20 Episódios da História da Matemática_ dos Primeiros Artefatos à Invenção do Cálculo - Frederico Andries Lopes

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20 Episódios da História da Matemática
Dos primeiros artefatos à invenção do Cálculo
Frederico Andries Lopes
Direitos autorais © 2020 Frederico Andries Lopes
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
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Lopes, Frederico Andries  
20 episódios da história da matemática [livroeletrônico] : dos primeiros artefatos
à invenção do cálculo /
Frederico Andries Lopes. -- 1. ed. -- Palmas, TO : Frederico Lopes, 2020.  
       
ISBN 978-65-00-13182-6  
1. Matemática - Estudo e ensino I. Título.
20-50214                                                                      CDD-510.7
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Índices para catálogo sistemático:1. Matemática : Estudo e ensino 510.7
Aline Graziele Benitez - Bibliotecária - CRB-1/3129
Capa: Frederico J. A. Lopes
Revisão: Maria Perla Araújo Morais
As imagens desta obra foram ou criadas pelo autor ou estão disponibilizadas sob
a licença Creative Commons.
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de recuperação ou transmitida de qualquer forma ou por qualquer meio, seja
este eletrônico, mecânico, fotocópia, gravação ou outro sem a permissão
expressa por escrito do autor.
Impresso no Brasil.
Dedicado aos meus pais,
os professores
Alcione e Henderson
Sumário
Introdução
O osso de Ishango
Plimpton 322
O papiro de Rhind
Pitágoras e os pitagóricos
Euclides e seus Elementos
Pi
Eratóstenes, seu crivo e a circunferência da Terra
Diofanto e a álgebra
Hipácia e o fim da tradição matemática grega
Zero
Alcuíno e suas Propositiones
Al-Khwarizmi e a álgebra
Omar Kayyam, a poesia e a matemática
Fibonacci e seu Liber Abaci
Cardano, a álgebra e a probabilidade
Bombelli e os números complexos
Logaritmos
Descartes e a geometria analítica
Newton e os infinitésimos
O gênio de Leibniz
Bibliografia
Introdução
Este livro surgiu de 20 pequenos textos que elaborei como
parte do material usado em um curso de História e Filosofia
de Matemática oferecido pela Universidade Federal de Mato
Grosso (UFMT), em 2020, na modalidade à distância.
Escritos para alunos e alunas que teriam um primeiro
contato com a história da matemática, esses textos foram
inicialmente publicados em meu site pessoal,
fredlopes.com.br , e ainda lá se encontram, em uma versão
ligeiramente diferente da que apresento aqui.
Além de servir de material para um curso formal, minha
segunda intenção ao escrevê-los foi proporcionar a um
público mais amplo uma introdução agradável a uma área
de pesquisa fascinante sob muitos aspectos. No fim de cada
capítulo, acrescentei, para divertir os leitores, uma seção de
discussão com provocações sobre matemática, filosofia e
educação que nem sempre se encontram na bibliografia
“oficial” sobre o tema.
Também na página dedicada à história da matemática do
meu site estão alguns artigos de interesse histórico que
traduzi diretamente das línguas originais, principalmente o
https://fredlopes.com.br/
latim e o francês. Essas fontes primárias podem ser lidas
paralelamente a alguns dos capítulos deste livro,
fornecendo uma aura de concretude à matemática, que
passa a ser vivenciada através dos artigos fundadores da
própria disciplina.
Gostaria de agradecer aqui à equipe com quem trabalhei na
formatação e no emprego deste material nos cursos em que
ele foi utilizado, professores e professoras ligados à
Universidade Aberta do Brasil da UFMT, em especial ao prof.
Dr. Sérgio Antonio Wielewski. Outro agradecimento
necessário vai para a profa. Dra. Maria Perla Morais que,
além de ter feito a revisão desta produção, contribuiu com
muitas sugestões ao texto final.
E que o leitor ou a leitora guarde bem no coração o
seguinte: as muitas horas de pesquisa e escrita deste livro,
em que procurei equilibrar precisão e segurança de
informações com um texto agradável, foram para mim
fontes de muita alegria. Espero que, na leitura deste livro,
você possa sentir o mesmo!
O osso de Ishango
O osso de Ishango é um dos mais antigos artefatos
“matemáticos” conhecidos. Encontrado em 1960 pelo
geólogo belga Jean de Heinzelin (1920-1998) na localidade
de Ishango, na atual República Democrática do Congo, esse
pequeno osso de babuíno contém três conjuntos de marcas
distintas, feitas por algum material cortante com intenções
ainda hoje desconhecidas.
Segundo datações recentes, o osso teria entre 18.000 e
22.000 anos de idade, cerca de 10.000 anos mais antigo do
que o início da agricultura e dos primeiros núcleos humanos
permanentes conhecidos. Como ocorre com todo artefato
arqueológico, uma série de especulações é imediatamente
criada para dar algum sentido ao objeto encontrado.
Partindo de uma visão moderna, nossa primeira
interpretação é dizer que o autor das marcas estava
“contando” alguma coisa. Mas há quem extrapole essa
simples versão e diga muito mais.
A figura anterior não nos deixa ver com precisão que há três
colunas de marcas feitas ao redor do osso, como as colunas
de uma tabela. A seguir, temos uma visão esquemática
dessas marcas, como se tivéssemos “desenrolado” o osso:
Observe algumas características dessas marcas:
Na coluna à esquerda, as marcas se dividem em
pequenos grupos de 11, 13, 17 e 19 marcas, e
somam 60.
Na coluna do meio, encontramos conjunto de 3, 6,
4, 8, 10, 5, 5 e 7 marcas, e somam 48.
Na coluna à direita, vemos 11, 21, 19 e 9 marcas, e
somam 60.
Um observador moderno, além de perceber que a soma das
marcas de cada coluna é divisível por 12, poderia observar
também:
A coluna da esquerda tem todos os números primos
entre 10 e 20
A coluna central tem o padrão “um número e seu
dobro”, como 3 e depois 6, 4 e depois 8, 10 e suas
metades 5 e 5, e por fim o número 7 fora desse
padrão
A coluna da direita apresenta números ao redor de
alguma de dezena, como 10 + 1, 20 + 1, 20 - 1 e 10
– 1, e todos são ímpares
Seriam essas características suficientes para dizer que a
pessoa que fez as marcas estava desenvolvendo algum tipo
de pensamento matemático? Ou será que, segundo
algumas interpretações, ela estaria contando os ciclos da
lua? Se a pessoa que fez as marcas era mulher, estaria ela
contando fases de seu ciclo menstrual? Não sabemos.
Nenhuma dessas interpretações encontrou guarida
definitiva entre arqueólogos e antropólogos, mas é muito
forte a percepção de que essas marcas representariam a
contagem de alguma coisa.
Existem ossos mais antigos do que esses, como o osso de
Lebombo (c. 37.000 a.C.), mas nenhum com características
tão marcantes. Até que outros artefatos com a mesma
estrutura sejam encontrados, não poderemos dizer, com
certeza, do que o osso de Ishango trata.
Discussão
O problema central da história da matemática é um
problema de historiografia , de escrita da história. Como
escrever a história da matemática? O que conta como
matemática e o que não conta? Quais fatos são relevantes?
Seria o osso de Ishango um fato da história da matemática?
Afinal, o que é mesmo matemática para que possamos
classificar e historiar todo o material?
Diante disso, o osso de Ishango desperta alguns
questionamentos para você refletir:
1. Riscos e entalhes em qualquer objeto, se feitos com
algum padrão, contam como matemática? Não
seriam, talvez, apenas arte?
2. Seria possível que a pessoa que fez os entalhes no
osso estivesse apenas passando tempo? A
existência de marcas que vemos como possuindo
alguma estrutura que nós chamamos de
matemática pode ser obra de uma pessoa que
estivesse apenas se divertindo?
3. Você acredita que a pessoa que entalhou o osso
tinha palavras para expressar quantidades?
Plimpton 322
Em 1922, um editor de Nova York de nome George Plimpton
comprou de um comerciante displicente, por apenas 10
dólares, uma pequena tabuinha de argila com marcas feitas
com algum tipo de estilete. Plimpton viu algum valor
histórico na peça, mas não soube precisardo que se
tratava, e acabou doando a tabuinha à Universidade de
Columbia. Foi então que os pesquisadores descobriram um
dos mais fascinantes documentos da história da matemática
na antiguidade.
A Plimpton 322 faz parte de uma ampla coleção de
documentos escritos em argila da antiga civilização
mesopotâmica, que floresceu entre os rios Tigre e Eufrates,
na região onde hoje se encontra o Iraque. Datada de 1.800
a.C., a Plimpton 322 nos dá um diminuto vislumbre do que
foi a matemática mesopotâmica e do grau elevado dos
conhecimentos dos povos daquela região. Deles herdamos
muitos conhecimentos, mas principalmente a divisão da
circunferência em 360 partes e da hora em 60 minutos.
Mas os matemáticos e astrônomos mesopotâmicos sabiam
muito mais. A Plimpton 322 é uma lista de ternos
pitagóricos , uma sequência de três números que
satisfazem o teorema de Pitágoras, como 3, 4 e 5, que
formam os lados de um triângulo retângulo. As três
primeiras colunas contêm os ternos, em notação
sexagesimal , e a quarta apresenta apenas os números de 1
a 15, o que mostra que os ternos estavam sendo
sistematicamente coletados.
Como sempre, as interpretações sobre o artefato variam. A
tabela poderia ter sido escrito para uma aula elementar de
álgebra ou de trigonometria ou mesmo como um simples
exercício de escrita cuneiform e por algum escriba aprendiz.
De qualquer maneira, ficamos com a impressão de que
aquela tabela não era utilitária, ou seja, suspeitamos que a
civilização que a produziu tinha preocupações com o
conhecimento desinteressado, desligado de alguma
aplicação prática imediata, e com o desenvolvimento de
técnicas matemáticas por seu próprio valor intelectual.
Como esses números foram gerados? Os matemáticos da
Mesopotâmia conheciam as fórmulas que produziam os
ternos pitagóricos ou a Plimpton 322 é uma mera
compilação de ternos descobertos empiricamente? A
tendência é aceitar a primeira hipótese, mas, até que
nossos estudos sejam realizados e novas descobertas sejam
feitas, a questão permanece aberta.
Discussão
O que podemos aprender com a Plimpton 322? Esse
número, 322, ligado ao nome Plimpton, nos indica que essa
é apenas uma de uma longa série de tabuinhas de argila.
Há 321 antes e existem centenas depois. A civilização
mesopotâmica, criadora de muitos dos mitos que ainda
habitam nosso imaginário, conhecidos através dos hebreus
que escreveram a Bíblia, certamente legaram muita ciência
ao nosso mundo moderno. Algumas reflexões são possíveis:
1. Uma vez criado um sistema numérico
suficientemente complexo, será que ele adquire
“vida própria”, sendo cultivado pelo seu valor
intrínseco, além de necessidades puramente
materiais?
2. Como seria uma aula de matemática naquele
tempo? Estariam esses conhecimentos destinados a
figurar apenas nos escritos de uma casta de
intelectuais e cientistas ou eram também acessíveis
a mais pessoas através de um processo de
educação sistemática?
O papiro de Rhind
Por volta de 1.650 a.C., um certo escriba egípcio chamado
Ahmes (ou Amósis) finalizou aquela que seria não a mais
antiga, mas a mais notável obra de matemática egípcia de
que temos conhecimento: um livro escrito sobre uma
imensa folha de 5,5 metros por 30 cm de altura, feita com
tiras prensadas do caule de uma planta chamada papiro.
Finalizada a escrita, essa longa folha era, então, enrolada e
transportada como se fosse um bastão, e passava, assim, a
ser catalogada em grandes bibliotecas de papiros. Mas o
que dizia esse livro em particular que tanto interessa a
matemáticos e historiadores da ciência?
Esse notável papiro foi comprado em 1858 pelo advogado e
egiptologista Alexander Rhind, em uma visita que fazia à
cidade de Luxor. Adquirida em 1864 pelo Museu Britânico, a
obra foi batizada de papiro de Rhind, e continua fascinando
arqueólogos e historiadores.
Do que trata o papiro de Rhind? O pequeno trecho do
papiro, que vemos na imagem acima, nos mostra que há
triângulos e o que parecem ser as medidas dos lados. Há
um retângulo, um trapézio e o que se assemelham a tabelas
de números empilhados. Existe, apenas nesse pequeno
trecho, muita coisa parecida com aquilo que chamamos de
matemática. E o que mais tem o papiro?
