ADM_FIN_COMP_2022

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Fábio de Freitas Mariz
Administração financeira: 
fundamentos e conceitos
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A Série Universitária foi desenvolvida pelo Senac São Paulo 
com o intuito de preparar profissionais para o mercado de 
trabalho. Os títulos abrangem diversas áreas, abordando desde 
conhecimentos teóricos e práticos adequados às exigências 
profissionais até a formação ética e sólida.
Administração financeira: fundamentos e conceitos apresenta 
os conceitos fundamentais da área financeira para a tomada 
de decisão em relação aos resultados financeiros, promovendo 
uma aprendizagem dinâmica sobre cada assunto abordado por 
meio de exemplos e casos práticos. Entre os temas, destacamos 
a importância e o papel da administração financeira no cotidiano 
das empresas e no mercado financeiro, abordando os conceitos 
financeiros de inflação, juros e custo de oportunidade por meio 
de exemplos de operações de juros compostos, antecipações 
de fluxos de caixa, operações de desconto e taxas e prazos em 
operações financeiras, apresentando a dinâmica do mercado 
financeiro. A obra trata ainda de conceitos de planejamento 
e orçamento de caixa com práticas que caracterizam e 
influenciam a interpretação dos demonstrativos financeiros, 
utilizando técnicas para a decisão de projetos e investimentos 
como valor presente líquido, taxa interna de retorno e payback. O 
objetivo é abordar os fundamentos da administração financeira 
por meio dos conteúdos da matemática financeira, utilizando as 
principais funções da calculadora financeira e possibilitando as 
melhores decisões nos negócios empresariais. 
SÉRIE 
UNIVERSITÁRIA
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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Simone M. P. Vieira – CRB 8a/4771)
Mariz, Fábio de Freitas
	 Administração	financeira	:	fundamentos	e	conceitos	/	Fábio	de	
Freitas	Mariz.	–	São	Paulo:	Editora	Senac	São	Paulo,	2022.		(Série	
Universitária) 
	 Bibliografia.
	 e-ISBN	978-85-396-3564-1	(ePub/2022)
	 e-ISBN	978-85-396-3565-8	(PDF/2022)
	 1.	Administração	financeira 2.	Conceitos	financeiros 3.	Orçamento	
de	caixa 4.	Investimentos I.	Título. II.	Série.	
22-1627t	 CDD	–	658.15 
	 658.152 
	 BISAC	BUS001010 
	 BUS000000
Índice para catálogo sistemático:
1. Gestão financeira : Administração Financeira 658.15 
2. Administração financeira : Investimentos 658.152
ADMINISTRAÇÃO 
FINANCEIRA: 
FUNDAMENTOS E 
CONCEITOS
Fábio de Freitas Mariz
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Administração Regional do Senac no Estado de São Paulo
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Luiz	Francisco	de	A.	Salgado
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Luiz	Carlos	Dourado
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Sumário
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Capítulo 1
O papel e o ambiente da 
administração financeira, 7
1	Origens	e	aplicações	de	caixa,	11
2	Estrutura	de	capital	(próprio	e	
terceiros),	13
3	WACC,	16
Considerações	finais,	17
Referências,	17
Capítulo 2
Principais conceitos 
financeiros, 19
1	Inflação,	21
2	Juros,	24
3	Custo	de	oportunidade,	25
Considerações	finais,	27
Referências,	28
Capítulo 3
Juros simples e compostos, 31
1	Regimes	de	capitalização,	32
2	Juros	simples	–	conceitos,	38
3	Juros	compostos	–	conceitos,	47
Considerações	finais,	53
Referências,	53
Capítulo 4
Taxas equivalentes, nominais e 
efetivas, 55
1	Taxa	real,	56
2	Taxa	proporcional,	59
3	Taxa	efetiva,	61
4	Taxas	equivalentes,	64
Considerações	finais,	69
Referências,	70
Capítulo 5
Tipos de desconto, 71
1	Tipos	de	desconto,	72
Considerações	finais,	81
Referências,	81
Capítulo 6
Séries de pagamentos, 83
1	Séries	uniformes	de	pagamentos,	84
2 Sistemas de amortização, 91
Considerações	finais,	100
Referências,	101
Capítulo 7
Planejamento e orçamento de 
caixa, 103
1	Fluxo	de	caixa,	104
2	Modelos	de	administração	de	 
caixa,	105
3	Capital	circulante	líquido,	107
4	Necessidade	de	capital	de	giro,	108
5	Administração	do	estoque,	109
Considerações	finais,	119
Referências,	120
Capítulo 8
Critérios de decisão de 
investimentos, 121
1	Custo	de	oportunidade,	122
2	Valor	presente	líquido	(VPL),	125
3	TIR	–	taxa	interna	de	retorno,	131
4	Payback	e	payback	descontado,	134
Considerações	finais,	139
Referências,	139
Sobre o autor, 143
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Capítulo 1
O papel e o ambiente 
da administração 
financeira
Neste	capítulo,	apresentaremos	o	papel	e	o	ambiente	da	administra-
ção	financeira	nas	mais	diversas	organizações	para	termos	uma	visão	
geral	da	área	de	Finanças	como	geração	e	administração	de	valor,	as-
sim	como	as	relações	entre	as	áreas	de	Finanças	e	Contabilidade,	as	
origens	e	aplicações	de	recursos,	a	estrutura	de	capital	e	o	WACC	(custo	
médio	ponderado	de	capital).
Mas	antes	temos	algumas	questões	que	nos	ajudarão	a	entender	o	
papel	da	administração	financeira	nas	organizações:	
1. Como	se	chama	o	dinheiro	que	entra	e	sai	da	empresa:	fluxo	de	
caixa	ou	movimento	de	caixa?	
2.	 Qual	a	relação	desses	dados	com	o	passado,	presente	e	o	futu-
ro	das	empresas?
3. O	fluxo	de	caixa	das	empresas	teria	alguma	relação	com	a	pre-
visão	do	desempenho	futuro?	
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4. Quais	são	as	informações	financeiras	para	cada	um	desses	pe-
ríodos	(passado,	presente	e	futuro)	que	a	empresa	precisa	para	
a	tomada	de	decisão?
Conforme	destaca	Lemes	Júnior	(2010,	p.	3),	o	objetivo	da	administra-
ção	financeira	é	“maximizar	a	riqueza	dos	acionistas	da	empresa.	O	admi-
nistrador	financeiro	é	o	principal	responsável	pela	criação	de	valor	e	pela	
mitigação	de	riscos	e,	para	isso,	se	envolve	nos	negócios	como	um	todo”.
Portanto,	 a	administração	financeira	 é	um	conjunto	de	métodos	e	
técnicas	 utilizados	 para	 gerenciar	 os	 recursos	 financeiros,	 focando	 a	
maximização	 do	 retorno	 do	 capital	 investido.	 Essas	 funções	 são	 de-
sempenhadas	por	um	administrador	financeiro	(HOJI,	2010).
São	de	responsabilidade	da	administração	financeira	questões	relacio-
nadas	a	investimentos,	empréstimos	e	análises	financeiras	empresariais.	
Porém,	a	partir	disso	e	para	começar	com	a	primeira	capacitação	do	
administrador	financeiro,	ela	deve	ser	a	habilidade	de	avaliar	e	interpretar	
estas	e	outras	informações	juntamente	com	as	do	mercado	globalizado	
para	tomar	boas	decisões	financeiras,	encontrando	bons	negócios.	A	ava-
liação	é	sempre	feita	sob	o	ponto	de	vista	financeiro,	que	compara	o	custo	
do	respectivo	investimento	a	ser	feito	com	o	benefício	que	se	espera	rece-
ber	para	em	seguida	tomar	a	decisão	quanto	à	realização	ou	não	do	inves-
timento.	São	exemplos	deste	tipo	de	avaliação	quando	se	analisa	o	custo-
-benefício	de	comprar	em	comparação	a	alugar	um	determinado	bem	e	o	
custo-benefício	de	usar	o	próprio	dinheiro	(capital	social)	em	comparação	
a	captação	de	recursos	de	outras	partes	(capital	de	terceiros).
Para	que	tenha	condições	de	realizar	essas	avaliações,	o	gestor	fi-
nanceiro	precisa	de	outras	habilidades,	tais	como:
 • Saber	analisar	as	finanças	de	forma	criteriosa.
 • Otimizar	e	alocar	os	recursos	nas	questões	de	planejamento	de	
investimentos	e	financiamentos.
 • Controlar	e	avaliar	a	saúde	financeira	da	empresa.
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Além	disso,	não	podemos	esquecer	das	questões	operacionais	ci-
tadas	anteriormente,	de	 registrar	as	 transações,	emitir	os	 relatórios	e	
fazer	a	gestão	de	caixa.	Todas	essas	habilidades	permitem	ao	gestor	
responder	às	duas	principais	questões	presentes	em	seu	trabalho	para	
atingir	o	objetivo	da	administração	financeira	na	maximização	de	rique-
za	e	valor	da	empresa:
 • Decisão de investimento	–	Qual	investimento	trará	rentabilidade	e	
ganho	financeiro	para	a	empresa?
 • Decisão de financiamento	–	Caso	a	empresa	necessitar	de	aqui-
sição	de	veículo	ou	imóvel,	por	exemplo,	qual	será	a	taxa	de	juros	
para	esta	transação,	o	valor	da	parcela	e	do	prazo?	Em	suma,	qual	
seria	a	melhor	opção?
Então	o	administrador	financeiro	analisa	e	evidencia	a	melhor	opção.	
A	necessidade	de	tomar	decisões	é	para	trazer	fluxo	de	caixa	no	futuro	
de	forma	positiva,	baseado	em	suas	habilidades	nas	atividades	relacio-
nadas	às	vendas	a	prazo,	tais	como	créditos	aos	clientes	e	posterior	co-
brança,	à	obtenção	e	aplicação	de	recursos,	às	análises	e	aos	controles	
financeiros	e	à	gestão	de	custos.	
As	principais	 ferramentas	do	administrador	financeiro	são	a	mate-
mática	financeira,	utilizando	os	recursos	da	calculadora	financeira,	que	
veremos	nos	próximos	capítulos,	e	as	planilhas	eletrônicas.	Geralmente	
os	administradores	financeiros	possuem	seu	grupo	de	planilhas	de	tra-
balho	geradas	pelos	sistemas	de	 informações	empresariais,	para	que	
eles	consigam	tomar	a	melhor	decisão	empresarial.
IMPORTANTE 
O objetivo econômico das empresas é a maximização de seu valor no 
mercado (HOJI, 2010).
 
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Vamos	 responder	 às	 questões	 apresentadas	no	 início	 desta	 intro-
dução?	As	quatro	questões	apresentadas	remetem	ao	um	dos	papéis	
da	administração	financeira	em	buscar	sempre	a	saúde	financeira	da	
empresa	e	a	melhor	decisão	sobre	o	uso	do	dinheiro.	
O	movimento	de	caixa	nada	mais	é	que	a	entrada	e	saída	do	dinheiro,	
ou	seja,	a	movimentação	do	dinheiro	durante	certo	período	de	tempo;	e	o	
gestor	financeiro	poderá	analisar	toda	a	movimentação	financeira	da	em-
presa	facilitando	a	tomada	de	decisões,	como	por	exemplo	o	valor	mone-
tário	que	entrou	em	caixa	e	quanto	saiu	para	os	pagamentos	efetuados	
(pagamento	de	fornecedor,	aluguel	do	mês,	pagamento	de	impostos).
IMPORTANTE 
O movimento de caixa é o controle da movimentação de valores em 
dinheiro de uma organização (entradas, saídas e saldo final), muito útil 
para a análise de histórico das transações financeiras empresariais. 
 
O	fluxo	de	caixa	é	o	método	de	controle	financeiro	empresarial	que	ana-
lisa	outras	variáveis	para	gerar	uma	previsão	das	finanças	organizacionais;	
sendo	assim,	analisa	a	saúde	financeira	empresarial,	prevendo	situações	
futuras.	Com	esses	cenários	mapeados,	o	gestor	financeiro	consegue	an-
tecipar	ações	de	curto,	médio	e	longo	prazo	utilizando	os	recursos	dispo-
níveis.	O	fluxo	de	caixa	é	uma	ferramenta	importante	para	antecipar	situa-
ções	e	preparar	a	empresa	financeiramente	com	recursos	suficientes	para	
suprir	as	necessidades	e	os	objetivos	empresariais.
No	decorrer	deste	capítulo,	 apresentaremos	algumas	 informações	
financeiras	para	que	o	gestor	financeiro	gerencie	a	forma	de	tomada	de	
decisão	mais	assertiva	no	quesito	financeiro.
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NA PRÁTICA 
Atualmente as empresas utilizam softwares de gestão financeira que 
analisam profundamente o caixa da empresa.
 
1 Origens e aplicações de caixa
A	contabilidade	é	 importante	para	a	administração	financeira	pois	
fornece	informações	importantes	para	a	condução	do	negócio	e	toma-
da	de	decisão	empresarial.	Através	da	contabilidade	são	gerados	rela-
tórios	e	informações	para	que	os	administradores	financeiros	façam	as	
devidas	análises	para	 tomar	decisões	sobre	o	uso	do	caixa,	quais	as	
operações	mais	eficientes	e	a	melhor	alocação	de	recursos	no	ativo	e	
no	financiamento	de	operações	(GROPPELLI,	2010).	
Destacamos	 algumas	 informações	 de	 demonstrativos	 financeiros	
geradas	pela	área	da	Contabilidade.
 • Posição	financeira	da	empresa,	balanço	patrimonial	(BP);
 • Informações	sobre	lucratividade,	demonstração	do	resultado	do	
exercício	(DRE);
 • Análise	detalhada	de	como	o	caixa	foi	gerado,	demonstrativo	de	
fluxo	de	caixa	(DFC).
Gitman	(2004)	conceitua	Finanças	como	a	ciência	e	a	arte	de	admi-
nistrar	o	dinheiro.
Para	 ter	 êxito	 empresarial,	 e	 com	essas	 informações	 em	mãos,	 o	
administrador	terá	que	interpretar	a	situação	empresarial	financeira	da	
empresa	através	dos	 relatórios	gerenciais,	 índices	financeiros	e	orça-
mento	de	caixa.	O	administrador	deve:
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 • Gerar	valor,	mantendo	um	saldo	para	garantir	a	geração	de	caixa	
para	o	futuro.
 • Maximizar	o	 retorno	dos	 investimentos,	sendo	superior	ao	cus-
to	de	capital.	Exemplo:	adquirir	uma	aplicação	ou	 investimento.	
Com	o	ganho	da	operação,	decidir	a	melhor	forma	de	alocar	os	
recursos	financeiros.
 • Minimizar	os	custos	e	índices	de	endividamento.
 • Maximizar	o	lucro	e	minimizar	prejuízos.
Szuster	et	al.	(2008,	p.	159)	conceitua	que	a	demonstração	dos	flu-
xos	de	caixa	 “mostra	as	origens	e	aplicações	de	caixa,	 que	é	 a	base	
para	avaliação	da	situação	financeira	da	empresa	e	sua	capacidade	de	
pagamento	das	obrigações”,	ou	seja,	o	DFC	resume	as	origens	e	as	apli-
cações	de	caixa	durante	um	período.
IMPORTANTE 
A demonstração de fluxo de caixa (DFC) é um instrumento muito im-
portante para a administração financeira.
 
A	demonstração	do	fluxo	de	caixa	demonstra	a	origem	e	a	aplicação	
de	todo	o	dinheiro	que	transitou	pelo	caixa	em	um	determinado	período	
e	o	resultado	desse	fluxo	(MARION,	1999),	ou	seja,	todas	as	entradas	e	
saídas	de	caixa	de	uma	empresa.
PARA SABER MAIS 
No capítulo 7 deste livro, iremos abordar o planejamento e orçamento 
de caixa, em que traremos exemplos práticos de fluxo de caixa e os 
relatórios contábeis.
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 curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD, da disciplina correspondente. Proibida a reprodução e o com
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2 Estrutura de capital (próprio e terceiros)
Continuando	 as	 questões	 anteriores	 sobre	 finanças,	 é	 importante	
lembrar	os	seguintes	pontos:
 • Aonde	conseguirei	recursos	($)	para	abrir	meu	negócio?
 • Aonde	aplicarei	esses	recursos	($)?
Como	 mencionamos	 anteriormente,	 a	 contabilidade	 fornecerá	 in-
formações	ao	administrador	sobre	a	origem	dos	 recursos	e	sobre	as	
aplicações.
Figura 1 – Aplicações e origens
 
Aplicações Origens 
Para onde foi o recurso? De onde veio o recurso?
Credores da empresa
 
IMPORTANTE 
O termo “origem de recursos” significa o lugar de onde veio o recurso 
para entidade, ou seja, quais são os credores da empresa.
 
Conforme	Hoji	(2010),	o	balanço	patrimonial	representa	o	saldo	de	
um	bem	ou	direito	(ativo)	ou	o	saldo	da	obrigação	(passivo).
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Quadro 1 – Balanço patrimonial: ativo e passivo
ATIVO PASSIVO
BENS
Obrigações
DIREITOS
Destaca	Groppelli	(2010)	que	a	estrutura	de	capital	é	a	composição	
do	financiamento	de	uma	organização,	no	qual	o	capital	de	terceiros	é	
oriundo	de	operações	como	empréstimos	e	financiamentos	de	curto	e	
longo	prazo,	fornecedores,	debêntures	etc.	O	capital	próprio	representa	
o	patrimônio	líquido,	como	por	exemplo	o	capital	social	na	integraliza-
ção	de	capital	investido	dos	sócios	na	organização.
Quadro 2 – Estrutura de capital
ATIVO
Passivo circulante
CAPITAL DE TERCEIROS
Passivo não circulante
Patrimônio líquido CAPITAL PRÓPRIO
NA PRÁTICA 
A estrutura de capital é a forma como a organização financia a sua 
operação, utilizando diferentes fontes de recursos.
 
Capital	próprio	=	Patrimônio	líquido
:CT PC PNC onde"= +
CT	=	Capital	de	terceiros
PC	=	Passivo	circulante
PNC	=	Passivo	não	circulante
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Segundo	Marion	(2009,	p.	37),	a	palavra	patrimônio	“tem	sentido	amplo:	
por	um	 lado	significa	o	conjunto	de	bens	e	direitos	pertencentes	a	uma	
pessoa	ou	empresa;	por	outro	lado	inclui	as	obrigações	a	serem	pagas”.
Passivo:	é	uma	obrigação	(dívida)	que	a	empresa	tem	com	terceiros:	
“contas	a	pagar,	 fornecedores	de	matéria-prima	(a	prazo),	 impostos	a	
pagar,	financiamentos,	empréstimos	entre	outros”	(SÁ,	2009,	p.	209).	O	
passivo	se	divide	em	dois	tipos:
Passivo	circulante:	conjunto	de	obrigações	e	dívidas	a	curto	prazo.
Passivo	não	circulante:	conjunto	de	obrigações	e	dívidas	a	longo	prazo.
As	organizações	fazem	a	devida	administração	do	passivo	para	defi-
nir	uma	estrutura	de	capital	mais	adequada	para	a	composição	de	três	
vertentes:
 • liquidez;
 • redução	de	custos;
 • risco	financeiro.
Sendo	 assim,	 as	 organizações,	 ao	 operacionalizar	 uma	 operação	 de	
empréstimo,	por	exemplo,	elaboram	um	estudo	sobre	a	necessidade	de	
efetuar	a	operação,	pois	envolve	uma	transação	de	longo	prazo	e	conse-
quentemente	pode	reduzir	a	liquidez	empresarial	no	mercado	financeiro.
PARA PENSAR 
Pesquise mais exemplos de capital de terceiros que financiam as ope-
rações das empresas.
 
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3 WACC
Como	vimos	anteriormente,	cada	empresa	possui	uma	estrutura	de	
capital	definida	com	uma	combinação	de	dívida.
Destaca	Brigham	 (2012)	que	o	custo	médio	ponderado	de	capital,	
ou,	na	terminologia	em	inglês,	weighted	average	capital	cost	(WACC),	é	
a	média	do	custo	de	capitais	de	terceiros,	do	custo	de	capitais	próprios	
e	das	fontes	de	financiamento	de	uma	empresa.
O	WACC	é	utilizado	para	apresentar	e	demonstrar	a	melhor	 forma	
de	tomada	de	decisão	de	investimentos	e	financiamento,	ou	seja,	uma	
média	ponderada	para	cada	elemento	que	representa	o	financiamento	
de	uma	empresa	no	mercado.
IMPORTANTE 
O WACC é o indicador que vai medir o custo médio ponderado da em-
presa entre o capital próprio e o capital de terceiros com as devidas 
proporções com que a empresa utiliza esses recursos.
 
A	 importância	deste	conceito	é	a	possibilidade	de	 tomar	a	melhor	
decisão	de	taxas	em	uma	determinada	operação	financeira,	analisando	
a	 forma	mais	viável	para	aquisição	de	operações,	como	por	exemplo	
refinanciamento	de	operações	de	empréstimo	ou	calcular	o	custo	de	
operações	de	empréstimo	que	a	organização	tem	contratado.
PARA SABER MAIS 
No capítulo 7 e 8 deste livro iremos abordar exemplos práticos de crité-
rios de decisão empresarial envolvendo o WACC, payback e TIR.
 
