FUNDAMENTOS DA ANÁLISE MATEMÁTICA - Atv 2 e 4

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Atividade 1 - FUNDAMENTOS DA ANÁLISE MATEMÁTICA
Questão 1: 
Cantor escreveu para Dedekind afirmando a impossibilidade de realizar uma correspondência entre os números naturais e os números reais. Não conseguiu uma relação biunívoca (bijetora) entre o conjunto dos números reais ℝ e os naturais ℕ, demonstrando que essa relação não poderia existir, o que significava a existência de um infinito maior que o enumerável, ou ainda, o infinito não enumerável.
 
SAMPAIO, P. A. S. R. Infinito: uma história a contar. Millenium: Journal of Education, Technologies and Health, Viseu, v. 13, n. 34, p. 205-222, abr. 2008. Disponível em:         
http://revistas.rcaap.pt/millenium/article/view/8368/5957  Acesso em: 20 maio 2021.
 
A respeito da teoria sobre Conjuntos Infinitos desenvolvida anteriormente, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s).
 
I. (   ) O conjunto dos números irracionais (ℝ − ℚ) tem a mesma cardinalidade que o conjunto dos números reais ℝ.
II. (   ) Se  é um conjunto, finito ou infinito, então a cardinalidade de  é estritamente menor do que a cardinalidade do conjunto das partes de  i.é., 
III. (   )  O conjunto dos números inteiros ℤ é um conjunto enumerável e não possui a mesma cardinalidade de ℕ.
IV. (   ) O conjunto dos números racionais ℚ é não enumerável, assim como o conjunto dos números reais ℝ.
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
Resposta Correta: VVFV
Questão 2: 
São irracionais os números na forma de dízimas não periódicas, raízes não exatas,·constante transcendente
e algumas funções não exatas. A descoberta dos números irracionais foi considerada um marco no estudo da geometria. No desenvolvimento do Teorema de Pitágoras para encontrar a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos medindo 1, foi encontrada a, que é um número que não pode ser exibido na forma de fração.
 
A respeito da teoria sobre o Conjunto dos Números Irracionais, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s).
 
I - A intersecção entre o conjunto dos números racionais ℚ e o conjunto dos números irracionais ℝ-ℚ é vazia.
II - O conjunto dos números irracionais ℝ-ℚ 
III - O conjunto dos números reais ℝ  ℝ-ℚ.
IV - Qualquer raiz quadrada tem como resultado um número racional ℚ.
Marque a alternativa que contém a classificação correta das afirmativas respectivamente:
Resposta Correta: VVFV
Questão 3:
Dizemos que um conjunto  de números reais é limitado inferiormente se existe um número tal que  O número  é chamado cota inferior do conjunto  Por exemplo, o conjunto dos números naturais, ℕ, é limitado inferiormente, mas não superiormente. O ínfimo de um conjunto é a maior das cotas inferiores desse conjunto.
 
Assinale a alternativa correta, que indica o ínfimo do conjunto dado por .
Resposta Correta: 0
Questão 4:
Dizemos que um conjunto  de números reais é limitado superiormente se existe um número tal que  O número  é chamado cota superior do conjunto  O supremo de um conjunto é a menor das cotas superiores desse conjunto e não precisa, necessariamente, pertencer ao conjunto 
 
Assinale a alternativa correta, que indica o supremo do conjunto dado por 
Resposta Correta: sup x = 3
Questão 5:
Dizemos que um conjunto  de números reais é limitado superiormente se existe um número tal que  O número  é chamado cota superior do conjunto  Por exemplo, o conjunto dos números racionais, ℚ,  menores do que 7 é limitado superiormente. O supremo de um conjunto é a menor das cotas superiores desse conjunto.
 
Assinale a alternativa correta, que indica o supremo do conjunto dado por:  
Resposta Correta: 10
Questão 6:
Dizemos que um conjunto  é enumerável se ele é finito ou se existir uma bijeção onde  é o conjunto dos Números Naturais, chamada enumeração do conjunto  Intuitivamente, um conjunto é enumerável quando é possível construir uma sequência com os elementos do conjunto.
 
A respeito da teoria sobre Conjuntos Enumeráveis, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s).
 
I.  (   ) Dados dois conjuntos enumeráveis, então é enumerável.
II. (   ) Se um conjunto  é enumerável e  é uma função injetiva, então  é enumerável.
III. (   ) O conjunto dos números naturais pares não é um conjunto enumerável.
Resposta Correta: VVFV
Questão 7:
A cardinalidade de um conjunto  é finita se existe uma bijeção ,  denotada por , ou podemos dizer que a cardinalidade de um conjunto finito é o número de elementos desse conjunto.  A cardinalidade de um conjunto  é infinita se existe uma bijeção entre  e um subconjunto próprio denotado 
 
A respeito da teoria sobre Cardinalidade de Conjuntos, analise as afirmativas a seguir e assinale V
para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s).
 
I. (   ) A cardinalidade do conjunto é dada por 
II. (   ) ≺sempre que  com  finito e 
III. (   ) Se  são finitos e  então .
IV. (   ) A cardinalidade da união de dois conjuntos finitos não disjuntos é dada por 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
Resposta Correta: VVFV
Questão 8:
Chamamos ínfimo de um conjunto  ao número  que satisfaz duas condições: i) ii). Dado qualquer número Chamamos supremo de um conjunto  ao número que satisfaz às duas condições: i. ; ii). Dado qualquer número 
 
Dado um conjunto  tal que , assinale a alternativa correta, que indica o ínfimo,  e o supremo,  do conjunto , respectivamente.
Resposta Correta: 0 e 1/2
Questão 9:
Denomina-se Corte de Dedekind ou, simplesmente, corte todo par de conjuntos não vazios de números racionais ℚ que satisfazem às seguintes condições:
(i) , (ii)  e , tem-se que ; (iii) O conjunto  não possui elemento máximo.
 
