LISTA 38 - EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

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LISTA 38 – EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
PROF. CESAR ANNUNCIATO 
 
 
NÍVEL 1 – ESA/EEAR 
 
1. (EEAR 2019) Se 
3
cos
2
 = − e  é um arco cuja 
extremidade pertence ao 2º quadrante, então  pode 
ser 
6
n rad

 . O valor de n é: 
 
a) 7 
b) 17 
c) 27 
d) 37 
 
2. (EEAR 2006) Se 2.sen x - 5.cos x = 0 e 0
2
x

  , 
então cos x vale: 
 
2 29
)
29
2 29
)
29
5 29
)
29
5 29
)
29
a
b
c
d
−
−
 
 
3. (EEAR 2017) No intervalo [0, ] , a soma das raízes 
da equação 
2 23cos 7 2 0x sen x− + = é igual a 
 
) 4
) 3
) 2
)
a
b
c
d




 
 
4. (EEAR 2007) Se 
3
0
4
x

  , então a maior raiz 
positiva da equação
2( 1) (4 3) 0tgx sen x−  − = é: 
 
4
)
3
5
)
4
7
)
6
7
)
4
a
b
c
d




 
 
NÍVEL 2 - OFICIALATO 
 
1. (AFA 2019) Seja a equação trigonométrica 
3 2tg x 2 tg x tgx 2 0,− − + = com 
3
x [0, 2 [ , .
2 2
π π
π
  
 −  
  
 
Sobre a quantidade de elementos distintos do conjunto 
solução dessa equação, é correto afirmar que são, 
exatamente, 
 
a) três. 
b) quatro. 
c) cinco. 
d) seis. 
 
2. (EsPCEx 2019) O número de raízes reais da equação 
22 cos x 3 cos x 1 0+ + = no intervalo ]0, 2 [π é 
 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
e) 4. 
 
3. (Ueg 2019) Resolvendo-se a equação sen 2x 1,= 
encontramos a 1ª determinação positiva de x igual a 
 
a) 
π
2
 
b) 
π
3
 
c) 
π
4
 
d) 
π
6
 
e) 
π
12
 
 
4. (Udesc 2018) A soma de todas as raízes reais da 
função 2
2
5
f(x) cotg (x) 2
4 sen (x)
= − + pertencentes 
ao intervalo , 3
2
π
π
 
 
 
 é igual a: 
a) 4π 
b) 
53
6
π
 
c) 9π 
d) 
35
6
π
 
e) 
73
6
π
 
 
 
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5. (Ufjf-pism 2018) Determine o conjunto solução para 
a equação 26 sen (x) 9 sen (x) 3 0.− + = 
a) 
5
x ; x 2k ou x 2k ou x 2k , k
2 6 6
π π π
π π π
 
 = + = + = +  
 
 
b) 
5
x ; x 2k ou x 2k ou x 2k , k
4 3 6
π π π
π π π
 
 = + = + = +  
 
 
c) x ; x 2k ou x 2k , k
4
π
π π
 
 = = +  
 
 
d) x ; x ou x
4 3
π π 
 = = 
 
 
e) x ; x ou x ou x
6 2 4
π π π 
 = = = 
 
 
 
6. (EsPCEx 2017) A soma das soluções da equação 
cos(2x) cos(x) 0,− = com x [0, 2 ),π é igual a 
 
a) 
5
3
π
 
b) 2π 
c) 
7
3
π
 
d) π 
e) 
8
3
π
 
 
7. (Uece 2017) A soma dos elementos do conjunto 
formado por todas as soluções, no intervalo [0, 2 ],π da 
equação 4 22sen (x) 3sen (x) 1 0− + = é igual a 
a) 3 .π 
b) 4 .π 
c) 5 .π 
d) 6 .π 
 
8. (Ita 2017) O número de soluções da equação 
(1 sec )(1 cossec ) 0,θ θ+ + = com [ , ],θ π π − é 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
e) 4. 
 
9. (Mackenzie 2017) O número de soluções que a 
equação 24 cos x cos2x cos x 2− + = admite no 
intervalo [0, 2 ]π é 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
10. (Uece 2017) O número de soluções da equação 
| sen(x) | | cos(x) |,= no intervalo fechado [ 2 , 2 ]π π− é 
igual a 
a) 4. 
b) 10. 
c) 8. 
d) 6. 
 