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Considerações finais
Neste	capítulo	abordamos	os	conceitos	iniciais	da	administração	fi-
nanceira	e	o	papel	do	gestor	financeiro	na	tomada	de	decisão.	O	mundo	
empresarial	está	cada	vez	mais	arrojado	e	as	empresas	precisam	inovar	
seus	produtos	e	serviços	para	conseguir	se	manter	no	mercado;	por-
tanto,	cuidar	das	finanças	é	primordial.A	administração	financeira	é	a	
ciência	de	administrar	recursos	financeiros	da	entidade.
O	administrador	financeiro	tem	um	papel	 importante	para	a	saúde	
financeira	da	empresa,	maximizando	o	valor	dela	no	mercado	e	mitigan-
do	os	riscos	inerentes	diários,	ou	seja,	ele	deve	tomar	as	melhores	de-
cisões	em	investimentos	para	o	fornecimento	de	lucros	e	rentabilidade.
Destaca	Groppelli	(2010)	que	as	finanças	são	a	aplicação	de	uma	série	
de	princípios	econômicos	para	maximizar	a	riqueza	ou	o	valor	total	de	um	
negócio,	elencando	os	três	itens	abordados	no	capítulo	deste	capítulo:
 • fluxo	de	caixa;
 • estrutura	de	capital;
 • custos	das	operações.	
Vale	ressaltar	a	importância	de	os	administradores	saberem	desses	
conceitos	abordados,	de	forma	que	as	organizações	consigam	atingir	
seus	objetivos	e	se	preparem	a	 longo	prazo	nas	questões	financeiras	
para	se	manterem	sempre	no	mercado.
Referências
BRIGHAM,	E.	F.	Administração financeira.	Teoria	e	prática.	São	Paulo:	Cengage	
Learning,	2012.	
GIMENES,	C.	M.	Matemática financeira com HP 12C e Excel:	uma	abordagem	
descomplicada.	São	Paulo:	Pearson,	2006.
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GITMAN,	 Lawrence	 J.	Administração financeira:	 uma	 abordagem	 gerencial.	
São	Paulo:	Pearson,	2003.	
GITMAN,	 Lawrence	 J.	 Princípios de administração financeira.	 10.	 ed.	 São	
Paulo:	Pearson,	2004.
GROPPELLI,	A.	A.	Administração financeira.	São	Paulo:	Saraiva,	2010.
HOJI,	M.	Administração financeira e orçamentária.	São	Paulo:	Atlas,	2010.
LEMES	JÚNIOR,	A.	Administração financeira:	princípios	e	práticas	financeiras.	
Rio	Janeiro:	Elsevier,	2010.
MARION,	José	Carlos.	Contabilidade básica.	10	ed.	São	Paulo:	Atlas	Editora,	
2009.
MARION,	José	Carlos.	Introdução à Teoria da Contabilidade.	São	Paulo:	Atlas,	
1999.
SÁ,	Antônio	Lopes	de.	Prática e Teoria da Contabilidade Geral.	22.	ed.	Curitiba:	
Juruá	Editora,	2009.
SZUSTER,	N.	et	al.	Contabilidade geral:	introdução	à	contabilidade	societária.	
São	Paulo:	Atlas,	2008.
19
Capítulo 2
Principais conceitos 
financeiros
Como mencionamos no capítulo anterior, o papel da administração 
financeira é administrar os recursos financeiros empresariais de forma 
sólida e estratégica.
Neste capítulo apresentaremos o conceito de inflação e compreen-
deremos o conceito do valor do dinheiro no tempo, os juros e o custo de 
oportunidade. Mas neste primeiro momento vamos abordar definições 
e conceitos para que você entenda e reflita sobre os temas citados. 
 • Valor do dinheiro no tempo
Para entendermos o conceito do valor do dinheiro no tempo, utiliza-
mos a matemática financeira. Para Assaf Neto (2009), a matemática 
financeira é o estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo, com o 
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objetivo de efetuar análises e comparações de entrada e saída de caixa. 
Exemplificando esta relação: o dinheiro ao longo do tempo sofre des-
valorização devido à inflação, mas se você aplicar um dinheiro em um 
investimento terá uma remuneração (juros) sobre o capital aplicado. 
A inflação impacta o valor do dinheiro com o tempo. Um exemplo mais 
prático em seu cotidiano é uma compra no supermercado. As coisas que 
você comprou há três meses atrás provavelmente tiveram os preços au-
mentados devido à inflação e consequentemente você não conseguiu 
trazer a quantidade de produtos desejados ou teve que substituir por ou-
tro produto. A inflação também impacta a aquisição de empréstimos e 
financiamentos devido à alta dos juros para controlar o consumo. 
O valor do dinheiro no tempo pode ser aplicado para render juros. Se 
você aplica um dinheiro hoje em uma aplicação que possui uma taxa de 
juros e com resgate daqui a dois anos, o valor futuro será o valor aplica-
do mais os juros da operação; e com isso o valor não perdeu rendimen-
to ao longo do prazo aplicado. Se este mesmo dinheiro você deixar, por 
exemplo, em sua carteira ou em sua residência, ele não renderá juros e 
consequentemente terá uma desvalorização neste período.
IMPORTANTE 
A inflação impacta o valor do dinheiro com o tempo. Um exemplo no 
seu cotidiano é uma compra no supermercado. O mesmo valor que 
você gastou na compra do mês passado provavelmente não conseguiu 
comprar toda a quantidade desejada neste mês.
 
 • Custo de oportunidade
O custo de oportunidade é o termo utilizado na economia quando é 
necessário escolher a melhor opção com um custo menor ou um melhor 
retorno. Vejamos o exemplo: diante dos fatores econômicos e financeiros, 
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os administradores financeiros estudam as melhores decisões para o en-
contro das melhores e mais acessíveis taxas de fontes de financiamento, 
assim como dos investimentos com a melhor e mais eficiente combinação 
de ativos, que resultará em melhor retorno e menor risco dentro do cenário 
econômico em que a empresa está inserida (GROPPELLI, 2010). 
Com a economia globalizada, é importante o administrador finan-
ceiro conhecer os princípios da teoria financeira e econômica e es-
tar antenado o que está acontecendo no mercado interno e externo, 
analisando as questões políticas e econômicas para que as melhores 
decisões empresariais sejam tomadas. Mas neste primeiro momento 
abordaremos definições e conceitos para que você entenda e reflita 
sobre os temas elencados, pois no capítulo 4 desta obra vamos abor-
dar conceitos práticos sobre como calcular as taxas; exemplificare-
mos de uma forma prática como calcular uma taxa de juros em um 
período inflacionário, por exemplo. 
1 Inflação
Para Silva e Luiz (2010), a inflação é um aumento contínuo e gene-
ralizado de preços: é o aumento geral de produtos e serviços no país. 
Vamos supor que de uma hora para outra um certo produto fica mais 
caro: esse aumento somente de um produto ou determinado setor não 
é inflação. A inflação é quando o aumento dos preços atinge todos os 
setores de forma geral; ou seja, a sociedade diminui o seu poder de 
compra devido ao aumento de preços.
A inflação é medida através de índices. O índice oficial que mede a 
inflação no Brasil é o IPCA (Índice Nacional de Preços ao Consumidor 
Amplo). Através deste índice, conseguimos entender o peso da inflação 
no dia a dia da sociedade referente ao aumento dos custos com por 
exemplo habitação, alimentos, energia elétrica, botijão de gás, combus-
tíveis (etanol, gasolina e diesel) etc. 
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Exemplo 1: efeitos inflacionários em cadeia (indústrias × 
consumidores)
As indústrias utilizam energia. Em uma cadeia produtiva se aumen-
tam os preços combustíveis e o uso da energia elétrica devido a condi-
ções climáticas: o produto final ficará mais caro e consequentemente 
todos os produtos terão um aumento de preços, pois as indústrias de-
pendem de energia para produção.
Exemplo 2: efeitos inflacionários no valor do dinheiro no tempo
Você deixou guardado R$ 50,00 em sua casa. Vamos supor que a in-
flação de um ano chegou a 10%: isso significa que na economia os pro-
dutos e serviços estão custando 10% mais caro e seu dinheiro valendo 
10% a menos, pois você não consegue comprar a mesma quantidade 
de produtos que compraria no ano anterior.
Exemplo 3: efeitos inflacionários na renda
Seu salário teve um aumento de 10%, porém a inflação aumentou 
neste mesmo percentual. Isso significa que mesmo você ganhando o 
aumento, os preços de produtos e serviços estarão 10% mais caros.
IMPORTANTE 
Os reajustes salariais precisam ser maiores que a inflação para que a 
sociedade não perca o poder de compra e dinheiro.
 
Exemplo 4: efeitos inflacionários nas famílias
O peso inflacionário pode causar um impacto muito grande na vida 
das pessoas, pois as famílias de baixa renda ou com salário-mínimo 
têm que saber administrar o que realmente será necessário consumir 
para sobreviver. Em períodos de inflação em alta, a população tem que 
destinar uma parcela maior do salário em itens básicos de alimentação.
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NA PRÁTICA 
Pesquise e veja a relação percentual do preço da cesta básica com o 
valor atual do salário-mínimo no Brasil.
 
Nas atividades empresariais é importante que o administrador finan-
ceiro, juntamente com os conhecimentos de matemática financeira e 
economia acompanhe e analise o impacto da inflação para a determina-
ção de preço de venda e o controle dos custos empresariais.
Tabela 1 – Impacto da inflação sobre os indivíduos e as empresas
INDIVÍDUOS EMPRESAS
Gastos Custos e despesas
Salário Receita líquida
Poupança (rendimentos) Lucro
IMPORTANTE 
Com a inflação o seu dinheiro perde valor e você precisará de mais di-
nheiro para adquirir um produto ou serviço.
 
A economia brasileira tem a característica marcante de tentar con-
trolar a inflação. Passamos por períodos de alta inflação, planos gover-
namentais, congelamento de preços; mas sem sucesso. Somente em 
1994, no governo de Itamar Franco, o país conseguiu um controle efeti-
vo das inflações exorbitantes.
PARA SABER MAIS 
Faça uma pesquisa sobre a história da inflação Brasil. 
 
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O governo é responsável por criar medidas e políticas econômicas 
para controlar a inflação e estabilizar os preços no mercado, pois isso 
impactará diretamente o PIB (produto interno bruto), que mede o cresci-
mento econômico e a riqueza gerada pelo País. 
Temos dois tipos de inflação:
 • Inflação por demanda: as empresas não conseguem atender à 
demanda do mercado; é quando faltam produtos e aumentam os 
preços.
 • Inflação de custos (oferta – aumento de custos no processo pro-
dutivo): preços das matérias-primas e insumos no processo pro-
dutivo aumentam, como vimos no exemplo do início do capítulo 
(aumento da energia elétrica na cadeia produtiva). Geralmente 
esses reajustes são repassados para o produtor final.
NA PRÁTICA 
A inflação segue os efeitos da lei da oferta e demanda na economia. 
Quando os consumidores estão mais dispostos a gastar e tem pos-
sibilidade para fazer isso, a tendência natural é que os preços subam.
 
2 Juros
Como entendemos o conceito de inflação, apresentaremos os con-
ceitos básicos de juros, que está diariamente relacionado ao nosso co-
tidiano através de operações financeiras, como por exemplo calcular 
os juros de uma prestação de financiamento de um bem ou imóvel, os 
juros de retorno de investimentos financeiros e aplicações, entre outros.
Destaca Assaf Neto (2009) que a matemática financeira é a essência 
do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo. Ela efetua análises e 
comparações em diversos períodos, sendo que as taxas de juros devem 
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ser eficientes para a remuneração devido ao risco envolvido nas opera-
ções, a perda do poder de compra devido à inflação e a geração de lucro 
devido aos juros cobrados.
Diante disso, certamente ao acessar o noticiário de economia e fi-
nanças vemos que é abordado conceito de taxa de juro, taxa de juros da 
economia brasileira ou taxa Selic. 
O governo utiliza a taxa de juro como instrumento de política eco-
nômica, pois é um índice facilitador deste processo econômico que 
proporciona a circulação de dinheiro na economia. Sendo assim, a taxa 
Selic influência todas as taxas de juros do país, como das aplicações 
financeiras, dos financiamentos e empréstimos. Ela serve de parâmetro 
para a economia brasileira (ASSAF NETO, 2009).
NA PRÁTICA 
A taxa Selic é a taxa básica de juros para referência de outras taxas de 
juros na economia brasileira.
 
O conceito de juros é importante para as empresas e pessoas enten-
derem o valor do custo nas operações financeiras.
3 Custo de oportunidade
O administrador financeiro precisa tomar decisões a todo momento 
nas empresas. Ao avaliar um custo de empréstimo ou avaliar o retorno 
de investimento, nos deparamos com as seguintes questões. 
 • Qual é a melhor opção para a aquisição de um empréstimo?
 • Qual aplicação existente no mercado que retornará um maior ga-
nho financeiro?
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Quando o assunto é dinheiro, temos que ter muito cuidado na toma-
da de decisão. O custo de oportunidade é um benefício devido a uma 
determinada escolha sobre qual será a mais vantajosa operação finan-
ceira. Você terá muitas alternativas, e como administrador financeiro 
poderá deixar de escolher outras opções mais vantajosas. Por isso essa 
escolha exige discernimento e planejamento financeiro, analisando os 
seguintes aspectos:
 • Risco: todo projeto tem risco financeiro, por isso é importante 
uma avaliação.
 • Utilidade: verificar se realmente o investimento é atraente.
 • Oportunidade: aproveitar as oportunidades mais rentáveis.
PARA PENSAR 
Por que o custo de oportunidade é importante para o administrador 
financeiro?
 
Vamos supor que uma empresa disponha de R$ 500 mil reais para 
investir em três projetos idênticos. O primeiro projeto tem um retorno 
esperado de R$ 700 mil, o segundo projeto um retorno de R$ 600 mil e o 
terceiro um retorno R$ 100 mil. Certamente você investiriano primeiro 
projeto, pois está apresentando maior retorno. 
O cálculo do custo de oportunidade pode ser subjetivo em alguns 
casos, mas em finanças existem indicadores confiáveis que servem de 
parâmetro para determinar uma boa decisão financeira. 
Utilizamos os juros para medir o custo de oportunidade. No Brasil 
utilizamos a taxa Selic e a taxa interbancária (CDI), pois são indicado-
res através dos quais um determinado valor poderá ser corrigido ao 
longo do tempo.
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Não esqueça de dois pontos importantes sobre o custo de oportuni-
dade para a tomada de decisão financeira:
1. Em vez de olhar somente as vantagens da sua escolha, analise 
os benefícios dos outros itens aos quais você renunciou.
2. Sempre medir o custo das escolhas: não importa se esta-
mos abordando situações simples do cotidiano ou grandes 
investimentos.
O custo de oportunidade é o conceito mais importante para quem 
precisa entender o valor das escolhas.
No capítulo 8 desta obra abordaremos os critérios de decisão de 
investimentos, mostrando conceitos práticos e as principais técnicas 
para a decisão de projetos e investimentos.
Considerações finais
Neste capítulo abordamos os principais conceitos financeiros e en-
tendemos a relação entre a inflação, os juros e o custo de oportunidade 
para as empresas e os indivíduos. 
Para a economia, a inflação liga-se à variação de preços; portanto, 
é um movimento contínuo generalizado e ascendente. É importante 
lembrar que uma alteração de preços não afeta somente um produto, 
mas também os salários e os custos de matéria-prima, ou seja, toda 
a cadeia produtiva.
Os fenômenos causadores da inflação podem ocorrer com o au-
mento muito rápido da demanda ou uma queda da oferta; por exemplo: 
problemas nas safras agrícolas, racionamento, guerras, pandemia, au-
mento de preços internacionais, tarifas públicas e preços abusivos de 
um determinado setor. 
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As consequências da inflação são a instabilidade dos preços, provo-
cando instabilidade e desordem salarial, desvalorização cambial e dos 
ativos e afetando o nível de empregos.
É importante o administrador financeiro conhecer os princípios da 
teoria financeira e econômica, analisando as questões políticas e eco-
nômicas para que as melhores decisões empresariais sejam tomadas. 
No próximo capítulo aprenderemos a calcular as prestações de um 
financiamento de um bem móvel ou imóvel e analisar investimentos fi-
nanceiros ou de bens de capital.
Referências
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Atlas, 2009.
BANCO CENTRAL DO BRASIL (BCB). Comitê de Política Monetária (Copom). 
[20--]b. Disponível em: https://www.bcb.gov.br/controleinflacao/copom. Acesso 
em: 2 ago. 2021.
BANCO CENTRAL DO BRASIL (BCB). Índices de preços. [20--]a. Disponível em: 
https://www.bcb.gov.br/controleinflacao/indicepreco. Acesso em: 1 ago. 2021.
BRIGHAM, E. F. Administração financeira: teoria e prática. São Paulo: Cengage 
Learning, 2012. 
GIMENES, C. M. Matemática Financeira com HP 12C e Excel: uma abordagem 
descomplicada. São Paulo: Pearson, 2006.
GITMAN, Lawrence J. Administração financeira: uma abordagem gerencial. 
São Paulo: Pearson, 2003. 
GROPPELLI, A. A. Administração financeira. São Paulo: Saraiva, 2010.
HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática Financeira. 7. ed. São 
Paulo: Saraiva, 2014.
HOJI, M. Administração financeira e orçamentária. São Paulo: Atlas, 2010.
https://www.bcb.gov.br/controleinflacao/copom
https://www.bcb.gov.br/controleinflacao/indicepreco
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INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA (IBGE). Inflação. 2020. 
Disponível em: https://www.ibge.gov.br/explica/inflacao.php. Acesso em: 1 
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LEMES JÚNIOR, A. Administração financeira: princípios e práticas financeiras. 
Rio Janeiro: Elsevier, 2010.
LUCCI, Cinthia Retz et al. A influência da educação financeira nas decisões de 
consumo e investimento dos indivíduos. Seminários em Administração da FEA-
USP. Anais... São Paulo, 2006. Disponível em: http://sistema.semead.com.br/
9semead/resultado_seMead/trabAlhosPDF/266.pdf. Acesso: 9 ago. 2021.
MENEZES, Valdelício. Aplicação da Matemática Financeira. Disponível em: 
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SILVA, Cesar Roberto Leite da; LUIZ, Sinclayr. Economia e mercados: introdução 
a Economia. 10. ed. São Paulo: Saraiva, 2010.
VASCONCELLOS, Marco Antonio S.; GARCIA, Manuel Enriquez. Fundamentos 
da Economia. 5. ed. São Paulo: Saraiva, 2014
https://www.ibge.gov.br/explica/inflacao.php
http://sistema.semead.com.br/9semead/resultado_seMead/trabAlhosPDF/266.pdf
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Capítulo 3
Juros simples e 
compostos
Chegamos ao capítulo sobre os regimes de capitalização e apresen-
taremos os conceitos de juros simples e compostos por meio de exem-
plos numéricos e suas características. Com este novo aprendizado, os 
cálculos serão úteis no dia a dia em relação à tomada de decisões nas 
empresas e ao valor do dinheiro.
Conforme mencionamos anteriormente, a matemática financeira es-
tuda o valor do dinheiro ao longo do tempo e está presente no dia a dia 
das pessoas e das empresas; por exemplo, em:
 • financiamento em geral;
 • empréstimos financeiros;
 • aplicações financeiras.
No processo de operacionalizar em um sistema financeiro temos 
uma taxa de juros atrelada a cada operação. Por exemplo, ao contratar 
um financiamento de um imóvel, você pagará as prestações mensais e 
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o valor final desta operação será muito maior do que o valor contratado; 
ou seja, o valor final da operação, subtraindo o valor inicial, são os juros 
da operação.
Neste sentido, cálculos financeiros são muito úteis para avaliar se 
estamos fazendo a melhor opção em uma operação financeira, como 
na decisão sobre a melhor taxa ou prazo de operação.
1 Regimes de capitalização
Para darmos sequência neste capítulo, temos que entender algumas 
definições e termos fundamentais sobre o processo de capitalização, 
pois o valor do dinheiro no tempo muda. Por exemplo: ao aplicar um di-
nheiro em um banco, temos uma remuneração sobre a quantia aplicada 
inicialmente, conhecida como juros.
Segundo Assaf Neto (2006, p. 4), os regimes de capitalização de-
monstram“como os juros são formados e sucessivamente incorpora-
dos ao capital no decorrer no tempo. Nesta conceituação podem ser 
identificados dois regimes de capitalização dos juros: simples (linear) e 
composto (exponencial)”.
Diante disso (a forma de capitalização de juros na matemática fi-
nanceira), podemos elencar os seguintes conceitos, conforme destaca 
Assaf Neto (2009):
 • Capital inicial ou valor presente: quantia emprestada ou investida 
inicialmente no ato da transação.
 • Juros: os juros são o ganho real da operação, ou seja, o rendimen-
to do capital investido ou emprestado. É a quantia paga propor-
cionalmente ao dinheiro emprestado ou investido. Os juros são 
a porcentagem acordada entre as partes da transação, denomi-
nada taxa de juros, que está relacionada a uma unidade de tem-
po (dia, semana, mês e ano). Nestas operações de aplicação ou 
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empréstimos, temos riscos e incertezas do mercado em relação 
ao futuro do capital emprestado ou aplicado. 
 • Tempo: período de capitalização da operação emprestada ou 
investida.
 • Montante ou valor futuro: resultado da aplicação ou empréstimo 
do capital inicial. Representa a soma do capital inicial, mais os 
juros capitalizados durante o período da operação.
IMPORTANTE 
Os regimes de capitalização são formas em que se verifica o cresci-
mento do capital.
 