A respeito da teoria sobre Corte de Dedekind, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s).
 
I. (    ) Seja . O conjunto  é uma Corte de Dedekind.
II. (    ) Seja  com Então, vale a desigualdade de Bernoulli .
III. (    )  Sejam  dois cortes, a soma não é corte.
IV. (    )  Sejam  dois cortes, o produto não é corte.
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
Resposta Correta: VVFV
Questão 10: 
No que diz respeito aos Números Reais e os Dedekind, sejam  e  dois cortes. Podemos definir a soma   como o conjunto formado por todos os elementos da forma tal que. Vamos mostrar que a operação de adição também é corte.
 
Assinale a alternativa correta, que indica as condições que a operação de adição deve satisfazer.
Resposta Correta:
Atividade 2 - FUNDAMENTOS DA ANÁLISE MATEMÁTICA
Questão 1:
Limite lateral à direita: seja  uma função definida em um intervalo aberto (a, b). O limite de , quando  se aproxima de  pela direita, será , e escrevemos .
Limite lateral à esquerda: seja  uma função definida em um intervalo aberto (b, a). O limite de , quando  se aproxima de  pela esquerda, será , e escrevemos . Com relação aos conceitos de limites laterais, considere a função  definida por: se 
 
Assim, assinale a alternativa que determina o valor de respectivamente.
Resposta Correta: 2, 2 e 2
Questão 2: Outro resultado importante no estudo da derivada diz respeito à interpretação da derivada de uma função como a inclinação da reta tangente ao gráfico dessa função em determinado ponto. Se  é diferenciável no ponto , a reta tangente ao gráfico de  é dada por .
 
Neste sentido, assinale a alternativa que indica a equação da reta tangente ao gráfico da função  no ponto 
Resposta Correta: 
Questão 3:
Seja  um intervalo e seja  uma função tal que  diremos que  é um ponto de mínimo local de se existir  tal que  Neste caso, diremos que é um mínimo local.Um ponto  será um extremo local, se for um mínimo ou um máximo local.
 
Neste sentido, assinale a alternativa correta, que indica o valor dos pontos de máximo local ou mínimo local da função  se existirem.
Resposta Correta:
Questão 4:
Uma função monótona é uma função que é crescente, decrescente, monótona não decrescente ou monótona não crescente. Toda função crescente também é monótona não decrescentee toda função decrescente também é monótona não crescente. Uma função é estritamente monótona se é crescente ou se é decrescente.
 
Com relação aos conceitos de funções monótonas e considerando a função  definida por  assinale a alternativa correta que determina o intervalo de crescimento da função 
Resposta Correta:
Questão 5:
Vamos citar quatro propriedades dos limites: (I) unicidade do limite, (II) soma dos limites, (III) produto dos limites e (IV) quociente dos limites. Seja  e  um ponto de acumulação de , então: (I) se  e , então ; suponha que  e , então:
 (II) ,
(III) , (IV), desde que 
 
Com relação aos conceitos das propriedades dos limites, considere a função , definida por: se .
 
Assinale a alternativa que determina o valor de .
Resposta Correta:
-1
Questão 6:
Seja  um intervalo e seja  uma função tal que  diremos que  é um ponto de máximo local de se existir  tal que  Neste caso, diremos que é um máximo local.Um ponto  será um extremo local, se for um mínimo ou um máximo local.
 
Neste sentido, assinale a alternativa correta, que indica o valor dos pontos de máximo local ou mínimo local da função  se existirem.
Resposta Correta:
Questão 7:
Sejam  uma função e  um ponto de acumulação de  Se existir o limite diremos que  é a derivada de  em  e denotaremos por . Se  admitir derivada em a, diremos que é derivável ou diferenciável em  
 
Neste sentido, assinale a alternativa que indica a derivada da função , nos pontos respectivamente, utilizando a definição anterior.
Resposta Correta: 
Questão 8:
Seja  uma função e  um ponto de acumulação de  Se  diverge para  quando  vamos denotar por e  diverge para  quando , vamos denotar por . Analogamente, definimos 
 
Baseado no conceito de limites infinitos, dado anteriormente, assinale a alternativa que determina o comportamento da seguinte função:    .
Resposta Correta: 
Questão 9: 
Seja  uma função e  um ponto de acumulação de  Se  diverge para  quando , vamos denotar por , e  diverge para  quando , vamos denotar por . Analogamente, definimos 
Baseado no conceito de limites infinitos, dado anteriormente, assinale a alternativa que determina o comportamento da seguinte função:
 
 
Resposta Correta: 
Questão 10:
Dado um conjunto , dizemos que ele é um conjunto aberto quando coincide com o conjunto de seus pontos interiores, isto é, . Dado um conjunto dizemos que é um conjunto fechado quando coincide com o conjunto de todos os pontos aderentes , denominado fecho de 
 
Considere o conjunto . Com relação aos conceitos abordados, assinale a alternativa correta.
Resposta Correta: