Fisica Geral e Cálculo II - semana 3

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08/08/2023
Física geral
Quiz 07
Pergunta 1
Trabalho é definido como:
a. força por unidade de tempo.
b. força por unidade de distância.
c. força por unidade de área.
d. força por unidade de volume.
e. força ao longo de um deslocamento.
Justificativa:
Na Física, o trabalho é uma medida da energia transferida pela aplicação de uma força ao longo de um deslocamento.
Quiz 08
Pergunta 1
De acordo com o Teorema Trabalho-Energia, um trabalho realizado por uma força resultante causa:
a. uma variação na energia cinética.
b. uma variação na energia potencial.
c. uma energia cinética.
d. uma variação na aceleração.
e. uma variação na direção do movimento.
Justificativa:
O Teorema Trabalho-Energia cinética nos diz que o trabalho realizado pela força resultante que atua sobre um corpo é igual à variação da energia cinética do corpo.
Quiz 09
Pergunta 1
Quando uma força é perpendicular ao deslocamento do corpo, o trabalho é:
a. positivo.
b. maior que a intensidade da força.
c. nulo.
d. menor que a intensidade da força.
e. negativo.
Justificativa:
O trabalho é definido como o produto da componente da força aplicada ao longo da direção do deslocamento pelo deslocamento. Quando a força for perpendicular ao deslocamento, o componente da força na direção do deslocamento é nulo. Portanto, o trabalho é nulo.
Quiz Objeto
Pergunta 1
O trabalho total realizado pelas forças externas sobre um corpo não está relacionado com:
a. o deslocamento do corpo.
b. a massa do corpo.
c. a velocidade do corpo.
d. variações na posição do corpo.
e. a temperatura do corpo.
Justificativa:
Na Física, o trabalho é definido como sendo a transferência de energia por meio de uma ou mais forças que atuam sobre um corpo. Como consequência, esse corpo sofre um deslocamento, causando variações em sua posição. Se há a atuação de uma força e este corpo se move, há uma aceleração envolvida e pela segunda lei de Newton, a relação entre a força e a aceleração é a massa do corpo. O trabalho de uma força resultante (soma de todas as forças envolvidas no cálculo do trabalho) produz variação da energia cinética de um corpo.
Atividade Avaliativa
Pergunta 1
O homem sempre procurou realizar seu trabalho no menor tempo possível, daí a necessidade de introduzir um conceito que indicasse claramente com que rapidez se faz um trabalho. Esse conceito recebeu o nome de potência, que pode ser definida, em poucas palavras, como sendo o trabalho realizado em um intervalo de tempo. A unidade de Watt é usada em homenagem ao escocês James Watt (1736-1819), famoso por ter construído uma máquina a vapor.
Assim, considere uma bomba de 1400 W que extrai água de um poço de 25 m de profundidade a uma taxa de 200 litros por minuto. Assinale a alternativa que apresenta corretamente o trabalho realizado a cada minuto e a potência desenvolvida pela bomba, em valores aproximados, respectivamente, a seguir.
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Justificativa:
Anotemos os dados:
Formulas a serem utilizadas:
 
O trabalho realizado para elevar 200 litros de água 25 m é o correspondente ao levantamento da força do peso da água naquela altura, na mesma direção e sentido de deslocamento:
A potência desenvolvida a cada minuto será, aproximadamente:
Pergunta 2
Um bloco é pendurado em uma mola que está fixa em um teto. O bloco provoca uma deformação na mola de 20 cm, conforme mostra a figura. O trabalho total realizado pelas forças agindo no bloco é igual a: 
Use 
a. 3920 J
b. Nenhuma das demais alternativas.
c. 49,2 J
d. 29,2 J
e. 39,2 J
Justificativa:
No bloco agem duas forças, força da mola e força gravitacional, como indicado na figura abaixo.
Durante a deformação, a força da mola aumenta linearmente com o deslocamento, ou seja, .
Visto que o deslocamento é para baixo, o trabalho da força da mola é negativo e o da força peso é positivo. Assim, 
Assim, o trabalho total realizado pelas forças agindo no bloco é de: 
Pergunta 3
Um menino puxa um carrinho usando uma corda (ver figura). Esta corda faz um ângulo de 30o com a horizontal. Se o menino aplica uma força de 40 N para deslocar o carrinho por 30 m, qual foi o trabalho realizado pelo menino? Considere que não há qualquer atrito que impeça o movimento do carrinho.
 e .
a. 600 J
b. 1044 J
c. 
d. 1200 J
e. 
Justificativa:
A figura representa as informações do enunciado do problema. O trabalho realizado pela força F, aplicada pelo menino, será igual a:
Pergunta 4
Qual é a razão entre a energia cinética de um caminhão de 20 toneladas, movendo-se a 72 km/h, e a de um astronauta de 60 kg, em órbita, movendo-se a 28.800 km/h? 
a. 1/480;
b. 1/300;
c. 1/600;
d. 1/400;
e. 1/500.
Justificativa:
A primeira ação é transformar as grandezas informadas em unidades do mesmo sistema, no caso MKS. Assim, 
A energia cinética do caminhão e do astronauta são: 
Pergunta 5
O trabalho mecânico tau pode ser definido como o trabalho realizado pela força F aplicada em um ponto enquanto ele se move de A para B em uma direção que faz um ângulo α com a força e o produto da distância percorrida pela componente tangencial da força. Embora dois vetores (força e deslocamento) estejam envolvidos na definição do trabalho, é importante notar que o trabalho não é um vetor, é uma quantidade escalar, que pode ter um sinal positivo ou negativo.