Após apresentados estes conceitos, veremos a diferença entre o re-
gime de capitalização simples e a composta (LEAL, 2007).
Tabela 1 – Regime de capitalização – características
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO – CARACTERÍSTICAS
Simples (juros simples) Composta (juros compostos)
Juros crescem de forma linear ao longo do tempo
Juros crescem de forma exponencial, conhecido no 
mercado como juros sobre juros
Juros incidem sobre o capital inicial da operação 
(aplicação ou empréstimo)
A incidência de juros ocorre de forma cumulativa
Fonte: adaptado de Hazan e Pompeo (2014).
IMPORTANTE 
De acordo com Assaf Neto (2009), os juros são o custo de capital du-
rante um período de tempo.
 
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Exemplo:
Rosa empresta a Mariana o valor de R$ 2.000,00 com uma taxa de 
juros de 5% ao mês para devolver o valor emprestado mais os juros da-
qui a 5 meses. Calcular os juros e o montante. 
Abaixo iremos visualizar o comportamento do cálculo dos juros e do 
montante nos regimes de capitalização simples e composta. 
1.1 Juros simples
Conforme destacam Hazan e Pompeo (2014), para visualizarmos 
o comportamento linear do cálculo dos juros simples, temos de nos 
basear no capital inicial; assim, para o capital emprestado por Rosa 
a Mariana por um ano à taxa de 5% ao mês, o juro será igual a 5% de 
R$ 2.000,00, que é igual a R$ 100,00 por mês. Para calcular 5% de R$ 
2.000,00, basta multiplicar R$ 2.000,00 por 0,05, que é a forma decimal 
de 5% (5% = 5 divido por 100 = 0,05).
Tabela 2 – Juros simples
MESES CAPITAL TAXA 5% AO MÊS
VALOR DOS JUROS 
 CAPITAL × TAXA
1 R$ 2.000,00 0,05 R$ 100,00 
2 R$ 2.000,00 0,05 R$ 100,00 
3 R$ 2.000,00 0,05 R$ 100,00 
4 R$ 2.000,00 0,05 R$ 100,00 
5 R$ 2.000,00 0,05 R$ 100,00 
Total de juros R$ 500,00 
No regime de juros simples, ao final de 5 meses, Mariana pagará de 
montante a Rosa o valor de R$ 2.500,00 (capital inicial + juros).
35Juros simples e compostos
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Utilizando o mesmo exemplo, vamos aplicar o regime de capitaliza-
ção composta.
1.2 Juros compostos
Conforme destaca Gimenez (2013), a maioria das operações do sis-
tema financeiro é calculada e baseada em juros compostos.
Para Assaf Neto (2009), a diferença entre a capitalização simples e 
composta é que o juro pago no final de cada mês (período) é atualizado 
ao capital do mês seguinte. Veja que a partir do segundo mês o capital 
é atualizado devido ao valor final apresentado no mês anterior.
Tabela 3 – Juros compostos
MESES CAPITAL TAXA DE 5% AO MÊS
VALOR DOS JUROS 
 CAPITAL × TAXA
MONTANTE 
CAPITAL + VALOR 
DOS JUROS
1 R$ 2.000,00 0,05 R$ 100,00 R$ 2.100,00 
2 R$ 2.100,00 0,05 R$ 105,00 R$ 2.205,00 
3 R$ 2.205,00 0,05 R$ 110,25 R$ 2.315,25 
4 R$ 2.315,25 0,05 R$ 115,76 R$ 2.431,01 
5 R$ 2.431,01 0,05 R$ 121,55 R$ 2.552,56 
Fonte: adaptado de Hazan e Pompeo (2014).
Veja que, neste exemplo, ao final do 5º mês em juros compostos, o 
valor que Mariana terá que pagar a Rosa será de R$ 2.552,56,00, ou seja, 
no regime de capitalização composta é aplicado o conceito de juros 
sobre juros.
Neste regime, a cada intervalo de tempo são calculados novos juros 
que serão somados ao capital final de cada período.
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No início deste capítulo, apresentamos a característica dos juros 
simples, que é linear, e a dos juros compostos, que é exponencial.
Tabela 4 – Comparação do comportamento dos juros no regime de capitalização simples e composta
DIFERENÇA DE JUROS SIMPLES E COMPOSTO
MESES JUROS SIMPLES JUROS COMPOSTOS DIFERENÇA
1 2.100,00 2.100,00 -
2 2.200,00 2.205,00 5,00
3 2.300,00 2.315,25 15,25
4 2.400,00 2.431,01 31,01
5 2.500,00 2.552,56 52,56
NA PRÁTICA 
As operações financeiras no sistema financeiro nacional utilizam-se 
do regime de capitação composta. A diferença dos juros simples para 
o composto é a forma de cálculo de juros a cada período de capitaliza-
ção. No exemplo apresentado, se Rosa escolher o regime de capitaliza-
ção composta, terá maior ganho na operação.
 
Para Assaf Neto (2009), a diferença entre a capitalização simples e 
compostas é que o juro pago no final de cada mês (período) é atualizado 
ao capital do mês seguinte.
Para finalizarmos estes primeiros conceitos, em finanças utilizamos 
algumas terminologias para facilitar os cálculos nas fórmulas e para o 
uso da calculadora financeira HP 12C, que iremos apresentar ao longo 
deste capítulo.
A seguir, a teclas básicas para o uso da HP12C.
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[ON] – Liga a calculadora quando ela estiver desligada e desliga a 
calculadora quando ela estiver ligada.
[f ] [CLX] – Limpa os registros da calculadora.
Yx – Tecla de potenciação.
Tabela 5 – Quadro resumo: conceitos de finanças com HP12C
FUNÇÃO REPRESENTAÇÃO NO LIVRO DEFINIÇÃO
FUNÇÃO 
HP 12C
Capital C ou (VP)
Valor presente − Valor inicial de uma operação. Na 
HP 12C, o capital (C) é representado pela tecla PV
PV
Taxa de 
juros
i
Taxa de juros que poderá ser diária, semanal, 
quinzenal, mensal, semestral, anual entre outras. 
(i) vem do inglês “interest”, que significa juro. Na 
HP 12C a taxa de juros (i)é representada pela tecla i
i
Tempo t ou (n)
Número de períodos da operação. Não esqueça 
que o tempo tem que estar em acordo com a taxa 
de juros e vice-versa. Na HP 12C o tempo (t) é 
representado pela tecla n
n
Montante M ou (VF)
Valor futuro − Valor final, valor do resgate ou saldo 
futuro de uma operação. Na HP 12C o capital (FV) é 
representado pela tecla FV
FV
Juros 
simples
J (simples)
A função < INT > na calculadora está em amarelo; 
para ativar essa função, temos que pressionar tecla 
< f >. Para o cálculo de juros e montante no regime 
de capitalização simples utilizando a HP12C ,ao 
inserir as funções financeiras, a taxa sempre tem 
que estar ao ano e o tempo sempre em dias
INT
NA PRÁTICA 
A calculadora financeira HP12C é uma das ferramentas mais utilizadas 
pelos administradores financeiros para a execução de cálculos finan-
ceiros envolvendo juros, taxas e amortização.
 
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A calculadora financeira HP12C é uma das ferramentas mais utiliza-
das pelos administradores financeiros. Nos capítulos 6, 7 e 8 apresenta-
remos mais funções para a execução de cálculos financeiros envolven-
do juros, fluxos de caixa, taxa interna de retorno, valor presente líquido 
e amortização.
2 Juros simples – conceitos
Em nosso cotidiano, algumas situações do sistema financeiro es-
tão atreladas ao regime de capitalização simples, como por exemplo o 
pagamento de boleto bancário em atraso dentro do mês. No regime de 
capitalização simples (juros simples), a taxa de juros incide somente o 
valor inicialmente aplicado.
Conforme destaca Assaf Neto (2009), e seguindo a mesma linha de 
raciocínio de Gimenez (2013), a nomenclatura de C é o capital (VP), M 
o montante (VF), J o juro, i a taxa e t o tempo (n), criando as seguintes 
fórmulas:
 • Calcular juros de uma operação:
. . . .J C i t ou J VP i n= =
 • Calcular o montante de uma operação:
M C J ou VF VP J= + = +
Para calcular o montante (valor futuro) de forma direta no sistema de 
capitalização simples, Assaf Neto (2009) destacou a seguinte fórmula:
. [ . . [( . ]M C i t ou VF VP i n1 1= + = +Q Q QV V$
O montante representa o valor futuro ou final da operação.
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IMPORTANTE 
Nos juros simples, o capital aplicado é que rende juros.
 
Vamos aplicar as fórmulas em exemplos práticos?
Exemplo 1: Marília percebeu que há 10 dias esqueceu de pagar um 
boleto da sua academia. O valor original do boleto é R$ 320,00. Ao ler as 
instruções que constam no boleto, é informado que após o vencimento, 
são aplicados 8% de multa. Quanto Marília irá pagar devido a este atraso?
Primeiramente vamos coletar as informações do exemplo 1:
Capital: R$ 320,00
Taxa de juros: 8% → forma decimal de 8% → ,100
8 0 08=
.J C i=
Juros = 320 . 0,08 = 25,60
Valor final do boleto: valor do boleto + juros = 320 + 25,60 = R$ 345,60
Resposta: Marília irá pagar no boleto vencido o valor final de R$ 345,60.
Exemplo 2: Um capital de R$ 200,00 foi aplicado durante 5 anos a 
uma taxa de 12% ao ano no regime de capitalização simples. Calcular 
os juros do período e o montante. 
Uma dica importante é sempre coletar as informações para a reso-
lução do exercício:
Capital: R$ 200,00
Tempo (prazo): 5 anos
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Taxa: 12% ao ano → forma decimal de 12% → ,100
12 0 12=
 J = C . i . t
 J = 200 . 0,12 . 5
,J 120 00=
O valor dos juros do exemplo 2 é de R$ 120,00. Agora vamos calcular 
o valor do montante:
M C J= +
M 200 120= +
,M 320 00=
O valor do montante do exemplo 2 é de R$ 320,00.
Resposta: No capital de R$ 200,00 aplicado durante 5 anos a uma 
taxa de 12% ao ano no regime de capitalização simples, o montante 
final será de R$ 320,00.
Neste exemplo 2, podemos aplicar a fórmula direta do montante. 
Vamos ver?
. [ .M C i t1= +Q Q V$
[ ,. .M 200 1 0 12 5= +Q Q V$
[ ,.M 200 1 0 60= +Q Q V$
,.M 200 1 60= Q V
,M 320 00=
Veja que, aplicando a forma direta do montante, o valor é igual se 
utilizamos as formas separadas. Para saber o valor dos juros ao utilizar 
a forma direta do montante, faça o seguinte cálculo:
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Juros Capital= –Montante
J M C= –
,J 320 200 120 00= – =
IMPORTANTE 
No exemplo 2 a taxa e o período estão em anos, ou seja, na mesma 
proporção. A taxa de juros tem que estar na mesma base do período de 
tempo por se tratar de uma relação linear. No capítulo 4 abordaremos 
mais conversões de taxas e períodos.
 
Exemplo 3: Francisco atrasou 15 dias o boleto bancário no valor de 
R$ 1.020,00 e o banco emitente cobra uma taxa de juros simples de 9% 
ao mês. Calcular o juro simples e o montante desta operação em atraso. 
Vamos coletar as informações do exemplo 3:
Valor do boleto: R$ 1.020,00 – representa o C (capital)
Taxa: 9% ao mês – forma decimal de 9% → ,100
9 0 09= – represen-
ta o i
Prazo: 15 dias – representa o t
Neste exemplo a taxa está ao mês; o prazo da operação está em dias. A 
taxa de juros e o tempo têm que estar na mesma base do período de tempo 
e na mesma proporção, por se tratar de uma relação linear. Lembre-se que 
no capítulo 4 traremos mais exemplos sobre este tema de taxas. 
Para deixar na mesma proporção linear, vamos fazer uma regra sim-
ples para equivalência do prazo conforme abaixo:
30 dias, corresponde → 1 mês
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.
15 dias, corresponde → x mês
,t 30
15 0 50= =
Portanto 15 dias equivalem a 0,50 de um mês.
Aplicação da fórmula:
. [ .M C i t1= +Q Q V$
[ , ,. .M 1020 1 0 09 0 50= +Q Q V$
[ ,.M 1020 1 0 045= +Q Q V$
( , ).M 1020 1 045=
,M 1065 90=
Resposta:
Francisco pagará o valor de R$ 1.065,90 no boleto em atraso e os 
juros foram de R$ 45,90.
PARA PENSAR 
Lembra do exemplo que Rosa empresta a Mariana o valor de R$ 2.000,00 
com uma taxa de juros de 5% ao mês durante 5 meses? Utilizando o re-
gime de capitalização simples, calcule o montante.
 
Exemplo 4: Função INT (juros) – Calculadora HP12C
Conforme destaca Gimenez (2013), na calculadora HP12C é possí-
vel calcular o valor dos juros e o montante no regime de capitalização 
simples. A função < INT > na calculadora está em amarelo e para ativar 
essa função temos que pressionar a tecla < f >. Para o cálculo de juros 
e montante no regime de capitalização simples utilizando a HP12C. ao 
inserir asfunções financeiras. a taxa sempre tem que estar ao ano e o 
tempo sempre em dias.
43Juros simples e compostos
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Utilizaremos os dados do exemplo anterior para calcularmos o valor 
dos juros e o do montante.
a. Limpar os registros da calculadora. Pressione a tecla f e a tecla 
CLX.
b. Neste passo estamos iniciando o fluxo para o cálculo do montan-
te, portanto o capital tem que estar negativo, pois estamos de-
sembolsando este valor inicialmente. 
Pressionar 1020 CHS PV ENTER
c. Neste passo a taxa está 9% ao mês, porém temos que colocar a 
taxa ao ano. Multiplicar a taxa mensal por 12, que corresponde ao 
número de meses, que será 9 . 12 = 108.
Pressionar 108 i ENTER
d. Neste passo introduzir o tempo em dias. 
Pressionar 15 n ENTER
e. Apertar a tecla f e em seguida pressionar i e será exibido no seu 
visor o valor dos juros.
Valor dos juros: 45,90
f. Pressionar a tecla + e o valor apresentado será o valor dos juros 
mais o capital, ou seja, o montante final.
Valor do montante: 1065,90
Exemplo 5: 
Francisco atrasou 15 dias o boleto bancário e o valor pago foi de 
R$ 1.065,90. O banco emitente cobra uma taxa de juros simples de 9% 
ao mês. Qual o valor original do boleto?
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Vamos coletar as informações do exemplo 5:
Valor do boleto: sem informação disponível (?) – representa o C 
(capital)
Valor pago (VF): montante de R$ 1.065,90
Taxa: 9% ao mês - forma decimal de 9% → ,100
9 0 09= – representa 
o i
Prazo: 15 dias – representa o t
Neste exemplo a taxa está ao mês o prazo da operação está em dias. 
A taxa de juros e o tempo têm que estar na mesma base do período 
de tempo e na mesma proporção, por se tratar de uma relação linear. 
Lembre-se de que no capítulo 4 traremos mais exemplos sobre este 
tema de taxas. 
Para deixar na mesma proporção linear, vamos fazer uma regra sim-
ples para equivalência do prazo conforme abaixo:
30 dias, corresponde → 1 mês
15 dias, corresponde → x mês
,t 30
15 0 50= =
Portanto 15 dias equivalem a 0,50 de um mês.
Anteriormente apresentamos a fórmula direta para o cálculo do va-
lor futuro (montante). Neste exemplo 5, para calcular o valor presente, 
(capital) devemos isolá-lo. Segundo Assaf Neto (2009), para calcular o 
capital (valor presente) de forma direta no sistema de capitalização sim-
ples temos a seguinte fórmula:
[ .
C
i t
M
1
=
+Q Q V$
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IMPORTANTE 
O capital C (VP) corresponde ao valor inicial da operação, ou seja, o 
valor presente.
 
Aplicando a fórmula com os dados coletados no exemplo 5:
[ , . ,
,C 1 0 09 0 50
1065 90= +Q Q V$
[ ,
,C 1 0 04500
1065 90= +Q Q V$
,
,C 1 04500
1065 90 1020= =
Resposta: Francisco atrasou 15 dias o boleto bancário e o valor pago 
foi de R$ 1.065,90. O valor original do boleto é de R$ 1.020,00. 
Exemplo 6: 
Neste exemplo vamos calcular a taxa, ou seja, basta isolar e encon-
trar a taxa da operação. O capital aplicado de R$ 20.000,00 em 6 me-
ses gerou um juro de R$ 1.800,00. Qual é a taxa de juros simples desta 
operação?
Coletar as informações do exemplo:
Capital: R$ 20.000,00
Prazo: 6 meses
Juros: R$ 1.800,00
Taxa: sem informação disponível (?).
J = C . i . t
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. 1800 = 20000 . i . 6
.i120000 1800=
,i 120000
1800 0 01500= =
Para encontrarmos a taxa em percentual, multiplicar o 0,01500 por 
100.
, ,. % .i ao m s0 01500 100 1 50 ê= =
Resposta: A taxa de juros simples para esta operação é de 1,50% ao 
mês.
Exemplo 7: 
Neste exemplo vamos calcular o tempo, ou seja, basta isolar e en-
contrar o tempo da operação. O capital aplicado de R$ 20.000,00 com 
taxa de 1,50% ao mês, gerou um juro de R$ 1.800,00. Qual é o prazo 
desta operação em juros simples?
Coletar as informações do exemplo:
Capital: R$ 20.000,00
Prazo: sem informação disponível (?)
Juros: R$ 1.800,00
Taxa: 1,50% ao mês - forma decimal de 1,50% → , ,100
1 50 0 015=
J = C . i . t
1800 = 20000 . 0,015 . t
.t300 1800=
t 300
1800 6= =
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t meses6=
Resposta: O prazo desta operação em juros simples é de 6 meses.
3 Juros compostos – conceitos
Em nosso cotidiano a maioria das operações do sistema financeiro 
estão atreladas ao regime de capitalização composta, conforme vimos 
no início deste capítulo. como por exemplo em operações de emprés-
timos e financiamentos, investimentos e outros. De acordo com Leal 
(2007, p. 183), no regime de juros compostos a incidência de juros ocor-
re sempre de forma cumulativa.
Para Gimenez (2013), nos juros compostos, ao final de cada período 
de capitalização, o juro do período é adicionado ao capital para calcular 
o próximo período; sendo assim, o conceito é conhecido no mercado 
como juros sobre juros. Matematicamente, o cálculo a juros compostos 
é conhecido por cálculo exponencial de juros (BRANCO, 2002).
Seguindo os conceitos adquiridos em juros simples, os juros com-
postos, por serem exponenciais, terão as fórmulas do montante e do 
capital apresentadas. Mantêm-se as nomenclaturas de C ou VP para 
capital, M ou VF para o montante, J para o juro, i a taxa e t ou n para o 
período (Assaf Neto, 2009).
.M C ti1= +Q V
.VF VP
ni1= +Q V
VP VF ni1= +Q V
C M ti1= +Q V
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IMPORTANTE 
Na fórmula do montante no regime de capitalização composta, o tempo 
(n) está em uma potência; logo, comprova-se o conceito de juros sobre 
juros neste regime.
 
As aplicações das fórmulas seguem o mesmo conceito dos juros sim-
ples. Para calcular alguma variável, basta isolar e encontrar o que deseja. 
Para os cálculos de juros compostos, apresentaremos o uso da 
HP12C para resolução dos exemplos. 
Exemplo 1: Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado durante 2 anos 
com uma taxa de 10% ao ano no regime de juros compostos. Qual é o 
montante desta operação?
Coletar as informações do exemplo:
Capital (VP): 10000
Prazo (n): 2 anos
Taxa (i) : 10% ao ano
M (VF) = sem informação disponível (?)
Resolução pela HP12C:
Seguir os seguintes passos:
a. Limpar os registros da calculadora e pressionar as teclasf e CLX.
b. Neste passo estamos iniciando o fluxo para o cálculo do montan-
te, portanto o capital tem que estar negativo, pois estamos de-
sembolsando este valor inicialmente.
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Pressionar 10000 CHS PV. 
c. Introduzir a taxa ao ano.
Pressionar 10 i
d. Introduzir o tempo em anos.
Pressionar 2 n
e. Por fim, pressionar a tecla FV e o valor do montante será exibido 
no visor. 
Resposta: Um capital de R$ 10.000,00 aplicado durante 2 anos com 
uma taxa de 10% ao ano no regime de juros compostos terá um valor 
futuro de R$ 12.100,00.
IMPORTANTE 
No exemplo 1 a taxa e o período estão em anos, ou seja, equivalentes. 
A taxa equivalente cresce exponencialmente em relação ao tempo no 
regime de juros compostos. No capítulo 4 abordaremos o conceito de 
taxa equivalente.
 
Exemplo 2: Sarah resgatou após 36 meses o valor de R$ 48.000,00 
de sua aplicação que rendia 1,5% ao mês, porém não se recorda do va-
lor aplicado inicialmente. Qual o valor do capital aplicado por Sarah que 
gerou este montante?
Coletar as informações do exemplo:
Capital (VP): sem informação disponível (?)
Prazo (n): 36 meses
Taxa (i) : 1,5% ao mês
M (VF) = 48000
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Resolução pela HP12C:
Seguir os seguintes passos:
a. Limpar os registros da calculadora e pressionar as teclas f e CLX.
b. Introduzir o valor do resgate (valor futuro).
Pressionar 48000 FV 
c. Introduzir a taxa ao mês.
Pressionar 1,5 i
d. Introduzir o tempo em meses.
Pressionar 36 n
e. Por fim, pressionar a tecla PV e o valor do capital investido será 
exibido no visor. 
Resposta: Sarah aplicou R$ 28.084,31.
PARA PENSAR 
Para uma aplicação inicial de R$ 20.000,00, qual será o valor futuro 
daqui a 12 meses com uma taxa de 11% ao ano?
 
