Prévia do material em texto

4
1
Prof. Jeferson K. de Morais
Matemática Básica para 
Alunos de Graduação
Relações trigonométricas no triângulo 
retângulo
4
2
Um professor instala um teodolito a 1 m do chão e observa o topo de
uma árvore sob um ângulo de 45º. Se o teodolito está posicionado a
uma distância de 5m da árvore, qual a altura aproximada desta árvore?
Situação-problema 1
4
3
Uma força de módulo igual a 10 N é aplicada sobre um corpo em um
ângulo de 30º, como mostrado na figura a seguir. Quais são as
intensidades das componentes x e y dessa força?
Situação-problema 2
4
4
Em relação a ෡𝑩, temos:
• 𝑨𝑪 é o cateto oposto a ෡𝑩.
• 𝑨𝑩 é o cateto adjacente a ෡𝑩.
Em relação a ෡𝑪, temos
• 𝑨𝑩 é o cateto oposto a ෡𝑪.
• 𝑨𝑪 é o cateto adjacente a ෡𝑪.
Relações trigonométricas no triângulo retângulo
Observe o triângulo retângulo ABC de catetos 𝑨𝑩 e 𝑨𝑪 e hipotenusa 𝑩𝑪.
4
5
Se prolongarmos os lados 𝑩𝑪 e 𝑨𝑩 e traçarmos segmentos paralelos ao
lado 𝑨𝑪, serão obtidos os triângulos BDE, BFG e BHI.
Pelo caso AA de semelhança (dois ângulos congruentes) todos esses
triângulos retângulos formados são semelhantes, ou seja:
𝜟𝑩𝑫𝑬 ∼ 𝜟𝑩𝑭𝑮 ∼ 𝜟𝑩𝑯𝑰
Portanto os lados homólogos (correspondentes) desses triângulos são
proporcionais. Assim escrevemos as relações:
𝑨𝑪
𝑩𝑪
=
𝑫𝑬
𝑩𝑫
=
𝑭𝑮
𝑩𝑭
=
𝑯𝑰
𝑩𝑯
= 𝒌𝟏 (𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆)
𝑨𝑩
𝑩𝑪
=
𝑬𝑩
𝑩𝑫
=
𝑮𝑩
𝑩𝑭
=
𝑰𝑩
𝑩𝑯
= 𝒌𝟐 (𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆)
𝑨𝑪
𝑨𝑩
=
𝑫𝑬
𝑬𝑩
=
𝑭𝑮
𝑩𝑮
=
𝑯𝑰
𝑩𝑰
= 𝒌𝟑 (𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆)
4
6
𝐴𝐶
𝐵𝐶
=
𝐷𝐸
𝐵𝐷
=
𝐹𝐺
𝐵𝐹
=
𝐻𝐼
𝐵𝐻
= 𝑘1 (𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒) 𝑘1 =
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝒔𝒆𝒏𝒐 =
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒅𝒐 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒂𝒐 â𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒅𝒂 𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
A constante obtida ao relacionar as medidas do cateto oposto e a medida
da hipotenusa do triângulo retângulo é conhecida como seno.
4
7
𝐴𝐵
𝐵𝐶
=
𝐸𝐵
𝐵𝐷
=
𝐺𝐵
𝐵𝐹
=
𝐼𝐵
𝐵𝐻
= 𝑘2 (𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒) 𝑘2 =
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
A constante obtida ao relacionar as medidas do cateto adjacente e a
medida da hipotenusa do triângulo retângulo é conhecida como cosseno.
𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒏𝒐 =
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒅𝒐 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂𝒐 â𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒅𝒂 𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
4
8
𝐴𝐶
𝐴𝐵
=
𝐷𝐸
𝐸𝐵
=
𝐹𝐺
𝐵𝐺
=
𝐻𝐼
𝐵𝐼
= 𝑘3 (𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒) 𝑘3 =
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
A constante obtida ao relacionar as medidas do cateto oposto e a medida
do cateto adjacente do triângulo retângulo é conhecida como tangente.
𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 =
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒅𝒐 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒂𝒐 â𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒅𝒐 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂𝒐 â𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐
4
9
Num triângulo retângulo qualquer, o seno de um ângulo agudo é a
razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da
hipotenusa.
𝒔𝒆𝒏𝒐 =
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒅𝒐 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒂𝒐 â𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒅𝒂 𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
Resumindo!
