MATEMÁTICA_EsPCEx-35

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Equação geral da parábola: 
A equação geral da parábola é obtida pelo 
desenvolvimento das formas reduzidas. 
𝑥=𝑎𝑦2+𝑏𝑦+𝑐 (parábola com eixo de simetria na 
horizontal) 
𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 (parábola com eixo de simetria na 
vertical) 
Observação: 
Quando a equação da parábola se apresentar em 
sua forma geral é recomendável transforma essa 
equação para sua forma reduzida, conforme 
exemplos a seguir: 
Exemplos: 
01) Dada a parábola de equação 𝑥2−4𝑥−12𝑦−8=0. 
Determine a equação reduzida dessa parábola. 
02) Determine o vértice, o parâmetro e a equação da 
diretriz da parábola 𝑦=𝑥2−6𝑥+8. 
03) Dada a parábola de equação 𝑦2−12𝑦+20𝑥+16=0. 
Determine foco dessa parábola. 
(Contagem e Análise 
Combinatória) - Fatorial; - 
Princípio Fundamenta da 
Contagem; - Arranjos e 
Combinações Simples. 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
Fatorial 
Sendo 𝒏 um número natural qualquer, define-se o 
fatorial de 𝒏 e denota-se 𝒏! 
a expressão: 
𝒏!=𝒏𝒏−𝟏⋅𝒏−𝟐⋅….𝟐⋅𝟏 
Em outras palavras, o fatorial de 𝒏 é o produto de 
todos os naturais menores ou iguais a 𝒏 
Por convenção, define-se que 0!=1 e 1! = 1 
Exemplos: 
1) 2!= 
2) 5!= 
3) 10!7! = 
4) 8!⋅3!5!⋅6! = 
5) 𝑛!𝑛−2!= 
6) n − 1!𝑛+1!= 
Princípio Fundamenta da Contagem 
Exemplo: 
Para viajar de uma cidade A para uma cidade C, por 
uma rodovia, deve-se passar necessariamente por 
uma cidade B. Se há 3 rodovias ligando A a B e 4 
rodovias ligando B a C, quantas opções diferentes há 
para ir de A até C? 
 
Arranjos simples 
Um arranjo simples de n elementos tomados p a p, é 
qualquer agrupamento de p elementos distintos, 
escolhidos entre n elementos, que diferem entre si 
pela sua ordem ou natureza. 
Exemplo: 
São escritos todos os agrupamentos de dois 
elementos distintos que se formam com as letras da 
palavra BOLA, que diferem pela ordem ou pela 
natureza. 
(B, O) (B, L) (B, A) 
(O, B) (O, L) (O, A) 
(L, B) (L, O) (L, A) 
(A, B) (A, O) (A, L) 
As sequências de dois elementos obtidas são 
chamadas de ARRANJOS SIMPLES, onde as 
sequencias diferem pela sua natureza e pela sua 
ordem. 
Cálculo do número de arranjos simples: 
Exemplo: 
São escritos todos os agrupamentos de dois 
elementos distintos que se formam com as letras da 
palavra BOLA, que diferem pela ordem ou pela 
natureza. 
(B, O) (B, L) (B, A) 
(O, B) (O, L) (O, A) 
(L, B) (L, O) (L, A) 
(A, B) (A, O) (A, L) 
𝑨𝒏,𝑷=𝒏!𝒏−𝒑! 
 
 
 
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Combinações simples 
Uma combinação simples de n elementos tomados p 
a p, é qualquer agrupamento de p elementos 
distintos, escolhidos entre n elementos, que diferem 
entre si apenas pela sua natureza. 
Exemplo: 
São escritos todos os agrupamentos de dois 
elementos distintos que se formam com as letras da 
palavra BOLA, que diferem pela natureza 
(subconjuntos). 
{B, O} {B, L} {B, A} 
{O, L} {O, A} 
{L, A} 
Os subconjuntos de dois elementos obtidas são 
chamadas de COMBINAÇÕES SIMPLES. 
Cálculo do número de combinações simples: 
Exemplo: 
São escritos todos os agrupamentos de dois 
elementos distintos que se formam com as letras da 
palavra BOLA, que diferem pela natureza 
(subconjuntos). 
{B, O} {B, L} {B, A} 
{O, L} {O, A} 
{L, A} 
𝑪𝒏,𝑷 =
𝒏!
𝒑! (𝒏 − 𝒑)!
 