Exemplo 3: Um capital de R$ 50.000,00 foi aplicado no regime de 
juros compostos durante 3 anos e gerou um montante de R$ 64.751,45. 
Qual a taxa de juros desta aplicação?
Coletar as informações do exemplo:
Capital (VP): 50000
Prazo (n): 3 anos
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Taxa (i) : sem informação disponível (?)
M (VF) = 64751,45 
Resolução pela HP12C:
Seguir os seguintes passos:
a. Limpar os registros da calculadora e pressionar as teclas f e CLX. 
b. Neste passo estamos iniciando o fluxo para o cálculo do montan-
te, portanto o capital tem que estar negativo, pois estamos de-
sembolsando este valor inicialmente.
Pressionar 50000 CHS PV 
c. Introduzir o valor do montante.
Pressionar 64751,45 FV
d. Introduzir o tempo em anos.
Pressionar 3 n
e. Por fim, pressionar a tecla i e o valor da taxa da operação será 
exibido no visor. 
Resposta: A taxa desta operação é de 9% ao ano.
Exemplo 4: Um capital de R$ 50.000,00 foi aplicado no regime de 
juros compostos com uma taxa de 9% ao ano e gerou um montante de 
R$ 64.751,45. Qual foi o período desta aplicação?
Coletar as informações do exemplo:
Capital (VP): 50000
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Prazo (n): sem informação disponível (?)
Taxa (i) : 9% ao ano
M (VF) = 64751,45
Resolução pela HP12C:
Seguir os seguintes passos:
a. Limpar os registros da calculadora e pressionar as teclas f e CLX. 
b. Neste passo estamos iniciando o fluxo para o cálculo do montan-
te, portanto o capital tem que estar negativo, pois estamos de-
sembolsando este valor inicialmente.
Pressionar 50000 CHS PV 
a. Introduzir o valor do montante:
Pressionar 64751,45 FV
b. Introduzir a taxa.
Pressionar 9 i
c. Por fim, pressionar a tecla n e o prazo da operação será exibido 
no visor. 
Resposta: O prazo desta operação é de 3 anos.
Conforme destaca Gimenez (2013), utilizando a calculadora HP12C, 
podemos utilizar os cálculos no regime de capitalização composta 
através de suas funções, inserindo as informações de cada situação 
apresentada.
53Juros simples e compostos
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Considerações finais
Neste capítulo apresentamos as características do regime de capita-
lização simples e composta em nosso cotidiano. Através da matemáti-
ca financeira as pessoas e as empresas conseguem tomar as melhores 
decisões nas operações disponíveis no sistema financeiro.
No processo de juros simples, a formação do juro é sobre o valor do 
capital inicial, e nos juros compostos temos o conceito de juros sobre juros.
Como tratamos de assunto de juros, taxas e prazos é importante 
sempre avaliar os riscos e o retorno das operações financeiras, como 
por exemplo a contratação a prazo de um financiamento. É preciso ana-
lisar a taxa de juros empregada na operação e calcular o valor futuro 
de quanto se pagará nesta operação no final do contrato. Essa análise 
é de extrema importância para que as empresas e pessoas consigam 
planejar financeiramente e verificar se realmente é necessário contratar 
o financiamento.
Em posse deste conhecimento podemos escolher as melhores op-
ções disponíveis no mercado financeiro para cada operação que iremos 
contratar; e devido à concorrência dos bancos, podemos analisar e ve-
rificar qual instituição terá uma menor taxa de empréstimo e financia-
mento ou qual apresentará maior valor futuro em uma aplicação.
Conhecer o valor do dinheiro é um processo importante para a saúde 
financeira das pessoas e de liquidez para as empresas.
Viu como é importante termos aprendido esses conceitos?
Referências
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. São Paulo: 
Atlas, 2009.
54 Administração financeira: fundamentos e conceitos Ma
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BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática Financeira aplicada. São Paulo: 
Pioneira Thompson, 2002.
BRUNI, Adriano Leal. Matemática financeira: com HP 12C e Excel. São Paulo: 
Atlas, 2007. 
GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática Financeira com HP 12C e Excel – 
uma abordagem descomplicada. 2. ed. 3. reimp. São Paulo: Pearson, 2013.
HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 7. ed. São 
Paulo: Saraiva, 2014.
KUHNEN, Osmar Leonardo. Matemática Financeira aplicada e análise de in-
vestimentos. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2001.
55
Capítulo 4
Taxas equivalentes, 
nominais e efetivas
Nos capítulos anteriores abordamos os conceitosfinanceiros princi-
palmente quanto ao funcionamento das operações de juros simples e 
compostos, pois no sistema financeiro as operações estão atreladas à 
taxa de juros.
Assaf Neto (2009) destaca que, em nosso cotidiano, para a tomada de 
decisões empresariais na área financeira, como uma aplicação financeira 
ou um financiamento, é fundamental analisar as taxas de juros para não 
ter prejuízos financeiros; lembrando que as taxas de juros correspondem 
à taxa de remuneração do capital em um determinado tempo.
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Diante disso, neste capítulo apresentaremos os conceitos e fórmu-
las para a conversão desses períodos e taxas:
 • taxa real; 
 • taxas proporcionais;
 • taxas equivalentes;
 • taxas efetivas.
Para Assaf Neto (2009), de modo a compreender este conceito de 
taxas, devemos reconhecer que toda operação envolve dois prazos:
 • Prazo de referência → Prazo que ser refere à taxa de juros. 
 • Prazo de capitalização → Prazo da ocorrência de juros.
Vamos exemplificar: um empréstimo foi tomado com uma taxa no-
minal de 14% ao ano. É necessário identificar a periocidade da ocorrên-
cia dos juros, que também é condizente com o prazo de referência. É 
quando estabelecemos que os encargos que incidem sobre o capital ao 
final de cada período serão coincidentes com o que foi expresso a partir 
da taxa. Se uma taxa foi definida ao mês e os juros capitalizados mensal-
mente, ou se foi definida ao ano e os juros são cobrados anualmente, não 
teremos nenhum problema com relação à forma de capitalizar; porém 
em inúmeras outras operações esses prazos não são coincidentes: o 
juro pode ser capitalizado em prazo inferior ao da taxa, sendo que nesta 
situação deve ser definido de que forma o prazo da taxa será rateado no 
período de capitalização. 
1 Taxa real
A inflação é o aumento generalizado dos preços na uma economia 
de um país, e com isso o valor do dinheiro perde o poder de compra 
nos períodos de alta da inflação. Diante deste contexto, uma aplicação 
financeira, por exemplo, possui uma determinada taxa de rentabilidade, 
57Taxas equivalentes, nominais e efetivas
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mas devido à inflação o rendimento não foi real. Temos então o concei-
to da taxa real, que demonstra realmente o que proporcionou o que foi 
investido, descontando a inflação no período. 
Diante dessa definição, aplicaremos a seguinte fórmula no exemplo 
a seguir:
.i i
i
1
1 1 100
inf
real
nom= +
+ -T Y
i nom é a taxa nominal
i inf é a taxa de inflação
IMPORTANTE 
A taxa nominal não leva em consideração a inflação do período.
 
Para reforçar a definição de taxa real – como dissemos anterior-
mente, com a inflação a sociedade perde o poder de compra –, os rea-
justes salariais têm que ser equiparados com a inflação no período, pois 
nada adianta o indivíduo ter um aumento se o percentual de aumento 
não foi real, baseado na inflação; sendo assim, esse indivíduo não terá 
um aumento real de salário.
IMPORTANTE 
Taxa de inflação é o aumento geral de preços em uma economia infla-
cionada.
 
Exemplo 1:
Um certo capital foi aplicado por um ano a uma taxa de juros nomi-
nais igual a 20% ao ano e no mesmo período a taxa de inflação foi de 
11%. Qual é a taxa real de juros?
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,
, .i 1 0 11
1 0 20 1 100real = +
+ -T Y
,
, .i 1 11
1 20 1 100real = -T Y
, .i 1 08108 1 100real = -Q V
, %i ao m s8 11 êreal =
A taxa real desta aplicação foi de 8,11% ao mês devido à inflação no 
período. 
Exemplo 2:
A taxa de inflação esperada ao ano é de 6%. O Comitê de Política 
Monetária (Copom) fixou a taxa de juros Selic (nominal) em 10% ao ano. 
Qual é a taxa de juros praticada no mercado?
,
, .i 1 0 06
1 0 10 1 100real = +
+ -T Y
,
, .i 1 06
1 10 1 100real = -T Y
i real=(1,03774-1).100
i real=3,77% ao ano
A taxa real é de 3,77% ao ano. 
IMPORTANTE 
Pesquise atualmente a taxa de inflação esperada e a taxa Selic definida 
na última reunião do Copom para determinar a taxa real de juros no 
Brasil. Aplique a fórmula para determinar a taxa de juros.
 
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2 Taxa proporcional
A taxa proporcional está diretamente ligada ao sistema de capita-
lização simples diante da sua própria natureza linear, também conhe-
cida como taxa nominal ou taxa linear, que é obtida pela divisão entre 
a taxa de juros considerada na operação e o número de vezes em que 
ocorreram os juros. Do mesmo modo podemos utilizar a multiplicação 
quando temos uma taxa em um período menor para encontrarmos em 
um período maior.
2.1 Aplicando os conceitos de taxa proporcional 
Exemplo 1: Taxa de 24% ano em regime de juros simples. Qual é a 
taxa proporcional ao mês? 
: %Taxa Proporcional ao m s12
24 2 ê=
Diante deste exemplo temos que dividir a taxa de 24% ao ano por 12 
meses para encontrar a taxa proporcional de 2% ao mês. 
Se temos a taxa de 2% ao mês e gostaríamos de encontrar a propor-
cionalidade anual, temos que fazer a operação inversa, que é multiplicar 
a taxa de 2% ao mês pela quantidade de meses que temos ao ano. 
Exemplo 2: Qual é a taxa anual proporcional a 3,00% ao semestre?
Taxa proporcional: 3 . 2 = 6% ao ano.
Solução: Em um ano temos 2 semestres, ou seja, cada 3,00% ao se-
mestre corresponde a 6% ao ano. 
Exemplo 3: Calcular o montante ao final de 3 anos a partir de um 
capital de R$ 800,00 no regime de juros simples considerando as se-
guintes taxas.
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a. 5% ao ano
M = C . [(1 + (i . t)]
M=800 . [(1 + (0,05 . 3)]
M = 800 . 1,15 = 920
Solução: O montante desta operação será de R$ 920,00.
a. 1,00% ao mês:
Como informamos anteriormente, a taxa de juros tem que estar 
na mesma base do período de tempo por se tratar de uma rela-
ção linear. Neste exemplo a taxa está ao mês e o período está 
em anos. Se você deixar a taxa no mesmo período (ao ano), terá 
que multiplicar a taxa mensal pela quantidade de meses no ano, 
que será de 12% ao ano, ou colocar o tempo em 36 meses, que 
corresponde a 3 anos.
M = C . [( 1 + (i . t)]
Veja que na fórmula inserimos ataxa de 1% ao mês, multiplicando o 
período de 36 meses.
M = 800 . [(1+(0,010 . 36)]
M = 800 .1,36 = 1. 088
Solução: O montante desta operação será de R$ 1.088,00.
Aproveite e faça o mesmo exemplo com a taxa e período anual. Veja 
que será o mesmo resultado apresentado. 
PARA PENSAR 
Qual é a taxa diária proporcional a 3% ao mês?
 
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3 Taxa efetiva
No item anterior abordamos o conceito de taxa proporcional aplica-
da diretamente ao conceito de juros simples.
Na operação de crédito no mercado financeiro, o contrato informa 
uma taxa nominal de 12% ao ano; para o cálculo das parcelas seria de 
1% ao mês. Para compreender o conceito de taxa efetiva, no sistema 
financeiro é trabalhado o conceito de juros sobre juros, ou seja, o regime 
de capitalização composta, sendo que 1% de juros ao mês não é 12% ao 
ano, conforme destaca Gimenez (2013).
A taxa efetiva é a taxa que representa o valor real do custo do em-
préstimo ou rendimento de uma aplicação financeira ou investimento 
utilizando o regime de capitalização composta, sendo que a taxa no-
minal é a taxa contratada ou informada na operação financeira. Diante 
disso, antes de contratar qualquer operação financeira, precisamos re-
almente calcular a taxa efetiva da operação. Veremos um exemplo prá-
tico para identificar a taxa efetiva.
Exemplo 1:
João aplica um certo capital no Banco XYZ e o investimento terá um 
rendimento mensal de 1% ao mês. No contrato, o Banco informou uma 
taxa nominal de 12% ao ano (taxa informada no contrato). Antes de re-
solvermos este exemplo, seguem algumas considerações:
 • Todo mês é efetivado e praticado esse rendimento.
 • A taxa mensal, rendendo todo mês, efetivamente acontece todo 
mês; sendo assim, é uma taxa efetiva.
 • A taxa de 12% ao ano é nominal, mas a capitalização deste inves-
timento é mensal, ou seja, tem rendimento todo mês. Denomina- 
-se taxa nominal quando a taxa é diferente da rentabilidade. Mas 
qual é a taxa efetiva para esta operação?
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Assaf Neto (2009) destaca a seguinte fórmula da taxa efetiva:
Taxa efetiva (if) = ( 1+ i)
q –1
Onde:
I = taxa nominal do período
q = representa a quantidade de períodos de capitalização dos juros
Aplicando a fórmula veremos qual será a taxa efetiva anual para a 
operação do rendimento do João: 
Taxa: 1,00% ao mês → forma decimal de 1,00% → , ,100
1 00 0 010=
q = 12 meses
Taxa efetiva (if )=( 1+ i)
q –1
(if ) = ( 1+ 0,010)
12 –1
(if ) = ( 1,0100)
12 –1
(if ) = (1,12683)–1
(if ) = 0,12683 . 100 = 12,68% ao ano.
Solução: A taxa efetiva para esta operação é de 12,68% ao ano, com 
juros de 1% ao mês efetivamente, com uma taxa nominal em contrato 
de 12% ao ano.
Exemplo 2:
A instituição XYZ está cobrando em uma operação de empréstimo 
uma taxa nominal de 20% ao ano. Calcular a taxa efetiva anual admitin-
do o período de capitalização mensal.
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Período de capitalização mensal
Primeiramente dividir a taxa nominal pela quantidade de meses utili-
zando a fórmula da taxa efetiva. 
Taxa: 20% ao ano → forma decimal de 20,00% → ,100
20 0 20=
q = 12 meses
Taxa efetiva (if ) = (1 + i)
q – 1
( , )Taxa efetiva i 1 12
0 20 1f 12= + -Q V
(if ) = ( 1 + 0,02)
12–1
(if ) = (1,02)
12–1
(if ) = 1,22 – 1 = 0,22 . 100 = 21,94% ao ano. 
Solução: A taxa efetiva desta operação é de 21,94% ao ano.
No exemplo acima, calculamos a taxa efetiva da operação, admitin-
do o período de capitalização dos juros mensalmente. 
Em outras operações podem ocorrer outros períodos para a capitali-
zação de juros. Se a capitalização for por exemplo trimestral (q), temos 
que dividir a taxa nominal (i) por 4 devido à quantidade de trimestres 
que temos em um ano e assim sucessivamente para cada período que 
desejarmos encontrar.
( )Taxa efetiva i q
i1 1f q= + -Q V
NA PRÁTICA 
Calcule a taxa efetiva do exemplo acima admitindo o período de capita-
lização de juros seja semestral.
 
64 Administração financeira: fundamentos e conceitos Ma
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4 Taxas equivalentes
No capítulo 3 apresentamos a fórmula do montante no regime de 
capitalização composta M = C . (1 + i)t, em que expressamos o prazo de 
acordo com a unidade de tempo da taxa.
Conforme destacam Hazan e Pompeo (2014), dizemos que duas ta-
xas são equivalentes a juros compostos quando aplicadas em um mes-
mo capital, durante um mesmo prazo e produzem montantes iguais.
IMPORTANTE 
No regime de capitalização composta o prazo tem que estar na mesma 
unidade de tempo da taxa e a taxa de acordo com a unidade utilizada 
para o tempo. A taxa equivalente cresce exponencialmente em relação 
ao tempo no regime de juros compostos.
 
Para Gimenez (2013), no sistema financeiro, quando um banco co-
bra uma taxa ao mês do cheque especial ou no rotativo do cartão de 
crédito, ele deverá informar a taxa anual.
Se a taxa de juros do cheque especial é de 12% ao mês, qual é a taxa 
equivalente ao ano? Se os juros no sistema financeiro fossem no regime 
de capitalização simples ou linear, seria a taxa de 12% vezes 12 meses, 
que é igual a 144%. Porém, sabemos que no sistema financeiro é utili-
zado o regime de capitalização composta, e, com isso, o banco deverá 
informar que a taxa anual do cheque especial é de 289,60%; logo, 12% 
ao mês equivalem a 289,60% ao ano pelo regime de juros compostos.
NA PRÁTICA 
O site do Banco Central do Brasil possui as taxas de juros e suas res-
pectivas modalidades de crédito praticadas pelos bancos.
 
65Taxas equivalentes, nominais e efetivas
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Conforme destaca Gimenez (2013), as taxas podem ser equivalen-
tes de um período menor para o maior, como no exemplo anterior, ou de 
um período maior para o menor. 
Fórmula do período menor para o maior
Deve ser usada toda vez que for solicitada a equivalência de taxa de 
um período menor para um período maior, como por exemplo a taxa em 
dia para uma taxa em mês, uma taxa em semestre para uma taxa em 
ano e assim sucessivamente.
i maior = [(1 + imenor )
t –1] . 100
Fórmula do período maior para o menor
Deve ser usada toda vez que for solicitada a equivalência de taxa de 
um período maior para um período menor, como por exemplo a taxa em 
mês para uma taxa em dia, uma taxa ao ano para uma taxa ao mês e 
assim sucessivamente.
.i i1 1 100menor maior t
1
= + -Q V" %
Voltando ao exemplo inicial, o banco está cobrando uma taxa de 12% 
ao mês no cheque especial. Vamos calcular a taxa anual equivalente 
cobrada pelo banco paraeste contrato. 
 A taxa está ao mês (período menor): 12% ao mês e desejo encontrar 
a taxa equivalente ao ano (período maior). 
imaior= [(1+ imenor )
t–1] . 100
Coletando as informações:
Taxa: 12% ao mês → forma decimal de 12% → ,100
12 0 12= → repre-
senta o imenor
t: Quantos meses temos em um ano: 12, portanto t é igual a 12
imaior = [(1+ 0,12 )
12–1] . 100
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imaior = [(1,12 )
12–1] . 100
imaior= (3,90–1) . 100
imaior= (2,90) . 100
imaior= 289,60% ao ano.
Solução: A taxa anual equivalente cobrada pelo banco para este con-
trato é de 289,60% ao ano.
PARA PENSAR 
Utilizando a fórmula do período maior para o menor, encontre a taxa 
mensal do contrato do exemplo acima.
 
Na taxa equivalente, considerar um ano com:
360 dias
48 semanas
24 quinzenas
12 meses
6 bimestres
4 trimestres
Exemplo 2: Calcule a taxa de juros anuais equivalentes a 6% ao 
bimestre.
A taxa está ao bimestre (período menor): 6% ao bimestre, e desejo 
encontrar a taxa equivalente ao ano (período maior). 
imaior = [(1+ imenor )
t –1] . 100
Coletando as informações:
67Taxas equivalentes, nominais e efetivas
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6Taxa: 6% ao bimestre → forma decimal de 6% → = 0,06 → re-100
presenta o imenor
t: Quantos bimestres temos em um ano: 6; portanto t é igual a 6.
i = [(1+ 0,06 )6maior –1] .100
imaior= [(1,06 )
6–1] .100
imaior= (1,42–1) .100
imaior= (0,42) .100
imaior= 41,85% ao ano.
Solução: A taxa de juros anuais equivalentes a 6% ao bimestre cor-
responde a 41,85% ao ano.
PARA PENSAR 
A financeira Sai do Sufoco cobra juros diários de 0,40%. Qual é a taxa 
anual praticada por essa empresa?
Uma certa aplicação de R$ 18.000,00 tem uma taxa de juros de 0,09% 
ao dia. Qual será o montante ao final de 11 meses?
 
Exemplo 3: Determinar a taxa trimestral equivalente a taxa de 40% 
ao ano.
A taxa está ao ano (período maior): 40% ao ano; e desejo encontrar a 
taxa equivalente ao trimestre (período menor). 
.i i1 1 100menor maior t
1
= + -Q V" %
Coletando as informações:
Taxa: 40% ao ano → forma decimal de 40% → ,100
40 0 40= → repre-
senta o imaior
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.
t: Quantos trimestres temos em um ano: 4; portanto t é igual a 4
i
1
4menor = "Q1 + 0,40V - 1%.100
imenor = "Q1,40V
1
4 - 1%.100
imenor= (1,09–1) .100
imenor= (0,09).100
imenor= 8,78% ao trimestre
Solução: A taxa trimestral equivalente a taxa de 40% ao ano corres-
ponde a 8,78% ao trimestre.
Exemplo 4: Determinar a taxa mensal equivalente a taxa de 180% ao 
ano
A taxa está ao ano (período maior): 180% ao ano; e desejo encontrar 
a taxa equivalente ao mês (período menor). 
.i i1 1 100menor maior t
1
= + -Q V" %
Coletando as informações:
Taxa: 180% ao ano → forma decimal de 180% → ,100
180 1 80= → re-
presenta o imaior
t: Quantos meses temos em um ano: 12; portanto t é igual a 12
, .i 1 1 80 1 100menor 12
1
= + -Q V" %
, .i 2 80 1 100menor 12
1
= -Q V" %
imenor= (1,09–1) .100
imenor= (0,09).100
imenor= 8,96% ao mês
69Taxas equivalentes, nominais e efetivas
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Solução: A taxa mensal equivalente a taxa de 180% ao ano corres-
ponde a 8,96% ao mês.
PARA PENSAR 
Uma certa aplicação de R$ 5.000,00 tem uma taxa de juros de 23% ao 
ano. Qual será o montante ao final de 24 meses?
 
