Método dos Deslocamentos

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3. MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 
 
3.1. Metodologia Básica 
 
O método dos deslocamentos consiste em “somar uma série de soluções básicas 
(casos básicos) que satisfazem as condições de compatibilidade, mas não satisfazem 
as condições de equilíbrio da estrutura original, para na superposição restabelecer as 
condições de equilíbrio”. 
 
Condições a serem atendidas pelo modelo: 
1º - Condições de compatibilidade; 
2º - Condições sobre o comportamento dos materiais (leis constitutivas); 
3º - Condições de equilíbrio. 
 
3.2. Deslocabilidades e Sistema Hipergeométrico (SH) 
 
Pode-se determinar a configuração deformada de qualquer barra a partir dos 
deslocamentos e rotações dos nós extremos da barra e do seu carregamento. 
 
Deslocabilidades são as componentes de deslocamentos e rotações nodais que 
estão livres, isto é, que devem ser conhecidas para determinar a configuração 
deformada de uma estrutura. São os parâmetros que definem completamente a 
configuração deformada de uma estrutura. São as incógnitas do método dos 
deslocamentos. 
Na estrutura da figura abaixo verificamos a existência de 6 deslocabilidades. 
 
 
Fonte: Martha (2001) 
 
Uma estrutura que tem todas as suas deslocabilidades definidas (com valores 
conhecidos) é chamada de estrutura cinematicamente determinada. 
 
O método dos deslocamentos utiliza nos casos básicos, uma estrutura 
cinematicamente determinada obtida através da estrutura original pela adição de 
vínculos. Esta estrutura é chamada de sistema hipergeométrico (SH). 
Destacamos que, existe um único sistema hipergeométrico (SH) para uma dada 
estrutura. 
 
 
 
 
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Por exemplo, para o pórtico acima o SH é obtido pela adição de 6 vínculos 
restringindo as 6 deslocabilidades existentes, conforme figura a seguir. 
 
 
Fonte: Martha (2001) 
 
 
3.3. Desenvolvimento do Método 
 
Seja a estrutura hiperestática da figura abaixo: 
 
 
 
Analisando a estrutura verificamos a existência de 3 deslocabilidades: os 
deslocamentos horizontal e vertical, e a rotação do nó C. 
 
a) Condições de compatibilidade entre deslocamentos: 
Esta estrutura pode ser encarada como sendo o Sistema Hipergeométrico 
correspondente com as deslocabilidades do sistema original impostas, conforme 
figura a seguir. 
 
 
Ou seja, impedimos todas as deslocabilidades pela colocação de vínculos e 
aplicamos os deslocamentos e rotações impedidas. As deslocabilidades D1, D2 e D3 
são as incógnitas do método. 
 
 
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b) Leis constitutivas: 
Conceitos e hipóteses utilizados nos cálculos dos coeficientes utilizados no 
método. 
 
c) Condições de equilíbrio: 
Para garantir o equilíbrio do SH é necessária que as reações de apoio nos 
vínculos fictícios sejam toda nula, pois estes vínculos não existiam na estrutura 
original. 
 
Pelo Princípio da Superposição de Efeitos, estrutura pode ser analisada através 
da soma dos casos básicos mostrados na figura abaixo. 
 
 
 
O método consiste, portanto, em construir casos básicos de carregamento (caso 
0) e deslocamentos impostos (recalques) aplicados ao sistema hipergeométrico (SH). 
O caso 0 corresponde ao sistema hipergeométrico sujeito ao carregamento externo 
original. Os demais casos (casos i) correspondem ao sistema hipergeométrico sujeito 
a apenas uma das deslocabilidades consideradas unitárias (Di = 1). As reações nos 
apoios fictícios nas direções das deslocabilidades Di são obtidas, em cada caso, 
através da utilização de tabelas que sintetizam resultados obtidos pelo Método das 
Forças. 
 
 Logo: 
0i é a reação de apoio fictício associado à deslocabilidade Di causada pela 
solicitação externa (caso 0). É conhecido como termo de carga. 
ijK é a força ou momento que deve atuar na direção Di para manter a estrutura 
(SH) em equilíbrio quando é imposta uma configuração deformada onde Dj = 1 e as 
demais deslocabilidades são nulas (caso j). É conhecido como coeficiente de rigidez 
global da estrutura. 
Os coeficientes 0i e ijK são obtidos utilizando formulário apropriado. 
 
 
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Das condições de equilíbrio do nó C, obtemos um sistema linear na forma: 








0
0
0
33323213130
32322212120
31321211110
DKDKDK
DKDKDK
DKDKDK



 
 
 
d) Sistema de equações: 
Escrevendo o sistema de equações de equilíbrio acima na forma matricial, 
obtemos: 











































0
0
0
3
2
1
333231
232221
131211
30
20
10
D
D
D
KKK
KKK
KKK



 
 
 ou ainda:        00  DK onde  0 é o vetor de termos de carga, 
 K é a matriz de rigidez global da estrutura e {D} é o vetor das deslocabilidades. 
 