Observação: 
A diferenciação entre combinações e arranjos será 
de fundamental importância na resolução dos 
problemas de contagem. 
COMBINAÇÕES ⇒ a ordem não importa 
ARRANJOS ⇒ a ordem importa 
ATIVIDADES 
01) Quantos números inteiros positivos menores que 
1000 (com algarismos distintos) podemos formar? 
a) 504 
b) 645 
c) 648 
d) 738 
e) 845 
02) Com um grupo de 15 pessoas, do qual fazem 
parte Lúcia e José, o número de comissões distintas 
que se podem formar com 5 membros, incluindo, 
necessariamente, Lúcia e José, é: 
a) 3003 
b) 792 
c) 455 
d) 286 
e) 348 
03) De um grupo de 8 candidatos serão escolhidos 3 
para ser o gerente, o caixa e o vendedor de uma loja. 
De quantas maneiras pode ser feita essa escolha? 
a) 24 
b) 56 
c) 336 
d) 1444 
e) 120 
(Contagem e Análise Combinatória) - 
Permutações. 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
PERMUTAÇÃO SIMPLES 
É um caso particular de arranjos simples. A 
permutação de n elementos distintos é o arranjo de 
n elementos distintos tomados n a n. 
𝑷𝒏 = 𝑨𝒏,𝒏 = 𝒏! 
 Exemplos: 
01) De quantas maneiras 5 pessoas podem ficar em 
fila? 
02) Quantos anagramas distintos da palavra ROTAS 
são possíveis obter, se as letras R e T devem 
permanecer juntas? 
03) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados 
números de seis algarismos distintos. Dentre eles, 
quantos serão iniciados por números pares e são 
divisíveis por 5? 
PERMUTAÇÕES COM REPETIÇÕES 
É o número de permutações de n objetos onde há a 
repetição de um ou mais elementos. Para ser mais 
objetivo, o primeiro elemento repete-se ∝1 vezes, o 
segundo elemento repete-se ∝2 vezes, ..., o k-ésimo 
elemento repete-se ∝k vezes. 
𝑷𝒏
𝜶𝟏,𝜶𝟐…𝜶𝒌 = 
𝒏!
𝜶𝟏! ⋅ 𝜶𝟐! ⋅ … 𝜶𝒌!
 
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Exemplos: 
01) Qual a quantidade de anagramas distintos da 
palavra ARARA? 
02) Quantos anagramas da palavra BANANA, 
iniciados com a letra A é possível obter? 
03) O desenho representa seis quarteirões 
retangulares e um dos possíveis percursos de A até 
B. O número total de percursos mínimos distintos, de 
A até B, ao longo das ruas, é: 
 
PERMUTAÇÃO CIRCULAR 
É o caso em que deseja colocar elementos em 
torno de objetos circulares. É dado por: 
𝑷(𝒏−𝟏) = (𝒏 − 𝟏)! ou 
𝑛!
𝑛
 
Exemplos: 
01) De quantas maneiras distintas 6 pessoas podem 
sentar-se em uma mesa redonda 
 
02) Numa reunião de 8 países (EUA, Canadá, 
Inglaterra, Alemanha, Japão, Rússia, Itália e França), 
deseja-se acomodar os 8 representantes de governo 
em torno de uma mesa em forma de octógono regular 
(figura abaixo). De quantos modos posso dispô-los se 
os representantes dos EUA, Canadá e Inglaterra 
devem sentar- se sempre juntos? 
 
a) 720 
b) 120 
c) 4320 
d) 5040 
(Contagem e Análise Combinatória) 
“Binômio de Newton introdução” - 
Números binomiais; - Triângulo de 
Pascal. 
BINÔMIO DE NEWTON 
NÚMEROS BINÔMIAIS 
O número binomial de ordem 𝑛 e classe 𝑝 (
𝑛
𝑝), com 
𝑛 e 𝑝 ∈ ao conjunto dos naturais e 𝑛 ≥ 𝑝, é a 
combinação simples de 𝑛, 𝑝 a 𝑝 
(
𝒏
𝒑) = 𝑪𝒏𝑷 = 
𝒏!
𝑷!⋅(𝒏−𝒑)!
 
Exemplo: 
(
𝟔
𝟑
) = 
(
𝟓
𝟎
) = 
(
𝟎
𝟎
) = 
(
𝟒
𝟑
) = 
(
𝟒
𝟒
) = 
Observação: 
Dois números binomiais de mesmo numerador e cuja 
soma dos denominadores é igual ao numerador são 
chamados binomiais complementares. 
Propriedade de números binomiais 
Dois números binomiais são iguais se tiverem o 
mesmo numerador e: 
Seus denominadores forem iguais, ou 
São binomiais complementares. 
Exemplo: 
Dado dois números binomiais (
7
3
) 𝑒 (
7
𝑥
), sabendo que 
(
7
3
) = (
7
𝑥
), determine o valor de x 
TRIÂNGULO DE PASCAL 
É uma tabela onde podemos dispor ordenadamente 
os números binomiais. 
Calcular: 
1) (
8
2
) + (
8
3
) = 
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