Considerações finais
Neste capítulo aprendemos a diferença de uma taxa nominal para 
efetiva, a equivalência de taxas no regime de juros compostos e a deter-
minar a taxa real em períodos inflacionários.
Para o gestor financeiro é importante saber lidar e identificar os juros 
praticados no mercado, aplicando fórmulas e conversão de taxas de 
maneira correta para a melhor decisão nos seguintes cenários:
 • Na escolha de um melhor investimento que traga um rendimen-
to satisfatório para a realização de planos futuros, ou seja, uma 
taxa atrativa dentro do prazo estipulado para retorno e ganho 
financeiro. 
 • Na escolha da fonte de empréstimo ou financiamento mais em 
conta e de atrativos para recuperar a saúde financeira da empre-
sa. Neste cenário é viável negociar taxas menores para uma recu-
peração financeira mais rápida; porém, optar por operações com 
taxas elevadas de juros não é viável, pois pode ocorrer inadim-
plência devido aos juros cobrados neste contrato. 
Portanto, no mercado financeiro é importante analisar o melhor e 
mais adequado investimento ou financiamento para a empresa; daí vem 
a importância de se comparar a taxa de juros entre os bancos.
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Referências
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. São Paulo: 
Atlas, 2009.
BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática Financeira aplicada. São Paulo: 
Pioneira Thompson, 2002.
BRUNI, Adriano Leal. Matemática financeira: com HP 12C e Excel. São Paulo: 
Atlas, 2007. 
GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática Financeira com HP 12C e Excel – 
uma abordagem descomplicada. 2. ed. 3. reimp. São Paulo: Pearson, 2013.
HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 7. ed. São 
Paulo: Saraiva, 2014.
KUHNEN, Osmar Leonardo. Matemática Financeira aplicada e análise de in-
vestimentos. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2001.
71
Capítulo 5
Tipos de desconto
Uma das atividades do gestor financeiro é a administração do capi-
tal de giro cotidianamente para a tomada de decisão do seu caixa. Ela 
envolve um planejamento das operações financeiras de entrada e saída 
de recursos na empresa. 
A administração financeira controla a entrada e saída de recursos. 
As entradas são oriundas de vendas, recebimentos de produtos vendi-
dos e prestação de serviços, e as saídas são de pagamentos e obriga-
ções que a empresa possui, como pagamento de fornecedores, tributos 
etc. Diante desse cenário, algumas entradas recebidas pela empresa 
serão a prazo.
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.
1 Tipos de desconto
Em nosso cotidiano, sabemos que o desconto é um abatimento 
dado a um valor seguindo algumas condições no momento da compra. 
Por exemplo: um certo estabelecimento oferece desconto caso o paga-
mento seja a vista ou se comprarmos uma certa quantidade de produ-
tos. Nas empresas, as operações de desconto, caso haja necessidade 
de capital, poderão ser feitas no banco, operacionalizando o desconto 
de uma duplicata, nota promissória etc.
Vamos ver um exemplo.
A empresa SBM atua no segmento de informática e oferece ao mer-
cado seus portfólios de produtos de sistemas integrados de gestão, 
consultoria empresarial e venda de hardware. O administrador financei-
ro percebeu que precisa angariar recursos para o fechamento do mês. 
Como a empresa vende produtos a prazo, são emitidas duplicatas, no-
tas promissórias e operações utilizando maquininhas de débito e crédi-
to. Nas operações com emissão de duplicatas e notas promissórias, a 
empresa tem o direito de receber do comprador do produto o valor da 
transação na data acordada no documento, como por exemplo daqui a 
30, 60, 90 dias ou mais após a data da compra. Mas se a empresa ne-
cessita de capital de giro neste momento, o que ela precisa fazer para 
antecipar essas operações? No mercado financeiro, essa operação de 
antecipação é atrelada a uma taxa de juros de desconto intermedia-
da pelos bancos e financeiras, denominada operação de desconto. No 
caso do nosso exemplo da empresa SBM, o administrador financeiro foi 
até o Banco XYS e apresentou operações a receber com o vencimento 
para 90 dias no valor de R$ 90.000,00 e o gerente do banco ofereceu a 
proposta de adiantar R$ 84.000,00; sendo assim, a empresa SBM passa 
o direito destas operações ao banco e o desconto desta operação foi de 
R$ 6.000,00, ou seja, pagando-se juros por esse adiantamento.
73Tipos de desconto
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IMPORTANTE 
Antecipação de recebíveis: quando a empresa tem um dinheiro para 
receber no futuro e precisa dele no presente.
 
Conforme destacam Bruni e Famá (2007, p. 122-123), os descontos 
podem ser classificados seguindo os regimes de capitalização simples 
e composta.
 • Desconto racional (desconto “por dentro”, em que a taxa de juros 
incide sobre o valor presente).
 • Desconto comercial (desconto “por fora”, em que a taxa de juros 
incide sobre o valor futuro).
Antes de iniciarmos este aprendizado, vamos apresentar algumas ter-
minologias para facilitar o entendimento das fórmulas de desconto.
Tabela 1 – Terminologias utilizadas nas operações de desconto
SIGLA NOME DEFINIÇÃO
D Desconto Valor do desconto efetuado pela antecipação do pagamento
N Valor nominal
Valor do título na data de vencimento, ou seja, o valor futuro ou valor 
de resgate
A Valor atual Valor líquido com o desconto 
t Tempo Prazo do título da operação até a data de vencimento
i Taxa de desconto Taxa de juros da operação devido à ocorrência de juros
PARA PENSAR 
Para os conceitos de juros simples e compostos, siga as instruções 
desenvolvidas no capítulo 3. 
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Valor presente (PV) = Valor líquido (Valor atual).
Valor futuro (VF) = Valor nominal.
 
a. Desconto racional simples
O desconto racional é o cálculo dos juros simples sobre o valor pre-
sente, ou seja, os juros incidem sobre o valor aplicado inicialmente.
Fórmulas de desconto racional simples:
.
. .D
i t
N i t
1
=
+Q V
• Desconto = Valor nominal subtraindo o valor atual 
D = N – A
• Desconto é igual ao produto entre o valor atual, a taxa de des-
conto e o período
D = A . i . t
• Valor atual = Divisão do valor nominal pela taxa de desconto e 
o tempo
.
A
i t
N
1
=
+Q V
• Valor nominal = Valor atual é o produto pela taxa de desconto 
e o tempo
N = A.(1 + i.t)
Após apresentadas as fórmulas, vamos aplicar o aprendizado em 
um exemplo de desconto racional simples.
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Exemplo 1:
A empresa de artigos esportivos Longa Vida recebeu uma promissória 
do seu fornecedor para daqui a 3 meses no valor de R$ 5.000,00 como 
pagamento. A empresa necessita imediatamente do dinheiro para suprir 
suas obrigações de curto prazo. O administrador financeiro contatou o 
gerente do banco para efetuar uma operação de desconto desta promis-
sória. A taxa mensal de desconto é de 4,00% ao mês. Qual é o valor do 
desconto desta operação utilizando o desconto simples racional? 
Vamos coletar as informações do exemplo:
Valor nominal = 5.000
Prazo = 3 meses
Taxa de desconto = 4,00% ao mês
Aplicando a fórmula direta do desconto: 
N . i . tD =
Q1 + i . tV
5.000 . 0,04 .3D = Q1 + 0,04 .3V
600D = = 535,71Q1,12V
Resposta: O valor do desconto é de R$ 535,71.
Utilizando o mesmo exemplo, aplicaremos a fórmula do valor atual e 
depois a fórmula do desconto. 
.
A
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N
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=
+Q V
, .A 1 0 04 3
5000= +Q V
,A 1 12
5000= Q V
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.
A = 4.464,29
Resposta: O valor atual da operação é de R$ 4.464,29.
Valor do desconto:
D = N – A
D = 5000 – 4.464,29 = 535,71
Resposta: O valor do desconto é de R$ 535,71.
b. Desconto comercial simples
Conforme destacam Assaf Neto (2009) e Gimenes (2013), o descon-
to comercial simples, também conhecido como desconto bancário, é o 
desconto calculado em relação ao valor nominal (valor futuro) do título.
É equivalente ao juro simples produzido pelo valor nominal no período 
correspondente, ou seja, a taxa de desconto incide sempre sobre o 
montante (valor nominal); e se quer determinar o valor atual na data 
de resgate.
Fórmulas de desconto comercial simples:
• Desconto = Valor nominal subtraindo o valor atual 
D = N – A
• Desconto é igual ao produto entre o valor nominal, a taxa de 
desconto e o período
D = N .i .t
• Valor atual = Valor nominal é o produto pela taxa de desconto 
e o tempo
A = N. (1 – i .t)
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 • Valor nominal = Divisão do valor atual pela taxa de desconto e 
o tempo
.
N
i t
A
1
=
+Q V
Após apresentadas as fórmulas, vamos aplicar o aprendizado em 
um exemplo de desconto comercial simples.
Exemplo 1:
João tem um título de R$ 400,00 com vencimento para daqui a 3 
meses. Foi antecipado com uma taxa de desconto simples comercial 
de 4% a.m. Calcule o valor do desconto e o valor atual deste título.
Coletando as informações do exemplo:
Valor nominal: 400
Taxa: 4% a.m
Prazo: 3 meses
D = N .i .t
D =400 .0,04 .3
D = 48,00
O valor de desconto será de R$ 48,00.
O valor atual é a subtração do valor nominal com o desconto. 
Portanto, o valor atual é de R$ R$ 352,00.
NA PRÁTICA 
Utilizando o exemplo acima, aplique a fórmula na qual você encontrará 
o valor atual de forma direta.
 
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c. Desconto racional composto
Para Assaf Neto (2009), no desconto racional composto podemos 
seguir as relações do regime de juros compostos nas quais conside-
ramos o valor atual A como o capital inicial (valor presente) e o valor 
nominal N como o montante (valor futuro).
Fórmulas de desconto racional composto:
• Desconto = Valor nominal subtraindo o valor atual 
D = N – A
• Valor atual = Divisão do valor nominal pela taxa de desconto 
elevado ao tempo
)A i
N
1 t= +Q
• Valor nominal = Valor atual é o produto pela taxa de desconto 
elevado ao tempo
N = A.(1 + i)t
Após apresentadas as fórmulas, vamos aplicar o aprendizado em 
um exemplo de desconto racional composto.
Calcule o valor do desconto racional composto de um título cujo va-
lor nominal é de R$ 10.000,00 e o prazo de vencimento é de 8 meses 
com uma taxa de desconto de 7% ao mês. 
Coletando as informações deste exemplo:
Valor nominal: R$ 10.000
Prazo: 8 meses
Taxa: 7% ao mês
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NA = Q1 + i) t
Nas calculadoras científicas ou na própria HP12C, temos a tecla de 
potência yx.
10.000A = Q1 + 0,07)8
10.000A = Q1,07)8
10.000A = 1,72
10.000A = 1,72
A = 5.813,95
O valor atual desta operação é de R$ 5.813,95. Para calcular o valor 
do desconto, basta subtrair o valor nominal pelo valor atual.
D = N – A
D = 10.000 – 5.813,95
D = 4.186,05
O valor do desconto será de R$ 4.186,05.
d. Desconto comercial composto
O desconto comercial composto é também conhecido como des-
conto bancário composto e segue a base da capitalização composta, 
na qual a taxa de desconto incide sobre o valor nominal (valor futuro).
Fórmulas de desconto comercial composto
• Desconto = Valor nominal subtraindo o valor atual 
D = N – A
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• Valor atual = Valor nominal é o produto pela taxa de desconto 
elevado pelo tempo
A = N.(1 – i )t
• Valor nominal = Divisão do valor atual pela taxa de desconto e 
o tempo
)N i
A
1 t= +Q
Após apresentadas as fórmulas, vamos aplicar o aprendizado em 
um exemplo de desconto comercial composto.
Exemplo 1:
João tem um título de R$ 400,00 com vencimento para daqui a 3 
meses. Foi antecipado com uma taxa de desconto comercial composto 
de 4% a.m. Calcule o valor do desconto e o valor atual deste título.
Coletando as informações do exemplo:
Valor nominal: 400
Taxa: 4% a.m
Prazo: 3 meses
A = N.(1 – i )t
A = 400.(1 – 0,04 )3
A = 400.(1 – 0,04 )3
A = 400.(0,96 )3
A = 400.(0,88)3
A = 353,89
81Tipos de desconto
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Para calcularmos o valor do desconto, basta subtrair o valor nominal 
do valor atual
D = N – A
D = 400 – 353,89
D = 46,11
O valor do desconto desta operação será de R$ 46,11.
Considerações finais
Neste capítulo apresentamos as fórmulas e as características que 
envolvem as operações de desconto no mercado.
Como vimos no decorrer do capítulo, as operações de desconto são 
bem comuns no mercado financeiro para que as empresas antecipem 
seus títulos a receber do futuro e consigam ajustar suas necessidades 
no fluxo de caixa no presente. 
Os títulos de crédito existentes no mercado, como notas promissó-
rias, duplicatas, letras de câmbio etc. são títulos a vencer e possuem 
um valor nominal com a data de vencimento para resgate; e com as 
operações de desconto representam a antecipação do recebimento ou 
pagamento de valores futuros, com um custo (taxa) para antecipar este 
valor, que será recebido no futuro. 
Referências
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. São Paulo: 
Atlas, 2009.
BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática Financeira aplicada. São Paulo: 
Pioneira Thompson, 2002.
82 Administração financeira: fundamentos e conceitos Ma
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BRUNI, Adriano Leal. Matemática financeira: com HP 12C e Excel. São Paulo: 
Atlas, 2007. 
GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática Financeira com HP 12C e Excel – 
uma abordagem descomplicada. 2. ed. 3. reimp. São Paulo: Pearson, 2013.
HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 7. ed. São 
Paulo: Saraiva, 2014.
83
Capítulo 6
Séries de 
pagamentos 
As empresas com um bom planejamento financeiro e com o objetivo 
de maximizar o volume de recebíveis, ofertando produtos e serviços no 
mercado para atrair clientes, oferecem promoções e facilidades para o 
parcelamento de compras a prazo.
Conforme destaca Gitman (2010, p. 105), sobre a importância do pla-
nejamento financeiro, ele “é um aspecto importante das operações das 
empresas porque fornece um mapa para a orientação, a coordenação e 
o controle dos passos que a empresa dará para atingir seus objetivos”.
M
aterial para uso exclusivo de aluno m
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 curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD, da disciplina correspondente. Proibida a reprodução e o com
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.
Neste capítulo estudaremos as séries de pagamentos e os sistemas 
de amortização SAC e Price.
Podemos definir como série de pagamentos as operações financei-
ras de investimentos ou dívidas por um determinado período de tempo, 
com uma taxa de juros em uma série de pagamentos iguais e em inter-
valos de tempo constantes.
O sistema de amortização, conforme destaca Samanez (2010), é 
uma operação de financiamento ou empréstimo através de parcelas 
que são pagas gradualmente, em que no final do prazo da operação o 
contrato será liquidado.
Neste capítulo iremos utilizar conceitos desenvolvidos anteriormente, 
como o valor presente, valor futuro e as taxas em regime de capitaliza-
ção composta.
1 Séries uniformes de pagamentos
No sistemafinanceiro temos o processo de intermediação financei-
ra, que consiste em os bancos oferecerem ao mercado (para as pesso-
as físicas e jurídicas) operações de crédito, financiamentos e aplicações 
baseados em uma taxa de juros com prazo da operação e parcelas. 
As séries de pagamento determinam o valor da parcela das operações 
contratadas, em uma contratação de um empréstimo ou investimento; 
ou seja, as parcelas são aportes de acordo com o prazo da operação 
contratado. Essas séries são divididas em antecipadas, postecipadas e 
diferidas, nas quais quem está oferecendo a operação financeira apre-
senta cada modalidade para quem está contratando, de forma que sejam 
analisadas a melhor opção de pagamento, taxa e prazo. 
Utilizaremos os conceitos apresentados no capítulo de regime de 
capitalização composta: Capital (valor presente – VP), Montante (valor 
futuro – VF), Tempo (prazo – n) e taxa (i).
85Séries de pagamentos 
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Tabela 1 – Resumo das definições de conceitos – Regime de capitalização composta
CONCEITO REPRESENTAÇÃO NO LIVRO DEFINIÇÃO
Capital C ou (VP) Valor presente − Valor inicial de uma operação.
Taxa de juros i
Taxa de juros que poderá ser diária, semanal, quinzenal, 
mensal, semestral, anual, entre outras. 
(i) vem do inglês “interest”, que significa juro.
Tempo t ou (n)
Número de períodos da operação. Não esqueça que o 
tempo tem que estar em acordo com a taxa de juros e 
vice-versa. 
Montante M ou (VF)
Valor futuro − Valor final, valor do resgate ou saldo 
futuro de uma operação.
Figura 1 – Diagrama do fluxo de caixa
I (taxa de juros envolvida na operação)
M – (VF, valor nominal, montante)
PMT – (Prestações, pagamentos ou depósitos mensais)
C – (VP, Valor atual, valor à vista, capital)
0 1 2 3 4 5 6 t (N, prazo)
Fonte: adaptado de Wernke (2008).
NA PRÁTICA 
Utilizaremos o termo PMT (do inglês “payment”), que é representado na 
calculadora HP12C para calcular o valor das parcelas 
 
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.
 • Série uniforme antecipada (com entrada)
A série uniforme antecipada, como o próprio nome diz, tem o primeiro 
pagamento ou recebimento do aporte (parcela) feito no início do período, 
conhecido no mercado como valor de entrada. As demais parcelas te-
rão o mesmo valor durante o período da operação, conforme destaca 
Gimenez (2013).
IMPORTANTE 
Na série uniforme antecipada, a primeira parcela será paga no ato da 
contratação da operação.
 
Fórmulas:
Conforme destaca Gimenez (2013), são essas as fórmulas da série 
antecipada:
 • Cálculo do valor das parcelas: para calcular o valor da parcela 
(PMT) com entrada.
PMT i i1 1n 1
. . ( )VP i i1
n
= + - -+
+
Q V
# &
 • Cálculo do valor presente: para calcular o valor presente. 
.
.
VP PMT
i i
i i
1
1 1
n
n 1
=
+
+ - -+Q
Q
V
V# &
 • Cálculo do valor futuro: para calcular o valor futuro (montante).
.FV PMT i
i i1 1n 1=
+ - -+Q V# &
Vamos aplicar um exemplo prático para o calcular o valor da parcela 
da série antecipada.
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Sarah decide comprar um videogame ao seu filho no valor de 
R$ 4.000,00 em 8 parcelas (1 entrada + 7 parcelas) e a loja está cobran-
do uma taxa de 4% ao mês. Determine o valor de cada parcela. 
PMT
i i1 1
n
n
1
. .V P i i1
=
+ - -
+
+
R
Q
W
V
R
T
SSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWW
Vamos coletar as informações do exemplo:
Capital (VP) = 4000
Prazo (n) = 8 (1 + 7) → operação antecipada
Taxa (i) = 4%
,
PMT
1 0 04 8 1
8, ,. .4000 0 04 1 0 04=
+ +
+
R
Q
W
R
T
SSSSSSSSSS
VWWWWWV
X
WWWWW– 1 – 0,04
, ,
, ,. .PMT 1 423311812 1 0 04
4000 0 04 1 368569050= – –# &
,
,PMT 0 383311812
218 9710480= # &
PMT = 571,26
O valor de cada parcela que Sarah pagará é de R$ 571,26.
IMPORTANTE 
Ao utilizar a fórmula matemática para que o valor da resposta seja igual 
ao da calculadora HP12C, utilize acima de 6 casas para que o arredon-
damento seja igual ao resultado da calculadora.
 
 • Uso da HP12C na série uniforme antecipada
Para calcular o valor da série antecipada utilizando a HP12C, temos 
que acionar a tecla BEGIN devido ao valor de entrada.
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Utilizaremos o mesmo exemplo para calcular o valor da parcela:
1. Pressionar as teclas F e CLX para limpar os registros.
2. Pressionar a tecla G e a tecla 7 para acionar a função BEGIN. 
Veja no visor se apareceu a função BEGIN.
3. Insira o valor presente de 4000 PV.
4. Insira o prazo 8 N.
5. Insira a taxa 4 i .
6. Por fim pressionar a tecla PMT; será exibido o valor negativo de 
−571,26 devido a ser uma saída (pagamento). Para desativar a 
função BEGIN, pressionar a tecla G e a tecla 8.
As funções financeiras da HP12C são bem mais práticas para a re-
solução das situações apresentadas. Caso queira calcular o VP ou valor 
futuro da série antecipada, utilize os recursos abordados.
NA PRÁTICA 
Sarah decide comprar um videogame ao seu filho em 8 parcelas (1 en-
trada + 7 parcelas) de R$ 571,26 e a loja está cobrando uma taxa de 4% 
ao mês. Determine o valor que será financiado. Utilize a HP12C ou a 
fórmula matemática.
 