O papiro contém dezenas de problemas de aritmética,
frações, cálculo de áreas, volumes, progressões, repartições
proporcionais, regra de três simples, equações lineares,
trigonometria básica e geometria. É coisa suficiente para
nos fazer imaginar uma longa tradição cultural transmitida e
ampliada de geração a geração. Uma dessas tradições
culturais, talvez a mais antiga de todas as tradições
científicas, seja a da transmissão de conteúdos de
matemática através de problemas ficcionais, desligados de
qualquer consideração prática. Um dos problemas que o
papiro discute em detalhes é o seguinte:
Sete casas contêm sete gatos. Cada gato mata sete
ratos. Cada rato comeu sete espigas de grãos. Cada
espiga de grãos teria produzido sete hekats (medidas)
de trigo. Qual é o total de tudo isso?
Esse é um problema interessante, o início de uma tradição
que persiste até hoje. Em particular, a do uso do número 7
em problemas parecidos que vêm aparecendo de maneira
persistente em várias tradições científicas do mundo todo.
Você saberia resolvê-lo?
O papiro tem outras interessantes características. É o mais
antigo exemplar da história que contém símbolos para as
operações matemáticas. Por exemplo, o sinal de mais era
denotado por um par de pernas andando em direção ao
número a ser adicionado (você consegue ver alguns na
figura acima?). Isso nos mostra que a matemática é
também uma linguagem que necessita de seu próprio
código, sua própria notação, para além da notação da língua
falada. Mas por que isso ocorre?
Discussão
Estudiosos não têm dúvidas de que o papiro de Rhind era
uma cópia feita por Ahmes de outros papiros mais antigos.
Ahmes fazia parte de uma escola de escribas, cujo
treinamento consistia em copiar dezenas e dezenas de
papiros em escrita hierática como parte de sua educação.
Tudo isso nos leva a crer que as ciências matemáticas
egípcias eram mais extensas e mais antigas do que o papiro
de Rhind nos deixa antever.
Baseados no que vimos, o que podemos pensar das
seguintes questões:
1. Platão afirmava que a geometria teve início no
Egito, a partir da experiência de medir áreas de
plantações. No entanto, a construção das pirâmides
exigiu muito mais do que o simples cálculo de
áreas. Para que, afinal, você imagina que serviam os
conhecimentos matemáticos dos egípcios?
2. Por que os egípcios transmitiam seus
conhecimentos matemáticos preferencialmente
através de problemas recreativos?
3. Egípcios eram muito bons em lidar com frações,
principalmente com frações unitárias, aquelas que
têm numerador igual a 1. Você seria capaz de
expressar o número 0,575 como soma de 3 frações
unitárias que tenham denominador menor do que
10?
Pitágoras e os pitagóricos
O teorema de Pitágoras é, sem dúvida, o mais conhecido
teorema de toda a geometria, ensinado em todas as escolas
e utilizado extensamente em toda a matemática. A pessoa à
qual é atribuído, o filósofo grego Pitágoras de Samos (c. 570
– c. 495 a.C.), no entanto, é bem menos conhecida.
Figura semilendária do século VI a.C., Pitágoras foi o líder de
uma seita que acreditava, entre muitas outras coisas, que
os números – puros, livres e incorruptíveis – eram alguma
coisa próxima de entidades divinas, possuidoras de
consciência e de influência direta na vida prática dos
homens. Pitágoras e seus discípulos, conhecidos como
pitagóricos, estão também entre os primeiros cientistas a
exigir argumentos racionais para diversos fatos
matemáticos conhecidos como teoremas. Eles deram início,
juntamente a Tales de Mileto (c. 624 – 546 a. C.),
considerado o primeiro filósofo ocidental, à forma de
matemática dedutiva que hoje estudamos nas
universidades.
A mais famosa demonstração do teorema de Pitágoras
aparece nos Elementos, de Euclides de Alexandria (fl. c.
300 a.C.). A demonstração, no entanto, não é de Pitágoras,
mas do próprio Euclides. Pitágoras não demonstrou com
toda generalidade o teorema que leva o seu nome, mas
apenas percebeu sua validade em casos particulares.
Também não foi seu descobridor: os matemáticos
mesopotâmicos conheciam as ternas pitagóricas, como
vimos, e quase certamente conheciam sua expressão
geométrica, assim como os egípcios, também excelentes
geômetras.
Não se conhece nada que Pitágoras tenha escrito. Uma
longa tradição lhe atribui muitos feitos, muitas descobertas,
mas as primeiras obras escritas sobre sua vida só
apareceram cerca de… 800 anos depois de sua morte! Em
outras palavras, quase tudo o que se sabe dele e de sua
fraternidade é fruto de transmissão oral, um telefone sem
fio bastante persistente, mas nada confiável. Platão (428 –
348 a.C.), o grande pai da filosofia ocidental, foi
profundamente influenciado pela tradição pitagórica. E daí,
pela influência de Platão, temos o pitagorismo ainda
evidente em nossa cultura.
Segundo a tradição – ao falarmos de Pitágoras, estaremos
sempre nos referindo a essa tradição –, Pitágoras e seus
discípulos não foram simples místicos em busca de um
ritual, mas também cientistas sagazes. Eles observaram,
por exemplo, que cordas vibrantes tocadas juntas
produziam sons harmoniosos, agradáveis ao ouvido, se seus
tamanhos mantivessem razões expressas por inteiros,
preferencialmente pequenos, como 1/2, 2/3 e 3/4. A teoria
musical que ainda hoje estudamos teve início com essas
simples observações.
Os pitagóricos estudaram também propriedades dos
números figurados, como os números triangulares,
retangulares e pentagonais, sugerindo diversas relações
entre eles. Descobriram os números perfeitos, aqueles que
são a soma de seus divisores próprios, como o 6 (divisores
próprios: 1, 2 e 3, e daí 6 = 1 + 2 + 3) e 28 (divisores
próprios: 1, 2, 4, 7 e 14, e daí 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14).
Essa sanha aritmética levou Pitágoras a afirmar que “tudo é
número”, um dogma religioso rapidamente refutado pela
famosa crise dos incomensuráveis. De maneira simplificada,
essa crise se originou com a descoberta de que números
como a raiz quadrada de 2 ou de 5 não podem ser
expressos como uma razão (divisão) entre dois números
inteiros. No fim do choque criado por essa descoberta, a
sociedade pitagórica não existiria mais, mas sua poderosa
influência criativa pode ser sentida ainda hoje em diversos
campos das artes, da filosofia e das ciências.
Discussão
Os pitagóricos estão no fundamento e no coração de muito
do que veio a ser conhecido como filosofia ocidental. Sua
história continua a inspirar místicos e cientistas, admirados
com a candente originalidade de suas contribuições. E,
como tudo na história, os pitagóricos levantam diversas
questões:
1. Juntamente a Tales de Mileto, Pitágoras e seus
discípulos introduziram na matemática os primeiros
exemplos de argumentos puramente racionais
conhecidos como demonstrações. Os povos
mesopotâmicos e egípcios não chegaram a
conhecer tais instrumentos intelectuais. Será, então,
que a ideia de demonstração deveria ser ensinada
nas escolas, uma vez que muito da matemática
utilitária de que necessitamos sobrevive sem ela?
2. Em sua opinião, existe alguma relação necessária
entre matemática e misticismo, ou isso é apenas
uma característica particular dos pitagóricos?
3. A numerologia que vemos em livros e sites da
internet, promovendo poderes extraordinários de
certos números, é uma descendente
contemporânea do misticismo aritmético pitagórico.
Você consegue imaginar algum argumento concreto
que a justifique?
Euclides e seus Elementos
Euclides (fl. c. 300 a.C.) foi um importante matemático
grego que viveu em Alexandria, no Egito. É considerado
popularmente como o “pai da geometria”, ainda que esse
epíteto esteja errado em cada palavra.
Pouco se sabe sobre sua vida, exceto que desenvolveu sua
obra sob o reinado de Ptolomeu I do Egito (323 – 283 a.C.).
Mais do que geometria elementar, Euclides escreveu sobre
a teoria dos espelhos, ótica e astronomia esférica. Mas é
pela sua obra máxima, chamada de Elementos , que ele se
imortalizou, exercendo a mais duradoura influência no
pensamento humano jamais alcançada por outro cientista.
Euclides é melhor denominado como o sistematizador do
método axiomático, a maneira de ordenar o conhecimento
baseado em axiomas e teoremas. O método axiomático,
que funciona muito bem na matemática, consiste em
fundamentar todos os fatos sobre determinados objetos em
cima de uma diminuta base de afirmações primitivas
conhecidas como axiomas. A partir dos axiomas, novas
afirmações são derivadas – os teoremas – por um poderoso
motor intelectual cujas peças são as regras da lógica. Foi
através desse método que Euclides ordenou em treze livros
boa parte do conhecimento matemático elementar de sua
época.
Os Elementos , traduzidos pela primeira vez diretamente do
grego por Irineu Bicudo, e publicado no Brasil pela Editora
da Unesp em 2009, está dividido em 13 livros:
O livro 1 contém 23 definições, 5 postulados e 9
noções comuns, e cobre tópicos importantes da
geometria plana, como o teorema de Pitágoras,
igualdade de ângulos e áreas, paralelismo, soma
dos ângulos de um triângulo e a construção de
várias figuras geométricas;
O livro 2 contém vários lemas (teoremas
preparatórios para outros teoremas) relativos à
igualdade de retângulos e quadrados, às vezes
chamados de “álgebra geométrica”, e conclui com
uma construção da proporção áurea e uma maneira
de construir um quadrado com área igual a qualquer
figura plana;
O livro 3 trata de círculos e suas propriedades.
Mostra como encontrar seu centro, trata de ângulos
inscritos, tangentes, potência de pontos e o teorema
de Tales;
O livro 4 constrói o incírculo e o circuncírculo de um
triângulo, assim como mostra a construção de
polígonos regulares com 4, 5, 6 e 15 lados;
O livro 5, o primeiro dos chamados livros
aritméticos, trata de proporções de magnitudes e
apresenta a teoria altamente sofisticada da
proporção, provavelmente desenvolvida por Eudoxo
de Cnido (408 a.C – 355 a.C);
O livro 6 aplica a teoria das proporções à geometria
plana, especialmente na construção e no
reconhecimento de figuras semelhantes;
O livro 7 trata da teoria dos números elementares:
divisibilidade, números primos e sua relação com
números compostos, o algoritmo de Euclides para
encontrar o maior divisor comum e como encontrar
o mínimo múltiplo comum;
O livro 8 trata da construção de sequências
geométricas de números inteiros;
O livro 9 aplica os resultados dos dois livros
anteriores, prova a infinidade de números primos e
apresenta a construção de todos os números
perfeitos pares;
O livro 10 prova a irracionalidade das raízes
quadradas de números inteiros não quadrados,
como a raiz de 2, e classifica as raízes quadradas de
segmentos incomensuráveis em treze categorias
distintas. Euclides apresenta o termo irracional, com
um significado diferente do conceito moderno de
número irracional. Ele também fornece uma fórmula
para produzir ternas pitagóricas;
O livro 11 generaliza os resultados do livro 6 para
figuras sólidas: perpendicularidade, paralelismo,
volumes e semelhança de paralelepípedos;
O livro 12 estuda os volumes de cones, pirâmides e
cilindros usando o método da exaustão, um
precursor da integração, e mostra, por exemplo, que
o volume de um cone é um terço do volume do
cilindro correspondente. Conclui mostrando que o
volume de uma esfera é proporcional ao cubo de
seu raio (na linguagem moderna), aproximando seu
volume por uma união de muitas pirâmides;
O livro 13, por fim, constrói os cinco sólidos
platônicos regulares inscritos em uma esfera e
compara as proporções de suas arestas com o raio
da esfera.
Boa parte desses conteúdos são contribuições de
matemáticos anteriores. A Euclides são reputados diversos
resultados originaise muitas demonstrações, inclusive a
belíssima demonstração do teorema de Pitágoras. Mas
como foram ordenados todos esses conhecimentos?
Euclides começa o livro 1 com uma série de 23 definições
controversas, como “ponto é aquilo de que nada é parte”,
“linha é comprimento sem largura” e outras 21 definições.
Logo depois, enuncia os 5 seguintes postulados, que
modernamente chamamos de axiomas:
1. Fique postulado traçar uma reta a partir de todo
ponto até todo ponto.
2. Também prolongar uma reta limitada,
continuamente, sobre uma reta.
3. E, com todo centro e distância, descrever um
círculo.
4. E serem iguais entre si todos os ângulos retos.
5. E, caso uma reta, caindo sobre duas retas, faça
ângulos interiores e do mesmo lado menores do que
dois retos, sendo prolongadas as duas retas,
ilimitadamente, encontrarem-se no lado no qual
estão os menores do que dois retos.