A esse respeito, considere um corpo que se move 5 m quando uma força de 50 N atua sobre ele. Indique corretamente o valor do trabalho quando ele for realizado: I. quando a força e deslocamento têm a mesma direção e sentido oposto; II. quando a força e o deslocamento têm a mesma direção e direção oposta; e III. quando a força e o deslocamento são perpendiculares. 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Justificativa
Separamos os dados:
I. Se a força e o deslocamento têm a mesma direção e sentido, o ângulo é 0 graus:
II. Se a força e o deslocamento têm a mesma direção e sentido oposto:
III. Se a força e o deslocamento são perpendiculares, o ângulo é de 90 graus:
Pergunta 6
Uma pedra atirada rapidamente pode quebrar um vidro, uma flecha pode perfurar um alvo ou um carro em movimento pode derrubar um poste ao bater nele. Em outras palavras, todo corpo em movimento possui energia porque tem a capacidade de realizar trabalho mecânico. A energia cinética é a energia dos corpos em movimento.
Encontre o valor aproximado da energia cinética, em Joules, de um carro de massa 500 kg que se move a uma velocidade de 100 km/h. Depois, assinale a alternativa correta.
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Justificativa:
O primeiro passo é passar as unidades para o Sistema Internacional. Para passar 100 km/h para m/s basta dividirmos por 3,6.
Assim, temos que:
Aplicando na fórmula de energia cinética:
Pergunta 7
Uma força age sobre um corpo na direção do deslocamento e sua variação com o deslocamento ocorre conforme a figura. O trabalho realizado por essa força entre 0 e 15 m é de: 
a. 75 J
b. 150 J
c. Nenhuma das demais alternativas.
d. 125 J 
e. 100 J
Justificativa:
Como a força varia com o deslocamento, o trabalho é definido como: 
A função , segundo o gráfico, é uma reta do tipo . Os parâmetros são determinados usando os dois pontos conhecidos pertencentes à reta, . Substituindo na função, teremos:
Subtraindo a equação da equação , chegaremos no valor de a que é igual a 2. o Valor de b pode ser determinado usando a equação que nos levará a . Assim, .
Substituindo na integral, obteremos: 
Pergunta 8
Na vida cotidiana, o termo “trabalho” é aplicado a todos os tipos de atividades que exigem esforço, seja de origem muscular ou intelectual: levantar um copo, envernizar um móvel, ler um livro, resolver um problema de matemática etc. No entanto, na física, o conceito de trabalho é usado em um sentido muito mais restrito. Dizemos que uma força realiza trabalho se produz um deslocamento na mesma direção em que ela atua.
A respeito do trabalho mecânico, imagine que um jovem exerce uma força horizontal constante de 200 N sobre um objeto que se move 4 m. O trabalho realizado pelo jovem é de 400 J. Assinale a alternativa que apresentacorretamente o ângulo entre a força e o deslocamento, a seguir.
a. 82º.
b. 60º.
c. 45º.
d. 30º.
e. 75º.
Justificativa:
O fato de dizer que a força é horizontal não acrescenta nada à resolução do problema, uma vez que não indica como o corpo se move. O que conta é o ângulo entre a força e o deslocamento, de modo que a fórmula do trabalho é:
Segunda tentativa
Pergunta 1
Uma caixa de 20 kg foi solta no topo de uma rampa com atrito (µc = 0,25). Após a caixa deslocar por 2 m na rampa, o trabalho realizado pelas forças agindo na caixa é de: (Considere g = 9,8 m/s²). 
sen60 = 0,87 e cos60 = 0,5. 
a. 110,74 J
b. 300,48 J
c. 
d. 341,04 J
e. 292,04 J
Justificativa:
A figura abaixo mostra o diagrama de forças agindo na caixa. Existem duas forças que realizam trabalho no deslocamento da caixa: a força de atrito (negativo) e a componente do peso na direção do deslocamento (positivo). As forças Normal e componente do peso na direção da Normal não realizam trabalho, visto que são perpendiculares ao deslocamento. 
Na direção da força normal, a resultante de força é zero, ou seja,
Pergunta 3
A energia elétrica consumida pelos usuários é cobrada em kWh. Hoje, para residências, cada kWh consumido custa R$ 0,92, incluindo os impostos. Suponha que os donos de uma residência viajaram, por 30 dias, e deixaram uma lâmpada de 250 W ligada. O valor pago por esse consumo de energia será de: 
a. R$ 123,60
b. R$ 82,80
c. R$ 165,60
d. Nenhuma das demais alternativas.
e. R$ 57,60
Justificativa:
Pergunta 4
Um homem precisa arrastar uma caixa (50 kg) sobre uma superfície áspera Para tanto, ele aplica uma força suficiente para vencer a força de atrito imposta pelo piso à caixa. Qual é o trabalho exercido pelo homem para percorrer 4 m de distância? (Considere g = 9,8 m/s²). 
a. 590 J
b. 450 J
c. 490 J
d. – 490 J 
e. 390 J
Justificativa:
O homem aplicou uma força suficiente para vencer a força de atrito. Isso significa que a caixa vai se deslocar com velocidade constante, visto que, nesta condição, o módulo da força aplicada pelo homem será igual ao módulo da força de atrito. Desta forma, .
Na vertical não há movimento. Neste caso, aplica-se a 1ª lei de Newton, ou seja, , considerando o sentido para cima como positivo. Logo, a normal (N) será igual ao peso (P) que é o produto da massa da caixa pela aceleração gravitacional (mg). Substituindo na equação anterior, tem-se: 
Pergunta 8
Ao empurrar uma mesa inicialmente em repouso, exercendo uma força paralela ao solo, o objeto se move acelerando na direção dessa força. O produto da intensidade da força aplicada vezes o deslocamento feito durante sua ação é conhecido como trabalho mecânico ou trabalho de uma força. Seu valor indica a energia que é transferida para a mesa por quem a empurra.