 • Série uniforme postecipada (sem entrada)
Na série uniforme postecipada, o primeiro pagamento ou recebi-
mento do aporte (parcela) é feito no final do período conforme destaca 
Gimenez (2013).
Fórmulas:
Gimenez (2013) apresenta as fórmulas da série postecipada:
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 • Cálculo do valor das parcelas: para calcular o valor da parcela 
(PMT) sem entrada.
.PMT VP i1 1n
n
.i i1
= + -
+
Q
Q
V
V# &
 • Cálculo do valor presente: para calcular o valor presente. 
.
.
VP PMT
i i
i
1
1 1
n
1
=
+
+ -Q
Q
V
V# &
 • Cálculo do valor futuro: para calcular o valor futuro (montante).
.FV PMT i
i1 1n=
+ -Q V# &
Vamos aplicar um exemplo prático para o cálculo do valor da parcela 
da série postecipada.
Sarah decide comprar um videogame ao seu filho no valor de R$ 
4.000,00 em 8 parcelas sem entrada e a loja está cobrando uma taxa de 
4% ao mês. Determine o valor de cada parcela. 
.PMT VP i1 1n
n.i i1
= + -
+
Q
Q
V
V# &
Vamos coletar as informações do exemplo:
Capital (VP) = 4000
Prazo (n) = 8 → sem entrada
Taxa (i) = 4%
,.PMT 4000 1 0 04 18
8, ,.0 04 1 0 04= + -
+
Q
Q
V
V# &
,. .PMT 4000 0 04= # &1,3685690501,368569050 – 1
,
,.PMT 4000 0 368569050
0 054742762= # &
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.PMT = 4000 . 0,148527832
PMT = 594,11
O valor de cada parcela que Sarah irá pagar é de R$ 594,11.
 • Uso da HP12C na série uniforme postecipada
Utilizaremos o mesmo exemplo para calcular o valor da parcela:
1. Pressionar as teclas F e CLX para limpar os registros.
2. Insira o valor presente de 4000 PV.
3. Insira o prazo 8 N.
4. Insira a taxa 4 i .
5. Por fim pressionar a tecla PMT; será exibido o valor negativo de 
−594,11 devido a ser uma saída (pagamento).
IMPORTANTE 
Na série postecipada desative a função BEGIN na HP12C.
 
As funções financeiras da HP12C são bem mais práticas para a re-
solução das situações apresentadas. Caso queira calcular o VP ou valor 
futuro da série postecipada, utilize os recursos abordados.
PARA PENSAR 
Qual o melhor plano para Sarah adquirir o videogame: utilizar a série 
antecipada ou postecipada?
 
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2 Sistemas de amortização
Conforme mencionamos no início deste capítulo, no sistema finan-
ceiro temos diversas operações que podemos captar através de tercei-
ros, como empréstimos que você poderá escolher onde utilizar o recur-
so e o financiamento, que tem uma garantia atrelada a um bem, como 
um financiamento imobiliário ou um veículo. 
O termo amortização é a redução da dívida ao longo do tempo do 
financiamento contratado.
NA PRÁTICA 
Em um financiamento, caso o contratante não pagar as parcelas, o bem 
é retirado; por isso que o financiamento o bem é a garantia do paga-
mento das parcelas mensais.
 
 • Sistema de amortização constante (SAC)
No sistema de amortização constante (SAC), a parcela da operação 
do financiamento é decrescente. A prestação contém amortização, que 
é a devolução do capital emprestado ao banco mais os juros da opera-
ção, conforme destaca Samanez (2010).
Em uma operação de financiamento ou empréstimo. temos os se-
guintes termos.
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Tabela 1 – Termos no sistema de amortização constante (SAC)
TERMO
Saldo devedor
SIGLA
SD
CONCEITOS
Decrescente
Amortização A
O valor da amortização é igual para todos os períodos do 
financiamento ou empréstimo contratado
Juros
Parcela
J
PMT
Os juros são cobrados sobre o saldo devedor, ou seja, é 
decrescente
É o valor da amortização mais os juros
Fonte: adaptado de Assaf Neto (2009).
Exemplo do sistema de amortização SAC:
A empresa YTU do segmento de vendas contratou um financiamen-
to de um veículo no valor de R$ 10.000, com uma taxa de 3% ao mês, 
efetuado no Banco ABCD, que deve ser pago em 5 parcelas. O sistema 
de amortização utilizado na operação foi o SAC. Elaborar uma planilha 
da operação.
Vamos aplicar as fórmulas no exemplo:
 • Cálculo da amortização: amortização é igual ao saldo devedor 
inicial dividido pelo período contratado no financiamento. 
A n
SD=
.A 5
10 000=
A = 2000
 • Cálculo dos juros: juros é igual ao saldo devedor multiplicando a 
taxa de juros.
J = SD . i
J = 10.000 . 0,03
J = 300
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 • Cálculo do valor da primeira parcela: O valor da parcela é igual a 
amortização + juros. No sistema de amortização SAC as parcelas 
são decrescentes. 
PMT = A + J
PMT = 2000 + 300
As parcelas do sistema SAC diminuem conforme uma progressão 
aritmética de forma constante (ASSAF NETO, 2009).
PERÍODO SALDO DEVEDOR AMORTIZAÇÃO JUROS PARCELA
(n) (meses) (SD) = SDAnterior − A (A) = SD/N
J = SD . i 
i = 3% 
PMT = A + J
0 R$ 10.000,00 0 0 0
1 R$ 8.000,00 R$ 2.000,00 R$ 1.000,00 R$ 3.000,00
2 R$ 6.000,00 R$ 2.000,00 R$ 240,00 R$ 2.240,00
3 R$ 4.000,00 R$ 2.000,00 R$ 180,00 R$ 2.180,00
4 R$ 2.000,00 R$ 2.000,00 R$ 120,00 R$ 2.120,00
5 R$ 0,00 R$ 2.000,00 R$ 60,00 R$ 2.060,00
TOTAL R$ 10.000,00 R$ 1.600,00 R$ 11.600,00
Valor de juros pagos: R$ 1.600,00.
Exemplo 2: Foi feito um financiamento de R$ 30.000,00 pelo regime 
de amortização SAC em 50 parcelas mensais com uma taxa de 2% ao 
mês. Calcular a amortização, juros, prestação e saldo devedor do 35º 
mês.
 • Amortização: 
.A 50
30 000 600= =
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 • Saldo devedor no 34º mês 
SD 34º mês = SD inicial – (n) . A
SD 34º mês = 30.000 – (34) . 600 = 9.600
 • Juros no 35º mês:
J = SD .i 
J = 9600 . 0,02 = 192 
 • Prestação no 35º mês: 
PMT = A + J
PMT = 600 + 192 = 792
 • Saldo devedor no 35º mês 
SD 35º mês = SD inicial – (n) . A
SD 34º mês = 30.000 – (35). 600 = 9.000
IMPORTANTE 
Para Gitman (2010, p. 175), o termo amortização de empréstimos se refere 
à “determinação de pagamentos iguais e periódicos de empréstimos. Es-
ses pagamentos fornecem ao credor uma determinada taxa de retorno e a 
quitação do principal do empréstimo ao longo de um dado período”.
 
 • Sistema de amortização Price
Para Hazzan e Pompeo (2014, p. 219), “a característica do sistema 
de amortização francês (Price) é que as prestações são iguais e periódi-
cas a partir do instante em que começam a ser pagas”. 
Conforme destaca Assaf Neto (2019, p. 213) sobre o modelo Price, 
“os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, são decrescentes, e as 
parcelas de amortização assumem valores crescentes”.
95Séries de pagamentos 
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 • Fórmulas do sistema de amortização Price: 
 • Cálculo do valor da parcela: utilizar a fórmula da série de paga-
mento postecipada.
i . Q1 + iVn
PMT = VP .# Q1 + iVn
&
- 1
 • Cálculo dos juros: juros é igual ao saldo devedor multiplicando a 
taxa de juros.
J = SD . i
 • Cálculo da amortização: amortização é igual ao valor da parcela 
subtraindo o valor dos juros.
A = PMT – J
 • Cálculo do saldo devedor: corresponde ao saldo devedor sub-
traindo a amortização.
SDn = SDn–1 – A
Exemplo do sistema de amortização Price:
A empresa Mazi do ramo de vendas online contratou um financia-
mento de uma sala comercial no valor de R$ 80.000, com uma taxa de 
4% ao mês, efetuado no Banco ABCD, que deve ser pago em 5 parcelas. 
O sistema de amortização utilizado na operação foi o Price. 
Vamos aplicar as fórmulas no exemplo e elaborar a planilha deste 
financiamento. 
Utilizando o sistema Price, para a montagem da planilha primeira-
mente temos que calcular o valor da parcela utilizando a fórmula poste-
cipada. O valor de cada parcela é a amortização mais os juros.
96 Administração financeira: fundamentose conceitos Ma
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PERÍODO SALDO DEVEDOR AMORTIZAÇÃO JUROS PARCELA
(n) (meses) (SD) = SDAnterior − A (A) = PMT − J
J = SD . i 
i = % 
PMT = A + J
0 R$ 80.000,00 0 0 0
1. Cálculo do valor da parcela:
. ,.PMT 80 000 1 0 04 15= + -Q V
# &0,4 . (1 + 0,04)
5
. ,
,.PMT 80 000 0 21665290
0 04866612= # &
PMT = 17.970,17
Calculado o valor da parcela, o próximo passo é calcular os juros da 
operação, com base do saldo devedor inicial.
2. Cálculo dos juros: 
J = SD . i 
J = 80.000 . 0,04
J = 3.200
PERÍODO SALDO DEVEDOR AMORTIZAÇÃO JUROS PARCELA
(n) (meses) (SD) = SDAnterior − A (A) = PMT − J
J = SD . i 
i = 4% 
PMT = A + J
0 R$ 80.000,00 0 0 0
1 R$ 3.200,00 R$ 17.970,17
Calculado o valor dos juros, o próximo passo é calcular amortização.
3. Cálculo da amortização: é o valor da parcela subtraindo o valor 
de juros.
97Séries de pagamentos 
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A = PMT – J
A = 17.970,17 – 3.200
A = 14.770,17
PERÍODO SALDO DEVEDOR AMORTIZAÇÃO JUROS PARCELA
(n) (meses) (SD) = SDAnterior − A (A) = PMT − J
J = SD . i 
i = 4% 
PMT = A + J
0 R$ 80.000,00 0 0 0
1 R$ 14.770,17 R$ 3.200,00 R$ 17.970,17
Calculado o valor da amortização, o próximo passo é calcular o sal-
do devedor do primeiro período. 
4. Cálculo do saldo devedor: 
SDn = SDn–1 – An
SD1 = SDO – A1
SD1 = 80.000 – 14.770,17
SD1 = 65.229,83
PERÍODO SALDO DEVEDOR AMORTIZAÇÃO JUROS PARCELA
(n) (meses) (SD) = SDAnterior − A (A) = PMT − J
J = SD . i 
i = 4% 
PMT = A + J
0 R$ 80.000,00 0 0 0
1 R$ 65.229,83 R$ 14.770,17 R$ 3.200,00 R$ 17.970,17
98 Administração financeira: fundamentos e conceitos Ma
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Repita os passos para cada período. 
PERÍODO SALDO DEVEDOR AMORTIZAÇÃO JUROS PARCELA
(n) (meses) (SD) = SDAnterior − A (A) = PMT − J
J = SD . i 
i = 4% 
PMT = A + J
0 R$ 80.000,00 0 0 0
1 R$ 65.229,83 R$ 14.770,17 R$ 3.200,00 R$ 17.970,17
2 R$ 49.868,85 R$ 15.360,98 R$ 2.609,19 R$ 17.970,17
3 R$ 33.893,44 R$ 15.975,42 R$ 1.994,75 R$ 17.970,17
4 R$ 17.279,00 R$ 16.614,43 R$ 1.355,74 R$ 17.970,17
5 0,00 R$ 17.279,01 R$ 691,16 R$ 17.970,17
TOTAL R$ 80.000,00 R$ 9.850,85 R$ 89.850,85 
PARA PENSAR 
Utilizando os mesmos dados do exemplo anterior, faça um comparativo 
entre o sistema de amortização Price e SAC.
 
Exemplo 2: Foi feito um financiamento de R$ 20.000,00 pelo regime de 
amortização Price em 24 parcelas mensais com uma taxa de 2% ao mês. 
Calcular a amortização, juros, prestação e saldo devedor do 15º mês.
No sistema Price, o valor das parcelas é igual em todos os períodos. 
 • Prestação no 15º mês: 
,.PMT 20000 1 0 02 124= + –Q V
# &0,02 . (1 + 0,02)
24
,
,.PMT 20000 0 60843725
0 03216874= # &
PMT = 1.057,42
99Séries de pagamentos 
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 • Saldo devedor no 15º mês: 
Total de prestações: 24 parcelas.
Valor da parcela (PMT) = 1.057,42.
Prestações a vencer: 9 parcelas.
Saldo devedor no 15º mês: 
. ,
,
.
.
SD 1 057 42
0 02
1
15 =
-(1 + 0,02)9
(1 + 0,02)9
SD15≅ 8.630,91
 • Juros no 15º mês:
Para o cálculo de juros do período 15, precisamos calcular o saldo 
devedor do período 14.
Total de prestações: 24.
Valor da parcela (PMT) = 1.057,42.
Prestações a vencer: 10 parcelas
Saldo devedor no 14º mês: 
. ,
,
.
.
SD 1 057 42
0 02
1
14 =
-(1 + 0,02)10
(1 + 0,02)10
SD14≅ 9.498,37
Para encontrarmos o valor dos juros do período 15, multiplicar o sal-
do devedor encontrado no período 14 e multiplicar pela taxa.
J15 = 9.498,37 . 0,02
J15 = 189,97
 • Amortização: 
Valor da parcela (PMT) = 1.057,42
A15 = 1.057,42 – 189,97
A15 = 867,45
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PERÍODO SALDO DEVEDOR AMORTIZAÇÃO JUROS PARCELA
(n) (meses) (SD) = SDAnterior − A (A) = PMT − J
J = SD . i 
i = 4% 
PMT = A + J
14 R$ 9.498,41 R$ 850,44 R$ 206,98 R$ 1.057,42
15 R$ 8.630,96 R$ 867,45 R$ 189,97 R$ 1.057,42
IMPORTANTE 
Ao criar uma planilha eletrônica do sistema de amortização Price, o 
saldo devedor poderá ter diferença de arredondamento.
 
Como apresentamos nos exemplos acima, a diferença entre os sis-
temas SAC e Price está na forma de amortização e no valor da parcela 
do financiamento, o qual afeta toda a cadeia de financiamento, ou seja, 
os juros. No sistema de amortização SAC, as prestações são decres-
centes devido à diminuição dos juros de forma progressiva; e no siste-
ma de amortização Price, as parcelas são fixas. 
Considerações finais
Em um país de economia ativa, com oferta de crédito no sistema finan-
ceiro, pessoas e empresas adquirem operações de crédito como financia-
mentos e empréstimos com uma taxa de juros em cada operação, pois é 
o custo da operação para aquisição de bens e serviços. Apresentamos as 
séries de pagamentos e suas fórmulas para melhor decisão ao contratar 
e verificar o valor da parcela que iremos pagar mensalmente.
As séries de pagamentos podem ser divididas em antecipada e 
postecipada. 
101Séries de pagamentos 
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Outro assunto de grande importância que abordamos foi o sistema 
de amortização nas operações de empréstimos e financiamentos. 
Todo este aprendizado é importante para você analisar o valor da 
operação e seus custos para um planejamento financeiro mensal sem 
surpresas no futuro, como falta de pagamento de parcela, gerando 
inadimplência.
Referências
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. São Paulo: 
Atlas, 2009.
GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática Financeira com HP 12C e Excel – 
uma abordagem descomplicada. 2. ed. 3. reimp. São Paulo: Pearson, 2013.
GITMAN, Lawrence J. Administração financeira: uma abordagem gerencial. 
São Paulo: Pearson, 2003. 
GITMAN, Lawrence J. Princípios de administração financeira. 10. ed. São 
Paulo: Pearson, 2004.
HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 7. ed. São 
Paulo: Saraiva, 2014.
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira. 5. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2010.
SISTEMA PRICE e sistema SAC. financiamento.com.br, [2018]. Disponível 
em: http://www.financiamento.com.br/faq/diferenca-sistema-sac-price.php. 
Acesso em: 8 ago. 2021.
WERNKE, Rodney. Gestão financeira: ênfase em aplicações e casos nacionais. 
1. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2008.
http://www.financiamento.com.br/faq/diferenca-sistema-sac-price.php103
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Capítulo 7
Planejamento e 
orçamento de caixa
O objetivo deste capítulo é entender e dimensionar a necessidade de 
recursos da empresa para o curto prazo; sendo assim, o planejamento 
e orçamento de caixa consistem na previsão de entradas e saídas da 
empresa, com os seguintes pontos:
 • Garantir e analisar a gestão de pagamentos e despesas futuras. 
 • Em eventuais déficits de caixa, analisar as fontes de financiamen-
to disponíveis no mercado.
 • Em eventuais superávits no período, planejar a melhor maneira de 
investir o dinheiro.
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A empresa deve efetuar um planejamento e orçamento empresarial 
de estimativas para conseguir pagar seus compromissos e manter soli-
dez ao longo de sua trajetória. 
1 Fluxo de caixa 
Para Assaf Neto (2003), as empresas têm que ter acompanhamento 
dos resultados para a avaliação do seu desempenho; com isso, uma 
das ferramentas para acompanhar entradas e saídas é o fluxo de caixa. 
O fluxo de caixa demonstra a posição atual financeira da empresa. 
São demonstrados os saldos, déficit e superávit das entradas e saídas 
dos recursos financeiros para termos uma gestão eficaz dos recursos. 
Conforme destaca Sá (1998), o fluxo de caixa é o produto das contas 
a receber e das contas pagar.
Quadro 1 – Fluxo de caixa 
CONTAS A RECEBER / CONTAS A PAGAR
FLUXO DE CAIXA
CAIXA BANCOS APLICAÇÕES
Fonte: adaptado Sá (1998, p.10).
Para uma boa administração e avaliação do capital de giro, é neces-
sária a classificação da estrutura patrimonial da empresa, com os gru-
pos de contas do circulante em operacional e financeiro, pois envolve 
um volume alto de ativos. 
Sendo assim, temos:
Grupo ativo circulante (AC = ACF + ACO)
 • Ativo circulante financeiro (ACF): composto por caixa, bancos, 
aplicações etc.
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 • Ativo circulante operacional (ACO): composto por estoques, du-
plicatas a receber etc. 
Grupo passivo circulante (PC = PCF + PCO)
 • Passivo circulante financeiro (ACF): composto por empréstimos 
a curto prazo, duplicatas descontadas, financiamentos a curto 
prazo etc. O passivo circulante financeiro é formado pelas obriga-
ções de curto prazo que provocam despesas financeiras. 
 • Passivo circulante operacional (ACO): composto por duplicatas a 
pagar de fornecedores, salários, encargos sociais, impostos, taxas, 
contas a pagar diversas etc.
NA PRÁTICA 
A composição do capital de giro envolve o volume das atividades no 
ativo circulante e as obrigações do passivo circulante.
 
Para se gerir bem o capital de giro, isso não se resumir apenas a con-
seguir financiamentos com juros baixos ou comprar mercadorias com 
preços melhores. Um fator importante é saber administrar os prazos na 
busca de maximizar o resultado.
2 Modelos de administração de caixa 
O objetivo do fluxo de caixa realizado é analisar se o planejamento 
projetado atendeu às questões e tendências previstas, para verificar se 
ocorreu alguma falha de análise ou projeção do gestor financeiro.
Com essas informações coletadas, elas reforçam o processo deci-
sório para um bom planejamento financeiro futuro.
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Sendo assim, o fluxo de caixa realizado demonstra o comportamen-
to das entradas e saídas dos recursos financeiros da empresa.
NA PRÁTICA 
O fluxo de caixa projetado é baseado em estatísticas, estratégias, sazo-
nalidades e eventuais flutuações do mercado
 
Frezatti (2006) demonstra o seguinte modelo de fluxo de caixa:
Quadro 2 – Modelo de fluxo de caixa
A SALDO INICIAL
B ENTRADAS OPERACIONAIS
 
Vendas à vista
Recebimento de Duplicatas
C ENTRADAS NÃO OPERACIONAIS
 
Recebimento de Empréstimos
Desconto de Duplicatas
Resgate de Aplicações
Outros Recebimentos
D ATIVOS
  Vendas de ativos
E ACIONISTAS
  Aporte de Capital
F TOTAL DE ENTRADAS
G SAÍDAS OPERACIONAIS
(cont.)
107Planejamento e orçamento de caixa
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Pagamento de salários, Impostos 
Fornecedores, Despesas Administrativas
H SAÍDAS NÃO OPERACIONAIS
 
Pagamento de Empréstimos
Pagamento de Juros
Outras Saídas
I ATIVOS
  Compra de Ativos
J 
 
Pró-Labore
Lucros/Dividendos
K TOTAL DE SAÍDAS
L SALDO LÍQUIDO
M SUPERÁVIT / DÉFICIT DE CAIXA
N SALDO FINAL
Fonte: adaptado de Frezatti (2006).
3 Capital circulante líquido
O capital circulante líquido é o excedente do capital de giro, ou seja, 
o ativo circulante consegue cobrir o passivo circulante; sendo assim, é 
uma sobra.
Blatt (2001, p. 99) define capital circulante líquido como uma folga 
financeira da empresa, ou seja, o excesso ou falta de ativos circulantes 
em relação aos passivos circulantes.
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De acordo com Marion, o CCL irá evidenciar o quanto que o ativo 
circulante está comprometido com o passivo circulante.
Capital circulante líquido (CCL) = Ativo circulante (AC) – Passivo 
Circulante (PC)
CCL = AC – PC
PARA PENSAR 
O que ocorre quando o passivo circulante é maior que o ativo circulante?
 