Dos postulados acima, o quinto é o mais estranho e
também o mais importante. Não tem a aparência de uma
afirmação elementar, e nos faz suspeitar que seja um
teorema deduzido dos postulados anteriores. De fato, foi
isso o que matemáticos de todas as épocas tentaram:
mostrar como deduzir o quinto postulado dos quatro
anteriores. Esses esforços redundaram em geniais
fracassos, mas ocasionaram o desenvolvimento das
geometrias não-euclidianas, geradas quando o quinto
postulado é substituído por outros. As geometrias não-
euclidianas, longe de serem filhas de especulações
desinteressadas de matemáticos puros, são usadas hoje em
muitas áreas da tecnologia, principalmente na teoria da
relatividade de Albert Einstein (1879 – 1955), que, entre
outras coisas, garante o bom funcionamento do sistema de
GPS em todo o planeta.
Após esses postulados, Euclides apresenta as noções
comuns , nove axiomas supostamente aplicáveis a todos os
ramos do conhecimento, como, por exemplo, “o todo é
maior do que a parte” e “os dobros da mesma coisa são
iguais entre si”. Sobre essa base de definições, postulados e
noções comuns, centenas e centenas de teoremas são
demonstrados, em um encadeamento lógico que encanta e
convence.
Os Elementos tratam de matemática elementar, mas sua
leitura não é nada fácil. A tradução de Irineu Bicudo, a
primeira feita diretamente do grego, é tão idiossincrática,
por assim dizer, que podemos considerá-la uma obra
destinada a eruditos: só é recomendada para quem deseja
aprender o grego de Euclides comparando-o com o
português de Bicudo. Mas foi essa mesma a intenção do
tradutor: estabelecer um padrão ouro para a tradução de
textos da antiguidade grega. Esperamos que, futuramente,
uma boa alma retraduza os Elementos tornando-o palatável
a um público mais geral. Enquanto isso não ocorre, vamos
refletir mais um pouco sobre algumas questões pertinentes
aos Elementos e seu uso científico.
Discussão
A importância dos Elementos é impossível de ser avaliada,
de tão extensa e profunda. Muitas questões são ainda hoje
levantadas, mas as seguintes podem servir de ponto de
partida para o educador matemático:
1. O método axiomático é uma das grandes conquistas
da ciência ocidental. Sua aplicação em áreas
diversas da matemática chegou a produzir intuições
profundas sobre uma espantosa quantidade de
assuntos. No entanto, ainda que persista na
matemática, ele está bastante desgastado em
outras disciplinas. Por que não seria esse o método
ideal, por exemplo, para ordenar nossos
conhecimentos médicos?
2. A história do ensino de matemática é a história de
um longo fracasso. Será que isso é devido à falta de
uma organização escolar mais estrita de seus
conteúdos, uma que favoreça as ligações internas e
profundas entre eles?
3. Observe a lista de conteúdos dos treze livros. Quais
deles você acha que deveriam ser ensinados no
ensino básico? Por quê?
Pi
Com as possíveis exceções do 0 (zero) e do 1 (um), nenhum
outro número é mais conhecido na matemática do que a
constante π. Também nenhuma outra tem uma história tão
fascinante.
Seu valor é aproximadamente 3,1415926. Sua história é
bem remota e deve ter começado em situações cotidianas.
É possível, por exemplo, que povos antigos tenham
observado que uma volta da roda de carroça faz a carroça
avançar mais ou menos três vezes o valor do diâmetro da
roda. É assim que π passa a ser definido, como o número de
vezes que devemos multiplicar a medida do diâmetro para
encontrarmos a medida da circunferência. Matemáticos
gostam de uma definição equivalente: π é a razão entre a
circunferência e o diâmetro de um círculo.
Matemáticos egípcios e mesopotâmicos conheciam bem o π.
No papiro de Rhind, π tem o valor aproximado de 3,16045,
enquanto os matemáticos da Mesopotâmia usavam o valor
3,125. Depois que estudiosos perceberam sua importância
em praticamente todos os campos da matemática, a busca
pelo seu valor exato deu início a uma das mais longas
tradições científicas, o cálculo preciso de suas casas
decimais. A luta continua firme e forte: em 29 de janeiro de
2020, Timothy Mullican alegou ter batido o recorde mundial,
com o cálculo de 50 trilhões (!) de casas decimais.
π é um número irracional . Não pode ser escrito como a
razão (divisão) de dois números inteiros. Embora a fração
22/7 dê π com uma boa precisão (3,142857, com as casas
decimais se repetindo indefinidamente), sabemos que não
existe uma fração que gere todos os seus dígitos, ainda que
frações sempre mais próximas possam ser encontradas. π
também é um número transcendente, ou seja, não é a raiz
de nenhuma equação polinomial com coeficientes inteiros,
como, por exemplo, . Isso coloca π em uma
categoria especial de números estranhos e interessantes.
π é uma letra grega, o que nos faz supor que foram os
gregos os primeiros a utilizá-la para batizar a constante
3,1415926…. Mas esse é um engano comum: foi o
matemático galês William Jones (1675 – 1749) que a
nomeou assim, em um artigo de 1706. Por que π? Porque
essa é letra que tem o som de p na língua grega, e a
primeira letra da palavra periferia . A história dos símbolos e
da notação matemática é tema pitoresco que teremos a
oportunidade de abordar ainda outras vezes.
Agora olhe para a figura no início deste capítulo. A primeira
figura, mais à esquerda, nos mostra uma circunferência na
qual está inscrito um pentágono regular e circunscrito outro.
Conseguimos calcular o perímetro do pentágono inscrito
sabendo apenas o valor do raio da circunferência, assim
como também conseguimos calcular o perímetro do
pentágono circunscrito sabendo apenas do valor do raio.
Mesmo sem os valores em mãos, podemos conjeturar
acertadamente que o perímetro do pentágono inscrito é
menor do que o perímetro da circunferência, e também que
o perímetro do pentágono circunscrito é maior do que o
perímetro da circunferência. Assim, o valor do perímetro da
circunferência deve ser algum número entre esses dois
valores.
Mas ainda é um valor muito ruim. Se aumentássemos o
número de lados dos polígonos regulares inscritos e
circunscritos para, por exemplo, como nos mostra a figura,
6 e 8? Não nos parece que esses polígonos estão se
transformando, eles mesmos, em uma aproximação da
circunferência? Se conseguimos calcular o valor dos
perímetros dos polígonos, podemos imaginar que,
aumentando o número de lados, conseguiremos aproximar
o valor de π com quantas casas decimais quisermos. De
fato, esse é o mecanismo básico do chamado método de
exaustão , utilizado com sucesso por Arquimedes de
Siracusa (c. 287 – c. 212 a.C.) e matemáticos posteriores
para solucionar uma infinidade de questões semelhantes.
Em particular, esse método era usado para realizar
quadraturas , o cálculo de áreas de figuras curvilíneas, o
que nos informa que o método da exaustão é um dos
precursores da moderna integração.
Madhava de Sangamagrama (c. 1350 – c. 1425), o fundador
da Escola de Matemática e Astronomia de Kerala, na Índia, é
apenas um das centenas de matemáticos hindus
frequentemente ignorados por historiadores.Ainda que
tenhamos aprendido a reconhecer a genialidade de
matemáticos não-europeus, foi apenas há pouco tempo que
reconhecemos uma genial descoberta desse genial indiano,
a série de Madhava:
Mas o que essa série tem de especial?
O valor de π sempre foi relacionado a questões geométricas,
em especial àquelas envolvendo circunferências. Mas a
fórmula de Madhava não faz nenhuma referência a círculos
ou figuras curvilíneas. É uma série infinita , um conjunto
infinito de números que, se somados, nos dão 1/4 do valor
de π. Assim, devemos a Madhava a “libertação” de π de
suas humildes origens geométricas para adentrar no mundo
da análise matemática, da álgebra e da estatística,
aparecendo aqui e ali de maneira fantasmagórica e
surpreendente. Alguns séculos depois, essa série foi
redescoberta pelo matemático alemão G. W. Leibniz (1646 –
1716). Hoje a série é conhecida por historiadores modernos
como série de Madhava-Leibniz, ou apenas como série de
Leibniz por matemáticos eurocêntricos empedernidos.
Discussão
Além de importantíssimo, π é divertido e até polêmico.
Reflita um pouco mais sobre ele com as questões a seguir:
1. O cálculo de π é um hobby nerd muito apreciado por
programadores de computador e por competidores
de campeonatos de memorização, capazes de
recitar essa constante com centenas e centenas de
casas decimais. Você consegue imaginar algum
outro motivo que faz com que cientistas ainda se
interessem pelo seu cálculo?
2. Existe uma certa ansiedade de professores em
ensinar as origens e o valor de π. O peso da
quantidade descomunal de conteúdos e da
exiguidade do tempo e do interesse dos alunos
fazem com que a maioria fracasse e acabe
estimulando uma decoreba desenfreada de tudo
que trate de matemática. Você conseguiria imaginar
uma atividade significativa que ensinasse a
importância e as origens de π sem apelar para
nenhum tipo de memorização?
3. Alguns matemáticos sugeriram a introdução de uma
outra constante, chamada τ (tau), no vocabulário
dos matemáticos, valendo duas vezes o valor de π.
Assim, entre muitos outros argumentos, a fórmula
da circunferência do círculo, C = 2πr se tornaria
simplesmente C=τr, revelando melhor a natureza
da relação entre a circunferência e o raio do círculo,
que é muito mais utilizado do que seu diâmetro.
Pesquise um pouco sobre a τ e responda: será que o
acréscimo dessa constante no vocabulário
matemático resolveria algum tipo de problema de
ensino?
Eratóstenes, seu crivo e a
circunferência da Terra
Eratóstenes de Cirene (276 a.C. – 194 a.C.), assim como
Euclides, foi bibliotecário da famosa Biblioteca de
Alexandria, onde escreveu sobre matemática, astronomia,
geografia e gramática, além de ter exercido seu estro
poético na composição de vários poemas. Veremos aqui
duas de suas mais conhecidas contribuições científicas.
A primeira trata da criação de um algoritmo para identificar
números primos. Números primos são números divisíveis
apenas por 1 e por si mesmos. 17 é um número primo, pois
você consegue dividir 17 apenas por 1 e pelo próprio 17. Já
18 não é primo, pois pode ser dividido por 1, 2, 3, 6, 9 e 18.
Euclides já havia demonstrado, no livro 9 de seus Elementos
, que números primos são infinitos, mas uma questão
permanecia: como saber se um dado número é primo?
Eratóstenes teve uma ideia bastante engenhosa para
determinar quais números de uma lista de inteiros
consecutivos são primos. Para acompanhar o raciocínio,
sugiro que você faça o experimento prático: escreva uma
lista de números começando de 1 até 100. Você pode
escrever quantos números quiser, mas a ideia é apenas
entender como o algoritmo funciona. Uma lista inicial de
100 números é suficiente.
Inicialmente, risque o número 1. Agora, faça um círculo no
2, o primeiro primo, e risque da lista todos os múltiplos de
2, como 4, 6, 8, 10, 12 e assim por diante, até o fim da lista,
como mostrado na primeira linha da figura do início deste
capítulo. Agora faça um círculo no próximo número não
riscado , que é o 3, e corte da lista todos seus múltiplos,
como 6, 9, 12, 15 e assim por diante, até o fim da lista,
como mostrado na segunda linha da figura. Não importa se
alguns números já estejam riscados, como os números
pares do passo anterior, pois o importante é riscar todos os
múltiplos de 3. Agora, observe o próximo número não
riscado, que é o 5, e risque todos seus múltiplos, como 10,
15, 20, 25 e assim por diante, até o fim da lista, como
mostrado na terceira linha da figura. Repita esse processo
até não haver mais números na lista. O que restará serão
todos os números primos entre 1 e 100.
O crivo de Eratóstenes foi o primeiro processo sistemático e
mecanizado (um algoritmo ) para descobrir números primos.
Embora não seja muito bom para lidar com números
extremamente grandes, ele deu partida na busca de
algoritmos mais eficientes que decidam se um determinado
número é primo ou não. Esses esforços estão na raiz de
nosso mundo tecnológico: é a extrema dificuldade de se
saber se um dado número enorme é primo ou não o que
garante a segurança das comunicações na internet. Até que
matemáticos descubram um algoritmo para resolver o
problema em pouco tempo, você pode se sentir tranquilo
em entrar o número de seu cartão de crédito em sites
respeitáveis – pelo menos, até um vírus sorrateiro infectar o
seu computador!
Outro grande feito de Eratóstenes foi a medição da
circunferência da terra, reconhecidamente redonda por
filósofos de gerações anteriores. Muito embora esse fato
fosse lugar-comum entre os cientistas da época, nenhum
deles havia conseguido dizer o quão grande ela era. Coube
a Eratóstenes, usando matemática elementar, determinar
com bastante precisão sua circunferência.