Do teorema de Maxwell temos que jiij KK  . Verificamos portanto que a 
matriz de rigidez  K é quadrada e simétrica, além de ser independente da 
solicitação externa e é única para cada estrutura 
 
 
e) Obtenção dos esforços finais: 
Os esforços finais (momentos fletores, esforços cortantes, esforços normais e 
reações de apoio) da estrutura hiperestática são obtidos por superposição dos efeitos, 
a partir dos seus valores nos casos básicos, pela expressão: 
ii DEEE  0 
 
Para a estrutura analisada, podemos obter o momento fletor de uma seção da 
estrutura aplicando a seguinte combinação dos momentos fletores nos casos básicos: 
3322110 ... DMDMDMMM  
 
 
f) Roteiro para o Método dos Deslocamentos: 
a. Escolha o sistema hipergeométrico (SH); 
b. Obtenção dos termos de carga  io (caso 0); 
c. Obtenção dos coeficientes de rigidez (Kij) (demais casos); 
d. Formulação do sistema de equações (equilíbrio); 
e. Solução do sistema de equações (obter deslocabilidades); 
f. Obtenção dos efeitos finais (superposição dos efeitos). 
 
 
 
 
 
 
 
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3.4. Termos de Carga ( 0i ) e Coeficientes de Rigidez ( ijK ) 
 
Ao aplicarmos o Método dos Deslocamentos devemos utilizar a convenção de 
sinais do método para deslocabilidades, cargas, reações de apoio e também para 
esforços internos. A figura abaixo apresenta as direções positivas da convenção de 
sinais. 
 
Como o método dos deslocamentos não necessita de combinação de diagramas 
de momentos fletores dos casos básicos é comum a utilização de diagramas 
esquemáticos que indicam apenas os momentos fletores nas extremidades das barras 
e com o sinal conforme a convenção de sinais do método. A figura abaixo mostra o 
diagrama esquemático conforme convenção de sinais. 
 
 
 
 
a) Termos de carga ( 0i ): 
Os termos de carga 0i são obtidos de soluções básicas de vigas bi-engastadas, 
também chamadas de soluções de engastamento perfeito. Estas soluções são obtidas 
pelo método das forças. Os termos de carga para carregamento distribuído são 
obtidos do quadro abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
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b) Coeficientes de rigidez globais ( ijK ) 
Os coeficientes de rigidez globais ijK são obtidos pela combinação de 
coeficientes de rigidez locais, ou seja, coeficientes de rigidez associados a cada uma 
das barras que se conectam ao nó considerado. 
Os coeficientes de rigidez locais são obtidos das soluções para deslocamentos 
ou rotações impostas isoladamente em uma das extremidades de uma viga bi-
engastada. A figura abaixo apresenta os coeficientes de rigidez locais para barras bi-
engastadas com comprimento L, e módulo de elasticidade E, inércia I e área A, 
constantes. 
 
 
 
 
 
 
 
Estruturas que possuem cargas ou momentos aplicados ao longo do 
comprimento da barra, ou seja, fora dos nós, podem a ser resolvidas com a 
utilização das tabelas acima considerando o pontode aplicação de carga como um 
nó. Considerado como nó, o ponto de aplicação de carga no SH teria a inclusão de 
vínculos fictícios e a carga ou momento atuaria diretamente sobre apoios. 
Uma outra opção para a situação descrita acima é a utilização de soluções de 
viga bi-engastada para cargas concentradas e momentos aplicados ao longo de 
barras. Estas soluções estão apresentadas na tabela complementar a seguir. 
 
Estruturas que possuem rótulas em apoios ou rótulas internas, também podem 
ter sua solução simplificada pela utilização de soluções básicas para vigas 
engastadas em uma extremidade e rotuladas na outra extremidade. Os termos de 
carga e coeficientes de rigidez locais para estas soluções encontram-se na tabela 
complementar anexa. 
Salientamos, entretanto, que as soluções tabeladas na página anterior resolvem a 
grande maioria dos problemas. 
 
 
 
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3.5. Estruturas com barras sem deformação axial 
 
Em algumas estruturas as deformações axiais são pequenas em relação às 
deformações por flexão e podem ser desprezadas. 
Nestes casos deve-se considerar que as barras são axialmente rígidas, ou seja, 
não sofrem alongamentos nem encurtamentos, somente deformações por flexão. 
Logo nós que estejam ligados por barras axialmente rígidas a nós indeslocáveis 
(apoios), permanecem indeslocáveis na direção da barra. Estas considerações fazem 
com que o número de deslocabilidades no SH seja reduzido. 
Ao determinarmos os coeficientes de rigidez de estruturas sem deformação axial 
devemos considerar apenas a influência das barras sujeitas a flexão e não 
utilizaremos os deslocamentos impostos axiais das soluções básicas nas tabelas de 
coeficientes de rigidez.