos θ)
sin θ =
|PQ|
ρ   cos θ =
|QC|
ρ
{ ,   θ ∈ Rx = ρ (θ − sin θ)
y = ρ (1 − cos θ)
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 Saiba mais
Sugerimos, como ferramenta grá�ca para a visualização de grá�cos de funções, o software de geometria
dinâmica chamado de GeoGebra.
Para saber um pouco mais sobre as formas polares cônicas, sugerimos o material intitulado
Coordenadas polares, de Frensel e Delgado.
INTRODUÇÃO
Nesta aula, usaremos as técnicas de integração para generalizar a integração de algumas funções
trigonométricas. A integração por partes e a regra da substituição de variáveis para integrais serão a base na
nossa manipulação algébrica. 
Além disso, trabalharemos com o cálculo do comprimento de curvas usando parametrização e coordenadas
polares, para que possamos aplicar esse resultado no cálculo de áreas de curvas escritas em coordenadas
polares. A parametrização aparece como uma importante ferramenta tanto para a conversão de um sistema
cartesiano para um sistema polar como para o pensamento da implementação computacional dessas
funções.
Misturaremos teoria e prática, aproximando os conceitos teóricos aprendidos com a resolução de problemas.
Seja muito bem-vindo ao estudo do cálculo diferencial e integral II!
INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS
Começaremos essa seção resolvendo um exemplo. A ideia é aplicar as técnicas de integração que
conhecemos para encontrar a primitiva de uma função trigonométrica, para que, na sequência, possamos
generalizar o resultado obtido.
Assim, seja nosso exemplo:
Exemplo 1: resolva a integral  .∫ cos2 x dx
Aula 4
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA
Nesta aula, usaremos as técnicas de integração para generalizar a integração de algumas funções
trigonométricas.
42 minutos
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Solução: como vimos nas nossas aulas, essa integral pode ser resolvida através da integração por partes. 
Usando a identidade trigonométrica  , temos  .
Logo,
Sendo assim, de�niremos quem serão as partes u e dv.
Como  , então:
Logo,
Ainda, com o intuito de resolvermos exemplos que permitam que façamos uma generalização, resolveremos o
exemplo a seguir:
Exemplo 2: resolva a integral  .
Solução: usando identidade trigonométrica, sabemos que  . Portanto, 
. Com isso, fazemos:
Aplicando a integração por partes, teremos:
Assim,
sin2 x + cos2 x = 1 cos2 x = 1 − sin2 x
∫ cos2 x dx = ∫ 1 − sin2 x dx = ∫ 1 dx − ∫ sin2 x dx
u  = sinx dv  = sinxdx
du  = cosx dx v  =   − cosx 
∫ udv  =  uv –  ∫ vdu
∫ cos2 x dx = x − ∫ sin2 x dx = x − [− sinx cosx + ∫ cos2 x dx]
2 ∫ cos2 x dx = x + sinx cosx
∫ cos2 x dx = x2 +
sinx cosx
2 + C
∫ sin2 x dx
sin2 x + cos2 x = 1
sin2 x = 1 − cos2 x
∫ sin2 x dx = ∫ 1 − cos2 x dx
∫ sin2 x dx = ∫ 1dx − ∫ cos2 x dx
∫ sin2 x dx = ∫ 1dx − ∫ cosx cosx dx
u  = cosx dv  = cosx dx
du  = − sinx dx v  = sinx
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Logo,
Observe que, nos dois exemplos, temos um padrão similar. Contudo, será que essa regra é válida para n
ímpar? Faremos dois exemplos na sequência para veri�car. 
Exemplo 3: encontre a família de funções primitivas para a função sin³ x.
Solução: usando o mesmo princípio adotado nos dois primeiros exemplos, temos:
Note que, neste exemplo, será necessário usar a regra da substituição de variáveis. 
Assim, 
Logo,
Agora, usando as mesmas regras de integração, resolveremos a integral .