Num triângulo retângulo qualquer, o cosseno de um ângulo agudo é
a razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo e a medida
da hipotenusa.
𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒏𝒐 =
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒅𝒐 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂𝒐 â𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒅𝒂 𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
Num triângulo retângulo qualquer, a tangente de um ângulo agudo
é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto
adjacente a esse ângulo.
𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 =
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒅𝒐 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒂𝒐 â𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒅𝒐 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂𝒐 â𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐
4
10
Vamos analisar as relações trigonométricas no triângulo abaixo?
Em relação ao ângulo 𝜶 tem-se:
𝒔𝒆𝒏 𝜶 =
𝒃
𝒂
𝒄𝒐𝒔 𝜶 =
𝒄
𝒂
𝒕𝒈 𝜶 =
𝒃
𝒄
Em relação ao ângulo 𝜷 tem-se:
𝒔𝒆𝒏 𝜷 =
𝒄
𝒂
𝒄𝒐𝒔 𝜷 =
𝒃
𝒂
𝒕𝒈 𝜷 =
𝒄
𝒃
4
11
Um professor instala um teodolito a 1 m
do chão e observa o topo de uma árvore
sob um ângulo de 45º. Se o teodolito está
posicionado a uma distância de 5m da
árvore, qual a altura aproximada desta
árvore?
ℎ = 𝑥 + 1
A altura (𝒉) da árvore será dada por:
𝑡𝑔 45° =
𝑥
5
𝑡𝑔 45° =
𝐶. 𝑂.
𝐶. 𝐴.
1 =
𝑥
5
1 . 5 = 𝑥
𝑥 = 5 𝑚
ℎ = 5 + 1
ℎ = 6 𝑚
A árvore possui 6 metros de altura.
Voltando à situação-problema 1
4
12
𝐴𝑛𝑎𝑙𝑖𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝐹𝑦
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 30°:
𝑠𝑒𝑛 30° =
𝐶. 𝑂.
𝐻𝑖𝑝.
𝑠𝑒𝑛 30° =
𝐹𝑦
𝐹
1
2
=
𝐹𝑦
10
2. 𝐹𝑦 = 10 . 1
𝐹𝑦 =
10
2
𝐹𝑦 = 5 𝑁
𝐴𝑛𝑎𝑙𝑖𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝐹𝑥
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 30°:
cos 30° =
𝐶. 𝐴.
𝐻𝑖𝑝.
3
2
=
𝐹𝑥
𝐹
3
2
=
𝐹𝑥
10
2. 𝐹𝑥 = 10 . 3
𝐹𝑥 =
10 3
2
𝐹𝑥 = 5 3 𝑁
Voltando à situação-problema 2
4
13
1) Em um triângulo retângulo,
um ângulo agudo mede 𝟒𝟓°,
e a hipotenusa, 𝟖 𝟐 cm.
Qual a área desse
triângulo?
A) 16 cm2
B) 20 cm2
C) 32 cm2
D) 40 cm2
E) 64 cm2
Praticando!
3) A área (𝑨) do triângulo é dada por:
𝑨 =
𝒃 . 𝒉
𝟐
=
𝟖 𝟐 . 𝒉
𝟐
2) Aplicando-se a relação
trigonométrica seno de um
ângulo no 𝚫𝑩𝑪𝑫 , tem-se a
medida da altura (h):
𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓° =
𝑪.𝑶.
𝑯𝒊𝒑
𝟐
𝟐
=
𝒉
𝟖
𝟐𝒉 = 𝟖 𝟐
𝒉 =
𝟖 𝟐
𝟐
𝒉 = 𝟒 𝟐 𝒄𝒎
1) Aplicando-se a relação
trigonométrica seno de um
ângulo, tem-se a medida do lado
(𝒍) do 𝚫𝑨𝑩𝑪:
𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓° =
𝑪.𝑶.
𝑯𝒊𝒑
𝟐
𝟐
=
𝒍
𝟖 𝟐
𝟐 . 𝟖 𝟐
𝟐
= 𝒍
𝟖 𝟒
𝟐
= 𝒍
𝟖 .𝟐
𝟐
= 𝒍⟶ 𝒍 = 𝟖 𝒄𝒎
=
𝟖 𝟐 . 𝟒 𝟐
𝟐
=
=
𝟑𝟐 𝟒
𝟐
= 𝟏𝟔 . 𝟐 ⇒ 𝑨 = 𝟑𝟐 𝒄𝒎𝟐
4
14
2) Calcule as medidas dos catetos do triângulo retângulo da imagem a
seguir sabendo que a hipotenusa mede 𝟏𝟎 𝒄𝒎 e 𝒄𝒐𝒔 𝒙 =
𝟑
𝟓
.
cos 𝑥 =
𝐶. 𝐴.