11. (Udesc 2016) Se m é a soma de todas as raízes da 
equação tg(x) 2sen(2x) 0,− = com x [0, 2 ],π então 
2
2mcos cos (m)
π
 
− 
 
 
 é igual a: 
a) 1 
b) 2 
c) 0 
d) 2− 
e) 1− 
 
12. (Upf 2015) A quantidade de soluções que a equação 
trigonométrica 4 4
1
sen x cos x
2
− = admite no intervalo 
[0, 3 ]π é: 
a) 0 
b) 2 
c) 4 
d) 6 
e) 8 
 
13. (Uece 2015) As soluções, em , da equação 
4 3 2cos x 4cos x 6cos x 4cosx 1 0− + − + = são 
 
Sugestão: use o desenvolvimento do binômio 4(p q) .− 
a) x 2k ,π= onde k é um inteiro qualquer. 
b) x (2k 1) ,π= + onde k é um inteiro qualquer. 
c) x k ,π= onde k é um inteiro qualquer. 
d) x (4k 1) ,π= + onde k é um inteiro qualquer. 
 
14. (Mackenzie 2014) O valor de θ que satisfaz o 
sistema 
x 1 sen 2
,
2x 2 cos
θ
θ
= −

= +
 para x e θ reais, com 
0 θ π  é 
 
a) 0 
b) 
2
π
 
c) π 
d) 
4
π
 
e) 
3
π
 
 
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15. (Upf 2014) Dentre as equações abaixo, assinale 
aquela que tem uma única solução em  , .π π− 
 
a) tg 1α = 
b) sen 0α = 
c) cos 1α = − 
d) tg 0α = 
e) cos 2α = − 
 
16. (AFA 2014) O sistema linear nas incógnitas x, y e 
z abaixo possui uma infinidade de soluções. 
 
(sen a)x y z 0
x (sen a)y z 1
x y cos a
+ − =

− + =
 + =
 
 
Sobre o parâmetro a, a , pode-se afirmar que 
 
a) a k , kπ=  
b) a 2k , kπ=  
c) a 2k , k
2
π
π= +  
d) a k , k
2
π
π= +  
 
17. (Uece 2014) Se p e q são duas soluções da equação 
22sen x 3sen x 1 0− + = tais que senp senq, então o 
valor da expressão 2 2sen p cos q− é igual a 
 
a) 0. 
b) 0,25. 
c) 0,50. 
d) 1. 
 
18. (Esc. Naval 2013) A soma das soluções da equação 
trigonométrica cos2x 3cosx 2,+ = − no intervalo 
 0,2π é 
 
a) π 
b) 2π 
c) 3π 
d) 
5
3
π
 
e) 
10
3
π
 
 
 
 
 
 
 
 
19. (Esc. Naval 2012) A soma dos quadrados das raízes 
da equação 2senx 1 2sen x,= − quando 0 x 2π  
vale 
 
a) 2
49
36
π 
b) 2
49
9
π 
c) 2
7
3
π 
d) 2
14
9
π 
e) 2
49
6
π 
 
GABARITO NÍVEL 1 
 
1. B 
2. B 
3. D 
4. A 
 
GABARITO NÍVEL 2 
 
Resposta da questão 1: 
 [D] 
 
( ) ( )
( ) ( )
3 2
2
2
tg x 2tg x tgx 2 0
tg x tgx 2 tgx 2 0
tgx 2 tg x 1 0
− − + =
 − − − =
−  − =
 
tgx 2= ou tgx 1= ou tgx 1= − 
 
No intervalo dado, a equaзгo tgx 2= admite 2 soluзхes. 
No intervalo dado, a equaзгo tgx 1= admite 2 soluзхes. 
No intervalo dado, a equaзгo tgx 1= − admite 2 soluзхes. 
Dessa forma, no intervalo dado, a equaзгo dada possui 6 
soluзхes distintas. 
 
Resposta da questão 2: 
 [D] 
 
22 cos x 3 cos x 1 0
3 1 1
cosx cosx 1 ou cosx = -
2 2 2
cosx 1 x
1 2 4
cosx = - x ou x
2 3 3
π
π π
+ + =
− 
=  = −

= −  =
 
 = =
 
 
Portanto, o número de raízes da equação é 3. 
 
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Resposta da questão 3: 
 [C] 
 
Considerando k , temos: 
sen 2x 1 2x k 2 x k
2 4
π π
π π=  = +   = +  
 
Portanto, a primeira determinação positiva será dada 
por x .
4
π
= 
 
Resposta da questão 4: 
 [B] 
 
A função f está definida para todos os valores reais de 
x, tais que senx 0, ou seja, x k ,  com k . 
Logo, temos 
 
 
2 2 2
2
2 2
2
5
cotg x 2 0 4cos x 5 8sen x 0
4sen x
4(1 sen x) 5 8sen x 0
1
sen x
4
1
senx
2
 ou
1
senx
2
5
x 2k ou x 2k
6 6
 ou
7
x 2k ou x 2k
6 6
5 13 17
x , ,
6 6 6
 ou .
7 11
x ,
6 6
π π
π π
π π
π π
π π π
π π
− + =  − + =
 − − + =
 =
=

= −
= + = +

= − + = +


 
 