Exemplo 4: partiremos da aplicação da identidade trigonométrica já descrita nos outros exemplos. Dessa
forma, temos:
Usando a regra da substituição de variáveis em  , teremos:
∫ sin2 x dx = x − [sinx cosx + ∫ sin2 x dx]
2 ∫ sin2 x dx = x − sinx cosx
∫ sin2 x dx = x2 −
sinx cosx 
2 + C
∫ sin3 x dx = ∫ sinx sin2 x dx = ∫ sinx (1 − cos2 x)dx
∫ sin3 x dx = ∫ sinx dx − ∫ sinx cos2 x dx
u = cosx du = − sinx dx
dx = −du/ sinx 
∫ sin3 x dx = ∫ sinx dx − [∫ sinx u2 (− dusin  x )]
∫ sin3 x dx = ∫ sinx dx + [∫ u2du]
∫ sin3 x dx = ∫ sinx dx + [ u33 ]
∫ sin3 x dx = − cosx + cos
3 x
3
∫ cos3 dx = ∫ cosx  (1 − sin2 x)dx = ∫ cosx − ∫ cosx sin2 x dx
∫ cosx sin2 x dx
u = sinx du = cosx dx
dx = ducosx
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Logo,
Assim:
Com isso, temos dois padrões que se repetem, sendo um para funções potência pares e outro para funções
potência ímpares. Conseguimos descrever esses resultados através de fórmulas de recorrência, como se
segue:
                         (1)
e
                         (2)
Essa lógica também é válida para as funções potência de tangentes e secantes:
                         (3)
e
                         (4)
Note que construímos regras que generalizam a resolução de integrais trigonométricas que seguem certos
padrões. Contudo, essas regras não precisam ser decoradas, pois, com as técnicas de integração conhecidas,
em particular, as técnicas da integração por partes e substituição de variáveis, conseguimos resolver essas
mesmas integrais. A lógica da generalização é agilizar o processo de cálculo e identi�car padrões que podem
ser aplicados em casos especí�cos.
COMPRIMENTO DE ARCO DE CURVAS POLARES
Nesse bloco, falaremos de integração de curvas polares.
Para compreendermos o cálculo do comprimento de uma curva descrita por uma função polar, precisamos,
inicialmente, entender o desenvolvimento da equação do comprimento para curvas paramétricas. 
Assim, descreveremos esse conceito para, na sequência, aplicarmos essa teoria às coordenadas polares.
Seja comprimento L de um arco C na forma y=F(x), onde  , expressa pela equação que relaciona a
integral das diferenciais em relação a x.
Para entender esse conceito, assumiremos a curva  .
Figura 1 | Curva C e comprimento L
∫ cos3 dx = ∫ cosx − ∫ cosx u2  ducosx
∫ cos3 dx = ∫ cosx − ∫ u2du
∫ cos3 dx = sinx − sin
3 x
3
∫ sennx dx = − 1n sen
n−1x cosx + n−1n ∫ sen
n−2x dx
∫ cosn x dx = 1n cos
n−1 xsenx + n−1n ∫ cos
n−2 x dx
∫ tgnx dx = tg
n−1
n−1 − ∫ tg
n−2x dx
∫ secn x dx = sec
n−2x tgx
n−1 +
n−2
n−1 ∫ sec
n−2 x dx
a ≤ x ≤ b
C : y = F (x)
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Fonte: elaborada pela autora.
Considere dL um arco de comprimento in�nitesimal. 
O triângulo que aparece na Figura 1 e que está ampliado na Figura 2 nos permite escrever
Como  , então
Figura 2 | Comprimento in�nitesimal dL
Fonte: elaborada pela autora.
No exemplo a seguir, aplicaremos essa teoria. 
dL2 = dy2 + dx2
dL = √dy2 + dx2
dL = dx√( dy
dx
)
2
+ 1
dL = dx√y´2+1
L = b
a
dL
L = b
a
[√y´2+1]dx ⇒ b
a
√1 + ( dy
dx
)
2
dx
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Exemplo 5: seja a função f(x)=e   no intervalo fechado [0,3]. Calcule o comprimento de arco do grá�co dessa
função nesse intervalo.
Solução: sabendo que  , então calculando  , podemos escrever
Resolvendo essa integral, obtemos
Figura 3 | Curva L, f(x)= entre 0 e 3
Fonte: elaborada pelo autor.
Agora, suponha que C possa ser escrita por equações paramétricas x=f(t) e y=g(t) com  , em que 
. Isso signi�ca que  é percorrida uma vez, da esquerda para a direita, quando t aumenta de 
até  e a,  .
Assim,
Como  , temos
                        (5)
Teorema 1: se uma curva C for descrita pelas equações paramétricas x=f(t) e y=g(t),  , onde f' e g'
contínuas em  e C for percorrida exatamente uma vez, quando t aumenta de  até  ,então o
comprimento de C é
                        (6)
No exemplo a seguir, calcularemos o comprimento de uma curva cicloide.
x
L = b
a
√1 + ( dy
dx
)
2
dx f´(x) = ex
L = 3
0
√1 + (ex)2dx
L = (√1 + e2x − ln 1+√1+e2x
ex
)
3
0
= √1 + e6 − ln √1+e
6+1
e3
− [√2 − ln(√2 + 1)]∣ x α ≤ t ≤ βdxdt = f´(t) > 0 αβ f (β) = b L = ba√1 + ( dydx )2dx = βα (1 + ( dydtdxdt )2 dxdt  )dt⎷dxdt > 0 L = βα√( dxdt )2 + ( dydt )2dtL = βα√f´(t)2 + g´(t)2dt α ≤ t ≤ β[α,β] α βL = βα√( dxdt )2 + ( dydt )2dt = βα√f´(t)2 + g´(t)2dt
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Exemplo 6: calcule o comprimento de arco da cicloide dada por
Solução: calculando as derivadas de x e y em relação a t, obteremos
Portanto,
Aqui pensaremos em como calcular essa integral. Para isso, usaremos a identidade  ,
com t=2x que fornece  .
Como  temos  e, assim,  , portanto
Dessa forma,
Se  , com  e  é um parâmetro, teremos
 e 
Usando a regra do produto e derivando em relação a  , obteremos
Assim, como  , escrevemos
Logo,
Com isso, escrevemos
                     (7)
{
x (t) = r (t − sin t)
y (t) = r (1 − cos t)
{
dx
dt = r (1 − cos t)
dy
dt = r sin t 
L = 2π
0
√( dxdt )
2
+ ( dydt )
2
dt = 2π
0
√r2(1 − cos t)2 + r2 sin2 tdt
L = 2π
0
√r2 (1 − 2 cos t + cos2 t + sin2 t)dt = r2π
0
√2 (1 − cos t)dt
sin2 x = 12 (1 − cos 2x)
1 − cos t = 2 sin2 ( t2 )
0 ≤ t ≤ 2π 0 ≤ t2 ≤ π sin (
t
2 ) ≥ 0
√2 (1 − cos t) = √4 sin2 ( t2 ) = 2 sin (
t
2 ) = 2 sin
t
2∣ ∣L = 2r2π0 sin ( t2 )dt = 2r [−2cos ( t2 ) 2π0 ] = 2r [2 + 2] = 8r∣ρ = f (θ) α ≤ θ ≤ β θx = ρ cos θ = f (θ) cos θ y = ρ sin θ = f (θ) sin θθdxdθ = dρdθ cos θ − ρ sin θdydθ = dρdθ sin θ + ρ cos θcos2 θ + sin2 θ = 1 ( dxdθ )2 + ( dydθ )2 == ( dρdθ )2 cos2 θ − 2ρ dρdθ cos θ sin θ + ρ2 sin2 θ + ( dρdθ )2 sin2 θ + 2ρ dρdθ sin θ cos θ + ρ2 cos2 θ == ( dρdθ )2 + ρ2( dxdθ )2 + ( dydθ )2 = ( dρdθ )2 + ρ2L = β α√r2 + ( drdθ )2dθ = βα√[f (θ)]2 + [f´(θ)]2dθ
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Desa�o 1: encontre o comprimento de arco da cardioide de equação   no intervalo fechado 
.
Figura 4 | Cardioide de equação polar  e equação paramétrica 
Fonte: elaborada pela autora.
Esse desa�o será resolvido na nossa videoaula.
ÁREA DE CURVAS POLARES
Para trabalharmos com o conceito de área de uma região escrita em coordenadas polares, consideraremos
uma função contínua e não negativa f, contida em um intervalo fechado [α,β]. 
Assumiremos que a região R está delimitada pela curva ρ=f(θ) e pelas retas θ=α e θ=β, conforme Figura 5 e 
.
Figura 5 | Área entre as curvas  ;  e 
Fonte: elaborada pela autora.
O princípio usado para a obtenção da área se dá com o uso da integral de Riemann. Assim, consideraremos,
inicialmente, uma partição  de , tal que
.
ρ = 1 + cos θ
θ ∈ [0,2π]
ρ = 1 + cos θ {
x (θ) = (1 + cos θ) cos θ
y (θ) = (1 + cos θ) sin θ
θ = β
ρ = f (θ) θ = α θ = β
Δ [α,β]
α = θ0 < θ1 < … < θi−1 < θi < θi+1 < … < θn−1 < θn = β
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Figura 6 | Valor de  no intervalo 
Fonte: elaborada pela autora.
Temos, então, subintervalos da forma  , onde  . 
Seja  um valor de  no intervalo  . 
A medida em radianos do ângulo entre as retas  e  será denotada por  .
O número de unidades de área na área do setor circular de raio  unidades e ângulo central 
radianos é dada por
                (8)
Assim, uma aproximação para a área S total de R é dada por
Assumindo que, quanto menor  mais próximo da área real de R será a aproximação, então por Riemann
escrevemos: 
              (9)
Ainda, podemos dizer que, observando a Figura 6, a aproximação melhora quando  , mas a soma em
(9) são somas de Riemann para a função  , logo
Portanto, dizemos que a área da região R pode ser calculada por
              (10)
Onde  .
Exemplo 7: calcule a área limitada por um laço da rosácea de quatro pétalas  , apresentada na
�gura a seguir
θ [θi−1, θi]
[θi−1, θi] i = 1, … ,n
ξi θ [θi−1, θi]
θi−1 θi Δiθ
f (ξi) Δiθ
ΔSRi =
1
2 f (ξi)
raio
2
Δiθ
ângulo
⎡⎢⎣⎤⎥⎦ S ≈ ni=1 12 [f (ξi)]2ΔiθΔiθ,  S = limΔiθ→0 ni=1 12 [f (ξi)]2Δiθ n → ∞g (θ) = 12 [f (θ)]2limΔiθ→0 ni=1 12 [f (ξi)]2Δiθ = βα 12 [f (θ)]2dθS = βα 12 [f (θ)]2dθ = βα 12 ρ2dθρ = f (θ) ρ = cos 2θ
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              (10)
Figura 7 | Rosácea de quatro pétalas. Curva polar  , equação paramétrica 
Fonte: elaborada pela autora.
Solução: a área da região limitada pelo laço pintado de cinza (laço do lado direito) será calculada entre os
raios  e  . 
Portanto, podemos escrever
Sabendo que    é uma função par, temos que
Com isso, obtivemos a área de uma das pétalas da rosácea descrita pela curva polar  .
VÍDEO RESUMO
Nesta aula, resolveremos o desa�o proposto para o cálculo do comprimento de arco de um cardioide em
coordenadas polares. Também, falaremos da integração de funções trigonométricas e da generalização de
algumas regras que permitem calcular a integral dessas funções. Ao �nal da aula, você estará apto a
identi�car quais são as situações que podem ser resolvidas através de coordenadas polares, assim como será
capaz de aplicar diferentes técnicas de integração nos mais variados problemas.
 Saiba mais
Sugerimos, como ferramenta grá�ca para a visualização de grá�cos de funções, o software de geometria
dinâmica chamado de GeoGebra.