Assim, determine o trabalho realizado pela força exercida por um homem sobre sua maleta de massa igual a 4 kg, enquanto ele a segura por meia hora, ao esperar o ônibus. Depois, assinale a alternativa que indica o valor correto, a seguir.
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Justificativa:
São forças constantes que o homem exerce sobre sua maleta. Como tal, o trabalho pode ser calculado por meio da seguinte expressão:
No entanto, como ele está parado esperando o ônibus, nem ele nem sua maleta se movem, então:
Terceira tentativa
Pergunta 4
Normalmente, o conceito de trabalho se refere a atividades de trabalho ou situações em que é feito um esforço físico ou intelectual. Na física, esse conceito é muito mais específico. Fundamentalmente, o trabalho mecânico mede a transferência de energia entre um corpo e o sistema que aplica uma força sobre ele. O trabalho é feito quando é transferida energia de um sistema para outro pela ação de forças.
Assim, imagine um balde de 15 kg sendo levantado 4 m por uma força vertical F cujo módulo constante é igual a 18 kgf. Assinale a alternativa que apresenta corretamente o trabalho realizado pela força F e o trabalho realizado pela força peso, respectivamente, a seguir.
a. 100 J e -500 J.
b. 720 J e -600 J.
c. -720 J e 600 J.
d. -100 J e 500 J.
e. 230 J e -480 J.
Justificativa:
Como estamos lidando com forças constantes e deslocamentos retilíneos, podemos aplicar essa definição simples para cada caso, usando a fórmula do trabalho:
I. No primeiro caso, tempos que 
Assim, 
II. Para a força peso, temos :
Pergunta 5
De acordo com a segunda lei do movimento de Newton, o somatório das forças que são aplicadas a um corpo é igual à taxa de variação da quantidade de movimento. Nesse sentido, devemos considerar o trabalho realizado por todas as forças que atuam sobre uma partícula, ou o trabalho líquido, para ver qual efeito isso tem no movimento da partícula ou na sua energia cinética. A isso damos o nome de teorema trabalho-energia.
Sobre o que foi apresentado, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
 I. O teorema estabelece que o trabalho realizado pela força resultante (soma de todas as forças) aplicada a uma partícula é igual à variação que ela experimenta na energia cinética da referida partícula.
PORQUE
II. Para um corpo não deformável, o trabalho realizado sobre ele não produz aumentos na energia interna, ou seja, todo trabalho é igual ao aumento da energia cinética, diferentemente do que é encontrado na mecânica dos meios deformáveis ​​contínuos.
Com base na análise das asserções anteriores, assinale a alternativa correta, a seguir.
a. As asserções I e II são proposições falsas.
b. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
c. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
d. A asserção I é uma proposição falsa, e a asserção II é uma proposição verdadeira.
e. A asserção I é uma proposição verdadeira, e a asserção II é uma proposição falsa.
Justificativa:
A asserção I é uma proposição verdadeira, pois trabalho e energia cinética são duas grandezas físicas intimamente relacionadas, por meio das quais se observa que o trabalho realizado por uma força resultante em relação ao movimento de um corpo entre uma posição inicial e uma posição final em uma trajetória acarreta uma mudança na energia cinética. A asserção II também é uma proposição verdadeira e justifica corretamente a I, pois o teorema trabalho-energia está associado a corpos que não sofrem deformação, uma vez que, nos deformáveis, outros fatores mais complexos precisam ser considerados, como a transformação da energia e a energia interna do sistema, por exemplo.
Pergunta 8
Dentre as afirmações abaixo, qual(is) está(ão) correta(s)?
1- O teorema do trabalho-energia cinética diz que o trabalho realizado por uma força em um corpo provoca variação na sua energia cinética.
2- A unidade de Joule é igual a kgm2/s2.
3- Potência é a razão entre energia e tempo.
4- O trabalho de uma força é sempre igual à intensidade da força vezes o deslocamento.
5- A multiplicação escalar de dois vetores resulta em um vetor.
a. 1, 2 e 5.
b. 2 e 3.
c. 4 e 5.
d. 3 e 5.
e. 1, 2 e 3.
Justificativa:
“O teorema do trabalho-energia cinética diz que o trabalho realizado por uma força em um corpo provoca variação na sua energia cinética”. Essa frase está correta, visto que a definição mais geral de trabalho diz que:
, mas
, assim, podemos escrever que:
“A unidade de Joule é igual a kgm2/s2”. Está correta, visto que J é unidade de Energia, que é igual a de trabalho. Trabalho é força x deslocamento, que é:
“Potência é a razão entre energia e tempo”. Está correto, visto que a definição de potência é a taxa temporal da realização de um trabalho, ou seja, , que tem como unidade o J/s = Watt. 
“O trabalho de uma força é sempre igual à intensidade da força vezes o deslocamento”. Esta afirmação está incorreta. A definição do trabalho de uma força constante é dada pelo produto escalar entre os vetores força e deslocamento, ou seja, . 
Assim, se a força faz um ângulo com a direção do deslocamento, o trabalho será igual a intensidade da componente da força na direção do deslocamento multiplicado pelo deslocamento.
“A multiplicaçãoescalar de dois vetores resulta em um vetor”. Esta afirmação é incorreta. O resultado do produto escalar entre dois vetores é igual a um escalar, visto que a definição do produto escalar é , em que é o ângulo entre os vetores A e B.
Tentativa Pri
Pergunta 1
Um bloco é pendurado em uma mola que está fixa em um teto. O bloco provoca uma deformação na mola de 20 cm, conforme mostra a figura. O trabalho total realizado pelas forças agindo no bloco é igual a: 
Use 
a. 3920 J
b. Nenhuma das demais alternativas.
c. 49,2 J
d. 29,2 J
e. 39,2 J
Justificativa:
No bloco agem duas forças, força da mola e força gravitacional, como indicado na figura abaixo.