A resposta é 
5 13 17 7 11 53
.
6 6 6 6 6 6
π π π π π π
+ + + + = 
 
Resposta da questão 5: 
 [A] 
 
Tem-se que 
2
2 ( 9) ( 9) 4 6 36sen x 9senx 3 0 senx
2 6
senx 1
 ou
1
senx
2
x 2k
2
 ou .
5
x 2k ou x 2k
6 6
π
π
π π
π π
− −  − −  
− + =  =

=

=
= +

= + = +
 
 
A resposta é 
5
x ; x 2k ou x 2k ou x 2k , k .
2 6 6
π π π
π π π
 
 = + = + = +  
 
 
 
Resposta da questão 6: 
 [B] 
 
2 2
2 2
2
cos(2x) cos(x) 0
cos x sen x cos x 0
cos x (1 cos x) cos x 0
2cos x cos x 1 0
1 3
cos x
4
1
cos x 1 ou cos x
2
− =
− − =
− − − =
− − =

=
= = −
 
 
 
 
Logo, 
2
x
3
=
π
 ou 
4
x
3
=
π
 ou x 0.= 
 
Portanto, a soma das raízes da equação será dada por: 
2 4
0 2
3 3
π π
π+ + = 
 
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Resposta da questão 7: 
 [D] 
 
Se x [0, 2 ],π então 
4 2 2 2 2
2
2
2sen x 3sen 1 0 2(sen x) 3sen x 1 0
sen x 1
 ou
1sen x
2
senx 1 senx 1
 ou
2 2
senx senx
2 2
3
x x
2 2
 ou .
3 5 7
x x x x
4 4 4 4
π π
π π π π
− + =  − + =
=

=
=  = −

=  = −
=  =

   
=  =  =  =   
   
 
 
Portanto, tem-se que a resposta é 
3 3 5 7
6 .
2 2 4 4 4 4
π π π π π π
π+ + + + + = 
 
Resposta da questão 8: 
 [A] 
 
Calculando: 
 
(1 sec ) (1 cossec ) 0
sen 0
Condições de existência
cos 0
Logo :
; k
2
Mas :
sec 1 cos 1
ou
cossec 1 sen 1 2k
2
Assim, S .
θ θ
θ
θ
πθ θ π
θ θ θ π
πθ θ θ π
+  + =

→ 

 
 = − → = − → =



= − → = − → = − +
= 
 
 
Resposta da questão 9: 
 [D] 
 
( )
( )
2
2
2 2 2
2 2 2
2 2
sen x
2
2
4cos x cos2x cosx 2
4cos x cos x sen x cosx 2
4cos x cos x sen x cosx 2
3cos x 1 cos x cosx 2
2cos x cosx 1 0
1 1 4 2 1
cosx
2 2
− + =
− − + =
− + + =
+ − + =
+ − =
−  −   −
=

 
1
cosx
2
= ou cosx 1= − 
 
De  
1
cosx , x 0,2 ,
2
π=  
x
3
π
= ou 
5
x .
3
π
= 
 
De  cosx 1, x 0,2 ,π= −  
x .π= 
 
Assim, a equação 
 24cos x cos2x cosx 2, x 0,2 ,π− + =  admite três 
soluções. 
 
Resposta da questão 10: 
 [C] 
 
Tem-se que 
 
| sen(x) | | cos(x) | senx cosx.=  =  
 
É fácil ver que no intervalo [0, 2 ]π as soluções da 
equação são 
5 7
, ,
4 4 4
π π π
 e 
7
.
4
π
 Portanto, pela simetria 
em relação ao eixo das ordenadas, podemos afirmar 
que a resposta é oito. 
 
Resposta da questão 11: 
 [D] 
 
Tem-se que 
 
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 
2tgx 2sen2x 0 tgx(1 4cos x) 0
tgx 0
 ou
1
cos x
2
x {0, , 2 }
 ou
2 4 5
x , , ,
3 3 3 3
π π
π π π π
− =  − =
=

= 

 

 
 
Logo, vem m 7π= e, portanto, temos 
 
2
2 2
2
m
cos cos (m) cos(49 ) cos (7 )
cos cos
1 1
2.
π π
π
π π
 
− = − 
 
 
= −
= − −
= −
 
 
Resposta da questão 12: 
 [D] 
 
Sabendo que 2 2sen y cos y 1,+ = para todo y real, 
vem 
 
4 4 2 2 2 2
2
2
1 1
sen x cos x (sen x cos x)(sen x cos x)
2 2
1
2sen x 1
2
3
sen x
4
3
senx .
2
− =  − + =
 − =
 =
 = 
 
 
Para x [0, 3 ],π a equação 
3
senx
2
= possui as 
raízes 
2 7
, ,
3 3 3
π π π
 e 
8
,
3
π
 enquanto que a equação 
3
senx
2
= − possui as raízes 
4
3
π
 e 
5
.
3
π
 Desse 
modo, a resposta é 6. 
 