S = β
α
1
2 [f (θ)]
2dθ = β
α
1
2 ρ
2dθ
ρ = cos 2θ C2 : {
x (θ) = r (θ) cos θ
y (θ) = r (θ) sin θ
θ = 7π4 = −
π
4 θ =
π
4
S =
π
4
− π4
1
2 ρ
2dθ = 12
π
4
− π4
cos2 2θdθ
cos θ
S = 12
π
4
− π4
cos2 2θdθ = 2( 12
π
4
0
cos2 2θdθ) = π4
0
cos2 2θdθ =
S =
π
4
0
1
2 (1 + cos 4θ)dθ =
1
2 [θ +
1
4 sin 4θ]
π
4
0
= π8∣ ρ = cos θ
https://www.geogebra.org/?lang=pt%20
05/02/2024, 15:46 wlldd_231_u2_cal_dif_int_II
https://www.colaboraread.com.br/integracaoAlgetec/index?usuarioEmail=romulob.aguilar%40gmail.com&usuarioNome=RÔMULO+BERNARDINO+DE+AGUILAR&disciplinaDescricao=&atividadeId=3930393&ativi… 46/47
Além do Geogebra, indicamos uma calculadora online chamada Symbolab , a qual traz muitas
ferramentas de cálculo importantes e, dentre elas, calculadoras para validar resultados de derivadas e
integrais .
Aula 1
ANTON, H.; BIVENS, I. C.; DAVIS, S. L. Cálculo. v. 1. Porto Alegre, RS: Grupo A, 2014. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/ . Acesso em: 25 out. 2022.
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo – Vol. 1. 6. ed. Rio de Janeiro, RJ: Grupo GEN, 2018. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/. Acesso em: 26 out. 2022.
STEWART, J. Cálculo – Volume 1. São Paulo, SP: Cengage Learning Brasil, 2017. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/ . Acesso em: 25 out. 2022.
Aula 2
LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. Vol. 2. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994.
STEWART, J. Cálculo. Vol. 2. São Paulo: Cengage Learning, 2015.
Aula 3
ANTON, H.; BIVENS, I. C.; DAVIS, S. L. Cálculo. v. 1. Porto Alegre, RS: Grupo A, 2014. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/ . Acesso em: 25 out. 2022.
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo – Vol. 1. 6. ed. Rio de Janeiro, RJ: Grupo GEN, 2018. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/ . Acesso em: 6 out. 2022.
STEWART, J. Cálculo – Volume 1. São Paulo, SP: Cengage Learning Brasil, 2017. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/ . Acesso em: 25 out. 2022.
Aula 4
ANTON, H.; BIVENS, I. C.; DAVIS, S. L. Cálculo. v. 1. Porto Alegre, RS: Grupo A, 2014. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/ . Acesso em: 25 out. 2022.
REFERÊNCIAS
15 minutos
https://pt.symbolab.com/
https://pt.symbolab.com/solver/calculus-calculator
https://pt.symbolab.com/solver/calculus-calculator
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/
05/02/2024, 15:46 wlldd_231_u2_cal_dif_int_II
https://www.colaboraread.com.br/integracaoAlgetec/index?usuarioEmail=romulob.aguilar%40gmail.com&usuarioNome=RÔMULO+BERNARDINO+DE+AGUILAR&disciplinaDescricao=&atividadeId=3930393&ativi… 47/47
Imagem de capa: Storyset e ShutterStock.
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo – Vol. 1. 6. ed. Rio de Janeiro, RJ: Grupo GEN, 2018. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/ . Acesso em: 26 out. 2022
ROGAWSKI, J.; ADAMS, C.; DOERING, C. I. Cálculo. v. 1. Porto Alegre, RS: Grupo A, 2018. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582604601/ . Acesso em: 29 out. 2022.
STEWART, J. Cálculo – Volume 1. São Paulo, SP: Cengage Learning Brasil, 2017. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/ . Acesso em: 25 out. 2022.
https://storyset.com/
https://www.shutterstock.com/pt/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582604601/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/