Durante a deformação, a força da mola aumenta linearmente com o deslocamento, ou seja, .
Visto que o deslocamento é para baixo, o trabalho da força da mola é negativo e o da força peso é positivo. Assim, 
Assim, o trabalho total realizado pelas forças agindo no bloco é de: 
Pergunta 2
O trabalho realizado por qualquer força conservativa ou não conservativa será sempre igual à variação da energia cinética do corpo ou sistema. Se o sistema aumentar sua velocidade (a velocidade no ponto final é maior que no ponto inicial), o trabalho será positivo; por sua vez, se o sistema desacelera (a velocidade no ponto final é menor que no ponto inicial), o trabalho será negativo. Quando apenas forças conservativas estão envolvidas em um sistema, diz-se que a energia mecânica do sistema (soma da energia potencial e cinética) é conservada, ou seja, a energia mecânica inicial e a energia mecânica final do sistema são iguais.
A respeito do teorema trabalho-energia, assinale a alternativa que indica corretamente quanto trabalho é feito para acelerar um carro de 1.200 kg para ir de 90 km/h para 33 m/s, a seguir.
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Justificativa:
Separamos os valores:
O teorema trabalho-energia diz que:
Como a energia cinética é dada por 
, e como m é igual à massa do objeto, então, substituindo os valores no teorema, temos que:
Pergunta 3
Um homem precisa arrastar uma caixa (50 kg) sobre uma superfície áspera Para tanto, ele aplica uma força suficiente para vencer a força de atrito imposta pelo piso à caixa. Qual é o trabalho exercido pelo homem para percorrer 4 m de distância? (Considere g = 9,8 m/s²). 
a. 590 J
b. 450 J
c. 490 J
d. – 490 J 
e. 390 J
Justificativa:
O homem aplicou uma força suficiente para vencer a força de atrito. Isso significa que a caixa vai se deslocar com velocidade constante, visto que, nesta condição, o módulo da força aplicada pelo homem será igual ao módulo da força de atrito. Desta forma, .
Na vertical não há movimento. Neste caso, aplica-se a 1ª lei de Newton, ou seja, , considerando o sentido para cima como positivo. Logo, a normal (N) será igual ao peso (P) que é o produto da massa da caixa pela aceleração gravitacional (mg). Substituindo na equação anterior, tem-se: 
Pergunta 4
A energia elétrica consumida pelos usuários é cobrada em kWh. Hoje, para residências, cada kWh consumido custa R$ 0,92, incluindo os impostos. Suponha que os donos de uma residência viajaram, por 30 dias, e deixaram uma lâmpada de 250 W ligada. O valor pago por esse consumo de energia será de: 
a. R$ 123,60
b. R$ 82,80
c. R$ 165,60
d. Nenhuma das demais alternativas.
e. R$ 57,60
Justificativa:
Pergunta 5
Uma pedra atirada rapidamente pode quebrar um vidro, uma flecha pode perfurar um alvo ou um carro em movimento pode derrubar um poste ao bater nele. Em outras palavras, todo corpo em movimento possui energia porque tem a capacidade de realizar trabalho mecânico. A energia cinética é a energia dos corpos em movimento.
Encontre o valor aproximado da energia cinética, em Joules, de um carro de massa 500 kg que se move a uma velocidade de 100 km/h. Depois, assinale a alternativa correta.
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Justificativa:
O primeiro passo é passar as unidades para o Sistema Internacional. Para passar 100 km/h para m/s basta dividirmos por 3,6.
Assim, temos que:
Aplicando na fórmula de energia cinética:
Pergunta 6
Normalmente, o conceito de trabalho se refere a atividades de trabalho ou situações em que é feito um esforço físico ou intelectual. Na física, esse conceito é muito mais específico. Fundamentalmente, o trabalho mecânico mede a transferência de energia entre um corpo e o sistema que aplica uma força sobre ele. O trabalho é feito quando é transferida energia de um sistema para outro pela ação de forças.
Assim, imagine um balde de 15 kg sendo levantado 4 m por uma força vertical F cujo módulo constante é igual a 18 kgf. Assinale a alternativa que apresenta corretamente o trabalho realizado pela força F e o trabalho realizado pela força peso, respectivamente, a seguir.
a. 100 J e -500 J.
b. 720 J e -600 J.
c. -720 J e 600 J.
d. -100 J e 500 J.
e. 230 J e -480 J.
Justificativa:
Como estamos lidando com forças constantes e deslocamentos retilíneos, podemos aplicar essa definição simples para cada caso, usando a fórmula do trabalho:
I. No primeiro caso, tempos que 
Assim, 
II. Para a força peso, temos :
Pergunta 7
Uma força age sobre um corpo na direção do deslocamento e sua variação com o deslocamento ocorre conforme a figura. O trabalho realizado por essa força entre 0 e 15 m é de: 
a. 75 J
b. 150 J
c. Nenhuma das demais alternativas.
d. 125 J 
e. 100 J
Justificativa:
Como a força varia com o deslocamento, o trabalho é definido como: 
A função , segundo o gráfico, é uma reta do tipo . Os parâmetros são determinados usando os dois pontos conhecidos pertencentes à reta, . Substituindo na função, teremos:
Subtraindo a equação da equação , chegaremos no valor de a que é igual a 2. o Valor de b pode ser determinado usando a equação que nos levará a . Assim, .
Substituindo na integral, obteremos: 
Pergunta 8
A energia cinética é um tipo de muitas outras energias estudadas na física. Ela é a energia que um objeto possui em virtude de estar em movimento. Para que um corpo adquira velocidade diferente de zero, é necessário que ele rompa a força de atrito por meio de outra força aplicada.