A história é conhecida. Eratóstenes observou que, ao meio
dia de 21 de junho, o sol atinge o ponto mais alto do céu em
Alexandria. Observou também que uma estaca fincada no
chão produzia uma sombra e que o ângulo entre a estaca e
os raios de sol era de 7,2 graus (aproximadamente 1/50 de
uma circunferência). Ele sabia também que, em Siena (atual
Assuã, no Egito), afastada de Alexandria por cerca de 800
km, a luz do sol não produzia sombras no mesmo dia e à
mesma hora, pois era possível vê-lo refletido bem no fundo
de um poço. Assim, bastou que ele multiplicasse 50 por 800
para estimar em cerca de 40.000 km a circunferência da
Terra. O esquema abaixo pode dar uma ideia do que pensou
Eratóstenes.
Sabemos hoje que o valor real da circunferência da Terra, se
medido ao redor do equador, é de 40.075 km – uma
diferença mínima do valor calculado por Eratóstenes.
Discussão
O que podemos aprender com Eratóstenes? As questões a
seguir fornecem um bom começo:
1. Números primos estão no coração da matemática,
figurando de maneira central no Teorema
Fundamental da Aritmética . Esse teorema afirma
que todo número inteiro maior ou igual a 2 pode ser
escrito de uma única maneira como um produto de
números primos, sem considerar a ordem em que
aparecem. Por exemplo, 60 pode ser escrito como
2.2.3.5 e, se ignorarmos a ordem desses números,
essa é a única maneira como 60 pode ser escrito
como uma multiplicação de números primos.
Embora pareça elementar, a importância desse
resultado nunca é suficientemente ressaltada. Você
conseguiria descobrir por que, afinal, esse teorema
é tão importante?
2. Uma famosa conjetura (um teorema ainda não
provado) da matemática, chamada de conjetura de
Goldbach , diz que todo número par maior ou igual a
4 pode ser escrito como a soma de, no máximo,
dois números primos. Por exemplo, 12 = 5 + 7 e 20
= 7 + 13. Uma excelente maneira de treinar
números primos com alunos é fazê-los escrever
todos os números pares de 4 a 100 como somas de
2 números primos. Vocês seria capaz de realizar
essa tarefa?
3. Terraplanistas acreditam que a terra não é redonda,
apesar de Eratóstenes ter calculado sua
circunferência com espantosa precisão há mais de
2.200 anos. Você acreditaque a introdução desse
tópico nas aulas de ciências ajudaria a reduzir o
número de terraplanistas em nossa sociedade?
Diofanto e a álgebra
Isso é grego para mim! Não é assim que falamos quando
não entendemos alguma coisa? Agora observe a imagem
acima, uma página da Aritmética , de Diofanto de
Alexandria (c. 201/215 – 285/299): não só é grego, como
também matemática…
Diofanto escreveu sua aritmética por volta do ano 250. É
um livro que trata principalmente das soluções em números
inteiros de equações com uma ou mais indeterminadas. Um
exemplo bem simples seria a equação 3x − 2y = 1,
solucionada quando fazemos, digamos, x = 3 e y = 4, uma
entre infinitas soluções. Mas as coisas eram um pouco mais
avançadas do que esse simples exemplo sugere.
Observe novamente a imagem no início deste capítulo.
Onde estão os números e todo aquele conjunto de símbolos
a que fomos acostumados na escola? Onde estão as
equações? Como aquilo pode ser chamado de matemática?
Essas questões apontam para discussões ligeiramente
diferentes das que estamos acostumados a ver em livros de
história da matemática. Uma busca pela internet nos
oferece muitos comentários sobre a Aritmética, de Diofanto,
interessantíssima em si mesma, mas tomaremos caminhos
laterais para discutir um assunto frequentemente preterido
nos manuais técnicos e nos livros didáticos de matemática:
a linguagem das ideias matemáticas e de sua cristalização
em um conjunto funcional de símbolos.
Não foi Diofanto o primeiro a usar abreviações de palavras
ou as próprias palavras como signos com um significado
matemático. Os egípcios já faziam isso, e essa tradição
estava presente em Alexandria, uma cidade egípcia que se
manteve sob o domínio grego por séculos e séculos. Mas o
problema é saber por que as palavras comuns do dia a dia
não são suficientes para expressar pensamentos
matemáticos. Por que todas as culturas, quando tiveram
que lidar com conceitos matemáticos, precisaram criar
símbolos ou adaptar os já existentes?
Veja a tabela a seguir. Ela mostra a notação moderna e a
notação de Diofanto. O que é notável é que não
conservamos a notação de Diofanto, assim como não
conservamos muitas notações criadas durante a história.
É possível que a notação atual seja substituída por outra
mais coerente no futuro. Sabemos que a notação
matemática é histórica, ou seja, forjada aos trancos e
barrancos para lidar com as ideias e conceitos à medida que
são criados. Sabemos também que seus símbolos são
polissêmicos, tomando vários significados segundo os
contextos em que aparecem. As expressões 3 – 2 e contêm
os mesmos elementos, mas o traço significa coisas
diferentes nas duas. Bastou que os números se
posicionassem de forma diferente para o interpretarmos ora
como sinal de subtração, ora como de divisão e ora como de
razão. Mas o traço em si é o mesmo.
Além desse problema, a notação matemática parece
depender da espacialidade, da possibilidade de
escrevermos em todas as direções na folha. Também há
problemas com a notação das funções, como a
inconsistência do uso do expoente 2 nas expressões cos 2 x
e cos x 2 , o que sempre confunde os alunos. Sem dúvida,
tradicional não significa melhor.
É possível ver a álgebra simbólica como uma máquina que
pode ser manipulada sem que o apelo a um significado seja
necessário. A álgebra é o que alimenta a computação
moderna, dadas suas regras claras e simples. Por não exigir
compreensão, mas apenas manipulação, é a álgebra que
acaba figurando como “matemática” na cabeça da maioria
dos alunos, que decoram e operam pilhas de regras sem
sentido para encontrar o resultado de problemas que não
sabem interpretar.
Discussão
O problema da notação matemática é apenas um dos
problemas que professores e alunos têm que enfrentar no
aprendizado da matemática. Há muitas outras coisas que
podemos pensar a partir das considerações que fizemos
neste capítulo:
1. Em 1621, o matemático francês Claude Gaspard
Bachet de Mériziac (1581 – 1638) editou a
Aritmética, de Diofanto, em latim e grego. Pierre de
Fermat (1601 – 1665), o matemático amador mais
celebrado de todos os tempos, possuía um exemplar
dessa edição. Conta-se que, em uma de suas
leituras, ao lado de um problema algébrico, Fermat
escreveu nas margens de sua cópia: “Se um número
inteiro n for maior que 2, então a n + b n = c n não
terá soluções para inteiros a, b e c diferentes de
zero. Tenho uma prova verdadeiramente
maravilhosa dessa proposição, mas essa margem é
muito estreita para a conter.” Esse é o famoso
Último Teorema de Fermat , demonstrado em 1995
pelo matemático inglês Andrew Wiles. Mas a
questão aqui é outra: Fermat lia um livro escrito
1.400 anos antes. Será que o ensino de matemática
seria mais bem-sucedido, e os alunos mais criativos,
se pudéssemos ler as obras originais dos
matemáticos?
2. Que outros problemas com a linguagem matemática
você consegue identificar? Você chegou a ter
problemas com ela?
3. Até mesmo em aulas de geometria, problemas são
frequentemente traduzidos em álgebra e resolvidos
mecanicamente, sem nenhum apelo a noções
geométricas ou intuições espaciais. Seria a álgebra,
pelo seu caráter mecânico e regular, a origem da
morte do significado nas aulas de matemática?
Hipácia e o fim da tradição
matemática grega
O filme Ágora , de 2009, dirigido por Alejandro Amenábar,
apresenta-nos a premiada atriz Rachel Weisz como Hipácia
de Alexandria (c. 351/370 – 415). Weisz conseguiu, com
uma atuação brilhante, captar a genialidade e a vivacidade
daquela que é considerada a primeira cientista da história
ocidental e, ao mesmo tempo, a última diretora da
magnífica Biblioteca de Alexandria.
Versada em astronomia e matemática, assim como em
filosofia, poesia e artes, Hipácia era filha de Téon de
Alexandria (335 – 395), outro renomado matemático e
astrônomo da época. Hipácia em muito superou o pai, tendo
escritos tratados sobre Diofanto, Ptolomeu e Euclides.
Assumiu também a direção, com apenas 30 anos, da
lendária Biblioteca de Alexandria, o grande centro da
cultura e da ciência helenísticas.
Conta-se que Hipácia era exímia nas técnicas de resolução
de problemas de matemática, habilidade que empregou no
aperfeiçoamento do hidrômetro e na criação do astrolábio
plano. Escreveu muito, mas nenhuma de suas obras
sobreviveu. É provável, no entanto, que seus livros tenham
sido assinados por cientistas homens, uma vez que a
situação de subalternidade imposta às mulheres tem raízes
profundas e remotas. Embora a educação universitária
moderna seja composta majoritariamente por mulheres,
ainda hoje poucas obtêm reconhecimento nas ciências
exatas.
Um drama frequentemente relatado sobre a vida de Hipácia
é sua morte dramática. Mulher não cristã com posição de
destaque na sociedade alexandrina de seu tempo, Hipácia
entrou em conflito com o fanatismo religioso e anticientífico
de Cirilo (375/378 – 444), o patriarca da cidade, preocupado
com o expurgo de doutrinas e ideias que afrontavam os
dogmas da cristandade. Para neutralizar Hipácia, Cirilo
espalhou boatos de que ela fazia sacrifícios humanos. Em
uma tarde de março de 415, ela foi arrastada por uma turba
de cristãos furiosos até uma igreja e lá dentro torturada
cruelmente, tendo seu corpo lançado às chamas logo
depois. Uma consequência dessa tragédia é que a Biblioteca
de Alexandria seria fechada, tendo perdido sua última e
mais brilhante diretora.
A morte de Hipácia marca tanto o fim do período helenístico
nas ciências quanto o início da Idade Média, ainda que a
filosofia grega continuasse a ser cultivada em escolas
esparsas pela Europa e pelo norte da África. Mais de um
milênio se passaria até que uma outra mulher voltasse a
figurar na lista de grandes cientistas ocidentais.
Pouco mais de um século depois da morte de Hipácia, o
pêndulo científico se voltaria para uma civilização de ideias
mais arejadas que se formava bem ali perto, uma que viria
a conquistar toda a região:a civilização árabe.
Discussão
A vida e morte de Hipácia suscitam uma série de questões
interessantes, dentre as quais as seguintes:
1. Por que você imagina que existam tão poucas
mulheres de destaque nas ciências exatas?
2. Em Alexandria e em sua Biblioteca, floresceram
dezenas de gerações de cientistas por mais de sete
séculos. Seria o subdesenvolvimento crônico do
povo brasileiro apenas uma consequência da falta
de bibliotecas na maioria de nossas cidades?
3. O que você pensa do multimilenar conflito entre
ciência e religião? Sabemos que ciência e religião
não estão necessariamente em conflito, mas que
existem, de fato, afirmações em diversos livros
sagrados que contradizem frontalmente os mais
elementares conhecimentos científicos. O que você
pensa que deve ser feito nessas horas?
Zero
Disputas históricas raramente são definitivas. Até que novos
documentos e vestígios sejam descobertos e novas
interpretações sejam propostas, a história oficial se mantém
em uma espécie de limbo narrativo, aguardando ser
reescrita por jovens historiadores em busca de um lugar ao
sol. Com a história do zero não é diferente.
É discutível se os matemáticos do Egito e da Mesopotâmia
conheciam o conceito de zero, mas certamente não
possuíam um símbolo para representá-lo. No Egito,
construtores marcavam o nível do solo, o nível zero, com
um símbolo, mas esse símbolo não era usado em seu
sistema de numeração. Os astrônomos da Mesopotâmia
deixavam espaços no meio dos números para indicar o zero,
o que, obviamente, gerava um enorme problema de leitura.
Como saber, por exemplo, se o número 2  1 era 21, 201 ou
2001? Além disso, um simples número como 3 poderia
indica 3, 30, 300 ou mais, pois nunca sabemos quantos
espaços à direita o escriba teve a intenção de deixar.
Todo esse problema aparece quando usamos a notação
posicional para registrar números, ou seja, quando um
mesmo algarismo tem valor diferente dependendo da
posição que ocupa. O número 55 é feito por dois algarismos
iguais, mas o da esquerda vale dez vezes mais do que o da
direita. A numeração romana que usamos ainda hoje não é
estritamente posicional, e este é apenas um dos sistemas
criados na história em que a posição não desempenha papel
fundamental.
Apenas no século passado, historiadores europeus voltaram
seus olhos para as contribuições científicas de povos
distantes da bacia mediterrânea, como indianos, chineses e
maias. O interessante é que foram exatamente esses os
primeiros a reconhecer a utilidade de um símbolo para o
zero em suas notações.