Resposta da questão 13: 
 [A] 
 
Substituindo cos x por a, tem-se: 
4 3 2a 4a 6a 4a 1 0,− + − + = o qual é o polinômio 
resultante de 
4(a 1) (a 1) (a 1) (a 1) (a 1) 0− = −  −  −  − = 
 
Assim, percebe-se facilmente que a raiz de tal 
polinômio é 1. Ou seja, 
cosx 1
x 360 2π
=
=  =
 
 
Como a função cosseno é periódica, podemos dizer 
que a cada 360 tem-se uma nova raiz da função, ou 
seja, a cada 2k ,π onde k é um inteiro qualquer. 
 
Resposta da questão 14: 
 [B] 
 
x 1 sen 2 (I)
2x 2 cos (II)
θ
θ
= −

= +
 
 
Substituindo (I) em (II), temos: 
2 (1 sen2 ) 2 cos
2 2 sen2 2 cos
2 sen cos 0
2 2 sen cos cos 0
cos ( 4sen 1) 0
cos 0
2
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ θ
θ θ
π
θ θ
 − = +
−  = +
−  − =
−    − =
 − − =
=  =
 
 
ou 
1
4sen 1 sen (não convém, pois 0 )
4
θ θ θ π− −  = −   
 
Portanto, .
2
π
θ = 
 
Resposta da questão 15: 
 [C] 
 
É fácil ver que o conjunto solução da equação 
cos 1α = − é unitário em ] , ]π π− , ou seja, a única 
solução em ] , ]π π− é .α π= Todas as outras 
equações possuem duas soluções em ] , ],π π− exceto 
cos 2,α = − que não possui nenhuma solução em . 
 
Resposta da questão 16: 
 [B] 
 
Sabendo que o sistema possui uma infinidade de 
soluções, deve-se ter 
 
sena 1 1
1 sena 1 0 1 1 sena sena 0
1 1 0
sena 0
a 2k , k ou a 2k , k .π π π
−
− =  − − − =
 =
 =  = + 
 
 
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Ademais, substituindo sena 0= no sistema e 
escalonando, obtemos 
 
3
1 3
' '
2 1 2
'' ' '
3 2
0 1 1 0 1 1 0 cosa
1 0 1 1 1 0 1 1 L L
1 1 0 cosa 0 1 1 0
1 1 0 cosa
0 1 1 1 cosa L ( 1) L L
0 1 1 0
1 1 0 cosa
0 1 1 1 cosa L 1 L L .
0 0 0 1 cosa
−   
   
   
   −   
 
 
− −  −  + 
 − 
 
 
− −   + 
 − 
 
 
Logo, para que o sistema seja indeterminado, também 
deve-se ter cosa 1,= isto é, a 2k , k .π=  
Portanto, da interseção das duas condições supra, 
resulta a 2k , k .π=  
 
Resposta da questão 17: 
 [B] 
 
2
2
2sen x 3sen x 1 0
( 3) 4 2 1
1
senx 1( 3) 1
senx
senx 1/ 22 2
Δ
Δ
− + =
= − −  
=
=− − 
=
=
 
 
2 2 2 2 2 2 2 2sen p cos q sen p (1 sen q) sen p sen q 1 1 (1/ 2) 1 1/ 4 0,25.− = − − = + − = + − = = 
 
Resposta da questão 18: 
 [C] 
 
2 2
2 2
2
cos2x 3cosx 2
cos x sen x 3 cosx 2 0
cos x (1 cos x) 3 cosx 2 0
2cos x 3 cosx 1 0
+ = − 
 − +  + = 
 − − +  + = 
 +  + =
 
 
Temos, então uma equação do segundo grau na 
incógnita cos x. 
 
Resolvendo esta equação, temos: 
2
cosx 1 x
3 3 4 2 1
cosx
2 2 1 2 4
cosx x ou x
2 3 3
π
π π
= −  =
−  −  
= =

= −  = =
 
 
Logo, a soma de suas raízes será dada por: 
2 4
3
3 3
π π
π π+ + = 
 
Resposta da questão 19: 
 [B] 
 
Sabendo que 2 2| y | y ,= temos 
 
2 2| senx | 1 2sen x 2 | senx | | senx | 1 0
1
| senx | .
2
= −  + − =
 =
 
 
Daí, como 0 x 2 ,π  segue-se que 
5 7 11
x , , , .
6 6 6 6
π π π π 
  
 
 
 
Portanto, 
 
2 2 2 2 2
2
5 7 11 196
6 6 6 6 36
49
.
9
π π π π π
π
       
+ + + =       
       
=