A respeito da energia cinética, julgue se são Verdadeiras (V) ou Falsas (F) as afirmativas a seguir.
I. () A energia cinética está relacionada com a massa e a velocidade adquirida pelo corpo. Assim, corpos terão menos energia cinética se tiverem menos massa e velocidade, sendo o contrário também verdadeiro.
II. () A energia cinética pode ser transferida para diferentes corpos e também pode ser transformada em outra energia, como de energia cinética para energia potencial gravitacional.
III. () O cálculo da energia cinética se inicia pelo valor do trabalho realizado, pois por meio dele há transferência de energia cinética para o objeto pela força aplicada.
IV. () A energia cinética pode ser um valor negativo. Assim como a velocidade, ela pode ter um valor positivo ou negativo dependendo da referência. Mas, ao usar a velocidade ao quadrado, você sempre obtém um valor positivo.
A sequência correta é:
a. F, F, F, V.
b. F, V, F, V.
c. F, F, V, V.
d. V, F, V, F.
e. V, V, V, F.
Justificativa
A afirmativa I é verdadeira, pois a energia cinética é definida como a energia do movimento de um corpo, assim, ela depende, matematicamente, da massa do objeto e da velocidade que aquele adquire. A afirmativa II também é verdadeira, pois, como bem conhecemos, na natureza tudo se transforma, e não é diferente com a energia cinética, podendo ela ser transformada em outro tipo de energia. A afirmativa III, igualmente, é verdadeira, pois, de acordo com as leis de Newton, para a mecânica, é necessária uma força para colocar um objeto em movimento. Como a energia cinética é a energia do movimento, primeiramente temos de encontrar o trabalho sobre ele. A afirmativa IV é falsa, pois a energia cinética jamais pode ser negativa, sendo sempre zero, quando o objeto está parado, ou positiva. Mesmo a velocidade podendo ser negativa dependendo da referência, ao usá-la ao quadrado, sempre obteremos um valor positivo.
Segunda tentativa
Pergunta 5
Qual é a razão entre a energia cinéticade um caminhão de 20 toneladas, movendo-se a 72 km/h, e a de um astronauta de 60 kg, em órbita, movendo-se a 28.800 km/h? 
a. 1/480;
b. 1/300;
c. 1/600;
d. 1/400;
e. 1/500.
Justificativa:
A primeira ação é transformar as grandezas informadas em unidades do mesmo sistema, no caso MKS. Assim, 
A energia cinética do caminhão e do astronauta são: 
Pergunta 7
O trabalho mecânico tau pode ser definido como o trabalho realizado pela força F aplicada em um ponto enquanto ele se move de A para B em uma direção que faz um ângulo α com a força e o produto da distância percorrida pela componente tangencial da força. Embora dois vetores (força e deslocamento) estejam envolvidos na definição do trabalho, é importante notar que o trabalho não é um vetor, é uma quantidade escalar, que pode ter um sinal positivo ou negativo.
A esse respeito, considere um corpo que se move 5 m quando uma força de 50 N atua sobre ele. Indique corretamente o valor do trabalho quando ele for realizado: I. quando a força e deslocamento têm a mesma direção e sentido oposto; II. quando a força e o deslocamento têm a mesma direção e direção oposta; e III. quando a força e o deslocamento são perpendiculares. 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Justificativa
Separamos os dados:
I. Se a força e o deslocamento têm a mesma direção e sentido, o ângulo é 0 graus:
II. Se a força e o deslocamento têm a mesma direção e sentido oposto:
III. Se a força e o deslocamento são perpendiculares, o ângulo é de 90 graus:
Pergunta 8
Dentre as afirmações abaixo, qual(is) está(ão) correta(s)?
1- O teorema do trabalho-energia cinética diz que o trabalho realizado por uma força em um corpo provoca variação na sua energia cinética.
2- A unidade de Joule é igual a kgm2/s2.
3- Potência é a razão entre energia e tempo.
4- O trabalho de uma força é sempre igual à intensidade da força vezes o deslocamento.
5- A multiplicação escalar de dois vetores resulta em um vetor.
a. 1, 2 e 5.
b. 2 e 3.
c. 4 e 5.
d. 3 e 5.
e. 1, 2 e 3.
Justificativa:
“O teorema do trabalho-energia cinética diz que o trabalho realizado por uma força em um corpo provoca variação na sua energia cinética”. Essa frase está correta, visto que a definição mais geral de trabalho diz que:
, mas
, assim, podemos escrever que:
“A unidade de Joule é igual a kgm2/s2”. Está correta, visto que J é unidade de Energia, que é igual a de trabalho. Trabalho é força x deslocamento, que é:
“Potência é a razão entre energia e tempo”. Está correto, visto que a definição de potência é a taxa temporal da realização de um trabalho, ou seja, , que tem como unidade o J/s = Watt. 
“O trabalho de uma força é sempre igual à intensidade da força vezes o deslocamento”. Esta afirmação está incorreta. A definição do trabalho de uma força constante é dada pelo produto escalar entre os vetores força e deslocamento, ou seja, . 
Assim, se a força faz um ângulo com a direção do deslocamento, o trabalho será igual a intensidade da componente da força na direção do deslocamento multiplicado pelo deslocamento.
“A multiplicação escalar de dois vetores resulta em um vetor”. Esta afirmação é incorreta. O resultado do produto escalar entre dois vetores é igual a um escalar, visto que a definição do produto escalar é , em que é o ângulo entre os vetores A e B.