Por volta de 665, os maias já tinham um símbolo para o
zero. Mas, por razões óbvias, isso não influenciou em nada a
ciência do Velho Mundo. Coube aos indianos realizar o feito
de reinventar e difundir um símbolo para o zero.
O zero já era comum na matemática indiana por volta do
ano 650, uma época de ouro para as ciências naquela
região. Três matemáticos se destacavam: Brahmagupta (c.
598 – c. 668), Bhaskara (c. 600 – c. 680), conhecido por sua
célebre forma, e Mahavira (c. 800 – c. 870), já de uma
geração posterior. Todos os três usavam o zero em
operações matemáticas. Brahmagupta afirmava, por
exemplo, que um número subtraído dele mesmo resultava
em zero, e que qualquer número multiplicado por zero é
zero. Isso nos parece demasiadamente óbvio hoje, mas foi
um grande feito para a época.
Levado ao Ocidente pelos árabes, o símbolo para o zero dos
matemáticos indianos era como o nosso, apenas menor e
elevado na linha de escrita. Foi apenas em 1202, com o
Liber Abaci (O livro do ábaco), de Leonardo de Pisa (c. 1170
– c. 1240/1250), que os algarismos indo-arábicos fizeram
sua entrada definitiva na ciência ocidental, desbancando as
terríveis dificuldades das operações com os números
romanos ou com as pedrinhas usadas nos ábacos medievais
da época.
Discussão
Livros inteiros foram escritos para tratar da invenção do
zero. Vamos pensar um pouco mais sobre ele e sobre
sistemas de numeração com as seguintes questões:
1. O zero é importante não só na aritmética, mas
também na álgebra. Você consegue imaginar outras
utilidades para ele além daquelas descritas aqui?
2. Existem diversos sistemas de numeração no mundo,
tanto históricos quanto modernos, com diversas
bases. O nosso, de base 10, possui 10 símbolos
distintos. Outro, muito usado na moderna
computação, usa a base hexadecimal, com todos os
conhecidos 10 algarismos indo-arábicos mais as
letras A, B, C, D, E e F. Pesquise por que foram
criados e responda: seria conveniente introduzir
esse sistema nas escolas básicas para melhor
adaptar os alunos ao universo da moderna
computação?
3. Tente somar os números romanos CCXXIX com
DXLVIII, sem convertê-los para decimais, e diga se
isso tornou seu dia mais feliz – ou não.
Alcuíno e suas Propositiones
Não é a primeira vez que escrevo sobre uma personalidade
que ainda me enche de admiração e respeito. Alcuíno de
York (735 – 804), o “Ministro da Educação e da Cultura”, por
assim dizer, do imperador Carlos Magno (742 – 814), foi
uma figura central na reorganização dos conhecimentos
medievais, uma mescla de conhecimentos da Antiguidade
com as contribuições cristãs, preparando terreno para as
futuras universidades europeias, em uma época quando já
existiam universidades muçulmanas no norte da África.
Alcuíno não foi uma figura de destaque na história da
matemática. Olhá-lo dessa maneira é diminuir sua
importância como o grande reformador que foi. Monge
formado em York, na Grã-Bretanha, Alcuíno foi convidado
pelo imperador dos francos, Carlos Magno, para reformar as
escolas do império, dando origem a um período chamado de
Renascimento Carolíngio . Alcuíno também teve uma
influência decisiva em várias decisões políticas de Carlos
Magno, a quem aconselhava com frequência.
Alcuíno era visto como um excelente professor. Sua grande
contribuição foi retomar a estruturação dos conhecimentos
da época segundo o modelo clássico, dividido em dois
grandes ramos, o trívio , composto de gramática, lógica e
retórica, e o quadrívio , que englobava aritmética,
geometria, astronomia e música. Conjuntamente, esses
conhecimentos eram conhecidos desde a antiguidade como
as sete artes liberais , e continham a divisão que vemos até
hoje entre ciências humanas e exatas.
Na história da matemática, Alcuíno é conhecido por ter sido
o compilador e editor das famosas Propositiones ad
Acuendos Juvenes (Proposições para aguçar o espírito da
juventude), um conjunto de 53 problemas de matemática
elementar que tratam de aritmética, álgebra, geometria,
lógica e até algumas “pegadinhas” para divertir o leitor.
Você pode ler na íntegra o texto das Propositiones no link
https://fredlopes.com.br/matematica/historia-da-
matematica/ em tradução direta  do latim medieval. Como
sempre, é melhor pôr a mão na massa do que simplesmente
vê-la fermentar. Então eis aqui cinco problemas das
Propositiones , para nossa mui grande alegria:
Proposição 1
Uma lesma foi convidada por uma sanguessuga para um
jantar a uma légua de distância. Mas ela não pôde andar
mais do que uma só polegada por dia. Diga, quem queira,
quantos dias a lesma andou para esse jantar.
Proposição 18
Um homem devia levar para o outro lado do rio um lobo,
uma cabra e um molho de couve, mas não pôde outro barco
encontrar senão um que podia levar apenas dois deles. E
lhe foi dito que chegassem ilesas do outro lado todas essas
https://fredlopes.com.br/matematica/historia-da-matematica/
coisas. Diga, quem pode, como ele pôde transferi-los ilesos
para o outro lado.
Proposição 41
Um pai de família construiu um chiqueiro quadrangular
novo, no qual pôs uma porca, que pariu 7 porquinhas no
meio do chiqueiro, que, acompanhada da mãe, que era a
oitava, pariram cada uma 7 em cada ângulo. E ela
novamente com todos os gerados pariu 7 no meio do
chiqueiro. Diga, quem deseja, quantos porcos havia junto
com a mãe.
Proposição 42
Há uma escada que tem 100 degraus. No primeirodegrau
pousava uma pomba, no segundo duas, no terceiro 3, no
quarto 4, no quinto 5. E assim em todos os degraus até o
centésimo. Diga, quem pode, quantas pombas havia no
total.
Proposição 43
Um homem tinha 300 porcos e ordenou que todos os porcos
deveriam ser mortos em números ímpares em 3 dias. O
mesmo também se fossem 30. Diga, então, quem pode,
quantos porcos em número ímpar de 300 ou de 30 devem
ser mortos em 3 dias.
Discussão
A matemática medieval não cessa de surpreender os
pesquisadores, que sempre se veem diante de novos textos
e interpretações. O que você pensa do seguinte:
1. A primeira proposição, como vemos, é totalmente
irrealista, como muitas outras. No entanto, é uma
história que diverte, principalmente quando nos
surpreendemos com a resposta. Isso sempre nos
leva a questionar se não seria melhor ensinar
através de histórias interessantes e divertidas do
que com exemplos concretos e “contextualizados”.
O que você acha disso? (A propósito: uma légua tem
90.000 polegadas, e cada polegada mede 2,54 cm.)
2. Existe uma história sobre o matemático alemão Carl
F. Gauss (1777 – 1855) que conta que ele resolveu,
com a tenra idade de 10 anos, o problema de somar
todos os números de 1 a 100 em apenas alguns
segundos. O problema em questão é equivalente à
proposição 42 acima, que Gauss o resolveu com o
mesmíssimo método de Alcuíno. Será que Gauss
conhecia as Propositiones ? Ou será que a
“descoberta” de Gauss não era assim tão genial,
sendo contada como mais uma daquelas muitas
anedotas e lendas criadas para transformar
matemáticos demasiadamente humanos em
semideuses do pensamento?
3. Que solução você encontrou para a proposição 43?
O que Alcuíno disse sobre isso?
Al-Khwarizmi e a álgebra
Apenas um matemático em toda a história foi capaz de
emprestar seu nome a dois importantes conceitos e ter o
título de seu principal livro com o nome de toda uma
ciência: Abū Jafar Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (c. 780
– c. 850). De seu nome, também escrito em português como
Alcuarismi, temos as palavras algarismo e algoritmo , e de
seu mais importante tratado matemático, o Al-Kitāb al-
mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala (c. 823), temos o
nome álgebra. Mas quem foi esse matemático e do que
tratava seu livro?
Al-Khwarizmi nasceu por volta de 780 na região de
Khwarizm, no atual Uzbequistão. Seu nome é Abu Jafar
Muḥammad ibn Musa, e Al-Khwarizmi, apenas o seu
gentílico, o nome que indica o local de seu nascimento.
Sabemos assim que Al-Khwarizmi era de ascendência persa
nascido em uma região sob o domínio árabe.
Pouco mais do que fatos esparsos sabemos de sua vida. Do
que temos certeza é que Al-Khwarizmi foi astrônomo e
diretor da Bayt al-Hikmah, a Casa da Sabedoria , uma
biblioteca e um centro de tradução fundada pelo lendário
califa Harun al-Rashid (763/766 – 809) na brilhante Bagdá,
capital do Iraque, uma cidade absolutamente central na
história das ciências e na preservação da antiga ciência
grega, cidade hoje barbarizada e saqueada pelos Estados
Unidos e seus aliados nas guerras pelo petróleo.
Em Bagdá, Al-Khwarizmi escreveu sobre astronomia,
geografia e cartografia, mas principalmente sobre
matemática. Seu livro Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr
wa-l-muqābala (Livro Compêndio sobre Cálculo por
Restauração e Balanceamento) foi responsável por
estabelecer a álgebra como uma disciplina independente a
ser estudada com seus próprios princípios e regras. Ao
reduzirmos seu título para Al-Kitāb al-jabr wa-l-muqābala
(Livro da Restauração e do Balanceamento), conseguimos
ver na palavra central ( al-jabr ) a origem da nossa palavra
álgebra .
Mas o que significam restauração e balanceamento? Em
termos modernos, simplesmente as operações usuais de
agrupar e transpor os termos nos dois lados de uma
equação. Com essas operações, hoje cansativamente
conhecidas, Al-Khwarizmi desenvolveu métodos
sistemáticos para encontrarmos as raízes de equações
lineares e quadráticas . Apresentou também, de forma
notável, o método do completamento de quadrados , que
nos possibilita resolver equações quadráticas
(modernamente chamadas de equações de segundo grau)
sem a necessidade de utilizarmos a famigerada fórmula de
Bhaskara.
Al-Khwarizmi conhecia bem os algarismos indo-arábicos,
tendo até escrito um livro sobre eles. Mas, curiosamente,
ele não os utilizou, assim como nenhum outro símbolo, em
sua Álgebra , onde até os números eram escritos por
extenso. Aparentemente, foi um retrocesso em relação à
notação de Diofanto, mas é o conteúdo do livro que nos
mostra que ocorreram avanços. O que nos faz pensar sobre
a (des)importância dos símbolos no pensamento
matemático.
Discussão
A civilização árabe contribuiu (e contribui) de forma decisiva
para as ciências. Infelizmente, temos pouco acesso às suas
contribuições, dada a dificuldade da língua. Mas podemos
pensar muitas outras coisas:
1. Os árabes criaram a Casa da Sabedoria para
preservar e traduzir obras científicas e filosóficas de
todos os cantos do mundo. Muitas das principais
obras da ciência grega existem hoje somente em
língua árabe. Mas por que criar um lugar assim?
2. Observe esse problema que aparece na Álgebra de
Al-Khwarizmi: “Você divide dez em duas partes:
multiplique uma por si mesma. Essa será igual à
outra multiplicada oitenta e uma vezes. ” Você é
capaz de dizer quais partes são essas?
3. Al-Khwarizmi não precisou de símbolos especiais
para fazer matemática. Será que a matemática
precisa mesmo de símbolos diferentes das palavras
da linguagem natural?
Omar Kayyam, a poesia e a
matemática
Aos céus enviei minha alma 
Em busca do segredo eterno… 
Na volta, me diz, já bem calma: 
‘Eu mesma sou Céu e Inferno’
Do Rubaiyat
Omar Khayyam nasceu em maio de 1048 na rica e próspera
Nixapur, no nordeste do Irã, tendo ali vivido e morrido, em
dezembro de 1131, após uma vida de grandes realizações.
Khayyam é uma das personalidades iranianas mais
conhecidas em todo o mundo. Não pelos seus feitos
científicos, mas por sua obra poética mais conhecida: o
Rubaiyat , uma coleção de quadras que versam sobre a
alegria e o sentido de viver. A que abre este texto é uma
transcriação que fiz a partir da tradução de E. Fitzgerald, a
mais utilizada em língua inglesa. Existem várias traduções
em português, partindo de versões inglesas ou francesas,
mas nenhuma direta do persa. Alguém aí se habilita?
Embora famoso por sua obra poética, Khayyam não fica
atrás em seus feitos científicos. A página mostrada no início
deste capítulo faz parte de um tratado sobre a resolução de
equações cúbicas através da interseção de cônicas .