𝐻𝑖𝑝.
3
5
=
𝑏
10
5𝑏 = 3 . 10
5𝑏 = 30
𝑏 =
30
5
𝑏 = 6
Aplicando o teorema de
Pitágoras, tem-se:
102 = 𝑏2 + 𝑐2
100 = 62 + 𝑐2
100 = 36 + 𝑐2
100 − 36 = 𝑐2
64 = 𝑐2
𝑐 = 64
𝑐 = 8
Os catetos medem 6 cm e 8 cm.
4
15
3) Uma escada flutuante de 6 m de comprimento está apoiada em uma
parede, formando um ângulo de 30° com o chão. Qual é a altura
máxima que a escada alcança?
𝒔𝒆𝒏 𝟑𝟎° =
𝑪.𝑶.
𝑯𝒊𝒑
𝟏
𝟐
=
𝒉
𝟔
𝟐𝒉 = 𝟔 . 𝟏
𝒉 =
𝟔
𝟐
𝒉 = 𝟑𝒎
A escada alcança altura máxima de 3 metros.
4
16
4) Um terreno tem a forma de triângulo retângulo conforme representa
a figura. Qual o perímetro deste terreno?
𝑠𝑒𝑛 30° =
𝐶.𝑂.
𝐻𝑖𝑝
1
2
=
5
𝑚
1 .𝑚 = 2 . 5
𝑚 = 10
𝑡𝑔 30° =
𝐶. 𝑂.
𝐶. 𝐴.
3
3
=
5
𝑛
3 . 𝑛 = 3 . 5
𝑛 =
15
3
𝑛 =
15
3
.
3
3
𝑅𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜
𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟:
𝑛 =
15 3
9
𝑛 =
15 3
3
𝑛 = 5 3
Cálculo do p𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 (𝑃):
𝑃 = 5 +𝑚 + 𝑛
𝑃 = 5 + 10 + 5 3
𝑃 = 15 + 5 3
𝐶á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑚: 𝐶á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑛:
4
17
5) Uma rampa de acesso será construída na entrada de um restaurante.
Sabe-se que a diferença de altura entre a calçada e o piso do
restaurante é de 1,2 m e que a inclinação da rampa é de 5°. Qual o
comprimento da rampa deverá ter?
𝑠𝑒𝑛 5° =
𝐶. 𝑂.
𝐻𝑖𝑝.
0,087 =
1,2
𝑥
𝑥 =
1,2
0,087
𝑥 = 14 𝑚
A rampa deverá ter aproximadamente 
14 metros de comprimento.
4
18
6) Quais as medidas de x e y no triângulo da figura?
𝑡𝑔 𝛼 =
𝐶. 𝑂.
𝐶. 𝐴.
1°) 𝑆𝑒𝑗𝑎 𝛼 = 60° 𝑒 𝛽 = 30°
𝑡𝑔 60° =
𝑥
𝑦
3 =
𝑥
𝑦
𝑦 . 3 = 𝑥
𝑥 = 𝑦 3
𝑡𝑔 𝛽 =
𝐶. 𝑂.
𝐶. 𝐴.
𝑡𝑔 30° =
𝑥
200 + 𝑦
3
3
=
𝑥
200 + 𝑦
𝑆𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 𝑦 3:
3
3
=
𝑦 3
200 + 𝑦
3. 200 + 𝑦 = 3. 𝑦 3
200 3 + 𝑦 3 = 3𝑦 3
𝐶𝑜𝑙𝑜𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 3 𝑒𝑚 𝑒𝑣𝑖𝑑ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑜
1° 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜, 𝑡𝑒𝑚 − 𝑠𝑒:
3. (200 + 𝑦) = 3𝑦 3
200 + 𝑦 = 3𝑦
200 = 3𝑦 − 𝑦
200 = 2𝑦
200
2
= 𝑦
𝑦 = 100
2°) 𝐶á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑦:
3°) 𝐶á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑥:
𝑥 = 𝑦 3
𝑥 = 100 3