Terceira tentativa
Pergunta 6
Um menino puxa um carrinho usando uma corda (ver figura). Esta corda faz um ângulo de 30o com a horizontal. Se o menino aplica uma força de 40 N para deslocar o carrinho por 30 m, qual foi o trabalho realizado pelo menino? Considere que não há qualquer atrito que impeça o movimento do carrinho.
 e .
a. 600 J
b. 1044 J
c. 
d. 1200 J
e. 
Justificativa:
A figura representa as informações do enunciado do problema. O trabalho realizado pela força F, aplicada pelo menino, será igual a:
Pergunta 8
Na vida cotidiana, o termo “trabalho” é aplicado a todos os tipos de atividades que exigem esforço, seja de origem muscular ou intelectual: levantar um copo, envernizar um móvel, ler um livro, resolver um problema de matemática etc. No entanto, na física, o conceito de trabalho é usado em um sentido muito mais restrito. Dizemos que uma força realiza trabalho se produz um deslocamento na mesma direção em que ela atua.
A respeito do trabalho mecânico, imagine que um jovem exerce uma força horizontal constante de 200 N sobre um objeto que se move 4 m. O trabalho realizado pelo jovem é de 400 J. Assinale a alternativa que apresenta corretamente o ângulo entre a força e o deslocamento, a seguir.
a. 82º.
b. 60º.
c. 45º.
d. 30º.
e. 75º.
Justificativa:
O fato de dizer que a força é horizontal não acrescenta nada à resolução do problema, uma vez que não indica como o corpo se move. O que conta é o ângulo entre a força e o deslocamento, de modo que a fórmula do trabalho é:
Calculo II – 10/08 
Quiz 09
Pergunta 1
É correto afirmarmos sobre uma função que:
a. se possui derivadas parciais num ponto ela é contínua nesse ponto.
b. ela pode ter derivadas parciais num ponto mas não ser contínua nesse ponto.
c. sempre possui derivadas parciais.
d. é sempre contínua.
e. nenhuma das alternativas anteriores.
Justificativa:
Durante a Aula 9 vimos a função
possui derivadas parciais e
mas não é contínua na origem.
Quiz 10
Pergunta 1
Podemos afirmar sobre um ponto crítico de uma função :
a. é sempre um ponto de máximo.
b. pode não ser nem ponto de máximo e nem ponto de mínimo.
c. é aquele tal que .
d. é sempre um ponto de mínimo.
e. nenhuma das alternativas anteriores.
Justificativa:
Na videoaula 10 vimos que a função possui (0,0) como único ponto crítico, mas ele não é nem ponto de máximo e nem ponto de mínimo. É chamado ponto de sela.
Quiz 11
Pergunta 1
Se o produto escalar entre dois vetores é zero, podemos afirmar que esses dois vetores:
a. são concorrentes.
b. formam um ângulo de 60°.
c. são paralelos.
d. nenhuma das alternativas anteriores.
e. são perpendiculares.
Justificativa:
Como visto na videoaula, a definição de produto escalar entre dois vetores
é dada por
Além disso, podemos definir produto escalar através do ângulo entre os vetores: 
onde é o ângulo entre esses vetores. Assim, o produto escalar é zero se e somente se , ou seja, . Portanto, u e v são perpendiculares.
Quiz 12
Pergunta 1
O produto vetorial entre dois vetores é:
a. um vetor perpendicular a e 
b. sempre o vetor nulo.
c. nenhuma das alternativas anteriores.
d. um número real.
e. um vetor paralelo a e 
Justificativa:
A definição de produto vetorial entre é dada por
Efetuando o produto escalar de por obtemos
De modo análogo, se fizermos o produto escalar por , também obtemos 0. Assim, o vetor é perpendicular a e a .
Quiz Objeto
Pergunta 1
Questão referente ao Texto-base – Fundamentos da Matemática II (Capítulo 8.3) – Gil da Costa Marques
O gradiente de um campo escalar, denotado por é:
a. um vetor.
b. sempre zero.
c. sempre o vetor nulo.
d. um número.
e. nenhuma das alternativas anteriores.
Justificativa:
A definição de gradiente de um campo escalar é dada por
Assim, o gradiente é um vetor.
Exercício de apoio
Pergunta 1
Para que valor real de os vetores do espaço são ortogonais (perpendiculares)?
a. 5
b. 
c. 
d. Nenhuma das outras alternativas.
e. 
Justificativa:
 são ortogonais 
Logo, 
Pergunta 2
Sobre a função é correto afirmar:
a. é seu único ponto crítico e é um ponto de mínimo local.
b. é seu único ponto crítico e não é nem ponto de máximo nem de mínimo local.
c. é seu único ponto crítico e é um ponto de máximo local.
d. Nenhuma das outras alternativas
e. é seu único ponto crítico e é ponto de mínimo local.
Justificativa:
Logo, o único ponto crítico é . Ponto de máximo ou Ponto de mínimo.
Como 
Assim, para o ponto segue que
Portanto, concluímos que é ponto de mínimo local.
Pergunta 3
Determine a equação vetorial do plano que passa pelo ponto determinado pelos vetores .
a. 
b. 
c. Nenhuma das outras alternativas.
d. 
e. 
Justificativa:
A equação vetorial do plano é
Pergunta 4
Para que valor real de os vetores do espaço são paralelos a um mesmo plano?
a. 
b. Nenhumadas outras alternativas
c. 
d. 
e. 4
Justificativa:
Os vetores são paralelos a um mesmo plano
Daí segue 
Pergunta 5
Considere a função . Sobre o ponto podemos afirmar que:
a. não é ponto de mínimo local nem de máximo local.
b. Nada se pode afirmar sobre o ponto .
c. Nenhuma das alternativas.
d. é um ponto de mínimo local.
e. é um ponto de máximo local.
Justificativa:
É imediato que é ponto crítico.