Embora o material fosse já conhecido, Khayyam generalizou
os métodos e os aplicou com bastante sucesso, fazendo
avançar as técnicas de solução de equações polinomiais.
Khayyam conhecia uma fórmula para calcular os
coeficientes da expansão de (a+b) n . Por exemplo, os
coeficientes de (a+b) 5 = a 5 +5a 4 b+10a 3 b 2 +10a 2 b 3
+5ab 4 + b 5 são 1, 5, 10, 10, 5 e 1, e Khayyam sabia como
calcular cada um deles sem realizar a expansão de (a+b) 5 .
Para os mais astutos, esses coeficientes fazem a sexta linha
do famoso triângulo de Pascal , conhecido por árabes,
indianos e chineses séculos antes do filósofo e matemático
Blaise Pascal (1623 – 1662) ter nascido. Se você acha que
há muito nome europeu indevidamente na matemática,
saiba que não está só!
Outra área em que Khayyam se destacou foi na geometria,
principalmente pelo seu livro Sharh ma ashkala min
musadarat kitab Uqlidis (Comentários sobre as Dificuldades
nos Postulados no Livro de Euclides). Nessa obra, Khayyam
discute o famoso quinto postulado de Euclides e tropeça nas
geometrias não-euclidianas, um ramo da matemática que
floresceria somente sete séculos depois.
Discussão
Quão grandes foram as contribuições da atual Irã para a
matemática? E as contribuições da Ásia em geral?
1. Os contatos comerciais por toda a Ásia sempre
foram fortes e intensos,levando ao
desenvolvimento cultural e científico de muitas
regiões. Você acha que povos asiáticos possuíam
uma ciência mais avançada do que a ciência
ocidental à época de Khayyam?
2. Hoje chamamos astrônomos, geômetras e
algebristas da antiguidade de matemáticos, embora
eles mesmos não usassem esse termo. Você acha
que é correto ou não chamá-los assim?
3. Por que você acha que o tema dos postulados de
Euclides foi tão discutido durante a história da
matemática?
Fibonacci e seu Liber Abaci
Leonardo de Pisa (c. 1170 – c. 1240/1250) é o mais
interessante matemático do século XIII. Nascido em Pisa, na
Itália, mudou-se ainda jovem com o pai, Guglielmo dei
Bonacci, para a cidade de Bugia, na Argélia, onde passou
parte de sua vida. Matemático e escritor, é autor do
influente Liber Abaci (Livro do Ábaco), obra que temos a
oportunidade de conhecer a seguir.
Ter morado na Argélia, no norte da África, não é um detalhe
na vida de Fibonacci. Pelo contrário, é sua parte mais
importante: foi no milenar porto de Bugia, onde eram
embarcadas as mercadorias vindas do Oriente em direção à
Europa, que Leonardo, posteriormente apelidado Fibonacci
(de filho de Bonacci ), deu início a seus estudos da
matemática ágil usada pelos árabes em suas transações
comerciais.
Compelido por sua prática de comerciante, Fibonacci foi
estudar em Constantinopla, onde aprendeu principalmente
nos livros de Al-Khwarizmi e de muitos outros matemáticos
árabes. Tomou contato com os algarismos indo-arábicos e
com as técnicas de cálculo facilitadas por eles. Lembremo-
nos de que na Europa, naquela época, as operações
aritméticas que hoje realizamos com facilidade eram
laboriosamente feitas com ábacos e algarismos romanos.
Toda essa tradição de cálculo seria rapidamente esquecida
com a introdução das novas técnicas que Fibonacci levaria
em seu mais conhecido livro.
No Liber Abaci (pronunciamos líber ábaki ), Fibonacci
introduz o modo dos hindus , a maneira como os indianos
realizavam operações. No início de seu livro, escreve:
Estas são as nove figuras dos Indianos: 
9 8 7 6 5 4 3 2 1 
Com estas nove figuras, e com o sinal 0, que em árabe
é chamado de zéfiro, qualquer número pode ser escrito.
Mas os números ainda não tinham esse formato. Basta uma
olhadela na página que ostenta o famoso problema dos
coelhos , no início deste texto, para constatarmos que os
formatos de nossos algarismos ainda sofreriam algumas
mutações. E, em verdade, não foi a primeira vez que
apareceram na Europa: o matemático Gerbert d’Aurillac (c.
950 – 1003), que se tornaria o papa Silvestre II, já os
conhecia e com eles operava, cerca de duzentos anos
antes.
Levaria ainda algum tempo para que o Liber Abaci
exercesse alguma influência nas práticas de cálculo de seu
tempo. Fibonacci escreveria outros livros, como o Practica
Geometriae (Prática de Geometria), o Flos (Flor) e o Liber
Quadratorum (Livro dos Quadrados), mas apenas o Liber
Abaci seria destinado tanto a acadêmicos quanto a
comerciantes.
É nesse livro que surge o famoso problema dos coelhos ,
que dá origem à sequência de Fibonacci , objeto de
admiração e estudo por amadores e matemáticos
profissionais, dada sua aparente onipresença em muitas
áreas da matemática pura e aplicada, assim como na física,
na química, na biologia, nas engenharias e até nas artes. O
problema é o seguinte:
Quantos pares de coelhos são gerados a partir de um
par em um ano? 
Alguém põe um par de coelhos em um certo lugar
totalmente cercado por um muro para saber quantos
pares de coelhos são gerados a partir desse par inicial
em um ano. A natureza desses coelhos é tal que a cada
mês um par de coelhos produz outro par, e coelhos
começam a gerar coelhos a partir do segundo mês após
seu nascimento.
Sua solução dá origem à sequência
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377…
à qual foi acrescentada os números 0 e 1, passando a ser
escrita como
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377…
Essa sequência é formada recursivamente : a soma de dois
números sucessivos forma o terceiro. Por exemplo: 0 + 1 =
1 , 1 + 1 = 2 , 1 + 2 = 3 ,  2 + 3 = 5 , 3 + 5 = 8 e assim
sucessivamente. Observe que a sequência apresenta um
padrão do tipo par-ímpar-ímpar : 0, 1, 1, depois 2, 3, 5 e
assim por diante. Observe também que, se pegar o número
seguinte e dividir pelo número anterior, você formará uma
sequência que se aproximará do número 1,618…:
8/5 = 1,6…
13/8 = 1,625…
21/13 = 1,615…
34/21 = 1,619…
55/34 = 1,617…
89/55 = 1,618...
e assim por diante, convergindo para aquele que é visto
como um dos mais notáveis números da matemática, a
constante ϕ=1,61803398875… (pronunciamos fi ).
Essa constante surge no antigo problema de se dividir um
segmento em média e extrema razão, que significa
encontrar um ponto em um segmento que o divida em duas
partes, uma maior e uma menor, de tal maneira que a razão
(divisão) do segmento todo pelo segmento maior é a
mesma razão (divisão) do segmento maior pelo segmento
menor. Essa é a chamada razão áurea .
Embora pareça abstrata, a razão áurea é usada por alguns
artistas para dar um certo balanço em suas obras, sejam
elas literatura, música ou artes visuais. Há quem diga que
ela aparece nas proporções de tudo o que é belo e
equilibrado, tanto na natureza quanto nas obras humanas,
afirmação que beira mais a superstição do que a evidência
científica. No entanto, é verdade que ϕ aparece aqui e ali
em belíssimos teoremas da geometria e da teoria dos
números. Mas a única evidência que temos, depois de
pesquisarmos com calma o assunto, é que basta um
empurrãozinho em mentes menos críticas para provocar
uma avalanche de crendices populares.
O Liber Abaci também lida com medidas, moedas, cálculo
de lucro e de juros, números perfeitos, números primos e
compostos, números irracionais, extração de raízes e
algumas demonstrações de geometria. É um livro de
interesse tanto prático quanto teórico, o que garantiu sua
sobrevivência e utilidade pelos séculos seguintes. Como
muitos outros livros interessantes da história, não conhece
sequer cheiro de tradução para o português…
Discussão
Bem no início do Renascimento europeu, encontramos uma
figura como Fibonacci, que nos mostra claramente o quão
intensa era a dinâmica de trocas culturais ao redor da bacia
mediterrânea. Há muito o que aprender com essa época,
mas, por ora, fiquemos com essas questões:
1. Como você acha que Fibonacci resolveu o problema
dos coelhos?
2. O ábaco é um instrumento que assume muitas
formas em diferentes países. É bastante utilizado na
educação básica com muito bons resultados.
Aprenda a operar um deles, o soroban (ábaco
japonês), e teste seus conhecimentos fazendo 437
+ 585.
3. A sequência de Fibonacci é tão admirável que um
exército de amadores e profissionais passaram a vê-
la em muitos lugares. Um desses é na natureza: na
inflorescência do girassol, nas proporções dos
animais e até nos braços da galáxia. Toda a
natureza se estruturaria segundo “padrões de
Fibonacci”: a matemática está mesmo em tudo ou
somos nós que queremos vê-la assim, onipresente?
Cardano, a álgebra e a
probabilidade
Se algo existe que nos faça pensar em não utilizar fontes
primárias no ensino de matemática, esse algo é o livro Ars
Magna , do médico, matemático, astrólogo e jogador
inveterado italiano Girolamo Cardano (1501 – 1576), um
livro moroso e entediante em franco contraste com a vida
de seu autor.
Cardano nasceu em 1501 em Pavia, na Itália, e formou-se
em medicina em 1525 na Universidade de Pádua. Exerceu a
profissão de médico em cidades pequenas até se mudar
para Milão, onde obteve licença para ensinar matemática,
paixão intelectual que o perseguiu até seus últimos dias.
Embora tenha escrito cerca de 200 obras sobre medicina,
biologia, física, química, astronomia, mecânica, filosofia e
até astrologia, foi na matemática que se mostrou mais
proficiente e mais fecundo.
Sua obra mais conhecida é a Artis magnae, sive de regulis
algebraicis(Da grande arte, ou sobre as regras da álgebra),
a que nos referimos simplesmente como Ars Magna . Nela
encontramos a primeira publicação de soluções puramente
algébricas de equações cúbicas e quárticas , equações
polinomiais de graus 3 e 4, respectivamente. Cardano, no
entanto, não foi seu descobridor: ele atribui a Scipione del
Ferro (1465 – 1526) a solução da cúbica e a seu aluno
Ludovico Ferrari (1522 – 1565) a da quártica.
É preciso parar e observar que esse foi um momento muito
importante na história da matemática. A solução de
equações polinomiais de qualquer grau é uma busca
milenar que começou na antiguidade, tendo ocupado
gerações e gerações de matemáticos amadores e
profissionais. Com Cardano, as equações de graus 1, 2, 3 e
4 foram definitivamente solucionadas. Foi o passo seguinte,
a busca da solução da equação de quinto grau, a quíntica ,
que ocasionou a criação da moderna álgebra abstrata . Niels
Abel (1802 – 1829) e Evariste Galois (1811 – 1832) foram os
responsáveis por demonstrar, independentemente, que a
quíntica só possui soluções para casos particulares, ficando
o caso geral ax 5 + bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + f = 0 sem uma
fórmula que o resolva.
Outro fato interessante da história da matemática do
período é saber que os números negativos, hoje tão
comuns, ainda não eram bem-aceitos àquela época.
Historicamente ligado às ideias de quantidade e de
magnitude, o conceito de número não admitia algo “menor
do que o nada”, engano comum entre os estudantes de
matemática ainda hoje. Essa proibição cognitiva obrigou
Cardano, assim como todos os matemáticos da época, a
tratar equações do tipo x 3 + ax = b de maneira diferente
de equações do tipo x 3 = ax + b, o que hoje resolvemos
com o mesmo método. No entanto, ele, de fato, operou
formalmente com números negativos e, de maneira
desconcertante, também com números complexos, aqueles
que envolviam raízes de números negativos.
Na Ars Magna , Cardano apresenta o seguinte problema:
encontre dois números tais que sua soma seja 10 e seu
produto seja 40. As respostas são e , que
Cardano chamou de “sofísticas”, pois não viu nelas nenhum
significado físico. Mesmo assim, Cardano foi adiante,
realizou as contas, corajosamente, e viu que as soluções
satisfaziam as condições do problema. Apesar do sucesso,
declarou que essas respostas seriam tão sutis quanto
inúteis. Esta foi a primeira aparição de números complexos
em uma obra impressa.
Cardano era um jogador contumaz e um enxadrista
talentoso, o que lhe rendeu um bom dinheiro durante sua
vida, o suficiente para saldar as múltiplas dívidas que
sistematicamente contraía. Como não poderia deixar de ser,
escreveu também sobre jogos no Liber de ludo aleae (Livro
dos jogos de azar), que contém o primeiro tratamento
sistemático da probabilidade , outro grande debate da
época. Mas o que torna esse livro impertinentemente
delicioso são as muitas técnicas para trapacear em diversos
jogos, um brinde de Cardano à vida de apostador que ele
adorava viver.