4 Necessidade de capital de giro
Para analisar a necessidade de capital de giro, precisamos utilizar o 
balanço patrimonial da empresa, ou seja, quanto a empresa necessita 
de capital para financiar suas atividades.
Necessidade de capital de giro = Ativo circulante operacional – 
Passivo circulante operacional
NCG = ACO – PCO
Brom e Balian (2007) destacam 3 situações no cotidiano dos negócios:
Situação 1: Faltar recursos financeiros, ou seja, há necessidade de ca-
pital de giro e o NCG é positivo. Exemplo: O ativo operacional circulante da 
empresa ABC gira em torno de R$ 110 e o passivo circulante operacional 
é equivalente a R$ 90,00. A NGC é de 20, indicando falta de recursos.
NCG = ACO – PCO
NCG = 110 – 90
NCG = 20
Situação ACO > PCO: indica falta de recursos.
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Situação 2: Nestasituação, a empresa tem mais financiamentos 
operacionais do que investimentos operacionais, ou seja, estão sobran-
do recursos operacionais. A sobra de recursos operacionais poderá 
ser redirecionada para aumentar a produção ou aplicação financeira. 
Exemplo: O ativo operacional circulante da empresa ABC gira em torno 
de R$ 90 e o passivo circulante operacional é equivalente a R$ 110. A 
NGC é de −20 (negativa), indicando sobra de recursos.
NCG = ACO – PCO
NCG = 90 – 110
NCG = – 20
Situação ACO < PCO: indica falta de recursos.
Situação 3: Nesta situação não existem sobras financeiras. Neste 
caso o ACO = PCO, ou seja, se equivalem.
Situação ACO = PCO: indica que não existe sobra de recursos.
NA PRÁTICA 
O administrador financeiro precisa entender o balanço patrimonial para 
uma administração de capital de giro eficiente.
 
5 Administração do estoque
5.1 Ciclo operacional e ciclo financeiro (caixa)
O ativo circulante serve para movimentar o ciclo operacional que 
corresponde ao intervalo desde a entrada da matéria-prima no estoque 
até a venda e o respectivo recebimento, ou seja, todo o prazo da ope-
ração da empresa. Já o ciclo financeiro é o período decorrido entre o 
pagamento dos fornecedores e termina com o recebimento das vendas, 
conforme destacam Brom e Balian (2007).
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Apresentando as fórmulas do ciclo operacional e ciclo financeiro, se-
gundo Azevedo (2013):
CO = PMRE + PMRV
CF = CO – PMP
Onde:
 • Prazo médio de rotação de estoques: determina o tempo de com-
pra e estocagem. O PMRE equivale ao termo de ciclo econômico.
PMRE
Custo das Vendas CMV
Estoques
=
Q V
 × dias por período
 • Prazo médio de recebimento das vendas: prazo médio para rece-
bimento das vendas.
PMRV
vendas brutas
Duplicatas a receber
= × dias por período 
 • Prazo médio de pagamento de compras: prazo médio para paga-
mento das compras a prazo. 
PMRV Compras
Fornecedores= × dias por período 
 • Custo da mercadoria Vendida
CMV = Estoque inicial + compras – Estoque final
 • Compras
Compras = CMV – Estoque inicial + Estoque final
Com base nos temas apresentados, aplicaremos um exemplo práti-
co utilizando o seguinte balanço.
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Quadro 3 – Cia. de distribuição “Supermercados” em mil reais
SALDO DA CONTA ESTOQUE: X2 495.272
ATIVO x3 x4
CIRCULANTE
Bancos 1.048.089 1.135.158
Duplicatas a receber 975.587 1.087.891
ESTOQUES 686.103 980.794
IMPOSTOS A RECUPERAR 77.429 347.891
OUTROS 99.523 181.288
Total 2.886.731 3.733.022
ATIVO NÃO CIRCULANTE
Realizável a Longo Prazo
Duplicatas a Receber Longo Prazo 223.798 285.735
Impostos a compensar 105.067 257.753
Outros 83.091 124.122
Total 411.956 667.610
Investimento, Imobilizado e Intangível
Investimentos 123.884 271.088
Imobilizado 3.006.413 3.741.504
Intangível 852.155 774.466
TOTAL 3.982.452 4.787.058
TOTAL ATIVO 7.281.139 9.187.690
(cont.)
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PASSIVO X3 X4
CIRCULANTE
Fornecedores 813.525 1.409.616
Impostos a recolher 40.350 35.534
Salários/Encargos a Pagar 101.267 98.030
Financiamentos 1.254.578 1.566.111
Empréstimos 170.800 120.117
Total 2.380.520 3.229.408
PASSIVO NÃO CIRCULANTE
Financiamentos 858.220 1.349.674
Provisão para Contingências 611.159 988.991
Impostos Diferidos e Outros 27.350 27.577
Total 1.496.729 2.366.242
Patrimônio Líquido
Capital Social 2.252.361 2.749.774
Reservas 348.292 344.242
Lucros Acumulados 803.237 498.024
Total 3.403.890 3.592.040
TOTAL 7.281.139 9.187.690
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Quadro 4 – Demonstração de resultados
DEMONSTRAÇÃO DE RESULTADOS
X3 X4
RECEITA OPERACIONAL BRUTA 9.532.606 11.154.079
IMPOSTOS SOBRE VENDAS 1.477.753 1.699.410
RECEITA OPERACIONAL LÍQUIDA 8.054.853 9.454.669
CMV 5.807.652 6.809.588
LUCRO BRUTO 2.247.201 2.645.081
DESPESAS OPERACIONAIS 1.986.605 2.348.964
COMERCIAIS 1.618.747 1.927.442
ADMINISTRATIVAS 324.740 350.066
OUTRAS 43.118 71.456
LUCRO OPERACIONAL 260.596 296.117
RECEITAS FINANCEIRAS 422.453 438.788
DESPESAS FINANCEIRAS 419.341 522.451
EQUIVALÊNCIA PATRIMONIAL 2.995 10.357
OUTRAS RECEITAS E DEPESAS 1.851 4.480
LUCRO ANTES DO IR/CSLL 268.554 227.291
IMPOSTOS SOBRE O LUCRO DE PARTICIPAÇÕES 17.821 17.831
LUCRO LÍQUIDO DO EXERCÍCIO 250.733 245.122
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a. Ativo circulante financeiro e o ativo circulante operacional 
Quadro 5 – Ativo circulante financeiro e o ativo circulante operacional 
ATIVO X3 X4
CIRCULANTE
Bancos 1.048.089 1.135.158
Duplicatas a receber 975.587 1.087.891
ESTOQUES 686.103 980.794
IMPOSTOS A RECUPERAR 77.429 347.891
CONTAS A RECEBER 99.523 181.288
Total 2.886.731 3.733.022
x3 x4
ATIVO CIRC FINANC 1.048.089 1.135.158
ATIVO CIRC OPERAC 1.838.642 2.597.864
O ativo circulante financeiro corresponde ao valor da conta BANCOS 
nos períodos x3 e x4.
O ativo circulante operacional corresponde à soma das contas dupli-
catas a receber, estoques, impostos a recuperar e contas a receber nos 
períodos x3 e x4. 
115Planejamento e orçamento de caixa
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b. Passivo circulante financeiro e o passivo circulante operacional
Quadro 6 – Passivo circulante financeiro e o passivo circulante operacional
PASSIVO X3 X4
CIRCULANTE
Fornecedores 813.525 1.409.616
Impostos a recolher 40.350 35.534
Salários/Encargos a Pagar 101.267 98.030
Financiamentos 1.254.578 1.566.111
Empréstimos 170.800 120.117
Total 2.380.520 3.229.408
x3 x4
PASSIVO CIRC FINANC 1.425.378 1.686.228
PASSIVO CIRC OPERAC 955.142 1.543.180
O passivo circulante financeiro corresponde à soma das contas fi-
nanciamentos e empréstimos nos períodos x3 e x4.
O passivo circulante operacional corresponde à soma das contas 
fornecedores, impostos a recolher, salários/encargos a pagar nos pe-
ríodos x3 e x4. 
c. Cálculo do capital circulante líquido:
Capital circulante líquido (CCL) = Ativo circulante (AC) – Passivo 
circulante
CCL = AC – PC
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ATIVO X3 X4 PASSIVO X3 X4
CIRCULANTE CIRCULANTE
Bancos 1.048.089 1.135.158 Fornecedores 813.525 1.409.616
Duplicatas a receber 975.587 1.087.891 Impostos a recolher 40.350 35.534
ESTOQUES 686.103 980.794
Salários/Encargos 
a Pagar
101.267 98.030
IMPOSTOS A 
RECUPERAR
77.429 347.891 Financiamentos 1.254.578 1.566.111
CONTAS A RECEBER 99.523 181.288 Empréstimos 170.800 120.117
Total 2.886.731 3.733.022 Total 2.380.520 3.229.408
CCL Período x3 = 2.88.731 – 2.380.520 = 506.211
CCL Período x4 = 3.733.022 – 3.229.408= 503.614
No período analisado, na empresa Cia. de distribuição “Supermercado”, 
o ativo circulante é maior que passivo circulante; sendo assim, a empre-
sa tem capacidade financeira para honrar seus compromissos financei-
ros e manter a operação como um todo em funcionamento. 
d. Necessidade de capital de giro
Necessidade de capital de giro = Ativo operacional – Passivo 
Circulante operacional
NCG = ACO − PCO
Como já calculamos o ativo circulante operacional e o passivo circu-
lante operacional, veremos a seguir o cálculo do NCG.
x3 x4
ATIVO CIRC FINANC 1.048.089 1.135.158
ATIVO CIRC OPERAC 1.838.642 2.597.864
(cont.)
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x3 x4
PASSIVO CIRC FINANC 1.425.378 1.686.228
PASSIVO CIRC OPERAC 955.142 1.543.180
NCG Período x3 – 1.838.642 – 955.142 − 883.500
NCG Período x4 – 2.597.864 – 1.543.180 – 1.054.684
Para Matarazzo (1998), o ativo circulante operacional (ACO) é o in-
vestimento que decorre automaticamente das atividades de compra/
produção/estocagem/venda, enquanto o passivo circulante operacio-
nal (PCO) é o financiamento, também automático, que decorre dessas 
atividades.
Sendo assim, nos 2 períodos x3 e x4, indica-se que que o ACO > PCO, 
ou seja, a empresa necessita de capital para financiar suas atividades. 
e. Ciclo operacional e ciclo financeiro
Para calcularmos o ciclo operacional e o ciclo financeiro, temos que 
coletaras informações do balanço:
SALDO DA CONTA ESTOQUE: X2 495.272
CONTAS x3 x4
Estoques 686.103 980.794
CMV 5.807.652 6.809.588
DUPLICATAS A RECEBER 975.587 1.087.891
RECEITA BRUTA DE VENDAS 9.532.606 11.154.079
FORNECEDORES 813.525 1.409.616
COMPRAS 5.998.483 7.104.279
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Compras
Compras = CMV – Estoque inicial + Estoque final
Compras (x3) = 5.807.652 – 495.272 (período x2) + 686.103 (perío-
do x3)
Compras (x3) = 5.998.483
Compras (x4) = 6.809.588 – 686.103 (período x3) + 980.794 (período x4)
Compras (x4) = 7.104.279
Após a coleta das informações, aplicarmos as fórmulas.
O período do balanço é anual, por isso que estamos multiplicando 
por 360 (dias por período).
Quadro 7 – Balanço anual
CONTAS x3 x4
Estoques 686.103 980.794
CMV 5.807.652 6.809.588
DUPLICATAS A RECEBER 975.587 1.087.891
RECEITA BRUTA DE VENDAS 9.532.606 11.154.079
FORNECEDORES 813.525 1.409.616
COMPRAS 5.998.483 7.104.279
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Quadro 8 – Ciclo operacional e ciclo financeiro
CICLO OPERACIONAL E CICLO FINANCEIRO
Fórmulas X3 X4
PMRE
Estoques
CMV
X 360 43 52
PMRV
Dupl Rec
Rec. Bruta
X 360 37 35
CO PMRE + PMRV 79 87
PMPC
Fornecedores
COMPRAS
X 360 49 71
CF CO-PMPC 31 16
Analisando as informações acima, o prazo médio de rotação de es-
toques evidencia o tempo de giro médio dos estoques, ou seja, o tempo 
de compra até a estocagem, que no período x3 foi de 43 e no período 
x4 foi de 52 dias. O prazo médio de recebimento de vendas evidencia 
o tempo de demora para o recebimento das vendas; sendo assim, para 
esta empresa, no período x3 foi de 37 e no período x4 foi de 35 dias. O 
ciclo operacional corresponde ao tempo da operação da empresa desde 
a compra da matéria-prima até o recebimento de vendas, ou seja, todo o 
processo operacional. No período x3, o ciclo operacional foi de 79 dias e 
no período x4 foi de 87 dias. O prazo médio de pagamento de compras 
evidencia o tempo médio que a empresa tem que pagar suas compras 
a prazo. No período x3 foi de 49 e no período x4 foi de 71 dias. O ciclo fi-
nanceiro determina o período de necessidade de capital de giro: inicia-se 
no pagamento de fornecedores até o recebimento das vendas; sendo 
assim, no período x3 foi de 31 dias e no período x4 foi de 16 dias.
Considerações finais
Neste capítulo apresentamos a importância do planejamento finan-
ceiro e os conceitos de fluxo de caixa dos recursos financeiros de curto 
prazo e suas fontes.
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O fluxo de caixa é uma ferramenta que auxilia o administrador fi-
nanceiro a ter uma visão futura das questões financeiras da empresa, 
possibilitando a criação de cenários e análise de situações de escassez 
para atingir os objetivos empresariais.
Quando ocorre um planejamento financeiro adequado, a tomada de 
decisão fica mais objetiva e segura, pois o fluxo de caixa é um instru-
mento para a avaliação do realizado versus projetado, analisando as 
tendências de mercado.
Referências
ASSAF NETO, Alexandre. Finanças corporativas e valor. São Paulo: Atlas, 2003.
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. São Paulo: Atlas, 2009.
AZEVEDO, Marcelo Cardoso de. Estrutura e análise das demonstrações finan-
ceiras. 2. ed. Campinas, SP: Alínea, 2013
BRAGA, Roberto. Fundamentação e técnicas de Administração Financeira. 
São Paulo: Atlas, 1995.
BLATT, Adriano. Análise de balanços: estrutura e avaliação das demonstrações 
financeiras e contábeis. São Paulo: Makron Books, 2001.
BROM, Luiz Guilherme; BALIAN, José Eduardo Amato. Análise de investimen-
tos e capital de giro: conceitos e aplicações. São Paulo: Saraiva, 2011.
FREZATTI, Fábio. Gestão do fluxo de caixa diário: como dispor de um instru-
mento fundamental para o gerenciamento do negócio. São Paulo: Atlas, 2006.
GROPPELLI, Angelico A.; NIKBAKHT, Ehsan. Administração financeira. 4. ed. 
São Paulo: Saraiva, 2009
MARION, José Carlos. Contabilidade básica. 8. ed. São Paulo: Atlas, 2008.
MATARAZZO, Dante C. Análise financeira de balanços. São Paulo: Atlas,1998.
SÁ, Carlos Alexandre de. Gerenciamento do fluxo de caixa. Apostila, São Paulo: 
Top Eventos, 1998.
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira. 5. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2010.
WERNKE, Rodney. Gestão financeira: ênfase em aplicações e casos nacionais. 
1. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2008.
121
Capítulo 8
Critérios de decisão 
de investimentos
Chegamos ao último capítulo e abordaremosas principais ferramen-
tas para a decisão de investimentos.
Para as empresas se manterem no mercado frente à alta concorrên-
cia e às questões econômicas, antes de tomar qualquer decisão para 
investimentos, como adquirir novos equipamentos, softwares e outras 
soluções para aumentar o desempenho empresarial, é preciso analisar o 
custo que se requer para este tipo de investimento. O gestor financeiro, 
através de ferramentas de análise, determinará qual o melhor investimen-
to e se este valor que será gasto compensará o retorno e ganho futuro.
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.O objetivo deste capítulo é entender as principais técnicas para a 
decisão de projetos e investimentos, conforme segue:
 • custo de oportunidade;
 • valor presente líquido;
 • taxa interna de retorno;
 • payback e payback descontado.
1 Custo de oportunidade
O administrador financeiro é responsável por analisar a viabilidade 
de investimentos e projetos para empresa, pois é fundamental definir 
para onde será destinado o recurso financeiro. De nada adianta sobrar 
o recurso financeiro e aplicar em um investimento que não terá retorno.
Diante disso, apresentaremos métricas e conceitos para que a toma-
da de decisão em investimentos seja vantajosa para a empresa.
Para cada projeto de investimento, o gestor financeiro terá que cole-
tar informações para a aplicação das técnicas de análise.
1. Elaborar o diagrama de fluxo de caixa: o fluxo de caixa contém 
as seguintes características:
 • Investimento inicial: na forma de bens físico ou investimento de 
capital. Como são aportes, o sinal é negativo (seta para baixo).
 • Retornos de caixa: após algum determinado período, o projeto 
poderá retornar retorno, gerando fluxo de caixa positivo (seta 
para cima).
 • Valor residual: ocorre no final do investimento um incremento 
no fluxo de caixa. Por exemplo: você adquiriu computadores, e, 
no final do período de retorno, ficaram obsoletos e poderão ser 
123Critérios de decisão de investimentos
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vendidos para a aquisição de um novo equipamento; sendo assim, 
valor residual é a venda de ativo após o uso no período do fluxo. 
Figura 1 – Diagrama de fluxo de caixa
Ingressos, recebimentos e receitas (positivo)
(-) 4000 Desembolso, pagamento e despesas (sinal negativo)
(+) 1000 (+) 600 (+) 1000 (+) 1200 (+) 600
(+) 1500
0 1 2 3 4 5 6 Tempo
Fonte: adaptado de Wernke (2008).
2. Taxa de atratividade: a taxa de atratividade é a taxa de retorno 
esperado (TMA – taxa mínima de atratividade). Está ligada a 
dois fatores:
a. Custo de capital – Para Gitman (2005, p. 318), o custo de ca-
pital é a taxa de retorno que a empresa deve ganhar sobre os 
projetos nos quais investe, para manter o valor de mercado de 
suas ações. 
b. Custo de Oportunidade – Conceito de manutenção do capital 
financeiro da empresa, ou seja, é a avaliação das atividades 
empresariais para tomada de decisões. Por isso, o custo de 
oportunidade poderá representar a melhor alternativa de es-
colha do gestor financeiro em relação ao capital da empresa. 
Caso essa análise seja muito superficial, poderá acarretar pre-
juízos financeiros. Cada situação para tomada de decisão em-
presarial tem que passar por uma análise criteriosa para que 
os ativos da empresa não sejam impactados. 
Exemplo 1: A empresa tem uma sobra financeira e deseja apli-
car este recurso. Qual o melhor retorno do dinheiro aplicado? No 
Brasil os investidores analisam o cenário político, o risco-país e 
124 Administração financeira: fundamentos e conceitos Ma
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duas métricas importantes: a taxa Selic, que vimos nos capítu-
los anteriores, e o CDI (certificado de depósito interbancário), que 
serve como referencial para os rendimentos de investimentos. 
Quatro 1 – Custos de oportunidade – Retorno, prazo e risco
CUSTO DE OPORTUNIDADE – RETORNO, PRAZO E RISCO
• Decisões empresariais têm que ser avaliadas sempre.
• Avaliar cada decisão para não ocorrer impactos financeiros.
• Mensurar e avaliar os estoques, produtos e preços finais, avaliando o aspecto financeiro para a criação 
de oportunidade financeira e consequentemente gerar rentabilidade e retorno. 
Fonte: adaptado de Padoveze (2012).
Exemplo 2: Marcos é gestor financeiro da empresa ABC, que conta-
tou o gerente para viabilizar um financiamento de um imóvel no valor de 
R$ 300.000 com um prazo de 25 anos.
Quadro 2 – Financiamento de um imóvel 
AMORTIZAÇÃO TAXA AO ANO TAXA AO MÊS
1
imenor = "Q1 + 0,061678 12V - 1%.100
SAC 6,1678 % a.a.
A taxa de 6,1678% ao ano equivale a 0,50% ao mês em regime de 
capitalização composta.
Price 7 % a.a.
7%Taxa Proporcional: = 0,58% a.m12 mesesQ V
No sistema Price é utilizada a taxa proporcional, não a 
equivalente. 
Marcos analisou alguns pontos para a escolha do financiamento; 
sendo eles:
 • As taxas de juros mensal e ao ano no sistema SAC estão meno-
res se comparadas com o sistema Price.
125Critérios de decisão de investimentos
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 Editora Senac São Paulo.
 • No sistema SAC as parcelas são decrescentes e no sistema Price 
as parcelas são fixas. 
Verifique que nesta análise inicial de taxa e das regras do regime de 
capitalização, o sistema SAC está mais vantajoso para o financiamento. 
Através desta análise do custo de oportunidade, a empresa terá condi-
ções de maximizar lucros e reduzir possíveis perdas.
PARA PENSAR 
Continue a análise do custo de oportunidade do exemplo 2. Calcule o 
valor das parcelas e verifique financeiramente entre o regime SAC e Price 
qual será mais vantajoso para Marcos contratar o financiamento.
 