E 
Assim, concluímos que não é ponto de mínimo nem de máximo local.
Atividade Avaliativa
Pergunta 1
A Função de Cobb-Douglas é uma função amplamente utilizada em economia para representar a relação entre dois (ou mais) fatores de produção e o produto. Consideremos a função de Cobb-Douglas F que representa o valor bruto de produção de uma fábrica. Seja F dada por
Com , em que x representa investimento em capital de baixa tecnologia, y representa investimento em pessoal e z representa investimento em capital de alta tecnologia. Qual a taxa de variação em relação ao investimento em capital de baixa tecnologia quando é investido 1 (uma) unidade de valor em cada uma das três frentes?
a. 0,65065
b. 1,001
c. 0,35035
d. 0,75075
e. 0,1001
Pergunta 2
Um míssil se move no espaço na direção de maior temperatura, a fim de encontrar seu alvo. Assume-se que o míssil está na posição e que, na região em que o míssil voa, não haja nenhuma fonte de calor, além de a temperatura ser dada pela função .
Assinale a alternativa que apresenta corretamente o vetor que aponta na direção em que o míssil deve se mover.
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Pergunta 3
Considere a função , dada por: 
Podemos afirmar que:
a. 
b. f não possui pontos de mínimo global.
c. o ponto p de coordenadas é o único ponto crítico de f.
d. o ponto p de coordenadas é ponto de máximo global.
e. 
Pergunta 4
Em muitos problemas de engenharia, é comum usar a distância entre partes estruturais para projetar, adequadamente, soluções, e o caso mais simples de cálculo de distâncias é a distância entre dois pontos. A propósito, a distância entre dois pontos no espaço é dada por .
Sabendo disso – e que o ponto que minimiza a função também minimiza –, assinale a alternativa que apresenta corretamente a fórmula para encontrar os pontos críticos do quadrado da função distância entre o ponto e o plano .
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Pergunta 5
Um fogão foi projetado, de modo que, na parte de cima, há uma placa metálica de formato retangular, e sua temperatura varia de acordo com a expressão .
Assinale a alternativa que apresenta corretamente o ponto em que devemos posicionar uma panela para ter um melhor aproveitamento do fogão.
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Pergunta 6
Na indústria siderúrgica, é muito comum trabalhar com metal e com aquecimento de peças. Suponha-se que uma placa metálica tem uma temperatura que varia de acordo com a expressão .
Assinale a alternativa que apresenta corretamente a equação que deve ser resolvida para encontrar o ponto máximo da função temperatura.
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Pergunta 7
Uma concha usada na cozinha tem a forma de um paraboloide elíptico, o qual é o gráfico da função . Ao mergulhar a concha em uma panela com óleo e puxá-la para cima, retirando-a da panela, uma gota de óleo escorre pela superfície da concha.
Assinale a alternativa que apresenta corretamente a forma de calcular a velocidade da gota de óleo na direção do vetor unitário, quando a partícula está passando pelo ponto .
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Segunda tentativa
Pergunta 1 – diferente 
A funçao é uma função diferenciável em todo seu domínio. Sabendo que a curva de nível 1 de f coincide com o traço da curva e que o gradiente de f no dado por , uma equação possível para a reta tangente à curva de nível 1 de f no ponto é dada por:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Pergunta 2
Um fogão foi projetado, de modo que, na parte de cima, há uma placa metálica de formato retangular, e sua temperatura varia de acordo com a expressão .
Assinale a alternativa que apresenta corretamente o ponto em que devemos posicionar uma panela para ter um melhor aproveitamento do fogão.
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Pergunta 3 – diferente
Uma formiga percorre uma concha de cozinha que tem o formato de um paraboloide elíptico, o qual é o gráfico da . A formiga se encontra no ponto e se move, segundo a direção do vetor .
Assinale a alternativa que apresenta corretamente a velocidade da formiga no momento descrito.
a. 55.
b. 
c. 51.
d. 54.
e. 57.
Pergunta 4
Na indústria siderúrgica, é muito comum trabalhar com metal e com aquecimento de peças. Suponha-se que uma placa metálica tem uma temperatura que varia de acordo com a expressão .
Assinale a alternativa que apresenta corretamente a equação que deve ser resolvida para encontrar o ponto máximo da função temperatura.
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Pergunta 5 – diferente 
A distância entre dois pontos no espaço é dada por .
Sabendo disso – e sabendo, também, que o ponto que minimiza a função exposta minimiza –, assinale a alternativa que apresenta corretamente a fórmula para encontrar os pontos críticos do quadrado da função distância entre o ponto e o plano .
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Pergunta 6
Um míssil se move no espaço na direção de maior temperatura, a fim de encontrar seu alvo. Assume-se que o míssil está na posição e que, na região em que o míssil voa, não haja nenhuma fonte de calor, além de a temperatura ser dada pela função .
Assinale a alternativa que apresenta corretamente o vetor que aponta na direção em que o míssil deve se mover.
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Pergunta 7
A Função de Cobb-Douglas é uma função amplamente utilizada em economia para representar a relação entre dois (ou mais) fatores de produção e o produto. Consideremos a função de Cobb-Douglas F que representa o valor bruto de produção de uma fábrica. Seja F dada por
Com , em que x representa investimento em capital de baixa tecnologia, y representa investimento em pessoal e z representa investimento em capital de alta tecnologia. Qual a taxa de variação em relação ao investimento em capital de baixa tecnologia quando é investido 1 (uma) unidade de valor em cada uma das três frentes?
a. 0,65065
b. 1,001
c. 0,35035
d. 0,75075
e. 0,1001
Terceira tentativa
Pergunta 1
Considere dada por . Podemos afirmar que: 
a. o ponto é ponto de máximo global de f.
b. o ponto é ponto de máximo local de f.
c. o ponto é ponto de mínimo global f.
d. o ponto é ponto de máximo global de f.
e. o ponto é ponto de máximo local de f, mas não é máximo global.