Discussão
O que um simples jogo de cartas pode contribuir para a
matemática e a análise de riscos? Nada menos do que a
criação da teoria das probabilidades, um capítulo à parte na
história da matemática. Sem querer adentrar esse terreno,
fique com estas questões bem mais simples:
1. Além de cientista, Cardano era também astrólogo,
tendo feito inúmeros mapas astrais para os
poderosos da época. Sabemos hoje que a astrologia
é uma pseudociência sem a mínima chance de
voltar a ter o respeito que teve antigamente. Mas
ainda é extremamente popular. O que você pensa
disso?
2. Você consegue imaginar um argumento que
justifique tanta energia empregada, durante tanto
tempo, para resolver equações polinomiais?
3. Se um número não é a medida de uma quantidade,
então o que ele é?
Bombelli e os números complexos
Há cerca de 500 anos, quando matemáticos ainda se
debatiam com números negativos, uma nova classe de
números ainda mais estranha surgia: os números complexos
. Apesar de realizarem seu début na obra de Cardano, coube
a Rafael Bombelli (1526 – 1572) iniciar o primeiro estudo
sistemático desses objetos que viriam revolucionar o
conceito de número.
Bombelli foi um engenheiro talentoso que viveu em um
ambiente intelectual onde as mais avançadas técnicas
algébricas estavam facilmente disponíveis. Fazendo bom
uso de sua mentalidade prática, escreveu um livro que pode
ser lido ainda hoje por leigos e profissionais. Editado no
mesmo ano da morte de seu autor, em 1572, essa obra
possui o título originalíssimo de… Algebra .
Possuidor da rara virtude de ser claro e acessível, esse livro
fez com que Bombelli se tornasse o primeiro europeu a
escrever as regras de operação com números inteiros :
Mais vezes mais faz mais.
Menos vezes menos faz mais.
Mais vezes menos faz menos.
Menos vezes mais faz menos.
Mais 8 vezes mais 8 faz mais 64.
Menos 5 vezes menos 6 faz mais 30.
Menos 4 vezes mais 5 faz menos 20.
Além disso, 5 vezes menos 4 produz menos 20.
Da Algebra, de Bombelli
Mais do que pelo seu trabalho com inteiros, Bombelli se
destaca na história da matemática por ter sido o primeiro a
operar com números complexos , aqueles que envolvem
raízes de números negativos.
Bombelli teve a presciência de perceber como os complexos
eram essenciais na resolução de cúbicas e quárticas e
possivelmente em outros problemas. Ele introduziu a
simbologia , que, mais tarde, viria a ser simplificada
para i por L. Euler (1707 – 1783), para dar um perfil
manuseável a esses números.
Bombelli sabia que os complexos eram potencialmente
problemáticos. Entendia que não eram positivos nem
negativos, e também que considerá-los como simples raízes
era uma fonte de confusão – o que, de fato, aconteceu com
os matemáticos dos séculos seguintes. Ao chamar de
“mais de menos” e de “menos de mais”, Bombelli
forneceu as regras formais de operação que usamos ainda
hoje, revelando a índole mecânica da álgebra, que não
necessita de significados concretos para funcionar
perfeitamente. Além disso, os complexos nos mostraram
que pensar números como representações de quantidades
ou magnitudes é tão falso quanto imaginar que lógica e leis
do pensamento são sinônimas.
Os números complexos são absolutamente essenciais na
matemática pura e aplicada. Aparecem na solução de
diversos tipos de equações diferenciais , presentes na
maioria dos modelos que os cientistas criam sobre o mundo.
Sem elas, você não estaria lendo este texto na tela de seu
computador ou celular. Ao observar a imensa gama de suas
aplicações, percebemos que são os bizarros complexos,
para os quais temos imensas dificuldades em atribuir um
sentido concreto, os mais práticos dos números que
conhecemos.
Discussão
Matemática e arte? Um bom começo é aprender a operar
com números complexos!
1. O que é um número?
2. Bombelli conseguiu escrever um livro que era, ao
mesmo tempo, profundo e simples de se ler. Você
consegue citar algum outro livro de matemática
com essas qualidades?
3. Fractais, como aquele no início deste texto, são
criados com a manipulação computacional de
números complexos, e servem como uma das portas
de entrada para a reflexão sobre arte e matemática.
Por que será que tanta gente vê relações entre
esses dois domínios aparentemente tão distantes?
Logaritmos
Uma experiência comum entre professores de matemática é
ouvir de alunos a provocativa pergunta “para que serve?”.
Uma experiência ainda mais comum entre os alunos que
não fazem tais perguntas é suspeitar que quase toda a
matemática que aprenderam não serve para absolutamente
nada. Ambas as experiências são falsamente reforçadas
quando o tema em questão são os logaritmos .
Foi o matemático escocês John Napier (1550 – 1617) que
introduziu os logaritmos como expediente de cálculo para
simplificar as tediosas operações com números de muitos
dígitos, necessárias aos astrônomos e navegadores da
época. Com os logaritmos, operaçõesde multiplicação,
divisão e exponenciação se transformam em simples
adições, subtrações e multiplicações. Mas como?
Suponha que você necessite realizar a multiplicação 32 x
128 e tem, ao seu lado, uma tabela de potências de 2.
Olhando a tabela, você percebe que 32 = 2 5 e 128 = 2 7 .
Daí percebe que para multiplicar esses números basta
somar os expoentes 5 e 7 e achar 12. Com esse valor, você
olha de novo na tabela e vê que 2 12 = 4096, encontrando a
resposta da multiplicação. Você evitou uma multiplicação
com uma adição e três olhadelas em uma tabela.
Pareceu mais complicado do que realizar a multiplicação?
Mas não é. Imagine multiplicar números como 3,476098 e
1,775369 dezenas de vezes durante o dia. Mais fácil seria
transformar essas multiplicações todas em adições, olhando
em uma tabela os expoentes de 3,476098 e 1,775369,
somar esses expoentes e novamente olhar na tabela o
número que corresponde ao expoente encontrado. Quando
usados dessa forma, esses expoentes são chamados de
logaritmos .
Napier viria a aperfeiçoar sua invenção com o auxílio do
matemático inglês Henry Briggs (1561 – 1630) e, a partir de
então, os logaritmos se tornariam o mais importante avanço
nas técnicas de cálculo até a invenção do computador
digital, cerca de 400 anos depois.
Napier dedicou muito do seu tempo para desenvolver
instrumentos de cálculo. Além dos logaritmos, desenvolveu
uma espécie de ábaco chamado carinhosamente de ossos
de Napier . A figura no início deste post mostra como era
um instrumento desse: tabelas de multiplicação eram
incorporadas em hastes que, quando giradas,
transformavam multiplicações em adições e divisões em
subtrações, seguindo a mesma lógica dos logaritmos. Em
versões mais avançadas, extraíam até raízes quadradas. Os
ossos de Napier foram inspirados em ideias de matemáticos
árabes e também nas de Fibonacci, mostrando, mais uma
vez, a influência de ambos na cultura europeia.
Pouco antes das calculadoras eletrônicas, era comum
encontrar engenheiros utilizando réguas de cálculo em seus
projetos. Esses instrumentos fascinantes incorporavam os
logaritmos em sua construção e possibilitavam rapidez e
precisão de resultados, dispensando tabelas e cálculos
manuais. Ainda hoje são interessantes como instrumentos
didáticos, e é comum encontrá-las em laboratórios de
matemática nas universidades.
Alguns professores se desviam da pergunta impertinente
“para que serve” dizendo coisas como “no futuro você verá”
ou “para desenvolver o raciocínio”. Além de frustrarem as
ambições científicas dos alunos, respostas como essas
concorrem para demonstrar a ignorância do professor e as
deficiências de sua formação. Melhor seria dizerem – e
procurarem mostrar – como os logaritmos são usados na
escala Richter , que mede a intensidade dos terremotos; no
cálculo do potencial hidrogeniônico , o famoso pH, que
calcula acidez ou a basicidade das substâncias; no cálculo
da complexidade computacional , que classifica algoritmos
segundo sua dificuldade inerente; na música , com o cálculo
dos intervalos musicais; no cálculo da entropia de um
sistema, medindo seu nível de desordem; e no cálculo da
dimensão dos fractais. Mas será que os professores não
acharão que isso “complica demais as coisas”?
Discussão
Logaritmos surgem em todos os lugares na matemática.
Mas por quê?
1. Os logaritmos surgiram devido a necessidades
práticas dos cientistas. Você acha que toda
matemática é criada a partir de alguma urgência
pragmática?
2. Se os esforços dos matemáticos se concentraram,
durante muito tempo, em construir máquinas que
fizessem as contas mais tediosas para eles, por que
você deveria aprender a realizá-las com lápis e
papel?
3. Você consegue dizer alguma outra aplicação dos
logaritmos além daquelas discutidas no texto?
Descartes e a geometria analítica
O GPS ( Global Position System – Sistema de
Posicionamento Global), massivamente utilizado em
aplicativos de transporte, foi uma invenção que teve início
em 1957, quando a antiga União Soviética lançou o primeiro
satélite da história – o Sputnik . A ideia de localizar objetos
em terra a partir do espaço foi uma das motivações do
projeto, mas foram os Estados Unidos que primeiro
desenvolveram o sistema de localização, disponível a partir
de 2000 para toda a população. O GPS faz uso, e de
maneira até bem simples, de um sistema de coordenadas
espaciais , provido pelo que hoje chamamos de geometria
analítica .
A geometria analítica tem uma história antiga e, como todas
as criações matemáticas, ela não surge completa e
definitiva. Seu longo amadurecimento ocorreu nas mãos de
matemáticos que precisavam localizar pontos e curvas no
plano e no espaço a partir de uma referência. Esse
referenciamento pode ser feito de várias maneiras, cada
uma dando origem a um sistema de coordenadas . Os
sistemas mais empregados hoje são o de coordenadas
polares , largamente utilizado por Isaac Newton (1643 –
1727), e o de coordenadas cartesianas , assim nomeado em
homenagem ao matemático francês René Descartes (1596 –
1650).
Talvez a mente mais lúcida de seu tempo, Descartes
exerceu uma incomum influência na história das ideias.
Principalmente preocupado em encontrar um fundamento
sólido para todo o conhecimento, Descartes fazia parte da
longa tradição de filósofos que buscavam as ideias mais
básicas, certas e universais das quais tudo o mais se
derivaria. Se você entendeu o que Euclides fez com sua
estruturação lógico-dedutiva do conhecimento matemático,
vai compreender o que Descartes procurou fazer, não só
com a matemática, mas com todo o conhecimento humano.
Filósofo de coração, Descartes foi um matemático de grande
talento. Ao editar La Géométrie (A Geometria) como um
apêndice do seu mais importante livro, o Discurso do
Método (1637), Descartes almejou libertar a geometria do
uso de diagramas através de procedimentos algébricos e
prover sentido geométrico às operações algébricas,
fundindo ambas em um único corpo de conhecimentos.
Curiosamente, Descartes não usou o sistema de
coordenadas cartesianas (!) ou nenhum outro sistema em
sua Géométrie . No entanto, fixou o uso das letras x, y e z
para variáveis e a, b e c para constantes; introduziu a
moderna notação exponencial, como x 3 , x 4 , etc. (mas
ainda escrevia xx para o que hoje escrevemos x 2 );
descreveu curvas em termos de suas equações e
interpretou equações em termos de curvas, além de ter
quebrado com o antigo princípio da homogeneidade, que
escravizou a imaginação matemática a considerar x como
um segmento e xx como uma área.
A “tradução” bidirecional entre geometria e álgebra operada
por Descartes inspirou os matemáticos posteriores a
procurar traduções entre outros campos e a criar métodos e
soluções seguras para problemas que seguiam intratáveis
até então. A álgebra, que opera de maneira mecânica com
um conjunto pequeno e sólido de princípios e regras,
garante a toda a matemática que nela se fundamenta
segurança e solidez. E assim teve início, com a obra de
Descartes, a mecanização moderna da matemática – em
nosso benefício?
Discussão
Antes de matemático, Descartes era filósofo. Seria a
matemática algum tipo de “filosofia exata”?
1. Você acredita que é possível encontrar os princípios
primeiros do conhecimento humano, como
Descartes pretendia? Quais princípios seriam esses?
2. O que você pensa do uso da álgebra em problemas
de geometria? Acredita que seja uma coisa natural
ou é algo que nos é imposto em função de alguma
necessidade?
3. Será que toda a matemática pode ser mecanizável
de maneira a ser melhor operada por
computadores? É bom que assim o seja?