3. Os métodos de análise de investimentos consideram o fluxo de 
caixa a valor presente.
IMPORTANTE 
O valor residual é o valor de venda de um bem obsoleto que incrementa 
o fluxo de caixa no último período.
 
Apresentaremos a seguir os métodos de análise de investimentos: 
valor presente líquido, taxa interna de retorno e payback. 
2 Valor presente líquido (VPL)
O valor presente líquido (VPL) ou em inglês net present value (NPV) é 
o método de avaliação de fluxo de caixa descontado. 
126 Administração financeira: fundamentos e conceitos Ma
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Conforme destacam Brom e Balian (2007, p.14),o VPL “proporciona 
uma comparação entre o valor do investimento e o valor dos retornos 
esperados (na forma de fluxo de caixa líquido) com todos os valores 
considerados no momento atual”. 
Para Bruni e Famá (2007, p. 378), em casos de projetos de inves-
timentos, em que é feito um desembolso inicial com o objetivo do re-
cebimento de uma série de fluxos de caixa futuros, ele “representa os 
recebimentos futuros trazidos e somados na data zero, subtraído do 
investimento inicial; sendo aeste o valor presente líquido do investimen-
to inicial”.
Utilizando o método de análise de investimento VPL, temos as se-
guintes considerações:
a. VPL > 0: Se o VPL for maior que zero, o projeto deverá ser aceito.
b. VPL < 0: Se o VPL for menor que zero, o projeto deverá ser rejeitado.
c. VPL = 0: Se o VPL for igual a zero, torna-se indiferente aceitar ou 
não o projeto. 
Para calcularmos o VPL, podemos utilizar a seguinte fórmula:
VPL Investimento Inicial i
FC
i
FC
i
FC
i
FC
1 1 1 1 n
n1
2
2
3
3= – + + + + + + + +Q Q Q QV V V V
Fonte: adaptado de Brom e Balian (2007).
Onde:
 • Investimento inicial = saída de caixa para iniciar o investimento.
FC = Fluxo de caixa = Entrada de caixa líquido esperado.
i = Taxa de atratividade, em que permite trazer o fluxo de caixa 
líquido a valor presente. 
NO cálculo do VPL você poderá utilizar os recursos da calculadora 
HP12C para alimentar o fluxo de caixa.
127Critérios de decisão de investimentos
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Funções financeiras HP12C
A função g acessa as funções em azul na calculadora HP12C.
g CF0 : inicia o fluxo de caixa na data zero – capital inicial – corres-
ponde ao investimento inicial da fórmula.
g CFj : insere o fluxo de caixa no período correspondente – corres-
ponde À entrada de caixa líquido esperado da fórmula.
g Nj : insere o número de fluxos de caixa repetidos.
f NPV: função que calcula o valor presente líquido de um fluxo de 
caixa não uniforme. 
Apresentaremos um exemplo prático para o cálculo do VPL. 
Exemplo 1:
A empresa SBM está avaliando investir R$ 11.000,00 em um maqui-
nário. Acredita que esse novo maquinário proporcionará retornos líqui-
dos anuais de:
Ano 1: 1.500
Ano 2: 2.000
Ano 3: 3.000
Ano 4: 3.500
Ano 5: 4.000
Sabendo que a taxa de atratividade é de 8% ao ano, calcule o VPL 
deste cenário apresentado.
VPL Investimento Inicial i
FC
i
FC
i
FC
i
FC
1 1 1 1 n
n1
2
2
3
3= – + + + + + + + +Q Q Q QV V V V
. , , , , ,VPL 11 000 1 0 08
1500
1 0 08
2000
1 0 08
3000
1 0 08
3500
1 0 08
4000
2 3 4 5= - + + + + + + + + + +Q Q Q Q QV V V V V
128 Administração financeira: fundamentos e conceitos Ma
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Após elevar a taxa para cada período, deixar após a vírgula as casas 
decimais conforme resolução abaixo para que o valor do VPL seja próxi-
mo quando calcularmos este mesmo exemplo pela calculadora HP12C.
. , , , , ,VPL 11 000 1 08
1500
1 166400
2000
1 25971200
3000
1 36048896
3500
1 469328077
4000= - + + + + +Q Q Q Q QV V V V V
VPL= −11.000 + 1.388,89 + 1.714,68 + 2381,50 + 2.572,60 + 
2.722,33
VPL= −11.000 + 10.780
VPL= –220,00
VPL = −220,00. Sendo VPL < 0, o projeto de investimento deverá 
ser rejeitado.
NA PRÁTICA 
Na loja de aplicativos do seu celular, a calculadora HP12C poderá ser 
baixada para efetuar os cálculos apresentados neste livro.
 
Podemos calcular o valor do VPL utilizando a calculadora financeira 
HP12C:
Inserindo os dados na HP12C
 • Limpar os registos da calculadora: f Reg
 • Inserir o capital inicial (investimento): 11000 CHS g CF0 
 • Inserir o retorno líquido do ano 1: 1500 g CFj 
 • Inserir o retorno líquido do ano 2: 2000 g CFj 
 • Inserir o retorno líquido do ano 3: 3000 g CFj 
 • Inserir o retorno líquido do ano 4: 3500 g CFj 
129Critérios de decisão de investimentos
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 • Inserir o retorno líquido do ano 5: 4000 g CFj 
 • Inserir a taxa : 8 i 
 • Calcular o valor do VPL: f NPV
VPL = −219,99. Sendo VPL < 0, o projeto de investimento deverá ser 
rejeitado.
Exemplo 2: 
A companhia Leco importadora de produtos eletrônicos está avalian-
do investir R$ 10.000,00 em sua loja física para melhorar o atendimento 
aos clientes. Acredita que esse novo investimento proporcionará anual-
mente retornos líquidos anuais de:
Ano 1: 6.000
Ano 2: 4.000
Ano 3: 4.500
Ano 4: 3.500
Ano 5: 3.000
Sabendo que a taxa de atratividade é de 9% ao ano, recomendaria 
este projeto através do cálculo do VPL?
VPL Investimento Inicial i
FC
i
FC
i
FC
i
FC
1 1 1 1 n
n1
2
2
3
3=– + + + + + + + +Q Q Q QV V V V
. , , , , ,VPL 10 000 1 0 09
6000
1 0 09
4000
1 0 09
4500
1 0 09
3500
1 0 09
3000
2 3 4 5= - + + + + + + + + + +Q Q Q Q QV V V V V
Após elevar a taxa para cada período, deixar após a vírgula as casas 
decimais conforme resolução abaixo para que o valor do VPL seja próxi-
mo quando calcularmos este mesmo exemplo pela calculadora HP12C.
. , , , , ,VPL 10 000 1 09
6000
1 18810000
4000
1 29502900
4500
1 411581610
3500
1 538623955
3000= - + + + + +Q Q Q Q QV V V V V
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VPL= −10.000+ 5.504,59 + 3.366,72 + 3.474,83 + 2.479,49 + 1.949,79
VPL= −10.000 + 16.775,42
VPL= 6.775,42
VPL = 6775,42. Sendo VPL > 0, o projeto de investimento deverá 
ser aceito.
Inserindo os dados na HP12C:
 • Limpar os registos da calculadora: f Reg
 • Inserir o capital inicial (investimento): 10000 CHS g CF0 
 • Inserir o retorno líquido do ano 1: 6000 g CFj 
 • Inserir o retorno líquido do ano 2: 4000 g CFj 
 • Inserir o retorno líquido do ano 3: 4500 g CFj 
 • Inserir o retorno líquido do ano 4: 3500 g CFj 
 • Inserir o retorno líquido do ano 5: 3000 g CFj 
 • Inserir a taxa: 9 i 
 • Calcular o valor do VPL: f NPV
VPL = 6775,42. Sendo VPL > 0, o projeto de investimento deverá ser 
aceito.
PARA PENSAR 
A empresa ABC está considerando um projeto de logística com inves-
timento inicial de R$ 8.000 com fluxos de caixa anuais previstos de 
R$ 5.000, 4.000 e 6.000 respectivamente por 3 anos com uma taxa de 
atratividade (desconto) de 15%. Determine se o projeto é aceitável cal-
culando o VPL.
 
131Critérios de decisão de investimentos
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3 TIR – taxa interna de retorno
A taxa interna de retorno (TIR) ou em inglês internal rate return (IRR) 
é utilizada para indicar se um investimento será viável ou não em com-
paração à taxa de atratividade; sendo assim, a empresa precisa avaliar 
o comparativo entre a TMA e a TIR. 
Utilizando o método de análise de investimento TIR, temos as se-
guintes considerações:
a. TIR > que a taxa de atratividade: projeto deverá seraceito.
b. TIR < que a taxa de atratividade: projeto deverá ser rejeitado.
NA PRÁTICA 
A TIR é uma medida da taxa de rentabilidade.
 
Vamos apresentar um exemplo prático para o cálculo do VPL? 
Apresentaremos o uso da HP12C para alimentar o fluxo de caixa.
Funções financeiras HP12C
A função g acessa as funções em azul na calculadora HP12C.
g CF0 : inicia o fluxo de caixa na data zero – capital inicial.
g CFj : insere o fluxo de caixa no período correspondente. 
g Nj : insere o número de fluxos de caixa repetidos.
f IRR : função que calcula a TIR.
Exemplo 1:
A empresa SBM está avaliando investir R$ 11.000,00 em um maqui-
nário. Acredita que esse novo maquinário proporcionará retornos líqui-
dos anuais de:
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Ano 1: 1.500
Ano 2: 2.000
Ano 3: 3.000
Ano 4: 3.500
Ano 5: 4.000
Sabendo que a taxa de atratividade é de 8% ao ano, calcule o VPL 
deste cenário apresentado.
Inserindo os dados na HP12C
 • Limpar os registos da calculadora: f Reg
 • Inserir o capital inicial (investimento): 11000 CHS g CF0 
 • Inserir o retorno líquido do ano 1: 1500 g CFj 
 • Inserir o retorno líquido do ano 2: 2000 g CFj 
 • Inserir o retorno líquido do ano 3: 3000 g CFj 
 • Inserir o retorno líquido do ano 4: 3500 g CFj 
 • Inserir o retorno líquido do ano 5: 4000 g CFj 
 • Calcular o valor da TIR: f IRR
TIR = 7,35%. Sendo TIR < que a taxa de atratividade de 8%, o projeto 
de investimento deverá ser rejeitado.
NA PRÁTICA 
Uma dica: ao inserir os fluxos de caixa, após encontrar o VPL você po-
derá encontrar a TIR no mesmo lançamento. Se apertar f IRR após o 
valor do VPL aparecer no visor, será exibido o valor da TIR.
 
133Critérios de decisão de investimentos
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Exemplo 2: 
A companhia Leco importadora de produtos eletrônicos está avalian-
do investir R$ 10.000,00 em sua loja física para melhorar o atendimento 
aos clientes. Acredita que esse novo investimento proporcionará anual-
mente retornos líquidos anuais de:
Ano 1: 6.000
Ano 2: 4.000
Ano 3: 4.500
Ano 4: 3.500
Ano 5: 3.000
Sabendo que a taxa de atratividade é de 9% ao ano, recomendaria 
este projeto através do cálculo da TIR?
Inserindo os dados na HP12C
 • Limpar os registos da calculadora: f Reg
 • Inserir o capital inicial (investimento): 10000 CHS g CF0 
 • Inserir o retorno líquido do ano 1: 6000 g CFj 
 • Inserir o retorno líquido do ano 2: 4000 g CFj 
 • Inserir o retorno líquido do ano 3: 4500 g CFj 
 • Inserir o retorno líquido do ano 4: 3500 g CFj 
 • Inserir o retorno líquido do ano 5: 3000 g CFj 
 • Calcular o valor da TIR: f IRR
TIR = 36,20%. Sendo TIR > que a taxa de atratividade de 9%, o projeto 
de investimento deverá ser aceito.
134 Administração financeira: fundamentos e conceitos Ma
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4 Payback e payback descontado
4.1 Payback – tempo de recuperação do capital
Conforme destacam Brom e Balian (2007, p. 21), o payback apura o 
tempo necessário para que um determinado investimento seja recupe-
rado ou, ainda, para que retorne ao investidor. O payback se divide em 
simples e descontado. 
O payback simples não considera o valor do dinheiro no tempo e o 
descontado sim, ou seja, considera o efeito do tempo sobre o dinheiro 
considerando a taxa de atratividade.
IMPORTANTE 
Para Gitman (2010, p. 366), os períodos de payback são normalmente 
usados para avaliar propostas de investimento de capital. O período de 
payback é o tempo necessário para que a empresa recupere o investi-
mento inicial em um projeto, calculado a partir das entradas de caixa.
 
4.2 Payback simples
Para visualizarmos o conceito de payback simples, vejamos o fluxo 
a seguir.
135Critérios de decisão de investimentos
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Figura 2 – Fluxo de Caixa – Exemplo
Fonte: adaptado de Wernke (2008).
O investimento inicial deste exemplo foi de 800, com recebimento 
de receita no primeiro ano de 400; sendo assim, o investidor recupera 
50% do valor aplicado = 400. No segundo ano, o recebimento de re-
ceita foi de 400, que, somada com o valor do primeiro ano, recupera o 
valor investido no tempo zero.
Resposta: o payback do exemplo é de dois anos. 
4.3 Payback descontado
Conforme destacam Brom e Balian (2007, p. 21), o payback descon-
tado é o tempo necessário para que o projeto recupere o investimento 
realizado mais o retorno mínimo exigido pelo investidor. 
Ingressos, recebimentos e receitas (positivo)
(-) 800
Desembolso, pagamento e despesas (sinal negativo)
(+) 400 (+) 400 (+) 350
0 1 2 3 Tempo
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Figura 3 – Fluxo de Caixa – Exemplo
Ingressos, recebimentos e receitas (positivo)
(-) 1000
Desembolso, pagamento e despesas (sinal negativo)
(+) 450 (+) 330 (+) 300
0 1 2 3 Tempo
Fonte: adaptado de Wernke (2008).
Analisando o fluxo de caixa, verificamos que o retorno inicial de 1.000 
será recuperado entre o ano 2 até o ano 3, pois as entradas de receita 
deste investimento totalizam 1.080.
Logo, para calcularmos o payback desta operação no ano 1, falta o 
investidor receber 550. No ano 2 falta o investidor receber 220. Portanto, 
entre o ano 2 e o ano, ele receberá o valor investido inicialmente. Vamos 
pegar o saldo que falta receber no final do ano 2 de 220 e dividir pela 
entrada no valor de 300, que será 0,7. Sendo assim, o payback desta 
operação será em torno de 2 anos e 7 meses.
NA PRÁTICA 
Utilizando os dois exemplos acima, calcule o VPL e a TIR destas operações.
 
Exemplo comparativo – Payback simples e descontado
A companhia Leco importadora de produtos eletrônicos está avalian-
do investir R$ 10.000,00 em sua loja física para melhorar o atendimento 
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aos clientes. Acredita que esse novo investimento proporcionará anual-
mente retornos líquidos anuais de:
Ano 1: 6.000
Ano 2: 4.000
Ano 3: 4.500
Ano 4: 3.500
Ano 5: 3.000
A taxa de atratividade é de 9% ao ano.
Calcule o payback simples deste projeto.
Quadro 3 – Payback simples
Tempo Retornos Saldo do investimento
0 −10.000
1 6.000 −4.000
2 4.000 0,00
O payback simples deste projeto é de 2 anos para o retorno do inves-
timento enão é considerada a taxa de atratividade. 
Para o payback descontado teremos que utilizar a taxa mínima de 
retorno; sendo assim os retornos são considerados em valor presente. 
Como já calculamos o VPL, esta análise é bem similar em cada período.
Veja como:
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Quadro 4 – Payback descontado
TEMPO
RETORNO 
FLUXO DE CAIXA DESCONTADO
TAXA DE ATRATIVIDADE: 9% A.A.
SALDO DO INVESTIMENTO
0 −10.000
1
, . ,1 0 09
6000 5 504 59+ =Q V
–4.495,41
2
, . ,1 0 09
4000 3 366 722+ =Q V
–1.128,69
3
, . ,1 0 09
4500 3 474 833+ =Q V
2.345,14
4
, . ,1 0 09
3500 2 479 494+ =Q V
4.824,63
5
, . ,1 0 09
3000 1 949 795+ =Q V
6.774,42
Analisando o fluxo de caixa descontado, veja que o retorno do in-
vestimento está entre o ano 2 e 3, pois já consta um saldo positivo de 
2.345,14 no ano 3.
Payback Descontado
Fluxo de Caixa Descontado
Fluxo de Caixa Acumulado=
. ,
. , ,Payback Descontado 3 474 83
1 128 69 0 32= =
0,32 × 12 (meses) = 3,84 meses
0,84 × 30 (dias) = 25,2 dias
Portanto, o payback descontando, considerando o valor do dinheiro do 
tempo, será de 2 anos 3 meses e 25 dias, praticamente 2 anos e 4 meses.
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Após avaliar o projeto com VPL positivo e a TIR maior que a taxa 
atratividade, o payback retornará o tempo de retorno do valor investido.
Considerações finais
Neste capítulo apresentamos as técnicas de análise de investimen-
tos para que o gestor financeiro consiga tomar a melhor decisão em 
investimentos. É fundamental ter uma análise crítica para não perder 
dinheiro, realizando métricas de acompanhamento nos projetos de 
investimentos solicitados pela empresa, como aumento de estrutura, 
compra de maquinários, investimentos em tecnologia etc. 
O administrador financeiro, além de utilizar as técnicas apresentadas 
(VPL, TIR e payback), tem que compreender as questões econômicas e 
o funcionamento do mercado em que a empresa atua através de agen-
tes econômicos como taxa de juros, dólar, câmbio etc., pois são baliza-
dores para a análise geral nos investimentos e projetos empresariais. 
Em resumo, é preciso verificar:
 • as técnicas de investimentos apresentadas;
 • a avaliação econômica; 
 • se a taxa de retorno está dentro da expectativa econômica do país;
 • eventuais riscos no processo de investimento.
Portanto, o administrador financeiro tem que estar atento ao que 
ocorre externamente e internamente em sua empresa para gerar subsí-
dios a sua decisão nos investimentos.
Referências
ASSAF NETO, Alexandre. Finanças corporativas e valor. São Paulo: Atlas, 2003.
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. São Paulo: 
Atlas, 2009.
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BRAGA, Roberto. Fundamentação e técnicas de Administração Financeira. 
São Paulo: Atlas, 1995.
BROM, Luiz Guilherme; BALIAN, José Eduardo Amato. Análise de investimen-
tos e capital de giro: conceitos e aplicações. São Paulo: Saraiva, 2011.
BRUNI, Adriano Leal. Matemática financeira: com HP 12C e Excel. São Paulo: 
Atlas, 2007.
GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática Financeira com HP 12C e Excel – 
uma abordagem descomplicada. 2. ed. 3. reimp. São Paulo: Pearson, 2013.
GITMAN, Lawrence J. Administração financeira: uma abordagem gerencial. 
São Paulo: Pearson, 2003. 
GITMAN, Lawrence J. Princípios de administração financeira. 10. ed. São 
Paulo: Pearson, 2004.
GROPPELLI, Angelico A.; NIKBAKHT, Ehsan. Administração financeira. 4. ed. 
São Paulo: Saraiva, 2009.
KUHNEN, Osmar Leonardo. Matemática Financeira aplicada e análise de in-
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PADOVEZE, C. L. Controladoria estratégica e operacional. São Paulo: Cengage 
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PADOVEZE, C. L. Introdução à administração financeira. São Paulo: Cengage 
Learning, 2010.
WERNKE, Rodney. Gestão financeira: ênfase em aplicações e casos nacionais. 
1. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2008.
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 curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD, da disciplina correspondente. Proibida a reprodução e o com
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 Editora Senac São Paulo.
Sobre o autor
Fábio de Freitas Mariz é mestre em educação matemática pela 
Universidade Anhanguera (Unian), pós-graduado em mercados financei-
ros pela Universidade Presbiteriana Mackenzie e graduado em adminis-
tração com ênfase em finanças pelo Centro Universitário Capital. Atuou 
por nove anos no Banco Santander. Em 2011, lecionou no Programa 
de Aprendizagem do Espro (Ensino Social Profissionalizante), que tem 
como objetivo a inserção do jovem no mercado de trabalho por meio de 
cursos de capacitação para as áreas bancária e financeira. Possui expe-
riência de dois anos como coordenador do curso de administração da 
Universidade Anhanguera. Trabalhou como coordenador de projetos no 
Banco Santander pela RSI Informática, sendo responsável pela homo-
logação de novos projetos e produtos a serem implantados no banco 
pelo período de três anos. Em 2015, retomou somente as atividades 
acadêmicas. Trabalhou como instrutor de aprendizagem no Instituto 
Saber em parceria com o Nube na capacitação profissional de jovens 
e adolescentes, ministrando treinamentos e simulações do dia a dia do 
mercado de trabalho de 2015 a 2016. Na Universidade Anhanguera de 
São Paulo atuou como coordenador do curso de administração, coor-
denador geral de polo dos cursos de graduação na modalidade EAD e 
como professor dos cursos de administração e contábeis na modalida-
de presencial, totalizando 11 anos de empresa. Atualmente atua em um 
banco de crédito de consumo na área de tesouraria da controladoria 
dos projetos de finanças.
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