Pergunta 2 – diferente 
Partículas eletricamente carregadas experimentam forças quando sujeitas a um campo elétrico e isso faz com que as partículas se movam, caso não haja nenhum impedimento. Suponha-se que um elétron se move sobre uma superfície metálica, que tem a forma do gráfico da função . Podemos calcular a velocidade total da partícula e/ou os componentes da velocidade nas direções x e y.
Assinale a alternativa que apresenta corretamente a velocidade da partícula na direção do vetor , quando a partícula está passando pelo ponto .
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Pergunta 7 – diferente
Sejam e vetores do espaço e A um ponto de coordenadas . Sabendo que , temos que as coordenadas de B são dadas por:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Tentativa Pri
Pergunta 1
Um fogão foi projetado, de modo que, na parte de cima, há uma placa metálica de formato retangular, e sua temperatura varia de acordo com a expressão .
Assinale a alternativa que apresenta corretamente o ponto em que devemos posicionar uma panela para ter um melhor aproveitamento do fogão.
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Pergunta 2 – diferente
O plano contido em contém os pontos Uma equação possível para o plano é dada por:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Pergunta 3 – diferente 
Partículas eletricamente carregadas experimentam forças quando sujeitas a um campo elétrico e isso faz com que as partículas se movam, caso não haja nenhum impedimento. Suponha-se que um elétron se move sobre uma superfície metálica, que tem a forma do gráfico da função . Podemos calcular a velocidade total da partícula e/ou os componentes da velocidade nas direções x e y.
Assinale aalternativa que apresenta corretamente a velocidade da partícula na direção do vetor , quando a partícula está passando pelo ponto .
f. 
g. 
h. 
i. 
j. 
Pergunta 4
Uma concha usada na cozinha tem a forma de um paraboloide elíptico, o qual é o gráfico da função . Ao mergulhar a concha em uma panela com óleo e puxá-la para cima, retirando-a da panela, uma gota de óleo escorre pela superfície da concha.
Assinale a alternativa que apresenta corretamente a forma de calcular a velocidade da gota de óleo na direção do vetor unitário, quando a partícula está passando pelo ponto .
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Pergunta 5 – diferente
Sejam e vetores do espaço e A um ponto de coordenadas . Sabendo que , temos que as coordenadas de B são dadas por:
f. 
g. 
h. 
i. 
j. 
Pergunta 6
A Função de Cobb-Douglas é uma função amplamente utilizada em economia para representar a relação entre dois (ou mais) fatores de produção e o produto. Consideremos a função de Cobb-Douglas F que representa o valor bruto de produção de uma fábrica. Seja F dada por
Com , em que x representa investimento em capital de baixa tecnologia, y representa investimento em pessoal e z representa investimento em capital de alta tecnologia. Qual a taxa de variação em relação ao investimento em capital de baixa tecnologia quando é investido 1 (uma) unidade de valor em cada uma das três frentes?
a. 0,65065
b. 1,001
c. 0,35035
d. 0,75075
e. 0,1001
Pergunta 7 – diferente
Uma placa de metal está no chão, e uma formiga anda sobre a placa. Uma criança pega uma lupa e direciona a luz solar para um ponto da placa, a fim de esquentá-la e ver como a formiga irá se mover. A temperatura da placa é dada pela expressão . A formiga está nessa placa no ponto .
Assinale a alternativa que apresenta corretamente o vetor que aponta na direção em que a formiga deve se mover, de modo a andar na direção de menor aumento da temperatura.
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Segunda tentativa 
Pergunta 2
Um míssil se move no espaço na direção de maior temperatura, a fim de encontrar seu alvo. Assume-se que o míssil está na posição e que, na região em que o míssil voa, não haja nenhuma fonte de calor, além de a temperatura ser dada pela função .
Assinale a alternativa que apresenta corretamente o vetor que aponta na direção em que o míssil deve se mover.
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Pergunta 6 – diferente
Uma formiga percorre uma concha de cozinha que tem o formato de um paraboloide elíptico, o qual é o gráfico da . A formiga se encontra no ponto e se move, segundo a direção do vetor .
Assinale a alternativa que apresenta corretamente a velocidade da formiga no momento descrito.
a. 55.
b. 
c. 51.
d. 54.
e. 57.
Terceira tentativa
Pergunta 1
Em muitos problemas de engenharia, é comum usar a distância entre partes estruturais para projetar, adequadamente, soluções, e o caso mais simples de cálculo de distâncias é a distância entre dois pontos. A propósito, a distância entre dois pontos no espaço é dada por .
Sabendo disso – e que o ponto que minimiza a função também minimiza –, assinale a alternativa que apresenta corretamente a fórmula para encontrar os pontos críticos do quadrado da função distância entre o ponto e o plano .
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Pergunta 3 – diferente
A função , dada por modela a temperatura em uma placa quadrada representada no plano pelo conjunto . Um corpo se encontra no ponto , qual a direção que o corpo deve seguir para que seja verificado o maior crescimento de f? 
a. a direção do vetor 
b. a direção do vetor 
c. a direção do vetor 
d. a direção do vetor 
e. a direção do vetor 
Pergunta 5 – diferente 
A distância entre dois pontos no espaço é dada por .
Sabendo disso – e sabendo, também, que o ponto que minimiza a função exposta minimiza –, assinale a alternativa que apresenta corretamente a fórmula para encontrar os pontos críticos do quadrado da função distância entre o ponto e o plano .
a. 
b. 
c. 
d. 
e.