Newton e os infinitésimos
Isaac Newton (1642 – 1727), um cientista tímido e
reservado, foi para o século XVIII o que Albert Einstein (1879
– 1955) foi para o século XX: um gênio que mudou o
paradigma da ciência de seu tempo. Talvez ainda mais do
que Einstein, Newton foi não só um criador de uma nova
maneira de pensara ciência natural, mas também um
matemático original e profundo que forjou os instrumentos
intelectuais do mundo moderno.
Há tanto o que falar de Newton, o último dos magos e o
primeiro dos modernos, que toda escolha é uma severa
ofensa a sua obra multifacetada. Todavia, limitaremos este
texto a um aspecto de seu trabalho sobre uma das mais
importantes ferramentas matemáticas da humanidade: o
cálculo.
Foi no livro The Method of Fluxions (O método das fluxões),
escrito em 1671 mas publicado postumamente em 1736,
que Newton apresentou seu método das fluxões , o nome
do que hoje conhecemos como derivadas. Derivadas estão
no coração do chamado cálculo diferencial e integral e na
raiz da revolução científica operada por Newton e seus
contemporâneos. Mas por que são assim tão importantes?
Derivadas aparecem em todos os lugares. Quando medimos
a velocidade em quilômetros por hora (km/h), a corrente
elétrica em coulombs por segundo (C/s), a vazão em litros
por segundo (l/s), estamos falando de derivadas. De
maneira simplificada, Newton descobriu como, dada a
equação da trajetória de um planeta, encontrar a equação
de sua velocidade, e vice-versa. Newton derivou uma
equação de outra, e essa foi a origem do nome derivada –
nome que ele não utilizou.
Geometricamente, o problema envolve encontrar retas
tangentes a curvas. O processo é simples uma vez
entendido, mas criá-lo não foi nada fácil. Matemáticos,
desde a antiguidade, desenvolveram métodos próprios para
resolver problemas particulares, mas nenhum método geral
que se aplicasse a todas as equações então conhecidas.
Newton desenvolveu seu próprio método fazendo uso de um
conceito controverso na história da matemática: os
infinitésimos .
Tome um número positivo bem pequeno, mas que não seja
zero. Suponha que esse número seja 0,01. É possível pensar
um número menor? Sim, e até um dez vezes menor: 0,001.
É possível pensar em um menor ainda? Sim: 0,0001,
novamente dez vezes menor do que o anterior, e assim
sucessivamente. Um infinitésimo é menor que todos esses
números imagináveis e, ainda assim, não é zero. Como isso
é possível?
No conjunto dos números reais, isso não é possível. Mesmo
assim, Newton fez uso dos infinitésimos bem ciente de suas
contradições. Empregou-os com coragem para resolver uma
série de problemas persistentes, em linha com outros
matemáticos de séculos anteriores que operaram com essas
aparentes aberrações lógicas sem muitos pudores. Mas, por
temer críticas e controvérsias, Newton postergou
indefinidamente a publicação de seus resultados.
Vamos a um exemplo bem simples. Considere a equação
mais simples de uma parábola, f(x)=x 2 , e considere que
precisamos encontrar uma reta tangente em um ponto A(x,
y) qualquer, como mostra a figura a seguir:
Em um determinado momento do processo de encontrar a
derivada, Newton introduziria o infinitésimo “ o ” e faria o
quociente
Depois, sem mais delongas, desprezaria o número “ o ” e
encontraria a equação derivada 2x . O problema? Introduzir
no processo algo diferente de zero e depois desprezá-lo
como se fosse zero.
Newton sabia bem disso, como sabiam todos os
matemáticos que utilizaram infinitésimos. Tudo funcionava
maravilhosamente, mas ninguém conseguiu ignorar um
elefante que surgiu na sala: o método parecia corroer as
bases lógicas do edifício da matemática. Nunca na história
das ciências um elefante tão diminuto causou tantos
problemas.
Apesar dos contratempos, o método das fluxões continha os
germes da ideia moderna de limites , usada para formalizar
o conceito de derivadas e expulsar as contradições que os
infinitésimos criavam. Mas, para isso, um complicado
formalismo teve que ser introduzido no cálculo, gerando
uma sopa de letrinhas intragável que os pobres coitados
dos estudantes de exatas devem digerir nos modernos – e
antipedagógicos – cursos universitários de cálculo.
Discussão
Há muito o que falar de Newton, mas fique, por ora, com
essas questões:
1. Newton escreveu uma quantidade impressionante
de artigos sobre alquimia e teologia, muito mais do
que sobre física e matemática. No entanto, apenas
estes últimos tiveram influência duradoura,
enquanto os livros de teologia e alquimia foram
esquecidos pela história. Por que você acha que isso
aconteceu?
2. Os infinitésimos foram usados com sucesso durante
séculos, antes e depois de Newton. Foram
descartados pelos matemáticos do século XIX,
preocupados com o rigor, e redescobertos na
segunda metade do século XX. As contradições que
geravam foram domadas e seu emprego foi
reabilitado. Ainda assim, pouquíssimos os utilizam
atualmente. Você acredita que ideias científicas têm
seu tempo, e que, uma vez superadas, não é mais
possível reutilizá-las?
3. Quais são os motivos para que as disciplinas de
cálculo diferencial e integral sejam as maiores
reprovadoras nas universidades?
O gênio de Leibniz
Contemporâneo de Newton, com quem se correspondeu,
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) foi uma dessas
personalidades incontornáveis da história das ciências e da
filosofia. Polímata de grande amplitude e profundidade,
Leibniz foi outra figura central no desenvolvimento da
matemática dos séculos XVII e XVIII. Mas não só dela: a
lógica, a física, a biologia, a medicina, a psicologia, a
linguística e a moderna computação lhe devem grandes
tributos.
Como Newton, mas de maneira independente, Leibniz
também desenvolveu sua versão do cálculo, tendo criado a
notação mais utilizada atualmente. Seu cálculo era
igualmente baseado em infinitésimos , geradores de
desconcertantes contradições, mas Leibniz encarou o
problema e buscou uma fundamentação clara e objetiva,
dando os primeiros passos concretos para sua inclusão
legítima no panteão matemático. No entanto, foi apenas na
segunda metade do século XX, com a criação da análise
não-standard por Abraham Robinson (1918 – 1974), que os
infinitésimos foram finalmente reabilitados e puderam ser
utilizados com tranquilidade pelos matemáticos — ainda
que bem poucos o façam.
Leibniz era um lógico atento e profundo. Nesse terreno, fez
uma contribuição fundamental: o princípio da identidade
dos indiscerníveis , que afirma que duas coisas que têm o
mesmo conjunto de propriedades são, na verdade, a mesma
coisa. Junto com o princípio da não-contradição e o princípio
da razão suficiente , esse é considerado um dos três
grandes princípios da metafísica. Metodologicamente, ao
transformar uma entidade na lista de propriedades que a
definem, Leibniz nos deu uma lupa para a crítica social, uma
vez que todas nossas ideias de universalidade passam por
escolhas de propriedades comuns a classes de indivíduos, e
essas escolhas não são naturais, mas ideologicamente
motivadas.
Leibniz era também um gênio mecânico. Projetou e
construiu a primeira calculadora capaz de realizar todas as
quatro operações aritméticas, a Staffelwalze (contadora de
passos):
Leibniz acreditava, como muitos cientistas ainda hoje, que
cálculos laboriosos ocupam um tempo precioso de um
pesquisador e que qualquer pessoa pode fazer a mesma
coisa com o auxílio de uma máquina. A Staffelwalze ,
porém, tinha um projeto tão delicado e sutil de
engrenagens, tão além das habilidades dos artesãos da
época, que apenas duas cópias foram feitas. A Leibniz, que
pretendia comercializá-la, coube apenas se conformar.
Fascinado com dispositivos mecânicos e com a automação
de ações repetitivas, Leibniz pretendeu levar essas ideias
para outros domínios de atividade humana. Imaginava, por
exemplo, que contendas e disputas judiciais poderiam ser
resolvidas se as partes conseguissem codificar suas
demandas em uma espécie de linguagem a ser manipulada
algebricamente, como em uma máquina, produzindo a
solução do impasse.
A ideia de criar uma linguagem universal que codificasse os
entes do mundo e suas relações ocupou Leibniz durante sua
juventude e muito de sua vida adulta. Seus esforços nessa
direção passaram tanto pelafilosofia quanto pela
matemática, e inspiraram a criação de línguas artificiais,
como o esperanto, além de ter dado partida na moderna
teoria da computação, que tem seu texto fundador no artigo
Explication de l’arithmétique binaire, qui se sert des seuls
caractères 0 et 1, avec des remarques sur son utilité, et sur
ce qu’elle donne le sens des anciennes figures Chinoises de
Fohi (Explicação da aritmética binária, que se serve apenas
dos caracteres 0 e 1, com observações sobre sua utilidade e
sobre o sentido que dá às antigas figuras chinesas de Fuxi).
Esse texto  pode ser lido na página
https://fredlopes.com.br/matematica/historia-da-
matematica/
Nesse artigo, Leibniz mostra como codificar todos os
números através de um sistema de numeração de base 2
que necessita apenas de dois símbolos, 0 e 1. Além disso, e
porque recebeu de um amigo uma cópia do I Ching , Leibniz
percebeu as ligações entre os trigramas do livro e o seu
sistema, vislumbrando, assim, mais um passo na construção
da sua língua universal, chamado por ele de characteristica
universalis.
Vamos a um exemplo. Tome a sequência geométrica 1, 2, 4,
8, 16, 32… em que cada número é o dobro do número
anterior. Leibniz percebeu que qualquer número inteiro pode
ser escrito como a soma de alguns números dessa série. Por
exemplo, 51 pode ser escrito como 32 + 16 + 2 + 1,
começando do maior número para o menor. Observe que
http://www.rbhm.org.br/issues/RBHM%20-%20vol.11,no22/5%20-%20Fred.pdf
https://fredlopes.com.br/matematica/historia-da-matematica/
você não usou os números 8 e 4. Assim, se você fixar a
série como 32, 16, 8, 4, 2, 1 e “marcar” com 1 aqueles
números que foram utilizados e com 0 aqueles que não o
foram, temos a sequência 1, 1, 0, 0, 1, 1, indicando que usei
32, usei 16, não usei 8, não usei 4, usei 2 e usei 1.
Escrevendo sem as vírgulas, temos o número 110011, que
lemos um, um, zero, zero, um, um .
O artigo vai além e indica como somar, subtrair, multiplicar
e dividir esses números binários. O que Leibniz não
imaginou é que esse sistema de numeração viria a ser
utilizado 250 anos depois no desenvolvimento dos
modernos computadores – do celular que você usa para ler
este texto.
Discussão
Leibniz foi outro filósofo que se dedicou muito à
matemática. Por que será que boa parte dos filósofos
ocidentais foram também matemáticos ou, pelo menos,
ensinaram matemática em algum momento de suas vidas?
Pense também no seguinte:
1. Você acha que as operações aritméticas devem ser
ensinadas nas escolas apenas para que possamos operar
computadores com segurança? Se uma máquina calcula
melhor do que nós, por que precisamos aprender, por
exemplo, a dividir dois números longos?
2. O princípio dos indiscerníveis de Leibniz é um princípio
lógico definitivo e universal? Você concorda com ele?
3. Você acredita na possibilidade de criação de uma língua
universal a ser utilizada na comunicação humana?
4. A numeração binária de Leibniz foi utilizada pelo
matemático inglês George Boole (1815 – 1864) na
algebrização da lógica, algebrização que foi utilizada pelos
pioneiros da computação digital. Você acha que esse é um
exemplo de como o conhecimento desinteressado e a
pesquisa básica sem pretensões utilitárias devem ser
mantidos e custeados com dinheiro público?
Bibliografia
AABOE, A. Episódios da História Antiga da Matemática . Rio
de Janeiro: SBM, 1984.
BOYER, C. B. História da Matemática . São Paulo, Edgard
Blucher, 1974.
DAVIS, Philip J.; HERSH, Reuben. A experiência matemática .
Lisboa: Gradiva, 1995.
EVES, H. Introdução à História da Matemática . Campinas,
Ed. da Unicamp, 1995.
IFRAH, Georges. Números: a história de uma grande
invenção . Rio de Janeiro: Globo, 1998.
KATZ, Victor. A History of Mathematics . New York:
HarperCollins, 1993.
PICKOVER, Clifford. The Math Book . New York: Sterling,
2009.
STRUIK, Dirk J. História concisa das Matemáticas . Gradiva,
Lisboa, 1992.
Na internet, a Wikipedia (preferencialmente em inglês) é, de
longe, o melhor site para mais informações sobre os tópicos
tratados aqui, assim como o Wolfram Alpha .
http://en.wikipedia.org/
https://www.wolframalpha.com/
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